Vector

VectorPara otros usos de este término, véase Vector (desambiguación).

Este artículo trata sobre el concepto físico de vector. Para el tratamiento matemático formal, véase Espacio vectorial.

Representación gráfica de un vector como un segmento orientado sobre unarecta.

En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una magnitud física definida por un punto del espacio donde se mide dicha magnitud, además de un módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo).1 2 3

En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano   o en el espacio  .

Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto.

Un vector queda definido por sumódulo, dirección y sentido: desde Ahasta B.

Índice  [ocultar] 

1 Conceptos fundamentales

o 1.1 Definición

o 1.2 Características de un vector

o 1.3 Magnitudes vectoriales

o 1.4 Notación

o 1.5 Clasificación de vectores

o 1.6 Componentes de un vector

o 1.7 Representación gráfica de los vectores

1.7.1 Suma de vectores

1.7.2 Producto por un escalar

2 Operaciones con vectores

o 2.1 Suma de vectores

2.1.1 Suma de vectores sobre un mismo punto

2.1.2 Método del paralelogramo

2.1.3 Método del triángulo o método poligonal

2.1.4 Método analítico para la suma y diferencia de vectores

o 2.2 Producto de un vector por un escalar

o 2.3 Producto escalar

o 2.4 Producto vectorial

o 2.5 Derivada ordinaria de un vector

o 2.6 Derivada covariante de un vector

o 2.7 Ángulo entre dos vectores

o 2.8 Descomposiciones de un vector

3 Cambio de base vectorial

4 Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales

5 Véase también

6 Referencias

7 Bibliografía

8 Enlaces externos

Conceptos fundamentales[editar]

Esta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes físicas, los componentes de un vector, la notación de los mismos, etc.

Definición[editar]

Componentes de un vector.

Se llama vector de dimensión   a una tupla de   números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión   se representa como   (formado mediante el producto cartesiano).

Así, un vector   perteneciente a un espacio   se representa como:

(left) , donde 

Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional   ó bidimensional  ).

Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:1 2 3

módulo: la longitud del segmento

dirección: la orientación de la recta

sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta

En inglés, la palabra "direction" indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo dos características: módulo y dirección.4

Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo  , que indican su origen y extremo respectivamente.

Características de un vector[editar]

Coordenadas cartesianas.

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se representa:

siendo sus coordenadas:

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

Coordenadas tridimensionales.

Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:

siendo sus coordenadas:

Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.

El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.

El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el vector.

El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:

Nombre

Dirección

Sentido

Módulo

Punto de aplicación

Magnitudes vectoriales[editar]

Representación gráfica de una magnitud vectorial, con

indicación de su punto de aplicación y de los versores

cartesianos.

Representación de los vectores.

Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, etc; que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, lavelocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras llamadasescalares.

Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede ser representada mediante la suma de sus componentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas.5 6

Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido.1 2 3

Notación[editar]Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos,

las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar).

Ejemplos

 ... representan, respectivamente,

las magnitudes vectoriales de

módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitud

vectorial también se representa encerrando entre

barras la notación correspondiente al

vector:   ...

En los textos manuscritos se escribe: 

... para los vectores y  ...

o  ... para los módulos.

Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, se designan los vectores representados en la Figura 2 en la

forma  , ... resultando muy útil esta notación para los vectores que representan el desplazamiento.

Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo  .

Clasificación de vectores[editar]Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

Vectores libres: no están aplicados en ningún

punto en particular.

Vectores deslizantes: su punto de aplicación

puede deslizar a lo largo de su recta de acción.

Vectores fijos o ligados: están aplicados en un

punto en particular.

Podemos referirnos también a:

Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.

Vectores concurrentes o angulares: son aquellas

cuyas direcciones o líneas de acción pasan por

un mismo punto. También se les suele llamar

angulares por que forman un ángulo entre ellas.

Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y

dirección, pero sentidos contrarios.1 En inglés se

dice que son de igual magnitud pero direcciones

contrarias, ya que la dirección también indica el

sentido.

Vectores colineales: los vectores que comparten

una misma recta de acción.

Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido

actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción

son paralelas.

Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas

de acción son coplanarias (situadas en un mismo

plano).

Componentes de un vector[editar]

Componentes del vector.

Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por  ,  ,  , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices(tales como el cambio de base), del modo siguiente:

Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo espacio vectorial admite una base vectorial, por lo que todo vector es representable como el producto de unas componentes respecto a dicha base. Dado un vector sólo existen un número finito de componentes diferentes de cero.

Representación gráfica de los vectores[editar]Aunque hay quien no recomienda el uso de gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello:

Se llama vector a la representación visual con el

símbolo de flecha( un segmento y un triángulo en

un extremo).

La rectitud visual de una flecha o curvatura de la

misma, no la hace diferente en símbolo si los dos

extremos permanecen en el mismo lugar y

orden.

El que una flecha cierre en sí misma, indica la

ausencia de efectos algebraicos.

Para visualizar la suma de vectores se hará

encadenándolos, es decir, uniendo el extremo

que tiene un triángulo (final) del primer vector

con el extremo que no lo tiene (origen) del

segundo vector manteniendo la dirección y

distancia, propias al espacio, de sus dos

extremos, ya que estas dos cualidades los

distingue visualmente de otros vectores.

Los escalares se representarán con una línea de

trazos a modo, exclusivamente, de distinción ya

que no siempre pertenecen al espacio de

vectores.

Se examinan cada uno de los casos que aparecen en la definición de las operaciones suma de vectores y producto por un escalar:

Suma de vectores[editar]La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se simplifica como un vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.

1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en

negro. Véase que en física los vectores en rojo simulan la descomposición de fuerzas

ejercidas por el vector negro en su origen, y se representa con un paralelogramo.

2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de

vectores puedan ser optativas en cualquier cadena de sumas.

3) Decir que existe un vector cero (elemento neutro) tal que u+0=u, equivale a exigir

que exista un vector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificación alguna a

todos los vectores.

4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento opuesto, -u, que sumado

a u simplifique en un vector cero.

Producto por un escalar[editar]La definición producto por un escalar   produce otro vector; es como modificar el extremo final del vector u, siempre visualmente.

Por un lado la representación del producto en el caso que el cuerpo de los escalares sea   modifica, visualmente, la longitud de la imagen del vector, quedando ambos siempre superpuestos; por otro lado las representaciones en el caso que   además de modificar la longitud, también agrega rotaciones, para facilitarlas visualmente considérense centradas en el origen del vector, siendo estas modificaciones un poco más expresivas, visualmente, pero no más fáciles que en el caso real:

a)Decir que a(bu)=(ab)u, es exigir que los productos encadenados a(b(u)) pueden

simplificarse como uno, c=ab, luego (ab)u queda como cu.

b) Decir que existe el escalar 1 tal que 1u=u, equivale a decir exista un escalar incapaz

de efectuar, mediante producto, modificación alguna a todos los vectores.

c) Decir que a(u+v)=au+av, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma

vectorial.

d) Decir que (a+b)u=au+bu, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma

escalar.

Para el caso real se han de eliminar las rotaciones de los ejemplos anteriores.

Operaciones con vectores[editar]

Suma de vectores[editar]Para sumar dos vectores libres

(vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Suma de vectores sobre un mismo punto[editar]La suma de vectores está bien definida si ambos vectores pertenecen al mismo espacio vectorial, en física para que dos vectores puedan ser sumados deben estar aplicados en el mismo punto. La composición de fuerzas sobre un sólido rígido cuando los puntos de aplicación no coinciden lleva a la noción de momento de fuerza dados dos fuerzas  con puntos de aplicación   se definen la fuerza resultante como el par:[cita requerida]

Donde   es la suma generalizada a vectores aplicados en diferentes puntos. El punto de aplicación   es el punto de intersección de las rectas de acción de las fuerzas. Las componentes del vector de fuerza resultante es de

hecho la suma de componentes ordinarias de vectores:

El momento resultante es el momento de fuerza del conjunto de fuerzas respecto al punto calculado para la fuerza resultante.

Método del paralelogramo[editar]

Método del

paralelogramo.

Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico). El vector resultado de la suma es la diagonal

de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Método del triángulo o método poligonal[editar]

Método del

triángulo.

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, ordenadamente: el origen de cada uno de los vectores coincidirá con el extremo del siguiente. El vector resultante es aquel cuyo origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo del último.

Método analítico para la suma y diferencia de vectores[editar]Dados dos vectores libres,

El resultado de su suma o de su

diferencia se expresa en la forma

y ordenando las componentes,

Con la notación matricial sería

Conocidos los módulos de dos vectores dados,   y  , así como el ángulo   que forman entre sí, el módulo de   es:

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

Producto de un vector por un escalar[editar]

Producto por un

escalar.

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.

Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.

Sean   un escalar y   un vector, el producto de   por   se representa   y se realiza multiplicando cada

una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notación matricial sería

Producto escalar[editar]Artículo principal: Producto escalar

Producto vectorial[editar]Artículo principal: Producto vectorial

Derivada ordinaria de un vector[editar]Dado un vector que es función de una variable independiente

Calculamos la derivada ordinaria del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son

constantes en módulo y dirección.

Con notación matricial sería

Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la

función   representa el vector posición en función del tiempo t.

Derivando tendremos:

Realizando la derivada:

La derivada del vector posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. El sentido es hacia los valores crecientes de los valores escalares.4 Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.

Derivada covariante de un vector[editar]Artículo principal: Derivada covariante

Cuando en lugar de emplear una "base fija" en todo el dominio de un vector se usan "bases móviles" como cuando se

emplean coordenadas curvilíneas la variación total de un vector dependiente del tiempo depende no sólo de la variación de componentes como en el caso de la derivada ordinaria sino también de la variación de la orientación de la base. La variación total se llama derivada covariante:

Cuando se emplea una base fija (coordenadas cartesianas) la derivada covariante coincide con la derivada ordinaria. Por ejemplo cuando se estudia el movimiento de una partícula desde un sistema de referencia no inercial en rotación, las aceleraciones de Coriolis y centrípeta se deben a los factores que contienen   y otros factores menos comunes.

Ángulo entre dos vectores[editar]El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores   y   viene dado por:

Descomposiciones de un vector[editar]Dado un vector   y una dirección de referencia dada por un vector unitario   se puede descomponer el primer vector en una componente paralela y otra componente perpendicular a la dirección de referencia:

En física esta descomposición se usa en diferentes contextos como descomponer la aceleración en una componente paralela a la velocidad y otra componente perpendicular a la misma. También el tensión mecánica en un punto sobre un plano puede descomponerse en una componente normal al plano y otra paralela.

También dado un campo

vectorial   definido sobre un dominio de Lipschitz, acotado, simplemente conexo y de cuadrado

integrable 

 admite la llamadadescomposición de Helmholtz como suma de un campo conservativo y un campo solenoidal:

Cambio de base vectorial[editar]

Cambio de base

vectorial.

En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interior.

La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1. Sea un vector   expresado en un sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) con una base vectorial   asociada definida por los

versores  ; esto es,

Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejes coordenados, manteniendo fijo el origen del mismo, de modo que obtengamos un nuevo triedro ortogonal de ejes (x′, y′, z′), con una base vectorial   asociada definida por los versores 

. Las componentes del vector   en esta nueva base vectorial serán:

La operación de rotación de la base vectorial siempre

puede expresarse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector):

que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.

Cambio de base

vectorial.

EjemploEn el caso simple en el que el giro tenga magnitud   alrededor del eje z, tendremos la transformación:

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos la expresión del vector   en la

nueva base vectorial:

siendo

las componentes del vector en la nueva base vectorial.

Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales[editar]No cualquier n - tupla de funcion

es o números reales constituye un vector físico. Para que una n-tupla represente un vector físico, los valores numéricos de las componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.

En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a

veces vectores polares, junto con pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes que en cuya definición interviene elproducto vectorial son en realidad pseudovectores

o vectores axiales.

En teoría especial de la relatividad, sólo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante algunatransformación de Lorentz constituyen magnitudes vectoriales. Así las componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores 

 y   deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:

Donde 

 son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el momento angular

, el campo eléctrico o el campo magnético o el de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes vectoriales sino tensoriales.

Véase también[

editar]

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Referencias[editar]

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El mundo real es tridimensional ( sien entrar en consideraciones relativistas), así que gran cantidad de magnitudes del mundo real son vectoriales, y los vectores son absolutamente necesarios para poder modelar matemáticamente la realidad. La mayor parte de la física es vectorial desde el momento que el desplazamiento es vectorial, la mayor parte de magnitudes derivadas de él los son: velocidad, aceleración, fuerzas... De esta forma mediante vectores podemos explicar cosas como: 

1ºCINEMATICA Simplemente conociendo movimientos de una sola dirección y haciendo combinaciones de ellos mediante vectores, podemos entender movimientos en dos y tres dimensiones como el tiro parabólico, fácilmente entendible haciendo una composición de movimientos en dos dimensiones mediante vectores. 

2ºDINAMICA Las fuerzas son vectoriales, de forma que la acción de un conjunto de fuerzas sobre un cuerpo, no sólo va a depender del valor de las mismas, sino también de su punto de aplicación ( una puerta se moverá de forma diferente si aplicas una fuerza cerca o lejos de su eje), dirección y sentido. Es decir hay que tener en cuenta el carácter vectorial de las fuerzas para poder saber el efecto que tendrán. 

3º CAMPOS Tanto el campo gravitatorio, como el eléctrico como el magnético tienen también carácter vectorial, con lo que la accion de varias cargas sobre otras, no sólo dependerá del valor de ellas, sino de cómo están colocadas respectivamente, lo que conlleva a considerar las direcciones entre ellas ( carácter vectorial) 

3º ELECTRICIDAD Gran parte del desarrollo matemático con señales eléctricas se hace con fasores y notación compleja. A efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones. 

Resumiendo, el mundo real es vectorial, y no podemos expresarlo sin recurrir a vectores.Pongamos un último ejemplo que demostrará la necesidad de recurrir a vectores de dos o tres componentes, aunque este caso sólo es una aproximación de la realidad. Suponte que quieres

encontrarte con una persona. Necesitarás saber dónde está, pero si solo sabes que se encuentra a 1 km de tí, no podrás encontrarla con esa única información. Necesitarás saber en que dirección has de empezar a andar, y en que sentido, es decir, un vector de dos dimensiones. En este caso hemos considerado que la Tierra es plana y sólo nos movemos por su superficie. Pero si al llegar exactamente al punto que te han indicado, y te encuentras un edificio con 10 plantas, aún te falta saber una tercera coordenada más, y eso te llevaría a un vector de tres dimensiones. Con el vector completo ya tienes ubicada a la persona exactamente.