VẬT LÝ CHẤT RẮN TS. Ngô Văn Thanh Viện Vật Lý Hà Nội - 2016
VẬT LÝ CHẤT RẮN
TS. Ngô Văn Thanh
Viện Vật Lý
Hà Nội - 2016
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 2
Tài liệu tham khảo
[1] Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th Eds. (John Wiley & Sons, 2005)
[2] Đào Trần Cao, Cơ sở vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007).
[3] Charles Kittel, Mở đầu vật lý chất rắn, (Đặng Mộng Lân và Trần Hữu Phát dịch), (NXB KHKT Hà Nội, 1984).
[4] Nguyễn Ngọc Long, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007).
[5] Lê Khắc Bình, Nguyễn Nhật Khanh, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG TP. HCM, 2002)
Website : http://iop.vast.ac.vn/~nvthanh/cours/vatlychatran/
Email : [email protected]
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 3
CHƯƠNG 6. KHÍ FERMI CỦA ĐIỆN TỬ TỰ DO
1. Các mức năng lượng một chiều
2. Phân bố Fermi-Dirac
3. Khí điện tử tự do 3 chiều
4. Nhiệt dung của khí điện tử
5. Độ dẫn điện và định luật Ohm
6. Chuyển động trong từ trường
7. Độ dẫn nhiệt của kim loại
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 4
1. Các mức năng lượng một chiều
Energy levels in one dimension Xét một điện tử có khối lượng m bị giam trong các rào thế cao vô hạn cách nhau
một khoảng L
Phương trình Schrödinger
Bỏ qua phần thế năng,
hamiltonian có dạng
Toán tử xung lượng
Viết lại phương trình Schrödinger
là năng lượng của electron trong “quỹ đạo”
mỗi “quỹ đạo” ký hiệu cho nghiệm của hàm sóng đối với hệ chỉ có một điện tử
Mô hình quỹ đạo chỉ đúng nếu như các điện tử không tương tác với nhau
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 5
1. Các mức năng lượng một chiều
Điều kiện biên cho hàm sóng
Để thoả mãn các điều kiện biên thì hàm sóng phải có dạng hàm sin
• A : là hằng số
• n : là số nguyên, là số các nửa bước sóng trong khoảng từ 0 đến L :
Thay hàm sóng vào phương trình Schrödinger
Suy ra năng lượng :
Xét hệ N điện tử nằm trên một đường thẳng
Theo nguyên lý Pauli : chỉ có một điện tử trên một quỹ đạo
Các số lượng tử của quỹ đạo điện tử dẫn :
• n : số lượng tử, nguyên dương
• ms = ½ : số lượng tử từ (định hướng của spin)
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 6
1. Các mức năng lượng một chiều
Với mỗi giá trị của n, hệ có tối đa 2 quỹ đạo tương ứng với spin-up và spin-down
Xét ví dụ có 6 điện tử ở trạng thái cơ bản
• Các quỹ đạo sẽ được lấp đầy theo thứ tự của n
Suy biến (degeneracy)
có nhiều hơn 1 quỹ đạo có cùng mức năng lượng
Ký hiệu :
Là mức năng lượng cao nhất được lấp đầy
• Mức thấp nhất có n = 1
Năng lượng Fermi
Năng lượng tương ứng với mức n = nF
Trường hợp hệ có N (là số chẵn) điện tử, ta có điều kiện
n ms Số điện tử
trên quỹ
đạo
1 1
1 1
2 1
2 1
3 1
3 1
4 0
4 0
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 7
2. Phân bố Fermi-Dirac
Sự ảnh hưởng của nhiệt độ Phân bố các mức năng lượng phụ thuộc vào nhiệt độ
Khi nhiệt độ tăng => động năng của khí điện tử tăng
=> điện tử sẽ chuyển từ mức năng lượng thấp lên mức có năng lượng cao hơn
Phân bố Fermi-Dirac : xác suất để quỹ đạo chiếm được mức năng lượng
ở trạng thái cân bằng nhiệt
: là một hàm theo nhiệt độ
Tại nhiệt độ tuyệt đối 0K
• Hàm f gián đoạn tại
• f có bước nhảy giữa 0 và 1
Ở vùng năng lượng cao
• Trở thành phân bố Boltzmann
hay phân bố Maxwell
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 8
3. Khí điện tử tự do 3 chiều
Xét hamiltonian của hạt tự do trong không gian 3 chiều
Xét hệ các điện tử bị giam trong hình lập phương có cạnh L
• Hàm sóng:
• : là các số nguyên dương, gốc toạ độ được chọn tại góc của hình hộp
Đưa vào hàm sóng thoả mãn điều kiện biên tuần hoàn
Viết lại hàm sóng dưới dạng sóng chạy
Các thành phần của vector sóng thoả mãn điều kiện
Mọi thành phần của vector sóng có dạng đều thoả mãn điều kiện
tuần hoàn trong khoảng L, n là số nguyên, dương hoặc âm
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 9
3. Khí điện tử tự do 3 chiều
Kiểm chứng điều kiện tuần hoàn
Năng lượng của quỹ đạo
Hệ thức liên hệ
Trong cơ học lượng tử, xung lượng tuyến tính có thể biễu diễn dưới dạng
Tác dụng toán tử:
Sóng phằng là hàm riêng của toán tử xung lượng tuyến tính với trị riêng
là
Vận tốc của hạt trên quỹ đạo :
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 10
3. Khí điện tử tự do 3 chiều
Năng lượng Fermi
Xét trạng thái cơ bản của hệ gồm N điện tử
Các quỹ đạo đã bị chiếm có thể được diễn tả bởi các điểm nằm trong hình cầu thuộc không gian
Năng lượng tại bề mặt của hình cầu
chính là năng lượng Fermi
Các vector sóng tại bề mặt
Fermi có độ lớn là
Biểu thức năng lượng Fermi
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 11
3. Khí điện tử tự do 3 chiều
Xét yếu tố thể tích của không gian
Tổng số quỹ đạo nằm trong hình cầu thể tích là :
• Hệ số 2 thể hiện 2 trạng thái của spin. V = L3 là thể tích của mẫu
Suy ra biểu thức
• Đại lượng này chỉ phụ thuộc vào nồng độ hạt
Thay vector sóng vào biểu thức cho năng lượng :
Vận tốc của điện tự tại mặt Fermi
Tổng số quỹ đạo có năng lượng bé hơn hoặc bằng
Mật độ trạng thái : số quỹ đạo trên một đơn vị năng lượng
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 12
4. Nhiệt dung của khí điện tử
Heat capacity
Theo cơ học thống kê
Nhiệt dung của điện tử dẫn tự do là (3/2)kB
Với N nguyên tử, mỗi nguyên tử đóng góp 1
điện tử hóa trị tạo nên khí điện tử,
các điện tử này hoàn toàn linh động.
Phần đóng góp vào nhiệt dung là (3/2)NkB
Giá trị thực tế thấp hơn giá trị này
một lượng là 0.01
Theo phân bố Fermi và nguyên lý Pauli
Khi đốt nóng mẫu từ nhiệt độ tuyệt đối
Chỉ một số điện tử bị kích thích nhiệt và
nhận năng lượng nhiệt ~ kBT
• Đó là các điện tử trên quỹ đạo trong khoảng
năng lượng kBT quanh mức năng lượng Fermi
• Chỉ có một phần (T/TF) điện tử bị kích thích nhiệt
tại nhiệt độ T
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 13
4. Nhiệt dung của khí điện tử
Số lượng điện tử có năng lượng nhiệt cỡ kBT là:
Động năng toàn phàn do kích thích nhiệt của điện tử :
Nhiệt dung của điện tử :
• Phù hợp với thực nghiệm
Năng lượng đốt nóng N điện tử để hệ tăng nhiệt tử 0 đến T
Trong đó f là hàm phân bố Fermi-Dirac
là số quỹ đạo trong một đơn vị năng lượng
Nhân với đồng nhất thức
Ta thu được
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 14
4. Nhiệt dung của khí điện tử
Viết lại biểu thức năng lượng
• Tích phân thứ nhất : năng lượng cần thiết để kích thích điện tử chuyển từ mức năng lượng Fermi lên các mức năng lượng cao hơn
• Tích phân thứ hai : năng lượng cần thiết để
kích thích điện tử lên mức năng lượng Fermi
từ các mức năng lượng thấp hơn
• Số hạng trong tích phân 1
là số điện tử nhảy lên các quỹ đạo trong
khoảng quanh năng lượng
• Số hạng trong tích phân thứ 2
là xác suất để điện tử rời khỏi quỹ đạo
Nhiệt dung của điện tử
Chú ý: chỉ có hàm f phụ thuộc vào T
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 15
4. Nhiệt dung của khí điện tử
Mật độ trạng thái tại mức năng lượng Fermi có thể suy ra từ công thức:
Xét trường hợp , xem như thế hóa học không phụ thuộc vào T
Thay , lấy đạo hàm theo nhiệt độ hàm phân bố
Đặt
Khi , có thể bỏ qua đối số tích phân
Thay cận lấy tích phân
Sử dụng các biểu thức :
Cuối cùng :
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 16
4. Nhiệt dung của khí điện tử
Nhiệt dung của kim loại bằng thực nghiệm Tại nhiệt độ rất thấp so với nhiệt độ Debye và nhiệt độ Fermi TF
Nhiệt dung của kim loại :
Các hệ số được xác định bằng phương pháp làm khớp tuyến tính (fitting)
Fermion nặng: thường thấy trong một số hợp kim mà hằng số lớn hơn từ 2 đến 3 lần so với kim loại thường.
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 17
5. Độ dẫn điện và định luật Ohm
Hệ thức liên hệ giữa xung lượng của điện tử tự do và vector sóng
Lực tác dụng của điện trường và từ trường tác dụng lên điện tử tải
Xét trường hợp điện trường không đổi, nếu không có va chạm thì hình cầu Fermi
sẽ dịch chuyển đều trong không gian .
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 18
5. Độ dẫn điện và định luật Ohm
Trường hợp từ trường bằng 0
Tại thời điểm ban đầu t = 0, lực của điện trường bắt đầu tác dụng
lên khí điện tử đã lấp đầy hình cầu Fermi có tâm tại gốc tọa độ không gian
• Sau thời gian t, tâm của hình cầu Fermi sẽ dịch chuyển đến vị trí mới
• Mọi điện tử đều dịch chuyển một đoạn là
Xét trường hợp có va chạm giữa điện tử và các nguyên tử tạp, sai hỏng mạng…,
• sự dịch chuyển của hình cầu Fermi trong điện trường vẫn có thể ở trạng thái dừng
• Nếu thời gian va chạm là là rất ngắn
• Vận tốc của điện tử sẽ tăng :
Trường hợp điện trường không đổi
• Hệ bao gồm n điện tử trong một đơn vị thể tích, điện tử có điện tích q = -e
Định luật Ohm :
mật độ dòng điện :
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 19
5. Độ dẫn điện và định luật Ohm
Độ dẫn điện
Điện trở
• do va chạm giữa điện tử và các sai hỏng mạng hoặc các nguyên tử tạp
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 20
6. Chuyển động trong từ trường
Xuất phát từ các phương trình cho lực điện-từ và độ dịch chuyển của quả cầu
Phương trình chuyển động của mặt cầu Fermi
Gia tốc của hạt tự do :
Lực ma sát = hiệu ứng va chạm :
Xét hệ chuyển động trong từ trường không đổi
Thay , ta có
Giả thiết từ trường hướng theo trục z
Hệ SI
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 21
6. Chuyển động trong từ trường
Ở trạng thái dừng trong điện trường tĩnh, đạo hàm theo thời gian = 0, thay c = 1
• Các thành phần của vận tốc trượt :
• Trong đó là tần số cyclotron
Hiệu ứng Hall
Đặt một thanh vật dẫn dọc theo điện trường Ex và nằm ngang qua từ trường Bz
• Dòng điện jx chạy theo hướng x
• Để không có dòng chạy theo hướng y =>
• Điều kiện này chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi Hệ SI
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 22
6. Chuyển động trong từ trường
Định nghĩa hệ số Hall
Dòng chạy theo phương x
• Trong hệ SI:
• Chú ý : Hệ số Hall < 0 đối với điện tử tự do, khi đó e là số dương
Trường Hall là điện trường phát sinh xuyên qua 2 mặt của vật dẫn khi có dòng chạy ngang qua từ trường
• Hướng của trường Hall
• Trường Hall làm triệt tiêu
lực Lorentz của từ trường
Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 23
7. Độ dẫn nhiệt của kim loại
Độ dẫn nhiệt của các hạt
Độ dẫn nhiệt của khí Fermi với năng lượng Fermi
Từ công thức suy ra
• n : nồng độ của điện tử; : thời gian va chạm
• : quãng đường tự do trung bình
Tỷ số giữa độ dẫn nhiệt và điện
Định nghĩa số Lorentz :