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Variáveis regionalizadas semivariograma empírico krigeagem análise estrutural isotropia e anisotropia efeito pepita, alcance e patamar validação cruzada.
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Geoestatística para geoprocessamentoGeoestatística para geoprocessamento
Organizado por Eduardo G. Camargo, DPI-INPEOrganizado por Eduardo G. Camargo, DPI-INPEOrganizado por Eduardo G. Camargo, DPI-INPEOrganizado por Eduardo G. Camargo, DPI-INPE
OBJETIVO
Apresentar as principais noções básicas de geoestatística
para o tratamento de dados geográficos, com exemplos
práticos no sistema Sistema de Processamento de
Informações Georeferenciadas - SPRING.
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TÓPICOS
1) Introdução / Motivação
2) Principais conceitos teóricos
3) A função variograma
4) Modelos teóricos de variograma
5) Isotropia e anisotropia
6) Validação cruzada
7) Krigeagem linear
8) Integração: SPRING e geoestatística
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Introdução / Motivação
• Os métodos geoestatísticos, ou simplesmente geoestatística, foram desenvolvidos graças aos estudos do engenheiro de minas Georges Matheron na França no início dos anos 60.
• A geoestatística está fundamentada na Teoria das Variáveis Regionalizadas, a qual foi formalizada por Matheron a partir de estudos práticos desenvolvidos por Daniel G. Krige, no cálculo de reservas nas minas de ouro na África do Sul.
• Atualmente a geoestatística é aplicada em vários campos, desde as ciências da Terra e atmosfera, na agricultura, nas ciências dos solos e hidrologia, estudos ambientais e mais recentemente na epidemiologia.
Origem da geoestatística
Parte 1
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É uma abordagem PROBABILÍSTICA de modelagem, que engloba umconjunto de métodos estatísticos, para a análise e mapeamento de dados distribuídos no espaço e/ou no tempo.
O que é geoestatística?
Introdução / MotivaçãoParte 1
Requer o conhecimento de alguns conceitos básicos:
• Variável aleatória (V.A.)
• Momentos da V.A. Exs: E[X]), C[X,Y];
• Função densidade de probabilidade (FDP);
• Função de Distribuição Acumulada (FDA): univariada e bivariada;
• Função aleatória (FA), etc.
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A modelagem geoestatística envolve três etapas:
1) Análise: objetiva descrever a variabilidade espacial do fenômeno em estudo, denominada de análise estrutural ou modelagem do semivariograma.
2) Inferência: objetiva estimar valores de uma variável distribuída no espaço em locais não amostrados, denominada de krigeagem.
3) Simulação: objetiva construir um conjunto de realizações equiprováveis ou igualmente representativa do fenômeno em estudo.
2(h) é denominado de função variograma e (h) de semivariograma
(h) = C(0) C(h)
a covariância C(h) e o semivariograma (h) são ferramentas equivalentes para caracterizar a dependência espacial.a covariância C(h) e o semivariograma (h) são ferramentas equivalentes para caracterizar a dependência espacial.
estabelece que os incrementos [Z(u) Z(u h)] tem esperança zero e variância somente em função de h, assim:
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Principais conceitos teóricosParte 2
(h) = C(0) C(h)
relação entre as funções semivariograma e covariância
Variância =
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Variograma 2(h)Parte 3
O variograma é uma ferramenta básica de suporte às técnicas de geoestatística, quepermite representar quantitativamente a variação de um fenômeno regionalizado noespaço (Huijbregts, 1975).
A
z(u h)
z(u)
h
• 2(h) mede o grau de dissimilaridade entre pares de observação separados pelo vetor distância h;
• é função do vetor distância h;
• depende da geometria de amostragem.
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Variograma 2(h)Parte 3
Definição: esperança matemática (E) do quadrado da diferença entre os valores de pontos no espaço separados pelo vetor distância h.
2(h) = E{[z(u) z(u h)]2}
Através de um conjunto amostral, {z(u1), z(u2), ..., z(uN)}, o variograma pode serestimado por:
[ z(ui) z(ui h)]2
N(h)
1 i = 1
N(h)
2(h) = ^
N(h): é o número de pares, z(ui) e z(ui h), separados por h;
2(h): é o estimador de variograma; ^
z(ui) e z(ui h): são valores observados nas localizações ui e ui h.
h: é o vetor distância (modulo e direção) entre pares de observação;
em que:
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Semivariograma (h)Parte 3
Definição: metade da esperança matemática (E) do quadrado da diferença entre os valores de pontos no espaço separados pelo vetor distância h.
Através de um conjunto amostral, {z(u1), z(u2), ..., z(uN)}, o semivariograma podeser estimado por:
[ z(ui) z(ui h)]2
2N(h)
1 i = 1
N(h)
(h) = ^
(h): é o estimador de semivariograma; ^
h, N(h), z(ui) e z(ui h): conforme definidos anteriormente.
em que:
(h) = E{[z(u) z(u h)]2}12
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Semivariograma (h)Parte 3
A figura ilustra um semivariograma empírico (ou experimental) com característicasmuito próximas do ideal.
alcance (a)alcance (a)
patamar (C)patamar (C)
efeito pepita (C0)efeito pepita (C0)
hhhh
(h)(h)
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Semivariograma (h)Parte 3
Cálculo do semivariograma a partir de amostras regularmente espaçadas.
hh
vetor distância hvetor distância h
[ z(ui) z(ui h)]2
2N(h)
1 i = 1
N(h)
(h) = ^
0o0o
90o90o
180o180o
45o45oNN
SS
LL
direções de análisedireções de análise
(h) = (h)(h) = (h)
função simétricafunção simétrica
C0C0
aa
CC
h (km)h (km)1 2 3 4 5 6 7 8 9
1km
1km
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Semivariograma (h)Parte 3
Cálculo do semivariograma a partir de amostras irregularmente espaçadas.
[ z(ui) z(ui h)]2
2N(h)
1 i = 1
N(h)
(h) = ^
parâmetros adicionaisparâmetros adicionais
tolerância do incremento (lag) tolerância angular largura de banda
tolerância do incremento (lag) tolerância angular largura de banda
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Semivariograma (h)Parte 3
Cálculo do semivariograma a partir de amostras irregularmente espaçadas.
O gráfico do semivariograma empírico estimado por é formado por uma sériede valores, sobre os quais se objetiva ajustar uma função.
(h)^
hhhh
(h)(h)
O modelo de ajuste deve representar o melhor possível o comportamento de (h).
alcance (a)alcance (a)
patamar (C)patamar (C)
efeito pepita (C0)efeito pepita (C0)
contribuição (C1)
C C0 C1
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Modelos teóricos de semivariogramaParte 4
Modelo de ajuste esférico
a||,1
a||0,a
|| 30,5
a||1,5
0||,0
)(Sph
h
hhh
h
h
Sph(h)Sph(h)
hhaa
11
00
C = 1C = 1
a||CC
a||0,])( Sph[CCa
|| 3
21
a||
23CC
C 0
)(
10
1010
0
h
hhhhh
,
,
C0C0
hh
(h)(h)
C1C1
C C0 C1C C0 C1
aa
• Normalizado
• Na prática: C0 > 0 e C1 > 1
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Modelos teóricos de semivariogramaParte 4
Modelo de ajuste gaussiano
0||,a
||exp1
0=||,0Gau 2
hh
hh)(
• Normalizado
a||C+C
a||0)]( [GauC+Ca|| exp1C+C
C,0
)(
10
1010
0
2
h
hhhh
,
,
• Na prática: C0 > 0 e C1 > 1
Gau(h)
ha
1
0
C 1
C0
ha
(h)
C1
C C0 C1
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Modelos teóricos de semivariogramaParte 4
Modelo de ajuste exponencial
0|h|,a
||exp1
0=|h|,0Exp hh
a||C+C
a||0 ,)]( Exp[C+Ca||exp1C+C
C,0
)(
10
1010
0
h
hhhh
,
• Normalizado
• Na prática: C0 > 0 e C1 > 1
Exp(h)
ha
1
0
C = 1
C0
ha
(h)
C1
C C0 C1
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Modelos teóricos de semivariogramaParte 4
Modelo de ajuste potência
• Normalizado
• Na prática: C0 > 0 e C1 > 1
0||,||c.
0=||,0)(Pot
e hh
hh
0||,|)(|Pot+C||c.+C
C,0)(
00
0
e hhhh
Pot(h)
hhhh0
e<1
e=1
e>1
hh
(h)(h)
e<1e<1
e=1e=1
e>1e>1
C0C0
11/04/23 31
2210
21222
20
1111
10
0
a||,CCC
a||a,)(γa||3
21
a||
23CC
a||0,)(γa||3
21
a||
23CC
C,0
)γ(
h
hhhh
hhhh
h
2210
21222
20
1111
10
0
a||,CCC
a||a,)(γa||3
21
a||
23CC
a||0,)(γa||3
21
a||
23CC
C,0
)γ(
h
hhhh
hhhh
h
C0
Modelos teóricos de semivariogramaParte 4
Modelo de ajuste aninhados
Existem determinados fenômenos em que são necessários modelos mais complexos desemivariograma para explicar suas variações espaciais. Estes modelos são combinaçõesde modelos simples, denominados aninhados.
Ex: Modelo aninhado duplo esférico
(h)
C1
C = C0+ C1+ C2
C2
a1 a2h
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IsotropiaParte 5
Quando a variabilidade espacial de um fenômeno em estudo é a mesma em todas as direções, diz-se que o fenômeno é isotrópico.
OOOO
NNNN
SSSS
LLLL OOOO
NNNN
SSSS
LLLL
Imagem nível de cinzaImagem nível de cinza Composição ColoridaComposição Colorida
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IsotropiaParte 5
Considere os semivariogramas ilustrados na figura abaixo
0O0O
45O45O
90O90O
135O135O
• • • •
• • • •
• • • •
• •
• • • •
• • • • • •
• • • •
• • • •
• • • •
• •
• •
• • • •
• •
• •
Modelo de ajusteModelo de ajuste
aa
CC
CoCo
(h)
Esta é a representação de um caso simples e menos freqüente, em que a distribuição espacial
do fenômeno é denominada isotrópica.
Neste caso, um único modelo é suficiente para descrever a variabilidade espacial do fenômenoem estudo.
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AnisotropiaParte 5
Quando a variabilidade espacial de um fenômeno em estudo não é a mesma em todas as direções, diz-se que o fenômeno é anisotrópico.
OO
NN
SS
LL OO
NN
SS
LL
Imagem nível de cinzaImagem nível de cinza Composição ColoridaComposição Colorida
maior menor
direções de continuidade espacial
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AnisotropiaParte 5
Uma forma de detectar a anisotropia é através da observação dos semivariogramas obtidos para diferentes direções.
N
LO
S
0o
90o
45o
135o
Convenções direcionais usadas na geoestatística
A análise da anisotropia objetiva detectar as direções de maior e menor continuidade
espacial do fenômeno investigado.
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AnisotropiaParte 5
Um modo direto de visualizar e calcular os parâmetros (fator e ângulo) da anisotropiaé através do esboço gráfico de uma elipse (ou diagrama de rosa ).
NN
LLOO
S 180oS 180o
0o
0o
90o
90o
30o
30o
120o
120o
a1a1
a2
Parâmetros da anisotropia
Fator de anisotropia (Fa)
Fa = a2 / a1
Ângulo de anisotropia (Aa)
Aa = tomado da direção Norte para o eixo de
maior continuidade. No exemplo = 30o.
Parâmetros da anisotropia
Fator de anisotropia (Fa)
Fa = a2 / a1
Ângulo de anisotropia (Aa)
Aa = tomado da direção Norte para o eixo de
maior continuidade. No exemplo = 30o.
Tipos de anisotropia: geométrica, zonal e combinada.
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AnisotropiaParte 5
Neste caso, os semivariogramas apresentam o mesmo patamar (C) com diferentesalcances (a) para o mesmo modelo.
(h)(h) Mesmo modelo para as duas direçõesMesmo modelo para as duas direções
aa
CC
aa hh
CoCo
120O120O
30O30O
Anisotropia geométrica
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AnisotropiaParte 5
Anisotropia zonal
Neste caso, os semivariogramas apresentam diferentes patamares (C) com mesmoalcance (a) para o mesmo modelo.
Como a isotropia, a anisotropia zonal é um caso menos freqüente presente nosfenômenos naturais.
(h)(h) Mesmo modelo para as duas direçõesMesmo modelo para as duas direções
aa
CC
hh
CoCo150
O150O
60O60O
CC
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AnisotropiaParte 5
Anisotropia combinada (geométrica + zonal)
Neste caso, os semivariogramas apresentam diferentes patamares (C) e diferentes
alcances (a) para o mesmo modelo. Pode apresentar também diferentes efeitos pepita.
(h)(h) Mesmo modelo para as duas direçõesMesmo modelo para as duas direções
aa
CC
hh
CoCo150
O150O
60O60O
CC
aa
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Semivariograma de superfícieParte 3
É um gráfico 2D que fornece uma visão geral da variabilidade espacial dofenômeno em estudo. Também conhecido como Mapa de Semivariograma.
Utilizado para detectar os eixos de Anisotropia (direções de maior e menorcontinuidade espacial).
N 0o
L
90o
ângulo de anisotropia
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Semivariograma de nuvemParte 3
““outliers”outliers”““outliers”outliers”
É um gráfico das semivariâncias de todos os pares de pontos tomados para umdeterminado lag (distância).
O variograma de nuvem é útil para detectar a presença de “outliers”.
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Validação cruzadaParte 6
É um procedimento para verificar a adequação do modelo de ajuste ao semivariograma
Aprova ?
Modelo semariograma
SimSim
NãoNão
??
???
1111 2222 3333 4444 5555
Análises
– estatísticas do erro– histograma do erro– diagrama espacial do erro – diagrama de valores
observados versus estimados
Análises
– estatísticas do erro– histograma do erro– diagrama espacial do erro – diagrama de valores
observados versus estimados
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Validação cruzadaParte 6
Análise de resultados
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KrigeagemParte 7
O termo krigeagem é derivado do nome Daniel G. Krige
A krigeagem é um estimador estocástico que depende da análise de correlação espacial baseada em semivariograma.
Áreas de Aplicações:
mapeamento geológico (Verly et al., 1984)
mapeamento solo (Burgess e Webster, 1980)
mapeamento hidrológico (Kitanidis et. al., 1983)
mapeamento atmosférico (Lajaunie, 1984)
A krigeagem engloba um conjunto de estimadores:
• krigeagem Simples (*) • krigeagem Ordinária (*)
• krigeagem Universal • co-krigeagem
• krigeagem por indicação • Outros
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KrigeagemParte 7
Envolve uma combinação linear de n valores em pontos vizinhos.
u1 u2
u3u4
u0
?z
z z
zz
média local
Z =^u0
i=1
n
i . Z ui
i = 1/n
inverso do quadradoda distância
i = 1/d2
Z =^u0
i=1
n
i . Z ui
krigeagem
Z =^u0
i=1
n
i . Z ui
i = ?
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KrigeagemParte 7
Os pesos são calculados considerando a estrutura de correlação espacial impostapelo semivariograma
u1 u2
u3u4
u0
?z
z z
zz análise de correlação espacial baseada em semivariograma
1
ajuste do semivariograma experimental (modelo teórico)
2
4
estimador de krigeagem
validação do modelo de ajuste
3
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KrigeagemParte 7
Segundo Journel (1988): K. = k => Kk
:
n
1C C .........C 1
C C .........C 1
: : : :
C C .........C 1
1 1 ......... 1 0
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
C
C
:
C
1
10
20
n0
=
Substituindo os valores de Cij nas matrizes encontram-se os pesos 1, 2, ..., e n.
Estimador de Krigeagem (Journel, 1988):
Variância de Krigeagem (Journel, 1988):
Os elementos das matrizes de covariâncias são calcu- lados da seguinte forma (Journel, 1988):
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KrigeagemParte 7
Considere o espaço amostral na figura abaixo. Deseja-se estimar o valor da variável Z no ponto u0, a partir de z(u1), z(u2), z(u3) e z(u4). Considere ainda, que o semivariograma empírico foi ajustado através de um modelo esférico, com a = 200, C1 = 20, e C0 = 2.
Considere o espaço amostral na figura abaixo. Deseja-se estimar o valor da variável Z no ponto u0, a partir de z(u1), z(u2), z(u3) e z(u4). Considere ainda, que o semivariograma empírico foi ajustado através de um modelo esférico, com a = 200, C1 = 20, e C0 = 2.
5050
5050 uu11
uu22
uu33
uu44
uu00
krigeagem ordinária
λ
λ
λ
λ
=
101111
1
1
1
1
04
03
02
01
44434241
34333231
24232221
14131211
CCCC
CCCCCCCCCCCCCCCC
1
Os elementos das matrizes são calculados: Cij = C0 + C1 - (h) Os elementos das matrizes são calculados: Cij = C0 + C1 - (h)