Vectores en r3 Abril 2013

7/28/2019 Vectores en r3 Abril 2013

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU

FACULTAD DE INGENIERA DETELECOMUNICACIONES Y TELEMATICA

VECTORES EN R3Lic. Eduardo M. Bolvar Joo

email:[email protected]


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TEMA : VECTORES EN R2 y R3

MTEMATICA BASICA II

UNIDAD 2


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Habilidades:

1. Define un vector geomtricamente.

2. Reconoce un vector en el plano y el espacio.

3. Realiza operaciones con vectores.4. Descompone un vector en trminos de sus

componentes rectangulares.


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Definamos el vector como un

segmento de recta dirigido.

Sean P y Q dos puntos del

espacio. El segmento de recta

dirigido PQ, es el segmento de

recta que va del punto inicial Pal punto final Q.

Definicin 1: (Definicin geomtrica de un vecto

VECTORES


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A

B

R = A+B

B

R = A+B

A

Mtodo del tringulo

OPERACIONES CON VECTORES

Adicin de vectores

x

z

y

Mtodo del

paralelogramo.


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Definicin 2: (Definicin algebraica de unvector)

Un vector v en el plano XY es un par

ordenado de nmeros reales (a,b), donde a yb se llaman componentes del vector.(a,b) v= (a,b) se llama vector

de posicin, cuyo puntoinicial es el origen (0,0)

y

x

VECTORES EN EL PLANO (R2)


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Direccin del vector (a,b): ngulomedido en radianes, que forma el vector

con el semieje positivo de las X (abscisas).

22bav

0a,a

btan

Magnitud de un vector: Se denota por v

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v= (a,b)con:


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VECTOR EN R3

2

3

2

2

2

1aaaa

p(a1,a2,a3)z

x

y

a

a1

a2a3

mdulo de a :

vector a = (a1,a2,a3) de


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Z

X

Y

Sistema de Coordenadas Tridimensionales.

Ejes Perpendiculares

Origen

Z

Y


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Z

X

Y

X0

Y

0

Z

0

(X0 Y0

Z0)

Ubicacin de un punto en el espacio.


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Fuente: Larson Vol 2

(1,6,0)

(3,3,-2)

(-2,5,4)

(2,-5,4)



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(1,6,0)

(3,3,-2)

(-2,5,4)

(2,-5,4)



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(1,6,0)

(3,3,-2)

(-2,5,4)

(2,-5,4)



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(1,6,0)

(3,3,-2)

(-2,5,4)

(2,-5,4)



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(1,6,0)

(3,3,-2)

(-2,5,4)

(2,-5,4)



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Vector Tridimensional Operaciones bsicas

a

b

ba

a

at

),,( 321 tatataat

),,( 332211 babababa

Producto de un escalar con un vector

Suma de dos vectores

Dos vectores son iguales si tienen el mismo mdulo, direccin y

sentido 332211 ,, babababa


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)1,0,0()0,1,0()0,0,1( kyj,i

Vectores unitarios:

Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.

Nota: En R3 existen tres vectores que nospermiten representar cualquier otro vector

como una combinacin lineal de ellos. Se lesllaman vectores cannicos y se representanpor

a

aaa

a

a

ua

),,( 321

1u


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VECTORES UNITARIOS i, j, k

x

z

y

i

j

k

Los vectores i, j y k son unitarios y estndirigidos en la direccin de los ejes x, y y zrespectivamente.


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Paralelismo de vectoresDos vectores son paralelos entre s si todas sus

componentes son proporcionales. Ejemplo:

Definicin

),,( 321 aaau

),,( 321 bbbv

Dado:

vu

// kb

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1

vku


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PRODUCTO ESCALAR

cosvuvu

u

v

Donde: 1800 rad0 o


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1. El producto escalar de dos vectores es

un nmero real.

OBSERVACIONES:

2.Si los vectores son perpendicularesel producto escalar es cero y viceversa.

3. a . a = a 2


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Producto escalar en trminos decomponentes.

Se define:

En R2, sean:

)b;a(v)b;a(u 2211 ;

2121 bbaavu

Se define:

En R3, sean:)c;b;a(v;)c;b;a(u 222111

212121 ccbbaavu


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Sean y dos vectores cualesquiera que formanun ngulo . El producto vectorial se

define como un vector que tiene:

u

v

vu

Magnitud:

Direccin: Perpendicular al plano que forman

senvu

vyu

PRODUCTO VECTORIAL

NOTA:Este producto slo se da para vectores en R3


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Regla de la mano derecha

u

v

vu

uv


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PRODUCTO VECTORIAL EN TRMINOS DELAS COMPONENTES.

)baba,caca,cbcb(vu 122121121221

)c;b;a(vy)c;b;a(uSean 222111

Se define al Producto Vectorial

como:

vu


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OJO

Existe un recurso nemotcnico para recordar

la frmula del producto vectorial, el cual

emplea la notacin de determinante:

kji22

11

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

cb

cbvu

222

111

cba

cba

kji Es decir puededesarrollarse

como un

determinante

Observe que la primera fila contiene vectores y no

nmeros reales


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Ejemplo

Sea a = 4i 2j + 5k, b = 3i +jk, hallara b.Solucin

kji

kji

ba

13

24

13

54

11

52

113

524


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VECTOR ORTOGONAL

(i) a b > 0 si y slo si es agudo(ii) a b < 0 si y slo si es obtuso(iii) a b = 0 si y slo si cos = 0, = /2

Observacin: Como 0 b = 0, decimos queel vector nulo es ortogonal a todos losvectores.

Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si y slo sia b = 0.

Criterio de Vectores Ortogonales


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Ejemploi,j, k son vectores ortogonales.i j =j i = 0,j k = k j = 0, k i = i k = 0

EjemploSi a = 3i j + 4k, b = 2i + 14j + 5k,

entoncesa b = 6 14 + 20 = 0

Son ortogonales.


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ngulo que Forman Dos

Vectores

||||||||cos 332211

ba

bababa


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Ejemplo

Hallar el ngulo entrea = 2i + 3j + k, b= i + 5j + k.Solucin

14,27||||,14|||| baba

9

42

2714

14cos

44.9

77.09

42

cos1


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Cosenos Directores

Observando la figura , los ngulos , , se llamanngulos directores. Ahora por la ecuacion anterior

decimos que cos , cos , cos son cosenosdirectores, y

cos2+ cos2+ cos2 = 1

||k||||a||

ka

||j||||a||

ja

||i||||a||

ia cos,cos,cos

||a||||a||||a||

321 cos,cos,cos aaa

kjik||a||

j||a||

i||a||

a||a||

)(cos)(cos)(cos1 321 aaa


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Ejemplo

Hallar los cosenos directores y los ngulosdirectores de a = 2i + 5j + 4k.

Solucin

5345452||||222

a

53

4cos,

53

5cos,

53

2cos


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Areas

rea de un paralelogramoA = || a b||

rea de un tringuloA = ||a b||


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Fig 7.50


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EjemploHallar el area del tringulo definido por lospuntos (1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0,1).Solucin


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Usando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemosdos vectores a = , b =


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Usando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemosdos vectores a = , b =

kji

kji

kji

58

31

21

51

31

53

32

531

3213221

PPPP

102

3||58||

2

1 kjiA


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Ejemplo


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