VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y SUS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Una variable estadística es una característica (cualitativa o cuantitativa) que se mide u observa en una población. Si la población es aleatoria y la característica es cuantitativa la variable estadística es denominada variable aleatoria. Variable Aleatoria.- Es un variable estadística cuantitativa definida en un espacio muestral. (Ω) Una variable aleatoria X es una función definida en un (Ω) tal que a cada elemento w Є Ω se le asocie el numero real x = X(w). El dominio de la variable aleatoria X es el Ω y el rango es un subconjunto de los números reales que denotaremos por R x , siendo: R x = {x Є R / x = X(w), w Є Ω} Ejemplo: Sea Ω que se obtiene al lanzar al aire una moneda 3 veces consecutivas como, Ω ={SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC,CCS, CCC} Si X se define en un Ω como “el número de caras obtenidas”, entonces, X es una variables aleatoria cuyo rango es el conjunto: R x = {0, 1, 2, 3} tal que k = 0, 1, 2, 3. X = 0, corresponde al evento elemental SSS X = 1, corresponde al evento elemental SSS, SCS, CSS X = 2, corresponde al evento elemental SCC, CSC,CCS X = 3, corresponde al evento elemental CCC
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Variables Aleatorias Discretas y Sus Distribuciones de Probabilidad Jhon Clase
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VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y SUS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Una variable estadística es una característica (cualitativa o cuantitativa) que se mide u observa en
una población. Si la población es aleatoria y la característica es cuantitativa la variable estadística
es denominada variable aleatoria.
Variable Aleatoria.- Es un variable estadística cuantitativa definida en un espacio muestral. (Ω)
Una variable aleatoria X es una función definida en un (Ω) tal que a cada elemento w Є Ω se le
asocie el numero real x = X(w).
El dominio de la variable aleatoria X es el Ω y el rango es un subconjunto de los números
reales que denotaremos por Rx, siendo:
Rx = x Є R / x = X(w), w Є Ω
Ejemplo:
Sea Ω que se obtiene al lanzar al aire una moneda 3 veces consecutivas como,
Ω =SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC,CCS, CCC
Si X se define en un Ω como “el número de caras obtenidas”, entonces, X es una variables
aleatoria cuyo rango es el conjunto: Rx = 0, 1, 2, 3 tal que k = 0, 1, 2, 3.
X = 0, corresponde al evento elemental SSS
X = 1, corresponde al evento elemental SSS, SCS, CSS
X = 2, corresponde al evento elemental SCC, CSC,CCS
X = 3, corresponde al evento elemental CCC
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Es aquella cuyo rango es un conjunto finito o infinito numerable de valores como el ejemplo
anterior.
Si la variable aleatoria X es discreta, su rango se expresará generalmente de la siguiente manera:
Rx = x1, x2,… xn …
En general las variables aleatorias discretas representan datos que provienen del conteo del
número de elementos, mientras que, las variable aleatorias continuas representan mediciones,
como, tiempo, peso, longitud, etc.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
PROBABILIDAD EN EL RANGO Rx
Una variable aleatoria discreta asume cada uno de sus valores con cierta probabilidad que
denotaremos por Px (probabilidad inducida por X).
En efecto, si el rango de la variable aleatoria x es el conjunto finito de números Rx = 1, 2,…
xn y si B = xi es un evento en Rx, entonces.
Px (xi) = P(w Є Ω / X(w) = xi).
o Px (xi) = P(A), donde, A = w Є Ω / X(w) = B
con frecuencia, se utiliza la expresión P(X = xi ) para denotar la probabilidad Px (xi), como
P(X = x ) = P(w Є Ω / X(w) = xi).
FUNCION DE PROBABILIDAD
Sea X una variable aleatoria discreta. Se denomina función (distribución o modelo o ley)
de probabilidad de X a la función f(x) definida por f(x) = P(X = x) para todo x número real y
que satisface las siguientes condiciones:
1. f(x) ≥ 0 para todo x є R, y
2. ∑f(xi) = 1
La condición 2
1. Es: ∑f(xi) = 1, si Rx = x1, x2,… xn es finito.
2. Es: ∑f(xi) = 1, si Rx = x1, x2,… xn es infinito.
NOTA:
1. Si A c Rx, entonces, la probabilidad de A es el número:
P(A) = ∑P(X = xi) =∑f(xi)
La función de probabilidad de una variable aleatoria X se puede expresar: por una
ecuación: f(x) = P(X = x) = expresión de x, o por el conjunto de pares (xi, pi) / pi = f(x), x є
Rx o por una tabla, como:
Ejemplo:
Sea X la variable aleatoria definida como el número de caras que ocurren al lanzar una
moneda 4 veces.
a) Determinar la distribución de probabilidad de X. graficarla
b) Calcular la probabilidad P*0<X≤2+
c) Determinar la distribución de probabilidades de X si la moneda se lanza n veces
(n≥2).
Solución
a) El rango de la variable aleatoria X, es el conjunto Rx = 0, 1, 2, 3, 4. Suponiendo
que los 16 sucesos elementales del Ω son equiprobables, la función de
probabilidad, es descrita por:
f(0) = P(X = 0) = P(SSSS) = 1/16
f(1) = P(X = 1) = P(SSSC o SSCS o SCSS o CSSS ) = 4/16
f(2) = P(X = 2) = P(SSCC o SCSC o SCCS o CSSC o CSCS o CSSS) = 6/16
f(3) = P(X = 3) = P(SCCC o CCSC o CSCC o CCCS) = 4/16
f(4) = P(X = 4) = P(CCCC) = 1/16
Observe que si k є Rx entonces, X = k, si y solo si, en las 4 tiradas de la moneda aparecen k
caras y 4 – k sellos. Esto ocurre de formas. Cada una de esas formas tiene probabilidad:
(1/2)k (1/2)4-k = (1/2)4 = 1/16
Siendo k = 0, 1, 2, 3, 4. Luego la función de probabilidad del numero de caras se puede
describir como la tabla o como la ecuación:
F(k) = , k = 0, 1, 2, 3, 4.
b) Si P*0 < X ≤ 2+ = = f (1) + f(2) =
c) F(x = (1/2)x (1/2)n-x = , x = 0, 1, 2, …., n
FUNCION DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA DE LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
La función de distribución acumulada de probabilidad o simplemente función de
distribución, F(x), de la variable aleatoria discreta X, cuya función de probabilidad es f(x),
se define por:
F(x) = P(X ≤ x) = = , para -∞ < x < ∞.
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria definida como el número de caras que resultan al lanzar una
moneda 4 veces.
a) Hallar la distribución de probabilidad de F(x) de la variable aleatoria X. graficarla
b) Usando F(x), calcular P*0<X≤2+
Solución
a) La función de probabilidad f(x) de la variable aleatoria X esta descrita en el ejemplo