VARIABILE ALEATOARE. FUNCII DE REPARTIIE. INDICATORI
STATISTICI2-1Notiuni de teoria ro!a!i"itati"orn teoria
probabilitatilor, orice rezultat al unui experiment se numeste
eveniment, sigur fiind evenimentul care
serealizeazacucertitudinelaoriceefectuareaexperimentului.
Evenimentul imposibil estecel carenuserealizeazaniciodata n cadrul
unui experiment dat.Evenimentele ce apar ca rezultat al unor
experimente le vom nota, , etc.Evenimentul complementar
unuieveniment este acel eveniment care se realizeaza atunci si
numai atunci cnd nu se realizeaza.Evenimentul careconsta n
realizarea simultana a evenimentelor, se noteaza cu (se citeste
evenimentul si).Probabilitateaunui eveniment esteomasuraasanselor
derealizareaacelui eveniment. Dacauneveniment sedesfasoara astfel
nct producerea oricarui eveniment legat de acesta are un numar
finit de sanse egalposibile,probabilitateaevenimentului
esteraportul dintrenumarul rezultatelorfavorabileproducerii
evenimentului si numarultuturor rezultatelor posibile.!e considera
exemplul cunoscut al urnei care contine bile de aceeasi marime,
dintre care sunt albe si suntnegre. Probabilitatea de a extrage o
bila alba sau neagra va fi, (".#)respectiv. (".")Din relatia (".#)
se vede imediat ca probabilitatea unui eveniment este cu
$%$&'(f prinsa ntre zero si unitate, adica.Evident, cnd n urna
sunt numai bile negre, iar cnd n urna sunt numai bile albe
etc.2-1.1 Teore#a ro!a!i"itatii
tota"e!apresupunemcapentruproducereaunui eveniment din cazuri
posibile, egal probabile, sunt cazurifavorabile, adica. (".%)De
asemenea, pentru producerea evenimentului, pentru care avem cazuri
favorabile, putem scrie. (".))!e mai considera ca cele doua
evenimente se exclud reciproc, adica cnd se produce, nu se
produce.Probabilitatea ca n cele cazuri posibile sa se produca sau,
va fi, (".$)relatie care reprezinta principiul probabilitatii
totale, si anume*+nd un eveniment se poate realiza n mai multe
moduri posibile care se exclud reciproc, probabilitatea producerii
luieste egala cu suma probabilitatilor care corespund diferitelor
moduri de producere.2-1.2 Teore#a ro!a!i"itatii $o#u%e!e considera
cazul unui eveniment mai complex care rezulta din realizarea
succesiva a doua evenimente dependente si. Pentru examinarea
acestei situatii mai presupunem* n cazuri se produce att evenimenul
ct si, n cazuri se produce evenimenul dar nu se produce, n cazuri
se produce evenimenul dar nu se produce, n cazuri nu se produce
nici nici.-ie numarul de cazuri total posibile.Pentru producerea
evenimentelor si probabilitatea este si. ("..)Pentru a se produce,
probabilitatea este, (".')deoarece are, cazuri favorabile, fiind
acelasi.Dupa ce sa produs evenimentul, ramne sa examinam
probabilitatea lui. Evident, acesta are numai cazurifavorabile.
Deoarece producerea lui este conditionata de aceea a lui (numai
acele cazuri vor fi favorabile cnd areloc), numarul cazurilor
posibile pentru va fi. Prin urmare,. ("./)Pentru probabilitatea
definita de ("./), se foloseste notatia ceea ce nseamna
probabilitatea ca sa seproduca dupa ce sa produs (probabilitate
conditionata).Din compararea relatiilor ("..), (".') si ("./)
rezulta principiul probabilitatii compuse si, (".()carearataca*
Dacaproducereaunui eveniment presupunerealizareaaltorevenimente si
, atunci probabilitateaproducerii lui este egala cu produsul dintre
probabilitatea producerii lui si probabilitatea lui, dupa ce sa
produs.n conditiile de mai sus, numarul cazurilor posibile este
limitat. De aceea, definitiile si probabilitatile de mai sus
serefera la asa numita teorie a probabilitatilor discontinue, care
se apropie de teoria probabilitatilor continue daca
numarulcazurilor favorabile este destul de mare.Probabilitatea
evenimentului se noteaza si este un numar cuprins ntre 0 si #,
valoarea 0 corespunznd unuieveniment imposibil, iar # unui
eveniment sigur.Daca masurarea unei marimi se efectueaza, n
conditii identice, de un numar mare de ori, obtinnduse siruri
devalori aleatorii, iar din acestea, valori se afla n intervalul,
probabilitatea(".#0)este o caracteristica a intervalului si se
numeste frecventa relativa a variabilei n intervalul considerat.2-2
Varia!i"e a"eatoare!e numeste variabila aleatoare o marime reala
care, n raport cu rezultatul unui experiment, poate lua orice
valoaredintro multime bine definita de valori reale (domeniul de
definitie al variabilei).1ariabilele aleatoare se clasifica dupa
multimea pe care sunt definite. 2stfel, se deosebesc variabile
aleatoare de tipdiscret si de tip
continuu.1ariabilelealeatoarediscretesunt definitepeomultimecel
mult numarabiladeevenimente. 3umarul valorilorposibile ale unei
variabile aleatoare discrete poate fi finit sau infinit.1ariabila
aleatoare continua este definita pe o multime continua. 1ariabila
aleatoare continua poate lua orice valoarentre doua numere. 3umarul
valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continua este
infinit. 2-2.1 Fun$tia de reartitie-unctia de repartitie a
variabilei aleatoarese noteaza cusi este definita ca probabilitatea
evenimentului. (".##)Din punct de vedere probabilistic, functia de
repartitie caracterizeaza complet o variabila aleatoare, indiferent
dacaeste vorba de o variabila aleatoare discreta sau
continua.-unctiaderepartitie(saufunctiacumulativaaprobabilitatilor)
aunei variabilealeatoarediscreteestesumaprobabilitatilor de la
stnga punctului de abscisa (-ig. ".#).
(".#")!enumesterepartitieaunei
variabilealeatoarelegeadeprobabilitatedupacareeaseproduce.
4epartitiauneivariabile aleatoare discrete se scrie sub forma sau,.
(".#%)Fi&. 2.1. 4epartitia unei variabile discreteDaca este o
variabila aleatoare continua, functia de repartitie se defineste
astfel (-ig. ".")*. (".#))Fi&. 2.2. 4epartitia unei variabile
continue-unctia de repartitie are urmatoarele proprietati*#.
-unctia de repartitie este o functie monoton nedescrescatoare,
daca, (".#$)". Pentru cea mai mica valoare posibila a variabilei
aleatoare, functia de repartitie este egala cu zero, (".#.)%.
Pentru cea mai mare valoare posibila a variabiei aleatoare, functia
de repartitie este egala cu #, (".#')). -unctia de repartitie fiind
o probabilitate, satisface dubla inegalitate,
(".#/)$.Probabilitateacavariabilaaleatoare safiecuprinsantre si
esteegalacudiferentadintrevalorile functiei de repartitie la
extremitatile intervalului, adica cu cresterea functiei n
intervalul considerat. (".#()-unctiade repartitiea unei variabile
discrete esteo functie discontinua, nscara, admite salturi,
salturiledelaotreapta la treapta curenta sunt egale cu, suma
tuturor salturilor fiind egala cu # (-ig. ".%.a). a) b)Fi&.
2.'. -unctia de
repartitie-unctiaderepartitieauneivariabilealeatoarecontinueeste,
deasemeneaofunctiecontinua(-ig. ".%.b, ncarefunctia are drept
asimptote dreptele si).2-2.2 Den%itatea de reartitie!e numeste
densitate de repartitie (sau densitate de probabilitate) prima
derivatadaca existaa functiei de repartitie.("."0)Densitatea de
repartitie exista numai pentru variabile de tip
continuu.Probabilitatea ca variabila aleatoare continua sa ia
valoare n intervalul este egala cu integrala densitatiide
repartitie pe intervalul , ("."#)adica evenimentul este imposibil,
iar este sigur.2-2.' Oeratii $u (aria!i"e a"eatoare-ie si doua
variabile aleatoare avnd repartitiile,si ,. ("."")Daca este o
constanta reala, atunci este o variabila aleatoare avnd
repartitia,. ("."%)!uma a doua variabile aleatoare si este o
variabila aleatoare avnd repartitia,,, ("."))n care este
probabilitatea realizarii simultane a evenimentelor si adica si
Produsul a doua variabile aleatoare si este o variabila aleatoare
avnd repartitia,, ("."$)n care si. (".".)Densitatea de repartitie
are proprietatile*#. Densitatea de repartitie este nenegativa si
aceasta rezulta din proprietatea functiei de repartitie de a
finedescrescatoare,,". 5ntegrala densitatii de repartitie, n cadrul
limitelor de variatie infinite, a variabilei aleatoare continue,
este egala cuunitatea,. ("."')2-' Va"ori"e tii$e a"e (aria!i"ei
a"eatoare6variabilaaleatoareestecaracterizataprinrepartitiasa.
Dacarepartitiauneivariabilenuestecunoscuta, pentrucaracterizarea
variabilei aleatoare se pot folosi anumite marimi numite valori
tipice, asociate variabilei aleatoare.)ediaPrin definitie, valoarea
medie (speranta matematica) a unei variabile aleatoare discretecu
repartitia (".#%) esteegala cu suma produselor dintre valorile pe
care le poate lua si probabilitatile corespunzatoare. ("."/)-ie
ovariabilaaleatoaredetipcontinuusi densitateasaderepartitie.
7ediaunei variabilealeatoarecontinue este definita de relatia.
("."()Daca variabila aleatoare este definita pe intervalul, atunci
valoarea medie este. (".%0))ediana!e numeste mediana a variabilei
aleatoare, numarul care satisface ecuatia, (".%#)sau. (".%")4ezulta
din ecuatia (".%") ca mediana este solutia ecuatiei. (".%%)Pentru o
variabila aleatoare continua, mediana este data de ecuatia.
(".%))Di%er%iaDispersia unei variabile aleatoare discrete
reprezinta valoarea medie a patratului abaterii , (".%$)sau,
(".%.)adica, diferenta dintre media patratului variabilei aleatoare
si patratul mediei variabilei aleatoare.Dispersia unei variabile
aleatoare continue este media patratului abaterii lui .
(".%')A!aterea #edie atrati$a2baterea medie patratica a unei
variabile aleatoare este radacina patrata a dispersiei acestei
variabile aleatoare. (".%/)Dispersia si abaterea medie patratica
sunt indicatorii cei mai utilizati pentru a caracteriza mprastierea
valorilor uneivariabile aleatoare.)o#ente7omentul simplu(initial)
deordinulkal unei variabilealeatoare discrete , calculat nraport
cuorigineaabaterilor, care este zero, are expresia. (".%()7omentul
simplu (initial) de ordinul # reprezinta media aritmetica.
(".)0)-olosind momentele simple, dispersia se poate exprima dupa
cum urmeaza*, (".)#)n care reprezinta momentul simplu de ordinul
".7omentul centratdeordinulkal unei variabilealeatoarediscrete ,
calculat nraport cumediaaritmeticaavariabilei aleatoare, este.
(".)")7omentul centrat de ordinul # este zero, datorita
proprietatii mediei aritmetice conform careia. (".)%)7omentul
centrat de ordinul " n raport cu media aritmetica este dispersia.
(".)))7omentul ordinar de ordinul k, calculat n raport cu o valoare
arbitrara, este media variabilei aleatoare . (".)$)7omentul initial
de ordinul al unei variabile aleatoare continue este. (".).)n
particular, pentru se obtine valoarea medie a variabilei aleatoare
continue . (".)')7omentul centrat de ordinul al unei variabile
aleatoare continue este. (".)/)n particular, pentru rezulta
dispersia variabilei aleatoare continue . (".)()7omentul ordinar
(conventional) de ordinul este. (".$0)ntre momentele initiale si
momentele centrate exista urmatoarele relatii*, (".$#), (".$").
(".$%)Coe*i$ientu" de $o(arianta+ovarianta a doua variabile
aleatoare si reprezinta momentul centrat mixt al celor doua
variabile. (".$))Dezvoltnd (".$)) se obtine formula ec&ivalenta
de calcul. (".$$)!e numeste coeficient de covarianta raportul,
(".$.)n care sunt elementele matricei de covarianta, iar sunt
numitecorelatii.Daca variabilelesi sunt independente atunci ,
reciproca nefiind adevarata. Dacaexista, atunci. 5negalitatea este
o consecinta a inegalitatii lui !c&8arz 9 :.2-'.1 Prorietati"e
(a"ori"or tii$e a"e (aria!i"ei a"eatoareProrietati"e #ediei7edia
unei variabile aleatoare are proprietatile*#. Daca este o
constanta, atunci, (".$')". Daca este o variabila aleatoare si si
doua constante, atunci valoarea medie a variabilei aleatoare este
egala cu, (".$/)%.Daca si sunt doua variabile aleatoare
independente avnd valorile medii si respectiv, , atuncivaloarea
medie a variabilei aleatoare exista si este egala cu, (".$()). Daca
si sunt doua variabile aleatoare independente pentru care exista
valorile medii si respectiv ,atunci valoarea medie a variabilei
aleatoare exista si este egala cu, ("..0)$. Daca
esteovariabilaaleatoareacarei valoaremedie exista, atunci
variabilaaleatoare senumeste abatere de la valoarea
medie.Prorietati"e di%er%ieiDispersia unei variabile aleatoare are
proprietatile*#. -ie o variabila aleatoare cu dispersia, atunci
oricare ar fi numerele reale si, dispersia variabileialeatoare
este, ("..#)". Daca si sunt
douavariabilealeatoareindependenteavnddispersiile , respectiv ,
atuncipentru oricare doua constante,, dispersia variabilei este,
("..")%. Daca este o variabila aleatoare avnd dispersia si o
constanta reala, atunci, ("..%)egalitatea avnd loc doar pentru,).
Pentru orice variabila aleatoare are loc inegalitatea +ebsev 9 :+
arbitrar. ("..))2-, Fun$tii deri(ate!e numeste functie
caracteristica a variabilei aleatoare, valoarea medie a unei noi
variabile aleatoare, obtinute din, nlocuind argumentul prin, unde
este unitatea imaginara, iarun parametru real. Daca variabila este
distribuita discret atunci functia caracteristica este data de
relatia, . ("..$)Daca variabila are distributie continua cu
desinatea atunci functia caracteristica este. ("...)Daca repartitia
variabilei este de tip continuu, densitatea sa de repartitie este
data de relatia. ("..')-unctia de supravietuire sau de fiabilitate
reprezinta probabilitatea ca o variabila aleatoaresa ia o valoare
maimare dect . ("../)-unctia &azard sau rata cedarii a unei
variabile este definita ca raportul dintre densitatea de repartitie
si functia desupravietuire*, ("..(), (".'0)sau. (".'#)-unctia
generatoare a unei variabile aleatoare care ia numai valori ntregi
pozitive este definita de relatia,,. (".'")ntre funtia
caracteristica si functia generatoare exista relatia. (".'%)-unctia
caracteristica se utilizeaza pentru calculul mometelor factoriale,
obisnuite si centrate de diferite ordine.2-- Indi$atori
%tati%ti$i5ndicatorul statistic reprezinta expresia numerica a unei
trasaturi observate pe o colectivitate definita n timp si spatiu.n
functie de metoda obtinerii indicatorilor si de rolul ;ucat n
cercetarea statistica, indicatorii pot fi mpartiti n douacategorii*
(a) indicatori absoluti (primari), (b) indicatori derivati
(secundari).5ndicatorii absoluti sunt rezultatul observarii si
sistematizarii datelor,
nconsecintaacestiareflectadimensiunea,marimea, amplitudinea
fenomenului n unitati concrete, specifice, de masura.5ndicatorii
derivati seobtinnprocesul decalcul statisticsi
reflectantromanieraabstracta, aspectecalitative,evolutive ale
colectivitatii cercetate. Dintre indicatorii derivati amintim*
marimile relative si marimile medii, indicatoriivariatiei si ai
asimetriei, indicii statistici, parametrii functiilor de regresie
si a;ustare analitica etc.-unctiile indicatorilor statistici sunt*
de masurare, de comparare, de sinteza, de estimare, de verificare a
ipotezelorstatistice, de testare a semnificatiilor parametrilor
statistici utilizati.6rice indicator statistic trebuie sa
ndeplineasca doua conditii* (a) sa aiba un continut stiintific bine
determinat, odefinitie sau o formula a sa, (b) sa indeplineasca
conditia de compatibilitate.2--.1 Indi$atorii tendintei
$entra"ePrincipali indicatori ai tendintei centrale sunt* (a)
indicatorii medii de control* media aritmetica, media
geometrica,media armonica etc, (b) indicatorii medii de pozitie*
modul, mediana, cuartilele si decilele.)edia arit#eti$a7edia este
expresia sintetizarii ntrun singur nivel reprezentativ a tot ce
este esential, tipic si obiectiv n aparitia,manifestarea si
dezvoltarea unei variabile (caracteristici) 9#:.-unctie de natura
datelor nregistratesi denaturavariatiei, media poatefi* media
aritmetica (simpla), mediaarmonica, media geometrica, media
patratica, media cubica, media parabolica, media cronologica
etc.7edia aritmetica simpla de sonda; (sau de selectie) a unui sir
de valori,,.se calculeaza cu relatia.(".'))7edia aritmetica
ponderata a unui sir de valori,,.se calculeaza cu relatia. (".'$)n
care reprezinta frecventa sau numarul de aparitii al
variabilei.7edia aritmetica ponderata este influentata att de
nivelul caracteristicii ct si de nivelul
frecventei.7ediaaritmeticaesteovaloareinternaaserieidincareafost
calculata(trebuiesafiemai maredect valoareaminima si mai mica dect
valoarea maxima),.Principiul pecare se bazeazamedia estecel al
compensatiei abaterilor (2. 6 alta situatie posibila este ca seria
sa fie bimodala sau trimodala. 2tunci va fi afisata numai prima
valoare in ordinea aparitiei lor in cadrul seriei. 5n acest caz
pentru determinarea tuturor valorilor modulului se poate face un
tabel de frecventa. !e poate calcula si cu functia 76DE. Standard
De(iationDeviatia standard sau 2baterea standard se poate calcula
si cu !DDE1 sau pentru deviatia standard populationala !DDE1P.
Sa#"e Varian$e1ariatia se poate calcula si cu 124 sau pentru
variatia populationala 124P 6urto%i%Excesul sau Eoltirea masoara
inaltimea aplatizarii sau boltirii unei distributii in comparatie
cu o distributie normala. Excesul ) este zero pentru o serie de
date avand o distributie normala, este pozitiv pentru o serie
dedate avand trena mai inalta decat cea a unei distributii normale
(cu mediasi variatia !") si estenegativ pentru o serie de date a
carei trena este mai coborata decat cea a unei distributii normale.
5ncazul nostru valoarea 0,(( a boltirii indica o curba putin mai
aplatizata decat curba normala. !epoate calcula si cu functia =F4D.
S9e:ne%% 2simetria masoara abaterea de la aspectul simetric si
directia asimetriei (pozitiva saunegativa) fata de curba normala.
2simetria este 0 pentru o serie de date avand o distributie
normala, este negativa pentru o serie dedate asimetrica spre stanga
(seria are mai multe valori mai mici), este pozitiva pentru o serie
de dateasimetrica spre dreapta (seria are mai multe valori mai
mari). 5n cazul nostru asimetria este 0,0",deci este putin
deplasata la dreapta fata de curba normala. !e poate calcula si cu
functia !=EG. Ran&e5ntervalul este diferenta 7aximul7inimul
seriei de date. )ini#u#7inimul valoarea cea mai mica din serie. !e
poate calcula si cu functia 753. )a0i#u#7aximul valoarea cea mai
mare din serie. !e poate calcula si cu functia 72H Su#!uma sau
Dotalul valorilor seriei. !e poate calcula si cu functia !F7.
Count3umarul de observatii nI"0. !e poate calcula si cu functia
+6F3D. 4uarti"e"e si er$enti"e"e sunt asemanatoare medianei.
2stfel, prima cvartila sau este o valoare avand proprietatea ca "$@
dintre datele seriei sunt mai mici sau egale cu ea, iar '$@ mai
mari sau egale cu prima cvartila. 2 doua cvartila este reprezentata
de mediana. 2 treia cvartila este o valoare avand proprietatea ca
'$@ dintre datele seriei sunt mai mici sau egale cu ea iar "$@ mai
mari sau egale cu a treia cvartila.Percentila de ordinul a este o
valoar cu proprietatea ca o proportie egala cu a din date sunt mai
mici sau egale, iar celelalte sunt mai mari.
CV;STDEVP3AVERA2E+oeficientul de variatie * se pot utiliza
urmatoarele reguli empirice pentru interpretare*daca +1 este sub
#0@ atunci populatia poate fi considerata omogena,daca +1 este
intre #0@"0@ atunci populatia poate fi considerata relativ
omogena,daca +1 este intre "0@%0@ atunci populatia poate fi
considerata relativ eterogena,daca +1 este peste %0@ atunci
populatia poate fi considerata eterogena.