22/04/2015 1 Variabili aleatorie In molte situazioni, si vuole assegnare un valore numerico ad ogni possibile risulta- to di un esperimento. Tale assegnamento viene chiamato variabile aleatoria o ca- suale. S T 0 1 2 3 ( ) X ω 1 ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 ω 7 ω 8 ω Variabile aleatoria discreta Esempio: lancio di tre monete distinguibili T T T C T T T C C T T C C T C T C T C C C C C .′
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Variabili aleatorieold · Numero di teste nel lancio di una moneta 10 volte Numero di SI in un referendum Numero di titoli a rischio immessi nel mercato Numero di neonate in un ospedale
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Variabili aleatorie
In molte situazioni, si vuole assegnare un valore numerico ad ogni possibile risulta-to di un esperimento. Tale assegnamento viene chiamato variabile aleatoria o ca-suale.
S
T
0 1 2 3
( )X ω
1ω
2ω
3ω
4ω
5ω
6ω
7ω
8ω
Variabile aleatoria discreta
Esempio: lancio di tre monete distinguibili
T T
TC T
TT C
CT T
CC T
CT C
TC C
CC C
� �� ���. ���� ����′
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2
( )X ω
3
2
2
2
1
1
1
0
{ }( )1
1
8P ω =
{ }( )2
1
8P ω =
{ }( )3
1
8P ω =
{ }( )4
1
8P ω =
{ }( )5
1
8P ω =
{ }( )6
1
8P ω =
{ }( )7
1
8P ω =
{ }( )8
1
8P ω =
( )2 ?P X = =
T1ω
2ω
3ω
4ω
5ω
6ω
7ω
8ω
T T
TC T
TT C
CT T
CC T
CT C
TC C
CC C
In molte situazioni, si vuole assegnare un valore numerico ad ogni possibile risulta-to di un esperimento. Tale assegnamento viene chiamato variabile aleatoria o ca-suale.
Variabile aleatoria discreta
Esempio: lancio di tre monete distinguibili
Qual è la probabilità
di ottenere ‘due
teste’?
( ) { }2 X = = , ,
( )2P X P= = ,
Eventi e variabili aleatorie
Con la notazione si indica l’evento: (� � 2)TC T TT C CT T
,TC T TT C CT T =��
� � 1 � , ,CC T TC C CT C
� � � 1 � � = ��, ,CC T TC C CT C
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Distribuzioni di probabilità
La distribuzione di probabilità di una v.a. X è una tabella recante i valori assunti dalla v.a. con le rispettive probabilità.
Più in generale si ha � � 1 � . � � + � 2 +(�)� +(3) 2 +(1)Esempio: Si calcoli la probabilità che lanciando 3 monete distinguibili, si verifichi almeno 1
7 � � 16 (1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6)Un caso particolare: X a
P(X=x) 1 7 � � � Variabile
aleatoria
degenere
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Varianza di una variabile aleatoria
Si definisce varianza di una variabile aleatoria, e si indica con Var[X], la media pesata delle distanze al quadrato dei valori assunti dalla v.a. rispetto alla media, con pesi pa-ri alle probabilità: :�� � �8(� 2 7 � )4�(� � �)
Una variabile aleatoria binomiale restituisce il numero di successi in n prove ripetute bernoulliane. In ogni prova di Bernoulli la probabilità di successo è indicata con* ∈ 0,1 .
X 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
� � 3 numero dei lanci della moneta* � 1/2 probabilità che esca testa (=successo)
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Esempio: Un processo industriale produce pezzi difettosi con probabilità * � 0,05.Identificando l’evento successo con l’osservazione di un pezzo difettoso ed immagi-
nando di campionare 5 pezzi a caso, si determini la distribuzione di probabilità della
v.a. X = numero di pezzi difettosi tra i 5 campionati.
Come calcolare le probabilità?
Si usano le tavole statistiche della funzione di ripartizione.
Esempio: Un processo industriale produce pezzi difettosi con probabilità * � 0,05. Identificando l’evento successo con l’osservazione di un pezzo difet-
toso ed immaginando di campionare 5 pezzi a caso, si determini la distribuzio-
ne di probabilità della v.a. X = numero di pezzi difettosi tra i 5 campionati.
a) Qual è la probabilità di trovare almeno 1 pezzo difettoso nei 5 estratti?
b) Qual è la probabilità di trovare al più un pezzo difettoso nei 5 estratti?
c) Qual è la probabilità di trovare non più di un pezzo difettoso nei 5 estratti?
d) Qual è la probabilità di trovare 4 o 5 pezzi difettosi nei 5 estratti?
Esempio: Si consideri un’urna con 10 palline, di cui 4 rosse e 6 nere. Sia X la variabile aleato-
ria che restituisce il numero di palline rosse ottenute in 8 estrazioni dall’urna con reimissione.
a) Si calcoli il numero medio di palline rosse.
b) Si determini la probabilità di ottenere
esattamente due palline rosse.
7 � � �* = 8 9 0,4 � 3,2
� � � 2 � + 2 2 +(1)� 0,3154 2 0,1064 � 0,2090c) Si determini la probabilità di ottenere
almeno due palline rosse.
� � ≥ 2 � 1 2 �(� 1 2)� 1 2 + 1 � 1 2 0,1064 � 0,8936d) Si determini la probabilità di ottenere
più di quattro palline rosse.� � I 4 � 1 2 �(� . 3)� 1 2 + 3 � 1 2 0,5941
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Distribuzione binomiale di parametrin=10 e p=0,1
Distribuzione binomiale di parametrin=10 e p=0,5
Distribuzione binomiale di parametrin=10 e p=0,8
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Variabile aleatoria ipergeometrica
Una variabile aleatoria ipergeometrica restituisce il numero di successi in nprove ripetute non bernoulliane. In ogni prova la probabilità di successo non è costante.
k N-k
successi insuccessi
Si effettuano n estrazioni senza reimmissione
� Se sono stati giocati due numeri sulla
ruota di Napoli (ad esempio 27 e 31)
allora J � 90, K � 2, � � 5Qual è la probabilità di effettuare l’ambo?
�(� � 2)
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In questo caso, è possibile usare il fattore di correzione di una popolazione finita. J 2 �J 2 1 � 0,955J � 90, � � 5Per
In tal caso la probabilità di successo è 0,0222
e il numero di estrazioni è � � 5. p=4LM �
Nelle tavole il valore 0,0222 non è dato. In tal caso bisogna usare il valore
di p più prossimo al valore assegnato, ossia p=0,05. � � � 2 � + 2 2 +(1) � 0,9988 2 0,9774 � 0,0214
Il numero di prove di Bernoulli coincide con quello assegnato per la v.a. ipergeometrica, n=5.
La probabilità di successo è pari alla probabilità di successo alla prima
estrazione.
7 � � KJ 9 �:�� � � � 9 KJ 9 1 2 KJ 9 J 2 �J 2 1
Media:
Varianza:
� 290 9 5 � 0,11
� 5 9 290 9 1 2 290 9 90 2 590 2 1 � 0,10
Esempio: Si consideri un’urna con 10 palline, di cui 4 rosse e 6 nere.
Sia X la variabile aleatoria che restituisce il numero di palline rosse ottenute
Si dice p-esimo percentile �cdella variabile aleatoria quel valore tale che + �c � � � . �c � *Esempio: Sia � una variabile aleatoria gaussiana con media 70 e deviazione standard 3,3.
Fissata un’area 1 2 esotto la curva densità gaussiana, gli estremi dell’intervallo cen-trato sulla media e tale che si dicono quantili.
1 2 e
e 2fe 2f� a3 1 ^ . a4 � 1 2 e
Quantili
a3Bg/4
� ^ . a3Bg/4 � 1 2 e 2f� ^ . ag/4 � e 2f
Esempio: Sia e � 0,05. Allora 1 2 e � 0,95 1 2 e 2f � 0,975E’ necessario cercare sulle tavole quei valori tali che � ^ . aM,M4X � 0,025
e � ^ . aM,LhX � 0,975e 2f � 0,025
aM,M4X � 21,96aM,LhX � 1,96NB: sono simmetrici
rispetto all’asse delle y.
In particolare
Quantili
Esempio: Sia e � 0,01. Allora 1 2 e � 0,99 1 2 e 2f � 0,995E’ necessario cercare sulle tavole quei valori tali che � ^ . aM,MMX � 0,005� ^ . aM,LLX � 0,995
e 2f � 0,005
aM,M4X � 22,57aM,LhX � 2,57
NB: sono simmetrici
rispetto all’asse delle y.
Esempio: Sia e � 0,1. Allora 1 2 e � 0,90 1 2 e 2f � 0,95E’ necessario cercare sulle tavole quei valori tali che e � ^ . aM,MX � 0,05� ^ . aM,LX � 0,95
e 2f � 0,05
aM,MX � 21,64aM,LX � 1,64NB: sono simmetrici
rispetto all’asse delle y.
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Q-Q Plot
Il grafico si riferisce alle altezze di 100 studenti di una scuola.
Ad esso è stato sovrapposto una densità gaussiana.
E’ possibile dire che la variabile aleatoria «altezzadi uno studente di quella scuola» è gaussiana?
Con quale media? Con quale varianza?
Un primo modo per verificare se il campione casuale
proviene da una popolazione gaussiana è il q-q plot.
Se i dati si distribuiscono lungo una retta, allora
è possibile ritenere valido il modello teorico.
Come si costruisce?
Q-Q Plot
� I dati vanno ordinati �(3) . �(4) . ⋯ . �(i)� Per ciascuno di essi va calcolata la funzione di ripartizione empirica
+ �(j) � 2 0,5�� Si determina il percentile di una variabile aleatoria standard corrispondente a jBM,X i⁄ .
� ^ . aj � jBM,Xi .
� I punti di coordinate �(j), aj vanno disegnati su un grafico.
Esempi di Q-Q plot non lineari
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Dati
12,09
10,08
12,60
11,31
8,89
11,23
11,90
11,54
8,09
12,16
Dati ordinati
8,09
8,89
10,08
11,23
11,31
11,54
11,90
12,09
12,16
12,60
F(x)
0,05
0,15
0,25
0,35
0,45
0,55
0,65
0,75
0,85
0,95
Percentili
-1,64
-1,03
-0,67
-0,39
-0,13
0,13
0,39
0,67
1,04
1,65
-2,0000
-1,5000
-1,0000
-0,5000
0,0000
0,5000
1,0000
1,5000
2,0000
8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00
Q-Q plot
Esempio: Disegnare un Q-Q plot per i seguenti dati.
Q-Q Plot
Istogrammi di campioni casuali costruiti con n=40 (blu), n=100 (verde), n=400 (giallo)
Q-Q plots
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Approssimazione di una binomiale con una gaussiana
La macchina di Galton
https://www.youtube.com/watch?v=PovNdxZ_ql8
Approssimazione di una binomiale con una gaussiana
L’approssimazione gaussiana alla distribuzione binomiale può non essere soddisfacentequando si va a stimare la probabilità di intervalli piccoli, anche per valori di n elevati.
Esempio: Sia �~m(400; 0,20) Si vuole calcolare � 69 1 � . 71 .Usando l’approssimazione gaussiana con Il valore esatto è 0,0703.
L’approssimazione gaussiana alla distribuzione binomiale può non essere soddisfacentequando si va a stimare la probabilità di intervalli piccoli, anche per valori di n elevati.
Esempio: Sia �~m(400; 0,20) Si vuole calcolare � 69 1 � . 71 .Usando l’approssimazione gaussiana con Il valore esatto è 0,0703.