Vaizduojamoji_geometrija

ŠIAULI Ų UNIVERSITETAS

Mykolas Pelikša, Loreta Kelpšien÷

INŽINERIN ö GRAFIKA I

VAIZDUOJAMOJI GEOMETRIJA

Mokomoji knyga

ŠIAULIAI, 2007

UDK 744:62(075.8)

M. Pelikša, L. Kelpšien÷. Inžinerin÷ grafika I. Vaizduojamoji geometrija. Mokomoji knyga. Šiauliai: ŠU leidykla, 2007, 80 p.

Knyga skirta dalyko „Inžinerin÷ grafika“ pirmajai daliai, kurią

der÷tų vadinti „Vaizduojamoji geometrija“. Joje nagrin÷jami elementarių geometrinių kūnų vaizdavimo techniniuose br÷žiniuose pagrindai. Daugiausia d÷mesio skirta epiūros sudarymo principams, taip pat pateikti svarbiausi aksonometrijos, altiplano bei perspektyvos sudarymo aspektai.

Šiuo leidiniu gali naudotis visų technologijos mokslų krypties studentai, bet labiausiai tinkamas statybos inžinerijos pagrindinių studijų klausytojams, kai „Vaizduojamosios geometrijos“ apimtis yra maždaug 2 kreditai.

Leidinį rekomendavo Šiaulių universiteto

Technologijos fakulteto taryba

Recenzavo:

doc. dr. Leonas Paulauskas,

doc. dr. Serg÷jus Rimovskis,

lekt. Artūras Sabaliauskas.

Redaktor÷ Birut÷ Kucinien÷

ISBN 978-9986-38-836-4

© Mykolas Pelikša, 2007

© Loreta Kelpšien÷, 2007

© VšĮ Šiaulių universiteto leidykla, 2007

TURINYS

ĮVADAS .......................................................................................... 4

1. EPIŪRA

1.1. Ortogonalinio projektavimo esm÷ ................................... 5 1.2. Taško epiūra..................................................................... 7 1.3. Ties÷s epiūra .................................................................. 13 1.4. Plokštumos epiūra.......................................................... 19 1.5. Kampai tarp tiesių ir plokštumų .................................... 27 1.6. Tiesių ir plokštumų sankirta ..........................................29 1.7. Projekcijų pertvarkymas ................................................ 37 1.8. Linijos, paviršiai, kūnai ................................................. 45 1.9. Paviršių sankirta su plokštumomis bei ties÷mis ............ 53 1.10. Dviejų paviršių sankirta ................................................. 57 1.11. Geometriniai kūnai su nuopjovomis ir išpjovomis........ 59 1.12. Paviršių išklotin÷s.......................................................... 63

2. VIENPROJEKČIAI BRöŽINIAI

2.1. Aksonometrija................................................................ 65 2.2. Altiplanas....................................................................... 69 2.3. Perspektyva.................................................................... 71

AUTORIŲ BAIGIAMASIS ŽODIS ............................................ 77

LITERATŪRA .............................................................................. 78

- 4 -

ĮVADAS

Inžinieriai, architektai bei menininkai pirmiausia mintyse sukuria būsimo objekto viziją, o v÷liau tą viziją pateikia br÷žiniuose. Pagaminti detalę ar pastatyti objektą gali tik tie specialistai, kurie geba suprasti br÷žinius. Svarbiausias inžinerinis dokumentas yra br÷žinys, kurio sudarymo principų moko „Vaizduojamoji geometrija“ (anksčiau ją vadino „Braižomoji geometrija“), kaip viena iš „Inžinerin÷s grafikos“ dalyko dalių.

Daiktai gali būti vaizduojami ant įvairių paviršių: plokštumų, kevalų, kupolų. Vieni br÷žiniai gali būti gana vaizdūs ir lengvai suprantami (aksonometrija, perspektyva), kiti – suvokiami tik išklausiusiųjų vaizduojamosios geometrijos dalyką (epiūra, altiplanas). Be to, vienuose br÷žiniuose daiktai vaizduojami tik vienoje projekcijoje, kituose – dviejose ir daugiau projekcijų. Taip pat vienuose br÷žiniuose daikto projekcijos sudaromos naudojant tarpusavyje lygiagrečius projektavimo spindulius, kituose – einančius iš vieno projektavimo (steb÷jimo) centro.

Techniniuose dokumentuose patys populiariausi br÷žiniai yra epiūra, arba ortogonalin÷s projekcijos, arba stačiakamp÷s projekcijos. Jų sudarymo metodas sukurtas prieš porą šimtų metų ir nepakito iki šių dienų. Kadangi šio tipo br÷žiniai nevaizdūs, tod÷l jiems knygel÷je ir skiriama daugiau d÷mesio.

Knygoje apstu netradicinių metodinių ypatumų, kurie padeda studentui lengvai suvokti nagrin÷jamą medžiagą, aiškinimai nesikartoja, o nuorodos yra labai konkrečios. Be to, terminai, pavartoti vadov÷liuose [1–6] ir standartuose [7–10], kurie autorių nuomone neteiktini, pateikiami skliausteliuose. Studentams, skaitantiems šį leidinį kompiuteryje, patogumo d÷lei ekrane vienu metu rodomi du puslapiai: viename br÷žinys, antrame – tekstas.

Autoriai įsitikinę, kad jų siūlomi terminai, d÷stymo metodika bei sprendimo būdai pasiteisins ir prigis ne vien aukštosiose mokyklose, bet ir praktikoje.

- 5 -

1. EPIŪRA 1.1. Ortogonalinio projektavimo esm÷

Vaizduojamas daiktas talpinamas Dekarto koordinačių sistemoje, kurią sudaro trys tarpusavyje statmenos projekcijų plokštumos: H – horizontalioji, F – frontalioji, P – profilioji. Jų sankirtos ties÷s yra koordinačių ašys X, Y, Z (1.1 pav.). H, F, P plokštumos dalija erdvę į aštuonias dalis – oktantus, kurių numeriai 1.1 paveiksle pažym÷ti rom÷niškais skaičiais (I, II, ..., VIII).

1

Statmenų H, F, P plokštumoms spindulių, einančių per vaizduojamą daiktą, sankirtoje su šiomis plokštumomis gaunamos daikto projekcijos: horizontalioji, frontalioji ir profilioji. Br÷žinio plokštuma įprastai sutapdinama su H plokštuma, P plokštuma sukama apie Z ašį, o F – apie X ašį 1.1 paveiksle parodytomis kryptimis iki sutapimo su br÷žinio ir H plokštuma. Toks trijų projekcijų (dažniausiai pakanka dviejų projekcijų) plokščias br÷žinys sutapdintoje plokštumoje vadinamas epiūra, arba ortogonalin÷s projekcijos, arba stačiakamp÷s projekcijos.

Kad epiūroje projekcijos viena kitos nedengtų, dažniausiai daiktas talpinamas I erdv÷s oktante (1.2 paveikslas). Šiuo atveju horizontalioji projekcija epiūros br÷žinyje visada yra žemiau frontaliosios, o profilioji – dešin÷je frontaliosios projekcijos. Atkreipkite d÷mesį į „Pinokio“ nosies visas tris projekcijas.

Daugumoje braižomosios geometrijos vadov÷lių br÷žinio plokštuma sutapdinama su F plokštuma, t. y. epiūros br÷žinys nagrin÷jamas kaip esantis vertikalioje plokštumoje, pavyzdžiui, ant auditorijos lentos arba kompiuterio ekrane. Kadangi studentai braižo, analizuoja ir d÷stytojui pateikia br÷žinį, esantį ant horizontalaus ar nežymiai palinkusio stalo, tod÷l jiems lengviau suprantama epiūra, kai br÷žinio plokštuma yra sutapdinama su H projekcijų plokštuma (žr. 1.1 pav. ir kitus šioje knygoje).

- 6 -

1.1 pav. Ortogonalinių projekcijų plokštumų ir

erdv÷s oktantų pad÷tis

1.2 pav. „Pinokis“ aksonometrijoje (a) ir epiūroje (b)

Y

F

P

H

X

Z Z

F P

H

X

a) b)

Y

Y a)

-X +X

+Z

-Z

+Y

F

H

II

III

IV

V

VII

VIII

P -Y

VI

I

- 7 -

1.2. Taško epiūra

Per tašką A išvedus spindulius, statmenus H, F ir P plokštumoms, sankirtoje su plokštumomis gaunamos taško A projekcijos: horizontalioji projekcija – A' , frontalioji – A" , profilioji – A''' (1.3 pav., a).

1.3 paveiksle, a parodyto vaizdaus aksonometrinio br÷žinio tikslus pavadinimas yra pražulnioji frontalioji dimetrija, technin÷je kalboje dažnai vadinama kabinetin÷ aksonometrija. Plačiau apie aksonometrijas 2.1 skyrelyje, o dabar pakanka žinoti, kad toliau tekste bus naudojama kabinetin÷ aksonometrija. Joje Y ašis bei taškų y koordinat÷s yra du kartus trumpesn÷s negu natūroje ir epiūroje, o koordinat÷s x ir z yra tokios pačios kaip epiūroje ir realyb÷je.

Taško A pad÷tį erdv÷je galima apibūdinti trimis koordinat÷mis: x – taško A nuotolis nuo P plokštumos; y – nuotolis nuo F plokštumos; z – nuotolis nuo H plokštumos. Transformavus projekcijų plokštumas rodyklių kryptimis, ortogonalin÷s taško A, esančio I-ame erdv÷s oktante, projekcijos (epiūra) bei jo teigiamos koordinat÷s x, y, z pavaizduotos 1.3 pav., b.

Neder÷tų steb÷tis, kad 1.3 pav., b teigiama Y ašis br÷žinyje pavaizduota du kartus: nuo koordinačių pradžios O į apačią ir dešin÷n. Tai d÷sninga, nes Y ašis išliko ant nejudintos H plokštumos, o nukreiptoji dešin÷n už÷m÷ šią pad÷tį, nes pasisuko kartu su P plokštuma.

Studentams patartina patiems išmatuoti 1.3 paveiksle pavaizduoto taško A koordinates (13; 20; 16).

Jeigu 1.3 paveiksle, b būtų duotos tik horizontalioji ir frontalioji taško A projekcijos, tai profiliajai projekcijai surasti galima būtų pasinaudoti bet kuria iš trijų pagalbinių linijų, nubr÷žtų tuščiajame br÷žinio ketvirtadalyje. Priimtinausia pasinaudoti m÷lynąja pusiau-kampine (bisektrise).

Kelių I oktante esančių taškų (A, B ir C) epiūros sudarymas pagal kabinetinę aksonometriją pateiktas 1.4 paveiksle. Įprastai taškai žymimi didžiosiomis raid÷mis arba arabiškais skaičiais.

- 8 -

1.3 pav. Taškas A aksonometrijoje (a) ir epiūroje (b)

1.4 pav. Bendrosios pad÷ties taškai aksonometrijoje (a)

ir epiūroje (b)

Z

Y

X

B''

B'

A''≡C'' B'''

0 C'''

C' A'

A'''

Z

X

A'

A''≡C''

B'

B'' B'''

0

A'''

C'

a) b)

Y

B

A

C

C'''

Y

Y

Z

X

F

H

P

y

x

z

0

A'

A''' A'' y

45°

b)

Y

Y

X

F

H

P A

y

x z 0

A'

A'''

a) Z

A''

- 9 -

2

To paties taško dvi gretimos ortogonalin÷s projekcijos visada yra vienoje ryšio linijoje, statmenoje šias pro-jekcijas skiriančiai ašiai (1.3 pav., b: A'A'' ⊥ X, A''A''' ⊥ Z; 1.4 pav., b: B'B'' ⊥ X, B'B''' ⊥ Y, B''B''' ⊥ Z).

Taškai, priklausantys kuriai nors projekcijų plokštumai ar ašiai, yra

ypatingos pad÷ties taškai, mažiausiai viena jų koordinat÷ lygi nuliui: 1.5 paveiksle A taškas priklauso horizontaliajai plokštumai, B – frontaliajai, C – X ašiai.

Supratusiems aukščiau išd÷stytą medžiagą siūlome pažiūr÷ti į 1.6 pav. pavaizduotą tašką D, esantį VIII erdv÷s oktante. Epiūroje šio taško visos trys projekcijos yra viename br÷žinio ketvirtadalyje, netoli viena nuo kitos, tod÷l net ir nesud÷tingą šiame oktante esančią detalę būtų sunku pavaizduoti bei ją suprasti. Rekomenduojame studentams patiems išmatuoti taško D koordinates (-20; 25,5; -20).

Kaip studentas suprato taško epiūros sudarymo principus, geriausia tikrinti atvirkštine užduotimi – pagal pateiktą taško epiūros br÷žinį jis tur÷tų parodyti realią taško pad÷tį erdv÷je (sutapdinant tašką su pieštuko ar tušinuko smaigaliu) ir mok÷ti greitai nustatyti epiūroje pavaizduotų taškų tarpusavio pad÷tį.

- 10 -

1.5 pav. Ypatingų pad÷čių taškai aksonometrijoje (a) ir epiūroje (b)

1.6 pav. Taško D, esančio VIII erdv÷s oktante, aksonometrija (a) ir epiūra (b)

D''

D' H

P

F

x

y

z

D''' D

X

Y

x

y

D'

D'' D'''

X 0

b) a)

z

Z

Y

X

B≡B''

B' A''

B'''

C≡C'≡C''

A≡A'

A'''

Z

X

Y

A'' B'

B'' B'''

0≡C''' A'''

C'≡C''

a) b)

Y

A'

0≡C'''

- 11 -

1.7 paveiksle pateikta taško A parodymo erdv÷je (realioje pad÷tyje) seka:

Tik 3-iame etape parodyta reali taško A pad÷tis vienareikšmiškai atitinka epiūroje pavaizduotas taško stačiakampes projekcijas A' ir A'' .

Gerą vaizduotę turintieji studentai gal÷tų apsieiti be 2-ojo etapo, t. y. gal÷tų neatlenkti F plokštumos iki vertikalios pad÷ties.

Savikontrolei pabandykite pieštuko smaigaliu parodyti pad÷tį erdv÷je tų taškų, kurie yra pavaizduoti 1.2–1.5 paveiksluose. Rodant erdv÷je tašką D (1.6 pav.), der÷tų prie 1.6 pav., b pavaizduoto taško D' priliesti vertikalaus pieštuko smaigalį ir papildomai tarti žodžius, pavyzdžiui: taškas D yra ant šio pieštuko tęsinio tik per dydį z žemiau br÷žinio, tai yra H plokštumos.

Dažnai reikalingos ne absoliutin÷s taškų koordinat÷s, o santykin÷s, tai yra turim žinoti, kiek vienas taškas kito atžvilgiu yra aukščiau arba toliau. Tod÷l kartais epiūroje ašys X, Y, Z ir koordinačių pradžia 0 nerodomi. Be to, epiūroje sudaromos tik frontalioji ir horizontalioji projekcijos, nes dviejų projekcijų pakanka atkurti realiam daikto vaizdui.

- 12 -

1.7 pav. Realios taško A pad÷ties erdv÷je parodymo schema:

a) taško A epiūra; b) taško A ir pieštuko smaigalio pad÷tys aksonometrijoje; c) studentas, vadovaudamasis b br÷žiniu ir 3 postulatu, turi prie epiūros br÷žinio a parodyti tašką A erdv÷je

3

− 1 etapas: pieštuko smaigalys priglaudžiamas prie horizontaliosios taško projekcijos ( prie A′′′′ 1.7 pav., a);

− 2 etapas: plokštuma F kartu su taško frontaliąja projekcija pasukama apie X ašį iki vertikalios pad÷ties (lapas prieš tai įkerpamas žirkl÷mis pagal 1.7 paveiksle,a pažym÷tas kirpimo linijas); − 3 etapas: pieštuko smaigalys pakeliamas virš taško A' (1.7 pav., a) vertikalia kryptimi atstumu, lygiu taško fron-taliosios projekcijos aukščiui virš X ašies, t. y. lygiu taš-ko koordinatei z.

4

Taškų aukščiai bei aukščių skirtumai nustatomi tik iš epiūros frontaliosios projekcijos, o taškų nuotoliai nuo mūsų (arba nuo F plokštumos) – tik iš horizontaliosios projekcijos.

b)

a)

Kirp

imo

linija

X

A'

A''

A''

A''

A

A'

Plokštumos F lenkimo

į vertikalią pad÷tį linija

Pieštuko smaigalio pad÷tis 1-ame etape

Pieštuko smaigalio pad÷tis 3-iame etape

Plokštumos F atlenkimas 2-ame etape

F

F

z

z

z

H

X

Kirp

imo

lin

ija

- 13 -

Pagal 1.8 paveiksle pateiktą taškų epiūrą galima teigti: − aukščiausias erdv÷je yra A taškas, žemiausias – C taškas; − arčiausias į mus yra B taškas, toliausias nuo mūsų yra C taškas; − taškai A, B, K, E, G yra I, C taškas yra III, D taškas yra VI erdv÷s

oktante.

5

Konkuruojantys taškai – tai vienas kitą dengiantys taškai, kurių projekcijos vienoje projekcijų plokštumoje sutampa.

1.8 paveiksle frontaliai konkuruojantys taškai yra B ir K (sutampa jų frontaliosios projekcijos) bei horizontaliai konkuruojantys taškai E ir G (sutampa jų horizontaliosios projekcijos). Frontaliojoje projekcijoje nematomas taškas K′′, nes jį uždengia arčiau mūsų esantis B taškas; horizontaliojoje projekcijoje nematomas G′, nes jį uždengia aukščiau jo esantis E taškas.

1.3. Ties÷s epiūra

Norint pavaizduoti ties÷s atkarpą epiūroje, užtenka sudaryti dviejų atkarpą ribojančių taškų projekcijas, o jas jungiančios ties÷s ir yra duotosios ties÷s projekcijos (1.9 paveiksle atkarpa AB). Kai vaizduojamoji ties÷ yra neriboto ilgio, tai ji žymima mažosiomis lotyniškomis raid÷mis.

Ties÷s AB ir l yra pirmame oktante (1.9 pav.). Jeigu tiesę AB įsivaizduotume be galo ilgą, tai taške A ji kirstų plokštumą H ir pereitų į ketvirtą oktantą, o taške B kirstų plokštumą F, pakliūdama į antrą ir dar toliau į šeštą oktantus. Ties÷ l kirstų antrą, trečią ir septintą oktantus.

- 14 -

1.8 pav. Įvairios pad÷ties taškų epiūra

1.9 pav. Tiesių AB ir l epiūra

0 A''

A'

l''

l'

B''

B'

X

A''

C '

C ''

0

A'

B''≡K''

B'

D''≡D'

K'

E''

G''

E'≡G'

- 15 -

6

Reali ties÷s pad÷tis erdv÷je (natūroje) pagal pateiktą epiūros br÷žinį pieštuku parodoma taip: - 1 etapas: pieštukas uždedamas ant ties÷s (ar jos atkarpos) epiūros br÷žinio horizontaliosios projekcijos A′B′ (1.10 pav., a); − 2 etapas: nekeičiant 1-ame etape gautojo pieštuko kampo su F plokštuma, jo galai nuo H plokštumos pakeliami į aukštį, lygų ties÷s galinių taškų koordinat÷ms zA ir zB.

Ribotos vaizduot÷s studentai tiesę erdv÷je gal÷tų pieštuku parodyti, panaudodami papildomai tarpinį etapą, tai yra įkirpdami 1.10 paveikslą, a ir F plokštumą per X ašį atlenkdami iki vertikalios pad÷ties (pagal 3 postulatą).

Siekdami pasitikrinti pieštuku parodykite erdv÷je tieses, pavaizduotas 1.9; 1.11; 1.12 ir 1.13 paveiksle, taip pat nurodykite oktantus, kuriuos kirstų pavaizduotų tiesių tęsiniai. Pavyzdžiui, 1.11 paveiksle ties÷ CD yra I oktante, prakirtusi F plokštumą, ji įlįstų į II oktantą; prakirtusi P plokštumą, įlįstų į V oktantą; ties÷ t iš I oktanto pereitų tik į IV oktantą.

Pagal pad÷tį erdv÷je ties÷s būna: – lygio ties÷s (lygiagreti H plokštumai ties÷ yra horizontal÷ h,

lygiagreti F – frontal÷ f, lygiagreti P plokštumai – profil÷ p); – statmenos bet kuriai projekcijų plokštumai, arba nubr÷žtos per

konkuruojančius taškus, pavyzdžiui, ties÷s BK ir EG 1.8 paveiksle. Daugumoje vadov÷lių jos vadinamos projektuojančiomis ties÷mis;

– bendrosios pad÷ties. Dabar nesunku patiems parodyti 1.11 paveiksle pavaizduotas tieses

erdv÷je bei teigti, kad jame pavaizduotos ties÷s yra: AB – bendrosios pad÷ties; CD – lygiagreti horizontaliajai plokštumai, t. y. ji yra lygio ties÷ – horizontal÷; EG – frontal÷; t – statmena H plokštumai (horizontaliai projektuojanti); m – ir horizontal÷, ir frontal÷, ir statmena P plokštumai ties÷. Akcentuojame: C'D' – horizontal÷s horizontalioji projekcija, arba lygio ties÷s vienvard÷ projekcija.

- 16 -

1.10 pav. Realios ties÷s AB pad÷ties erdv÷je parodymo schema: prie

epiūros br÷žinio (a) studentas tiesę parodo pieštuku, vadovaudamasis 6 postulatu ir aksonometrijos br÷žiniu (b)

A'' a)

b)

B'

A''

A''

A

pieštuko pad÷tis 2-ame etape

F

F

zB zA

B''

B'

A'

B''

pieštuko pad÷tis 1-ame etape

Kirp

imo

lin

ija

B

A'

B''

zB F plokštumos lenkimo į vertikalią pad÷tį linija

zA

X

X

Kirp

imo

lin

ija

H

- 17 -

8

Tik lygio ties÷s vienvard÷je projekcijoje matome tikrąjį ties÷s atkarpos ilgį (pavyzdžiui, 1.11 paveiksle C'D' =│CD│, E''G'' = │EG│).

Bendrosios pad÷ties ties÷s atkarpos AB tikrasis ilgis yra stataus trikampio natūroje ∆ABN (1.12 pav., a) ir jam lygaus ∆A'B'B° epiūroje (1.12 pav., b) įžambin÷ A'B° . Be to 1.12 pav., a aksonometrijoje aiškiai matomas ties÷s AB polinkio į H plokštumą kampas α.

9

Ties÷s atkarpos tikrasis ilgis yra įžambin÷ papildomo stataus trikampio, kurio vienas statinis yra viena atkarpos projekcijų, o kitas statinis – atkarpos kitos projekcijos koordinačių skirtumas.

10

Ties÷s polinkį į projekcijų plokštumą atspindi kampas tarp ties÷s projekcijos ir įžambin÷s (atkarpos tikrojo ilgio) papildomame trikampyje, sudarytame vienvard÷je projekcijų plokštumoje.

Jei ieškomas polinkis į F plokštumą, tai papildomas status trikampis sudaromas prie frontaliosios ties÷s projekcijos, jei ieškomas polinkis į H plokštumą – prie horizontaliosios ties÷s projekcijos. 1.12 paveiksle, b žaliame pagalbiniame trikampyje pažym÷tas |α| parodo ties÷s AB tikrąjį kampą su H plokštuma.

11

Norint sudalyti ties÷s atkarpą duotu santykiu, nebūtina dalyti atkarpos tikrąjį ilgį; pakanka sudalyti duotu santykiu bet kurią ties÷s projekciją (1.11 paveiksle taškas L dalija AB tiesę pusiau, ir visiškai nesvarbu, kurią jos projekciją pirmiau dalijame).

Kai ant bendrosios pad÷ties ties÷s reikia pažym÷ti tašką, tam tikru atstumu nutolusį nuo vieno jos galo, tektų tą atstumą atid÷ti tik ant atkarpos tikrojo ilgio, tai yra ant papildomo trikampio įžambin÷s; grąžintas į pradines projekcijas tas atstumas taptų trumpesnis.

- 18 -

1.11 pav. Įvairios pad÷ties tiesių ortogonalin÷s projekcijos

1.12 pav. Bendrosios pad÷ties ties÷s atkarpos tikrojo ilgio

bei polinkio į H plokštumą nustatymas

7

Taškas priklauso tiesei, jei jis yra ant visų ties÷s projekcijų (1.11 paveiksle taškas L priklauso tiesei AB, o taškas K yra šalia jos).

F

H

A''

B''

A

B ∆z

∆z α

α

B'

X

∆z

∆z

|α|

B''

A''

A'

B°

B'

X

b) a)

A'

N

∆z

∆y

A''

B''

A'

B'

K'

K''

L'

L'' C'' D''

C' D'

h''

h'

E''

G''

E' G'

f ''

f '

t''

t'

m''

m'

CD ║ H; EG ║ F; t⊥H;

- 19 -

Kartais ties÷ pavaizduojama p÷dsakais, tai yra taškais, kuriuose

ties÷ arba jos tęsinys kerta horizontaliąją ir frontaliąją projekcijų plokštumas (1.13 pav.).

Epiūroje pratęsus ties÷s horizontaliąją projekciją iki sankirtos su X ašimi, gaunama jos frontaliojo p÷dsako horizontalioji projekcija mF′. Frontalioji jo projekcija mF′′ turi būti A′′B′′ tęsinio ir vertikalios ryšio linijos, einančios per tašką mF′, sankirtoje. Analogiška seka yra nustatomas ties÷s horizontalusis p÷dsakas mH.

1.4. Plokštumos epiūra

Epiūroje plokštumą galima pavaizduoti: trimis taškais, nesančiais vienoje ties÷je; tiese ir tašku šalia jos; dviem susikertančiomis ar lygiagrečiomis ties÷mis; daugiakampiu; plokščia kreive; p÷dsakais.

1.14 pav., a plokštuma pavaizduota trimis taškais (trikampiu ABC), kurių koordinat÷s užrašytos paveikslo lentel÷je. Kaip matome, min÷tu atveju br÷žinyje tenka atid÷ti 9 koordinates. Tod÷l dažnai plokštumos vaizduojamos p÷dsakais, nes tada pakanka atid÷ti tik 3 koordinates (1.14 pav., b taip atid÷ta plokštuma β).

Plokštumos p÷dsakai – tai ties÷s, kuriomis duota plokštuma kerta H ir F projekcijų plokštumas. 1.14 pav., b linija βH – bendrosios pad÷ties plokštumos β horizontalusis p÷dsakas, βF – frontalusis p÷dsakas. Plokštumos β koordinat÷ x yra frontaliojo bei horizontaliojo p÷dsakų sankirtos su X ašimi nuotolis nuo koordinačių pradžios; koordinat÷ y – horizontaliojo p÷dsako βH ir Y ašies sankirtos nuotolis nuo taško 0; koordinat÷ z – frontaliojo p÷dsako βF ir Z ašies sankirtos nuotolis nuo koordinačių pradžios.

- 20 -

1.13 pav. Bendrosios pad÷ties ties÷s pavaizdavimas p÷dsakais

aksonometrijoje (a) ir epiūroje (b)

1.14 pav. Bendrosios pad÷ties plokštuma pavaizduota trimis

taškais (a) ir p÷dsakais (b) epiūroje

A''

B''

A

B

A'

B'

m''

m

m'

mH''

mF'' ≡ mF F

H mH' ≡ mH

mF'

mH''

A''

m''

B''

mH' ≡ mH

A'

m' B'

mF' X X

mF'' ≡ mF a) b)

0

B''

A'' C''

B'

A'

C'

X

Z

Y

0

βF

y

βH

X

Z

Y

z x

a) b) Koord.

x y z

A

35 27 8

B

20 4 32

C

5 20 12

Koord.

x y z

β 17 -20 -15

- 21 -

Pagal pad÷tį erdv÷je plokštumos būna:

- lygio – kai plokštuma yra lygiagreti kuriai nors projekcijų plokštumai;

- statmenos projekcijų plokštumoms; - bendrosios pad÷ties.

12

Kai plokštuma epiūroje pavaizduota trikampiu, tai studentas tokią plokštumą gal÷tų braižymo priemone trikampiu erdv÷je parodyti taip: − 1 etapas: trikampis uždedamas ant epiūros horizon-taliosios projekcijos taip, kad jo viršūnių išsid÷stymas būtų kuo panašesnis į plokštumos horizontalųjį vaizdą; − 2 etapas: nekeičiant 1-ame etape gautojo trikampio kampo su F plokštuma, jo viršūn÷s nuo H plokštumos pakeliamos į aukštį, lygų plokštumos taškų z koor-dinat÷ms.

Studentas pirmame etape braižymo trikampį tur÷tų užd÷ti ant trikampio A'B'C' (1.15 pav.,a), o antrame etape trikampio viršūnes tur÷tų pakelti nuo br÷žinio plokštumos aukščiais zA, zB ir zC. 1.15 pav.,b žalias trikampis yra studento naudojamas braižymo trikampis, taigi jis nebūtinai turi tiksliai sutapti su pavaizduotu ∆ABC.

- 22 -

1.15 pav. Realios plokštumos ABC pad÷ties erdv÷je

parodymo schema – prie epiūros br÷žinio (a) tai atlieka studentas, vadovaudamasis 12 postulatu ir aksonometrijos br÷žiniu (b)

C''

C'

zC

C''

C'' C

C'

zC

Kirp

imo

lin

ija

X

A'

A''

Lenkimo

linija

B'

B'' zA

zB

b)

F

F

zB zA

B'' B''

Trikampio pad÷tis 1-ame etape

B

Trikampio pad÷tis 2-ame etape

A''

A''

A'

B'

A

H

a)

Kirp

imo

lin

ija

- 23 -

Techniniuose br÷žiniuose apstu detalių paviršių, kurie yra statmeni

H, F ar P projekcijų plokštumoms (tokie paviršiai kitų autorių vadov÷liuose vadinami projektuojančiais), ir vienoje iš projekcijų gali būti vaizduojami tik linija. Tod÷l labai svarbu suvokti jų pad÷tį erdv÷je.

F plokštumai statmenoji plokštuma turi būti vaizduojama tik jos frontaliuoju p÷dsaku (1.16 pav., a), H plokštumai statmenoji plokštuma – tik jos horizontaliuoju p÷dsaku (1.17 pav., a), nes kitas p÷dsakas visada yra statmenas X ašiai (žr. 1.18 paveiksle pavaizduoto plokštumos γ frontaliojo p÷dsako γF pad÷tį).

1.16 pav., a duotoji plokštuma α yra statmena projekcijų plokštumai F, taigi jos frontalioji projekcija ir frontalusis p÷dsakas sutampa. Norint α parodyti erdv÷je tikslinga:

1) įkirpus popierių pagal 1.16 pav., c kirpimo linijas, atlenkti plokštumą F per X ašį (nurodytą lenkimo liniją) į realią vertikalią pad÷tį;

2) rausvai nudažytą 1.16 pav., c plokštumos α dalį per α'' tiesę atlenkti taip, kad kampas tarp α ir F plokštumų būtų status.

Kai duotoji plokštuma φ yra statmena H plokštumai (1.17 pav., a),

tai įkirpus popierių pagal 1.17 pav., c parodytą kirpimo liniją žalsvai nuspalvotą φ plokštumos dalį (1.17 pav., c) beliktų atlenkti per tiesę φ' taip, kad kampas tarp H ir φ plokštumų erdv÷je taptų status – šią operaciją turi atlikti studentas.

Kai bendrosios pad÷ties plokštuma pavaizduota p÷dsakais, tai ji

erdv÷je braižymo trikampiu parodoma, priglaudžiant vieną trikampio kraštinę prie horizontaliojo plokštumos p÷dsako, o kitą trikampio kraštinę – priglaudžiant prie frontaliojo plokštumos p÷dsako (prieš tai frontalusis p÷dsakas kartu su F plokštuma turi būti atlenkti į vertikalią pad÷tį). Pabandykite braižymo trikampiu parodyti erdv÷je 1.14 paveiksle p÷dsakais pavaizduotą plokštumą β ir 1.18 paveiksle pavaizduotas plokštumas α, β, γ.

- 24 -

1.16 pav. Statmenoji į F plokštuma: a) epiūroje; b) aksonometrijoje;

c) parodymas erdv÷je (šią operaciją pagal 1.16 pav., b turi atlikti studentas)

1.17 pav. Statmenoji į H plokštuma: a) epiūroje; b) aksonometrijoje; c) parodymas erdv÷je (šią operaciją pagal 1.17 pav., b turi atlikti studentas)

α'' ≡ αF

a) b) c)

Lenkimo linija

Kirp

imo

lin

ija

Lenkimo linija

X X X

α

α

α''

α''

αH

Z F

Kirp

imo

lin

ija

φ' ≡ φH

a)

0

b) c)

Lenkimo linija

X X X

φ

φ

φ'

φ'

Kirp

imo

lin

ija

- 25 -

13

Taškas priklauso plokštumai, jei jis yra ties÷je, esančioje toje plokštumoje.

1.18 paveiksle taškas 1 yra plokštumoje α, nes yra ant jos hori-zontaliojo p÷dsako αH; taškas G yra plokštumoje α, nes yra ant jos m÷lynai pavaizduotos frontal÷s; 1.19 pav., a taškas 1 yra trikampyje ABC, nes yra ant jo kraštin÷s BC; 1.19 pav., b taškas N yra trikampyje KLM , nes yra ant jo frontal÷s KL. Tačiau 1.19 pav., a pavaizduotas taškas D nepriklauso ∆ABC, nes nepriklauso nei tiesei A1, nei jokiai kitai tiesei trikampyje.

Kai taškai priklauso plokštumoms, statmenoms į H ar F plokš-tumas, tai galima per tuos taškus tiesių nebr÷žti: 1.18 paveiksle taškas E visada bus plokštumoje β, jei jo frontalioji projekcija bus ant plokš-tumos frontaliosios projekcijos β'' ; taškas 1 visada bus plokštumoje γ, jei jo horizontalioji projekcija bus ant plokštumos horizontaliosios projekcijos γ.

14

Ties÷ priklauso plokštumai, jei ji su plokštuma turi nors du bendrus taškus.

1.19 pav., a ties÷ A1 priklauso ∆ABC plokštumai. Plokštumos lygio ties÷ – tai linija, priklausanti duotai plokštumai ir

lygiagreti kuriai nors projekcijų plokštumai: 1.19 paveiksle,a ties÷ A1 yra ∆ABC horizontal÷, ties÷ KL – plokštumos ∆KLM frontal÷ (1.19 pav., b), ties÷ 12 – ∆123 horizontal÷ (1.19 pav., c).

Plokštumos polinkį į bet kurią projekcijų plokštumą atspindi plokštumos polinkio ties÷s kampas su ta pačia projekcijų plokštuma. Plokštumos polinkio ties÷ – duotos plokštumos linija, statmena atitinkamai plokštumos lygio tiesei. 1.19 pav., b ties÷ MN – plokštumos ∆KLM polinkio į plokštumą F ties÷, nes ji statmena frontalei KL; ties÷ 23 - ∆123 polinkio į H plokštumą ties÷, nes ji statmena pastarojo trikampio horizontalei 12 (1.19 pav., c). Pagal 10 postulatą nubr÷žus papildomą statų trikampį M''M°N'' gaunamas ties÷s MN, taigi ir ∆KLM kampas β su F plokštuma, o trikampyje 2'3'2° gaunamas ties÷s 23 bei ∆123 kampas α su H plokštuma. Beje, ties÷ 32 rodo skysčio, užlašinto ant taško 3, tek÷jimo kryptį duotąja ∆123 plokštuma.

- 26 -

1.18 pav. Plokštumų epiūros

1.19 pav. Plokštumos lygio ir polinkio ties÷s

A''

B''

C''

1'' D'' h''

A'

B'

C' 1'

D'

h'

K''

M''

L'' N''

M°

K' N'

L'

M'

∆y

∆y

f ''

f '

│β│

∆z

∆z

│α│

1'' 2''

3''

1'

2'

3'

h''

h'

2°

a) b) c)

│23│

│MN│

X

β′′ ≡βF

A''

B''

C''

A'

B'

C'

αF

αH

γF

γ′ ≡γH

β ⊥ F β ║ H γ⊥H

E''

E'

G''

G'

1''

1'

1''

1'

- 27 -

1.5. Kampai tarp tiesių ir plokštumų

Gali būti lygiagrečios, susikertančios ir prasilenkiančios ties÷s. Jeigu duotos ties÷s ar bent viena iš jų yra profil÷, tai jų tarpusavio pad÷čiai nustatyti dažniausiai tikslinga epiūroje pabraižyti ir profiliąją projekciją.

15

Tarpusavyje lygiagrečių tiesių projekcijos visose projekcijų plokštumose turi būti lygiagrečios (1.20 paveiksle t ║ l, nes t' ║ l' ir t'' ║ l'' ).

16

Tiesių sankirtos taškas turi išlikti tiesių susikirtimo tašku bet kurioje projekcijoje (1.20 paveiksle ties÷s m ir n susikerta taške A, o ties÷s m ir e yra prasilenkiančios. Taškai 1 ir 2 yra konkuruojantys, bet ne tiesių m ir e sankirtos taškai: skaitykite 5 postulatą).

17

Konkuruojančios ties÷s – tai tokios linijos, kurių pro-jekcijos vienoje projekcijų plokštumoje sutampa.

1.21 paveiksle sutampa tiesių l ir g horizontaliosios projekcijos, taigi l ir g yra konkuruojančios ties÷s; taip pat sutampa m ir t tiesių frontaliosios projekcijos, taigi m ir t yra konkuruojančios ties÷s.

18

Kai kampo kraštin÷s lygiagrečios kuriai nors projekcijų plokštumai, tai toje projekcijoje kampas matomas tikruoju dydžiu. Kampas tarp bendrosios pad÷ties tiesių epiūroje projektuojamas iškreiptai (ne tikru dydžiu).

19

Kai kampas tarp tiesių epiūroje pavaizduotas stačiu, o viena šio kampo kraštin÷ yra arba horizontal÷s hori-zontalioji, arba frontal÷s frontalioji projekcija, tai erdv÷je tos ties÷s yra tarpusavyje statmenos.

1.21 paveiksle tiesei AB yra statmenos ties÷s l ir g, nes status kampas su horizontale AB epiūroje matomas horizontaliojoje projekcijoje; bendros pad÷ties tiesei CD statmenį galima nubr÷žti tik kaip jai statmeną lygio tiesę (pavyzdžiui, frontalę f); kampas tarp tiesių m ir n net abiejose projekcijose yra status, tačiau ties÷s m ir n erdv÷je nestatmenos, nes n÷ viena jų n÷ra lygio ties÷.

- 28 -

1.20 pav. Lygiagrečios, susikertančios ir prasilenkiančios ties÷s

1.21 pav. Konkuruojančios ir tarpusavyje statmenos ties÷s

A'' B''

A'

B'

l' ≡ g'

g'' C''

C'

D'

f ''

f '

t′′ ≡ m''

m'

n''

n'

l ⊥AB, g⊥AB, f⊥CD, n ⊥ m.

l'' D''

t '

a) b) c)

t'' l''

t' l'

e'' m''

e'

m'

n''

n'

A''

A'

t ║ l, m ∩ n, m ∩ e

1′′ ≡2′'

1'

2'

- 29 -

20

Ties÷ lygiagreti plokštumai, jei ji yra lygiagreti nors vienai plokštumos tiesei (1.22 pav., a ties÷ m yra lygiagreti plokštumai (kl), nes m yra lygiagreti joje esančiai tiesei 12, o ties÷ n šiai plokštumai nelygiagreti).

21

Dvi plokštumos tarpusavyje lygiagrečios, jei vienos plokštumos dvi susikertančios ties÷s yra lygiagrečios kitos plokštumos dviem susikertančioms ties÷ms (1.22 paveiksle, a plokštuma (em) yra lygiagreti plokštumai (kl), nes m║12 ir e║l ).

22

Ties÷ statmena plokštumai, jei ji yra statmena dviem susikertančioms tos plokštumos ties÷ms.

Atsižvelgiant į 19 postulatą, pastarąjį teiginį galima perfrazuoti taip: ties÷ yra statmena plokštumai, jei ties÷s projekcijos yra statmenos plokštumos horizontal÷s horizontaliajai ir plokštumos frontal÷s frontaliajai projekcijai. 1.22 paveiksle, b ties÷ t⊥ α, nes t' ⊥ h' (taigi t⊥ h) ir t'' ⊥ f'' (taigi t⊥ f); ties÷ p n÷ra statmena plokštumai α, nes ji nestatmena nei plokštumos frontalei, nei horizontalei.

23

Dvi plokštumos tarpusavyje yra statmenos, jei vienos plokštumos ties÷ yra statmena kitai plokštumai.

1.22 paveiksle, b plokštuma α yra statmena plokštumai (gt), nes pastarosios ties÷ t yra statmena plokštumai α. (pagal 22 postulatą).

1.6. Tiesių ir plokštumų sankirta Kai duotoji plokštuma yra statmena kuriai nors projekcijų

plokštumai, tai plokštumos ir ties÷s sankirtos taškas matomas vienoje projekcijoje (1.23 paveiksle sankirtos taškai 1'' ir 2' ), belieka jį perkelti į kitą ties÷s projekciją. Duotosios ties÷s matomumą nesunku nustatyti, jei suvokiama jos ir plokštumos pad÷tis erdv÷je. Jeigu neaiškus 1.23 paveikslas, tai analizuokite 1.10, 1.16 ir 1.17 paveikslus.

- 30 -

1.22 pav. Ties÷s ir plokštumos tarpusavio pad÷tys

1.23 pav. Ties÷s ir plokštumos, statmenos į F (a) bei į H (b),

sankirta

n''

n'

m''

m'

1''

2''

1'

2'

k''

k'

l''

l'

p''

p'

f ''

f '

h''

h'

t''

t'

α''

α'

n ║ (kl), m ║ (kl), t ⊥ α, p ⊥ α.

e''

e'

g''

g'

a) b)

a) b)

1''

1'

α''≡α

l''

l'

2''

2' φ'≡φH

t''

t'

- 31 -

24

Ties÷s ir bendrosios pad÷ties plokštumos sankirtos taškas nustatomas plokštumoje nubr÷žiant tiesę, konkuruojančią su duotąja tiese. Bendras šioms ties÷ms taškas yra duotos plokštumos ir ties÷s sankirtos taškas.

1.24 paveiksle duotai t tiesei trikampyje pabr÷žiama konkuruojanti ties÷ 12 (jei užmiršote, tai skaitykite 17 postulatą); abiejų šių tiesių sankirtos taškas K yra ir duotoje plokštumoje, nes yra ant joje nubr÷žtos konkuruojančios ties÷s 12, ir duotoje linijoje t; taigi taškas K yra duotos ties÷s t ir ∆ABC sankirtos taškas.

Norint nustatyti ties÷s matomąją ir nematomąją dalis, patartina tiesę bei plokštumą parodyti pieštuku ir trikampiu erdv÷je, tačiau neginčytinas sprendimas yra pasiekiamas tik tada, kai panaudojami konkuruojantys taškai (žr. 5 postulatą).

1.24 paveiksle frontaliojoje projekcijoje konkuruoja taškas 2, priklausantis tiesei AC, ir taškas 3, priklausantis tiesei t. Stebint horizontaliąją projekciją galima teigti, kad taškas 2 yra arčiau mūsų nei taškas 3; taigi frontaliojoje projekcijoje mes kartu su 2 tašku matome plokštumą ∆ABC, o ties÷s t dalis 3''K'' uždengta, nematoma. Stebint frontaliąją projekciją galima teigti, kad taškas 5 (ant ties÷s t) yra aukščiau už plokštumą (jos tašką 4), taigi, horizontaliojoje projekcijoje ties÷s dalis 5'K' kartu su 5′ tašku yra matoma, o jos atkarpa nuo sankirtos taško K' iki plokštumos kraštin÷s B'C' yra nematoma.

25

Norint nustatyti dviejų bendrosios pad÷ties plokštumų sankirtos tiesę, jose nubr÷žiamos konkuruojančios ties÷s ir nustatomi joms bendri taškai. Per mažiausiai du bendrus taškus nubr÷žta ties÷ yra duotų plokštumų sankirtos linija.

1.25 paveiksle duotose plokštumose α ir β nubr÷žiamos konkuruojančios ties÷s 12 ir 34 (nes jų frontaliosios projekcijos 1''2'' ir 3''4'' sutampa); horizontaliojoje projekcijoje nustatomas šioms ties÷ms bendras taškas M; duotoms plokštumoms antras bendras taškas N nustatomas nubr÷žiant konkuruojančias tieses 56 ir 78; ties÷ MN yra α ir β plokštumų sankirtos linija, nes nubr÷žta per bendrus abiem plokštumoms taškus M ir N.

- 32 -

1.24 pav. Ties÷s ir plokštumos sankirta

1.25 pav. Dviejų plokštumų sankirta

α''

α'

β''

β'

1'' 2'' 3'' 4''

5''

6'' 7'' 8''

1'

2'

7'

4'

5'

6'

3'

8'

M''

M'

N''

N'

A''

B''

C''

A'

B'

C'

K''

K'

1''

2''≡3''

1'

2'

3'

t''

t'

4'≡5'

4''

5''

- 33 -

Taško atstumas nuo plokštumos gali būti nustatomas tokia seka:

1) per duotą tašką br÷žiama duotai plokštumai statmena ties÷. 1.26 paveiksle, a per duotą tašką M plokštumai ∆ABC statmena ties÷ n nubr÷žta vadovaujantis 22 postulatu, tai yra ties÷ n' turi būti statmena h' , o n'' – statmena f '' ;

2) nustatomas šio statmens ir plokštumos sankirtos taškas. 1.26 paveiksle, b sankirtos taškas K nustatytas pagal 24 postulatą, naudojant konkuruojančias tieses n ir 12;

3) nustatomas atkarpos, esančios tarp sankirtos ir duotojo taško, tikrasis ilgis. 1.26 paveiksle, c sudaromas pagalbinis status trikampis (pagal 9 postulatą), o jo įžambin÷ M0K'' yra lygi taško M nuotoliui nuo ∆ABC.

Savikontrolei studentams patartina patiems nustatyti ties÷s n matomumą H ir F projekcijose (1.26 pav. b).

1.27 paveiksle pavaizduota dviejų riboto dydžio plokštumų, t. y.

∆ABC ir ∆DEG sankirtos ties÷s bei šių trikampių matomumo nustatymo seka:

1) šiuo atveju vadovautis 25 postulatu n÷ra tikslinga, nes gali tekti br÷žti labai daug konkuruojančių tiesių, kol būtų nustatyti abiem trikampiams nors du bendri taškai;

2) paprasčiau trikampių sankirtos liniją nustatyti vadovaujantis 24 postulatu, t. y. ieškoti vieno trikampio kraštinių ir kito trikampio plokštumos sankirtos taškų. Taigi net neturintiems vaizduot÷s studentams pakaktų ieškoti daugių daugiausia tik šešių kraštinių sankirtos su trikampiais taškų;

3) eliminuojame tas kraštines, kurios negal÷tų kirstis su riboto dydžio trikampių plokštumomis. Iš 1.27 paveikslo, a akivaizdu, kad kraštin÷ BC negali kirstis su ∆DEG (nes B'C' yra šalia ∆D'E'G' ), o ties÷ DG negali kirsti trikampio ∆ABC (nes D'G' yra šalia ∆A'B'C' );

- 34 -

1.26 pav. Taško M atstumo nuo plokštumos nustatymo seka

B''

C'' A'

B'

C'

M''

M'

h''

f ''

h'

f '

A''

B''

C''

A'

B'

C'

M''

M'

1''

2''

1'

2'

K''

K'

a) b)

A''

n''

n'

n''

n'

A''

B''

C''

A'

B'

C'

M''

M'

K''

K'

M°

│KM│

c) ∆y

∆y

- 35 -

4) ieškome kraštin÷s AC ir ∆DEG sankirtos taško (pagal 24 postulatą), t.y. trikampyje DEG br÷žiame tiesę 1''2'' , konkuruojančią su A''C'' (1.27 pav., b). Suradę ties÷s 12 horizontaliąją projekciją 1'2', pamatome, kad ji ir ties÷ A'C' turi bendrą tašką K' (taškas K priklauso trikampiui ABC, nes yra ant jo kraštin÷s AC, taip pat jis priklauso trikampiui DEG, nes K yra ant jo ties÷s 12), nuo taško K' vesdami ryšio liniją, gauname sankirtos taško frontaliąją projekciją K'' ant ties÷s A''C'' ;

5) ieškome kraštin÷s DE ir trikampio ABC sankirtos taško, t.y. trikampyje A'B'C' br÷žiame tiesę 3'4', konkuruojančią su tiese DE. Šioms ties÷ms ir kartu duotiems trikampiams bendras taškas yra M;

6) per taškus M ir K br÷žiame abiejų duotų trikampių sankirtos liniją KM;

7) duotų trikampių matomumui nustatyti tikslinga pasinaudoti konkuruojančiais taškais (apie tai galite prisiminti, jei perskaitysite 5 postulatą bei 1.24 paveikslo tekstinę dalį);

8) išanalizavę konkuruojančių taškų 3 ir 5 pad÷tį (1.27 pav., c), teigiame, kad taškas 3 yra žemiau nei taškas 5, tod÷l horizontaliojoje projekcijoje taškas 3' yra nematomas (jį uždengia taškas 5), o kartu su juo nematoma ir kraštin÷s AC dalis 3'K' (nes taškas 3 yra ant kraštin÷s AC). Kitų kraštinių matomumui horizontaliojoje projekcijoje nustatyti pakaktų geros vaizduot÷s, o priešingu atveju rekomenduojama skaityti 10 punktą;

9) pažym÷ję konkuruojančius taškus 1 ir 8 abiejose projekcijose, galime teigti, kad toliau nuo mūsų ir tod÷l nematomas frontaliojoje projekcijoje yra taškas 8'' , o kartu su juo nematoma ir kraštin÷s AC dalis 8''K'' ;

10) pažym÷ję konkuruojančius taškus 6 ir 7 abiejose projekcijose, galime konstatuoti, kad horizontaliojoje projekcijoje yra nematomas taškas 7', o kartu su juo ir kraštin÷s E'G' dalis (1.27 paveiksle,c ji pažym÷ta brūkšnine linija);

11) sulyginę konkuruojančius 9 ir 10 taškus, galime konstatuoti, jog frontaliojoje projekcijoje yra nematomas taškas 10'', o kartu su juo yra nematoma kraštin÷s DE dalis 10'' M '' ;

12) br÷žinys taptų dar vaizdesnis, jei trikampių matomos dalys nuspalvinamos skirtingomis spalvomis.

- 36 -

1.27 pav. Dviejų trikampių sankirtos ties÷s bei matomumo nustatymo seka:

a) užduoties sąlygos; b) trikampiams bendrų taškų paieška; c) trikampių matomumo nustatymas

1''≡8''

A'' B''

C''

D''

E'' G''

C'

A'

B'

D'

E'

G'

c)

7''

5''

9''≡10''

6''

1'

8'

3'≡5'

6'≡7'

K''

M''

K'

3''

9'

10'

M'

A'' B''

C''

D''

E'' G''

C'

A'

B'

D'

E'

G'

a)

A'' B''

C''

D''

E'' G''

C'

A'

B'

D'

E'

G'

b)

2'' 3''

4''

1'

2'

3'

4'

K''

M''

K' M'

1''

- 37 -

1.7. Projekcijų pertvarkymas

Projekcijų pertvarkymas (projekcijų plokštumų keitimas, sukimas apie horizontalias ir vertikalias ašis, sukimas apie lygio tiesę, pagalbinis projektavimas) naudojamas išraiškingesn÷ms ir parankesn÷ms daikto projekcijoms gauti, taip pat įvairių uždavinių sprendimo keliams supaprastinti.

1.7.1. Projekcijų plokštumų keitimas Keičiant projekcijų plokštumas, naujoji plokštuma tur÷tų išlikti

statmena į vieną iš esamų projekcijų plokštumų. Be to, pageidaujamas rezultatas greičiau gaunamas, kai naujoji projekcijų plokštuma būna lygiagreti ar statmena duotai tiesei, plokštumai, paviršiui.

1.28 paveiksle naujoji projekcijų plokštuma α yra lygiagreti tiesei AB ir taip pat yra statmena H plokštumai. Duotoji ties÷ projektuojama į α plokštumą jai statmenais spinduliais. Po to naujoji plokštuma su naująja projekcija yra sukama apie šios plokštumos p÷dsaką αH (apie naują ašį X1) iki ji sutaps su buvusia jai statmena plokštuma (šiuo atveju, iki α sutaps su plokštuma H).

Pagal 2 postulatą epiūroje ryšio linijos tarp gretimų projekcijų visada lieka statmenos jas skiriančiai ašiai (naujos plokštumos p÷dsakui αH ). Iš 1.28 paveikslo, a matyti, kad taškai A ir B pakilę virš H plokštumos tiek pat, kiek ir jų projekcijos F bei naujoje α projekcijų plokštumoje.

26

Taško projekcija naujojoje projekcijų plokštumoje nuo jos p÷dsako (naujosios ašies) nutolusi tiek, kiek keičiama projekcija nutolusi nuo senosios ašies (arba, naujasis nuotolis lygus trečiajam atstumui, skaičiuojant nuo naujosios ašies atgal).

1.29 paveiksle nustatytas bendros pad÷ties trikampio tikrasis dydis keičiant projekcijų plokštumas du kartus. Čia pirmame keitime naujoji plokštuma α yra statmena H plokštumai ir duotam trikampiui (šiuo atveju, α statmena trikampio horizontalei h). Antrame keitime nauja plokštuma β statmena α plokštumai ir lygiagreti duotam trikampiui (br÷žinyje β lygiagreti jo projekcijai AαBαCα). Taškų pad÷tis naujose plokštumose nustatyta vadovaujantis 2 ir 26 postulatais, be to aiškumo d÷lei tokiais pačiais simboliais 1.29 paveiksle yra pažym÷ti vienodi projekcijų nuotoliai.

- 38 -

1.28 pav. Ties÷s tikrojo ilgio nustatymas,

keičiant projekcijų plokštumą

1.29 pav. Trikampio tikrojo dydžio nustatymas,

keičiant projekcijų plokštumas

X

A''

B''

1''

C''

A'

B'

1'

C'

Aα

Bα

Cα

C β

A β

B β

αH ≡α' ≡X1

βα

1) α⊥ h, nes αH⊥ h'; 2) β ║ABC, nes βα ║ AαBαCα; 3) ∆AβBβCβ=|∆ABC|

h''

h'

βα≡β'≡X2

|∆ABC|

F

X

H

α

X1≡α'≡αH

A'' A''

X

B'' B

B''

A'

A

B'

A'

Aα

Aα

Bα

Bα

B'

b)

X1 ≡ α' ≡ αH |AB|

a)

- 39 -

1.7.2. Sukimas apie horizontalias ir vertikalias ašis

27

Taškas, sukamas apie ašį, erdv÷je juda apskritimu, kuris pavaizduojamas: − apskritimu projekcijų plokštumoje, statmenoje sukimo ašiai; − tiese, statmena sukimo ašiai, projekcijų plokštumoje, lygiagrečioje tai ašiai.

1.30 paveiksle, a taškas B'' į pad÷tį B1'' juda apskritimo lanku, nes sukasi apie statmeną F plokštumai ašį j, o linija B'B1' projektuojama tiese, statmena ašiai j' .

Patartina figūrą sukti apie ašį, kol ji taps lygiagreti ar statmena projekcijų plokštumai. 1.30 pav., a ties÷ AB pasukta apie ašį j iki lygiagrečios H plokštumai pad÷ties, tod÷l A'B1' =│AB│.

1.30 pav., b ties÷ MN pasukta apie vertikalią ašį i kol MN tampa frontale. Taigi linija N'N1' yra apskritimo lankas, o N''N 1'' - ties÷, statmena ašiai i'' .

Projekcijų plokštumoje, statmenoje ašiai, figūros vaizdas po pasukimo išlieka toks pat, kaip ir prieš pasukimą. 1.30 paveiksle A''B'' = A''B 1'' ; M'N' = M'N 1' ; ∆C'D'E' = ∆C1'D1'E1' ; C1''D 1''E 1'' = C2''D 2''E 2'' .

Sukimo ašys epiūroje gali būti nerodomos, o pasukus naują projekciją galima perstumti į patogią br÷žinio vietą. Toks būdas vadinamas plokščiai lygiagretus perstūmimas. Pasinaudojant šiuo būdu 1.30 pav., c nustatytas ∆CDE tikrasis dydis.

Pirmame etape ∆CDE pasuktas apie br÷žinyje neparodytą vertikalią ašį (1.30 pav., c), kol trikampio horizontal÷ tapo statmena F plokštumai (C1'11' ⊥X). Frontaliosios taškų projekcijos nustatytos vertikalių ir horizontalių ryšio linijų sankirtoje. Be abejon÷s, trikampio frontalioji projekcija turi būti ties÷, nes horizontal÷ C1 čia projektuojama tašku. Antrame etape ∆CDE pasuktas apie br÷žinyje neparodytą statmeną F plokštumai ašį, kol duotasis trikampis virto horizontalia plokštuma, taigi ∆C2'D2'E2' = │∆CDE│.

- 40 -

1.30 pav. Ties÷s AB tikrojo ilgio nustatymas, pasukant apie

horizontalią ašį j (a) bei vertikalią ašį i (b) ir trikampio tikrojo dydžio nustatymas plokščiai lygiagrečiu

perstūmimu (c)

c)

C''

D''

1'' h''

E''

D' 1'

h'

E'

C'

D1''

C1''≡11''

E1''

D1' 11'

h1'

C1'

E1'

C2'

E2'

D2'' C2'' E2''

D2' |∆CDE|

j'' ≡A''

B''

B1''

a)

A'

B'

B1' j'

M''

N'' N1''

i'≡M'

N'

N1'

i''

|AB|

|MN|

b)

- 41 -

1.7.3. Sukimas apie lygio tiesę

28

Sukamas apie lygio tiesę taškas erdv÷je juda apskritimu, kuris projektuojamas tiese, statmena lygio ties÷s vien-vardei projekcijai (statmena horizontal÷s horizontaliajai arba frontal÷s frontaliajai projekcijai).

1.31 paveiksle dvi susikertančios ties÷s AC ir BC sukamos apie nubr÷žtą plokštumos horizontalę h iki lygiagrečios H plokštumai pad÷ties. Pasukto taško C pad÷tis nustatoma, įvertinant, kad C'C1' ⊥ h' (19 ir 28 postulatai) bei C1'M' = │CM│ (9 postulatas). Be abejo, ∆A1'B1'C1'=│∆ABC│, čia visi jo kampai bei kraštin÷s matyti tikraisiais dydžiais.

1.7.4. Pagalbinis projektavimas

29

Taško pagalbin÷ projekcija (arba šeš÷lis) – tai taškas, kuriame pagalbinio projektavimo (arba saul÷s) spindulys, einantis per duotąjį tašką, kerta esamą projekcijų plokštumą ar kitą paviršių.

Der÷tų prisiminti ties÷s ir plokštumos sankirtą (skaitykite 1.6 sky-relį), o pagalbinio projektavimo spindulį traktuoti kaip tiesę. Be to, patartina saul÷tą dieną steb÷ti, kaip daiktai meta šeš÷lius ant įvairių paviršių.

1.32 pav., a pagal parodytą pagalbinio projektavimo kryptį s tik÷tinas taško A šeš÷lis ant F plokštumos, tod÷l pirmiausiai per A' tašką br÷žiamas lygiagretus s' spindulys iki X ašies, t. y. plokštumos F horizontaliosios projekcijos. Po to per tašką A'' br÷žiamas lygiagretus s'' spindulys iki sankirtos su ryšio linija. Šis sankirtos taškas AF ir yra taško A šeš÷lis ant F plokštumos.

Taško B šeš÷lis tik÷tinas ant H plokštumos, nes yra arti jos. Tod÷l pirmame etape per B'' tašką br÷žiamas lygiagretus s'' spindulys iki X ašies. Antrame etape per tašką B' br÷žiamas lygiagretus s' spindulys iki sankirtos su ryšio linija, taigi taškas BH ir yra taško B šeš÷lis ant H plokštumos.

Ties÷s šeš÷lio lūžio taškas KH ≡ KF (žr. 1.32 pav., c) nustatomas surandant ties÷s šeš÷lį (AHBH ar AFBF) ir ant projekcijų plokštumų, nesančių pirmame oktante. Taigi ties÷s AB šeš÷lis yra m÷lyna laužtin÷ linija AFKFBH, o pagal raudoną rodyklę nesunku nustatyti, kad ant X ašies šeš÷lis krinta nuo ties÷s taško K.

- 42 -

1.31 pav. Kampo tarp dviejų tiesių nustatymo, pasukant apie lygio

tiesę h, seka

1.32 pav. Ties÷s AB šeš÷lių ant H ir F plokštumų nustatymo seka

B'' B'' A''

C''

B'

C'

A'

M''

M'

h''

h'

∆z

A''

C''

B'≡B1'

C'

A'≡A1'

M''

M'

h''

h'

∆z C°

C1'

|φ|

b) a)

A''

A'

B''

B'

X

s''

s'

a) b)

BH

AF

A''

A'

B''

B'

BH

AF AH

A''

A'

B''

B'

BH

AF

c)

K''

K'

KH≡KF

BF

BF

- 43 -

Pastatų ir detalių šeš÷liai epiūroje dažniausiai braižomi esant 45°

kampui tarp saul÷s spindulio s projekcijų ir X ašies. 1.33 paveiksle, a yra pavaizduoti palapin÷s ir vertikalaus stulpo šeš÷liai ant visų galimų plokštumų. Kaip matome, palapin÷s šeš÷lis yra tik ant horizontalaus žem÷s paviršiaus (paveiksle pažym÷tas pilka spalva). Jeigu nesuvokiate, kaip čia yra nustatyti atskirų palapin÷s taškų šeš÷liai, der÷tų atidžiau analizuoti 1.32 paveikslą ir aiškinantį tekstą. Atkreipiame d÷mesį į 1.33 pav., a pavaizduoto stulpo šeš÷lio nustatymo ypatumus:

- vertikalaus stulpo 12 šeš÷lis horizontaliojoje projekcijoje būtinai turi būti ant žaliai pažym÷tos linijos, esančios čia matomuose paviršiuose. Ši linija perkeliama į frontaliąją projekciją;

- taško 1 šeš÷lis nustatomas saul÷s spindulio s'' ir žalios linijos sankirtoje. Taigi taškas 1st'' yra taško 1 šeš÷lis ant palapin÷s stogo;

- stulpo 12 šeš÷lis turi du lūžio taškus. Pavyzdžiui, taškas 3s yra ir ant palapin÷s sienos, ir ant stogo šlaito. Iš taško 3s'' br÷žiant priešingos krypties spindulį, galima nustatyti, kad čia šeš÷lį meta taškas 3'' . Viso stulpo šeš÷lis – m÷lynai pažym÷ta stora laužtin÷ linija.

1.33 paveiksle, b yra pavaizduoti tik stulpo AC su spyriu BD šeš÷liai (m÷lyna spalva) ant žem÷s bei vertikalios namo sienos. Čia pravartu pirmiau nustatyti taško B nesamą šeš÷lį ant žem÷s - Bž' , taigi spyrio šeš÷lio linija, pasiekusi sieną, lūžta ir pasibaigia taške Bs''.

Statybiniuose br÷žiniuose pastatų frontalioji projekcija (fasadas) bei horizontalioji projekcija (planas) įprastai būna ant atskirų lapų. Kad nereik÷tų vartin÷ti abiejų lapų, pastatą įmanoma suvokti stebint vien jo fasadą, jeigu jame yra pavaizduoti šeš÷liai. Štai 1.34 paveiksle yra pateiktos nedetalizuoto pastato (n÷ra langų atbrailų, karnyzų) abi projekcijos, tačiau stebint vien frontaliąją projekciją galima teigti:

- fasade pažym÷tas šeš÷lio plotis a yra lygus lodžijos gyliui; - fasade pažym÷tas šeš÷lio aukštis b yra lygus balkono pločiui; - fasade pažym÷tas šeš÷lio plotis d yra lygus dešiniosios namo

dalies priekin÷s sienos įgilinimui kairiosios fasadin÷s sienos atžvilgiu.

- 44 -

1.33 pav. Palapin÷s ir stulpo su atotampa šeš÷liai

1.34 pav. Pagalbinio projektavimo panaudojimas pastato

šeš÷liams fasade sudaryti

1' ≡ 2' ≡ 3'

1'st

1''

1''st 3''

A''

A''s B''

A' ≡ B' ≡ C'

B'ž

B''s

B's ≡ A's

2'' C'' D''

D'

B'' ž

b)

3S''

3S'

D'' d

DS K''

KS

b

D'

K'

b

d

a

a

s''

s'

45°

45°

a)

- 45 -

1.8. Linijos, paviršiai, k ūnai

Linija – tai aib÷ jai priklausančių taškų, arba taško jud÷jimo trajektorija. Linijos yra: ties÷s (apie jas mums jau daug žinoma), plokščios kreiv÷s (apskritimas, elips÷, parabol÷ ir kt.) bei erdvin÷s kreiv÷s (pavyzdžiui, sraigtin÷s linijos).

1.35 pav., a pavaizduota apskritimo, esančio plokštumoje α, epiūra (raudonos linijos). Šio apskritimo centras sutampa su tašku C, spindulio ir apskritimo tikrasis dydis m÷lyna linija pateiktas 1.35 pav., b. Akivaizdu, kad jo frontalioji projekcija tur÷tų būti išsigimusi į tiesę, sutampančią su α'' projekcija, o atkarpos 1''C'' ir C''2'' (kaip frontal÷s frontalioji projekcija) turi būti lygios duotajam spinduliui R. Skersmuo 34 pažym÷tas ant horizontal÷s, tod÷l 3'C' = C'4' = R. Taigi skersmuo 3'4' bus elips÷s didžioji ašis, o jai statmena linija 1'2' – elips÷s mažoji ašis. Kitus elips÷s taškus galima surasti, pasinaudojant apskritimo stygomis – horizontal÷mis. Tod÷l patartina prie apskritimo frontaliosios projekcijos nubr÷žti papildomą pusapskritimį (m÷lynas puslankis), ir jame pasirinktas pusstyges reik÷tų perkelti į horizontaliąją projekciją, pavyzdžiui, atkarpa ED''= 5'D' = D'6' .

Kai yra žinoma elips÷s didžioji ašis 34 bei mažoji ašis 12, tai elipsę patartina braižyti pagal schemą, pateiktą 1.35 pav., b. Tikslinga per min÷tus elips÷s taškus nubr÷žti du apskritimus ir bet kokį spindulį, pavyzdžiui AC. Spindulys kerta abu pagalbinius apskritimus. Iš šių sankirtos taškų keliami statmenys į atitinkamas būsimos elips÷s ašis: iš didesnio apskritimo taško A į didžiąją ašį 34, o iš mažesnio apskritimo taško B į mažąją 12. Šių pagalbinių statmenų sankirtoje gaunamas būsimos elips÷s taškas 7. Analogiškai jam nustatomi taškai 8, 9, 10, ir per juos br÷žiama elips÷.

Akivaizdu, kad apskritimas, esantis lygio plokštumoje, vienoje iš projekcijų būtų ties÷, lygiagreti X ašiai, o kitoje – apskritimo lankas.

Apskritimas, esantis bendros pad÷ties plokštumoje, epiūroje abiejose projekcijose projektuojamas elips÷mis. Jeigu plokštumoje dar nebūtų nubr÷žtos lygio ties÷s, tai tektų abiejose projekcijose nubr÷žti frontalę ir horizontalę. Dabar paaiškinsime apskritimo epiūros sudarymo principus, kai plokštuma duota susikertančiomis jos lygio ties÷mis h ir f.

- 46 -

1.35 pav. Apskritimo, esančio statmenoje į F plokštumoje α,

epiūra (a) ir elips÷s braižymo schema (b)

-

b)

1 2

4

3

10

9

7

8

C

A

B

R

α''≡αF

a)

R 3'' ≡ C'' ≡ 4''

1''

2''

1' C'

4'

3'

D''

E

D'

6'

5'

2'

- 47 -

1.36 paveiksle pavaizduota apskritimo, esančio bendros pad÷ties plokštumoje (h∩f), epiūra. Tariame, kad buvo duota apskritimo centro – taško C pad÷tis bei spindulio R dydis. Frontaliojoje projekcijoje elips÷s didžioji ašis 1''2'' būtų ant frontal÷s frontaliosios projekcijos f '' , taigi turi būti lygi vaizduojamo apskritimo skersmeniui 2R. Horizontaliojoje projekcijoje elips÷s didžioji ašis 3'4' turi būti ant horizontal÷s horizontaliosios projekcijos h' ir ilgis 3'4' = 2R (1.36 pav., a).

Gabūs studentai gal÷tų patys išprotauti, kaip per gautus keturis taškus nubr÷žti elipses abiejose projekcijose (der÷tų atidžiai analizuoti 1.35 pav., b ir jo tekstinę dalį). Beje, visiems studentams patartina nustatyti elipsių mažųjų ašių ilgį ir pad÷tį.

Frontaliojoje projekcijoje elips÷s mažoji ašis turi eiti per tašką C'' ir turi būti statmena didžiajai ašiai 1''2'' (skaitykite 19 postulatą). Iš pradžių br÷žiama bet kokio ilgio atkarpa C''E'' ; nustatomas jos tikrasis ilgis E0C'; ant šios linijos atidedamas spindulys R = C'50 bei taškas 50 grąžinamas ant atkarpos projekcijos C'E' . Taigi atkarpa 5''6'' yra elips÷s frontaliojoje projekcijoje mažoji ašis (1.36 pav., b).

Elips÷s horizontaliojoje projekcijoje mažoji ašis turi išlikti statmena didžiajai ašiai 3'4' (1.36 pav., c). Tod÷l iš pradžių pakanka nubr÷žti bet kokio ilgio atkarpą C'K' ir C''K'' ; nustatyti jos tikrąjį ilgį; ant jo atid÷ti spindulį R; tašką 70 grąžinti ant C''K'' ; ties÷ 7'8' yra elips÷s horizontaliojoje projekcijoje mažoji ašis. Tolesnis elips÷s braižymas (jei nepakanka pažym÷tų aštuonių taškų), pavaizduotas 1.35 paveiksle, b bei aprašytas paaiškinamajame tekste. Bendros pad÷ties apskritimo epiūra pateikta 1.36 pav., d, kuriame išryškintos elipsių mažosios ir didžiosios ašys.

Manome, kad 1.36 paveiksle panaudotas apskritimo epiūros

braižymo metodas yra gana sud÷tingas, ir gebantis tai suprasti studentas vertas pretenduoti į aukščiausią balą. Projektavimo praktikoje bendrosios pad÷ties apskritimo plokštuma dažnai transformuojama į lygio ar statmeną H ar F plokštumai pad÷tį, tada viena jo projekcija yra ties÷, o kita gali būti arba ties÷, arba apskritimas.

- 48 -

1.36 pav. Apskritimo, esančio bendros pad÷ties plokštumoje,

epiūros sudarymo seka

C'

C''

2''

1''

2' 1'

3'

4'

4'' 3''

B'

B''

K'

K''

∆y

5'

5''

6'

6''

K0

70

7''

7'

8''

8'

∆y

d)

C'

C''

2''

1''

2' 1'

3'

4'

4'' 3''

5'

5''

6'

6''

7''

7'

8''

8'

a) b)

C'

C''

f ''

h'

2''

1''

2' 1' f '

3'

4'

h'' 4'' 3''

C'

C''

2''

1''

2' 1'

3'

4'

4'' 3''

B'

B''

E''

E'

∆z

E0

50

5'

5''

6'

6'' R

R

∆z

c)

- 49 -

Kūnas – tai erdv÷s dalis, apribota vienu ar keliais paviršiais

(briaunainiai: prizm÷s, piramid÷s; sukiniai: cilindras, kūgis, rutulys, helikoidai ir kt.).

1.37–1.39 paveiksluose pavaizduoti elementarūs geometriniai kūnai, kurių paviršiuose esančios linijos bei taškai pažym÷ti ta pačia spalva visose projekcijose. Tokia braižymo sistema nenaudotina technin÷je braižyboje, tačiau labai gerai padeda lavinti vaizduotę bei tikrinti studento geb÷jimus. Dažniausiai paviršių suvokimas tikrinamas tokia užduotimi: d÷stytojui vienoje projekcijoje pažym÷jus tašką ar linij ą, esančią kūno paviršiuje, studentas ją prival÷tų pavaizduoti arba parodyti kitose projekcijose bei natūroje.

30

Taškas priklauso paviršiui, jei jis priklauso linijai, esančiai tame paviršiuje. Linija yra ant paviršiaus, jei visi jos taškai priklauso paviršiui.

Norint įrodyti taško priklausomybę paviršiui, tame paviršiuje per tašką br÷žiama patogios pad÷ties ir formos linija (ties÷, daugiakampis, apskritimas), ir abiejose projekcijose taško projekcijos turi būti ant nubr÷žtos linijos projekcijų.

1.37 paveiksle, a taškai 1, 2, 3, 4 priklauso trikamp÷s piramid÷s paviršiui, nes yra ant jos briaunų; taškas N (1.37 pav., b) yra šalia piramid÷s paviršiaus, nes nepriklauso nei tiesei 56, esančiai trikampyje ABK, nei tiesei 78, esančiai piramid÷s šone KBC; 1.38 paveiksle taškas 4 yra prizm÷s paviršiuje, nes priklauso 56 tiesei, esančiai prizm÷s šone (bc).

1.37 ir 1.38 paveiksluose parodyta piramid÷s ir prizm÷s briaunų matomumo nustatymo seka: kair÷je pus÷je (a) kūnų briaunos neryškios, o dešin÷je (b) nematomos briaunos pažym÷tos brūkšnine linija. Čia briaunų matomumui nustatyti pasitelkti konkuruojantys taškai 1 ir 2, 3 ir 4. Jeigu Jums neaišku, kaip jais naudotis, tai skaitykite 5 postulatą ir nagrin÷kite 1.8 bei 1.24 paveikslus.

- 50 -

1.37 pav. Trikamp÷s piramid÷s briaunų

matomumo nustatymo seka

1.38 pav. Trikamp÷s prizm÷s briaunų matomumo nustatymo seka

3'

1'≡2'

1''

2''

3''≡4′′

a) b)

5''

6''

5'

6'

4'

b''

a''

c''

a'

b'

c'

b''

a''

c''

c'

b'

a'

K ' K '

1'≡2'

1''

2'' 3''≡4''

3'

4'

a) b)

A''

B''

C ''

K ''

A' B'

C '

A''

B''

C ''

C '

K ''

B'

A'

5''

6''

5'

6'

N''

N'

7''

8''

7' 8'

- 51 -

D÷stytojui bakstel÷jus pieštuku į tašką 1′ (1.39 pav., a) ir teigiant, kad jis yra kūgio paviršiuje, studentas tur÷tų suvokti, kad čia galimi du taškai: taškas 1′ – nematomas ir esantis ant kūgio pagrindo; taškas 2′ – matomas, per kurį, vadovaujantis 30 postulatu, galima nubr÷žti arba žalią tiesę, arba m÷lyną apskritimą, esančius kūgio šoniniame paviršiuje, taškas 2'' taip pat bus matomas, nes yra artimesniame į mus kūgio šoniniame paviršiuje.

Kai paviršius yra statmenas projekcijų plokštumai (projek-tuojantis), o viena jo projekcija yra virtusi į tiesę, laužtinę, apskritą ar kitokią linij ą, tai paviršiuje esantys taškai būtinai turi būti ant tos linijos. Pavyzdžiui, d÷stytojui pieštuku 1.39 pav., b bakstel÷jus į tašką 3′ ir tarus, kad jis yra ant paviršiaus bei matomas, studentas tur÷tų suvokti, kad taškas tur÷tų būti ant viršutinio cilindro pagrindo (kadangi pagrindas yra horizontalus ir F plokštumoje projektuojamas tiese, tai taškas 3′′ tur÷tų būti ant šios ties÷s); d÷stytojui pieštuku 1.39 pav., a bakstel÷jus į tašką 1′ ir tarus, kad jis yra ant paviršiaus bei H projekcijoje nematomas, studentas gal÷tų per tašką nebr÷žti jokios linijos, nes F plokštumoje jinai sutaptų su kūgio pagrindo projekcija – apatine tiese.

Atkreiptinas d÷mesys į kontūrines linijas 1.39 paveiksle – kiek-viena jų pavaizduota ta pačia spalva visose projekcijose. Sudaromoji 4′5′ horizontaliojoje projekcijoje yra kontūre, o į F projekciją ją reik÷tų perkelti tik ryšio linijomis, statmenomis įsivaizduojamai X ašiai (čia ji atsidūr÷ viduryje br÷žinio, bet ne kontūre). Taigi nebūtinai vienoje projekcijoje kontūre esanti linija, turi ir kitoje projekcijoje išlikti kontūrine linija.

Dažniausiai studentams sunku suprasti rutulio epiūrą (žr. 1.39 pav., c). Paprašius frontaliojoje projekcijoje esantį kontūrinį apskritimą b′′ parodyti kitose projekcijose, daug studentų klaidingai parodo H ir P projekcijose nubr÷žtus rutulio kontūrinius apskritimus (šiuo atveju prival÷tų rodyti juodas linijas b′ ir b′′′).

D÷stytojui pieštuku bakstel÷jus į tašką A′′ (1.39 pav., c) ir tarus, kad jis yra ant rutulio paviršiaus bei matomas, studentas gal÷tų per šį tašką rutulio paviršiuje nubr÷žti patogų apskritimą, pavyzdžiui, horizontalų ir čia projektuojamą žalia tiese. Ant šios žalios apskritimo linijos tur÷tų būti ir kitos taško projekcijos: nematoma A', matoma A''' .

- 52 -

1.39 pav. Taškai ir linijos, priklausančios kūgio (a), cilindro (b) bei rutulio (c) paviršiui (kiekviena jų pažym÷ta ta pačia spalva visose projekcijose)

A'' A'''

A'

b''

b'

b'''

c)

3'

5''

5'

4''

4'

3'' a) b)

2''

1' ≡ 2'

1''

- 53 -

1.9. Paviršių sankirta su plokštumomis bei ties÷mis

Kadangi plokštuma yra atskiras paviršiaus atvejis, tod÷l paviršių ir plokštumos ar ties÷s sankirtai nagrin÷ti naudotini 17, 24 ir 25 postulatai su nežymiais pakeitimais, būtent:

31

Konkuruojančios linijos – tai tokios linijos (gali būti net erdvin÷s kreiv÷s), kurių projekcijos vienoje projekcijų plokštumoje sutampa.

32

Norint nustatyti erdvinio paviršiaus ir plokštumos sankirtos liniją, juose tikslinga nubr÷žti konkuruojančias linijas. Bendri šioms linijoms taškai bus bendri duotam paviršiui ir duotai plokštumai.

31 ir 32 postulatuose užrašyti sprendimo būdai gali būti nenaudojami, jei nors vienas iš susikertančių paviršių yra statmenas projekcijų plokštumai. 1.40 pav., a ieškant cilindro ir plokštumos sankirtos linijos, iš anksto der÷tų įžvelgti, kad ji yra ant cilindro šoninio paviršiaus, taigi jos horizontalioji projekcija sutampa su cilindro kontūriniu apskritimu. Tada bereiktų pasirinktus sankirtos linijos taškus perkelti į frontaliąją projekciją vadovaujantis 30 postulatu, pavyzdžiui: horizontaliojoje projekcijoje ant sankirtos linijos (apskritimo) pasirenkamas taškas 3′, per jį trikampyje nubr÷žiama ties÷ t′ ir perkeliama į frontaliąją projekciją, o ant jos ir taškas 3′′. Tokiu pat būdu perkeliami į frontaliąją projekciją kiti sankirtos taškai ir išbr÷žiama sankirtos linijos frontalioji projekcija.

Kai vaizduot÷ ribota, sankirtos taškus 1.40 pav., a galima būtų nustatyti br÷žiant konkuruojančias linijas ir cilindro paviršiuje, ir trikampio plokštumoje, pavyzdžiui, br÷žinyje sutampančias su tiese K′L′. Šiai tiesei konkuruojanti bei cilindro paviršiuje esanti linija frontaliojoje projekcijoje matytųsi cilindrą ribojančiu stačiakampiu. Abiejų linijų sankirtos taškai 1′′ ir 2′′ yra bendri ir ABC plokštumai, ir cilindro šoniniam paviršiui.

Atkreiptinas d÷mesys į 1.40 pav., b pavaizduotą tašką M: jis jokiu būdu negali būti sankirtos linijos tarp duotos plokštumos ir sferos (rutulio) paviršių taškas, nes M priklauso tiesei BC, o taškas N – sferos paviršiui. Čia sankirtos taškams nustatyti pasinaudojame konkuruojančiomis linijomis, pavyzdžiui ruda tiese 12, esančia

- 54 -

1.40 pav. Erdvinių paviršių ir plokštumų sankirta

A''

A'

B' C''

C'

K''

K'

L''

L'

6'' 2''

3''

4''

7'' 1''

8''

5''

1'

8' 7'

6'

4'

5'

3'

2'

t'

t''

a) B''

b)

A''

10'

2''

9'

M''

8'

N ''

M' ≡ N '

7'

B'' C''

D''

B' C'

A' D'

1''

2' 1'

4'' 3''

4' 3'

6'' 5''

6' 5'

7'' 8''

9'' 10''

- 55 -

plokštumoje ABCD, bei rudu apskritimu, esančiu rutulio paviršiuje; šių rudų linijų sankirtoje nustatyti 7′ ir 8′ taškai perkeliami į frontaliąją projekciją; jie bendri abiems duotiems paviršiams, taigi per juos turi eiti ieškoma raudona paviršių sankirtos linija (elips÷s epiūroje, o natūroje – apskritimas). M÷lynų konkuruojančių linijų sankirtoje nustatyti 9′ ir 10′ taškai perkeliami į frontaliąją projekciją; jie bendri abiems duotiems paviršiams, taigi per juos turi eiti ieškoma raudona paviršių sankirtos linija (epiūroje elips÷s, o natūroje – apskritimas). Žalia konkuruojanti linija 5′6′ ir žalias apskritimas neturi bendrų taškų, taigi šios linijos pasirinktos per žemai.

33

Norint nustatyti erdvinio paviršiaus ir ties÷s sankirtos taškus, tikslinga erdviniame paviršiuje nubr÷žti linij ą (plokščią kreivę arba laužtinę), konkuruojančią su duotąja tiese.

1.41 paveiksle, a galima nesivadovauti 33 postulatu ir cilindro

paviršiuje nebr÷žti konkuruojančios linijos, jei įžvelgiama, kad ties÷ l kirs ritinio šoninį paviršių taške 1′ bei pagrindą taške 2′′. Tą įrodo surastos šių taškų antrosios projekcijos.

1.41 paveiksle, b ties÷s t ir piramid÷s paviršiaus sankirtos taškai nustatyti, nubr÷žiant duotajai tiesei frontaliai konkuruojančią linij ą 1′′2′′3′′, esančią piramid÷s paviršiuje. Horizontaliojoje projekcijoje nustatomi šioms linijoms bendri taškai K′ ir L′ ; nustatomos jų frontaliosios projekcijos; taškai K ir L priklauso ir duotajai tiesei t , ir piramid÷s paviršiui (nes yra ant jo paviršiuje nubr÷žtos raudonos laužtin÷s linijos 123), taigi jie yra ties÷s ir piramid÷s paviršiaus sankirtos taškai.

1.41 paveiksle, c pražulniojo cilindro ir ties÷s sankirtos taškai

nustatyti pasinaudojant pagalbiniu projektavimu į H plokštumą (pagal 29 postulatą). Čia pagalbinio projektavimo kryptis s lygiagreti cilindro sudaromosioms ir jo sukimo ašiai, tod÷l šoninis cilindro paviršius horizontaliojoje plokštumoje projektuojamas apskritimu. Tada aiškiai matomus ties÷s ir cilindro paviršiaus sankirtos taškus 1H ir 2H belieka grąžinti į išeities projekcijas ir nustatyti ties÷s AB matomumą.

- 56 -

1.41 pav. Ties÷s ir paviršiaus sankirtos taškų nustatymas,

naudojant statmenus paviršius (a), konkuruojančias linijas (b) ir pagalbinį projektavimą (c)

1'' 2''

3''

1' 3'

2'

K''

L''

K' L'

t''

t'

A''

B''

1''

2''

s''

s'

B'

BH

AH 1H

2H

A'

2'

1'

c) b)

2'

1'

a)

1''

2''

1'''

2'''

m'

m''' m''

- 57 -

1.10. Dviejų paviršių sankirta

34

Dviejų paviršių sankirtos linijai nustatyti rekomenduoti-nas paprasčiausias sprendimo būdas apima tokius etapus: - abiejų duotų objektų paviršiuose br÷žiamos patogios konkuruojančios linijos; - nustatomi bendri konkuruojančioms linijoms taškai; - per bendrus konkuruojančioms linijoms taškus, auto-matiškai bendrus ir duotiems paviršiams, br÷žiama pavir-šių sankirtos linija.

1.42 pav., a ir kūgio, ir rutulio paviršiuje br÷žiamos, pavyzdžiui, m÷lynos frontaliai konkuruojančios linijos. Jos erdv÷je yra horizontalūs apskritimai, kurie frontaliojoje projekcijoje matomi tiese, o horizon-taliojoje – m÷lynais apskritimais. Šiems apskritimams bendri taškai yra matomi tik horizontaliojoje projekcijoje – tai taškai 5′ ir 6′, kurie į frontaliąją projekciją perkeliami ant tų pačių m÷lynų linijų. Nubr÷žiamos kitos frontaliai konkuruojančios linijos ir nustatomi kiti abiem apskritimams, taip pat kūgio ir rutulio paviršiams bendri taškai. Per juos nubr÷žta raudona erdvin÷ kreiv÷ 135728641 yra kūgio ir rutulio paviršių sankirtos linija.

1.42 pav., b raudona linija pavaizduota pražulnaus kūgio ir trikamp÷s prizm÷s paviršių sankirtos linija. Čia nubr÷žę žalias frontaliai konkuruojančias linijas, turime suvokti, kad natūroje jų forma yra: kūgio paviršiuje – apskritimas, o prizm÷s paviršiuje – laužtin÷ į U raidę panaši linija. Šių žalių linijų sankirtoje esantys taškai 4 ́ ir 5´ yra bendri abiem duotiems paviršiams, taigi per juos turi eiti paviršių sankirtos linija. Analogiškai nubr÷žę rudas konkuruojančias linijas, gauname sankirtos tašką 1 ;́ nubr÷žę m÷lynas konkuruojančias linijas, nustatome bendrą abiem paviršiams apskritimo lanko dalį 23. Praktikoje dažnai susiduriama su tokiais objektais, kurių paviršių sankirtos linijos 2-ose ar net 3-ose projekcijose sutampa su kontūrine linija ar jos dalimi. Tokiais atvejais įžvalgus studentas gal÷tų nesivadovauti 34 postulatu ir, negaišdamas laiko, spalvotai pažym÷ti paviršių sankirtos linijas. 1.43 paveiksle raudonai pažym÷ta trikamp÷s prizm÷s ir stataus cilindro paviršių sankirtos linija, kuri su kontūrin÷mis

- 58 -

1.42 pav. Paviršių sankirtos linijos nustatymas

1.43 pav. Prizm÷s ir cilindro paviršių sankirta

1''≡7''

2''≡8''

3''≡9''

4''≡10''

5''≡11'' 6'' ≡12''

1'

7'

2'

8'

3' ≡6'

9' ≡12'

4'

10'

5'

11'

3'''

2'''≡4'''

1'''≡5''' 6'''

9'''

8'''≡10'''

7'''≡11''' 12'''

1''

1'

2''

2'

3'

3''≡4''

4'

5'

6'

5''≡6'' 7''≡8''

7'

8'

S''

A'

B''

5' 4'

A''

S'

C'

01''

C''

01'

03''

03'

1'

5''

1''

4''

02''

02'

3'' 2''

3'

2' B'

a) b)

- 59 -

linijomis sutampa dviejose projekcijose, belieka ją perkelti į profiliąją projekciją. Iš frontaliosios projekcijos galima spręsti, kad prizm÷ gal÷tų kirstis tik su cilindro šoniniu paviršiumi, kuris horizontaliojoje projekcijoje matomas apskritimo lanku (žr. 1.43 pav.). Taigi ant šio lanko tur÷tų būti sankirtos linija. Iš horizontaliosios projekcijos galima spręsti, kad paviršių sankirtos linija tur÷tų būti tik ant prizm÷s šoninio paviršiaus, kuris F plokštumoje projektuojamas trikampiu, jį, kaip sankirtos liniją, ir reik÷tų pažym÷ti raudonai.

Labai dažnai praktikoje tenka sujungti du vienodo skersmens vamzdžius (pavyzdžiui, norint pagaminti keturšakį). Jų paviršių sankirtos linijos yra dvi plokščios elips÷s, kurios 1.44 paveiksle pažym÷tos raudonomis linijomis. Dviejose projekcijose jos sutampa su vamzdžių kontūriniais apskritimais, nes jais projektuojami cilindrinių vamzdžių šoniniai paviršiai. Kitaip sakant, visų keturių vamzdžių galus der÷tų pjauti, panaudojant šabloninę plokštumą, 45° kampu palinkusią į vamzdžio išilginę ašį.

Tam tikrais atvejais nustatyti paviršių sankirtos liniją, naudojant vien tik konkuruojančias linijas, yra sud÷tinga. Tada duoti paviršiai gali būti kertami koncentriniais arba ekscentriniais rutuliais, bendrosios pad÷ties plokštumomis, pasinaudojant pagalbiniu projektavimu [1–5].

1.11. Geometriniai kūnai su nuopjovomis ir išpjovomis

35

Kūno su nuopjova ar išpjova epiūra sudaroma tokia seka: − 1 etapas: nubr÷žiamos visos linijos, kurios po atliktų pjūvių atsiranda pirminio kūno paviršiuje; − 2 etapas: nubr÷žiamos linijos, susidariusios naujuose pjūvių paviršiuose kaip pjūvių lūžio linijos; − 3 etapas: nubr÷žiamos išpjovų kontūrin÷s bei išpjovų briaunų linijos, susidariusios pirminio kūno viduje; − 4 etapas: panaikinamos pirminio kūno kontūrinių linijų bei briaunų dalys, kurios buvo išpjautos ar nupjautos.

1.45 paveiksle pavaizduoti cilindras ir kūgis su paprastomis nuopjovomis, o po kiekvieno pjūvio paviršiuje gautos linijos pažym÷tos skirtingomis spalvomis. Atkreipiamas d÷mesys į žaliai pažym÷tą tiesę,

- 60 -

1.44 pav. Vienodo skersmens vamzdžių sankirta

1.45 pav. Status cilindras ir kūgis su nuopjovomis

a) b)

1'' 1'''≡3'''

2''≡5''

3''

4''≡3''' 4''' 6'''

2'≡4'

3'

5'≡6'

1'

5''' 2'''

- 61 -

susidariusią nupjauto cilindro paviršiuje kaip dviejų pjūvių lūžio liniją. Jeigu Jums neaišku, kaip iš frontaliosios projekcijos ritinio ir kūgio paviršiuje esanti m÷lyna pjūvio linija perkeliama į kitas projekcijas, tai atidžiai skaitykite 30 postulatą.

1.46 paveiksle, a pateikta tik viena schematin÷ rutulio su nuo-pjovomis projekcija, o b dalyje – tikslesn÷s šios detal÷s trys projekcijos, kai a dalies vaizdas yra sutapatintas su b dalies frontaliąja projekcija. Čia tomis pačiomis spalvomis pažym÷tos tik pirminio kūno – rutulio paviršiuje po pjūvių susidariusios keturios linijos, kurios natūroje yra apskritimo lanko dalys.

1.46 paveiksle, b spalvomis n÷ra išskirtos trys pjūvių lūžio linijos (pagal 35 postulato 2 etapą), nes daug kur jos sutampa su kitomis linijomis. Lūžio linijas (briaunas) bei pjūvių plokštumas d÷stytojui prašant tur÷tų parodyti studentas.

1.47 paveiksle, a pateikta nupjauto kūgio epiūra, kuriame yra

išgręžtos vertikalios ir horizontalios cilindrin÷s kiaurym÷s. Čia panaudoti visi 35 postulate išvardyti etapai. M÷lyna spalva pavaizduota kūgio šoniniame paviršiuje susidariusi erdvin÷ briauna, kaip horizontalaus cilindrinio paviršiaus (kiaurym÷s) ir kūgio paviršiaus sankirtos linija. Atkreiptinas d÷mesys į žalias linijas – kaip dviejų cilindrinių paviršių sankirtos kreives: čia jos būtinai tur÷tų būti pavaizduotos tik profiliojoje projekcijoje, tačiau d÷l vaizdumo žalia spalva pažym÷tos ir kitose projekcijose.

1.47 paveiksle, b pateikta rutulio, kuriame yra išgręžtos vertikalios

ir horizontalios cilindrin÷s kiaurym÷s, epiūra. Čia nepanaudotas 35 postulato 1 etapas, nes n÷ra jokių plokščių pjūvių. M÷lyna spalva pavaizduotos sferos paviršiuje susidariusios plokščios briaunos, kaip horizontalios kiaurym÷s (cilindro) ir rutulio paviršiaus sankirtos linijos: jos H ir P plokštumose projektuojamos ties÷mis, natūroje ir F projekcijoje – apskritimais.

Vertikali kiaurym÷ rutulio paviršiuje (žr. 1.47 pav., b) taip pat su-daro du violetinius plokščius apskritimus. Abiejų cilindrinių kiaurymių sankirtos linija privaloma pažym÷ti P plokštumoje, bet d÷l vaizdumo žalia linija pažym÷ta ir kitose projekcijose.

- 62 -

1.46 pav. Rutulys su išpjovomis (spalvotai pažym÷tos tik rutulio paviršiuje susidarę linijos)

1.47 pav. Nupjauto kūgio ir rutulio su dviem cilindrin÷mis

kiaurym÷mis epiūra

a) b)

a) b)

- 63 -

1.12. Paviršių išklotin÷s

36

Sudarant paviršių išklotines tikslinga žinoti jog: 1) reikalingi paviršių ir jų charakteringų linijų tikrieji dydžiai; 2) daugiakampius patogu skaidyti į trikampius, o pastaruosius perkelti į norimą br÷žinio vietą pasinau-dojant „užkirčių“ būdu; 3) cilindro šoniniame paviršiuje jo sukimosi ašiai (kartu ir jo sudaromosioms) statmena linija išklotin÷je yra ties÷, statmena sudaromosioms; 4) kūgio šoniniame paviršiuje jo sukimosi ašiai statmena linija išklotin÷je yra lankas apskritimo, kurio centras – kūgio viršūn÷, o spindulys – kūgio sudaromosios iki vaizduojamos linijos ilgis; 5) neišklojami paviršiai suskaidomi į kiek galima mažesnes dalis (sąlyginai išklojamas plokštumoje) ir nustatomi tų dalių tikrieji dydžiai.

1.48 paveiksle sudaryta pateiktos epiūroje pražulnios piramid÷s išklotin÷. Kadangi pagrindas ABC horizontaliojoje projekcijoje matomas tikruoju dydžiu (nes lygiagretus H plokštumai), išklotin÷ perkeliama „užkirčių“ būdu. Tuo tikslu patogioje vietoje pažymima kraštin÷ AB, o taškas C nustatomas lankelių (užkirčių), br÷žiamų spinduliais AC ir BC atitinkamai iš taškų A ir B, sankirtoje. Analogiškai nustatoma piramid÷s viršūn÷s pad÷tis bei kiti taškai. Kadangi piramid÷s šonin÷s briaunos esamose projekcijose nesimato tikraisiais ilgiais, tai vadovaujantis 1.7.2 skyrelio medžiaga jų tikrieji ilgiai nustatyti pasukant jas apie vertikalią ašį j iki lygiagrečių F plokštumai pad÷čių.

Rutulio paviršius n÷ra išklojamas, tod÷l tektų vadovautis 36 postulato 5 dalies nurodymu, ir paviršiaus išklotin÷ tur÷tų susid÷ti iš atskirų segmentų (1.49 pav., b arba c). Taigi žem÷s pusrutulio ar rutulio geografijos žem÷lapiai yra labai netikslūs, ir pagal tokius žem÷lapius atstumų nustatyti nerekomenduojama – juos galima matuoti tik ant gaublio.

- 64 -

1.48 pav. Pražulnios piramid÷s epiūra ir jos išklotin÷

1.49 pav. Rutulio išklotin÷s

b)

c)

a)

K''

A'' B'' C''

j''

B1'' C1'' A1''

C1' B1' A1'

C'

B'

A'

K' ≡ j'

A1''K'' =│AK│ B1''K'' =│BK│ C1''K'' =│CK│

K

A

B

C

C

A

- 65 -

2. VIENPROJEKČIAI BR öŽINIAI

2.1. Aksonometrija

37

Aksonometrija (aksonometrin÷ projekcija) yra vaizdus vienprojektis br÷žinys, gautas daiktą lygiagrečiais spin-duliais projektuojant į br÷žinio plokštumą.

Aksonometrin÷ (arba br÷žinio, arba paveikslo) plokštuma gali būti bet kokios pad÷ties plokštuma. Jeigu ji yra bendrosios pad÷ties, tai projektavimo kryptis s įprastai būna statmena šiai plokštumai ββββ. Kai ββββ yra lygiagreti bet kuriai epiūroje nagrin÷tai H, F, P plokštumai, tai kryptis s turi būti pražulni į šią plokštumą.

2.1 paveiksle matomoji bendrosios pad÷ties aksonometrin÷s plokštumos ββββ dalis yra balta, ji su H,F,P plokštumomis kertasi p÷dsakais ββββH, ββββF, ββββP. Per šių p÷dsakų sankirtos taškus aksonometrin÷je plokštumoje būtinai turi eiti aksonometrin÷s koordinačių ašių projekcijos, taigi belieka nustatyti tik koordinačių pradžios taško aksonometrinę projekciją Oββββ. Tik 2.1 paveiksle d÷l vaizdumo aksonometrin÷s koordinačių ašių projekcijos pažym÷tos raudonai bei simboliais Xββββ, Yββββ, Zββββ, o toliau tekste bei aksonometriniuose paveiksluose paliekami tokie patys ašių žym÷jimai kaip ir epiūroje.

Įprastai daikto orientavimas stačiakamp÷je koordinačių sistemoje, br÷žinio plokštumos pad÷tis ir projektavimo kryptis laisvai pasirenkami, tačiau vaizduojamo daikto kontūrin÷s linijos bei paviršiai negali būti statmeni aksonometrinei plokštumai. Pastaruoju atveju aksonometrija taptų viena iš epiūros projekcijų, taigi tokio br÷žinio nebūtų galima suprasti.

38

Taškai aksonometrijoje atidedami tik pagal jų koordinates epiūroje.

2.2 paveiksle, a ties÷ AB yra pavaizduota epiūroje, o jos kabinetin÷ aksonometrija (tiksliau – pražulnioji frontalioji dimetrin÷ aksonometrija, apie ją jau buvo rašyta 1.2 skyrelyje) pateikta 2.2 pav., b. Čia pirmiausia ant X ašies aksonometrijoje tikruoju ilgiu atidedama taško B koordinat÷ xB , po to ant Y ašiai lygiagrečios ryšio linijos – du kartus trumpesn÷ už yB atkarpa ir galiausiai ant lygiagrečios Z ašiai ryšio linijos – tikruoju il-giu koordinat÷ zB. Analogiškai aksonometrijoje pavaizduojamas A taš-kas.

- 66 -

2.1 pav. Aksonometrijos sudarymas

2.2 pav. Ties÷s AB epiūra (a) ir kabinetin÷ aksonometrija (b)

X

Y

Y

A''

B''

A'

B'

xB

yB

zB

0 X

Z

xB

zB

yB/2

A

B

0

Z a) b)

Z

X

Y

s

0

0β

Xβ

Yβ

Zβ

β

βF

βP

βH

- 67 -

Aksonometrinio ašies ilgio santykis su tikruoju jos ilgiu vadinamas koordinačių ašies ilgio iškreipimo koeficientu. Įprastai charakteringi daikto matmenys yra lygiagretūs koordinačių ašims, taigi automatiškai šie matmenys aksonometrijoje pakinta tuo pačiu koordinačių ašies ilgio iškreipimo koeficientu. Labai dažnai aksonometrin÷s plokštumos pad÷tis ir projektavimo kryptis parenkama taip, kad daikto matmenų iškreipimo koeficientai ašių X, Y, Z kryptimis būtų arba vienodi (pavadinime šiuo atveju vartojamas terminas izometrin÷ aksonometrija), arba vienos iš ašių iškreipimas dvigubai skirtųsi nuo kitų dviejų ašių (pavadinime – dimetrin÷ aksonometrija). Kai projektavimo kryptis yra statmena paveikslo plokštumai, tai aksonometrijos pavadinime būna žodis „ stačiakamp÷“ , kitais atvejais – „pražulnioji ”. Taigi aksonometrijos rūšių gali būti be galo daug.

Technin÷je braižyboje populiarių aksonometrijų rūšys, koordinačių ašių X, Y, Z pad÷tys br÷žinio plokštumoje bei šių ašių ilgių iškreipimo koeficientų vert÷s parodytos 2.3 paveiksle. Standartin÷je stačiakamp÷je izometrin÷je aksonometrijoje patogumo d÷lei koordinačių ašių ilgio koeficientai yra suapvalinti ir prilyginti vienetui (žr. 2.3 pav., a), o stačiakamp÷je dimetrin÷je (žr. 2.3 pav., c) panaudoti koeficientai 1 ir 0,5. Iš paveikslo matyti, kad ant kubo šonų esantys apskritimai stačiakamp÷se aksonometrijose projektuojami elips÷mis.

Mašinų br÷žiniuose paranki kabinetin÷ aksonometrija (pražulnioji frontalioji dimetrin÷ aksonometrija), nes detalių linijos, pjūviai ar paviršiai, lygiagretūs frontaliajai plokštumai, braižomi tikruoju dydžiu (pvz., apskritimas projektuojamas apskritimu). Rečiau naudojama pražulnioji frontalioji izometrin÷ aksonometrija, nes joje kubas tampa panašesnis į prizmę (žr. 2.3 pav., b).

Architektai miestų kvartalus bei sodybų sklypus vaizduoja pla-nometrin÷je aksonometrijoje (pražulniojoje horizontaliojoje izometrin÷je aksonometrijoje), nes joje kvartalo planas braižomas toks pats kaip ir epiūros horizontaliojoje projekcijoje. Taigi belieka planą pasukti 45° kampu ir vertikalia kryptimi atid÷ti vaizduojamų taškų aukščius (žr. 2.3 pav., d). Šioje aksonometrijoje kampas tarp X ir Y ašių projektuojamas status, o apskritimas plane ir šioje aksonometrijoje vaizduojamas apskritimu.

- 68 -

2.3 pav. Koordinačių ašių pad÷tys ir jų ilgio iškreipimo koeficientai įvairiose aksonometrijose. Vaizdumo d÷lei apačioje pateiktos kubo ir

ant jo sienų nubr÷žtų apskritimų aksonometrijos

a) stačiakamp÷ izometrin÷ aksonometrija

1 1

1

120° 120°

120° X Y

Z

c) stačiakamp÷ dimetrin÷ aksonometrija

0,5

1

131° 97°

X

Y

Z

1

1

1

135°

b) pražulnioji frontalioji izometrin÷ aksonometrija

d) planometrin÷ aksonometrija

135°

1

1

1

1

X

Y

Z

X Y

Z

- 69 -

Apskritimo bei kitų kreivių aksonometrija sudaroma vadovaujantis 38 postulatu, t. y. kiekvienas ant kreiv÷s lanko esantis taškas aksonometrijoje gali būti atidedamas pagal jo koordinates iš epiūros br÷-žinio.

2.2. Altiplanas

39

Altiplanas (altitudin÷s projekcijos, geodezin÷ nuotrauka) yra žem÷s teritorijos tik horizontaliosios projekcijos br÷žinys, kuriame pagal pavaizduotas horizontales (izohipses) galima nustatyti žem÷s paviršiaus taškų aukščius.

Žem÷s paviršiaus ar daikto atvaizdavimo altiplane eiga: a) duotas paviršius kertamas pagalbin÷mis horizontaliomis

plokštumomis; b) nustatomos duoto paviršiaus ir pagalbinių plokštumų sankirtos

linijos. Šios linijos yra lygiagrečios H plokštumai, tod÷l vadinasi horizontal÷s, arba izohips÷s (visi linijos taškai yra vienodame aukštyje);

c) išbr÷žtos horizontal÷s projektuojamos į nulinio lygio H plokš-tumą. Horizontal÷s pažymimos skaičiais (altitud÷mis), apibū-dinančiais jų aukštį virš sąlygin÷s nulinio lygio H plokštumos (pavyzdžiui, virš Baltijos jūros lygio).

2.4 paveiksle, a altiplane pavaizduota vietov÷ su kalva ir dauba, 2.4 paveiksle, b – šios vietov÷s paviršiuje esančios linijos AB išilginis profilis, 2.4 paveiksle, c – 3 metrų aukščio keturkamp÷ nupjautin÷ piramid÷.

Vandens tek÷jimo paviršiumi kryptį rodo paviršiaus didžiausio polinkio linija, kuri tame paviršiuje visada yra statmena horizontal÷ms (skaitykite 1.4 skyrelio paskutinę pastraipą).

Paviršiaus nuolydį galima nustatyti pasinaudojant pagalbiniu stačiuoju trikampiu: šio trikampio vienas statinių yra atstumas tarp duotų taškų plane (H plokštumoje), o kitas – altitudžių tarp taškų skirtumas. Taigi 2.4 paveiksle, c masteliu M1:500 pavaizduotos piramid÷s dešiniojo šlaito nuolydis yra i = 1 : 2,5 = 0,4 = 40% = 21°48', o l÷kštesnio kairiojo šlaito nuolydis i = 1 : 5 = 0,2 = 20% = 11°20′.

- 70 -

2.4 pav. Sklypo altiplanas (a), linijos AB išilginis profilis (b) ir

keturkamp÷s nupjautin÷s piramid÷s altiplanas (c)

a) 85

86

86

89

88

87

86

86

86

85

84

83

83 84 85 86

A B

A – B

82

b)

c)

3

2

1

a

a

b

b

M 1 : 500

1 m

1 m

5 m

2,5 m

- 71 -

2.3. Perspektyva

40

Perspektyva (perspektyvin÷ projekcija) – tai vaizdus br÷-žinys viename paviršiuje, sudarytas pasinaudojant centri-nio projektavimo (steb÷jimo) principais.

Jei perspektyva sudaryta kupolo paviršiuje, ji vadinama skliautin÷, jei cilindro paviršiuje – panoramin÷, jei vertikalioje plokštumoje – linijin ÷. Čia pateiksime tik linijinei perspektyvai sudaryti naudojamo architektų metodo esmę. Pastato linijinei perspektyvai sudaryti reikalingi:

- pastato epiūra (fasadas ir planas); - vertikali paveikslo (br÷žinio) plokštuma ββββ; - steb÷jimo taškas S ir per jį einanti horizontali horizonto plokštuma

ϕϕϕϕ bei horizonto linija h. 2.5 paveiksle, a uždaviniui paprastinti br÷žinio plokštuma ββββ tyčia

nubr÷žta per dešinįjį vartų virpstą 15, taigi šis perspektyvoje (2.5 paveiksle, b) būtų atvaizduojamas taške 10 tikruoju aukščiu. Steb÷jimo taško (projektavimo centro) S bei horizonto plokštumos ϕϕϕϕ pad÷tis pasirinkta laisvai. Bet kokio objekto perspektyvai sudaryti būtina įsiminti šiuos postulatus:

41

Bet kokia ties÷ perspektyvoje yra nukreipta į jos toliausio taško perspektyvą (į tiesių sueigos tašką).

42

Ties÷s toliausio taško perspektyva yra spindulio, lygia-gretaus vaizduojamai tiesei ir einančio iš S steb÷jimo taško, sankirtos su paveikslo plokštuma ββββ taškas.

Taigi vartų skersinio (ties÷s t) toliausio taško perspektyvai gauti tikslinga br÷žti per tašką S lygiagretų tiesei t spindulį S'K1' , o taškas K1 būtinai turi būti ant horizonto linijos h. Beje, taškas K1 yra taip pat ir pagalbinių tiesių 12 bei 34 toliausių taškų perspektyvin÷ projekcija. Virpstas 26 paveikslo plokštumoje tur÷tų matytis vertikalia, bet trumpesne už tikrąjį ilgį atkarpa virš taško 20: taškas 2 turi būti ant ties÷s 10K1, taškas 6 – ant ties÷s 5K1.

Tiesių 13 ir 24 toliausių taškų perspektyva pagal 42 postulatą yra taškas K2, o taškas 3 perspektyvoje tur÷tų būti virš taško 30, bet būtinai ant ties÷s 10K2.

- 72 -

2.5 pav. Linijin÷s perspektyvos sudarymas

α

h′′ ≡ φ''

K1'

K2'

S'

1'≡5' 2' ≡ 6' 10

20

β′ ≡ βH ≡ h′ ≡ t′

30

3' 4'

2′′ ≡ 4'' 1′′ ≡ 3''

t''

t'

6'' 5'' a)

K1

t

K2

30 20 1 ≡10

h

b)

K1'

5 6

4 2 3

K2'

t

- 73 -

Kad pastato perspektyva būtų vaizdi, būtina įvykdyti tokius reikalavimus: 1) optimalus reg÷jimo kūgio kampas αααα turi būti 28–37° (arba steb÷jimo

taško S nuotolis nuo paveikslo plokštumos turi būti 1,5-2 kartus didesnis už pastato ilgiausią briauną);

2) paveikslo plokštuma ββββ su fasadu tur÷tų sudaryti 25–35° kampą; 3) reg÷jimo taško S pad÷tis horizonto plokštumoje turi būti tokia, kad iš

jo einantis ββββ plokštumai statmenas spindulys pakliūtų į reg÷jimo kūgio vidurinį trečdalį.

2.6 paveiksle,a pavaizduoto pastato perspektyvos sudarymo eiga: − parenkama paveikslo plokštumos ββββ ir steb÷jimo taško S pad÷tis; − pagal 41 postulatą nustatomi pastato horizontaliųjų briaunų sueigos taškai K1 ir K2 (t. y. S'K1'║1'2'; S'K2'║1'7' ); − nustatomos reg÷jimo spindulių, nukreiptų į pastato taškus, sankirtos su paveikslo plokštuma horizontaliosios projekcijos (ant t ties÷s taškai 10, 20, 30...); − paveikslo plokštumos p÷dsakas ββββH (arba ties÷ t′) su atžym÷tais taškais perkeliamas į laisvą br÷žinio vietą (patogiausia būtų šalia fasado). Keičiant šios ties÷s mastelį, tuo pačiu masteliu reik÷tų keisti ir vertikalius atstumus; − horizontali briauna 12 perspektyvoje prasideda taške 10=1 ir nukreipta į sueigos tašką K1; taškas 2 yra ant vertikalios ryšio linijos, išvestos per tašką 20; − horizontali briauna 17 perspektyvoje prasideda taške 10=1 ir nukreipta į sueigos tašką K2; taškas 7 yra ant vertikalios ryšio linijos, išvestos per tašką 70; − vertikali briauna tikruoju ilgiu atidedama taške 10 (nes priklauso ββββ plokštumai), arba taške 4P ir 42 (nes 2.4 paveiksle į šiuos taškus priartintos briaunos); − analogiškai nustatomos ir kitos statinio briaunos bei taškai.

Įdomumo d÷lei 2.6 paveiksle parodyta, kad taško 4 perspektyvą

galima gauti kaip tiesių 4'4P ir 4'42 sankirtos tašką. Ties÷ 4'4P perspektyvoje projektuojasi tiese 4PP, o ties÷ 4'42 – tiese 42K2; tiesių 4PP ir 42K2 sankirta ir yra taško 4 perspektyvin÷ projekcija.

- 74 -

2.6 pav. Pastato linijin÷s perspektyvos sudarymas

φ

h′′ ≡ φ''

K1'

K2'

S'

1' 2'

3' 4'

5' 6' 7'

P0

70

10

60

20 30

40

4P

42

β′ ≡ βH ≡ h′ ≡ t′

a)

K1

42 4P 40 30 20 P0 60 10 70

P

t′

K2 h

2 3 4

7

8

8Ž

b)

- 75 -

Taigi atliktus veiksmus apibendrinančius postulatus galima užrašyti taip:

43

Bet kokio taško perspektyvinę projekciją galima nustatyti kaip dviejų per duotą tašką nubr÷žtų patogių krypčių tiesių perspektyvinių projekcijų sankirtos tašką.

44

Statmenų br÷žinio plokštumai tiesių toliausio taško perspektyva yra svarbiausias paveikslo taškas P. Ver-tikalios ties÷s ir perspektyvoje išlieka vertikaliomis.

Šeš÷liai perspektyvoje gali būti sudaryti esant įvairioms Saul÷s pad÷tims. Dažniausiai saul÷s spindulys yra 45° kampu palinkęs į H plokštumą ir lygiagretus ββββ paveikslo plokštumai. 2.6 paveiksle pavaizduotas tik taško 8 šeš÷lis ant žem÷s paviršiaus – taškas 8Ž. Apskritai šeš÷liai gali kristi ant vertikalių kitų statinių sienų, nuožulnių ar horizontalių stogų ir žem÷s šlaitų. Jeigu neaiški šeš÷lio sąvoka ir sudarymo principai, atidžiai paskaitykite apie pagalbinį projektavimą 1.7.4 skyrelyje.

Kambario ir jame esančių daiktų pavaizdavimas aksonometrijoje suteiktų mums iškreiptą vaizdą: tik frontalioji perspektyva (2.7 pav., b) yra panaši į mūsų akimis regimą vaizdą ir leidžia teisingai projektuoti kambario interjerą.

Terminas “frontalioji perspektyva” reiškia, kad paveikslo plokš-tuma ββββ yra lygiagreti frontaliajai plokštumai F. Įdomumo d÷lei ties÷ t ir visos ant jos esančios atkarpos 2.7 paveiksle, b yra atid÷tos 2 kartus ilgesn÷s nei 2.7 pav., a. Tod÷l ir vertikalios atkarpos, besiliečiančios su paveikslo plokštuma, turi būti 2 kartus ilgesn÷s nei epiūros frontaliojoje projekcijoje.

2.7 paveiksle, b matome, kad statmenos br÷žinio plokštumai kambario briaunos perspektyvoje yra nukreiptos į tašką P, kuris dažnai literatūroje yra vadinamas “svarbiausias paveikslo taškas”. Manome, kad kambario perspektyvos sudarymo principų nereikia komentuoti, o jeigu Jums neaišku, tai atidžiai analizuokite 2.6 paveikslą. Pravartu įsid÷m÷ti: vidurio tašką perspektyvoje galima pažym÷ti kaip įstrižainių sankirtos tašką – 2.7 paveiksle, b taip nustatyta šviestuvo – taško 3 perspektyva.

- 76 -

2.7 pav. Kambario epiūra (a) ir frontalioji jo perspektyva (b)

P

3

1

10 2P

2

t

20

S'

S'' ≡ P''

P0

3'

3'' 1''

1'

2P 10 1P 20

2''

2'

βH ≡β′≡t′

a)

b)

- 77 -

AUTORIŲ BAIGIAMASIS ŽODIS

Gerb. Skaitytojau, tikim÷s, kad ši knyga suteik÷ Jums pakankamai reikalingų žinių apie daiktų vaizdavimo būdus, ypač apie daugumai studentų sunkiausiai suvokiamą br÷žinį – epiūrą.

Jeigu Jums teko skaityti ir kitų autorių nagrin÷jama tema parašytus vadov÷lius, tai tikriausiai pasteb÷jote, kad šioje knygoje yra esminių metodinių ypatumų:

– panaudoti originalūs paveikslai, skirti lengviau suvokti epiūroje pateikto taško, ties÷s bei plokštumos realią pad÷tį erdv÷je;

– epiūroje, sutapdinant projekcijas į vieną plokštumą, apie ašį X sukama ne horizontalioji, bet frontalioji plokštuma;

– daugelyje paveikslų sprendimai pateikti etapais; – dažnai atskiros linijos ir taškai yra pažym÷ti skirtingomis spalvomis; – atsisakyta dažnai nebūtino kirtimo pagalbin÷mis projektuojančiomis

plokštumomis; – įvesti nauji terminai: „konkuruojančios ties÷s“ bei „konkuruojančios

linijos“; – siūloma keisti keletą seniau vartotų terminų naujais, pavyzdžiui:

„braižomoji geometrija“ keisti į „vaizduojamoji geometrija“; „ortogonalin÷s projekcijos“ – į „epiūra“, „altitudin÷s projekcijos“ – į „altiplanas“, „perspek-tyvin÷s projekcijos“ – į „perspektyva“;

– daugumoje paveikslų konkuruojančios linijos pavaizduotos dvigubomis spalvotomis linijomis (tai padeda lengviau suprasti br÷žinį, nors techniniuose br÷žiniuose būna tik vienguba linija);

– patogumo d÷lei labai reikšmingi teiginiai bei postulatai yra sunumeruoti, tod÷l patogu skaitytoją nukreipti į konkrečią vietą;

– tekstin÷ dalis pateikta greta paveikslų, tod÷l nagrin÷jant bet kokią temą nereikia lapų vartyti, o monitoriaus ekrane iškart matomi abu puslapiai.

Tikim÷s, kad mūsų siūlymai prigis ne tik universitetuose, bet ir praktikoje.

Būtume Jums d÷kingi, jei aptiktas klaidas ar savo nuomonę

pateiktum÷te autoriams elektroniniu paštu: [email protected] .

- 78 -

LITERATŪRA

1. Inžinerin÷s grafikos teoriniai pagrindai / Dalia Bendikien÷, Robertas Keršys. Kaunas : Technologija, 2005, 194 p.

2. Inžinerin÷ grafika / Vytautas Sliesoriūnas, Jonas Jurgaitis, Vladimiras Čiuprinas. Vilnius : Žiburio l-kla, 1998, 478 p.

3. Braižomoji geometrija / Arvydas Jonas Iržikevičius, Nijol÷ Bulvien÷. Vilnius : VPU leidykla, 2005, 117 p.

4. Inžinerin÷ grafika / Dalia Bendikien÷, Gražina Pietarien÷. Kaunas : Technologija, 2005, 47 p.

5. Engineering graphics / Pranas Gerdžiūnas. Vilnius : Technika, 2004, 96 p.

6. Inžinerin÷ grafika. Paskaitų konspektas / Aleksandra Laimut÷ Gulbinien÷, Pranas Kumpikas, Algimantas Vasylius, Mykolas Žmuida. Kaunas : Technologija, 2007, 65 p.

7. LST EN ISO 5456-1:2002 lt. Techniniai br÷žiniai. Projekcijų metodai. 1 dalis. Trumpa apžvalga (ISO 5456-1:1996). Vilnius : 2002, 8 p.

8. LST EN ISO 5456-2:2002 lt. Techniniai br÷žiniai. Projekcijų metodai. 2 dalis. Stačiakamp÷s projekcijos (ISO 5456-2:1996). Vilnius : 2002, 11 p.

9. LST EN ISO 5456-3:2002 lt. Techniniai br÷žiniai. Projekcijų metodai. 3 dalis. Aksonometrin÷s projekcijos (ISO 5456-3:1996). Vilnius : 2002, 12 p.

10. LST EN ISO 5456-4:2002 en. Techniniai br÷žiniai. Projekcijų metodai. 4 dalis. Centrin÷ projekcija (ISO 5456-4:1996). Vilnius : 2002, 36 p.