1 Valós számok Def. Egy (T; +, ; ) rendezett test felső határ tulajdonságú, ha minden nem üres felülről korlátos részhalmazának létezik T - ben felső határa (legkisebb felső korlátja). Def. Egy algebrai struktúra rendezett test, ha test és rendezett integritási tartomány.
Valós számok. Def. Egy algebrai struktúra rendezett test, ha test és rendezett integritási tartomány. Def. Egy ( T ; +, ; ) rendezett test felső határ tulajdonságú , ha minden nem üres felülről korlátos részhalmazának létezik T - ben felső határa (legkisebb felső korlátja). 1. - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
Valós számok
Def. Egy (T; +, ; ) rendezett test felső határ tulajdonságú, ha minden nem üres felülről korlátos részhalmazának létezik T - ben felső határa (legkisebb felső korlátja).
Def. Egy algebrai struktúra rendezett test, ha test és rendezett integritási tartomány.
2
izomorfizmus
Azt jelenti, hogy lényegében 1 db felső határ tulajdonságú test van!
Def. Egy (vagy a) felső határ tulajdonságú testet a valós számok testének nevezünk (nevezzük), jelben .
3.3.6.
3.3.11.
3
Néhány függvény:
abszolút érték: | x | = x, ha x
0
–x, ha x < 0
előjel: sgn(x) = 0, ha x = 0
x / | x |, kül.
alsó egész rész: x = Z legnagyobb eleme, amely nem nagyobb, mint x .
felső egész rész: x = Z legkisebb eleme, amely nem kisebb, mint x .
x = 0 x = x = 0,Észrevételek:
Ha x > 0: arkhi. tul.ból és N jólrendezettségéből n N+, ahol n a legkisebb olyan természetes szám, amely n x n = x , ekkor
ha x = n N+ x = n, különben x = n – 1.
ha x < 0 x = – – x = n, különben x = – – x .
4Bővített valós számok
Rendezés kiterjesztése:
– ∞ < x < +∞ teljesüljön minden x valósra.
Bármely részhalmaznak van szuprémuma és infinuma.
sup = – ∞, inf = + ∞ .
Összeadás x valósra (nem mindenütt értelmezett):
x + (–∞) = (–∞) + x = –∞, ha x < +∞, és
x + (+∞) = (+∞) + x = +∞, ha x > –∞.
Ellentett képzés:– (+∞) = –∞, és – (–∞) = +∞.
5Természetes számok
x valós számra legyen x+ := x + 1.
Def. Az halmaz jelentse a valós számok mindazon N részhalmaza-inak metszetét, amelyek rendelkeznek a következő tulajdonságokkal:
0 N, és
ha n N, akkor n+ N.
Peano – axiómák
6
rendelkezik az (1), (2) tulajdonsággal
S.
(1), (2) következik a definícióból.
Lemma
A természetes számok halmaza rendelkezik a Peano – axiómákban felsorolt tulajdonságokkal.
Biz.
(5), a matematikai indukció elve, azért áll fenn, mert S halmaz
(4) abból következik, hogy a valós számtestben
az additív művelet reguláris.
7Legyen
S = { n : n+ > 0}.
Ekkor 0 S, továbbá
ha n S, akkor
(n+)+ > 0 + 1 > 0
n+ S.
Hasonlóan n szerinti indukcióval látható be, hogy
n, m esetén n + m, nm
továbbá, ha n ≥ m, akkorn – m
8
Végtelen sorozatok
2 és ,: axaxRRf
Mi lesz a g ?
22)3( ,2)2( ,2)1( ,: gggRNg
1)())(()1( naangngfng
-n értelmezett függvények
2.1.4.
9
2.1.5.
2.1.6.
2.1.7.
10
Def. (összeadás)
m N : sm : N N függvény, amelyre
sm(0) = m n N : sm(n+) = (sm(n))+ .
sm(n) m és n szám összege.
Észrevételek:
m+ = (sm(0))+ = sm(0+) = sm(1) = m+1 ,
m = (sm(0)) = m+0 .
11
Def. (szorzás)
mN : pm : N N függvény, amelyre
pm(0) = 0 nN : pm(n+) = pm(n)+m .
pm(n) az m és n szám szorzata.
jelölés : mn vagy mn
Észrevételek:
11 = p1(1) = p1(0+) = p1(0)+1 = 0+1 = 1 .
Def. ( rendezése) n m k : n + k = m .
12
Tetszőleges részbenrendezett halmaz jólrendezett, ha bármely nemüres részhalmazának van legkisebb eleme.