Top Banner
29
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: VAR-20

kafedra

w m m f

wARIANT ��

w y s � a q

matematika

sBORNIK INDIWIDUALXNYHDOMA�NIH ZADANIJ

DLQ STUDENTOWTEHNI�ESKIH SPECIALXNOSTEJ tpu

Page 2: VAR-20

tABLICA �KWIWALENTNYH BESKONE�NO MALYH

eSLI ��x�� �� TO SPRAWEDLIWO�

�� sin��x� � ��x��� arcsin��x� � ��x��� tg ��x� � ��x�� arctg ��x� � ��x�

� � � cos��x� � ���x���

��� ln �� ��x�� � ��x�

�� loga �� ��x�� � ��x�lna

�� e��x� � � � ��x�

�� a��x� � � � ��x� � ln a��� n

q� ��x�� � � ��x�

n

�� sin��x� � ��x�� ���x���

�� arcsin��x� � ��x� ���x���

�� tg ��x� � ��x� ���x���

� arctg ��x� � ��x�� ���x���

� �� cos��x� � ���x���

�� ���x���

�� ln �� ��x�� � ��x�� ���x���

�� e��x� � � � ��x� ���x���

�� nq� ��x�� � � ��x�

n

�� n

�n����x���

wTOROJ ZAME�ATELXNYJ PREDEL

limn��

��

n

�n� e� lim

x��

��

x

�x� e� lim

��x����� ��x��

���x� � e�

e � �� ��������������

sUMMA n �LENOW ARIFMETI�ESKOJ PROGRESSII

Sn � a� a� � � � an �a� an

�� n

sUMMA n �LENOW GEOMETRI�ESKOJ PROGRESSII SO ZNAMENATELEM q

Sn � b� b�q b�q� � � � b�q

n�� �b��� � qn�

�� q

pRI jqj � � S �b�

�� q

fAKTORIALY

n� � � � � � � � � � � � �n� �� � n�

�� � ��� � ��� � � � � � ��� � � � � � � � �� � �� � � ���� ���

��n�� � � � � � � � � � � � n � �n �� � � � � ��n� �� � �n� ��n��� � � � � � � � � � ��n� �� � �n

��n ��� � ������� � ��n��n ���� � ���n���n ��� ��n ���� � ������ � � ��n������n ��

fORMULA sTIRLINGA

pRI BOLX�IH ZNA�ENIQH n n� ��n

e

�n�p��n

Page 3: VAR-20

eSLI C�KONSTANTA� A U�x� I V �x� � DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII� TO

oSNOWNYE PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ

�� � C �� � ��� � C � U �� � C � U ��� � U � V �

� U � � V �

� � U � V ��

� U � � V U � V �

��U

V

��

�U �V � U V �

V �

�� �y�U�x����

� y�u � U �x

�� x�y�y� ��

y�x�x�

�� y��x� � y�x� � �ln y�x���

���UV

��

� V � UV�� � U � UV � lnU � V �

���

�x � x�t�y � y�t�

� y��x� �y��t�

x��t�y���x� �

y���t�x��t�� x���t�y��t�

�x��t���

tABLICA PROIZWODNYH

���Uk��

� k Uk�� � U �

��� �tg U��

��

cos� U� U �

���p

U��

��

�pU� U �

��� �ctg U��

� � �

sin� U� U �

����

U

��

� � �

U�� U �

��� �arcsin U��

��p

��U��U�

��aU��

� aU � ln a � U �

��� �arccos U��

� � �p� � U�

� U �

��eU��

� eU � U �

�� �arctg U��

��

� U�� U �

�� �logaU��

��

U ln a� U �

�� �arcctg U��

� � �

� U�� U �

�� �lnU��

��

U� U �

��� �sh U��

� ch U � U �

�� �sinU��

� cosU � U �

��� �ch U��

� sh U � U �

�� �cosU��

� � sin U � U �

��� �th U��

��

ch� U� U �

Page 4: VAR-20

oSNOWNYE NEOPREDEL�NNYE INTEGRALY

��ZUk dU �

Uk��

k � C� ���

Ztg U dU � � ln j cosU j C

�k �� ��� ���Z

ctg U dU � ln j sinU j C

��ZdU � U C ���

ZdU

sinU� ln

���� tgU����� C

��Z

dUpU

� �pU C ���

ZdU

cosU� ln

����tg�U

����� C

��Z

dU

U�� � �

U C ���

ZdU

a� U��

aarctg

U

a C

��Z

dU

U� ln jU j C ���

ZdU

U� � a��

�aln����U � a

U a

���� C

��ZaU dU �

aU

ln a C ��

ZdUp

a� � U�� arcsin

U

a C

��ZeU dU � eU C ��

ZdUp

U� � a��ln jU

pU� � a�j C

�Z

sin U dU��cosU C ���Z

sh U dU � ch U C

�Z

cosU dU�sinU C ���Z

ch U dU � sh U C

���Z

dU

cos� U� tg U C ���

ZdU

ch� U� th U C

���Z

dU

sin� U��ctg U C ���

ZdU

sh� U� �cth U C

���Z p

U� � a� dU ��

�UpU� � a� � a� ln jU

pU� � a�j

� C

���Z p

a� � U� dU ��

�Upa� � U� a�arcsin

U

a

C

���Ze�U sin �U dU �

e�U

�� ���� sin �U � � cos �U� C

���Ze�U cos�U dU �

e�U

�� ���� cos �U � sin �U� C

Page 5: VAR-20

rQDY mAKLORENA �LEMENTARNYH FUNKCIJ

�� ex � � x x�

��

x�

�� � � �

xn

n� � � � �

�Xn�

xn

n��

�� sh x � x x�

��

x

� � � �

x�n��

��n ��� � � � �

�Xn�

x�n��

��n ����

�� ch x � � x�

��

x�

� � � �

x�n

��n�� � � � �

�Xn�

x�n

��n���

� sin x�x�x�

�� x

��� � � ����n

x�n��

��n ��� � � ��

�Xn�

����nx�n��

��n ����

� cos x � � � x�

��

x�

�� � � � ����n

x�n

��n�� � � � �

�Xn�

����nx�n

��n���

�� �� x�m � � m

��x

m�m� ��

��x�

m�m� ���m� ��

��x� � � � �

���

� x� �� x x� � x� � � � ����nxn � � � �

�Xn�

����nxn�

�� ln �� x� � x�x�

� x�

��� � � ����n

xn��

n � � � ��

�Xn�

����nxn��

n ��

�� arctg x�x�x�

� x

�� � � ����n

x�n��

��n �� � � ��

�Xn�

����nx�n��

��n ���

��� arcsin x � x �

x�

� � ��� � ��

x

� � � � �� � ��

x�

� � � �

��� tg x � x �

�x�

�x � � �

��� th x � x� �

�x�

�x � � � �

Page 6: VAR-20

rQD I INTEGRAL fURXE �OSNOWNYE FORMULY�

�� rQD fURXE FUNKCII� ZADANNOJ NA INTERWALE ���� ��

f�x� �a�

�Xn�

an cos nx bn sin nx

a� ��

�Z��

f�x�dx� an ��

�Z��

f�x� cos nx dx� bn ��

�Z��

f�x� sin nx dx

�� rQD fURXE FUNKCII� ZADANNOJ NA INTERWALE ��l� l�

f�x� �a�

�Xn�

an cosn�

lx bn sin

n�

lx

a� ��

l

lZ�l

f�x�dx� an ��

l

lZ�l

f�x� cosn�

lx dx� bn �

l

lZ�l

f�x� sinn�

lx dx

�� rQD fURXE FUNKCII� ZADANNOJ NA INTERWALE ��� l�

pO SINUSAM

f�x� ��Xn�

bn sinn�

lx

bn ��

l

lZ�

f�x� sinn�

lx dx

pO KOSINUSAM

f�x� �a�

�Xn�

an cosn�

lx

a� ��

l

lZ�

f�x�dx� an ��

l

lZ�

f�x� cosn�

lx dx

�� rQD fURXE f�x�� x � ��l� l� W KOMPLEKSNOJ FORME

f�x� ��

�Xn��

Sn��n�ei�nx� GDE �n �

n�

l� Sn��n� �

l

lZ�l

f�x�e�i�nxdx

�� iNTEGRAL fURXE FUNKCII f�x�� x � ��� �

f�x� ��

�Z�

� �Z��

f�t� cos��t� x� dt

�A d�

dLQ �ETNOJ FUNKCII f�x� ��

�Z�

cos�x d�

�Z�

f�t� cos�t dt

dLQ NE�ETNOJ FUNKCII f�x� ��

�Z�

sin�x d�

�Z�

f�t� sin �t dt

�� pREOBRAZOWANIE fURXE FUNKCII f�x�� x � ��� �

F ��� �

�Z��

f�x�e�i�xdx

�� kOSINUS I SINUS PREOBRAZOWANIQ fURXE FUNKCII f�x�� x � ��� �

Fc��� � �

�Z�

f�x� cos �x dx� Fs��� � �

�Z�

f�x� sin�x dx

Page 7: VAR-20

tABLICA IZOBRAVENIJ I ORIGINALOW

f�t� F �p�

� ��

p

� t�

p�

� t��

p�

e�at�

p a

t e�at�

�p a��

� t�e�at�

�p a��

�f�t�� � t �

�� t �F �p���� e�p��

� sin ata

p� a�

� cos atp

p� a�

f�t� F �p�

�� t sin at�ap

�p� a���

�� t cos atp� � a�

�p� a���

�� sh ata

p� � a�

�� ch atp

p� � a�

� e�at sin btb

�p a�� b�

� e�at cos btp a

�p a�� b�

�� e�atsh btb

�p a�� � b�

�� e�atch btp a

�p a�� � b�

�� �t� �

�� �t� � � e�p�

Page 8: VAR-20

zadanie N � lINEJNAQ ALGEBRA wARIANT ��

�� wY�ISLITX OPREDELITELI

a�

������������

� ��� � ��� ��� � ��� � � � � � ��

������������b�

������������

� � � ��� �� � ��� �� �� � � �

�������������� nAJTI MATRICU h IZ URAWNENIQ� sDELATX PROWERKU

BBB�� � �

�� � � �� �

�CCCAX

BBB�

� � � ���� ��� �� �� �� � ���

�CCCA

�� rE�ITX SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ�A� METODOM kRAMERA� b� MATRI�NYM METODOM

a�

���������x� �y � z ����x� y � �z ����x� �y � z ���

b�

��������

x � �y � z �x � �y � z ����x � �y � z ���

�� rE�ITX SISTEMY METODOM gAUSSA

a�

��������������

�x� �x� ��x� �x� ��x� ��x� ��x� �x� ���x� ���x� ��x� ��x� ���x� ��x� ��x� ��x� ��

b�

��������������������

�x� ��x� ��x� ��x� ��x� ��x� ��x� �x� ��x� �x� ��x� �x� ��x� ��x� ��x� ��x� �x� �x� �x� �x� �

c�

��������������

x� ��x� ��x� ��x� �x� ��x� ��x� ��x� ��x� �x� ��x� �x� �x� ��x� ��x� �x� �x� �x� �x� �

�� nAJTI SOBSTWENNYE ZNA�ENIQ I SOBSTWENNYE WEKTORY MATRIC

a� A

� �� �

�A b� B

BBB�� � ��� � ��� � �

�CCCA

��

Page 9: VAR-20

zadanie N � wEKTORNAQ ALGEBRA wARIANT ��

�� dAN PARALLELOGRAMM ABCD� W KOTOROM��AB �a�

��AD �b�

tO�KA DELIT STORONU DC W OTNO�ENII j DM j � j MC j �� tO�KAN DELIT STORONU BC W OTNO�ENII j BN j � j NC j ���� wYRAZITXWEKTORY

��AC�

��BD�

���AM�

��AN�

���MN �EREZ WEKTORY �a I �b�

�� oPREDELITX KOORDINATY TO�KI C� LEVA�EJ NA PRQMOJ� PROHO�DQ�EJ �EREZ TO�KI A I B� ESLI A���� �� ��� B������ �� I

jACj � jCBj � �

�� w TREUGOLXNIKE S WER�INAMI A�� �� ��� B���������� C���� �� ���nAJTI� a� WEKTOR MEDIANY AM �

b� WEKTOR WYSOTY BD�c� L�BOJ PO MODUL� WEKTOR BISSEKTRISY UGLA C�

�� dANY TRI WER�INY PARALLELOGRAMMA ABCD�A��� ������ B����� ��� C���������� nAJTI�a� KOORDINATY �ETWERTOJ WER�INY D�b� DLINU WYSOTY� OPU�ENNOJ NA STORONU AB�c� KOSINUS OSTROGO UGLA MEVDU DIAGONALQMI AC I BD�

�� tREUGOLXNIK ABC POSTROEN NA WEKTORAH��AB ��p � ��q�

��AC

�p� ��q�GDE j �p j �� j �q j �� ��p ��q� �o� nAJTI�

a� DLINU WYSOTY� OPU�ENNOJ NA STORONU AB�b� KOSINUS UGLA MEVDU STORONOJ AB I MEDIANOJ AM �

�� nAJTI EDINI�NYJ WEKTOR �e� KOTORYJ ODNOWREMENNO PERPENDIKU�LQREN WEKTORAM �a f������ �g I �b f�� �� �g� ESLI ��e��i� � ����

�� w PIRAMIDE ABCD S WER�INAMI W TO�KAH

A��� �� ��� B������ ��� C��� ������ D���� �� ��NAJTI OB�EM I DLINU WYSOTY� OPU�ENNOJ NA GRANX ABC�

�� dOKAZATX� �TO WEKTORY �p f�� �� �g� �q f����� �g� �r f����� �gOBRAZU�T BAZIS I NAJTI RAZLOVENIE WEKTORA �x f� �����g W �TOMBAZISE�

��

Page 10: VAR-20

zadanie N� wARIANT ��

aNALITI�ESKAQ GEOMETRIQ NA PLOSKOSTI

�� sOSTAWITX URAWNENIQ PRQMYH� PROHODQ�IH �EREZ TO�KU M���� ���a� PARALLELXNO PRQMOJ �y � �� �

b� PERPENDIKULQRNO PRQMOJx� �

� y �

c� POD UGLOM �� K PRQMOJ

�� x �t � �y ��t � �

�� dANY WER�INY TREUGOLXNIKA A����� �� B���� ��� C��� ����sOSTAWITX� a� URAWNENIE STORONY AC�

b� URAWNENIE MEDIANY wm�c� URAWNENIE WYSOTY sH I NAJTI EE DLINU�

�� dANY DWE PRQMYE l� � x��y �� l� �x � �

y � �

� � nAJTI�

a� TO�KU PERESE�ENIQ PRQMYH�b� KOSINUS UGLA MEVDU PRQMYMI�c� SOSTAWITX URAWNENIQ BISSEKTRIS UGLOW MEVDU PRQMYMI�

�� pRIWESTI URAWNENIQ LINIJ K KANONI�ESKOMU WIDU I POSTROITX�

�� x� � y� � y � �� �x� � �x � y� � ��y � � ��� x � � �

py� � �y � � �� �x � y� � �y �

� �x� � �xy � y� � �� � � � �x� � �xy � �y� � x � �y � � �

�� sOSTAWITX URAWNENIE I POSTROITX LINI�� KAVDAQ TO�KA KOTOROJODINAKOWO UDALENA OT TO�KI M��� �� I OT OSI ABSCISS�

�� pOSTROITX LINII� ZADANNYE W POLQRNYH KOORDINATAH�

�� � � cos ��� �� � � � e�� �� � �

� � � cos��

�� pOSTROITX LINII� ZADANNYE PARAMETRI�ESKIMI URAWNENIQMI�

��

�� x � sin� ty � cos� t

��

�� x

pt

y t � �

�� pOSTROITX FIGURU� OGRANI�ENNU� LINIQMI

��

������y sin��x����y x��

��

���������x �� cos t�y t� sin t�y �� x����

��

Page 11: VAR-20

zadanie N � wARIANT ��

aNALITI�ESKAQ GEOMETRIQ W PROSTRANSTWE

�� sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI� PROHODQ�EJ �EREZ DWE TO�KI

M���� ������ M���������� PARALLELXNO PRQMOJx� �

y

z � �

�� �

nAJTI RASSTOQNIE OT NA�ALA KOORDINAT DO �TOJ PLOSKOSTI I OB�EM

PIRAMIDY� OTSEKAEMOJ PLOSKOSTX� OT KOORDINATNOGO UGLA�

�� iZ OB�IH URAWNENIJ PRQMOJ �� x� y � �z � � �x� y � �z � � �

POLU�ITX EE KANONI�ESKIE I PARAMETRI�ESKIE URAWNENIQ� oPREDE�LITX RASSTOQNIE OT NA�ALA KOORDINAT DO PRQMOJ�

�� dOKAZATX� �TO PRQMYE PERESEKA�TSQ�

L� �x �

y � �

�� z � �

�� L� �

��������x �t � �y ��t � �z �t� ��

sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI� W KOTOROJ LEVAT �TI PRQMYE�

�� dANY WER�INY TREUGOLXNOJ PIRAMIDY

A��� �� ��� B��� ������ C�� �� �� D��� ������nAJTI UGOL MEVDU GRANX� AD I REBROM BC� sOSTAWITX URAWNENIEI NAJTI DLINU WYSOTY CH �

� pOSTROITX POWERHNOSTI

�� z� � x� � �y� � � � �� x� � z� �� y�� x� y� � z� �� y� � �y � z� � �z � � �� y x� � �x � �y � �

p� � z �

� pOSTROITX TELO� OGRANI�ENNOE POWERHNOSTQMI

a�

������������

�z y���x � y ��y x�y � �� z � ��

b�

���������z

p� � x� � y��

�z� ��x� � y���z � ��

��

Page 12: VAR-20

zadanie N � wARIANT ��

pREDEL� nEPRERYWNOSTX

�� nAJTI PREDELY

�� limn��

pn � p��n� � �

�n� �pn�� �pn� � �

�� limx��

p�x � �

x� � ��

�� limn��

�� n�� � � � n��

� � n�� � � � n����� lim

x��

arctg��p�x�

ln�� � x�

�� limn��

��n�

�n � �

�n��� lim

x��

cos x � cos �x

� � cos �x

�� limn��

�pn� � � �

pn� � n

���� lim

x����

ln sin �x

��x � ���

� limn��

n��n� � �

��n � ���� �n���� lim

x��

tg �x

x� �

� limn��

�� � �n�� � � � �n � �n�� � � � �n ��� lim

x�� ��� � �x��

x���

�� limx��

�x� � �x� � �

�x � ��x� � ���� lim

x���cos x�

�ln��sin� x�

�� limx���

x� � �x� ��

�x� � �x � ��� lim

x��

��x �

�x

x

�� sRAWNITX DWE BESKONE�NO MALYE �x� I �x� PRI x� �� ESLI

�� �x� x� � sin �x� �x� x arctgx�� �x� ecosx � e� �x� arcsinx � sin� �x

�� dLQ DANNYH BESKONE�NO MALYH PRI x � x� WELI�IN ZAPISATX

�KWIWALENTNNYE W WIDE A�x� x��k

�� tg�� �px�� x� � �� ln��x� � x � �� x� ��

�� � � cosx�

�� x� � �� �p�� x� � �� x� �

�� iSSLEDOWATX NA NEPRERYWNOSTX FUNKCII

�� y �

�x� � x�

�� y �� �� �

x��

�� y

��������

x � �� x � ���p� � x�� �� � x � p

���� x �

p�

Page 13: VAR-20

zadanie N � wARIANT ��

pROIZWODNYE

� nAJTI PROIZWODNYE y��x� DANNYH FUNKCIJ

�� y �

�px � ���

��px

�x� ��� y

qarctg lnx � �

�� y cos�x � �x� �

� � ln �px

�� y �� � x� sh�x��

�p� � x�

� y ln tgx� �p

� �cos

� �x � y �q� � �px � e�

px � �

�� y ln

vuuutcos���x� �� � e�x�lnx � �px� ���

�� y r�x� � ��tg� x � sin� x

�� y ��x �

x

ctg� x��� y

��

lnx �

p�

x�

���

�� x ln�t� � ��y t � arctg t

���

��������x

� � t

t�

y �

t��

t

��� �x� � �y��� px� �

py � cos x ��� arcsin

x� arctg

y

x � y

x�

� nAJTI WTORU� PROIZWODNU� y�� FUNKCII

�� y e�x cos �x ��

�� x sin��t� ��y t � cos t�

� wY�ISLITX ZNA�ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W TO�KE

�� y ln

vuut� � cos x

sinx� x�

��

�� x � ln ctg t� �y tg t� ctg t

t� �

� nAJTI PERWYJ dy I WTOROJ d�y DIFFERENCIALY FUNKCII

�� y px � ��x� �� y cos��x� ��

� dOKAZATX� �TO FUNKCIQ y �sinx

x� cos x

UDOWLETWORQET URAWNENI� x � sinx � y� � �sinx � x � cos x� � y sinx � cos x � x

Page 14: VAR-20

zadanie N � wARIANT ��

pRILOVENIQ PROIZWODNOJ

�� iSSLEDOWATX NA �KSTREMUM FUNKCII

�� y x� � �

x�� y x��� � e�x

�� y ln��x� � �

�� sOSTAWITX URAWNENIQ WSEH ASIMPTOT SLEDU��IH KRIWYH

�� y x�

��x � ����� y

e�x��x� ��

�� y ln�x� ��x�

�� pROWESTI POLNOE ISSLEDOWANIE I POSTROITX GRAFIKI FUNKCIJ

�� y x� � lnx �� y x � e�x���

�� y p�x� � �

�� sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ I NORMALI K GRAFIKU FUNK�CII W TO�KE S ABSCISSOJ x xo� ILI SOOTWETSTWU��EJ ZNA�ENI�

PARAMETRA t to

�� y x� �

x� � �x� �

��

�� x t�

y t� � �t� ��

�� iZ WSEH CILINDROW� WPISANNYH W �AR RADIUSA R � NAJTI TOT� UKOTOROGO OB�EM NAIBOLX�IJ�

�� nAJTI NAIBOLX�EE I NAIMENX�EE ZNA�ENIQ FUNKCII

y ���x� � �x � ��

x� � �x � �W INTERWALE ��� ��

�� iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ� NAJTI PREDELY

�� limx��

��

lnx� �

x � �

�� lim

x�����x�cos �x

� �� limx�a

cos x � ln�x� a�

ln�ex � ea�

��

Page 15: VAR-20

zadanie N fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH wARIANT ��

�� nAJTI I IZOBRAZITX OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCIJ�

�� z ln�x� � x � y � �� �� z arcsin�y� �

x

�� nAJTI �ASTNYE PROIZWODNYE z�x I z�y FUNKCIJ

�� z x

�x� � y����� z

arctg �x�y��

ln�� � �x � y��pxy � yx

�� z etg x �qy � x� �� z �

qcos� y � sin� x � arcsin�y ln x�

�� nAJTI �ASTNYE PROIZWODNYE z�x I z

�y SLOVNOJ FUNKCII

z uv� GDE u qx� � y�� v

sin y�

�� nAJTI PROIZWODNU� z�t� ESLI

z x

x� � y�� GDE x � � ctg�t� y

�pt�

�� nAJTI PROIZWODNYE z

xI

d z

d x� ESLI

z

py

x�� GDE y ln tg x � arcsin �p

x

� nAJTI PROIZWODNU� y� NEQWNOJ FUNKCII y�x�� ZADANNOJ WYRAVE�NIEM

�� y�x cosy

x� tg�x� �� xe�y � cos�

�x� �

y

� nAJTI �ASTNYE PROIZWODNYE z�x I z�y NEQWNOJ FUNKCII z�x� y��

ZADANNOJ WYRAVENIEM zx � x y� z x� ln�

zy

� nAJTI PERWYJ dz I WTOROJ d�z DIFFERENCIALY FUNKCII

z pxy�

� sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ PLOSKOSTI I NORMALI K POWERH�NOSTI z xy � x� � �y� � x� ��y � � W TO�KE M����� �� zo�

��� iSSLEDOWATX NA �KSTREMUM FUNKCI� z x� � �x�y� � y�

��� nAJTI NAIBOLX�EE I NAIMENX�EE ZNA�ENIQ FUNKCIIz �x���x��y���xy W ZAMKNUTOJ OBLASTI D � fy � x�� y � �g

��

Page 16: VAR-20

zadanie N wARIANT ��

nEOPREDELENNYJ INTEGRAL

��Z ��� x��� dx

�px

��Z cos x dx

�psin� x

��Zx� � ���x� dx ��

Z dx

x� � �

�Z dx

cos� x � �� � � tg x��

Z �lnx dx

x � p� � �lnx

��Z dxp

x � �x� ����

Z ��x � x�� dxp� � x�

��Z arctg� x� x � �

� � x�dx ���

Z dx

x �q� � � ln� x

���Z�x� � x� e�x

dx ���Zarcsinx dx

���Z��� �x� sin�x dx ���

Z px lnx dx

��Z x dx

sin� x��

Ze�x � cos�x��� dx

���Z dx

�� �x � x����

Z dxp� � �x� x�

���Z �x � � dx

�x� � �x � ����

Z ��x � ��� dxpx� � �x �

���Z �x� � x� �� dx

x �x � �� �x� �����

Z �x� � �� dx

x� � �x�

���Z x� dx

�x� � �� � �x� ������

Z dx

x� � �x

��Z dx

�px�

px

��Z �x � �� dx

x � px� �

���Z p� � xp

x�dx ���

Z x� dxp� � x�

���Z q

�� � x���

xdx ���

Z x� dxp� � x�

���Zcos x sin �x cos �x dx ���

Zctg� �x dx

���Z dx

� � sinx � � cos x���

Z dx

� sin� x � � cos� x

��Z sin� x dx

�pcos� x

��Z dx

sin x

���Zcos� x � sin� x dx ���

Z dx

�ex � ���

��

Page 17: VAR-20

zadanie N �� wARIANT ��

oPREDELENNYJ INTEGRAL

�� wY�ISLITX OPREDEL�NNYE INTEGRALY

���Z�

� �px

x�dx ��

�Z�

q���x��� dx ��

�Z��

ln�x�p� � x�� dx

�����Z�

dx

� � cos x�

���Z�

x� dx

x� � ��

�Z��

dx

� � �px � �

�� nAJTI SREDNEE ZNA�ENIE FUNKCIJ W UKAZANNYH INTERWALAH

�� y cos� x� ��� �� �� y �

ex � �� ��� ��

� oCENITX ZNA�ENIQ INTEGRALOW

���Z�

q�x� � �x�� dx ��

�Z��e

x� lnx dx

�� iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX NESOBSTWENNYE INTEGRALY

���Z�

x dx

�x� � ���

�Z�

dxq��� �x��

���Z�

dxqx �x� �� �x � �

���Z�

ln�� � �px��

esin �x � �dx

�� nAJTI PLO�ADX FIGURY� OGRANI�ENNNOJ LINIQMI�

��

���������y e�x�y ex�y e�

��

������� � cos��� cos��

��

������x � cos t�y � sin t cos� t� t � ��� �����

�� nAJTI OB��M TELA� OBRAZOWANNOGO WRA�ENIEM FIGURY� OGRANI�EN�NOJ

UKAZANNYMI LINIQMI� �� � WOKRUG OSI OX� �� � WOKRUG OSI OY�

��

������y� �x���x ��

��

���������y x�y x� sin� x�� � x � ��

�� wY�ISLITX DLINY DUG KRIWYH

�� L ���� y arcsinx �

p�� x�� �� L �

���������x et �cos t � sin t��y et �cos t� sin t���� � � � ����

�� wERTIKALXNAQ PLOTINA IMEET FORMU POLUKRUGA RADIUSA � M� nAJ�TI SILU DAWLENIQ WODY NA PLOTINU�

��

Page 18: VAR-20

zadanie N �� wARIANT ��

kRATNYE INTEGRALY

� w DWOJNOM INTEGRALEZ

D�

Zf�x� y� dx dy PEREJTI K POWTORNOMU I

RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI �D�� OGRANI�ENNOJLINIQMI�

�� x� � y� �� y� �x� �y � ����� x� y �� x � �y �� x � y ��

� iZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ W INTEGRALE

J �Z�

dy

y��Z�

f�x� y� dx ��Z�

dy�Z�

f�x� y� dx ��Z�

dy�Z

y�����f�x� y� dx�

� pEREJTI K POLQRNYM KOORDINATAM I WY�ISLITXZD�

Z�x� � y�� dx dy� D � fx� � y� � �� y � x g�

� wY�ISLITX PLO�ADX FIGURY� OGRANI�ENNOJ LINIQMI

�� x y � �x �y� x � y ���� �x� � y��� �x� � y��

� wY�ISLITX MASSU PLASTINKI� ZANIMA��EJ OBLASTX �D�� PRI ZA�DANNOJ POWERHNOSTNOJ PLOTNOSTI ��x� y�

�� D � fy x� � �� x� y � � �g ��x� y� �x � y�

�� D � fx� � y� � �x� y � xg� ��x� y� xq�x� � y����

� zAPISATX TROJNOJ INTEGRALZ ZV �

Zf�x� y� z� dx dy dz

W WIDE POWTORNOGO I RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI

�V�� OGRANI�ENNOJ POWERHNOSTQMI�

�� y x�� x y�� �x � �y � z � z ���� y x� � y �x� y �� z �� x� � y�� z � ��

� wY�ISLITX OB�EM TELA� OGRANI�ENNOGO POWERHNOSTQMI�

�� z� �� x� x� � y� �x� �z � ����� x� � y� � z� �z� z

px� � y��

� wY�ISLITX MASSU TELA� ZANIMA��EGO OBLASTX

V � f� � x� � y� � z� � �� � � y � xp�� z � �g�

ESLI ZADANA OB�EMNAQ PLOTNOSTX ��x� y� z� zp

x� � y� � z��

��

Page 19: VAR-20

zadanie N �� wARIANT ��

kRIWOLINEJNYJ I POWERHNOSTNYJ INTEGRALY

� wY�ISLITX KRIWOLINEJNYJ INTEGRALZL�

x� dl�

GDE L � DUGA LINII y lnx MEVDU TO�KAMI A��� �� I B�e� ���

� nAJTI MASSU LINII x� � y� �y� ESLI LINEJNAQ PLOTNOSTX

��x� y� qx� � y��

� wY�ISLITX INTEGRALZL�

z dl� GDE L � DUGA OKRUVNOS�

TInx� � y� � z� �� y x�

o�W PERWOM OKTANTE��

� nAJTI PLO�ADX �ASTI KONI�ESKOJ POWERHNOSTI z� x��y�� WY�REZANNOJ CILINDROM x� � y� �y�

� wY�ISLITX POWERHNOSTNYJ INTEGRALZS�

Zy d�� GDE S��ASTX

PLOSKOSTI x � �y � �z �� NAHODQ�AQSQ W PERWOM OKTANTE�

� nAJTI MASSU �ASTI POWERHNOSTI SFERY x� � y� � z� �� RASPOLO�VENNOJ W PERWOM OKTANTE� ESLI POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX ��x� y� z� y�

� wY�ISLITXZL�

�x� � y� dx � �x � y�� dy� GDE L � LOMANAQ

ABC� GDE A��� ��� B��� ��� C��� ��

� dOKAZATX� �TO WYRAVENIE��x� � �xy � y

�dx��x� � �y� � x � �y

�dy

QWLQETSQ POLNYM DIFFERENCIALOMFUNKCIIU�x� y�� I NAJTI �TU FUNK�CI��

wY�ISLITXZS�

Zxz dydz� GDE �S�� WNE�NQQ STORONA POWERH�

NOSTI� RASPOLOVENNOJ W PERWOM OKTANTE I OBRAZOWANNOJ CILINDROM

x� � y� �� I PLOSKOSTQMI x �� y �� z �� z �

�� wY�ISLITXZS�

Z�x dydz��y dxdz���z��� dxdy� GDE �S�� WNE��

NQQ STORONA POWERHNOSTI x� � y� � � �z� OTSE�ENNAQ PLOSKOSTX�

z �� �z � �����

Page 20: VAR-20

zadanie N �� sKALQRNOE I WEKTORNOE POLE wARIANT ��

� nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ �F �x� y� y ��i � x

y� �j WDOLX

DUGI PLOSKOJ KRIWOJ L � y e�x� ZAKL��ENNOJ MEVDU TO�KA�MI ��� �� I ���� e��

� nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ �F x ��i� �z���� ��j � y � �k WDOLXDUGI KRIWOJ L � x �cos t���� y �sin t���� z cos t��sin t��������t � ��� ������

� nAJTI POTOK WEKTORNOGO POLQ �A �EREZ POWERHNOSTX S W STORONU

WNE�NEJ NORMALI

�� �A f�� �y� �zg� GDE S� �ASTX PLOSKOSTI �x��y� z ��WYREZANNOJ KOORDINATNYMI PLOSKOSTQMI�

�� �A �x� y� ��i����x���y� ��j��x�� �z� ��k� GDE S� POLNAQ

POWERHNOSTX PIRAMIDY x� y � �z �� x �� y �� z ��

�� �A x y� ��i� y z� ��j� x� z ��k� GDE S� POLNAQ POWERHNOSTX TELA�OGRANI�ENNOGO POWERHNOSTQMI x� � y� � z� �� z �� �z � ���

� nAJTI MODULX CIRKULQCII WEKTORNOGO POLQ �A WDOLX KONTURA L�� �A fx�� �y�g�L � PERIMETR PRQMOUGOLXNIKA x �� x � y ��� y ��

�� �A �y ��i� � ��j � �k� L � �� x� � y� � z� ��z �

� pROWERITX� BUDET LI POTENCIALXNYM WEKTORNOE POLE

�A �

yp�� x� y�

� �x�xp

� � x� y�� y

�� w SLU�AE POLOVITELX�

NOGO OTWETA NAJTI EGO POTENCIAL�

� pOSTROITX POWERHNOSTI UROWNQ SKALQRNOGO POLQ

U�x� y� z� �x �pz � ��

� nAJTI PROIZWODNU� SKALQRNOGO POLQ U�x� y� z� x� y� z� ln�z��� W TO�KE M���� �� �� W NAPRAWLENII WEKTORA l �i� �j ��

p�k�

� w TO�KE M��p��p��q���� NAJTI UGOL MEVDU WEKTORAMI � GRA�

DIENTAMI SKALQRNYH POLEJ

U�x� y� z� x�

y�z�� V �x� y� z�

x�p�� y�p

�� z�p

���

Page 21: VAR-20

zadanie N �� wARIANT ��

dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ I SISTEMY

� nAJTI OB�IE RE�ENIQ URAWNENIJ PERWOGO PORQDKA

�� y xy�� dx � xy lnx dy ���� �y� � x y�� y� � x� � y x� ��

�� x dy ��y � x tg

y

x

dx ��

�� �x y� � �y x�

y��

� ��cos� y � cos �y � x� y� sin �y�

� y� � �x y �x ex�

� nAJTI �ASTNYE RE�ENIQ URAWNENIJ

�� �x y� � �� lnx �y� y�e� ���� x sinx dx � cos� x dy �� y��� ���� xy� � y �y� �lnx � �� lnx� y��� ��

���x � ex�y

�dx � ex�y

��� x

y

dy �� y��� ��

� nAJTI RE�ENIQ URAWNENIJ WYS�EGO PORQDKA

�� x y�� y� �ln y� � lnx�� �� x y�� y� � y���y��� ��y���� �

�� y y�� � �y��� y� y�� �� y�� x � ���x�

� y�� � �y� � �y e��x lnx� � y�� � �y �

sin x�

�� y�� � �y� � y ���x� �� e�x� �� y�� � y ex sinx��� y�� � y��� � �y�� �x � �� ��� y��� � y�� � �y� � �y ���x � ��� e�x�

��� ��x � ��� y�� � ��x� �� y� � �y �� ��� x� y�� � �x y� � �y � lnx�

��� �x� � �x � ��x �� cos t � � sin t� x��� �� �x��� ����� �x� �x � ��x t� � �t � � x��� ��� �x��� ��

� nAJTI RE�ENIQ LINEJNYH SISTEM

��

�� �x �x � �y

�y �x � y� ��

�� �x �x� �y

�y x� �y�

x��� y��� ��

��

�� �x x � �y

�y ��x � �y� ��

�� �x �x� �y � sin t

�y �x � y � � cos t�

��

Page 22: VAR-20

zadanie N �� wARIANT ��

�ISLOWYE I FUNKCIONALXNYE RQDY�

� nAJTI SUMMY �ISLOWYH RQDOW

���Xn �

����n����

n����

�Xn �

n� � n� ���

�Xn �

n�n� ���n� ��

� iSSLEDOWATX RQDY NA SHODIMOSTX

���Xn �

�n���

�n��

�Xn �

����npn� � �n � �

�n� � �

���Xn �

n �n� � ��

n���

�Xn �

����n�n � �

�n

��Xn �

tg�n�p

�n � ��

�Xn �

����n �

nq�� � lnn��

���Xn �

�n� �

n

n� �

n��

�Xn �

����n���n

n�

� nAJTI INTERWALY SHODIMOSTI FUNKCIONALXNYH RQDOW

���Xn �

�pn� �

n � ��x� ��n ��

�Xn �

����nn ��n xn

���Xn �

�x� � x � ���n

�n �n� � ����

�Xn �

n�

xn

� nAJTI SUMMY FUNKCIONALXNYH RQDOW

���Xn �

�� � ����n��

n

�A xn�� ��

�Xn �

��n� � �n� ��xn

� rAZLOVITX W RQD tEJLORA PO STEPENQM �x � x�� FUNKCII

�� y �

x� � �x � �� x� �� �� y �� � x� e��x� x� �

�� y arctgx�

x�x� �� �� y ln�x� ��� x� ��

� wY�ISLITX INTEGRALY S TO�NOSTX� DO �����

�����Z�

p�� x� dx ��

�Z�

sinx� dx

Page 23: VAR-20

zadanie N �� wARIANT ��

rQDY fURXE� iNTEGRAL fURXE

� zADANNU� NA INTERWALE ��l� l� FUNKCI� RAZLOVITX W TRIGONOMET�RI�ESKIJ RQD fURXE� pOSTROITX GRAFIK SUMMY POLU�ENNOGO RQDA�

�� f�x� �� x��� x � ��pi� ���

�� f�x� cos �x� x � ���� ��

�� f�x�

�� �� �� � x � �x � �� ��� � x � �

� fUNKCI� f�x�

�� �x� � � x � ���� x� � � x � �

RAZLOVITX W RQD fURXE PO

ORTOGONALXNOJ SISTEME FUNKCIJ

�sin

n�x

�� n �� �� ����

�� pOSTRO�

ITX GRAFIK SUMMY POLU�ENNOGO RQDA�

� fUNKCI� f�x�

�� �� � � x � ��� � �x� � � x � �

RAZLOVITX W RQD fURXE

PO ORTOGONALXNOJ SISTEME

�cos

n�x

�� n �� �� �� ����

�� pOSTROITX

GRAFIK SUMMY POLU�ENNOGO RQDA�

� fUNKCI� f�x� �jxj� �� � x � � PREDSTAWITX TRIGONOMET�RI�ESKIM RQDOM fURXE W KOMPLEKSNOJ FORME� zAPISATX�

a� SPEKTRALXNU� FUNKCI� S��n��b� AMPLITUDNYJ SPEKTR A��n� jS��n�jc� FAZOWYJ SPEKTR ���n� arg S��n��

� fUNKCI� f�x�

���������� � � x � �� � x� � � x � ��� x � �� x � �

PREDSTAWITX INTEGRALOM

fURXE�

� nAJTI PREOBRAZOWANIE fURXE F ��� FUNKCII

f�x�

�� x� jxj � ��� jxj � �

� nAJTI KOSINUS PREOBRAZOWANIE fURXE Fc��� FUNKCII

f�x�

�� cos x� � � x � ������ x � ���

Page 24: VAR-20

zadanie N �� wARIANT ��

kOMPLEKSNYE �ISLA I FUNKCII

� dANY �ISLA z� � � �i� z� � i� wY�ISLITX�

�� �z� � �z�� �� �z���� ��

z� � z�z�

� ��z� � z�z� � z�

� �

qz�z�� � � lnz�� �� cos z�� �� sh z��

rEZULXTATY WY�ISLENIJ PREDSTAWITX W POKAZATELXNOJ I ALGEBRAI��ESKOJ FORMAH�

� oPREDELITX I POSTROITX NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI SEMEJSTWA

LINIJ� ZADANNYH URAWNENIQMI

�� z z C sin��arg z�� �� Re�

z � �i

C�

� rE�ITX URAWNENIQ

�� sin z � sin �z �� �� z� � �iz � � ��

� nA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI ZA�TRIHOWATX OBLASTI� W KOTORYH PRIOTOBRAVENII FUNKCIEJ f�z� �z� � �� � i� z � � � �i IMEET MESTO

a� SVATIE k � ��b� POWOROT NA UGOL � � � ��o�

� dOKAZATX� �TO FUNKCIQ v�x� y� �y � e�y sinx MOVET SLUVITX

MNIMOJ �ASTX� ANALITI�ESKOJ FUNKCII f�z� u� iv I NAJTI EE�

� wY�ISLITX INTEGRALY

��ZL�

ln z

zdz� GDE L � f jzj �� � � arg z � ��� g �

��ZL�

z jzj� dz� GDE L � LOMANAQ ��� �� � � i��

� wY�ISLITX� ISPOLXZUQ INTEGRALXNU� FORMULU kO�I

IL�

ez � �

z�z � �i�dz� GDE L �

���������� jzj �� ��� jz � �ij ���� jzj ��

��

Page 25: VAR-20

zadanie N � wARIANT ��

wY�ETY I IH PRILOVENIQ

�� iSSLEDOWATX NA ABSOL�TNU� I USLOWNU� SHODIMOSTX RQD�Xn �

�pn� i

sin�

n�

�� nAJTI I POSTROITX OBLASTX SHODIMOSTI RQDA�Xn �

zn

n�n�

�Xn �

����m�n� ���zn

�� nAJTI WSE LORANOWSKIE RAZLOVENIQ DANNOJ FUNKCII PO STEPENQMz � z�

A��z � ��

��z� � �z� � z�� z� �� B� cos

z� � �z

�z � ���� z� ��

�� dLQ FUNKCII ctg���z� NAJTI IZOLIROWANNYE OSOBYE TO�KI I OPRE�DELITX IH TIP�

� dLQ DANNYH FUNKCIJ NAJTI WY�ETY W UKAZANNYH OSOBYH TO�KAH

A�sin �z � �z

sh �z � �z� z

��

B�cos z

�z � �i��z � i��� z ��

W��

z�ln���z�� z �� G�

sin �z � �z

exp�z��� � � z�� z ��

D��z � �

�z� � �z � �ln �

� � z

�z � i��E� �z � �i� ln�� � �����

z �� z ��

� wY�ISLITX INTEGRALY

A�Z

jzj �

cos z� � �

z�dz� B�

Zjzj �

cos �z � � � �z���

z� sh��z���dz�

W��Z

��

x� � �dx� G�

�Z��

x� cos x

x� � ��x� � �dz�

D���Z�

��p sin tdt� E�

��Z�

�p� � cos t

dt�

��

Page 26: VAR-20

zadanie � wARIANT ��

oPERACIONNYJ METOD

� nAJTI IZOBRAVENIQ SLEDU��IH FUNKCIJ

�� f�t� sin �t sin �t

t� �� f�t�

d

dt�et cos��t� ������

�� f�t� t� ch�t� �� f�t�

��������������

�� t � ���� � � t � ��� � t� � � t � ���� t � ��

� nAJTI ORIGINALY FUNKCIJ PO ZADANNYM IZOBRAVENIQM

�� F �p� p

�p� � ���� �� F �p�

p� e��p

�p� � ���

� nAJTI RE�ENIE ZADA�I kO�I OPERACIONNYM METODOM

�� � �x � x e�t � �t� x��� ��

�� �x � x sin t� x��� �� �x��� ��

�� �x � � �x t e�t� x��� ��� �x��� ��

�� ��x � x t� � �� x��� �� �x��� ��

� rE�ITX URAWNENIQ� ISPOLXZUQ FORMULU d�AMELQ

�� �x � �x �

ch��t� x��� �� �x��� ��

�� �x � �x

��������������

�� t � ����� � � t � ���� � � t � ���� t � ��

x��� �� �x��� ��

� nAJTI RE�ENIE SISTEM OPERACIONNYM METODOM

��

�� �x �x � y

�y �x� �y�

x��� ���y��� ��

��

�� �x ��x � y

�y x � y�

x��� ��y��� ���

��

Page 27: VAR-20

zadanie �� tEORIQ WEROQTNOSTEJ wARIANT ��

�� kAKOWA WEROQTNOSTX TOGO� �TO NAUGAD WYBRANNOE TREHZNA�NOE

�ISLO DELITSQ NA � �

� wEROQTNOSTX POQWLENIQ SOBYTIQ W KAVDOM IZ ��� NEZAWISIMYHISPYTANIJ RAWNA ��� nAJTI WEROQTNOSTX TOGO� �TO SOBYTIE POQWITSQ

a� NE MENEE ��� I NE BOLEE ���� RAZ� b� NE MENEE ���� RAZ�

� hARAKTERISITIKA MATERIALA� WZQTOGO DLQ IZGOTOWLENIQ PRODUK�CII� MOVET NAHODITXSQ W �ESTI RAZLI�NYH INTERWALAH S WEROQTNOS�TQMI SOOTWETSTWENNO ����� ���� ���� ���� ��� I ����� w ZAWISIMOSTI

OT SWOJSTW MATERIALA WEROQTNOSTI POLU�ENIQ PERWOSORTNOJ PRODUK�CII RAWNY SOOTWETSTWENNO ���� ���� ���� ���� ��� I ���� nAJTI WEROQT�NOSTX TOGO� �TO IZGOTOWLENNAQ PERWOSORTNAQ PRODUKCIQ IMELA HARAK�TERISTIKI PQTOGO TIPA�

� rABO�IJ ZA ��MI �ASOWOJ RABO�IJ DENX PROIZWODIT W SREDNEM ����DETALEJ� nAJTI WEROQTNOSTX TOGO� �TO ZA ODNU SLU�AJNO WYBRANNU�MINUTU ON PROIZWEL ROWNO TRI DETALI�

� sLU�AJNAQ WELI�INA R � RASSTOQNIE OT TO�KI POPADANIQ DO CENT�RA MI�ENI � RASPREDELENA PO ZAKONU rELEQ

f�r�

�������� r � �

a r e�a r

� � r � ��

GDE �a�� PARAMETR� HARAKTERIZU��IJ METKOSTX STRELKA�kAKOWA WEROQTNOSTX POPASTX W �QBLO�KO� NE MENEE TREH RAZ PRI PQTIWYSTRELAH� ESLI DIAMETR �QBLO�KA� �� SM� A PARAMETR�a� �� ��

� zADANA PLOTNOSTX RASPREDELENIQ NEPRERYWNOJ SLU�AJNOJ

WELI�INY f�x�

�� �� x � �� x � �a�x� � �x�� � � x � ��

�� NAJTI ZNA�ENIE PARAMETRA �a���� NAJTI FUNKCI� RASPREDELENIQ F �x���� POSTROITX GRAFIKI FUNKCIJ F �x� I f�x���� WY�ISLITX MATEMATI�ESKOE OVIDANIEM�X� I DISPERSI�D�X��� WY�ISLITX WEROQTNOSTX P ��� � X � �� ���

��

Page 28: VAR-20

zadanie �� wARIANT ��

mATEMATI�ESKAQ STATISTIKA

�� pROWODILSQ PODS�ET KOLI�ESTWA PROEZVA��IH MIMO POSTA gai W

TE�ENII ��OJ SLU�AJNO WYBRANNOJ MINUTY �SLU�AJNAQ WELI�INA X��tAKIH NABL�DENIJ PROWEDENO ��� REZULXTATY NABL�DENIJ PRIWEDE�NY W TABLICE� sKOLXKO� W SREDNEM� AWTOMOBILEJ PROEDET MIMO POSTAgai ZA SUTKI�

N

�� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

�� w REZULXTATE PROWEDENNYH SLU�AJNYH IZMERENIJ ABSOL�TNYH ZNA��ENIJ TOKA �I a� W �LEKTRI�ESKOJ CEPI POLU�ENY SLEDU��IE ZNA�E�NIQ�

I

�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� ��� � �� �� �� �� �� �� �� � �� �� �� �� �� � ��� �� ��� �� ��� �

oPREDELITX SREDN�� MO�NOSTX TOKA W CEPI� ESLI EE AKTIWNOE SOPRO�TIWLENIE SOSTAWLQET � oM�

�� pO USLOWIQM ZADA� � I �A� SOSTAWITX STATISTI�ESKU� TABLICU RASPREDELENIQ OTNOSITELX�

NYH �ASTOT SLU�AJNOJ WELI�INY�b� POSTROITX POLIGON I GISTOGRAMMU RASPREDELENIQ�

�� dANA STATISTI�ESKAQ TABLICA RASPREDELENIQ �ASTOT W SLU�AJ�NOJ WYBORKE�

a� pOSTROITX POLIGON I GISTOGRAMMU RASPREDELENIQ�b� nAJTI WELI�INY x I s� WYBORKI�c� zAPISATX TEORETI�ESKIJ ZAKON RASPREDELENIQ� nAJTI TEORETI�

�ESKIE ZNA�ENIQ WEROQTNOSTEJ I SRAWNITX IH S WELI�INAMI OTNOSI�TELXNYH �ASTOT�

d� iSPOLXZOWATX KRITERIJ pIRSONA DLQ USTANOWLENIQ PRAWDOPO�DOBNOSTI WYBRANNOJ GIPOTEZY O ZAKONE RASPREDELENIQ�

��xi � � � � � �� �� ��ni �� � � �� � � � �� �

�ISPOLXZOWATX ZAKON RAWNOMERNOGO RASPREDELENIQ�

��

Page 29: VAR-20

��xi � � � � � � � �ni � � � � �� � �� � �

�ISPOLXZOWATX ZAKON RASPREDELENIQ pUASSONA�

��xi ����� ����� ����� ����� ���� ��� ���� �����ni � �� �� � � �

�ISPOLXZOWATX ZAKON NORMALXNOGO RASPREDELENIQ�

�� dLQ NORMALXNO RASPREDELENNOJ SLU�AJNOJ WELI�INY �TABL��� ZA�DA�A �� OPREDELITX DOWERITELXNYJ INTERWAL� W KOTORYJ S NADEVNOS�TX� p �� � POPADAET ISTINNOE ZNA�ENIE �MATEMATI�ESKOE OVIDA�NIE� SLU�AJNOJ WELI�INY�

� nAJTI DOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ OCENKI MATEMATI�ESKOGO

OVIDANIQ a NORMALXNOGO RASPREDELENIQ S NADEVNOSTX� ���� ZNAQ

WYBORO�NU� SREDN�� x ����� OB�EM WYBORKI n ��� I SRED�NEKWADRATI�ESKOE OTKLONENIE � ���

�� pO DANNYM KORRELQCIONNOJ TABLICY ZNA�ENIJ xi� yi SLU�AJNYHWELI�IN X I Y

a� NANESTI TO�KI �xi� yi� NA KOORDINATNU� PLOSKOSTX� I SOEDINITXIH LOMANOJ�

b� PODOBRATX FUNKCIONALXNU� ZAWISIMOSTX y f�x�� NAIBOLEE HO�RO�O OPISYWA��U� DANNU� KORRELQCIONNU�� lINEARIZOWATX� ESLITREBUETSQ� �TU ZAWISIMOSTX� ISPOLXZUQ NOWYE PEREMENNYE�

c� SOSTAWITX URAWNENIE LINII REGRESSII I OPREDELITX KO�FFICI�ENT KORRELQCII� oCENITX TESNOTU SWQZI MEVDU WELI�INAMI X I Y �

��xi � ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���yi ��� ���� ��� ��� ���� �� �� ���

��xi � � � �� �� � �� �yi ���� �� ��� ��� ���� ��� ���� ���

��