Nemegyensúlyi termomechanika Ván Péter Wigner FK RMI, Elméleti Fizika Osztály – Termodinamika és mechanika • Összefoglalás - tézisek – Elvek: stabilitás, kovariancia, II. főtétel • Farkas lemma és Liu-eljárás – Példák: • Ginzburg-Landau-egyenlet • Korteweg-folyadékok • Disszipatív relativisztikus folyadékok
43
Embed
Ván Péter Wigner FK RMI, Elméleti Fizika Osztályvpet/Pres/Gynl5_ND.pdfLokális egyensúly - lokálisan termosztatika. Nemegyensúlyi termodinamika Onsager (1931) – homogén.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Nemegyensúlyi termomechanikaVán Péter
Wigner FK RMI, Elméleti Fizika Osztály
– Termodinamika és mechanika• Összefoglalás - tézisek
– Elvek: stabilitás, kovariancia, II. főtétel• Farkas lemma és Liu-eljárás
általánosított kontinuumok: Cosserat (1900)Truesdell-Noll (1965), Coleman, Gurtin, … , Vilaggio, Ball A mechanika matematikai elmélet.
memória, elvek, II. főtétel, lokális?, egyensúly?
Nincs termosztatika, Onsagerizmus hülyeség.
Konstitutív elmélet
termodinamikai lezárás
Lokális egyensúly:
Folyadékok: Fourier-Navier-Stokes
Entrópiamérleg:
1
, vpdvTdsde
.
,0
,0
ijiji
i
ijij
i
ii
vPqe
Pv
v
)(C ),( j
ivC
– alapváltozók:
– konstitutív állapottér
– anyagfüggvények
),( iv
)(),( CPCq iji
),(),(),,( vesveTvep
0)((?)),( CJves ii
0)(11
.11
2
jiijij
ii
i
i
ii
ijiji
i
i
i
vpPTT
q
T
qv
T
pvPq
TT
qv
T
pe
T
Erők és áramok + izotrópia:
Fourier Navier-Stokes
Feltételek (problémák):erő-áram rendszerentrópiaárammérleg: kényszer, lendületmérleg nem?sebesség? belső és teljes energia: sebességfüggő termosztatika?
Prigogine-tétel (1945), Brenner-diffúzió (2000)magasabbfokú folyadékok, pl. Korteweg (1901):
1. Konstruktív módszert dolgoztam ki a klasszikus kontinuumfizika térben gyengén nemlokális elméleteiben az anyagi tulajdonságokat meghatározó konstitutív relációk meghatározására. A módszer a második főtétel alkalmazásán alapul, a racionális termodinamika Liu-eljárását terjeszti ki. Ezt a módszert alkalmaztam a következő esetekben:a) Klasszikus irreverzibilis termodinamikab) Egy belső változós, kényszer nélküli, másodrendűen gyengén nemlokális
kontinuumelmélet: Ginzburg-Landau-egyenlet.c) Egy belső változós, kényszer nélküli, másodrendűen gyengén nemlokális
Ginzburg-Landau, Cahn-Hilliard, etc… és ezeken túl….
Fla a Fla a
Ginzburg-Landau (variációs)
))('( aafla kk – II. főtétel?
– variációs, de miért?– k
dVaaafaF ii )
2)(()(
aafF k
ka )('
Ginzburg-Landau (termodinamikai, nem lokalizálható)
0 Fat
0 iSit js
),,( aaa iji
)iSJsF ,,(
Liu-eljárás (Farkas-lemma)
),( aas i )(),()( 0 CFsaajCj aiii
S
0
Fssa
ias i
ssLaa
iat i
konstitutív állapot
konstitutív függvények0 Fa iit
),,( aaaC xxx
),(
),(0
;;
33 aajfsJfJ
aass
ss
xaxx
xa
aa
x
xx
x
Liu-egyenletek
0)(
fa
s
a
s
xxs
0)()(
)()()(
2211
33321
fafJafJ
fJasasasa
xxxxx
xxxxtxxtxt
)()( 321
321321
afafafafa
aJaJaJasasas
xxxxxxtxt
xxxxxxxxxtxxtxt
))()(())()(()()( CfaCCfaCCJCs xtxtxxt
konstitutív állapottér
Történet:Farkas Gyula és I-Shih Liu (+I. Müller)lineáris algebra,
Új :
A kényszer deriváltja is kényszer.Az entrópiaáram konstitutív.
Müller-féle K vektor és a racionális termodinamika
A fejlődési egyenlet származtatása termodinamikailag.
Lokális egyensúly:
Folyadékok: Fourier-Navier-Stokes 2.
Entrópiamérleg:
1
, vpdvTdsde
.
,0
,0
ijiji
i
ijij
i
ii
vPqe
Pv
v
),,( j
ii vC
– alapváltozók:
– konstitutív állapottér
– anyagfüggvények
),( iv
)(),( CPCq iji
),(),(),,( vesveTvep
0)((?)),( CJves ii
0)(11
.11
2
jiijij
ii
i
i
ii
ijiji
i
i
i
vpPTT
q
T
qv
T
pvPq
TT
qv
T
pe
T
Liu-eljárás:
- Elsőrendűen gyengén nemlokális: FNS- Teljes energiával (+lendületmérleg) és belső energiával ugyanaz.- Parciális vagy szubsztanciális időderivált nem számít.
Folyadékok: Fourier-Navier-Stokes 2.
.
,0
,0
ijiji
i
ijij
i
ii
vPqe
Pv
v
),,,,,,( TiTj
ii
iji eevvC
– alapváltozók:
– konstitutív állapottér
– anyagfüggvények
),,( evi
)(),(),(),( CJCsCPCq iS
iji
0)()()()(
)()()()(0
CqeCCPvC
vCvCCJCsiTiT
jij
ii
iii
iii
ii
Liu eljárás eredménye:
iij
jj
ijj
iiS Jvsvs
TPvqJ
ji 0
2
2
1
)2/,,( 2vess Tie
022
11 22
jij
ijk
iji
ijj
i vsT
sT
pPTT
Pvqik
sssT
Pik j
ijk
ijrev
22
2
Ideális folyadék:
Schrödinger-Madelung folyadék
2
22),,(
iSchM
SchM eses
2
8
1 2rSchM IP
(Fisher entrópia forma)
sssT
Pik j
ijk
ijrev
22
2
UT
P iij
revj ssU
ii )(
Potenciál tulajdonság, Lagrange sűrűség:
Potenciálként : Qr U P
Bernoulli egyenlet
)()( eeQ ssU Euler-Lagrange
Schrödinger egyenlet
v ie
Variációs eredet
.2
,j
iijk
kij
ii
vv
Tq
Isotropic linear constitutive relations,<> is symmetric, traceless part
Equilibrium:
.),(.,),(.,),( consttxvconsttxconsttxn ii
ii
Linearization, …, Routh-Hurwitz criteria:
00)(
,0
,0,0,0
TT
TTpnpp
T
nnn
,0
,0
,0
iijj
jj
ii
jiiji
ii
i
ii
Pvkk
vPqv
vnn
Hydrodynamic stability )( 22 sDetT
Thermodynamic stability(concave entropy)
Fourier-Navier-Stokes
0)(11
jiijij
ii vnTsP
TTq
p
.2
,j
iijk
kij
ii
vv
Tq
Isotropic linear constitutive relations,<> is symmetric, traceless part
Equilibrium:
.),(.,),(.,),( consttxvconsttxconsttxn ii
ii
Linearization, …, Routh-Hurwitz criteria:
00)(
,0
,0,0,0
TT
TTpnpp
T
nnn
,0
,0
,0
iijj
jj
ii
jiiji
ii
i
ii
Pvkk
vPqv
vnn
Hydrodynamic stability )( 22 sDetT
Thermodynamic stability(concave entropy)
Fourier-Navier-Stokes
0)(11
jiijij
ii vnTsP
TTq
p
Termodinamikai elmélet
)a(fa Dinamikai törvény:
,...),c,v(a
1 Sztatika (egyensúlyi tulajdonságok)
S
aa
S,,
T
1
e
S
2 Dinamika
0)a(f)a(DSa)a(DS)a(S
1 + 2 + elszigetelt rendszer
S Ljapunov függvénye a dinamikai törvény egyensúlyának
Irreverzibilitás közelítés az egyensúlyhoz
Stabilitási szerkezet Dinamikai szerkezet
1. példa (diszkrét)
)a(fa
0)( aSa dinamikai egyenlet minden megoldása esetén
)a(f)a(DS)a(S0 )a(DS)a(l)a(f
?)a(f
relaxációs dinamika
aa ja mérlegek ,...),( va
– állapottér:– konstitutív tér:– anyagfüggvények:
a
)C(aj,...),,(C aaa
gyengén nemlokálisMásodik főtétel:
0)C()C(s ss j
Anyagelmélet
Módszer: Liu eljárás - Farkas lemma - Lagrange szorzókDe: konstruktívan