Hoofdstuk 4 Kansrekening Marnix Van Daele [email protected] Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Kansrekening – p. 1/29
Hoofdstuk 4Kansrekening
Marnix Van [email protected]
Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica
Universiteit Gent
Kansrekening – p. 1/29
Gebeurtenissen• experiment : gooien met een dobbelsteen
• uitkomst is gebeurtenis = verschijnsel = event
• A : oneven aantal ogen gooien
• B : hoogstens 4 ogen gooien
samengestelde
gebeurtenissen
• E1 : 1 oog gooien
• E2 : 2 ogen gooien
• E3 : 3 ogen gooien
• E4 : 4 ogen gooien
• E5 : 5 ogen gooien
• E6 : 6 ogen gooien
enkelvoudige
gebeurtenissen
Kansrekening – p. 2/29
Gebeurtenissen• het resultaat van een experiment is dus steeds juist één
enkelvoudige gebeurtenis.
• een gebeurtenis is een verzameling van één of meer
enkelvoudige gebeurtenissen
• de verzameling van alle enkelvoudige gebeurtenissen
geassocieerd met een experiment wordt de resultatenruimte
(sample space) genoemd (notatie : S)
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..........................................
E1
E2
E3E4
E5E6
A
••
•
•••
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
S
Kansrekening – p. 3/29
Bewerkingen op gebeurtenissenDe som G1 + G2 van twee
gebeurtenissen G1 en G2 is de
gebeurtenis dat minstens één van
beide gebeurtenissen optreedt.
Deze gebeurtenis komt overeen
met de verzameling G1 ∪ G2.
........
..............................................
.....................................
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........
..............................................
.....................................
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
G1 G2
G1 ∪ G2
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
S
G1 of G2
Het product G1 · G2 van twee
gebeurtenissen G1 en G2 is het ver-
schijnsel dat beide gebeurtenissen
optreden. Deze gebeurtenis komt
overeen met de verzameling G1 ∩G2.
........
...............................................
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........
...............................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
.
G1 G2
G1 ∩ G2
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
........
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
S
G1 en G2Kansrekening – p. 4/29
Gebeurtenissen• Twee gebeurtenissen sluiten elkaar uit indien, bij het
optreden van één van de gebeurtenissen, de andere niet kan
optreden.• Twee gebeurtenissen die elkaar uitsluiten vormen samen de
volstrekt onmogelijke gebeurtenis, genoteerd als �.• Een gebeurtenis die overeenkomt met de resultatenruimte S
treedt zeker op bij een volgend experiment en wordt het
absoluut zeker verschijnsel genoemd en genoteerd als U .• De gebeurtenis die optreedt als en slechts als A niet
optreedt wordt de complementaire gebeurtenis van A
genoemd en genoteerd als A. Ze komt overeen met de
verzameling S \ A.
A · A = � A + A = UKansrekening – p. 5/29
Voorwaardelijke gebeurtenissenDe voorwaardelijke gebeurtenis A |B beschrijft het optreden van
het verschijnsel A op voorwaarde dat het verschijnsel B is
opgetreden.
• A : oneven aantal ogen gooien
• B : hoogstens 4 ogen gooien
B |A = (E1 + E3) | (E1 + E3 + E5)
A |B = (E1 + E3) | (E1 + E2 + E3 + E4)
Kansrekening – p. 6/29
Rekenen met gebeurtenissen
A · (B + C) = A · B + A · C� �
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Kansrekening – p. 7/29
KansDe kans (waarschijnlijkheid, probabiliteit) P(A) geassocieerd
met een gebeurtenis A is een maat voor het geloof dat de
gebeurtenis zal optreden bij een volgende herhaling van het
experiment.
• theoretisch :
P(A) =aantal gunstige gevallen
totaal aantal (even mogelijke) gevallen
• praktisch :
P(A) = limn→∞
fA = limn→∞
nA
n
Kansrekening – p. 8/29
Axioma’s• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(U) = 1
• P(�) = 0
• P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A · B)
Optellingswet
A A
B x x
B x
• P(A · B) = P(A) P(B |A) = P(B) P(A |B)
Vermenigvuldigingswet
0 ≤ P(Ei) ≤ 1 ∀ Ei P(∑
i
Ei) = 1
Kansrekening – p. 9/29
Afgeleide formules
A · A = � en A + A = U
P(A · A) = 0 en P(A + A) = 1
1 = P(A + A) = P(A) + P(A) − P(A · A) = P(A) + P(A)
P(A) = 1 − P(A)
P(B) = P(U · B) = P((A + A) · B)
= P(A · B + A · B)
= P(A · B) + P(A · B) − P(A · A · B)
= P(A · B) + P(A · B)
P(A · B) = P(B) − P(A · B)Kansrekening – p. 10/29
Afgeleide formules
P(A + B + C)
= P(A + (B + C))
= P(A) + P(B + C) − P(A · (B + C))
= P(A) + P(B) + P(C) − P(B · C) − P(A · B + A · C)
= P(A) + P(B) + P(C) − P(B · C) − P(A · B) − P(A · C)
+ P((A · B) · (A · C))
= P(A) + P(B) + P(C) − P(A · B) − P(A · C) − P(B · C)
+ P(A · B · C)
P(A ·B ·C) = P(A) P((B ·C) |A) = P(A) P(B |A) P(C | (A ·B))
Kansrekening – p. 11/29
Afgeleide formules
A A
A + B : B x x
B x
• P(A + B) = 1 − P(A · B)
• P(A · B) = 1 − P(A + B)
A + B = A · B A · B = A + B
Kansrekening – p. 12/29
Onafhankelijke verschijnselenTwee verschijnselen A en B zijn onafhankelijk als
P(B |A) = P(B)
of, equivalent daarmee, als
P(A |B) = P(A) .
De vermenigvuldigingswet
P(A · B) = P(A) P(B |A) = P(B) P(A |B)
wordt dan vereenvoudigd tot
P(A · B) = P(A) P(B)
Kansrekening – p. 13/29
Onafhankelijke verschijnselen• A : oneven aantal ogen gooien
• B : hoogstens 4 ogen gooien
A en B zijn onafhankelijk, want
P (A) = P (E1 + E3 + E5) =3
6=
1
2
P (A |B) = P ((E1 + E3) | (E1 + E2 + E3 + E4)) =2
4=
1
2
P (B) = P (E1 + E2 + E3 + E4) =4
6=
2
3
P (B |A) = P ((E1 + E3) | (E1 + E3 + E5)) =2
3
Kansrekening – p. 14/29
Afgeleide formulesVereenvoudiging van optellings- en vermenigvuldigingswet
• als A en B elkaar uitsluiten : P(A + B) = P(A) + P(B)
• als A en B onafhankelijk zijn : P(A · B) = P(A) P(B)
Kansrekening – p. 15/29
De regel van BayesGegeven :
• k toestanden S1, S2, . . ., Sk
Si · Sj = � als i �= j
S1 + S2 + . . . + Sk = U
• P(S1), P(S2), . . ., P(Sk)
• P (A |Si) voor i = 1, 2, . . . k
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................
.........................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
S3S1 S2 S4
A
S
..............................................................
......................
.............
S1 ∩ A
Gevraagd : P (Si |A) =P(A · Si)
P(A)=
P(Si) P(A |Si)
P(A)A = A ·U = A ·(S1+S2+· · ·+Sk) = A ·S1+A ·S2+· · ·+A ·Sk
P(A) = P(A · S1) + P(A · S2) + · · · + P(A · Sk)
= P(S1) P(A |S1) + P(S2) P(A |S2) + · · · + P(Sk) P(A |Sk)
Kansrekening – p. 16/29
De regel van BayesGegeven :
• k toestanden S1, S2, . . ., Sk
Si · Sj = � als i �= j
S1 + S2 + . . . + Sk = U
• P(S1), P(S2), . . ., P(Sk)
• P (A |Si) voor i = 1, 2, . . . k
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................
...............................
.........................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
S3S1 S2 S4
A
S
..............................................................
......................
.............
S1 ∩ A
Gevraagd : P (Si |A)
Oplossing :
P (Si |A) =P(Si) P(A |Si)
P(S1) P(A |S1) + P(S2) P(A |S2) + · · · + P(Sk) P(A |Sk)
=P(Si) P(A |Si)
k∑
j=1
P(Sj) P(A |Sj)Kansrekening – p. 17/29
Nuttige telregels• algemeen principe
• variaties
• permutaties
• combinaties
• . . .
Kansrekening – p. 18/29
Algemeen principeStel dat een eerste experiment n1 uitkomsten heeft, een tweede
n2, . . . , en uiteindelijk een k-de experiment nk uitkomsten, dan
geven de k experimenten in die volgorde aanleiding tot
n1 n2 . . . nk
verschillende uitkomsten.
Kansrekening – p. 19/29
VariatiesEen variatie van n elementen in groepen van k is een geordend
k-tal verschillende elementen uit een gegeven verzameling van n
elementen.
V kn is het aantal variaties van n elementen in groepen van k
Kansrekening – p. 20/29
Voorbeeldvariaties van n = 5 elementen A, B, C, D, E in groepen van k
• k = 1: V 15 = 5 V 1
n = n
• k = 2: V 25 = 5 × 4 V 2
n = n (n − 1)
• k = 3: V 35 = 5 × 4 × 3 V 3
n = n (n − 1) (n − 2)
• . . .
• k : V kn = n (n − 1) (n − 2) . . . (n − k + 1)
ABC ABD ABE ACB ACD ACE ADB ADC ADE AEB AEC AED
BAC BAD BAE BCA BCD BCE BDA BDC BDE BEA BEC BED
CAB CAD CAE CBA CBD CBE CDA CDB CDE CEA CEB CED
DAB DAC DAE DBA DBC BBE DCA DCB DCE DEA DEB DEC
EAB EAC EAD EBA EBC EBD ECA ECB ECD EDA EDB EDCKansrekening – p. 21/29
Variaties
V kn = n (n − 1) (n − 2) . . . (n − k + 1)
(n − k) (n − k − 1) . . . 2 1
(n − k) (n − k − 1) . . . 2 1
=n!
(n − k)!
Opgelet : 0! = 1
Kansrekening – p. 22/29
VoorbeeldBepaal het aantal manieren waarop je de medailles kunt verdelen
bij een wedstrijd met 8 atleten.
Dit is een variatie-probleem, want
• herhaling is onmogelijk (elke atleet kan juist 1 positie in de
uitslag bezetten)
• de volgorde (goud, zilver, brons) is belangrijk
V kn = V 3
8 =8!
(8 − 3)!= 8 × 7 × 6 = 336
Kansrekening – p. 23/29
PermutatiesPermutaties zijn bijzondere gevallen van variaties.
Een permutatie van n elementen is een variatie van n elementen
in groepen van n.
Pn is het aantal permutaties van n elementen
Pn = V nn
=n!
(n − n)!
= n!
Kansrekening – p. 24/29
VoorbeeldBepaal het aantal manieren waarop de uitslag van een wedstrijd
met 8 atleten kan eindigen.
Dit is een permutatie-probleem, want
• herhaling is onmogelijk (elke atleet kan juist 1 positie in de
uitslag bezetten)
• de volgorde is belangrijk
Pn = P8 = 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40320
Kansrekening – p. 25/29
CombinatiesEen combinatie van n elementen in groepen van k is een
ongeordend k-tal verschillende elementen uit een gegeven
verzameling van n elementen.
Ckn is het aantal combinaties van n elementen in groepen van k.
Kansrekening – p. 26/29
CombinatiesDe bepaling van Ck
n gebeurt in twee stappen :
• doe alsof de volgorde wel een rol speelt en tel
• hou daarna wel rekening met de volgorde
Kansrekening – p. 27/29
Voorbeeldcombinaties van n = 5 elementen A, B, C, D, E in groepen van 3
• stap 1 :
• stap 2 :
C35 = aantal = V 3
5 /P3 = 5 × 4 × 3/3! = 60/6 = 10
ABC ABD ABE ACB ACD ACE ADB ADC ADE AEB AEC AED
BAC BAD BAE BCA BCD BCE BDA BDC BDE BEA BEC BED
CAB CAD CAE CBA CBD CBE CDA CDB CDE CEA CEB CED
BAB DAC DAE DBA DBC BBE DCA DCB DCE DEA DEB DEC
EAB EAC EAD EBA EBC EBD ECA ECB ECD EDA EDB EDC
ABC ABD ABE ACB ACD ACE ADB ADC ADE AEB AEC AED
BAC BAD BAE BCA BCD BCE BDA BDC BDE BEA BEC BED
CAB CAD CAE CBA CBD CBE CDA CDB CDE CEA CEB CEDKansrekening – p. 28/29
VoorbeeldBepaal het aantal manieren waarop de lotto kan ingevuld worden.
Dit is een combinatie-probleem, want
• herhaling is onmogelijk (elk getal kan slechts 1 keer
aangekruist worden)
• de volgorde (waarin de getallen aangekruist worden) is
onbelangrijk
Ckn = C6
42 =42!
36! 6!=
42 × 41 × 40 × 39 × 38 × 37
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 5 245 786
Kansrekening – p. 29/29