I HC QUC GIA HÀ NI TRNG I HC KHOA HC T NHIÊN ---------------------------- ng c Cng V MT P NG A NH IM BT NG O I N DIRICHLET I VI H! PH"NG #$NH ELLIPTIC N%A TUY&N ’NH LU(N V)N THC S* KHOA HC Hà Ni-2011
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
I HC QUC GIA HÀ NI
TRNG I HC KHOA HC T NHIÊN ----------------------------
ng c Cng
V MT P NG A NH IM BT NG O I N DIRICHLET I V I H!PH"NG #$NH ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH
LU(N V)N THC S* KHOA HC
Hà Ni-2011
2
I HC QUC GIA HÀ NI TRNG I HC KHOA HC T NHIÊN
----------------------------
ng c Cng
V MT P NG A NH IM BT NG O I N DIRICHLET I V I H!PH"NG #$NH ELLIPTIC N%A TUY&N
'NH
Chuyên ngành: +n ,-.i /0ch
Mã s1: 60.46.01
LU(N V)N THC S* KHOA HC
Ngi h2ng d3n khoa h4c: PGS. TS. NG QUC N
Hà Ni-2011
3
5C C
56c 76c 1
Li m8 9:u 2
Li ;.m <n 4
=0hi>u
5
CH"NG 1. KI&N TH?C CHU@N ..................................................................
1.1. Mt snh a chung vphng nh o m riêng
1.2. Hi yu ......................................................................................................
1.3. Không gian Sobolev.......................................................................................
1.4. n ta i n Dirichlet.......................................................................
1.5. nh !Lax-Milgram.....................................................................................
CH"NG 2. MT SNH V IM BT NG....................................
2.1. "c nh !i#m b$t ng a nh %co.....................................................
2.2. "c nh !i#m b$t ng a nh %không &'n........................................
2.3. "c nh !i#m b$t ng a nh %liên c.............................................
CH"NG 3. I N DIRICHLET I V I H! PH"NG #$NH
ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH TRÊN MI N KHÔNG CHAN....................
3.1. (t bài toán....................................................................................................
3.2. S)t*n i a nghi+m yu a i n Dirichlet..........................................
Li kBt
i li>u tham CD.o
6
6
7
8
10
14
18
18
26
33
40
40
43
50
52
4
LI MEFU
Phng nh vi phân o m riêng bmôn khoa ,c -.p nghiên c/u r$t nhiu i n /ng &ng 0 c nhau nh: ng l)c ,c, i+n ,c, quang ,c, !thuyt n h*i.... Phng nh vi phân o m riêng 1n 2mi quan h+quan ,ng v3i !thuyt %c su$t . Hi+n nay phng nh vi phân ng4u nhiên công n ,c yu nghiên c/u mt v$n quan ,ng trong nh v)c kinh ti 5nh nh -c6phiu. Mt s nh v)c n ,c hi+n i 0 c nh: 7! thuyt bi#u di8n 2m, 7! thuyt tr9ng l:ng t, 7! thuyt c không gian thu;n nh$t < V=t ! n trong 2phng nh vi phân o m riêng 2ng vai 1quan ,ng. Mt nh v)c quan ,ng nh$t trên phng di+n /ng &ng, 2 5nh n khoa ,c >mt trong nh?ng ni dung yu a 2 -@i c phng nh vi phân o m riêng. Tuy nhiên nhiu i n phng nh vi phân o m riêng >vi+c m nghi+m a 2 r$t ph/c p m(c &A20 n -@n vm(t c$u .c. B2i chung không 2phng C p chung #-@i c phng nh vi phân o m riêng. iu ng9i ta quan tâm khi nghiên c/u c phng nh vi phân o m riêng 5nh t*n i <t*n i duy nh$t nghi+m a 2. V3i i "VGmHt +p I6ng ;Ja 9Knh 7L9iMm bNt 9Hng Oo Pi /+n Dirichlet 91i v2i h>ph<ng /QRnh elliptic nSa tuyBn /0nh" .ng tôi nghiên c/u /ng &ng a nh !i#m b$t ng a nh %co m iu kiên t*n i nghi+m a i n Dirichlet i v3i h+phng nh elliptic na tuyn 5nh trên min không ch(n.
Ni dung a lu=n vDn :c nh y d)a trên i o "On a System of Semilinear Elliptic Equations on an Unbounded Domain" a PGS. TS. ng Qu1c n. Ei o :c Dng bFi p 5n ,c Vi+t Nam (Viet Nam journal of Mathematics).
Bc a lu=n vDn g*m 2ba chng.
Ch<ng 1. KiBn thc chuTn PK Trong chng y .ng tôi nh y mt s kin th/c chuGn
g*m mt snh a chung vphng nh vi phân o m riêng, 0 i ni+m hi yu, không gian Sobolev, n ta i n Dirichlet, nh !Lax-Milgram. Ch<ng 2. MHt s19Knh 7L9iMm bNt 9Hng.
Trong chng y .ng tôi nh y mt skt HI@quan ,ng <c ch/ng minh chi tit Jng nh mt s<5&minh ,a /ng &ng a mt
5
snh ! trong ! thuyt vi#m b$t ng. "2 Kkt HI@n6i ting nh$t trong !thuyt vi#m b$t ng nguyên !nh %co Banach. 2 !do .ng tôi bLt ;u chng y bMng vi+c nh y vnh %co <mt ch/ng minh a nguyên !y. 2Jng c sF yu #m iu ki+n t*n i nghi+m a i n Dirichlet cho h+phng nh elliptic na tuyn 5nh. Trong chng hai .ng tôi 1n nh y thêm mt skt HI@0 c a !thuyt i#m b$t ng <mt sv5&/ng &ng ':c nghiên c/u. Ni dung chng hai :c tham 0 @o yu tNi li+u [6].
Ch<ng 3. Bài toán Dirichlet 91i v2i h>ph<ng /QRnh elliptic nSa
tuyBn /0nh trên miGn U+c 9Knh không PKchVn. Trong chng y .ng tôi nh y c kt HI@nghiên c/u vs)
t*n i a nghi+m yu a i n Dirichlet cho h+phng nh elliptic na tuyn 5nh trên mt min không ch(n trong n
. "c ch/ng minh yu d)a trên nh ! i#m b$t ng trong không gian Banach. Ni dung chng 3 :c trình bày d)a trên tài li+u [5].
6
LI WM "N
B@n lu=n vDn này :c hoàn thành d3i s) h3ng d4n t=n tình ca
PGS. TS. HOÀNG QUC TOÀN, Tr9ng i h,c Khoa h,c T) nhiên –
i h,c Quc gia O Ni. Th;y là ng9i xu$t, dành nhiu th9i gian
h3ng d4n, sa các lPi cJng nh gi@i áp các thLc mLc ca tôi trong sut
quá trình làm lu=n vDn. Tôi mun bày tQ lòng bit n sâu sLc nh$t n
ng9i th;y ca mình.
Tôi xin c@m n Tr9ng THPT Chu VDn An, 7ng Sn ã giúp R,
to iu ki+n thu=n l:i cho tôi hoàn thành khoá h,c này. Và tôi cJng xin
cám n Xeminar ca b môn Gi@i tích, Tr9ng i h,c Khoa h,c T) nhiên
ã giúp tôi b6 sung, cng c các kin th/c v Lý thuyt phng trình o
hàm riêng.
Qua ây, tôi xin gi t3i các th;y cô Khoa Toán- C- Tin h,c, Tr9ng
i h,c Khoa h,c T) nhiên, i h,c Quc gia Hà ni, cJng nh các th;y
cô ã tham gia gi@ng dy khóa cao h,c 2008-2010, l9i c@m n i v3i công
lao dy dP trong sut quá trình ,c t=p i nhà tr9ng.
Tôi xin c@m n gia ình, bn bè và t$t c@ m,i ng9i ã quan tâm, to
iu ki+n, ng viên c6 vJ tôi # tôi có th# hoàn thành nhi+m v ca mình.
Hà ni, tháng 12 nDm 2010
ng c Cng
7
='HI!U
MHt s1C0hi>u thng IXng trong luYn vZn
1. N : không gian Euclide th)c N chiu
2. ∂Ω : Biên a Ω , Ω = Ω ∪ ∂Ω : bao 2ng a Ω .
3. ( ) ( ) ( )0
lim i
hi
u x u x he u x
x h→
∂ + −=
∂ nu gi3i n y t*n i. S!hi+u
ixu ,
( )0,0, ,0, ,0, ,0ie i= : Vect n <th/i.
4. ( )1 2, , , Nα α α α= : a Ts. iα +∈
1 2 Nα α α α= + + + : b=c a a Ts.
5. ( )21 2, 1, , , ,j N
j
D i i D D D Dx
∂= − = − =
∂ : Vect gradient
( ) ( )1 2
1 2
1 , 1j
jj
j Nj
Nj
D Dx x xx
α αα αα α
α αα α
∂ ∂= − = −
∂ ∂ ∂∂
6. ( )2
1i i
N
x x
i
u u tr D u=
∆ = = : n tLaplace a u.
7. ( )C Ω : không gian c m :u Ω → liên c.
( )C Ω : không gian c m ( )u C∈ Ω , u liên c u.
( )kC Ω : không gian c m :u Ω → 0 @vi n c$p k
( )C∞ Ω : không gian c m :u Ω → 0 @vô n
( ) ( )0
k
k
C C∞
∞
=
Ω = Ω v3i ( )kC Ω : không gian c m ( )k
u C∈ Ω , D uα
liên c u v3i >,i , kα α ≤ .
( )0k
C Ω : không gian c m ( )ku C∈ Ω , u 2-compact
8. ( )pL Ω : không gian c m :u Ω → , u o :c Lebesgue
( )pLu
Ω< ∞
Trong 2
( )
1
, 1
sup ,
p
pp
L
u dx pu
ess u p
ΩΩ
Ω
≤ < ∞
=
= ∞
v3i sup inf , 0ess f fµ µ= ∈ > = , f m th)c o :c.
( )p
locL Ω không gian c m :u Ω → , ( )pu L U∈ v3i >,i U t=p
con compact trong Ω . 9. ( ) ( ), ,,k k
C Cα αΩ Ω , 1,2, ; 0 1k α= ≤ ≤ : c không gian Hölder.
10. ( ) ( ) ( ), , , 0,1, ; 1o
k k k
pW H H k pΩ Ω Ω = ≤ ≤ ∞ : c không gian Sobolev.
8
CHNG 1
KIN THC CHUN
1.1. MHt s19Knh [,D\a chung vGph<ng /QRnh 9]o Dm riêng. Mt phng nh o m riêng mt phng nh 2ch/a nhiu bin cha bit <mt so m riêng a 2. Cho *
k ∈ <U t=p mFtrong n .
Knh [,D\a 1.1. Mt bi#u th/c 2&ng
(1.1) ( ) ( ) ( )( ), , , , 0kF x u x Du x D u x = v3i x U∈
:c ,i mt phng nh o m riêng bc k. Trong 2
:kn n
F U × × × × → m cho tr3c
<
:u U → m c;n m
Ta 2i phng nh (1.1) :c ,i gii c nu m :c t$t @c m su Qa >'n (1.1). Knh [,D\a 1.2. Phng nh o m riêng (1.1) :c ,i tuy n nh nu 2 2&ng
( ) ( )k
a x D u f xαα
α ≤
=
Trong 2 ( )a xα < ( )f x c m 'cho.
Phng nh :c ,i tuy n nh thun nht nu 0f ≡ Phng nh o m riêng (1.1) :c ,i na tuy n nh nu 22&ng
( ) ( )10 , , , , 0k
k
a x D u a x u Du D uαα
α
−
=
+ =
9
Phng nh o m riêng (1.1) :c ,i ta tuy n nh nu 22&ng
( ) ( )1 10, , , , , , , , 0k k
k
a x u Du D u D u a x u Du D uαα
α
− −
=
+ =
Phng nh o m riêng (1.1) :c ,i phi tuy n nu 2C thuc không tuyn 5nh <o o m riêng b=c cao nh$t.
1.2. HHi /6yBu Cho X không gian Banach Knh [,D\a 1.3. U'y nu ch/a trong X :c ,i hi y un u X∈ nu
* *, ,n
u u u u→ v3i >,i * *u X∈
NhYn U^t 1.1.
1. Nu &'y nu hi n u &'y nu hi yu n u.
2. Mt &'y hi yu &'y ch(n 3. Nu nu hi yu n u lim inf
nn
u u→∞
≤
Knh 7L1.1. Cho Xkhông gian Banach n ( )( )* *X X= y nu chn.
Khi t n i mt y con kn nu u⊂ u X∈ sao cho
knu hi y u n u.
NhYn U^t 1.2. 1. Mt &'y ch(n trong không gian Hilbert ch/a mt &'y con hi yu.
2. VWt ( )pX L= Ω ( )* qX L= Ω , 1 1
1p q
+ = , 1 q< ≤ ∞ . Mt phim m tuyn
5nh ch(n f trên ( )pL Ω 2th#:c bi#u di8n d3i &ng
f fgdxΩ , ( )qg L∈ Ω
TN2
nf hi yu n f thuc ( )pL Ω a :
(1.2) ngf dx fgdxΩ Ω
→ , khi n → ∞ v3i >,i ( )qg L∈ Ω
X ( )pL Ω không gian i ng4u a ( )qL Ω , do 2 ( )pL Ω C @n % nu
1 q< < ∞ . V=y tNmPi &'y ch(n trong ( )pL Ω v3i 1 p< < ∞ 2 th# 5ch ra
mt &'y con hi yu Qa >'n (1.2). KhYng nh y r$t quan ,ng v 5nh compact.
Knh 7L1.2. !"sy nf y #$c m trong ( )pL Ω sao cho
10
( )0pn L
f fΩ
− →
Khi t n i mt y con kn nf f⊂ sao cho:
1. knf f→ h.k.n trên Ω .
2. ( ) ( )kn
f x h x≤ v%i &'i k h.k.n trên Ω v%i ( )ph L∈ Ω .
1.3. Không gian Sobolev. Knh [,D\a 1.4. (Không gian Sobolev) Không gian Sobolev
( ) ( ) : : ,k p
pW u D u L k
α αΩ = Ω → ∈ Ω ∀ ≤
NhYn U^t 1.3.
1. V3i 2p = , không gian ( ) ( )2 , 0,1,k kH W kΩ = Ω = không gian Hilbert.
2. ( ) ( )0 2H LΩ ≡ Ω
Knh [,D\a 1.5. 1. Nu ( )k
pu W∈ Ω chuGn a u :c %c nh nh sau:
( )
1
, 1:
sup ,
kp
pp
kW
k
D u dx pu
ess D u p
α
α
α
α
≤ ΩΩ
Ω≤
≤ < ∞ = = ∞
2. Cho &'y nu , ( )k
pu W∈ Ω . Khi 2 nu :c ,i hi n u trong ( )k
pW Ω nu
( )lim 0k
pn Wn
u uΩ→∞
− =
S5hi+u nu u→ trong ( )k
pW Ω .
Knh 7L1.3. 1. V%i m(i 1,2,k = 1 p≤ ≤ ∞ không gian Sobolev ( )k
pW Ω không gian
Banach.
2. Không gian Sobolev ( )k
pW Ω không gian n n u #)n u 1 p< < ∞ . Hn
n*a ( )2k
W Ω không gian Hilbert v%i ch vô h%ng
11
( )2, k
a
Wk
u v D uD vdxα
αΩ
≤ Ω
=
NhYn U^t 1.4.
1. Z,i bao 2ng a ( )0C∞ Ω trong ( )k
pW Ω ( )o
k
pW Ω . Khi 2
( ) ( )0
ok
pW C
∞Ω = Ω trong ( )k
pW Ω
( ) : 0, 1k
pu W D u kα α
∂Ω= ∈ Ω = ∀ ≤ −
2. ( ) ( )0 2
ok k
H WΩ = Ω
Knh [,D\a 1.6. Không gian +i ng,u a không gian ( )0k
H Ω :c 05 hi+u
( )kH
− Ω . Mt m ( )kf H
−∈ Ω nu f phim m tuyn 5nh ch(n trên ( )0k
H Ω .
Trong ph;n y ta xWt c nh ! .ng >trong 2nh ! .ng Sobolev 2ng mt vai 1quan ,ng. Knh [,D\a 1.7. Z-@sX<Y c không gian Banach. 1. X :c ,i -.ng liên c trong Y nu t*n i nh %tuyn 5nh
:i X Y→
sao cho
( )XY
i x c x≤ , v3i x X∀ ∈ .
v3i 0c > hMng s. Khi 2ta *ng nh$t X v3i không gian con ( )i X Y⊂ .
2. X :c ,i -.ng compact<o Y nu nh %i bin t=p con ch(n trong X nh
t=p compact tng i trong Y. Knh 7L1.4. Cho NΩ ⊂ #o Lebesgue
N ( )Ω < ∞ , 1 p q≤ ≤ < ∞
( ) ( )q pL LΩ ⊂ Ω
N u
N ( )Ω = +∞ -i chung nh /không .ng.
Knh 7L1.5. !"s Ω mi0n compact tng +i trong N k ∈ , 0 1α β≤ < ≤ .
Khi ( ),kC
β Ω -.ng liên c trong ( ),kC
α Ω compact.
Knh 7L 1.6. (Knh 7L [D_ng Sobolev) !" s NΩ ⊂ mi0n chn v%i biên
Lipschitz, k ∈ , 1 p≤ ≤ ∞ . Khi
12
1. N u kp N< , 1Np
qN kp
≤ ≤−
ta # ( )k
pW Ω -.ng liên c trong ( )qL Ω
1p -.ng compact n u Np
qN kp
<−
.
2. N u 0 1N
m k mp
≤ < − < + , 0N
k mp
α≤ ≤ − − ta # ( )k
pW Ω -.ng liên c
trong ( ),mC
α Ω 1p -.ng compact n u N
k mp
α < − − .
NhYn U^t 1.5. nh ! .ng Sobolev v4n .ng trong c không gian ( )o
k
pW Ω trên >,i
min Ω ch(n. Knh 7L1.7. (BNt 9`ng thc a-;bQ^) !"sΩ mi0n chn trong N
, d 2ng
3nh #4a Ω , ( )10u H∈ Ω . Khi
2 22
u dx d Du dxΩ Ω
≤
Knh 7L1.8. !"s NΩ ⊂ mi0n chn thuc l%p 1C , t n i h5ng s+ ( )c c= Ω
sao cho v%i &'i ( )10u H∈ Ω ta #
2 2 22u dx c Du dx u dσ
Ω Ω ∂Ω
≤ +
1.4. +n tS;JaPi /+n Dirichlet.
S5 hi+u ( ) ( )( )*1 10H H− Ω = Ω không gian c phim m tuyn 5nh liên c trên
( )10H Ω , ( ) ( )2 1L H −Ω ⊂ Ω .
Ta 0!hi+u −∆ n t (1.3) ( ) ( )1 1
0: H H −−∆ Ω → Ω
%c nh theo công th/c (1.4) ( ) ( ), ,u v Du Dv−∆ = , v3i >,i ( )1
0,u v H∈ Ω
Khi 2v3i ( )0,u v C∞∈ Ω ta 2
( ),u v DuDvdxΩ
−∆ =
13
( )
( )
1
2
21
2
21 1
2
021
.
cos ,
,
N
i i i
N
i i i i
N N
i
i ii i
N
i i
u vdx
x x
u uv v dx
x x x
u uvdx x v dS
x x
uvdx v C
x
= Ω
= Ω
= =Ω ∂Ω
∞
=Ω
∂ ∂=
∂ ∂
∂ ∂ ∂= −
∂ ∂ ∂
∂ ∂= − +
∂ ∂
∂= − ∀ ∈ Ω ∂
TN2suy ra
2
21
n
i i
uu
x=
∂∆ =
∂ n tLaplace.
n t −∆ :c %c nh bFi (1.3) < (1.4) :c ,i n ta i n Dirichlet v3i iu ki+n biên thu;n nh$t i v3i phng nh Laplace. (1.5) ( )u f x−∆ = trong Ω
0u = trên ∂Ω
Knh [,D\a 1.8. Z-@ s ( ) ( )2f x L∈ Ω , m ( ) ( )10u x H∈ Ω ,i nghi6m suy rng
(nghi6m y u) a i n Dirichlet (1.5) nu
( ) ( ), ,Du Dv f v= v3i ( )0v C∞∀ ∈ Ω
D_L:
N u nghi6m suy rng c4a bài toán (1.5) th7a mãn i0u ki6n
( ) ( )1 20u H C∈ Ω ∩ Ω u nghi6m c8i9n #4a i :$n (1.5).Tht vy:
( )10u H∈ Ω nghi6m suy rng #4a i :$n (1.5) thì ( ) ( ), ,Du Dv f v= v%i m'i
( )0v C∞∈ Ω .
( )2u C∈ Ω thì ( ) ( ), ,Du Dv u v= −∆ , trong 2
21
n
i i
uu
x=
∂∆ =
∂ , v%i m'i ( )0v C∞∈ Ω .
Suy ra ( ) ( ), ,u v f v−∆ = v%i m'i ( )0v C∞∈ Ω . Hay u f−∆ = trong Ω . Hay u nghi6m
c8i9n #4a i :$n (1.5).
Tip theo ta %Wt ph6a n t −∆ . Theo inh a ta 2v3i ( )1
0u H∀ ∈ Ω
( ) ( ) ( ) ( )2 10
2 2, ,
L Hu u Du Du Du uγ
Ω Ω−∆ = = ≥ , 0γ ≥
14
suy ra
( ) ( ) ( ) ( )1 1 10 0
2, .
H H Hu u u u uγ −Ω Ω Ω
≤ −∆ ≤ ∆
do 2
( ) ( )1 10
.H H
u C u− Ω Ω∆ ≥ , ( )1
0u H∈ Ω .
Sau ây nh !quan ,ng v5nh ch$t a n t −∆ . Knh 7L1.9. ;:$n t ( ) ( )1 1
0: H H −−∆ Ω → Ω $nh 1-1 lên.
Ch<ng minh:
Có −∆ là ánh x tuyn tính<liên c. Vì
( ) ( )1 10
.H H
u C u− Ω Ω∆ ≥ , ( )1
0u H∈ Ω
suy ra −∆ là n ánh. Gi@ s min giá tr ca −∆ là ( )R −∆ . Ta l$y dãy ( ) nu−∆
trong ( )R −∆ hi t n 0v . Vì ( ) nu−∆ là dãy Cauchy trong ( )R −∆ nên:
( ) ( )( )1,
lim 0j kj k H
u u−→∞ Ω
−∆ − −∆ =
suy ra ( )
( ) ( )( )1 1
0j k j kH H
u u u uγ−Ω Ω
− ≤ −∆ − −∆ . V=y nu là dãy Cauchy trong ( )10H Ω
nên nó hi t n ( )10 0u H∈ Ω .
Do ánh x −∆ là liên tc nên ( )0 0u v−∆ = . V=y min giá tr ( )R −∆ là óng trong
( )1H − Ω , hay −∆ là n ánh có min giá tr óng.
Gi@ s t*n ti ph;n t ( )10 0u H∈ Ω tr)c giao v3i min giá tr ( ) ( )1R H −−∆ ⊂ Ω , t/c là
( )0, 0u u−∆ = v3i m,i ( )10u H∈ Ω . Ta (t 0u u= thì ( )0 0, 0u u−∆ = , suy ra 0 0u = . V=y
−∆ là ánh x lên, t/c là ( ) ( )1R H −−∆ = Ω .
H>cd.1.1. V%i &'i ( ) ( )2f x L∈ Ω i :$n Dirichlet (1.5) t n i duy nht nghi6m
suy rng (nghi6m y u) ( )10u H∈ Ω .
Ch<ng minh:
Gi@ s ( ) ( )2 1f L H −∈ Ω ⊂ Ω . Theo nh lí 1.9, t*n ti duy nh$t ( )10 0u H∈ Ω sao cho
( ) ( ) ( )0 0, , ,u v Du Dv f v−∆ = = , v3i m,i ( )0v C∞∈ Ω . iu ó có ngha là 0u là nghi+m
suy rng ca bài toán Dirichlet. S5 hi+u ( ) ( )1 1
0:T H H− Ω → Ω n t ch @o a n t −∆ . Z-@ s
( )10,u v H∈ Ω . (t ,u vϕ ψ= −∆ = −∆ khi 2
15
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,T T u v u v Du Dv u v Tϕ ψ ϕ ψ= − ∆ −∆ = −∆ = = −∆ = .
V=y ta 2 ( ) ( ), ,T Tϕ ψ ϕ ψ= , v3i >,i ( )2, Lϕ ψ ∈ Ω
Do 2 n cha n tT trên ( )2L Ω n tt)liên h:p *T T= . M(t 0 c C Wp
.ng ( )10H Ω <o ( )2L Ω compact cho nên n chtrên ( )2L Ω a n t
( ) ( ) ( )2 1 20:T L H LΩ → Ω ⊂ Ω compact, t)liên h:p.
Hn n?a v3i >,i ( )2Lϕ ∈ Ω , t*n i duy nh$t ( )1
0u H∈ Ω sao cho: u ϕ−∆ = . Ta 2:
( ) ( ) ( )10
2, , , 0
HT u u uϕ ψ γ γ
Ω= −∆ ≥ ≥ .
Ta 25nh ch$t sau vn t ch @o a n t −∆ . Knh 7L1.10. ;:$n t-=ch o T #4a :$n t−∆ :$n tcompact, $c nh dng
tliên hp trong ( )2L Ω .
NhYn U^t 1.6. nh !y cho ta s)t*n i mt c sFtr)c giao trong ( )2L Ω g*m c
m riêng 1j j
u∞
=a n tT /ng v3i c - riêng
1j jµ
∞
=, 0jµ > , 0jµ ↓ khi
j → +∞ , t/c (1.6) j j jTu uµ= , 0jµ ↓ khi j → +∞
X ( ) ( )1 1
0:T H H− Ω → Ω nên tN(1.6) suy ra ( )10ju H∈ Ω v3i 1, 2,j∀ = .
"Jng tN(1.6) ta 2
1, ,
j j j j j
j
u uλ λ λµ
−∆ = = → +∞
Xv=y n t −∆ Jng 2&'y c m riêng 1j j
u∞
= trong ( )1
0H Ω /ng v3i &'y c
giáriêng 1j j
λ∞
= n i+u tDng khi j → +∞ ,
1 2 30 ,j jλ λ λ λ λ< < ≤ ≤ ≤ ≤ → +∞ khi j → +∞
<c m riêng l=p nh mt c sFtr)c giao trong ( )2L Ω .
1.5. Knh 7LLax-Milgram
16
Knh lý 1.11. Gi s X là không gian Hilbert thc, a(u, v) là phi m hàm song tuy n tính
thc trên X. Gi s a(u, v) th7a mãn các i0u ki6n.
i. T n ti 0c > sao cho ( ), . , ,a u v c u v u v X≤ ∀ ∈
ii. T n ti 0γ > sao cho ( ) 2, ,a u u u u Xγ≥ ∀ ∈
Khi ó m'i phi m hàm tuy n tính liên tc ( )F u trên X 0u t n ti f X∈ sao cho
( ) ( ), ,F u a u f u X= ∈
Ch<ng minh:
L$y u X∈ c nh. Khi ó ( ) ( ),u v a u v= là phim hàm tuyn tính trên X.
Theo i. ta có:
( ) ( ), . ,u v a u v c u v v X= ≤ ∀ ∈
V=y ( )u v là phim hàm tuyn tính liên tc trên X. Theo nh lý Riesz-Frechet, t*n ti
mt ph;n t kí hi+u là Au X∈ sao cho:
( ) ( ),u v Au v= , v3i v X∀ ∈
V=y
( ) ( ), , ,a u v Au v= v3i v X∀ ∈
và ta có mt toán t :A X X
u Au
→
A là toán t tuyn tính. Theo i. ta có:
( ) ( )2, , .Au Au Au a u Au c u Au= = ≤ , v3i u X∀ ∈
Vy
,Au c u u X≤ ∀ ∈
suy ra :A X X→ là toán t liên tc. Hn n?a v3i 1 2,u u X∈ mà
(1.7) 1 2 1 2Au Au u u≠ ≠
M(t khác v3i m,i u X∈ , ( ) ( )2 1 1, , .
cu a u u Au u Au u
γ γ γ≤ = ≤
TN ó:
17
(1.8) ,c
u Au u Xγ
≤ ∀ ∈
Do ó v3i 1 2,u u X∈ mà
(1.9) 1 2 1 2u u Au Au≠ ≠
TN (1.7) và (1.9) suy ra :A X X→ là ánh x 1 – 1. Kí hi+u ( ) ,A X Au u X= ∈ , ta ch/ng minh ( )A X óng trong X.
Th=t v=y; gi@ s jAu là dãy hi t n v X∈ . Vì j
Au là dãy Cauchy trong X , ta
có:
,lim 0j kj k
Au Au→∞
− =
TN (1.8) ta có: j k j k
cu u Au Au
γ− ≤ − . V=y j
u là dãy Cauchy trong X, nên t*n ti
u X∈ sao cho:
lim jj
u u→∞
=
Do A là ánh x liên tc nên ( )Au v A X= ∈ , hay ( )A X là óng trong X.
Ta ch/ng minh ( )A X X= .
Gi@ s ( )A X X⊂ , A óng. L$y u X∈ , ( )u A X∉ , tr)c giao v3i ( )A X , t/c là
( ) ( ), , 0u Au a u u= =
Vì ( )2 1, 0u a u u
γ≤ = nên 0u = , t/c là ( )A X X= .
V=y :A X X→ là song ánh. Gi@ s ( )F u là phim hàm tuyn tính liên tc trên X . Theo nh lý Riesz-Frechet, t*n
ti duy nh$t g X∈ sao cho
( ) ( ),F u g u=
Khi ó t*n ti f X∈ sao cho g Af= . Do ó
( ) ( ) ( ) ( ), , ,F u g u Af u a f u= = = , v3i u X∀ ∈
V=y ta có iu ph@i ch/ng minh. Chú ý:
18
- Yng c$u :A X X→ :c xây d)ng trong nh lý Lax-Milgram sao cho ( ) ( ), , , ,Au v a u v u v X= ∀ ∈
:c g,i là toán t liên k t v3i dng song tuyn tính ( ),a u v trên không
gian Hilbert X. Hay ( ),a u v :c g,i là dng song tuy n tính liên k t v3i
toán t A. - Dng song tuyn tính liên tc ( ),a u v :c g,i là Qa >'n i0u ki6n
b<c nu t*n ti hMng s 0c > sao cho
( ) 2, ,a u u c u≥ v3i u X∀ ∈
Knh 7L1.12. N u ( ).,.a là dng song tuy n tính liên tc 7a &n i0u ki6n b<c thì
toán t A liên k t v%i dng song tuy n tính ( ),a u v là mt >ng cu t? V lên V’.
Trong ó V là không gian Hilbert ph<c và tích vô h%ng ( ), , ,u v u v V∈ th7a mãn i0u
ki6n: ( ) ( ), , ,u v v u= v%i ,u v V∀ ∈ . V’ là không gian +i ng,u c4a V
. Ch<ng minh.
A là toán t liên tc. Th=t v=y:
( ) ( )2, , . ,Au Au Au a u Au u Au u V= = ≤ ∀ ∈
hay Au u≤ .
A là n ánh: Nu 0Au = thì ( ) ( ), , 0Au u a u u= = . V=y 0u = .
[nh ca A là trù m=t. Ta c;n ch/ng minh rMng nu u V∈ , tr)c giao v3i Im A thì 0u = . Khi ó u tr)c giao v3i Au , hay
( ), 0Au u = ( ), 0 0a u u u = = .
[nh ca A là óng. Chú ý rMng v3i v V∀ ∈ ta có:
( ) ( ) ( )'
w 0
, w , ,sup
wV V
V V V
Av Av v a v uAv c v
v v≠= ≥ = ≥
suy ra (1.10)
':
V Vv V Av c v∀ ∈ ≥
Nu dãy jAv hi t n 'f V∈ thì jv hi t n v V∈ . Do tính liên tc ca A ta
có Av f=
19
Suy ra @nh ca A là óng trong V’. V=y A là song ánh tN V lên V’. TN b$t Yng th/c (1.14) và nh lý Banach v ánh x ng:c suy ra 1A− liên tc. V=y A là Yng c$u tN V lên V’.
20
CHNG 2
MT S NH LÝ V IM B T NG Trong chng này, chúng tôi trình bày mt s nh lý v i#m b$t ng ca ánh x co, ánh x không dãn, ánh x liên tc và mt s /ng dng ca nó. Trong s ó, nh lý v i#m b$t ng ca ánh x co trong không gian Banach sK :c áp dng # gi@i quyt bài toán F chng sau.
2.1. Các 9Knh lý 9iMm bNt 9Hng cJa ánh x] co.
Cho ( ),X d là mt không gian metric. Mt ánh x :F X X→ :c g,i là mt
ánh x Lipschitz (Lipschitzian) nu t*n ti mt hMng s α không âm sao cho:
(2.1) ( ) ( )( ) ( ), ,d F x F y d x yα≤ v3i m,i ,x y X∈ .
Chú ý rMng mPi ánh x Lipschitz u liên tc trên X. HMng s α nhQ nh$t thQa mãn (2.1) :c g,i là hMng s Lipschitz i v3i F kí hi+u là L. Nu 1L < thì ta nói F là ánh x co, 1L = thì ta nói F là ánh x không dãn.
Cho :F X X→ , x X∈ , ta xác dnh bMng qui np dãy ( ) nF x nh sau:
( ) ( ) ( )( )0 1, , .n nF x x F x F F x n
+= = ∀ ∈
Knh lý 2.1. Cho ( ),X d là không gian metric 4 và cho :F X X→ là ánh x co v%i
h5ng s+ Lipschitz L. Khi ó F có mt i9m bt ng duy nht u X∈ . Ngoài ra v%i m'i
x X∈ ta có:
( )lim n
nF x u
→∞=
và
( )( ) ( )( ), ,1
nn L
d F x u d x F xL
≤−
Ch<ng minh:
Tr3c ht ta ch/ng minh tính duy nh$t. Gi@ s t*n ti ,x y X∈ sao cho ( )F x x= và ( )F y y= . Khi ó:
21
( ) ( ) ( )( ) ( ), , . ,d x y d F x F y L d x y= ≤
( ) ( )( )
1 , 0
, 0
L d x y
d x y
x y
− ≤
=
=
Tính t*n ti.
L$y x X∈ . Ta sK ch/ng minh ( ) nF x là mt dãy Cauchy.
Ta có:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1, . , . ,n n n n nd F x F x L d F x F x L d x F x
+ −≤ ≤ ≤
V3i m n> , n ∈ :
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )
1 1
1
1
2
, , ,
,
. , . ,
. , 1
,1
n m n n n n
m m
n m
n
n
d F x F x d F x F x d F x F x
d F x F x
L d x F x L d x F x
L d x F x L L
Ld x F x
L
+ +
−
−
≤ + +
+ +
≤ + +
≤ + + +
=−
V=y v3i ,m n n> ∈
(2.2) ( ) ( )( ) ( )( ), ,1
nn m L
d F x F x d x F xL
≤−
Khi n → +∞ , do 0 1L≤ < , v ph@i ca (2.2) tin d;n t3i 0, kéo theo v trái ca (2.2)
tin d;n t3i 0. Hay ( ) nF x là dãy Cauchy trong X.
Vì X là không gian nên t*n ti u X∈ sao cho:
( )lim n
nF x u
→∞=
Ta ch/ng minh u là i#m b$t ng ca F. Do F liên tc ta có:
( ) ( )( ) ( )1lim limn n
n nu F x F F x F u+
→∞ →∞= = =
V=y u là i#m b$t ng ca F. Trong (2.2), c nh n, cho m → +∞ ta :c
( )( ) ( )( ), ,1
nn L
d F x u d x F xL
≤−
NhYn xét 2.1. Trong nh lý 1 òi hQi iu ki+n 1L < . Nu 1L = thì F không nh$t thit có i#m b$t ng. Ví d:
22
Cho :F → xác nh bFi ( ) 1F x x= + , khi ó:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), 1 1 ,d F x F y x y x y d x y= + − + = − =
Nhng 1x x≠ + v3i m,i x ∈ và do ó F không có i#m b$t ng nào. Knh lý 2.2. Cho ( ),X d là mt không gian metric compact v%i :F X X→ th7a mãn
( ) ( )( ) ( ), ,d F x F y d x y< v%i m'i ,x y X∈ và x y≠ .
Khi ó F có mt i9m bt ng duy nht trong X.
Ch<ng minh:
Tính duy nh$t là hi#n nhiên. Ta ch/ng minh tính t*n ti. Xét ánh x :G X → xác nh bFi ( ) ( )( ),G x d x F x= , G liên tc trên X. Vì X là
compact nên G t giá tr nhQ nh$t trên X, hay t*n ti 0x X∈ sao cho
( ) ( )0 minx X
G x G x∈
= . Ta có ( )0 0x F x= vì nu ( )0 0x F x≠ , theo gi@ thit
( )( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0, ,d F F x F x d F x x<
hay
( )( ) ( )0 0G F x G x<
ó là iu mâu thu4n.
Knh lý 2.3. Cho ( ),X d là mt không gian metric 4 và cho
( ) ( ) 0 0, : ,B x r x X d x x r= ∈ < , v%i 0x X∈ và 0r >
Gi s r5ng ( )0: ,F B x r X→ là ánh x co (có ngh@a là ( ) ( )( ) ( ), ,d F x F y Ld x y≤ v%i
m'i ( )0, ,x y B x r∈ v%i 0 1L≤ < ) v%i
( )( ) ( )0 0, 1 .d F x x L r< −
Khi ó F có i9m bt ng duy nht trong ( )0 ,B x r .
Ch<ng minh:
T*n ti 0r sao cho 00 r r≤ < và ( )( ) ( )0 0 0, 1d F x x L r≤ − . Ta sK ch/ng minh rMng
( ) ( )0 0 0 0: , ,F B x r B x r→ . Th=t v=y, v3i ( )0 0,x B x r∈ thì
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0
, , ,
, 1 .
d F x x d F x F x d F x x
Ld x x L r r
≤ +
≤ + − ≤
23
Theo nh lý 2.1, F có mt i#m b$t ng duy nh$t trong ( ) ( )0 0 0 0, ,B x r B x r⊂ . Vi+c
ch/ng minh tính duy nh$t ca i#m b$t ng là d8 dàng.
Knh lý 2.4. Cho [ ]0,rB B r= trong không gia Banach X. : rF B X→ là mt ánh x co
và ( )r rF B B∂ ⊂ . Khi ó F có mt i9m bt ng duy nht trong rB .
Ch<ng minh:
Xét
( ) ( )2
x F xG x
+=
Tr3c ht ta ch/ng minh : r rG B B→ .
(t * xx r
x= v3i rx B∈ và 0x ≠ . D8 th$y *
x r= nên *rx B∈∂ .
V3i , 0rx B x∈ ≠ ,
( ) ( ) ( )* *F x F x L x x L r x− ≤ − = −
vì ( )* xx x x r
x− = − . Và do ó
( ) ( ) ( ) ( )( )
* *
2
F x F x F x F x
r L r x r x
≤ + −
≤ + − ≤ −
V=y v3i rx B∈ và 0x ≠
( ) ( ) ( )2 2
x F xx F xG x r
++= ≤ ≤
Do tính liên tc ta cJng có
( )0G r≤
V=y : r rG B B→ , hn n?a G là ánh x co vì
( ) ( ) 1
2 2
x y L x y LG x G y x y
− + − +− = −
24
Theo nh lý 2.1, G có i#m b$t ng duy nh$t ru B∈ . Hi#n nhiên nu ( )G u u= thì
( )F u u= .
Knh lý 2.5. Cho ( ),X d là mt không gian metric 4 và :F X X→ là mt ánh x
(không nht thi t là liên tc). Gi s r5ng các i0u ki6n sau ây là úng.
(2.3) V%i m(i 0ε > t n ti mt ( ) 0εδ > sao cho
n u ( )( ) ( ),d x F x εδ< thì ( )( ) ( ), ,F B x B xε ε⊂
v%i ( ) ( ) , : ,B x y X d x yε ε= ∈ <
N u v%i mt u nào ó thuc X ta có ( ) ( )( )1lim , 0n n
nd F u F u+
→∞= thì dãy ( ) n
F u hi t
n i9m bt ng c4a F.
Ch<ng minh:
Gi@ s u thQa mãn iu ki+n ca nh lý. (t ( )n
nu F u= . Ta ch/ng minh nu là dãy
Cauchy. Cho 0ε > , ch,n ( )εδ thQa mãn (2.3) . Ta ch,n N l3n sao cho ( )1,n nd u u ε+ < v3i m,i
n N≥ . Vì ( )( ) ( ),N Nd u F u εδ< nên tN (2.3) ta suy ra ( )( ) ( ), ,N NF B u B uε ε⊂ . Do ó
( ) ( )1 ,N N NF u u B u ε+= ∈ . BMng quy np ta có
( ) ( ),k
N N k NF u u B u ε+= ∈ v3i m,i 0,1, 2,k ∈
V=y
( ) ( ) ( ), , , 2k l k N l Nd u u d u u d u u ε≤ + < v3i m,i ,k l N≥
Và do ó nu là dãy Cauchy trong không gian X nên t*n ti lim n
nu y X
→∞= ∈ .
Ta ch/ng minh rMng y là i#m b$t ng ca F. Gi@ s ng:c li
( )( ), 0d y F y γ= >
ch,n và c nh ,3nu B yγ ∈
v3i
( )1
3
,n nd u u γδ+
<
TN (2.3) ta suy ra
, ,3 3n nF B u B uγ γ ⊂
25
và do ó ( ) ,3nF y B uγ ∈
. iu ó là mâu thu4n vì
( )( ) ( )( ) ( ) 2, , ,
3 3 3n nd F y u d F y y d u y
γ γ γγ> ≥ − > − =
V=y ( )( ), 0d y F y = hay ( )F y y= .
Knh lý 2.6. Cho ( ),X d là không gian metric 4 và cho
( ) ( )( ) ( )( ), ,d F x F y d x yφ≤ v%i m'i ,x y X∈
Trong ó :[0, ) [0, )φ ∞ → ∞ là hàm không gim nào ó (không nht thi t là liên tc)
th7a mãn ( )lim 0n
ntφ
→∞= v%i m'i 0t > . Khi ó F có mt i9m bt ng duy nht u X∈
v%i
( )lim n
nF x u
→∞= v%i m'i x X∈ .
Ch<ng minh:
Gi@ s ( )t tφ≤ v3i 0t > nào ó. Khi ó ( ) ( )( )t tφ φ φ≤ (do φ là hàm không gi@m) vì
v=y ( )2t tφ≤ . BMng quy np suy ra ( )nt tφ≤ v3i m,i 1n ≥ . iu này mâu thu4n v3i
gi@ thit ( )lim 0n
ntφ
→∞= . V=y ( )t tφ < v3i m,i 0t > .
Ta có
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )
1 1 1, , ,
, , .
n n n n n n
n
d F x F x d F F x F F x d F x F x
d x F x x X
φ
φ
+ − −= ≤ ≤
≤ ≤ ∀ ∈
Nu ( )F x x= thì x là i#m b$t ng.
Gi@ s ( )F x x≠ , ( )( ), 0d x F x > . Theo gi@ thit ( )( )( )lim , 0n
nd x F xφ
→∞= suy ra
( ) ( )( )1lim , 0n n
nd F x F x+
→∞= .
Cho 0ε > và ch,n ( ) ( ) 0εδ ε φ ε= − > . Nu ( )( ) ( ),d x F x εδ< thì v3i m,i ( ),z B x ε∈
ta có
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
, , , , ,
,
d F z x d F z F x d F x x d z x d F x x
d z x ε
φ
φ δ φ ε ε φ ε ε
≤ + ≤ +
≤ + ≤ + − =
Và do ó ( ) ( ),F z B x ε∈ . Theo nh lý 2.5 suy ra F có i#m b$t ng duy nh$t u v3i
( )lim n
nF x u
→∞= v3i m,i x X∈ .
D8 dàng ch/ng minh :c i#m b$t ng là duy nh$t.
26
NhYn xét 2.2. Chú ý rMng nh lý 2.1 là tr9ng h:p riêng ca nh lý 2.6 nu ta ch,n
( )t Ltφ = v3i 0 1L≤ < .
Ang dng:
Ta sK áp dng phng pháp i#m b$t ng trong vi+c chT ra s) t*n ti và duy nh$t nghi+m ca bài toán giá tr ban ;u. Tìm nghi+m ca toán.
(2.4) ( ) ( )( )
( ) 0
' ,
0
y t f t y t
y y
=
=
Trong ó : n n
f I × → và [ ]0,I b= , f liên tc.
Chú ý rMng h+ (2.4) là h+ phng trình vi phân c$p mt vì f l$y giá tr trong n
.
( )1y C I∈ (Không gian Banach các hàm kh@ vi c$p mt liên tc trên I và :c trang b
chuGn ( ) ( ) 1max , '
n nt I
u u t u t∈
=
).
( )1y C I∈ là nghi+m ca (2.4) ( )y C I∈ (Không gian Banach các hàm liên tc trên I
:c trang b chuGn ( )0max
nt I
u u t∈
=
) là nghi+m ca phng trình
(2.5) ( ) ( )( )0 0,
t
y t y f s y s ds= +
Xác nh mt toán t tích phân ( ) ( ):T C I C I→ bFi
( ) ( )( )0 0,
t
Ty t y f s y s ds= + .
Suy ra y là nghi+m ca (2.4) khi và chT khi ( )y T y= hay y là i#m b$t ng ca T.
Knh lý 2.7. Cho : n nf I × → là liên tc và th7a mãn i0u ki6n Lipschitz theo y,
ngh@a là t n ti 0α ≥ sao cho
( ) ( ), ,f t y f t z y zα− ≤ − v%i m'i , ny z ∈ .
Khi ó t n ti duy nht ( )1y C I∈ là nghi6m c4a (2.4).
Ch<ng minh:
Ta sK áp dng nh lý 2.1 # ch/ng minh T có i#m b$t ng duy nh$t. Nu dùng chuGn maximum trong ( )C I chT cho nghi+m a phng xác nh trong mt
kho@ng con ca I. Ta sK dùng chuGn maximum v3i tr,ng s
( )0
: ty e y t
αα
−=
27
trên ( )C I . ( )C I là không gian Banach v3i chuGn này vì .α
và 0
. là hai chuGn
tng ng. Do
0 0
te y y y
αα
− ≤ ≤
Ta ch/ng minh T là ánh x co trên ( )( ), .C Iα
. Th=t v=y, cho ( ),y z C I∈ suy ra
( ) ( ) ( )( ) ( )( )0
, ,t
Ty t Tz t f s y s f s z s ds − = − v3i m,i t I∈ .
Do ó v3i m,i t I∈ ta có:
( ) ( )
( )( )
( )
0 00
0
1
1
tt t s s
tt s
t t
t
e Ty Tz e e e y s z s ds
e e ds y z
e e y z
e y z
α α α α
α α
α
α αα
αα
α
α
− − −
−
−
− ≤ −
≤ −
≤ − −
= − −
V=y
( )1 tTy Tz e y z
αα α
− ≤ − −
Vì 1 1te
α−− < nên T là ánh x co trong ( )( ), .C Iα
. Theo nh lý 2.1 suy ra t*n ti
duy nh$t ( )y C I∈ sao cho ( )T y y= . V=y (2.4) có nghi+m duy nh$t ( )y C I∈ .
2.2. Các 9Knh lý 9iMm bNt 9Hng cJa ánh x] không dãn.
Cho ( ),X d là mt không gian metric v3i C X⊆ . NhLc li rMng mt ánh x
:F C X→ :c g,i là ánh x không dãn nu 1L = , hay F thQa mãn
( ) ( )( ) ( ), ,d F x F y d x y≤ v3i m,i ,x y X∈ .
Chúng ta ã bit có nhiu ánh x không dãn mà không h có i#m b$t ng. Chúng ta sK bLt ;u ph;n này v3i mt kt qu@ là nh lý Schauder v ánh x không dãn. Nó là tr9ng h:p (c bi+t ca nh lý Schauder v i#m b$t ng sK :c gi3i thi+u trong ph;n sau. Knh lý 2.8. Cho C là mt tp con l i, óng và không r(ng c4a mt không gian tuy n
tính nh chuBn X v%i :F C C→ là ánh x không dãn và ( )F C là mt tp con c4a mt
tp con compact c4a C. Khi ó F có i9m bt ng.
Chúng minh:
Cho 0x C∈ . V3i 2,3,n = , nh ngha
28
0
1 1: 1nF F x
n n
= − +
Vì C là mt t=p l*i và 0x C∈ , ta suy ra :nF C C→ và nF là ánh x co. Theo nh lý 2.1
mPi nF có mt i#m b$t ng duy nh$t nx C∈ và
( ) ( ) 0
1 11n n n nx F x F x x
n n
= = − +
Hn n?a vì ( )F C nMm trong mt t=p con compact ca C nên t*n ti mt dãy con S các
s nguyên và u C∈ v3i
( )nF x u→ khi n → ∞ trong S.
V=y
( ) 0
1 11n nx F x x u
n n
= − + →
khi n → ∞ trong S.
Do tính liên tc
( ) ( )nF x F u→ khi n → ∞ trong S.
và do ó ( )u F u= .
Knh lý 2.9. Cho tp C l i, óng, b chn và khác r(ng trong không gian Hilbert H. Khi
ó m(i ánh x không dãn :F C C→ có ít nht mt i9m bt ng.
NhYn xét 2.3. Chú ý rMng tính duy nh$t là không nh$t thit. Ví d
( ) [ ], 0,1F x x x C= ∈ = là ánh x không dãn có vô s i#m b$t ng.
NhYn xét 2.4. Th)c t trong nh lý 2.9 chT c;n gi@ thit H là mt không gian Banach l*i u. Không gian Banach X :c g,i là không gian l*i u nu v3i m,i 0ε > , t*n ti ( ) 0εδ >
sao cho v3i m,i ,x y X∈ : 1, 1x y≤ ≤ và x y ε− ≥ ta luôn có ( )12
x yεδ
+≤ − . Hay
v3i hai i#m b$t k\ x, y thuc hình c;u n v, i#m 2
x y+ có kho@ng cách là dng t3i
biên ca hình c;u ó. # ch/ng minh nh lý 2.9 ta c;n t3i hai b6 sau. Be 9G 2.1. Cho H là mt không gian Hilbert v%i ,u v H∈ và cho r, R là các h5ng s+ v%i
0 r R≤ ≤ . N u t n ti mt x H∈ sao cho
,u x R v x R− ≤ − ≤ và 2
u vx r
+− ≥
29
thì
2 22u v R r− ≤ −
Ch<ng minh:
TN b$t Yng th/c hình bình hành ta có
( ) ( )
( )
22 2 2
22 2 2 2
2 2
2 2 4 42
u v u x v x u x v x
u vR R x R r
− = − + − − − − −
+≤ + − − ≤ −
Be 9G 2.2. Cho H là mt không gian Hilbert, C H⊆ và là tp b chn, :F C C→ là
mt ánh x không dãn. Gi s r5ng ,x C y C∈ ∈ và 2
x ya C
+= ∈ . G'i ( )Cδ là 2ng
kinh c4a C và cho ( )0 Cε δ< ≤ v%i ( )x F x ε− ≤ và ( )y F y ε− ≤ . Khi ó
( ) ( )2 2a F a Cε δ− ≤ .
Ch<ng minh:
Vì
( ) ( )2 2
a F a a F ax y x y
+ +− ≤ − + −
không m$t tính t6ng quát ta có th# gi@ thit
( ) 1
2 2
a F ax x y
+− ≥ − .
Vì
1
2a x x y− = −
ta có
( ) ( ) ( ) ( )1
2
F a x F a F x F x x
a x x yε ε
− ≤ − + −
≤ − + = − +
Áp dng b6 2.1 v3i 1 1
, ,2 2
r x y R x y u aε= − = − + = và ( )v F a= ta :c
30
( )
( )
2 2
2
1 12
2 2
2 2
2 2
a F a x y x y
x y x y
C
ε
ε ε ε ε
ε δ
− ≤ − + − −
= − + = − +
≤
Ch<ng minh nh lý 2.9:
Gi@ s 0x C∈ và ( )0 0f x x≠ (nu ( )0 0f x x= thì 0x là i#m b$t ng). V3i mPi
2,3,n = (t
( ) ( ) 0
1 1: 1nF x F x x
n n
= − +
v3i m,i x C∈
Ta có :nF C C→ và nF là ánh x co do F là ánh x không dãn. Theo nh lý 2.1 suy
ra t*n ti duy nh$t nx C∈ sao cho
( ) ( ) 0
1 11n n n nx F x F x x
n n
= = − +
suy ra
(2.6) ( ) ( ) ( )0
1 1n n nx F x F x x C
n nδ− = − ≤
v3i ( )Cδ là 9ng kính ca C. V3i 2,3,n = , (t
( ) ( )1:nQ x C x F x C
nδ = ∈ − ≤
ta :c
2 3 nQ Q Q⊆ ⊆ ⊆ ⊆ và nQ ≠ ∅ v3i m,i 2,3,n =
Dãy nQ là dãy gi@m các t=p óng, khác rPng. (t
(2.7) inf :n n
d x x Q= ∈
Do nQ là dãy gi@m suy ra 2 3 nd d d≤ ≤ ≤ ≤ , v3i ( )id Cδ≤ v3i mPi 2,3,i ∈ .
Suy ra t*n ti
( )limn
nd d Cδ
→∞= ≤
(t
[ ]2 08, 1n n
A Q B x d n= ∩ +
v3i
[ ] 0 0, 1 : 1B x d n x H x x d n+ = ∈ − ≤ +
31
Ta có nA là dãy gi@m các t=p óng khác rPng. Ch/ng minh nA ≠ ∅ , th=t v=y, tN (2.7)
suy ra t*n ti 28n nx Q∈ sao cho 20 8
1 1n n n
d x x d dn n
≤ − ≤ + < + suy ra nA ≠ ∅ .
Ta sK ch/ng minh ( )lim 0nn
Aδ→∞
= .
Gi@ s , nu v A∈ ta có
(2.8) 0
1u x d
n− ≤ + và 0
1v x d
n− ≤ +
Vì 28
,n
u v Q∈ ta có
( ) ( )2
1
8u F u C
nδ− ≤ và ( ) ( )2
1
8v F v C
nδ− ≤
Theo b6 2.2 suy ra
(2.9) ( ) ( ) ( )2
1 12 2 .
2 2 8
u v u vF C C C
n nδ δ δ
+ + − ≤ =
Suy ra 2 n
u vQ
+∈ và
02 n
u vx d
+− ≥ .
TN (2.8) và (2.9), theo b6 2.1 suy ra
221
2 nu v d dn
− ≤ + −
Vì v=y
( ) ( )2 22
2 12 0n n
dA d d
n nδ ≤ + + − → khi n → ∞
hay
( )lim 0nn
Aδ→∞
=
Theo nguyên lý Cantor áp dng cho dãy n
A suy ra t*n ti mt
*
2n
n
x A∞
=
∈
Vì
2
*
82
nn
x Q∞
=
∈
Ta có
32
( ) ( )* *28
Cx F x
n
δ− ≤ v3i m,i 2,3,n ∈
Mà ( )
20
8
C
n
δ→ khi n → ∞ nên suy ra ( )* *
F x x= .
Knh lý 2.10. Cho C là tp l i, óng, b chn trong không gian Hilbert, :F C C→ là
ánh x không dãn. Khi ó tp A các i9m bt ng c4a F là mt tp l i, óng, khác
r(ng.
Ch<ng minh:
Theo nh lý 2.9 suy ra A khác rPng. Vì F liên tc nên A là t=p óng. Thât v=y, gi@ s
nx A⊂ , nx x→ và ( )n nF x x=
suy ra ( )F x x= và x A∈ .
Ta sK ch/ng minh A là t=p l*i. Gi@ s
( ) ( ),u F u v F v= =
và
( )1m u vλ λ= + − v3i ( )0,1λ ∈
Ta ch/ng minh m A∈ Ta có
( )( )1u m u vλ− = − −
( )v m v uλ− = −
Do F không dãn ta có
( ) ( )( )1
u F m F m v u m v m
u v u v u vλ λ
− + − ≤ − + −
= − − + − = −
M(t khác
( ) ( )( ) ( )
u v u F m F m v
u v u F m F m v u v
− = − + −
− ≤ − + − ≤ −
Suy ra
( ) ( )u v u F m F m v− = − + −
(t ( ) ( ),x u F m y F m v= − = − ta :c
x y x y+ = +
Vì H là không gian l*i ch(t nên t*n ti 0α > sao cho
33
( ) ( )( )u F m F m vα− = −
suy ra
( ) ( )11
u vF m v v
αβ β
α+
= = + −+
v3i ( )10,1
1β
α= ∈
+
Ta ch/ng minh β λ= Gi@ s ng:c li, chYng hn β λ> , khi ó ta có
( ) ( ) ( )F v F m v F m u v u v v mβ λ− = − = − > − = −
mâu thu4n v3i F là ánh x không dãn. V=y β λ≤ . Tng t) ta cJng có β λ≥ . V=y β λ=
Suy ra ( ) ( )1F m u v mλ λ= + − = , hay t=p A các i#m b$t ng ca F là t=p l*i.
NhYn xét 2.5. Kt qu@ trên ây còn úng cho không gian Banach l*i u.
Knh lý 2.11. Cho H là không gian Hilbert thc và [ ] 0, :r
B B r x H x r= = ∈ ≤ v%i
0r > . Khi ó m(i ánh x không dãn : rF B H→ có ít nht mt trong hai tính cht sau:
(A1) F có i9m bt ng trong rB .
(A2) T n ti rx B∈∂ và ( )0,1λ ∈ v%i ( )x F xλ=
Ch<ng minh:
Ta xác nh phép co rút theo tia nh sau: : rr H B→ xác nh bFi
( ),
,
x x r
r x xr x r
x
≤
= >
r là ánh x không dãn.
Suy ra : r rr F B B→ là ánh x không dãn. Theo nh lý 2.9 suy ra t*n ti rx B∈ sao
cho ( )( )r F x x= . Nu ( ) rF x B∈ thì
( )( ) ( )x r F x F x= =
và F có mt i#m b$t ng, ngha là tính ch$t (A1) úng. Nu ( ) rF x B∉ thì
34
( )( ) ( )( )
( )F x
x r F x r F xF x
λ= = = v3i ( )
1r
F xλ = <
ngha là tính chât (A2) úng vì x r= hay rx B∈∂ .
Knh lý 2.12. Cho H là không gian Hilbert thc, :r
B x H x r= ∈ ≤ v%i 0r > , và cho
: rF B H→ là ánh x không dãn. Gi s r5ng v%i m'i rx B∈∂ mt trong các i0u ki6n
sau ây là úng:
(i) ( )F x x≤ ,
(ii) ( ) ( )F x x F x≤ − .
(iii) ( ) ( )2 22
F x x x F x≤ + − ,
(iv) ( ) 2,x F x x≤ .
Thì F có mt i9m bt ng trong rB .
Ch<ng minh:
Ta ch/ng minh nh lý khi (ii) úng. Gi@ s ng:c li, F không có i#m b$t ng. Theo
nh lý 2.11 suy ra t*n ti rz B∈∂ và ( )0,1λ ∈ v3i ( )z F zλ= , suy ra ( ) 0F z ≠ và
( ) ( )( ) ( ) ( )( )F z F F z F z F F zλ λ λ= ≤ −
suy ra
( ) ( ) ( )1F z F zλ≤ −
hay 1 1 λ≤ − v3i 0λ > , iu này là mâu thu4n. V=y F có i#m b$t ng.
2.3. Các 9Knh lý 9iMm bNt 9Hng cJa ánh x] liên t6c. Knh ngh\a 2.1. Hai không gian topo X và Y :c g,i là ng phôi nu t*n ti mt ánh x kh@ nghch :f X Y→ sao cho f và 1
f− là liên tc. Ánh x f :c g,i là phép ng
phôi. Knh ngh\a 2.2. Mt không gian topo X d:c g,i là có tính cht i9m bt ng nu m,i ánh x liên c :f X X→ u có i#m b$t ng. Knh lý 2.13. N u X có tính cht i9m bt ng và X ng phôi v%i Y thì Y cCng có tính
cht i9m bt ng.
Ch<ng minh:
cho :h X Y→ là phép *ng phôi và gi@ s rMng :g Y Y→ là ánh x liên tc. Chúng ta ph@i ch/ng minh rMng g có i#m b$t ng trong Y. Chú ý rMng
35
1 :h g h X X− →
là liên tc. Vì X có tính ch$t i#m b$t ng nên t*n ti 0x X∈ sao cho
( )10 0h g h x x
− =
Do ó ( )0 0g y y= v3i ( )0 0y h x= .
Knh ngh\a 2.3. Mt t=p con A ca mt không gian topo X là mt co rút ca X nu t*n ti mt ánh x liên tc :r X A→ sao cho ( )r a a= v3i m,i a A∈ . Ánh x r :c g,i
là phép co rút. Knh lý 2.14. N u X có tính cht i9m bt ng và A là mt co rút c4a X thì A có tính
cht i9m bt ng.
Ch<ng minh:
Cho :f A A→ là liên tc và :r X A→ là phép co rút. Ta sK ch/ng minh rMng f có i#m b$t ng trong A. Chú ý rMng
:f r X A X→ ⊆ là liên tc
Vì X có tính ch$t i#m b$t ng nên t*n ti 0x A∈ sao cho
( )0 0f r x x=
Vì ( )( )0f r x A∈ nên 0x A∈ . Nhng tN 0x A∈ và :r X A→ là phép co rút nên ta có
( )0 0r x x= . V=y ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0f r x f r x f x x= = = , 0x A∈ .
Trong , hình c;u óng n v là [ ]1,1− . Nu [ ] [ ]: 1,1 1,1f − → − là ánh x liên tc thì
f có i#m b$t ng trong [ ]1,1− . Th=t v=y, xét ánh x ( ) ( )g x x f x= − liên tc do f liên
tc và ( ) ( )1 0 1g g− ≤ ≤ và do ó ph@i t*n ti [ ]0 1,1x ∈ − sao cho
( ) ( )0 0 0 0g x x f x= − = hay ( )0 0f x x= . V=y [ ]-1,1 có tính ch$t i#m b$t ng.
Knh lý 2.15. Hình cu óng n v [ ]0,1B B= trong
n có tính cht i9m bt ng.
Vi+c ch/ng minh nh lý này c;n s dng nhiu kt qu@ và khá dài nên không :c trình bày trong lu=n vDn này. Ch/ng minh chi tit nh lý có th# tham kh@o trong [6] Knh lý 2.16. M'i tp con l i, óng, b chn và khác r(ng trong n
0u có tính cht
i9m bt ng.
Ch<ng minh:
Gi@ s C là t=p con l*i, óng, b ch(n và khác rPng trong n và :f C C→ là ánh x
liên tc. Ta sK ch/ng minh f có i#m b$t ng trong C.
36
Vì C là t=p b ch(n do ó C ch/a trong mt hình c;u óng *B trong n
. Mà *B *ng
phôi v3i B, theo nh lý 2.13 và 2.15 suy ra *B có tính ch$t i#m b$t ng.
Do C là t=p l*i, óng, b ch(n nên v3i x b$t k\ thuc n
thì x C− là l*i, óng, b ch(n trong n
. Do n là không gian Hilbert nên t*n ti duy nh$t y C∈ sao cho
inf :x y x u u C− = − ∈
(t Px y= , ta ch/ng minh P là ánh x không dãn. Th=t v=y, c nh z C∈ , ta xác nh
[ ]: 0,1ψ +→
bFi
( ) ( )2
1t x t y tzψ = − − −
# ý rMng ( )1 t y tz C− + ∈ do C là t=p l*i. Ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ]
2 2 22
2
,
2 ,
0 , 0,1
t x y t y z x y t y z
x y t y z x y t y z x y
x y t t
ψ
ψ ψ
= − + − − + −
= − + − − + − ≥ −
= − ≤ ∀ ∈
V=y
( ) ( ) ( )0
0' 0 lim 0
t
t
t
ψ ψψ
+→
−= ≥
suy ra
( ) ( )2 , ' 0 ' 0 0ty z x y ψ ψ− − = = ≥
Thay y Px= ta :c
( )' 0 2 , 0Px x z Pxψ = − − ≥
Do n
x ∈ , z C∈ , thay z Py= v3i y nào ó thuc n ta :c
, 0 , 0Px x Py Px Px x Px Py− − ≥ ⇔ − − ≤
Tng t) , 0 , 0Py y z Py Py y Px Py− − ≥ ⇔ − − ≥
TN ó suy ra
37
( )2
2
, 0
, 0
,
x y Px Py Px Py
x y Px Py Px Py
Px Py x y Px Py x y Px Py
Px Py x y
− − − − ≥
⇔ − − − − ≥
⇔ − ≤ − − ≤ − −
⇔ − ≤ −
V=y P là ánh x không dãn, nên là ánh x liên tc. V3i m,i x C∈ ta có ( )P x x= dó ó
: n
f P C→ là liên tc
Vì *B có tính ch$t i#m b$t ng nên t*n ti *
0x B∈ sao cho
( )0 0f P x x=
hay
( )( )0 0f P x x C= ∈
suy ra ( )0 0P x x= suy ra ( )( ) ( )0 0 0f P x f x x= =
V=y 0x là i#m b$t ng ca f.
NhYn xét 2.6. Vì m,i không gian tuyn tính nh chuGn h?u hn chiu u *ng phôi v3i n v3i d imn X= nên m,i t=p con l*i, óng, b ch(n và khác rPng ca mt không
gian tuyn tính nh chuGn h?u hn chiu u có tính ch$t i#m b$t ng. Knh lý 2.17.(Nguyên 7LSchauder) M'i tp con l i, khác r(ng, compact K c4a không
gian nh chuBn X có tính cht i9m bt ng.
Ch<ng minh:
Cho :T K K→ là ánh x liên tc, 0ε > c nh tùy ý. Do K là t=p compact suy ra t*n ti ε l3i h?u hn 1 2, , , na a a K⊂ sao cho
( )1
,n
i
i
K B a ε=
⊂
Ta xác nh im ( )1,2, ,i n= trên K bFi
( )0,
,
i
i
i i
x am x
x a x a
ε
ε ε
− ≥=
− − − <
im liên tc trên K. Ta xác nh 0 1:
n
i iK K K span aϕ
=→ = ∩ bFi
38
( )( )
( )1
1
n
i i
i
n
i
i
m x a
x
m x
ϕ =
=
=
ϕ hoàn toàn xác nh vì nu x K∈ thì ( ),i ix B a ε∈ , suy ra ( ) 0im x > suy ra
( )1
0n
i
i
m x=
≠
ϕ liên tc và v3i m,i x K∈ ta có ( )x xϕ ε− ≤ . Th=t v=y, (t
( ) ( )1
n
i
i
m x m x=
= v3i x K∈
V=y ( ) 0m x ≠ và
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
1
1
1
1
1
1
n
i i
i
n
i i
i
n
i
i
x x m x x m x am x
m x x am x
m xm x
ϕ
ε ε
=
=
=
− = −
≤ −
< =
vì nu ix a ε− ≥ thì ( ) 0im x = .
Xét ánh x T xác nh bFi
T Tϕ=
Xét 0 0:T K K→ . Do 0K là t=p l*i, óng, b ch(n trong không gian h?u hn chiu nên
T có i#m b$t ng 0x K∈ . V=y
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x Tx x T x T x T x
T x T xϕ ε
− ≤ − + −
= − <
suy ra
inf : 0z Tz z K− ∈ =
V=y t*n i nx K⊂ sao cho
0n nx Tx− → khi n → ∞
Do K t=p compact < nx K⊂ nên t*n i &'y con
kn nx x⊂ < *
knx x K→ ∈ khi k → ∞
39
Cho qua gi3i n suy ra
* * 0x Tx− = hay * *Tx x=
V=y *
x i#m b$t ng a T.
Knh ngh\a 2.4. Z-@ s t=p M X⊂ v3i X mt không gian Banach. T=p c i#m
1 2, , , nx x x M⊂ :c ,i mt ε _l3i cho M nu v3i >,i x M∈ luôn m :c
ix sao cho ix x ε− < , hay <2i >,i x M∈ min : 1,2, ,i
x x i n ε− = < .
T=p M :c ,i compact tng i nu < Tnu v3i >,i 0ε > t*n i mt ε _l3i a M.
Knh ngh\a 2.5. Cho X, Y hai không gian nh chuGn < M X⊂ , nh % :f M Y→
:c ,i n tcompact trên M nu f liên c trên M< ( )f M K∩ t=p compact
tng i v3i >,i t=p Kch(n trong X. H>cd.2.1.(H>cd.;Ja nguyên 7LSchauder) Cho K tp l i, ng, chn, 3$c
r(ng #4a không gian nh chuBn X, :f K K→ :$n tcompact. Khi f #i9m
bt ng trong K.
Ch<ng minh:
Ta 2 ( )f K K⊂ , (t
( )0K conv f K K= ⊂
XK l*i, 2ng, 0 0:f K K→ , 0K compact. Theo nh !2.17 suy ra f 2i#m b$t
ng trong K.
Bây gi9ta ]Kxem %Wt mt /ng &ng a nguyên !Schauder vi#m b$t ng trong vi+c ch/ng minh t*n i nghi+m a phng nh vi phân v3i iu ki+n ban ;u.
Z-@ thit G t=p mF trong 1n+
, nh % : nf G → liên c trên G. V3i b$t 0\
( )0 0,t x G∈ , v3i 0 0, nt x∈ ∈ , t*n i 0δ > sao cho phng nh
( )( ),dx
f t x tdt
=
2nghi+m trong 0 @ng ( )0 0,t tδ δ− + Qa >'n iu ki+n ( )0 0x t x= .
Ei n tng ng v3i phng nh 5ch phân
( )( ) ( )( ) ( )0
0: ,t
tF x t x f s x s ds x t= + =
trong không gian [ ]0 0,C t tδ δ− + . " ,n 0, 0rδ > > sao cho
40
[ ] [ ]0 0 0, ,M t t B x r Gδ δ= − + × ⊂
vi+c l)a ,n th)c hi+n :c <G t=p mF. M t=p compact trong 1n+
, f m liên c trên M, do f liên c trên G, suy ra fch(n trên M, suy ra
( ),n
f t x c≤
v3i >,i ( ),t x M∈
(t
[ ] [ ] 0 0
0 0 0 ,, :
C t tK y C t t y x r
δ δδ δ
− += ∈ − + − ≤
V3i >,i [ ]0 0, , ,t s t t t sδ δ∈ − + < , v3i >,i x K∈ ta 2
( )( ) ( )( ) ( )( ),n
s
tF x t F x s f u x u du c s t ε− ≤ ≤ − <
nu s tc
εδ− < = , v3i >,i x K∈ . Suy ra ( )F x liên c *ng b=c, ( )F K ch(n
u trên K
( ) ( )( )0
0 ,t
tF x x f s x s ds≤ +
Theo nh !^_` - Ascoli suy ra ( )F K compact tng i. V3i >,i x K∈ ta 2:
( ) [ ]0 00 ,C t t
F x x c rδ δ
δ− +
− ≤ <
nu δ Q. Khi 2 ( )F K K⊂ . Xf liên c u trên M, do f liên c trên t=p M
t=p compact, suy ra F n tliên c trên K, suy ra F n tcompact. Theo h+HI@nguyên !Schauder ([email protected]) suy ra F2i#m b$t ng trong K, <2 5nh nghi+m a phng nh vi phân v3i iu ki+n ban ;u.
41
CHNG 3
I N DIRICHLET I VI H PHNG TRÌNH ELLIPTIC NA TUYN TÍNH TRÊN
MIN KHÔNG B CHN
Trong chng này chúng ta xen %Wt s) t*n ti ca nghi+m yu ca bài toán Dirichlet i v3i mt h+ các phng trình Elliptic na tuyn tính trên min không b ch(n trong không gian n
. Các ch/ng minh d)a trên nh lý i#m b$t ng trong không gian Banach.
3.1. Vt Pi /+n. Trong chng này chúng ta xét bài toán Dirichlet sau: (3.1) ( ) ( )1 ,u q x u u v f u vα β−∆ + = + + trong Ω
( ) ( )2 ,v q x v u v f u vδ γ−∆ + = + +
0u ∂Ω = , 0v ∂Ω =
(3.2) ( ) ( )0, 0u x v x→ → khi x → +∞
Ω là min không b ch(n v3i biên ∂Ω trn trong n
, , , ,α β δ γ là các s th)c ã cho,
0, 0β δ> > ; ( )q x là mt hàm xác nh trong Ω , ( ) ( )1 2, , ,f u v f u v là các hàm không
tuyn tính v3i ,u v sao cho:
(3.3) ( ) ( )0 nq x C∈ và ( )0 00, , .q q x q x∃ > ≥ ∀ ∈Ω
( )q x → +∞ khi x → +∞
( ),if u v là liên tc Lipschitz trong n v3i hMng s ( )1,2ik i = .
(3.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2, , , , , ,i i i
f u v f u v k u u v v u v u v− ≤ − + − ∀ ∈
42
Mc ích ca chng y là nghiên c/u s) t*n ti ca nghi+m yu ca bài toán (3.1) – (3.2) v3i các gi@ thit (3.3), (3.4) và các iu ki+n phù h:p ca các tham s , , ,α β δ γ . Tr3c ht chúng ta lu ý rMng bài toán Dirichlet cho h+ (3.1) trong mt min b ch(n trn ã :c nghiên c/u bFi Zuluaga trong [8]. Xuyên sut chng y, ( ).,. và . là ký hi+u ca tích vô h3ng và chuGn thông
th9ng trong ( ) ( )2 1;L HΩ Ω là không gian Sobolev thông th9ng.
Chúng ta nh ngha trong ( )0C
∞ Ω chuGn (nh trong [7]).
(3.5) ( )
1
22 2
0,,
qu Du qu dx u C
∞
ΩΩ
= + ∀ ∈ Ω
Và tích vô h3ng
(3.6) ( ) ( ) ( ), , .q qa u v u v DuDv qu v dx
Ω
= = +
V3i
( )01 2
, ,..., , ,n
u u uDu u v C
x x x
∞ ∂ ∂ ∂= ∀ ∈ Ω
∂ ∂ ∂
Sau ó ta g,i không gian ( )0
qV Ω là không gian ( )0C∞ Ω :c b6 sung theo chuGn
,.
q Ω. Hn th n?a, không gian ( )0
qV Ω có th# :c xem nh là mt không gian
Sobolev - Slobodeski v3i tr,ng.
M>nh 9G 3.1. (Xem [7]) ( )0qV Ω là mt không gian Hilbert trù mt trong ( )2
L Ω , và
phép nhúng c4a ( )0qV Ω vào ( )2
L Ω là liên tc và compact.
Vì
( ) ( ) ( )0
2 22 20 0,
qq V
a u u D u qu dx Du dx q u dx uγΩ
Ω Ω Ω
= + ≥ + ≥
v3i 0 0γ > . V=y ( ),qa u v Qa >'n iu ki+n b/c.
Theo b6 Lax-Milgram ta xác nh mt toán t duy nh$t qH trong ( )2L Ω sao cho
( ) ( ) ( ) ( )0, , , D ,q q q q
H u v a u v u H v V= ∀ ∈ ∀ ∈ Ω
V3i
( ) ( ) ( ) ( ) 0 2:q q q
D H u V H u q u L= ∈ Ω = −∆ + ∈ Ω .
43
Hi#n nhiên là toán t
( ) ( ) ( )2 2:q q
H D H L L⊂ Ω → Ω
Là mt toán t tuyn tính v3i min giá tr ( ) ( )2q
R H L⊂ Ω .
Vì ( )q x là dng, toán t
qH là dng theo ngha là;
( )( )
( )2, 0, Dq qL
H u u u HΩ
≥ ∀ ∈ .
và t) liên h:p
( )( )
( )( )
( )2 2, , , ,q q qL L
H u v u H v u v D HΩ Ω
= ∀ ∈ .
Toán t nghch @o ca nó 1qH− xác nh trên ( ) ( )2
qR H L∩ Ω v3i min giá tr ( )q
D H ,
:c xem nh là mt toán t vào ( )2L Ω . Theo m+nh 3.1 1
qH− là toán t compact
trong ( )2L Ω . Do ó ph6 ca qH bao g*m mt dãy m :c các giá tr riêng 1k k
λ∞
=.
1 20 ,k kλ λ λ λ< < ≤ ≤ ≤ → +∞ khi k → +∞
M,i hàm riêng ( )k xϕ tng /ng v3i kλ ( )1,2,k = là liên tc và b ch(n trên Ω và
t*n ti các hMng s dng ,α β sao cho
( ) e x
kx
βϕ α −≤ vi x l3n.
Hn n?a hàm riêng ( )1 0xϕ > trong Ω (xem [7]).
M>nh 9G 3.2. (Nguyên lý cfc 9]i, xem [7]) . Gi s r5ng ( )q x th7a mãn gi thi t
(3.3), và 1λ λ< , thì v%i m(i ( )g x trong ( )2L Ω , t n ti nghi6m duy nht ( )u x c4a bài
toán sau:
( )qH u u g xλ− = trong Ω
0u ∂Ω = , ( ) 0u x → khi x → +∞ .
Hn n*a, n u ( ) 0g x ≥ , ( ) 0g x ≡/ trong Ω thì ( ) 0u x > trong Ω .
Theo m+nh 3.2 suy ra rMng v3i 1λ λ< , toán t qH λ− là kh@ nghch
( ) ( ) ( )0q q q
D H D H Vλ− = ⊂ Ω
và nghch @o ca nó
44
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2:
q qH L D H Lλ
−− Ω → ⊂ Ω
:c xem nh là mt toán t vào ( )2L Ω . Theo m+nh 3.1, ( ) 1
qH λ
−− là toán t
compact. Nh=n xét thêm rMng:
(3.7) ( ) ( ) ( )1 1
, 1,2,q k k
k
H x x kλ ϕ ϕλ λ
−− = =
−
Knh ngh\a 3.1. Mt c(p ( ) ( ) ( )0 0,
q qu v V V∈ Ω × Ω :c g,i là nghi+m yu ca bài toán
(3.1), (3.2) nu: (3.8) ( ) ( ) ( ) ( )( )1, , , , ,qa u u v f u vϕ α ϕ β ϕ ϕ= + +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 0, , , , , ,qa v u v f u v Cϕ δ ϕ γ ϕ ϕ ϕ ∞= + + ∀ ∈ Ω .
Nu ( )2,u v C∈ Ω thì nghi+m yu ( ),u v là nghi+m c6 i#n ca bài toán.
3.2. Sf tgn /]i cJa nghi>m yBu cJa bài toán Dirichlet. 3.2.1. Gi@ s rMng
( )0 1min ,qγ λ<
V3i 1λ là giá tr riêng th/ nh$t ca toán t qH .
Cho 0u c nh trong ( )0qV Ω . Chúng ta xét bài toán Dirichlet
(3.9) ( ) ( )0 2 0 ,q
H v u f u vγ δ− = + trong Ω
0v ∂Ω = , ( ) 0v x → khi x → +∞
Tr3c ht lu ý rMng, tN chP
( )0 1min ,qγ λ<
<
( ) 0q x γ− > trong Ω
suy ra qH γ− là toán t dng, t) liên h:p trong ( )2L Ω . Hn n?a, toán t ( )q
H γ− là
kh@ nghch và
45
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2:
q qH L D H Lγ
−− Ω → ⊂ Ω
là liên tc compact trong ( )2
L Ω . Do ó ph6 ca qH γ− bao g*m mt dãy m :c
các giá tr riêng
1
kk
λ∞
=, v3i k kλ λ γ= − .
1 2ˆ ˆ ˆ0 kλ λ λ< < ≤ ≤ ≤
Bên cnh ó, ta có:
( )( )2
1
1
1q
L
H γλ γ
−
Ω− ≤
−
V3i gi@ thit (3.4), cho v c nh trong ( )0
qV Ω , ( ) ( )22 0 ,f u v L∈ Ω , thì bài toán
(3.10) ( ) ( )0 2 0 ,q
H w u f u vγ δ− = + trong Ω
0w ∂Ω = , ( ) 0w x → khi x → +∞
Có mt nghi+m duy nh$t ( )0 ,w w u v= trong ( )qD H xác nh bFi
( ) ( )1
0 2 0 ,q
w H u f u vγ δ−
= − + .
Do ó, v3i mPi 0u c nh trong ( )0
qV Ω , t*n ti mt toán t ( )0A A u= ánh x ( )0qV Ω
vào ( ) ( )0q q
D H V⊂ Ω sao cho:
(3.11) ( ) ( ) ( )1
0 0 2 0 ,q
Av A u v w H u f u vγ δ−
= = = − +
M>nh 9G 3.3. V%i m'i ( )0, qv v V∈ Ω chúng ta có %c lng sau
(3.12) 2
1
kAv Av v v
λ γ− ≤ −
−
V%i . là chuBn trong ( )2L Ω .
Ch<ng minh: Cho ( )0, qv v V∈ Ω ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
2 0 2 0
2 0 2 01
, ,
1, ,
qAv Av H f u v f u v
f u v f u v
γ
λ γ
−− = − −
≤ −−
Theo gi@ thit (3.4) ta suy ra:
46
( ) ( )2 0 2 0 2, ,f u v f u v k v v− ≤ −
TN ó ta có 3c l:ng (3.12). Knh lý 3.1. Gi s r5ng:
(3.13) ( ) 20 1
1
min , , 1k
qγ λλ γ
< <−
Khi ó v%i m'i 0u c+ nh trong ( )0qV Ω , t n ti mt nghi6m y u ( )0v v u= c4a bài toán
Dirichlet (3.9).
Ch<ng minh: TN (3.11), (3.12) và (3.13) ta suy ra n t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 20 :
q qA A u L V D H L= Ω ⊃ Ω → ⊂ Ω
Sao cho mPi ( )0 ,qv V∈ Ω
( ) ( )1
0 2 0 ,q
Av H u f u vγ δ−
= − +
là mt ánh x co trong ( )2
L Ω .
Cho ( )00 qv V∈ Ω . Ta ký hi+u
1 0 1, , 1,2k kv Av v Av k−= = =
Ta nh=n :c mt dãy 1k kv
∞
=trong ( )q
D H . Do 0A Au= là ánh x co trong ( )2L Ω ,
1k kv
∞
= là mt dãy c b@n trong ( )2
L Ω .
Vì v=y t*n ti mt gi3i hn lim k
kv v
→+∞= trong ( )2
L Ω , hay:
(3.14) lim 0k
kv v
→+∞− = .
Hn n?a v là i#m b$t ng ca toán t :A v Av= trong ( )2
L Ω .
M(t khác v3i m,i *,k l ∈ ta có
( ) ( )( ) ( )( ) ( )0, , , ,q k l q k l k l q
a v v H v v v v H Cϕ ϕ ϕ ϕ ∞− = − = − ∀ ∈ Ω
Áp dng 3c l:ng Schwarz chúng ta có
( ) ( )0, . ,q k l k l q
a v v v v H Cϕ ϕ ϕ ∞− ≤ − ∀ ∈ Ω .
Vì th 1k kv
∞
=là mt dãy hi t yu trong không gian Hilbert ( )0
qV Ω
47
V=y t*n ti ( )0qv V∈ Ω sao cho
(3.15) ( ) ( ) ( )0lim , , ,
q k qk
a v a v Cϕ ϕ ϕ ∞
→+∞= ∈ Ω
Vì phép nhúng ca ( )0qV Ω vào ( )2
L Ω là liên tc và compact nên dãy 1k kv
∞
= hi t
yu n v trong ( )2L Ω . TN ó suy ra v v= .
Bên cnh ó, theo gi@ thit (3.4) ta có 3c l:ng:
( ) ( )2 0 2 0 2, ,k k
f u v f u v k v v− ≤ − .
S dng (3.14), cho k → +∞ ta nh=n :c (3.16) ( ) ( )2 0 2 0lim , ,k
kf u v f u v
→+∞= trong ( )2
L Ω
Trong ph;n tip theo ta sK ch/ng minh v xác nh bFi (3.14) là nghi+m yu ca bài toán (3.9). V3i mPi ( )0Cϕ ∞∈ Ω ,
( ) ( ) ( )( ) ( ), , , ,q k q k q k ka v H v H v vϕ ϕ γ ϕ γ ϕ= = − +
( )( ) ( ), ,k q kv H vγ ϕ γ ϕ= − +
( )( ) ( )1, ,k q kAv H vγ ϕ γ ϕ−= − +
( ) ( ) ( )( ) ( )1
0 2 0 1, , ,q k q kH u f u v H vγ δ γ ϕ γ ϕ−
−= − + − +
( )( ) ( )0 2 0 1, , ,k ku f u v vδ ϕ γ ϕ−= + +
( ) ( )( ) ( )0 2 0 1, , , ,k ku f u v vδ ϕ ϕ γ ϕ−= + +
Cho k → +∞ , theo (3.14), (3.15) và (3.16) ta có
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 2 0 0, , , , , ,qa v u v f u v Cϕ δ ϕ γ ϕ ϕ ϕ ∞= + + ∀ ∈ Ω
V=y v là nghi+m yu ca bài n Dirichlet (3.9). Ch/ng minh hoàn t$t.
3.2.2. V3i gi@ thit (3.13) theo nh lý 3.1 v3i mPi ( )0qu V∈ Ω t*n ti mt nghi+m yu
( )v v u= ca bài toán Dirichlet (3.9).
48
Ta ký hi+u B là mt toán t ánh x tN ( )0qV Ω vào ( ) ( )0
q qD H V⊂ Ω sao cho v3i m,i
( )0qu V∈ Ω
(3.17) ( ) ( )1
2 ,q
Bu v H u f u Buγ δ−
= = − +
M>nh 9G 3.4. V%i m'i ( )0, qu u V∈ Ω ta có %c lng sau:
(3.18) 2
1 2
kBu Bu u u
k
δλ γ
+− ≤ −
− −
Ch<ng minh: Cho ( )0, qu u V∈ Ω ta có
( ) ( ) ( ) ( )1
2 2, ,qBu Bu H u u f u Bu f u Buγ δ−
− = − − + −
( )2 21
2 2
1 1
1
.
u u k u u k Bu Bu
k ku u Bu Bu
δλ γ
δλ γ λ γ
≤ − + − + −−
+≤ − + −
− −
Theo (3.13), 1 2 0kλ γ− − > , ta suy ra
2 2
1 1
1k k
Bu Bu u uδ
λ γ λ γ
+− − ≤ −
− −
TN ó ta nh=n :c 3c l:ng (3.18) 3.2.3. Gi@ s rMng
( )0 1min ,qα λ<
V3i 1λ là giá tr riêng th/ nh$t ca toán t qH
V3i m,i ( )0qu V∈ Ω , ( ) ( )0
q qBu D H V∈ ⊂ Ω , v3i B là toán t xác nh bFi (3.17). V3i
gi@ thit (3.4), ( ) ( )21 ,f u Bu L∈ Ω nên ( ) ( )2
1 ,Bu f u Bu Lβ + ∈ Ω .
Vì v=y v3i m,i ( )0
qu V∈ Ω bài n bin phân:
(3.20) ( ) ( )1 ,q
H U Bu f u Buα β− = + trong Ω
( )0, 0U U x∂Ω = → khi x → +∞
có mt nghi+m duy nh$t
49
( ) ( )1
1 ,q
U H Bu f u Buα β−
= − + trong ( )qD H .
Vì v=y t*n ti mt toán t
( ) ( ) ( )0 0:q q q
T V D H VΩ → ⊂ Ω
sao cho v3i m,i ( )0
qu V∈ Ω
(3.21) ( ) ( )1
1 ,q
U Tu H Bu f u Buα β−
= = − +
là nghi+m ca bài toán (3.20). V3i cách làm tng t) F m+nh 3.4 ta có m+nh sau. M>nh 9G 3.5. V%i m'i ( )0, qu u V∈ Ω ta có %c lng
(3.22) Tu Tu h u u− ≤ −
V%i
( )( ) ( )( )( )1 2 1 1 2
1 1 2
k k k kh
k
β δ λ γ
λ α λ γ
+ + + − −=
− − −
Chú ý rMng T :c coi nh là mt toán t vào ( )2L Ω , là mt ánh x co nu:
( )( ) ( )
( )( )1 2 1 1 2
1 1 2
1k k k k
hk
β δ λ γ
λ α λ γ
+ + + − −= <
− − −
Hi#n nhiên rMng b$t Yng th/c này thQa mãn nu và chT nu:
(3.23) 1 1 0kλ α− − > và ( )( )
( )( )1 2
1 1 1 2
1k k
k k
β δ
λ α λ γ
+ +<
− − − −
Knh lý 3.2. Gi s i0u ki6n (3.13) và (3.23) là th7a mãn thì t n ti mt nghi6m y u u
trong ( )0qV Ω c4a bài toán bi n phân sau:
(3.24) ( ) ( )1 ,q
H u Bu f u Buα β− = +
( )0, 0u u x∂Ω = → khi x → +∞ .
Ch<ng minh: V3i iu ki+n (3.23), toán t T xác nh bFi (3.21) là mt ánh x co trong
( )2L Ω .
Cho ( )0
0 qu V∈ Ω , ta kí hi+u
1 0 1, , 1,2,k ku Tu u Tu k−= = =
50
Ta nh=n :c mt dãy 1k ku
∞
= trong ( )qD H . Vì T là ánh x co trong ( )2L Ω , 1k k
u∞
= là
dãy c b@n trong ( )2L Ω . Vì v=y t*n ti mt gi3i hn:
lim k
ku u
→+∞= trong ( )2L Ω hay
(3.25) lim 0k
ku u
→+∞− =
Hn n?a u là i#m b$t ng ca toán t :T u Tu= trong ( )2L Ω .
Tng t) v3i ch/ng minh nh lý 3.1 ta có dãy 1k ku
∞
= là hi t yu trong ( )0
qV Ω và
t*n ti ( )0qu V∈ Ω sao cho
(3.26) ( ) ( ) ( )0lim , , ,q k q
ka u a u Cϕ ϕ ϕ ∞
→+∞= ∀ ∈ Ω
Vì phép nhúng ca ( )0qV Ω vào ( )2L Ω là liên tc và compact nên dãy 1k k
u∞
= hi t
yu n v trong ( )2L Ω vì v=y .v v= Bên cnh ó v3i gi@ thit (3.4) và b$t Yng th/c
(3.18) ta có:
( ) ( ) ( )1 1 1, ,k k k k
f u Bu f u Bu k u u Bu Bu− ≤ − + −
Và
2
1 2k k
kBu Bu u u
k
δλ γ
+− ≤ −
− −
Cho k → +∞ tN (3.25) ta suy ra: (3.27) lim k
kBu Bu
→+∞= trong ( )2L Ω
( ) ( )1 1lim , ,k kk
f u Bu f u Bu→+∞
= trong ( )2L Ω
Hn n?a v3i m,i ( ) ( )0x Cϕ ∞∈ Ω
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), , , , ,q k q k k q k q ka u H u u H u H uϕ ϕ ϕ α ϕ α ϕ= = = − +
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
, , ,
, , ,
, , , ,
q k k k q k
k k k k
k k k k
H Bu f u Bu H u
Bu f u Bu u
Bu f u Bu u
α β α ϕ α ϕ
β ϕ α ϕ
β ϕ ϕ α ϕ
−
− − −
− − −
− − −
= − + − +
= + +
= + +
Cho k → +∞ , theo (3.26), (3.27) ta có
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 0, , , , , ,qa u Bu f u Bu u Cϕ β ϕ ϕ α ϕ ϕ ∞= + + ∀ ∈ Ω .
51
V=y, u là nghi+m yu ca bài toán (3.24). Kt thúc ch/ng minh dinh lý.
Knh lý 3.3. Gi s r5ng i0u ki6n (3.13), (3.23) th7a mãn. T n ti mt nghi6m y u
( ) ( ) ( )0 00 0, q qu v V V∈ Ω × Ω c4a bài toán Dirichlet (3.1), (3.2).
Ch<ng minh: V3i gi@ thit (3.13), tN nh lý 3.1 t*n ti mt toán t
( ) ( ) ( )0 0:q q q
B V D H VΩ → ⊂ Ω
Sao cho v3i m,i ( )0qu V∈ Ω
( ) ( )1
2 ,q
Bu H u f u Buγ δ−
= − +
M(t khác theo nh lý 3.2 v3i gi@ thit (3.23) bài toán bin phân (3.24) có nghi+m yu
( )00 qu V∈ Ω .
Ta ký hi+u 0 0v Bu= . Khi ó ( )0 0,u v là nghi+m yu ca bài toán (3.1), (3.2).
52
LI K&T
ac 5ch a lu=n vDn, nh ' c=p trong ph;n mF ;u p &ng nguyên !i#m b$t ng a nh %co trong không gian Banach #nghiên c/u s)t*n i a nghi+m yu a i n toán Dirichlet sau: (3.1) ( ) ( )1 ,u q x u u v f u vα β−∆ + = + + trong Ω
( ) ( )2 ,v q x v u v f u vδ γ−∆ + = + +
0u ∂Ω = , 0v ∂Ω =
(3.2) ( ) ( )0, 0u x v x→ → khi x → +∞
Ω là min không b ch(n v3i biên ∂Ω trn trong n
, , , ,α β δ γ là các s th)c ã cho, 0, 0β δ> > ; ( )q x là mt hàm xác nh trong Ω , ( ) ( )1 2, , ,f u v f u v
là các hàm không tuyn tính v3i ,u v sao cho: (3.3) ( ) ( )0 n
q x C∈ và ( )0 00, , .q q x q x∃ > ≥ ∀ ∈Ω
( )q x → +∞ khi x → +∞
( ),if u v là liên tc Lipschitz trong n
v3i hMng s ( )1,2ik i = .
(3.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2, , , , , ,
i i if u v f u v k u u v v u v u v− ≤ − + − ∀ ∈
v3i các gi@ thit (3.3), (3.4) và các iu ki+n phù h:p ca các tham s bMng ch quy vi+c m nghi+m yu a i n vvi+c m c i#m b$t ng a mt nh xco 5ch h:p.
53
I LI!U THAM =WO
[1] Tr;n /c Vân, D/ thuy t phng nh vi phân o m riêng, B
xu$t @n i ,c Quc gia ONi.
[2] Ong y, Em thc ="i ch m, B xu$t @n i ,c Quc
gia ONi.
[3] PH*ng Tân, Nguy8n Thanh O, F$c nh /i9m bt ng, B
xu$t @n i ,c S C m ONi.
[4] Seminar Phng nh vi phân o m riêng. Bmôn -@i 5ch, Khoa
n - c - tin, i ,c khoa ,c t)nhiên, i ,c Quc gia ONi.
[5]Ong Quc n, On a system of Semilinear Elliptic Equation on an
Unbounded Domain, Vietnam Journal of Mathematics 33:4 (2005)
381-398
[6] Ravi P.Agarwal, Maria Meehan and Donal O' Regan, Fixed point
theory and applications, Cambridge University Press.
[7] A. Abakhti-Mchachti and J. Fleckinger-Pelle, Existence of Positive
Solutions for Non Cooperatives Semilinear Elliptic System Defined on
an Unbounded Domain, Partial Differential Equations, Pitman
Research Notes in Math, Series 273, 1992.
[8] M. Zuluaga, On a nonlinear elliptic system: resonance and bifurcation
cases, Comment. Math. Univ. Caroliae 40 (1999) 701-711
Related Documents
