vectores_geometricos_coordenados

8/17/2019 vectores_geometricos_coordenados

1/21


2/21

3.2 Calcule la magnitud de cada uno de los vectores anteriores en términos de ar y br

.

4. En las representaciones siguientes determine:

¿Cuando uno de los vectores corresponde a la suma de los otros dos?•

• ¿Cuando uno de los vectores corresponde a la diferencia de los otros dos?

4.1 ar 4.3 sr

r c b m h r

rr

4.2 4.4r dr ur

r

tr

f n

r l

5. En las expresiones siguientes, determine el vector resultante:

5.1 → → → → →

+−−+ MD FK HF HM CK

5.2

→ → → → →

−+−− CK DA KF FDCD 6. Indique para cada una de las afirmaciones siguientes, si es verdadera o falsa,

justificando su determinación.6.1 Si ar R y E ∈∈ λ 3 , entonces, arλ y ar pueden ser vectores opuestos.

r r6.2 Si a ll b y ,0,0 >> β λ entonces necesariamente arλ y br

β tienen el mismosentido.

6.3 Si 0≠λ , entonces, necesariamente aa rr >λ r6.4 Si a ll b

ry ba

rrθ λ = , entonces, necesariamente 0==θ λ

r6.5 Si arλ y b β tienen sentidos opuestos, entonces, necesariamente 0>λ y 0


3/21

En el trapecio ABCD, M, N son puntos medios de los lados no paralelos AD y BC respectivamente:Demuestre vectorialmente que:

→

MN = )(2

1 →→+ DC AB

NMD C→

MN = )(2

1 →→+ DC AB

→

MN //→→→

CD MN y AB // BA

Hipótesis

i) ABCD trapecioii) AB // DC iii) M punto medio de AD , N punto medio de BC

Demostración

1. Suma generalizada en E3→→→→

++= CN DC MD MN

2. Suma generalizada en E3→→→→

++= BN AB MA MN

3. Sumando 1 y 2, Ley uniforme de la suma→→→→→→→

+++++= BN AB MACN DC MD MN 2

4. . Conmutatividad y asociatividad en la

suma en E3.

→→→→→→→

+++++= DC AB BN CN MA MD MN )()(2

5. y CN ¿Por qué?→→→

=+ o MA MD→→→

=+ o BN

6. Sustitución 5 en 4.→→→→→

+++= DC ABoo MN 2

7. Propiedad modulativa de la suma en E3.→→→

+= AB DC MN 2

8. )(2

1 →→→+= AB DC MN . Propiedad, producto de un real por un vector libre.

9. )(

2

1 →→→+= DC AB MN Definición igualdad de vectores libres en 8.

10. →→→

+= DC AB MN 2

1 Propiedad de un producto de un real por un vector libre

en 9.

11. )(2

1 →→→+= DC AB MN Teorema desigualdad triangular en 10. Por tener y

el mismo sentido.

→

AB→

DC

12. Teorema. Criterio del paralelismo de la hipótesis ii).→→

= AB DC λ

13.

+= →→→

AB AB MN λ

2

1 Sustitución de 12 en 8.


4/21

14.→ → +

= AB MN 2

)1( λ Propiedad del producto de un real por vector libre en 13.

15. // Teorema. Criterio del paralelismo en 14.→

MN →

AB

16. // Transitividad en le paralelismo de la hipótesis ii) y de 15.

→

MN

→

DC Ilustración 36

El cuadrilátero PQRS es un paralelogramo, A es el punto medio de PS ,2

1=

TQ

AT

Demuestre vectorialmente que→

= RT →→

+ )(3

2 RQ RS

Q

RS

T

A

P

Demostración

1.

+=

→ → →

RA RQ RT 23

1 Teorema de la proporción, de la hipótesis

2. Suma en → → →

+= SA RS RA 3 E

3. → →

= SP SA2

1 Criterio del paralelismo, de la hipótesis.

4. → → →

+= SP RS RA2

1 Sustitución de 3. en 2.

5.

Teorema Propiedad del paralelogramo, de la hipótesis. → →

= RQSP

6. → → →

+= RQ RS RA2


7.

++=

→ → → →

RQ RS RQ RT 2

12

3


8.

+=

→ → →

RQ RS RT 3

2 ¿Por qué?

Ilustración 37


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6/21

( )

04

3

7

5=−

+θ

β λ

λ

11. 5

21=

β

λ Despejando en 10.

12. 1310=θ Despejando en 10.

13. En consecuencia:5

21

23

3 = P P

BP y

13

10

1

3 =CP

CP esto es,

3

10

13

3 = P P

CP

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Demuestre vectorialmente el teorema de la paralela media.

2. Demuestre vectorialmente que los puntos medios de un cuadrilátero son los vértices

de un paralelogramo.

3. Demuestre vectorialmente que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su

punto medio.

4. Demuestre vectorialmente que las medianas en cualquier triángulo se cortan en un

punto ubicado sobre cada mediana a 2/3 del vértice y a1/3 del lado sobre el cual la

mediana incide.

5. Demuestre vectorialmente que en un paralelogramo los segmentos que unen un

vértice con los puntos medios de los lados opuestos, dividen la diagonal en tres

segmentos de igual medida.

6. En un cuadrilátero ABCD sean: E, F, G, H los puntos medios de los lados

DA yCD BC AB ,, . Demuestre vectorialmente que: → → → → →

=+++ O DE CH BG AF

7. En el trapecio ABCD, M, N son los puntos medios de las diagonales. Demuestre

vectorialmente:

7.1 )(2

1 → → → −= AB DC MN

7.2 )(2

1 → → → −= AB DC MN

7.3 → → → →

DC MN AB MN ||,||


7/21

8. En la figura se tiene: O Punto de referencia, P Punto medio de AD ,→

→

DB

CD

=2/1C

Demuestre vectorialmente que OP =→ →→→

++ OC OBOA6

1

3

1

2

1

O

P

A

D

B

9. En la pirámide triangular de base en el ∆ ABC y vértice Q, M, N y L son puntos

medios de AB , BC y AC

→

+QB

respectivamente. Demuestre vectorialmente que

→→→→→

+=++ QC QAQLQN QM

M N

L

Q

A C

B

10. Sean E3, // , y tales que∈→→

t s ,→

s→

t →→→

≠ ot s , st st s rrrrr

7

335 θ θ λ

−+=+−

Determine vectorialmente los valores de λ y θ.

10.9 Vectores Coordenados

Ilustración 38

Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el

punto A(-2, 1, 3) y es paralela al vector →

DT , siendo D(4, 0, -1) y T(2, -3, 1).


8/21

Solución

Designemos esta recta por

→ DT A L ,

Sea P(x, y, z) tal que P∈ ; esto es P representa un punto genérico de la

recta.

→ DT A L ,

Determinemos los vectores de posición Py

rr A respectivamente.

→

DT A L ,

DA

AT

P

zP

yO

x

Tenemos ahora que:

1. P = A + AP2. AP = λDT Con λ ∈ a R. ¿Porqué?3. P = A + λDT Sustitución de 2 en 1.4. DT = T – D ¿Porqué?5. P = A + λ(T - D), λ∈R } Ecuación vectorial de esta recta.6. L(A, DT) ={P (x, y, z) / P = A + λ(T - D), λ∈R }

Como DT = T – D (2,-3,1)-(4, 0, -1); esto es DT (-2,-3,2)

Por la correspondencia entre vectores de posición y vectores coordenados tenemos de 5:

7. P (x, y, z) = (-2,1,3) + λ(-2,-3,2)(x, y, z)= (-2 -2λ, 1-3λ, 3+2λ) y de la igualdad de n-tuplas se obtiene:

x = -2 -2λ y = 1 - 3λ λ ∈ R. Ecuaciones paramétricas de esta recta.

z = 3 + 2λ


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8. Despejando el parámetro en cada una de las ecuaciones anteriores y por la

transitividad en la igualdad tenemos:

2

3

3

1

2

2 −=

−

−=

−

+ z y x Ecuaciones simétricas de esta recta.

Ilustración 39

Determine para la recta de la ilustración anterior:

Sus interceptos con los planos z y ↔↔↔ yz,x, • Su intersección con el plano de ecuación cartesiana 2x-y+3z=5•

Solución:

La ecuación cartesiana del plano y↔ corresponde a: 0x +0y+z=0; y sustituyendo lascoordenadas respectivas, de las ecuaciones paramétricas en esta ecuación tenemos: 3 +2λ=0 y λ= -3/2, evaluando para este valor, las ecuaciones paramétricas, se obtiene:

X=-2+2 (3/2) =1Y= 1 + 3(3/2)= 11/2Z=0

En consecuencia (1, 11/2, 0) corresponde al punto de intersección de la recta con el plano y↔ .

Determine el intercepto con los otros dos planos.Veamos ahora el intercepto con el plano de ecuación 2x-y+3z=52(-2 -2λ)-(1-3λ)+3(3+2λ)=5-4 - 4λ-1+3λ+9+6λ=54+5λ=5, λ= 1/5; evaluando las ecuaciones paramétricas con este valor, obtenemos el

punto (-8/5, 8/5, 17/5), correspondiente a la intersección.

Ilustración 40

Dadas las rectas L1 y L2 en el espacio y de ecuaciones:

x = -2 +3λ L1: y = 5 - λ λ ∈ R.

z = 2λ x = 3 - β

L2: y = 5 +2β β ∈ R. z = β

Determine el conjunto L1∩L2 e interprete geométricamente sus posiciones relativas:


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Veamos inicialmente si L1//L2, por ser muy sencillo el criterio que lo determina.•

•

•

Sea u (3,-1,2) con // L1 ¿Porqué?→

1 ↔ →

1u

Sea u (-1,2,1) con //L2→

2 ↔ →

2u

L1//L2 si y solo si // u ¿Porqué?→

1u→

2

Pero u si y solo si u . Teorema. Criterio del paralelismo.→→

21// u→→

= 21 uθ

Asumamos, a prueba de hipótesis u . Esto es (3,-1,2) = θ(-1,2,1); si esto se dieratendríamos que:

→→

= 21 uθ

→

1→

2u 1 L 2 L

Generando un sistema inconsistente; lo que nos permite concluir que u ╫

y en consecuencia ╫

3= -θ -1= 2θ

2 = θ

Procedemos ahora a determinar 1 L 2 L∩ .

1) β λ −=+− 332 1) 3 5=+ β λ 2) β λ 255 +=− 2) 02 =−− β λ 3) β λ =2 3) 2 0=− β λ

Aplicando el método de reducción de Gauss - Jordan se tiene:

−

−−

12

21

13

0 5 5

0

5

→ 12 E

−12

13

21

0

0

→ +− 213 E E

−

−

50

50

21

0

0

→ +− 32 E E

−

00

50

21

− 5

5

0

Lo que nos permite afirmar que el sistema es inconsistente y en consecuencia ∩

= .

1 L

2 L Φ

-E1 -2E1+ E3

Este ultimo resultado y la conclusión previa de que ╫ , nos permite concluir,según la teoría, que las rectas y se “cruzan en el espacio”.

1 L 2 L

1 L 2 L

Ilustración 41

Dados los planos π1, π2 y π3 de ecuaciones cartesianas en su orden:

π1 : x – y +2z = 1π2 : x + 3y – z = 2

π3 : 2x + 6y – 2z = 3


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Determine e interprete geométricamente1. π1 ∩ π2 2. π2 ∩ π3 3. π1 ∩ π2 ∩ π3

Veamos para el primer conjunto.

Por el método de reducción de Gauss Jordan

−

−

131

211

2

1 → +− 21 E E

−

−

340

211

1

1 → 24/1 E

−

−

4/310

211

4/1

1

→ + 12 E E

− 4/310

4/501

4/1

4/5

Sistema equivalente reducido.1. x +5/4z = 5/42. y -3/4z = 1/4

x = 5/4 - 5/4λ 1. y = 1/4+ 3/4λ λ ∈ R Solución del sistema2. z = λ

Esto significa que π1 ∩ π2 = L( A, ), donde A(5/4, 1/4, 0) y (-5/4, 3/4, 1)→

t →

t

Ilustración 42

Dados S (-4,-2,6) y (2,1,2)→

n ↔Determine:

1. La ecuación vectorial del plano que pasa por S y es perpendicular al vector ;

que designamos por π( , S).

→

n→

n

2. La ecuación cartesiana de este plano.3. La distancia de un punto Q(3,4,-2) a este plano.4. Las coordenadas correspondientes a la proyección ortogonal de Q sobre el

mismo plano.5. Las coordenadas del punto simétrico de Q respecto al plano inicial.

6. El ángulo entre el plano π( , S) y el plano de ecuación 5x -2y + z = -3→

n

Solución:

1. Sea P(x, y, z) ∈ π( , S).→

n

Entonces ⊥ y por lo tanto→

SP →

n


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S

→

SP . = o→

n Ecuación vectorial.

2. = ( x+4, y+2, z-6)→

SP →→

− S P ↔

. = 2 (x + y) + (y + 2) + 2(z – 6) = 0→

SP →

n

2x + y +2z = 2 Ecuación cartesiana.2x + +2z = 2

3. Sea A ∈ π( , S); en particular→

n

A (0, 0, 1) está en el plano

d(Q, π( , S)) = HQ→

n

•=

==

→

→ →

→

→ → →

2

n

n AQ

n

AQ pr AT HQ

Por tanto→

→

→→→

= n

n

n AQ HQ

2

. =

→

→→

n

n AQ..

= 33.19

4=

Calculemos las coordenadas del punto H

Podemos afirmar que { H } = π( , S) ∩ L (Q, ). ¿Por qué?→

n→

n

• Si P (x, y, z) ∈ L (Q, ), entonces P = Q + λ y sus ecuaciones paramétricasson:

→

n→

n


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1. x = 3 + 2λ 2. y = 4 + λ R∈λ 3. z = -2 +2λ

( ) ( ) ( )22224232 =+−++++ λ λ λ 9/4−=∴λ

y

−=

9

22,

9

32,

9

19 H

Designemos Q´ por el punto simétrico de Q respecto al plano π( , S), se cumple enconsecuencia que:

→

n

Q´ = Q + QQ´ ¿Porqué?Q´ = Q + 2QH ¿Porqué?QH = H – Q ↔ )9/4,9/4,9/8( −−

Q´ (3, 4, -2) + (-16/9, -8/9, 8/9)Q´ = (11/9, 28/9, -10/9)

→

n

H

O

A

Q

Q´

´

Determinemos perpendicular al plano de ecuación 5x – 2y + z = -3, en particular

; y por lo tanto el ángulo entre los planos corresponde a:

→

t

( 2,− )1,5↔→

t

=→→

→→

−

t n

t n .cos 1α ¿Por qué?


14/21

º51,52309

10cos 1 =

×= −α

Ilustración 43

Demuestre la desigualdad de Cauchy – Schwarz.

Si , entonces,3, E ba ∈→→

..→→→→

≤ baba

Demostración

1. α cos.→→→→

= baba Definición de producto escalar.

2. α cos.→→→→

= baba Tomado de valor absoluto en 1

3. α cos.→→→→

= baba Propiedad de valor absoluto y magnitud de un

vector libre.

4. − 1cos1 ≤≤ α Rango de la función coseno

5. 1cos ≤α Propiedad del valor absoluto de 4

6.→→→→

≤ baba α cos ¿Por qué?

7.→→→→

≤ baba . ¿Por qué?

Ilustración 44

Sea ∆ABC con ángulo recto en AH C A B ;ˆ altura. Demuestre vectorialmente que:

1. HBCB AB→→

=→ 2

2.CH CB AC

→→=

→ 2

3.→→

=→

CH BH AH

2

A

B C

H


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Solución

1. AB AB AB

→→=

→.

2 Definición de producto escalar.

→→→2. CACB B −= Diferencia de E

3

3. A B B→

−→

=→

Diferencia de E3

4. De 2 y 3

→−

→→−

→=

→→ HA HBCACB AB AB ..

5. Propiedad distributiva del producto

escalar respecto a la suma

→→→→→→→→→→

+−−= HACA HBCA HACB HBCB AB AB .....

6. CB ¿Por qué?0. =→→

HA

7. Sustitución de 6 en 5

→→→→→→→→

+−= HACA HBCA HBCB AB AB ....

8. Distributividad del producto escalar

respecto a la suma.

+−+=

→→→→→→→

HA HBCA HBCB AB AB ...

9.→→→

=− BA HB HA ¿Porque?

10. Sustitución de 9 en 8→→→→→→

+= BACA HBCB AB AB ...

11.CA ¿Por qué?0. =

→→

BA

12. º0. Cos HBCB AB AB→→→→

= Sustitución de 11 en 10. y

definiciones de producto escalar.

13.→→→

= HBCB AB2

¿Por qué?

Ilustración 45


16/21


17/21

1. Definición

producto mixto.

2. .Distributividad del producto vectorial respecto a la suma.

3.

. Sustitución 3 en 2

5. . Distributividad

del producto escalar respecto a la suma.

6. ición del producto vectorial.

y

8. Sustitución de 7 en 5.

ustración 48

de la ilustración 40, determine la distancia entre ellas (transversalínima).

×

−•

+=

−+ → → → → → → → → →

bbababbaba ,, .

−+ aba ,

→

×−×•

+=

→ → → → → → → → → → →

bbbababb ,

- =× Obb ¿Por qué? → → →

4. = bb ,

×•

+

−+

→ → → → → → → → →

babaaba ,

→ →

×•+

×•=

−+

→ → → → → → → → →

babbaabbaba ,,

⊥× aba y ⊥× bba . Defin → → → → → →

7. 0=× b ¿Por qué?0=

×•

→ → →

baa

•

→ → →

ab

→0,, =

−+

→ → → →

bbaba

Il

Para las rectasm Solución.

1. Designemos por A y→t un punto particular y un vector paralelo a la primera

recta obteniendose A(-2, 5, 0) y→t ↔ (-1,2,1).

Designemos por B y s elemen álogos en2. tos an la segunda recta, obteniéndose

3.

→

,2,1B(3, 5, 0) y ( )1−↔ s →

,

→ →

→ → →

→ →

×

=

st

st AB

s B Lt A Ld

,,

,,, ¿Por qué?

(Justifique la fórmula y su aplicación en esta situación)

4. ( )0,0,5↔−= A B AB → → →


18/21

25)5(5

121

213

005

,, −=−=

−

−=

→ → → st AB

5. → → →

→ → →

→ →

+−−=

−

−=× k jik ji

st )5()5()5(

121

213

)5,5,5( −−↔× → →

st ; 75=× → →

st

6. 88.275

25)),(),,(( =

−=

→ →

s B Lt A Ld unidades de longitud

Ilustración 49

En el ∆ABC, P y Q son puntos medios de AB y BC respectivamente, G es el baricentro.Demuestre vectorialmente que:Área (∆PQG)= 1/12 Área (∆ABC)

C

Q

G

A BP

Solución

1. Área (∆PQG) = → →

× PG PQ2

1 ¿Por qué?

2. → →

= AC PQ2

1 Teorema de la paralela media.

3. → → →

−== CP PC PG3

1

3

1 ¿Por qué?

4.

+=

→ → →

CBCACP 2

1 Teorema de la proporción, de la hipótesis.


19/21

5. Área (∆PQG) =

+−×

→ → →

CBCA AC 6

1

2

1

2

1 Sustitución 2, 3 y 4 en 1

6. Área (∆PQG) =

+−×

→ → →

CBCA AC 24

1 Propiedad del producto vectorial y

magnitud de un vector.

7. Área (∆PQG) =

−×+

−×

→ → → →

CB AC AC AC 24

1 Distributividad del producto

vectorial, respecto a la suma.

8. ¿Por qué? → → →

=−× O AC AC

9. ¿Por qué? → → → →

×=−× CBCACB AC

10. Área (∆PQG) = → →

× CBCA

24

1 Sustitución 8 y 9 en 7

11. Área (∆PQG) =12

1 Área (∆ABC) ¿Por qué?

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Sean ( ) ( ) ( ) ( 1,2,1,1,0,0,,21,21,1,1,1,0 −↔−↔−↔−↔ → → → →

d cba )

Determine las coordenadas de los vectores: → → → → +−= cba s 32 y → → → → →

+−−= d cbat 22

Determine los cosenos y los ángulos directores de →

s

Determine el ángulo entre y . →

s→

t

Determine un vector de magnitud igual a 2/5 en la dirección y en el sentido de→

t

2. Identifique cada una de los siguientes conjuntos de puntos en R 2

2.1 { }( ) R y x y x ∈+−−= θ θ θ ),7,4()0,3)(1(),/(,

2.2

∈+−=

→→→

R P P P y x P β β β ,)1(/),( 21

2.3

∈= R x y y x ,5

3/),(

2.4 [ ){ }+∞∈+−= ,0),5,2()1,3(),/(),( θ θ y x y x 2.5 [ ]1,0),5,2()1,3(),/(),({ }∈+−= θ θ y x y x


20/21

3. Sean P1 (x1,y1,z1) , P2 (x2,y2,z2). Determine vectorialmente las coordenadas del

punto medio del segmento 21 P P .

4. Determine las ecuaciones: vectorial, paramétricas y cartesianas de cada uno delos siguientes planos.

4.1π ( siendo A ( 0,-2,1), C ( -4,1,-1), K (5,0,2).),,, K C A

4.2 π ( , siendo D ( -1,1,2), u ),,→→

t u D )5,1,2(),1,0,3( −↔−↔ →→

t

4.3 el plano que pasa por T(-1,0,2) y contiene a la recta

L: 1. x = 3-λ 2. y =2λ R∈λ 3. z = 1-5λ

5. Sean: 0: 11111 =+++ d z c yb xaπ π 0: 22222 =+++ d z c yb xa

Demuestre que π1//π2 si y solo si existe R∈λ tal que λ ===1

2

1

2

1

2

c

c

b

b

a

a

6. Demuestre vectorialmente la ley del coseno.

7. Demuestre vectorialmente que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia esrecto.

8. Demuestre vectorialmente la desigualdad triangular.Para

→→→→→→→

+≤+∈ baba E cba ,,, 3

9. Sea A un vértice de un cubo. Desde A se trazan una diagonal del cubo y unadiagonal de una de las caras. Calcule el ángulo entre estas dos diagonales.

10. Establezca un criterio vectorial para determinar cuando cuatro puntos distintosdel espacio son coplanarios. Utilice dicho criterio para determinar si A ( 1,2,1),B (-3,1,2), C (-4,-1,1) y D (-3,-2,0) son coplanarios.

11. Una pirámide cuyo vértice es P; tiene como base el cuadrilátero ABCD.Calcule el volumen de esta pirámide si se tiene:P ( 0,0,8); A ( 3,0,-1); B ( 2,9,3); C ( -2,0,4); D ( -4,-6,4) .

12. Demuestre la identidad de Jacobi:→→→→→→→→→→

=××+××+×× Obacacbcba )()()(sug: Utilice la relación de Gibas

13. Resuelva para→

X el siguiente sistema.

1.→→→ =× cb X


21/21

2. =•→→

a X α sugerencia: Utilice la relación Gibbs

14. Dado el tetraedro ABCP.

Sean vectores normales a cada cara y de magnitud igual al área de la

cara respectiva.

43,2,,1 ,→→→→

nnnn

Demuestre que = O 432,1→→→→

+++ nnnn→

→

2

→

n

C

A

3

→

n

B

P

1

→

n

4n 15. Demuestre la identidad de Lagrange.

Para 3,,, E d cba ∈→→→→

→→→→

→→→→→→→→

••

••=×•×d bcb

d acad cba )()( Sugerencia: Utilice las propiedades del

Producto mixto.

16. Sean linealmente independientes y→→→cba ,,

→→→→++= cbad γ β λ

Demuestre que),,(

),,(, →→→

→→→

=cba

cbd λ ; = β

),,(

),,(, →→→

→→→

cba

cd a;

),,(

),,(, →→→

→→→

=cba

d baγ

17. Utilice el resultado anterior para resolver el siguiente sistema:( Regla de Cramer ) .

1. 532 =−+ γ β λ 2. − 222 =−+ γ β λ

3. 34 =−+− γ β λ

vectores_geometricos_coordenados

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