Value at Risksgerhold/pub_files/sem17/v... · 2018-04-04 · Risiko wird minimiert, Rendite bleibt gleich )h ohere Rendite pro Einheit an eingegangenem Risiko Harry Markowitz (" Portfolio

Value at Risk

Sandra Radl

24.01.2018

Sandra Radl Value at Risk 24.01.2018 1 / 31

Inhaltsverzeichnis

1 DefinitionZeithorizont

2 BerechnungsmethodenHistorische SimulationModellbildungsansatz

Lineares ModellQuadratisches ModellMonte-Carlo-Simulation

Zusammenfassen von Marktvariablen

3 Stress Testing und Back Testing

4 Kritik


Definition

Definition

Risikomaß fur das Gesamtrisiko eines Portfolios vonFinanzinstrumenten

”In den nachsten N Tagen werden wir zu x% nicht mehr als V Euro

verlieren.”

abhangig vom Zeithorizont N und Konfidenzniveau x

(100− x)% -Quantil der Verteilung der Portfoliowertanderung in dennachsten N Tagen


Definition

Veranschaulichung

Abbildung: Value at Risk bei normalverteilter Portfoliowertanderung


Definition Zeithorizont

Zeithorizont

Praxis: nur Eintages-VaR wird berechnet

N − TagesVaR = Eintages − VaR ∗√N

”Wurzel-Zeit-Formel”,

”Sqaure root of time”Regel

exakt, falls Wertanderungen des Portfolios von aufeinander folgendenTagen unabhangig voneinander und identisch verteilt


Berechnungsmethoden Historische Simulation

Historische Simulation

Verwendung von historischen Daten, um einen Richtwert fur die zukuftigenVeranderungen zu berechnen

Vorgehensweise (x=5, N=1, Marktdaten der letzten 501 Tage):

Identifizierung der beeinflussenden Marktvariable(n) (z.B.Aktienkurse, Wechselkurse, Zinssatze)

Untersuchung der Veranderungen der beeinflussenden Variablen inden vergangenen 501 Tagen⇒ 500 mogliche Szenarien fur die Entwicklung der Marktvariablenvon heute auf morgen (1. Szenario: Prozentuelle Anderung derMarktvariablen von heute auf morgen entspricht prozentuellerVeranderung der Marktvariablen von Tag 0 auf Tag 1)




Verwendung von historischen Daten, um einen Richtwert fur die zukuftigenVeranderungen zu berechnen

Vorgehensweise (x=5, N=1, Marktdaten der letzten 501 Tage):

Identifizierung der beeinflussenden Marktvariable(n) (z.B.Aktienkurse, Wechselkurse, Zinssatze)

Untersuchung der Veranderungen der beeinflussenden Variablen inden vergangenen 501 Tagen⇒ 500 mogliche Szenarien fur die Entwicklung der Marktvariablenvon heute auf morgen (1. Szenario: Prozentuelle Anderung derMarktvariablen von heute auf morgen entspricht prozentuellerVeranderung der Marktvariablen von Tag 0 auf Tag 1)




Berechnung der Portfoliowertanderung fur jedes Szenario⇒ Wahrscheinlcihkeitsverteilung fur tagliche Portfoliowertanderung

gewunschtes Quantil bestimmenBei 500 Szenarien:95 % Quantil → 25-schlechtester Wert99 % Quantil → 5-schlechtester Wert

Vorausgesetzt, die Wertanderungen der letzten 501 Tage sind ein gutesIndiz fur die Wertanderung von heute auf morgen, kann man so den VaRbestimmen.















Historische Simulation - Beispiel

Identifizierung der beeinflussenden Marktvariablen

Marktvariablen werden jeden Tag zu bestimmtem Zeitpunkt (meistHandelsschluss) beobachtet

Tag Marktvariable 1 Marktvariable 2 . . . Marktvariable N

0 15,66 1,03 . . . 90,51

1 15,85 1,07 . . . 94,02

2 16,12 1,04 . . . 93,58

3 15,93 1,09 . . . 93,27...

......

......

498 17,75 1,45 . . . 89,73

499 17,98 1,51 . . . 90,01

500 18,32 1,48 . . . 89,76

Tabelle: Historische Daten der letzten 501 Tage




Untersuchung der Veranderungen der beeinflussenden Variablen in denvergangenen 501 Tagen

Berechnung der Portfoliowertanderung fur jedes Szenario

i-tes Szenario: v(n,501) = v(n,500) ∗v(n,i)

v(n,i−1)

Szenario Markt- Markt- . . . Markt- Portfolio- Wert-variable 1 variable 2 variable N wert anderung

in Mio. e in Mio. e1 18,54 1,53 . . . 93,24 36,61 -13,712 18,63 1,44 . . . 89,34 55,72 +5,403 18,10 1,55 . . . 89,46 50,64 +0,32...

......

......

......

499 18,55 1,54 . . . 90,04 54,45 +4,14500 18,66 1,45 . . . 89,51 55,67 + 5,35

Tabelle: Szenarien fur die Marktwerte bzw. Portfoliowerte am Tag 501




Untersuchung der Veranderungen der beeinflussenden Variablen in denvergangenen 501 Tagen

Berechnung der Portfoliowertanderung fur jedes Szenario

i-tes Szenario: v(n,501) = v(n,500) ∗v(n,i)

v(n,i−1)

Szenario Markt- Markt- . . . Markt- Portfolio- Wert-variable 1 variable 2 variable N wert anderung

in Mio. e in Mio. e1 18,54 1,53 . . . 93,24 36,61 -13,712 18,63 1,44 . . . 89,34 55,72 +5,403 18,10 1,55 . . . 89,46 50,64 +0,32...

......

......

......

499 18,55 1,54 . . . 90,04 54,45 +4,14500 18,66 1,45 . . . 89,51 55,67 + 5,35

Tabelle: Szenarien fur die Marktwerte bzw. Portfoliowerte am Tag 501




gewunschtes Quantil bestimmen

Angenommen x=5% → 25-schlechtesten Wert der letzten Spalte(Wertanderung) wahlen

Berechnung des Value at Risks an Tag 501: Daten der Tage 1 bis 501verwenden




gewunschtes Quantil bestimmen

Angenommen x=5% → 25-schlechtesten Wert der letzten Spalte(Wertanderung) wahlen

Berechnung des Value at Risks an Tag 501: Daten der Tage 1 bis 501verwenden


Berechnungsmethoden Modellbildungsansatz

Volatilitat σ

Maß fur die Unsicherheit der zukunftigen Wertanderungen des Assets

je hoher σ, desto wahrscheinlicher ist es, dass das Asset stark an Wertverliert oder gewinnt

Standardabweichung der prozentualen Anderung des Assetpreises

ublicherweise wird Volatilitat pro Jahr angegeben, Zeithorizont beiVaR-Berechnung wird aber in Tagen gemessen

σTag =σJahr√

252



Volatilitat σ

Maß fur die Unsicherheit der zukunftigen Wertanderungen des Assets

je hoher σ, desto wahrscheinlicher ist es, dass das Asset stark an Wertverliert oder gewinnt

Standardabweichung der prozentualen Anderung des Assetpreises

ublicherweise wird Volatilitat pro Jahr angegeben, Zeithorizont beiVaR-Berechnung wird aber in Tagen gemessen

σTag =σJahr√

252



Lineares Modell - Beispiel (Ein-Asset-Fall)

Portfolio bestehend aus einer einzelnen Position in einer einzelnenAktie (Erste Group Bank Aktie, 10 Mio. e)

5-Tages-VaR zu einem Konifidezniveau von 99 %

σJahr = 22, 11%

σTag =σJahr√

252=

0, 2211√252

= 0, 01392799 = 1, 39%

⇒ Standardabweichung der taglichen Portfoliowertanderung betragt1,39 Prozent von 10 Mio. e(139.280 e)




Annahmen: erwartete Wertanderung betragt 0, Wertanderungnormalverteilt

N(−2, 33) = 0, 01 ⇒ Wert der Erste Bank Aktie sinkt innerhalb einesTages zu 99% nicht um mehr als das 2,33-fache derStandardabweichung

⇒ Eintages-VaR:

2, 33 ∗ 139.280 = 324.522, 22Euro

⇒

5− TagesVaR = Eintages − VaR ∗√

5 = 324.522, 22 ∗√

5 = 725.653, 67




Annahmen: erwartete Wertanderung betragt 0, Wertanderungnormalverteilt

N(−2, 33) = 0, 01 ⇒ Wert der Erste Bank Aktie sinkt innerhalb einesTages zu 99% nicht um mehr als das 2,33-fache derStandardabweichung

⇒ Eintages-VaR:

2, 33 ∗ 139.280 = 324.522, 22Euro

⇒

5− TagesVaR = Eintages − VaR ∗√

5 = 324.522, 22 ∗√

5 = 725.653, 67



Lineares Modell - Beispiel (Zwei-Asset-Fall)

Portfolio bestehend aus 10 Mio. Euro in Erste Group Bank Aktien(σTag = 1, 39%) und 5 Mio. Euro in RBI Aktien (σTag = 1, 87%)

Wertanderungen zweidimensional normalverteilt

Korrelationskoeffizient ρ = 0, 4

σX+Y =√σ2X + σ2

Y + 2ρσXσY

σE = 139.280 σR = 93.577

σE+R =√σ2E + σ2

R + 2ρσEσR

=√

139.2802 + 93.5772 + 2 ∗ 0, 4 ∗ 139.280 ∗ 93.577

= 196.423, 77




Portfolio bestehend aus 10 Mio. Euro in Erste Group Bank Aktien(σTag = 1, 39%) und 5 Mio. Euro in RBI Aktien (σTag = 1, 87%)

Wertanderungen zweidimensional normalverteilt

Korrelationskoeffizient ρ = 0, 4

σX+Y =√σ2X + σ2

Y + 2ρσXσY

σE = 139.280 σR = 93.577

σE+R =√σ2E + σ2

R + 2ρσEσR

=√

139.2802 + 93.5772 + 2 ∗ 0, 4 ∗ 139.280 ∗ 93.577

= 196.423, 77




⇒ Der 5-Tages-Value at Risk zu einem Konfidenzniveau von 99 % betragt

2, 33 ∗ 196.423, 77 ∗√

5 = 1.023.375, 37Euro



Diversifikationseffekt

5-Tages-VaR eines Portfolios von 10 Mio. Euro in Erste Group BankAktien zu einem Konfidenzniveau von 99 %: 725.653,67 e

5-Tages-VaR eines Portfolios von 5 Mio. Euro in RBI Aktien zu einemKonfidenzniveau von 99 %: 487.543,41 e

5-Tages-Value at Risk eines Portfolios von 10 Mio. Euro in ErsteGroup Bank Aktien und 5 Mio. Euro in RBI Aktien zu einemKonfidenzniveau von 99 %: 1.023.375,37 e

⇒ monetarer Nutzen der Diversifikation:

(725.653, 67 + 487.543, 41)− 1.023.375, 37 = 189.821, 71Euro




ρ = 1 ⇒ keine Diversifikation

je naher ρ bei -1 liegt, desto starker ist der Effekt der Diversifikation

Risiko wird minimiert, Rendite bleibt gleich ⇒ hohere Rendite proEinheit an eingegangenem Risiko

Harry Markowitz (”Portfolio Selection” 1992, Wirtschaftsnobelpreis

1990)








1990)








1990)



Allgemeine Formulierung des linearen Modells

P...Wert des Portfolio, bestehend aus n Assets

in Asset i (1 < i < n) wurde der Betrag αi angelegt

∆xi ...Rendite des i-ten Assets an einem Tag

∆P =n∑

i=1

αi∆xi

Annahme: ∆xi mehrdimensional normalverteilt mit Erwartungswertnull⇒ ∆P normalverteilt mit Erwartungswert null

σi ...tagliche Volatilitat des i-ten Assets (Standardabweichung von∆xi )

ρij ...Korrelationskoeffizient zwischen den Renditen von Asset i undAsset j



Allgemeine Formulierung des linearen Modells

σ2P =

n∑i=1

n∑j=1

ρijαiαjσiσj

σ2P =

n∑i=1

α2i σ

2i + 2

n∑i=1

∑j<i

ρijαiαjσiσj



Anwendung des linearen Modells

am Besten geeignet fur Portfolios, welche ausschließlich Aktien,Anleihen, Wahrungen und Rohstoffe beinhalten (Anderung desPortfoliowertes hangt linear von der prozentualen Anderung derAssets abhangt)

Forward-Kontrakt zum Kauf einer Wahrung mit Laufzeit T:

Forward Kontrakt...Vereinbarung, ein gewisses Gut zu einembestimmten Zeitpunkt und einem im Vorhinein vereinbarten Kurs zukaufen beziehungsweise zu verkaufen

Kann als Austausch von eines Zerobonds mit Laufzeit T inFremdwahrung gegen einen Zerobond mit Laufzeit T in inlandischerWahrung betrachtet werden (also Long-Position in einerFremdwahrungsanleihe + Short-Position in einer inlandischen Anleihe)



Anwendung des linearen Modells

am Besten geeignet fur Portfolios, welche ausschließlich Aktien,Anleihen, Wahrungen und Rohstoffe beinhalten (Anderung desPortfoliowertes hangt linear von der prozentualen Anderung derAssets abhangt)

Forward-Kontrakt zum Kauf einer Wahrung mit Laufzeit T:

Forward Kontrakt...Vereinbarung, ein gewisses Gut zu einembestimmten Zeitpunkt und einem im Vorhinein vereinbarten Kurs zukaufen beziehungsweise zu verkaufen

Kann als Austausch von eines Zerobonds mit Laufzeit T inFremdwahrung gegen einen Zerobond mit Laufzeit T in inlandischerWahrung betrachtet werden (also Long-Position in einerFremdwahrungsanleihe + Short-Position in einer inlandischen Anleihe)



Optionen im linearen Modell

Delta...Sensitivitat des Portfoliowerts gegenuber derAktienpreisanderung

δ : =∆P

∆S∆P = δ ∗∆S

∆x : =∆S

S∆P = S ∗ δ ∗∆x

∆P =n∑

i=1

Si ∗ δi ∗∆xi

αi : = Si ∗ δi

∆P =n∑

i=1

αi ∗∆xi

⇒ kann auf allgemeine Formulierung zuruckgefuhrt werden



quadratisches Modell

lineares Modell liefert im Falle eines Portfolios mit Optionen nur eineApproximation des Value at Risks, da das Gamma der Option(Sensitivitat des Portfolio-Deltas gegenuber dem Assetpreis) nichtberucksichtigt wirdγ beeinflusst Portfoliowert-Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Abbildung: Portfoliowert-Wahrscheinlichkeitsverteilung fur (a) positivesGamma (b) negatives Gamma

geht man bei positivem (negativen) Gamma dennoch vonNormalverteilung aus, so ist berechneter VaR ist tendenziell zu hoch(niedrig)



Rechtsschiefheit der Wahrscheinlichkeitsverteilung beipositivem Gamma

Zusammenhang zwischen dem Wert einer Longposition in einer Kaufoption(positives Gamma) und dem zugrundeliegenden, normalverteiltenUnderlying

Abbildung: Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Long Calls bei normalverteiltemUnderlying




neben Delta wird auch Gamma berucksichtigt

∆P = δ ∗∆S +1

2∗ γ ∗ (∆S)2

∆x : =∆S

S

∆P = S ∗ δ ∗∆x +1

2∗ S2 ∗ γ ∗ (∆x)2

hangt Portfolio von n Marktvariablen ab, wobei jedes Asset desPortfolios nur von einer Markvariable abhangt, folgt daraus

∆P =n∑

i=1

Si ∗ δi ∗∆xi +n∑

i=1

1

2∗ S2

i ∗ γi ∗ (∆xi )2




neben Delta wird auch Gamma berucksichtigt

∆P = δ ∗∆S +1

2∗ γ ∗ (∆S)2

∆x : =∆S

S

∆P = S ∗ δ ∗∆x +1

2∗ S2 ∗ γ ∗ (∆x)2

hangt Portfolio von n Marktvariablen ab, wobei jedes Asset desPortfolios nur von einer Markvariable abhangt, folgt daraus

∆P =n∑

i=1


i=1

1

2∗ S2

i ∗ γi ∗ (∆xi )2




kann ein Asset des Portfolios auch von mehreren Marktvariablenabhangen, so gilt die allgemeinere Formel

∆P =n∑

i=1


i=1

n∑i=1

1

2∗ Si ∗ Sj ∗ γij ∗∆xi ∗∆xj

wobei

γij =∂2P

∂Si∂Sj

fur das so genannte”Cross − Gamma” steht

kann zur Berechnung der Momente von ∆P benutzt werden

mittels Cornish-Fisher-Entwicklung kann uber Momente das Quantilberechnet werden




kann ein Asset des Portfolios auch von mehreren Marktvariablenabhangen, so gilt die allgemeinere Formel

∆P =n∑

i=1


i=1

n∑i=1

1

2∗ Si ∗ Sj ∗ γij ∗∆xi ∗∆xj

wobei

γij =∂2P

∂Si∂Sj

fur das so genannte”Cross − Gamma” steht

kann zur Berechnung der Momente von ∆P benutzt werden

mittels Cornish-Fisher-Entwicklung kann uber Momente das Quantilberechnet werden



Monte-Carlo-Simulation

1 Portfolio wird unter Verwendung der gegenwartigen Werte derMarktvariablen bewertet

2 Ziehung eines Zufallsergebnisses aus der mehrdimensionalenNormalverteilung der ∆xi

3 gezogenen Zufallswerte werden zur Bestimmung allerMarktvariablenwerte benutzt

4 Portfolio wird auf Grundlage dieser Marktvariablen neu bewertet

5 Differenz des Portfoliowerts im ersten Schritt und im vierten Schrittergibt moglichen Wert fur ∆P

6 Die Schritte 2 bis 5 werden mehrfach wiederholt⇒ Wahrscheinlichkeitsverteilung von ∆P wird erzeugt

Nachteil: sehr aufwandig
































Berechnungsmethoden Zusammenfassen von Marktvariablen


Annahme: in der Renditkurve treten ausschließlichParallelverschiebungen auf (nur eine Marktvariable muss definiertwerden), sehr ungenau

Alternative: Verwendung der Preise der Zerobonds mitStandardlaufzeiten (1 Monat, 3 Monate, 6 Monate, 1 Jahr, 2 Jahre, 5Jahre, 7 Jahre, 10 Jahre und 30 Jahre) als Marktvariablen

um VaR eines Portfolios zu berechnen werden Cashflows derWertpapiere des Portfolios analysiert und passenden standardisiertenZerobonds zugeordnet.


Berechnungsmethoden Zusammenfassen von Marktvariablen


Annahme: in der Renditkurve treten ausschließlichParallelverschiebungen auf (nur eine Marktvariable muss definiertwerden), sehr ungenau

Alternative: Verwendung der Preise der Zerobonds mitStandardlaufzeiten (1 Monat, 3 Monate, 6 Monate, 1 Jahr, 2 Jahre, 5Jahre, 7 Jahre, 10 Jahre und 30 Jahre) als Marktvariablen

um VaR eines Portfolios zu berechnen werden Cashflows derWertpapiere des Portfolios analysiert und passenden standardisiertenZerobonds zugeordnet.


Stress Testing und Back Testing


Stress Testing

Erstellung von Schatzungen, wie sich das Portfolio bei den extremstenMarktbewegungen der letzten 10 bis 20 Jahren bzw. vonUnternehmensfuhrung vorgegebenen Szenarien verhalten wurde

z.B.: prozentuale Anderung der Marktvariablen in Großbritannien am10. April 1992 (Rendite fur zehnjahrige Anleihen bewegte sich um 7,7Standardabweichungen)

Back Testing

Uberprufung, wie gut unsere Value at Risk Schatzer in derVergangenheit waren




Stress Testing

Erstellung von Schatzungen, wie sich das Portfolio bei den extremstenMarktbewegungen der letzten 10 bis 20 Jahren bzw. vonUnternehmensfuhrung vorgegebenen Szenarien verhalten wurde

z.B.: prozentuale Anderung der Marktvariablen in Großbritannien am10. April 1992 (Rendite fur zehnjahrige Anleihen bewegte sich um 7,7Standardabweichungen)

Back Testing

Uberprufung, wie gut unsere Value at Risk Schatzer in derVergangenheit waren


Kritik

Kritik

keine Berucksichtigung des erwarteten Verlusts im (100-X) %-Quantil

Abbildung: Verlustverteilungsfunktionvon Portfolio A

Abbildung: Verlustverteilungsfunktionvon Portfolio B

Portfolio A und B haben den selben VaR, dennoch ist B um einigesriskanter (zu erwartende Verlust im (100-X)% Quantil derWertanderungsverteilungsfunktion ist wesentlich hoher)


Kritik

Kritik

keine Berucksichtigung des erwarteten Verlusts im (100-X) %-Quantil

Abbildung: Verlustverteilungsfunktionvon Portfolio A

Abbildung: Verlustverteilungsfunktionvon Portfolio B

Portfolio A und B haben den selben VaR, dennoch ist B um einigesriskanter (zu erwartende Verlust im (100-X)% Quantil derWertanderungsverteilungsfunktion ist wesentlich hoher)


Kritik

Expected Shortfall

Conditional Value at Risk (C-VaR), Tail Loss

”Mit welchem Verlust kann ich rechnen, wenn der Fall eintritt, dass

der Verlust den Value at Risk uberschreitet?”

Abbildung: Expected Shortfall


Kritik

Quelle

Hull, John C.Optionen, Futures und andere DerivateMunchen: Pearson Studium, 2009


Value at Risksgerhold/pub_files/sem17/v... · 2018-04-04 · Risiko wird minimiert, Rendite bleibt gleich )h ohere Rendite pro Einheit an eingegangenem Risiko Harry Markowitz (" Portfolio

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