EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Varga Tamás A MATEMATIKA TANÍTÁSA KÉZIRAT 4. változatlan utánnyomás TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST 1969
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR
Varga Tamás
A MATEMATIKA TANÍTÁSA
KÉZIRAT 4. változatlan utánnyomás
TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST 1969
Pólya György:
Tízparancsolat tarároknak
1. Érdekeljen a tárgyad. 2. Ismerd a tárgyadat. 3. Ne feledd: a tanulás legjobb módja az, ha magunk jövünk rá
valamire. Ez rád éppúgy vonatkozik, mint tanítvány aidra. 4. Próbálj olvasni a diákok arcáról: mit várnak, mi nehéz nekik?
Képzeld magad helyükbe. 5. Ne csak ismereteket adj át nekik, gondolkozásmód ot, alkalmazni
tudást is. 6. Tanítsd meg ıket sejteni. 7. Tanítsd meg ıket bizonyítani. 8. Keresd a problémákban azt, ami hozzásegít más pr oblémák
megoldásához is - az egyes esetek mögött az általán os elvet. 9. Ne áruld el egyszerre az egész titkodat. Hadd se jtsék meg,
miel ıtt még kimondod; amennyit csak lehet, találjanak ki ık bel ıle.
10. Kínálgass, ne tömj.
A kiadásért felelıs: az Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Karának dékánja
Megjelent a Tankönyvkiadó Vállalat mőszaki gondozásában Mőszaki vezetı: Hámori József Mőszaki szerkesztı: Mészáros Béláné
Megrendelve: 1969. április. Megjelent: 1969. május. Példányszám: 275 Készült: Rotaprint lemezrıl (kicsinyítéssel), a MSZ 5601-59
és MSZ 5602-55 szabványok szerint, 22,4 (A/5) ív terjedelemben, 139 ábrával
69-747- FELSİOKTATÁSI JEGYZETELLÁTÓ VÁLLALAT, BUDAPEST
Bevezetés
"Az a nemzedék, amely most
kezd iskolába járni, sokkal
inkább matematizált világ-
ban fog élni..."
A.N. Nyeszmejanov
/Pravda,l960.december 31./
Biciklizni biciklin ülve lehet megtanulni, úszni a vízben,
tanítani a tanteremben, egy osztállyal szemközt. Vé geredményben
mindenki a maga tapasztalataiból, próbálkozásaiból tanul a
legtöbbet, de nem kell, hogy mindent a maga kárán t anuljon meg. Sok
kellemetlenséget elkerülhet, ha már el ıre elmondják neki, mit
tegyen, mit ne tegyen, mire vigyázzon; ha megfigyel i a saját
próbálkozásai el ıtt és közben is, hogyan bicikliznek, úsznak,
tanítanak mások, ha van mellette, aki tanácsot ad n eki, bírálja,
segíti, amikor ırá kerül a sor.
A tanítás megtanulásához a legtöbb segítséget bizon yára a
gyakorlóiskola adhatja. Nem mindegy azonban, hogy m iben
ismeretekkel, milyen látókörrel, milyen szempontokk al felszerelve
jutnak el ide a tanárjelöltek. A szaktárgyakra, ped agógiára,
pszichológiára, filozófiára vonatkozó tárgyi ismere tek szükségesek,
de nem elegend ıek. Meg kell ismerkedniük a matematika tanításában
id ık folyamán kialakult fontosabb tapasztalati tényekk el és ezekb ıl
lesz őrt általános elvekkel. Összefüggéseket kell látniuk az iskolai
anyag egyes részei között, az egyetemi anyag bizony os kérdéseivel,
pedagógiával, pszichológiával, filozófiával is. Táv latot kell
kapniuk a matematika tanításának problémáiról, több féle
vonatkozásban is; térben: mit és hogyan tanítanak m á-
- 3 -
sutt; id ıben: honnan merre halad a matematika tanítása; módb an:
milyen lehet ıségek vannak még? Akadnak a módszertanban vitás
kérdések is, ezekr ıl el kell gondolkoznia, önálló véleményt kell
formálnia minden tanárjelöltnek és tanárnak.
A matematika tanítása ma világszerte gyors változás id ıszakában
van. A változásoknak hozzánk még inkább csak az el ıszele érkezett
el. A következ ı néhány évtized lényegesebb átalakulást hozhat, min t
a megel ızı évszázad. A matematika gyorsan fejl ıdik, alkalmazási
területei rohamosan b ıvülnek, ez és az elektronikus számológépek
elterjedése új igényeket vet fel a matematika tanan yagával és
tanítási módszereivel szemben. A várható átalakulás nak egyel ıre csak
a körvonalait látni. /Igaz, hogy egy évtizeddel eze l ıtt szinte még
ennyi sem látszott bel ıle./ Senki sem állíthatja ma komolyan, hogy
tudja, hogyan kell a matematikát az új igényeknek m egfelel ıen
tanítani. Csak sejtések, próbálkozások és fontos ré szeredmények
vannak. Matematikát tanítani viszont ma is kell. Sz erencsére vannak
olyan id ıálló - ha nem is egészen id ıt ıl független - elvek és
hagyományok is, amelyekre eközben támaszkodni lehet . Úgy készülni
fel az új feladatokra, hogy azért a folytonosságot megırizzük, ne
rúgjunk fel semmit, ami a hagyományokból értékes, de ne kíméljünk
semmit, ami útban van és csak a tehetetlenség ereje tartja - ezeket
a szempontokat minden egyes konkrét kérdéssel kapcs olatban
folytonosan mérlegelnünk kell.
Mi teszi sürg ıssé, már a következ ı néhány évtizedben esedékessé
a gyökeres változásokat? Az, hogy a matematika fejl ıdése,
alkalmazási területeinek b ıvülése, az automatika elterjedése
robbanásszer ő gyorsasággal megy végbe, a nevelés pedig lassú
folyamat, eredményei több évtized alatt érnek csak be. Azok a
gyerekek, akik húsz év múlva kerülnek iskolába, csa k az ezredforduló
táján állnak munkába, de még a pályájuk vége felé i s arra az alapra
kell építeniük, amit az iskolában kaptak. A matemat ika tanítása
manapság a különböz ı országokban különböz ı mértékben alkalmazkodik a
matematizálódás sürget ı követelményeihez, és az, hogy hol milyen
mértékben alkalmazkodik, a holnap technikáját és a holnapután
termelését is lényegesen befolyásolja.
Az alkalmazkodás mértékénél is fontosabb azonban a módja, a
milyensége - a vektor abszolút értékénél az iránya -, az egy helyben
topogásnál is nagyobb baj volna alapvet ıen rossz irányba
- 4 -
lendülni nagy sebességgel. Mit jelent hát legalább nagyjából új
igényekhez való alkalmazkodás, és mi az, amiben nem szabad engedni a
régi normákból? Nem mindig válik el egymástól élese n a két kérdésre
adott felelet.
El ıször is: minél több tanuló száméra hozzáférhet ıvé kell
tennünk a matematika minél nagyobb darabját, mert e gyre több
embernek lesz szüksége egyre több matematikára. Nem tarthatjuk fenn
tovább azt a kimondatlanul is alkalmazott elvet, ho gy a
matematikatanítás, legalábbis ami bel ıle a százalékszámításon túl
esik, igazában csak a leend ı matematikusoknak, fizikusoknak,
kémikusoknak és mérnököknek kell, csak az ı számukra fontos, hogy
értsék is, a többit ıl elég, ha megtanulja. Nem juthat mindenki
ugyanolyan messzire és ugyanolyan mélyre, de a meg nem értett tudás,
s formális ismeret rosszabb a semminél, mert a mate matikáról máris
nagyon elterjedt hamis közhiedelmekhez járul hozzá, félelmet,
idegenkedést kelt. Arra kell törekednünk, hogy mind en tanulót, akár
többre, akár kevesebbre jut a matematikában, meggy ızzünk arról, hogy
a matematika hasznos, érdekes és szép; nem rábeszél ı úton, hanem
azzal, hogy megmutatjuk a hasznát, érdekességét és szépségét.
Másodszor: azon kell lennünk, hogy a matematika egy es fejezetei
és problémái között is, a matematika és más tudomán yok, a matematika
és a mindennapos tapasztalatok között is minél több összefüggést
ismerjenek fel. Elszigetelt ismeretelemek és készsé g-töredékek
helyett összefügg ı, a valóságból absztrahált és a valóságra
alkalmazható tudást kell adnunk. Ez nagyon általáno san, s ıt
magasztosan hangzik pedig nagyon is konkrét, kézzel fogható
követelményekkel jár az elfogadása. Azt jelenti, ho gy ne maradjon
rejtve a tanulók el ıtt milyen kapcsolatok vannak az olyanféle
tapasztalati tények között, mint például a következ ık: a körnek az
érintési ponthoz közeli pontjai nagyon közel vannak az érint ıhöz, a
rajzon mintha egybe is esnének vele: a függvénytábl ázatban a kis
szögek koszinuszaiban sok a 9-es; elég egy picit a rrébb tolni a
szekrényt, amely az ajtó teljes kinyitását akadályo zta máris
elcsúszik mellette az ajtószárny; els ı negyedkor gyorsan változik a
hold látszólagos alakja, holdtölte táján annál lass abban: napokig
kereknek látszik. Mindenekel ıtt persze észre kell venniük az ilyen
tényeket, anélkül nem kerülhet sor a kapcsolatok fe lismerésére. A
matematika tanárának - más kol-
- 5 -
légáival, els ısorban a fizikatanárral együttm őködve - az egyik
legf ıbb feladata hozzásegíteni a tanulókat, hogy észreve gyék, és
érdekl ıdve nézzék a világ különféle tényeit, és keressék a
magyarázatukat, összefüggéseiket.
Harmadszor: a matematika lényegéhez tartozik az abs ztrakció, de
az absztrakthoz - a fokozatosan egyre absztraktabbh oz - csak a
konkréton keresztül lehet eljutni; a matematika lén yegéhez tartozik
a dedukció, de a deduktív felépítéshez az induktív, tapasztalati
megismerésen át vezet az út. Ezek a megállapítások olyan
kétségtelenül igazak, hogy szinte már közhelyek, mé gis forradalmi
változást jelentene, ha a tanítási módszerekben is mindenütt
érvényesülnének. Az újonnan támasztott igényeket vi szont egy ilyen
forradalmi változás nélkül nem is lehet kielégíteni . Csak akkor
várhatjuk, hogy a tanulók nagy többsége hasznosnak, érdekesnek és
szépnek ismerje fel a matematika elég nagy szektorá t, ha saját
konkrét tapasztalataikból kiindulva vezetjük ıket az absztrakt
matematikai tények felfedezésére és alkalmazására. Utólag azután
fokozatosan eljuthatnak a tények rendszerezéséhez, a deduktív
felépítéshez is, szintén a saját tapasztalataikon, maguk készítette
bizonyításokon keresztül. Csak akkor teljesítette a feladatát a
középiskolai matematikatanítás, ha el tudja idáig v ezetni a
tanulókat a matematikának bizonyos részeiben. Ez az onban nem jelenti
azt, hogy amit induktív úton megismertek, annak a d eduktív
felépítésével is feltétlenül meg kell ismerkedniük! Röviden szólva:
nem kell mindent bizonyítani. A matematika sokkal n agyobb részével,
érdekes alkalmazásaival is megismerkedhetnek, ha mi ndig el ıl jár az
induktív megismerés, ezt követi a bizonyítás iránti igény
felkeltése, és csak ha megvan ez az igény, akkor ju tnak el a tanulók
maguk vagy közös munkával a bizonyításhoz is, amenn yiben erre sor
kerül. "Ostobaság válaszolni olyan kérdésekre, amel yeket nem
értettünk meg. Lehangoló olyan célért fáradozni, me lyet nem is
kívánunk elérni." x Értelmetlen dolog olyan bizonyítással terhelni a
tanulókat, amelyr ıl nem tudják, miért jó éppen abban a formában,
miért ne volna jó egy
________________ x Pólya /1957/, 24. oldal. - Itt és kés ıbb is a szerz ı nevével
és a megjelenés évszámával utalunk az irodalomjegyz ékben /495.-502.
oldal/ felsorolt m ővekre.
- 6 -
kicsit más formában. Márpedig a jó és a rossz bizon yítás
megkülönböztetéséhez csak a saját bizonyítási kísér leteiken át
juthatnak el. Ugyanez érvényes a definícióra is.
Negyedszer: az absztrakció minden lépcs ıfokát újra meg újra
végig kell járnunk, hogy a konkrét tapasztalatoktól el ıre tudjunk
hatolni az egyre absztraktabb fogalmakig, egyetlen absztrakciós
fokozatot sem hagyhatunk ki; a speciálistól az álta lánosig vezeti
úton, azonban nincs feltétlenül szükség minden közb ees ı fokozat
végigjárására, hacsak ezek nem jelentenek egyben ab sztrakciós
fokozatokat is. Egy példa megvilágítja, mire gondol unk: a négyszög
fogalma általánosabb a négyzeténél, de nem absztra ktabb, ezért nem
el ınyös a négyzett ıl a téglalapon és rombuszon, paralelogrammán,
trapézon át jutni el a négyszög fogalmához. Aki las san halad a
speciálistól az általános felé, az csak késve jut e l, ha egyáltalán
eljut, az átfogó képhez /lásd 185., 186. oldal/. N em várhatjuk
fiatal gyerekekt ıl, hogy nagyon általános fogalmakat megértsenek, de
mindig érdemes elvezetni ıket, konkrét példákon át, az általánosság
olyan fokára, ameddig el tudnak jutni, és innen ere szkedni le a
speciális esetekhez, az áttekint ı képbe illesztve bele a
részleteket, és nem a részletekb ıl rakva össze az egészet. Találóan
írta ötven évvel ezel ıtt Dienes Pál (1914, 1963): "... a
matematikát... nem részeib ıl összerakva, hanem ellenkez ıleg, folyton
az egészet vázolva s a vázlatot folyton fejlesztve lehet csak igaz
ismer ısünkké tennünk" /Valóság és matematika, 6. oldal./ Ennek
figyelembe vétele nélkül sem tudja teljesíteni a ma tematikatanítás
az el ıtte álló feladatokat.
Ötödször /még ha ez nagyrészt benne is van az el ıbbiekben,
aminthogy azok sem függetlenek egymástól/: a tudása gyag felhalmozása
közben éppoly gondot kell fordítanunk a képességek kifejlesztésére
is, különösen az olyanokéra, amelyek nem mechanizál hatók, amelyek
terén az ember többre képes, mint a gép. Ez sem vad onatúj gondolat,
hiszen már Pestalozzinál is ezt olvassuk: "Talán a legszörny őbb
ajándék, amellyel egy ellenséges géniusz lepte meg korunkat:
ismeretek készségek nélkül." És egy más helyen: "Tu dás és tevés közt
ég és föld a különbség. Aki csak a tudást teszi mes terségévé,
nagyon-nagyon vigyázzon, hogy el ne felejtse a tevé st." Újabb
megfogalmazásban és a matematikára alkalmazva: "Az tudja a
matematikát, aki tud vele mit kezdeni:
- 7 -
elég folyékonyan tudja használni a matematika nyelv ét, tud
problémákat megoldani, gondolatmenetet bírálni, biz onyításra
rátalálni, és - ami talán a legfontosabb - konkrét helyzetekben fel
tudja ismerni és ki tudja bel ılük elemezni a bennük rejl ı
matematikai fogalmakat." x /"A középiskolák matematikai tantervér ıl",
65 amerikai matematikus memoranduma, lásd 459.oldal /.
Hogyan lehet ezeket - és esetleg még más fontos elv eket átvinni
a gyakorlatba a ma adott helyzetben? - ez az a kérd és, amelyre
pontos és részletes feleletet talán senki sem tud a dni. Az a
felelet, amit ez a jegyzet ad xx , legfeljebb els ı közelítésnek
tekinthet ı. A jegyzetnek lényeges - ha ugyan nem a leglényege sebb -
alkotóeleme a terjedelemnek körülbelül a felét kite vı
szemelvénygy őjtemény. Itt olyan nehezen hozzáférhet ı - eredetiben
túlnyomórészt idegennyelv ő - szövegek találhatók, amelyeknek a
tanulmányozása a jelenlegi körülmények között a leg hasznosabbnak
látszik.
Amikor a matematika tanítása többé-kevésbé "egyenes ben van",
akkor az eredmények megszilárdítása, lerögzítése, t ovábbcsiszolása a
f ı teend ı. Ilyenkor könnyebben lehet a tanítás minden
részletkérdésében konkrét pozitív megállapításokat tenni, szinte
óráról órára terjed ı részletességgel, vezérkönyvszer ően dolgozni ki
a rendelkezésre álló tapasztalatok alapján a tanár teend ıit. /Más
kérdés, hogy ilyekor is van, aki inkább új utakat k eres./ Amikor
gyorsabb változások ideje következik el, amikor az új, amire szükség
lesz, még csak vázlatosan és töredékesen van meg, a kkor mások a
lehet ıségek és mások a f ı teend ık. Ilyenkor megnövekszik azoknak a
kérdéseknek a száma, amelyekr ıl csak negatívumot mondhatunk vagy
csak többé-kevésbé általános megállapításokat tehet ünk. Azt már
tudjuk, hogy miért nem jó egy bizonyos módon taníta ni valamit, de
még nem látjuk elég világosan és részletesen, hogya n lehetne a kor
követelményeinek megfelel ıbben ta-
________________ x Tegyük hozzá, amit feltehet ıen a szerz ık is beleértettek: "...
és problémákat". xx A jegyzetnek most csak az els ı kötete jelenik meg. Ez az els ı
kötet túlnyomórészt az általános iskolákban folyó m atematikatanítás
kérdéselvei foglalkozik. Az általános iskolai és a középiskolai
problémák közt azonban nem lehet éles határt vonni, így belekerült a
jegyzetbe sok középiskolai /f ıként az 1. osztályt érint ı/ kérdés, és
szerepelnek benne olyan elvi kérdések is, amelyek a
matematikatanítás egészét érintik.
- 8 -
nítani. Jó volna, ha az új tanítási formák és módsz erek egyszerre
teljes fegyverükben állnának el ıttünk, ahogy a mítosz szerint Pallas
Athéné pattant el ı Zeusz fejéb ıl, erre azonban nem számíthatunk;
magunknak kell a részleteket kigondolnunk, kidolgoz nunk,
kipróbálnunk. Fontos, hogy a fejl ıdés ilyen szakaszában legalább a
meglev ı vázlatok és töredékek, mindavval együtt, ami a rég ib ıl
bevált és változatlanul érvényes, nyilvánosságot ka pjanak, aztán
id ıvel egyre inkább kiegészüljenek és konkretizálódjan ak. A teljes
részletesség korai igénye azonban ezt a fejl ıdést nem vinné el ıre,
inkább hátráltatná. Egy durva, de alapjában helyes vázlat is többet
ér, mint az elrajzolt körvonalaknak a valósághoz h ő kicsipkézése;
különösen, ha nem marad örökké vázlat, hanem fokoza tosan kiegészül a
hiányzó részletekkel.
Ma a körülmények inkább az utóbbi esetnek felelnek meg, és ez a
jegyzet is csak vázlat akar lenni. Sok részlet hián yzik bel ıle, és
sokak munkájára szükség lesz ahhoz, hogy a hiányoka t pótolni
lehessen. Reméljük, hogy erre is, más vázlatok elké szítésére és
kidolgozására is hamarosan sor kerül.
X X X
A jegyzet terjedelme a megoldandó feladatokhoz és a feldolgozott
anyaghoz képest kicsi. Helysz őke miatt a szemelvénygy őjteményben
közölt legtöbb szöveget kisebb-nagyobb mértékben le kellett
rövidíteni. Reméljük, hogy ez sehol sem ment a lény eges mondanivaló
rovására. A jegyzet törzsanyagában azzal értünk el
helymegtakarítást, hogy rövidre fogtunk néhány olya n kérdést,
amelyhez elég b ı, használható és hozzáférhet ı szakirodalmat tudtunk
ajánlani. Ilyenek például a közelít ı számítások - források: Bragyisz
/1961/, Bragyisz /1958/ - és a szöveges feladatok m egoldása
egyenlettel; az utóbbihoz forrás: Faragó /1960, 196 3/.
- 9 -
1. MATEMATIKATANÍTÁS AZ ALSÓ TAGOZATON
Áttekintés
Bármely fokon tanít is valaki matematikát, áttekint ı képének
kell lennie a matematikatanítás egészér ıl, az alsó tagozattól
kezdve. A tanterv nagyon keveset árul el az iskoláb an valóban folyó
munkáról, de azért a tanterv ismerete is nélkülözhe tetlen. Általános
iskolánk jelenlegi tantervét - az alsó tagozatét cs ak kivonatosan -
függelékként közöljük./482.-494. oldal./
Különösen fontos az alsó tagozat problémáinak ismer ete azok
számára, akik az innen kikerül ı tanulókat veszik át, az általános
iskola fels ı osztályaiban tanítanak. Az ötödik osztály tanárain ak
például részleteiben is ismerniük kell a negyedik o sztály tananyagát
és az itt alkalmazott tanítási eljárásokat, s ıt az egyes tanulókkal
kapcsolatos problémákat is. Legjobb, ha el ızı évben, miel ıtt
átveszik az osztályt, hospitálnak néhány számtanórá n és
elbeszélgetnek a tanítóval a '"stafétabot átadásáró l". Ehhez persze
többek között az is kell, hogy ne csak évzáró értek ezleten derüljön
ki, hogy ısszel kapnak egy ötödik osztályt.
Felejthetetlen élmény egy-egy els ı osztályban tett óralátogatás.
A gyerekek érdekl ıdése, aktivitása itt még töretlen, a pedagógus
problémája nem az, hogy hogyan "mozgassa" ıket, hanem hogy mi módon
terelje helyes mederbe ezt a nagy, de sokfelé szóró dó,
koncentrálatlan tenni akarást, hogyan foglalkoztass a a sok versengve
jelentkez ı, minél nagyobb mértékben részt venni kívánó gyerek et. Az
iskolának mind máig megoldatlan nagy problémája úgy állítani hasznos
célok szolgálatába a gyerekek magukkal hozott aktiv itását és
érdekl ıdését, hogy minél kevesebbet veszítsen a lendületéb ıl. Nagy
szerepe lehet ebben, különösen alsó fokon,
- 11 -
a játékosságnak. Az iskolának munkára kell nevelnie a gyerekeket, de
annak csak el ınyét látjuk, ha a munka és a játék minél nagyobb
részben egybeesik, ha a gyerek a munkát is játéknak érzi,
érdekl ıdést ıl hajtva, kedvtelve végzi.
Sok szónál többet mond egy óraleírás.
Számtanóra egy els ı osztályban, félév után
- Nyissátok ki a füzeteket. B, kezdd el olvasni a h ázi
feladatot! x
= /Lassan tagolva olvas/: öt meg mennyi az húsz? 5 + 15 = 20.
- Kinél van más? Kinek ugyanennyi? / Mindenki másod szorra
jelentkezik./
Hasonlóan folyik a többi házi feladat ellen ırzése is, aztán
számlálás következik 1-t ıl 20-ig és vissza. Egy-egy gyerek 4-5
számot mond, a másik folytatja. Jelentkez ıket és nem jelentkez ıket
egyaránt szólít a pedagógus. Elmondatja 20-ig a pár os számokat is,
aztán a páratlanokat. Ha valamelyik gyerek megakad, mással segítteti
ki, aztán újra próbáltatja vele, de ha még mindig n em megy, nem
tölti az id ıt.
- Bontsuk a 10-et!
= Egy meg kilenc.
= İt meg öt.
Elmondanak még néhány felbontást.
- /A táblára írja:/ 9= 2 + 2 + 5. Én ezt most három részre
bontottam. Igaz ez?
= Igen, mert 2 meg 2 az 4 és 4 meg 5 az 9.
- Most ti mondjatok más ilyen felbontásokat a 9-r ıl!
________________ x Itt és a kés ıbbi óraleírásokban is egy vonás jelzi azt, amit a
pedagógus, kett ı, amit valamelyik tanuló mond /vagy tesz/. Ha külön
utalás nincs rá, hogy ugyanaz a gyerek folytatta a mondanivalóját,
akkor az egymás után következ ı kett ıs vonások más-más tanuló
megnyilatkozásaira utalnak, de persze el ıfordul, hogy egy és ugyanaz
a tanuló egy órán többször is szerepel. Az óraleírá sok sohasem
teljesek, sok részlet hiányzik bel ılük, de igyekeztünk mégis képet
adni bennük egy-egy óra egészér ıl. Valóságos órák leírásait adjuk.
Ezek órák tanulságosak, de nem akarnak "a legjobb m ódszer"
példaképei lenni. Az óraleírások közlése segít, abb an hogy
konkrétabban mutassunk be bizonyos módszertani prob lémákat, de az
óralátogatásokat semmiképpen sem teheti feleslegess é.
- 12 -
A gyerekek mondják: 3 + 3 + 3, 1 + 3 + 5 stb. Mindi g elmondják
részletesen, ahogy az el ıbb.
- /A táblához lép, letörüli, ami rajta van, egy nag y 8-ast ír
fel./ Most az egyik számot mindig T. mondja!
= 4.
= 4 + 2 + 2.
Ezt is folytatják még egy kicsit, aztán:
- Három meg négyhez mennyi kell, hogy tíz legyen?
= Három meg négy az hét-hez /így mondja/, hogy tíz legyen, kell
adni hármat.
Ilyen feladatból is ad még, aztán a kivonásra tér:
- Tízb ıl elveszek hármat és abból még kett ıt, mennyi marad?
= Tízb ıl három az hét, hétb ıl kett ı, marad öt.
- Nyolcból négyet elveszek, ami marad, ahhoz hozzáa dok hármat.
Ezt el ıször elhibázza az, akit felszólít, aztán egy másikn ak a
segítségével révbe ér.
- /Egy kis figyelemfelkelt ı gesztus és a csönd kivárása után:/
Ki tudná megmondani, miben szokott otthon segíteni?
A jelentkez ık elmondják, hogy megkeresik a leesett t őt, söpörnek
stb.
- Én most olyan gyerekr ıl mesélek, aki segített fát bevinni a
szobába. /El ıvesz egy kosár fát, amit taneszközként, el ıre
megfontolt szándékkal, behozott. Egy gyereket kihív segíteni./
- Figyeljétek csak, mennyit tesz oda P.! /Adogatja neki, a
gyerekek számlálják, el ıször csak néhányan zümmögik, aztán többen is
bekapcsolódnak:/ Egy, kett ı, három, négy.
- Másodszor is behozunk valamennyi fát. /Ugyanúgy, mint az
el ıbb, hat darabot leraknak, aztán egy harmadik szállí tmányban még
ötöt./
- El ıször mennyit hoztunk be? Másodszor? Harmadszor?
/Felelnek./ Ez összesen mennyi? Föl is fogjuk rajzo lni! /Vonalakat
húz a táblára, a gyerekek ezeket is hangosan számlá lják./
- 13 -
1. ábra
- Írjuk csak mindegyik alá, hány darab fa! /Odaírjá k:/
- Ha azt akarom tudni, hogy összesen mennyit hoztun k be, mit
kell odaírni közbe?
= Meg-et.
- /Odaírja a + jeleket./ Melyik az a szám, amelyik 6-tal több,
mint 4? /Így kiszámítják végig, a táblán is odaírja a pedagógus az
eredményt./
- Ilyen példákat fogunk most megoldani. Ez máris ra jzoljátok és
írjátok is le!
Eddig fejben számoltak, most veszik csak el ı a füzeteket,
lemásolják a tábláról a rajzot, és ami alatta van. A pedagógus
nézegeti, mit írnak, néhánynak szól, hogy hibázott, vagy segít
kijavítani.
- Most 12 darab fa van. Rajzoljátok csak le!
Megvárja, amíg lerajzolják a 12 vonalat, ó maga is odarajzolta
már a táblára, aztán:
- Elvesz bel ıle egy gyerek kett ıt, aztán ötöt. Mondjátok meg
el ıre, mennyi marad! /Az egyik gyerek megmondja./ Szám oljuk meg,
csakugyan annyi marad-e!
A táblán egy vízszintes vonallal áthúzza az els ı két
függ ılegest, egy másikkal a következ ı ötöt. A maradékot a gyerekek
hangosan számolják, boldogan állapítják meg, hogy c sakugyan öt
marad. Itt és a következ ıkben is nagy figyelemmel van a pedagógus a
gyengébb tanulókra.
- Mondja csak el valaki, mir ıl volt szó!
= Tizenkét darab fa volt, el ıször elvettünk kett ıt, aztán ötöt,
és öt maradt.
- Írjuk le! /A táblára írja:/ 12 - 2 - 5 = 5. A gye rekek
ugyanezt a füzetbe írják.
- /Kiszólít egy gyereket a táblához, most el ıször az órán,
diktálja neki:/ 3 + 7 + 4 .
A gyerek a táblánál csak íródeák, a padból diktáljá k neki a
megoldást. Több más ilyen példa következik:
- 14 -
4 6 5
Felváltva más és más gyerek diktál, a helyén ülve. Mindenki ír a
füzetébe. Az ügyesebbek, a fürgébbek vagy igyekv ıbbek lehet ıleg
megel ızve a diktálót, a többi a diktálás után vagy a tábl áról.
- Ezekb ıl a példákból válasszatok ki egyet, mondjatok rá
szöveges feladatot!
= Volt egy nyolctagú hajó ...
- Talán nyolcan voltak rajta?
= ... /beletör ıdve:/ nyolcan voltak rajta. Hozzákapcsoltak még
két uszályt. Összesen hány ember és uszály volt?
- /Nevet, de ráhagyja./ Hát ez csak egy összeadás v olt,
de nem baj. Még!
= Volt 12 kisautó. Elrontottam kett ıt, még elrontottam ötöt,
maradt öt.
- Menjünk a Közértbe!
= Négy forintért vettem kolbászt, hat forintért ken yeret, három
forintért sajtot. Hány forintért vásároltam?
= Nyolc zsemlét, két kiflit és hat ...
- /Segít neki:/ ... császárzsemlét ...
= ... császárzsemlét vettem. /Elhallgat./
- Mi a kérdés?
= /Egy másik gyerek mondja:/ Hány péksüteményt vett em összesen. x
- Vegyétek el ı a könyveteket, lapozzátok fel ... /Lapszámot
mond, felolvastatja a feladatot: 3 + 7 + 2, szóban elmondják a
megoldást. A többi hasonló feladatnál már nem mondj ák el./
X X X
________________ x Logikai szempontból igen jó feladat a legközelebbi f ıfogalom.a
"genus proximum" keresésére. Egyúttal jó példa arra , hogy nemcsak
„egynem ő mennyiségeket” lehet összeadni, egy kicsit hasonló an ahhoz,
ahogy nem csak egyenl ı nevez ıj ő törtekkel végezhetünk összeadásokat
és kivonásokat. A péksütemény mintegy "közös nevez ıje" a zsemlének,
kiflinek stb. Annak sincs akadálya, hogy azt mondju k: öt péksütemény
és két tölt ıtoll az hét tárgy; itt a tárgy a legközelebbi f ıfogalom,
a "közös nevez ı".
- 15 -
3 + 7 + 4
4 + 6 + 3
7 + 3 + 2
8 + 2 + 6
12 – 2 – 5
15 – 5 – 3
16 – 6 – 4
14 – 4 – 8
Néhány megjegyzést füzünk az óraleíráshoz
Felt őnı, hogy ezek a kicsi gyerekek az absztrakcióinak mil yen
nagy skáláján mozognak. Jellemz ı erre az órának a fák rakásával
kezd ıdı része. Közvetlen élménnyel kezd ıdik. Igaz, hogy ez csupán
egy gyereknek mozgási, a többinek inkább csak vizuá lis élmény.
Mégis: történik valami, amihez hasonló otthon is tö rténni szokott. A
fadarabokat mindjárt utána az egy fokkal elvontabb vonalak
helyettesítik a táblán, a közben eltelt id ıt üres helyek a
vonalcsoportok közt. További lépés az absztrakció i rányában:
mindegyik csoport alá odaírják számjeggyel azt a sz ámot, amit már
rakosgatás közben is megállapítottak számlálással é s most újból
ellen ırizhetnek. Közéjük kerülnek a + jelek, az összeadás absztrakt
szimbólumai. A következ ı feladatban már rajzból, tehát eggyel
absztraktabb fokról indulnak el. Van, aki fejben ol dja meg ezt a
feladatot, van, aki számlálással állapítja meg a ki vonás /elvétel/
eredményt. A számlálás az el ıbbiekben is fontos, mint tapasztalati
megerısítés. Mindjárt utána olyan feladatok következnek, amelyekben
még absztraktabb szintr ıl indulnak el: számjegyekkel felírt
összeadásokat és kivonásokat végeznek el. Ha nem el ızte volna meg
ezeket a példákat a farakosgatás és a táblai rajz, amelyhez mindjárt
az absztrakt felírás is kapcsolódott, némelyikük ne m is volna képes
megoldani ezeket a feladatokat. Bizonyosan volt oly an, aki még így
sem volt képes rá. A gyerekek nem mindig járnak épp en ott az
absztrakt gondolkozás terén, ahol a tanmenet szerin t járniuk
kellene: mindig vannak, akik hónapokkal, ha ugyan n em évekkel el ıbb
vagy hátrább tartanak.
Ezzel egy fontos kérdéshez jutottunk el, amely a ta nítás minden
fokán felmerül. Vajon a jobbak inkább el ıreviszik, "felhúzzák" a
gyengébbeket, vagy inkább - akaratlanul is - akadál yozzák,
"visszanyomják" ıket? A kérdésre nincs egyértelm ő válasz, b ıven
lehet példát találni mindkét esetre. Itt mindeneset re inkább a
hátrányt látjuk. A most említett feladatsor megoldá sából nem sok
hasznot húznak a gyengébbek: nem tudnak lépést tart ani, csak
másolnak a tábláról. Ezen az ütem lassítása sem sok at segítene.
Lehet, hogy a többség már unná, és még mindig volná nak, akik nem
jutnak el ıre, mert erre az absztrakciós fokra még nem tudnak
feljutni, vagy csak nagyon nagy er ıfeszítések árán. Egy megoldási
kísérlet erre a nehézségre: a tanulók olyan szétosz tása
- 16 -
a párhuzamos osztályokban /ahol vannak ilyenek/, ho gy nagyjából
egyforma színvonalon lev ık kerüljenek együvé. Eléggé nyomós nevelési
szempontok szólnak ez ellen a megoldás ellen. Egy m ásik út: az
osztályfoglalkoztatás kiegészítése egyéni és csopor tmunkával, ami
lehet ıséget ad arra, hogy ki-ki olyan feladatokkal foglal kozzék,
amilyenek az adott fejl ıdési stádiumban leginkább neki valók.
Jelent ıs eredményeket ért el az ilyen tanítási módszer kia lakítása
terén Z.P. Dienes magyar származása angol - jelenle g Ausztráliában
él ı - matematikus és pszichológus. /Lásd az Épül ı matematika c.
könyvéb ıl vett részleteket, 255-312. oldal./
Elgondolkoztató az órának az a mozzanata is, amikor - mindjárt
óra elején - kiderül, hogy a házi feladatot minden tanuló jó1
oldotta meg. Biztos, hogy a tanítás eredményességét dicséri ez a
nagy egyhangúság? Nem lehet, hogy némelyik gyerekne k azért sikerült
így, mert segítettek neki otthon? Sajnos, már az el sıben kezdik
megtanulni azt a hamis igazságot, hogy azok közül a javak közül,
amelyekben az iskola részesítheti ıket, a legf ıbb jó a szép
bizonyítvány. Sok szül ı már szeptemberben megkezdi a lankadatlan
harcot hat éves gyermeke leend ı kit őnı érettségijéért, és szép, ha
ennek legf ıbb eszköze a gondoskodás arról, hogy gyermeke hibás házi
feladattal ne menjen iskolába. Szül ıi értekezletek állandóan
visszatér ı témája, hogy az osztályzatba úgyis csak az iskolai munka
számít be, és hogy az otthoni segítség helyes formá ja a rávezetés,
nem a közvetlen segítés. De ki tudná megállapítani, hogy került a
füzetbe a helyes eredmény? Így aztán nem is olyan n ehéz beletör ıdni
abba, hogy némelyik gyereknek lényegesen jobban meg y a számtan
otthon, mint az iskolában.
Mindent egybevéve ez az óra meger ısíti Freudenthal véleményét,
aki szerint /lásd a 316. oldalon/ az alsó osztályok ban folyó munka
általában szilárdabban áll a lábán, mint a kés ıbbi
matematikatanítás, mert - Freudenthal kifejezésével élve -
"tekintettel van a szintekre"; az alapszintr ıl indul el és ide
minduntalan vissza is tér. Ha marad is kívánnivaló e tekintetben,
sokkal kevesebb, mint a fels ıbb osztályokban.
- 17 -
A fejl ıdés várható iránya az alsó tagozaton
A következ ı évtizedben vagy évtizedekben számos ponton lényege s
változás várható az alsó tagozaton folyó matematika tanításban.
Persze nem úgy "várható", hogy magától bekövetkezik , hanem olyan
értelemben, hogy világszerte terjed a felismerés: h a az automatika
el ınyeit jól ki akarjuk használni, akkor a tömegek mat ematikai
mőveltségének lényeges emelésére, értelmesebb matemat ikatanításra
van szükség, és ezt az alsó tagozaton kell elkezden i. Ezt a
felismerést egyre több országban tettekre is váltjá k át. Az NDK-ban
például egy sereg intézkedést hoztak a matematikata nítás
színvonalának az alsó tagozattal kezd ıdı lényeges felemelése
érdekében. x Az, hogy az egyes országok a matematikatanítás als ó
tagozattal kezd ıdı gyökeres átalakításába el ıbb vagy kés ıbb
kapcsolódnak be, hogy erre sok vagy kevés anyagi és szellemi er ıt
szánnak-e, hogy ezt helyes irányban végzik-e vagy h agyják
félresiklani, az illet ı országok kés ıbbi gazdasági fejl ıdését is
igen lényegesen befolyásolja majd.
Az eddigi kísérleti eredmények tekintetbevételével a
következ ıkben foglalhatjuk össze az alsó tagozaton várható -
részben, ha lassan is, már folyamatban lev ı - változásokat:
1. A mostaninál kisebb hangsúly lesz az írásbeli m őveletek gyors
mechanikus végzésén. Fontosabb szempontnak tekintik , hogy a gyerekek
tisztában legyenek a m őveletek minden lépésének értelmével, mint
azt, hogy néhány másodpercet nyerjenek a gépi számo láshoz képest
amúgy is aránytalanul lassú írásbeli m őveletvégzésben. Ezért az
olyan, m őveleti eljárások kerülnek el ıtérbe, amelyeknek a
gondolatához a gyerekek könnyebben el tudnak jutni. /Vö.26.-33.o1d./
Amellett sokkal nagyobb hangsúly lesz a m őveleti eredmények
becslésén, mint ma.
2. A m őveleti eljárásokhoz nem a pedagógus magyarázata és
szemléltet ı tevékenysége alapján jutnak el, hanem els ısorban saját
tevékenységük alapján, olyan eszközök révén, amelye kbe a helyiérték-
rendszer "be van építve". A m őveleteket ezeken valóságosan elvégzik,
tapasztalataikat lejegyzik; id ıve1 már csak elképzelik, hogy mi
volna, ha a m őveletet a valóságban elvégeznék,
________________ x Lásd pl. Deutsche Lehrerzeitung, 1963/1, Beilage.
- 18 -
lejegyzik ennek az eredményét, de azért még ellen ırzik az eszközön,
hogy jól okoskodtak-e; végül már erre sincs szükség , eljutottak egy
tapasztalati hátter ő mőveleti algoritmushoz. /Vö. 281.-293. oldal./
3. Mive1 a tízes számrendszerben a m őveletek konkrét
végrehajtása a beváltáshoz szükséges sok egység mia tt viszonylag
nehézkes, az el ıbb mondott munkát többnyire kis alapú /pl. 2-es, 3-
as, 4-es/ számrendszerben végzik majd. Így a tízes számrendszer
megállapodásszer ő volta is élményükké válik, és olyan életkorban
ismerkednek meg a /számológépek szempontjából is fo ntos/ más
számrendszerekkel, amikor ez a legkönnyebb, mert a tízes
számrendszer még nem rögz ıdött beléjük. Amellett a tízes
számrendszerben való számolási készségük sem szenve d csorbát, mert a
megértett és begyakorolt eljárások a tízes számrend szerre nehézség
nélkül tev ıdnek át.
4. A szöveges feladatok megoldásának tanítása is er ısebben
tapasztalati kiindulású lesz. Túlnyomórészt a gyere kek gy őjtik össze
a feladatokhoz a számadatokat, s ıt azokat az életben adódó
helyzeteket is, amelyek matematikai feladatokhoz ve zetnek, ezek
alapján ık maguk munkalapokat készítenek, amelyekkel aztán m ás
tanulók is dolgoznak.
5. Azok között a tapasztalatok között, amelyek mate matikai
feladatokhoz vezetnek, a mainál több lesz a fizikai tárgyú, és sok
ilyen feladat számadataihoz méréseik útján jutnak. Például id ı- és
távolságmérés útján sebességeket számítanak ki /mag át a "sebesség"
szót, mint ma is, elkerülhetik/, megfigyelik ingák lengésidejét,
másodpercingát készítenek, stb.; ezzel kapcsolatban mérleg, h ımérı
és más mér ıeszközök és m őszerek leolvasásában évek folyamán készség
fokára jutnak el.
6. A skálaleolvasások révén el ıtérbe kerül a számok ábrázolási
módjai közül a számegyenesen való ábrázolás. Ez gra fikonok
készítésére is lehet ıséget ad. /Pl. ábrázolják a leolvasott
hımérsékleteket, különböz ı súlyokkal megterhelt rugók megnyúlását,
meghatározott id ıközönként rávezetik egy grafikonra saját testsúlyuk
és testmagasságuk értékét stb./
7. Más úton is el ıkészítik a függvényfogalmat: pl. olyan játékok
útján, amelyekben egy tanuló kigondol egy „szabályt ", a mások által
neki mondott számokból, a szabály alapján "készít" egy másik számot,
a többiek pedig igyekeznek kitalálni, hogy a
- 19 -
szabály más számokhoz milyen számot rendelt, végül pedig esetleg meg
is fogalmazni a szabályt. / Részletes leírását lásd a 161.162.
oldalon. A szabály eleinte egyetlen m ővelet alkalmazása, pl.
szorzás 2-vel, kivonás 100-ból./
8. Megsz őnik a fogalomzavar számok és jelek között. A két
fogalom elkülönítése a gyerekek gondolkozásában fok ozatosan megy
végbe /a "bet ő" és a "hang" fogalmának megkülönböztetéséhez
hasonlóan/, s a pedagógus részér ıl tudatos szóhasználatot kíván.
Ezzel többek között a 0 mint szám /pl. 5-5=0/ is po lgárjogot kap az
alsó tagozatban, és nem keverik össze a "0" számjeg gyel. /Vö. 24.
oldal./
9. Az egyenl ıségjel az els ı osztálytól kezdve a matematikában
elfogadott értelmében fog szerepelni /"ugyanazt a s zámot jelöli,
mint", nem pedig "azt kaptam eredményül, hogy"/.
10. Az = jel ilyen értelm ő használatának el ıkészítésére már az
1. osztályban szerepelni fog a < és a > jel; ezekke l szembeállítva
alakítható ki ugyanis az = jel helyes értelme. A < és > jel a
mőveleti jelek el ıtt jelenik meg /pl. 5 > 3 lejegyzésre érdemes
megállapítás/. A < és > jelet mérési eredmények lej egyzésekor is
alkalmazzák majd. /Vö. 236.oldal./
11. Hajtogatás, kivágás, szerkesztés, kivarrás, ra gasztás, fém-
, fa-, m őanyag és egyéb játékelemekb ıl való összeállítás útján
tapasztalatokat szereznek különféle síkidomok és te stek
tulajdonságai fel ıl. Saját készítés ő és kész modellekkel és
rajzokkal kapcsolatban olyan gyakorlati feladatokat kapnak, amelyek
alkalmasak a különféle szimmetriatulajdonságok tuda tosítására és más
geometriai fogalmak kialakítására.
12. Gyakorlati munka révén alakulnak a terület- és a
térfogatszámítás elemi eljárásai is. Például kis ko ckákból
összeállított téglatesteket átlátszó papírba csomag olva kapnak a
kezükbe, megpróbálják megállapítani, hogy hány kis kockából állnak,
leírják a sejtésüket, azután ugyanakkora kockákból felépítik a
testet, és számlálással állapítják meg, helyes volt -e a sejtésük.
Ehhez hasonló munkát fokozatosan nehezítve addig vé geznek, amíg
maguk el nem jutnak a mérés és szorzás útján való t érfogatszámítás
gondolatához. Téglalapok kirakása útján mellékesen kialakul a
prímszám és az összetett szám gondolata is /csak eg y sorban vagy
több sorban is kirakható kockák száma. /Vö. 243. és 51. oldal./
- 20 -
Ez a felsorolás csak hozzávet ıleges képet tud adni az alsó tagozaton
a következ ı évtizedekben várható változásokról. Hogy megvalósu lnak-e
és hogyan, az nagy mértékben függ a pedagógusok kez deményezéseit ıl,
munkájától, önképzését ı1. A pedagógusok szerepére így utalt az 1960.
évi II. magyar matematikai kongresszusra készült "A
matematikatanítás korszer ősítése különös tekintettel általános
iskoláinkra" c. referátum: "Csak akkor lehet az egy ik részr ı1
idejekorán megalapozni az absztrakt fogalmakat, a m ásik részr ıl
pedig építeni erre az alapra, ha mindegyik tagozat pedagógusai
alaposan ismerik egymás munkáját, didaktikai és sza kmai szempontból
egyaránt. A tanítóképzés f ıiskolai szintre emelése már egy lépés
ezen az úton. Egy további lépés lesz az, amikor a t anítóképz ı
akadémiák tantárgyai közé bekerül a matematika. x Még távolabbi
perspektívában azzal is számolnunk kell, hogy a mat ematika az alsó
tagozatban szaktárggyá válik."
Azóta - többek között - a Román Népköztársaságban é s a Német
Demokratikus Köztársaságban intézkedések történtek, hogy az alsó
tagozatnak legalább a fels ı osztályaiban fokozatosan be kell vezetni
a matematikaórákon a szakos tanítást, a tanítóképzé sben és
továbbképzésben pedig lényegesen meg kell növelni a matematika
szerepét. Ilyen intézkedések nélkül az említett vál tozások gyors és
eredményes keresztülvitele legalábbis kétséges.
________________ x Azóta bekerült.
- 21 -
2. A TERMÉSZETES SZÁMOK
Áttekintés. Mit értünk természetes számon?
A matematika tanterve az általános iskola 5. osztál yában kb. az
els ı három hónapot a természetes számokról tanultak ism étlésére,
kiegészítésére és alkalmazására szánja.
Egy másik olyan témakör, amely a természetes számok ra
vonatkozik, a 6. osztály tantervi anyagában szerepe l: oszthatóság
feltételei, összetett számok és prímszámok, közös o sztó és relatív
prímszámok, többszörös /kb. másfél hét jut erre/. R égebben a most
felsorolt anyaghoz csatlakozott még a számok prímté nyez ıs felbontása
/törzstényez ıkre bontása/, ehhez kapcsolódva a hatványjelölés
bevezetése a természetes számok körében, a legnagyo bb közös osztó és
a legkisebb közös többszörös fogalma és meghatározá sának módja. Most
ezek az utóbbi fogalmak és ismeretek kikerültek az általános iskola
anyagából és valószínüleg a középiskolák 1. osztály ának anyagát
fogják gazdagítani.
A gyerek a különféle számfajták közül el ıször a természetes
számokkal ismerkedik meg. Megkülönböztet ı jelz ıre ekkor még nincs
szükség, számoknak nevezi ıket. Kés ıbb azonban meg kell
különböztetni ıket a tört számoktól. Régen ilyenkor egész számokna k
kezdték nevezni az addig megismert számokat. A mate matika azonban
negatív egész számokat is ismer. Ezért, hogy ne kel ljen az egész
szám elnevezés jelentését hamarosan megváltoztatni /kib ıvíteni/,
inkább mindjárt a természetes szám elnevezést vezetjük be. Erre ma
az ötödik osztályban kerül sor.
Természetes szám-e a 0? A régebbi szóhasználat szer int nem az.
Újabban egyre gyakrabban annak tekintik. Emellett s zól az, hogy így
a természetes számok éppen a véges halmazok számoss ágai
- 22 -
/kardinális számai/. Ez nem olyan távoli, tudományo skodó szempont,
amilyennek hangzik. Egy teremben lehet 30 tanuló, l ehet 5, lehet 1
és lehet 0 is, de -l nem lehet. 30 közül kimehet 29 , kimehet 30, de
31 nem. Természetesebbek az olyan "természetes szám ok", amelyek
körében 30-ból 30-at is el lehet venni, mint az oly anok, amelyek
körében 30-ból 29-et el lehet venni, de 30-at nem. Éppen ezért már
az általános iskolák 1. osztályos tantervében is sz erepel a 0 mint
szám /mint kivonás eredménye/. A gyerekek az 1. osz tálytól kezdve
nem az 1, 2, 3 ... számokkal, hanem a 0, 1, 2, 3 .. . számokkal
ismerkednek meg. Igaz, hogy a 0 valamivel "nehezebb szám", mint a 2
vagy a 3. De ugyanazt mondhatjuk az l-r ıl is. Egy labda még nem
annyira egy, inkább csak labda; az 1-et csak a 2 és 3 után kezdi
számként felismerni a gyerek, a 0-t még kés ıbb. Amikor az 5.
osztályban összefoglaljuk a természetes számokról t anultakat, nem
feledkezhetünk meg a 0-ról sem.
Számok és jeleik
Nem sok diák érti, hogy a közönséges törtek, tizede s törtek és
vegyes számok nem nevezhet ık olyan értelemben különféle számoknak,
ahogy például a pozitív számok, negatív számok és a 0. A
mondatrészek és szófajok vagy bet ők és hangok közt valószín őleg
többen látják a különbséget.
Miért nem ugyanolyan módon különböznek egymástól a közönséges
törtek, a tizedes törtek és a vegyes számok, mint a pozitív számok,
a negatív számok és a 0?
Az el ıbbi megkülönböztetés a számok alakjára vonatkozik; például
3/2, 1,5 és 1 1/2 különböz ı alakúak, de ugyanaz az értékük, a
számegyenesnek ugyanahhoz a pontjához tartoznak /áb ra/. Az utóbbi
viszont a számok értékére vonatkozik: akármilyen al akban írok egy
pozitív számot, egy negatív számot vagy 0-t, akkora pozitív szám,
negatív szám illetve 0 marad.
- 23 -
1 1
2
0 1 2 3 4
2 2 2 2 2
, , , , ,
0 0,5 1 1,5 2
Szám értéke és szám alakja ,
ezek csupán más elnevezések a helyett, hogy
szám és jele .
Az utóbbi elnevezések el ınye, hogy utalnak arra: olyan
megkülönböztetésr ıl van szó, amely nemcsak számokra vonatkozik.
Nemcsak a számokat szokás összetéveszteni a jelükke l, hanem sok más
dolgot is.
Ha a dolgokról beszélünk, akkor a jelüket használju k, ha a
jelükr ıl beszélünk, akkor félreértés elkerülése végett más jelet
kell használnunk; például idéz ıjelbe tesszük a dolog nevét. Miskolc
hosszabb, mint Hódmez ıvásárhely, de "Hódmez ıvásárhely” hosszabb,
mint "Miskolc". Ugyanilyen különbség van 0 és "0" k özt is. Az el ıbbi
egy számot jelent, az utóbbi ennek a számnak a jelé t jelenti. a
tanár legyen tisztában ezzel a különbségtétellel, d e ne er ıltesse a
diákokra olyankor, amikor /és olyan módon, ahogyan/ ebb ıl
megvilágítás helyett elködösítés származhat. Jó, ho gy van egy ilyen
megkülönböztetési lehet ıség, de folyton ezen lovagolni azt
jelentené, hogy fontosabb problémákat szorítunk hát térbe. Magunk sem
használjuk következetesen az idéz ıjelet dolgok és jelük
megkülönböztetésére. Néha aláhúzással vagy sor köze pére helyezéssel
fejezzük ki ezt a megkülönböztetést, néha még így s em.
Ha különbséget teszünk számok és jeleik közt, akkor érthet ıvé
válik, hogy például "5+2" és "7" egy és ugyanannak a számnak két
különböz ı jele. /Joggal mondhatjuk hát, hogy az "5+2=7" össz eadásban
"5+2" is összeg, "7” is az./ Általában: az, amit né ha
számkifejezésnek szokás nevezni, valamilyen számnak a jele, hacsak
nem szerepel benne olyan m ővelet, amelynek az eredményét nem
értelmezzük /pl. 0-val való osztás/.
Számrendszer
Az 5. osztályba kerül ı gyerekek rendszerint nagy érdekl ıssel
várják, hogy mint fels ısök, milyen új és érdekes dolgokat fognak
tanulni. Ha azt tapasztalják, hogy hónapokon keresz tül ugyanannak az
ismételgetése folyik, amit négy éven keresztül tanu ltak, akkor
csalódnak ebben a várakozásukban. Sok ismétlésre
- 24 -
rendszerint azért van szükség, mert az egy osztályb an lev ı gyerekek
nagyon különböz ı felkészültség őek; vannak, akik a szóbeli és
írásbeli számolás legegyszer őbb formáiban, még az egyszer- egyben is
gyengék, bizonytalanok, abban, hogy egészen közönsé ges, egy-két
mővelettel megoldható szöveges feladatokat hogyan, mi lyen m ővelettel
oldjanak meg. Ezeknek a készségeknek a gyakorlását nem szabad
elhanyagolni az ötödikben, s ıt a magasabb osztályokban sem. Id ıt és
érdekl ıdést is nyerünk azonban, ha ezt a gyakorlást új any agba
ágyazzuk. Egy kit őnı angol tankönyv x úgy oldja meg ezt a problémát,
hogy a kettes számrendszer ismertetésével kezdi a t ananyagot,
bemutatja, hogy lehet ebben a számrendszerben össze adni, kivonni,
szorozni és osztani, azután tér vissza a tízes szám rendszerben való
számolásra. A kettes számrendszerrel dolgozva jobba n megértik a
tanulók, mi egyáltalán a számrendszer, mint ha ezt csak szóban
magyaráznánk nekik. A m őveletek technikája is jobban tudatosul
bennük, mint hogyha csupán a megszokott módon ismét elgetnék.
Egyúttal olyan számolástechnikába kapnak betekintés t, amelyet az
elektronikus számoló automaták is alkalmaznak.
Az új tanterv most nálunk is lehet ıséget ad ilyesmire egy
bizonyos korlátozott mértékben. A tanterv els ı pontját /lásd a 484.
oldalon/ felhasználhatjuk arra, hogy egy kicsit kiz ökkentsük a
tanulókat abból a téves szemléletb ıl, hogy a tízes számrendszer
örökt ıl fogva adott, nem is lehetne másmilyen, és élményü kké tegyük,
hogy vannak más számrendszerek is. Csoportosítsunk például egy nagy
halom pálcikát vagy gyufaszálat tízesével /bef ızıgumi segítségével
gyorsan megy a csoportosítás/, a tízes csomókat meg int tízesével
stb. A kimaradó pálcikák, tízes csomók stb. száma t ízes
számrendszerben adja meg a szám egyeseit, tízeseit stb. Ha
kettesével, hármasával vagy más alapszám szerint cs oportosítjuk a
pálcikákat, kettes, hármas stb. számrendszerben kap juk meg a
számjegyeket jobbról bal felé. Jó úgy szervezni meg a munkát, hogy
sokan vegyenek részt benne; akár az egész osztály i s. Az ilyen
valóságosan végrehajtott m őveleteket, eljárásokat a gyerek kés ıbb
gondolatban is végre tudja hajtani; Piaget svájci p szichológus
terminológiáját követve: a m ővelet interiori-
________________ x Mansfield - Thompson /1962/
- 25 -
zálódik, bels ıvé válik. /Ez hasonló ahhoz, amit régi szóhasználat tal
a bels ı szemlélet kialakulásának neveztek./
Játékpénzeket is készíttethetünk a gyerekekkel, ame lyekb ıl
például 4 kisebb ér annyit, mint egy nagyobb. Megmo zgathatjuk a
fantáziájukat azzal, hogy elképzeltetjük velük egy idegen égitest
lakóit, akiknek például 6 ujjuk van és ezért hatos számrendszerben
számolnak. Kigondolhatnak a tanulók különleges szám jegyeket,
elvégezhetnek egyszer őbb mőveleteket is a képzeletbeli él ılények
helyett, megállapíthatják az így felirt számokról, hogy melyik
nagyobb stb. Jobb ugyan fiatalabb korban adni meg e zt a betekintést
a számrendszer lényegébe, mert akkor tudatosabbá vá lik bennük, hogy
a mőveleteket miért végezzük éppen úgy, ahogy végezzük, de még
mindig jobb az ötödik osztályban adna meg nekik ezt az élményt, mint
még kés ıbb vagy soha. Ha jól szervezzük meg ezt a munkát, n em megy
el rá sok id ı, s a ráfordított id ı és munka megtérül a tanulók
nagyobb érdekl ıdésében és abban, hogy így az ismétlés mélyebb nyom ot
hagy bennük.
Írásbeli m őveletek
Manapság az alsó osztályokban sok id ıt töltenek a tanulók az
írásbeli m őveletek technikájának elsajátításával, de viszonyla g
keveset ezeknek a m őveleti technikáknak konkrét tárgyakon való
tapasztalati megalapozásával. Ennek az az eredménye , hogy az
ötödikeseknek a számolás általában már "gondolkozás nélkül meg"-,
amíg benne vannak a gyakorlatban, de egy kis kiesés vagy a
megszokott formától való csekély eltérés gyakran sú lyos hibákat
eredményez. Egy-egy 0 valamelyik tényez ıkben, osztandóban vagy
hányadosban már megzavarhatja a számolás gépies men etét. Ez ellen
lehet úgy védekezni, hogy erre és más zavaró moment umokra
tekintettel vagyunk, az ilyen eseteket külön gyakor oltatjuk. Ez
azonban csak tüneti kezelés, inkább elleplezése, mi nt kiküszöbölése
annak, hogy a tanulók nem tudják, mit miért végezne k. Ezt pedig
bajosan tudjuk nekik megmagyarázni, ha hiányzik a m őveletek
tapasztalati háttere, ha nem végeztek konkrét tárgy akon olyan
konkrét m őveleteket, amelyekb ıl a m őveleti eljárásokat
absztrahálhatták volna. Megint azt mondhatjuk, amit a
számrendszerekkel kapcsolatban: jobb, ha ez a megal apozás el ıbb
történik, /mert
- 26 -
akkor nincs szükség éveken át annyi sok gépies gyak orlásra és a
felszabaduló id ıt értelmesebb feladatok végzésére lehet fordítani/,
de ha el ıbb nem történt meg, az ötödikben még mindig érdemes ezzel
foglalkozni. Készíttessünk például játékpénzeket mi nden tanulóval,
kisméret ő egy-, tíz- és százforintosokat /vastag papírból, h ogy
könny ő legyen rakosgatni/, végezzenek ezekkel m őveleteket, figyeljék
meg ennek alapján, mit jelentenek az írásbeli számo lásban megszokott
lépések, például a felváltás és a beváltás.
Az írásbeli m őveletek közül az összeadás az, amelynek a
megértésében a legmesszebbre jutnak el a tanulók az alsó
osztályokban. Az összeadás kommutativitása és asszo ciativitása
/amelyet ez a m őveleti eljárás burkoltan felhasznál/ a gyerekeknek
magától értet ıdı, ha nem is tudják ezeket pontosan megfogalmazni és
egymástól megkülönböztetni. Aki a számok írásának a lapgondolatával -
azzal a bizonyos csoportokba rendezéssel, amelyr ıl az el ızı
szakaszban szó volt - tisztában van, annak az a gon dolat sem távoli,
hogy miért kell jobbról bal felé mindig a k ıvetkez ı oszlophoz adni
azt, ami "maradt".
A kivonás gondolata sokkal nehezebb. Különösen prob lematikus a
nálunk is tanított, osztrák módszerrel végzett kivo nás, amely a
kisebbítend ı és a kivonandó egyenl ı számokkal való növelésén
alapszik. Maga ez a gondolat is nehéz abban az élet korban, amikor
ezt a m őveletet tanítják. x Még nehezebbé teszi az, hogy a
kisebbítend ıhöz más formában adjuk hozzá ugyanazt a számot, min t a
kivonandóhoz, pl. az el ıbbihez tíz egyest, az utóbbihoz egy tízest
adunk:
________________ x Könnyen meggy ızıdhetünk arról, hogy az osztrák módszert minden
magyarázat ellenére is megértés nélkül alkalmazzák a gyerekek. A
legjobban akkor mutatkozik meg ez, amikor nem decim ális összetett
mennyiségeket /"többnev ő számokat"/ kell kivonniuk, pl.
Ha a tanulók értenék az osztrák módszert, itt is az t
alkalmaznák. De mert nem értik, felváltással okosko dnak. Ha nem a
saját fejük után teszik ezt, hanem azért, mert ebbe n az esetben ezt
a technikát tanították nekik, akkor felmerül a kérd és, miért jó az
osztrák módszer az egyik esetben és miért nem jó a másikban.
- 27 -
21 óra 37 perc - 6 óra 53 perc
6 egyeshez 7 egyes kell, hogy 13 egyest kapjunk. A
kisebbítend ıt tízzel /tíz egyessel/ növeltük, ezért a
kivonandót is tízzel /egy tízessel/ növeljük, 8 + 1 =
9. És így tovább.
Könnyebben megértik a gyerekek a felváltáson és elv ételen
alapuló m őveleti technikát. Ennek is vannak azonban hátrányai ,
különösen ha nullák vannak a kisebbítend ıben.
0 egyesb ıl nem tudok elvenni 2-t, ezért felváltanék
egy tízest; de az nincs, s ıt százas sincs. Felváltok
hát egy ezrest, marad 2, a tíz százasból felváltok
egyet stb. stb.
A következ ı magyarázat az összeadás és a kivonás kapcsolatára
épít: 573 és 186 különbsége az a szám, amelyet 186- hoz adva 573-at
kapunk. Ha már el ıbb megszokták a gyerekek, hogy rendes
összeadásokon kívül hiányos összeadásokat is végezz enek, pl.
ilyeneket:
és azt is megszokták, hogy nemcsak a számok alá leh et odaírni az
összeget, hanem melléjük, vagy a papír sarkába, vag y a számok fölé
is:
akkor nem okoz nekik nehézséget ebben az elrendezés ben sem a hiányos
összeadás:
Gondoljuk végig a megoldás menetét, látni fogjuk, h ogy
eljutottunk pontosan az osztrák kivonási technikáho z. Minden
ugyanaz, csak a vízszintes vonalat kell lejjebb vin ni, hogy a
hiányos összeadásból szabályos kivonás legyen. Visz ont az eljárás
megértéséhez nincs szükség arra a gondolatra, hogy ha a
kisebbítend ıt tíz egyessel, a kivonandót egy tízessel növeljük, a
különbség nem változik. Nincs szükség hozzá másra, csak az összeadás
tech-
- 28 -
573
- 186
387
3000
- 782
573
186
387
573
186
...
35.
.84
6.9
...
754
902
128
...
251
/fönt csak 8 lehet, 4+8 = 12, marad 1 + 5 = 6, 6 + 4 = 10 stb./,
nikájának ismeretére, és annyi képzel ıer ıre, amennyi a "hiányos"
mőveletek végzéséhez általában kell. Azonkívül persze az összeadás,
és a kivonás közti kapcsolat ismeretére.
Nem akarjuk azt mondani, hogy ez "a helyes" vagy "a legjobb út"
az írásbeli kivonás tanításához. A legjobb mindig a z, amire a gyerek
magától jön rá /alkalmas eszközök, alkalmas tanulás i helyzetek,
alkalmas kérdések útján/. Szakítanunk kell azzal a gondolattal, hogy
mindenkibe be kell programozni egy meghatározott m őveletvégzési
eljárást. A számológépek elterjedése ellenére felte het ıen fontos
marad, hogy az ember el tudjon végezni primitív tec hnikájú írásbeli
mőveleteket. A repül ıgépek megszázszorozzák haladásunk sebességét, a
számológépek több milliószorosára növelik a számolá sét, de azért nem
felejthetünk elgyalogolni, vagy "gyalogosan" számol ni. Mégis, talán
már ma is nagyobb érték a gyerek számára az, hogy r ájön egy m őveleti
eljárásra, mint magának az eljárásnak az ismerete. Az önálló
gondolkozás, az ötletesség a mai korban fontosabbak a technikai
készségeknél. Nem az utóbbiak fontossága csökkent, hanem az
el ıbbieké n ıtt meg hatalmas mértékben.
Az írásbeli szorzás technikája a disztributivitás t öbbszörös
alkalmazásán alapszik /a kommutativitás és az asszo ciativitás
mellett/. Aki nem ismerkedett meg tapasztalati úton a
disztributivitással, az eleve nem lehet tisztában a zzal, hogy mi
jogon szoroz úgy, ahogy tanulta. A disztributivitás sal való
megismerkedés persze nem azt jelenti, hogy el tudja valaki mondani,
hogyan szorzunk összeget egy számmal. Ez már egy er ıs absztrakciót
kívánó megfogalmazás; túl korai er ıltetése könnyen vezethet értelem
nélküli, verbális tudásra. A disztributivitással ol yan feladatok
kapcsán ismerkedhetnek meg a tanulók, mint például a következ ık:
7 képes levelez ılapot vettem, darabját 1 Ft 60 f-ért,
mindegyikhez 40 filléres bélyeget is vettem. Mennyi t fizettem?
Egy kalauz 9 db l Ft 50 f-es és 9 db 2 Ft 50 f-es á tszállót
adott el. Mennyi pénzt kapott értük?
Látható a fokozati különbség. Az els ı feladatban természetes az
a gondolat, hogy a szorzatok összeadása helyett az összeget
szorozhatjuk /a levelez ılapokra mindjárt ráragasztjuk a bélyegeket/.
A második feladatban ehhez már egy kis agyafúrtság kell: gondolatban
összepárosítjuk az 1 Ft 50 f-es és a 2 Ft 50
- 29 -
f-es átszállókat, hogy megkönnyítsük a számolást, a nnak ellenére,
hogy ennek a párosításnak a valóságban nincs sok ér telme. Ilyenféle,
alkalmasan összeválogatott feladatok útján elérhetj ük, hogy a
tanulók el ıtt lassan feldereng a kétféle számítási mód kapcsol ata,
és az, hogy a szövegt ıl függetlenül mindig rajtuk áll, melyik
számítási módot alkalmazzák. A feladatok összeválog atásában
törekedjünk a tartalmi és a formai változatosságra /vö. 272. old./;
az utóbbi azt jelenti, hogy szerepeljenek kett ınél többtagú
összegek, azonkívül különbségek. is. x Ha a tanulókat általában ahhoz
szoktatjuk, hogy a számfeladatok, mögé is szöveget képzeljenek, vagy
legalábbis valamiféle konkrét tartalmat, akkor az e mlített típusú
feladatok kétféle megoldási módja segíti ıket az ilyen
átalakításokban is /vö. 41. old./:
Ez már egy magasabb absztrakciós fokozat, de ennél is magasabban
van a szóbeli megfogalmazás; arra csak akkor érdeme s sort keríteni,
ha a gyerekek mondják ki /esetleg eleinte tökéletle n formában/. Kész
megfogalmazás betanulása - kész verbalizmus.
A szöveges feladat sem a
legels ı lépcs ıfok a konkrétabbtól
az egyre absztraktabb felé vezet ı
úton. Az olyanféle átrendezések
valóságos elvégzése erre a célra
szolgáló szemléltet ıeszközökkel,
amilyent például ábránk mutat,
korábbi fokozatot jelent, ti.
manuális tapasztalatokat. A tanár
dolga eldönteni, hogy például a
disztributivitás esetében idáig
kell-e visszamenni a tanulókkal
/vagy egy részükkel/,
________________ x Egy példa az utóbbira: "Egy feln ıtt lépése 75 cm, egy gyereké
45 cm. Ha mind a ketten háromszázat lépnek, mennyiv el tesz meg
hosszabb utat a feln ıtt, mint a gyerek? Emlékezetessé tette ezt a
feladatot egy kisdiák számára az a nap, amikor nem akarták t ıle
elfogadni - s ıt megérteni sem - az egyszer őbbik megoldást.
- 30 -
17 * 8 + 23 * 8 = ( 17 + 23 ) * 8 = 40 * 8 = 320 ,
( 250 + 25 ) * 4 = 250 * 4 + 25 * 4 = 1000 + 100 = 1100.
2. ábra
vagy pedig megelégedhetünk a konkrétságnak azzal a fokával, amit a
szöveges feladatok adnak. /Vö. 296.-300. oldal./
Nem jelenti a disztributivitás megértését az, ha va laki tudja,
hogy 32-t így kell szorozni 4-gyel: "4-szer 30 az 1 20, 4-szer 2 az
8, 120 meg 8 az 128". Ez gyakran csak egy mondóka i smétlése; fülükbe
cseng a folytatás, mert már sok ilyent hallottak. A ki ennek alapján
végzi a szorzást, az nem is összeget szoroz, hanem kétjegy ő számot
szoroz; az 5. osztályban sem kés ı tudatosítani, hogy a 32-nek és a
250+25-nek 4-gyel való célszer ő szorzása közt milyen kapcsolat van.
Amikor többjegy ő számot többjegy ő számmal írásban szorzunk,
akkor disztributivitást alkalmazunk egyrészt az egy es
részletszorzatok kiszámítása közben /lásd az el ıbbi példát/,
másrészt azzal is, hogy külön számítjuk ki a részle tszorzatokat és a
végén ezeket összeadjuk. A disztributivitásnak ez a kétszeres
alkalmazása nem könny ő gondolat. Ezt a gondolatat érthet ıbbé,
tudatosabbá tehetjük azzal, hogy eltérünk a megszok ott sémától. Ha
például egy számot 124-gyel kell szorozni, akkor ír ják le a tanulók
egymás alá a szám százszorosát, húszszorosát és nég yszeresét, és
adják össze ezeket a számokat. Bár a m őveleti eljárásoknak a
tapasztalatokból való absztrahálását semmi sem póto lhatja, egy-egy
ilyen szokásostól eltér ı lejegyzési forma is segít egy kicsit
elgondolkozni azon, hogy miért számolunk éppen így vagy úgy. Még a
nulláknak a részletszorzatok végén való kiírására i s visszatérhetünk
az 5. osztályban, ha azt tapasztaljuk, hogy túl ham ar hagyták el a
tanulók az alsó tagozatban, nem értik a "lépcs ızetet" a
részletszorzatok egymás alá írásában. /Persze az a jobb, ha az
elhagyásra csak akkor kerül sor, amikor maguk a gye rekek rájönnek,
hogy felesleges mindig odaírni a nullákat. De ezen az 5.-ben már túl
vagyunk./
A disztributivitás kétszeres alkalmazását, a "minde n tagot
minden taggal" gondolatát segítenek megértetni a gy erekekkel az
olyan számkártyák, amelyek a többjegy ő számok tagokra bontását
szemléltetik /3. ábra/.
A többjegy ő számokat helyi érték szerint "kártyába bontjuk" és
az egyik összeg minden tagját szorozzuk a másik öss zeg minden
tagjával: x
________________ x Vö. Land /1960/, 29 old.
- 31 -
Ez persze csak arra világít rá, hogy mit is csinálunk
tulajdonképpen, amikor írásbeli szorzást végzünk. H ogy miért éppen
ezt csináljuk, ahhoz más eszközök kellenek /Vö. 290 .-293. oldal/.
Ezeket a rajzok /lásd az 5. ábrát/ kiegészíthetik, de nem
pótolhatjuk.
A legf ıbb szempont a m ővelet tudatos, értelmes végzése. Ehhez
képest csak másodlagos jelent ısége van pl. annak a kérdésnek,
amellyel kapcsolatban az utóbbi években több közlem ény is megjelent,
hogy a részletszorzatok jegyei helyi értik szerint a szorzandó vagy
a szorzó jegyei alá kerüljenek-e.
- 32 –
5. ábra
Az írásbeli osztás technikáját, sajnos, nem lehet o lyan módon
visszavezetni a szorzásra, mint a kivonásét az össz eadáséra. Ha azt
akarjuk, hogy a gyerekek többsége értse, hogy mit c sinál, és esetleg
még azt is tudja, hogy amit csinál, azt miért csiná lja, akkor a
mőveletek valóságos elvégzése konkrét tárgyakon és es zközökön aligha
kerülhet ı el. Valami kicsit az is segít, ha legalább a
részletszorzatokat leírják, és nem vonják le mindjá rt fejben. Ez
primitívebb technika, lelassítja az osztást. A f ıszempont azonban -
megint ismételni kell - nem egy amúgy is tökéletese n korszer őtlen
technikának hajszállal kevésbé korszer őtlenné tétele, hanem a
tudatosság. Egy kis nyereség az utóbbiban kárpótol azért, hogy ezt
az életben oly ritkán alkalmazott számolási eljárás t valamivel
lassabban végzik a tanulók.
Fejszámolás. Kerekítés, becslés
Számológépekb ıl egyre többet gyártanak, egyre olcsóbban
kerülnek forgalomba, a miniatürizálás terén is vann ak eredmények.
/Kb. egy írógép áráért 20-30 dkg súlyú, 11-15 jegyi g számoló gépek
kaphatók./ Ezek és más tényez ık - pl. a logarlécek elterjedése,
használatuk általánossá. válása - a többjegy ő számokkal végzett
írásbeli m őveletek szerepét fokozatosan csökkentik /Vö. 92.-94 .
oldal/. Nem csökken azonban a fejszámolás /szóbeli számolás/
fontossága. Arra persze felesleges id ıt vesztegetnünk, hogy
begyakoroltassuk az olyanféle vagy még bonyolultabb mőveletek fejben
végzését, mint pl. 28. 39, még ha van is néhány tan uló, akinek az
nem okozhat különösebb nehézséget. Viszont az ilyen -
- 33 -
300.10 20.10 4.10
300.3 20.3 4.3
300 20 4
3
10
324
13
féle m őveleteket tudja lehet ıleg minden tanuló nehézség nélkül
fejben elvégezni:
/Az utóbbiakat persze csak akkor, amikor már tanult ák a
törtszámokat./ Ha logarléccel vagy számológépen, de akár ha írásba n végeznek is
el egy m őveletet többjegy ő számokkal, fontos, hogy becsléssel ellen ırizzék, nem követtek-e el durva hibát. Még helyeseb b, ha ahhoz szoktatjuk a tanulókat, hogy ne is a m ővelet végzése után, hanem el ıtte számítsák ki, hogy kb. mekkora eredményt várnak . Ha egyetlen alapm őveletr ıl van szó, akkor azt egyszer ően úgy végezhetik, hogy a számokat el ıbb egy - esetleg két - értékes jegyre kerekítik. /A z osztandót néha nem is kerekíteni célszer ő, hanem oszthatóra változtatni pl. 4000 : 59 ~ 4200 : 60 = = 70./ Jó azonban kifejleszteni bennük az érzéket, hogy összetettebb mőveletsorozatok eredményét is gyorsan meg tudnék becsülni, pl. néhá ny másodperc alatt el tudják dönteni, hogy ez a szám:
1-hez, 10-hez, 100-hoz vagy 1000-hez van-e közelebb .
A durva hibák elkerülésének van még egy fontos módj a: ha a
számadatok nemcsak m őveletgyakorlást szolgáltak, hanem valami
konkrét feladatból adódtak, akkor a végeredményt is mindig a
valóságra kell vonatkoztatniuk. Tisztában kell lenn iük azzal, hogy
gyalogló sebességére óránként 620 km éppúgy nem reá lis, mint
repül ıgép sebességére óránként 5 km stb.- vagyis tisztába n kell
lenniük a legfontosabb mennyiségek nagyságrendjével . Nem kell velük
számadatokat bevágatnunk, a valóságérzéküket kell k ifejlesztenünk.
Ehhez sok-sok olyan feladat megoldására van szükség , amely valóságos
- és a gyerekek számára érdekes - adatokat tartalma z. /Vö. 42-47.
old./
- 34 -
170 + 250
40 * 800
300 : 6
0,8 : 0,4
100 – 33
2000 * 30 000
1 000 000 : 250
1
8 : 4 .
7693 + 16840
8161 - 7997
A mőveletek összefüggései. Elnevezések
Ha öt könyvhöz odateszek még hármat, nyolc lesz; ha elveszem a
három könyvet, megint öt marad. Az ilyen mindennapo s tapasztalatokat
általánosíthatjuk, amikor azt mondjuk, hogy a kivon ás az összeadás
inverze /fordított m ővelete/. Bármilyen természetesnek tartják is a
gyerekek az el ıbb említett tapasztalati tényt, gyakori eset, hogy
megnevezés nélküli számokra, különösen, ha nagy szá mokról van szó,
nem viszik át ezeket a tapasztalataikat; gondolkodá s nélkül
nekifognak a gépies számolásnak olyankor is, amikor a m őveletek
összefüggése elárulná az eredményt. Fontos a valósá gos összefüggés
szemléltetése /rajzon és még inkább tárgyakon, vagy magukon a
gyerekeken/, fontos a matematikai megfogalmazás is /egyel ıre
numerikus példákon/ de a legfontosabb kett ı közti kapcsolat
tudatosítása. Külön az egyik vagy a másik nem sokat ér. Ugyanez
vonatkozik a szorzás és az osztás kapcsolatára. Ábr áink mutatják
ezeket a kapcsolatokat, i1letve néhányat közülük:
A második sorban szokatlan a sorrend. Aki azt hiszi /és az
alsó tagozatból a legtöbben ezt hozzák!/, hogy az e gyenl ıségjel azt
jelenti, "azt kapom, hogy", az meg is ütközik rajta . Fontos, hogy
újra és újra tudatossá tegyük a gyerekekben az egye nl ıségjel igazi
jelentését /"ugyanazt a számot jelenti, mint"- tehá t a két oldalát
fel is cserélhetem/. Hasznos ezt a szabadságunkat t öbbek között arra
használni fel, hogy az itt látható módon kapcsoljuk egymáshoz az
ugyanazon ábráról leolvasható összeadási és kivonás i eseteket. Az
így szerzett asszociációknak jó hasznát
- 35 -
4 + 3 = 7 3 + 4 = 7
4 = 7 – 3 3 = 7 - 4
4 * 3 = 12 3 * 4 = 12
4 = 12 : 3 3 = 12 : 4
4 + 3 – 3 = 4 3 + 4 – 4 =3 4 * 3 : 3 = 4 3 * 4 : 4 = 3
veszik majd az egyenletmegoldásban. Persze az olyan változatokra is
kerüljön sor, mint
Fontos azonban, hogy ezek az ábrán keresztül - illetve azon a
hozzátevési, elvevési élményen keresztül , amit kés ıbb az ábra
segítségével is felidézhetünk - kapcsolódjanak egym áshoz, ne pedig
közvetlenül, formálisan! Ugyanez vonatkozik nemcsak az egymás
alattit, hanem az egymás melletti állításokra is eg y-egy kereten
belül: A fels ı sorban látható kapcsolat az ötödikeseknek már "a
könyökükön jön ki" - kár sok szót vesztegetni rá. A második sorról
ezt nem mondhatjuk. Ez a felcserélhet ıséget a kivonás /illetve
osztás/ nyelvére átfogalmazva mutatja. Mutassuk meg nekik, mit fejez
ki ez a kapcsolat; pl. ha ezt veszem el, az marad, ha azt veszem el,
ez marad. /Osztásra valamivel nehezebb megfogalmazn i, de az ábráról
ezt is leolvashatják./
A keret alatti sorban egy-egy mondatba s őrítve láthatók az
inverz m őveletek összefüggései. Kis számokkal, mint ezek, ma gától
értet ıdıknek látszanak ezek az állítások, de adjuk csak fel a
gyerekeknek, mennyi 378 + 564 - 564 vagy 378*564:56 4. Érdemes volna
felmérést készíteni iskolánként, hány gyerek van, a ki nekiáll
összeadni és szorozni, és hány látja át mindjárt, h ogy mi az
eredmény.
Érdekes módszertani újítás a "kisebbítend ı, kivonandó,
különbség" elnevezések kiküszöbölése, helyettesítés e kivonásban is
az "összeadandó, összeg" elnevezésekkel:
- 36 -
7 – 4 = 3
7 = 3 + 4 stb.
27 + 18 = 45
45 – 27 = 18
egyik össze-adandó
másik össze-adandó
összeg egyik össze-adandó
másik össze-adandó
összeg
Ugyanígy az osztásban is, ha nincs maradék:
Ez az újítás több szempontból hasznos; egyrészt fel énél
kevesebbre csökkenti a megtanulni való /és többnyir e nem is nagyon
jól tudott/ elnevezések számát, másrészt hozzájárul a m őveletek és
inverzeik közti kapcsolat tudatosításához is.
Vannak nyitott problémák ezzel az egyszer ősítéssel
kapcsolatban; mindenesetre érdemes gondolkozni rajt a és próbálkozni
vele. Amerikában sokfelé alkalmazzák.
A szorzandó és a szorzó sorrendje
A második osztályban 4 + 4 + 4-et röviden 3 * 4 -ne k írják a
gyerekek. A harmadikban 184 + 184 + 184 -et 184*3-n ak /mert ezt
írásban számítják ki, és írásbeli szorzásban szokás szerint jobbról
van a szorzó/. A következetlenség kés ıbb is megmarad, és semmiképpen
sem intézhet ı azzal, hogy "a szorzás úgyis kommutatív". Amikor
például a törtek tanítására kerül sor, nem mindegy, mit fejez ki a
3 * jelölés, 3-nak a -szörösét-e vagy -nek a háromszorosát,
hiszen az utóbbiról nyilvánvaló mit jelent, amikor az el ıbbir ıl ezt
még tisztázni kell. Jobb volna tehát vagy következe tesen a szorzandó
elé vagy következetesen a szorzandó után írni a szo rzót.
/El ıfordulhat persze olyan feladat, ahol nincs is értel me szorzóról
és szorzandóról beszélni, Ilyen például az, hogy há ny - egy fiúból
és egy lányból álló - táncospár lehetséges akkor, h a 5 fiú és 4 lány
van jelen. Ekkor persze csakugyan mindegy a leírás sorrendje, Máskor
is jogunk van megváltoztatni, de mégis más összeadá st rövidítünk 3 *
4-gyel és mást 4 * 3-mal./ Melyik sorrendet válassz uk hát? Néhány
érv és ellenérv a kétféle variánsra:
- 37 -
36 : 4 = 9
szorzat egyik tényez ı másik tényez ı
2 5
2 5
2 5
Vannak ennél sokkal nagyobb jelent ıség ő problémák is. Azért
említjük meg mégis, mert ennek - mint általában min den
szabványosítási kérdésnek - jobb minél el ıbb túlesni a megoldásán.
Ma
- 38 –
Matematikailag az utánaírás a
következetesebb. Ha 24-et
összeadással, kivonással vagy
osztással változtatom, akkor is
utána írom azt a számot, amivel
változtatom.
A matematikában is magasabb
fokon az eléírásban
állapodnak meg: x + x + x
röviden 3x, nem pedig x3. Az algebrában elfogadott sorrend
nem a szorzandó és a szorzó
sorrendje, hanem a számé és a
változóé /ismeretlené/. 3x ez is
jelentheti: 1 2 x
3 + 3 ... + 3 .
Például ennek a feladatnak a
lejegyzésekor: "Egy tutaj
óránként 3 km-t úszik lefelé,
mennyi id ı alatt úszik 78 km-
t?", 3x = 78 -ban az x a
szorzó.
Ha a nyelvi forma volna a dönt ı,
akkor a németek a tizenhármat 31-
nek írhatnák /dreizehn/, a
harmincegyet pedig 13-nak
/einunddreissig/. Könnyebb volna
így tanítaniuk, mégsem teszik, mert
matematikailag következetlen. Van
az utánaírásnak megfelel ı nyelvi
forma is: "4 szorozva 3-mal", "4-
nek a 3-szorosa".
Nyelvileg viszont az
eléírás a
következetesebb. Azt
mondjuk, hogy 3-szor 4.
Könnyő megtanítani a
gyerekeknek, hogy ezt 3 *
4-nek írjuk /a "szor"-t
ponttal jelöljük/,
nehezebb azt tanítani,
hogy 4 * 3-nak írjuk.
már a döntés igen sok országban, talán az országok többségében, meg
is történt, mégpedig nem a nyelvi sorrend mellett / amely másutt is
hasonló, mint nálunk, hanem a matematikailag követk ezetes sorrend
mellett. Egy ilyen viszonylag csekély jelent ıség ő problémát sem
helyes azonban a pedagógus-közvélemény kikapcsolásá val oldani meg,
és ezért el ıször is el kell hárítani a lehetséges félreértéseke t.
A mőveletek eredményének változása /vagy változatlanság a/
Ez jellegzetesen olyan kérdéskör, amelyet kár volna külön
ismeretanyagként tanítani. Éveken át kell biztosíta ni hozzá a
tapasztalati anyagot, fokozatosan tudatosítani, hog y mit is
tapasztaltunk. Ha már van elég tapasztalat, össze i s lehet foglalni,
rendszerezni is lehet ıket, de amíg nincs, addig a rendszerez ı
"megtanítás" többet árt, mint használ. A matematika i
ismeretszerzésnek általában ez az útja, vannak azon ban olyan
témakörök, ahol ez a jellegzetesség különösen felt őnı. Ilyenek a
közelít ı számítások, ilyen ez is.
A tapasztalatok szerzése az 1. osztályban kezd ıdik. A nehezebb
összeadási eseteket sok gyerek már ennek segítségév el vezeti vissza
könnyebbekre. 6 + 6 = 12 könny ő eset /mert egyenl ı számok vannak
benne/, akkor pedig 6 + 7 = 13, mert eggyel többet adunk hozzá. Nem
kell ezt így megfogalmazni ahhoz, hogy valaki alkal mazni tudja más
esetekben is. "Az önálló ismeretszerzés lehet ıségét kell biztosítani
/hogy a gyerek ne legyen köteles hivatalos el ıírás szerint, 10-re
pótlás útján számítani ki a 6 + 7 -et/, a szabályos ságok keresésére
kell bátorítani a gyerekeket. Ha ez elmaradt az als ó tagozatban vagy
nem történt meg eléggé, akkor az ötödik osztály tan árának nincs mit
összefoglalnia a gyerekekkel, azt azonban megteheti , hogy - ha késve
is - ı állítja ilyen tapasztalatok elé ıket:
Bizonyos, hogy sok gyerek az utóbbit is végigszámol ná. Aki nem
érti, hogy erre miért nincs sz őkség, annak megmutathatjuk kis
- 39 -
9786 + 9786 = 19572
9786 + 9889 =
számokkal, de még inkább tárgyakkal, hogy mir ıl van szó. A tanári
szemléltetés mindenesetre sokkal kevesebbet ér, min t a gyerekek
saját - nemcsak vizuális - tapasztalatszerzése, err e azonban az
ötödikben már kevesebb id ı és lehet ıség van.
A "változások" és "változatlanság" hálás gondolatkö r,
szemléletessége és sokirányú kapcsolatai miatt is. A változások
megfigyelése elvezethet többek között az asszociatí v tulajdonságok
és a disztributív tulajdonság felismeréséhez és meg fogalmazásához:
Az utóbbinak az lehetne a párja, hogy ha mindkét té nyez ınek
köbét veszem, a szorzat köbét kapom. Egyel ıre ez a rubrika üresen
marad. Az ilyen üres helyek gondolkozásra serkentik a rendet,
szabályosságot keres ı elméket. Nem baj, ha egyel ıre nem is találják
el a helyes folytatást. Csak keresgéljenek, vessene k fel ötleteket.
/Mi lesz, ha mindkét tényez ıt 3-mal növeljük? Vagy csak az egyiket?
stb./ Gy őjtsenek arról is tapasztalatokat, hogy mi nem igaz /holott
esetleg igaznak gondolnánk, nemcsak arról, hogy mi igaz.
Felbecsülhetetlenül fontos ez matematikai fejl ıdésük szempontjából.
Átalakítás a m ővelet elvégzése el ıtt
Fenti példáinkban kis számok szerepelnek, szemlélte tni. Így
könnyebb az asszociativitást, disztributivitást és más /ezekkel
rokon/ összefüggéseket. De ha azt akarjuk, hogy a t anulók rá
- 40 -
5 + 4 5 * 4
Az egyik tagot
3-mal növelem:
Az összeg is
3-mal n ı:
Az egyik tényez ıt
háromszorosára
növelem:
A szorzat is
3-szorosára n ı:
5 + /4 + 3/ = /5 + 4/ + 3 5 * /4 * 3/ = /5 * 4/ * 3
Mindkét tagot
3-szorosára
növelem:
Az összeg 3-
szorosára n ı:
5 * 3 + 4 * 3 = /5 + 4/ * 3
jöjjenek arra, hogy ezek nemcsak érdekesek, hanem h asznosak is, hogy
érdemes a m őveletek elvégzése el ıtt egy kifejezést átalakítani,
akkor ki kell gondolnunk,olyan példákat, nagyobb sz ámokkal, amelyek
indokolttá, "kifizet ıdıvé" teszik az el ızetes átalakítást. A már
említett 378+564-564 stb. példák /lásd a 36. oldalo n/ ennek
jellegzetes esetei: Említettünk a disztributivitás mindkét irányú
alkalmazására ösztönz ı példákat is / 30. old./.
További példák, amelyek átalakításokat tesznek indo kolttá a
kijelölt m őveletek gépies végzése helyett:
A legutóbbi példával az boldogul, aki megértette: h a egy
számot szorozni is, osztani is kell különféle számo kkal /úgy értve,
hogy az eredménnyel számolunk tovább/, akkor mindeg y, milyen
sorrendben végezzük ezeket a m őveleteket, csak az a fontos, hogy
amivel szorozni kellett, azzal szorozzunk, amivel o sztani, azzal
osszunk. Ennek a gondolatnak jó hasznát veszik kés ıbb a logarlécen
való számolásokban /ha nincs reciprokskála, célszer ő felváltva
szorozni és osztani /. Nem annyira szemléletes tény ez, mint az
összeadásra és kivonásra vonatkozó analogonja, de s egíthet a
megértésében pl. Alice története, aki Csodaországba n hol az egyik,
hol a másik kezében lév ı gombába harapott, és ett ıl néha 6-szoroséra
nıtt, néha felére zsugorodott stb.
A mőveletek sorrendje, zárójelek használata
Zárójelek már az alsó tagozaton is szerepelnek, jel enleg a 2.
osztálytól kezdve. Különböz ı rangú m őveletek esetén a tanulók mindig
zárójeleznek, pl. 6 * (7+8) és 6 + (7*8), tehát nem alkalmazzák azt
a megállapodást, hogy "a szorzás és az osztás er ısebben köt, mint az
összeadás és a kivonás". Egyenrangú m őveletek között azonban néha
hallgatólag alkalmazzák az itt szokásos megállapodá st, a "balra
zárást", vagyis azt, hogy pl. 100-10-5+1
- 41 -
174.83 – 74.83
547 + 986 + 42
879 + 985 – 779
/458 + 876/-/458 + 676/
8880.796 : 111 : 8
úgy értend ı, mintha [(100 - 10) - 5] + 1-nek volna írva. Az öt ödik
osztályban kerül sor általában az el ıbb említett zárójel elhagyási
megállapodás bevezetésére és az utóbbinak a tudatos ítására.
Szöveges feladatok megoldása
Fontos dolog a számolástechnika, még fontosabb az a lkalmazás.
Fontos, hogy a diákok jól tudjanak m őveleteket végezni, fontos hogy
a mőveleteket értsék, ésszer ően végezzék, de sokkal fontosabb, hogy
tudják, mikor milyen m őveletet kell alkalmazniuk egy feladat
megoldásában. x A m őveletek végzése gépesíthet ı, ha nem is érdemes
minden apróságot gépre bízni; azt azonban, hogy mil yen m őveletek
milyen sorrendben való végzése vezet egy konkrét pr obléma
megoldására, az embernek kell eldöntenie. Bonyolult abb gépek ebben
is segíthetnek, de amiben segítenek, az szükségképp en mindig a
mechanikus része a probléma megoldásának./ A számta ntanítás
színvonalára rendszerint jellemz ı, hogy megreked-e a
mővelettanításnál, vagy továbbhalad a problémamegoldá s felé. A
problémákat azonban nem arról ismerni meg, hogy sza vak is
szerepelnek bennük a számokon kívül, hanem arról, h ogy adnak-e
gondolkoznivalót, kívánnak-e valami ötletet, még ha akármilyen
csekélyet is. Ez persze nemcsak a feladattól függ, hanem attól is,
akinek szánjuk. Van olyan életkor mindenki életében , amikor a
Freudenthal által felsorolt kivonási feladatok / 31 5.-316. oldal/
problémát jelentenek a számára, de a fels ı tagozatban már magasabban
van a probléma-határ. Ha a tanulóknak színvonaluk a latti feladatokat
adunk, akkor a feladat szövegét ıl függ ıen talán tanítunk nekik
valamit a technika, a földrajz, a gazdaságtan köréb ıl, de nem
tanítunk nekik matematikát. Talán még ennél is nagy obb baj, ha
rendszeresen a színvonaluk feletti feladatokat akar unk rájuk
tukmálni. Ezzel vagy azt érjük el, hogy kielégületl enséget és
kisebbrend őségi érzést oltunk beléjük /"én erre úgysem vagyok
képes"/ és szinte rákényszerítjük ıket idegen se-
________________ x Gondolhatunk itt olyan feladatokra is, amelyeknek a
megoldása nem számolás útján történik, csak akkor m őveleteken -
általánosabban - már ismert lépéseket, mechanikus e ljárásokat kell
értenünk.
- 42 -
gítség igénybevételére, vagy kénytelenek vagyunk, h ogy ezt
elkerüljük, recepteket adni, megtanítani külön-külö n az egyes
feladatok megoldási módját. A készen kapott megoldá si módok azonban
nem hagynak mélyebb nyomot a tanulók gondolkozásába n, nem teszik
ıket képessé újabb feladatok megoldására, csak az em lékezetüket
terhelik, s az emlékezetük is igyekszik hamar túlad ni ezen a holt
terhen. A tanulókat ellátni képességeiknek megfelel ı, er ıfeszítést -
de nem túlzottat - kívánó feladatokkal s ez a probl éma nemcsak a
számtani feladatok kapcsán merül fel, hanem a matem atika tanításának
minden szakaszában és területén naponta megoldásra vár. Megnehezíti
a megoldását a tanulók er ısen különböz ı fejlettsége /Vö. 16.oldal/.
Megoldást ugyan nem jelent, de valamit enyhíthet ez en a nehézségen
az, hogy a jobb tanulóknak rendszeresen adunk szorg almi
feladatokat. x Néhány perc is elég az óra elején, vagy végén, hog y a
megoldók beszámoljanak az eredményr ıl és új feladatot vagy
feladatokat t őzzünk ki a számukra. Egymásra épül ı feladatok
sorozatain át érdekes, csöppet sem triviális problé mákig is el lehet
így jutni. Erre a célra alkalmas feladatokat találh atunk többek
között a következ ı könyvekben: Berezanszkaja /1952/, Bizám - Herczeg
/1958/, Bukovszky /1953/, Fried /1955/, Gádorné /19 53/, Gratzer
/1959/, Kassákné /1953/, Korgyemszkij /19621/, Lige ti - Mosoni
/1954/, Lukácsné - Tarjánné /1958, 19ó0, 1963/, Pós áné /1950/. A
felsorolt könyvek egy része nemcsak a jobb tanulók számára való
szorgalmi, hanem az osztálymunkában használható fel adatokat is
tartalmaz.
Ha el akarjuk látni az osztályunkat ıket érdekl ı feladatokkal,
akkor ne csak a feladattárakban tallózzunk, hanem ú jságokban és
könyvekben is. A bennük található érdekesebb számad atokat írjuk ki
/újságból vágjuk ki/ és - könnyebb kezelhet ıség céljából -
tárgykörönként csoportosítva rendezzük dossziékban. A nyersanyag
maga sugallja a csoportosítás szempontjait. Nem baj , ha nem alkotnak
a címszavak valami tökéletes rendszert, az a f ı, hogy minél kevesebb
válogatással megtaláljuk a keresett adato-
________________ x A jobb tanulók er ısebb megterhelésével kapcsolatban lásd
Szuhomlinszkij tanulmányát a szemelvény-gy őjteményben, különösen a
451. és 453.oldalon mondottakat.
- 43 -
kat, amelyekb ıl azután mi magunk - kés ıbb egyre inkább a tanulók
bevonásával - feladatokat készítünk. Nem kell sok i nformáció
elméletet tudni ahhoz, hogy megértsük: az adattárba n való gyors
eligazodást el ısegíti az, ha az egyes csoportok vagy alcsoportok
nagysága közt nincsenek túlságosan nagy különbségek . Utaló szavak
segíthetnek abban, hogy ha egy adatot nem találunk valahol, még hol
kereshetjük. /A rendezés szempontjaiban ugyanis neh éz elkerülni a
fedéseket./
Példaképpen felsoroljuk egy ilyen házi adatgy őjtemény néhány
címszavát, zárójelben egy-egy oda tartozó adattal:
Biológia
a/ Ember /Egy feln ıtt embernek kb. 35 billió vörös vérsejtje
van; 1 mm 3 vérben 5 millió./
b/ Állat /A méhek 1 kg méz gy őjtéséhez 300 000 km-t repülnek
és 20 millió virágot látogatnak végig./
c/ Növény /A Föld legöregebb fái a szágo-fák; vanna k köztük
12000-15000 évesek is. A tölgy is elélhet 1000-2000 évig./
Csillagászat, őrhajózás
a/ Csillagok /A Szíriusz B csillag anyagának a s őr ősége a víz
sőr őségének 53 000-szerese./
b/ Naprendszer /A Nap-Föld távolság 147 és 152 mill ió
kilométer közt változik./
c/ Mesterséges égitestek /A 36 800 km magasságban a z Egyenlít ı
fölött körpályán kering ı mesterséges hold mindig a Föld ugyanazon
pontja fölött marad./
Fizika
a/ Mechanika és hangtan /A kalapácsvet ı a forgás miatt a
kalapács súlyát kb. 15-ször akkorának érzi, mint am ennyi valójában./
c/ H ıtan /A higany -39 o -on, a leveg ı -218 o körül fagy meg./
d/ Fénytan /Két 1 mm távolságban lev ı pontot kb. 3 m
távolságról tudunk még egymástól megkülönböztetni./
e/ Elektromosságtan /Egy átlagos villám energiája 5 000
kilowattóra; 1 Ft 80 f-rel számolva 9000 Ft-ért tud nánk
el ıállítani./
- 44 -
f/ Atomfizika /Egy lélegzetvétellel fél liter leveg ıt, vagyis
kb. 25 ezer trillió atomot szívunk be./
Földrajz, meteorológia /Az indiai Mawyhram község a Föld
legcsapadékosabb helye; egy évben 17 000 mm es ıt kap. A község
területe 6 hektár./
Furcsaságok /Újságközlemény: "A burgenlandi Mörbisch-ben
felfedezték Európa legnagyobb földalatti gyógyvízme dencéjét. A kb.
200 négyzetméternyi területen 13 milliárd köbméter keser ővíz van a
földben." Eszerint a medence mélysége 65 000 km, a Föld sugarának
több mint tízszerese volna./
Közlekedés
a/ Utak, hidak, alagutak /A világ leghosszabb alagú tja London
alatt van: a földalatti 28 és fél kilométer hosszús ágú észak-déli
vonala./
b/ Vasút, villamos /A budapesti fogaskerek őnek 37 000 foga
van. A pályája 3700 m hosszú./
c/ Autó /Az 570 km/óra sebességgel száguldó verseny autó
kerekén a gumiköpenyt saját súlyának a 6300-szorosa igyekszik
letépni a kerékr ıl./
d/ Hajó /A világ leghosszabb hajója a "France", hos sza 316 m.
A sebessége 31 csomó; egy csomó óránként 1852 m-t j elent./
e/ Repül ıgép /Blériot 1909-ben 35 perc alatt repülte át a 33
km-es La Manche csatornát./
Sebesség /Egy ausztráliai gépírón ı félórán át percenként átlag
675 bet őt ütött le. Eközben csak 4 hibát ejtett./
Sport /Az 500 m-es gyorskorcsolyázás világrekordja már 40 mp
alatt van: 1960-ban 39,6 mp volt./
A táblázatok és grafikonok különösen értékes elemei egy ilyen
adatgy őjteménynek. Csak egy példát mutatunk itt be. Az Éle t és
Tudományban 1959. július 12-én jelent még ez a közl emény:
- 45 -
„Gyıztes repül ı, legy ızött hajó
Az elmúlt évben el ıször történt meg, hogy Európa és az USA
között az Atlanti-óceánon több utas kelt át repül ıgépen, mint
hajóval. Ugyancsak most el ıször fordult el ı a második világháború
óta, hogy az utasok száma a hajókon kissé csökkent.
A Lloyd's cég kimutatása a következ ı adatokat tartalmazza:
A Lloyd's szerint a légiutasok számának gyors emelk edése az
új, mérsékelt tarifának köszönhet ı. /Sapere/"
Érdekes volna tudni, hogy alakultak ezek az adatok kés ıbb.
Err ıl bizonyos /ha nem is teljes/ információt ad az Est i Hírlap
1963. július 15.-i száma:
"Néhány adat a légiközlekedésr ıl: 1958 óta a légiutasok száma
113 százalékkal emelkedett. A 2400 kilométernél mes szebbre utazóknak
ma már 80 százaléka a légiutat választja.
Hogyan használhatjuk fel ezeket az újabb adatokat a régiek
kiegészítésére? Körülbelül mennyire tennénk ennek é s a fentebbi
adatoknak alapján azoknak a számát, akik 1962-ben v agy 1963-ban
hajón, és repül ıvel keltek át Európa és az Egyesült Államok között
az Atlanti-óceánon?
Nem kell ezekhez a számításokhoz pontos utasításoka t adnunk,
hiszen éppen az az érdekes, hogyan fogják meg a pro blémát a tanulók.
Leghelyesebb, ha az osztályban, velük együtt beszél jük meg a
követend ı utat, vagy annak egy részét. /Vö. 474.oldal, 2.532 ,
- 46 -
Év A hajóutasok száma A légiutasok száma
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
637876
671334
695881
729977
837719
899461
942885
964232
1027878
1036923
958960
240472
266535
311545
329656
432272
506601
550000
652254
785259
1018784
1200000
nyitott problémahelyzet./ Az Esti Hírlap kiegészít ı adatainak a
felhasználására csak a 6. osztályban kerülhet sor - itt jelenik meg
az új tanterv szerint a százalék fogalma - de az er edeti adatokkal
már korábban is dolgozhatunk.
Fontos, hogy a tanulók a nagy számokról különféle s zámítások,
összehasonlítások útján világos fogalmat alkossanak . Nem mindegy,
hogy egy folyamat l millió vagy 1 milliárd másodper cig tart, bár
hangzásra nem nagy a különbség. Számoljon csak után a minden tanuló,
mit jelent az egyik, mit a másik!
Igen alapos tájékoztatást ad a szöveges számtani fe ladatok
tanításának módszertanáról Nyikityin /1950/. Leír s ok érdekes, a
tanításban jól használható típust. Általánosabban é s magasabb
szintén tárgyalja a problémamegoldás kérdését Pólya /1957/, Pólya
/1954/ és Pólya /1962/.
A következ ı szakaszban egy olyan feladattípusról, vagy inkább:
egymással összefügg ı feladattípusokról lesz szó, amelyeket a tanterv
a természetes számokkal kapcsolatban külön is említ .
A szöveges feladatok kérdésére még visszatérünk a " Törtszámok"
c. fejezetben.
Arányossági következtetések
Tantervünkben többször is találkozunk, különféle
összefüggésekben, a "következtetés" szóval. A követ keztetés a
hármasszabály jogutóda iskoláinkban; valójában arán yossági
következtetést jelent. Itt-ott még találkozunk a há rmasszabálynak
nevezett sémával is:
- 47 -
Egyenes arányosság esete
3 kg alma 18 Ft
4 kg alma x Ft
Fordított arányosság esete
percenként 3 km 18 perc
percenként 4 km x perc
X = 4*18 = 24
3
X = 3*18 = 13,5
4
Mi az, amit ebben hibáztatunk? Nem az adatok téglal apba rendezése,
hanem a speciális gépies szabály. Gépies szabályokr a szükség van,
fárasztó mindig mindent végiggondolni; egyenletmego ldáskor is gépies
szabályokkal pótoljuk a konkrét mennyiségekben és k onkrét
mőveletekben való gondolkozást. De a sokféle mechaniz mus, a sokféle
szabály is fárasztó lehet. A gépies szabály ártalma s, ha nem a
konkrét m őveletekb ıl n ı ki és nem marad kés ıbb is mindig felidézhet ı
szoros kapcsolatban a konkrét m őveletekkel. Ha sok a szabály, a
mechanizmus, akkor ez a veszély is nagyobb. Ezért j obb a gépies
szabályokig a szabványos formában, egyenlet formájá ban jutni el. /Az
aránypár is egyenlet; Vö. 113. old./
A következtetést a tanterv szerinti értelemben nem kötik
ilyen szabályok. Írásban célszer ő az adatokat áttekinthet ıség
kedvéért téglalapba rendezni, de az sem feltétlenül szükséges. A
szóbeli megfogalmazásnak is vannak bizonyos célszer ő formái: „Ha 3
kg alma ára 18 Ft, akkor 1 kg ára harmad annyi x, 6 Ft; 4 kg ára
négyszer annyi, 24 Ft". "Ha 3 km/perc sebességgel 1 8 perc alatt
lehet megtenni az utat, akkor harmad akkora, 1 km/p erc sebességgel
háromszor annyi id ıbe, 54 percbe telne az út megtétele, négyszer
ekkora, 4 km/perc sebességgel pedig negyedannyi id ıbe, 13,5
percbe”. xx
Ez a fogalmazás szinte rákényszeríti azt, aki kimon dja, hogy
gondolja végig, mir ıl van szó. Aki csak azt mondja: "osztom 3-mal",
"szorzom 4-gyel", az könnyebben téved. Persze a fog almazás sohasem
lehet garanciája az átgondolásnak a gyerek hibátlan
________________ x Igen elterjedt fogalmazás ehelyett a "háromszor ke vesebb",
"négyszer több" stb. Ez különféle okokból célszer őtlen. El ıször is
könnyebb összekeverni a "hárommal kevesebb", "néggy el több"
kifejezésekkel. Ez a faja tévesztés elég általános, örülnünk kell,
hogy van olyan nyelvi formánk, amely segít leküzden i. /Nem minden
nyelvnek van./ Amellett gondolnunk kell az ilyen es etekre is: " 2/3-
szor több". Csakugyan több? " 2/3-szor annyi" - ez itt is
helyénvaló. A " 2/3-ad annyi" viszont éppoly kevéss é ajánlható, mint
a "2/3-szor kevesebb". Itt már rákényszerülünk az a bsztraktabb
fogalmazásra: "osztva 2/3-dal" stb. xx Egyöntet őség kedvéért fogalmaztuk ezt is így; persze
egyszer őbb ilyenkor az utat számítani ki. Általában a fordí tott
arányossági következtetéseknek a legtermészetesebb módja a szorzaton
át való következtetés /Vö. 179.old./
- 48 -
fogalmazása nem egyszer csak annak a jele, hogy jó1 megfigyelte,
milyen beszédmódnak örül a tanár, és mit nem szeret , nem pedig
annak, hogy gondolkozik. Ezt a fogalmazást se enged jük formalizmussá
fajulni: van eset, amikor nem elégedhetünk meg vele , mögéje kell
néznünk, és van eset, amikor ilyen megfogalmazás né lkül is biztosak
lehetünk abban, hogy a tanuló érti, amit csinál.
Példáink abba a kategóriába tartoznak, amit a tante rv így
említ: "Következtetések többr ıl többre" / 484. és 485. oldal/;
megoldásuk els ı lépésében többr ıl egyre, a másodikban egyr ıl többre
következtettünk /484. oldal/. Van amikor nem l-en á t következtetünk
"többr ıl, többre", hanem más úton; például 35 kg áráról 28 kg árára
7 kg árán át stb. Konkrét mennyiségekre való hivatk ozás nélkül is
következtethetünk egy számból meghatározott törtrés zére, törtrészb ıl
a számra, törtrészb ıl törtrészes / 487. oldal/, példa az els ıre:
mennyi 80-nak a 3/4 része, 0,6 része, 15 %-a. Ezek a következtetési
formák vezetnek el az ún. százalékszámítási problém ákhoz / 77.old./
Mi magunk jó, ha elgondolkozunk azon, milyen felada ttípusok
adódhatnak el ı, a diákokat azonban, ne elnevezésekre és
kategorizálásra tanítsuk, hanem feladatmegoldásra. Veszélyes dolog
típusokat tanítani; a tanulók megszokják, hogy arra járjon rá az
eszük, milyen típus is ez, milyen kaptafára lehet r áhúzni, ahelyett,
hogy elképzelnék, mir ı1 van benne szó és az elképzelésükre
támaszkodva keresnék a megoldás módját. Ez nemcsak a következtetési
feladatok különféle típusaira vonatkozik, hanem egy éb
feladattípusokra is.
A következtetések tanítása nem az 5. osztályban kez dıdik, bár
a tanterv itt említi el ıször ezt a témakört, hanem a 2.-ban. A
szorzásra, illetve osztásra adott minden egyes tárg yi feladat
/szöveges feladat/ egyr ıl töbre, illetve többr ıl egyre való
következtetés, pontosan abban az értelemben, ahogy az 5. osztályos
tanterv említi. Amikor például kiszámítják, hányan ülnek hat padban,
ha minden padban ketten ölnek, akkor annak alapján következtetnek,
ha ezt nem mondják is ki, hogy hat padban hatszor a nnyian ülnek,
mint egy padban. Egységárról árra, s ıt sebességr ıl útra is
következtetnek már az alsóban, bár sebesség helyett csak óránként
stb. megtett útról beszélnek. A fordított /osztási/ feladatokkal is
foglalkoznak. Ne úgy kezdjük hát ezt a témakört,
- 49 -
mint valami újat, hanem puhatoljuk ki a tanulók edd igi ismereteit,
és olyan feladatokat adjunk, amelyek lekötik a figy elmüket,
el ıreviszik a gondolkozásukat. Védjük ıket az indokolatlan
általánosításoktól és a merev sablonok követését ıl olyan
feladatokkal, amelyekben nincs egyenes vagy a fordí tott arányosság,
vagy csak bizonyos korlátok között van. Beszéljük i s meg az ilyen
feladatok tanulságait. Van olyan árucikk, amelynek az árából nagyobb
mennyiség vásárlásakor árengedményt adnak; el ıfordul az ellenkez ı
eset is, például a villanyszámlával kapcsolatban; h a egy munkás egy
óra alatt végez el valamilyen munkát, lehet, hogy k ét munkás félóra
alatt végez vele, de nem valószín ő, hogy 36000 munkásnak 0,1 mp is
elég hozzá; stb. Alkalom nyílhat arra is, hogy megé rtessük velük:
ritka eset az, hogy valóságos mennyiségek közt csak ugyan arányosság
van, ezt többnyire csak feltételezzük az egyszer őség kedvéért.
Mindenképpen vessünk gátat annak, hogy a tanulókban az maradjon meg:
vagy n ı az egyik mennyiség növekedésekor a másik, vagy csö kken, az
el ıbbi esetben egyenes, az utóbbiban fordított arányos ság van
köztük. Beszélgessünk el velük egy-egy feladat kapc sán olyan
esetekr ıl is, amikor az egyik mennyiség növekedésekor felté tlenül n ı
a másik is, de általában nem ugyanannyiszorosára; v agy amikor az
egyiknek a növekedtével bizonyosan csökken a másik, de általában nem
annyiadrészére, ahányszorosára amaz; vagy amikor az egyik mennyiség
növekedésével n ıhet is, csökkenhet is a másik. Például a gyerek
egyre magasabb lesz, felnyújtott keze a mennyezethe z egyre közelebb
ér, ahogy az évek múlnak, de kétszerannyi id ıs korában nem
kétszerakkora és a keze sincs félannyira a mennyeze tt ıl; a testsúlya
pedig nem is mindig n ı, néha kicsit lefogy a gyerek. /Azt, hogy a
testmagasságban is vannak kisebb ingadozások, megem líteni sem
érdemes, testsúlycsökkenésr ıl - fogyásról - viszont mindnyájan
tudnak./ Így a szigorúan monoton függvényekre ismer nek meg példákat
anélkül, hogy a "függvény" szót kiejtenénk, és eset leg anélkül is,
hogy ábrázolásra sor kerülne. /A függvényekr ıl lásd a 152.-181.
oldalt./
- 50 -
Számelméleti ismeretek az általános iskolában
Mint említettük, a hatodik osztályban szerepelnek e l ıször
számelméleti ismeretek, /osztó, többszörös, oszthat ósági
tulajdonságok, összetett szám, prímszám/.
Ezekhez a fogalmakhoz és felismerésekhez is érdemes ebb éveken
át vezetni el a tanulókat, mint ismeretanyagként kö zölni velük az év
meghatározott hetein. Hiába van a közlésnek rávezet és-formája, a
gyerekek nagy része számára az is közlés, ami egyik -másik gyerek,
vagy akár részleteiben az egész osztály aktív közre mőködésével
került megfogalmazásra. Maga az is veszélyekkel jár , hogy ugyanazon
az órán, amikor a tapasztalatszerzés megindul, elju tnak a
megfogalmazáshoz. Gyakran több óra sem elég hozzá, hetek, /de
esetleg hónapok vagy évek!/ kellenek, amíg a tapasz talatok
megfogalmazásra éretté válnak. A megfogalmazás elsi etése verbális
ismeretekre vezethet a tanulók jelentékeny része sz empontjából. Ha
van b ıséges tapasztalati háttér, akkor ez a veszély kiseb b. A
tanulók egy része számára csupán azért eredményes a z olyan tanítás,
amely pl. a prímszámra vonatkozó els ı tapasztalatszerzést ıl 45 perc
alatt jut el a fogalomig, mert titokban már régen m agszerezték a
szükséges tapasztalatokat, a fogalom is érlel ıdött bennük, csak ki
kellett mondani.
Milyen tapasztalatokra van szükség konkrétan példáu l az
összetett szám és a prímszám fogalmának kialakításá hoz?
Egy lehet ıség az, hogy egybevágó kockákat /vagy négyzet alapú
egyenes hasábokat, négyzetlapocskákat/ rakosgatnak. Észreveszik,
hogy hét darabot csak egy sorban lehet úgy kirakni, hogy minden sor
egyenl ı legyen, hat vagy nyolc vagy kilenc darabot több so rban is.
Spontán játék közben is érlel ıdhetnek ilyenféle gondolatok, de
eredményesebben érlel ıdnek meg irányított játék közben, amikor a
tanulók feladatul kapják , hogy írják fel, hány lapocskát vettek ki,
és például karikázzák be a számot, ha csak "így" le het kirakni a
lapocskákat /a megfogalmazást pótolhatja, hogy a pe dagógus
megmutatja, mire gondol/, szögletesen kerítsék körü l, ha "így" is ki
lehet rakni. Próbálják ezt találomra kivett lapocsk ákkal, aztán
próbálják végig rendszeresen, pl. 20-tól 30-ig a sz ámokat. Egy
gyerek jelölje meg azokat a számokat, ahány lapocsk át kettesével is
és hármasával is ki lehet rakni, egy másik azokat, ahányat hatosával
lehet kirakni és hasonlítsák
- 51 -
össze a megjelölt számokat. Ugyanezt 2-vel és 4-gye l. Vegyék észre
/anélkül persze, hogy így megfogalmaznák/, hogy az el ıbbi esetben a
két halmaz egybeesik, az utóbbi esetben egyik része a másiknak. Így
nemcsak az összetett szám és prímszám fogalma alaku l ki, hanem az
oszthatóságra vonatkozó fontos összefüggések felism erésére is
eljutnak. Ez még nem jelenti azt, hogy megértették a felismert vagy
megsejtett összefüggéseket, de elindult egy folyama t, amely esetleg
évek múlva oda is elvezet.
Más módon is eljuthatnak hasonló tapasztalatokhoz, pl. a
Cuisenaire-rudak segítségével. Ezek 1 cm 2 -es négyzet
keresztmetszet ő 1, 2,..., 10 cm hosszú hasábok /a legkisebbek tehá t
kockák/, hosszúságuk szerint más-más szín őek. A 10-nél nagyobb
számokat több rúdból lehet összeállítani, pl. 28-at úgy, hogy két
tízest és egy nyolcast hosszában egymáshoz illesztü nk. Ki lehet-e
rakni egy számot rózsaszín őekb ıl /ezek a kettesek/, világoskékekb ıl
/ezek a hármasok/ stb? Így eljutnak a 2-vel, 3-mal ... osztható
számok fogalmához. Ki lehet-e rakni egyez ı szín őekb ıl? Fehérekb ıl
persze lehet /ezek az egyesek/ de színesekb ıl lehet-e? Amiket több
egyforma színesb ıl ki lehet rakni, azok az összetett számok, amiket
csak több fehérb ıl, azok a prímszámok. /Az 1-et még úgy sem lehet
több darabból kirakni, nem összetett, de nem is prí m./
Legjobb mindkétféle tapasztalatszerzést biztosítani , még jobb
másféle tapasztalatokról is gondoskodni, hogy a sze mléleti
esetlegességekt ıl el tudjon a gyerek vonatkoztatni. Eleinte talán a z
sem magától értet ıdı neki, hogy amit a lapocskákkal csinált, annak
köze van ahhoz, amire a színes rudak vezették el. A pedagógusnak
kell párhuzamos feladatok útján gondoskodnia arról, hogy eljusson
erre a felismerésre.
A tapasztalatszerzés ilyen módjai mellé fokozatosan
felzárkóznak a tapasztalatszerzés absztraktabb form ái is. Sok
hatodikos gyerek el ıtt a szám jele a papíron és a szám neve, amit
hall, elég élénken felidézi a. korábban szerzett ér zékszeri-mozgásos
tapasztalatokat /nem az esetleges részleteiket, han em olyasmit, ami
bennük közös/, hogy annak alapján is okoskodni tudj on. Ha felmerül a
kérdés, hogy a 6-tal és 4-gyel osztható számok bizt osan oszthatók-e
24-gyel, azt mondja: "Lássuk csak!" és megnézi konk rét számokkal.
Számjegyeket ír a papírra és mögéjük képzel még kon krétabb
mennyiségeket. De ha nincs elég élményanyaga vagy
- 52 -
újszer ő probléma elé kerül, akkor szüksége lehet arra, hog y a még
konkrétabbat is valóságosan lássa, lerajzolja, rako sgassa.
Hatodikban is szükség lehet tehát az említett /vagy másfajta/
eszközökre. Jobb, ha már "bels ı szemléletre" támaszkodhatunk, mint
ha még mindig küls ıhöz vagyunk kénytelenek folyamodni, de a küls ı is
jobb, mint a semmilyen. Azért jobb, mert lehet bel ıle bels ı, ez is a
célunk vele.
Logikai vonatkozások
A hatodik osztályban azonban már magasabb célokat i s
kit őzhetünk, mint a "bels ı szemlélet" továbbfejlesztését. Ebben az
életkorban már a logikai összefüggések is nyiladozn i kezdenek a
gyerekek el ıtt. Jó terület erre éppen a számelmélet. A gyerek
könnyen összetéveszti az olyan megállapításokat, ho gy "Ha egy szám
osztható 3-mal, akkor jegyeinek összege is osztható 3-mal" és: "Ha
egy szám jegyeinek összege osztható 3-mal, akkor ma ga a szám is
osztható 3-mal". /Feln ıttekkel is megesik ez./ Példánkban azért
nehéz az állításnak és megfordításnak megkülönbözte tése, mert mind a
kett ı igaz, az állítás megfordítható. x
Az elemi számelmélet b ıven ad azonban példákat meg nem
fordítható állításokra is. Úgy értjük: olyan állítá sokra, amelyeknek
formálisan lehet képezni a megfordítását, de az nem igaz, pedig az
eredeti állítás igaz. Példa: "Ha egy szám osztható 6-tal, akkor
osztható 3-mal". Nem elég számpéldán megcáfolni a f ormális
megfordítást, mélyebb betekintést kell adnunk abba, amir ıl itt szó
van: a halmazelmélet nyelvén szólva a részhalmaz re lációról, a
matematikai logika nyelvén szólva formális impli-
________________ x Az állítások megfordítása pontosan és egyértelm ően definiált
fogalom, mihelyt adott alakú állításra vonatkoztatjuk. Egy P Q
alakú megfordításán a megfelel ı Q P alakú állítást, egy x(P/x/
Q/x) alakú állítás megfordításán a megfelel ı x (Q/x/ P/x/)
alakú állítást értjük. Egy A /B C/ alakú állítá s megfordítása /B
C/ A, a vele ekvivalens B /A C/ alakú állítás megfordítása
azonban az el ıbbi megfordítással általában nem ekvivalens /A C/ B
alakú állítás. /Lásd még a következ ı lábjegyzetet./
- 53 -
kációról x. Alig van ennél fontosabb és egyszer őbb fogalom a
matematikában. Megvilágításához nincs szükség sem a halmazelmélet,
sem a matematikai logika nyelvére, a szemléltet ı rajzok nyelvén is
érthet ıvé lehet tenni, mir ıl van szó. /Lásd az ábrát./
Az adott esetben a rajz helyes, mert nemcsak az iga z, hogy ha
egy szám osztható 6-tel, akkor osztható 3-mal, hane m az is igaz,
hogy viszont van olyan szám, amely 3-mal osztható, 6-tal azonban
nem. Ha elhárítottuk azt a félreértést, mintha x (P /x/ Q/x/)
esetében feltétlenül igaz lenne, hogy x(P/x/ Q/x/), azt a
félreértést is el kell hárítanunk, mintha nem lehet ne igaz . A
formális implikáció tehát a halmazelmélet nyelvén k ifejezve azt
mondja, hogy egy halmaz része egy másiknak, de nem azt, hogy
feltétlenül valódi része . Ezt azonban megint nem a halmazelmélet és
nem a matematikai logika nyelvén tehetjük érthet ıvé a hatodikos
gyerek el ıtt, hanem a rajzok nyelvén. Tegyük fel például, hog y egy
tanár következ ı állítása nem üres fenyeget ızés: "Ha valaki nem tudja
az oszthatósági tulajdonságokat, megbuktatom matema tikából". Akkor
két eset lehetséges:
________________ x x(P/x/ Q/x/)-et szokás néha formális implikáción ak
nevezni, szemben a P Q materiális implikációval . /Egyik elnevezés
sem nevezhet ı sikerültnek. /A formális implikáció azt fejezi ki: x
mindazon értékeire, amelyekre az x-t ıl függ ı P/k/ állítás /vagyis a
P/x/, logikai függvény/ teljesül, Q /x/ is teljesül . Vagyis x azon
értékeinek halmaza, amelyekre P/x/ teljesül, részha lmaza x azon
értékei halmazának, amelyekre Q/x/ teljesül. Tehát minden formális
implikáció azt fejezi ki, hogy egy halmaz részhalma za egy másiknak.
Nyilvánvaló, hogy fordítva is minden részhalmaz-kap csolatot
jellemezhetünk egy formális implikációval, hiszen b ármely halmaznak
megfeleltethetjük azt a logikai függvényt, amely a halmaz elemein
teljesül, másutt nem.
- 54 -
P/x/: x osztható
6-tal
Q/x/: x osztható
3-mal .
P-vel, illetve Q-
val itt azt a
halmazt jelöltük,
amelynek az
elemeire a P/x/,
illetve Q/x/
állítás teljesül.
/N az ábrán azoknak a diákoknak a halmaza, akik nem tudják az
oszthatósági tulajdonságokat, M azoké, akik megbukn ak matematikából.
Persze mindkét esetben egy adott univerzumon belül, az illet ı
osztály tanulói közül./
Az els ı eset akkor következik be, ha a tanár csak olyant
buktat, aki nem tudja az oszthatósági tulajdonságok at, a második
eset akkor, ha mást is. /Ha az üres halmaz fellépté t külön
számítjuk, akkor további esetek lehetségesek. Ezzel azonban egyel ıre
nem érdemes a kérdést bonyolítani./
A matematikán kívüli példa itt két szempontból is f ontos.
Egyrészt megérteti a diákokkal, hogy a logikai össz efüggések nemcsak
a matematikára vonatkoznak, általánosabb jelleg őek. Másrészt
érthet ıbbé teszi a két eset alternatíváját. Matematikai ál lítások
esetében többnyire eleve tudjuk, hogy az egyik vagy a másik eset
valósul meg; nehéz volna a hatodikosok számára érth et ı példát adni a
matematikában olyan implikációra, amely egyik esete t sem zárja ki.
További számelméleti ismeretek
A legnagyobb közös osztó fogalma az új tanterv megj elenéséig a
törtek egyszer ősítéséhez kapcsolódott /a törteket a számlálójuk és
nevez ıjük legnagyobb közös osztójával egyszer ősíthetjük/, a
legkisebb közös többszörösé a törtek közös nevez ıre hozásához /a
legkisebb közös nevez ı a nevez ık legkisebb közös többszöröse/. a
ln.k.o. és lk.k.t. meghatározása pedig a prímtényez ıs felbontás
útján történt. Bármilyen szépen kapcsolódnak ezek a fogalmak a
törtek tanításához /ha törtön két természetes szám hányadosát
értjük!/.
- 55 -
nélkülözhet ık. Az egyszer ősítést ugyanis a gyakorlatban amúgy is
szívesebben végezzük több lépésben, és nem ln.k.o. meghatározása
útján. Közös nevez ınek pedig választhatjuk a nevez ık szorzatát, ha a
mőveleteket el ıször csak kijelöljük, akkor sorozatos
egyszer ősítéssel így is ugyanarra az eredményre jutunk, s a
számolási munkánk sem lesz több. Gyakorlati szempon tból ezek után a
prímtényez ıkre bontás tanítása sem feltétlenül indokolt. Ha az onban
csak a gyakorlati, alkalmazhatósági szempontot nézn énk a
matematikában /idevéve a matematikán belüli alkalma zhatóságot is/,
és elhagynánk minden olyan tárgykört, aminek a szer eplése ebb ıl a
szempontból nem feltétlenül indokolt, akkor végül e gy
összefüggéstelen, a matematikát hamis fényben feltü ntet ı, gyakorlati
szempontból sem használható tantervhez jutnánk. Van egy nehezen
lefordítható orosz szó arra, hogy mihez járulnak ho zzá ezek a témák,
alkalmazhatóságuktól függetlenül: az "igyejnoszty"- hoz. Elvi
szempontból fontosak. Mélyebb betekintést kap által uk a tanuló a
matematikába, s ennek közvetve gyakorlati jelent ısége is van. A
prímtényez ıs felbontáson keresztül az összetett számok szerkez etébe
tud mélyebben betekinteni a diák. Az 576 számnak ez az alakja nem
sokat árul el a szám szerkezetéb ıl. Tízesével csoportosítva 6 marad
ki, a kapott tízeseket ismét tízesével csoportosítv a 7 tízes marad
ki és 5 csoportot kapunk -ezt fejezi ki. Ilyen alak ban könny ő
megállapítani, hogy két természetes szám közül mely ik a nagyobb,
összeadásra és kivonásra is igen alkalmas a termész etes számoknak ez
az alakja, magasabb m őveletekre kevésbé. Ha azonban prímtényez ıs
alakra hozzuk a számot: 2 6 . 3 2, mintha röntgennel világítanánk át és
a csontrendszerét látnánk. Leolvasható err ıl az alakról, hogy a
szám négyzetszám /mert minden prímtényez ıje páros kitev ıvel
szerepel/, és a négyzetgyöke 2 3. 3 . Viszont nem köbszám /mert az
egyik kitev ı nem osztható 3-mal/. Osztható az 1, 2, 2 2, ..., 2 6, 3, 2
. 3, ..., 2 6. 3, 3 2, ..., 2 6. 3 2 számokkal. Ha 2 . 3 2-nel osztom, a
hányados 2 5 lesz. 2 2. 3 4. 5 is osztható 2 . 3 2-hel. Mindkett ı
osztható 2 2. 3 2-nel is, ez a legnagyobb közös osztójuk. Mindkett ınek
többszöröse például 2 7. 3 4. 5 2, de 2 6. 3 4. 5 2 és 2 6. 3 4. 5 is. Ez az
utóbbi a legkisebb a közös többszörösök közül.
- 56 -
A prímtényez ıs alakkal végzett m őveleteknek ritkán vesszük
gyakorlati hasznát; bár aki ezeken a konkrét numeri kus példákon
megtanul hatványmennyiségekkel bánni, annak a polin omokkal sem lesz
annyi nehézsége. Nem a gyakorlati, hanem az elmélet i fontosságuk
nagy. Ez sem lebecsülend ı érték.
- 57 -
3. TÖRTSZÁMOK
Helyzetkép
Az általános iskolák 5., 6. és 7. osztályában a mat ematikára
fordított id ınek kb. a felét veszik el a különféle alakú
törtszámokkal való m őveletek és alkalmazásaik. Az eredmény nincs
arányban ezzel a rengeteg ráfordított id ıvel. A 8. osztályban és a
középiskolákban folytatott felmérések, de a tanárok mindennapos
tapasztalatai is azt mutatják, hogy a törtszámokkal , különösen a
közönséges törtekkel való m őveletek tanításának hatásfoka igen
alacsony. A leggyengébbek az eredmények az alkalmaz ások, a
feladatmegoldás terén, de maga a számolástechnika, a törtekkel való
mőveletvégzés is igen alacsony színvonalon áll. 1958- ban és 1959-ben
végzett felmérések szerint például x a 8. osztályos tanulóknak csak
kb. 30 %-a tudja megoldani ezt a feladatot: "Melyik szám nagyobb,
2/3 vagy 3/4? Mennyivel nagyobb egyik a másiknál?" /Négy budapesti
és nyolc vidéki iskolában folyt a felmérés. A helye s megoldások
százalékaránya az egyes iskolákban, nagyság szerint rendezve: 78 ,
62, 48, 43, 40, 28 , 26 , 11, 10, 7, 4 , 0 százalék. Az aláhúzások a
budapesti iskolák eredményeit jelzik./ A ráfordítot t több száz
munkaórát tekintetbe véve ez az eredmény /és a felm érésb ıl kiderül ı
többi eredmény is/ enyhén szólva sovány. Más ország okban, pl.
Franciaországban végzett felmérések sem mutatnak so kkal jobb képet.
Valamennyire rávilágít a probléma gyökerére az, hog y olyan feladatok
megoldásában is igen alacsony
________________ x Kiss Árpád: Iskolás tanulóink tudásszintjének vizs gálata,
Pedagógiai Szemle 1960. évi 3. szám.
- 58 -
A helyes magoldások százalékaránya, mint pl. 2 : . A hibás
eredmények között nagy számban fordul el ı a 2 és az . Aki ilyen
feleletet ad, az nyilván nem látja maga el ıtt a 2 egészet, amelyb ıl
el kell venni a negyedeket és az a kérdés, hogy ez hányszor sikerül.
Nem látja a sokféle konkrét élményb ıl absztrahált számot , csak a
jelét. Próbálja felidézni emlékezetében a jelekre v onatkozó sok
mőveleti szabály közül azt, amely az adott esetre rái llik, de rossz
szabályt alkalmaz vagy rosszul alkalmazza, és nincs támpontja, amely
a helyes útra rávezetné.
Nem olyan jelleg ő hibák ezek, amelyeken a "további gyakorlás"
gyakran javasolt módszerével segíteni lehetne. A mú lt században,
mint Mikszáth meséli, élelmes keresked ık palackban hozták forgalomba
az Ischl-1 leveg ıt, amelynek - mondták - csodatev ı hatása van a
gyenge tüdej őekre, ha éjszakánként egy palackot kinyitnak bel ıle a
szobájukban. Nem mutatkozik a hatás? Meg kell kétsz erezni az adagot!
A meg nem értett szabályok gyakorlásának ehhez haso nló a
"gyógyhatása". Akárhányszor duplázzuk is az adagot, a várt hatás
elmarad. Más gyógymód kell ide. A legfontosabb talá n a hosszú
el ıkészít ı id ı, a modelleken, rajzokon való tényleges m őveletvégzés,
s az, hogy ne 45 percbe /vagy néhányszor 45 percbe/ próbáljuk
beletervezni azt az absztrakciós folyamatot, amely a szabályhoz
elvezet, s amely annyiféleképpen folyik le, ahány g yerek van az
osztályban, hanem teremtsük meg annak a feltételeit , hogy lehet ıleg
mindenki végigjárhassa ezt az utat a maga módján és a maga
tempójában. Miel ıtt néhány konkrét részletbe belemennénk, lássuk,
hogy illenek be más számfajták közé a törtszámok.
A valós számok osztályozása. Alakjukban különböz ı számok
A középiskolában ma a valós számkörig jutunk el; az
irracionális számokról azonban csak felületes képet adunk. A valós
számok egy lehetséges osztályozását a következ ı séma mutatja:
- 59 -
1 4 1
2
A pontozva körülkerekített /a rajzon: pontozva aláh úzott/
számfajták szerepelnek az alsó tagozatban és az 5. osztály elején.
Az 5. , 6. , 7. osztályban megismert számfajtákat s zaggatott
bekerítés /aláhúzás/ tünteti fel.
Ezen a rajzon persze éppúgy nincs helye a közönsége s
törteknek, tizedes törteknek, vegyes számoknak, min t ahogy a
százalékoknak sincs. Ezek ugyanis, mint már szó vol t róla, írásmódok
bizonyos fajta számokra. Legfeljebb azt lehetne meg kérdezni, hogy
azok a számok hol helyezhet ık el az ábrán, amelyeknek van ilyen vagy
olyan, pl. véges tizedes tört alakjuk; 57/64-nek pé ldául van, 54/67-
nek nincs. Nyilvánvaló, hogy a kérdés érdektelen. A fenti séma
maguknak a számoknak /a számok értékének/ az osztál yozása, nem a
jeleiké /alakjuké/.
Vannak esetek, amikor inkább a szám értéke érdekel minket. Egy
egész számnak és egy törtszámnak az összege és a kü lönbsége pl.
mindig törtszám az alakjuktól függetlenül. Ha egy p ozitív számot 1-
nél nagyobb számmal szorzunk, n ı, ha l-nél kisebbel szorozzuk,
csökken. x
________________ x A "valódi tört", "áltört" iskolás elnevezésekre ni ncs
szükség. Az új tantervben nem is szerepelnek.
- 60 -
valós számok
racionális számok
egész számok törtszámok
irracionális számok
negatív
egész
számok
pozitív
egész 0
számok
negatív
irracionáli
s számok pozitív
tört-
számok
negatív
tört-
számok
Szemléletesebb a rajz: 0
poz.eg.sz. neg.eg.sz.
poz.törtsz. neg.törtsz.
poz.irr.sz. neg.irr.sz.
valós
számok
racionális
számok
irracionális számok
egész számok
törtszámok
Ennek a megkülönböztetésnek például volna helye a r ajzon, ha
nem is tüntettük fel.
Más esetekben viszont éppen nem az érték a fontos, hanem az
alak. A m őveleti szabályok mind alakra, számjelekre vonatkozn ak. A
véges tizedes törtek ismert szorzási szabálya példá ul nem
alkalmazható a . szorzásra, tehát értelme tlen dolog volna
itt a tényez ıket a nevez ıjük alapján tizedes törteknek nevezni. Ezek
a számok tizedes tört alakban írhatók /akárcsak 57/64, még ha
könnyebben is/, de csak akkor "lesz bel ılük" tizedestört, ha így is
írjuk ıket. Csak idéz ıjelben "lesz bel ılük", hiszen a tizedes tört
alak csak olyan, mint egy ruha. Ha más ruhát veszek fel, azért nem
leszek mássá. Ezt kell jól megértetni a gyerekekkel .
Törtszám, t ırt, hányados
A . szorzásra a "számlálót számlálóva l, nevez ı
nevez ıvel" szabály érvényes. Milyen más számokra érvényes ez a
szabály? Bizonyos alakú törtszámokra? Nemcsak azokr a. . -ra
is alkalmazható /mindkét tényez ı egész szám, . -re is /mindkét
tényez ı irracionális szám/. Az olyan általánosítások, mint pl.
"közönséges törtet közönséges törttel úgy szorzunk ..." vagy
röviden: "törtet törttel úgy szorzunk...", el ıször a törtszámok
körében kerülnek megfogalmazásra, de ett ıl eltekintve nem sok közük
van a törtszám fogalmához. A "közönséges tört" vagy "tört" szó itt
nem törtszámot jelent, hanem egyszer ően hányadost . Kevesebb zavar
volna ekörül, ha így is mondanánk: "hányadost hánya dossal úgy
szorzunk ..." /helyesebben: "... szorozhatunk úgy.. ."/. és ezt az
általánosítást párhuzamba állítanánk a többi hasonl óval, mint pl.
összeg hozzáadása valamihez /asszociativitás/, az ö sszeg szorzása
/disztributivitás/, különbség levonása stb. Ott sem teszünk éles
különbséget aszerint, hogy a m őveletekben szerepl ı számok és a
mőveletek eredménye milyen számok, itt sem érdemes.
Persze a törtjelölés mögött gyakran ott van egy más ik szemlélet is
/valahány valahányadrész/, s ıt gyakran éppen az a hasznosabb /p1.
összeadásban, kivonásban/, de a hányados-szemléletn ek
- 61 -
27 100
37 1000
9 3
27 100
37 1000
111 3
π 2
π 4
mindig ott kell lennie. még 5 negyedet is jelent, 3-nak a
negyedét is, de már nem nagyon jelent π darab negyedet, csak π -
nek a negyedét, és az algebrai törteket is hányados oknak értjük. Ha
megmaradunk is a "törtet törttel..." fogalmazás mel lett, tudnunk
kell, hogy itt a "tört" szó a "tört szám„-nak csupá n homonimája
/arra hasonlít/, de a "hányados" szónak szinonimája /azt jelenti/.
A tört kétféle értelmezése. Részekre osztás, bennfo glalás
Ha a törtjel végül is inkább hányadost jelent, akko r jobb, ha
el ıször is azt jelenti, ha kezdett ıl fogva ez a szemlélet dominál.
Ebbıl nem következik az, hogy mondjunk le a "valahány
valahányadrész" szemléletér ıl! De írjuk a 3 darab negyedrészt
el ıször így: 3 negyed, a törtjel pedig jelentsen osztá sjelet, akár a
ferde, akár a vízszintes formájában. Példáu1 ezt a feladatot: "Ha 20
szem cukron négyen osztoznak, mindegyiknek öt jut" így
jegyezhetjük le röviden: 20/4 = 5 vagy: = 5. / A ferde
törtvonalat a tudományos könyvekben is használják, a mindennapi
életben is./ Egyszer aztán valamelyik osztályban - lehet az alsó
tagozati osztály is - felvet ıdik egy olyan osztási probléma,
amelynek az eredménye nem egész szám. Az exisztenci a problémát a
gyerekek persze nem értenék; számukra egyszer ően tapasztalati tény,
hogy az ilyen osztási feladatokat is meg lehet olda ni, legalábbis
bizonyos mennyiségekkel kapcsolatban. Persze nem mi ndig! Emberek,
rajzszögek, villanyég ık stb. szétosztásában a tört eredménnyel nem
tudnak mit kezdeni, három almán azonban el tudnak o sztozni négyen.
Mennyi jut egynek? Valóságos almákon vagy papírból kivágott körökön
meggyızıdnek arról, hogy 3 negyed. /Lehet, hogy úgy mondják : egy fél
és egy negyed. Nem árt, ha az almák különböz ıek, akkor igazságosabb
az osztozkodás úgy, hogy mindegyik almát negyedelik ./ Sok ilyen
feladat kell ahhoz, célszer ően halmozva, hogy mindenki rájöjjön egy
érdekes szabályosságra:
3/4 = 3 negyed
2/3 = 2 harmad stb.
- 62 -
20 4
π 4
3 4
Itt 3/4 és 2/3 még mindig osztást jelent. De jelenti az osztás
eredményét is. 7 + 4 sem csak utasítást jelent /"adjunk 7-hez 4-
et"/, hanem jelent egy számot, ennek az összeadásna k az eredményét
is. Jól meg lehet ezt érteni /nem magyarázni!/ záró jeles példákon: 8
+ /7 + 4/-ben nem utasítást adunk 8 hoz, hanem szám ot. Akkor pedig,
ha a megfigyelt szabályosságban bízhatunk, a 3 negy edet 3/4-nek is
írhatjuk, és ugyanígy más "valahányadrészek" esetéb en. Ez azonban
nem egy óra anyaga! Hosszú út vezet idáig. Ennek az útnak fontos
szakasza annak a felismerése, hogy csakugyan bízhat unk a megfigyelt
szabályosságban. Van, aki túl könnyen bízik, van, a kiben nagyobb az
igény arra, hogy lássa, miért kell így lennie. Ezt az igényt
lassanként mindenkiben ki kell alakítanunk. Aki pl. papírcsíkok
szétvágása közben megértette, hogy 5 papírcsíkot eg ymásra téve
célszer ő négy egyenl ı részre vágni, s akkor 5-nek mindegyik
negyedrésze 5 negyedrész
9. ábra
lesz, és ez 6 ,7 negyedrészre, nyolcadrészre stb. u gyanígy igaz - az
felismerte, hogy min múlik a megfigyelt szabályszer őség. Az ilyen
felismerések a matematikai bizonyítások els ı csirái.
Érdemes-e egyáltalán a törtjelen kívül másféle oszt ásjelet
használni? A törtjel az osztásjelnek egyetlen nemze tközileg
elfogadott formája. Az angolszász országokban pl. n em ismerik a
kett ıspontot osztásjel értelemben, részben a ÷ , részben a jelet
használják helyette. Egyetlen más m őveleti jelnek sincs ennyi
változata. A megkülönböztet ı jelölésnek /pl. törtvonal és
kett ıspont/ mégis lehetne valami haszna. Ki lehetne feje zni vele
eleinte a részekre osztás és a bennfoglaló osztás k özti különbséget.
A törtvonal jelentené a részekre osztást - a fentie k alap-
- 63 -
ján ez nyilvánvaló - a kett ıspont pedig a bennfoglaló osztás
/röviden: bennfoglalás/ jele 1enne. Szemléletesen p éldául 8/4 ezt
jelentené:
8 : 4 pedig ezt:
Két egészen különböz ı probléma ez a gyereknek. Ha különböz ıképpen
jelöljük, alkalmat adunk neki megint egy felfedezés re: arra, hogy
ennek a két számára különböz ı mőveletnek a számszer ő eredménye
mindig ugyanaz. Például
Ez eleinte megint csupán megfigyelés, fokozatosan v ilágosodik
meg a miért-je /a szorzás kommutativitásán át/. Mih elyt megértették,
nincs értelme tovább fenntartani a megkülönböztet ı jelölést; az
egyik /vagy akár mindkett ı/ használható mindkét féle értelemben.
Egybeolvad a két jelentés. A bennfoglalás és részek re osztás
jelölésbeli megkülönböztetése, amíg a két fogalom s zintéziseként ki
nem alakul az osztás fogalma, nem új gondolat, sokf elé alkalmazzák.
A németek pl. így írják eleinte a bennfoglalást: "4 in 8" vagyis "8-
ban a 4".
Hasonló probléma ez, mint a mínuszjelnek a kivonásj elt ıl való
megkülönböztetése, amíg a kett ı közti kapcsolat ki nem derül:
Egyszer őbb elkenni a kérdést, és az egyforma jelölésen kere sztül
csempészni be a kett ı közti kapcsolatot, de nem biztos, hogy megéri
ez az egyszer őség a felismerés elmaradását. A problémák rokon
voltából nem következik, hogy a megoldás feltétlenü l közös, hiszen
az életkor és más tényez ık is közrejátszanak. Ezt a kérdést, éppúgy,
mint sok mást, csak tapasztalatok, kísérletek dönth etik el. A mi
esetünkben a kérdés az, hogy el ınyös-e megkülönböztet ı jelöléssel
szétválasztani az osztásnak ezt a két szemléletileg különböz ı
típusát.
- 64 -
8 –nak a negyede 2
8 –ban a 4 megvan 2 - szer
8/4 = 2 és ugyanúgy 8 : 4 = 2
12/3 = 4 és ugyanúgy 12 : 3 = 4.
Arány
Itt kell megemlíteni, hogy a "hányados" és "tört" s zónak
további szinonimái is vannak, amelyeknek más és más a stílusértéke
/ahogy pl. kutya és eb ugyanazt jelenti, mégsem mon dhatjuk sem azt a
hogy "köti a kutyát a karóhoz", sem azt, hogy "egyé b"/. A
legfontosabb az arány .
Ábránkon például a fehér és a
fekete négyzetek számának az aránya
3 a 2-höz, vagy másképp 6 a 4-hez
stb., a fehér négyzetek arányszáma
az összes négyzethez képest 3 az 5-
höz, vagy 6 a 10-hez, s ıt úgy is
mondhatjuk, hogy 60 a 100-hoz. Az
arányt többféleképpen jelölhetjük:
60 : 100, 60/100, , 60%.
Rengeteg id ı megy el az iskoláinkban a különféle elnevezések,
jelölések közötti kapcsolatok tisztázására, rögzíté sére, és talán
még több megy el lényegében azonos gondolatoknak eg ymástól független
felvetésére és tárgyalására. A bürokráciához lehetn e hasonlítani ezt
a káros burjánzást; ez csak egy példa rá, sok más i s akad. Nem volna
jó elmosni a valóságos fogalmi és szemléleti különb ségeket
valamiféle elnevezés- és jelölésbeli uniformizáláss al. De ki kell
alakítanunk a különböz ı aspektusokon át az ıket összekapcsoló
fogalmakat. Az arány, éppúgy, mint a /közönséges/ tört, lényegében
hányados . Amikor ilyen kérdést teszünk fel: "Hányszorannyi pálcika
van az egyik kezemben, mint a másikban?", aránnyal kapcsolatos
kérdést tettünk fel; ilyen kérdések már a 2. osztál yban felmerülnek.
Ábránkkal kapcsolatban is mondhattuk volna azt, hog y másfélszerannyi
fehér négyzet látható rajta, mint fekete. Mint a pé ldák mutatják, a
részekre osztás és bennfoglaló osztás közül az utób bihoz van
közelebb az arányba állítás" /ha éppen külön nevet akarunk mondani
rá/; ha mindenáron osztályozni akarnánk, azt mondha tnánk, hogy nem
harmadik eset, hanem a bennfoglalás alesete vagy el ágazása.
Eleinte mindenesetre csak egynem ő mennyiségeket állíthatunk
irányba egymással; például azt mondjuk, hogy az el ıször és a
másodszor megtett út aránya megegyezik az eltelt id ık arányával, pl.
6 km: 15 km = 20 perc: 50 perc.
- 65 -
60 100
10. ábra
Id ıvel azonban a m őveletek különféle aspektusai. /elvétel,
pótlás, különbség keresése; részekre osztás, bennfo glalás, arány
keresése stb./ egyre inkább egybeolvadnak a gyereke k gondolkozá-
sában. Egybef őzi ıket az, hogy ugyanarra a számértékre vezetnek, bár
a hozzájuk tapadó szemléleti tartalom különböz ı. Azt lehet mondani,
hogy ekkor már csak számértékekkel végzünk m őveleteket, és a
mőveleti eredményt vonatkoztatjuk megint a valóságra. Nincs értelme
például annak a kérdésnek, hogy 6 km hányszorannyi, mint 20 perc, 6
és 20 arányának /= hányadosának/ azonban van értelm e, és ez az arány
megadja az 1 perc alatt megtett kilométerek számát. Kés ıbb, amikor
nem vezet félreértésre, mégis bevezethetünk egy mér tékegységekkel
végzett formális kalkulust x, amelyben 5 m-nek és 6 m-nek a szorzata
30 m 2, 6 km-nek és 20 percnek a hányadosa /vagy amit ekk or már
szinonimaként mondunk: aránya/ 0,3 km/perc stb. Min denesetre
egyeztessük össze a fizika tanárával, hogy mikor ve zetjük el a
tanulókat erre a fokra; a túl korai id ıpontnak veszélyei vannak.
Fontos szempont az arány és más rokon fogalmak taní tásában,
hogy az összetartozó kérdések ne szakadjanak szét. Ne jelentsen
külön ismeretanyagot az, hogy ha az osztandót és az oszt ót /pl.
51000 : 300/, a számlálót és a nevez ıt, az arány el ı- és utó- tagját
ugyanazzal a /0-tól különböz ı/ számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor
a hányados , a tört , az arány értéke nem változik. Márpedig ezek
elkerülhetetlenül külön ismeretanyaggá válnak, ha a z említett
fogalmak külön-külön lépnek fel, ha például "a tört
________________ x A "formális" szó legalább háromféle értelemben has ználatos.
A pedagógiában - f ıként a régebbi pedagógiai irodalomban, a formális
képzést a materiális képzéssel szokták szembeállíta ni; a formális
képzés formálja a gondolkozást, a materiális képzés matériával,
tudásanyaggal látja el. Van a szónak egy pejoratív /rosszalló/
értelme is. Pl. "formális tudás" /Vö. formalista, f ormalizmus/. Itt
azonban egy harmadik, a matematikában gyakran haszn ált, nem
pejoratív értelemben szerepel a szó. A formális kalkulus, a formális
szabályok mentesítenek valaminek a minduntalan való végig
gondolásától. Matematika enélkül elképzelhetetlen. Amit már értünk -
törtek szorzását, polinomok differenciálását stb. - ,azt igyekszünk
formális szabályokkal kifejezni és kordában tartani , mert ez
lehet ıvé teszi, hogy a gondolkozásunk más irányban váljon aktívvá.
Aki bizonyos formális szabályokhoz a konkrét helyze t átgondolása
útján jutott el és aki mindig fel is tudja idézni m ögöttük a konkrét
helyzetet, annak a tudása ezekre a szabályokra vona tkozóan nem
formális.
- 66 -
mint hányados" fogalma. csak valamikor a hetedik os ztályban
tisztázódik, s az egyszer ősítésnek és b ıvítésnek mindaddig semmi
köze sincs az egész számok hányadosára tanult megfe lel ı
átalakításhoz.
Törtek b ıvítése, egyszer ősítése, összeadása, kivonása
A törtek tanításában mutatkozó nehézségek legf ıbb oka
valószín őleg az, hogy hiányzik a kell ı tapasztalati alap. Hogyan
tanulja például a legtöbb gyerek a törtek b ıvítését? Mutatnak neki
egy ilyen rajzot /10/a. ábra/. Hall róla valami tor táról szóló
történetet. Elmagyarázzák neki,
hogy a két tört ugyanakkora, pedig
a másodiknak a számlálója is, a
nevez ıje is kétszerakkora, mint az
els ınek. Lát, vagy esetleg rajzol
is még néhány példát, ahol 2-szeres
helyett 3- vagy 4-szeresére n ı a
számláló és a nevez ı. Ezekb ıl a
tapasztalatokból lesz őrik a
szabályt: "A tört értéke nem
változik, ha a számlálóját és a
nevez ıjét ugyanazzal a számmal
szorozzuk". Ugyanazokról a rajzokról fordított sorr endben leolvassák
az egyszer ősítés szabályát is. A szabályok megvannak, de érett
fogalmak nélkül! Sok papírkört kell szétvagdosniuk vagy kiszínezniük
a gyerekeknek /persze lesz köztük, aki már kevésb ıl is absztrahál/,
felfedezéseket tenniük, újból és újból ellen ırizniük felfedezéseik
helyességét, amíg csakugyan megérnek a fogalmak és a legvégén ki
lehet mondani a szabályokat is. Ha erre "ne, jut id ı", akkor majd
elmegy sokszorannyi id ı a meg nem értett szabályok állandó
gyakorlására, s az még mindig nem fogja pótolni az egyszer
valóságosan megszerzett tapasztalatot. Id ı persze a fogalom
kialakításához is kell, és gyakorlásra a fogalom ki alakítása után is
szükség van - alkalmazások formájában. Nem csupán a ténylegesen
ráfordított id ı számít itt, hanem az érési id ı is. Félr ıl,
negyedr ıl, háromnegyedr ıl sokat hall a 6-8 éves gyerek is. Énekórán
is szüksége van erre, hogy az id ıtartam megjelölésekr ıl legyen
fogalma. Énektanárok megteszik, hogy papírkört vágn ak
- 67 -
3 4
6 8
10/a. ábra
szét, hogy valamennyire pótolják azt, amit a számta nban kellene a
gyerekekkel tisztázni. Más országokban a harmadik, második, van ahol
már az els ı osztályban elkezdik a legegyszer őbb törtekkel való
foglalkozást /eleinte persze jelölés nélkül/, nálun k ma ez a tanterv
szerint csak az ötödik osztályban kezd ıdik el. Némelyik gyerekben az
innen-onnan, otthon, énekórákon stb. összeszedett t apasztalatok
eléggé megérlelik a fogalmat, megteremtik az alapot az ötödikben
kezd ıdı munkához. A fels ı tagozaton tanító pedagógus azonban nem
hagyatkozhat erre a spontán fejl ıdésre, nem bízhat abban, amire
néhány gyerek alkalomszer ően eljutott, pótolnia kell a többiekkel is
azt, ami már alsó tagozaton id ıszer ő lett volna.
Alma, torta, kuglóf vagy egyszer ően körlap - ezek az elképzelt
vagy valóságos tárgyak a törtek tanításában az egys ég legkedveltebb
modelljei. Egy gyerek meg is, jegyezte: "Észrevette m, hogy a
törteknél a kör az 1." Kezdetnek nem is rossz model lek ezek, hiszen
az egyszer őbb törtrészek alakja sugallja, hogy milyen törtrészek,
nem kell ıket viszonyítani egy önkényesen megállapított egysé ghez.
Fontos azonban az is, hogy a gyerekek megtanuljanak viszonyítani.
Négyzet, téglalap /lehet csokoládétábla is/, papírs zalag, spárga
lehetnek a következ ı modellek; az egység kapcsolódhat a
mértékrendszerünkhöz /pl. l dm, 1 dm 2/, lehet attól független,
gyakran változhat is, csak tudják mindig a gyerekek , hogy éppen mi
az egység. Vágják, vagy hajtogatás alapján tépjék k i, színezzék ki a
megfelel ı törtrészt, írják fel a rajzban feltüntetett törtré szt,
győjtsenek sok tapasztalatot, egyszer ősítésre, b ıvítésre
vonatkozókat is, de a szóbeli megfogalmazással ne s iessünk. A
kivágott idomok helyét egyre inkább rajzok veszik á t, a rajzokban
egyre inkább a szakaszokkal, számegyenesen való sze mléltetés
dominál, de amikor szükségét látjuk, visszatérünk a z el ızı
megjelenítési módhoz. Egyre több olyan feladat szer epeljen, ahol
jelekkel vannak felírva a törtek, de eleinte álljon rendelkezésükre
valamilyen modell, amin ellen ırizhetik, "jól gondolták-e". Akinél az
interiorizálás befejez ıdött, annak már erre sincs szüksége. Az ilyen
gyerek többnyire maga mond le a konkréthoz való vis szatérésr ıl.
Mivel a tanár nem tudja harminc-negyven gyerekr ıl külön-külön
eldönteni, ki hol tart, fontos is, hogy kialakuljon bennük a
judicium, szükségük van-e még pl. a számegyenesen v aló ellen ırzésre,
vagy anélkül is
- 68 -
biztosak a dolgukban. Némelyik gyerekben túl kicsi vagy túl nagy az
önbizalom, a tanárnak ekkor persze közbe kell lépni e.
A számegyenes több szempontból is hasznos. El ıkészíti a
koordinátarendszer használatát, meggyökerezteti azt a fontos
gondolatot, hogy nemcsak területhez vagy hosszúságh oz, hanem
pontokhoz is rendelhetünk számokat. Megkönnyíti az utat a negatív
szám fogalmának kialakítása felé: akár a számegyene s pontjainak,
akár a számegyenes mentén való adott irányú elmozdu lásoknak
/vektoroknak/ feleltetnünk meg számokat, természete s módon vet ıdik
fel a kérdés, hogy az egyenes másik felének vagy az ellenkez ı irányú
elmozdulásoknak nem lehetne-e számokat feleltetni m eg. Alkalmasabb
az 1-nél nagyobb tört számok szemléltetésére, mint a körrel,
síkidommal vagy /számegyenest ıl függetlenül/ szakasz hosszával való
ábrázolás. Végül: igen alkalmas arra, hogy a törtsz ámok különféle
írásmódjait, többek között a különböz ı nevez ıj ő törteket egyszerre
vizsgáljuk a számegyenes megfelel ı pontjai alatt vagy fölött; pl.
egyik sorban a kettedek, alatta a harmadok, a hatod ok, a
tizenkettedek stb.
Amikor az egyszer ősítésben, b ıvítésben, kis nevez ıj ő
közönséges törtek összeadásában és kivonásában elég sok
tapasztalatot szereztek, akkor kerülhet sok arra, h ogy a közben
végzett eljárásokat ık maguk, a tanár vezetésével, általánosan is
megfogalmazzák, esetleg bet őkkel is felírják.
A számegyenes segítségével különböz ı nevez ıj ő törtek
összeadását és kivonását is megtanulják elvégezni, legalábbis kis
nevez ıkkel. Nem baj, ha eleinte találékonyság dolga, mily en szám a
legalkalmasabb közös nevez ınek. Ha a nevez ık nagyobbak /vagy nem is
nagyok, de relatív prímek, pl. 6 és 7/, akkor a raj z már nem sokat
segít. Rá kell vezetnünk ıket arra, amit kis nevez ıkkel
tapasztalhattak is, hogy a nevez ık szorzata mindig alkalmas közös
nevez ınek. Viszont sok felesleges munkát takaríthatnak me g, ha a
szorzásokat nem végzik el, csak kijelölik és ebben a formában
egyszer ősítenek. A kés ıbbiek szempontjából is fontos megszokniuk,
hogy a m őveletek elvégzését általában jobb a legvégére halas ztani,
mert kiderülhet, hogy egyszer őbben is megy, mint ha gépiesen
számolnának a megadott sorrendben.
Egy példa:
- 69 -
Nem kellett hozzá sem lk.k.t., sem ln.k.o. és nem s zámoltunk mégsem feleslegesen nagy számokkal. Mindenesetre tu dni kellett hozzá, hogy pl. ha szorzatot osztunk, csak egy tény ezıjét szabad osztani, de összegnek minden tényez ıjét külön el kell osztani. Jó, ha ez magától értet ıdı készségként alakul ki már a numerikus számolás kapcsán. Ha csak egyenletek megoldásakor t isztázódik, amikor nagyrészt "bet őkkel számolunk", akkor sokkal nagyobb a veszély, hogy értelem nélküli formális szabály lesz bel ıle.
Azért is el ınyös, hogy /egyszer ő speciális esetekt ıl
eltekintve/ a nevez ık szorzatát alkalmazzák közös nevez ınek, mert
így az utólagos egyszer ősítést ıl eltekintve pontosan "definíció
szerint" végzik az összeadást. Az el ıbbi példában a részletes leírás
miatt ez nem nagyon látszik. Ott az "egyszerre csak egyet lépj"
elvét alkalmaztuk, amely a tudatosítás szempontjábó l nagyon fontos,
és csak olyan mértékben érdemes eltérni t ıle, amilyen mértékben a
tanulók - nemcsak a jótanulók - maguk is kívánják. Id ıvel azonban
erre is sor kerül, és akkor például egyszerre meg l ehet tenni ezt a
lépést:
ami után persze következik az egyszer ősítés. Ilyen átalakításokra
gyakran sor kerül. Minden ilyen esetben az
azonosságnak egy numerikus példájával ismerkednek m eg a tanulók.
Késıbb /jóval kés ıbb/ ezzel az azonossággal fejezik ki a racionális
számok összeadásának a definícióját azok, akik odái g eljutnak.
- 70 -
7 + 5 = 7 . 24 + 5 . 60 = 7 . 24 + 5 . 60 = 7 . 6 + 5 . 15 =
60 24 60 . 24 60 . 24 60 . 24 60 . 6
= 7 . 2 + 5 . 5 = 39 = 13 .
60 . 2 120 40
7 + 5 = 7 . 24 + 5 . 60 ,
60 24 60 . 24
a + b = an + bm
m n mn
Törtek szorzása és osztása
Törtek összeadása és kivonása közben a valahány
valahányadrész" szemlélete van el ıtérben. Persze fontos, hogy a
gyerekek ne feledkezzenek el arról sem, hogy a tört hányados. Arról,
hogy 2/7 + 3/7 = 5/7, legkönnyebben úgy gy ızıdnek meg, hogy
elképzelik egymás mellett a 2 hetedet és a 3 hetede t, de jó, ha
eljutnak ide a hányados-szemléletb ıl kiindulva is /ha 2-nek is, 3-
nak is a hetedét veszem, az együtt annyi, mint ha 5 -nek veszem a
hetedét, ami lényegében a disztributivitás gondolat a/.
A szorzás és az osztás tanításakor el ıtérbe lép ez az utóbbi
aspektus. Jó hasznát vehetjük itt annak, amit a gye rekek a
"változásokról" tanultak a természetes számokkal ka pcsolatban.
Nézzük például hogyan, lehet eljutni a törtek szorz ásához a szorzat
változásai alapján. Az ott tanultak egyszer ő alkalmazásáról persze
itt nem lehet szó, inkább extrapolálásról beszélhet ünk. A tudományos
kutatásnak azonban ez is hatalmas eszköze: ami adot t körülmények
között alkalmazható, azt megpróbáljuk más körülmény ek közé is
átvinni. A matematika kész rendszerében ilyesminek nincs helye, mi
azonban nem kész rendszert akarunk adni, hanem felf edez ı utakra
vezetni az ifjúságot. Ilyen értelemben helyénvaló a következ ı
feladatsorozat:
Próbáljátok kitölteni az üres helyeket:
Az 1. tényez ı A 2. tényez ı A szorzat
harmadára.... nem változott .... .......
csökkent..... ................. .......
............. ................. .......
............. ................. .......
............. ................. .......
............. ................. .......
............. ................. .......
............. ................. .......
............. ................. .......
A gyerek analógia útján gondolkozik és felfedezi, h ogyan
"kell" törtet törttel szorozni. Nem bizonyít és nem definiál,
felfedez. Még nagyon halvány fogalma van, ha egyált alán van vala-
- 71 -
21 . 10 = 210
7 . 10 =
7 . 5 =
. 5 =
. = 7
3
7
3
5
2
milyen fogalma arról, hogy mi a definíció /bármilye n szavakkal írjuk
is körül/, ugyanúgy arról is, hogy mi a bizonyítás. Hogyan kívánjuk,
hogy különbséget tudjon tenni köztük? A tanár persz e tudhatja, hogy
itt konkrét példák kapcsán felvázoltuk egy bizonyít ást x arra, hogyan
kell törtek /hányadosok/ szorzását definiálnunk, ha azt akarjuk,
hogy a szorzat változásainak a természetes számok k örében érvényes
tulajdonságai érvényben maradjanak akkor is, ha a t ényez ık nem egész
számok. Ez azonban a legtöbb 12 éves gyereknek kína iul volna,
bármilyen szelíden próbálnánk fogalmazni!
Miután azonban megtették a felfedezést, elkezdhetjü k velük
együtt vizsgálni, elemezni, hogy tulajdonképpen mit is fedeztek fel.
Enélkül az egész csak jelekkel való játék maradna. Megbeszélhetjük
például velük, hogy . 5 azt jelenti: -nak az ö tszöröse, vagyis
és ez csakugyan /remélhet ıleg a feladatsorokban
is erre jutottak/. De mit jelent a -nek az -sze rese? Odáig
könnyen eljutnak a gyerekek, hogy az -szeres ké t és félszerest
jelent. A továbbiakban azonban kétféle típusú el ıkészítést kívánnak.
Egyrészt könnyebb számokon jó tisztázni, mit jelent a két és
félszeres. Aki két és félszer ússza le egy 50 méter es uszoda
hosszát, az 125 métert úszik. A barátja, aki csak k étszer úszta
végig az uszodát, 25 méterrel kevesebbet úszott. A "két és
félszeres" a mindennapi szóhasználatból ismert foga lom. "Félszeres"-
r ıl nem szoktunk beszélni, de az analógia alapján kön nyő rávezetni a
gyereket arra, hogy a félszeres uszodahossz az uszo da hosszának a
felét jelenti. Az analógia mögött a disztributivitá s rejlik: ahogyan
a 12-szeres 10-szeres meg 2-szeres, úgy a 2 -sze res 2-szeres meg
-szeres.
Másrészt 7/3 felének a kiszámítására is célszer ő el ıkészít ı
feladatokat adni / 1/2-nek, 1/4-nek, 3/4-nek, 1/3-n ak, 2/3-nak a
fele/.
________________ x Bizonyítást vázoltunk fel, mert bár konkrét számok
szerepelnek mindenütt, semmi sem múlik azon, hogy m ilyen számokat
választottunk /csak 0-val való osztás ne szerepelje n/. Csak
felvázoltuk a bizonyítást, mert hiányzik az összekö t ı szöveg, a
feladatsorozat csupán sejteti, hogy mir ıl van szó.
- 72 -
7 3
7 3
7 + 7 + 7 + 7 + 7
3 3 3 3 3
35 3
5 2
7 3
5 2
1 2 1
2
Több más úton is el lehet jutni a törttel való szor zás
fogalmához és technikájához. Olyan utat vázoltunk, amely nem élezi
ki a konfliktust, ti. azt, hogy a régi értelmezés n em alkalmazható,
inkább természetessé próbálja tenni a törttel való szorzás
gondolatát. Fiatalabb korban, amikor még a gyerekek nincsenek
tisztában azzal, mi az, hogy értelmezés /definíció/ , talán ez a
járhatóbb út. Kés ıbb sor kerülhet annak tisztázására is, hogy
célszer ő megállapodásról van szó. Semmiképpen sem szabad az onban a
gyerekekre ráer ıltetni t ılük idegen logikai szempontokat. Az el ıbb
vázolt felépítésben szokatlan és talán visszatetsz ı is lehet, hogy
el ıbb fedeztetünk fel egy technikát, aztán tisztázzuk annak
értelmét. Ez a sorrend nem mindig a legcélszer őbb, de nem is
feltétlen elvetend ı.
A szám felének és félszeresének azonosítása egy pél da volt a
törtrész kiszámításának és a törttel való szorzásna k az
azonosítására. Adhatunk erre további példákat is. E gy ilyen példa
lehet ez: "Béla 200 méterre lakik az iskolától, Jul i kétszerannyira,
András háromszorannyira, Marci két és félszer, Dezs ı két és egy
negyedszer, Eszti két és háromnegyedszer olyan mess ze lakik, mint
Béla, mind ugyanabban az irányban. Próbáljátok lera jzolni és
megmondani, milyen messze laknak az iskolától és eg ymástól".
Segíthetik a gyerekeket a törtek szorzásának megért ésében az
ilyen rajzok is /11. ábra/.
- 73 -
Nem a rajz puszta szemlélése vagy a tanári magyaráz at
hallgatása azonban az, ami el ıreviszi ıket - ezt nem lehet eléggé
hangsúlyozni - hanem az, ha van valami tennivalójuk vele
kapcsolatban, ha feladat elé állítjuk ıket. Lehet az például egy
feladatlap kitöltése, amely az el ıbbi ábrán kívül például ilyenféle
szöveget tartalmaz:
12. ábra
Az OA téglalap egyik oldala ..... hosszegység, mási k oldala .....
hosszegység, a területe ..... területegység.
Az OB téglalap oldalai ..... hosszegység és ..... h osszegység.
..... pici téglalapból áll, mindegyiknek a területe ....
területegység. Az OB téglalap területe ..... terüle tegység. Figyeld
meg a területet és az oldalakat kifejez ı számokat! Látsz valami
összefüggést? Írd ide, mit látsz
a/ a számlálók közt................................ ...............
b/ a nevez ık közt............................................. ....
Mivel magyarázod ezt? .............................. ..........
A törttel való osztás irányába is elindíthatunk has onló
felfedez ıutakat, például a "változások" vizsgálatán át, abbó l
kiindulva, hogy egy szorzat ismeretlen tényez ıjét keressük, a
törtrészr ıl az egészre való visszakövetkeztetésen keresztül. Itt is,
mint a szorzás esetében van olyan út, hogy el ıbb jutnak el a tanulók
bizonyos szabályosság felismeréséhez megnevezés nél küli számokkal,
azután vizsgálják, hogyan kapcsolódnak ezek a valós ághoz. Van
azonban olyan út is, és sok szempontból ez az el ınyösebb, amelyen
konkrét mennyiségekb ıl, tárgyi feladatokból indulnak ki a tanulók.
Közönséges törtek esetében ezt az utat az nehezíti meg, hogy nem
könny ő olyan feladatokat találni, amelyek valószer őek, er ıltetettség
nélküliek. Hasznát vehetjük ebben a nem decimális m értékeknek. A
törtek tanításától függetlenül is hasznos, ha nemcs ak azt tudják a
tanulók, hogy 1 perc = 60 má-
- 74 -
terület-
egység
hossz-
egység
sodperc, hanem olyan formában is megjegyzik az össz efüggést, hogy 1
másodperc = perc stb. Külföldi, mértékekkel is megismerkedhetnek
ezzel kapcsolatban /pl. 1 hüvelyk = láb, 1 lá b = yard/, és
annak sincs akadálya, hogy képzeletbeli, önkényes, például "Mars-
beli" egységeket vezessenek be, amelyek arányszámár a és elnevezésére
maguk tehetnek javaslatot. Természetesen a decimáli s mértékek
arányát is kifejezhetjük közönséges tört alakban, c sak ez nem ad
elég alkalmat a változatosságra. Célszer ő ilyen esetben mindjárt az
egyszer őbb és szokottabb tizedesjelölést is használni a köz önséges
tört alakkal párhuzamosan, hogy a köztük lev ı kapcsolat minél inkább
rögz ıdjön a tanulókban.
A "változások" gondolatát a mértékekkel kapcsolatba n gyakran
úgy alkalmazzuk, hogy nem magukat a mennyiségeket v áltoztatjuk,
hanem az egységeket, amelyekben mérjük ıket. Például egy 1,1 m
hosszú és 0,71 m széles téglalap területét kiszámít hatják
természetes számokkal úgy, hogy mindent centiméterb en és
négyzetcentiméterben fejeznek ki, s aztán átírják a számítást
közönséges és tizedestört alakra:
Külön szempontok a tizedes tört írásmóddal kapcsola tban
A tizedes tört írásmód egyrészt egyszer ősít ı jelölés az olyan
közönséges törtekre, amelyeknek a nevez ıje 10, 100, 1000 stb.,
másrészt a decimális /tízes számrendszerben való/ í rásmód
kiterjesztése az egyesek helyiértéken túl, jobbfelé . A 123,45
tizedestört például az els ı szemszögb ıl nézve rövidebb
írásmódja, a másikból nézve viszont 1 százas, 2 tíz es, 3 egyes, 4
tized és 5 század összegének tömör leírása. Fontos, hogy a tanulók
mindkett ıt lássák benne, mert egyszer az egyik, máskor a
- 75 -
Hosszúság Szélesség Terület
1,1 m 0,71 m . . . m 2
11 m
10
. . . m
. . .
. . . m 2
. . . cm . . . cm . . . cm 2
1 12
1 60
1 3
12345 100
másik személetnek veszik inkább hasznát. Végtelen t izedestörteknek
csak az utóbbi szemlélet alapján van értelmük; ekko r a véges
összegb ıl végtelen összeg, vagy ahogy általában nevezzük, v égtelen
sor lesz. Az utóbbi szemléletet jól alátámasztja a decimális
mértékrendszer ismerete. Tudniuk kell például, hogy 4,765 m azt
jelenti: 4 m 7 dm 6 cm 5 mm, vagy másképpen m, vagyis 4765
ezred méter, vagyis 4765 milli méter. Hasznos az ilyen írásmódok
egymás mellé állítása:
Példák alapján felismerik, anélkül, hogy ebb ıl szabályt csinálnának,
hogy ha az utóbbi esetben valamelyik számjegy után tizedesvessz ıt
írnak, ezzel az afölé írt egységben fejezik ki a me nnyiséget. A
tizedes tört írásmódnak és a decimális mértékeknek ez a kapcsolata
mindkett ınek a tanítása szempontjából el ınyös. Könnyebben megjegyzik
a gyerekek például a hossz-és súlymértékek váltószá mait, ha minden
harmadikat emeljük ki mint csomópontot - a számjegy ek hármas
tagolásának megfelel ıen - és a többit ezek közé iktatják, ezekhez
viszonyítják. A csomópontok: km, m, mm és tovább µ, m µ; ugyanígy:
t, kg, g, mg. Példa a kapcsolat másik irányú értéke sítésére: a
tizedestört eredmény ő osztást könnyebben megértik, ha nem elvont
formában váltják a megmaradó egységet tizedekre, a tizedeket
századokra stb., hanem egy fokkal konkrétabb szemlé lethez kapcsolják
az algoritmust és a megmaradó forintokat váltják ké pzeletben
tízfilléresekre, vagy a métereket deciméterekre stb . A végtelen
tizedestörtekkel kapcsolatban is erre a szemléletre van szükség,
hogy a jelek mögött tartalmat lássanak. A gyerek in nen-onnan felszed
valamit a végtelenr ıl, "ahogy a párhuzamosok találkoznak" és "ami
minden más számnál nagyobb", s ha hallja azt, hogy "végtelen
tizedestört" és tapasztalja pl. a 10:3 osztásban a tizedesjegyek
sz őnni nem akaró egymásutánját, akkor esetleg ezt is o dasorolja
képzeletében az el ıbbiek mellé. Itt is, mint annyi más esetben, a
számnak és jelének összekeverés okozza a z őrzavart: a végtelen
tizedestörtek jele végtelen, de ık
- 76 -
4765 1000
maguk végesek. A 10:3 hányadost képzeltessük el pél dául méterben
kifejezve: 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 tizedmilliméter és így tovább; így
könnyebben megértik, hogy 3-nál nagyobb, de 4-nél k isebb számról van
szó. A képzeletbeli végtelen méréssorozatok gondola ta segíti majd
ıket az irracionális és a valós szám fogalmának megé rtésében is.
Százalékok
Ahelyett, hogy "17 század" néha azt mondjuk "17 szá zalék". Egy
szám 17 százaléka azt jelenti, a szám 17 századrész e. Aki tudja,
hogy egy számnak a 17 százaléka, vagyis 17 századré sze a szám 0,17-
szorosa, annak nem okoz nehézséget és semmi esetre sem jelent
"kétm őveletes feladatot" a százalékszámítás els ı alapfeladata, a
százalékérték kiszámítása. Aki tudja, hogy egy x sz ám 17
századrészéb ı1 /0,17-szorosából/ úgy számíthatjuk ki magát a szá mot,
hogy elosztjuk az x -et 0,17-dal, annak a százalékszámítás második
alapfeladata sem okoz súlyos problémát. Végül aki t udja, hogy
bármely számról úgy számíthatjuk ki, hányszorosa eg y másiknak, hogy
elosztjuk vele, akár például 5-öt kell osztani 2-ve l, akár 2-t 5-
tel, és ha századrészben fejezzük ki az eredményt, megtudjuk, hány
százaléka az els ı szám a másiknak, az már a harmadik alapfeladat
megoldásával is tisztában van. Miért volna szükség ezeknek a
feladattípusoknak a tanításához hónapokra a törtek megtanítása után
is? Miért okoz még ezek után is annyi nehézséget a
"százalékszámítás"? Bragyisz /1951, 188-189.oldal/ Hincsint idézi:
"Ahelyett, hogy mindjárt kezdetben világosan megmon danánk, hogy a
százalékos feladatok csupán speciális esetei a tört es feladatoknak,
és így nincs és nem is lehet semmiféle különleges
"százalékszámítás", hanem bármely törtekre vonatkoz ó feladatot
felírhatunk százalékos alakban és megfordítva - a k érdésnek ilyen
világos beállítása helyett bizonyos százalék-kultus zt teremtenek
nálunk, egész külön építik ki a százalék fogalmát, külön elméletet,
és külön feladat-kategóriákat teremtenek, egyszóval minden lehet ıt
megtesznek, hogy a tanuló elképzelésében a százalék valami új,
idegen és nehéz fogalommá n ıjjön, amelynek vizsgálatához különleges
eljárásokra, különleges módszerekre van szükség. Ez ek után persze
általános a tapasztalat, hogy a ta-
- 77 -
nulók a százalékos feladatok megoldását rosszul tan ulják meg." Az
új általános iskolai tanterv felveszi a harcot ez e llen a
„százalék-kultusz" ellen. Megsz őnik a különálló százalékszámítási
fejezet. Az új tanterv szerint, amikor a diákok - a 6. osztályban -
egy mennyiségb ıl meghatározott törtrészére vagy a törtrészb ıl az
egész mennyiségre következtetnek, akkor a közönsége s és a tizedes
törttel meghatározott törtrész után ugyanerre a szá zalékjelölést is
alkalmazzák. Amikor viszont már megszokták, hogy pé ldául egy szám
0,39 részét úgy lehet kiszámítani, hogy a számot me gszorozzák a
0,39-dal, a számot a 0,39 részéb ıl 0,39-dal való osztás útján
kaphatják meg, akkor már egy szám 39 %-ának vagy 39 %-ából a számnak
a kiszámítását sem két lépésben végzik, hanem egyet len szorzással
vagy osztással, hiszen ezek pontosan azt jelentik, mint az el ıbbiek.
Ez a helyes tantervi elgondolás jó lehet ıséget ad a most
általánosnál egészségesebb tanítási gyakorlat kiala kítására a
százalékos feladatok megoldásában.
A százalékos feladatok megoldásában a törtek hiányo s
megértésén túl újabb nehézségek forrása a különlege s szóhasználat.
Az, hogy századrész helyett százalékot mondunk, még nem okoz nagy
zavart. Sokkal inkább az, hogy összeadás és kivonás nyelvét
beszéljük, amikor pedig szorzásról és osztásról van szó,
pontosabban: szorzás és osztás segítségével egyszer őbben fejezhet ı
ki, amir ıl szó van. Azt mondjuk például: valamilyen cikk ter melése
az egyik évben 20 %-kal, a következ ı évben 30 %-kal n ıtt. Ez a
szóhasználat mint magától értet ıdı tényt sugallja azt, hogy
együttvéve 50 %-kal n ıtt a termelés. Nem elég egy olyan magyarázat,
hogy a 30 %-os emelkedés más alapszámra vonatkozik, mint a 20 %-os.
Ebbıl esetleg csak annyi marad meg bennük, hogy a
százalékszámításban másképp adunk össze, mint ahogy a józan ész
alapján várnánk. Jobb, ha lefordíttatjuk velük az i lyenféle
feladatokat a szorzás, illetve az osztás nyelvére. Az, hogy 20 %-kal
3 n ıtt, azt jelenti; az eredetinek 120 %-a, vagyis 1,2- szerese lett.
Ha 30 %-kal n ıtt, akkor 130 %-a, 1,3-szerese lett annak, ami volt .
/Persze érteniük kell mindig, hogy mi minek ennyi s zázaléka,
ennyiszerese!/ Ha 15 %-kal csökkent, akkor a 100 %- ból 85 % lett, az
eredetinek 0,85-szorosa. /A formális analógiák kere sése itt
megzavarhatja a gyerekeket, azt hihetik, hogy ha az adott százalékos
növekedés szorzással fejezhet ı ki, akkor az adott százalékos
csökkenést viszont osztással lehet kifejezni./
- 78 -
Ha 63 %-os növekedés után 7867 tonnát exportálunk v alamib ıl, akkor
ez az el ızı évi export 163 %-a, 1,63-szorosa, vagyis az el ızı évi
export 7867/1,63 tonna. Ha 63 %-os csökkenés után 2 ,2 millió forint
érték ő a termelés, akkor ez az el ızı évi termelés 37 %-a, 0,37-
szorosa, tehát az el ızı évi termelés 2,2/0,37 millió forint. Meg
kell szokniuk a tanulóknak ezt a célszer őbb nyelvre való
lefordítást, hogy a homály eloszoljon.
Hogy manapság mekkora a homály, arra jellemz ı a következ ı
eset. Húsz matematika-fizika szakos tanárjelöltnek a következ ı
típusú feladatot kellett megoldania /egy részüknek egy kicsit más
számadatokkal/: "Egy árucikkb ıl 1960-ban 28 %-kal többet termeltünk,
mint 1957-ben, pedig a termelés 1959-ben és 1960-ba n is a megel ızı
évinél húsz-húsz százalékkal kevesebb volt. Hány sz ázalékkal
emelkedett a termelés 1957-t ıl 1958-ig?" Négyük szerint a harmadik
évben 68 %-os volt a növekedés /mert 68 - 20 -20 = - 28/, kett ı nem
fejezte be, egy elhibázta. A tizenhárom megoldó köz ül hárman
oldották meg annak alapján; hogy a 20 %-os csökkené s 0,8-del való
szorzást jelent, /0,8 . 0,8 . x = 128, x = 200, a n övekedés 100%/, a
többi bonyolultabban okoskodott. Az egyik például a következ ıket
írta:
( x + . x - . 20) . ( 1 - ) =
= x . ( 1 + ) . ( 1 - )(1 - )=
= x /1 + / . = x /1 + /
1 + = 1,28 .
x = 100 . /1,28 . – 1/ =
= 100 . /1,28 . 1,56 – 1/=
100 . /2,0 - 1/ = 100 %
- 79 -
x
100
x + . x
100
20
100
x
100
x
100
x
100
20
100
20
100
x
100
16
100
28
100
25
16
25
16
Néhány további problémára, amely százalékos feladat okkal
kapcsolatban fel szokott merülni, a következ ı óraleírásban található
felelet.
Százalékos feladatok ismétlése
Az órát négy-öt perces szóbeli számolás vezette be, igen
egyszer ő, a fogalmakat felelevenít ı feladatokkal, amilyenek például
ezek:
Fejezd ki 8 %-ot tizedestört alakban! Közönséges tö rt alakban!
Mennyi 200-nak az 50 %-a? Mit jelent bármely szám 5 0 %-a? stb.
Aztán felírták a táblára és a füzetükbe címnek:
Százalékszámítás ismétlése
El ıször ezt a feladatot diktálta a tanár /a táblára ı maga
írta/: 670 Ft-om volt. Elköltöttem 38 %-át. Mikor i deért, megállt a
diktálásban és megkérdezte:
- Mit gondoltok, mi lesz a kérdés?
= Mennyi maradt.
Elfogadták ezt kérdésnek, fel is írták. Az egyik gy erek jelentkezett
és ezt mondta:
= Pénzünk 62 %-a maradt meg.
- Honnan tudja ezt E.? /Megmondta valaki: az egész l00 % stb./
- Hogy számítjuk ki a 670 Ft-nak a 62 %-át. írjuk f el: 670 Ft
62 %-a?
= A 670-et szorzom 0,62-dal.
- Írjuk fel ezt is:
670 . 0 , 62 .
- Miért, hát mit jelent 670-et 0,62-dal szorozni?
= 62 századrészét venni. Ez ugyanaz, mint 62 százal ékát venni.
Százalék azt jelenti, századrész.
- Hogy számíthatom ki másképpen egy szám 62 századr észét,
vagyis 62 százalékát?
= Veszem 1 századrészét és szorzom 62-vel.
- Melyik módon számítanátok ki ezt most szívesebben ?
= Inkább egy m ővelettel. Szorozzuk meg mindjárt 0,62-dal.
- 80 -
- Hát tessék, végezzétek el a szorzást! /A táblánál most is ı
ír, a részletszorzatokat és a végeredményt más-más felszólított
gyerekek diktálják a helyükr ıl./
- Mi ez a 415,40 ?
= Forint. Ennyi forintunk maradt, amikor elköltöttü k a 670 Ft-
nak a 38 %-át.
- Hogy oldhattuk volna meg másféleképpen ezt a fela datot?
= Kiszámíthattuk volna 670 Ft-nak a 38 %-át és azt kivontunk
volna bel ıle.
A százalékérték kiszámítására még néhány szóbeli fe ladatot ad
/pl. hogyan számítjuk ki egy szám 130 %-át? 1000 %- át/, aztán új
feladatot diktál:
- Egy bizonyos rádió árát 28 %-kal csökkentették. M ost 900 Ft-
ba kerül. Mennyibe került az árcsökkentés el ıtt? Írjuk fel röviden.
/Így írják fel:/
Rádió ára
28 %-kal csökk.
Most 900 Ft.
Mennyi volt?
- Próbáljuk ábrázolni! /Ezt a rajzot készítik:/
- Így most már egyszer őbb a
feladatunk. Írjuk fel röviden ezt
az egyszer őbb feladatot! /Egy
gyerek diktálására írják./
? Ft 72 %-a 900 Ft.
- Ismételd el az eddigi gondolatmenetet, B! /Egy gy engébb
gyerekhez. Kis segítséggel elismétli. Gyakran szólí t olyant is, aki
nem jelentkezik; ez is olyan volt./
- Most tehát az a kérdés, hogy mekkora összegnek a 72 %-a 900
Ft. Hogy mondanátok ezt másképpen?
= Minek a 0,72-szorosa 900 Ft.
- És ezt hogy számítjuk ki?
= Elosztjuk a 900-at 0,72-dal.
- Hát végezzük el! /Stafétaszer ően mondják a
részleteredményeket a helyükön ülve. Aztán a tanár megkérdezi, hogy
lehetett volna ezt még kiszámítani. Megbeszélik az 1 %-on való
kiszámítási módot is./
- 81 -
13. ábra
- Írjátok: 35 km b ıl 23 km-t tettem meg. Mit lehetne kérdezni?
= Hány km van még hátra?
- Százalékszámítási feladatot lehetne-e csinálni be l ıle?
= 35 km-nek hány százalékát tettük meg?
= 35 km-nek hány százaléka van még hátra?
- Írjuk fel ezt az utóbbit!
35 km-es út
23 km-t tettünk meg
Az út hány %-a van hátra?
= Még 12 km van hátra, az a kérdés, hogy ez hány sz ázaléka a
35 km-nek.
- Rajzoljuk fel! /Maga rajzolja:/
- Írjuk is fel:
35 km-nek hány %-a 12 km?
- Hogy kérdezhetném még meg?
= Hány századrésze 35-nek a 12?
= Milyen törtrésze 35-nak a 12?
- És erre hogy felelnénk?
= 12/35 része. Ezt aztán
átszámíthatjuk századrészekre.
- Hogy számítjátok át?
= Elvégezzük az osztást. /Elvégzik: 0,3428 .../
- Pontos ez az eredmény? Kerekítsük két tizedesjegy re! Mi hát
a felelet? Százalékban? /Felelnek a kérdésekre./
- Ezt a feladatot mindjárt jegyezzétek röviden a fü zetetekbe:
Egy könyvtárban 500 könyv van. Kiselejtezik 25 %-át . A megmaradt
könyvállományt 32 %-kal növelik. Hány könyv lesz ez ek után a
könyvtárban? - Nem fontos kiszámítani, csak a megol dás menetét
írjátok fel!
Id ıt hagy, nézegeti, mit írnak. Aztán egyet felszólít,
megkérdezi, mit írt. A felelet:
500 . 0,75 . 1,32 .
Valaki más ezt írta:
500 . 0,25 . 1,32.
- 82 -
4. ábra
Megbeszélik, hogy ez mit jelentene. A kiszámítása h ázi feladat
lesz, azonkívül még egy feladatot diktál a tanár ot thonra. Két perc
még maradt, azalatt néhány kérdésben végigmennek a százalékszámítás
alapfeladatain.
X
Felmerül itt egy terminológiai kérdés:
Megkérdezték az órán: milyen törtrésze 35-nek a 12? /Lehetett
volna így is mondani: "mekkora törtrésze" vagy "mekkora része", de
ez nem lényeges./
A felelet az volt: 12/35 része. Ugyanez lett volna- e a helyes
felelet akkor, ha a kérdés így hangzik el: hányadré sze 35-nek a 12?
Nem, erre a helyes felelet 35/12. Tudniillik ennyie drésze 35-
nek a 12. Ha kimondom, furcsán hangzik /"tizenkette ded"/, ezért jobb
is az ilyen kérdésfeltevést elkerülni, de ha már va laki így kérdezi,
csak ezt a feleletet fogadhatja el, különben ellent mondásokba
keveredik. Ahányszorosa a-nak b /2-nek 8, 35-nek 1 2/, annyiadrésze
b-nek a /8-nak 2, 12-nek 35/. Gondoljuk végig!
Egyéb szöveges feladattípusok
A százalékos feladatok természetes megoldási módja
tizedestörtekre vezet. Vannak olyan feladattípusok is, amelyek
jellegzetesen kapcsolódnak a közönséges tört alakú számokhoz. Talán
a legismertebb közülük az, amelyet jobb híján így n evezhetnénk:
"reciprok feladatok". Ide tartozik például a követk ezı feladat:
Egy csövön át 10 perc alatt telne meg a medence, eg y másikon
át 15 perc alatt. Mennyi id ı alatt telik meg, ha mind a két csövön
át folyik bele a víz.
Aki már ismeri az ilyenfajta feladatokat, az valósz ín őleg a
következ ı megoldást adja rá:
l perc alatt az els ı csövön át részig, a másikon át
részig telne meg a medence, együtt a kett ın át
részig telik meg. Tehát 6 perc alatt telik meg egé szen.
- 83 -
1 10
1 15
1 + 1 = 3 + 2 = 5 = 1 10 15 30 30 30 6
Akik nem ismerik a típust, azok általában más, külö nféle
megoldásokra bukkannak. Az alábbi megoldási módok e gy osztály
tanulóitól származnak:
1. Képzeljünk a "10 perces" cs ı helyett három egyforma, de
keskenyebb csövet, amelyeken át együttvéve 10 perc alatt telne meg a
medence. Egy-egy keskeny csövön át 30 perc alatt te lne meg, hiszen
harmadakkora csövön át háromszorannyi id ı alatt folyik át ugyanannyi
víz. Helyettesítsük ugyanígy a "15 perces" csövet k épzeletben két
egyforma cs ıvel, amelyeken át együttvéve 15 perc, külön-külön t ehát
szintén 30 perc alatt telne meg a medence. Így most már öt egyforma
keskeny csövünk van. Külön-külön mindegyiken át 30 perc alatt telne
meg a medence, ha viszont mind az ötön át folyik a víz, akkor ehhez
ötödannyi id ı, vagyis 6 perc kell.
2. Félóra alatt az els ı csövön át háromszorannyi víz tudna
kifolyni, mint amennyi a medencébe fér, a második c sövön át
kétszerannyi, együtt ötszörannyi. A medence tehát m ár akkor
megtelik, ha ötödennyi ideig, 6 percig folyik a víz a két csövön át.
3. Negyedóra alatt az els ı csövön át másfélszer annyi víz
folyna ki, mint amennyi a medence megtöltéséhez kel l, a másodikon át
éppen annyi, együtt a kett ın át 2,5-szer annyi. A medence tehát 15 :
2,5 = 6 perc alatt telik meg a két csövön át.
4. Tíz perc alatt 1 + = medence lenne tele; tehát
medence 2 perc alatt, az egész medence 6 perc alatt telne meg a két
csövön át.
5. Eddig minden kiindulás képzeletbeli, irreális vo lt. Nem
gondolták a gyerekek, hogy csakugyan 30, 15, vagy 1 0 perc kellene a
medence megtöltéséhez, csak azért nézték meg ezeket az eseteket,
hogy az eredményb ıl aztán következtessenek a valóságos esetre. A
következ ı megoldáshoz viszont úgy jutottak, hogy el ıbb megpróbáltak
becslést adni az eredményre. Igaz, volt aki ekkor i s lehetetlen
becslést adott, például 25 percet mondott /10 és 15 perc összegét/
vagy 12,5 percet /10 és 15 perc számtani közepét/. De miután
kimondták ezeket a becsléseket, maguk is rájöttek, hogy képtelenség,
amit mondtak. Megértették, hogy a keresett id ıtartamnak mindkét
megadottnál kisebbnek kell lennie, mert ha a másik csövet is
kinyitjuk, hamarabb telik meg a medence, mint ha cs ak az egyik van
nyitva. Ezt a belátást határozottan megkönnyítette
- 84 -
2 3
1 3
5 3
az, hogy kimondták az els ı, képtelen gondolatukat. A következ ı
becslés 5 perc volt. Utánaszámoltak: ennyi id ı alatt az els ı csövön
át a medence fele, a másikon át egyharmada, a kette n át együttvéve
5 hatoda telik meg. Ebb ıl következik, hogy l perc alatt 1 hatoda
telik meg, 6 perc alatt az egész.
Aki már tudja, hogy az arányossági következtetéssel végül
mindig célhoz érünk, akármi is a kiindulásul válasz tott érték, annak
a számára ezek a megoldások /talán az 1. megoldástó l eltekintve/
egyetlen megoldás variálásai. Ez a gondolat azonban éppen az
ilyenféle variánsokon keresztül tisztázódhat a legj obban, különösen
azokban, akik maguk is kivették a részüket a felfed ezésükb ıl. Ennek
a gondolatnak a megértése után az "1 perces" megold ás is
természetesen adódik. Ha úgyis mindegy, milyen szám ból indulunk ki,
miért ne indulnánk ki éppen 1-b ıl? Ilyen el ıkészítés nélkül viszont
a legtöbb diák számára csak recept lenne ez a megol dás, amelyet
megtanul, de egészen nem ért és egy kissé eltér ı szituációban
alkalmazni sem tud.
A „reciprok feladatok" sokféle beöltöztetési módja közül
talán túlságosan is elburjánzott a medencékkel és c sövekkel való
fogalmazás. Lássunk néhány más beöltöztetést. x
Egy turista az út A, egy másik az út B pontjában va n. Az A és
B közötti távolságot az el ıbbi p, az utóbbi. q óra alatt teszi meg.
Hány óra múlva találkoznak, ha A-ból, illetve B b ıl ugyanabban a
pillanatban indulnak el egymás felé?
Egy turista elindul az A pontból és p óra múlva_ B- be érkezik.
Ugyanebben a pillanatban érkezik A-ba egy másik tur ista, aki q
órával el ıbb indult el B-b ıl. Hány órával ezel ıtt találkozott a két
turista?
Egy gépírón ı egy kéziratot p óra alatt gépelne le, egy másik
gépírón ı ugyanezt a kéziratot q óra alatt gépelné le. Menny i id ı
alatt gépelik le a kéziratot, ha mind a ketten dolg oznak rajta?
/Persze el kell dönteniük el ıre, honnan kezdje írni a kéziratot a
második gépírón ı./
________________ x Lásd A.I.Osztrovszkij: O zadacsah po arifmetyike i algebre
/Matyematyika v skole, 1960. évi 3.szám/. Magyar fo rdítása "Az
aritmetikai és algebrai feladatok viszonya a gyakor lathoz" címmel
került sokszorosításra. / Összeállította: Faragó Lá szló/
- 85 -
A kiemelt földnek az exkavátorral való elszállításá hoz vagy p
számú P típusú, vagy q számú Q típusú teherautót ke ll beállítani.
Hány teherautót kell beállítani a két típusból, ha azt akarjuk, hogy
mindkét típusból ugyanannyi autó vegyen részt a mun kában?
A helyi sportbizottság p pár sí vásárlására utalt k i pénzt.
Ugyanezen az összegen q pár síbakancsot lehetne vás árolni. Hány
síel ıt lehet ennek a hitelnek a terhére sível és bakancc sal is
ellátni?
Egy huzal ellenállása p ohm, egy másik huzalé q ohm . Mekkora
lesz a két huzal párhuzamos kapcsolása útján létesí tett áramkör
ellenállása?
Érdemes az ilyenféle feladatokat egymásután adni, e setleg
ugyanolyan számadatokkal is, ha ez elérhet ı, mindaddig, míg a
tanulók észre nem veszik azt, ami ezekben a feladat okban közös. Ha
már észrevették, akkor sor kerülhet ennek a megbesz élésére is.
Nem mindegy, hogy milyen számokkal adunk fel felada tot,
gondoljuk meg, mennyire megkönnyítették az el ıbb tárgyalt medencés
feladat primitív megoldásainak a megtalálását - és így "a megoldás"-
hoz való eljutást is - az egyszer ő számadatok. Ha 10 és 15 perc
helyett 31 és 17 percr ıl lett volna szó, akkor a legjobb tanulók
talán hamarabb is rákényszerültek volna az "1 perce s" megoldás
megtalálására, de a többiek számára hiányzottak vol na a közbees ı
lépcs ıfokok. Igen hasznos egy-egy feladattípusban nemcsak a
beöltöztetést variálni, hanem a számadatot is, eset leg egyetlen
beöltöztetés keretében, fokozatosan haladva egyszer őbb számoktól
bonyolultabbak felé. Nehezebb adatok esetében enged ményt tehetünk:
ne számítsák ki az eredményt, elég, ha csupán kijel ölik. Ez az
"engedmény" valójában egy magasabb absztrakciós szi nt felé való
haladást jelent. A "nehéz számokkal" kijelölt, el n em végzett
mőveletek könny ő átmenetet biztosítanak a bet őkkel való jelölés
felé. Érdemes a tanulókat - esetleg csak egy részük et - elvezetni
annak a belátására, hogy például a "reciprok felada tok" megoldását
azonnal felírhatják
vagy másképpen
formában. Ez már bizonyos értelemben algebra. De há t nincs külön
számtan és algebra, az absztraktnak a konkrétból ke ll kin ınie,
- 86 -
1 1 + 1
p q
p q
p + q
nem t ıle függetlenül, megjelennie, és ez éppen jó alkalom egy
bizonyos típusú absztrakció elérésére. /Vö. 114., 1 17. oldal./
Bár ez nálunk csak távolabbi perspektívát jelenthet , nem
hagyhatjuk említés nélkül, milyen jól összekapcsolh ató a törtek
tanításával egyszer ő valószín őségszámítási feladatok megoldása. Ma a
valószín őségszámítás nálunk még a középiskolában sem szerepe l.
Legközelebbi problémák ezzel a tudományággal kapcso latban az, hogy
mi és hogyan tanítható bel ıle a középiskolában. Sok tapasztalati
tény azt mutatja azonban, hogy a valószín őségszámítás középiskolai
tanítása szempontjából is célszer ő el ıbb, már az általános iskolában
kialakítani bizonyos elemi fogalmakat.
A törtszámokkal való megismerkedés lényegesen kitág ítja a
tanulók látókörét. Megnövekszik az olyan problémakö rök száma,
amelyekre a matematikát alkalmazni tudják. Ha kinyi tják az újságot,
a népszer ő tudományos folyóiratokat és könyveket, technikai m őveket,
a bennük lev ı számok sokkal többet árulnak el nekik, miután
megismerkedtek a törtszámokkal, mint azel ıtt. Fontos feladata a
matematikatanárnak, hogy megtanítsa a diákokat nemc sak készen kapott
feladatok megoldására, hanem számadatokat tartalmaz ó szövegek
gondolkozva olvasására, következtetések levonására is.
Lássunk egy példát! Az Esti Hírlap közölte /1962. n ovember 10-
i számában/ a következ ı adatokat: "A vetésterület a Földön 1,37
milliád hektárról. 9,39 milliárd hektárra növelhet ı. Ezen a
területen 65 milliárd ember élelmiszere terem meg". Jó az effajta
nyersanyagot kivágni az újságból, vagy ki gépelni a könyvb ıl és
felragasztani például félbevágott rajzlapra, hogy t artósabb,
tárolhatóbb, kezelhet ıbb legyen. Többféleképpen is felhasználhatjuk
ezeket a lapokat. Például odaadhatjuk egy-egy olyan tanulónak, aki
már túl van azon, amivel az óráin foglalkoznak. Vag y felolvashatjuk
az egész osztálynak. Jó, ha a benne szerepl ı számadatok a táblára
kerülnek. Feltehetünk ezek után egy ilyen határozat lan kérdést: "Mit
mondanak nektek ezek az adatok?" Még jobb, ha hozzá szoktatjuk a
tanulót ahhoz, hogy ilyenkor semmilyen kérdést sem teszünk fel,
t ılük várjuk a kezdeményezést. Pusztán ezekb ıl az adatokból nem sok
következtetést tudnak levonni; annyit mindenesetre megállapíthatnak:
"Kb. hétszeresére lehet növelni a vetésterületet; h at- és hétszeres
között, közelebb a héthez." Vannak azonban olyan ad atok, melyeket
minden diáknak
- 87 -
illik tudni, ha durva közelítésben is, vagy legaláb bis pillanatok
alatt ki kell tudnia keresni egy kéznél lév ı adattárból. /A legújabb
Magyar statisztikai zsebkönyv például mindig legyen kéznél!/ Ilyen
adatok: az emberiség lélekszáma /3 milliárd/, a Föl d felszíne
/félmilliárd négyzetkilométer/, a szárazföldek együ ttes területe
/150 millió négyzetkilométer/. Ezek ismeretében már sokkal többet
árunak el a fenti adatok. 1,37 milliárd, vagyis 137 0 millió hektár
13,7 millió nézetkilométert jelent. Ennyir ıl 93,9 millióra lehet
növelni a hír szerint a vetésterületet. Lássunk eg y gyors becslést:
a Föld felszínének 9 %-áról több, mint 60 %ára. A m ai term ıterület 3
milliárd embert tart el. /Igaz, hogy sok millióan é heznek, de sok
országban rengeteg felesleg elpocsékolódik./ Ha hét szerakkora
terület 22-szer annyi embert tart el, ez azt jelent i, hogy a
terméshozam kb. háromszorosára növekszik.
Ebben az esetben újabb adatokra volt szükség a tová bbi
következtetések levonásához. El ıfordul, hogy felesleges adatok
vannak a kapott nyersanyagban.
Az életben sem találkozunk kész matematikai feladat okkal,
magunknak kell eldöntenünk, kevés-e az adat, sok-e, milyen adatra
van még szükségünk ahhoz, hogy levonhassunk ilyen é s ilyen
következtetéseket stb. Az ilyen "nyitott problémahe lyzetek"
teremtése /vö. 46. és 474. oldal/ segíthet abban, h ogy a
matematikatanítás életszer őbb legyen.
Közelít ı számítások
Negyedik gimnazista lányoknak ki kellett számítaniu k a Föld
tömegét a sugarából /6370 km/ és a s őr őségéb ıl /5,5 kg/dm 3/. Mint
utólag kiderült, a legtöbbjük logaritmus nélkül szá molt, mert jobban
bízott a saját szorozni és osztani tudásában, mint a
táblahasználatban. A számításuk menete ilyenféle vo lt:
r 3 = 6370 . 6370 . 6370 = 258 474 853 000
Ezt megszorozták 4 π-vel , amit 12, 56-nak vettek, hiszen ugye π =
3,14:
3 246 444 153 680
- 88 -
A Föld térfogata ennek á harmada:
1 O82 148 051 226,666 ... km 3
vagyis
1 082 148 051 226 666 666 666 m 3 .
Köbméterenként 5,5 tonna, összesen
5 951 trillió 814 281 billió 746 666 millió 666 663 tonna.
Volt egynéhány, aki eljutott lényegében ugyanerre a "pontos"
eredményre. Volt persze olyan is, akinek egészen má s volt a
végeredménye.
Nagyon meg voltak lepve, amikor kiderült, hogy a sz ámolási
munkájuk 90 %-a felesleges és értelmetlen volt, és az adatok
alapján nem mondhatunk többet, mint azt, hogy kb. 6 ,0 ezer trillió
tonna, 6,0 . 10 27 g a Föld tömege. Ha a Föld s őr őségét csak két jegy
pontossággal ismerjük, akkor a tömegét sem tudjuk a térfogatából
ennél pontosabban meghatározni. S ıt a térfogatára is hiába kapunk
akárhány jegy pontosságú eredményt, csak annyinak v an értelme
bel ıle, ahány jegy pontossággal a kiinduló adatokat ism erjük. A π és
a 4 π értékér ıl, a 3-mal való osztáskor hirtelen megnövekedett
pontosságról, a szám végén igazítás nélkül leírt 6- ról most ne is
beszéljünk.
Ezek nem 4. gimnáziumban tisztázandó kérdések. Brag yisz /1951/
az általános iskola 5. osztályában ajánlja a megbes zélésüket./197.
és következ ı oldalak/. Csak utalunk az ott található módszertan i
feldolgozásra, de nem ismételjük. További irodalom: Bragyisz /1958/.
Ha a 8. osztály végére sikerülne elérni, hogy a Bra gyisz javasolta
anyaggal tisztában legyenek, a középiskolában már n em sok tennivaló
lenne ezen a téren.
A közelít ı számítások kérdése világnézeti kérdés is, a szó
legtisztább értelmében. Aki ezzel a problémakörrel nem ismerkedik
meg, vagy nem helyes formában, abban könnyebben kia lakulhat a
matematikáról olyan kép, hogy az "a valóságtól függ etlen", "abszolút
érvényes" tudomány. Ha az elemi matematikát a valós ággal, az
alkalmazásokkal szoros kapcsolatban mutatjuk be, lé pten-nyomon
belebotlunk a közelít ı számításokat érint ı kérdésekbe.
- 89 -
Az egyik legf ıbb nehézséget a jelölések többértelm ősége
okozza. Hívjuk fel a tanulók figyelmét erre a többé rtelm őségre; a
nehézségek felismerése már egy lépés a megoldásuk f elé.
Miben á11 ez a többértelm őség?
Nézzük az el ıbbi számítást:
A végén kezdve: a gyerekek ugyan azt tanulják, hogy 5,5 = 5,50
= 5,500 = ..., és ez arra az 5,5-re, amelyekr ıl ık addig tanultak,
igaz is; ez azonban nem az az 5,5. Nem állhatna hel yette 5,50, mert
akkor mást jelentene. Így 5,45 és 5,55 közötti szám ot jelent, úgy
5,495 és 5,505 közöttit jelentene. Mindenképpen lén yegileg más, mint
az az 5,5, amely nem változik, ha a végére nullákat írunk: az
egyetlen meghatározott számot jelent, ez pedig egy
számintervallumnak egy számát; bizonyos értelemben magát az
intervallumot. Ha azt mondjuk, hogy a Föld s őr ősége
d = 5,5 ,
akkor az egyenl ıségjel megtéveszt ı, valójában egyenl ıtlenséggel
méghozzá kett ıs egyenl ıtlenséggel van dolgunk:
5,45 < d > 5,55 ,
ezt azonban röviden d = 5,5-nek vagy inkább d ≈ 5,5-nek írjuk.
Gyakran használatos a d = 5,5 ± 0,05 jelölés is. Ez és a kett ıs
egyenl ıtlenség hajlékonyabb jelölések, mint a közelít ı egyenl ıség;
pl. azt az ismeretünket, hogy 5,44 < d < 5,54 vagyi s 5,49 ± 0,05,
nem tudjuk közelít ı egyenl ıséggel kifejezni. Az általános iskolában
el ıször a közelít ı egyenl ıség kevésbé hajlékony jelölésmódjával
ismerkednek meg a tanulók. A mindennapi életben is rendszerint ezt
használják. Ha kinyitjuk az újságot, az ott talált számadatok
majdnem mind így értend ık.
Hasonló értelemben szerepel képletünkben 3,14 is. H a csak
annyit tudnánk π-r ıl, hogy két tizedes jegy /három értékes jegy/
pontossággal 3,14, akkor 3,135 és 3,145 között mind en érték
tekintetbe jöhetne. Annyiban mégis más a helyzet; h ogy π értékét
igen sok jegyre ismerjük / π ≈ 3,141592653589793.../. Hogy hányat
veszünk igénybe ezek közül, az mindig attól függ, h ányat érdemes,
mennyire pontos a többi adat.
- 90 -
M = 4 . 6370 3 . 3,14 . 10 9 . 5,5 .
3
6370-nel bajban vagyunk: nem árulja el az alakja, h ogy milyen
pontossággal ismerjük. Jelenthet 6370 ± 5-öt, de jelenthet 6370 ±
0,5-et is. A tizedesvessz ı utáni nullákkal szabadon operálhatunk,
annyit írhatunk le vagy annyit hagyunk el közülük, hogy a kívánt
pontosságot ki tudjuk fejezni, az egész szám végén álló nullákat
azonban nem hagyhatjuk el, mert megváltozna a többi jegy helyi
értéke. Ezen többféle módon is lehet segíteni. Egy lehet ıség az,
hogy az egész számokat is átírjuk tizedestört alakb a. Például 6370
helyett azt írjuk, hogy 6,37 . 10 3 vagy 6,370 . 10 3; az el ıbbi
ugyanazt fejezi ki, mint 6370 ± 5, az utóbbi ugyanazt, mint 6370 ±
0,5. Egy másik mód, amelynek az iskolában hasznát v ehetjük, bár a
gyakorlatban nem alkalmazzák az egész számok végén álló 0-k közül
kisebbre írjuk azokat, amelyek nem értékesek.
Az
képletben szerepl ı többi számjel nem közelítést fejez ki. Ez a 4 nem
4 ± 0,5, nem is 4 ± 0,05, hanem egészen pontosan 4 , ugyanígy 3, 10
és 9 is pontos számok. Gyakorlott szem ő ember el tud igazodni a
számadatok között, a gyereket azonban türelmes munk ával kell
rávezetnünk, hogy helyesen értse és helyesen alkalm azza a jeleket,
hol pontos, hol közelít ı értelemben.
Ha nem volna ez a kétértelm őség a jelhasználatban és mindig
közelít ı értelemben használnák a számjeleket, akkor 4 minde nképpen 4
± 0,5-et jelentene. Hogyan tudnánk mégis kifejezni a zt, hogy
pontosan 4 ? 4,0 sz őkebb intervallumot fejez ki e körül a szám körül,
4,00 még sz őkebbet ,... 4,/O/ már nem is intervallum, hanem az
összes eddigi intervallum közös pontja, egyúttal kö zéppontja is.
Ennek az egyértelm őségnek nagy ára volna! Alsó tagozatban 2 . 2 = 4
helyett azt taníthatnánk, hogy 2,/O/ . 2,/0/ = 4,/0 /, mert 2 . 2
ebben a jelölésben nem 4, hanem 2,25/0/ és 6,25/0/ közötti szám,
vagyis 4,25/0,/ ± 2,/0/. Ha viszont a másik irányban akarnánk
egyértelm ővé tenni a jelölést, egyenl ıtlenségi jelekkel vagy ± -
okkal bonyolíthatnánk minden napihírt /pl. a Dorog -Ferencváros
mérkızésnek 12 000 ± 500 néz ıje volt/. Bele kell tehát egyel ıre
tör ıdnünk a kétértelm őségbe, és meg kell tanítanunk a gyerekeket
is, hogy eligazodjanak ebben a jelhasználatban, és élni is tudjanak
vele.
- 91 -
M = 4 . 6370 3 . 3,14 . 10 9 . 5,5 .
3
Logarléc, számológép
A közelít ı számítások körébe tartozó meggondolások segítenek
abban, hogy a számjegyek túlburjánzásának gátat ves sünk, a számolási
munkát csökkentsük, a tanulók figyelmét a mechaniku s eljárásokról
érdekesebb problémák felé irányítsuk. További nagy segítséget jelent
ebben, ha már a törtszámok tanításakor logarlécet t udunk adni a
tanulók kezébe, és elérjük, hogy attól kezdve állan dóan használják
is, iskolában éppúgy, mint iskolán kívül. Tíz-tizen két évesek is
megérthetik a logarléc m őködési elvének lényeges gondolatait, a
logaritmus fogalma nélkül is.
Olyan logarlécb ıl célszer ő kiindulni, amelyen csak két
egyenl ıköz ő skála van az 1, 2, 4, 8, 16 stb. számokkal például négy-
ötjegy őt számokig. A gyerekeknek még azt sem kell tudniuk, hogy az
1, 2, 4, stb. számok 2-nek a hatványai, elég azt me gérteniük, hogy
az 1 után minden szám az el ızınek kétszerese. Minden gyerek
készíthet magának ilyen logarlécet két keménypapírc síkból. Ha az
alsó csíkot egy egységgel jobbra tolják /vagyis az 1-et a 2 alá /15.
ábra/, akkor minden szám fölött a kétszer-
15. ábra
akkora szám lesz. Ezeknek a számoknak a körében teh át már tudunk 2-
vel szorozni. De osztani is, hiszen a fels ı csík minden száma alatt,
a 2-t ıl kezdve, ott van a feleakkora száma Ugyanígy látha tó -
szemmel is látható és ésszel is belátható -, hogy h a az 1-et a 4,
8, stb. alá toljuk, akkor 4-gyel, 8-cal, stb. szoro zhatunk és
oszthatunk. A következ ı gondolat az lehet, hogy 0,128-at is
szorozhatjuk és oszthatjuk például 160-nal. Általán osan szólva
nemcsak a 2 n, hanem a 2 n . lO k számok körében is végezhetünk
szorzásokat és osztásokat, ahol k, és nyilván n szi ntén, negatív
egész is lehet. /Persze ez nem a gyerekeknek szóló fogalmazás - ık
csak példákat látnak./ Azután rávezetjük ıket arra, hogy a saját
készítés ő kis logarlécen egy beállítással leolvashatják több ilyen
mővelet eredményét, mint
- 92 -
1,6 . 0,32 és 0,16 . 2560 és 640 . 1600 stb.,
vagy
2,048 : 0,8 és 5,12 : 80 és 40 960 : 8 stb.;
továbbá ugyancsak egy beállítással leolvashatják az ilyen
kifejezések értékét, mint
10,24 : 1,28 . 320
vagy
81,92 : /204,8 : 0,256/
stb. /Ezek az utóbbiak szükségessé teszik annak az osztási módnak a
megtanítását, amikor az osztandót és az osztót a pa pírcsíkon
egymáshoz illesztjük. A kétféle osztási mód kapcsol atát könny ő
megérteni: ha 16 : 2 = 8, akkor 16 : 8 = 2 és viszo nt./ A közönséges
/tízes alapú/ logarlécre ezek után egyszer ően úgy térünk át, hogy
azt is kettes alapúnak tekintjük . Megmutatjuk rajta az 1, 2; 4, 8,
16, 32, 64 számokat /16. ábra/, és megmagyarázzuk, hogy ezen a lécen
közbeiktatták a 3, 5, 6, 7, 9, 10 stb. számokat is. Közöljük velük,
hogy a közbeiktatott számokkal is ugyanúgy lehet vé gezni a
mőveleteket, mint a többivel. Persze tisztáznunk kell , hogy ez
bizonyításra szorul, s egyszer majd
16. ábra
be is bizonyítjuk. Ennyi azonban általános iskolai fokon elég ahhoz,
hogy a logarlécen értelmesen számoljanak.
Fontos készség birtokába juttatjuk így a tanulókat. El kell
azonban érnünk, hogy ezt a készséget céljának megfe lel ıen
alkalmazzák. Ne szorozzanak például 13-at 40-nel lo garléc
segítségével, mert ezt fejben is kiszámíthatják. Má sik oldalról: ha
a számításban a logarléccel elérhet ı 3 értékes jegynél nagyobb
pontosságra van szükség, akkor csak a hozzávet ıleges eredmény
/el ızetes vagy utólagos/ kiszámítására használhatják fe l a
logarlécet. Döntsenek a tanulók önállóan az olyan kérdésekben, hogy
elég-e
- 93 -
a logarléc adta pontosság, reális-e ennél nagyobb p ontosság
/tekintetbe véve a kiinduló adatok hibáját/, vagy e setleg még a
logarlécr ıl leolvasott értéket is kerekíteni kell, hogy reáli s
pontosságú eredményt kapjanak; ha el is lehet érni egy bizonyos
pontosságot, szükség van-e erre stb.
Ha a logarléc adta pontosságnál nagyobb pontosság e lérhet ı és
szükséges is, akkor általában az írásbeli számolás szokott
eljárásaihoz kell folyamodniuk. Számológépekkel isk oláink egyel ıre
nincsenek ellátva. Bizonyos, hogy erre is sor kerül majd, ha nem is
a következ ı években. Ez csak anyagi kérdés. Egyes külföldi
iskolákban bevált egy zajtalanul m őköd ı, kézben tartható kis
mechanikus számológép-típus /vö. 33.oldal/. Talán n em irreális az
elképzelés, hogy a hetvenes években a mi iskoláinkb an is fokozatosan
kezd tért hódítani valami hasonló eszköz. Egyel ıre törekedjünk arra,
ami már ma is megvalósítható: hogy a logarléc és a vele való
számolni tudás minél általánosabbá váljon iskoláink ban.
- 94 -
4. NEGATÍV SZÁMOK
Áttekintés
"A minusszor mínusznál aztán végképp elvesztettem a fonalat".
Iskolázott emberek nem egyszer így emlékeznek vissz a matematikai
tanulmányaikra. A negatív számok, valahol a "bet őszámokkal" egy
kategóriában, már túlesnek számukra a valóság birod almán. Hozzájárul
a negatív számokkal kapcsolatos nehézségekhez az "a lgebrához"
kapcsolásuk, és az, hogy rendszerint a szükségesnél sokkal rövidebb
id ı telik el az els ı megismerkedést ıl az olyan kérdések
tisztázásáig, mint a "minusszor mínusz." Ahogyan ha mis az az
alternatíva, hogy melyiket "tanítsuk meg" el ıbb, a közönséges
törteket vagy a tizedes törteket, /mert nemcsak ez a két eset van/
ugyanúgy hamis az is, hogy a törtszámokkal végezzün k-e el ıbb és
azután kerítsünk sort a negatív számokra vagy esetl eg fordítva. A
logikai sorrend persze inkább a fordított /a negatív számo k
bevezetésére az az igény vezet, hogy az összeadásna k mindig
értelmezve legyen az inverze, a tört számokhoz a sz orzás
megfordításából jutunk/, a didaktikai sorrend szempontjából azonban
ez nem mérvadó. Az els ı megismerkedésre és az egyszer őbb mőveletekre
esetleg mindkét számfajtával kapcsolatban el ıbb kerülhet sor,
miel ıtt még a nehezebb m őveletekr ıl /szorzás és osztás törttel, ill.
negatív számmal/ bármelyikkel kapcsolatban is szó l enne. Az
azonosságok érvényben maradását valószín őleg csak akkor lehet
teljesen tisztázni, ha a diákokat már sikerült a de duktív
gondolkozás egy bizonyos fokára eljuttatni. Sajnos, a jelenlegi
tanterv nem irányoz el ı folyamatos el ıkészít ı munkát a negatív
számok tanításában. A 8. osztályra, az algebratanít ás elejére teszi
a negatív számokkal való megismerkedést és az év
- 95 -
els ı öt hetében a tanárnak végeznie is kell ezzel a tém ával. A tanár
mit tegyen, végez is vele, csak a diákok nem. Nem c soda ha a félig
megemésztett ismereteket a tovább tanulókkal a közé piskolák els ı
osztályaiban tanító tanároknak újból át kell venniü k, és mivel
rendszerint mások a tanárok és sokfel ıl jöttek a diákok, általában
nem lehet szó semmiféle továbbépítésr ıl, az addigi töredékismeretek
nagyrészt kárba vesznek. /Ez nem csupán a negatív s zámok tanítására
érvényes, de arra jellegzetesen vonatkozik./
Megint ugyanazt tanácsolhatjuk, amit sok más tárgyk örrel
kapcsolatban: ha a tanár megteheti, kezdje el az el ıkészítést
idejekorán. Ha el tudja érni, hogy hossza id ın át - négy évig,
esetleg még tovább - tanítson egy osztályt /pedagóg iai szempontból
ez sokkal helyesebb, mint specializálódni bizonyos osztályokra!/,
akkor ennek nem lehet akadálya, helyi engedély alap ján megoldható.
Ha nincs erre mód, például azért, mert 8.-ban vagy középiskolában
vesz át valaki egy osztályt, akkor bizony szükségme goldásokhoz kell
folyamodnia: Az ismeretszerzés útja akkor is a tapa sztalatgy őjtést ıl
vezet a fokozatos absztrakció és alkalmazások felé, de az út
végigjárása ekkor már sokkal-nehezebb. A szükségmeg oldást is lehet
jól és rosszul végezni; a tanterv nem minden, sokka l többet nyom a
latban az, hogy a tanterv keretein belül /vagy kívü l/ a tanár milyen
munkát végez, és ha rossz munkát végez, ne takaródd zon küls ı
körülményekkel. Viszont az sem jó, ha a tanár belet ör ıdik egy olyan
helyzetbe, s ıt esetleg szükségképpeninek, törvényszer őnek is
tekinti, amely pedig csak átmeneti lehet.
A negatív számok fogalmához és a velük végzett m őveletekhez
kétféleképpen juthatunk el - akárcsak a törtszámok fogalmához és
mőveleteihez is - egyrészt a reális világban megfigye lt jelenségek
leírásához találunk bennük alkalmas modellt, másrés zt segítségünkre
lehet a bels ı struktúra, szépség, harmónia keresése is. Teljes k épet
csak a kett ı együtt adhat. A kétféle megközelítési mód
egybefonódhat, adhatunk olyan feladatokat is, amely ekben
mindkett ınek az elemei megtalálhatók.
- 96 -
A negatív számok modelljei
Racionális számok összeadása, kivonása
A természetes számokkal és a törtszámokkal kapcsola tban is szó
volt már a számegyenes fontosságáról. Szinte szugge rálja a
számegyenes szemlélete azt, hogy a nullán "túl" is vannak számok. A
számegyenes fizikai modelljei is segítenek ebben. A z utak általában
nem zsákutcák, két irányban lehet haladni rajtuk; a z id ıt mindkét
irányban végtelennek gondoljuk.
Kár, hogy a szokásos id ımértékek nem felelnek meg a
számegyenes-szemléletnek. Id ıszámításunknak nincs 0-adik éve, ezért
pl. az i.e. 3. és az i.sz. 2. év eleje /vagy közepe , vagy vége/
között nem 5 év a
különbség, csak 4 /lásd
az ábrát/. Az éjfél vagy
a Szilveszter éjjel
el ıtti és utáni egyenl ı
id ıpontok szokásos
megjelölése egészen más.
A tengerszintt ıl számított magasság /vagy mélység/, a
földrajzi szélesség és hosszúság, a h ımérséklet - ezek olyan
mennyiségek, amelynek a szokásos megjelölése megfel el a pozitív és
negatív számok struktúrájának. Ezeknél viszont a ké tirányú
végtelenség hiányzik ahhoz, hogy a strukturális meg felelés teljes
legyen.
Tökéletlenségeik ellenére is hasznát vehetjük minde zeknek a
modelleknek. Az id ı-modellel kapcsolatos nehézségeket például úgy
hidalhatjuk át, hogy most , 3 órával ezel ıtt és 3 óra múlva
lejátszódó eseményekr ıl beszélünk. Őrhajók indítása el ıtt is szoktak
pl. így számolni: indításig még 1 perc, ... még 30 mp,... 5, 4, 3,
2, 1, most, /és persze lehet számolni az indítástól számított
másodperceket is/. A tanításban ilyesmit is értékes íteni lehet.
Mindezekkel a modellekkel kapcsolatban felmerül azo nban egy
további nehézség. Lássunk néhány konkrét példát, am ely megvilágítja,
hogy ez miben áll. A h ımérsékletet választjuk példának, de más
fizikai modellekkel kapcsolatban is hasonlók a prob lémák.
- 97 -
16/a. ábra
Megfigyeléseket valóságos h ımérın is végezhetnek tanulók,
elképzelés és rajzok alapján is dolgozhatnak, de jó ha van
mindegyiknek a keze ügyében egy maga készítette "h ımérı" /lásd az
ábrát/ körbefutó szalaggal, amelynek a betintázott része a
higanyoszlopot, fehéren maradt része az üres üvegsz álat jelenti.
Ezen minden tanuló beállíthat és leolvashat h ımérsékleteket és
hımérsékletváltozásokat. A h ımérımodellel kapcsolatban könnyen
kiterjeszthetjük a "kisebb" és "nagyobb" fogalmát n egatív számokra.
A gyerekek azt hiszik, hogy -12 nagyobb mint -3, hi szen 12 nagyobb
mint 3. A "magasabb h ımérséklet" és "alacsonyabb h ımérséklet"
fogalma hozzásegíti ıket ahhoz, hogy a matematikában elfogadott
megállapodást tartsák természetesnek. Eddig nincs i s lényeges
nehézség, csak a m őveletekkel kezd ıdik.
Az összeadásra olyan feladatokat
adhatunk, mint pl.: "A h ımérséklet -3 o
volt, 8 o-kal emelkedett, mennyi
most?", a kivonásra ilyeneket: " +5 o
volt, 5 o-kal csökkent, mennyi most?"
és ilyeneket is: "Mennyit változott a
hımérséklet, ha reggel –2 o volt,
délben +2 o? ha reggel +6 o volt, délben
–1o?"
Mindezekben a feladatokban
észrevehetünk egy zavaró aszimmetriát,
ami eltakar el ılünk egy szép, egyszer ő
struktúrát. Az els ı két feladatban
hımérséklethez adtunk
hımérsékletváltozást /a második példát
kivonásnak is értelmezhetjük, de ebb ıl
a szempontból ez közömbös/ az eredmény
megint h ımérséklet . A másik kett ıben
hımérsékletek különbségét kerestük, az
eredmény h ımérsékletváltozás .
A három adat közül az egyik mindig más jelleg ő, mint a többi. A
hımérsékleteket a skála egy pontjával tudjuk jellemez ni, a
változásokat azonban er ıltetett dolog volna úgy kifejezni, hogy
rámutatunk pl. a skála -7 pontjára és azt mondjuk: ennyi a változás
az utolsó esetben.
- 98 -
17. ábra
Ez az aszimmetria elburkol egy lényeges gondolatot, a negatív
szám definícióját, azt, hogy minden pozitív számhoz hozzá van
rendelve az ellentettje, egy olyan szám, amelynek é s az eredeti
számnak az összege 0. A h ımérı skáláján +3 o és –3 o a 0 o-ra
szimmetrikusak, de nem tudjuk az összegüket képezni , ha pedig a +3 o-
ot 3 o-kal csökkentjük, 0 o-ot kapunk ugyan, de nem látszik a
szimmetria, mert az egyik tag h ımérséklet, a másik változás.
Szimmetrikus szituációhoz jutunk, ha nem tör ıdünk a
hımérséklet mindenkori értékével, csak a változásokka l . "3 o-os
növekedés és 3 o-os csökkenés együtt mit ad?" "2 o-os csökkenés után
milyen változás történt, ha végeredményben 10 o-kal n ıtt a
hımérséklet?" stb. A kivonás itt mindig az összeg hiá nyzó tagjának
keresése, megsz őnik a régr ıl ismert többarcúsága /elvétel, pótlás,
különbség keresése stb./, csak az az arca marad meg , ami a
legfontosabb, hogy az összeadás inverze.
A csak változásokkal kapcsolatos példák el ınye az, hogy
nincsenek kötve meghatározott mennyiségekhez /pl. h ımérséklet, id ı/.
Negatív tömeg a tanulók tapasztalata szerint nincs /negatív súlyra
példa lehet a léggömb/, -5 literes edényr ıl sem beszélhetünk, de a
tömeg- és őrtartalom változás példákat ad negatív számokra is.
Ugyanez érvényes bármilyen más mennyiségre.
Ha mennyiségek és változások helyett csak változáso kkal
dolgozunk, megnyerjük a szimmetriát, de veszítünk a
szemléletességb ıl. A számegyeneshez illeszked ı szabad vektorok,
amelyeket nyilakkal ábrázolhatunk, vagy akár hurkap álcákkal is
realizálhatunk, biztosíthatják a szemléleti tartalm at azok számára,
akiknek erre szükségük van. /Különböz ı hosszúságúra vághatják a
tanulók a hurkapálcákat, megjelölhetik rajtuk a cen timéter
beosztást. A pálcák egyik végét például kihegyezéss el
különböztethetik meg a másiktól./
A füzetbe rajzolt nyilak és a kirakott hurkapálcák csak
kisegít ı eszközök, alá vannak rendelve a változás gondolatá nak,
önmagukban nem elég kifejez ı modellek. Két egyenl ı hosszú, de
ellenkez ı irányú nyíl vagy hurkapálca nem "semmisíti meg" eg ymást,
csak azok a változások semmisítik meg egymást, amel yet ezek
szimbolizálnak. Kifejez ıbb modell az, amit következ ı ábránk mutat /
18. ábra/. Színes keménypapír- lapocskákból kivágun k köröket,
körcikkeket /az utóbbiakat a törtszámok szemlélteté sére/. Amiket
kivágunk, azok a pozitív mennyiségeket szemléltetik ; ami
- 99 -
18. ábra
megmarad, az a negatívokat. Ha a kivágott kört viss zaillesztjük a
helyére, a színes és a /fehér alapon/ fehér kör "me gsemmisítik
egymást". Valójában persze nem semmisítik meg, csak kiegészítik
téglalappá, de mint körlapok mégis megsz őnnek. Körök helyett más
idomok, emberalakok, őrhajók is szerepelhetnek. Ha azonban
szimbólumnak használjuk ezeket a modelleket, akkor természetesen
ennél hozzánk közelebb álló mennyiségeket is szimbo lizálhatunk
velük: pozitív és negatív elektromos töltést, vagy még közelebb
állókat: vagyont és adósságot.
Vannak más didaktikai eljárások is ennek a gondolat nak a
megértésére. Minden tanuló készíthet játékpénzeket és "kifizetetlen
számlákat", s az egyenl ı összeg ő pénzdarab és számla szimbolikusan,
ha nem is valóságosan, "megsemmisítik" egymást. x
Az utóbbi realizálási módok el ınye az, hogy játékos
tevékenység útján, a szimmetria fenntartásával, a v áltozások
absztrakt gondolatának felhasználása nélkül is elve zetik a tanulókat
a különféle el ıjel ő számok összeadásának és kivonásának a
fogalmához. Mindkét esetben egy szám hozzáadását eg y másikhoz
valóságos hozzátétellel, kivonást valóságos elvétel lel lehet
elvégezni. Az elvételt mindig lehet ıvé tehetjük, ha el ıbb elég sok
nullát /helyére visszatett kört, pénzt és ugyanakko ra összeg ő
számlát/ teszünk hozzá ahhoz a halomhoz, amelyb ıl el akarunk venni.
A gyerekek megértik, hogy ezzel a halom "értéke" ne m változik.
Változatokat ismertettünk egy témára, arra, hogy a racionális
számok körében végzett összeadással és vonással hog yan
ismerkedhetnek meg a tanulók konkrét mennyiségek, m odellek fel-
________________ x Lásd Péter Róza /1948/, 23. old.
- 100 -
használásával. xx Vannak köztük jobb és rosszabb, adott esetben
alkalmasabb vagy kevésbé alkalmas változatok. Ha az t akarjuk, hogy a
tanulók igazán absztrakt , vagyis sok konkrét helyzetben alkalmazható
fogalmakhoz jussanak, akkor sok különféle modell út ján kell
elvezetnünk ıket ugyanahhoz az absztrakt struktúrához; némelyikk el a
kezükön és szemükön át, másokkal elég, ha csak képz eletben
ismerkednek meg. De bármelyiket vagy bármelyeket al kalmazunk is,
csupán a tanulók - minden egyes tanuló, nemcsak egy esek - aktív
tevékenységét ıl várhatjuk azt, hogy az itt szerepl ı fogalmak
kialakulására vezetnek, puszta magyarázattól vagy s zemléltetést ıl
nem. Egy-egy jó ötlet a tanulók aktivizálására, és az ötlet ügyes
kivitelezése, nagyon megkönnyíti az utat az absztra kt gondolatokhoz.
Vannak például tanárok, akik a számegyenes menti el mozdulásokat
/szabad vektorokat/ a számegyenesen való sétákkal t eszik
élményszer ővé. Az ajtó felé fordulva megtett lépések pozitív s zámok
hozzáadását és kivonását mutatják. Néhány tanulót m egsétáltat a
tanár, a többi csak a füzetében, az ujjaival vagy a tollával végzi a
sétákat, de mindegyikük feladatokat kap, amelyeket ilyen módon meg
tudnak oldani. Persze ha enélkül is megoldják, anná l jobb! Az
aktivizálás nem azt jelenti, hogy az osztály egy ór át végigsétál
________________ xx A pozitív és negatív, egész és tört számok valamin t a 0
együtt az, összes racionális számok . A tantervben is így szerepel a
negatív számok bevezetése után létrejött számkör. E nnek az
elnevezésnek az a hátránya, hogy nem azt fejezi ki, amit a tanulók
számára ez a számkörb ıvítés jelent, ti. hogy most már negatív
számokkal is számolnak, hanem egy számukra egyel ıre ismeretlen
ellentétpárnak /racionális - irracionális/ az egyik tagjára utal.
/Az a közlés, hogy a irracionális szám, nem sokat m ond nekik. /A
tanulók szempontjából természetesebbek a régebben h asznált "el ıjeles
számok" vagy "viszonyított számok" elnevezések. Ez ekkel viszont más
baj van; azt a hitet ébresztik, mintha pl. az el ıjeles +3 és az
el ıjel nélküli 3 közt különbséget tennénk. Tudományosa n nem is
helytelen az a különbségtétel: új számok bevezetése kor mindig úgy
képzelhetjük, hogy a régebben ismert számok összess ége nem
részhalmaza ez új számhalmaznak, csak izomorf egy r észhalmazával.
Ezt a nehéz, gondolatot azonban az iskolában inkább elkerüljük és
minden számkörb ıvítést halmazb ıvítésnek tekintünk. Ezért az említett
nehézség ellenére is inkább használjuk a "racionáli s számok"
elnevezést, számolva azzal, hogy kés ıbb majd megértik, mennyiben
jelentenek ezek speciális számokat.
- 101 -
a padok el ıtt. A cél els ısorban az agyuk megmozgatása; a kezüké és a
lábuké csak annyiban, amennyiben ezt segíti, nem pe dig hátráltatja.
Út a m őveletekhez a szabályosság keresésén át
Törtek szorzásival kapcsolatban láttunk egy feladat lapot / 71.
oldal/, amely elvezeti a tanulókat a törtek szorzás i szabályának
felfedezéséhez arra a hallgatólagos feltevésre épít ve, hogy a
szorzat ugyanolyan törvények szerint változik, ha a tényez ıi
változnak, akár természetes számok ezek a tényez ık, akár törtszámok.
Hasonló gondolat alapján vezeti el a tanulókat az i tt
következ ı feladatlap x annak a felfedezésére, mit érdemes az egész
számok összeadásán és kivonásán érteni, ha nem akar juk felborítani
azt a szép szabályosságot, amit eddig a m őveletekben tapasztaltunk.
A feladatlapon látható els ı táblázat az egymegegy-tábla
kiterjesztése a negatív tagok irányában. A tanulók el ıször csak a
jobb fels ı negyedét töltik ki, amelyet már eddigi ismereteik alapján
is kitölthetnek. Mellette egy segédtáblázat látható , amelyben a
számok mindenütt 8-cal nagyobbak. A tanulók látják a táblázatban a
szabályosságot, és igyekeznek kiterjeszteni. Ez vez eti el ıket a
segédtáblázat kitöltése után az eredeti táblázat hi ányzó
háromnegyedének helyes kitöltéséhez.
Az összeadótáblával kivonni is tudnak már; tudják, hogy az
ismeretlen tag keresése kivonást jelent. Ez segíti ıket a középs ı
/három soros/ táblázat kitöltésében.
A felcserélési tulajdonság, továbbá az összeadás és kivonás
kapcsolata /ami nem egyéb, mint a kivonás el ıbb is említett
értelmezése/ rávezeti ıket a még hátralév ı feladatok megoldására.
Mindezeknek az összeadásoknak és kivonásoknak a reá lis
világgal való kapcsolatát ezen a feladatlapon csak a legfelül
található számegyenes biztosítja. Ezen "sétálva" el len ırzik közben,
mit is jelent egy pozitív vagy egy negatív azám hoz záadása egy másik
számhoz, és mit jelent ezeknek a m őveleteknek a visszacsinálása,
vagyis a megfelel ı kivonás.
________________ x Wirtz - Botel - Sawyer /1962/, D füzet, 76. oldal.
- 102 -
Ha 3 + 5 = 8, akkor 5 + = 8 és 8 - = 5 és 8 - =
Ha _2 + 3 , akkor + = és - = és - =
Ha _1 + _4 , akkor + = és - = és - =
Ha 6 + _8 , akkor + = és - = és - =
Ha _3 + _2 , akkor + = és - = és - =
Ha _5 + 7 = , akkor + = és - = és - =
/Figyeljük meg itt a mínusz el ıjel és a kivonásjel
megkülönböztetését. Vö. 109. oldal./
- 103 -
Hasonló ötlettel a szorzáshoz /és megfordítás útján az osztáshoz is/
el lehet jutni. A két táblázat és a hozzájuk tartoz ó utasítás
például a következ ı lehet:
Vegyük észre a lényeges különbséget eközt és az el ızı
feladatlap közt. Ott a jobboldalon is összeadótábla volt - amit a
tanulók valószín őleg észrevesznek és felhasználnak, bár a
szabályosság keresése anélkül is útbaigazítja ıket-, itt azonban a
jobboldalon nem szorzótáblát látunk. A szabályosság , amit
megfigyelnek a tanulók, az, hogy minden sor és mind en oszlop
számtani sort alkot. /Nem ismerik ezt a fogalmat - negyedik
osztályos tanulóknak készült ez a feladatlap! - de látják a
szabályosságot./
Ezt a feladatlapot is lehet folytatni az összeadási feladatlap
szellemében.
Talán felesleges mondani, hogy a szabályosság keres ése
bármilyen fontos támaszpontokat és indítékokat ad i s, nem
biztosíthatja azt, hogy a m őveleteknek legyen értelme a tanulók
számára, hogy megértsék a kapcsolatokat a valóságga l, és alkalmazni
is tudják a valóságra.
- 104 -
Itt mindenütt 9-cel nagyobb
számok legyenek, mint ott.
Töltsd ki el ıször csak a szorzótábla vastagon bekeretezett részét!
Ha a bekeretezett részt
kitöltötted, terjeszd ki a
szabályosságot a kereten
kivr őlre is. Azután töltsd ki a
baloldalon is a kereten kívüli
részt.
Szorzás és osztás a valóságra vonatkoztatva
A negatív szám kapcsolatát a valósággal egészen dur ván ezzel a
szóval lehet visszaadni: "fordítva". Kisgyerekek is megértik és
tudják játszani a mínusz-játékot, amelyek egyetlen szabálya: Ha azt
mondom, "mínusz", csináljátok fordítva, mint ahogy különben
csinálnátok.
a/ "Osszátok két halomra az el ıttetek lév ı pálcikákat. A
baloldaliból tegyetek át mínusz négyet a jobboldali ba."
b/ "A baloldaliból tegyetek át mínusz négyet a jobboldaliba."
c/ "Csökkentsétek a jobboldali halmot mínusz eggyel ."
d/ "Növeljétek a baloldalit mínusz kett ıvel".
e/ "Tegyetek hozzá az egyik halomhoz el ıbb mínusz kett ıt aztán
mínusz hármat. Mennyit tettetek hozzá?"
f/ "Tegyetek hozzá kett ıt és aztán mínusz ötöt. Mennyit
tettetek hozzá? Mennyit vettetek el?"
g/ "Tegyetek hozzá el ıbb mínusz ötöt, aztán kett ıt. Mennyit
tettetek hozzá?"
h/ "Tegyetek a jobboldalihoz kétszer hármat."
i/ "Tegyetek hozzá kétszer mínusz hármat."
j/ "A baloldaliból egyszer vegyetek el négyet."
k/ Mínusz egyszer vegyetek el bel ıle négyet."
l/ "Vegyetek e1 egyszer mínusz négyet."
m/ "Vegyetek el mínusz egyszer mínusz négyet."
n/ "Tegyetek hozzá egy halomhoz kétszer mínusz kett ıt. Mennyit
tettetek hozzá?" o/ "Tegyetek hozzá egyszer mínusz kett ıt. Mennyit tettetek
hozzá?"
p/ "Tegyetek hozzá nullaszor mínusz kett ıt. Mennyit tettetek
hozzá?"
q/ "Tegyetek hozzá mínusz egyszer mínusz kett ıt. Mennyi
tettetek hozzá?"
r/ "Tegyetek hozzá mínusz kétszer mínusz kett ıt. Mennyit
tettetek hozzá?"
Természetesen m/, q/ és r/ a legnehezebbek, itt két szer kell
valamit fordítva gondolni, a fordítottnak is a ford ítottját kell
gondolni. A fordítottnak a fordítottja az eredeti, a "rendes" ,
- 105 -
ezt kell kihámozni bel ıle, erre pedig a mindennapi életb ıl is vannak
tapasztalataik.
Senki se higgye, hogy ezzel el van intézve a negatí v számok
szorzása. Legfeljebb a halvány körvonalai vannak me g annak, kés ıbb
egyre élesebben rajzolódik ki bennük. De tagadhatat lanul annak a
körvonalai.
Összekapcsolhatjuk a "mínusz-játékot és a kivágott korongokkal
vagy játékpénzzel és számlákkal folytatott játékot / 100. oldal/;
ezzel tartalmasabbá, életszer őbbé tehetjük. Példa:
"Adj nekem mínusz kétszer mínusz öt forintot". /Vag yis végy el
t ılem két darab öt forintos számlát./
Halvány körvonalakat az osztásról is adhatunk, rész ben a
részekre osztás, részben a bennfoglaló osztás gondo latát tartva szem
el ıtt:
"Add ide mínusz tíz forintnak a felét.
"Hányszor tudsz elvenni mínusz tíz forintból mínusz két
forintot úgy, hogy semmi sem marad?" /Ötször: a tíz forintnyi
adósságlevélb ıl ötször egymásután elveszünk két-kétforintnyi
adósságlevelet./
"Hányszor tudsz elvenni mínusz tíz forintból mínusz két
forintot úgy, hogy végeredményben nem marad sem pén zed, sem
adósságod?" /Mínusz ötször. Tudniillik hozzáteszek ötször egymásután
két-két forintot, ez azt jelenti, hogy mínusz ötszö r vettem el két
forintot. Így a tíz forint adósság mellett van tíz forint
készpénzem, vagyis együttvéve sem pénzem nincs, sem adósságom./
A tapasztalatok alapján fokozatosan épülnek ki a go ndolatok.
Ne er ıltessünk egyetlen utat /se ezt, se mást/, és semmik éppen se
törekedjünk gyors általánosításokra. Próbáljuk ráve zetni a
gyerekeket arra, hogy vegyék észre a különféle tapa sztalatok mögött
a közös struktúrát.
Éppen csak megemlítünk még egy gondolatot, amelyet különféle
konkrét mennyiségekkel kapcsolatban fel lehet haszn álni a szorzás és
az osztás célszer ő értelmezésére. Azt akarjuk, hogy bizonyos
számítási módok, képletek, amelyek alkalmazhatók a természetes
számok körében, másféle számok esetében is alkalmaz hatók maradjanak.
Például helyzetünket egy egyenes úton különféle poz itív és negatív
id ıpontokban mindig az s=ct képlettel lehessen kiszámí tani. Mivel
helyzetünket egy úton a gyakorlatban nem szoktuk ne gatív számmal
megadni, természetesebb ennek egy olyan
- 106 -
változata, amelyben a h ımérséklet emelkedését és süllyedését
vizsgáljuk az id ı függvényeként például ki- illetve bekapcsolt
hőt ıszekrény belsejében, feltételezve, hogy a változás egyenletes. x
A negatív id ıpontok itt is idegenszer őek, de mégis el ınyös, hogy
legalább a két összefügg ı mennyiség közül az egyikben mesterkéltség
nélkül fordulnak el ı a negatív számok. Ha ez az els ı és esetleg az
egyetlen példa, amelynek a tanulókban a negatív szá mmal való szorzás
fogalmát ki kell alakítani, akkor természetesen az utána következ ı
általánosítás szükségképpen csak formális és elsiet ett lehet. Ha egy
tanulónak mégis elég ennyi, akkor annak valószín őleg már erre sem
volt szüksége.
A negatív számok és az algebra
A negatív szám fogalma független a bet őjelölést ıl és általában
attól, amit a számtannal szembeállítva algebrának s zoktak nevezni
/Vö. 112. oldal/; nincs hozzá sem több, sem keveseb b köze, mint
például a törtszámoknak. Az egyenleteken, az azonos ságok általános
szimbolikus megfogalmazásán keresztül azonban a neg atív szám fogalma
is új vonásokkal gazdagodik. Egyre inkább kiderül a fogalom célszer ő
volta. Felesleges kerül ıutakat takaríthatunk meg az egyenletek
megoldásában, ha tudjuk, hogy pl. 52-54 év múlva nem értelmetlen
állítás, hanem azt jelenti: -2 év múlva, vagyis 2 é vvel ezel ıtt xx .
Türelmesen hozzá kell szoktatnunk a tanulókat ahhoz a
gondolathoz, hogy a változók általában negatív szám ok helyett is
állhatnak, a mínuszjel pedig az ellentett jele, pl. -c, -x, -2ab
jelentése: c ellentettje, x ellentettje, 2ab ellent ettje, s ezeknek
az értéke lehet pozitív is /ti. ha c, x, illetve 2a b negatív/, 0 is
/ha c, x, illetve a és b közül legalább az egyik 0/ . Könnyebben
megértik ezt, ha eleinte a keret-jelölést alkalmazz uk /lásd 119.
oldal/.
________________ x Lásd Faragó-Varga /1957/ 54-54. oldal. xx Lásd Gallai - Péter /1949/, 94. oldal.
- 107 -
A dolog könnyebbik végét fognánk meg, ha /-a/ /-b/ helyett
azon az alapon írnánk ab -t, hogy "mínusszor mínusz az plusz." A
racionális számok szorzásának el ıjelszabálya érthet ı módon azt
sejteti velünk, hogy /-a/ /-b/ = ab, /-a/b = -ab, a /-b/ = ab, ezek
azonban mindaddig nem egyebek sejtéseknél, amíg val ahogyan meg nem
gyızıdünk arról, hogy az a<0, a=0, a>0 és b<0, b=0, b>0 esetek
minden kombinációjánál teljesülnek. Természetesen e rre az esetre is
érvényes az, hogy értelmetlen dolog a tanuló részér ıl meg nem lev ı
precizitási igényeket kielégíteni, olyan kérdésekre válaszolni,
amiket senki sem tesz fel. Egy kezdett ıl fogva formalista tanítást
nem precízebbé, csak még formalistábbá tennénk, ha a racionális
számok el ıjelszabályának definiálása után tudományoskodva
bebizonyítnánk a változókra vonatkozó el ıjelszabályokat. A diákok
aligha értenék meg, miért kell az el ızı esetben a "bizonyítás" szót
használni, miért nem esetleg fordítva. Ha azonban ú gy irányítjuk a
diákok munkáját, felfedezésr ıl felfedezésre, hogy tiszta fogalmaik
legyenek arról, mit jelentenek a jelek, amiket leír nak, akkor ez a
probléma is természetes módon merül fel és intéz ıdik el.
Ha egyszer ően az analógia alapján írunk /-a/ /-b/ helyett ab -
t, /-a/b helyett -ab-t stb., akkor a tanulók nem ér tik, nem is
érthetik meg, hogy |-x | miért nem "egyenl ı" x-szel. Különösen akkor
okoz ez nehézséget, ha az abszolút érték fogalmát f ormalista módon
tanulták, "az el ıjel elhagyásával kapott szám"-ot jelenti nekik egy
szám abszolút értéke. Aki tudja, hogy pozitív szám és 0 abszolút
értéke saját maga, negatív számé az ellentettje, /n em az el ıjel
megléte vagy nem léte számít, pl. |3| = +3 is igaz , hiszen mindegy,
hogy a pluszjel ott van-e vagy nem/, s az könnyebb en megérti, hogy
|-x | csak x nemnegatív értékeinél egyenl ı x-szel, x negatív
értékeinél -x-szel egyenl ı, hiszen ez jelenti az x-szel ellentett
/tehát negatív x esetén pozitív / számot. Az y = |x | függvény
ábrázolása lényegesen hozzájárulhat ennek a - forma lista észjárás
számára nehezen érthet ı - gondolatnak a megértéséhez: a grafikon
részben az y = -x, részben az y = x függvény grafik onjával esik
egybe, x értékét ıl függ ıen.
- 108 -
Összevonás
Egy igen elterjedt téves elképzelésr ıl kell meg beszélni,
amely szerint a negatív számok bevezetése után "az összeadás és a
kivonás egyetlen m őveletté olvad egybe; ez a mindkét m őveletet
magába foglaló egyetlen m ővelet az összevonás".
A valóság az, hogy az összeadás és a kivonás a raci onális
számok körében is két különböz ı mővelet. Két racionális szám
összeadásakor abszolút értéküket vagy összeadjuk, v agy kivonjuk,
aszerint, hogy egyez ı vagy ellenkez ı az el ıjelük; kivonás esetében
fordítva. Egyetlen m őveletté válásról tehát nem lehet szó, inkább
valamiféle "összekeveredésr ıl" beszélhetünk: mindkét m őveletben
mindkét "régi" m ővelet elemei megtalálhatók. Ugyanígy találhatók meg
a tört számok szorzásában a természetes számok szor zásának és
osztásának elemei, az osztásukban szintén. /Különös en felt őnı ez
közönséges tört alakban./ Mégsem mondhatjuk, hogy a tört számok
bevezetése után megsz őnik a külön szorzás és osztás, és nem találunk
ki új elnevezést az "egybeolvadás" útján létre jöv ı mőveletre.
Az egybeolvadásra vonatkozó tévhitnek talán egy jel ölésbeli
egyszer ősítés a magyarázata. Miután kiderül, hogy egy szám kivonása
egy másik számból és ellentettjének hozzáadása a má sik számhoz
ugyanazt az eredményt adják, a kivonásokat összeadá sokká
alakíthatjuk, pl.
/-4/ - /+2/ = /-4/ + /-2/ /-7/ - /-3/ = /-7/ + /+3/
Az összeadás jelét most már félreértés veszélye nél kül el is
hagyhatjuk:
-4 -2 -7 + 3
Ezeket a kifejezéseket most az egyenl ıségjelekt ıl jobbra es ı
összegek rövid leírásának tekinthetjük. De ha ilyen kifejezéseket
látunk, eszünkbe jut, hogy ezek az egyenl ıségjelekt ıl balra es ı
kifejezésekb ıl is eredhettek. Különösen -4-2 tekinthet ı, minden
átalakítás nélkül, különbségnek is /-4 és 2 különbs égének, nemcsak
összegnek /-4. és -2 összegének/. Ez persze játék a jelölésmód
kétértelm őségével; aki már tudja és érti, hogy veszélytelen, annak a
számára hasznos is lehet ez a játék. Mindenesetre
- 109 -
vigyázzunk, hogy a jelekkel való játék el ne burkol ja a mögötte lev ı
tartalmat. Ha a jelek kétértelm ő használata miatt egy és ugyanaz a
kifejezés összegnek és különbségnek is tekinthet ı, ez még nem
jelenti azt, hogy nincs többé külön összeadás és ki vonás! Ha az
"összevonás" szó használatával ezt akarjuk kifejezn i, akkor
használata helytelen. Használhatjuk azonban az "öss zevonás" szót
olyasféle értelemben, mint a törtekkel kapcsolatban az
"egyszer ősítés" szót /olyan átalakítás, amely egy kifejezést adott
módon egyszer őbb alakra hoz/. Ilyen értelemben mondhatjuk például ,
hogy a
-2ab + 7a + 2ab - 3a
kifejezésb ıl összevonással a
4a
kifejezést kapjuk. /Ebben az azonos átalakításban t öbbek között a
disztributivitást is alkalmaztuk: 7a - 3a ≅ /7 - 3/a ≅ 4a./ Ilyen
értelemben nem hibáztatható az "összevonás" szó.
- 110 -
5. AZ ALGEBRA KEZDETE
"Számtan" és "algebra "
Az idéz ıjelek arra utalnak, hogy külön számtanról és
algebráról - olyan értelemben, ahogy ezeket a szava kat az iskolában
használják - nem beszélhetünk. A ma szokásos megkül önböztetésre
jellemz ı ez az /egyik - különben sok értékes gondolatot tar talmazó -
általános iskolai tankönyvünkb ıl x vett/ idézet:
"a + b = b + a
Az összeadás felcserélési tulajdonsága az algebrába n is érvényes".
Eszerint volna külön számtan, ahol számokkal végzün k
mőveleteket, és azt tapasztaljuk, hogy ezek körében a z összeadás
kommutatív. Volna külön algebra, ahol viszont bet őkkel /vagy
bet őkkel is/ számolunk, s az összeadás ezek körében is kommutatív.
Régebben még az is el ıfordult, hogy a változóként használt bet őket
"általános számoknak", s ıt - nem tör ıdve azzal, hogy ennek a szónak
a matematikában egészen más értelme van - "algebrai számoknak"
nevezték. Ez a szóhasználat olyan elképzelést takar , hogy az egész
és tört, pozitív és negatív stb. számokon kívül "ál talános",
"algebrai" számok is vannak, az el ıbbiekhez hasonló
tulajdonságokkal.
Valójában "a + b = b + a" nem fejez ki az általános iskolások
számára semmiféle új objektumokra vonatkozó állítás t; egyetlen
mondanivalója az, hogy a számokra vonatkozó felcserélési tu-
________________ x Kelemenné - Mosonyi - Stéger /1959/.
- 111 -
lajdonság minden esetben érvényes /abban a számkörben, amelyr ıl szó
van, az azonosság értelmezési tartományában./. x
A "számtan" és az "algebra" közötti hagyományos fel osztás
nagyjából a következ ı volt:
"Számtan"
"Algebra"
Számfajták
természetes számok tört számok /különféle jelekkel/
negatív számok irracionális számok stb.
mőveletek
összeadás - kivonás
szorzás - osztás
hatványozás gyökvonás logaritmálás
jelölésmódok
=jele "az" értelemben
= mint egyenl ıség, egyenlet, azonosság jele; <, ≤, >, ≥ stb.; zárójelek a m őveletek sorrendjének jelölésére.
feladattípusok
egyenes és fordított arányossági feladatok /hármasszabállyal és aránypárral/, arányos osztás stb.
azonos átalakítások /"m őveletek bet őkifejezésekkel"/, egyenletmegoldások, számtani és mértani sorra vonatkozó feladatok stb.
Az elmúlt évtizedekben - bár a különválasztás megma radt -
egyes addig algebrainak tekintett fogalmak és jelöl ésmódok /pl.
________________ x Mellékesen megjegyezzük, hogy "a+b = b+a" így magá ban nem
alkalmas egy azonosság kimondására. Ez csupán egy k étismeretlenes
egyenlet, amelyr ıl ugyan látjuk , hogy a és b minden értékére
teljesül, de ez a felírásmód ezt nem állítja róla. Legalábbis nem
célszer ő, hogy a bet ő megválasztása ilyen mondanivalót hordozzon,
mert ezzel korlátoznánk az egyenletben alkalmazható bet ők körét, ami
pedig - többek között a fizika miatt - nehézségeket okozna. Jobb
tehát valamilyen módon kifejezésre juttatni, hogy a zonosságról van
szó: "a és b minden értékére a +b = b +a", vagy kvantorokkal
rövidítve: " a b (a+b = b+a) ” , amit kevésbé szabványosan, de igen
elterjedt gyakorlat szerint így is le lehet írni: " a,b: a+b =
b+a”. Még kevésbé szabványos, de még rövidebb kifej ezésmód ugyanerre
a megállapításra: "a+b = b+a"; a kvantorokat itt a harmadik vonás
fejezi ki.
- 112 -
a hatvány fogalma/ a számtanba kerültek. A tanulók ma már a
számtanban kezdenek példákat látni arra, hogy az = jel nem az "az"
jele, hanem egyenl ıségjel; ilyeneket, mint 3 + 7 = 7 + 3, /250 +
25/. 4 = 250 4 + 25.4. Ezek révén az azonos átalakí tás gondolata is
kezd behatolni a számtani anyagba. Az egyenletek eg yszer őbb
fajtáival - ilyenekkel, mint 5 + � = 8, 180 : x = 45 - már az alsó
tagozaton kezdenek megismerkedni, és ott kezdenek e l zárójeleket is
alkalmazni m őveletek sorrendjének kijelölésére.
Az el ıbb vázolt merev szétválasztást már régebben is megt örte
pl. az, hogy egy speciális egyenletfajtáról, az ará nypárról, a
számtanban tanultak. /Csak éppen az maradt tisztáza tlan, hogy ez is
egyenlet. Ehelyett külön szabályokat tanultak a meg oldására./
Nyilvánvaló a változás iránya: a számtan és algebra közt
mesterkélten megvont határ egyre inkább elmosódik. Lehet, hogy a
"számtan" szó kés ıbb más értelmet kap, és a mostani esetleges
szétválasztás helyett valamilyen értelmes szempont szerinti
megkülönböztetést fog kifejezni. Például a számtan körébe
sorolhatjuk a /tízes vagy egyéb/ számrendszerben va ló felírástól
függ ı tényeket és eljárásokat, az algebra körébe az ett ıl
függetleneket. Egy ilyen megkülönböztetés jogos és célszer ő lehet,
ha nem jár együtt avval, hogy az így megkülönböztet ett tényeket és
eljárásokat a tanításban is különválasztjuk .
Elvileg határt lehet vonni számtan és algebra közöt t az
absztrakció foka szerint is. Ezt fejezi ki durván, aki azt mondja,
hogy "a számtanban számokkal, az algebrában bet őkkel számolunk". Ez
a határvonal egyáltalán nem éles. Figyeljük meg pél dául a következ ı
feladatokat: 3 . 2 = ...; 3 . 2 = � , 3 . � = 6; 3 . ? = 6; 3 . x =
6; 3x = 6; 23 . � = 851; 23x = 851; 3x - 1 = 14; 3x + 10 = 7x .
Melyeket sorolnánk közülük a számtanba, melyeket az algebrába? A
bet őhasználat semmiképpen sem dönt ı az absztrakció szempontjából. A
legnagyobb min ıségi ugrás tálán 3x = 6 és 23 . � = 851 között van.
Kis számoknál ugyanis ki találjuk, hogy mikor telje sül az egyenlet,
nagyobb számok esetén viszont a m őveletek közti kapcsolat alapján
okoskodunk, pl. azt használjuk ki, hogy 23 . � = 851 ⇔ � = 851: 23.
De hol kezd egy szám ebb ıl a szempontból "nagy" lenni?
Látjuk, hogy éles határ elvileg is nehezen hozható az
absztrakció foka alapján "számtan" és "algebra" köz ött. Olyan-
- 113 -
féle megkülönböztetés ez, mintha a számtannak a kon krét
mennyiségekkel foglalkozó részét /pl. 3 ujj + 1 ujj = 4 ujj/ el
akarnánk határolni attól a részét ıl, amelyben a mennyiségekt ıl
absztrahálva már pusztán számokat használunk ,3 + 1 = 4/, vagy az
adott /pl. 2 cm, 3 cm, 4 cm oldalú/ háromszögekkel foglalkozó
"mértantól" el akarnánk határolni a tetsz ıleges háromszögekre
összefüggéseket megállapító geometriát". Ilyenféle határokat nem
szokás vonni. A "számtan" és az algebra" között azo nban nem csupán
elvben szokás /nagyjából az absztrakció foka szerint/ hat árt vonni -
ez, ha nehezen sikerül is, nem volna baj - hanem a pedagógiai,
gyakorlatban is van egy bizonyos szétválasztás. Pedig az
absztrahálás alapfeltétele éppen az, hogy a konkrét és az absztrakt
ne legyen szétválasztva /ahogy a „konkrét mennyiség ek tana" sincs a
számtantól/. A konkrétabb és absztraktabb közötti á llandó ide-oda
mozgás, kapcsolatteremtés érleli meg az absztrakció t. Ez történik
akkor, amikor a pedagógus váltogatva ad - mint látt uk, már az
általános iskola els ı osztályától kezdve - egymáshoz kapcsolódó
numerikus és szöveges feladatokat, leíratja a szöve ges feladatok
numerikus tartalmát m őveletekkel, szöveget készíttet numerikus
feladatokra stb. Ez történik akkor is, amikor a szö veges feladatok
egyenlet nélküli megoldásáról áttérünk az egyenlett el való
megoldásra /lásd például a következ ı óraleírást/, vagy megfordítva,
egy feladat egyenlettel való megoldása után keresün k egy egyszer őbb,
egyenlet nélküli megoldást, vagy amikor egy egyenle thez szöveget
keresünk. Ezt tesszük akkor is, amikor célszer ő számolásmódok
alapján eljutunk bizonyos azonosságok felismerésére / 30.,36.,41.
old./ és megfordítva, azonosságokat numerikus számo lásra
alkalmazunk. Amilyen mértékben biztosítjuk a konkré t és az absztrakt
szerves kapcsolatát, az absztraktnak a konkrétból v aló kibontását,
olyan mértékben válik értelmetlenné és tarthatatlan ná a számtan és
az algebra különválasztása. Nem olyan probléma ez, ami egy egyszer ő
tantervváltozással megoldható volna. A pedagógiai g yakorlatnak kell
el ıl járnia, kitaposnia az utat, hogy aztán a tanterv, a módszertani
irodalom és a tankönyvek fokozatosan átvegyék és ál talánossá tegyék
az elért eredményeket. Tanulmányozzuk az újabb tant erveket,
tankönyveket, módszertani közleményeket, megállapít hatjuk bel ılük,
hogy csak az utóbbi évtizedben is milyen sok minden történt ezen a
téren. Még több azonban a tennivaló.
- 114 -
Átmenet a "számtanból" az "algebrába"
Egy hetedik osztályos számtanórán err ıl a feladatról volt szó:
"Egy diák 3 füzetet és 4 ceruzát vett 10 Ft-ért. Eg y másik 4 füzetet
és 2 ceruzát vett, ugyanolyanokat, 8 Ft-ért. Mennyi be került egy
füzet, mennyibe egy ceruza?" A tanterv szerint az a lgebra csak a
nyolcadikban kezd ıdik, ennek a feladatnak a kapcsán az osztály mégis
eljutott, szinte észrevétlenül, az algebrához, még hozzá nem is
egyenletek, hanem egyenletrendszerek megoldásához, ami a
középiskolák 1. osztályának év végi anyaga. Persze nemcsak ennek a
feladatnak a kapcsán; hozzájárultak ehhez az el ızı és a k ıvetkez ı
órák és ezen az órán is még több más feladat.
A gyerekek a feladat szövegének az egyeztetése után néhány
percig egyedül dolgoztak. A tanár azt az elvet köve tte, hogy nem
tálalja készen a módszereket; hanem engedi, hogy a gyerekek önálló
utakat keressenek. Kb. öt perc önálló munka után az onban becsukatta
a füzeteket, és egy kicsit beszélgettek a feladatró l. Mit tudunk,
mit keresünk, hogyan lehet elindulni? Ez a beszélge tés segítség volt
azoknak, akik egészen önállóan nem boldogultak voln a a feladattal,
hiába töltötték volna tovább az id ıt. Utána megint folytatták az
önálló munkát. A tanár az el ıbb is és most is körbejárkált, egy-egy
gyereknek mondott néhány segít ı vagy dicsér ı szót. Aki kész volt,
azzal becsukatta a füzetét, nehogy más abból nézze ki. Aztán
befejez ıdött az önálló munka, a tanár a táblánál bemutatta, miket
látott. El ıször is, hogy jegyezték föl a feladatot? Volt, aki
rajzban:
vagy így
- 115 -
10
8
10 Ft
20. ábra
21. ábra
Volt, aki szóban:
3 füzet + 4 ceruza 10 Ft,
4 füzet + 2 ceruza 6 Ft.
Olyan is volt, aki csak a kezd ıbet őket írta le:
3 f + 4 c = 10,
4 f + 2 c = 8.
Ennél és a rajzos lejegyzésnél is valami zavarta a gyerekeket. A
tanár is érezte ezt, és mindjárt rákérdezett:
- Mit jelent itt az az f?
= A füzeteket.
- De hát azt úgyis tudjuk, hogy az egyik 3 füzetet vett, a
másik 4-et!
Egy kicsit még elbeszélgettek err ıl, amíg minden gyerek el ıtt
világossá nem vált, hogy f egy füzet árát , c egy ceruza árát
jelenti, forintban. Ugyanezt jelenti a rajzokon is egy téglalap és
egy vonás, és így már az egyenl ıség jel használata ellen sem lehet
kifogás.
Azután egypáran elmondták, hogyan indultak el.
Volt, aki próbálgatással kezdte. Akkoriban árultak 1 forintos
ceruzát, ezzel próbálkozott. De a füzet árára hol 2 Ft adódott, hol
pedig 1,50 Ft. Másféle áru ceruzával is megpróbálta , akkor pedig
tört fillérekhez jutott.
Egy másik gyerek abból indult ki, hogy a két vásárl ó együtt 7
füzetet és 6 ceruzát vett 18 Ft-ért, de nem tudta b efejezni a
megoldást.
Senki sem tekintette dehonesztálónak ezeket a félbe maradt
próbálkozásokat, sem a próbálkozók, sem társaik, se m a tanár. A
központi probléma láthatóan nem az volt, hogy ki há nyast kap, hanem
inkább az: mit lehet kezdeni egy ilyen feladattal?
Sokan tudják a megoldást, szeretnének is szólni, de a tanár
egyel ıre türelemre inti ıket, inkább ı szólongatja azokat, akik
enélkül nem nagyon szólnának.
Az egyik ilyen gyerek megjegyzi, hogy ha 4 füzet és 2 ceruza
ára 8 Ft, akkor 2 füzet és 1 ceruza ára 4 forint. T öbben mondják,
hogy erre ık is gondoltak, de mit lehet ezzel kezdeni?
= Jobb inkább fordítva - mondja egy gyerek, akinek a tanár
végre szót ad - kétszerannyi füzetet és ceruzát ven ni. Ha 4 füzet és
2 ceruza ára 8 Ft, akkor 8 füzet és 4 ceruza ára 16 forint.
- 116 -
Többen hangosan helyeselnek, mások pedig csodálkozv a nézik,
mire jó ez a bonyodalom.
- Írjuk csak fel - mondja a tarár. Már írja is a tá blára, a
gyerekek a füzetbe:
3 f + 4 c = 10
8 f + 4 c = 16
Vár egy kicsit, azután kérdezi:
- Miért fizetett ez a másik többet, mint az els ı?
= Mert több füzetet vett.
- Folytasd, D.!
= 5 füzet ára 6 Ft.
- Tovább, L.!
= Akkor 1 füzet 1 Ft 20 fillérbe kerül. /Ülve felel nek, munka
közben./
- Tovább.
= 3 füzet ára 3 Ft 60 f, és ebb ıl már a ceruzák árát is ki
tudom számítani.
- Azt majd K-tói halljuk!
Amikor így eljutnak a megoldáshoz, a tanár ad egy m ásik
hasonló feladatot, de itt árak helyett súlyok szere pelnek.
A harmadik feladatban nincs konkrét mennyiség, így kezd ıdik:
"Gondoltam két számot."
A megoldási típusok is változnak: mindkét egyenlete t végig
kell szorozni; kivonás helyett a megfelel ı oldalak összeadása visz
célhoz stb. Ezeket a szakkifejezéseket nem használj ák, árban,
súlyban, őrtartalomban gondolkoznak, nem ismeretlenekben,
együtthatókban, egyenletek bal és jobb oldalaiban. De ha nem mondják
is ki, tapasztalatokat gy őjtenek az utóbbiakról, absztrahálnak. Óra
vége felé a tanár annyi szöveget sem mond, hogy "go ndoltam két
számot", hanem egyenletrendszereket ír fel, ilyenek et:
x + y = 7
x - y = 3 .
Nem mondja a gyerekeknek, hogy "a számtannal végezt ük most
algebrával foglalkozunk". Nem is mondhatja, hiszen még sokszor végig
kell járniuk az absztrahálásnak ezt az útját, hogy osztály minden
tanulója számára tartalommal teljenek meg az x-ek é s
- 117 -
y-ok, hogy sok szemléletes kép húzódjon meg az egye nletek
összeadásának és kivonásának formális lépései mögöt t. Mégis, két
osztályt ugrott, olyan feladatokat adott, amelyek a tanterv szerint
csak a középiskolában kerülhettek volna sorra. Az a dott esetben,
látva, hogy erre megérett a helyzet, mint lelkiisme retes tanár nem
is tehetett egyebet.
A változók /ismeretlenek/ bevezetése. A keret-jelöl és
A most leírt órán szavak kezd ıbet őit használták az
ismeretlenek jelölésére /ceruza ára röviden c, füze t ára röviden f/.
Ezen az úton járunk akkor is, amikor a "terület = a lap . magasság"
megállapítást így rövidítjük: "t = a . m". Ez egy l ehetséges, eléggé
természetes bevezetési módja az algebrai jelölésnek . Az
alkalmazásoktól elszakított, a szó rossz értelmében "absztrakt" x
algebrát jellemzi az x, y és z egyoldalú kultusza. Ennek gyakori
eredménye, hogy a fizikában nehézséget okoz egy egy enlet megoldása
azért, mert a fizikai mennyiségeket rendszerint más bet őkkel
jelölik. Több ismeretlenes egyenletrendszerre vezet ı szöveges
feladatokban általában célszer őbb a kezd ıbet ők alapján választani ad
hoc jelöléseket, mint önkényesen társítani például a vashoz az x, a
rézhez az y, az alumíniumhoz a z bet őt ahelyett, hogy v, r, a
bet őket használnánk.
Attól az esett ıl eltekintve, amikor kezd ıbet őkként
szerepelnek, a változóknak /ismeretleneknek/ bet őkkel való jelölése
________________ x Az "absztrakt" szónak van két alapvet ıen eltér ı jelentése,
amelynek a meg nem különböztetése kellemetlen követ kezményekkel jár.
A szó egyik értelmében a matematika lényegével jár együtt, hogy
absztrakt, tudniillik konkrét esetekb ıl elvonja /absztrahálja/ azt,
ami bennük közös, a közös struktúrát. Aki konkrétum okból kiindulva a
maga lábán eljutott egy absztrakt fogalomhoz, annak könny ő
megtanítani - vagy tanítani sem kell, - hogy vissza jusson onnan a
konkrétumokig, az alkalmazásokig. A szó másik, pejo ratív értelmében
"absztrakt" azt jelenti: "a konkrétumtól elszakítot t". Sokan azt
hiszik, hogy a matematika ilyen értelemben absztrakt; annyiban talán
igazuk is van, hogy hozzájuk így jutott el. Az "abs ztrakt" szó
utóbbi értelemben való használata, közkelet ő, de félrevezet ı. Z.P.
Dienes találóan jegyzi meg, hogy annak a számára, a ki nem a
konkrétból absztrahálta az x 2 szimbólumot, ez nem absztrakt, hanem
éppen hogy konkrét: nyomdafesték-, tinta-, ceruza- vagy krétafolt,
semmi egyéb.
- 118 -
eleinte nem nagyon célszer ő, sok zavar forrása. A tanulók
megszokták, hogy a bet ő az írott szó alkotóeleme, néha sorrendet
jelöl, s ezek a megszokások megnehezítik az algebra i bet őhasználat
megértését. Minden tanár tapasztalhatta, mennyire h ajlamosak a
gyerekek arra, hogy a + 1 helyett b-t írjanak, vagy azt mondják: a +
b = c /mert "az következik"/. Alkalmasabb jelölésmó d eleinte a
keret, például
22. ábra
A bet ővel szemben el ınye az is, hogy szinte szuggerálja a
helyettesítés gondolatát: minden ilyen jel fenntart ja a helyet
valamilyen szám vagy számok részére. Az egyez ı jelek egyenl ı számok
részére tartanak fenn helyet, ez is magától értet ıdı. Az viszont már
nem, hogy különböz ı keretekbe is kerülhetnek egyenl ı számok; például
a
23. ábra
azonosság arra az esetre is vonatkozik, ha az els ı két keretbe 379,
a harmadikba 187 kerül. A példa alapján a tanulók m egértik: kár
volna, ha nem engednék meg, hogy különböz ı keretekbe egyenl ı számok
is kerülhessenek. Akkor az általános törvényszer őség ilyen esetben
nem volna alkalmazható, ezt az esetet másképpen kel lene felírnunk
stb. A keret ilyen értelm ő használata nálunk már az általános iskola
1. osztályában elkezd ıdik. x
________________ x Rá kell azonban mutatni két hibára, amely megnehez íti a
keretjelölés el ınyeinek érvényesülést: 1. különböz ı számok helyett
is ugyanolyan alakú keret szerepel, például a 2 + 8 összeadást
ábrázoló rajz alatt ezt látjuk: � + � = ; 2. a keret nem szám, hanem
számjegy helyett áll, pl. � � - � =. Érthet ı ugyan a keret ilyen
alkalmazása mögötti elképzelés - a négyzetek a szám tanfüzet egy
"kockáját” jelentik - mégsem lehet helyeselni, mert csak a közvetlen
el ınyökre néz a kés ıbb megmutatkozó nagyobb hátrányokkal nem
tör ıdik. Jó példa ez arra, hogy a matematikatanítás pro blémáit - a
legapróbbakat is - úgy kell megoldani, hogy az isko lázás teljes
id ıszakát szem el ıtt tartjuk az els ı általánostól az érettségiig,
sót azon túl is.
- 119 -
A keret-jelölés persze csak átmeneti, fokozatosan á t kell
adnia a helyét a bet őjelölésnek. Az átmeneti jelölések nem mindig
célszer őek, néha felesleges megterhelést okoznak. Ez nem ol yan, ez
segíti a megértést, nehézségeket hárít el, és könny ő átmenetet
biztosít a végleges jelölés felé. /Hasonló értékes átmeneti jelölés
a bekarikázás zárójel helyett. A karika fels ı és, alsó részét kés ıbb
elhagyjuk, de a megmaradó rész mindig arra emlékezt et, amit a karika
sugall: az egybefoglalásra./
Szándékosan használjuk párhuzamosan a "változó" és
"ismeretlen" szavakat. Az a jelentés, amelyet a ker et-jelölés juttat
eszünkbe - tudniillik, hogy "helyénfoglaló" - nem t eszi szükségessé,
hogy változó és ismeretlen közt különbséget tegyünk . A paraméter
fogalmát is jobb elkerülni. Az egyenletesen gyorsul ó mozgásnak a
fizikából ismert útképletében / / s, a és t változók. Ha
azonban ezt mint egyenletet megoldjuk, a-ra vagy t-re, akkor
egyszeriben ismeretlenek lesznek bel ılük, mert egyenletmegoldással
kapcsolatban ez a bevett szó. Paraméterr ıl akkor szokás beszélni, ha
egy id ıre rögzítjük valamelyik változó, illetve ismeretlen értékét.
/Pl. legyen a a gravitációs gyorsulás a Föld egy po ntján; egy k ı
leejtésekor állandónak tekinthetjük, de aztán megné zhetjük, hogyan
függ a k ı mozgása attól, hogy hol ejtettük le./ Ezeknek a
megkülönböztetéseknek csak stiláris értéke van. Kár a kezd ıt
megzavarni velük. Egyszer őbb és kifejez ıbb azt mondani, hogy a 2x=a
- b egyenlet megoldása x-re a-ra a = 2x + b, b-re b =
A – 2x, mint azt mondani: oldjuk meg úgy, hogy z-t ismeretlennek, a-
t és b-t paraméternek, vagy a-t ismeretlennek, x-et és b-t
paraméternek tekintjük benne stb., Kés ıbb esetleg lehet tenni
stiláris megkülönböztetéseket is, ha éppen szüksége sek, de eleinte
jobb kevesebb elnevezést használni, különösen pedig jobb elkerülni
az olyan fogalmi megkülönböztetéseket, amelyek a ne hézségeket csak
növelik.
A rajzok szerepe
Az el ıbbi óraleírás jellemz ıen mutatja a rajzok, vázlatok nagy
szerepét a konkréttól az absztrakt felé vezet ı úton. Itt a rajz még
emlékeztet azokra a dolgokra, amelyekr ıl a feladatban szó van /pl.
füzetekre, ceruzákra/. Egy kés ıbbi lépcs ıfok az,
- 120 -
s = a t 2
2
x = a – b
2
Amikor függetlenül attól, hogy milyen objektumokról van szó,
szakaszokkal ábrázoljuk a mennyiségeket. Például en nek a feladatnak
a megoldását:
"Egy turistacsoport három nap alatt 68 km-t tett me g. Els ı nap
haladtak a legtöbbet, a második napon 3 km-rel rövi debb, a
harmadikon ennél is 4 km-rel rövidebb utat tettek m eg. Mennyi volt
egy-egy napi útjuk?"
Nagyon megkönnyíti egy ilyen vázlat készítése:
24. ábra
Itt még a szakaszok valamennyire emlékeztetnek a me gtett útra. A
következ ı példában már akár elolvasott oldalakról vagy elkés zült
rádiókról is lehet szó, a tanulók szívesen és könny en átteszik azt
is ilyen jelölésre. A fokozatosságra más tekintetbe n is jó vigyázni:
eleinte inkább csak két mennyiség szerepeljen. A ta nulók különféle
megoldási módokat fognak találni: az egyik talán ho zzátesz
gondolatban 3 és 7 kilométert a második és harmadik napi úthoz, egy
másik elvesz hetet és négyet az els ı kétnapi útból, talán lesz olyan
is, aki a középs ıhöz igazítja a többit, és 69-nek veszi a harmadát,
hogy ezt meghatározza. Engedjen a tanár szabad tere t az ilyen
ötleteknek, kezdeményezéseknek, ı maga pedig, amennyire csak lehet,
maradjon a háttérben. "Csak akkor segíts, ha magam nem bírom" - volt
kiírva egy óvoda falára. Ez nemcsak óvodai igazság.
A félig absztrakt rajzos megoldástól már csak egy k is lépést
kell megtenni az egyenletfelírásig:
25. ábra
- 121 -
3 km
4 km
68 km
/x + 4 + 3/ + /x + 4/ + x = 68
x
x
x
4
4 3
/Persze x helyett írhattunk volna például h. bet őt is - harmadik
napi út - vagy keretet is./ Szakaszokkal felrajzolv a, x-ek nélkül, a
megoldást számtani megoldásnak szokás tekinteni; il yen megoldás már
az ötödikben sorra szokott kerülni. Kár megszakítan i az absztrakció
folyamatát és három évvel kés ıbbre halasztani ezt a kis lépést. Sok
ilyen kis lépésre van szükség és ehhez sok id ı kell!
Nem lehet elégszer hangsúlyozni: akkor várhatjuk, h ogy minden
tanulóban kialakuljanak az absztrakt fogalmak, ha s őr őn közlekednek
a konkrétabb és az absztraktabb között, ha föl-le j árnak az
absztrakció lépcs ıjén. Ez azt jelenti, hogy például a szakaszokkal
való szemléltetést alkalmazhatjuk az egyenletmegold ással
párhuzamosan is. Például 2x - 13 = 25. Mellérajzolj ák:
26. ábra
A rajzról leolvassák, hogy 2x csak 25 + 13 lehet. L eírják:
2x = 38.
Innen már kitalálják, hogy x = 19. Nem mindig kell rajz, de ha
szükségét érzik, mindig igénybe vehetik a segítségé t.
Másik példa: . Olyan 9x - 6-ot keresünk, amelynek az
ötöde 7.
27. ábra
A rajzról leolvashatjuk, hogy 9x - 6 csak 7-nek az 5-szöröse
lehet. Ezt felírjuk egyenlettel:
9x - 6 = 35 stb.
Egy harmadik példa: /x - 6/8 = 12 . Olyan x - 6-ot keresünk,
amelynek a 8-szorosa 12.
- 122 -
9x – 6 = 7
5
2x
25 13
28. ábra
x - 6 csak 12-nek a 8-adrésze lehet:
Még akkor is hasznos lehet ez az ábrázolási mód, ha
többismeretlenes egyenletet oldunk meg egy ismeretl enre:
29. ábra
Az út, id ı és /állandó/ sebesség közti összefüggés felidézésé t
is megkönnyíti ez az ábrázolás:
Az órák száma: t
30. ábra
Az ábráról látható, hogy s = ct, de az is látható m indjárt,
hogy c = s/t /itt az osztást részekre osztásnak kép zeljük/, t = s/c
/itt bennfoglalást képzelünk el/.
Ez az ábrázolási mód szigorúan véve csak pozitív sz ámok
összeadására és kivonására, szorzására és osztására volna
alkalmazható. Még ezen belül is baj van vele, ha a szorzó törtszám.
Mégis segítséget jelenthet ilyen megszorításoktól f üggetlenül is. A
mőveletek közti összefüggések ugyanis számkört ıl függetlenül
érvényesek, és fontos is hozzászoktatni a tanulókat , hogy a
szemléletes esetekr ıl bátran általánosítsanak a kevésbé
- 123 -
x – 6 = 12 .
8
x = c .
a - b
x/a – b/ = c
vagy egyáltalán nem szemléletes esetekre. Más szóva l: ha szemléleti
támaszra van szükségük, menjenek vissza példákért a szemlélhet ı
esetekhez. A fenti ábra tehát akkor is segítség leh et, ha
háromnegyed óra vagy 0,36 mp alatt megtett útról va n szó.
Mindenesetre jobb segítség, mint valami mnemotechni kai fogás annak a
megjegyzésére, hogy mikor melyik bet ő van fölül.
Azonos átalakítások
Ha a
3/x + 2/ =
egyenletet így alakítjuk át:
3x + 6 =
akkor azonos átalakításokat végeztünk: az új egyenl et mindkét
oldalán ugyanazok maradtak a kifejezések értékei az ismeretlen
minden értékénél, csak az alakjuk, a leírásmódjuk v áltozott, éppúgy,
mint amikor helyett 1 -et vagy l,5-et írunk .
Ha viszont az el ıbbi folytatás helyett ezt választjuk:
9/x + 2/=5/x - 1/ ,
akkor az egyenlet két oldalának nemcsak az alakja v áltozott meg,
hanem az értékei is /x minden értékénél 3-szorakkor a az új egyenlet
mindkét oldalának az értéke, mint a régié/.
Fontos, hogy a tanulók, példák kapcsán, megértsék e zt a
különbséget. Többek között azért is fontos, hogy el kerüljék az olyan
hibákat, mint a következ ı folytatás:
3x + 6 = 5/x - 1/ /?!/
"Miért nem jó ez?" - mondja a diák. "Hiszen mind a két oldalon 3-mal
szoroztam!"
Ilyen és más példák kapcsán minden tanulóval meg ke ll
értetnünk, hogy mást jelent megszorozni valamit 3-m al és mást jelent
beszorozni 3-mal. Mást jelent osztani és mást jelen t kiemel-
- 124 -
5x - 1
3
5x - 5
3
3
2
1
2
ni. A beszorzás és a kiemelés a disztributivitás eg yik és másik
irányú alkalmazását jelentik, azonos átalakítások.
Régen világszerte, nálunk is, el ıbb megtanították a diákoknak
a fontosabb azonos átalakításokat "M őveletek algebrai
kifejezésekkel" vagy más hasonló címen, azután kezd ték el tanítani
az egyenleteket. Ma már általános az a felfogás, ho gy jobb
összekapcsolni az azonos átalakítások tanítását az egyenletek
tanításával. Ha a számtantól nincs különválasztva a z algebra, akkor
ez magától értet ıdı; a 3 + � = 5 egyenlet után hamarosan következnek
olyan egyenletek, amelyek megoldásához átalakításra /egyel ıre csak
numerikusra/ van szükség, pl. 3 + 1 + � = 5 vagy 3 + � + 1 = 5, és
továbbra is egymással szoros kapcsolatban épülhet k i az egyenletek
és az azonos átalakítások fogalma és technikája.
Ez nem jelenti azt, hogy felcserélésre és átcsoport osításra,
összeg tagonkénti levonására, beszorzásra és kiemel ésre, összeg és
szorzat osztására stb. csak egyenletmegoldással kap csolatban
kerülhet sor. Átalakításokat végezhetünk pl. egy ge ometriai vagy
fizikai képletben, hogy számítások céljára alkalmas abbá tegyük,
anélkül, hogy mint egyenletet meg akarnánk oldani v alamelyik
változójára. A természetes számokkal és a törtszámo kkal kapcsolatban
szó volt már arról, hogy az átalakításokat numeriku s példákra is
lehet és érdemes alkalmazni. Erre a célra összeválo gatott numerikus
példákon meg lehet értetni a különféle irányú azono s átalakítások
célszer őségét. Felfedezésükre /megsejtésükre/ is alkalmasak a
numerikus példák. A téves sejtések megcáfolására ug yancsak. A
pozitív példák azonban csak hihet ıbbé teszik az általános
törvényszer őséget, de nem bizonyítják, egyetlen ellenpélda visz ont
bizonyítja , hogy a sejtés téves volt. x Azt, hogy az átalakítások
minden esetben helyesek, kezd ı fokon persze nem formális bizonyítás
útján láthatják be a diákok, de a számpéldákon való illusztrálással
akkor sem elégedhetünk meg, ha a gyerekeket látszól ag az is
meggyızi. Sajátos módon az általános törvényszer őség felismeréséhez
el ıbb a konkrét felé, tehát mintegy visszafelé kell eg y lépést
tennünk. Ezek a példák:
________________ x Vö. Pólya György /1957/, 91-102. oldal.
- 125 -
24 -/4 + 9/ = 24 - 4 - 9
139 -/39 + 57/ = 139 - 39 – 57
nem gy ıznek meg arról, hogy a következ ı hasonló példában is egyez ı
eredményre vezet a kétféle kiszámítási mód, mert ne m mutatják, hogy
min fordul meg a dolog. E célból vissza kell menni a konkréthoz,
akár megfogható formában, akár képzeletben. Példa a z utóbbira:
Ez nemcsak arról gy ız meg, hogy a fenti számok esetében a
kétféle számítási mód ugyanarra az eredményre vezet , hanem arról is,
hogy ez bármilyen számok esetében így van; legalábbis pozitív számok
esetében. Természetesen csak azt gy ızi meg, aki képes az olyanféle
elemz ı és szimbolizáló munkára, amilyent itt végeztünk: l e tudja
írni a számokat tartalmazó történetek számtani magv át akkor is, ha
nemcsak egy m ővelet alkalmazása szerepel bennük. Ezt - és a
fordítottját, a matematikai mondatok interpretációj át, konkrét
helyzetek találását, amelyeknek a struktúráját egy- egy adott
matematikai jelsorozat fejezi ki -állandóan gyakoro ltatnunk kell.
Lebontás, megfordítás, mérlegelv. Céltól vezérelt okoskodás
Már megfigyeltük /113. oldal/, mennyire másképpen g ondolkozunk
két ilyen egyenlet megoldásakor, mint például 3x = 6 és 23 x = 851.
Azt mondhatnánk, hogy az els ıt szorzással oldjuk meg
- 126 -
Palinak volt 139 forintja:
139
Vett az áruházban egy 39 Ft-os
bicskát és 57 Ft-ért tornacip ıt:
Ennyit fizetett
139 - /39 + 571
Ennyi pénze maradt
Nekem is:
139
Én is ugyanazt vettem, de más-
más helyen.
Amikor megvettem a bicskát,
ennyi pénzem maradt:
139 - 39 – 57
Amikor a tornacip ıt is
megvettem, ennyi maradt.
/odagondoljuk a 2-t: 3.2 = 6/, a másodikat viszont osztással /nem
tudjuk, mit gondoljunk az x helyébe, hát elosztjuk a 851-et 23-mal/.
Figyeljük most meg ezt a kétféle okoskodási módot m ás, bonyolultabb
egyenleteken is. Nézzük el ıször ezt az egyenletet:
128 - = 121
Ezt a fenti els ı egyenlet megoldására emlékeztet ı lépésekben
oldhatjuk meg a legegyszer őbben: A tört helyébe 7-et kell
képzelnünk, hogy a felírt állítás igaz legyen:
A többivel tovább nem tör ıdünk, leírjuk, hogy a tört értéke 7:
= 7 .
A tört nevez ıje helyébe 100-at kell képzelnünk, hogy a fenti áll ítás
igaz legyen; írjuk le ezt is:
x+96 = 100 .
Végül itt 4-et gondolunk az x helyébe, és ezzel meg is oldottuk az
egyenletet:
x = 4 .
A most megfigyelt megoldási mód a lebontás .
A következ ı egyenletnek ugyanaz a felépítése, mint az
el ıbbinek:
4083 - = 2736 .
Mégsem ugyanolyan lépésekben oldjuk meg, hacsak nem vagyunk
számolóm ővészek. Itt már kénytelenek vagyunk tekintetbe venn i a
mőveletek összefüggéseit, amiben segíthet a fent megb eszélt rajzos
módszer:
- 127 -
700
x+96
= 7
128 – = 121
700
x+96
700
x+96
9429
x+√2
A rajzok segítségével megfordítjuk a m őveleteket; az összeadásnak és
a szorzásnak, mint kommutatív m őveleteknek csak egy - vagy inkább
két egyez ı - megfordítása van /az összeadásnak két kivonás, a
szorzásnak két osztás/, a kivonásnak és az osztásna k azonban, mivel
nem kommutatív m őveletek, két különböz ı megfordítása van: a
kivonásnak összeadás és ismét kivonás, az osztásnak szorzás és ismét
osztás. /Ha különbséget teszünk részekre osztás és bennfoglaló
osztás közt, akkor ezek egymásnak a megfordításai. A rajzok ezt jól
mutatják./ A most megfigyelt egyenletmegoldási lépé seket a
megfordítás szóval lehetne jellemezni. Pontosabban, de kissé
hosszabban azt mondhatjuk: az egymással inverz m őveletek közötti
összefüggések alkalmazása.
Következ ı példánk különösen jól mutatja, hogy a lebontásnak
semmi köze sincs a m őveletek inverzének ismeretéhez, ami pedig a
megfordításban alapvet ı:
Itt a megoldáshoz a hatványozás fogalma kell, de a logaritmusé nem;
a hatványozás fogalmának megszilárdítására egyébkén t nagyon
alkalmasak az efféle feladatok.
- 128 -
3x - 4
5 2 = 16
A lebontás gondolatát csak olyankor lehet alkalmazn i, ha az
ismeretlen csupán egy helyen szerepel. A megfordítá s alkalmazására
nincs ilyen korlátozás:
34. ábra
Foglaljuk össze azokat az ekvivalenciákat, amelyekr e megfordítás
alkalmával építünk; bizonyos fokú teljesség kedvéér t idevesszük a
hatványozásra és megfordításaira vonatkozó ekvivale nciákat is, de
persze lehetne folytatni a sort szögfüggvényekkel, esetleg még más
függvényekkel is: a, b és c minden értékére, ha az osztó nem 0, a
hatvány alapja pozitív, a logaritmus alapja pedig p ozitív és nem 1,
a+b = c ab = c a b = c
a =c-b b=c-a a= b= a= b√c b= log c
/A hatványozásnak és inverzeinek az ekvivalenciájár a, sajnos, nincs
olyan egyszer ő szemléltetési mód, mint az el ıbbi kett ıre./
Nézzük most a következ ı egyenletet:
Ezt is meg lehet oldani a m őveletek közti összefüggések
alapján /megfordítás útján/:
- 129 -
3x = 4x – 5,
4x – 3x = 5,
x = 5.
= 3x - 6
4
5x - 16
4
c
b
c
a
35. ábra
= a/b = c
a = b – c 3x – 6 = 5x – 16 a = bc
a + c = b 3x 10 = 5x
c = b – a 10 = 2x a = bc
5 = x a/b = c
/Oldalt rövidítve odaírtuk, hogy milyen összefüggés eket
alkalmaztunk./ Valahogy mégis körmönfont, er ıltetett magyarázatnak
érezzük itt a mondott összefüggések alkalmazását. A z el ıször végzett
átalakítás például szimmetrikus a jobb és baloldalr a vonatkozóan
/"mindkét oldalon ugyanaz történik"/, de a melléírt indokolás ezt
nem fejezi ki. "Ha két számnak a negyede egyenl ı, maguk a számok is
egyenl ık, és ha két szám egyenl ı, a negyedik is egyenl ı" - így
fejezhetjük ki szimmetrikus formában, ami itt törté nt. Ezzel az
úgynevezett mérlegelvnek vagy a két oldal egyforma változtatása
elvének mondtuk ki egy speciális esetét. Ennek segítségéve l így
magyarázhatjuk az el ıbbi egyenletmegoldás lépéseit:
. 4
3x – 6 = 5x – 16 + 16
3x + 10 = 5x - 3x
10 = 2x : 2
5 = x
/A vonal mögé azt írtuk, hogy milyen m őveletet végeztünk az egyenlet
mindkét oldalán./
A lebontás, a megfordítás és a mérlegelv más-más sz emlélet
alapján magyarázzák ugyanazokat a m őveleti lépéseket. Néha az egyik
alkalmazható, vagy kínálkozik inkább, néha a másik, néha több is
egyformán. Uniformizálásra, az egyes lépések egyönt et ő magyarázatára
utólag esetleg sort keríthetünk, ha ez a tudato-
- 130 -
3x - 6
4
5x - 16
4
= 3x - 6
4
5x - 16
4
sítás érdekében szükségesnek látszik. Egyenletmegol dás közben
azonban nem segít, ha el ıírjuk, milyen lépésekben jussanak el a
tanulók az eredményhez. Jussanak el úgy, ahogy neki k a
legtermészetesebb. Az el ıbbi egyenletmegoldás utolsó lépésében
például a 2-vel való osztás egy csöppet sem termész etes magyarázat.
Itt már látják az eredmény, vagyis lebontással okoskodnak.
Tanulságos egy egyszer ő példán egymás mellett nézni a
lebontással, megfordítással és mérlegelvvel való ok oskodást:
LEBONTÁS MEGFORDÍTÁS MÉRLEGELV
25-x=21, 25-x=21, 25-x=21 -25
25-4 =21, x=25-21, -x=21-25=-4, .(-1)
x=4. x=4. x=4.
36. ábra
A legkevésbé természetes itt a mérlegelv alkalmazás a. Akkor sem lesz
egyszer őbb, ha 25 kivonása helyett el ıször x-et adunk az egyenlet
mindkét oldalához, aztán 21 kivonásával folytatjuk.
Példáinkból a legf ıbb tanulság az, hogy módszerek tanítása
helyett mindenekel ıtt az elérend ı célt kell világossá tennünk a
tanulók el ıtt. A cél elérésére irányuló törekvésb ıl fakad a
módszerek felfedezése. Mindegyik módszerrel kapcsol atban legutoljára
kerülhet sor annak a tudatosítására, hogy hogyan is okoskodtunk.
Csak ebben az utolsó fázisban van értelme, ha egyál talán valamikor
értelme van, a módszer elnevezésének.
A kit őzött cél is változik, alakul, fokozatosan válik egy re
pontosabbá. El ıször a cél csak a keret vagy az üres hely kitöltése
vagy a bet ő helyettesítése olyan számmal, hogy igaz legyen, am it így
leírtunk.
Késıbb kiderül, hogy esetleg több ilyen szám is van, es etleg
minden szám ilyen, vagy az is lehet, hogy nincs ily en szám. Kit őzött
célunk módosul: mindazokat a számokat kell megtalálnunk, amelyekre a
kapott állítás igaz lesz, nem elégedhetünk meg azza l, ha véletlenül
találunk egy ilyet, mert hátha más is van. Más foga lmazásban: azt a
számhalmazt kell meghatároznunk, amelynek az elemei re igaz lesz az
állítás. Az utóbbi megfogalmazás különösen jól muta tja, hogy nem
zárjuk ki az üres halmaz esetét, hogy az
- 131 -
25 x
4
ellentmondó egyenlet esete is a többivel egyenrangú lehet ıség.
Akkor is megoldottuk az egyenletet, ha azt derített ük ki róla, hogy
nincs gyöke, "nincs megoldása", bármilyen különösen hangzik is ez az
állítás.
Tovább módosítja a kit őzött célt annak a. számkörnek
/számhalmaznak/ a b ıvítése vagy sz őkítése, amelyben az egyenlet
megoldásait keressük. Újabb számokat ismerünk meg, addig
megoldhatatlan egyenletek megoldhatókká válnak. El ıfordulhat, hogy
szöveges feladatunk értelmében csak pozitív vagy cs ak egész gyökök
jönnek tekintetbe. Lehet, hogy maga az egyenlet nin cs értelmezve
bizonyos számokra. Így lassan tudatosodik /akkor is , ha nem
fogalmazzuk meg ebben a formában/, hogy egyenletek megoldásakor egy
halmaznak egy részhalmazát keressük, a szóba jöhet ı értékek közül az
egyenlet gyökeit.
Tovább módosul a cél a többismeretlenes egyenletekk el
kapcsolatban. Itt lehet az a célunk, hogy mindkét / mindhárom stb./
ismeretlenre megoldjuk az egyenletet. Ekkor számpár okat
/számhármasokat stb./ keresünk, vagyis szemléletese n a síknak /a
háromdimenziós térnek stb., bár ez az "stb". már ne m olyan
szemléletes/ egy részhalmazát. Például egy vonalat. Más a célunk, ha
egy ismeretlenre akarják megoldani a többismeretlen es egyenletet,
vagyis egy ismeretlent ki akarunk bel ıle fejezni a többivel. Ekkor
nem számot /számokat/, hanem kifejezést keresünk. Megint olyant
azonban, amelyet a keresett ismeretlen helyébe írva a kapott állítás
igaz lesz. De ez az állítás nem számok egyenl ıségére, hanem
kifejezések azonos egyenl ıségére vonatkozó állítás.
Több évbe telhet, amíg ezek a célok, konkrét felada tok
kapcsán, sorban mind tisztázódnak a tanulók el ıtt. Megkönnyíti a
tisztázódásukat az, ha egyenleteken kívül egyenl ıtlenségekkel is
foglalkoznak a tanulók; egy bizonyos általánosságot elérve, magasabb
néz ıpontból, jobb áttekintést kapnak. Ez azonban már eg y kés ıbbi
fejezet témája.
Ha a diákok okoskodását az egyenlet megoldásának mi nden
lépésében a kit őzött cél irányítja, nem pedig olyasféle szabályok,
hogy "el ıször elvégezzük a kijelölt m őveleteket, aztán eltávolítjuk
a törteket" stb., akkor gyakorlati szempontból is c élszer őbben
fognak dolgozni. Értelmetlen volna például az /x+19 / . 47 =
- 132 -
= 940 egyenlet megoldását "a kijelölt m ővelet elvégzésével" /vagyis
a disztributivitás alkalmazásával, beszorzással/ ke zdeni, vagy a
+ a = a + 15
egyenletben el ıször a törteket távolítani el. De ha
gyakorlatlanságukban nem találják is meg a kit őzött cél felé vezet ı
legrövidebb utat, inkább járjanak be egy-egy kerül ı utat, hogy aztán
a maguk tapasztalata vezesse rá ıket legközelebb a rövidebb útra. A
tapasztalatszerzés többet ér, mint a kívülr ıl kapott "általános
szabályok", vagy egyes esetekre vonatkozó tanácsok. Sok és - még
inkább - sokféle feladatot kell megoldaniuk esetr ıl-esetre önállóan
döntve a követend ı útról, míg szert nem tesznek az
egyenletmegoldáshoz szükséges gyakorlatra és bizton ságérzetre.
Formálisabb fogalmazások (átvitel, elhagyás stb.)
Ekvivalencia
Gyakran hallunk az iskolában egyenletmegoldás közbe n olyanféle
fogalmazást, hogy "átviszem a másik oldalra". Az át vitelnek az a
felfogása, hogy "a másik oldalon mínuszból plusz le sz, osztóból
szorzó lesz" stb., legalábbis veszélyes. Aki az ily en szabályokra
hagyatkozik, az könnyen elkövethet olyanféle hibáka t, hogy a
+ 2 = 6
egyenlett ıl vagy a
3x – 1 + 2 = 30x - 18
vagy a
+ 2 = 9
egyenlethez jut. Lehet, hogy a hibákból okulva aztá n megjegyez
bizonyos kiegészít ı szabályukat is az el ıbbiek mellé, hogy mikor
lehet átvinni valamit, mikor nem, és így esetleg el jut oda, hogy
hibátlan technikával - de formálisan, értelem nélkü l! - old
- 133 -
3x - 1
5x - 3
3x - 1
5x
3x - 1
5x - 3
meg egyenleteket. Csak "esetleg" jut el, mert a sza bályok megértés
nélküli tudása egy kicsit nehezebb körülmények közö tt, vagy akkor,
ha nem támasztja alá állandó gyakorlás, rendszerint cs ıdöt mond. De
még ha funkcionál is, elszigetelt tudástöredéket je lent, amely nem
támogat egyéb matematikai ismereteket, és amelyet n em támogatnak
egyéb matematikai ismeretek.
Az a ”másodlagos szemlélet", amely az átvitel techn ikáját
irányítja, mégsem feltétlenül elvetend ı, csak legyen ott mögötte az
"els ıdleges szemlélet" is, amely megóv a hibás alkalmazá stól. Nem
támaszkodunk-e mi magunk is lépten-nyomon a másodla gos szemléletre,
a formulák szemléletére? Amikor törtet törttel szor zunk, vagy amikor
hatványfüggvényt differenciálunk, nem látjuk-e magu nk el ıtt, hogy a
közös törtvonal fölé és alá kerül a számlálók és a nevez ık szorzata,
illetve, hogy a régi kitev ı el ıre kerül szorzónak, és helyébe 1-gyel
kisebb kitev ı kerül? Nem baj, ha valakinek a képzeletében a form ulák
megelevenednek, adott szabályok szerint változhatna k, a fontos az,
hogy legyen a szabályok mögött tartalom.
Az "átvitel" másodlagos szemlélete mögötti els ıdleges
szemléletet sematikus formában például a szakasszal való ábrázolás
fejezheti ki. Ezek mögött persze kell lennie még ta rtalmasabb,
konkrétabb elképzelésnek is, amely azonban nagyon s okféle, nagyon
tarka, nagyon függ az egyes gyerekek élményanyagátó l; éppen ezért
vonunk ki bel ıle egy egyszer ő, eléggé üres, és emiatt eléggé
hajlékony ábrázolási módot.
Amint látjuk, az átvitel a megfordításnak egy formá lisabb
fogalmazása. A mérlegelv alkalmazásában is van egy ilyen formálisabb
fok, amikor már a másodlagos szemlélet dirigál. Ugy anannak a tagnak,
szorzónak vagy nevez ınek az elhagyása mindkét oldalról éppúgy
hibákra vezethet, mint az átvitel értelem nélküli a lkalmazása. A f ı
teend ınk itt annak a tudatosítása, hogy ugyanannak a tagn ak stb. az
elhagyása csak akkor jogos, ha ezáltal ugyanannyival vagy
ugyanannyiszorosára változtatjuk mindkét oldalt. Ne m a formálisabb
fokra való eljutást kell megakadályoznunk, hanem an nak kell elejét
vennünk, hogy kimaradjon közben az újra meg újra va ló tartalmi
végiggondolás.
Nemcsak az egyenletmegoldás egyes lépéseinek, hanem a kit őzött
céloknak is vannak ilyen formálisabb megfogalmazása i. A tartalmi
megfogalmazás szerint - ez az alapvet ı, kétség esetén eh-
- 134 -
de a próba mindkét oldalon értelmetlen kifejezést a d: 1/0 és-1/0 A
formális cél nem felel meg a tartalmi célnak, az ut olsó egyenletr ıl
leolvasott gyök nem elégíti ki az eredeti egyenlete t. Felmerül a
kérdés, nem borulhat-e fel az összhang másféle módo n is: nem
lehetséges-e például, hogy a formális átalakítások arra az
eredményre vezetnek, hogy az egyenletnek nincs gyök e, pedig
valójában van? Mindez arra indít minket, hogy felül vizsgáljuk az
addig helyesnek tartott egyenletmegoldási lépéseket abból a
szempontból, nem változtathatják-e meg /nem sz őkíthetik vagy
bıvíthetik-e, esetleg sz őkíthetik, és egyszersmind b ıvíthetik is/ a
gyökök halmázát. Ezt a kérdést - az egyenletek ekvi valenciájának
kérdését - itt éppen csak érintettük. Amint látjuk, felvet ıdhet a
kérdés már törtes /ti. a nevez ıben ismeretlent tartalmazó/ algebrai
egyenletek megoldásakor is. De csak kivételes, úgys zólván csak erre
a célra konstruált esetekben. Gyökös és trigonometr ikus
egyenletekkel kapcsolatban viszont lépten-nyomon be leütközünk ebbe a
problémába /ha ilyen egyenletek megoldására egyálta lán sor kerül/.
Szöveges feladatok megoldása egyenlettel
Szöveges feladatok megoldásáról többször is szó vol t már; a
természetes számokkal és a törtszámokkal kapcsolato san külön
szakaszban is /42. és 83.oldal/. Amit ott mondtunk, az csaknem szó
szerint érvényes a szöveges feladatok egyenlettel v aló megoldására
is. Fontos az egyenletmegoldás technikai része /épp úgy, mint a
számolástechnika/, különösen fontos az, hogy a tanu lókban
tapasztalatokból absztrahálva váljanak készséggé az egyenletmegoldás
lépései, de még sokkal fontosabb az alkalmazás: az, hogy egyenletek
segítségével konkrét problémákat tudjanak megoldani . Ezek a konkrét
problémák a tankönyvekben szöveges feladatok képét öltik: A szöveges
feladatok egyenlettel való megoldásának igen alapos és értékes
módszertani feldolgozását adja Faragó /1960, 1963/. x Minthogy ez a
könyv mindenki számára könnyen hoz-
________________ x Megnöveli ennek a könyvnek a jelent ıségét az a tény, hogy
erre a fontos témára a módszertani irodalom általáb an igen csekély
teret szán; Bragyisz /1951/ terjedelmes módszertana például
mindössze fél oldalt, lásd Faragó /1963/, 3. oldal.
- 136 -
záférhet ı, itt megelégedhetünk azzal, hogy összefoglalunk né hány
fontosabb tudnivalót, amelyekre fel kell hívnunk a tanulók figyelmét
az egyenlet felállítással kapcsolatban. x Ez az összefoglalás azonban
semmiképpen sem teszi nélkülözhet ıvé Faragó könyvének az ismeretét.
Induljunk ki a következ ı feladatból:
Két autó ment A városból B városba, az egyik 48 km/ óra, a
másik 54 km/óra sebességgel. A gyorsabb autó félórá val hamarabb
tette meg az utat. Mekkora a két várostávolsága?
Hogy a feladatot megoldhassuk, el ıször három kérdést kell
tisztáznunk:
1. Mit keresünk?
2. Mi van adva?
3. Mi az összefüggés a keresett és az adott mennyis égek
között?
Az els ı két kérdésre könny ő válaszolni:
1. A keresett mennyiség: a két város távolsága, vag yis az
autók megtett útja.
2. Ismerjük az autók sebességét és menetidejének
különböz ıségét.
Áttekinthet ıség kedvéért készítsünk táblázatot az itt szerepl ı
mennyiségekr ıl:
1. autó 2. autó
Út (km) u u
Sebesség (km/óra) 48 54
Menetid ı (óra)
Beírhatnánk a menetid ık helyébe is valamilyen bet őket. De
ezeket már ki is tudjuk számítani, hiszen út = sebe sség . menetid ı
(pl. 3 óra alatt 4 km/óra sebességgel 12 km-t teszü nk meg), tehát
menetid ı = út/sebesség.
________________ x Nagyrészt Faragó-Varga /1957/ alapján.
- 137 -
1. autó 2. autó
Út (km) u u
Sebesség (km/óra) 48 54
Menetid ı (óra)
Ezek után fel tudjuk írni a feladatban szerepl ı összefüggést
is; a lassabb autó menetideje félórával több, vagyi s
= +
Most már csak meg kell oldanunk az egyenletet. A me goldás:
u = 216 /km/
Feladatunkban nemcsak az a mennyiség volt ismeretle n, amelyre
a kérdés vonatkozott /a távolság/, hanem két másik is /a két autó
menetideje/. Mi az el ıbbit jelöltük bet ővel, ennek segítségével az
utóbbiakat már ki tudtuk fejezni. Eljárhatunk azonb an fordítva is.
Jelöljük például a gyorsabb autó menetidejét m -mel. A táblázatot
ekkor így tölthetjük ki.(utoljára az útrovatokat):
1. autó 2. autó
Út (km)
48 (m + )
54 m
Sebesség (km/óra) 48 54
Menetid ı (óra)
m +
m
A két autó ugyanakkora utat tesz meg, tehát az egye nlet:
48 (m + ) = 54 m
A megoldás most egyszer őbb; viszont m kapott értékéb ıl, 4-b ıl
még ki kell számítanunk a megtett utat: 54 m = 216.
Ha nem tudunk eligazodni a feladatban szerepl ı mennyiségek
között, nem látjuk át azonnal, milyen összefüggések et írhatunk fel
közöttük, akkor érdemes a keresett mennyiség vagy e gy másik
- 138 -
u
48
u
54
u
48
u
54
1
2
1
2
1
2
1
2
ismeretlen helyébe konkrét számot képzelni, és úgy gondolni végig a
feladatot. Például így okoskodhatunk:
Ha a gyorsabb autó útja 2 órán át tartott volna, ak kor ezalatt
54 . 2 = 108 km--t tett volna meg; a lassabb autó e kkor 2 órán
át haladt volna, és ezalatt 48 . 2 = 120 km-t te tt volna meg.
Nem találtuk el a helyes megoldást, mert 120 = 108. De a megoldás
kulcsa a kezünkbe került: amit egy találomra válasz tott konkrét
számból /a 2-b ıl/ kiindulva csináltunk, azt kell megcsinálnunk
általános formában, úgy, hogy 2 helyett például m bet őt írunk. Most
nem tudjuk ugyan kiszámítani, mennyi az 54 m, sem a zt, hogy mennyi
a 48 (m + ), azt azonban tudjuk, hogy e kett ınek egyenl ınek kell
lennie:
54 m = 48 (m + )
Mindegyik megoldási módhoz szükség van arra, hogy j ól
megértsük a feladatot, világosan lássuk, mir ıl van benne szó. Ezt
sokszor megkönnyíthetjük azzal, hogy rajzot készítü nk. Például így:
37. ábra
Ez a vázlat világossá teszi, hogy az l óra alatt me gtett útnak
/pl. a 48 km-nek/ annyiszorosa az egész út, ahány ó rán át haladunk;
vagy másképpen: a megtett útban a sebesség annyiszo r van meg, ahány
órán át haladunk.
Ha világosan elképzeljük, mir ıl van szó a feladatban, esetleg
fel is vázoljuk, akkor néha olyan megoldásra bukkan unk, amelyhez
egyenlet nem is kell. Például így gondolkozhatunk:
Amikor a gyorsabb autó B-be ért, a lassabb el ıtt még félórányi
út volt, vagyis 24 km. Miért maradt el ennyivel? Az ért, mert minden
órában 6 km-rel kevesebb utat tett meg, mint a mási k autó. A 24 km
hátrány tehát 4 óra alatt gy őlt fel. Ezalatt a 4 óra alatt a
gyorsabb autó beért B-be; az AB távolság tehát 4 . 54 = 216 /km/ .
- 139 -
1
2
1
2
1
2
1
2
Ilyenféle módon el ıbb oldottunk meg feladatokat, mint
egyenlettel. Ez azonban nem jelenti azt, hogy az eg yenlet nélküli
megoldás "primitívebb", és ezért kevesebbet ér. Ell enkez ıleg: minél
egyszer őbb eszközökkel oldunk meg egy feladatot, annál érté kesebb a
megoldásunk.
Általános szabályt egyenletek felállítására nem adh atunk. De
vannak tanácsok, amelyeket érdemes megfogadni, és a feladat
természetének megfelel ıen alkalmazni:
Tisztázzuk mindig, mit keresünk, és mi van adva. Ál lapítsuk
meg, milyen összefüggések vannak az adott és a kere sett mennyiségek
közt.
Sokszor érdemes felhasználni a keresetten kívül más ismeretlen
mennyiségeket is, olyanokat, amelyek a keresett és az adott
mennyiségekkel is kapcsolatban vannak, hidat teremt enek köztük.
Az adott és az ismeretlen mennyiségek áttekintését gyakran
megkönnyíti a táblázatos felírás.
Hogy a talált összefüggések alapján egyenletet írha ssunk fel,
jelöljük valamelyik ismeretlent bet ővel. Nem mindig a keresett
mennyiséget célszer ő bet ővel jelölni.
Ha nem tudjuk azonnal felírni az ismert és az ismer etlen
mennyiségek közti összefüggést, próbáljunk a bet ő helyébe konkrét
számot írni, és kipróbálni, igazat állít-e ebben az esetben _a
feladat. Az egyenlet felállításakor ugyanazt kell c sinálnunk
általános formában, az adott szám helyett bet ővel.
Készítsünk rajzot!
A cél sohasem az, hogy egyenletet állítsunk fel, ha nem az,
hogy megoldjuk a feladatot. Ha egyenlet nélkül is m eg tudjuk oldani,
annál jobb!
A "nyitott problémahelyzetr ıl" mondottak / 46. és 88. oldal/
szöveges feladatok egyenlettel való megoldására épp úgy vonatkoznak,
mint az egyenlet nélküli megoldásra. Kész feladatok on kívül adjunk a
tanulóknak nyersanyagot is, s ıt vegyük rá ıket arra, hogy maguk is
győjtsenek nyersanyagot és készítsenek bel ıle feladatokat. Így
jobban tudatosodnak bennük az olyan kérdések, hogy elég-e az adat
ahhoz, hogy egy bizonyos kérdésre felelni tudjanak, nincsenek-e az
adatok között feleslegesek, ellentmondóak stb. Megt aníthatjuk a
tanulókat arra is, hogy egy feladatból újabb felada tokat készítsenek
olyan módon, hogy elhagynak bel ıle egy /vagy több/ adatot, viszont
közlik egy /vagy több/ ad-
- 140 -
dig meg nem adott mennyiség értékét. Például a fent tárgyalt
feladattal kapcsolatban a távolság, az id ıkülönbség és az egyik autó
sebessége alapján meg lehet kérdezni a másik autó s ebességét stb. Az
ilyen gyakorlatok akkor is hasznosak lehetnek, ha o lyan problémákra
vezetnek, amelyek a mindennapi életben nem szoktak el ıfordulni.
Tegyük azonban fontos - ha nem is kizárólagos - sze mponttá, hogy a
tanulók lehet ıleg olyan feladat variánsokat keressenek, amelyekr ıl
elképzelhet ı, hogy a valóságban is felmerülnek, és amellett
matematikai szempontból sem túl primitívek.
A hatványozás
Az általános iskola 2. osztályában megtanulják a gy erekek,
hogy egy ilyen összeadást, mint 2 + 2 + 2 + 2 + 2, rövidebben is le
lehet írni. Beletelik néhány hónap, amíg magukévá t eszik ezt az új
jelölést.
Egy évtizeden át - az általános iskola megszületésé t ıl kezdve
- a 6. osztályban tették meg a gyerekek ezen az úto n a következ ı
nagy lépést: ott tudták meg, hogy az ilyen szorzáso kat, mint 2 . 2 .
2 . 2 . 2, szintén le lehet írni rövidebben. A hatv ányozást a
szorzástól sokkal nagyobb id ıköz választotta el, mint a szorzást az
összeadástól, de a problémakör, amellyel kapcsolatb an a
hatványjelölés szükségessé vált /ti. a természetes számok
törzstényez ıkre bontása/, indokolttá tette ezt az id ıpontot a
hatványozás bevezetésére. Mindenesetre el ınyös volt a régebbi
gyakorlattal szemben, hogy a hatványozás fogalma ne m kapcsolódott a
bet őjelöléshez.
Most a hatványozás fogalma, a törzstényez ıkre bontással
együtt, egészen kikerül az általános iskola tananya gból, és
valószín őleg a középiskolák 1. osztályában kerül rá sor. Nem lesz
könny ő megoldani a tanároknak az ezzel járó didaktikai pr oblémákat.
Az általános iskolák matematikatanárainak meg kell ragadniuk minden
legális lehet ıséget arra, hogy ezt a fogalmat idejében el ıkészítsék,
mert különben az új jelöléssel járó nehézségek sok egyéb nehézség
mellett a középiskolák 1. osztályában tanító tanáro kat és ott tanuló
diákokat fogják terhelni. A kö-
- 141 -
zépiskolák tanárainak is számolniuk kell azonban az zal, hogy a
diákok többségének az 1. osztályban, s ıt kés ıbb is nehézségei
lesznek ezzel a jelöléssel, nem ismerik ki magukat benne, gyakran
összetévesztik a hatványozást a szorzással. Ezeknek a nehézségeknek
a legy ızésére sok id ıt kell fordítani, aminek pedig az 1. osztályban
tanító matematikatanár aligha lesz b ıvében. Az elsietés azonban
súlyos következményekre, formális tudásra vezetne. Valahonnan id ıt
kell szakítania a tanárnak, hogy számpéldákon tegye világossá a
hatványozás értelmét és tegye természetessé a hatvá nyozás
azonosságait. Ha ez nem történik meg, akkor az alge brai
átalakítások, a polinomokkal végzett m őveletek a legtöbb diák
számára jelekkel való értelmetlen zsongl ırködéssé fognak fajulni.
Annak illusztrálására, hogy milyen módon lehet szám példákon át
elvezetni a tanulókat a hatványjelöléseknek és a ha tványozás
azonosságainak értelmes alkalmazására, egy óraleírá s következik. Az
óra 7. osztályban folyt le. El ızı héten vezették be a
hatványjelölést /ekkor már nem a 6. osztály anyagáb a tartozott,
hanem a 8. osztályéba, a tanár azonban el ırehozta, mert a 7. osztály
tantervi anyagával már végzett/. Maga a fogalom még meglehet ısen új,
a jelölésmód szokatlan, a szorzással való összetéve sztés veszélye
állandóan fenyeget. Ezért a tanár olyan feladatokat ad, amelyek
egymás mellett mutatják be ezt a kett ıt, a szorzást és a
hatványozást, az el ıbbit az összeadásra, az utóbbit a szorzásra
visszavezetve. A táblára ír, minden szó nélkül, ily enféle
kifejezéseket:
Várja a tanulók jelentkezését és kommentárjait. /A füzetek és
könyvek a padokban csukva vannak./ Ilyeneket hallun k:
= Egyenl ı tagú összeg. Leírhatjuk szorzat alakjában: 4
szorozva 3-mal.
= Egyenl ı tényez ıj ő szorzat. Hatvánnyal írhatjuk le: 4 a
harmadikon.
= 5 az ötödiken. Ez öt darab 5-ös tényez ı szorzatát jelenti.
Ötször ötször ötször ötször öt.
- 142 -
4 + 4 + 4 4 . 4 . 4
5 5 2 5 . 2 3
37/3 17
= Két hatvány szorzata. Az els ı öt tényez ıs szorzatot jelent,
a második három tényez ıs szorzatot. Mindegyik tényez ı 2.
= Két hatvány hányadosa. Az osztandó vagy számláló hét
tényez ıs szorzatot jelent. Az osztó vagy nevez ı tizenhét tényez ıs
szorzatot. Mindegyik tényez ı 3. Egyszer ősíteni lehet.
Egyvégtében írtuk le, amit az egyes kifejezésekr ıl
összehoztak, de általában ezeket nem egy tanuló mon dta el. Néha
folytatta volna valamelyik, de a tanár inkább intet t másnak, jusson
az is szóhoz. Voltak hibás megszólalások is, ezeket a következ ı
kiigazította. A tanár a végén megszólal, most el ıször:
- Mit jelent egyszer ősíteni? /Elmondják. Azt is, hogy az adott
esetben mivel lehet egyszer ősíteni./
Megint új kifejezés kerül a táblára:
/4 . 7/ 3
= 4.7-nek a harmadik hatványa. Három egyenl ı tényez ı szorzatát
jelenti, mindegyik tényez ı 4.7 . Vagyis 4.7-szer 4.7-szer 4.7.
- Írd fel!
A gyerek kijön, felírja:
4.7.4.7.4.7.
- Így nem t őnik ki, hogy egyenl ı tényez ıj ő szorzat. Mit kell
írni, hogy látsszon?
= Zárójeleket írni.
- Jó, csak az ujjaiddal mutasd, hova írnád. /A gyer ek
mutatja./
- Err ıl további megjegyzés?
= Így is írhatnám: 4.4.4.7.7.7.
- Miért?
= A tényez ıket fel lehet cserélni. A tanár felírja.
- Err ıl valami megjegyzés?
= 4 3 . 7 3
Nem mennek bele abba a kérdésbe, hogy itt kommutati vitáson
kívül asszociativitást is alkalmazunk. Ez szükséges "elkenés", a
legtöbb tanulónak nehéz volna itt hirtelen ez a meg különböztetés és
a jobbaknak sem nagyon fáj a hiánya.
A tanár most ezt írja fel:
/ 5 3/ 2
- 143 -
= Kijelölt hatvány, felírhatjuk egyenl ı tényez ıj ő szorzat
alakjában: 5 3.5 3.
- Folytasd, S.!
= 5.5.5.5.5.5.
- És az másképp?
= 5 a hatodikon.
Megint ír a táblára:
= 7.7.7 per 5.5.5.
A tanár írja, az el ıbbit kiegészítve:
Aztán megint az osztály felé fordul, várva, szólnak -e rá
valamit.
= Ezt felírhatjuk egyenl ı tényez ıj ő szorzat alakjában is.
/Mondja; a tanár írja:/
=
- Tovább!
= Hétötöd a harmadikon. /A tanár írja, folytatva:/
=
Eddig az órából 9 perc telt el. Most kinyittatja a füzeteket,
újabb kifejezéseket ír a táblára, ezeket már ık is írják. Az
órakezdés er ıs üteme után /a 9 perc alatt a harmincötös létszáma
osztályból csaknem mindenki sorra került és a többi is készenlétben
volt/, más tempójú munkamenet következik. A füzetbe írás egyrészt
lassúbbodást jelent, másrészt nagyobb lehet ıséget az elmélyedésre.
Megint a tanár ír a táblára:
- 144 -
107
55
7
5
3
7 . 7 . 7 .
5 5 5
73
53
73 = 7 . 7 . 7
53 = 5 . 5 . 5
= 10 7 kijelölt hatvány, felírhatjuk egyenl ı tényez ıj ő
szorzatként.
= 5 5 is . . . /ugyanezt elmondja/.
= Az egészet így is írhatjuk fel /ülve diktálja, ı maga is
írja a füzetébe, a többiek is, a tanár pedig a tábl ára, inkább
késlekedve, mint el ıresietve/:
Egyszer ősítenek, kiszámítják. A tanár közben körüljár, az
egyik füzetben lát valamit, felírja a táblára:
- Mit szóltok ehhez?
Megbeszélik a különbséget 2.5 7 és /2.5/ 7 közt. Aztán ehhez
kapcsolódva másképpen is átalakítják ezt a kifejezé st:
/Közben néha szükség van ilyen kérdésekre: "Mit jel ent a
számláló?", "Mit jelent a nevez ı?", "Most mit csinálunk?"/
A füzetekben dolgoznak, a tanár mindig megvárja, am íg készen
vannak /vagy legalább a legtöbbje készen van/ egy-e gy lépéssel,
azután az ı diktálásuk alapján folytatja a táblán.
- Kérem a számlálót egyszer ősítés után! Kérem a nevez ıt!
/Felírja, ahogy mondják:/
- Írjátok ezt egyszer őbb alakban. Készen vagy, T, tudod
diktálni?
A következ ı kifejezést nem írja, csak diktálja:
- 145 -
10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10
5 . 5 . 5 . 5 . 5
107 = 2.5 7
55 5 5
2 .5 . 2 . 5 . 2 . 5 . 2 . 5 . 2 . 5 . 2 . 5 . 2 . 5
5 . 5 . 5 . 5 . 5
/2.5/ 7 =
5 5
= 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 5 . 5
1
203
22
= 2 7 . 5 2
- Milyen alakra hoznád? Aki kész, jelentkezik. /Köz ben ı is
felírja a táblára. Aztán számlálja a jelentkez ıket:/. . . 12, 13,
14, ... még sokan alusznak .. /Egyet felszólít, ann ak a diktálására
ezt írja a táblára:/
- Írhattuk volna így is: /4.5/ 3?
= Igen, csak nem célszer ő.
- Miért?
= Mert a nevez ıben is 2 van.
Megint várja a diákok megjegyzéseit, javaslatát. Az egyiknek a
diktálására ezt írja az el ıbbi utána:
Vár, int:
= Egyszer ősíthetek kétszer 2-vel. /Diktálja, a tanár
folytatja:/
- Nem lehetne egy lépéssel továbbmenni?
= 20 3
- Nézzük csak. Igaz-e, hogy 10 3.2 = 20 3? /Megnézik, nem annyi,
a tanár áthúzza, másik javaslatot vár./
= 10 6
- Nézzük meg: 10 3 . 2 = 10 6 /Err ıl is kiderül, hogy nem annyi.
Lehúzza ezt is ./
- Mire gondolhatott E.? Mivel téveszthette össze?
= Azzal, hogy /10 3/ 2.
- Ez viszont 10 3 . 2. Hogy írhatnád itt a 10-et?
= /5 . 2/ 3 . 2 .
- Tovább!
= 5.2.5.2.5.2.2.
= A tényez ıket felcserélhetem: 5 . 5 . 5 . 2 . 2 . 2 . 2.
- Röviden?
= 5 3 . 2 4 .
Óra kezdete óta 22 perc telt el. Megint átvált, ezt mondja:
- 146 -
= 10 3 . 2
= 10 . 2 . 10 . 2 . 10 . 2 ,
2 2
= /10 . 2 / 3
2 2
- Valakinek a füzetében letakartam azt, ami az
egyenl ıségjelt ıl balra van. Az egyenl ıségjelt ıl jobbra ez látható:
26. Mi lehetett, amit letakartam?
A gyerekek ilyeneket mondanak:
= 2 4.2 2
= 2 2.2 2.2 2
= 2 3.2 3
= 2 5.2
A tanár közben kérdezgeti: Igaz-e, hogy ez 26? Hány tényez ıs
szorzatot jelent ez? Mik a tényez ık?, stb. Biztatja is ıket: még mi
lehetett? Aztán, amikor csak nem akarnak kilépni eb bıl a körb ıl:
- De valaki elárulta, hogy nem szorzat volt a másik oldalon,
hanem hatvány.
= /2 3/ 2
= /2 2/ 3.
Az egyik ezt mondja: 2 x
- Lehetett? /Felírja:/
2x = 2 6
= Igen, de akkor itt ez az x 6-ot jelent.
Még néhány változatot mondanak 2 6-ra, mind ott van a táblán,
így:
Aztán letörli a táblát. Az órának ez a része 4 perc .
- Tessék írni a következ ı feladatot:
2x+1 = 8.
- Találkoztunk-e már ilyennel?
= Ilyennel nem, csak hasonlóval. /Az el ızı órákon ugyanis a
hatványozás bevezetésekor, már kaptak fordított fel adatot, és azokat
fel is írták úgy, hogy pl. az ismeretlen kitev ı
- 147 -
helyére bet őt írtak. Erre emlékezve mondta az el ıbb az egyik gyerek
a 2 x-et. De összetett kifejezés eddig nem szerepelt kit evıben./
A gyerekek tanácstalanok. A tanár segít egyet:
- Ez a 8 lehet egy hatvány értéke. Az alap 2 ...
= 2 x+1 =2 3
= Kett ı az x-ediken meg 1 ...
- /A táblára írja:/ 2 x+1. Ezt mondtad. /Letörli./
= Kett ı az x+1-ediken csak akkor lehet egyenl ı kett ı a
harmadikonnal, ha x+1 = 3. Vagyis x = 2
= Az nem lehet! /Valaki tiltakozik./
- Majd meglátjuk! Írjuk / ı is írja/:
Baloldal Jobboldal
23 8
/Megállapítják, hogy a. megoldás helyes volt./
- Na még egy feladat, és aztán röpdolgozat!
- Egy jelentkez ı már van. Kett ı, . . . hét, nyolc. H!
= Három a nyolcadikonból x . . . /kijavítja magát:/ három a
nyolcból x-ediken . . . egyenl ı 27. /Eljut a 3 8 - x = 3 3 alakhoz,
ebbıl megint 8 - x = 3-ra következtetnek és kitalálják, minden
formális átalakítási szabály nélkül, az alsó osztál yokból megszokott
módon, x értékét./
Öt perc telt el "exponenciális egyenletek" megoldás ával. A
negyvenöt perces órából még 13 perc van hátra. Üres cédulákat
osztanak ki.
- Jobb fels ı sarokba a nevedet! V., tedd el már a füzetedet!
/Amit diktál, az most nem kerül a táblára:/
34 . 3 7
- Írd le egyszer őbben! Most mindjárt, mert aztán jön a másik
feladat. Aki kész, megfordítja a lapot, egyenesen ü l.
/4.3/ 3
/Hangsúlyozással fejezi ki a zárójelet, de aztán ma radja is:
tedd a 4 . 3-at zárójelbe, ez a harmadikon./ Hogy a lakítanád át? /Az
utasítás nem egyértelm ő. A tanár nyilván hajlandó lenne elfogadni
- 148 -
38-x = 27
akár 12 3-at is, de a gyerekek nem az olcsó megoldást válasz tják.
Izgatja ıket, amit most tanultak, próbálják alkalmazni./
/A nehezebben érthet ıket többször is elismétli, ezt is./
- Ezt most kicsit különbözik az eddigiekt ıl. Írj helyette
valami mást, de olyant, ami vele egyenl ı.
- Ki van ezzel készen? /Kevesen jelentkeznek. Ezt l áthatóan a
jobbak kedvéért adta, hadd törjék egy kicsit a fejü ket./
- A következ ı: Valaki azt állítja, hogy
/Ezt már felírja a táblára./
- Igaza van-e? Aki kész, üljön egyenesen!
- A többi feladat már min d sokkal könnyebb lesz. / ezeket is
felírja/:
/Másfél percet vár./
/Az egyik leggyöngébb tanuló legyint: Volt!/
- Szavakban indokold meg itt, amit csinálsz. /Egy p ercet vár,
aztán:/
- Most pedig tedd le a ceruzát, ha félbe maradt is a bet ő. Sz.
végigszalad, mindenkit ıl összeszedi!
Elkezdik megbeszélni a megoldásokat, de mert csönge tnek,
abbahagyják.
- 149 -
32.3 3.2 5.2 3.
10 48 9 3 113 24 . 3 4 . 5 5
38 = 27 . 27 . 27 . 3
72x - 1 = 7
a2 = 5 2
38- x= 27
Halmaz, reláció, függvény
A függvény fogalma iskoláinkban legszorosabban az a lgebrának
nevezett tárgykörhöz kapcsolódik. Bár ennek a kapcs olatnak megvannak
a veszélyei is - például a függvény fogalmának a fo rmulákkal
megadható függvényekre való lesz őkítése - el ınyeire gondolva nem
igyekeztünk szétválasztani a két témát. Így ennek a fejezetnek a
hátralév ı része a függvényekkel kapcsolatos.
A függvény fogalma a halmaz fogalmára épül és a rel áció
fogalmának speciális esete. Ezekkel az utóbbi fogal makkal kezdjük
tehát, annak ellenére, hogy a tanterveinkben a halm az és a reláció
fogalma nem szerepel és várhatóan a legközelebbi jö vıben nem is fog
szerepelni. Ez azonban csak átmenetileg lesz így és ezt az átmeneti
id ıt is fel kell használnunk e fogalmak tanításának a
kikísérletezésére. Másutt el ıbb tartanak ezen a téren. Az 1962-ben
Budapesten rendezett Nemzetközi Matematikaoktatási Szimpózium
következ ı megállapításából /Szemelvénygy őjtemény, 468. oldal/ ez
nyilvánvaló:
"Sok kísérlet megmutatta már, hogy az elemi halmaze lmélet
nyelvét, fogalmát és m őveleteit, a reláció és a függvény fogalmát
bevezethetjük 12 éves kortól kezdve /s ıt már el ıbb is/".
Halmazok, relációk és függvények konkrét példáival mindenki
kisgyerek korától kezdve lépten-nyomon találkozik.
A "három" fogalmához például sok olyan halmaz megfigyelése
útján jutunk, amelyeknek kiemeljük egy közös tulajd onságát, azt,
hogy három elemük van. Halmazról, elemr ıl azonban ekkor még nem
beszéltünk, aminthogy számról sem. További absztrak ció és
általánosítás eredményeként alakul ki és formálódik egy a "szám"
fogalma, és talán szükségszer ő vagy legalábbis célszer ő, hogy a
"halmaz" mélyebb fogalma évekkel kés ıbb tudatosodjék. Vannak, akik
ezt kétségbe vonják és a kérdés semmi esetre sincs lezárva. x
________________ x Elég itt utalni az amerikai Patrick Suppes "Sets a nd
Numbers" /Halmazok és számok/ c. tankönyvsorozatára , amely a szám
fogalmát az els ı osztálytól /hat éves kortól/ kezdve a halmaz
fogalmára építi. Ennek a könyvsorozatnak alapján év ek óta folynak
kísérletek nemcsak amerikai, hanem többek között af rikai iskolákban
is, bennszülött gyerekkel. A kísérleteket évente ér tékelik,
összehasonlítják a hagyományos iskolai anyagban elé rt eredményeket
olyan osztályok eredményeivel, ahol nem a halmaz fo galmára építették
a számtant. A közlemények szerint az eredmények jók . Egy ilyen
kísérletsorozat azonban semmiképpen sem lehet dönt ı.
- 150 -
A relációk vagy logikai függvények, tudjuk a matema tikai
logikából, lehetnek
a/ nullaváltozósak /a szoros értelemben vett ítéletek,
ismertebb szóval állítások , amelyek lehetnek igazak, pl. "2 . 2 = 4"
vagy hamisak pl. "az Egyesült Államok f ıvárosa New York"/;
b/ egyváltozósak /ezeket tulajdonságoknak is nevezhetjük.
Minden tulajdonság kiemeli a szóba jöhet ı elemek halmazából azoknak
a halmazát, amelyeknek megvan az a tulajdonságuk, p l. a "páros" a
természetes számok halmazából a páros számok halmaz át/;
c/ kétváltozósak /ha relációról beszélünk, többnyire ilyenekre
gondolunk; ezek két halmaz Descartes-féle szorzatáb ól vagy más
szóval direkt szorzatából emelik ki az eredeti két halmaz bizonyos
rendezett párjainak a halmazát; lásd az ábrán az "x osztója y-nak"
relációt az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 x
x 1, 2, 3, 4, 5, 6 direkt szorzaton; itt x az els ı, y a
második halmaz egy-egy eleme helyett áll/;
d/ és így tovább, általában n-változósak , ahol n-bármely
természetes szám lehet. Minden n -változós reláció n halmaz direkt
szorzatának egy részhalmazával, vagyis rendezett n -esek bizonyos
összeségével adható meg. /Pl. háromváltozós az a re láció, hogy a és
b összege c vagy hogy X és Y gyereke Z , négyváltozós az, hogy a , b ,
c és d ebben a sorrendben aránypárt alkotnak, vagy hogy X ugyanolyan
rokonságban van Y-nal, mint U V -vel stb./
Ez a rendszerezés, különösen a/
beillesztése a sorozatba, er ıs
absztrakciós képességet kíván, és
csak valamikor nagyon kés ın kerülhet
rá sor /az iskolában esetleg
egyáltalán nem/. A legfontosabb itt
b/ és c/ szétválasztása; aztán kés ıbb
az általánosítás d/ felé. Nincs
szükség a direkt szorzat fogalmára
ahhoz, hogy ez a szétválasztás
megtörténjék.
Azt kell megértenie a gyereknek, hogy a "prím" szó egy valamire
vonatkozik, a "relatív prím" azonban kett ıre, ugyanígy a "reciprok",
az "ellentett", a "mer ıleges" stb. is kett ıre. Aki általában
megérti, hogy vannak egy valamire vonatkozó és vann ak két valami
közt kapcsolatot /relá -
- 151 -
38. ábra
ciót / kifejez ı fogalmak, az kevésbé esik bele abba a hibába, hogy
például a mer ılegest összetévessze a függ ılegessel. A reláció
fogalma egységesít ı fogalom , segít abban, hogy a tudás-töredékek
egybekapcsolódjanak, átfogó kép alakuljon ki a tanu lókban.
Egységesít ı szerepe nem szorítkozik a matematikára, szempontot ad a
mindennapi élet fogalmai között való eligazodásra i s. Amint egy
gyerek megérti, hogy más gyereknek is van mamája, m ár elkezd
relációkban gondolkozni /addig "Mama", vagy ahogy é ppen az
édesanyját nevezte, csak tulajdonnév volt/. A rokon sági relációk
gazdag változatossága jó példaanyagot ad a relációk
tulajdonságainak, inverzének, összetételének stb. i llusztrálására.
Ahogyan például a kommutativitás, asszociativitás é s egy m őveletnek
egy másikra vonatkozó disztributivitása fontos szem pontokat ad,
amelyeket érdemes tudatosítani és az összeadás és s zorzás mellett
más mőveletek vonatkozásában is megvizsgálni /hatványozás , 1n.k.o.
és 1k.k.t. képzése, két szám maximuma, minimuma, sz ámtani közepe, a
kett ı közül a második stb. stb./, ugyanilyen fontos, vag y még
fontosabb szempontok a relációk vizsgálatában, hogy reflexivek,
szimmetrikusak, tranzitivok-e, hogy két reláció kom pozíciója milyen
relációt ad, hogy egy reláció egy másiknak vagy önm agának inverze-e
stb. Csak röviden utalunk ezekre a kérdésekre, hisz en nem tartoznak
a tanterv anyagába. Nem akartuk azonban említés nél kül hagyni, hogy
olyan kérdésekr ıl van szó, amelyeket - konkrét példák alapján -
fiatal gyerekek is könnyen megértenek, s amelyek go ndolkodásuk
fejl ıdése, világképük kialakulása szempontjából is igen hasznosak.
Hogy kapcsolódik a halmaz és a reláció fogalmához a függvény
fogalma? Példák útján könnyebb megérteni, mint defi nició útján.
Ábráink három kétváltozós relációt mutatnak, amelye k az el ıbb már
szerepelt direkt szorzatnak kiemelik egy-egy részha lmazát. A második
és a harmadik relációban y az x-nek függvénye , mert x minden
értékéhez /az X= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 halmaz minden eleméhez/ y-
nak legfeljebb egy értéke tartozik, esetleg egy sem . Az els ıben ez
nem teljesül. A második relációban x is függvénye y -nak, az els ıben
és harmadikban nem. Az y < x - 3, y = x - 3, y = x - 3 relációk
közül tehát az adott értelmezési tartományon a máso dik két
egyváltozós függvényt is jellemez /y-t mint x függv ényét és az
inverzét/ a harmadik csak egyet, az els ı egyet sem.
- 152 -
Ha elsoroljuk azokat az elempárokat, amelyek együtt véve
jellemzik pl. a harmadik relációt: (1,4), (2,3), (3 ,2), (4,1),
(5,2), (6,3), (7,4), azt látjuk, hogy a párokban az els ı elem nem
ismétl ıdik; ha a második elemeket töröljük, csupa különböz ı elemet
kapunk.
Általában, ha azokban az n-esekben, amelyek együttv éve
jellemeznek egy n-változós relációt, a k-adik eleme ket törölve csupa
különböz ı /n-1/-eshez jutunk, akkor a reláció megad egy /n-1 /-
változós függvényt; a k-adik változó értékét a több i változó értékei
egyértelm ően jellemzik.
A tanárnak látnia kell ezeket az összefüggéseket. E z azonban
nem jelenti azt, hogy - ebben az általánosságban - tanítania is kell
ıket!
Mindenesetre fontos tudni, hogy a függvények a relá cióknak
speciális esetei, és az jellemzi ıket - röviden szólva - hogy
egyérték őek . y = ± √x vagy y = arcsin x /ha ez nemcsak a f ıértéket
jelenti/ relációkat adnak meg, de nem függvényeket. Aki régi
felfogás szerint többérték ő függvényekr ıl is beszél, annak, ha
következetes akar lenni, azt kell mondania, hogy y ≤ x+3 is megad
egy függvényt.
Mint láttuk, az (n-1)-változós függvények az n-vált ozós
relációknak speciális esetei. Az n-változós reláció k viszont az n-
változós függvényeknek speciális esetei: logikai fü ggvények, vagyis
olyan függvények, amelyeknek az értékkészlete kétel emő. Jelölés és
fogalmazás kérdése, hogy a két elem "igaz" és "hami s", vagy
"beletartozik" és "nem tartozik bele", vagy "1" és "0", vagy "fekete
kör" és "fehér kör" stb.
A fent alkalmazott "koordinátás" ábrázolási mód kül önösen
akkor hasznos, ha két rendezett halmaz direkt szorzatán értelmezett
relációról van szó. Egy másik ábrázolási módot a kö vetkez ı
- 153 -
39. ábra 40. ábra 41. ábra
ábrákon láthatunk, a könnyebb összehasonlítás kedvé ért ugyanazokra a
relációkra alkalmazva:
A halmazokat "krumplik",
bennük az elemeket pontok
szemléltetik; az els ı halmaz
elemeit ıl nyilak vezetnek a
másik halmaznak azokhoz az
elemeihez, amelyekkel az
illet ı relációban vannak. A
függvényt most az jellemzi,
hogy az els ı halmaz minden
eleméb ıl legfeljebb egy nyíl
indul ki.
Ha egy halmaznak önmagával való direkt szorzatszám értelmezett
relációról van szó, akkor általában célszer őbb csak egy példányban
rajzolni le ezt a halmazt. Ekkor például a reflexiv itás, szimmetria,
tranzitivitás, több reláció kompozíciójára vonatkoz ó összefüggések
igen jól szemléltethet ık. Jelentsenek például a következ ı ábrán e,
f, g, h egy síkban lev ı egyeneseket, a folytonos nyíl
párhuzamosságot, /olyan értelemben, hogy az egyenes önmagával is
párhuzamos; csúnya szóval "egyállásúságnak" is neve zhetjük/, a
szaggatott nyíl mer ılegességet. Ha tudjuk az ábrán feltüntetett
összefüggéseket és tudjuk a párhuzamosság és mer ılegesség
tulajdonságait és ezek kapcsolatát:
- 154 -
44. ábra
42. ábra 43. ábra
/reflexivitás/
/szimmetria/
/tranzitivitás/
/párhuzamosság és a merılegesség kapcsolata/
akkor az ábrán feltüntetett adatokat így egészíthet jük ki /a
kiegészít ı adatokat vékonyabb vonalak jelölik/:
Mi mutatja a
reflexivitást? A szimmetriát? A
tranzitivitást? Különböz ı
relációk kompozícióját? Melyik
tulajdonságoknak van
szemléltetés jelentése a
"koordinális" ábrázolási módban?
Ez az ábrázolási mód az
axiomatikus gondolkozás
fokozatos kialakulásának jó
eszköze. Segít abban, hogy
függetlenítsük magunkat a szemlélett ıl, csak annyit használ-
- 155 -
46. ábra
45. ábra
46. ábra
junk fel bel ıle, amennyit jogunk van felhasználni. Az a támasz, amit
ez az ábrázolásmód ad a szemléletnek, kiküszöböli a z idegen
elemeket. Ezeket a lehet ıségeket számos külföldi iskolában
eredményesen aknázzák ki már általános iskolai foko n is.
Éppen csak megemlítjük itt, hogy a reláció és a füg gvény
fogalma a geometriát - amelyb ıl most példánkat merítettünk - épp úgy
áthatja, mint a számtan - algebrát, bár ezt a tényt gyakran
elburkolja a geometria speciális szóhasználata. Has znos
végiggondolni, hogy milyen elnevezések mögött rejli k a geometriában
reláció, függvény, olyan függvény, amelynek az inve rze is függvény,
és ezek milyen halmazok direkt szorzatán vannak ért elmezve /Pl. a
sík pontjai halmazának önmagával való direkt szorza tán vagy a
sokszögek halmazának és a pozitív számok halmazának direkt szorzatán
stb./.
Ez után a kitekintés után visszakanyarodunk a függv ény
fogalmának iskolai gyakorlatunkkal inkább összhangb an lev ı
tárgyalásmódjához.
Függvény megadása táblázattal, grafikonnal, formulá val
Ha egy diák már megértette, hogy a szám nem ugyanaz , mint a
jele /pl. négy, 4, 2 + 2, 2.2, IV, 7.7+5.9 stb. kül önböz ı jelek, de
mind ugyanazt a számot jelentik/, az egyenes sem ug yanaz, mint amit
a papírra rajzolunk stb., akkor könnyebben megérti, hogy a
függvényeket is különféle módokon adhatjuk meg; pél dául az itt
látható táblázat, grafikon és formula ugyanazt a fü ggvényt adja meg
más és más formában:
- 156 -
47. ábra
/A táblázat szükségképpen csak véges számú különáll ó - diszkrét -
értékpárt tartalmazhat; a teljes egyöntet őség kedvéért ehhez
alkalmazkodtunk a másik két esetben. Rendszerint ne m ilyen
szigorúak; a grafikont, ha kell, végtelennek gondol juk, a táblázatot
pedig nemcsak mindkét irányban meghosszabbítva, han em bes őrítve is
képzeljük el, mintha az összes közbees ı értékpárokat tartalmazná./
Ez a három legfontosabb megjelenési formája az egyv áltozós
függvénynek. Mindegyiknek vannak különféle változat ai.
A táblázatban néha függ ıleges elrendezésben írjuk a számokat,
részletesebb táblázatok nem férnek el egy sorban va gy oszlopban,
ezért alatta vagy mellette több sorban vagy oszlopb an folytatjuk. Az
els ı halmaz /értelmezési tartomány/ elemeit ilyenkor ne m mindenütt
tüntetjük fel, a fönt /vagy lent/ és oldalt találha tó jeleket
összeolvasva állapíthatjuk meg az értékeiket, minth a kétváltozós
függvény értékeit olvasnánk le. x Így készülnek az un. kétbemenet ő
táblázatok. Az iskolában használt "Négyjegy ő függvénytáblázatok"
legtöbb táblázata ilyen. Fontos megértetnünk a diák okkal, amikor ezt
használni kezdik, hogy a füzetükben készített érték táblázatok
továbbfejlesztett változatával van dolgunk. Újságok ban,
folyóiratokban is gyakran látnak értéktáblázatokat, példaként
bemutathatunk nekik vagy behozathatunk velük ilyene ket, hogy
tisztázódjék, ez is ugyanaz. Bizonyítványukat is fe lhozhatjuk
példának /itt tantárgyakhoz vannak számok rendelve/ ; a különféle
árjegyzékeket, katalógusokat, anyakönyveket és más hasonló példákat
bizonyára már maguk is sorolják fel, ha megértették a fogalmakat.
________________ x Kétváltozós függvénytáblázatra a legismertebb péld ák az
egymegegy és az egyszeregy tábla:
48. ábra
- 157 -
Grafikusan is sokféle módon megadhatunk függvényeket. Ide
tartozik a "krumplikkal" és nyilakkal való ábrázolá si mód is,
amelyr ıl a relációkkal kapcsolatban volt szó /154. oldal./ A
matematikában többnyire mégis olyan függvényekkel t alálkoznak,
amelyekben egy lineárisan rendezett halmaz elemeihe z /pl. egész vagy
valós számokhoz/ egy másik ilyen halmaz bizonyos el emeit rendelik
hozzá, és ezeket koordinátarendszerben célszer ő ábrázolni. A
koordinátarendszerben való ábrázoláshoz ne absztrak tmatematikai
meggondolásokkal próbáljuk elvezetni ıket. Sokkal természetesebb az
az út, amely szemléltet ı diagrammokból indul ki. Lerajzoljuk egymás
mellé egy gyerek arányosan kicsinyített alakját 0, 1, 2, 3, 4 stb.
éves korában, egyenl ı távolságokban; azután szakaszokkal pótoljuk az
emberalakokat; a szakaszok fels ı végpontjait összekötjük, mert így
jobban felt őnik, hol volt a növekedés gyorsabb, hol lassabb; a
függ ıleges szakaszokat el is hagyhatjuk; elképzeljük, ho gy közben
hogyan n ıtt a gyerek, és ennek megfelel ıen a törött vonalat
folytonos görbével helyettesítjük. /Lásd az ábrákat !/ A szemléltet ı
diagrammtól a függvénygörbéig vezet ı most vázolt út különféle
stádiumaival sokszor találkozik a diák újságokban, folyóiratokban,
iskolája folyosóin, földrajzkönyvében stb. A matema tikatanárra hárul
azonban a fel-
49. ábra
50. ábra
- 158 -
51. ábra
52. ábra
adat, hogy a diákok közrem őködésével sorba rakja, egységbe foglalja,
kiegészítse ezeket az ismereteket. A grafikus ábráz oláshoz néha
szükség van milliméterpapírra, legtöbbször megelége dhetünk azonban a
kockás /négyzethálós/ papírral. "Mentb ıl nagyobb mértékben aknázzuk
ki a kockáspapír nyújtotta lehet ıségeket" - írja Bragyisz. "Mutassuk
meg rajta, hogyan rajzoljuk meg a függvény képét ol yan pontossággal,
amennyire ez középiskolában szükséges". Megnehezíti a tanár
feladatát, ha az ábrázoláshoz kockás táblát nem has ználhat. Tévedés
azt hinni, hogy ez valami alsó tagozatos taneszköz! Legalább 1-1 1/2
m szélesség ő, szokásos magasságú kockás táblafelületre minden o lyan
osztályban szükség van, ahol matematikatanítás foly ik. A tanár nem
mindig él vele, függvények grafikonjának felvázolás akor is gyakran
el ınyösebben tudja használni a "sima" táblát. Gyakran azonban mégis
kockás táblára van szüksége, és sok felesleges munk át és
magyarázkodást takarít meg általa a függvények taní tásakor is, a
matematika más fejezeteiben is.
A formula a legabsztraktabb és legtömörebb megadási módja a
függvénynek. Ehhez is jutnak el legkés ıbb a diákok. Ennek is több
változata van; például a 2y - 3x = 0 egyenlet impli cit alakban
- 159 -
megadja y-t mint x függvényét, de x-et is, mint y f üggvényét; az y =
1,5x egyenlet ugyanezt a két függvényt adja meg, de y-t mint x
függvényét explicit alakban; ezt az utóbbi függvény t adja meg az
1,5x kifejezés is /x minden értékéhez hozzárendeli az 1,5-szeresét/.
Mint a következ ıkben látni fogjuk, táblázat és grafikon
segítségével sokféle ismeretre szert tehetnek a diá kok a
függvényekkel kapcsolatban, miel ıtt a formulával való
kifejezésmóddal megismerkednének. Ennek sok el ınye van; nemcsak
konkrétabb és szemléletesebb, hanem általánosabb fü ggvényfogalmat is
sugall a táblázat és a grafikon, mint a formula. Az alkalmazásokban
el ıforduló "tisztességes" függvényeket persze az alkal mazások
megkívánta pontossággal, approximálni lehet pl. pol inomok
segítségével; ilyen értelemben a gyakorlat szempont jából a
formulához kapcsolt /un. Euler-féle/ függvény-fogal om gyakorlati
szempontból nem lényegesen sz őkebb az általánosnál. Mégis a
formulákkal való megadás igen sok esetlegességet re jt magában.
Vegyük például az 3 sin 2x - 1 függvényt. Ezt a szinusz-függvényb ıl
és még három egyváltozós függvényb ıl raktuk össze: négyzetreemelés,
3-mal szorzás és 1 kivonása; az utóbbiak kétváltozó s függvényekb ıl,
a hatványozásból, szorzásból és kivonásból származn ak egy
változójuknak konstanssal való helyettesítése útján . Ilyen
önkényesen kiválasztott , speciális függvényekb ıl konstruálunk meg
minden formulát, ezeknek a kiválasztása is, a jelöl ési és sorrendi
megállapodások is egy sereg esetleges, bonyolult, n em a lényeget
érint ı ismeretet hordoznak.
Út a formula felé: a törvényszer őség megfigyelése,
megfogalmazása
Bármilyen hasznos is, ha eleinte a táblázattal és g rafikonnal
való megadás szerepel a középpontban, a formuláva1 való megadás felé
is ki kell lassanként építeni az utat, hiszen ez ké pesít majd arra,
hogy végtelen halmazok közötti függvényeket is mega dhassunk teljes
egészükben, teljes pontossággal. A formulához az út a
törvényszer őségnek szavakban való megfogalmazásán át vezet. Min den
formulát szavakban is meg lehet fogalmazni /pl. "x szinuszát
négyzetreemelem és a kapott szám 3-szorosából 1-et ki-
- 160 -
vonok"/ és persze annak sincs akadálya, hogy egy új onnan konstruált,
egyel ıre csak szavakban megadható függvény számára is bev ezessünk
valami új jelet /pl. a Dirichlet-függvényt jogunk v an D/x/-szel
jelölni/. Akár szavakban, akár jelekkel írjuk le, h ogy milyen
törvényszer őség alapján képezzük a függvényértékeket, - teljes
egészében, teljes pontossággal meg tudjuk adni a fü ggvényt.
Hogyan tehetjük meg az els ı lépéseket a függvénynek szavakban
/és kés ıbb ezt tömörítve, formulával/ való megadása felé? P éldául
úgy, hogy a következ ı játékot kezdjük játszani a gyerekekkel: valaki
kigondol egy módot /nevezhetjük szabálynak, törvény nek/, amely
szerint neki mondott számokból más számokat gyárt. A többiek
feladata háromféle: egyrészt "bemen ı" adatokat mondani neki,
amelyeket ı átalakít "kijöv ı" adatokká, másrészt megpróbálni a
szabály kigondolója helyett válaszolni, ha úgy sejt i, hogy már
kitalálta a törvényszer őséget; végül - ez a legfontosabb és
legnehezebb, durva hiba volna azonosítani az el ıbbivel -:
megfogalmazni a gondolt képzési módot. A negyedik stádium volna a
formulába öntés, id ıvel erre is rá lehet térni. Szigorúan
matematikai értelemben a feladat persze határozatla n, nemcsak egy,
hanem akárhány számpár esetén is végtelen sokféle o lyan képzési mód
adható meg, amely mindegyik számpár els ı számából a másodikhoz
vezet. De itt nem probléma általános, matematikai m egoldás a cél,
hanem csak annak kitalálása, amit a gyerek gondolt. Legyen például G
a gondoló, K, L, M a kitaláló /és bemen ı adatokat mondó/ gyerekek
jele. Akkor így folyhat a játék:
K: 3.
G: 27.
L: 9-cel szorzod.
G: Nem.
M: 24-et hozzáadsz.
G: Nem.
/Ha a hatványozással is foglalkoztak már, akkor ese tleg azt is
mondják: harmadik hatványra emeled. De nincs sok ér telme a
találgatások számát szaporítani, amíg kevés rá az a lap. Ha olyan
szabályt vezetünk be: jó pontot kap a kitaláló, ros sz pontot a hibás
találgató, akkor elérhetjük, hogy megvárják legaláb b a második
feleletet, miel ıtt találgatni kezdenek./
M: 5.
G: 25.
- 161 -
0: Nem ér, megváltoztattad a szabályt. Az el ıbb 9-cel
szoroztál, most 5-tel.
G: Egyszer sem szoroztam. Most is ugyanaz volt a sz abály.
Mondjatok egy másik számot.
P. 7.
R: Azt hiszem, most ı is 7-et fog mondani. Az el ıbb harmadik
hatványra emelte, aztán másodikra, most els ıre.
G: Nem, 23.
K: Tudom. 10-re 20-at mondanál, igaz?
G: Igaz.
S: Akkor én is tudom. Az a szabály, hogy 30-ból kiv onja azt,
amit mondunk.
Bekapcsolódhat a munkába mindenki, az is, aki éppen nem szól:
táblázatba foglalhatják a bemen ı és kijöv ı értékeket, grafikont is
készíthetnek róla, aszerint, hogy milyen gyors a já ték tempója. Ha
nehezebb, több m őveletb ıl összetett szabályoknál tartanak is, a
grafikus ábrázolás révén a gyerekek gyakran ki tudj ák találni a
függvényértékeket, még ha a képzési szabályt nem is tudják
megfogalmazni; útbaigazítást ad nekik a rajz szabál yossága. De ha ki
is talált valaki egy olyan szabályt, amely ugyanazo kat az értékeket
produkálja, mint a gondoló szabálya, lehet a kett ı különböz ı.
Például lehet, hogy valaki ezt a szabályt gondolja: "A kétszereséhez
6-ot adok", egy másik pedig így adja meg a képzési szabályt: "A 3-
mal nagyobb számot 2-vel szorzom". A gyerekek csodá lkozva fedezik
fel, hogy akármilyen számokat próbálnak is ki, a ké t szabály mindig
ugyanarra az eredményre vezet. Jó alkalom ez a szim bolikus jelölés
bevezetésére és egyszer őbb azonosságokkal való játékos
megismerkedésre. A felfedezett törvényszer őségeket írják össze
füzetüknek egy erre kijelölt részére, pl.
. 2 + 6 mindig ugyanennyi, mint / + 3/. 2
. 3 + 12 ” ” ” / + 4/. 3
10 - / - 1/ ” ” ” 10 - + 1,
vagy akár
10 - /x - 1/ ≡ 10 - x + 1
- 162 -
stb. Ha már elég összegy őlt, vegyék észre, ami ezekben közös, az
után következhet annak a belátása, hogy ez szükségk éppen mindig így
van, történetek és szemléltetés útján. /Lásd 29.,30 . oldal/.
Grafikonolvasás
A táblázattal és grafikonnal megadott függvényeknek akkor is a
tanítás középpontjában kell maradniuk, ha közben el kezdjük az
általános szabály megfigyelésének, a formulába fogl alásnak az
el ıkészítését. Egyik legf ıbb teend ınk elérni, hogy diákok a
táblázatot alkotó számpárok alapján megtalálják a s ík megfelel ı
pontjait, le tudják olvasni a sík pontjainak koordi nátáit, és ha egy
grafikon van el ıttük, meg tudják találni az adott abszcisszákhoz
tartozó függvényértékeket, vagy azokat az abszcissz ákat, ahol a
függvény adott értékeket vesz fel stb. Mindezeknek készséggé kell
válni. Ezzel azonban nem elégedhetünk meg. Ha valak i egy grafikon
alapján le tudja olvasni a változó adott értékeihez tartozó
függvényértékeket, ezt még nem nevezhetjük grafikon olvasásnak,
legfeljebb sillabizálásnak. Grafikonolvasásról akko r beszélhetünk,
ha valaki egészben látja a grafikont /mint a szöveg ben a szavakat, a
kottában az ütemeket, esetleg még nagyobb egységeke t/, és ha az
értelmét is látja már annak, amit olvas: a görbe al aki tulajdonságai
alapján maga el ıtt látja annak a mozgásnak, változásnak, vagy egyéb
összefüggésnek a jellegzetességeit, amelyet a grafi kon jellemez.
Látja például, hogy itt emelkedés van, ott csökkené s, amott nincs
változás; itt lassabb a változás, ott gyorsabb; eze n a szakaszon
egyre lassul, ezen a ponton lassulni kezd; ilyen és ilyen értékeket
ezen a szakaszon ér el; stb. Az ilyen értelemben ve tt
grafikonolvasás készséggé fejlesztése - beleértve t ehát a grafikon
olvasásába a grafikon értelmezését is - elméleti és gyakorlati
szempontból egyaránt igen fontos, alapvet ı feladata az iskolának,
kezdve már az általános iskolánál. Mindenesetre fon tosabb feladata,
mint néhány olyan készség elsajátítása, amelyeknek régebben nagy
jelent ıséget tulajdonítottak /például - egy felesleges
négyzetreemelési és egy elavult négyzetgyökvonási a lgoritmus
tanítása, az interpoláció mechanizálása stb./. Le k ell küldenünk azt
a tévhiedelmet, hogy a függvény a formulánál kezd ıdik, a
matematikához csak annak van
- 163 -
köze, ami formulával megadható, hogy a függvények t anításának
keretében csak a lineáris, másodfokú, exponenciális és
trigonometrikus függvényeknek, ezek inverzeinek, es etleg még néhány
polinommal vagy polinomhányadossal megadható függvé nynek, például y
= 1/x-nek a tulajdonságaival kell foglalkoznunk. Ké tségtelen, hogy
ezek fontos függvények és fontos valóságos összefüg gésekb ıl
absztrahálhatók. Fontos megismertetni a diákokat a bel ılük
összetett, bel ılük egyszer ő transzformációk után el ıállítható
függvényekkel, hogy kés ıbb formulát is megtanuljanak olvasni, ne
csak grafikont. Nagy lehet ıséget szalasztanánk azonban el és
feleslegesen megnehezítenénk a dolgunkat, ha minden t csak formulával
megadott függvényeken akarnánk megmutatni, amit a f üggvényekr ıl
tanítani tudunk.
Ha egy táblázatot szóról szóra fordítunk le grafiko nnnyelvre,
különálló pontokat kapunk. Ez azonban gyakran - pél dául ha a konkrét
példában, amelyb ıl kiindulunk, az id ı a változó - nem elégít ki
minket, folytonos függvényt szeretnénk ábrázolni. B ıvebb információ
híján vagy egyenes szakaszokkal törött vonallá, vag y törésmentes
sima görbévé egészítjük ki a pontokból álló grafiko nt. Eleinte
ajánlatos az el ıbbit tenni, tehát /formula nélkül is/ tanulmányozni
a szakaszonként lineáris függvényeket.
Szakaszonként lineáris függvények /táblázattal,
grafikonnal/
Az egyenletes változás, mozgás grafikus képe egyene s - ez az
egyik legels ı és az egyik legfontosabb felfedezés, amelyet a tan ulók
a kockáspapíron való ábrázolás közben tesznek. Nagy hiba volna várni
vele addig, amíg a hasonlósági tételek segítségével be is tudjuk
bizonyítani. Általában: egy-egy ténnyel való megism erkedést ahhoz
kötni, hogy azt a tényt mindjárt bizonyítani is tud juk ahhoz a
felfogáshoz való ragaszkodást jelenti, amely a mate matikában csak a
kész deduktív rendszert hajlandó látni, a hozzá vez et ı utat nem.
Azt is hamar felismerik a tanulók, hogy a grafikon felfelé
haladó szakaszai növekedést fejeznek ki, a lefelé h aladók
csökkenést, a vízszintes szakaszok pedig változatla nságot
jelentenek. Mozgási feladatok útgrafikonjai esetébe n "növekedés" egy
bizonyos
- 164 -
irányú mozgást, a
"csökkenés" ellenkez ı
irányú mozgást jelent;
röviden el ırehaladást,
hátrafelé haladást
mondhatunk. Rajzoljunk
olyan ábrát is, amelyen
vannak függ ıleges vagy
visszafelé haladó
szakaszok:Valaki ilyen grafikont készített a h ımérsékletváltozásról.
Jó-e a grafikonja? Meg fogják érteni, hogy ilyen gr afikon nem
lehetséges, mert pl. egy és ugyanabban az id ıben ugyanazon a helyen
nem lehet 3 o is és 5 o is a h ımérséklet.
Irányítsuk ezek után a tanulók figyelmét arra, hogy a gyorsabb
változást meredekebb, a lassúbbat kevésbé meredek s zakaszok fejezik
ki. Ne siessünk ezzel az általános megfogalmazással ! El ıbb alakuljon
ki a fogalom, aztán rögz ıdjék szavakba, lehet ıleg minden tanuló
esetében.
Mindezeknek az ábrázolási feladatoknak a megoldásáb an eleinte
meg kell beszélnünk a tanulókkal, hogy milyen egysé get érdemes
választani a két tengelyen, mert ha szabadjára hagy juk ıket, a
legképtelenebb beosztásokat produkálják. Id ıvel önállósulnak ezen a
téren; a függvényábrázolás készségének ez igen lény eges eleme.
Késıbb egyre gyakrabban el ıfordul, hogy méreth ő rajz helyett csak a
szemléletnek támaszt adó vázlatot készítenek. De mi ndig újra adódnak
olyan problémák, amelyeket numerikusan, méretesen, a füzet és a
tábla négyzethálós beosztásának tekintetbevételével oldanak meg.
A legjellegzetesebb ezek közül a meredekség problém ája. Ha már
tudják, hogy a gyorsabb változásnak /nagyobb sebess égnek/ meredekebb
szakaszok felelnek meg, akkor hajlandók azt hinni, hogy kétszer
/általában a -szor/ olyan gyors változásnak kétszeres /a -szoros/
meredekség felel meg. Ez persze nem igaz akkor, ha a szöget
fokokban, vagy ezzel arányos mennyiségekben mérjük, és érdemes
rávezetni ıket alkalmas feladatokon át /nem megmutatni , még kevésbé
megmondani nekik!/, hogy ez az elképzelésük helytelen. Bizony os
értelemben mégis igaz az, hogy kétszer olyan gyors változást
kétszeres meredekség ő szakaszok ábrázolnak; ti. akkor, ha a
kétszeres meredekséget úgy értjük: ugyanakkora "víz -
- 165 -
53. ábra
szintes" távolságon kétszerakkorát emelkedik a vona l /vagy az út, a
domboldal, és amit még a "meredekség" szóhoz asszoc iálnak/. Ez
persze azt jelenti, hogy a meredekséget fok helyett tangensben
mérjük. A tangens fogalma így - anélkül, hogy ezt a z elnevezést
használnánk - természetes úton kezd kialakulni. Has onlóképpen el
lehetne kezdeni a szinusz fogalmának kialakítását i s - vízszintes
haladás helyett akkor a "lejt ı menti haladáshoz" kell viszonyítani
az emelkedést, ami, ha útban gondolkozunk, még term észetesebb is - a
szinusz numerikus értékeinek leolvasása azonban a k ockáspapíron nem
olyan egyszer ő, fizikai, jelentése sem olyan alapvet ıen fontos, mint
a tangensé /pl. útgrafikonnál a sebesség/. Ezért jo bb egyel ıre a
meredekségnek ennél a jellemz ıjénél, a tangensnél maradni.
Feladatmegoldás grafikonok segítségével
A függvényábrázolásról mondottak illusztrálására it t
következik egy általános iskolai 7. osztályban lefo lytatott
kísérletr ıl szóló beszámoló néhány részlete.x A beszámolóban leírt
témakör feldolgozása öt-hat héten át folyt heti 3 ó rában.
"El ıször egy személyautó és egy teherautó útjáról készí tettünk
grafikont.
A személyautó 20, a teherautó 10 métert tesz meg
másodpercenként. Hány másodperc múlva találkoznak, ha a teherautónak
40 méter el ınye van, és egymás után haladnak?
Képzeljük el, hogy helikopterr ıl fényképezzük ıket, és hogy a
fényképen az úttest egyenes vonalnak látszik. Készí tsünk
felvételeket az elindulás után másodpercenként. Hel yezzük a
fényképeket egymás mellé. /Piros személyautót, kék teherautót
rajzoltunk./ A tanulók leolvasták, hogy a személyau tó 4 másodperc
alatt éri utol a teherautót. Második ábránkon egy m ásodperc alatt 4
felvételt készítettünk. Itt már nem volt hely az au tók vázlatos
rajzának az elkészítésére sem, helyette pontokat ra jzoltunk.
Elképzeltük, hogy ha elég sok felvételt készítünk, akkor az egymás
mellé ragasztott fényképeken a mozgó testek pontsze r ő képei
________________
x A Matematika Tanítása, 1960. évi 4. és 5• szám.
- 166 -
folytonos egyenes vonallá
tev ıdnek össze, feltéve,
hogy az autók sebessége
közben nem változott. E
feladattal kapcsolatban
nemcsak a találkozás id ı-
pontját határozták meg a
tanulók, hanem azt is
leolvasták, hogy 1, 2, 3,
. . . stb. másodperc
alatt hány métert tett meg az egyik, illetve a mási k mozgó test.
Másrészt azt is, hogy mennyi id ı alatt tettek meg 10, 20, 30, . . .
stb. métert.
Egy másik feladatban az egyik autó defektet kapott. Ennek
ábrázolásakor értették meg, hogy az id ı-tengellyel párhuzamos
szakasz helybennmaradást jelent.
Miután tapasztalataik alapján kialakult bennük az a gondo1at,
hogy az egyenletes mozgás grafikonja egyenes, a tov ábbi feladatokban
csak két id ıpillanatban ábrázolták a mozgó testeket, és a két p ont
összekötésével rajzolták meg a grafikont. A tanulók különböz ı
pontosságú ábrákat készítettek, és ezért egy és ugy anannak a
feladatnak a megoldására különböz ı számértékeket kaptak. El kellett
dönteniük, hogy melyik a helyes megoldás. Ezt a köv etkez ı feladaton
figyelték meg:
Jóska versenyt fut az öccsével. Ad neki 20 méter el ınyt, mert
Jóska sebessége 4,5 m/mp, az öccséé csak 3,5 m/mp. Mikor éri utol
Jóska az öccsét?
A megoldás okoskodással: Jóska másodpercenként 1 mé tert hoz be
a köztük lév ı távolságból. A 20 métert éppen 20 másodperc alatt
hozza be. Ennyi id ı múlva találkoznak. A következ ı feladatokban
hasonló okoskodással ellen ırizték a feladatoknak a grafikonról
leolvasható megoldásának helyességét.
Egy más típusú feladatcsoportban a mozgó testek egy mással
szemben haladtak.
120 méteres szakasz két munkacsoport kövez ki, a ké t végét ıl a
közepe felé haladva. Az egyik csoport 11 m-t, a más ik 13 m-t kövez
ki naponta. Hány nap alatt végeznek az egész útszak asszal? A
grafikonok megrajzolása már könnyen ment. Az új ebb en
- 167 -
54. ábra 55. ábra
feladatban az volt, hogy okoskodással hogy számíthatjuk ki a
találkozás id ıpontját, ha a mozgó testek egymás felé haladnak.
1 nap alatt együtt 11 + 13 métert köveznek ki. A 12 0 métert
annyi nap alatt kövezik ki, ahányszor a 12-ban megv an a 11 + 13.
Felírtuk kifejezéssel is:
Arra a kérdésre is választ tudtak
adni okoskodással, hogy a munka
megkezdése után hány nap múlva
lesznek egymástól például 84 méter
távolságra.
A kérdést így fogalmazták meg:
Hány nap alatt készültek el a 120 - 84 = 36 méterre l? Válasz:
= 1,5 nap alatt
A feladatok következ ı csoportjában az egyik mozgó testnek
id ıel ınye volt.
Egy állomásról egymás után két óra különbséggel két vonat
indul el. Az els ı óránként 36, a második óránként 48 km-t tett meg.
Hány óra múlva éri utol az els ı vonatot a második?
Egy tanuló felismerte, hogy
akkor lenne a legcélszer őbb
felvételt készíteni róluk, amikor a
második el indult. Ekkor az els ı
már722 km utat tett meg, így a
feladat megoldása visszavezethet ı
az el ıbbi útel ınyös feladatra:
Mennyi id ı alatt hozza be a kés ıbb
induló a 72 km távolságel ınyt?
= 6 óra alatt.
Arra a kérdésre, hogy mikor találkoznak, kétféle mó don felelhettek:
/1/ A második elindulása után 6 óra múlva, vagy /2/ Az els ı
elindulása után 8 óra múlva. Kétféle módon tudtak f eleletet adni
arra a kérdésre is, hogy a találkozásig hány km uta t tettek meg:
- 168 -
120
11+13
36
24
56. ábra
57. ábra 72
48- 36
A tanulók kezdtek rájönni arra, hogy az ilyenféle f eladatok
okoskodással való megoldásához nem szükséges a graf ikonok nagyon
gondos megrajzolása, elegend ı vázlatos rajz is, amely lehet ıleg
arányosan szemlélteti az adatok közti összefüggések et. Az alábbi
feladatot már így dolgoztuk fel:
A városból B városba félórás id ıközzel két repül ıgép indult
útnak. Az els ı gép óránként 360 km-t tett meg, a másik gép 540 km -t.
Mikor az els ı gép megérkezett B városba, akkor a második gép még 100
km-re volt B-t ıl. Milyen messze van a két város egymástól?
El ıször arra kellett rájönniük, hogy a második gép
elindulásának pillanatáig az els ı már 180 km-t tett meg. Az eddig
megoldott feladatok emlékei
merülhettek fel abban a tanulóban,
aki így okoskodott: A nagyobb
sebesség ő gép óránként 540 - 360 =
180 km-t hoz be a hátrányból. Tehát
1 óra múlva találkoznának, és így 1
óránál rövidebb id ı alatt csökken a
távolságuk 180 km-r ıl 100 km-re. Ez
után a becslés után megbeszéltük,
hogy mennyi id ı alatt csökkenhet a
két gép távolsága 80 km-rel.
Annyi óra alatt, ahányszor a 80-ban megvan az 1 óra alatti
távolságcsökkenés, a 180 km : = óra alatt . Az AB
távolságot az els ı gép + = óra alatt teszi meg, és így
az AB távolság: 360 . = 20.17 = 340 km. Ezt az eredményt a
következ ı módon ellen ırizték: AB = 540 . + 100 = 60.4 + 100 =
340 km.
A grafikonon megmutatták az 540 . km-t ábrázoló szakaszt, a
nagyobb sebesség ő gép óra alatt megtett útját.
Ett ıl kezdve már nem is használtuk a négyzethálós táblá t,
hanem helyette az el ıbb ismertetett módon csak vázlatos rajzot
készítettünk,
- 169 -
6 . 48 = 8 . 36 = 288 km.
80
180 4
9 1
2
17
18
4
9 17
18 4
9
4
9
4
9
57. ábra
Eddig adott szöveges feladatokhoz készítettük grafi konokat. Az
egyik órán ennek a fordítottját gyakoroltuk: adott grafikonokhoz
szöveges feladatokat készítettünk konkrét adatok né lkül.
59. ábra
Például az 1/ ábrához ilyesféle szöveget mondtak: K ét mozgó
test indul el ugyanarról a helyr ıl, egyszerre, egy irányban. Ha a
sebességüket ismerjük, akkor már azt is tudjuk, hog y óránként
mennyit távolodtak egymástól, és így ki tudjuk szám ítani például
azt, hogy hány óra alatt n ı a távolságuk adott nagyságúra. /Például:
ha a sebességkülönbségük 15 km óránként, akkor 100 km-re 100/15 óra
alatt növekszik a távolságuk./
Ezután munkára vonatkozó feladatok megoldására is
felhasználtuk a grafikus módszerét.
Több egyszer ő feladat megoldása után a Laricsev-példatár
1264/3-as feladatát tárgyaltuk:
Egy favágóbrigádnak a terv szerint naponta 50 m 3 t őzifát
kellett termelnie; a brigád azonban naponta 56 m 3 t őzifát ter-
- 170 -
melt. Így a határid ı el ıtt 3 nappal már 120 m 3 t őzifával termelt
többet, mint amennyit a terv szerint kellett volna. Összesen hány m3
t őzifát kellett volna termelnie a brigádnak?
A szöveg alapján a következ ı lépésekben készítettük el a
grafikont osztályfoglalkoztatással /az 1-9. lépést az ábrán követni
lehet/:
60. ábra
1. Az id ıtengelyen megjelöltünk egy pontot, ez a határid ıt
jelentette.
2. A másik tengelyen is megjelöltünk egy pontot, ez jelentette
a terv szerint kitermelend ı t őzifa mennyiségét.
3. Megrajzoltuk a munka tervezett lefolyásnak grafi konját.
4. Megjelöltük az id ı-tengelyen a határid ınél három nappal
korábbi id ıpontot.
5. Megrajzoltuk a valóságosan elvégzett munka grafi konját.
6. Feltüntettük a túlteljesítést.
Ilyen grafikonnal még nem találkoztak a tanulók. Az eddig ismert
grafikonokra való visszavezetés a következ ı ötlettel sikerült:
elképzeltük, hogy a hátralév ı három napon is tovább dolgoznak.
7. Szaggatott vonallal megrajzoltuk a munka további menetének
grafikonját.
8. Odaírtuk az utolsó három nap termelését: 3 . 56 /m3/.
9. Így a tervet 3 . 56 + 120 = 288 m 3-rel teljesítenék túl.
Ekkor már ráismertek a hasonló típusú mozgási felad at megoldására és
tovább folytatták a gondolatmenetet:
- 171 -
10. Mivel naponta 6 m 3-rel termeltek többet a tervezettnél,
ezért a 288 m 3-es túlteljesítést 288 : 6 = 48 nap alatt érték vol na
el. Ennyi id ı alatt kellett volna elvégezniük a munkát.
11. A terv szerint naponta 50 m 3 t őzifát kellett termelniük,
48 nap alatt tehát 48.50 = 2400 m 3-t.
A módszert felhasználhatjuk egyenletrendszerre veze t ı szöveges
feladatok megoldására is.
A és B távolsága 17 km. A-ból B felé egy gyalogos, B-b ıl A
felé egy kerékpáros indul el egyid ıben. Egy félóra múlva már csak 5
km-nyire vannak egymástól. Ekkor a gyalogos 10 perc es pihen ıt tart.
5 perccel az után, hogy újra útnak indult, találkoz ik a
kerékpárossal. Mekkora a sebességük?
30 perc alatt ketten összesen 12 km-t
tesznek meg, 5 perc alatt 2 km-t. 10
percig - amíg a gyalogos pihent -
csak a kerékpáros haladt, ez alatt 5
- 2 = 3 km-t tett meg. A kerékpáros
sebessége ebb ıl már könnyen
kiszámítható: 60 perc alatt 6 . 3 =
18 km-t tett meg. Az els ı 30 percben
összesen megtett 12 km útból 9 km jut
a kerékpárosra, a gyalogosra 3 km. A
gyalogos sebessége tehát 6 km/óra".
X X X
Nagy eredmény, hogy a tanulók megtanulnak grafikonb an
gondolkozni és grafikonok segítségével problémákat megoldani, még ha
csak a grafikonnal leírható jelenségeknek olyan sz ők kis szektorában
is, mint az egyenesvonalú egyenletes mozgások. Még nagyobb eredmény,
ha a látókörük kitágul és másféle jelenségeket is l e tudnak
fordítani a grafikonok nyelvére és viszont. A beszá molóból láthatjuk
az erre vonatkozó törekvés nyomait is /gondoljunk a fatermelési
feladatra/. Sok lehet ıség van a látókör további kib ıvítésére. Egy
olyan kis változtatás, hogy egyenes grafikonnal, má r meglepheti az
egyenes pályában való gondolkozáshoz rögz ıdött tanulókat. El ıször
talán valami polárkoordinátarendszer-félével
- 172 -
61. ábra
próbálkoznak. Rá lehet ıket vezetni, hogy a szokott ábrázolási mód
most is megfelel, csak azt kell tudniuk, hogy amiko r az út végén van
a mozgó test, akkor egyúttal az út elején is van. K eressünk még
példákat id ıt ıl függ ı egyéb változásokra /nem úton mozgásra/
Próbáljuk átvinni a módszert olyan esetekre is, ami kor nem az id ı a
változó!
Egyenletmegoldás grafikus ábrázolással egybekötve
A következ ı óraleírás többek között azt illusztrálja, hogyan
lehet hasznosítani egyenletmegoldással kapcsolatban azt az
el ıkészít ı munkát, amire az el ızı szakaszban láttunk példát. Az óra
egy általános iskolai 8. osztályban folyt le, de is koláink többségét
nézve nem jellemz ı erre az évfolyamra; inkább lehetne 2. gimnáziumi
órának gondolni.
X X X
Egy tanuló cédulán feladatot kap, a táblánál elkezd dolgozni a
megoldásán.
A többi kinyitja a füzetét, a tanár kérdéseket dikt ál, ezekre
írásban felelnek. Ilyen kérdések hangzanak el /a ta nulók mindjárt
ilyen elrendezésben írják, de a harmadik oszlopba a felelet kerül/:
Aki leírta egy-egy kérdésre a feleletet, hátrad ıléssel jelzi,
hogy készen van. A végén megbeszélik a helyes felel eteket. Ki kapta
ezt az eredményt? Ki jutott más eredményre? Az utol só két kérdésre
többen 3/60 km-rel és 3000/60 km-rel feleltek. Tisz tázzák, hogy ezek
helyes feleletek, de 1/20 km és 50 m egyszer őbb válasz a kérdésekre.
A tanár a felel ı felé fordul. Az még dolgozik, "valamit
elhibáztam", mondja, töröl és újrakezdi. Addig a ta nár még ad egy
el ıre elkészített tartalékfeladatot az osztálynak:
- 173 -
4 óra, 20 km, sebesség?
5 óra, a km, sebesség?
a óra, t km, sebesség?
1 óra, 3 km, 1 perc alatt hány km?
1 perc alatt hány m?
- Két test egyszerre indul, egyenletes sebességgel. Az egyik a
percig halad, a másik 3 perccel tovább. Mindkett ı u utat tesz meg.
Írjátok fe1 a sebességüket!
Mire megbeszélik, hogy a helyes válaszok
m/perc és m/perc
addigra a felel ı is elkészül. Az egész osztály ırá figyel, míg
elmondja az els ı feladatát:
= Ha az autó 50 km/óra átlagsebességgel megy A váro sból B
városba, akkor 1 órával a kit őzött id ıpont el ıtt ér oda. De csak 35
km/óra átlagsebességgel tud haladni, és így 2 óráva l a kit őzött
id ıpont után ér oda. Milyen messze van A-tól B?
A táblán ez a rajz látható:
A tanár az osztályhoz
fordulva kérdezget:
Melyik szakasz mutatja az AB
távolságot? az eltelt id ıt, ha
50 km/óra a sebesség? stb.
Megbeszélik, hogy a rajz nem
méreth ő, csak vázlat.
A felel ı a rajz alapján
elmagyarázza az okoskodását: Ha
35 km/óra sebességgel halad,
akkor 1 órával a kit őzött
id ıpont el ıtt még 3 órai útja
van hátra, ez 105 km. Ha 50
km/óra sebességgel haladna, éppen ekkor érne be. 10 5 km-rel marad le
azért, mert 15 km-rel kevesebbet tesz meg óránként. Ekkora
elmaradáshoz 105: 15 = 7 óra kellett. 7 óra alatt 5 Ó km/óra
sebességgel 350 km-t tett volna meg, ekkora a távol ság.
/Ez csak a magyarázat lényege./
Másik példája megoldásból ez látható a táblán:
2x2 + 8x + 6 = 0
2x/x+1/ + 6 /x+1/ = 0
/2x+6/ /x+1/ = 0
- 174 -
u
a
u
a+3
62. ábra
= /Szóban folytatja/ Ha egy szorzat értéke 0, akkor legalább
egyik tényez ıje is 0.
- Elég, folytassa az osztály!
Jelentkeznek, megmondják a gyököket.
= Felírja: /3a + 3//a + 2/ = 0
Az el ıbb nem elegen jelentkeztek, a tanár a többiek közül
szólongat. Megbeszélik a megoldást.
A 45 percb ıl eddig 19 perc telt el.
- Távirati stílusban diktálok egy feladatot. Ki les z a
táviratfelvev ı?
Valaki jelentkezik, de egyel ıre ı is jegyez a többivel
együtt:
7 óra 30. A-ból B-be teherautó
8 óra. A-ból B-be motorkerékpár. Sebessége 6
km/órával nagyobb.
11-kor utoléri. Sebességük?
A "táviratfelvev ı" elmondja részletesen a feladatot.
- Mindenki így értette?
Egy valaki. már rajzol a táblára:
Az a/2 hosszúságú
szakaszra mutat: ez a távolság 3
óra alatt fogy el.
Ellen ırz ı kérdés a
gyengébbekhez:
- Miért a/2 az a távolság?
/Megmondják./
- Mit érdemes ebb ıl
feljegyezni?
Táblázatot készítenek:
km/ó óra km
teherautó a 3,5 3,5a
motorkerékpár a+6 3 /a+6/3
A táblára a tanár ír, a gyermekek s őr őn váltogatva diktálnak.
Amikor a zárójelet nem diktálják, nem is írja, de m osolyog, a
gyerekek szólnak, bólint, beírja.
- 175 -
63. ábra
Nem tesz fel kérdést, vár. A gyerekek maguk mondják :
ugyanakkora utat tettek meg, azért az utolsó oszlop alapján
3,5a = /a + 6/3
/A tanár ír a táblára a gyerekek a füzetbe./
Megint vár, jelentkeznek, szólítja hol az egyiket, hol a
másikat, azok stafétaszer ően folytatva mondják:
= A jobboldalon összeg szorzása van. Összeget tagon ként
szorzunk. 3a + 18 lesz. Az egyenlet:
3,5 a = 3a + 18
/Tanár a táblára írja./
= Az összeg egyik tagja az összegnek és a másik tag nak a
különbsége. /El ıször így mondják: az összeg ismeretlen tagja az
összegnek és az ismert tagnak a különbsége. Tisztáz ódik hogy itt
éppen fordítva érdemes ezt alkalmazni, és nem is fo ntos melyiket
ismerjük, melyiket nem./ Az új egyenlet /írják, tan ár a táblára ık a
füzetbe/:
0,5 a = 18
a= = 36
- Befejeztük a feladat megoldását?
= Nem. Be kell helyettesíteni, meggy ızıdni, hogy helyes-e.
- De mi helyes-e? Mit jelölünk a-val? /Elmondják./ Mi volt a
kérdés? /Megmondják, ellen ırzik a megoldást a szöveg alapján./
Megint távirati stílusban diktál.
6 óra: A-ból B-be lovaskocsin.
8 óra: B-ból A-ba kerékpáros, sebessége 5 km/órával
nagyobb.
12 óra: találkoznak.
AB = 145 km
Sebességük?
Szólít egy gyereket: Hogy indulnál?
= Grafikonnal. Aztán majd meglátjuk. /A gyerek a kö vetkez ı
rajzot készíti:/
- 176 -
18
0,5
- Jó a grafikon? /Az
osztálytól kérdezi./ Mit jelent ez
a vízszintes szakasz? Hát a
találkozás után mi lett velük?
Elt őntek? Köddé váltak? /Nevetnek,
vitatkoznak, eldöntik, hogy lehet
kiegészíteni a rajzot, ha
folytatják az útjukat./
Az óra további részében
elkészítik itt is a táblázatot:
sebesség menetid ı út
km/óra óra km
kocsi a 6 6a
kerékpáros a + 5 4 /a + 5/4,
felírják az egyenletet:
6a + /a+5/4 = 145,
a megoldás azonban már házi feladatnak marad. Szorg almi feladatot is
ad: már többen gondolkoztak azon, mi a legnagyobb s zám, amit három
2-essel fel lehet írni /2 22/, három 3-assal is megoldották /3 33/,
most nézzék meg három 4-essel!
Egyenes és fordított arányosság, lineáris függvény
/formulával is/
Szó volt már a függvények formulaközéppontú tanítás ának
hátrányairól és veszélyeir ıl.
A formulák bevezetése azonban bizonyos függvényekke l
kapcsolatban el ıbb-utóbb elkerülhetetlenné lesz; nincs is semmi
szükség az elkerülésére. Azok az esetek, amelyekben erre a
leghamarabb sor kerül, általában az egyenes arányos ság, a fordított
arányosság és – az el ıbbi általánosításaként – a lineáris függvény.
A lineáris függvény maga a polinomoknak, a fordítot t arányosság a
racionális tört függvényeknek speciális esete.
- 177 -
64. ábra
Ez a besorolás különös lehet annak, aki megszokta, hogy az
egyenes és fordított arányosságról mennyiségekkel k apcsolatban
beszéljen, a polinomot pedig formálisan értse. De a z iskolában a
polinomokkal mint függvényekkel foglalkozunk, amely eket konkrét
mennyiségek közötti függvénykapcsolatokból absztrah álunk egyszer őbb
esetekben. A polinomok legtöbbjénél a konkrét tapas ztalati háttér
már hiányzik, ahogyan a 3756453-ról sincs olyan ért elemben konkrét
tapasztalatunk, mint a 3-ról. Mégis egyforma joggal tekintjük
mindkett ıt természetes számnak.
Az egyenes és a fordított arányosság jellemz ıit leolvashatjuk
a következ ı táblázatokról, formulákról és grafikonokról:
Egyenes arányosság
Az egymásnak megfelel ı értékpárok hányadosa állandó.
Például
vagy
Fordított arányosság
- 178 -
1 = 2 = 3 . . = 2
0,5 1 1,5
0,5 = 1 = 1,5 = . . 0,5
1 2 3
65. ábra
66. ábra
Az egymásnak megfelel ı értékpárok szorzata állandó.
Például
1.6 = 2.3 = 3.2 = . . . =6
/Akár az értelmezési tartomány és az értékkészlet, akár a függvények
értelmezésében szerepl ı állandó hányados, illetve szorzat negatív is
lehet, bár az alkalmazások többségében pozitívok./
Meglep ı, hogy ezzel a két egyszer ő függvénnyel mennyi baj van
az iskolában. Ebben bizonyos rossz tanítási hagyomá nyok is
elmarasztalhatók. Felesleges például a fordított ar ányosság
tanításában is hányadosokra mondani ki összefüggést szorzatok
helyett „a változó bármely két értékének hányadosa egyenl ı a
megfelel ı, de fordított sorrendben vett függvényértékek
hányadosával”. /Maga a fordított arányosság elnevez és is innen
ered./
Ma már ez a tanítási megszokás kivesz ıben van, bár bizonyos
poziciókat még mindig tart, tankönyvekben is látjuk nyomát. Az
állandó szorzat hangsúlyozása azért is fontos, mert fizikai
mennyiségek esetében ennek általában egyszer ő fizikai jelentése van:
pl. adott távolság esetén a megtételéhez állandó se besség mellett
szükséges id ı és ez a sebesség fordítottan arányosak, s a szorza t
éppen az a bizonyos adott távolság. Egyenes arányos ság esetében is
azért jobb a függvényértéknek és a változó megfelel ı értékének a
hányadosát nézni, - vagyis a táblázat különböz ı soraiban lev ı
mennyiségek hányadosát -, mert ennek van egyszer ő fizikai jelentése.
Ha a függvényértéket osztjuk mindig a változó megfelel ı értékével
/mint fent a „Fordított arányosság” címszó fölött/, az így kapott
állandó hányadost nevezzük /az illet ı függvényre vonatkoztatva/
arányossági tényez ınek .
Az aránypár ismert tulajdonságai folytán természete sen az
egymásnak megfelel ı értékpárok hányadosa más értelemben is egyenl ı:
a változó bármely két értékének hányadosa egyenl ı a megfelel ı
függvényértékek hányadosával. Ez azonban kevésbé fo ntos összefüggés,
mert az így kapott hányados nem jellemz ı a leírt jelenségre, hiszen
függ az értékek megválasztásától.
Érdekes magyarázata van annak, hogy miért hangsúlyo zták hosszú
id ın át mégis inkább az utóbbi hányadosok egyenl ıségét, és a
fordított arányosság esetében is miért ragaszkodtak az ennek
megfelel ı bonyolult definicióhoz. Azért, mert azt hitték, ho gy
különnem ő mennyiségeket nemcsak összeadni és kivonni, hanem
- 179 -
osztani és szorozni sem lehet. Ezt akarták elkerüln i a táblázat
ugyanazon sorágban szerepl ı /tehát egynem ő/ mennyiségek hányadosának
a képzésével. /Vö. 66.oldal./
Irányítsuk rá a tanulók figyelmét arra, hogy ha pl. s arányos
t -vel /ez így magában egyenes arányosságot jelent, lásd a fenti
példát/, akkor t is arányos s-sel, csak az arányoss ági tényez ı az
el ıbbi reciproka. Az egyenes arányosság csak ebben az értelemben
kölcsönös /a "szimmetrikus" jelz ı itt nem volna helyén való/, a
fordított arányosság azonban a szó szoros értelmébe n az, ugyanazzal
a konstanssal.
A fordított arányosság grafikonjára bevezethetjük a derékszög ő
hiperbola /nem pedig "egyenl ıszárú hiperbola"!/ elnevezést. Jó, ha
megfigyelik a tanulók ennek bizonyos alaki tulajdon ságait,
szimmetriáját és azt, hogy a tengelyeket tetszéssze rinti mértékben
megközelíti, de el nem éri. Az "aszimptota" elnevez éssel ajánlatos
várni addig, amíg más példát is látunk rá, nehogy a tanulók a
fogalmat lényegtelen elemekkel kapcsolják egybe, pl . avval, hogy
kett ı van bel ılük, mer ılegesek, a koordintatengelyekkel esnek egybe.
Az egyenes arányosság közvetlen általánosítása a li neáris
függvény. Példa rá a Celsius- és Fahrenheit fokban kifejezett
hımérséklet kapcsolata:
f = 1,8 c + 32
Ha a korábban leírt módon táblázat és
grafikon alapján már megismerkedtek vele
és "szabályok megtalálásával" is eleget
foglalkoztak, akkor ez az általánosítás
igen könny ő. Jó tisztázni, hogy itt az
egymásnak megfelel ı értékek hányadosa
általában nem egyenl ı, de az egymásnak
megfelel ı különbségek hányadosa igen,
pl.
Ez a hányados /ha mindig a
függvényértékek különbségét osztjuk a
változó értékeinek különbségével/ id ı
függvé-
- 180 -
68 – 50 = 14 - /-4/ = 1,8
20 – 10 /-10/ - /- 20/
67. ábra
nyei esetében a változás sebességét, általában a fü ggvény
deriváltját jelenti. Anélkül hogy azt a szót kimond anánk, ezt a
fogalmat készítjük el ı. A különbségek hányadosának képzése persze ne
valami égb ıl pottyant ötlet legyen /miért nem a hányadosok
különbsége, vagy a szorzatok összege? – kérdezhetné k/, hanem
természetesen adódjék valamilyen feladatból. Ilyen lehet például egy
autó /egyenletesnek tekintett/ sebességének kiszámí tása egy
útszakaszon a kezd ı és a végs ı id ıpont és a kilométerk ı /vagy
kilométeróra-állás/ alapján.
A lineáris függvény /vagy esetleg már az egyenes ar ányosság/
alkalmat adhat annak megbeszélésére, mit jelent a f ormula
szempontjából, ha egy függvénynek az inverzét vessz ük. A kiindulás
ez lehet: „Most a másik mennyiség értékeit ismerjük .” Azt már a
táblázattal és a grafikonnal megadott függvények ta nításakor
tudatosítani lehet, hogy a táblázat két sorának fel cserélése a
„pozitív” szögfelez ın át való tükrözéssel egyértelm ő: mindkett ı azt
jelenti, hogy az abszcisszák és az ordináták felcse rél ıdnek. A
formulára vonatkozóan ez a két változó /pl. x és y/ szerepcseréjét
jelenti: így például y = 2x – 5 inverze x = 2y – 5, ha mindkett ıben
x jelöli a változót és y a függvényértéket. Az utób bit explicit
alakra hozva az y = 0,5 – 2,5 egyenlettel fejezhetj ük ki y = 2x – 5
inverzét. Érthet ıbb lesz a gondolat, ha konkrét függvényb ıl indulunk
ki /h ımérsékletek átszámítása, út mint az id ı függvénye, rúd
hosszának függése a h ımérséklett ıl stb./.
- 181 -
6. A GEOMETRIATANÍTÁS KEZDENE
A geometria kapcsolata más tárgykörökkel,
különálló helyzete
Bizonyára mindenki egyetért azzal, hogy arra kell t örekednünk:
a tanulók ne egymástól elszigetelt ismerettöredékek et sajátítsanak
el, hanem egységben lássák a matematikát. Ezt az el vet nemcsak egy-
egy tárgykörön belül kell igyekeznünk megvalósítani , hanem a
matematika egészére vonatkozóan is. Láttuk, hogy a számtan és az
algebra közti határvonal elmosódóban van. A geometr ia sokkal inkább
ırzi különálló helyét a matematika iskolai anyagában . Régebben, ez
olyan küls ı körülményekben is megmutatkozott, mint a külön tan könyv
és a külön heti óraszám; ma már egyre kevésbé. x Persze az, hagy a
geometriakönyvet egybef őzik a számtannal vagy az algebrával, még nem
jelenti ezekek a résztárgyaknak az egybeolvadását, sıt az sem, ha a
tankönyvben és a tanításban s őr őn váltják egymást a fejezetek. Ezek
csak formák, amelyek itt-ott kedvez ı lehet ıséget adnák a
kapcsolatteremtésre - általában kedvez ıbbet, mint a mechanikus
egymás mellett futtatás vagy az ugyancsak mechaniku s egymás után
helyezés -, de a problémát mégsem oldják meg. A geo metria
felépítésmódjában, nyelvezetében, jelöléseiben, a h ozzáf őzıdı
tanítási hagyományokban számos olyan tényez ı van, amely az
egybeolvadást hátráltatja.
______________ x Az Egyesült Államokban ma is annyira éles a különv álás, hogy
a 9. osztályban általában csak algebrát tanítanak, a 10.-ben csak
síkgeometriát, a 11.-ben megint algebrát, a 12.-ben általában több
résztárgyat is, pl. trigonometriát, térgeometriát s tb.
- 182 -
A különállás jelentékeny részben Euklidésznek és m ővének nagy
tekintélyével magyarázható. Igaz, hogy az Elemeket tankönyvként ma
már nem használják, mint a múlt században, s ıt itt-ott még századunk
elején is, a tankönyvek többsége és a tanítási gyak orlat azonban
mindmáig többé-kevésbé meg ırizte a több mint két évezredes tradíció
nyomait, mégpedig nem mindig a jóhoz való tudatos r agaszkodásképpen,
néha csak a tehetetlenség erejénél fogva. A tradíci ó értelmetlen
követése például az, hogy a geometriaórákon magától értet ıdı
tényeket is bizonyítani szokás olyankor, amikor a d iákok még a
bizonyításokban járatlanok. A fels ıbb osztályokban talán el lehet
érni ezt a szintet, de a bizonyítógeometriát ezzel nem lehet
kezdeni, mert a tanulók túlnyomó többsége számára a z ilyen
bizonyítások semmit sem jelentenek. /Vö. 202. old./ Érdekes
összehasonlítani ebb ıl a szempontból a geometriát az algebrával,
ahol viszont a deduktív felépítés csak nyomokban ta lálható. Pedig
ezt nem a tárgykörök természete hozza magával! Elle nkez ıleg, a
geometriában - éppen szemléltetés volta miatt - neh ezebb
különválasztani azt, amire adott premisszákból köve tkeztethetünk,
attól, amit az ábra láttat. Arra pedig, bonyolult s truktúrája miatt,
különösen alkalmatlan ez a tárgykör, hogy az axiómá kig visszavezetve
viszonylag hézagmentes deduktív felépítésben tárgya ljuk középiskolai
fokon. Az algebra bizonyos fejezeti, amelyek az isk olai anyagban még
nem vertek gyökeret - például a csoportelmélet és a hálóelmélet -
valószín őleg alkalmasabbak erre. /Vö. 329.old./
A geometria több évezredes különállása a matematika többi
részét ıl megmutatkozik a hagyományos nyelvezetben és
fogalomrendszerben is. Erre kés ıbb nem egy példát látunk.
El ısegítheti a különállás felszámolását, a geometriána k a matematika
más részeivel való egybeötvözését a halmazelmélet é s a matematikai
logika néhány elemi fogalmának, nyelvének, jelölése inek mértéktartó
alkalmazása a matematika különböz ı fejezeteiben, köztük a
geometriában. Nem szabad azonban azt hinnünk, hogy az egyöntet ő és
modern frazeológia és jelölésmód mindjárt a tanítás is egységessé és
korszer ővé teszi. A "ponthalmaz" szót ugyanúgy lehet értelm etlenül
használni, mint a "mértani hely" elnevezést, és ha valaki az
ekvivalencia jelét használja, s úgy derül ki róla, hogy nem tudja,
mit jelent két állítás ekvivalenciája, az kirívóbb, mint ha a
"szükséges és elégséges feltétel", "akkor és csak
- 183 -
akkor, ha", "megfordítható állítás", "jellemz ı tulajdonság"
szakkifejezések dzsungelében téved el. Ez azonban n em lehet érv az
egységesebb, egyszer őbb és korszer őbb szó- és jelhasználat ellen!
Az egybeötvözésnek más eszközei is vannak. Egy közü lük a
koordinátarendszer, amelynek segítségével geometria i tényeket
számtani-algebrai nyelvre, számtani-algebrai tények et geometriai
nyelvre lehet fordítani. Amikor az algebrában egyen leteket
ábrázolunk vagy amikor a koordináta-geometriában al akzatok
egyenletét írjuk fel és ezek alapján okoskodunk, ak kor az algebra és
a geometria között építünk ki kapcsolatot. A vektor fogalma a
trigonometriát és az analitikus geometriát egymássa l és az
algebrával is szorosabban összekapcsolhatja. Az alg ebra és a
geometria között a csoport fogalma is szorosabbra f őzheti a
kapcsolatot.
Amennyire helyes ezeknek a kapcsolatoknak a korán k ezd ıdı,
fokozatos kiépítése - gondoljunk például a kockáspa pír nyújtotta
lehet ıségek kiaknázására, a geometriai alakzatok egyértel mő és
pontos megadásában /Vö. 194.old/-, ugyanannyira hel ytelen volna
korai formalizálással háttérbe szorítani az elemi g eometria saját
gondolatvilágát, szemléletes fogalmait, egyszer ő problémamegoldó
módszereit. Van egy bizonyos analógia egyrészt a sz ámtan és az
algebra, másrészt az elemi geometria és a - koordin áták, vektorok,
csoport fogalma útján vagy más módon - "formalizált " geometria
között. Amilyen hamis alternatíva az, hogy inkább k ésıbb vezessük-e
be az algebrát /és addig kerülgessük az algebrai fo galmakat, akkor
is, ha már megérett a helyzet a bevezetésükre/ vagy "térjünk át" az
algebrai módszerek alkalmazására. /és attól kezdve az olyan
feladatot is egyenlettel oldjuk meg, amit anélkül k önnyebb volna,
ugyanolyan hamis alternatíva az, hogy inkább minél korábban vagy
inkább minél kés ıbben "térjünk át" a formalizált, aritmetizált
geometria tanítására. Nem áttérni kell egyikr ıl a másikra, hanem
egymás mellett alkalmazni a kett ıt, folyton mérlegelve mindegyiknek
a viszonylagos el ınyeit, folyton gyakorolva az egyik nyelvr ıl
másikra való fordítást. Ez az egymásmellettiség tes zi lehet ıvé, hogy
a formalizált kifejezésmódok tartalmassá, absztrakt formájukban is
egyre szemléletesebbekké váljanak, el ınyeik egyre inkább
kidomborodjanak, anélkül, hogy bármikor is teljesen kiszorítanák az
elemibb kifejezésmódokat.
- 184 -
A geometriatanítás szemléletes foka
Az eddig mondottak az iskolai geometriatanítás egés zére
vonatkoztak, most térünk rá a geometriatanítás kezd ı szakaszának
kérdéseire. Ennek a céljával és lehet ıségeivel kapcsolatban érdemes
idézni az olasz Emma Castelnuovo szavait x; "Úgy gondolom, hogy a
szemléleti fokon való geometriatanítás f ıcélja felkelteni a tanuló
érdekl ıdését, és így egyúttal a kedvét és kutató szenvedél yét is, a
geometriai alakzatok alapvet ı tulajdonságai iránt, a technika, a
mővészet és a természet ezernyi tényének megfigyelésé n keresztül. A
tanulónak azonban véleményem szerint csak akkor tám ad kedve a
geometriához, ha alkotó munkát végeztetünk vele. Eg yrészr ıl arra
kell törekednünk, hogy tápot adjunk a 11-14 éves gy erek természetes,
ösztönös kíváncsiságának, és úgy kell matematikai f elismerésekre
vezetnünk, hogy érezze, ı maga is tett valamit; másrészr ıl jó, ha
már ebben az id ıszakban is megéreztetjük vele apródonként a tisztán
logikai okoskodás szükségességét."
Az általános iskola tanterve megtalálható a jegyzet
függelékében /482.-494. old./. Jellemz ı a tantervre a speciálistól
az általános felé való igen lassú haladás. Például az 5. osztályban
még csak derékszög ő háromszög szerepel - mint a téglalap fele -, a
6. osztályban ehhez még mindig csak az egyenl ıszárú háromszög
csatlakozik, csupán a 7.-ben jelenik meg a háromszö g, majd a sokszög
fogalma. A szovjet iskolákban a sorrend fordított: a sokszög fogalma
után kerül sor a háromszögre, majd az egyes speciál is háromszögekre.
Ez a sorrend annyiban helyesebb, hogy az egészt ıl, az átfogó képt ıl
halad az egyes részletek felé. Nincs az a rajztanár , aki ne csóválná
a fejét, ha azt látja, hogy valaki a kisujjánál kez di rajzolni az
emberalakot, ahelyett, hogy el ıször fölvázolná az egészet, aztán
kezdene hozzá a részletek kidolgozáséhoz. A tanár f ejében megvan az
átfogó kép, és amikor a speciálisról beszél, már az általánoshoz
viszonyítja. A diák nem tud mihez viszonyítani; a r észismeretek igen
nehezen állnak össze a fejben egy egésszé, ha ehhez nem kap
segítséget. A konvex és konkáv fogalmához például n em ördöngösség
elvezetni a
______________ x Castelnuovo /1956/, 3.old.
- 185 -
tíz-tizenegy éves diákokat elegend ı számú konkrét példa alapján.
Jobb ezekbe az általánosabb fogalmakba illeszteni b e a konvex
sokszög és konvex szög , konkáv sokszög és konkáv szög x speciálisabb
fogalmát, mint külön-külön bajlódni az utóbbi fogal makkal. Azt
lehetne mondani, hogy a konvex és konkáv deltoid, k onvex és konkáv
szög stb. lesz majd az az "elegend ı számú konkrét példa", amib ıl
évek múltán kialakul az általános fogalom. Ha azonb an erre várunk,
soká állnak össze a részismeretek egységes egésszé, ha valaha is
összeállnak. Az "elegend ı számú konkrét példának" ugyanis nem kell
külön-külön nevet adni, nem kell a tulajdonságait t anulmányozni
ahhoz, hogy a tanulók észrevegyék, mi bennük a közö s. Elég egy
ábrasorozat - és egy másik, ellenpéldákkal -, s hog y megvan-e a
tanulók fejében is fogalom, elárulja az, hogy ık is tudnak-e
példákat és ellenpéldákat rajzolni. A definícióra a kkor kerülhet
sor, ha a fogalom már többé-kevésbé kialakult, /Vö. 188. és 190.-
192. oldal/.
Az általános gyakran együtt jár az absztrakttal, a speciális a
konkréttal; ilyenkor természetesen csak a speciális tól haladhatunk
az általános felé, hiszen konkrét nélkül nincs absz trakt. De nincs
meg mindig ez a kapcsolódás. A sokszög a négyszögné l, az a
trapéznál, a paralelogrammánál stb. nem absztraktab b, csupán
általánosabb. Az általánosságban sem lehet akármily en életkorban
akármilyen messzire elmenni. Kisgyerekek elég ha né gyzetr ıl tudnak
és következetesen hallják és használják rá ezt az e lnevezést. De ha
valamilyen életkorban egy bizonyos fokú általánossá g elérhet ı, és
nem okoz nehézséget, akkor eddig eljutni és aztán i lleszteni be az
általános képbe a részleteket mindenképpen el ınyösebb. Nemcsak
pedagógiai-pszichológiai szempontból, hanem magának a tárgykörnek a
szempontjából is, amelynek szebb és gazdaságosabb f elépítését teszi
lehet ıvé. A mi tantervünkt ıl sem egészen idegen ez a szempont.
Nyilván azért el ızi meg a deltoid a rombuszt; ami a deltoidra
érvényes, az a rombuszra is igaz, elég utána már cs ak azt nézni,
hogy még mi igaz rá.
______________ x Konkáv szögekkel kapcsolatban ma inkább a "homorú" szó
járja. /Régebben még fordítva is használták a szót, domborúnak
mondták a konkávot./ Nem sok értelme van azonban a szögek esetében
magyarítani, ha más esetben amúgy sem magyarítunk; nem szokás pl.
homorú négyszögr ıl beszélni.
- 186 -
Ha ezeket a helyes szempontokat a tanagyag más rész ében is
érvényesíteni szeretnénk; akkor tudnunk kell, hogy a tantervt ıl való
nagyobb mértéki eltéréshez a fels ıbb szervek engedélye szükséges.
Elég lehet a szakfelügyel ı és az igazgató jóváhagyása is, de
mindenesetre jó, ha az Országos Pedagógiai Intézet Matematikai
Tanszéke /Budapest, VII. Gorkij fasor 17-21/ legalá bbis tudomást
szerez arról, hogy miben, és esetleg arról is, hogy milyen
szempontok és elgondolások alapján kíván valaki elt érni a
tantervt ıl. Ez ugyanis megkönnyíti a koordinálást és el ıreviheti az
OPI munkáját is. Alapvet ıen új tantervi elgondolás megvalósítását
pedig jobb el ızetesen megtárgyalni az OPI illetékeseivel, akik ma guk
is világosan látják, hogy a pedagógusok kezdeményez ı közrem őködése
az el ıbbre jutás egyik legf ıbb tényez ıje.
A geometriai fogalmak kialakítása, a definíciók
megformálása
Szó volt a fogalmak sorrendjér ıl, a speciálisabb fogalmaknak
az általánosabb fogalmak keretébe va1ó beillesztésé r ıl. Az ügyesebb
és az ügyetlenebb felépítésen belül egyaránt alapve t ı kérdés az:
hogy jutnak el a diákok a fogalmakhoz? Definícióval vezetni be egy
új fogalmat nem nagyon ajánlatos, különösen kezd ı fokon. Újonnan
bevezetett fogalmakra egyetemi el ıadók is rendszerint adnak néhány
példát, miel ıtt a definíciót kimondjak. A példák szerepe az, hog y
kialakítson valami képet a hallgatók fejében a defi niálandó
fogalomról. A definíció szerepe viszont az, hogy el határolja a
fogalmat más fogalmaktól, x egyértelm ő kritériumot adjon annak
eldöntésére, mi tartozik az illet ı fogalom körébe - vagyis abba a
halmazba , amit a fogalom jelent - és mi nem.
______________ x A latin "finis" szó többek között azt jelenti: "vé g",
"határ". Ez rejlik a "definició" szóban, amelynek a z alap jelentése
"elhatárolás". Mégsem ezzel, hanem a "meghatározás" szóval szokták
néha helyettesíteni; pedig ez félreérthet ı, "megkeresést" is
jelenthet, ezért a matematikában nem szívesen haszn áljuk. Legjobb
megmaradni a "definíció" szónál, de ha a gyerekek s zámára magyar
szóval is ki akarjuk fejezni a fogalmat, jobban meg felel az
„értelmezés". /Pl. "a hatványozás értelmezésének ki terjesztése" a
definíció kiterjesztését jelenti./
- 187 -
Ez így helyénvaló is az egyetemen, de az általános iskolában
semmiképpen sem. A gyerek ekkor még nem érti, mi va n a szabatos
szóhasználat mögött. /Rendszerint még a középiskolá ban sem./ Ha
százszor elismételjük és elismételtetjük vele, hogy így helyes a kör
definíciója, úgy nem, akkor a végén esetleg nekünk tetsz ı módon
mondja a szavakat, csak éppen azt nem tudja, mért j ó így, mért nem
jó úgy, hogy "a kör önmagába visszatér ı görbe vonal". Az általános
iskolában rendszerint egy hosszú út végs ı állomása a definíció
megfogalmazása. Az út els ı szakaszán példák és ellenpéldák útján
érjük el, hogy a diák fejében megjelenjen a fogalom . /Lásd err ıl
Skemp tanulmányát a szemelvénygy őjteményben, különösen a 419.-424.
oldalt./ Lehet, hogy hosszú id ın át használjuk is a fogalmat,
miel ıtt még szükségessé válna, hogy pontosan megmondjuk más
fogalmakhoz viszonyítva, hogyan is értjük. /Például a téglalap
fogalmával rendszerint ez a helyzet./ De ha szükség essé válik is, a
következ ı lépés általában akkor sem a definíció kimondása , hanem a
definíció kialakítása , a tanulók közrem őködésével. Miel ıtt erre
ismertetnénk egy példát, lássuk, milyen cél felé tö rekszünk, mi az,
amit a definíciótól megkívánunk a matematikában /ne mcsak a
geometriában/:
1. Ne legyen se túl sz ők, se túl tág
Ett ıl még formailag helyes lehet a definíció, csak éppe n nem
azt a fogalmat definiálja, amit az elnevezés - a sz okásos
megállapodások szerint - megjelöl. "A rombusz olyan síknégyszög,
amelynek az oldalai egyenl ık, de nem mer ılegesek" - ez helyes
definíció volna, ha a négyyzetet nem tekintenénk ro mbusznak. De
helytelen, mert annak tekintjük: Más kérdés, hogy m iért tekintjük
annak. Többek között azért, mert így egyszer őbb a definíciója /az
el ıbbi idézett mondat második fele elmaradhat/. Sok té tel is
egyszer őbb így, nem kell kivételes eseteket említeni. A fen ti
definíció túl sz ők. Ez azt jelenti, hogy az általa definiált
négyszögek halhaza a rombuszoknak valódi részhalmaz át alkotja. Ez a
definíció viszont "A rombusz olyan négyszög, amelyn ek az oldalai
egyenl ık", túl tág , ha négyszögön nemcsak síknégyszöget értünk x,
mert akkor az így definiált négyszögeknek a rombusz ok
_____________ x Nincs akadálya annak, hogy négyszögön csak síknégy szöget
értsünk. Ez elég általános szokás. Gondoljuk meg az onban: ez a
szokás azzal függ össze, hogy a síkgeometriát - Euk lidesz
szellemében - élesen különválasztjuk a térgeometriá tól.
- 188 -
halmaza valódi részét alkotja. Végül ha ezt mondjuk : "A rombusz
olyan négyszög, amelynek az oldalai egyenl ık és a szögei ferde
szögek", akkor /feltéve, hogy négyszögön nemcsak sí knégyszöget
értünk/, olyan definíciót adtunk, amely "részben sz ők, részben tág";
az így definiált halmaznak és a szokott értelemben vett rombuszok
halmazának van közös része, de egyik sem részhalmaz a a másiknak.
2. Lehet ıleg ne tartalmazzon felesleges elemeket
Ez viszont formai követelmény, amely a definiált fo galom körét
nem érinti. "A téglalap olyan síknégyszög, amelynek minden szöge
derékszög" - ebben a definícióban burkoltan benne v an a szögek
egyenl ısége, de ennél több is. Ez a többlet felesleges, me rt a
szögek összege alapján az egyenl ıségb ıl következik, hogy mindegyikre
90o jut. x Célszer ő úgy intézni, hogy amikor a tanulók a téglalap
intuitív fogalmától eljutnak a definíciójához, akko r ezzel már
tisztában legyenek.
Ezt a feltételt úgy is fogalmazhatjuk, hogy a defin íció
lehet ıleg ne legyen redundáns . A redundanciát - a definíció
nélkülözhet ı elemeit - részben gyakorlati, részben esztétikai
szempontból általában jobb elkerülni: így egyszer őbb, szebb,
áttekinthet ıbb definíciókhoz jutunk. Ugyanezek a szempontok azo nban
adott esetben indokolhatják is a redundanciát. Péld a rá a négyzetnek
ez a definíciója: "Olyan síknégyszög, amelynek mind en oldala és
minden szöge egyenl ı". Ez kifejezi, hogy a négyzetek halmaza a
rombuszok és a téglalapok halmazának a metszete, ki fejezi az oldalak
és a szögek egyenl ıségének egyez ı szerepét. A redundanciát el lehet
kerülni pl. így: a = b = c = d és α = β, de ezzel a fenti el ınyök
elvesznek.
______________ x Persze nem felesleges akkor, ha a szögösszegtétel még nem
ismeretes, amikor erre a definícióra sor kerül; de ez nem ügyes
sorrend, mert elburkolja a téglalap és a rombusz kö zti metrikus
dualitást, vagyis azt, hogy definíciójuk a "szög" é s az "oldal"
szavak felcserélésekor egymásba megy át. Anélkül, h ogy ennek a
fogalomnak a magyarázatába belemennénk, a gyerekek harmóniaérzékének
fejlesztése, a matematika esztétikai oldalának érzé keltetése
szempontjából fontos, hogy ne álljuk el az útját az ilyen szép
szabályosságok felismerésének. A metrikus dualitás más
négyszögfajtákra is vonatkozik: a négyzet és a paralelogramma saját
magának duálisa, a téglalap a rombuszé , a húrtrapéz /egyenl ı szárú
trapéz, szimmetrikus trapéz/ a deltoid stb. /Vö. 200. old./.
- 189 -
3. Ne használjunk A definíciójában olyan B fogalmat , amelyeket viszont A segítségével definiálunk; által ában: csak a definiáltnál világosabb fogalmak szerepeljenek a definícióban
Ne definiáljuk például a szöget a hajlással vagy fo rgással,
ezt pedig a szöggel.
Ha a definíciókat nem készen kapják a diákok, hanem maguk
fogalmazzák, akkor fokozatosan eljutnak oda, hogy k imondatlanul is
méltányolják ezeket a szempontokat. Miután ide elju tottak, sor
kerülhet a megfogalmazásukra is; el ıbb semmiképpen.
A definíciónak szavakban való megfogalmazását kiegész ítheti,
néha helyettesítheti is a rajzos megfogalmazás. Lás suk példaként
néhány síkidom rajzos definícióját:
Lássunk most egy példát a fogalom kialakítására és a definíció
megfogalmazására. Vegyük a konvex és a konkáv fogalmát. Mondjuk ki
egyenesen: a konvex és a konkáv ponthalmaz fogalmát. x Egy darabig
lehet melléknevekkel is operálni, - ilyenféleképpen : "Konvex ez vagy
nem?" - de id ıvel kényelmetlenné válik a f ınév folytonos
kerülgetése.
A fogalom kialakítását kezdheti a tanár egy barkoch ba-szer ő
játékkal: gondol valamire és a diákoknak ki kell ta lálniuk, hogy mi
az. Ezt a játékot más fogalmakkal kapcsolatban már el ıbb is
______________ x A "ponthalmaz" szó kifejez ıbb, mint az "alakzat" szó. Aki
habozik, hogy két pontot egyetlen alakzatnak tekint sen-e, azt nem
vonja kétségbe, hogy a két pont pontok összessége, ponthalmaz.
Kifejezi a szó azt is, hogy amire alkalmazzuk, azt pontokból állónak
tekintjük.
- 190 -
68. ábra
játszhatták /számok kitalálása, születésnap kitalál ása
intervallumfelezéssel/, itt azonban egy tulajdonság ot kell
kitalálniuk. Felmutathat a tanár különféle, e célra el ıre
összeszedett tárgyakat: ceruzát, labdát, kavicsokat , néhány szem
babot, lencsét; felmutathat keménypapírból kivágott síkidomokat;
felrajzolhat a táblára vonalakat vagy már ponthalma zokat. Felírhatja
a tábla két felére: KONVEX NEM KONVEX x.
El ıször ı maga elkezdi a tárgyakat ennek megfelel ıen két
csoportra osztani, a rajzokat is eszerint rajzolja a tábla egyik
vagy másik felére. De néhány példa után már elkezdi kérdezgetni:
"Hát ezt hova tegyem?" "Ezt hova rajzoljam?" /Egyel ıre semleges
helyre rajzolta, egy másik táblára vagy a tábla köz epére./ Ha
valamelyik gyerek javaslatot tesz, nem mondja meg m indjárt,
egyetért-e vele; várja a többit ıl is a helyeslést vagy az
ellenvéleményt. De aztán a helyére teszi vagy rajzo lja, akárhogy
dılt is el a vita, és a játék folytatódik. Egyre több a támpont, már
vannak, akik biztosra mennek a javaslataikban. Ezek et leinti, vagy
leintés helyett inkább más feladatot ad nekik: gond oljanak ki ık
maguk példákat az egyik és a másik esetre. Egy-egye t a táblára is
rajzolhatnak, a többit a füzetükbe, ott is különvál asztva a két
esetet. A többi gyerekkel pedig közösen folyik tová bb a játék.
Ha a tanár úgy látja, hogy már be lehet vezetni a d efiníciót,
és ezt hasznosnak is ítéli, akkor például a követke zı képpen
folytathatja a foglalkozást:
- Meg tudná-e mondani valaki, mit jelent az, hogy k onvex?
Mikor mondjuk egy ponthalmazra, hogy konvex?
Ilyenféle válaszokra számíthat:
= Ha domború. / Nincs rajta horpadás. / Sehol sem m egy befelé.
_______________________
x Ha egy elnevezés félreérthet ı, más fogalmat sugall, mint
amire alkalmazzuk /gondoljunk a "hasonló" szóra/ ak kor mindenesetre
jobb a fogalom kialakítása után vezetni be. Idegen szó esetében ez
kevésbé fenyeget. A "konvex" szóval együtt azonban semmiképpen sem
célszer ő bevezetni a "konkáv" szót. A páros szavakat /mint számláló
és nevez ı, átfogó és befogó stb./ általában könnyen összetév esztik a
tanulók, különösen, ha még hasonló hangzásúak is. J obb kiemelni az
egyiket és csak kés ıbb vezetni be a másikat.
- 191 -
- /Felrajzol három nem egy egyenesbe es ı pontot./ Ponthalmaz
ez?
= Igen.
- Konvex vagy nem? Hova rajzoljam?
Ha a diákok tanácstalanok vagy megoszlik a vélemény ük, kor a
tanár elárulhatja, hogy ahogy ı érti a szót, ez a ponthalmaz nem
konvex. De hol van rajta horpadás? Ugyanezt elismét elheti még néhány
olyan példával, mint egy szakasz és egy nem rajta 1 evı pont,
töröttvonal stb. Ezek a példák már egyengetik a def iníció útját, de
még szükség lesz egy lökésre, hogy eljussanak a lén yeges mozzanat
megragadásáig:
- Jelöljük meg pirossal ennek a konvex ponthalmazna k
valamelyik két pontját. Kössük össze vonalzóval a k ét pontot. Mit
vesztek észre? Nézzük egy másiknál is. Egy harmadik nál is.
- A nem konvexeknek is megjelölöm két pontját. Köss ük össze.
Mit vesztek észre? A másiknál? A harmadiknál? Jaj, itt valami nincs
rendben! Ez olyan, mintha konvex volna! Vagy csak n em jól
választottam ki a pontokat? N., melyik pontokat jel ölnéd meg, hogy
látni lehessen, hogy nem konvex?
- Hátha a konvexeken is kiválaszthatjuk a pontokat így is, úgy
is. Próbáljuk csak!
- Valaki azt állítja erre a ponthalmazra, hogy nem konvex. Mit
mondanátok neki? Mikor hiszitek el, hogy igaza van? Milyen két
pontot kell megmutatnia a ponthalmazon, hogy bebizo nyítsa az igazát?
Sokféleképpen lehet ezt variálni. Nem az a fontos, hogy óra
végén a tanulók egyetlen körmondatba foglalva el tu dják mondani a
konvex és a nem konvex ponthalmaz definícióját. Egy szer majd
eljutnak a szóbeli megfogalmazáshoz is. Sürg ısebb azonban ennél az,
hogy ne csak homályosan érezzék, mi különb ızteti meg a konvex
ponthalmazokat a konkávoktól, hanem ismerjék azt a szempontot, amely
a két esetet élesen elválasztja egymástól . A definícióban az éles
elválasztás a lényeges, nem az egy mondatba s őrítés.
- 192 -
Éles és elmosódott határvonalú fogalmak
A matematika fogalmai és – mondjuk – a mindennapi é let
fogalmai között éppen az a nagy min ıségi különbség, hogy az el ıbbiek
élesen körül vannak határolva, az utóbbiak pedig el mosódottak. Ha
azt mondom: ”szék”, látok magam el ıtt valamit, ami az eddig
megismert székekb ıl összekopírozódott, egy ”ideális széket”. Ami
ett ıl csak kicsit tér el, az még szék, ami nagyon eltér t, az már nem
szék. De hol van a határ? Megítélés kérdése. ”Defin iálhatom” a
széket is, lexikonok és értelmez ı szótárak ezt teszik, de ezek csak
idéz ıjelben értend ı definíciók, a szó matematikai értelmében nem;
egyértelm ő kritériumot nem adnak, mert nem is adhatnak.
Sokan éveken át tanulják a geometriát, anélkül, hog y ezt a
nagy min ıségi különbséget észrevennék. Azt mondják például:
Vagy azt mondják a deltoidra: ”A nagyobbik átlója k ét
egybevágó háromszögre bontja.”
Aki így beszél, annak rendszerint hiába olvassuk a fejére a
trapéz vagy a téglalap definícióját. Mélyebben gyök erezik a
tudatlansága, mint egy-egy definíció fogyatékos ism eretében. Érthet ı
megszokás folytán a geometriai fogalmakat is úgy ve szi tudomásul,
mint a mindennapi élet fogalmait. Lát maga el ıtt
egy ”ideális trapézt”: és egy ”ideális deltoidot”:
- 193 -
”Ez az idom nem trapéz. Inkább romboid
akar lenni, csak rosszul sikerült.”
”Ez sem trapéz, téglalap volna,
ha nem volna ferde a teteje.”
69. ábra
és számára a trapézság és a deltoidság kritériuma a z, hogy a látott
idom eléggé emlékezteti-e ezekre az ideális esetekr e. A definíciókat
esetleg megtanulja, de a funkciójukat nem érti. Nem tudja, hogy arra
jók: egyértelm ően el lehessen dönteni a segítségükkel - például -
bármely négyszögr ıl, hogy trapéz-e vagy nem, deltoid-e vagy nem.
De mit jelent az, hogy "bármely négyszögr ıl"? Lerajzolok egy
négyszöget; szerintem trapéz, de más esetleg úgy ta lálja, hogy nem,
mert nem pontosan párhuzamosak az oldalai. Nincs it t mégis valami
bizonytalanság?
Rajzokkal kapcsolatban természetesen van. De a rajz nemcsak
hogy nem trapéz, nem is négyszög. Csak emlékeztet e gy négyszögre.
Meg kell mondanom, mire akartam, hogy emlékeztessen , magyarázatot
kell f őznöm a rajzhoz. Ha megmondom - vagy valamilyen módo n jelölöm
- hogy azt a két oldalt párhuzamosnak szántam /azon kívül mindegyiket
egyenesnek stb./, akkor a definíció értelmében trap éz. A definíció
arra vonatkozik, aminek gondolom és nem arra, ami a papíron van.
/Vö. 393.-396.oldal./ Erre a gondolatra is rá kell vezetnünk a
diákokat. Ezt a rávezetést megkönnyíti egy mindig r endelkezésre álló
eszköz, a kockáspapír, és nagyított mása, a kockás tábla. /Már
említettük, hogy az utóbbinak is mindig rendelkezés re kell állnia.
/Ha un. sima papírra rajzoljuk az ábrát, magyarázko dnunk kell -
szóban vagy odarajzolt jelekkel - párhuzamosnak, me r ılegesnek,
egyenl ınek tekintünk-e két szakaszt. A kockás papíron a
metszéspontok per definitionem rácspontok /ti. annak tekintjük ıket,
akkor is, ha rossz a nyomtatás/, és ez sok magyaráz kodást
feleslegessé tesz. Jó a kérdést a magyarázkodás fel ıl is
megközelíteni, hiba volna mindig kockáspapíron dolg ozni. Az iskolai
munkában mégis gyakran jelent lényeges el ınyt az a lehet ıség, hogy
rácssokszögekre hivatkozhatunk, és az eleve pontatl an mérés helyett
pontos számlálással /vagy számolással , pl. kés ıbb Pythagoras
tételével/ tudjuk eldönteni, hogy egy-egy konkrétan megadott alakzat
beletartozik-e egy bizonyos definíció körébe vagy n em. Ez már a
koordináta geometriai gondolkozás kezdete. A koordi nátákkal való
megadás min ıségileg más, mint a rajzzal való megadás: kiküszöbö li a
pontatlanságot. Persze ha a valóságra alkalmazzuk m eggondolásaink
eredményét, a pontatlanság megint bejön.
- 194 -
A fogalmak rendszerezése
A fogalmaknak van egy bizonyos hierarchiája: ha kon krét
példákból absztrahálhatunk egy fogalmat, akkor alac sonyabb szint ő
fogalmaktól jutunk el hozzá, a definiálásához viszo nt általában
magasabb szint ő fogalmakat használunk. /Vö. 419.-421.oldal./ Közbe n
felmerül az a kérdés is, hogy viszonylik a fogalom bizonyos vele egy
szinten lev ı rokon fogalmakhoz. Különösen akkor válik sürget ıvé ez a
kérdés, amikor már számos egymással kapcsolatos egy szinten lev ı
fogalommal megismerkedtünk; szeretnénk áttekint ı képet adni ezekr ıl
a fogalmakról, rendet teremteni köztük, rendszerezn i ıket. Nemcsak a
geometriában és nem is csak a matematikában van err e szükség, de a
geometriai fogalmak jellegzetesen mutatják a rendsz erezéskor
felmerül ı problémákat.
A halmazelmélet nyelvén szólva egy F fogalomnál egg yel
alacsonyabb szint ő fogalmat az F fogalommal meghatározott halmaz
elemeinek tekinthetjük /lehetnek ezek maguk is halm azok/, az egyez ı
szint ő rokon fogalmakat viszont ugyanazon individuumtarto mányon vagy
- más szóval - ugyanabban az univerzumban értelmeze tt halmazoknak x.
Az utóbbiak között lehetnek idegen /közös elem nélk üli/ halmazok,
lehet közös részük, lehet egyikük részhalmaza egy m ásiknak stb. xx
Amikor a fogalmak rendszerezésér ıl beszélünk, az ilyenféle
kapcsolatok kiderítésére gondolunk.
______________
x Az individuumtartományt vagy univerzumot bizonyos elemek – individuumok – halmazának
képzeljük, amelynek a szóban forgó halmazok mind ré szhalmazai.
xx Ha két fogalommal jellemzett halmaz közül az egyik részhalmaza a másiknak, akkor
azt mondjuk, hogy az el ıbbi fogalom speciálisabb, az utóbbi általánosabb. A részhalmaz-
relációnak tehát a fogalmak között az ”általánosabb -speciálisabb” reláció felel meg, az
elemként tartalmazás relációjának viszont – mint lá ttuk – az ”absztraktabb-konkrétabb”
reláció. Nehéz volna azonban kritériumot adni arra, hogy két fogalommal jellemzett halmaz
közé mikor gondoljuk a ”halmaz és eleme” és mikor a ”halmaz és részhalmaza” relációt; néha
mindkett ı egyaránt jogosultnak t őnik, vagyis egyaránt tekinthetjük a két fogalom köz ül az
egyiket absztraktabbnak is, általánosabbnak is, min t a másikat. ”. . . a ’fa’ fogalma alá van
rendelve a ’növény’ fogalmának, fölé van rendelve a ’tölgyfa’ fogalmának és ugyanazon a
szinten van, mint a ’gomba’ fogalma” – írja Skemp / lásd a szemelvénygy őjteményben, 419.
oldal/. Vagyis a tölgyfa fogalma konkrétabb, mint a fa fogalma, a tölgyfát a fák halmaza egy
elemének tekinthetjük stb. Azt is mondhatjuk azonba n, hogy a tölgyfák halmaza részhalmaza a
fák halmazának, vagyis a tölgyfa fogalma speciálisa bb, a fa fogalma általánosabb. A
matematikán beül is olykor csupán szemlélet kérdése , hogy két objektumot a ”halmaz és eleme”
vagy a ”halmaz és részhalmaza” relációval kapcsolun k-e össze. /Például az egyenest pontokból
állónak, pontjai halmazának tekintjük, mégis két me tsz ı egyenes közös részét szívesebben
tekintjük egy pontnak, mint – megkülönböztetve a po nttól – egy pontból álló halmaznak./ Nem
csoda hát, ha hasonló nehézségek vannak olyan, mate matikailag nehezen megfogható
objektumokkal kapcsolatban, mint a fogalmak.
- 195 -
Ez a halmazelméleti szemlélet segítséget jelent a r okon
fogalmak között való eligazodásban, rendcsinálásban . A halmazoknak
"krumplikkal" való ábrázolása /Vö. 154. oldal./ jó támasztékot ad
szemléletünknek a köztük lev ı feltételezett vagy felderített
kapcsolatok jellemzésére.
Ilyen szemléleti támaszték nélkül könnyen összetéve sztik a
tanulók például ezt a két állítást:
"Minden paralelogramma trapéz" és "Minden trapéz pa ralelogramma".
Keressünk könnyen érthet ı, hozzájuk közelálló példákat,
amelyeken megértik, hogy az ilyen típusú állítások két esetben
teljesülnek - ti. ha az els ı halmaz valódi része a másiknak, "belül
van rajta", vagy ha egybeesnek - és az utóbbi esetb en mindegy ugyan
a sorrend, de az el ıbbi esetben nem. Rendszerint beválnak az olyan
példák, amelyek magukkal a tanulókkal kapcsolatosak . Ha például az
osztóbban két M bet ős gyerek van, Molnár Péter és Morvai Péter, és
történetesen nincs több Péter az osztályban, akkor megvan a példa az
egybees ı halmazok esetére: az M bet ősek és a Péterek halmaza. Nem
valószín ő, hogy ilyen szerencsénk van, de ha végignézzük a g yerekek
különféle jellemz ıit - születési év, hónap, nap, hajszín, szemszín,
szemüveg, ruha, osztályzat, lakóhely stb. - egy kis ügyességgel
találhatunk alkalmas példát erre is, még könnyebben a valódi rész
esetére és két halmaz egyéb kapcsolataira. Kössük ö ssze egy zsinór
két végét, egy másik, másféle szín ő zsinór végeit is, hívjuk ki a
két M Pétert, általában a példaként szolgáló tanuló kat. Az egyik
zsinór-körbe álljanak be az M bet ősek, a másikba a Péterek. /Hogy
jobban lássa az osztály, tartsák a kezükben a köréj ük rakott
zsinórokat./ A táblára és füzetekbe rajzolt krumpli k és a beléjük
rajzolt pontok örökítik meg a tanutók emlékezetében ezt a jelenetet
és a többi hasonlót. A pontok kés ıbb el is maradhatnak. De amikor a
nem-matematikai példákon való megvilágítás után sor kerül a trapéz
és a paralelogramma esetére, akkor ajánlatos a két kör közös és nem
közös részébe rajzolt kis trapézokkal /amelyek a kö zös-részben
persze paralelogrammák/ megint láthatóvá tenni az e lemeket is,
amelyeket a halmazok jelölnek legalábbis néhány pél dát rájuk /71.
ábra/.
- 196 -
Arra az esetre, amikor két
halmaznak van közös része, de egyik sem
részhalmaza a másiknak, jellegzetes
geometriai példa a rombuszok és a
téglalapok halmaza. Vezessük rá a
tanulókat, hogy a közös rész a négyzetek
halmaza /72. ábra/.
Közös elem nélküli halmazokra jó
példa a geometriai fogalmak köréb ıl a
szabályos /más szóval egyenl ı oldalú/ és
a derékszög ő háromszögek halmaza.
Így matematikai és nem matematikai példák kapcsán e gyaránt
felismerik a tanulók mindazt a lehet ıséget, ami két halmaz
kapcsolatában el ıfordulhat. Rájönnek, hogy
négyféle eset fordulhat el ı, de ha a két
halmazt megkülönböztetjük, akkor ez öt esetet
jelent, mert a négy reláció közül három
szimmetrikus /ti. az az eset, amikor a két
halmaz egybeesik, vagy nincs közös elemük,
vagy van közös elemük, de egyik sem része a
másiknak/, de a negyedik nem, s így itt nem
mindegy, hogy melyik halmaz valódi része a
másiknak. /Lásd a 73. ábrát./ Arra is rá lehet
vezetni ıket, hogy amint a ”Minden A egyúttal B” típusú állí tások
két esetet foglalnak magukba az öt közül, másféle c soportosítások
más-más állításokat fejeznek ki /73. ábra/.
Az ilyen összefüggések tudatosításával a geometria – és
nemcsak a geometria – megértéséhez is közelebb jutn ak a tanulók,
mint sok részismerettel, ami nem áll össze a fejükb en egységes
- 197 -
71. ábra
73. ábra
72. ábra
egésszé. Az el ıbbi ábra például segíti ıket annak a megértésében,
hogy "Minden A B"-nek az ellentéte nem "Nincs olyan A, amely B",
hanem "Van olyan A, amely nem B". Az efféle téveszt ések
matematikaórákon mindennaposak.
Régebben volt egy olyan tendencia a matematika taní tásában,
hogy a fogalmak rendszerezésében kerüljük az olyan bonyodalmakat,
mint az egymást részben fed ı halmazok esete, válogassuk meg a
fogalmakat úgy, hogy egy-egy f ıfogalom körét fedés és hézag nélkül
töltsék ki. Például ne lehessen egy paralelogramma téglalap is és
rombusz is; minden paralelogramma vagy négyzet, vag y téglalap, vagy
rombusz, vagy romboid, egy és csak egy a négy közül , ez volt a régi
felfogás /lásd a 74. ábrát/. Annyi
bizonyos, hogy ezt könnyebb
megtanítani, mint azt a rendszerezést,
amelyben egy és ugyanazt az idomot
négyzetnek is, téglalapnak is,
rombusznak is mondhatjuk /72.ábra/. De
hiába könnyebb megtanítani, ha azok a
fogalmak, amiket így tanítunk, a
geometriában kevéssé hasznavehet ıek,
bonyolult a definíciójuk /Vö. 188.
oldal/, kivételes esetekre vezetnek.
Könnyebb volna azt tanítani, hogy a
denevér madár és a bálna hal, mégsem
tanítanak ilyesmit biológiaórán, mert
a tudományos
- 198 -
74. ábra
76. ábra 75. ábra
rendszer szempontja el ıbbvaló, mint a taníthatóságé. Definíció
kérdése, hogy mit nevezünk halnak, de nem célszer ő a bálnákat
halaknak tekinteni.
Következ ı ábráink a háromszögek és a négyszögek régi típusú,
hézag- és fedésmentes osztályozásával szembeállítjá k újabb típusú
rendszerezésüket. /75-78, ábra./ A régi típusú oszt ályozásban
- 199 -
szerepelnek olyan matematikai szempontból érdektele n négyszögfajták
is, mint a romboid és az "általános négyszög". A hú rnégyszögek és az
érint ınégyszögek egyik ábránkon sem szerepelnek. A régi
osztályozásba nehéz is volna ezeket beilleszteni, f edések lépnének
fel és "még általánosabb" négyszögekr ıl kellene beszélnünk. A másik
rendszerezést azonban továbbfejleszthetjük úgy, hog y ezeknek a
négyszögfajtáknak is megtaláljuk a helyét, s ıt a húrtrapézok
/szimmetrikus trapézok/ és a deltoidok is beleillen ek a
- 200 -
200. ábra
rendszerbe. Látható a 79. ábrán a 189. oldalon emlí tett, szögek és
oldalak közötti dualitás. A húrnégyszögek halmazát H bet ővel
jelöltük, a trapézokét T-vel, duálisuk halmazát eze kt ıl a bet ők fölé
írt hullámvonallal különböztettük meg. /A húrnégysz ögek duálisai az
olyan négyszögek, amelyeknek a belsejében van oldal egyeneseiket
érint ı kör; a trapézok duálisai az olyanok, amelyeken kív ül, van
ilyen kör, azon kívül - mint elfajuló esetek - a pa ralelogrammák./
Foglaljuk össze táblázatban is az említett négyszög fajtákat,
kiemelve azokat a jellemz ı tulajdonságaikat, amelyek mutatják a
szögek és az oldalak analóg szerepét. /200. old./
Jó, ha a tanárnak megvan ez az áttekintése, de semm iképpen sem
szabad egy ilyen kész rendszert ráer ıszakolni a diákokra. Viszont
elburkolni is kár volna.
A "bizonyító" geometria kezdete
Ha egy gyerek körz ıt és vonalzót kap a kezébe, rajzolgatás
közben néha meglep ı felfedezéseket tesz. Például megrajzol egy kört,
beszúrja a körz ı hegyét a kerület egy pontjába, úgy is rajzol egy
kört, vagy csak egy ívet, amely a kört metszi, aztá n továbbhalad és
azt tapasztalja, hogy a hatodik lépésben oda jut vi ssza, ahonnan
kiindult. Szép a kapott ábra, érdekes, hogy pontosa n visszaér,
mégpedig mindig éppen a hatodikra. A szép és érdeke s tények a
legalkalmasabbak arra, hogy valaki elkezdjen gondol kozni, mi a
megfigyelt jelenség magyarázata, hogy függ össze má s tényekkel. Szép
és érdekes az a tény is, hogy bármely háromszög szö geinek összege
180 o, hogy a háromszög két oldalának a felez ıpontját összeköt ı
egyenes mindig fele akkora, mint a harmadik oldal, hogy a négyszög
oldalainak a felez ıpontjai parallelogrammát határoznak meg. Ezeknek
és még sok más egyszer ő ténynek a felfedezése örömet okoz a
diákoknak és alkalmas arra, hogy felkeltse az érdek l ıdésüket a
"miért?", a logikai összefüggések iránt is. Érdekes ségüket fokozza
az általánosságuk. Lényegesen kevésbé érdekes az a tény, hogy egy
téglalap vagy egy paralelogramma oldalainak felez ıpontjai
paralelogrammát határoznak meg, mint az, hogy ez bá rmely négyszögre
igaz. Kevésbé érdekes, hogy a derékszög ő háromszög szögeinek összege
180 o, mint az, hogy ez minden háromszögre igaz.
- 201 -
Aligha van olyan gyerek, aki rajzolgatás közben meg lep ıdve
fedezi fel, hogy a téglalap átlói egyenl ık és felezik egymást, hogy
a négyzet átlói felezik a négyzet szögeit, vagy hog y az egyenl ıszárú
háromszögben az alapon fekv ı szögek egyenl ık. Ezek unalmas, banális
megállapítások. Némi érdekességet az adhat nekik, h a megpróbáljuk
ıket általánosítani, és megnézzük, hogy ez milyen ha tárig
lehetséges. A rombuszra még igaz, hogy az átlói fel ezik a szögeit, a
téglalapra és a paralelogrammára általában nem /csa k ha rombusz/, a
deltoidnak csupán az egyik átlójára /a másikra csak akkor, ha
rombusz/ stb. A bizonyítás iránti igény felkeltésér e azonban akkor
sem alkalmas egy olyan tény, amelyet "látni". Az ál talánosság
irányába tett felfedez ı utak nem arra jók ezen a fokon, az ilyen
tényekkel kapcsolatban, hogy bizonyítandó tételeket kutassunk fel
általuk, hanem arra, hogy axiómákat keressünk: mi i s az, ami
szemléletesen, a szabályosság folytán, a szimmetria alapján
nyilvánvaló, és mi az, ami nem is igaz. Kés ıbb, magasabb fokon
érdekessé lehet tenni azt is, hogy egy szemléletese n nyilvánvaló
tény hogyan vezethet ı vissza más tényekre, hogyan lehet egyre jobban
csökkenteni az utóbbiak számát - ez azonban már kés ıbbi fejlemény.
Ritka gyerek az, akiben ezen keresztül fiatal korba n érdekl ıdést
lehet kelteni a geometria iránt; a legtöbbjüknek íg y csak a kedvét
lehet elvenni t ıle. Ha egy matematikus visszagondol a gyermekéveire ,
és esetleg jó emlékei is vannak a nyilvánvaló ténye k bizonyításával
kapcsolatban, gondoljon egyrészt a megszépít ı messzeség hatására,
másrészt arra, hogy nem minden gyerek leli a kedvét olyan logikai
játékokban, amikben ı zsenge fejjel is kedvét lelte.
Annak viszont minden gyerek örül, ha megéreztetik v ele, mire
képes, és ha azt látja, hogy mind többre képes. Ha elsegítjük oda,
hogy meglep ı és általános tényeket visszavezessen számára
nyilvánvaló tényekre, ezt a képességét szívesen fog ja gyakorolni.
Fontos azonban, hogy ne csak a tények felfedezéséb ıl- a sejtésig
való eljutásból - hanem a bizonyításokból is aktíva n kivegye a
részét minden tanuló. Hiába tanul meg tíz-húsz bizonyítást is, nem
tudja meg ebb ıl, mi teszi a bizonyítást bizonyítássá, mi
különbözteti meg a nem-bizonyítástól; még kevésbé a zt, hogyan lehet
bizonyítást találni valamire. Egészen egyszer ő, az ı erejéhez mért
saját bizonyításokon át juthat el csak ide. Nagyon alkal masak erre a
szögekkel kapcsolatos összefüggések, Ezek ugyanis
- 202 -
fokozatossá teszik az átmenetet a számításos felada toktól /amelyek a
meghatározó feladatok x egyik fajtáját alkotják/ a bizonyító
feladatok felé. Egy példát találhatunk erre a 215. oldalon kezd ıdı
óraleírás elején: a háromszög egyik szögéb ıl kell itt következtetni
a másik két szög felez ıje közti szögre. Ebben az óraleírásban még
csak numerikus példákat látunk. A következ ı órákon ugyanezek a
tanulók észrevették , hogy a szögfelez ık szöge 90°-kal nagyobb a
harmadik szög felénél, aztán általánosságban is bel átták . Ezzel
bebizonyítottak egy geometriai tételt. Sok geometri ai tétel
bizonyítása felé el lehet indítani a tanulókat ehhe z hasonló módon.
Egy másik mód: rávezetni ıket arra, hogyan tehetnek látszólag
szabálytalan ábrákat kis változtatással szabályosak ká, és ennek
alapján hogyan következtethetnek az addig rejtve ma radt
összefüggésekre. Ennek talán a legegyszer őbb esete az, amikor egy
ábra elforgatása teszi nyilvánvalóvá a szimmetriát; ez persze még
nem is bizonyítás /a szögszámítás sem az/, de egy l épés afelé.
Gondoljunk arra, hogy
Az alábbi feladatban már egy kicsit okoskodni is ke ll, hogy a
meglátott és méréssel is ellen ırzött összefüggések nyilvánvalókká
váljanak:
"Egy derékszög ő háromszög egyik szöge legyen 60°. Hozzuk meg
ennek a szögfelez ıjét. Abból a pontból, ahol ez a szemközti oldalt
metszi, bocsássunk az átfogóra mer ılegest. Keressünk a rajzon
egyenl ı szögeket és egyenl ı szakaszokat."
________________ x A meghatározó és bizonyító feladatok szembeállítás át és
jellemzését lásd Pólya György "A gondolkozás iskolá ja" c. könyvében,
a 160. és következ ı oldalakon.
- 203 -
ebben a helyzetben az elforgat ás után
nem mindenki látja hogy a rombusz átlói felezik egymást és mer ılegesek,
a szimmetria ezt
nyilvánvalóvá teszi.
80. ábra
Az ábrán megjelöltük azokat a
szakaszokat és szögeket, amelyeknek az
egyenl ıségét el ıbb észreveszik, aztán
a szimmetria alapján belátják /a
vastagon megjelölt szögek egyenl ısége
adva van/. Azonkívül, hogy tudják a
háromszög szögeinek összegét, csak a
szimmetriára kell támaszkodniuk.
Még egy lépéssel többet kell megtenniük, ha hiányzi k valami
segédvonal az ábráról, és ennek a berajzolása teszi nyilvánvalóvá az
összefüggéseket. Az el ıbbi hámszöget például kiegészíthetik
szabályos háromszöggé és ennek alapján okoskodhatna k.
Az el ıbbi feladatban a szimmetria helyett hivatkozni lehe tett
volna a nagy háromszög három részháromszögének egyb evágóságára;
Euklidesz szellemében ezt is kellett volna tenni. A z egybevágóságra
való hivatkozás gyakran nehézkesebb, hosszadalmasab b, mint a
szimmetriára /vagy más egybevágósági transzformáció kra, például
eltolásra, elforgatásra/ alapozott bizonyítása. Van nak el ınyei is:
kezd ık számára kézzelfoghatóbb módszert ad annak az eldö ntésére,
hogy csak sejtenek-e valamit az ábra szabályossága alapján, vagy
amit látnak, az minden kétséget kizáróan igaz is. E gy bizonyos
mechanizmust adnak az egybevágósági tételek ennek a z eldöntésére.
Egy kicsit hasonló ez ahhoz, ahogyan egyenletben fe lírva
mechanikusan tudjuk megoldani az olyan feladatot, a melyet közvetlen
belátás alapján esetleg egyszer őbben is meg tudnánk oldani. Kérdés
azonban, hogy az egybevágósági tételek alkalmazása adja-e az erre a
célra leghasználhatóbb mechanizmust, és az a könnye dség, amellyel
azt alkalmazzuk, nem függ-e össze azzal, hogy fiata labb éveinkben
ezt szoktuk meg. /Vö. 209. old./
A geometriai bizonyításokba való fokozatos bevezeté s,
különösen pedig a transzformáción alapuló bizonyítá sok szempontjából
rendkívül tanulságos Gallai Tibor és Péter Rózsa I. gimnázium
tankönyve x.
______________ x Csak az 1949. évi kiadás teljes.
- 204 -
81. ábra
A jó és a rossz bizonyítások megkülönböztetése
Az egyenlet gyökeit behelyettesítéssel, egy számítá s
eredményét a számítás másféle elvégzésével ellen ırizni lehet; a
gyakorlatból származó feladatok esetében támpontot ad az is, hogy
eredmény reális-e, megfelel-e az elképzeléseinknek; a szerkesztési
feladat megoldásának helyességér ıl megnyugtatást adhat a szerkesztés
különféle felvételekben való elvégzése stb. Egyik e llen ırzési mód
sem tökéletes, de mindegyik ad valami fogózkodót. T alán a
bizonyítási - és ezek között is a geometriai bizony ítási -
feladatokról a legnehezebb eldönteni, helyes-e a me goldásuk vagy
nem. x Fokozza a nehézségeket az, hogy nehéz megmondani, melyek azok
a szemléletb ıl elfogadott vagy pedig bizonyított tények, amikre egy
bizonyításban hivatkozni lehet. Ezért néha gondot o koz tanároknak
is, a legjobb diákoknak is, versenydolgozatok javít óinak is az a
probléma, hogy egy-egy geometriai bizonyítás helyes -e vagy nem.
A mondott nehézségek ellenére mégis kialakulnak biz onyos
normák. A már tanult vagy feladatban bizonyított té telekre például
szabad hivatkozni a bizonyításokban, bizonyos határ ok között a
szemléletre is, bár ezek a határok eléggé esetleges ek. Mindenesetre
a vitás terület, ha van is, meglehet ısen sz ők. Az átlagos diáknak a
jó és a rossz bizonyításról alkotott elképzelésében sokkal nagyobb
ingadozások vannak, s a tanárnak els ısorban ezeket kell
csökkentenie. Egy-egy szándékosan hibás bizonyításr ól alkotott
véleményükön a tanár jobban le tudja mérni, hol tar tanak ezen a
téren a diákok, mint tíz bizonyítás kikérdezésén. / Hasonló célokra
felhasználhatja persze a spontán adódó hibás bizony ításokat is./
Lássunk néhány példát. Lehet egy bizonyítás úgy hib ás, hogy
maga a bizonyított állítás helyes. Ilyen például a következ ı:
Húzzunk egy kör egyik átmér ıjének végpontjaiban két egymással
párhuzamos húrt. Bizonyítsuk be, hogy a húrok egyen l ık.
______________ x Igaz, hogy magasabb fokon a matematikai logika ad olyan
formai kritériumokat, amelyeknek a segítségével a t ökéletesen
formalizált bizonyításokról eldönthet ı, helyesek-e. A tökéletesen
formalizált bizonyítások azonban a geometriának - e nnek az igen
bonyolult struktúrájú tudományágnak - viszonylag eg yszer ő tényeire
is nagyon bonyolultak.
- 205 -
1. bizonyítás. Kössük össze a
húrok másik végpontjait a kör
középpontjával. Két háromszög
keletkezik, amelyek megegyeznek két-
két oldalban /ezek mind a kör
sugarai/ és a közbezárt szögben /ezek
csúcsszögek/. Tehát egybevágók és így
a harmadik oldaluk is egyenl ı.
2. bizonyítás. Kössük össze a
húrok másik végpontjait egymással./ A
bizonyítás a továbbiakban ugyanaz./
Vegyék észre a tanulók, hogy az
elkövetett hiba kett ıs: egyrészt nem
használtunk ki valamit, ami nélkül az állítás nem i s igaz /a húrok
párhuzamosságát/, másrészt kihasználtunk valamit, a mit nem tudhatunk
/az els ı változatban azt, hogy a meghozott sugarak egy egye nesbe
esnek, a másodikban azt, hogy a meghozott egyenes á tmegy a kör
középpontján./. Akár az egyik hibára jönnek rá, aká r a másikra, a
hamis bizonyítást sikerült leleplezniük. Aki nem lá tja meg a hibát
egy ilyen hamis bizonyításban, az nem sokat ért abb ól, hogy az
"igazi" bizonyítás miért jó.
Tegyük fel, hogy egy diák a következ ıképpen próbálja
bebizonyítani a háromszög szögeinek összegére vonat kozó tételt:
"Tudjuk, hogy ha két párhuzamos egyenest egy harmad ik metsz, ez a
két
- 206 -
82. ábra
ezeknek az összege
180 o
tehát ezeknek az
összege is 180 o. szög egyenl ı,
83. ábra
Mit mondunk erre a bizonyításra? Ötletes, de valami híja van:
nem a háromszögb ıl indulunk ki. Miért baj ez? Azért, mert nem
tudhatjuk el ıre, hogy az eredmény minden háromszögre érvényes-e. Ha
a háromszögb ıl indulunk ki, és nem használjuk ki a háromszögnek
semmilyen speciális tulajdonságát, akkor minden hár omszögre
vonatkozik az eredmény. Így viszont eljutottunk egy háromszöghöz, de
nem tudjuk, hogy minden háromszöghöz eljuthatunk-e ilyen módon.
Könnyő belátni, hogy igen, és akkor a bizonyítás hiánytal an lesz. De
addig nem az.
Még világosabban látszik ez egy másik példán /ez má r
gimnáziumi anyag/. Bebizonyítjuk, hogy a háromszög magasságvonalai
egy pontban metszik egymást. Az oldalfelez ı mer ılegesekre ezt már
tudjuk. A bizonyítás szokott menete:
"Párhuzamost húzunk a háromszög mindegyik csúcsán á t a
szemközti oldallal. Paralelogrammák keletkeznek. A kis háromszög
minden oldala két-két
paralelogrammához tartozik hozzá, a
szemközti oldalakkal egyenl ı. Ezek
tehát egymás közt is egyenl ık.
Ezért a létrejöv ı nagy háromszög
oldalait felezik az eredeti
háromszög csúcsai. Húzzuk meg a
nagy háromszög oldalfelez ı
merılegeseit. Tudjuk, hogy ezek egy
pontban metszik egymást. De ezek az
egyenesek az eredeti háromszög
magasságegyenesei. Ezért a
magasságegyenesek is mindig egy
pontban metszik egymást."
- 207 -
Forgassuk el az egyiket a másik felé az áthúzott ív ő szöggel,
az egyíves szög a
háromszögben ennyivel
kisebb lesz, de fönt is
van egy ekkora szöge,
ezért a háromszög
szögeinek összege
szintén 180 o".
84. ábra
84. ábra
Valakinek támad egy ötlete. "Mért ilyen bonyolultan
bizonyítjuk ezt a tételt? Semmi szükség paralelogra mmákra. Meghúzzuk
a nagy háromszög középvonalat. Tudjuk, hogy ezek pá rhuzamosak az
oldalaival. A nagy háromszög oldalfelez ı mer ılegesei tehát a kis
háromszög magasságegyenesei. Azok mindig egy pontba n metszik
egymást, tehát ezek is."
Az "egyszer őbb változat" hibája nyilván itt is ugyanaz, mint
az el ıbbi példában: utólag kaptuk azt a háromszöget, amel ynek a
magasságvonalairól szó van, és hiányzik annak a biz onyítása, hogy
bármely háromszöghöz van olyan háromszög, hogy az u tóbbi oldalainak
a felez ıpontjait összekötve az el ıbbit kapjuk. Ez természetesen
igaz, és elég könnyen be is bizonyítható: az els ı bizonyítás éppen
egy ilyen konstrukcióval kezd ıdik. De hogy ez mennyire nem magától
értet ıdı, arra szembeötl ı példa, hogy háromszögek helyett
négyszögekre az analóg állítás nem is igaz. Be lehe t bizonyítani,
hogy ha egy négyszög szomszédos oldalainak a felez ıpontjait
összekötjük, a kapott kisebb négyszög átlói felezik egymást. Ha a
fenti "egyszer őbb változatot" helyes bizonyításnak fogadnánk el,
akkor ugyanolyan joggal azt is igaznak kellene teki ntenünk ennek
alapján, hogy bármely négyszög átlói felezik egymás t. Ez nem igaz,
mert az oldalak felez ıpontjai speciális négyszöget, paralelogrammát
határoznak meg. Nem tudhattuk azonban el ıre, hogy a fenti
"egyszer őbb változat"-ban szerepl ı bels ı háromszög nem lesz-e
szintén speciális.
Nézzük most a következ ı bizonyítást:
"Legyen AB és A'B' két nem
párhuzamos és nem egy egyenesbe
esı egyenl ı szakasz a síkban.
Bebizonyítjuk, hogy van a síknak
olyan O pontja, amely körüli
forgás A-t A'-be, B-t B'-be viszi.
Azt állítjuk, hogy AA' és BB'
felez ımerılegesének O
metszéspontja ilyen tulajdonságú.
A szerkesztés folytán OAB és OA'B'
egybevágók /megegyeznek mind a
három oldalukban/. Egyenl ık tehát
az O-nál lev ı szögeik. Ha az
el ıbbihez hozzá-
- 208 -
86. ábra
adjuk /vagy a szakaszok más helyzetében levonjuk be l ıle/ az OB és
OA' közti szöget; azt a szöget kapjuk, amely OA-t 0 A'-be viszi. Ha
ugyanezt a szöget az utóbbi, vele egyenl ı szöghöz adjuk, azt a
szöget kapjuk, amely OB-t OB'-be viszi. Tehát ezek az utóbbi szögek
is egyenl ık és így van olyan forgás, amilyennek a létezését
állítottuk."
Ez a bizonyítás többek között azért hibást mert az OAB és
OA'B' háromszögek egybevágóságára ugyan helyesen kö vetkeztettünk, de
azt is kihasználtuk, mégpedig indokolás nélkül, hog y ez a két
háromszög egyez ı forgásirányú /körüljárású/, amilyennek az ábra is
feltünteti. Nem bizonyítottuk be az O pont létezésé t sem.
Ki lehet foldozni ezt a
bizonyítást, de egyszer őbb két
tükrözéssel okoskodni: az els ı
vigye A-t A'-be, B-t pedig egy B"
pontba, a második vigye B"-ot B'-
be; ez az utóbbi A'-t a helyén
Hagyja, mert a'B"=AB = a'B' miatt
az a'B'B" háromszög egyenl ıszárú
és így a' rajta van a
tükörtengelyen. Két tükrözés
szorzata /vagyis egymásutánja/
vagy eltolás, vagy a
tükörtengelyek metszéspontja
körüli forgatás. Az el ıbbi azonban
azt jelentené, hogy AB || a'B',
ezt az esetet pedig kizártuk.
Ennek a két bizonyításnak az
összehasonlítása rávilágít az
euklideszi koncepciónak egy jellemz ı fogyatékosságára: hiányzik
bel ıle az irányítás fogalma. Olyasféle megszorítás ez, mintha az
algebrában mindig abszolút értékekkel dolgoznánk. A z abszolút
értékek gyakran hasznosak, néha azonban nehézkesek. Az irányított
mennyiségek alkalmazása sok felesleges esetszétvála sztástól
mentesít. Ha két pont távolságáról, két szakasz szö gér ıl beszélek,
abszolút értékkel dolgozom. Ha egy pontnak egy mási kba való
eltolásáról, egy félegyenesnek egy másikba való elf orgatásáról
beszélek, szerepet kap az irány. Az egybevágóság, a klasszikus
euklideszi koncepció szerint, nem tör ıdik az iránnyal. A matematikai
szemlélet egysége kívánatossá teszi, hogy
- 209 -
87. ábra
ezen a ponton is összhang legyen a számtan-algebra és a geometria
között: amikor az irányítás gondolata az egyikben f ellép, akkor a
másik is vonja le annak a konklúzióit. Az ilyen sze llem ő iskolai
matematika-anyag kialakítása természetesen nem tört énhet meg egyik
napról a másikra.
Éppen csak megemlítjük itt a hamis bizonyításoknak egy másik,
nagyon tanulságos fajtáját: az olyan. bizonyításoka t, amelyekben
maga az állítás is hamis, nemcsak a bizonyítás hibá s. Közismert
példa annak a bizonyítása, hogy minden háromszög eg yenl ıszárú. x
A szerkesztések és egyéb manuális tevékenység szere pe
A matematikusok a geometriai szerkesztésekben els ısorban nem a
körz ıvel és vonalzóval végzett manuális tevékenységet lá tják. A
szerkesztési feladatok megoldásához ezekre az eszkö zökre nincs is
szükségük, csak papírra és ceruzára, esetleg arra s em. A geometriai
szerkesztések elmélete, szerkesztési feladatok mego ldhatósága
körz ıvel és vonalzóval az Euklidesz által "engedélyezett "
lépésekben xx vagy más módokon, a matematika egyik fejezete, ame ly
számottev ı hatással volt az algebra fejl ıdésére is. Ma ez a fejezet
inkább történeti érdekesség ő. Gyakorlati szempontokkal is nehéz
volna indokolni a geometriai szerkesztések ma betöl tött serepét a
matematika anyagában. Ha egy mérnöknek két kör közö s érint ıjét kell
megszerkesztenie, aligha fogja ezt az iskolában
_____________ x Ötféle esetben való "bizonyítását" lásd Northrop / 1960/,
110-112. oldal. Valójában csak egy hatodik eset leh etséges.
Ugyanebben a könyvben több más hasonló jelleg ő álbizonyítás is van.
A 116. oldalon található cím hibás; helyesen: "HA E GY NÉGYSZöG KÉT
OLDALA EGYENLİ, AKKOR A MÁSIK KETT İ PÁRHUZAMOS. Ez persze nem igaz:
a következ ıkben ennek az állításnak a látszólagos bizonyítása
olvasható. Ez a bizonyítás szoros kapcsolatban van azzal a hamis
bizonyítással, amelyr ıl a jegyzet 208.-209. oldalán volt szó.
Gondoljuk végig, hogy milyen kapcsolatba! xx Két ponton át egyenest húzhatunk. Két pont távolsá gát
körz ınyílásba vehetjük. Adott pont körül adott körz ınyílással kört
rajzolhatunk. Két metsz ı egyenes metszéspontját, körnek és
szel ıjének, illetve metsz ı köröknek két-két metszéspontját
megkereshetjük.
- 210 -
tanult módon végezni. Mint Pólya György írja: x "A legegyszer őbb
afféle szerkesztéseket használják ugyan a m őszaki rajzolók,
egyébként azonban a geometriai szerkesztések gyakor lati jelent ısége
elhanyagolható és elméleti fontossága sem túl nagy. " Hogy mégis
joggal szerepelnek a matematika anyagában, azt Póly a így indokolja
"... kiválóan alkalmasak arra, hogy a kezd ı megismerkedjék általuk a
geometriai. alakzatokkal és a problémamegoldás gond olatkörével". Ha
azt is megnézzük, hogy miért olyan alkalmasak a sze rkesztések erre a
két célra, a magyarázatot - legalábbis részben - a manuális
kiindulásban találhatjuk meg. A kéz szerepe a gondo lkozás
kibontakozásában nemcsak filogenetikai szempontból, az emberiség
fejl ıdése szemfontjából fontos, hanem ontogenetikailag, az egyén
fejl ıdése szempontjából is. A kézr ıl beszélünk, de persze nemcsak
arra gondolunk, hanem az egész érzékszervi mozgásos rendszerre,
amelyhez a kéz is hozzátartozik. Azért hangsúlyozzu k mégis inkább a
kéz szerepét, mert ez az, amir ıl az egyoldalúan a szemléltetést
kiemel ı pedagógiai felfogás szeret megfeledkezni. Pedig a
pszichológiai kutatások szerint a manuális tevékeny ségnek nagy
szerepe van a fogalmak kialakulásában és a gondolko zás fejl ıdésében.
A számtan-algebra tanítása ma nincs erre eléggé tek intettel, és
ebbıl - mint láttuk - sok nehézség származik. A geometr ia
tanításában ma leginkább a szerkesztések biztosítjá k a manuális
tevékenységb ıl való kiindulást. Nem minden tanulóban egyformán n agy
a manualitás igénye; fiatalabbaknál nagyobb, mint i dısebbeknél,
lányoknál talán valamivel nagyobb, mint fiúknál, de vannak nagy
egyéni különbségek is. Érdemes megfigyelni, mennyir e megváltozik az
osztály képe, amikor például algebrázás után geomet riai
szerkesztésekre kerül sor; hogy válnak aktívabbá az ok, akiknek ez
eddig hiányzott. A manualitás ezeknél sem a manuali tásért van. A
szerkesztés közben végzett tevékenység - Piaget már említett
kifejezésével élve - interiorizálódik, bels ıvé válik, id ıvel
gondolatban is végre tudják hajtani, gondolati kísé rleteket tudnak
végezni körz ıvel és vonalzóval, és ennek alapján a valóságos
cselekvés eredményét el ıre meg tudják mondani. A szerkesztés
elvégzése megmutatja, hogy elgondolásuk helyes volt -e. A valóságos
és elképzelt cselekvésnek eb-
_____________ x Pólya /1962/, 3. oldal.
- 211 -
ben a váltakozásában egyre nagyobb szerep fut az el képzelt
cselekvéseknek, majd az elképzelt cselekvések szkém áinak. Absztrakt
fogalmak alakulnak ki, részben a cselekvésekre, rés zben más
absztrakt fogalmakra épülve. A manuális tevékenység hez való
visszatérés azonban id ır ıl id ıre mindig szükséges marad. A
geometriai szerkesztések esetében ez eleinte inkább a körz ıvel és
vonalzóval valóban elvégzett szerkesztést jelenti, aztán emellett a
vázlatkészítését is, amely megkönnyíti a szerkeszté s útjának
megtalálását, az adott és a keresett elemek közötti kapcsolat
felkutatását, amit elemzésnek nevezünk. x A vázlatkészítés és az
elemzés id ıvel egyre nagyobb szerephez jut a szerkesztés tényl eges
elvégzéséhez képest, ami jóformán rutin-munkává vál ik. Magánál a
szerkesztésnél kés ıbb szinte fontosabb az, hogy érthet ıen el tudják
mondani, hogyan végzik el a szerkesztést. Ha a szer kesztés valóságos
elvégzését mindig megkívánnánk, akkor a továbbhalad ást súlyos
kolonccal fékeznénk. Fontos azonban, hogy - ha szük séges - el is
tudják végezni a szerkesztést megfelel ı pontossággal és külalakkal.
Szerkesztések végzése közben mind több érdekes geom etriai
tényt figyelnek meg a tanulók, ezek között összefüg géseket keresnek,
így a geometriai szerkesztéseken keresztül természe tes úton jutnak
el a geometriai bizonyításokhoz is. Gondoljunk péld ául a szabályos
hatszögnek a 201. oldalon említett szerkesztésére, amely felveti azt
a gondolatot, hogy miért jutunk vissza pontosan a k iinduló
helyzetbe, és miért éppen a hatodikra, s így a szab ályos háromszög
tulajdonságainak és a háromszög szögei összegének g ondolatköréhez
vezet.
Tévedés volna azt hinni, hogy a geometriai szerkesz téseknek,
köztük éppen az euklideszi szerkesztéseknek, valami féle kit őn-
______________ x A geometriai szerkesztési feladatok megoldásának
hagyományosan négy szakaszát szokás megkülönböztetn i: a most
említett elemzés , a szerkesztés valóságos elvégzése vagy leírása, a
szerkesztés helyességének bizonyítása , és a diszkusszió , vagyis
annak a megvizsgálása, hogy az adatok különféle fel vétele esetén
hány megoldás lehetséges és ezek milyenek. Pólya Gy örgy a
feladatmegoldás alkotóelemeit részletesebben és nem csupán
geometriai szerkesztési feladatokra szorítkozva tár gyalja már
említett könyvében /A gondolkodás iskolája, M ővelt nép, 1957/. Az
ott adott keretekbe a szerkesztési feladatok most e mlített négy
szakasza is beleillik.
- 212 -
tetett szerepük van, és talán egyedül alkalmasak ar ra, hogy a
tanulók rajtuk keresztül ismerkedjenek meg a síkgeo metriai
fogalmakkal, vagy a bizonyítás gondolatával. Pedagó giai pontosságuk,
mint említettük, jórészt a manuális kiindulásban gy ökeredzik. A
manuális kiindulásnak azonban más lehet ıségei is vannak, és érdemes
volna jobban élni ezekkel a lehet ıségekkel.
El ıször is nehéz volna elvi szerpontokkal indokolni az
euklideszi szerkesztésekre való szorítkozást. Tankö nyveink többnyire
ilyeneket tartalmaznak, mindannyian jobban kiismerj ük magunkat
ezekben, a Középiskolai Matematikai Lapokban és ver senyeken
kimondatlanul is az euklideszi megállapodásokat ves szük alapul, egy
kis változatosság azonban éppen ezért hasznos volna . A derékszög ő
vonalzó mentén való mer ılegeshúzás és a vonalzócsúsztatással való
párhuzamosszerkesztés mellett - ami ma is szerepel - érdemes
feladatokat adni például a párhuzamos él ő vonalzó használatára,
fonalszerkesztéseket is mutatni x stb.
Amikor körz ıvel /és vonalzóval/ például három oldalából
háromszöget szerkesztünk, akkor a háromszögnek háro m oldalából való
összeállítását imitáljuk. Nem minden tanuló látja a zonban ezt a
kapcsolatot. Ha a körz ıt fonál, vagy papírcsík helyettesítené,
szembet őnıbb volna, hogy err ıl van szó, a körz ır ıl azonban éppen az
a szakasz hiányzik, amit aztán megrajzolunk. Hogy e z valóságos
nehézség, arra jellemz ı, milyen sok tanuló hiszi, hogy az a bizonyos
hatodikra való visszatérés a körön azt jelenti: a k erület pontosan
hatszorosa a sugárnak. xx Nem látják tisztán, hogy a körz ı a
távolságot egyenesen méri, nem pedig az ív mentén. Mindjárt világos
lesz azonban az el ıttük, ha fonállal vagy kilyuggatott papírcsíkkal
húzzák az íveket. Ezek az eszközök azért is hasznos ak kezdetben,
mert a tanulók maguk készítik el ıket.
Sok tanuló világosabban látná például, hogy a
háromszögszerkesztési feladatok megoldása tulajdonk éppen mit is
jelent, ha a számára túlságosan absztrakt szerkeszt ési eljárást
megel ızıen összeállítana különféle nagyságú pálcikákból /ol dalakból/
______________ x Lásd pl. Molnár József: Síkgörbék fonalas szerkesz tése.
Középiskolai. Matematikai Lapok II. évfolyam 2. , 3 ., 4. szám /1950/ xx Kuriózumképpen megemlítjük, hogy van, akinek az is kolában
/de ez régen volt/ azt tanították: nem pontosan a h atodikra érünk
vissza, van egy kis különbség, mert a kör kerülete az átmér ınek
6,28-szorosa.
- 213 -
és keménypapír-körcikkekb ıl /szögekb ıl/ háromszögeket a különféle
eseteknek megfelel ıen. Akkor azután a körz ıvel és vonalzóval végzett
szerkesztés közben is szeme el ıtt lebegnének az itt szerzett
tapasztalatok, és nem volna a számára olyan értelme tlen manipuláció,
amit csinál. M őhelymunkával olyan eszközöket is lehet készíteni,
amelyekb ıl a megszerkesztend ı alakzatot nemcsak összeilleszthetik,
hanem rögzíthetik is a tanulók /a "szög" száraiba b eilleszthetik az
"oldalakat" stb./. Hasznosan egészíthetik ki ezt a felszerelést
egymáson és egyenes mentén gördíthet ı körök és még sok más eszköz,
némelyek a füzetben, mások a táblán való rajzolásho z, vagy csak
éppen egy jelenség megfigyeléséhez. Papírhajtogatás , idomok
szétvágása és darabjaikból más idomok összeállítása x, parkettázási
problémák megoldása keménypapírból kivágott vagy mé g inkább
mőanyagból gyártott sokszögek rakosgatásával, testmod ellek
ragasztása vagy hajtogatása kartonpapírból, vagy ös szeállítása
pálcikákból és gyurmából, felépítése játékkockákból , mind egy-egy
lehet ıség arra, hogy manuális tevékenység útján alakítsun k ki a
tanulókban geometriai fogalmakat, figyeltessünk meg velük tényeket
és indítsuk el ıket a tények között lev ı kapcsolatok feltárásának
útján.
X X X
A következ ı szakaszban egy olyan óra leírása olvasható, ahol a
tanulók f ıképpen szerkesztési feladatok megoldásával foglalko ztak, a
szó hagyományos értelmében. xx Nem hagyományos viszont a tanítási
módszer. Figyeljük meg, hogyan marad a pedagógus há ttérben, hogyan
hagyja érvényesülni a tanulókat, de hogyan irányítj a azért a
háttérb ıl is az órát. Bizonyosan nem független ett ıl a tanítási
módszert ıl az elért eredmény: a tanulók a geometriai
szerkesztésekben és általában a geometriai gondolko zásban hatodik
osztályos létükre általában gimnáziumi színvonalon vannak. A tanár
az anyag felépítésében els ısorban Gallai Tibor és Péter Rózsa I.
gimnáziumi könyvére támaszkodott.
______________ x Lásd ezzel kapcsolatban: Kárteszi Ferenc, Az olló
geometriája. xx Mint a fentiekb ıl kiderül, ez a hagyomány semmiképpen sem
elvetend ı, csupán kiegészítésre szorul!
- 214 -
Egy 6. osztályos geometria óra
A tanár mindjárt az óra elején szó nélkül felvázolj a a táblára
az alábbi ábrát. /Egy tanuló azalatt a tábla másik felén dolgozik
egy feladaton, amelyet cédulán kapott./
Egy perc múlva kezdenek
néhányan jelentkezni. Vár, amíg
többen jelentkeznek, aztán int az
egyiknek.
= A nagy háromszögben egy
szög 80o, ezért a másik két szög
összege 100o /mutatja a szögeket/.
Felük összege 50°, α-ra marad
l30o.
Hasonló feladatot ad 70°-kal:
- Ezt Mindenki maga oldja meg, írjátok le az eredmé nyt.
Járkál a padok közt, az egyik
tanuló füzetében ezt az ábrát látja,
felrajzolja a táblára:
- Mit szóltok ehhez?
= Nem helyes. Nem tudjuk, hogy
ezek mind egyenl ık-e.
- Ha egyenl ık volnának, mekkora
volna mindegyik? /Vitatkoznak két
különböz ı értéken, a tanár tartózkodik az állásfoglalástól, a diákok
láthatóan meg is szokták már, hogy ne t ıle, mint orákulumtól várják
a vitás kérdések eldöntését, mert nem az ı arcát lesik. A vita,
amelyben a tanár szinte csak katalizátorként, jelen létével vesz
részt, hamar eld ıl. Közben a lassabbak is megoldják az eredeti
feladatot./
- Készen vagy? /A táblánál dolgozóhoz./ Halljuk. /A táblán az
itt látható ábra van, szabad kézzel vázolta fel a f elel ı./
= Olyan kört kellett
szerkesztenem, amely érint egy kört
adott pontjában és egy egyenest.
Két feltételt kellett teljesítenem.
Az els ıt azok a körök teljesítik,
amelyeknek a középpontja rajta van
ezen az egyenesen /mutatja a kör
középpontján és megadott pontján
áthaladó egyenest/. A második ma-
- 215 -
88. ábra
90. ábra
89. ábra
gában nem elég, mert nagyon sok kör érintheti az eg yenest, ezért
hozzávettem még azt, hogy érinti azt az egyenest is /mutatja az
adott pontban a kört érint ı egyenest/. Az olyan körök középpontjának
halmaza, amelyek érintik azt is és a megadott egyen est is, a
szögfelez ı. /Mutatja az ábrán látható szögfelez ıt. Valaki
jelentkezik, a tanár odaint, majd kés ıbb./ A két ponthalmaznak
/mutatja/ egy közös pontja van, erre mind a két fel tétel teljesül.
- Van valami megjegyzésetek? /Sokan jelentkeznek./
- Klári?
= Nem fejezte be a szerkesztést. A metszéspont és a körön
kijelölt pont távolságával kell kört rajzolni. A me tszéspont a kör
középpontja.
- Más? /Többen nagyon hadonásznak, az egyiknek szót ad./
= A feladatnak két megoldása
van. Ennek a két egyenesnek
/kiszalad és mutatja/ két
szögfelez ıje van, a kett ı együtt a
másik ponthalmaz. Ennek és az els ı
ponthalmaznak itt is van egy közös
pontja. /Kiegészíti az ábrát. De a
metszéspont már a táblán kívülre
esne. Megzavarodik. A tanárn ı
odalép:"Csalunk egy kicsit." Így
jön létre az itt reprodukált ábra./
- Van még megjegyzés?
= Most nem egymáson kívül vannak, hanem belül ... a
megszerkesztett kör belsejében lesz az adott kör.
- Következ ı feladatunk: szerkessz olyan kört, amely érint egy
kört és egy egyenest, az utóbbit egy adott pontjába n.
Még egyszer elmondja, lassan. Miben különbözik ez a z
el ıbbit ıl? Megbeszélik, hogy ott a körön volt az adott érin tési
pont, itt az egyenesen. Közben már sokan lázasan ra jzolgatnak a
blokká összef őzött firkálópapírokra.
A tanár járkál, aztán a táblához lép és felrajzol o da egypár
vázlatot a látottak közül. A táblai vázlaton szagga tott helyett
sárga a keresett kör, a tanulók is használnak színe st. Kés ıbbi
rajzainkon is a szaggatott színeset jelent./
- 216 -
91. ábra
- Jó vázlatok ezek?
A gyerekek megteszik megjegyzéseiket: Az els ı nem ehhez a
feladathoz való vázlat, a másodikon hiányzik az éri ntési pont, jó
volna megjelölni az adott és a keresett kör középpo ntját is, a
keresett körnek érintenie kell az adott egyenest. A zok a tanulók,
akiknek a vázlata hibás volt, kijavítják - a tanárn ı nem említett
neveket, de tudják, hogy róluk van szó - és most má r feltehet ıleg
mindegyik jó vázlat alapján dolgozik tovább.
- Kérek valami gondolatot!
= Két dolgot kívánunk a keresett kört ıl:
el ıször, hogy érintsen egy kört,
másodszor, hogy érintsen egy egyenest adott
pontjában.
- Tovább. /Másik jelentkez ıt szólít./
= El ıször nézzük azt, hogy a sárga kör menjen át az egye nes A
pontján.
A tanár a táblához
siet, felrajzolja, mit
jelentenek a gyerek
szavai, aki persze
érintésre gondolt, de nem
jól fejezte ki magát:
A gyerekek élénken
tiltakoznak.
- Azt mondta, menjen át rajta.
A gyerek kijavítja a szavait:
- 217 -
93. ábra
92. ábra
= ... érintse az
egyenest A-ban.
/Mer ılegest emel./ Most
sárga kört gondolatban
fújjuk föl annyira, hogy
menjen át az adott kör
középpontján.
- Jó, elég,
dolgozzatok tovább.
Szóljatok, ha sikerült.
Mindenki a helyén dolgozik, a tanár a padok között járkál,
aztán kimegy a táblához, nem rajzol, csak az ujjáva l mutatja az
ábrán pontozással jelölt kört:
- Egy gyerek így fújta fel
a sárga kört. /Megbeszélik, hogy
a középpontnak helyben kell
maradnia, a tanár a táblára
rajzolja, miután a gyerekek is
nagyrészt készen vannak:/
A tanár az osztály felé
fordul, várja a jelentkezéseket
minden kérdés nélkül. Az egyik
jelentkez ınek szót ad:
= Ezt a pontot /a mi ábránkon B-vel jelölt pontra m utat/
összekötöm a O-val és meghúzom a felez ımerılegesét.
- Ismered azt a pontot? Nekünk
igazában csak ennyi van az ábrából:
/Megbeszélik, hogy ami színes,
azt csak odaképzelték./
A tanár megint várja az
osztálytól az ötleteket.
= Az A pont is tolódik, amikor
felfújjuk!
/Beszélgetnek err ıl, aztán a tanár kiegészíti a táblai rajzot:/
- 218 -
94. ábra
95. ábra
96. ábra
= O és Al felez ımerılegesén
mindig rajta van a kör
középpontja.
- De miért?
= Azért, mert a kör húrjának
felez ımerılegesén mindig rajta van
a kör középpontja.
= Azért is, mert két ponton
átmen ı kör középpontja rajta van a
szakasz felez ımerılegesén.
/Ezt és a következ ıt is más-más
jelentkez ık mondják. Mindig vannak
kezek a leveg ıben./
= Ahol az az egyenes és ez az egyenes /kimegy, muta tja az A-
ban emelt mer ılegest és OA1 felez ımerılegesét/ metszi egymást, ott
lesz ennek a körnek a középpontja. De azért még nem oldottuk meg a
feladatot.
- Nem oldottuk meg a feladatot ... /Csak a gyerek s zavait
ismétli, állásfoglalás nélkül, várva mit szólnak a többiek. Valaki
helyesel, folytatja a megoldást:/
= A keresett sárga kör sugara az adott kör sugaráva l kevesebb
lesz, mint amit megszerkesztettünk.
- Kérem a szerkesztést!
A gyerekek tömegesen jelentkeznek. A tanár gyors eg ymásutánban
szólítja ıket, sorban mondják a szerkesztés egyes lépéseit, ı a
táblánál új ábrát kezdve, felvázolja, amit mondanak . Rajzeszközöket
egész órán nem használ sem ı, sem a gyerekek, nem töltenek vele
id ıt. Majd otthonra olyan feladatot is kapnak! Egymás mellett van az
elemzéshez használt vázlat és a most készül ı, amely a szerkesztés
lépéseit mutatja. Közben a régi ábrára is ráirányít ja a figyelmüket.
- Hol van ennek a pontnak a megfelel ıje a másik vázlaton?
A táblán már ott van a "felfújt" kör, néhány gyerek még
dolgozik. Odamegy az egyikhez, megnézi.
- Neked még mindig egy másik feladat motoz a fejedb en. Az,
ahol a körön van kijelölve egy pont.
- Készen van a vázlat? Ezt a kört kerestük? /Ezt má r az
osztálytól kérdezi./
- 219 -
97. ábra
= Nem ezt. Képzeljük el, hogy a felfújt körb ıl annyit szívunk
vissza, amennyi az adott kör sugara.
Befejezik a szerkesztés felvázolását. Aztán megbesz élik a
másik megoldást /az adott kör belül van a keresett körön/; itt
"szívással" kezdik "felfújással" végzik. Ezen az es eten is
végigmennek, de gyorsabban, mint az el ıbbin.
Egy gyerek közben jelentkezett, kezdett is mondani valamit a
táblánál, de a tanár leütette ott egy székre, amíg az el ıbbi
gondolatmenet befejez ıdik. Most aztán int neki:
- Mondd csak!
A gyerek ezt az ábrát rajzolja:
Ha a sárga kör érinti az egyenest ebben
a pontban, akkor érinti ezt a kört ...
és azt a kört is ... Úgy rajzoljuk, hogy
akkorák legyenek, mint az adott kör.
- És akkor? /Másik gyereket
szólít, azzal fejezteti be a
gondolatmenetet. De még utána is nagyon
jelentkezik valaki, annak is szót ad:/
= G. átalakította a feladatot
/arról a gyerekr ıl beszél, aki a
körsoros megoldást javasolta/: Adva van két egyenl ı sugarú kör,
olyan kört kell szerkeszteni, amely ezeket érinti, az egyiket egy
adott pontjában.
Csöngettek. A tanár feladatlapokat oszt ki, ezeken van a házi
feladat. Az osztály kimegy.
"Mértani helyek"
A síkidomokat, a testeket, a térelemeket pontokból állóknak
képzeljük és képzeltetjük a gyerekekkel a geometriá ban
ponthalmazokkal foglalkozunk. Megadni egy ponthalmazt - általában
egy halmazt - egyértelm ő azzal, hegy megadunk egy tulajdonságot,
amelynek a halmaz elemei, és csak azok, eleget tesz nek. Ha egy
halmazt az elemei felsorolásával adunk meg, akkor i s ezt tesszük; az
is tulajdonsága valaminek hogy felsoroltuk-e vagy n em.
- 220 -
98. ábra
Van a geometriában egy problémakör, amellyel kapcso latban a
"mértani hely" kifejezést szokás alkalmazni. Mit ér tünk mértani
helyen? Olyan pontok összességét - vagyis halmazát - amelyek mind
egy bizonyos tulajdonsággal rendelkeznek, de rajtuk kívül egy
pontnak sincs meg ez a tulajdonsága. A geometriának ez a
problémaköre tehát a ponthalmazokkal kapcsolatos. D e hiszen a többi
is!
Mégis úgy érezzük, hogy ezt a problémakört valami
megkülönbözteti a többit ıl. Nem lehet különbséget tenni olyan
ponthalmazok között, amelyek mértani helyek és olya nok között,
amelyek nem; nem a ponthalmazokban, hanem a megadás i módjukban van a
különbség. Ha a tanár azt mondja a tanulóknak, hogy hozzanak két
párhuzamos egyenest egymástól 4 cm távolságban, exp licit módon adta
meg az egyeneseket. Ha viszont megkeresteti velük a zoknak a
pontoknak a mértani helyét, amelyek egy egyenest ıl 2 cm távolságban
vannak, akkor implicit formában adta meg ugyanazt / ti. egybevágóság
erejéig ugyanazt/ a ponthalmazt. Az el ıbbi arra emlékeztet minket,
amikor megadjuk például ezt a két számot: 2 és 3. A z utóbbi ahhoz
hasonló, mintha megadnánk egy olyan egyenletet, ame lynek ezek és
csak ezek a gyökei: x 2 - 5x + 6 = 0 vagy /x-2//x-3/ = 0.
Ha lehet is határt vonni aközt, hogy egy vagy több számot
explicit formában adunk-e meg vagy implicit módon, például
egyenlettel, a határ nem nagyon éles; x - 2 = 0 is egyenlet, x = 2
is az.
Ugyanilyen kevéssé vagy még kevésbé éles a határ a
ponthalmazok implicit és explicit megadása közt. Mé gis azt
mondhatjuk: az úgynevezett "mértani hely"-feladatok azt kívánják
t ılünk, hogy egy implicit módon megadott ponthalmazt explicit
formában is adjunk meg. Jobb híján ponthalmaz-keres ési feladatoknak
nevezhetnénk ıket vagy általánosabban - olyan általánosan, hogy a bba
az egyenletmegoldás és sok minden egyéb is belefér - halmazkeresési
feladatoknak.
A "mértani hely" elnevezés azért rossz, mert azt a gondolatot
ébreszti, mintha valamiféle speciális objektumokra, alakzatokra,
"helyekre" vonatkoznak, nem pedig elvben bármilyen ponthalmazzal
kapcsolatos speciális feladattípusra utalna. A félr evezet ı
elnevezésekkel kapcsolatban a tanár ne helyezkedjen arisztokratikus
álláspontra /"én is megértettem, más is megértheti" /;
- 221 -
gondoljon arra, hogy nem minden diákból lesz matema tikus, és amin ı
könnyen túltette magát, az másnak a gondolkozását e gészen rossz
vágányra viheti. Ha nincs módjában jobb elnevezés a lkalmazásával
hárítani el a nehézséget, akkor fordítson különös g ondot arra,
nehogy a rossz terminológia mögött hamis elképzelés ek húzódjanak
meg.
Az a megállapítás, hogy "a mértani helyekkel kapcso latban,
mindig két dolgot kell tisztázni: rajta vannak-e mi nd az adott
tulajdonságú pontok és csak azok vannak-e rajta", ö nmagában helyes.
Mégis a tanulók látókörének lesz őkítésére vezethet, ha nem mutatunk
rá, hogy nem a "mértani helynek" valami különleges jellemz ıjér ıl van
szó. Általában két halmaz egybeesését úgy igazolhat juk, hogy "két
dolgot tisztázunk": megmutatjuk x, az egyiknek minden eleme a
másiknak is eleme és megfordítva is. Ehhez az által ános és absztrakt
megfogalmazáshoz, vagy más megfogalmazásban ugyaneh hez a
gondolathoz, csak speciális és konkrét példák útján lehet eljutni xx ,
de ha ide nem jutunk el, akkor az iskolai matematik a
összefüggéstelen, mozaikszer ő jellegét er ısítjük. Nem olyan vad
általánosság ez, amelyhez l4-15 éves tanulók ne tud nának hozzáférni
alkalmas szemléltetés /pl. a halmazoknak "krumplikk al" való
ábrázolása/ és sok konkrét példa útján.
_____________ x Itt "igazolhatjuk" és "megmutathatjuk" stiláris vá ltozatok
ahelyett, hogy "bizonyíthatjuk". Egyhangúságra veze tne ugyanazoknak
az elnevezéseknek a halmozása. /Analóg eset: a halm az szó torlódását
gyakran úgy kerüljük el, hogy helyette osztályról, összességr ıl stb.
beszélünk/. Van, aki bizonyos vonatkozásban szívese bben használja az
egyik szót, mint a másikat, például annak a bizonyí tását, hogy egy
szám kielégít egy egyenletet, inkább igazolásnak mo ndja; ez azonban
szokás dolga, logikailag ezek a kifejezések egymáss al
felcserélhet ık, egy ilyen csere nem tesz igaz állítást hamissá v agy
hamisat igazzá. Jó erre a diákok figyelmét is adand ó alkalommal
felhívni. Nem ritka eset, hogy az efféle stiláris k ülönbségtétel
problémát okoz a tanulóknak, és a tanár segítsége n élkül tévútra is
vezetheti ıket. xx Ponthalmazokkal kapcsolatban ez a gondolat els ısorban
"mértani helyes" feladatok vonatkozásában merül fel , számhalmazokkal
kapcsolatban egyenletek megoldásakor /egyenletek ek vivalenciája/,
síkidomok halmazaival kapcsolatban akkor, amikor eg y tétel
megfordításáról, egy síkidom - például a paralelogr amma - valamilyen
jellemz ı tulajdonságáról van szó stb. stb.
- 222 -
A ponthalmaz-keresési feladatok azért nagyon értéke sek, mert a
matematika induktív és deduktív oldala egyaránt meg mutatkozik
bennük. Rendszerint kísérletezéssel kezd ıdnek a megoldások: egy,
majd több olyan pontot keresünk, amelyek az adott k ikötésnek vagy
kikötéseknek eleget tesznek. Ahogy a pontok sokasod nak, kezd
kibontakozni valami ponthalmaz - például egy görbe - képe. Sejtésünk
támad. Összefüggéseket keresünk, megpróbáljuk a sej tést igazolni.
Csak ha ez is sikerült, oldottuk meg a problémát. M ás típusú
problémák megoldásában is megtaláljuk ennek a folya matnak bizonyos
elemeit, de egyszer ő feladatokban ritkán látunk olyan teljes tablót,
mint éppen a ponthalmaz-keresési problémákban. A ké pzel ıer ıt, -
közelebbr ıl: a térszemléletet - is fejlesztik ezek a feladato k; a
kísérletezést gyakran pótolja a keresett pontok leh etséges
helyzeteinek az elképzelése. Nem síkbeli ponthalmaz ok esetében
különösen nagy szükség van erre.
A ponthalmaz-keresési feladatokban nagy szerepe van a
ponthalmazok közti távolság, illetve speciálisabban egy pont és egy
ponthalmaz közti távolság fogalmának. Iskoláinkban ennek a
fogalomnak is, mint több más fogalomnak, csak nagyo n sz ők speciális
eseteir ıl szokott szó lenni. Nem volna nagy dolog el ıvétetni a
diákokkal a földrajzi atlaszokat, és olyan feladato kon, mint pl.
"Milyen messze van Anglia az európai kontinenst ıl?" "Beletartozik-e
X község Magyarország 20 km széles határövezetébe?" kialakítani a
távolság eléggé általános fogalmát. /Amíg zárt pont halmazoknál
maradunk - jó ezt a szóhasználatban valahogyan kife jezésre juttatni
-, addig elkerülhetjük a két ponthalmaz pontjai köz ti távolságok
alsó határának fogalmát, elég a legrövidebb távolsá gról beszélni./
Így elkerülhetjük, hogy a diákok a távolság fogalmá t például
mindenáron a mer ılegesség fogalmához igyekezzenek kapcsolni. Érdemes
volna felméréseket végezni, hogy
száz középiskolás diák közül hány
van ma tisztában azzal, hogy az
ábrán látható esetben a P pontnak
és a QS kezd ıszakaszú
félegyenesnek a távolsága nem a
meghosszabbításra bocsátott
merıleges PR, hanem a PQ szakasz
hossza /ábra/. Hányan tudják
megtalálni azoknak a pontoknak
- 223 -
99. ábra
a halmazát a síkban, amelyek egy adott félegyenest ıl vagy pl. egy 4
cm oldalú négyzett ıl 1 cm távolságban, vagy amelyek egy szög
száraitól egyenl ı távolságban vannak? Az ilyen feladatokkal
kapcsolatos tévedések /például: "a sík azon pontjai nak mértani
helye, amelyek egy szög száraitól egyenl ı távolságban vannak, a
szögfelez ı"/ a távolság fogalmának meg nem értésén alapulnak.
Szerkesztési feladatok megoldásában az egyik legter mészetesebb
- amellett nagyon általános - módszer a következ ı. A feladatban tett
kikötéseket alkalmas módon x csoportosítjuk - ugyanaz a kikötés több
csoportban is szerepelhet -, megkeressük azoknak a pontoknak a
halmazait, amelyek egy-egy kikötéscsoportnak eleget tesznek, végül
pedig ezeknek a ponthalmazoknak a metszetét vesszük . A szerkesztés
ezzel nem mindig fejez ıdik be, de támpontot kapunk a további
lépésekhez. A 215.-220.oldalon közölt óraleírásban szerepel például
a következ ı feladata: "Szerkesszünk olyan kört, amely érint eg y kört
magadott pontjában és egy egyenest." Az a tanuló, a ki ebb ıl felelt
/215.-216.oldal/, megértette, hogy a keresett kör k özéppontjának a
megszerkesztésére kell irányítania a figyelmét. Ha ez megvan, akkor
a szerkesztés még nem fejez ıdött be, de a befejezés nyilvánvaló. Azt
is megértette, hogy nem vezetne célra ez a csoporto sítás, amely
pedig a feladat szövege alapján a legtermészetesebb volna: 1.
keressük meg az adott kört adott pontjában érint ı körök
középpontjainak halmazát; 2. keressük meg az adott egyenest érint ı
körök középpontjának a halmazát. Megértette, hogy a második
részfeladat nem tartalmaz elég megszorítást, hozzá kell venni az
els ı részfeladat - pontosabban: egy vele ekvivalens fel adat -egyik
kikötését. xx Nyilván nem gondolta ezt át teljes mélységében sem a
felel ı tanuló, sem a társai, de a lényegét megértette és további
feladatok meg-
______________ x Az alkalmas csoportosítás azt jelenti, hogy mindeg yik
kikötés-csoportnak eleget tev ı pontok olyan halmazt alkossanak,
amely a megengedett szerkesztési eljárásokkal megsz erkeszthet ı. xx Az 1. részfeladattal ekvivalens feladathoz jutunk, ha az
adott kört helyettesítjük az adott pontjában húzott érint ıvel. Az
így kapott feladatnak két kikötése van: la. a keres ett pontok olyan
körök középpontjai legyenek, amelyek átmennek az ad ott ponton; 1 b.
a keresett pontok olyan körök középpontjai legyenek , amelyek érintik
az adott egyenest. Ez az utóbbi kikötés az, amellye l a 2.
részfeladatot ki kell egészíteni. /Egyszer őbb nyelven szólva: a
tanuló körsorokkal okoskodott./
- 224 -
oldásában is alkalmazni tudta. A tudatosításnak túl ságosan magas
foka, a precíz megfogalmazással szemben támasztott túlságos igények
elriasztották volna ezeket a tanulókat. El ıbbrevitel helyett
primitív és érdektelen feladatok körére vetették vo lna vissza ıket,
hiszen kicsit színvonalasabb feladatokkal kapcsolat ban nem tudták
volna azokat a követelményeket teljesíteni. A tudat osítás és a
szabatos megfogalmazás terén az volt itt a zsinórmé rték, hogy a
tanulók ne csak recepteket lássanak, hanem megsejts ék és a maguk
nyelvén körülírják azokat a lényeges gondolatokat, amelyeket aztán
más feladatokban is alkalmazni. tudnak. Ez viszi el ıre a tanulást,
és ez teszi lehet ıvé azt is, hogy az újabb feladatok megoldása
nyomán a tudatosságban és szabatosságban egyre mély ebbre hatoljanak.
Egybevágóság, hasonlóság
Ennek a két fogalomnak az általános iskola geometri ai anyagában
középponti szerepe van. Ez több szempontból is igaz és annak
ellenére is igaz, hogy az "egybevágó", "egybevágósá g" szavak a
tantervben el ı sem fordulnak.
El ıször is: amir ıl a geometriában szó van, arról mindig
egybevágóságtól eltekintve, /s ıt a mérési problémák kivételével
hasonlóságtól eltekintve/ van szó. Aki ezt nem érti meg, az nem
sokat ért a geometriából. Márpedig ezt nem könny ő megérteni a
gyereknek, aki megszokta, hogy d, b, q és p között 6 és 9 között
stb. igenis különbséget kell tenni. Nehezen szokta meg ezt
annakidején, akadályozták ebben az olyan tapasztala tok, hogy a
fogkefe ugyanaz a fogkefe marad, akár balra, akár j obbra néz, akár
lent van, akár fent van a sörtéje. De miután megszo kta, ez a
megszokás akadályozza, hogy a geometriában mégis el tekintsen a
helyzett ıl.x /A nagyságtól való eltekintés nem okoz annyi
problémát./
_____________
x Nemcsak iskolásoknak okoz nehézséget
az a gondolat, hogy a geometria nem tör ıdik a
helyzettel. Jellemz ı példája ennek a Schlag
Nach /Natur/c. könyv geometriai részében
található következ ı részlet /54. oldal/:
"Rhombus und Raute
Der Rhombus ist ein Paralellogramm mit
gleichen Seiten, die Raute ein auf die Spitze
gestellter Rhombus."
A szerz ı a rombuszon kívül,/amelynek két
oldala, mint az ábra mutatja, "vízszintes/, szükség esnek látott egy
"Raute" nev ő idomot is definiálni, amely ugyanez "a hegyére áll ítva".
- 225 -
Másodszor: az a két geometriai fogalom, amely az ál talános
iskolai tananyagban még rendez ı elvként szerepel, a tengelyes és a
középpontos szimmetria, az egybevágóságra visszavez ethet ı: A
szimmetrikus idomot avval lehet jellemezni, hogy ön magával más
helyzetben is egybevágó /„átfordítva" vagy 180°-kal elforgatva is
egybeesik eredeti helyzetével/; vagy avval, hogy eg y egyenes, vagy
egy pontján áthaladó minden egyenes, két egybevágó részre vágja. Az
egybevágóság mélyebb fogalma a tengelyes és középpo ntos szimmetria
gondolatába is jobb betekintést ad.
Harmadszor: az egybevágóság és a hasonlóság fogalma azért is
fontos, mert felhasználható a gyerekeket is érdekl ı gyakorlati
problémák megoldására. Ezt az általános iskola geom etriai anyagának
nem sok részér ıl mondhatjuk el. Mire jó az, hogy a derékszög ő
háromszög szögeinek összege 180°? - kérdezheti a gy erek. Mit tudok
meg azzal, ha megtanulom a derékszögekr ıl, hogy mindig egyenl ık? A
27°-os szögek talán nem? A sok mihaszna tanulnivaló közt üdít ı
színfoltot jelent valami, aminek a segítségével meg tudjuk
állapítani a folyó innens ı felén maradva, milyen messze van t ılünk a
folyón túl lev ı ház, meg tudjuk állapítani épületek magasságát,
méreth ő térképvázlatot tudunk készíteni stb.
Amilyen fontos és mély fogalom az egybevágóság és a
hasonlóság, annyira egyszer ő is. A hasonlóság lényegét elég jól
kifejezi az, hogy "ugyanolyan alakúak", az egybevág óságét az, hogy
ugyanolyan alakúak és ugyanakkorák". Ezeket a fogal makat a gyerekek
ismerik, használják; persze meg kell szokniuk az új elnevezéseket és
a "hasonló" szó esetében zavarja ıket a "hasonlít" szó eltér ı
jelentése. Az egybevágóság és a hasonlóság fogalma kés ıbb
gazdagodik, árnyalódik, de fontos az, hogy az els ı kép ők lényegében
helyes legyen. A két fogalom szorosan összetartozik , egymáshoz
viszonyítva könnyebb megérteni ıket. Mansfield és Thompson /1962/ xx
egy feladatban vezeti be a két fogalmat, minden elm élet
mell ızésével, 11 éves korban. Bemutat egy ábrát egybevág ó, de
különböz ı állású és /részben különböz ı körüljárású/ háromszögekkel:
______________ x Ezek a fogalmak itt nem mint transzformációk, hane m mint
síkidomok tulajdonságai szerepelnek, az általános i skolában a
szimmetria nem jelent tükrözést, csupán tükrösséget . xx 44. és 45. oldal.
- 226 -
Azután bemutat három hasonló ötszöget:
és másik hármat, amelyek hasonlítanak , de nem hasonlók :
Néhány sorban elmondja, hogy kell érteni azt, hogy ezek a
háromszögek egybevágók, az els ı három ötszög hasonló, a második
három
- 227 -
101. ábra
103. ábra
102. ábra
nem, aztán közöl egy ábrasorozatot /104. ábra/. Meg kell
állapítaniuk, hogy az els ı oszlopban látható síkidommal illette
testtel egybevágók-e, vagy hasonlók-e hozzájuk a tö bbi oszlopban
láthatók.
Lehetne javítani ezen a felépítésen. Ha már a hason lóság
fogalma együtt van az egybevágóságéval, kerülhet a hasonlóság az
els ı helyre. Így természetesebb, hogy nem zárjuk ki azt az esetet,
amikor az alakjukon kívül a nagyságuk is megegyezik . A fenti
sorrendben ez nehézséget okoz. Az utóbbit ugyanis m indig az
el ıbbihez viszonyítjuk, és könnyebb a speciális esetet viszonyítani
az általánosabbhoz, mint megfordítva. Figyeljük meg ,
- 228 -
Egy másik ponton is javíthatunk ezen az elgondoláso n. Nagyobb
általánosságra vezet és nem jár több nehézséggel, h a a geometriából
név szerint ismert síkidomokon és testeken kívül sz erepel például
falevél képe, tintafolt, fénykép stb. is. x
Az egybevágóságnak és a hasonlóságnak ez a primitív fogalma
csupán kiindulópont lehet. A cél: eljutni oda, hogy egybevágóságon
távolságtartó, hasonlóságon pedig távolságarány-tar tó leképezést
/megfeleltetést/ értünk. Az egybevágóságnak az a má sik primitív
definició-pótléka, hogy "fedésbe hozhatók", el ınyös ugyan abból a
szempontból, hogy módszert ad az egybevágóság megál lapítására, de
sajnos csak a síkban használható. A térre legfeljeb b úgy tudnánk
átvinni ezt a gondolatot, hogy optikai eszközöket i s megengedünk a
"fedésbe hozás" érdekében; a tükrözést nem tudjuk m egtakarítani. Az
olyanféle fogalmazás a térbeli egybevágóságra, hogy "ugyanarra a
helyre hozhatók", már csak azért sem használható, m ert semmi módon
sem tudunk például egy cip ıt "ugyanarra a helyre hozni", vagy
"ugyanazt a helyet betölteni
______________ x Nem jó tápot adni annak az elképzelésnek, hogy a g eometria
körébe csak olyan alakzatok tartoznak, mint hasáb, gúla, henger,
kúp, gömb, gömbszelet, gömbcikk, sokszög, kör, körs zelet, körcikk,
kúpszeletek és más olyan alakzatok, amelyeknek a ge ometriában nevet
adunk. Néhány évvel ezel ıtt a Kürschák-versenyen szerepelt egy ilyen
feladat: "Bizonyítsuk be, hogy ha egy test minden s íkmetszete kör,
akkor a test gömb." Több dolgozatban is el ıfordult a következ ı
"megoldás": a hasáboknak és gúláknak, hengereknek é s kúpoknak vagy
legalább egy olyan metszetük, amely nem köralakú; t ehát a keresett
tulajdonságú test csak a gömb lehet.
- 229 -
mennyivel egyszer őbb ez:
hasonlók:
egyez ı alakúak
egybevágók:
egyez ı alakúak és
ugyanakkorák
ennél:
egybevágók:
egyez ı alakúak és
ugyanakkorák
hasonlók:
egyez ı alakúak, de nem
feltétlen ugyanakkorák
vele", ahol a párja volt, márpedig a cip ı és a párja /elvben/
egybevágók x.
Az egybevágóságnak a fedésbe hozással /egybeilleszt éssel/ való
magyarázata mégis lényegesen túlvisz, ha csak a sík ban is, azon a
nagyon határozatlan fogalmon, amit az "egyez ı alakúak és
ugyanakkorák" fogalmazás és szinonimái fejeznek ki. Tekintsük hát
ezt közbees ı lépcs ıfoknak az egybevágóság távolságtartó
leképezésként való definiálása felé. Az utóbbi érte lemben két
ponthalmazt akkor mondunk egybevágónak, ha meg tudj uk úgy feleltetni
egymásnak a pontjaikat - az egyik halmaz egy pontjá nak mindig a
másiknak egy pontját -, hogy a megfelel ı pontok távolsága egyenl ı
legyen. A fedésbe hozás konkrét m ővelete segít ezt megérteni; amikor
fedésbe hozzuk a ponthalmazokat, akkor éppen egy il yen
megfeleltetést létesítünk. Hogy a fogalmat minél ál talánosabbá
tegyük, ne csak papírból kivágott háromszögeket és más síkidomokat
hozzunk fedésbe, hanem készítsünk átlátszó papír -, cellofán-,
mőanyag-, esetleg üveglapból is szemléltet ı eszközt, ennek
segítségével mutassunk példákat különálló pontokból álló
ponthalmazok egybevágóságára is. Hasznosak az olyan modellek - akár
sokszögeket, akár egyéb ponthalmazokat ábrázolnak - , amelyek
különféle módokon majdnem pontosan egybeilleszthet ık, de csak egy
esetben fedik egymást "pontosan". /Készítsünk példá ul két egybevágó
ötszöget, amelyek a szabályostól csak kissé térnek el, de úgy, hogy
nem szimmetrikusak./ Állítsunk el ı olyan modelleket is, amelyek nem
térnek ugyan el nagyon egymástól, de azért akárhogy an próbáljuk is
egybeilleszteni ıket, mindig van köztük ak-
______________ x Következetlenség volna a síkban kiterjeszteni az
egybevágóság fogalmát ellenkez ı irányítású /tükrözéssel egymásba
átvihet ı/ ponthalmazokra is, a térben viszont nem. Igaz, ho gy a
síkbeli tükrözés a harmadik dimenzióba való kiemelé s útján
mozgatással is megvalósítható. Matematikailag ugyan így
megvalósítható azonban a térbeli tükrözés is mozgat ással, a negyedik
dimenzióba való kiemelés útján, ha fizikai terünkbe n ezt nem is
tudjuk végrehajtani. A tanulók ebb ıl még nem sokat érthetnek meg.
Jobb azonban elkerülni azt, hogy olyasmire tanítsuk ıket, ami egy
magasabb néz ıpontról tarthatatlannak bizonyul - gátat vet az
általánosításnak -, még ha erre a magasabb néz ıpontra nem is tudjuk
/egyel ıre vagy egyáltalán/ elvezetni ıket. Sok példát lehetne
említeni arra, hogy-a matematikai fogalmak kialakít ásában nem
hagyjuk megkötni a kezünket a fizikai megvalósíthat óságtól.
/Gondoljunk például egy intervallum felosztásainak minden határon
túl való finomítására./
- 230 -
kora eltérés, ami már túlmegy a technikai kivitelez és megszokott
csekély pontatlanságán. Így a tanulók példák és ell enpéldák útján
megértik, hogy ha egy bizonyos - els ı pillanatra jónak látszó -
megfeleltetés nem jó, ez még nem jelenti azt, hogy semmilyen módon
sem sikerül a fedésbe hozás. Az így szerzett tapasz talatokkal
valamit el ırehaladunk az egybevágóság szabatos megfogalmazása felé,
- ti. tisztázzuk bel ıle azt a gondolatot, hogy "van olyan
megfeleltetés..." -, de el kell még szakadnunk az e gybeillesztés
gondolatától. E célból például jelöljünk ki /vagy n agyobb tanulókkal
jelöltessük ki/ az iskola udvarán hat olyan pontot, amelyek két
egybevágó háromszöget határoznak meg. /Három lehet természetes
tereppont is, például két fa és egy épület egyik sa rka./
Egybeillesztésr ıl itt nem lehet szó, hogyan dönthetjük el mégis,
hogy egybevágók-e vagyis - a régi "definícióhoz" vi sszatérve -,
ugyanolyan alaknak és ugyanakkorák-e? Kínálkozik a gondolat:
távolságméréssel. Méréseink a hibahatáron belül egy ezı eredményeket
adnak; biztosak lehetünk-e az egybevágóságban? Viss za kell térnünk
az összeilleszthet ı papírháromszögekhez, hogy erre tapasztalati úton
felelni tudjunk. Ilyen feladatokat adhatunk: jelölj ön meg mindenki
egy-egy papírlapon három olyan pontot, amelyeknek a távolságai 4 cm,
6 cm, 8 cm. Súlyos pedagógiai hiba volna elárulni, hogyan
találhatnak ilyen pontokat. Vannak azonban módok ar ra, hogy
megkönnyítsük az ehhez vezet ı utat /háromszög kirakása pálcikákból,
szabványos körz ı helyett papírcsík használata, lásd a 213. oldalon/ .
Szerepelhetnek ilyen feladatok már el ıbb is, el ıkészítésképpen.
Vágják ki, illesszék össze a három-három pont megha tározta
háromszögeket. Így kísérleti bizonyítékot szereznek az ilyen
háromszögek, illetve ilyen ponthármasok egybevágósá gáról. Nem
mindenki számára nyilvánvaló, hogy olyan három pont ot keresni,
amelyeknek megadja a távolságait, és olyan háromszö get szerkeszteni,
amelynek megadjuk az oldalait, lényegében ugyanaz a feladat. Rá kell
vezetnünk ıket ennek a felismerésére. Jó, ha ezek után hamaros an
kapnak olyan feladatokat is, amelyekb ıl kiderül, mennyire más a négy
pont és a négyszög esete. Hány négyszöget határoz m eg négy
/általános helyzet ő/ pont? Egybevágók-e az oldalaikban megegyez ı
négyszögek. Hány távolságot mérhetünk négy pont köz ött? Egybevágó-e
két pontnégyes, ha ezek a távolságok mind megegyezn ek? Elég-a
kevesebb távolságot is megadni? Hogyan másolhatunk le egy
négyszöget? Ötszöget? Ezek
- 231 -
a problémák természetesen következnek egymás után, de persze sok más
módon is haladhatunk. A tapasztalati alapot azonban mindenképpen
biztosítanunk kell. Csuklós modelleken, amelyeket p éldául Pajtás
épít ıkészlet részeib ıl állítanak össze, gy ızıdjenek meg maguk a
gyerekek arról, hogy a háromszög merev, de a négysz ög, ötszög stb.
mozgatható, ha nem szorítjuk meg a csúcsainál: stb.
Olyan felépítést vázoltunk, amelyben a távolság fog alma az
alapvet ı; a szög fogalmát egyel ıre elkerültük. A távolságméréssel
való kezdésnek több el ınye is van. Az egyik az, hogy így csupa
egyforma jelleg ő adat szerepel. Egy másik: könnyebb a tanulóknak
távolságot mérni, ezzel már az alsó tagozatban is f oglalkoztak, a
szögmérés viszont új és nehéz a számukra. Végül: a z
egybevágóságnak, mint izometriának a fogalmához is gyorsabban
eljutunk, ha a távolságra építünk. A tanulók észrev eszik, hogy a
megfelel ı pontok közötti minden lehetséges távolság egyezése
biztosítja az egybeilleszthet ıségét /háromnál több pont esetén
bıségesen, "redundanciával" biztosítja/. Tereppontok esetében,
amikor egybeillesztésre nincs mód, a távolságok egy ezése veszi át a
definíció szerepét. Innen már csak egy lépés, hogy általában is ezt
fogadjuk el definíciónak; a rajzpapír általában nem átlátszó és nem
is mindig célszer ő szétvagdosni. A síkbeliekkel analóg
térgeometriai-feladatokra alighanem akkor a legérde mesebb rátérni,
amikor már legalábbis kezdi átvenni a definíció sze repét a
távolságok egyezése. Egybeillesztéssel térbeli mode llek /például
tetraéder-élvázak/ esetében is dolgozhatunk, csak n e próbáljunk az,
egybeilleszthet ıségb ıl definíciót csinálni. Az egybeillesztés
elképzelése - ha nem is a valóságos végrehajtása - a síkban is és a
térben is hasznos eszközünk marad az egybevágóság e ldöntésére. Több
esetben átsegít például azon a nehézségen, hogy vég telen sok pont
páronkénti távolságát nem tudjuk külön-külön megmér ni. Elképzelt
egybeillesztéssel gy ızıdhetünk meg például arról, hogy az egyenl ı
sugarú körök vagy gömbök egybevágók. Erre is érvény es azonban, mint
minden bizonyításra: felesleges, s ıt káros addig, amíg hiányzik a
bizonyítási igény. Mindaddig megelégedhetünk a szem léleti
evidenciával is.
A terepen való mérések nagyon alkalmasak arra, hogy a távolság
mellett a szöget is beiktassuk az egybevágóságot bi ztosító adatok
közé. A rajzlapon mindig kényelmesebb távolságot mé rni, a terepen
gyakran el ınyösebb a szögmérés. Általában kényelmetlen
- 232 -
a nagy távolságok mérése, de kis távolságok megméré sét is
megnehezíthetik vagy lehetetlenné tehetik közbees ı akadályok
/kerítés, domb, ház, patak/. Általában nem tudjuk k özvetlenül
megmérni épületek, fák, távíróoszlopok stb. magassá gát. Mindezek a
gyakorlati feladatok jó ösztönzést adnak olyan eljá rások
kigondolására, amelyek a háromszögek egybevágósági vagy hasonlósági
tételeit használják fel, és így elvezetnek maguknak ezeknek a
tételeknek a felismerésére is. A sorrend szokatlan; a hagyományos
tanításban el ıször megismerkedünk egy tétellel, lehet ıleg a
bizonyításával is, aztán alkalmazzuk a tételt. Pedi g igen sokszor -
ha nem is lehet ebb ıl általános szabályt csinálni - alkalmazás
közben, konkrét gyakorlati problémák közben fedezzü k fel az
összefüggéseket, tételeket /vö. 314.oldal/. A terep en való mérések
azért alkalmasak erre, mert a tanulók megértik, hog y amit tanulnak,
annak jó hasznát vehetik a gyakorlatban. Szükség va n azonban a
szögeket tartalmazó egybevágósági és a hasonlósági tételekkel
kapcsolatban is a manuális kiindulásra, konstrukció kra, mégpedig nem
csupán körz ıvel és vonalzóval végzett szerkesztésekre. A
szerkesztésekr ıl szóló fejezetben már szó volt olyan eszközökr ıl /
214.oldal/, amelyek segítségével a tanulók meggy ızıdhetnek arról,
milyen esetekben biztosítják a háromszögek /négyszö gek stb./
egybevágóságát olyan adatok, amelyek között szögek is szerepelnek.
Ha a tanulóknak három szögb ıl kell összeállítaniuk háromszöget,
akkor eljutnak arra a felismerésre, hogy az így el ıállított
háromszögek általában nem egybevágóak, de egyforma alakúak,
hasonlóak.
A hasonlóság fogalmának kialakításáról, valamint az
egybevágósági és hasonlósági tételek terepmérésekke l kapcsolatos
tanításáról részletesebb tájékoztatást ad például B ellay-Varga
/1953/. Lásd különösen a 73.-114. és 157.-178. olda lt.
Hosszúság, terület, térfogat
A címben látható három szó mellé a hagyományos isko lai
fogalomrendszer értelmében még kett ı odakívánkozik: kerület,
felszín. Ezek azonban, ha - a hagyományoknak engedv e - használjuk is
ıket, tulajdonképpen feleslegesek. Nem lényeges egy síkgörbe
hosszúsága szempontjából, hogy síkidomot határol /é s
- 233 -
ezért végpont nélküli/, vagy nem határol síkidomot. A probléma
egyszer őbb vagy bonyolultabb volta szempontjából lényegeseb b ennél,
hogy a vonal csak szakaszokból áll--e. Ugyanúgy az sem lényeges,
hogy egy felület testet határol /és ezért nincs hat árvonala/, vagy
nem határol testet. Lényegesebb ennél, hogy csak sí kidomokból áll-e.
A hagyományos iskolai szóhasználat egyébként amelle tt, hogy mellékes
szempontokat követ, nem is következetes, mert a "ho sszúság" szót nem
záródó görbe vagy törött vonalra is alkalmazza, a " terület" szó
helyett azonban a "felszín" szóval él olyankor, ami kor a felület nem
határol ugyan testet, de nem is síkidom /pl. gömböv felszíne/,
ellentétben a földrajz és a mindennapi élet szóhasz nálatával /pl.
Afrika területe/. - Egyébként vannak nyelvek, példá ul a francia,
amelyek nem tesznek különbséget terület és felszín közt.
A terminológia nem mellékes, mert visszahat a fogal makra, x de
els ısorban mégis az a fontos, hogy világosan lássuk és láttassuk a
diákokkal: lényegében három dologról van itt szó: a hosszúságról
/záródó vonal hosszát kerületnek is mondjuk/, a ter ületr ıl /helyette
néha felszínt mondunk/ és a térfogatról /régies szó val:
köbtartalomról vagy - bizonyos vonatkozásban - őrtartalomról/.
Nem választható el a hosszúság, terület, térfogat s tb.
mérésének kérdéseit ıl az id ı, a sebesség, a tömeg és más fizikai
mennyiségek mérésének problémaköre sem. Ha a fizika i és a geometriai
mennyiségek között határvonalat akarnánk húzni, ezt semmi esetre sem
tehetnénk úgy, hogy a hosszúság, terület, térfogat stb. a határvonal
egyik oldalára esik, az id ı, a sebesség stb. a másikra. Nem
mondhatjuk, hogy az el ıbbiek még geometriai fogalmak; ugyanannyira
fizikaiak is. Ha minden fizikai vonatkozást kikapcs olva tanítanánk
ıket, elszakítanánk a geometriát a
______________ x Bizonyosan nem független a szerencsétlen terminoló giától az
a kerület- és felszín-kultusz, amely némelyik könyv ben ma is dívik,
de régebben még inkább dívott: minden síkidomnak ke ll, hogy legyen
kerületképlete; az egyenl ıoldalú háromszögeké k = 3a, az
egyenl ıszárúé k = a+2b, az "általánosé" és a derékszög őé k = a+b+c
stb. Az iskolában aligha érdemes megjegyezni a körv onal hosszán /a
kör kerületén/ és a gömb, esetleg még a gömböv terü letén /felszínén/
kívül más kerület- és felszínképletet. A többinek a kiszámítása
érdekes és hasznos gyakorlat lehet, de az emlékezet et kár terhelni
az eredmény megjegyzésével.
- 234 -
realitástól, az alkalmazásoktól. Egy példa világoss á teszi a
különbséget a hosszúság geometriai és fizikai fogal ma között: ha a
hosszúság geometriai fogalmát használjuk, akkor van értelme annak az
állításnak és igaz is, hogy a négyzet átlójának hos sza az oldalában
mint mértékegységben kifejezve irracionális szám. F izikai
hosszúságokra ezzel szemben az irracionalitás fogal mának még csak
értelme sincs. Semmilyen fizikai mennyiségre vonatk oztatva sincs
értelme ennek a fogalomnak, mert a mérési pontosság korlátlan
növelését tételezi fel, ez pedig elvileg lehetetlen . A matematikát
tanító pedagógusnak mind a két szemléletre tekintet tel kell lennie.
Tisztában kell lennie azzal, hogy amíg a "hivatalos " fizikatanítás
meg nem kezd ıdik - az új tanterv szerint az általános iskola 6.
osztályában - addig a fizikai fogalmak helyes kiala kításáért is ı a
felel ıs. Ide tartozik a fentiek szerint a hosszúság, terü let és
térfogat fizikai fogalma, ide tartozik az id ı, a sebesség, a tömeg
fogalma és még néhány más fogalom. A matematikát ta nító pedagógusnak
ez a felel ıssége a fizikatanítás megkezdése után sem sz őnik meg. A
"tiszta" matematikai fogalmakra es ı hangsúly egyre n ı, ahogy feljebb
haladunk, de a fizikai vonatkozások szerepe a matem atikaórán sohasem
sz őnhet meg. Így például nemcsak általános iskolában, hanem
középiskolában is helyes, s ıt ajánlatos olyan feladatokat adni, hogy
a tanuló mérje meg egy kezébe adott gúla vagy más t est bizonyos
adatait, és következtessen bel ılük más adatokra.
Mindezekkel a fogalmakkal kapcsolatban - a területe t és a
térfogatot sem véve ki - mérésekb ıl célszer ő kiindulni. A területre
és a térfogatra vonatkoztatva ez például egységnégy zetekb ıl való
kirakást, egységkockákból való felépítést jelenthet . Azok a
tapasztalatok, amelyekre a tanulók a valóságos, maj d elképzelt
mérések közben szert tesznek, elvezetik ıket arra a gondolatra, hogy
bizonyos mérések eredményét más, egyszer őbb mérések eredménye
alapján ki lehet számítani . Felesleges például a téglalapot mindig
kirakni, az egy sorban lév ı négyzetek és a sorok száma alapján
következtetni lehet a területére, és ugyanígy a tég latest
térfogatára az egy sorban lév ı kockák, a sorok és a rétegek száma
alapján. Az értelmes tanítás alapja itt is, mint mi ndig, a
tapasztalatgy őjtés. Akinek megtanítják, hogy térfogat szélességsz er
hosszúságszor magasság, akár még szemléltetéssel is , az elesik a
felfedezés örömét ıl.
- 235 -
A mérés pontosságának, a határok közé szorításnak a gondolata
minden esetben fellép, hol egyszer őbb formában /pl. a távolságnak,
vagyis egy szakasz hosszának, a tömegnek, az id ınek, az
őrtartalomnak a mérésekor/, hol bonyolultabb körülmé nyek között
/területmérés; térfogatmérés alakváltozás nélkül/; a görbe vonalak
és felületek mérése még nehezebb problémákat vet fe l. Ezeknek a
problémáknak egy részét még a középiskolában is csa k érinteni lehet,
vagy azt sem. Mégis felvet ıdnek primitív fokon már az általános
iskolában, és nem mindegy, hogy a felelet, amit a t anulók itt
kapnak, lényegében helyes, utat mutató-e, vagy pedi g félrevezet ı.
A távolságnak és sok más mennyiségnek a mérésekor a z
alapkérdés az: hány egységet vehetek úgy, hogy ne l épjem túl a
megmérendı mennyiséget, de eggyel több egységgel már igen. Ké t határ
közé szorítom tehát a megmérend ı mennyiséget, és ezek a határok -
ebben az egyszer ő esetben - egyetlen egységgel térnek el egymástól.
Ha kisebb egységet választok, az eltérés is kisebb lesz. A két határ
közé szorítás gondolata gyakorlati mérések kapcsán természetes módon
merül fel. Megmérik a gyerekek a méterrúddal a tant erem hosszát, azt
találják, hogy nyolcszor elfér, ki is marad egy dar ab, de kilencszer
már nem. Jó, ha ennek a feljegyzésére már az 5. osz tályban /s ıt akár
az els ı tagozatban is, vö.20.old./ használják ezt a jelölé st:
8 m < tantermünk hossza < 9 m .
Ha még azt is megállapítják, hogy a keresett hosszú ság
közelebb van a 9 m-hez, mint a 8 m-hez, akkor ezt p éldául így
jegyezhetik fel: x
tantermünk hossza ≈ 9 m.
Mit tegyünk, ha pontosabban akarjuk megtudni a tant erem
hosszát? Megnézzük, hogy a 8 méteren túl hány decim éter fér még el,
aztán hány centiméter. Ennél nagyobb pontosság az a dott esetben
irreális volna. Az eredményeket megint leírhatják k ett ıs
______________ x Megtehetjük, hogy a "tantermünk hossza" teljes kií rása
helyett rövidítést használunk, például t.h., s ıt elárulhatjuk nekik,
hogy ha nem felejtik el, mir ıl van szó, elég az egyik bet ő és pontot
sem kell írniuk utána.
- 236 -
egyenl ıtlenséggel és a közelít ı egyenl ıség jelével, mégpedig
ismereteiknek megfelel ıen a méter, deciméter és centiméter jelével
vagy méterben kifejezve tizedestörttel. Az egyre sz őkebb határok
közé szorításnak ez a gyakorlati példája valami kép et ad nekik
arról, mit jelent a hosszúságmérés problémája. Kés ıbb többet is
megtudnak err ıl. Id ıvel elkezdhetjük kiépíteni az utat a
matematikailag megadott távolságok, az elvben ponto s mérés gondolata
felé is. Képzeljenek el egy teljesen pontos méterru dat - ilyen
nincs, de gondolják úgy, mintha volna - és képzeljé k el, hogy meg
van jelölve pontosan a harmada. Mekkora hosszúság e z az elejét ıl
számítva? Egy kis számolással és okoskodással megál lapíthatják, hogy
0,3 m < h < 0,4 m
0,33 m < h < 0,34 m
0,333 m < h < 0,334 m és így tovább.
Sem deciméterrel, sem centiméterrel, sem milliméter rel, de még
mikronnal vagy millimikronnal sem lehet pontosan ki fejezni a méter
harmadát. De az eltérés a közrefogó számok között e nnél is, annál
is, még a millimikronnál is, és ha folytathatnánk , akármilyen kis
hosszúságnál is kisebb volna. Itt már sok gyerek, h a nem is
mindegyik, megsejt valamit abból, mi az elvben pont os mérés. Még
kés ıbbi - ez már feltétlenül gimnáziumi - fejlemény az, hogy
megismerkednek az összemérhet ıség /kommenzurabilitás/ vagyis a
racionális mér ıszám esetével és az összemérhetetlenség
/inkommenzurabilitás/ vagyis az irracionális mér ıszám esetével.
A területmérés kérdését nagy hiba volna eleve idomo knak egy
sz ők körére - mondjuk a sokszögekre, valamint a körre és a körcikkre
- korlátozni. Igaz, hogy nagyon fontosak bizonyos s peciális esetek,
amelyekre más eseteket is vissza lehet azután vezet ni: például a
téglalap területének kiszámítási módját igen korán felfedezik a
gyerekek négyzetlapokkal való kirakás útján az egés zszámú esetben.
Az is fontos azonban, hogy a területszámítás kérdés ét eléggé
általános - ha nem is éppen a lehet ı legáltalánosabb - szemszögb ıl
nézzék, olyan feladatok fel ıl közelítsék meg a fels ı tagozatban,
mint egy megyének, egy teleknek, a kockáspapírra ta lálomra
felrajzolt görbevonalú idomnak a területe. Ez az ál talánosság
szükséges ahhoz, hogy a gondolkozásukban az-
- 237 -
után a megfelel ı helyre kerüljenek a területképletek, ne
tulajdonítsanak nekik mindenható szerepet.
A közelítés javításának gondolatához kockáspapír se gítségével
például úgy lehet eljutni, hogy el ıször négy "kockát" tekintünk egy
egységnek, ti. egy négyzetcentiméternek - ez rendsz erint elég pontos
közelítés - és ennek érdekében a tanulók ceruzával utánahúznak a
füzetükben minden második vonalat; kés ıbb áttérnek a negyed cm 2-es
egységre. Dolgozhatunk milliméterpapíron is, akkor mindjárt a
négyzetmilliméterre térhetnek át. Megrajzolják a me gmérend ı idomot,
amit kopírozhatnak térképr ıl vagy rajzolhatnak találomra, bele a
lehet ı legnagyobb, körüle a lehet ı legkisebb idomot a
négyzetcentiméterek határai mentén. Megállapítják, hány egység az
egyik, hány a másik - olyan racionális módon, ahogy tudják - és
feljegyzik ezt is, mint a hosszmérés eredményét, eg yenl ıtlenséggel.
Mindjárt észreveszik a nagy különbséget: itt nem eg y egység az
eltérés a két szám közt! A lényeges azonban az, hog y ez az eltérés
csökken, ha kisebb egységre térnek át.
Speciális esetekben - például a téglalap területéve l
kapcsolatban - érettebb tanulókkal érzékeltetni leh et, mint a
hosszúságmérésnél is, azt, hogy az eltérést elvben bármely számnál
kisebbé tehetjük. Ha például 6 cm hosszú és 4 cm
széles a téglalap, akkor négyzetcentiméterben kifej ezett területét
így foghatjuk közre:
6 . 4 < t < 7 . 5 vagyis 24 < t < 35
6,6 . 4,3 < t < 6,7 . 4,4 vagyis 28,38 < t < 29,48
6,65 . 4,33 < t < 6,67 . 4,34 vagyis 28,8378 < t < 28,9478
stb.
A különbség láthatóan csökken. De azért nem olyan g yorsan: a
hosszúságmérésben már a tízed millimétereknél tartu nk, a közrefogó
területek különbsége pedig 11 mm 2. Lesz valaha 1 mm 2-nél kisebb? Az
ábra segít megértetni, hogy igen: /lásd 239 old./
A bels ı és a küls ı téglalap különbsége mindig egy L bet ő forma
idom.
Az els ı közelítésben az L bet ő területe kisebb, mint 12 cm 2,
mert ha szétnyitjuk, ahogy az ábrán látni, akkor az 1 cm széles 12
cm hosszú téglalapból még egy háromszög hiányzik. / Nem fontos,
- 238 -
2
3
1
3
hogy éppen 1 cm 2./ A második közelítésben rövidebb lesz a téglalap
12 cm-nél, a szélessége pedig csak 1 mm lesz. /A ki s hiányról ne is
beszéljünk./. Ezért a különbség most 12 cm2 tizedén él is kevesebb.
Ha egyre kisebb egységekre térünk át, akkor a tégla lap mindig
rövidebb lesz, de még ha ugyanolyan hosszú maradna is, a szélessége
biztosan tizedére csökken. Ezért a különbség 0,12 c m2-nél, 0,012 cm 2-
nél, és akármilyen kicsi területet mond valaki, ann ál is kisebb
lesz.
Aki ezt a gondolatot megértette egy ilyen numerikus példán,
annak nem nehéz átlátnia, hogy az eredmény nem függ a téglalap
méreteit ıl: a különbség mindig olyan kicsi lesz, amilyennek csak
akarjuk.
Nehéz volna normát adni arra, hogy mikor kockáztath at meg a
tanár egy ilyen gondolatmenetet. Gondolkozásra szok tatott tanulókkal
13-14 éves korban többnyire nincs akadálya, de van, aki szívesebben
halasztja az ilyen gondolatokat 15-16 éves korra, s ıt annak sem
mindenki híve, hogy a középiskolában ilyen kérdések szóba
kerüljenek. Számolnunk kell azzal, hogy az ilyen el vi kérdések sok
tanulót lényegesen kevésbé érdekelnek, mint a gyako rlati
területszámítás, és az ilyen tanulókat semmiképpen sem szabad szem
el ıl tévesztenünk, miközben kielégítjük azoknak az érd ekl ıdését,
akik viszont éppen az ilyen titkok megismerésére vá gynak.
A gyakorlati területszámításnak általános iskolai f okon két
kulcsszava van: átdarabolás és kiegészítés. Átdarab olhatónak
- 239 -
105. ábra
mondunk két síkidomot, ha végesszámú, páronként egy bevágó síkidomra
bonthatók; x kiegészítéssel egyenl ınek, ha egybevágó síkidomok
hozzáadásával egybevágó síkidomokat kaphatunk bel ılük.
a kiegészítés viszont mindig egyszer ő:
/Ügyes megvalósítási mód: papírháromszögek elcsúszt atása
dobozfedélben./ Az alábbi két ábra Pythagoras tétel ének egy-egy
átdarabolással illetve kiegészítéssel való bizonyít ását mutatja:
______________ x A felbontás /szétvágás/ úgy értend ı, hogy a vágás vonala
mindkét darabhoz hozzászámít; így ismét idomokhoz / nyílt halmazok
lezártjaihoz/ jutunk. Összeillesztéskor, megfordítv a, az illesztési
vonalakon két-két pontból egy lesz. Ez a megjegyzés az olyan
hallgatók vagy tanárok lelkiismeretének a megnyugta tását célozza,
akiknek esetleg halmazelméleti aggályai vannak az á tdarabolás
fogalmával kapcsolatban. A diákok ezen aligha akadn ak fenn.
- 240 -
A paralelogrammát mindig átdarabolhatjuk téglalappá úgy, hogy egy oldala és a magassága ugyanakkora maradjon:
De ha megkötjük, hogy melyik legyen az az oldal, akkor az átdarabolás néha bonyolult is lehet:
107. ábra
106. ábra
A kiegészítés még egy másik értelemben is szerepel a
területszámításban.
Tehát Tehát Tehát
t = a . t = . m t =
- 241 -
a két kisebb négyzet átdarabolása a nagy négyzetté,
a két kisebb négyzet és a nagy négyet kiegészítése egybevágó ötszögeké.
109. ábra 111. ábra 110. ábra
108. ábra
A háromszöget mindig átdaraboltatjuk ugyanakkora alapú fele olyan magas paralelogrammává,
ugyanolyan magas,
feleakkora alapú
paralelogrammává
is,
de ki is egészíthejtük
vele egybevágó
háromszöggel
paralelogrammává.
m
2
a
2
a . m
2
A háromféle eljárás három különböz ı képlethez vezet. Akinek
még nem magától értet ıdı, hogy a három kifejezés azonosan egyenl ı,
annak a számára hasznos ez az összehasonlítás.
Hasonló módon kaphatjuk a trapéznak paralelogrammáv á való
háromféle átdarabolásából és egyféle kiegészítéséb ıl
t = t = /a+c/ t = . m t =
képleteket, és két háromszöggé való szétvágással öt ödiknek még ezt:
t = +
A geometria szempontjából nincs szükség erre a képl etesdire,
megjegyezni egyet is elég közülük; a geometria ad i tt segítséget az
algebrának, feltéve, hogy igényt tart rá.
Téglalappá is át lehet darabolni a háromszöget és a trapézt,
de nincs olyan mindig megvalósítható, egyszer ő utasítás az
átdarabolásra, amelyr ıl a területképletek /a háromszög esetében
bármely oldalra vonatkozóan/ leolvashatók lennének. Ezek az
átdarabolások csak speciális esetekben alkalmazható k:
Általában bármely két egyenl ı terület ő sokszöget át lehet
darabolni egymásba, vagyis bármilyen sokszögb ıl bármilyen alakú
sokszöghöz eljuthatunk úgy, hogy véges számú részre szétvágjuk és a
darabokat valahogyan összeillesztjük /Bolyai Farkas tétele x/.
Érdekes átdarabolási feladatok találhatók például a következ ı
könyvben: Korgyemszkij, Matematikai fejtör ık, Gondolat,l962.
______________ x Lásd pl. Bellay Varga: A mértan tanítása az általá nos
iskolában, 135-138. oldal.
- 242 -
/a+c/m
2
m
2
a+c
2
/a+c/m
2
bm
2
am
2
112. ábra
Hasznos gyakorlat a kör területének közelít ı kiszámítása
kockáspapír vagy milliméterpapír segítségével. Nagy obb rajzról
pontosabb eredményt olvashatunk le, ezért célszer ő egy 45 o-os
körcikk területét számítani ki és a végén megszoroz ni 8-cal. A
körcikket az egyik sugárral párhuzamos egyenesekkel sávokra
bonthatják a tanulók, és ezeket küls ı és bels ı trapézokkal foghatják
közre. Ilyen módon elég könnyen eljuthatunk a π -nek a 3,14 közelít ı
értékéhez. x
A pontosságra törekv ı mérésnél és számításnál is fontosabb
azonban, hogy a tanulóknak világos fogalmuk legyen a kör
területképletének értelmér ıl. Tudniuk kell
például, hogy a kör területe π -szer
akkora, mint a sugarára emelt négyzet
területe, és ez a π csak körülbelül 3,14.
Le kell tudniuk olvasni egy ilyen rajzról
/113. ábra/, hogy 2 < π < 4. Érdekl ıdıbb
tanulóknak azt is megmutathatjuk, hogy az
egységkörbe írt szabályos tizenkétszög
területe 3 egység. xx A térfogatszámítás
legjobb kezdete, mint már említettük, a
kockákból való felépítés. Az Iskolai Taneszközök Gy ára be van
rendezkedve 1 cm él ő mőanyagkockák gyártására, ezekb ıl minden
iskolának nagy mennyiséget be kellene szereznie. Ál lítsanak össze a
tanulók ilyen kockákból különféle méret ő téglatesteket és
csomagolják be ezeket áttetsz ı papírba. Próbálják azután a csomagok
felbontása nélkül megállapítani, hány kocka van ben nük. Ellen ırizzék
a sejtés őket úgy, hogy ugyanakkora téglatestet felépítenek a kis
kockákból a csomag mellett. Hamarosan azok a tanuló k is helyes -
sejtésekhez jutnak, akik eleinte csak a kívül látha tó kockákat /vagy
a kockák kívül látható lapjait/ számolták. Átlátsza tlan csomagokkal
és más tárgyakkal is végezhetnek hasonló okoskodást /mokka-cukor,
gyufásdobozok /, majd elképzelés alapján köbmillimé teres, köbméteres
kockákkal stb. Ezután megint visszatérhetünk valósá gos, de nem egész
centiméter élhosszúságú téglatestez, kiszámíthatják ezeknek a
térfogatát különféle közelítésben és
______________ x Lásd: fent i.m. 143-145. old. xx Lásd: fent i.m. 143. old.
- 243 -
113. ábra
különféle mértékegységekben. Azt a gondolatot, hogy a "szélességszer
hosszúságszor magasság" kiszámítási mód bármekkora él ő téglatestre
érvényes, fokozatosan lehet a tanulókhoz, képessége ikhez és
igényeikhez mérten, közel hozni. /Vö. a téglalapról a 238.- 239.
oldalon mondottakkal./
Az átdarabolás és kiegészítés gondolata a hasábok t érfogatának
kiszámításában ismét hasznos, de gúlákra általában már nem
alkalmazható. Bolyai Farkas tételének térbeli analo gonja ugyanis nem
érvényes, egyenl ı térfogatú poliéderek általában nem darabolhatók át
egymásba /és egybevágó poliéderekkel egybevágó poli éderekké sem
egészíthet ık ki/. A gúla térfogatának a kiszámításához er ısebb
eszközök szükségesek. Egyszer ő speciális eseteken át /pl. a kocka
három vagy hat egybevágó gúla bontásával/ könnyen p lauzibilissé
lehet tenni a gúla térfogatképletét általános iskol ai szirten is.
Azt, hogy a körhenger és a körkúp térfogatát ugyanú gy
számíthatjuk ki, mint a hasábét ill. a gúláét, könn yen elfogadják a
tanulók annak alapján, hogy az alaplapjuk sokszögek kel - például
szabályos sokszögekkel - tetszésszerinti pontosságg al megközelíthet ı
a nélkül is, hogy az utóbbi fogalom magyarázatába r észletesebben
belemennénk. Tartózkodjunk azonban az olyan vulgari záló
megállapításoktól, hogy "a kör végtelen sok oldalú szabályos
sokszög" vagy "a henger végtelen sok oldallapú hasá b".
A legnehezebb esetek, mint említettük, a görbe vona lak hossza
és a görbe felületek területe /felszíne/. Nehézsége t okoz egyrészt
az, hogy a hosszúság-, illetve területegység
nem illeszkedik hozzájuk, tehát "nemcsak a
széleken kell közelíteni" másrészt az, hogy
a két határ közé szorítás távolról sem olyan
egyszer ő ezekre, mint síkidomok területére
és testek térfogatára. Ezek a problémák
azonban általános iskolai fokon általában
fel sem vet ıdnek. A szabályos hatszög
tanulmányozása után egy ilyen rajzról /114.
ábra/ le tudják olvasni, hogy a kör kerülete
a sugarának a hatszorosa és a nyolcszorosa közé esi k x. Elég
természetes gya-
______________ x Er ıs eszközökkel bebizonyítható, hogy konvex idomokat
határoló görbék közül a tartalmazottnak a kerülete mindig kisebb,
mint a tartalmazóé, s ıt elég kikötni a bels ır ıl, hogy
- 244 -
114. ábra
korlati probléma megvizsgálni, hogy az átmér ı fele helyett a
harmadát, negyedét, ötödét stb. véve körz ınyílásba, hányadikra érünk
vissza. /Ha a szakasz egyenl ı részekre osztása még nehézséget okoz,
egy szakaszt többszöri felmérésével juthatnak az át mérıhöz./ Akik
elég gondosan szerkesztenek, azt tapasztalják, hogy a hetedrésszel a
huszonkettedik lépésre majdnem pontosan visszajutna k a kiindulási
pontra. Másrészt azt is észreveszik, hogy a húrok e kkor már igen
kevéssé térnek el az ívekt ıl. Ez a megfigyelés elméleti szempontból
értéktelen, mert sem alsó, sem fels ı közelítést nem ad. Arra mégis
jó, hogy a tanulók tapasztalati úton eljussanak arr a a
megállapításra, hogy a kör kerülete az átmér ıje hetedének körülbelül
a 22-szerese, vagyis az átmér ıjének körülbelül 22/7 része. Osztással
azt kapják, hogy két tizedes pontosságig 22/7 ≈ 314.
Meggondolkoztatja ıket, hogy a kör kerületének és területének a
kiszámítása /legalábbis körülbelül/ ugyanarra a szá mra vezet, és
érdekelni kezdi ıket, "nincs-e emögött valami." Ekkor helyénvaló
megmutatni azt a heurisztikus okoskodást, amit a 11 5. ábra mutat.
Főzzük azonban hozzá, hogy ez nem bizonyítás . Bármilyen keskeny
körcikkekre vágjuk is a kört, sohasem állíthatunk ö ssze bel ılük
paralelogrammát, csak "valami olyanféle idomot." Az idom
szélességének /az egymáshoz csatlakozó húrok összeg ének/ és
magasságának a szorzata sohasem egyenl ı a területével és a
szélessége sohasem egyenl ı a kör kerületével. Az ábrá-
______________
Lábjegyzet folytatása.
konvex. A tanulókat nem annyira ez lepi meg, többny ire inkább
az, hogy egyáltalán van ilyen megszorítás; ugyanis a területre
érvényes összefüggést meggondolás nélkül átviszik a kerületre. Ha
viszont erre példákat mutatunk, akkor esetleg kétsé gessé válik
el ıttük, hogy igaz-e ez mégis konvex esetben. Ha siker ült ezt
kétségessé tennünk, akkor megmondhatjuk, hogy igen, de nem könny ő
belátni. Ábránk esetében aligha merülnek fel a tanu lókban ilyen
kételyek. Nyilvánvaló a számunkra, és kísérletileg is igazolni
tudják, hogy a kör köré feszített gumizsinórt jobba n ki lehet
nyújtani, hogy a négyzet alakját vegye fel, s ha el engedik,
összehúzódva megint a körre kerül. Ez ugyanolyan sz emléletes tény a
számukra, mint az, hogy a körb ıl csak a szabályos hatszög csúcsait
hagyjuk meg, akkor a gumizsinór, ha eléggé feszes, ennek a
hatszögnek az alakját veszi fel. A kétféle evidenci a között lehet
elméleti meggondolás alapján különbséget tenni /"el emibb" tény, hogy
két pontot összeköt ı vonalak közül a legrövidebb a szakasz, mint a
konvex görbékre vonatkozó, itt kihasznált összefügg és/, de ez a
tanulók evidencia-élményét, amely nem elméleti megf ontolásokból,
hanem gyakorlati tapasztalatokból táplálkozik, alig ha érinti.
- 245 -
ból sejthet ı összefüggés a kör kerülete és területe közt mégis igaz,
mert nincs olyan kis szám, aminél az eltérés kisebb é ne válna, ha a
körcikkeket elég keskenyekre vesszük. Ezt azonban n em könny ő
belátni. Hogy az okoskodás ebben a formájában elfog adhatatlan, azt
frappánsan mutatja, hogy egy eléggé analóg okoskodá snak az eredménye
is hamis: ha a félgömb felszínét osztjuk fel az "eg yenlít ıjével" és
egyre s őr őbben felvett "délkörökkel" olyan gömbháromszögekre,
amelyek "egyre inkább" kiteríthet ık r π/2 magasságú háromszögekké,
akkor ezeknek az együttes területét kiszámítva r 2 π2-nek adódik az r
sugara gömb felszíne. Mindenesetre jó vigyázni ezze l az
ellenpéldával, nehogy visszafelé süljön el, és a di ákok
tanácstalanokká váljanak, hogy most már a "meggy ızı módon igazolt" t
= r 2 π2 képlet fejezi-e ki a gömb felszínét, vagy az esetl eg sokkal
kevésbé meggy ızıen igazolt, talán éppen csak közölt t = 4r 2π képlet.
Általános iskolában való említése ezért legalábbis meggondolandó.
/Egyébként az általános iskolában az új tanterv sze rint a gömb
felszíne még csak említésre sem kerül./
A henger és a kúp felszíne a kör kerülete után nem okoz
nehézséget. A kiterítés gondolata a tanulók számára tapasztalataik
alapján középiskolai fokon is természetes, nem okoz gondot nekik az
itt fellép ı elvi nehézség, x és még az is kérdéses, hogy a leg-
______________ x Lásd Hajós /1960/, 227-228.oldal.
- 246 -
115. ábra
többjük megértené-e, mi itt a nehézség, ha megpróbá lnánk
megmagyarázni nekik. Egyet lehet tehát érteni ezzel a
megállapítással: "Semmiképpen nem kifogásolható ... , hogy pl.
középiskolában a kiterítéssel végzett bizonyítás sz erepel". x
Tulajdonképpeni térgeometria
A "tulajdonképpeni" szóval a térgeometria számításo s részét ıl
/a felszín- és térfogatszámítástól/ akarjuk elhatár olni a nem-
számításos részt. Tulajdonképpeni térgeometriára az általános
iskolában a jelenlegi tanterv szerint jóformán nem is kerül sor.
Csak a téglatest, a kocka és a négyzetalapú egyenes gúla hálózata és
ezekkel kapcsolatban a csúcs, él és lap, a mer ıleges, párhuzamos és
kitér ı élek, mer ıleges és párhuzamos lapok fogalma képviseli ezt a
témakört. Annak az elvnek az alapján, hogy mindenki t képességei
szerint kell foglalkoztatnunk /vö. Szemelvény gy őjtemény, 451.,
452., 455. old./, nem is csupán a legjobb és jobb, hanem még a
közepes tanulókat is célszer ő ellátnunk bizonyos kiegészít ı
anyaggal, ha nem akarjuk, hogy a térszemléletük és a térgeometriai
gondolkozásuk sorvadásnak induljon az általános isk olában töltött
évek alatt. Mindenek el ıtt a tantervi anyagot kell érdekesebbé
tennünk minden tanuló számára. Ehhez azonban szinte elengedhetetlen,
hogy egy kicsit általánosabb szemszögb ıl dolgozzuk fel. Jó alkalmat
adnak erre a testhálózatok. Hány él mentén kell szé tvágniuk egy-egy
/kezükben lev ı!/ kockát, gúlát vagy más poliédert, hogy kiteríthe t ı
hálózathoz jussanak? Jelöljék meg színessel, milyen élek mentén
akarják elvégezni a szétvágást! Vágják szét csakugy an /ollóval,
bicskával, borotvapengével, aszerint, hogy minek a használatát
vezetjük be vagy engedélyezzük/, így gy ızıdjenek meg arról, helyes
volt-e a sejtésük. Milyen más hálózatokat tudnak mé g összeállítani a
kapott lapokból? Hány eset lehetséges? Mutassunk ne kik vegyesen
hibás és helyes hálózatokat, döntsék el, melyikb ıl lehet poliédert
összeilleszteni - és milyent -, melyikb ıl nem. Ha vastag
keménypapírból vagy vékony furnérlemezb ıl készítjük /vagy
készíttetjük/
______________ x i.m. 228. oldal.
- 247 -
el a lapokat és leukoplasztot vagy m őanyag ragasztószalagot
/diafilm-ragasztót/ használunk az egybeillesztésükh öz, akkor gyorsan
el ı tudunk állítani sokféle variánst. Persze jó érzés, ha valaki
el ıtt egy órán át tartó pepecselés után ott van a szép fehér
papírból készült tisztára sikerült kocka vagy oktaé der, az élei
színes papírcsíkkal egyenletesen leragasztva - de e zzel a
technikával nem lehet nagyon messzire jutni. Ha órá k helyett percek
/esetleg másodpercek/ alatt tudnak poliédereket öss zeállítani és
szétszedni, akkor a sejtések kimondásának és a tapa sztalati
ellen ırzésnek gyors váltakozása válik lehet ıvé, márpedig ez a
matematikai gondolkozás fejlesztése szempontjából i gen fontos. A
hálózatokkal kapcsolatban vessünk fel ilyen problém ákat is: mely
élek lesznek a poliéderen párhuzamosak, mer ılegesek, metsz ık,
kitér ıek, melyek fognak egybeesni; mely lapok lesznek pár huzamosak,
melyek fogják metszeni egymást,.melyek kerülnek egy más mellé?
/Vegyék észre ık a kapcsolatot az élekre, ill. a lapokra utoljára
feltett kérdés között. Kerüljük el, hogy a szavaink ból kiderüljenek
ezek a kapcsolatok, de ne is higgyük, hogy mindenki el ıtt azonnal
nyilvánvalóak. A gyerekek néha hihetetlenül egyszer ő összefüggések
el ıtt is megtorpannak, hozzá kell segítenünk ıket, hogy ık maguk
tudatosítsák ezeket./
A tananyagtól függetlenül vagy a tananyaghoz lazább an
kapcsolódva is célszer ő id ınként olyan feladatokkal foglalkozni,
amelyek alkalmasak a tanulók térszemléletének a fej lesztésére.
Forrásmunkaként felhasználhatjuk például a következ ı könyveket:
Kárteszi /1951/, Steinhaus /1951/, Rasszohin-Celins zkij /1951/.
Példaképpen bemutatunk néhány térszemlélet-fejleszt ı feladatot:
Egy kockát pirosra festünk, aztán szétvágjuk 27 egy bevágó
kockára. Hány kis kockának van 3, 2, 1, 0 piros lap ja. /Ha megvan a
helyes felelet, érdemes tudatosítani, hogy a kapott számok
megegyeznek a kocka 0, 1, 2, 3 dimenziós alkotóelem einek számával; a
3 dimenziós alkotóelem maga a test./
A "HUS"-probléma; egy térgörbe képe három egymásra merıleges
irányból a következ ı:
Mi lehet a térgörbe? Nem beszélünk
felül-, el ıl-, oldalnézetr ıl, csak a
merılegeset kötjük ki. Így több-
- 248 -
116. ábra
féle megoldási lehet ıség van és ezek ebben az esetben két lényegesen
különböz ı megoldáshoz is vezetnek:
Kulcsszavak további ilyen problémákhoz /kerek bet ők helyett
meghatározott szögletes változatokkal/: TOL, TUS, H UZ, UTO, UHU,
EZT, FEL, KEL, LEN, NEM, NON, NOT, HET. A gyerekek hamar rájönnek,
hogy a megoldás akkor sem mindig egyértelm ő, ha a három mer ıleges
irányból látott alakzat helyzetét rögzítjük, ha "ne m szabad
elforgatni" a képet. Például a HUZ problémának abbó l a megoldásából,
amelyet rendszerint el ıször találnak meg, el lehet hagyni néhány
részletet, és még mindig megoldás marad.
Az utóbbi megoldásban egyik irányból nézve sincsene k fed ı
szakaszok, nem hagyhatunk el bel ıle olyan szakaszt, hogy megoldás
maradjon: "minimális" megoldás. Az el ıbbihez viszont nem tehetünk
hozzá úgy szakaszt, hogy megoldás maradjon: "maximá lis" megoldás. Ha
elképzeljük a megadott
keresztmetszet ő hengerfelületek
áthatását, a maximális megoldáshoz
jutunk; ez egyébként az ilyen
feladatok sablonos megoldási módja.
Hamar rájönnek a gyerekek,
különösen, ha maguk is kedvet kapnak
az ilyen feladatok gyártására, hogy
három ilyen feltétel nemcsak kevés
lehet az alakzat egyértelm ő
meghatározásához, hanem sok is: két ilyen feltétel már
meghatározhatja az alakzatot, s a harmadik, ha nem jól választjuk,
ennek többnyire ellentmond. Lehet tehát olyan felad atokat is adni:
ismerjük egy térgörbe két képét, hatá-
- 249 -
117. ábra
118. ábra
rozzuk meg a harmadikat. Az egyik legszebb ilyen fe ladat az,
amelyben a két kép egy kör illetve egy vele egyenl ı sugarú félkör
/csak az ív, átmér ı nélkül!/. A feladat azért szép, mert a harmadik
képben, meglep ı módon, nincs körív, egyenes szakaszokból áll.
A térgörbék több szempontból is igen alkalmasak az ilyen
rekonstruálási problémák els ı megközelítésére /vonalakból állnak,
mint a rajzaink, a láthatóság nem okoz sok nehézség et, variációs
lehet ıség b ıven van/. De ez mégis csak egy út a sok közül. Sokf éle
módon lehet egy problémakört érdekessé tenni - még többféle módon
unalmassá -, s annak is többféle módja van, hogy ne álljunk meg a
szórakoztató feladatoknál, hanem elmélyítsük az ált aluk felidézett
gondolatokat.
- 250 -
TARTALOMJEGYZÉK Oldal
1. Matematikatanítás az alsó tagozaton
Áttekintés...................................... 11 Számtanóra egy els ı osztályban, félév után...... 12 A fejl ıdés várható iránya az alsó tagozaton..... 18
2. Természetes számok
Áttekintés. Mit értünk természetes számon?...... 22 Számok és jeleik................................ 23 Számrendszer.................................... 24 Írásbeli m őveletek.............................. 26 Fejszámolás. Kerekítés, becslés................. 33 A mőveletek összefüggései. Elnevezések........... 35 A szorzandó és a szorzó sorrendje............... 37 A mőveletek eredményének változása /vagy válto- zatlansága...................................... 39 Átalakítás a m ővelet elvégzése el ıtt............ 40 A mőveletek sorrendje, zárójelek használata..... 41 Szöveges feladatok megoldása.................... 42 Arányossági következtetések..................... 47 Számelméleti ismeretek az általános iskolában... 51 Logikai vonatkozások............................ 53 További számelméleti ismeretek.................. 55
3. Törtszámok
Helyzetkép...................................... 58 A valós számok osztályozása. Alakjukban külön- böz ı számok..................................... 59
- 251 -
Oldal
Törtszám, tört, hányados........................ 61 A tört kétféle értelmezése. Részekre osztás, benn- foglalás........................................ 62 Arány........................................... 65 Törtek b ıvítése, egyszer ősítése, összeadása, ki- vonása.......................................... 67 Törtek szorzása és osztása...................... 71 Külön szempontok a tizedes tört írásmóddal kap- csolatban....................................... 75 Százalékok...................................... 77 Százalékos feladatok ismétlése.................. 80 Egyéb szöveges feladattípusok................... 83 Közelít ı számítások............................. 88 Logarléc, számológép............................ 92
4. Negatív számok Áttekintés...................................... 95 A negatív számok modelljei. Racionális számok összeadása, kivonása............................ 97 Út a m őveletekhez a szabályosság keresésén át... 102 Szorzás és osztás a valóságra vonatkoztatva..... 105 A negatív számok és az algebra.................. 107 Összevonás...................................... 109
5. Az algebratanítás kezdete
"Számtan" és "algebra".......................... 111 Átmenet a számtanból az algebrába............... 115 A változók /ismeretlenek/ bevezetése. A keret-je- lölés........................................... 118 A rajzok szerepe................................ 120 Azonos átalakítások............................. 124 Lebontás, megfordítás, mérlegelv................ 126 Formálisabb fogalmazások /átvitel, elhagyás.../ Ekvivalencia.................................... 133 Szöveges feladatok megoldása egyenlettel........ 136 A hatványozás................................... 141 Halmaz, reláció, függvény....................... 150 Függvények megadása táblázattal, grafikonnal, for- mulával......................................... 156
- 252 -
Oldal
Út a formula felé: a törvényszer őség megfigyelése, megfogalmazása................................. 160 Grafikonolvasás................................ 163 Szakaszonként lineáris függvények /táblázattal, grafikonnal.................................... 164 Feladatmegoldás grafikonok segítségével........ 166 Egyenletmegoldás grafikus ábrázolással egybekötve 173 Egyenes és fordított arányosság, lineáris függvény /formulával is/................................ 177
6. A geometriatanítás kezdete
A geometria kapcsolata más tárgykörökkel, külön- álló helyzete................................... 182 A geometriatanítás szemléletes foka............. 185 A geometriai fogalmak kialakítása, a definíciók megformálása.................................... 187 Éles és elmosódott határvonalú fogalmak......... 193 A fogalmak rendszerezése........................ 195 A "bizonyító" geometria kezdete................. 201 A jó és a rossz bizonyítások megkülönböztetése.. 205 A szerkesztések és egyéb manuális tevékenység sze- repe............................................ 210 Egy 6. osztályos geometriaóra................... 215 "Mértani helyek"................................ 220 Egybevágóság, hasonlóság........................ 225 Hosszúság, terület, térfogat.................... 233 Tulajdonképpeni geometria....................... 247
- 253 -
13,- Ft
J 3-229