VECTORES EN R2

ÁLGEBRA MATRICIALPROF. MARIELA SARMIENTO

SESIÓN 1: VECTORES EN EL PLANO

Enfoque Geométrico:

Definición: Un vector es un segmento de recta orientado que va desde un punto Phasta un punto Q.

Notación: Denotamos al vector con punto inicial P y punto final Q, por PQ

Elementos de un Vector

Los vectores tienen longitud (medida

del segmento PQ ), dirección (la

misma que tiene la recta que loscontiene) y sentido (según lo indicala flecha).

Definición: Dos vectores representados por PQ y RS son iguales si tienen lamisma longitud, dirección y sentido.

PQ RS .

Observación: De acuerdo a la definición anterior, para cada vector en el planopodemos dibujar un vector igual a él con punto inicial en el origen de algúnsistema de coordenadas cartesianas, esto me determina un punto (x , y) del planoque es el correspondiente punto final del vector. Así, todo vector en el plano sepuede definir analíticamente en términos de números reales.

Enfoque Analítico:

Definición: Un vector en el plano es un par ordenado de números reales (x , y).Los números x y y son las componentes del vector.

Observación: Existe una correspondencia uno a uno entre los vectores del planoy los puntos del plano

Ejemplo:

Sea A = (a1 , a2) entonces el vector Ase puede representar por el segmento

OA

Definición: La representación de un vector que tenga su punto inicial en el origense denomina representación posicional del vector.

Ejemplo:

El vector (2 , 3) tiene comorepresentación posicional el vector

OA .

La representación de (2 , 3) conpunto inicial (h , k) tiene como puntofinal a (h+2 , k+3)

Definición: El vector (0 , 0) se denomina vector nulo y se denota por O = (0 , 0)

Observación: Cualquier punto es una representación del vector nulo.

Definición: La magnitud (o norma) de un vector A es la longitud de cualquiera de

sus representaciones y se denota por A .

Teorema : Si A = (a1 , a2) entonces

A a12 a 22 .

La demostración de este teorema sebasa en el Teorema de Pitágoras.

Ejemplo:

El vector A = (4 , 3) tienemagnitud

A 4 2 32 25 5

El vector A es larepresentación posicional,por ejemplo, del vector conpunto inicial P = (-1 , 2) ypunto final

Q = (-1+4 , 2+3) = (3 , 5)

Hallemos la magnitud de

PQ , para ello usamos lafórmula de distancia entredos puntos. Esto es

PQ (3− (−1)) 2 (5− 2) 2

4 2 32 25 5

tg 2

⇒ arctg⎜⎜ 2⎟⎟

Definición: El ángulo director de cualquier vector distinto del vector nulo es elángulo medido desde el lado positivo del eje x en sentido contrario a las agujasdel reloj.

Si A = (a1 , a2) entoncesa

a1

, a1≠ 0

⎛ a⎞

⎝ a1⎠

Si a1 0 y a 2 0⇒

Si a1 0 y a 2 0⇒

232

Observación: Dada la magnitud y elángulo director de un vectorA = (a1, a2), podemos hallar suscomponentes, de la siguiente manera:

Cos

Sen

a1

A

a2

A

⇒ a1 A Cos

⇒ a2 A Sen

Ejemplo: Halle el ángulo director del vector (1 , -2)

tg −2− 2 1

arctg (−2)≈−63,43

Estamos midiendo el ángulo ensentido de las agujas del reloj,por ello es negativo (). Paramedir a, como indica lafigura, hacemos:

360o− 63, 43o 296 , 56 o

OPERACIONES CON VECTORES

1. SUMA

Analíticamente

La suma de dosvectores A =(a1 , a2)y B =(b1 , b2) es elvector

A+B=(a1+b1 , a2+b2)

Geométricamente

Usamos el Método del Paralelogramo

Por el extremo de A trazamos una paralela a B y viceversa.Como observas en la figura, las paralelas y los vectores hanformado un paralelogramo, cuya diagonal es el vector sumaA+B.

Como has podidoobservar, hemossumado lascorrespondientescomponentes de losvectores A y B.

Definición: Si A = ( a1 , a2) entonces el vector (–a1 , –a2) se denomina el negativo(u opuesto) de A y se denota por –A.

Si el vector Ase representapor

PQ⇒ QP

representa alvector –A

2. RESTA

Definición: La diferencia o resta de dos vectores A y B se denota por A – B y sedefine por el vector que se obtiene al sumar a A el negativo de B, esto es,A – B = A + (-B)

Si A = (a1 , a2) y B = (b1 , b2) entonces

A – B = (a1 – b1 , a2 – b2)

Observación: Para obtener A-B enforma geométrica, basta con unir elextremo de A con el extremo de B (verla figura).

3. MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

Definición: S es un escalar y A = (a1 , a2) es un vector entonces el producto de por A es el vectorA = (a1 , a2) = (a1 ,a2)

Ejemplo:

O =(0 , 0) = (0 ,0) = (0 , 0) = O0A = 0 (a1 , a2) = (0a1 , 0a2) = (0 , 0) = OEn la siguiente figura podemos observar dos vectores que se han obtenidoluego de multiplicar al vector A por los escalares -2 y 3:

el eje positivo x hasta el vector A, en sentido positivo): arctg⎜⎜ 2⎟⎟ , a1≠ 0

RESUMENEJERCICIOS

RESUELTOSEJERCICIOS

PROPUESTOSPAGINAS

SIMILARESAUTOEVALUACIÓN

RESUMEN

Un vector es un segmento de recta orientado que va desde un punto inicial Phasta un punto final Q.

Al trasladar el vector al origen, obtenemos su representación posicional, que noes más que el vector con punto inicial en el origen del plano y punto final en

A(a1,a2) tal que PQ y OA , o simplemente A, tienen la misma longitud (magnitud),dirección y sentido.

La magnitud del vector A viene dada por: A a12 a 22

La dirección del vector A viene dada por el ángulo director (ángulo medido desde

⎛ a⎞

⎝ a1⎠Los vectores pueden sumarse, restarse o multiplicarse por un escalar, así:

Suma : A + B = (a1 , a2) + (b1 , b2) = (a1+b1 , a2+b2)

Resta: A – B = (a1 – b1 , a2 – b2)

Multiplicación por un escalar:A = (a1 , a2) = (a1 ,a2)

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Halle el vector de posición correspondiente

a. P(1,4) , Q(5,3) b. P(7,-3), Q(-2,4)

Respuesta:

Supongamos que el vector posición tiene componentes A = (a, b) y que

⇒⎨

P = (h, k), entonces Q = (h+a, k+b).

Sustituyendo las componentes de P y Q, tenemos:

P (h, k) (1, 4)⇒ h 1 y k 4

Q (1 a , 4 b)⇒ 1 a 5 y 4 b 3

⇒ a 4 y b -1

a. b.

2. Para los vectores A = (3 , 7), B = (-2 , -1) y C = (-4 , 2); calcule lasexpresiones vectoriales siguientes:

a. A + B

c. 5A–2B+6C

b. 2A–B

d. A– [(B–A)+C]

3. Con los vectores anteriores, halle escalares y de modo que sesatisfaga:

a. B –A = C b.(A–B) = 3C

(-2 , -1) –(3 , 7) = (-4 , 2)

(-2 , -) – (3 , 7) = (-4 , 2);

(-2 – 3, - – 7) = (-4 , 2);

⇒ -2 – 3 = -4 (1)

(3+2, 7+1) = 3 (-4 , 2)

(5, 8) = (-12 , 6)

⎧5−12

⎩8 6

- – 7 = 2 (2)

Multiplicando (2) por -2 y sumándola aDe (1)

− 12

5 Sustituyo en (2):

(1), tenemos:

11 = -8

⎟− 6 0−⎛ 12⎞

− 2− 3⎜ −⎟ 4⇒

⇒ − 8 11

8⎜⎝ 5⎠

Sustituimos en (1):

−⎛ 8⎞

⎝ 11⎠

34

11

− 126

5

⇒ 0

4. Halle un vector que tenga punto inicial en A = (2 , -1) y la misma direccióndel vector B =(7 , 6).

El vector tiene punto inicial P (h, k) = (2, -1), la

dirección de B (b1, b2) y punto final está dado por:

Q = (h+b1, k+b2) = (2+7, -1+6) = (9, 5)

5. Halle un vector con dirección contraria al vector A = (-2 , 4) y con puntofinal Q =(2 , 0).

El vector tiene punto inicial

P (h, k) , la dirección contraria de A,esto es, la dirección de -A

-A = (-a1, -a2) = (2 , -4) y punto finalestá dado por:

Q = (h+(-a1), k+(-a2)) = (2, 0)

⇒ (h+2, k-4) = (2, 0)

⇒ h+2 = 2⇒ h = 0

k-4 = 0⇒ k = 4

Luego P = (0, 4)