Analízis el ˝ oadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 2012. szeptember 10. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis el ˝ oadások 2012. szeptember 10. 1 / 36
Analízis eloadások
Vajda István
Neumann János Informatika KarÓbudai Egyetem
2012. szeptember 10.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 1 / 36
Komplex számok Bevezetés
A komplex számok értelmezése
Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezena halmazon a következo két muveletet:A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti muveleteket más színnel jelöljük, mint az
azonos nevu valós számok közötti muveleteket.
Összeadás:(a, b)+(c, d) := (a + c, b + d)
Szorzás:(a, b)·(c, d) := (ac − bd, ad + bc)
Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknaknevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést.
A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a másodikelemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük.
Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valósés a képzetes részük is megegyezik.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 2 / 36
Komplex számok Bevezetés
A komplex számok értelmezése
Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezena halmazon a következo két muveletet:A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti muveleteket más színnel jelöljük, mint az
azonos nevu valós számok közötti muveleteket.
Összeadás:(a, b)+(c, d) := (a + c, b + d)
Szorzás:(a, b)·(c, d) := (ac − bd, ad + bc)
Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknaknevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést.
A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a másodikelemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük.
Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valósés a képzetes részük is megegyezik.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 2 / 36
Komplex számok Bevezetés
A komplex számok értelmezése
Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezena halmazon a következo két muveletet:A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti muveleteket más színnel jelöljük, mint az
azonos nevu valós számok közötti muveleteket.
Összeadás:(a, b)+(c, d) := (a + c, b + d)
Szorzás:(a, b)·(c, d) := (ac − bd, ad + bc)
Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknaknevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést.
A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a másodikelemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük.
Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valósés a képzetes részük is megegyezik.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 2 / 36
Komplex számok Bevezetés
A komplex számok értelmezése
Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezena halmazon a következo két muveletet:A bevezeto fejezetben a komplex számok közötti muveleteket más színnel jelöljük, mint az
azonos nevu valós számok közötti muveleteket.
Összeadás:(a, b)+(c, d) := (a + c, b + d)
Szorzás:(a, b)·(c, d) := (ac − bd, ad + bc)
Az így kapott struktúra elemeit (a valós számpárokat) komplex számoknaknevezük, és az általuk alkotott halmazra bevezetjük a C jelölést.
A számpár elso elemét a komplex szám valós részének, a másodikelemét a komplex szám képzetes (imaginárius) részének nevezzük.
Két komplex szám pontosan akkor egyezik meg egymással, ha a valósés a képzetes részük is megegyezik.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 2 / 36
Komplex számok Bevezetés
Muveleti tulajdonságok
A komplex számok halmaza mindkét muveletre zárt, hiszen ha a, b , c, dvalós számok, akkor a + c és b + d, illetve ac − bd és ad + bc is valósszámok.
A komplex számokon értelmezett összeadás
kommutatív
(a, b)+(c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d)+(a, b)
asszociatív((a, b)+(c, d)
)+(e, f) = (a + c, b + d)+(e, f) =
=((a + c) + e, (b + d) + f
)=
(a + (c + e), b + (d + f)
)=
= (a, b)+(c + e, d + f) = (a, b)+((c, d)+(e, f)
)Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 3 / 36
Komplex számok Bevezetés
Muveleti tulajdonságok
A komplex számok halmaza mindkét muveletre zárt, hiszen ha a, b , c, dvalós számok, akkor a + c és b + d, illetve ac − bd és ad + bc is valósszámok.
A komplex számokon értelmezett összeadás
kommutatív
(a, b)+(c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d)+(a, b)
asszociatív((a, b)+(c, d)
)+(e, f) = (a + c, b + d)+(e, f) =
=((a + c) + e, (b + d) + f
)=
(a + (c + e), b + (d + f)
)=
= (a, b)+(c + e, d + f) = (a, b)+((c, d)+(e, f)
)Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 3 / 36
Komplex számok Bevezetés
Muveleti tulajdonságok
A komplex számok összeadásának létezik neutrális eleme (zéruselem),mégpedig a (0, 0) komplex szám, hiszen ∀a, b ∈ R esetén:
(a, b)+(0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
Minden komplex számnak létezik additív inverze, mert ∀a, b ∈ R esetén:
(a, b)+(−a,−b) =(a + (−a), b + (−b)
)= (0, 0)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 4 / 36
Komplex számok Bevezetés
Muveleti tulajdonságok
A komplex számok összeadásának létezik neutrális eleme (zéruselem),mégpedig a (0, 0) komplex szám, hiszen ∀a, b ∈ R esetén:
(a, b)+(0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
Minden komplex számnak létezik additív inverze, mert ∀a, b ∈ R esetén:
(a, b)+(−a,−b) =(a + (−a), b + (−b)
)= (0, 0)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 4 / 36
Komplex számok Bevezetés
Muveleti tulajdonságok
A komplex számokon értelmezett szorzás
kommutatív
(a, b)·(c, d) = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db , cb + da) = (c, d)·(a, b)
asszociatív((a, b)·(c, d)
)·(e, f) = (ac − bd, ad + bc)·(e, f) =
=((ac − bd)e − (ad + bc)f , (ac − bd)f + (ad + bc)e
)=
= (ace − bde − adf − bcf , acf − bdf + ade + bce) =
= (ace − adf − bcf − bde, acf + ade + bce − bdf) =
=(a(ce − df) − b(cf + de), a(cf + de) + b(ce − df)
)=
= (a, b)·(ce − df , cf + de
)= (a, b)·
((c, d)·(e, f)
)Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 5 / 36
Komplex számok Bevezetés
Muveleti tulajdonságok
A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem),mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen ∀a, b ∈ R esetén:
(a, b)·(1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b)
Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatívinverze, mert ∀a, b ∈ R esetén:
(a, b)·
(a
a2 + b2,−
ba2 + b2
)= (1, 0)
Bizonyítás:
(a, b)·(
aa2 + b2
,−b
a2 + b2
)=
(a ·
aa2 + b2
− b ·(−
ba2 + b2
), a ·
(−
ba2 + b2
)+ b ·
aa2 + b2
)=
=
(a2
a2 + b2+
b2
a2 + b2,−
aba2 + b2
+ab
a2 + b2
)=
(a2 + b2
a2 + b2,−ab + aba2 + b2
)= (1, 0)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 6 / 36
Komplex számok Bevezetés
Muveleti tulajdonságok
A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem),mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen ∀a, b ∈ R esetén:
(a, b)·(1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b)
Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatívinverze, mert ∀a, b ∈ R esetén:
(a, b)·
(a
a2 + b2,−
ba2 + b2
)= (1, 0)
Bizonyítás:
(a, b)·(
aa2 + b2
,−b
a2 + b2
)=
(a ·
aa2 + b2
− b ·(−
ba2 + b2
), a ·
(−
ba2 + b2
)+ b ·
aa2 + b2
)=
=
(a2
a2 + b2+
b2
a2 + b2,−
aba2 + b2
+ab
a2 + b2
)=
(a2 + b2
a2 + b2,−ab + aba2 + b2
)= (1, 0)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 6 / 36
Komplex számok Bevezetés
Muveleti tulajdonságok
A komplex számok szorzásának létezik neutrális eleme (egységelem),mégpedig az (1, 0) komplex szám, hiszen ∀a, b ∈ R esetén:
(a, b)·(1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b)
Minden a (0, 0) számtól különbözo komplex számnak létezik multiplikatívinverze, mert ∀a, b ∈ R esetén:
(a, b)·
(a
a2 + b2,−
ba2 + b2
)= (1, 0)
Bizonyítás:
(a, b)·(
aa2 + b2
,−b
a2 + b2
)=
(a ·
aa2 + b2
− b ·(−
ba2 + b2
), a ·
(−
ba2 + b2
)+ b ·
aa2 + b2
)=
=
(a2
a2 + b2+
b2
a2 + b2,−
aba2 + b2
+ab
a2 + b2
)=
(a2 + b2
a2 + b2,−ab + aba2 + b2
)= (1, 0)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 6 / 36
Komplex számok Bevezetés
Muveleti tulajdonságok
A komplex számok szorzására és összeadására érvényes a következodisztributív szabály:
(a, b)·((c, d)+(e, f)
)= (a, b)·(c, d)+(a, b)·(e, f)
Bizonyítás: A bal és jobboldal egyenlo, mert:
(a, b)·((c, d)+(e, f)
)= (a, b)·(c + e, d + f) =
=(a(c+e)−b(d+f), a(d+f)+b(c+e)
)= (ac+ae−bd−bf , ad+af+bc+be)
és
(a, b)·(c, d)+(a, b)·(e, f) = (ac − bd, ad + bc)+(ae − bf , af + be) =
= (ac − bd + ae − bf , ad + bc + af + be) =
= (ac + ae − bd − bf , ad + af + bc + be)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 7 / 36
Komplex számok Bevezetés
Ábrázolás
A valós számpároknak megfeleltet-hetjük a koordinátasík egy-egy pont-ját, illetve az ahhoz tartozó helyvek-tort.
A komplex számot gyakran jelölik z-vel.A komplex szám valós része egyenloaz ábrázoló vektor, illetve pont elsokoordinátájával, képzetes része pe-dig azok második koordinátájával.
valós tengely
képzetes tengely
z = (a, b)
a
b
valós rész
képzetes rész
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 8 / 36
Komplex számok Bevezetés
Ábrázolás
A valós számpároknak megfeleltet-hetjük a koordinátasík egy-egy pont-ját, illetve az ahhoz tartozó helyvek-tort.
A komplex számot gyakran jelölik z-vel.A komplex szám valós része egyenloaz ábrázoló vektor, illetve pont elsokoordinátájával, képzetes része pe-dig azok második koordinátájával.
valós tengely
képzetes tengely
z = (a, b)
a
b
valós rész
képzetes rész
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 8 / 36
Komplex számok Bevezetés
A komplex szám abszolút értéke és irányszöge
A komplex számot ábrázoló vektorhosszát a komplex szám abszolút ér-tékének nevezzük.A z = (a, b) komplex szám abszolútértéke Pithagorasz tétele alapján:
|z| =√
a2 + b2 valós tengely
képzetes tengely
z = (a, b)
a
b
ϕ
A valós tengely pozitív fele és a komplex számot ábrázoló vektor általmeghatározott irányított szöget a komplex szám irányszögének,(argumentumának) nevezzük.A komplex szám irányszöge nem egyértelmu, a lehetséges irányszögeka teljesszög egész számú többszörösével térnek el egymástól.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 9 / 36
Komplex számok Bevezetés
A komplex szám abszolút értéke és irányszöge
A komplex számot ábrázoló vektorhosszát a komplex szám abszolút ér-tékének nevezzük.A z = (a, b) komplex szám abszolútértéke Pithagorasz tétele alapján:
|z| =√
a2 + b2 valós tengely
képzetes tengely
z = (a, b)
a
b
ϕ
A valós tengely pozitív fele és a komplex számot ábrázoló vektor általmeghatározott irányított szöget a komplex szám irányszögének,(argumentumának) nevezzük.A komplex szám irányszöge nem egyértelmu, a lehetséges irányszögeka teljesszög egész számú többszörösével térnek el egymástól.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 9 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Az algebrai alak bevezetése
Tekintsük a komplex számok halmazának S = {z|z ∈ C, Im(z) = 0}részhalmazát! Ennek elemei (a, 0) alakúak, ahol a ∈ R. Mivel
(a, 0)+(b , 0) = (a + b , 0 + 0) = (a + b , 0)
és(a, 0)·(b , 0) = (ab − 0 · 0, a · 0 + 0 · b) = (ab , 0),
ezért a ϕ : S → R, (a, 0) 7→ a függvény egy muvelettartó, kölcsönösenegyértelmu leképezés S és R között.
A továbbiakban S elemeit (a, 0) helyett egyszeruen a-val jelöljük.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 10 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Az algebrai alak bevezetése
Jelölés: Vezessük be a j = (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes(imaginárius) egységnek nevezni.Könnyen ellenorizheto, hogy j2 = −1. Valóban:
(0, 1)·(0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0)
Tekintsük a komplex számok halmazának T = {z|z ∈ C,Re(z) = 0}részhalmazát! Ennek elemei (0, b) alakúak, ahol b ∈ R. Mivel
(b , 0)·(0, 1) = (b · 0 − 0 · 1, b · 1 + 0 · 0) = (0, b),
ezért (0, b) helyett használhatjuk a bj jelölést.Figyeljük meg, hogy
bj+dj = (0, b)+(0, d) = (0, b + d) = (b + d)j
ésa+bj = (a, 0)+(0, b) = (a, b)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 11 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Az algebrai alak bevezetése
Jelölés: Vezessük be a j = (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes(imaginárius) egységnek nevezni.Könnyen ellenorizheto, hogy j2 = −1. Valóban:
(0, 1)·(0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0)
Tekintsük a komplex számok halmazának T = {z|z ∈ C,Re(z) = 0}részhalmazát! Ennek elemei (0, b) alakúak, ahol b ∈ R. Mivel
(b , 0)·(0, 1) = (b · 0 − 0 · 1, b · 1 + 0 · 0) = (0, b),
ezért (0, b) helyett használhatjuk a bj jelölést.Figyeljük meg, hogy
bj+dj = (0, b)+(0, d) = (0, b + d) = (b + d)j
ésa+bj = (a, 0)+(0, b) = (a, b)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 11 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Az algebrai alak bevezetése
Jelölés: Vezessük be a j = (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes(imaginárius) egységnek nevezni.Könnyen ellenorizheto, hogy j2 = −1. Valóban:
(0, 1)·(0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0)
Tekintsük a komplex számok halmazának T = {z|z ∈ C,Re(z) = 0}részhalmazát! Ennek elemei (0, b) alakúak, ahol b ∈ R. Mivel
(b , 0)·(0, 1) = (b · 0 − 0 · 1, b · 1 + 0 · 0) = (0, b),
ezért (0, b) helyett használhatjuk a bj jelölést.Figyeljük meg, hogy
bj+dj = (0, b)+(0, d) = (0, b + d) = (b + d)j
ésa+bj = (a, 0)+(0, b) = (a, b)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 11 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Az algebrai alak bevezetése
Jelölés: Vezessük be a j = (0, 1) jelölést! (Ezt a számot szokás képzetes(imaginárius) egységnek nevezni.Könnyen ellenorizheto, hogy j2 = −1. Valóban:
(0, 1)·(0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0)
Tekintsük a komplex számok halmazának T = {z|z ∈ C,Re(z) = 0}részhalmazát! Ennek elemei (0, b) alakúak, ahol b ∈ R. Mivel
(b , 0)·(0, 1) = (b · 0 − 0 · 1, b · 1 + 0 · 0) = (0, b),
ezért (0, b) helyett használhatjuk a bj jelölést.Figyeljük meg, hogy
bj+dj = (0, b)+(0, d) = (0, b + d) = (b + d)j
ésa+bj = (a, 0)+(0, b) = (a, b)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 11 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Az algebrai alak
Az (a, b) komplex szám algebrai (kanonikus) alakján az
a + bj
kifejezést értjük. Ebben a a komplex szám valós része, b a komplex számképzetes része és j az imaginárius egység.Az algebrai alak elonye, hogy az algebrai kifejezéseknél megszokottszabályoknak megfeleloen számolhatunk vele.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 12 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Összeadás algebrai alakban megadott komplexszámokkal
(a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j
Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak.
valós tengely
képzetes tengely
z1
z2
z1 + z2
A komplex számok összeadásátszemléltethetjük az oket ábrázolóvektorok összeadásával.
Példa:
(3 + j) + (−2 + 3j) = 1 + 4j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 13 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Összeadás algebrai alakban megadott komplexszámokkal
(a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j
Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak.
valós tengely
képzetes tengely
z1
z2
z1 + z2
A komplex számok összeadásátszemléltethetjük az oket ábrázolóvektorok összeadásával.
Példa:
(3 + j) + (−2 + 3j) = 1 + 4j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 13 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Összeadás algebrai alakban megadott komplexszámokkal
(a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j
Azaz az összeadás során a valós és a képzetes részek is összeadódnak.
valós tengely
képzetes tengely
z1
z2
z1 + z2
A komplex számok összeadásátszemléltethetjük az oket ábrázolóvektorok összeadásával.
Példa:
(3 + j) + (−2 + 3j) = 1 + 4j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 13 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal
(a + bj) − (c + dj) = (a − c) + (b − d)j
valós tengely
képzetes tengely
z1
z2
z2 − z1
A komplex számok kivonását szem-léltethetjük az oket ábrázoló vektorokkivonásával.
Példa:
(−2 + 3j) − (3 + j) = −5 + 2j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 14 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal
(a + bj) − (c + dj) = (a − c) + (b − d)j
valós tengely
képzetes tengely
z1
z2
z2 − z1
A komplex számok kivonását szem-léltethetjük az oket ábrázoló vektorokkivonásával.
Példa:
(−2 + 3j) − (3 + j) = −5 + 2j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 14 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Kivonás algebrai alakban megadott komplex számokkal
(a + bj) − (c + dj) = (a − c) + (b − d)j
valós tengely
képzetes tengely
z1
z2
z2 − z1
A komplex számok kivonását szem-léltethetjük az oket ábrázoló vektorokkivonásával.
Példa:
(−2 + 3j) − (3 + j) = −5 + 2j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 14 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal
(a + bj)(c + dj) = (ac − bd) + (ad + bc)j
ac −bd
bcj
adj
Példa:(6 − 5j)(−1 + 3j) = −6 + 15 + 18j + 5j = 9 + 23j
Figyeljük meg, hogy:
|6 − 5j| · | − 1 + 3j| =√
36 + 25 ·√
1 + 9 =√
61 ·√
10 =√
610 =
=√
81 + 529 =√
92 + 232 = |9 + 23j|
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 15 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal
(a + bj)(c + dj) = (ac − bd) + (ad + bc)j
ac −bd
bcj
adj
Példa:(6 − 5j)(−1 + 3j) = −6 + 15 + 18j + 5j = 9 + 23j
Figyeljük meg, hogy:
|6 − 5j| · | − 1 + 3j| =√
36 + 25 ·√
1 + 9 =√
61 ·√
10 =√
610 =
=√
81 + 529 =√
92 + 232 = |9 + 23j|
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 15 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal
(a + bj)(c + dj) = (ac − bd) + (ad + bc)j
ac −bd
bcj
adj
Példa:(6 − 5j)(−1 + 3j) = −6 + 15 + 18j + 5j = 9 + 23j
Figyeljük meg, hogy:
|6 − 5j| · | − 1 + 3j| =√
36 + 25 ·√
1 + 9 =√
61 ·√
10 =√
610 =
=√
81 + 529 =√
92 + 232 = |9 + 23j|
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 15 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal
A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo valós(képzetes része 0):
a · (c + dj) = ac + adj
A szorzatot ábrázoló vektort a z = c + dj-t ábrázoló vektorból a arányúközéppontos hasonlósági transzformációval nyerjük.
vt
kt
c
d
2c
2d
−c
−d
2z
z
−z
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 16 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal
A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo valós(képzetes része 0):
a · (c + dj) = ac + adj
A szorzatot ábrázoló vektort a z = c + dj-t ábrázoló vektorból a arányúközéppontos hasonlósági transzformációval nyerjük.
vt
kt
c
d
2c
2d
−c
−d
2z
z
−z
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 16 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal
A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j:
j · (c + dj) = cj + dj2 = −d + cj
A szorzatot ábrázoló vektort a z = c + dj-t ábrázoló vektorból 90◦-osforgatással nyerjük.
vt
kt
−d
cjz
c
dz
Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú(b ∈ R), akkor a szorzás asszociatív tulaj-donsága miatt (bj)z = b(jz), tehát a szor-zathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vek-torból egy 90◦-os elforgatás és egy b ará-nyú középpontos hasonlóság egymásutánalkalmazásával nyerjük.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 17 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal
A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j:
j · (c + dj) = cj + dj2 = −d + cj
A szorzatot ábrázoló vektort a z = c + dj-t ábrázoló vektorból 90◦-osforgatással nyerjük.
vt
kt
−d
cjz
c
dz
Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú(b ∈ R), akkor a szorzás asszociatív tulaj-donsága miatt (bj)z = b(jz), tehát a szor-zathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vek-torból egy 90◦-os elforgatás és egy b ará-nyú középpontos hasonlóság egymásutánalkalmazásával nyerjük.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 17 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal
A szorzás szemléltetése speciális esetekben: Ha az egyik tényezo j:
j · (c + dj) = cj + dj2 = −d + cj
A szorzatot ábrázoló vektort a z = c + dj-t ábrázoló vektorból 90◦-osforgatással nyerjük.
vt
kt
−d
cjz
c
dz
Megjegyzés: Ha az egyik tényezo bj alakú(b ∈ R), akkor a szorzás asszociatív tulaj-donsága miatt (bj)z = b(jz), tehát a szor-zathoz tartozó vektort a z-t ábrázoló vek-torból egy 90◦-os elforgatás és egy b ará-nyú középpontos hasonlóság egymásutánalkalmazásával nyerjük.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 17 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal
A szorzás szemléltetése:
(a + bj) · z = az + bjz
a + bj
z
az
bjz
(a + bj)z
vt
kt
αα β
Az ábrán árnyalással jelzett két háromszöghasonló, mert
mindegyiknek van egy derékszöge,
a derékszögeket közrefogó oldalakaránya a két háromszögbenmegegyezik.
A két háromszög hasonlósági aránya |z|.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 18 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal
A szorzás szemléltetése:
(a + bj) · z = az + bjz
a + bj
z
az
bjz
(a + bj)z
vt
kt
αα β
Ezzel azt mutattuk meg, hogy
két komplex szám szorzatának abszolútértéke megegyezik az eredeti komplexszámok abszolút értékeinek szorzatával,
két komplex szám szorzatának irányszögemegegyezik az eredeti komplex számokirányszögeinek összegével.
Megjegyzés: Ha a szorzó irányszöge nemhegyesszög, akkor a bizonyítás menete kismértékben módosul.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 18 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Szorzás algebrai alakban megadott komplex számokkal
Az elobbi eredmények a következo algebrai formában is leírhatók:
∀z1, z2 ∈ C : |z1z2| = |z1| · |z2|,
illetve∀z1, z2 ∈ C : arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2)
(a teljesszög egész számú többszöröseitol eltekintve).
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 19 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Osztás algebrai alakban megadott komplex számokkal
Osztás:Ha az osztó 0-tól külöbözo valós szám, akkor az osztás tagonkéntelvégezheto:
a + bjc
=ac
+bc
j
Ha az osztó képzetes része nem 0, akkor a törtet eloször alkalmaskifejezéssel bovítjük, így visszavezetjük az elozo esetre:
a + bjc + dj
=a + bjc + dj
·c − djc − dj
=ac − adj + bcj + bd
c2 − (dj)2=
=(ac + bd) + (bc − ad)j
c2 + d2=
ac + bdc2 + d2
+bc − adc2 + d2
j
Példa:4 + 3j2 + 5j
=4 + 3j2 + 5j
·2 − 5j2 − 5j
=8 − 20j + 6j + 15
4 − (5j)2=
23 − 14j29
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 20 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Osztás algebrai alakban megadott komplex számokkal
Osztás:Ha az osztó 0-tól külöbözo valós szám, akkor az osztás tagonkéntelvégezheto:
a + bjc
=ac
+bc
j
Ha az osztó képzetes része nem 0, akkor a törtet eloször alkalmaskifejezéssel bovítjük, így visszavezetjük az elozo esetre:
a + bjc + dj
=a + bjc + dj
·c − djc − dj
=ac − adj + bcj + bd
c2 − (dj)2=
=(ac + bd) + (bc − ad)j
c2 + d2=
ac + bdc2 + d2
+bc − adc2 + d2
j
Példa:4 + 3j2 + 5j
=4 + 3j2 + 5j
·2 − 5j2 − 5j
=8 − 20j + 6j + 15
4 − (5j)2=
23 − 14j29
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 20 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
A komplex konjugált
Definíció: Az a − bj komplex számot a z = a + bj komplex számkonjugáltjának nevezzük és z-vel jelöljük.
vt
ktz
z
b
a
−b
ϕ
−ϕ
Megjegyzések:
Az algebrai alakban megadott komplexszám konjugáltját tehát úgy kapjuk, hogy aképzetes részét az ellentettjére változtatjuk.
A komplex szám konjugáltjának abszolútértéke megegyezik az eredeti szám abszolútértékével: |z| = |z|.
A komplex szám konjugáltjának irányszögeaz eredeti komplex szám irányszögénekellentettje (a teljesszög egész számútöbbszöröseitol eltekintve).
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 21 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
A komplex konjugált
Definíció: Az a − bj komplex számot a z = a + bj komplex számkonjugáltjának nevezzük és z-vel jelöljük.
vt
ktz
z
b
a
−b
ϕ
−ϕ
Megjegyzések:
Az algebrai alakban megadott komplexszám konjugáltját tehát úgy kapjuk, hogy aképzetes részét az ellentettjére változtatjuk.
A komplex szám konjugáltjának abszolútértéke megegyezik az eredeti szám abszolútértékével: |z| = |z|.
A komplex szám konjugáltjának irányszögeaz eredeti komplex szám irányszögénekellentettje (a teljesszög egész számútöbbszöröseitol eltekintve).
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 21 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Hatványozás
Definíció: Ha n ∈ Z és n ≥ 1, akkor a z ∈ C szám n-edik hatványán az · z · . . . · z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezot tartalmaz ésminden tényezoje z-vel egyenlo.
Jelölés: Az így értelmezett hatványt zn-nel jelöljük.
Definíció: z0 := 1
A j szám hatványai: j0 = 1, j1 = j, j2 = −1
j3 = j2 · j = (−1) · j = −j, j4 = j2 · j2 = (−1) · (−1) = 1
j5 = j4 · j = 1 · j = j, j6 = j4 · j2 = 1 · (−1) = −1, . . .
Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlodnek:
jn =
1 ha n osztható 4-gyel,j ha n 4-gyel osztva 1 maradékot ad,−1 ha n 4-gyel osztva 2 maradékot ad,−j ha n 4-gyel osztva 3 maradékot ad.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 22 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Hatványozás
Definíció: Ha n ∈ Z és n ≥ 1, akkor a z ∈ C szám n-edik hatványán az · z · . . . · z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezot tartalmaz ésminden tényezoje z-vel egyenlo.
Jelölés: Az így értelmezett hatványt zn-nel jelöljük.
Definíció: z0 := 1
A j szám hatványai: j0 = 1, j1 = j, j2 = −1
j3 = j2 · j = (−1) · j = −j, j4 = j2 · j2 = (−1) · (−1) = 1
j5 = j4 · j = 1 · j = j, j6 = j4 · j2 = 1 · (−1) = −1, . . .
Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlodnek:
jn =
1 ha n osztható 4-gyel,j ha n 4-gyel osztva 1 maradékot ad,−1 ha n 4-gyel osztva 2 maradékot ad,−j ha n 4-gyel osztva 3 maradékot ad.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 22 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Hatványozás
Definíció: Ha n ∈ Z és n ≥ 1, akkor a z ∈ C szám n-edik hatványán az · z · . . . · z szorzatot értjük, amely pontosan n tényezot tartalmaz ésminden tényezoje z-vel egyenlo.
Jelölés: Az így értelmezett hatványt zn-nel jelöljük.
Definíció: z0 := 1
A j szám hatványai: j0 = 1, j1 = j, j2 = −1
j3 = j2 · j = (−1) · j = −j, j4 = j2 · j2 = (−1) · (−1) = 1
j5 = j4 · j = 1 · j = j, j6 = j4 · j2 = 1 · (−1) = −1, . . .
Látható, hogy a j hatványai periodikusan ismétlodnek:
jn =
1 ha n osztható 4-gyel,j ha n 4-gyel osztva 1 maradékot ad,−1 ha n 4-gyel osztva 2 maradékot ad,−j ha n 4-gyel osztva 3 maradékot ad.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 22 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Hatványozás
Tétel: Binomiális tétel
(a + b)n =
(n0
)an +
(n1
)an−1b +
(n2
)an−2b2 + . . . +
(nn
)bn
ahol(nk
)-t binomiális együtthatónak nevezzük.
Jelentése: hány k -elemu részhalmaza van egy n-elemu halmaznak?
Kiszámítása pl. az (nk
)=
n!
k !(n − k)!
összefüggés segítségével történhet, ahol
n! := 1 · 2 · 3 · . . . · n
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 23 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Hatványozás
Példák:
(2 + 3j)2 = 22 + 2 · 2 · 3j + (3j)2 = 4 + 12j − 9 = −5 + 12j
(3 − 2j)3 = 33 − 3 · 32 · 2j + 3 · 3 · (2j)2 − (2j)3 == 27 − 54j − 36 + 8j = −9 − 46j
(1 + j)10 =
(100
)+
(101
)j +
(102
)j2 +
(103
)j3 + . . . +
(1010
)j10 =
=
(100
)−
(102
)+
(104
)−
(106
)+
(108
)−
(1010
)+((
101
)−
(103
)+
(105
)−
(107
)+
(109
))j = 32j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 24 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Hatványozás
Példák:
(2 + 3j)2 = 22 + 2 · 2 · 3j + (3j)2 = 4 + 12j − 9 = −5 + 12j
(3 − 2j)3 = 33 − 3 · 32 · 2j + 3 · 3 · (2j)2 − (2j)3 == 27 − 54j − 36 + 8j = −9 − 46j
(1 + j)10 =
(100
)+
(101
)j +
(102
)j2 +
(103
)j3 + . . . +
(1010
)j10 =
=
(100
)−
(102
)+
(104
)−
(106
)+
(108
)−
(1010
)+((
101
)−
(103
)+
(105
)−
(107
)+
(109
))j = 32j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 24 / 36
Komplex számok A komplex számok algebrai alakja
Hatványozás
Példák:
(2 + 3j)2 = 22 + 2 · 2 · 3j + (3j)2 = 4 + 12j − 9 = −5 + 12j
(3 − 2j)3 = 33 − 3 · 32 · 2j + 3 · 3 · (2j)2 − (2j)3 == 27 − 54j − 36 + 8j = −9 − 46j
(1 + j)10 =
(100
)+
(101
)j +
(102
)j2 +
(103
)j3 + . . . +
(1010
)j10 =
=
(100
)−
(102
)+
(104
)−
(106
)+
(108
)−
(1010
)+((
101
)−
(103
)+
(105
)−
(107
)+
(109
))j = 32j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 24 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
A trigonometrikus alak
vt
kt
z = a + bj
a
b
ϕ
r
A szögfüggvények definíciója alapján az = a + bj komplex szám valós ré-sze a = r cos(ϕ), képzetes része pe-dig b = r sin(ϕ), ahol r = |z| a komplexszám abszolút értéke, ϕ pedig az irány-szöge.
Tehát z = r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz
z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük.
Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához akomplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség!
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 25 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
A trigonometrikus alak
vt
kt
z = a + bj
a
b
ϕ
r
A szögfüggvények definíciója alapján az = a + bj komplex szám valós ré-sze a = r cos(ϕ), képzetes része pe-dig b = r sin(ϕ), ahol r = |z| a komplexszám abszolút értéke, ϕ pedig az irány-szöge.
Tehát z = r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz
z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük.
Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához akomplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség!
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 25 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
A trigonometrikus alak
vt
kt
z = a + bj
a
b
ϕ
r
A szögfüggvények definíciója alapján az = a + bj komplex szám valós ré-sze a = r cos(ϕ), képzetes része pe-dig b = r sin(ϕ), ahol r = |z| a komplexszám abszolút értéke, ϕ pedig az irány-szöge.
Tehát z = r cos(ϕ) + r sin(ϕ)j, azaz
z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)Az utóbbit a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük.
Megjegyzés: Figyeljük meg, hogy a trigonometrikus alak felírásához akomplex számot ábrázoló vektor polárkoordinátáira van szükség!
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 25 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között
trigonometrikus→ algebrai
A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha aszögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszerubbalakra hozzuk.
Példák:
2(cos(30◦) + j sin(30◦)
)= 2
( √3
2 + 12 j)
=√
3 + j ≈ 1.73 + j
13(cos(213◦) + j sin(213◦)
)≈ 13(−0.839 − 0.545j) = −10.9 − 7.09j
7.5(cos
(π5
)+ j sin
(π5
))≈ 7.5(0.809 + 0.588) = 6.07 + 4.41j
2(cos(30) + j sin(30)
)≈ 2(0.154 − 0.988j) ≈ 0.308 − 1.98
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 26 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között
trigonometrikus→ algebrai
A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha aszögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszerubbalakra hozzuk.
Példák:
2(cos(30◦) + j sin(30◦)
)= 2
( √3
2 + 12 j)
=√
3 + j ≈ 1.73 + j
13(cos(213◦) + j sin(213◦)
)≈ 13(−0.839 − 0.545j) = −10.9 − 7.09j
7.5(cos
(π5
)+ j sin
(π5
))≈ 7.5(0.809 + 0.588) = 6.07 + 4.41j
2(cos(30) + j sin(30)
)≈ 2(0.154 − 0.988j) ≈ 0.308 − 1.98
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 26 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között
trigonometrikus→ algebrai
A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha aszögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszerubbalakra hozzuk.
Példák:
2(cos(30◦) + j sin(30◦)
)= 2
( √3
2 + 12 j)
=√
3 + j ≈ 1.73 + j
13(cos(213◦) + j sin(213◦)
)≈ 13(−0.839 − 0.545j) = −10.9 − 7.09j
7.5(cos
(π5
)+ j sin
(π5
))≈ 7.5(0.809 + 0.588) = 6.07 + 4.41j
2(cos(30) + j sin(30)
)≈ 2(0.154 − 0.988j) ≈ 0.308 − 1.98
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 26 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között
trigonometrikus→ algebrai
A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha aszögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszerubbalakra hozzuk.
Példák:
2(cos(30◦) + j sin(30◦)
)= 2
( √3
2 + 12 j)
=√
3 + j ≈ 1.73 + j
13(cos(213◦) + j sin(213◦)
)≈ 13(−0.839 − 0.545j) = −10.9 − 7.09j
7.5(cos
(π5
)+ j sin
(π5
))≈ 7.5(0.809 + 0.588) = 6.07 + 4.41j
2(cos(30) + j sin(30)
)≈ 2(0.154 − 0.988j) ≈ 0.308 − 1.98
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 26 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között
trigonometrikus→ algebrai
A trigonometrikus alakból az algebrai alakot megkapjuk, ha aszögfüggvények értékeit behelyettesítjük, majd a kifejezést egyszerubbalakra hozzuk.
Példák:
2(cos(30◦) + j sin(30◦)
)= 2
( √3
2 + 12 j)
=√
3 + j ≈ 1.73 + j
13(cos(213◦) + j sin(213◦)
)≈ 13(−0.839 − 0.545j) = −10.9 − 7.09j
7.5(cos
(π5
)+ j sin
(π5
))≈ 7.5(0.809 + 0.588) = 6.07 + 4.41j
2(cos(30) + j sin(30)
)≈ 2(0.154 − 0.988j) ≈ 0.308 − 1.98
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 26 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között
algebrai→ trigonometrikus
Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét ésirányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot.
Példa:
vt
ktz
−1
4
ϕ
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 27 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között
algebrai→ trigonometrikus
Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét ésirányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot.
Példa:
vt
ktz
−1
4
ϕ
Legyen z = −1 + 4j
Ekkor z abszolút értéke:
|z| =√
a2 + b2 =√
(−1)2 + 42 =√
17 ≈ 4.12
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 27 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között
algebrai→ trigonometrikus
Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét ésirányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot.
Példa:
vt
ktz
−1
4
ϕ
Az irányszög:
tg(ϕ) =4−1
= −4
Innen:
ϕ ≈ −76◦ + k · 180◦ ahol k ∈ Z
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 27 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között
algebrai→ trigonometrikus
Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét ésirányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot.
Példa:
vt
ktz
−1
4
ϕ
Megjegyzés: A számológép a ≈ −76◦
alapmegoldást adja meg, de tudjuk, hogy végtelensok megoldás van, hiszen a tangensfüggvényperiodikus.
A ≈ −76◦ nem lehet a komplex számnak irányszöge,hiszen a komplex számot ábrázoló vektor a II.síknegyedbe esik. A k helyébe 1-et írva azonban akapott ≈ 104◦ már helyes.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 27 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Átváltás a trigonometrikus és az algebrai alak között
algebrai→ trigonometrikus
Az algebrai alakból kiszámíthatjuk a komplex szám abszolút értékét ésirányszögét, majd ezek segítségével felírhatjuk a trigonometrikus alakot.
Példa:
vt
ktz
−1
4
ϕ
A trigonometrikus alak tehát:
z ≈ 4.12(cos(104◦) + j sin(104◦)
)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 27 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Összeadás és kivonás
Trigonometrikus alakban nem végezhetok el. Két ilyen számösszeadásához (kivonásához) eloször át kell írni oket algebrai alakba:
Példa:
z1 = 3(cos(40◦) + j sin(40◦)
), z2 = 5
(cos(154◦) + j sin(154◦)
)z1 = 3
(cos(40◦) + j sin(40◦)
)≈ 3 (0.766 + 0.643j) = 2.3 + 1.93j
z2 = 5(cos(154◦) + j sin(154◦)
)≈ 5 (−0.899 + 0.483j) = −4.5 + 2.19j
z1 + z2 = (2.3 + 1.93) + (−4.5 + 2.19)j = −2.2 + 4.12j
z1 − z2 = (2.3 + 1.93) − (−4.5 + 2.19)j = 6.8 − 0.26j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 28 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Összeadás és kivonás
Trigonometrikus alakban nem végezhetok el. Két ilyen számösszeadásához (kivonásához) eloször át kell írni oket algebrai alakba:
Példa:
z1 = 3(cos(40◦) + j sin(40◦)
), z2 = 5
(cos(154◦) + j sin(154◦)
)z1 = 3
(cos(40◦) + j sin(40◦)
)≈ 3 (0.766 + 0.643j) = 2.3 + 1.93j
z2 = 5(cos(154◦) + j sin(154◦)
)≈ 5 (−0.899 + 0.483j) = −4.5 + 2.19j
z1 + z2 = (2.3 + 1.93) + (−4.5 + 2.19)j = −2.2 + 4.12j
z1 − z2 = (2.3 + 1.93) − (−4.5 + 2.19)j = 6.8 − 0.26j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 28 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Összeadás és kivonás
Trigonometrikus alakban nem végezhetok el. Két ilyen számösszeadásához (kivonásához) eloször át kell írni oket algebrai alakba:
Példa:
z1 = 3(cos(40◦) + j sin(40◦)
), z2 = 5
(cos(154◦) + j sin(154◦)
)z1 = 3
(cos(40◦) + j sin(40◦)
)≈ 3 (0.766 + 0.643j) = 2.3 + 1.93j
z2 = 5(cos(154◦) + j sin(154◦)
)≈ 5 (−0.899 + 0.483j) = −4.5 + 2.19j
z1 + z2 = (2.3 + 1.93) + (−4.5 + 2.19)j = −2.2 + 4.12j
z1 − z2 = (2.3 + 1.93) − (−4.5 + 2.19)j = 6.8 − 0.26j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 28 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Összeadás és kivonás
Trigonometrikus alakban nem végezhetok el. Két ilyen számösszeadásához (kivonásához) eloször át kell írni oket algebrai alakba:
Példa:
z1 = 3(cos(40◦) + j sin(40◦)
), z2 = 5
(cos(154◦) + j sin(154◦)
)z1 = 3
(cos(40◦) + j sin(40◦)
)≈ 3 (0.766 + 0.643j) = 2.3 + 1.93j
z2 = 5(cos(154◦) + j sin(154◦)
)≈ 5 (−0.899 + 0.483j) = −4.5 + 2.19j
z1 + z2 = (2.3 + 1.93) + (−4.5 + 2.19)j = −2.2 + 4.12j
z1 − z2 = (2.3 + 1.93) − (−4.5 + 2.19)j = 6.8 − 0.26j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 28 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Összeadás és kivonás
Trigonometrikus alakban nem végezhetok el. Két ilyen számösszeadásához (kivonásához) eloször át kell írni oket algebrai alakba:
Példa:
z1 = 3(cos(40◦) + j sin(40◦)
), z2 = 5
(cos(154◦) + j sin(154◦)
)z1 = 3
(cos(40◦) + j sin(40◦)
)≈ 3 (0.766 + 0.643j) = 2.3 + 1.93j
z2 = 5(cos(154◦) + j sin(154◦)
)≈ 5 (−0.899 + 0.483j) = −4.5 + 2.19j
z1 + z2 = (2.3 + 1.93) + (−4.5 + 2.19)j = −2.2 + 4.12j
z1 − z2 = (2.3 + 1.93) − (−4.5 + 2.19)j = 6.8 − 0.26j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 28 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Összeadás és kivonás
Trigonometrikus alakban nem végezhetok el. Két ilyen számösszeadásához (kivonásához) eloször át kell írni oket algebrai alakba:
Példa:
z1 = 3(cos(40◦) + j sin(40◦)
), z2 = 5
(cos(154◦) + j sin(154◦)
)z1 = 3
(cos(40◦) + j sin(40◦)
)≈ 3 (0.766 + 0.643j) = 2.3 + 1.93j
z2 = 5(cos(154◦) + j sin(154◦)
)≈ 5 (−0.899 + 0.483j) = −4.5 + 2.19j
z1 + z2 = (2.3 + 1.93) + (−4.5 + 2.19)j = −2.2 + 4.12j
z1 − z2 = (2.3 + 1.93) − (−4.5 + 2.19)j = 6.8 − 0.26j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 28 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Szorzás
Ha z1 = r1
(cos(ϕ1) + j sin(ϕ1)
)és z2 = r2
(cos(ϕ2) + j sin(ϕ2)
), akkor
z1z2 = r1r2
(cos(ϕ1 + ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)
)Bizonyítás: Korábban megmutattuk, hogy a szorzat abszolút értéke atényezok abszolút értékeinek szorzata és a szorzat irányszöge a tényezokirányszögeinek összege.
Példa:
4(cos(176◦) + j sin(176◦)
)· 6
(cos(251◦) + j sin(251◦
)=
= 24(cos(427◦) + j sin(427◦)
)= 24
(cos(67◦) + j sin(67◦)
)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 29 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Szorzás
Ha z1 = r1
(cos(ϕ1) + j sin(ϕ1)
)és z2 = r2
(cos(ϕ2) + j sin(ϕ2)
), akkor
z1z2 = r1r2
(cos(ϕ1 + ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)
)Bizonyítás: Korábban megmutattuk, hogy a szorzat abszolút értéke atényezok abszolút értékeinek szorzata és a szorzat irányszöge a tényezokirányszögeinek összege.
Példa:
4(cos(176◦) + j sin(176◦)
)· 6
(cos(251◦) + j sin(251◦
)=
= 24(cos(427◦) + j sin(427◦)
)= 24
(cos(67◦) + j sin(67◦)
)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 29 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Szorzás
Ha z1 = r1
(cos(ϕ1) + j sin(ϕ1)
)és z2 = r2
(cos(ϕ2) + j sin(ϕ2)
), akkor
z1z2 = r1r2
(cos(ϕ1 + ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)
)Bizonyítás: Korábban megmutattuk, hogy a szorzat abszolút értéke atényezok abszolút értékeinek szorzata és a szorzat irányszöge a tényezokirányszögeinek összege.
Példa:
4(cos(176◦) + j sin(176◦)
)· 6
(cos(251◦) + j sin(251◦
)=
= 24(cos(427◦) + j sin(427◦)
)= 24
(cos(67◦) + j sin(67◦)
)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 29 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Osztás
Ha z1 = r1
(cos(ϕ1) + j sin(ϕ1)
)és z2 = r2
(cos(ϕ2) + j sin(ϕ2)
), akkor
z1
z2=
r1
r2
(cos(ϕ1 − ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)
)Bizonyítás: Legyen
z1
z2= z = r
(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
).
Átrendezve: z1 = z2z. A szorzásra vonatkozó szabály miatt
r1 = r2r ⇒ r =r1
r2és ϕ1 = ϕ2 + ϕ⇒ ϕ = ϕ1 − ϕ2.
Példa:
4(cos(176◦) + j sin(176◦)
)6(cos(251◦) + j sin(251◦
) =
=23·(cos(−75◦) + j sin(−75◦)
)=
23
(cos(285◦) + j sin(285◦)
)Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 30 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Osztás
Ha z1 = r1
(cos(ϕ1) + j sin(ϕ1)
)és z2 = r2
(cos(ϕ2) + j sin(ϕ2)
), akkor
z1
z2=
r1
r2
(cos(ϕ1 − ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)
)Bizonyítás: Legyen
z1
z2= z = r
(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
).
Átrendezve: z1 = z2z. A szorzásra vonatkozó szabály miatt
r1 = r2r ⇒ r =r1
r2és ϕ1 = ϕ2 + ϕ⇒ ϕ = ϕ1 − ϕ2.
Példa:
4(cos(176◦) + j sin(176◦)
)6(cos(251◦) + j sin(251◦
) =
=23·(cos(−75◦) + j sin(−75◦)
)=
23
(cos(285◦) + j sin(285◦)
)Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 30 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Osztás
Ha z1 = r1
(cos(ϕ1) + j sin(ϕ1)
)és z2 = r2
(cos(ϕ2) + j sin(ϕ2)
), akkor
z1
z2=
r1
r2
(cos(ϕ1 − ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)
)Bizonyítás: Legyen
z1
z2= z = r
(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
).
Átrendezve: z1 = z2z. A szorzásra vonatkozó szabály miatt
r1 = r2r ⇒ r =r1
r2és ϕ1 = ϕ2 + ϕ⇒ ϕ = ϕ1 − ϕ2.
Példa:
4(cos(176◦) + j sin(176◦)
)6(cos(251◦) + j sin(251◦
) =
=23·(cos(−75◦) + j sin(−75◦)
)=
23
(cos(285◦) + j sin(285◦)
)Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 30 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Hatványozás
Ha z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)és n pozitív egész szám, akkor
zn = rn(cos(nϕ) + j sin(nϕ)
)Bizonyítás: (Teljes indukcióval)
Ha n = 1, akkor az állítás nyilvánvalóan igaz.
Ha az állítás igaz n = k -ra, azaz zk = rk(cos(kϕ) + j sin(kϕ)
), akkor
a szorzásra vonatkozó szabály alapján bizonyíthatjuk, hogyn = k + 1-re is igaz:
zk+1 = zk · z = rk(cos(kϕ) + j sin(kϕ)
)· r
(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)=
= rk · r(cos(kϕ + ϕ) + j sin(kϕ + ϕ)
)=
= rk+1(cos((k + 1)ϕ) + j sin((k + 1)ϕ)
)Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 31 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Hatványozás
Ha z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)és n pozitív egész szám, akkor
zn = rn(cos(nϕ) + j sin(nϕ)
)Bizonyítás: (Teljes indukcióval)
Ha n = 1, akkor az állítás nyilvánvalóan igaz.
Ha az állítás igaz n = k -ra, azaz zk = rk(cos(kϕ) + j sin(kϕ)
), akkor
a szorzásra vonatkozó szabály alapján bizonyíthatjuk, hogyn = k + 1-re is igaz:
zk+1 = zk · z = rk(cos(kϕ) + j sin(kϕ)
)· r
(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)=
= rk · r(cos(kϕ + ϕ) + j sin(kϕ + ϕ)
)=
= rk+1(cos((k + 1)ϕ) + j sin((k + 1)ϕ)
)Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 31 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Addíciós tételek
Legyen u = cos(α) + j sin(α) és v = cos(β) + j sin(β).Számítsuk ki az uv szorzatot kétféleképpen:
uv = cos(α + β) + j sin(α + β)
és
uv =(cos(α) + j sin(α)
)(cos(β) + j sin(β)
)=
=(cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
)+
(sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
)j
Összehasonlítva a két eredményt kapjuk, hogy
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
éssin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 32 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Addíciós tételek
Legyen u = cos(α) + j sin(α) és v = cos(β) + j sin(β).Számítsuk ki az uv szorzatot kétféleképpen:
uv = cos(α + β) + j sin(α + β)
és
uv =(cos(α) + j sin(α)
)(cos(β) + j sin(β)
)=
=(cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
)+
(sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
)j
Összehasonlítva a két eredményt kapjuk, hogy
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
éssin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 32 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Addíciós tételek
Legyen u = cos(α) + j sin(α) és v = cos(β) + j sin(β).Számítsuk ki az uv szorzatot kétféleképpen:
uv = cos(α + β) + j sin(α + β)
és
uv =(cos(α) + j sin(α)
)(cos(β) + j sin(β)
)=
=(cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
)+
(sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
)j
Összehasonlítva a két eredményt kapjuk, hogy
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
éssin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 32 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Gyökvonás
Legyen z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)és n pozitív egész.
Definíció: n√z (a z komplex szám n-edik gyöke) jelentsen olyan komplexszámot, amelynek n-edik hatványa z.
Legyen n√z = u = %(cos(α) + j sin(α)
)r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)= z = un = %n
(cos(nα) + j sin(nα)
)Innen r = %n ⇒ % = n√r és
nα = ϕ + k · 360◦ ⇒ α =ϕ + k · 360◦
n, ahol k ∈ Z.
Megjegyzés: Bár k helyébe végtelen sok (egész) számot írhatunk, a kapott megoldásoknem mind különböznek. Ha k két lehetséges értéke között a különbség n töbszöröse,akkor a megfelelo α értékek 360◦ többszörösével térnek el egymástól, azaz ugyan-annak a komplex számnak az irányszögei. Ezért elég k helyébe a 0, 1, 2, . . . , n − 1értékeket helyettesíteni, így megkapjuk a z szám összes (n darab) n-edik gyökét.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 33 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Gyökvonás
Legyen z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)és n pozitív egész.
Definíció: n√z (a z komplex szám n-edik gyöke) jelentsen olyan komplexszámot, amelynek n-edik hatványa z.
Legyen n√z = u = %(cos(α) + j sin(α)
)r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)= z = un = %n
(cos(nα) + j sin(nα)
)Innen r = %n ⇒ % = n√r és
nα = ϕ + k · 360◦ ⇒ α =ϕ + k · 360◦
n, ahol k ∈ Z.
Megjegyzés: Bár k helyébe végtelen sok (egész) számot írhatunk, a kapott megoldásoknem mind különböznek. Ha k két lehetséges értéke között a különbség n töbszöröse,akkor a megfelelo α értékek 360◦ többszörösével térnek el egymástól, azaz ugyan-annak a komplex számnak az irányszögei. Ezért elég k helyébe a 0, 1, 2, . . . , n − 1értékeket helyettesíteni, így megkapjuk a z szám összes (n darab) n-edik gyökét.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 33 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Gyökvonás
Legyen z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)és n pozitív egész.
Definíció: n√z (a z komplex szám n-edik gyöke) jelentsen olyan komplexszámot, amelynek n-edik hatványa z.
Legyen n√z = u = %(cos(α) + j sin(α)
)r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)= z = un = %n
(cos(nα) + j sin(nα)
)Innen r = %n ⇒ % = n√r és
nα = ϕ + k · 360◦ ⇒ α =ϕ + k · 360◦
n, ahol k ∈ Z.
Megjegyzés: Bár k helyébe végtelen sok (egész) számot írhatunk, a kapott megoldásoknem mind különböznek. Ha k két lehetséges értéke között a különbség n töbszöröse,akkor a megfelelo α értékek 360◦ többszörösével térnek el egymástól, azaz ugyan-annak a komplex számnak az irányszögei. Ezért elég k helyébe a 0, 1, 2, . . . , n − 1értékeket helyettesíteni, így megkapjuk a z szám összes (n darab) n-edik gyökét.
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 33 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Gyökvonás
Példa: A z = 32(cos(200◦) + j sin(200◦)
)komplex szám ötödik gyökei:
uk =5√z = 2
(cos(40◦ + k · 72◦) + j sin(40◦ + k · 72◦)
)k ∈ {0, 1, 2, 3, 4}
vt
kt
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
40◦
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 34 / 36
Komplex számok A komplex számok trigonometrikus alakja
Gyökvonás
Példa: A z = 32(cos(200◦) + j sin(200◦)
)komplex szám ötödik gyökei:
uk =5√z = 2
(cos(40◦ + k · 72◦) + j sin(40◦ + k · 72◦)
)k ∈ {0, 1, 2, 3, 4}
vt
kt
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
40◦
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 34 / 36
Komplex számok A komplex számok exponenciális alakja
Az exponenciális alak
A z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)komplex számot
z = re jϕ
exponenciális alakban is felírhatjuk.
Megjegyzés: Az exponenciális alakban az irányszöget mindig ívmértékben(radiánban) fejezzük ki.
Példa: 4(cos(70◦) + j sin(70◦)
)= 4e
7π18 j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 35 / 36
Komplex számok A komplex számok exponenciális alakja
Az exponenciális alak
A z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)komplex számot
z = re jϕ
exponenciális alakban is felírhatjuk.
Megjegyzés: Az exponenciális alakban az irányszöget mindig ívmértékben(radiánban) fejezzük ki.
Példa: 4(cos(70◦) + j sin(70◦)
)= 4e
7π18 j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 35 / 36
Komplex számok A komplex számok exponenciális alakja
Az exponenciális alak
A z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)
)komplex számot
z = re jϕ
exponenciális alakban is felírhatjuk.
Megjegyzés: Az exponenciális alakban az irányszöget mindig ívmértékben(radiánban) fejezzük ki.
Példa: 4(cos(70◦) + j sin(70◦)
)= 4e
7π18 j
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 35 / 36
Komplex számok A komplex számok exponenciális alakja
Muveletek exponenciális alakban
Exponenciális alakban ugyanazok a muveletek végezhetok el, minttrigonometrikus alakban. A szokásos algebrai és hatványozásiazonosságok használhatók.
Példák:
2eπ3 j · 3e
π4 j = 6e( π
3+π4 )j = 6e
7π12 j
8eπ
12 j
6e4π3 j
=43
e( π12−
4π3 )j =
43
e−5π4 j =
43
e3π4 j
(3e
13π11 j
)7= 37e
91π11 j = 2187e
311 j
4√81e
6π5 j =
4√81e6π5 +2kπ
4 j = 3e( 3π10+k · π2 )j k ∈ {0, 1, 2, 3}
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 36 / 36
Komplex számok A komplex számok exponenciális alakja
Muveletek exponenciális alakban
Exponenciális alakban ugyanazok a muveletek végezhetok el, minttrigonometrikus alakban. A szokásos algebrai és hatványozásiazonosságok használhatók.
Példák:
2eπ3 j · 3e
π4 j = 6e( π
3+π4 )j = 6e
7π12 j
8eπ
12 j
6e4π3 j
=43
e( π12−
4π3 )j =
43
e−5π4 j =
43
e3π4 j
(3e
13π11 j
)7= 37e
91π11 j = 2187e
311 j
4√81e
6π5 j =
4√81e6π5 +2kπ
4 j = 3e( 3π10+k · π2 )j k ∈ {0, 1, 2, 3}
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 36 / 36
Komplex számok A komplex számok exponenciális alakja
Muveletek exponenciális alakban
Exponenciális alakban ugyanazok a muveletek végezhetok el, minttrigonometrikus alakban. A szokásos algebrai és hatványozásiazonosságok használhatók.
Példák:
2eπ3 j · 3e
π4 j = 6e( π
3+π4 )j = 6e
7π12 j
8eπ
12 j
6e4π3 j
=43
e( π12−
4π3 )j =
43
e−5π4 j =
43
e3π4 j
(3e
13π11 j
)7= 37e
91π11 j = 2187e
311 j
4√81e
6π5 j =
4√81e6π5 +2kπ
4 j = 3e( 3π10+k · π2 )j k ∈ {0, 1, 2, 3}
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 36 / 36
Komplex számok A komplex számok exponenciális alakja
Muveletek exponenciális alakban
Exponenciális alakban ugyanazok a muveletek végezhetok el, minttrigonometrikus alakban. A szokásos algebrai és hatványozásiazonosságok használhatók.
Példák:
2eπ3 j · 3e
π4 j = 6e( π
3+π4 )j = 6e
7π12 j
8eπ
12 j
6e4π3 j
=43
e( π12−
4π3 )j =
43
e−5π4 j =
43
e3π4 j
(3e
13π11 j
)7= 37e
91π11 j = 2187e
311 j
4√81e
6π5 j =
4√81e6π5 +2kπ
4 j = 3e( 3π10+k · π2 )j k ∈ {0, 1, 2, 3}
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 36 / 36
Komplex számok A komplex számok exponenciális alakja
Muveletek exponenciális alakban
Exponenciális alakban ugyanazok a muveletek végezhetok el, minttrigonometrikus alakban. A szokásos algebrai és hatványozásiazonosságok használhatók.
Példák:
2eπ3 j · 3e
π4 j = 6e( π
3+π4 )j = 6e
7π12 j
8eπ
12 j
6e4π3 j
=43
e( π12−
4π3 )j =
43
e−5π4 j =
43
e3π4 j
(3e
13π11 j
)7= 37e
91π11 j = 2187e
311 j
4√81e
6π5 j =
4√81e6π5 +2kπ
4 j = 3e( 3π10+k · π2 )j k ∈ {0, 1, 2, 3}
Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis eloadások 2012. szeptember 10. 36 / 36