Unidad 1: Vectores Magnitud escalar: Es una magnitud cuya determinación solo requiere el conocimiento de un número, su cantidad respecto de cierta unidad de medida de su misma especie. Ejemplo: Longitud, masa, tiempo temperatura, trabajo, área, etc. Denominamos escalarel número Real asociado con cada una de ellas. Magnitud vectorial: Es una magnitud (cantidad) cuya determinación eige el conocimiento de un módulo (magnitud)! una dirección y un sentido. Ejemplo:"uer#a, $elocidad, aceleración, despla#amiento . %ales cantidades se representan grá&icamente por unsegmento rectilíneo orientado. 'e entiende por vector, un segmento rectilneo orientado. • El estudio de los $ectores se llama análisis vectorial. • De&inimos un segmento rectilneo orientado, como un segmento de recta, que $a desde un punto Pa un puntoQ,y l o representamos por . El punto P se llama unto *nicial y el punto Qunto %erminal (&inal). +er "ig.
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Unidad 1: VectoresMagnitud escalar:
Es una magnitud cuya determinación solo requiere el conocimiento de un núrespecto de cierta unidad de medida de su misma especie.
Ejemplo:Longitud, masa, tiempo temperatura, trabajo, área, etc. Denominamos escalar el número Real asociado con cada una de ellas.
Magnitud vectorial:
Es una magnitud (cantidad) cuya determinación eige el conocimiento de un m
una dirección y un sentido.Ejemplo: "uer#a, $elocidad, aceleración, despla#amiento. %ales cantidades se representan grá&icamente por un segmento rectilíneo orien
'e entiende por vector, un segmento rectilneo orientado.
• El estudio de los $ectores se llama análisis vectorial.
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• De&inimos un segmento rectilneo orientado, como un segmento de recta, queun punto P a un punto Q, y lo representamos por . El punto P se llama untopunto Q unto %erminal (&inal). +er "ig.
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• La longitud del segmento es la correspondiente del $ector (magndirección es el ángulo que &orma con la -ori#ontal (con el eje pos&lec-a indica el sentido del $ector.
• /nalticamente un $ector se representa por una letra con una &lecetc.
• El modulo se representa por etc.
Dos segmentos orientados de la misma magnitud, dirección y sentequivalentes.
Por ejemplo0 los segmentos orientados de la "igura 1, sonequivalentes:
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Entonces, se considera que un $ector permanece sin cambio, si se mue$e traslamismo. 'i además tienen el mismo punto inicial entonces son iguales.
/l conjunto de todos los segmentos orientados que son equivalentes a uno davector del plano y escribimos .
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Ejemplo 1: Representación de segmentos orientados.
a) Representar a mediante el segmento orientado que $a de (",") a (#,$), y a pde (1,$) a (%,%).
b) Demostrar analticamente, que y son equi$alentes.
&oluci'n:
. 2ra&icamos en nuestros ejes de coordenadas 3, los puntos dados.1. 4nimos los puntos respecti$os y obtenemos los segmentos orientados corresp
5. 6acemos los cálculos analticos necesarios con las &órmulas respecti$as
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a!
(! De acuerdo con la &igura 5, y usando la &órmula de la distancia entre doplano:
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)e donde:
/demás, con la ecuación de la pendiente de una recta, calculamos la direcciónrespecto a la -ori#ontal)0
de donde:
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Entonces, tienen la misma longitud m'dulo! y además tienen la misma direcci'
or lo tanto0 son equi$alentes.
• El segmento orientado cuyo punto inicial es el origen del sistema de ejes de cose denomina $ector en posici'n normal o en &orma can'nica.
• 4n $ector en posición normal, puede representarse en &orma única, por las code su punto *inal, esto nos lle$a a la siguiente,
)e*inici'n:'i es un $ector en el plano, cuyo punto inicial es el origen y cu+o punto *
V$!, entonces el $ector en *orma de componentes está dado por0
• Las coordenadas V1 y V$ se conocen como componentes de .
'i ambos puntos, el inicial y el &inal son el origen entonces a se le llama vectordenota como0
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Para pasar de &egmentos orientados a la *orma de componentes yprocedemos as0
. 'i P 7 (, 1) y Q 7 (8, 81), la &orma de componentes del $ector está represe
1.El modulo (longitud) de esta dado por0
5. 'i , entonces puede representarse por medio del segmento orientado en posicque $a de P ","! a Q V1, V$!.
En &orma general si0
Ejemplo: si
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Ejercicio $:
a) 9alcular las componentes + la longitud de un $ector , cuyos puntos inicial y -! + $, ) respecti$amente.
b) E&ectuar las grá&icas del segmento orientado dado y del $ector obtenido e
componentes.
)irecci'n de un vector
La dirección de cualquier $ector di&erente de cero, está dada por la medida en radángulo desde el eje / positivo, medido en sentido contrario al de las agujas d
representación del $ector de posición normal. /s tenemos que .) 'i entonces si .
Ejemplo:
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$! 'i / 7 : y 0 ; : se tiene que0
Ejemplo: si
#! 'i / 7 : y 0 " entonces
Ejemplo:
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Ejercicio #: a! representar grá&icamente los siguientes $ectores0
(! Determinar el /ngulo Ɵ que &orman con el eje positi$o (dirección) en radian
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2PE345627E& 527 VE5823E&:
De&inición de suma de $ectores y de producto por un escalar 0
'ean los $ectores + y 9 un escalar:
) La suma de los $ectores y es el $ector 0
1) El producto del escalar 9 por es el $ector0
5) El $ector opuesto de es
<) La di&erencia de y es
Ejemplo: Dados los $ectores0 y
Determine y represente grá&icamente0
a) b) c) d) e)
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&oluci'n: analítica!
a)
b)
c)
d)
e)
8area: acer las grá*icas de los vectores resultante
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a! &uma ;rá*ica M<todo del paralelepípedo!.
2eom=tricamente la suma o la resultante de 1 $ectores y , es otro $ecobtiene trasladando el punto inicial de , al punto &inal de , y uniendo el puncon el punto &inal de or ejemplo, dados los $ectores y siguientes 0
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2eom=tricamente(grá&icamente) la suma o la resultante de los $ectores y , indicado en la &igura >.b)
P f Pi
&igura >. b)
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(! &UM4 : ME82)2 )E= P434=E=2;34M2
En este m=todo, se trasladan los 1 $ectores () a un punto inicial com>n, eslados ad+acentes de un paralelogramo, que se completa tra#ando paralelalados. El vector suma corresponde a la diagonal del paralelogramo, con puntel punto inicial com>n. 9onsideremos los $ectores del ejemplo anterior :
@
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3E&84 2 )6?E3E7564 ;3@?654 )E )2& VE5823E&
8enemos dos m<todos:
1! ara representar geom=tricamente, la di*erencia o resta de 1 $ectores (representación con el mismo punto inicial, entonces, el segmento orientado qpunto *inal de , al punto *inal de es la representación de .+er &ig. ?
$! @ tambi=n para restar dos $ectores (), se suma al vector minuendo, vector sustraendo, es decir0 +er &ig. ?
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Ejercicio 8area: Dados y
Determine analtica y grá&icamente0
a) b) c)
=E0E& )E= ;E4=A34 VE582364=:'ean , 5 $ectores, y m y n dos escalares, se $eri&ica0
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
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Magnitud del m>ltiplo escalar de un vector:
sean un $ector y 9 un escalar , la magnitud de es0 donde es el valor a(soluto
Ejemplo: si y 9 7 A, a) determine
&oluci'n: y
Entonces0
Vector unitario en la direcci'n de
'ea un $ector no nulo del plano entonces el $ector0
%iene magnitud 7 (uno) y la misma dirección .
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)emostraci'n: como es positi$o y concluimos que tiene la misma dirección de
Ejemplo: 'B a! calcule
&oluci'n:
9omprobación0
La solución la representamos en la &ig. : siguiente0
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Ejercicio tarea: dado
a) Representarlo grá&icamente.b) 9alcular un $ector unitario en la dirección de y gra&icarlo.
c) 9omprobar su módulo
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VE5823E& U7684362& 54727652& i, j!.
Los $ectores unitarios0 1, " B y ", 1B se conocen como vectores unitarios canel plano), y se denotan por 0 i C 1, " B y j C ", 1B como se muestra en la &ig.
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Estos $ectores pueden usarse para representar cualquier $ector0
orque0
7
Llamamos a com(inaci'n lineal de i y de j.
Los escalares y 3 son las componentes -ori#ontal y $ertical de , respecti$a
Ejemplo:
'ea un $ector con punto inicial (1, CA) y punto &inal (C, 5), y sea
Escribir los $ectores siguientes, como com(inaci'n lineal de los $ectcan'nicos i, j:
a) b)
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&oluci'n:
a) ara el $ector tenemos que0
b) ara el $ector , tenemos que0
Dado que cualquier $ector puede escribirse como una combinación lineal de$ectores se conocen como la (ase estándar del sistema de $ectores bidimen
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'i , es un $ector de posición, entonces la &ig.1 uestra que es la suma de los $e
a$ j.
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=os vectores a1i y a$ j tienen el origen como punto inicial común. El escalar a1 se
la componente -ori#ontal de y a$ la componente $ertical de
Ejemplo: De $arias &ormas de representar los $ectores0
%, - ; 7 %i D -j
(1i C Aj) F (Gi F 5 j) 7 (1i F Gi) F (CA j F 5 j) 7 1"i $j
:(5i H j) 7 #"i 1"j
VE5823E& P434=E=2&
Dos $ectores son paralelos si + solo si son m>ltiplos escalares uno del otro. +
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Ejemplo: Los $ectores y son paralelos porque es un múltiplo escalar de .Es decir0
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Ejemplo: dados y
a) Determina analticamente y grá&icamente0 y
&oluci'n: (analticamente)
&oluci'n: (grá&icamente)0
1. 0 9on el m=todo del paralelogramo0 (los dos $ectores con el punto inicial co
+er &ig.< %enemos0
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2. 0 9on los dos m=todos. +er &ig.A
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843E4 1 de la U 6 :
3esolver + entregar en ojas sueltas:
a! 7om(re de la unidad + *eca(! 7>mero de ejerciciosc! 7om(re del alumnoa!
3esolver los Ejercicios del 1 al #%, páginas F + -
)e el li(ro de Matemáticas # cálculo de varias varia(les! d