kafedra
w m m f
wARIANT ��
w y s � a q
matematika
sBORNIK INDIWIDUALXNYHDOMA�NIH ZADANIJ
DLQ STUDENTOWTEHNI�ESKIH SPECIALXNOSTEJ tpu
tABLICA �KWIWALENTNYH BESKONE�NO MALYH
eSLI ��x�� �� TO SPRAWEDLIWO�
�� sin��x� � ��x��� arcsin��x� � ��x��� tg ��x� � ��x�� arctg ��x� � ��x�
� � � cos��x� � ���x���
��� ln �� ��x�� � ��x�
�� loga �� ��x�� � ��x�lna
�� e��x� � � � ��x�
�� a��x� � � � ��x� � ln a��� n
q� ��x�� � � ��x�
n
�� sin��x� � ��x�� ���x���
�
�� arcsin��x� � ��x� ���x���
�
�� tg ��x� � ��x� ���x���
�
� arctg ��x� � ��x�� ���x���
�
� �� cos��x� � ���x���
�� ���x���
�
�� ln �� ��x�� � ��x�� ���x���
�
�� e��x� � � � ��x� ���x���
�
�� nq� ��x�� � � ��x�
n
�� n
�n����x���
wTOROJ ZAME�ATELXNYJ PREDEL
limn��
��
�
n
�n� e� lim
x��
��
�
x
�x� e� lim
��x����� ��x��
���x� � e�
e � �� ��������������
sUMMA n �LENOW ARIFMETI�ESKOJ PROGRESSII
Sn � a� a� � � � an �a� an
�� n
sUMMA n �LENOW GEOMETRI�ESKOJ PROGRESSII SO ZNAMENATELEM q
Sn � b� b�q b�q� � � � b�q
n�� �b��� � qn�
�� q
pRI jqj � � S �b�
�� q
fAKTORIALY
n� � � � � � � � � � � � �n� �� � n�
�� � ��� � ��� � � � � � ��� � � � � � � � �� � �� � � ���� ���
��n�� � � � � � � � � � � � n � �n �� � � � � ��n� �� � �n� ��n��� � � � � � � � � � ��n� �� � �n
��n ��� � ������� � ��n��n ���� � ���n���n ��� ��n ���� � ������ � � ��n������n ��
fORMULA sTIRLINGA
pRI BOLX�IH ZNA�ENIQH n n� ��n
e
�n�p��n
eSLI C�KONSTANTA� A U�x� I V �x� � DIFFERENCIRUEMYE FUNKCII� TO
oSNOWNYE PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ
�� � C �� � ��� � C � U �� � C � U ��� � U � V �
�
� U � � V �
� � U � V ��
� U � � V U � V �
��U
V
��
�U �V � U V �
V �
�� �y�U�x����
� y�u � U �x
�� x�y�y� ��
y�x�x�
�� y��x� � y�x� � �ln y�x���
���UV
��
� V � UV�� � U � UV � lnU � V �
���
�x � x�t�y � y�t�
� y��x� �y��t�
x��t�y���x� �
y���t�x��t�� x���t�y��t�
�x��t���
tABLICA PROIZWODNYH
���Uk��
� k Uk�� � U �
��� �tg U��
��
cos� U� U �
���p
U��
��
�pU� U �
��� �ctg U��
� � �
sin� U� U �
����
U
��
� � �
U�� U �
��� �arcsin U��
��p
��U��U�
��aU��
� aU � ln a � U �
��� �arccos U��
� � �p� � U�
� U �
��eU��
� eU � U �
�� �arctg U��
��
� U�� U �
�� �logaU��
��
U ln a� U �
�� �arcctg U��
� � �
� U�� U �
�� �lnU��
��
U� U �
��� �sh U��
� ch U � U �
�� �sinU��
� cosU � U �
��� �ch U��
� sh U � U �
�� �cosU��
� � sin U � U �
��� �th U��
��
ch� U� U �
oSNOWNYE NEOPREDEL�NNYE INTEGRALY
��ZUk dU �
Uk��
k � C� ���
Ztg U dU � � ln j cosU j C
�k �� ��� ���Z
ctg U dU � ln j sinU j C
��ZdU � U C ���
ZdU
sinU� ln
���� tgU����� C
��Z
dUpU
� �pU C ���
ZdU
cosU� ln
����tg�U
�
�
����� C
��Z
dU
U�� � �
U C ���
ZdU
a� U��
�
aarctg
U
a C
��Z
dU
U� ln jU j C ���
ZdU
U� � a��
�
�aln����U � a
U a
���� C
��ZaU dU �
aU
ln a C ��
ZdUp
a� � U�� arcsin
U
a C
��ZeU dU � eU C ��
ZdUp
U� � a��ln jU
pU� � a�j C
�Z
sin U dU��cosU C ���Z
sh U dU � ch U C
�Z
cosU dU�sinU C ���Z
ch U dU � sh U C
���Z
dU
cos� U� tg U C ���
ZdU
ch� U� th U C
���Z
dU
sin� U��ctg U C ���
ZdU
sh� U� �cth U C
���Z p
U� � a� dU ��
�
�UpU� � a� � a� ln jU
pU� � a�j
� C
���Z p
a� � U� dU ��
�
�Upa� � U� a�arcsin
U
a
C
���Ze�U sin �U dU �
e�U
�� ���� sin �U � � cos �U� C
���Ze�U cos�U dU �
e�U
�� ���� cos �U � sin �U� C
rQDY mAKLORENA �LEMENTARNYH FUNKCIJ
�� ex � � x x�
��
x�
�� � � �
xn
n� � � � �
�Xn�
xn
n��
�� sh x � x x�
��
x
� � � �
x�n��
��n ��� � � � �
�Xn�
x�n��
��n ����
�� ch x � � x�
��
x�
� � � �
x�n
��n�� � � � �
�Xn�
x�n
��n���
� sin x�x�x�
�� x
��� � � ����n
x�n��
��n ��� � � ��
�Xn�
����nx�n��
��n ����
� cos x � � � x�
��
x�
�� � � � ����n
x�n
��n�� � � � �
�Xn�
����nx�n
��n���
�� �� x�m � � m
��x
m�m� ��
��x�
m�m� ���m� ��
��x� � � � �
���
� x� �� x x� � x� � � � ����nxn � � � �
�Xn�
����nxn�
�� ln �� x� � x�x�
� x�
��� � � ����n
xn��
n � � � ��
�Xn�
����nxn��
n ��
�� arctg x�x�x�
� x
�� � � ����n
x�n��
��n �� � � ��
�Xn�
����nx�n��
��n ���
��� arcsin x � x �
�
x�
�
� � ��� � ��
x
� � � � �� � ��
x�
� � � �
��� tg x � x �
�x�
�
�x � � �
��� th x � x� �
�x�
�
�x � � � �
�
rQD I INTEGRAL fURXE �OSNOWNYE FORMULY�
�� rQD fURXE FUNKCII� ZADANNOJ NA INTERWALE ���� ��
f�x� �a�
�
�Xn�
an cos nx bn sin nx
a� ��
�
�Z��
f�x�dx� an ��
�
�Z��
f�x� cos nx dx� bn ��
�
�Z��
f�x� sin nx dx
�� rQD fURXE FUNKCII� ZADANNOJ NA INTERWALE ��l� l�
f�x� �a�
�
�Xn�
an cosn�
lx bn sin
n�
lx
a� ��
l
lZ�l
f�x�dx� an ��
l
lZ�l
f�x� cosn�
lx dx� bn �
�
l
lZ�l
f�x� sinn�
lx dx
�� rQD fURXE FUNKCII� ZADANNOJ NA INTERWALE ��� l�
pO SINUSAM
f�x� ��Xn�
bn sinn�
lx
bn ��
l
lZ�
f�x� sinn�
lx dx
pO KOSINUSAM
f�x� �a�
�
�Xn�
an cosn�
lx
a� ��
l
lZ�
f�x�dx� an ��
l
lZ�
f�x� cosn�
lx dx
�� rQD fURXE f�x�� x � ��l� l� W KOMPLEKSNOJ FORME
f�x� ��
�
�Xn��
Sn��n�ei�nx� GDE �n �
n�
l� Sn��n� �
�
l
lZ�l
f�x�e�i�nxdx
�� iNTEGRAL fURXE FUNKCII f�x�� x � ��� �
f�x� ��
�
�Z�
� �Z��
f�t� cos��t� x� dt
�A d�
dLQ �ETNOJ FUNKCII f�x� ��
�
�Z�
cos�x d�
�Z�
f�t� cos�t dt
dLQ NE�ETNOJ FUNKCII f�x� ��
�
�Z�
sin�x d�
�Z�
f�t� sin �t dt
�� pREOBRAZOWANIE fURXE FUNKCII f�x�� x � ��� �
F ��� �
�Z��
f�x�e�i�xdx
�� kOSINUS I SINUS PREOBRAZOWANIQ fURXE FUNKCII f�x�� x � ��� �
Fc��� � �
�Z�
f�x� cos �x dx� Fs��� � �
�Z�
f�x� sin�x dx
�
tABLICA IZOBRAVENIJ I ORIGINALOW
f�t� F �p�
� ��
p
� t�
p�
� t��
p�
e�at�
p a
t e�at�
�p a��
� t�e�at�
�p a��
�
�f�t�� � t �
�� t �F �p���� e�p��
� sin ata
p� a�
� cos atp
p� a�
f�t� F �p�
�� t sin at�ap
�p� a���
�� t cos atp� � a�
�p� a���
�� sh ata
p� � a�
�� ch atp
p� � a�
� e�at sin btb
�p a�� b�
� e�at cos btp a
�p a�� b�
�� e�atsh btb
�p a�� � b�
�� e�atch btp a
�p a�� � b�
�� �t� �
�� �t� � � e�p�
�
zadanie N � lINEJNAQ ALGEBRA wARIANT ��
�� wY�ISLITX OPREDELITELI
a�
������������
� ��� � ��� ��� � ��� � � � � � ��
������������b�
������������
� � � ��� �� � ��� �� �� � � �
�������������� nAJTI MATRICU h IZ URAWNENIQ� sDELATX PROWERKU
BBB�� � �
�� � � �� �
�CCCAX
BBB�
� � � ���� ��� �� �� �� � ���
�CCCA
�� rE�ITX SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ�A� METODOM kRAMERA� b� MATRI�NYM METODOM
a�
���������x� �y � z ����x� y � �z ����x� �y � z ���
b�
��������
x � �y � z �x � �y � z ����x � �y � z ���
�� rE�ITX SISTEMY METODOM gAUSSA
a�
��������������
�x� �x� ��x� �x� ��x� ��x� ��x� �x� ���x� ���x� ��x� ��x� ���x� ��x� ��x� ��x� ��
b�
��������������������
�x� ��x� ��x� ��x� ��x� ��x� ��x� �x� ��x� �x� ��x� �x� ��x� ��x� ��x� ��x� �x� �x� �x� �x� �
c�
��������������
x� ��x� ��x� ��x� �x� ��x� ��x� ��x� ��x� �x� ��x� �x� �x� ��x� ��x� �x� �x� �x� �x� �
�� nAJTI SOBSTWENNYE ZNA�ENIQ I SOBSTWENNYE WEKTORY MATRIC
a� A
� �� �
�A b� B
BBB�� � ��� � ��� � �
�CCCA
��
zadanie N � wEKTORNAQ ALGEBRA wARIANT ��
�� dAN PARALLELOGRAMM ABCD� W KOTOROM��AB �a�
��AD �b�
tO�KA DELIT STORONU DC W OTNO�ENII j DM j � j MC j �� tO�KAN DELIT STORONU BC W OTNO�ENII j BN j � j NC j ���� wYRAZITXWEKTORY
��AC�
��BD�
���AM�
��AN�
���MN �EREZ WEKTORY �a I �b�
�� oPREDELITX KOORDINATY TO�KI C� LEVA�EJ NA PRQMOJ� PROHO�DQ�EJ �EREZ TO�KI A I B� ESLI A���� �� ��� B������ �� I
jACj � jCBj � �
�� w TREUGOLXNIKE S WER�INAMI A�� �� ��� B���������� C���� �� ���nAJTI� a� WEKTOR MEDIANY AM �
b� WEKTOR WYSOTY BD�c� L�BOJ PO MODUL� WEKTOR BISSEKTRISY UGLA C�
�� dANY TRI WER�INY PARALLELOGRAMMA ABCD�A��� ������ B����� ��� C���������� nAJTI�a� KOORDINATY �ETWERTOJ WER�INY D�b� DLINU WYSOTY� OPU�ENNOJ NA STORONU AB�c� KOSINUS OSTROGO UGLA MEVDU DIAGONALQMI AC I BD�
�� tREUGOLXNIK ABC POSTROEN NA WEKTORAH��AB ��p � ��q�
��AC
�p� ��q�GDE j �p j �� j �q j �� ��p ��q� �o� nAJTI�
a� DLINU WYSOTY� OPU�ENNOJ NA STORONU AB�b� KOSINUS UGLA MEVDU STORONOJ AB I MEDIANOJ AM �
�� nAJTI EDINI�NYJ WEKTOR �e� KOTORYJ ODNOWREMENNO PERPENDIKU�LQREN WEKTORAM �a f������ �g I �b f�� �� �g� ESLI ��e��i� � ����
�� w PIRAMIDE ABCD S WER�INAMI W TO�KAH
A��� �� ��� B������ ��� C��� ������ D���� �� ��NAJTI OB�EM I DLINU WYSOTY� OPU�ENNOJ NA GRANX ABC�
�� dOKAZATX� �TO WEKTORY �p f�� �� �g� �q f����� �g� �r f����� �gOBRAZU�T BAZIS I NAJTI RAZLOVENIE WEKTORA �x f� �����g W �TOMBAZISE�
��
zadanie N� wARIANT ��
aNALITI�ESKAQ GEOMETRIQ NA PLOSKOSTI
�� sOSTAWITX URAWNENIQ PRQMYH� PROHODQ�IH �EREZ TO�KU M���� ���a� PARALLELXNO PRQMOJ �y � �� �
b� PERPENDIKULQRNO PRQMOJx� �
� y �
�
c� POD UGLOM �� K PRQMOJ
�� x �t � �y ��t � �
�� dANY WER�INY TREUGOLXNIKA A����� �� B���� ��� C��� ����sOSTAWITX� a� URAWNENIE STORONY AC�
b� URAWNENIE MEDIANY wm�c� URAWNENIE WYSOTY sH I NAJTI EE DLINU�
�� dANY DWE PRQMYE l� � x��y �� l� �x � �
�
y � �
� � nAJTI�
a� TO�KU PERESE�ENIQ PRQMYH�b� KOSINUS UGLA MEVDU PRQMYMI�c� SOSTAWITX URAWNENIQ BISSEKTRIS UGLOW MEVDU PRQMYMI�
�� pRIWESTI URAWNENIQ LINIJ K KANONI�ESKOMU WIDU I POSTROITX�
�� x� � y� � y � �� �x� � �x � y� � ��y � � ��� x � � �
py� � �y � � �� �x � y� � �y �
� �x� � �xy � y� � �� � � � �x� � �xy � �y� � x � �y � � �
�� sOSTAWITX URAWNENIE I POSTROITX LINI�� KAVDAQ TO�KA KOTOROJODINAKOWO UDALENA OT TO�KI M��� �� I OT OSI ABSCISS�
�� pOSTROITX LINII� ZADANNYE W POLQRNYH KOORDINATAH�
�� � � cos ��� �� � � � e�� �� � �
� � � cos��
�� pOSTROITX LINII� ZADANNYE PARAMETRI�ESKIMI URAWNENIQMI�
��
�� x � sin� ty � cos� t
��
�� x
pt
y t � �
�� pOSTROITX FIGURU� OGRANI�ENNU� LINIQMI
��
������y sin��x����y x��
��
���������x �� cos t�y t� sin t�y �� x����
��
zadanie N � wARIANT ��
aNALITI�ESKAQ GEOMETRIQ W PROSTRANSTWE
�� sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI� PROHODQ�EJ �EREZ DWE TO�KI
M���� ������ M���������� PARALLELXNO PRQMOJx� �
y
�
z � �
�� �
nAJTI RASSTOQNIE OT NA�ALA KOORDINAT DO �TOJ PLOSKOSTI I OB�EM
PIRAMIDY� OTSEKAEMOJ PLOSKOSTX� OT KOORDINATNOGO UGLA�
�� iZ OB�IH URAWNENIJ PRQMOJ �� x� y � �z � � �x� y � �z � � �
POLU�ITX EE KANONI�ESKIE I PARAMETRI�ESKIE URAWNENIQ� oPREDE�LITX RASSTOQNIE OT NA�ALA KOORDINAT DO PRQMOJ�
�� dOKAZATX� �TO PRQMYE PERESEKA�TSQ�
L� �x �
�
y � �
�� z � �
�� L� �
��������x �t � �y ��t � �z �t� ��
sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI� W KOTOROJ LEVAT �TI PRQMYE�
�� dANY WER�INY TREUGOLXNOJ PIRAMIDY
A��� �� ��� B��� ������ C�� �� �� D��� ������nAJTI UGOL MEVDU GRANX� AD I REBROM BC� sOSTAWITX URAWNENIEI NAJTI DLINU WYSOTY CH �
� pOSTROITX POWERHNOSTI
�� z� � x� � �y� � � � �� x� � z� �� y�� x� y� � z� �� y� � �y � z� � �z � � �� y x� � �x � �y � �
p� � z �
� pOSTROITX TELO� OGRANI�ENNOE POWERHNOSTQMI
a�
������������
�z y���x � y ��y x�y � �� z � ��
b�
���������z
p� � x� � y��
�z� ��x� � y���z � ��
��
zadanie N � wARIANT ��
pREDEL� nEPRERYWNOSTX
�� nAJTI PREDELY
�� limn��
pn � p��n� � �
�n� �pn�� �pn� � �
�� limx��
p�x � �
x� � ��
�� limn��
�� n�� � � � n��
� � n�� � � � n����� lim
x��
arctg��p�x�
ln�� � x�
�� limn��
��n�
�n � �
�n��� lim
x��
cos x � cos �x
� � cos �x
�� limn��
�pn� � � �
pn� � n
���� lim
x����
ln sin �x
��x � ���
� limn��
n��n� � �
��n � ���� �n���� lim
x��
tg �x
x� �
� limn��
�� � �n�� � � � �n � �n�� � � � �n ��� lim
x�� ��� � �x��
x���
�� limx��
�x� � �x� � �
�x � ��x� � ���� lim
x���cos x�
�ln��sin� x�
�� limx���
x� � �x� ��
�x� � �x � ��� lim
x��
��x �
�x
x
�� sRAWNITX DWE BESKONE�NO MALYE �x� I �x� PRI x� �� ESLI
�� �x� x� � sin �x� �x� x arctgx�� �x� ecosx � e� �x� arcsinx � sin� �x
�� dLQ DANNYH BESKONE�NO MALYH PRI x � x� WELI�IN ZAPISATX
�KWIWALENTNNYE W WIDE A�x� x��k
�� tg�� �px�� x� � �� ln��x� � x � �� x� ��
�� � � cosx�
�� x� � �� �p�� x� � �� x� �
�� iSSLEDOWATX NA NEPRERYWNOSTX FUNKCII
�� y �
�x� � x�
�� y �� �� �
x��
�� y
��������
x � �� x � ���p� � x�� �� � x � p
���� x �
p�
�
zadanie N � wARIANT ��
pROIZWODNYE
� nAJTI PROIZWODNYE y��x� DANNYH FUNKCIJ
�� y �
�px � ���
��px
�x� ��� y
qarctg lnx � �
�� y cos�x � �x� �
� � ln �px
�� y �� � x� sh�x��
�p� � x�
� y ln tgx� �p
� �cos
� �x � y �q� � �px � e�
px � �
�� y ln
vuuutcos���x� �� � e�x�lnx � �px� ���
�� y r�x� � ��tg� x � sin� x
�� y ��x �
�
x
ctg� x��� y
��
lnx �
p�
x�
���
�� x ln�t� � ��y t � arctg t
���
��������x
� � t
t�
y �
t��
�
t
��� �x� � �y��� px� �
py � cos x ��� arcsin
�
x� arctg
�
y
x � y
x�
� nAJTI WTORU� PROIZWODNU� y�� FUNKCII
�� y e�x cos �x ��
�� x sin��t� ��y t � cos t�
� wY�ISLITX ZNA�ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W TO�KE
�� y ln
vuut� � cos x
sinx� x�
�
�
��
�� x � ln ctg t� �y tg t� ctg t
t� �
�
� nAJTI PERWYJ dy I WTOROJ d�y DIFFERENCIALY FUNKCII
�� y px � ��x� �� y cos��x� ��
� dOKAZATX� �TO FUNKCIQ y �sinx
x� cos x
UDOWLETWORQET URAWNENI� x � sinx � y� � �sinx � x � cos x� � y sinx � cos x � x
�
zadanie N � wARIANT ��
pRILOVENIQ PROIZWODNOJ
�� iSSLEDOWATX NA �KSTREMUM FUNKCII
�� y x� � �
x�� y x��� � e�x
�� y ln��x� � �
�� sOSTAWITX URAWNENIQ WSEH ASIMPTOT SLEDU��IH KRIWYH
�� y x�
��x � ����� y
e�x��x� ��
�� y ln�x� ��x�
�� pROWESTI POLNOE ISSLEDOWANIE I POSTROITX GRAFIKI FUNKCIJ
�� y x� � lnx �� y x � e�x���
�� y p�x� � �
�� sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ I NORMALI K GRAFIKU FUNK�CII W TO�KE S ABSCISSOJ x xo� ILI SOOTWETSTWU��EJ ZNA�ENI�
PARAMETRA t to
�� y x� �
x� � �x� �
��
�� x t�
y t� � �t� ��
�� iZ WSEH CILINDROW� WPISANNYH W �AR RADIUSA R � NAJTI TOT� UKOTOROGO OB�EM NAIBOLX�IJ�
�� nAJTI NAIBOLX�EE I NAIMENX�EE ZNA�ENIQ FUNKCII
y ���x� � �x � ��
x� � �x � �W INTERWALE ��� ��
�� iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ� NAJTI PREDELY
�� limx��
��
lnx� �
x � �
�� lim
x�����x�cos �x
� �� limx�a
cos x � ln�x� a�
ln�ex � ea�
��
zadanie N fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH wARIANT ��
�� nAJTI I IZOBRAZITX OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCIJ�
�� z ln�x� � x � y � �� �� z arcsin�y� �
x
�� nAJTI �ASTNYE PROIZWODNYE z�x I z�y FUNKCIJ
�� z x
�x� � y����� z
arctg �x�y��
ln�� � �x � y��pxy � yx
�� z etg x �qy � x� �� z �
qcos� y � sin� x � arcsin�y ln x�
�� nAJTI �ASTNYE PROIZWODNYE z�x I z
�y SLOVNOJ FUNKCII
z uv� GDE u qx� � y�� v
�
sin y�
�� nAJTI PROIZWODNU� z�t� ESLI
z x
x� � y�� GDE x � � ctg�t� y
�pt�
�� nAJTI PROIZWODNYE z
xI
d z
d x� ESLI
z
py
x�� GDE y ln tg x � arcsin �p
x
� nAJTI PROIZWODNU� y� NEQWNOJ FUNKCII y�x�� ZADANNOJ WYRAVE�NIEM
�� y�x cosy
x� tg�x� �� xe�y � cos�
�x� �
y
� nAJTI �ASTNYE PROIZWODNYE z�x I z�y NEQWNOJ FUNKCII z�x� y��
ZADANNOJ WYRAVENIEM zx � x y� z x� ln�
zy
� nAJTI PERWYJ dz I WTOROJ d�z DIFFERENCIALY FUNKCII
z pxy�
� sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNOJ PLOSKOSTI I NORMALI K POWERH�NOSTI z xy � x� � �y� � x� ��y � � W TO�KE M����� �� zo�
��� iSSLEDOWATX NA �KSTREMUM FUNKCI� z x� � �x�y� � y�
��� nAJTI NAIBOLX�EE I NAIMENX�EE ZNA�ENIQ FUNKCIIz �x���x��y���xy W ZAMKNUTOJ OBLASTI D � fy � x�� y � �g
��
zadanie N wARIANT ��
nEOPREDELENNYJ INTEGRAL
��Z ��� x��� dx
�px
��Z cos x dx
�psin� x
��Zx� � ���x� dx ��
Z dx
x� � �
�Z dx
cos� x � �� � � tg x��
Z �lnx dx
x � p� � �lnx
��Z dxp
x � �x� ����
Z ��x � x�� dxp� � x�
��Z arctg� x� x � �
� � x�dx ���
Z dx
x �q� � � ln� x
���Z�x� � x� e�x
�
dx ���Zarcsinx dx
���Z��� �x� sin�x dx ���
Z px lnx dx
��Z x dx
sin� x��
Ze�x � cos�x��� dx
���Z dx
�� �x � x����
Z dxp� � �x� x�
���Z �x � � dx
�x� � �x � ����
Z ��x � ��� dxpx� � �x �
���Z �x� � x� �� dx
x �x � �� �x� �����
Z �x� � �� dx
x� � �x�
���Z x� dx
�x� � �� � �x� ������
Z dx
x� � �x
��Z dx
�px�
px
��Z �x � �� dx
x � px� �
���Z p� � xp
x�dx ���
Z x� dxp� � x�
���Z q
�� � x���
xdx ���
Z x� dxp� � x�
���Zcos x sin �x cos �x dx ���
Zctg� �x dx
���Z dx
� � sinx � � cos x���
Z dx
� sin� x � � cos� x
��Z sin� x dx
�pcos� x
��Z dx
sin x
���Zcos� x � sin� x dx ���
Z dx
�ex � ���
��
zadanie N �� wARIANT ��
oPREDELENNYJ INTEGRAL
�� wY�ISLITX OPREDEL�NNYE INTEGRALY
���Z�
� �px
x�dx ��
�Z�
q���x��� dx ��
�Z��
ln�x�p� � x�� dx
�����Z�
dx
� � cos x�
���Z�
x� dx
x� � ��
�Z��
dx
� � �px � �
�� nAJTI SREDNEE ZNA�ENIE FUNKCIJ W UKAZANNYH INTERWALAH
�� y cos� x� ��� �� �� y �
ex � �� ��� ��
� oCENITX ZNA�ENIQ INTEGRALOW
���Z�
�
q�x� � �x�� dx ��
�Z��e
x� lnx dx
�� iSSLEDOWATX NA SHODIMOSTX NESOBSTWENNYE INTEGRALY
���Z�
x dx
�x� � ���
�Z�
dxq��� �x��
���Z�
dxqx �x� �� �x � �
���Z�
ln�� � �px��
esin �x � �dx
�� nAJTI PLO�ADX FIGURY� OGRANI�ENNNOJ LINIQMI�
��
���������y e�x�y ex�y e�
��
������� � cos��� cos��
��
������x � cos t�y � sin t cos� t� t � ��� �����
�� nAJTI OB��M TELA� OBRAZOWANNOGO WRA�ENIEM FIGURY� OGRANI�EN�NOJ
UKAZANNYMI LINIQMI� �� � WOKRUG OSI OX� �� � WOKRUG OSI OY�
��
������y� �x���x ��
��
���������y x�y x� sin� x�� � x � ��
�� wY�ISLITX DLINY DUG KRIWYH
�� L ���� y arcsinx �
p�� x�� �� L �
���������x et �cos t � sin t��y et �cos t� sin t���� � � � ����
�� wERTIKALXNAQ PLOTINA IMEET FORMU POLUKRUGA RADIUSA � M� nAJ�TI SILU DAWLENIQ WODY NA PLOTINU�
��
zadanie N �� wARIANT ��
kRATNYE INTEGRALY
� w DWOJNOM INTEGRALEZ
D�
Zf�x� y� dx dy PEREJTI K POWTORNOMU I
RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI �D�� OGRANI�ENNOJLINIQMI�
�� x� � y� �� y� �x� �y � ����� x� y �� x � �y �� x � y ��
� iZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ W INTEGRALE
J �Z�
dy
y��Z�
f�x� y� dx ��Z�
dy�Z�
f�x� y� dx ��Z�
dy�Z
y�����f�x� y� dx�
� pEREJTI K POLQRNYM KOORDINATAM I WY�ISLITXZD�
Z�x� � y�� dx dy� D � fx� � y� � �� y � x g�
� wY�ISLITX PLO�ADX FIGURY� OGRANI�ENNOJ LINIQMI
�� x y � �x �y� x � y ���� �x� � y��� �x� � y��
� wY�ISLITX MASSU PLASTINKI� ZANIMA��EJ OBLASTX �D�� PRI ZA�DANNOJ POWERHNOSTNOJ PLOTNOSTI ��x� y�
�� D � fy x� � �� x� y � � �g ��x� y� �x � y�
�� D � fx� � y� � �x� y � xg� ��x� y� xq�x� � y����
� zAPISATX TROJNOJ INTEGRALZ ZV �
Zf�x� y� z� dx dy dz
W WIDE POWTORNOGO I RASSTAWITX PREDELY INTEGRIROWANIQ PO OBLASTI
�V�� OGRANI�ENNOJ POWERHNOSTQMI�
�� y x�� x y�� �x � �y � z � z ���� y x� � y �x� y �� z �� x� � y�� z � ��
� wY�ISLITX OB�EM TELA� OGRANI�ENNOGO POWERHNOSTQMI�
�� z� �� x� x� � y� �x� �z � ����� x� � y� � z� �z� z
px� � y��
� wY�ISLITX MASSU TELA� ZANIMA��EGO OBLASTX
V � f� � x� � y� � z� � �� � � y � xp�� z � �g�
ESLI ZADANA OB�EMNAQ PLOTNOSTX ��x� y� z� zp
x� � y� � z��
��
zadanie N �� wARIANT ��
kRIWOLINEJNYJ I POWERHNOSTNYJ INTEGRALY
� wY�ISLITX KRIWOLINEJNYJ INTEGRALZL�
x� dl�
GDE L � DUGA LINII y lnx MEVDU TO�KAMI A��� �� I B�e� ���
� nAJTI MASSU LINII x� � y� �y� ESLI LINEJNAQ PLOTNOSTX
��x� y� qx� � y��
� wY�ISLITX INTEGRALZL�
z dl� GDE L � DUGA OKRUVNOS�
TInx� � y� � z� �� y x�
o�W PERWOM OKTANTE��
� nAJTI PLO�ADX �ASTI KONI�ESKOJ POWERHNOSTI z� x��y�� WY�REZANNOJ CILINDROM x� � y� �y�
� wY�ISLITX POWERHNOSTNYJ INTEGRALZS�
Zy d�� GDE S��ASTX
PLOSKOSTI x � �y � �z �� NAHODQ�AQSQ W PERWOM OKTANTE�
� nAJTI MASSU �ASTI POWERHNOSTI SFERY x� � y� � z� �� RASPOLO�VENNOJ W PERWOM OKTANTE� ESLI POWERHNOSTNAQ PLOTNOSTX ��x� y� z� y�
� wY�ISLITXZL�
�x� � y� dx � �x � y�� dy� GDE L � LOMANAQ
ABC� GDE A��� ��� B��� ��� C��� ��
� dOKAZATX� �TO WYRAVENIE��x� � �xy � y
�dx��x� � �y� � x � �y
�dy
QWLQETSQ POLNYM DIFFERENCIALOMFUNKCIIU�x� y�� I NAJTI �TU FUNK�CI��
wY�ISLITXZS�
Zxz dydz� GDE �S�� WNE�NQQ STORONA POWERH�
NOSTI� RASPOLOVENNOJ W PERWOM OKTANTE I OBRAZOWANNOJ CILINDROM
x� � y� �� I PLOSKOSTQMI x �� y �� z �� z �
�� wY�ISLITXZS�
Z�x dydz��y dxdz���z��� dxdy� GDE �S�� WNE��
NQQ STORONA POWERHNOSTI x� � y� � � �z� OTSE�ENNAQ PLOSKOSTX�
z �� �z � �����
zadanie N �� sKALQRNOE I WEKTORNOE POLE wARIANT ��
� nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ �F �x� y� y ��i � x
y� �j WDOLX
DUGI PLOSKOJ KRIWOJ L � y e�x� ZAKL��ENNOJ MEVDU TO�KA�MI ��� �� I ���� e��
� nAJTI RABOTU SILOWOGO POLQ �F x ��i� �z���� ��j � y � �k WDOLXDUGI KRIWOJ L � x �cos t���� y �sin t���� z cos t��sin t��������t � ��� ������
� nAJTI POTOK WEKTORNOGO POLQ �A �EREZ POWERHNOSTX S W STORONU
WNE�NEJ NORMALI
�� �A f�� �y� �zg� GDE S� �ASTX PLOSKOSTI �x��y� z ��WYREZANNOJ KOORDINATNYMI PLOSKOSTQMI�
�� �A �x� y� ��i����x���y� ��j��x�� �z� ��k� GDE S� POLNAQ
POWERHNOSTX PIRAMIDY x� y � �z �� x �� y �� z ��
�� �A x y� ��i� y z� ��j� x� z ��k� GDE S� POLNAQ POWERHNOSTX TELA�OGRANI�ENNOGO POWERHNOSTQMI x� � y� � z� �� z �� �z � ���
� nAJTI MODULX CIRKULQCII WEKTORNOGO POLQ �A WDOLX KONTURA L�� �A fx�� �y�g�L � PERIMETR PRQMOUGOLXNIKA x �� x � y ��� y ��
�� �A �y ��i� � ��j � �k� L � �� x� � y� � z� ��z �
� pROWERITX� BUDET LI POTENCIALXNYM WEKTORNOE POLE
�A �
yp�� x� y�
� �x�xp
� � x� y�� y
�� w SLU�AE POLOVITELX�
NOGO OTWETA NAJTI EGO POTENCIAL�
� pOSTROITX POWERHNOSTI UROWNQ SKALQRNOGO POLQ
U�x� y� z� �x �pz � ��
� nAJTI PROIZWODNU� SKALQRNOGO POLQ U�x� y� z� x� y� z� ln�z��� W TO�KE M���� �� �� W NAPRAWLENII WEKTORA l �i� �j ��
p�k�
� w TO�KE M��p��p��q���� NAJTI UGOL MEVDU WEKTORAMI � GRA�
DIENTAMI SKALQRNYH POLEJ
U�x� y� z� x�
y�z�� V �x� y� z�
x�p�� y�p
�� z�p
���
zadanie N �� wARIANT ��
dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ I SISTEMY
� nAJTI OB�IE RE�ENIQ URAWNENIJ PERWOGO PORQDKA
�� y xy�� dx � xy lnx dy ���� �y� � x y�� y� � x� � y x� ��
�� x dy ��y � x tg
y
x
dx ��
�� �x y� � �y x�
y��
� ��cos� y � cos �y � x� y� sin �y�
� y� � �x y �x ex�
�
� nAJTI �ASTNYE RE�ENIQ URAWNENIJ
�� �x y� � �� lnx �y� y�e� ���� x sinx dx � cos� x dy �� y��� ���� xy� � y �y� �lnx � �� lnx� y��� ��
���x � ex�y
�dx � ex�y
��� x
y
dy �� y��� ��
� nAJTI RE�ENIQ URAWNENIJ WYS�EGO PORQDKA
�� x y�� y� �ln y� � lnx�� �� x y�� y� � y���y��� ��y���� �
�
�� y y�� � �y��� y� y�� �� y�� x � ���x�
� y�� � �y� � �y e��x lnx� � y�� � �y �
sin x�
�� y�� � �y� � y ���x� �� e�x� �� y�� � y ex sinx��� y�� � y��� � �y�� �x � �� ��� y��� � y�� � �y� � �y ���x � ��� e�x�
��� ��x � ��� y�� � ��x� �� y� � �y �� ��� x� y�� � �x y� � �y � lnx�
��� �x� � �x � ��x �� cos t � � sin t� x��� �� �x��� ����� �x� �x � ��x t� � �t � � x��� ��� �x��� ��
� nAJTI RE�ENIQ LINEJNYH SISTEM
��
�� �x �x � �y
�y �x � y� ��
�� �x �x� �y
�y x� �y�
x��� y��� ��
��
�� �x x � �y
�y ��x � �y� ��
�� �x �x� �y � sin t
�y �x � y � � cos t�
��
zadanie N �� wARIANT ��
�ISLOWYE I FUNKCIONALXNYE RQDY�
� nAJTI SUMMY �ISLOWYH RQDOW
���Xn �
����n����
n����
�Xn �
�
n� � n� ���
�Xn �
�
n�n� ���n� ��
� iSSLEDOWATX RQDY NA SHODIMOSTX
���Xn �
�n���
�n��
�Xn �
����npn� � �n � �
�n� � �
���Xn �
n �n� � ��
n���
�Xn �
����n�n � �
�n
��Xn �
tg�n�p
�n � ��
�Xn �
����n �
nq�� � lnn��
���Xn �
�n� �
n
n� �
n��
�Xn �
����n���n
n�
� nAJTI INTERWALY SHODIMOSTI FUNKCIONALXNYH RQDOW
���Xn �
�pn� �
n � ��x� ��n ��
�Xn �
����nn ��n xn
���Xn �
�x� � x � ���n
�n �n� � ����
�Xn �
n�
xn
� nAJTI SUMMY FUNKCIONALXNYH RQDOW
���Xn �
�� � ����n��
n
�A xn�� ��
�Xn �
��n� � �n� ��xn
� rAZLOVITX W RQD tEJLORA PO STEPENQM �x � x�� FUNKCII
�� y �
x� � �x � �� x� �� �� y �� � x� e��x� x� �
�� y arctgx�
x�x� �� �� y ln�x� ��� x� ��
� wY�ISLITX INTEGRALY S TO�NOSTX� DO �����
�����Z�
p�� x� dx ��
�Z�
sinx� dx
�
zadanie N �� wARIANT ��
rQDY fURXE� iNTEGRAL fURXE
� zADANNU� NA INTERWALE ��l� l� FUNKCI� RAZLOVITX W TRIGONOMET�RI�ESKIJ RQD fURXE� pOSTROITX GRAFIK SUMMY POLU�ENNOGO RQDA�
�� f�x� �� x��� x � ��pi� ���
�� f�x� cos �x� x � ���� ��
�� f�x�
�� �� �� � x � �x � �� ��� � x � �
� fUNKCI� f�x�
�� �x� � � x � ���� x� � � x � �
RAZLOVITX W RQD fURXE PO
ORTOGONALXNOJ SISTEME FUNKCIJ
�sin
n�x
�� n �� �� ����
�� pOSTRO�
ITX GRAFIK SUMMY POLU�ENNOGO RQDA�
� fUNKCI� f�x�
�� �� � � x � ��� � �x� � � x � �
RAZLOVITX W RQD fURXE
PO ORTOGONALXNOJ SISTEME
�cos
n�x
�� n �� �� �� ����
�� pOSTROITX
GRAFIK SUMMY POLU�ENNOGO RQDA�
� fUNKCI� f�x� �jxj� �� � x � � PREDSTAWITX TRIGONOMET�RI�ESKIM RQDOM fURXE W KOMPLEKSNOJ FORME� zAPISATX�
a� SPEKTRALXNU� FUNKCI� S��n��b� AMPLITUDNYJ SPEKTR A��n� jS��n�jc� FAZOWYJ SPEKTR ���n� arg S��n��
� fUNKCI� f�x�
���������� � � x � �� � x� � � x � ��� x � �� x � �
PREDSTAWITX INTEGRALOM
fURXE�
� nAJTI PREOBRAZOWANIE fURXE F ��� FUNKCII
f�x�
�� x� jxj � ��� jxj � �
� nAJTI KOSINUS PREOBRAZOWANIE fURXE Fc��� FUNKCII
f�x�
�� cos x� � � x � ������ x � ���
�
zadanie N �� wARIANT ��
kOMPLEKSNYE �ISLA I FUNKCII
� dANY �ISLA z� � � �i� z� � i� wY�ISLITX�
�� �z� � �z�� �� �z���� ��
z� � z�z�
� ��z� � z�z� � z�
�
� �
qz�z�� � � lnz�� �� cos z�� �� sh z��
rEZULXTATY WY�ISLENIJ PREDSTAWITX W POKAZATELXNOJ I ALGEBRAI��ESKOJ FORMAH�
� oPREDELITX I POSTROITX NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI SEMEJSTWA
LINIJ� ZADANNYH URAWNENIQMI
�� z z C sin��arg z�� �� Re�
�
z � �i
C�
� rE�ITX URAWNENIQ
�� sin z � sin �z �� �� z� � �iz � � ��
� nA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI ZA�TRIHOWATX OBLASTI� W KOTORYH PRIOTOBRAVENII FUNKCIEJ f�z� �z� � �� � i� z � � � �i IMEET MESTO
a� SVATIE k � ��b� POWOROT NA UGOL � � � ��o�
� dOKAZATX� �TO FUNKCIQ v�x� y� �y � e�y sinx MOVET SLUVITX
MNIMOJ �ASTX� ANALITI�ESKOJ FUNKCII f�z� u� iv I NAJTI EE�
� wY�ISLITX INTEGRALY
��ZL�
ln z
zdz� GDE L � f jzj �� � � arg z � ��� g �
��ZL�
z jzj� dz� GDE L � LOMANAQ ��� �� � � i��
� wY�ISLITX� ISPOLXZUQ INTEGRALXNU� FORMULU kO�I
IL�
ez � �
z�z � �i�dz� GDE L �
���������� jzj �� ��� jz � �ij ���� jzj ��
��
zadanie N � wARIANT ��
wY�ETY I IH PRILOVENIQ
�� iSSLEDOWATX NA ABSOL�TNU� I USLOWNU� SHODIMOSTX RQD�Xn �
�pn� i
sin�
n�
�� nAJTI I POSTROITX OBLASTX SHODIMOSTI RQDA�Xn �
zn
n�n�
�Xn �
����m�n� ���zn
�
�� nAJTI WSE LORANOWSKIE RAZLOVENIQ DANNOJ FUNKCII PO STEPENQMz � z�
A��z � ��
��z� � �z� � z�� z� �� B� cos
z� � �z
�z � ���� z� ��
�� dLQ FUNKCII ctg���z� NAJTI IZOLIROWANNYE OSOBYE TO�KI I OPRE�DELITX IH TIP�
� dLQ DANNYH FUNKCIJ NAJTI WY�ETY W UKAZANNYH OSOBYH TO�KAH
A�sin �z � �z
sh �z � �z� z
��
B�cos z
�z � �i��z � i��� z ��
W��
z�ln���z�� z �� G�
sin �z � �z
exp�z��� � � z�� z ��
D��z � �
�z� � �z � �ln �
� � z
�z � i��E� �z � �i� ln�� � �����
z �� z ��
� wY�ISLITX INTEGRALY
A�Z
jzj �
cos z� � �
z�dz� B�
Zjzj �
cos �z � � � �z���
z� sh��z���dz�
W��Z
��
�
x� � �dx� G�
�Z��
x� cos x
x� � ��x� � �dz�
D���Z�
�
��p sin tdt� E�
��Z�
�p� � cos t
dt�
��
zadanie � wARIANT ��
oPERACIONNYJ METOD
� nAJTI IZOBRAVENIQ SLEDU��IH FUNKCIJ
�� f�t� sin �t sin �t
t� �� f�t�
d
dt�et cos��t� ������
�� f�t� t� ch�t� �� f�t�
��������������
�� t � ���� � � t � ��� � t� � � t � ���� t � ��
� nAJTI ORIGINALY FUNKCIJ PO ZADANNYM IZOBRAVENIQM
�� F �p� p
�p� � ���� �� F �p�
p� e��p
�p� � ���
� nAJTI RE�ENIE ZADA�I kO�I OPERACIONNYM METODOM
�� � �x � x e�t � �t� x��� ��
�� �x � x sin t� x��� �� �x��� ��
�� �x � � �x t e�t� x��� ��� �x��� ��
�� ��x � x t� � �� x��� �� �x��� ��
� rE�ITX URAWNENIQ� ISPOLXZUQ FORMULU d�AMELQ
�� �x � �x �
ch��t� x��� �� �x��� ��
�� �x � �x
��������������
�� t � ����� � � t � ���� � � t � ���� t � ��
x��� �� �x��� ��
� nAJTI RE�ENIE SISTEM OPERACIONNYM METODOM
��
�� �x �x � y
�y �x� �y�
x��� ���y��� ��
��
�� �x ��x � y
�y x � y�
x��� ��y��� ���
��
zadanie �� tEORIQ WEROQTNOSTEJ wARIANT ��
�� kAKOWA WEROQTNOSTX TOGO� �TO NAUGAD WYBRANNOE TREHZNA�NOE
�ISLO DELITSQ NA � �
� wEROQTNOSTX POQWLENIQ SOBYTIQ W KAVDOM IZ ��� NEZAWISIMYHISPYTANIJ RAWNA ��� nAJTI WEROQTNOSTX TOGO� �TO SOBYTIE POQWITSQ
a� NE MENEE ��� I NE BOLEE ���� RAZ� b� NE MENEE ���� RAZ�
� hARAKTERISITIKA MATERIALA� WZQTOGO DLQ IZGOTOWLENIQ PRODUK�CII� MOVET NAHODITXSQ W �ESTI RAZLI�NYH INTERWALAH S WEROQTNOS�TQMI SOOTWETSTWENNO ����� ���� ���� ���� ��� I ����� w ZAWISIMOSTI
OT SWOJSTW MATERIALA WEROQTNOSTI POLU�ENIQ PERWOSORTNOJ PRODUK�CII RAWNY SOOTWETSTWENNO ���� ���� ���� ���� ��� I ���� nAJTI WEROQT�NOSTX TOGO� �TO IZGOTOWLENNAQ PERWOSORTNAQ PRODUKCIQ IMELA HARAK�TERISTIKI PQTOGO TIPA�
� rABO�IJ ZA ��MI �ASOWOJ RABO�IJ DENX PROIZWODIT W SREDNEM ����DETALEJ� nAJTI WEROQTNOSTX TOGO� �TO ZA ODNU SLU�AJNO WYBRANNU�MINUTU ON PROIZWEL ROWNO TRI DETALI�
� sLU�AJNAQ WELI�INA R � RASSTOQNIE OT TO�KI POPADANIQ DO CENT�RA MI�ENI � RASPREDELENA PO ZAKONU rELEQ
f�r�
�������� r � �
a r e�a r
�
� � r � ��
GDE �a�� PARAMETR� HARAKTERIZU��IJ METKOSTX STRELKA�kAKOWA WEROQTNOSTX POPASTX W �QBLO�KO� NE MENEE TREH RAZ PRI PQTIWYSTRELAH� ESLI DIAMETR �QBLO�KA� �� SM� A PARAMETR�a� �� ��
� zADANA PLOTNOSTX RASPREDELENIQ NEPRERYWNOJ SLU�AJNOJ
WELI�INY f�x�
�� �� x � �� x � �a�x� � �x�� � � x � ��
�� NAJTI ZNA�ENIE PARAMETRA �a���� NAJTI FUNKCI� RASPREDELENIQ F �x���� POSTROITX GRAFIKI FUNKCIJ F �x� I f�x���� WY�ISLITX MATEMATI�ESKOE OVIDANIEM�X� I DISPERSI�D�X��� WY�ISLITX WEROQTNOSTX P ��� � X � �� ���
��
zadanie �� wARIANT ��
mATEMATI�ESKAQ STATISTIKA
�� pROWODILSQ PODS�ET KOLI�ESTWA PROEZVA��IH MIMO POSTA gai W
TE�ENII ��OJ SLU�AJNO WYBRANNOJ MINUTY �SLU�AJNAQ WELI�INA X��tAKIH NABL�DENIJ PROWEDENO ��� REZULXTATY NABL�DENIJ PRIWEDE�NY W TABLICE� sKOLXKO� W SREDNEM� AWTOMOBILEJ PROEDET MIMO POSTAgai ZA SUTKI�
N
�� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �
�� w REZULXTATE PROWEDENNYH SLU�AJNYH IZMERENIJ ABSOL�TNYH ZNA��ENIJ TOKA �I a� W �LEKTRI�ESKOJ CEPI POLU�ENY SLEDU��IE ZNA�E�NIQ�
I
�� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� ��� � �� �� �� �� �� �� �� � �� �� �� �� �� � ��� �� ��� �� ��� �
oPREDELITX SREDN�� MO�NOSTX TOKA W CEPI� ESLI EE AKTIWNOE SOPRO�TIWLENIE SOSTAWLQET � oM�
�� pO USLOWIQM ZADA� � I �A� SOSTAWITX STATISTI�ESKU� TABLICU RASPREDELENIQ OTNOSITELX�
NYH �ASTOT SLU�AJNOJ WELI�INY�b� POSTROITX POLIGON I GISTOGRAMMU RASPREDELENIQ�
�� dANA STATISTI�ESKAQ TABLICA RASPREDELENIQ �ASTOT W SLU�AJ�NOJ WYBORKE�
a� pOSTROITX POLIGON I GISTOGRAMMU RASPREDELENIQ�b� nAJTI WELI�INY x I s� WYBORKI�c� zAPISATX TEORETI�ESKIJ ZAKON RASPREDELENIQ� nAJTI TEORETI�
�ESKIE ZNA�ENIQ WEROQTNOSTEJ I SRAWNITX IH S WELI�INAMI OTNOSI�TELXNYH �ASTOT�
d� iSPOLXZOWATX KRITERIJ pIRSONA DLQ USTANOWLENIQ PRAWDOPO�DOBNOSTI WYBRANNOJ GIPOTEZY O ZAKONE RASPREDELENIQ�
��xi � � � � � �� �� ��ni �� � � �� � � � �� �
�ISPOLXZOWATX ZAKON RAWNOMERNOGO RASPREDELENIQ�
��
��xi � � � � � � � �ni � � � � �� � �� � �
�ISPOLXZOWATX ZAKON RASPREDELENIQ pUASSONA�
��xi ����� ����� ����� ����� ���� ��� ���� �����ni � �� �� � � �
�ISPOLXZOWATX ZAKON NORMALXNOGO RASPREDELENIQ�
�� dLQ NORMALXNO RASPREDELENNOJ SLU�AJNOJ WELI�INY �TABL��� ZA�DA�A �� OPREDELITX DOWERITELXNYJ INTERWAL� W KOTORYJ S NADEVNOS�TX� p �� � POPADAET ISTINNOE ZNA�ENIE �MATEMATI�ESKOE OVIDA�NIE� SLU�AJNOJ WELI�INY�
� nAJTI DOWERITELXNYJ INTERWAL DLQ OCENKI MATEMATI�ESKOGO
OVIDANIQ a NORMALXNOGO RASPREDELENIQ S NADEVNOSTX� ���� ZNAQ
WYBORO�NU� SREDN�� x ����� OB�EM WYBORKI n ��� I SRED�NEKWADRATI�ESKOE OTKLONENIE � ���
�� pO DANNYM KORRELQCIONNOJ TABLICY ZNA�ENIJ xi� yi SLU�AJNYHWELI�IN X I Y
a� NANESTI TO�KI �xi� yi� NA KOORDINATNU� PLOSKOSTX� I SOEDINITXIH LOMANOJ�
b� PODOBRATX FUNKCIONALXNU� ZAWISIMOSTX y f�x�� NAIBOLEE HO�RO�O OPISYWA��U� DANNU� KORRELQCIONNU�� lINEARIZOWATX� ESLITREBUETSQ� �TU ZAWISIMOSTX� ISPOLXZUQ NOWYE PEREMENNYE�
c� SOSTAWITX URAWNENIE LINII REGRESSII I OPREDELITX KO�FFICI�ENT KORRELQCII� oCENITX TESNOTU SWQZI MEVDU WELI�INAMI X I Y �
��xi � ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���yi ��� ���� ��� ��� ���� �� �� ���
��xi � � � �� �� � �� �yi ���� �� ��� ��� ���� ��� ���� ���
��