Contenido Objetivos Propiedades del Valor Absoluto Desigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto Valor absoluto: Inecuaciones en una Variable Real Carlos A. Rivera-Morales Proyecto: Desarrollo Profesional en Ciencias y Matem´ aticas (DPCM) Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor absoluto: Inecuaciones en una VariableReal
Carlos A. Rivera-Morales
Proyecto: Desarrollo Profesional en Ciencias yMatematicas (DPCM)
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Tabla de Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Objetivos:
Discutiremos:
la definicion de valor absoluto.
resolucion de inecuaciones o desigualdades con valorabsoluto.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Objetivos:
Discutiremos:
la definicion de valor absoluto.
resolucion de inecuaciones o desigualdades con valorabsoluto.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| =
2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.5
2 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| =
− 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 4
3 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| =
04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 0
4 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) =
− 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=
1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
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ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Interpretacion geometrica del valor absoluto:
Podemosinterpretar el valor absoluto de un numero real a como ladistancia de a al origen de una recta numerica.
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ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Interpretacion geometrica del valor absoluto: Podemosinterpretar el valor absoluto de un numero real a como ladistancia de a al origen de una recta numerica.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Interpretacion geometrica del valor absoluto: Podemosinterpretar el valor absoluto de un numero real a como ladistancia de a al origen de una recta numerica.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Interpretacion geometrica del valor absoluto: Podemosinterpretar el valor absoluto de un numero real a como ladistancia de a al origen de una recta numerica.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p|x| > p⇐⇒ x < −p o x > p|x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p
|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p|x| > p⇐⇒ x < −p o x > p|x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p
|x| > p⇐⇒ x < −p o x > p|x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p|x| > p⇐⇒ x < −p o x > p
|x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p|x| > p⇐⇒ x < −p o x > p|x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p|x| > p⇐⇒ x < −p o x > p|x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3
⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 2: |x| > 5 ⇐⇒ x < −5 o x > 5
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 2: |x| > 5 ⇐⇒ x < −5 o x > 5
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 2: |x| > 5 ⇐⇒ x < −5 o x > 5
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 2: |x| > 5
⇐⇒ x < −5 o x > 5
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 2: |x| > 5 ⇐⇒ x < −5 o x > 5
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 2: |x| > 5 ⇐⇒ x < −5 o x > 5
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ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven|ax + b|Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p|ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p|ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p
Nota: Si p < 0, las ecuaciones |x| < p y |ax + b| < p no tienensolucion.
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Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven|ax + b|Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p
|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p|ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p|ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p
Nota: Si p < 0, las ecuaciones |x| < p y |ax + b| < p no tienensolucion.
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ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven|ax + b|Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p
|ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p|ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p
Nota: Si p < 0, las ecuaciones |x| < p y |ax + b| < p no tienensolucion.
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ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven|ax + b|Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p|ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p
|ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p
Nota: Si p < 0, las ecuaciones |x| < p y |ax + b| < p no tienensolucion.
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ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven|ax + b|Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p|ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p|ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p
Nota: Si p < 0, las ecuaciones |x| < p y |ax + b| < p no tienensolucion.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven|ax + b|Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p|ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p|ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p
Nota: Si p < 0, las ecuaciones |x| < p y |ax + b| < p no tienensolucion.
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ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2
⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
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Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2
⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
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ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2
⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
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ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2
⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
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ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
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ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios: Resuelva cada desigualdad y grafique su conjuntosolucion.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios: Resuelva cada desigualdad y grafique su conjuntosolucion.(Continuacion.)
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ContenidoObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Soluciones:
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