Page 1
Strömungsmaschinen Grundlagen-90-
V. Ähnlichkeitsgesetze und dimensionslose Kennwerte
• Die Entwicklung großer hydraulischer Strömungsmaschinen wird am Modell durchgeführt.
Weitere Beispiel: Autos, Flugzeuge, Schiffe
Ausnahme: Kleine Maschinen, thermische Strömungsmaschinen
• Die Untersuchung der Modellmaschine auf die Originalmaschine erfordert
zuverlässige Ähnlichkeitsgesetze: geometrische Ähnlichkeit
kinematische Ähnlichkeit
dynamische Ähnlichkeit
• geometrische Ähnlichkeit: Alle Maße von Modell und Originalmaschine stehen in einem
festen Verhältnis: Modellmaßstab
Grenze: Wandrauhigkeit und deren Einflüsse
Page 2
Strömungsmaschinen Grundlagen-91-
• kinematische Ähnlichkeit: Geschwindigkeiten des Modells und des Originals stehen
in einem festen Verhältnis
Grenze: Turbulenzgrad, Umschlag laminar – turbulent
• dynamische Ähnlichkeit:
Froude-Zahl: Oberflächenwellen, Wehre
Schleusen, Schiffe
Reynolds-Zahl: Reibungseffekte
Häufig können Unterschiede bei der dynamischen Ähnlichkeit akzeptiert werden, ohne die
Übertragbarkeit der Modellergebnisse auf die Großausführung zu gefährden.
ä∙
ä ∙ν
Page 3
Strömungsmaschinen Grundlagen-92-
Förderhöhe
1∙ ∙
∙
∙
Bei gleicher Form ist der Klammerausdruck unabhängig von Größe und Drehzahl
⟹ NPSH analog, weil sich die Drückeproportional zu H verhalten
∙
Geschwindigkeitsdreiecke
Durchsatz / Volumenstrom
∙ ∙ ⟹ ∙ ∙
Strahlensatz für die Geschwindigkeitsdreiecke
∙
Page 4
Strömungsmaschinen Grundlagen-93-
Gleiches Ergebnis für ringförmig durchströmte Fläche
Volumenstrom
Kräfte
Leistung
∙ ∙
∙ ∙ ∙
∙ ∆ mit ∆ ~ ∙ ∙
∙
∙ ∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙
Page 5
Strömungsmaschinen Grundlagen-94-
Kompressibilität
örtliche Schallgeschwindigkeit: κ ∙ ∙ ideales Gas
2 ⟹ 2 ∙ 2 ∙ ∙
• Ähnlichkeit: Mach-Zahlen müssen gleich sein
ö ö
Totalenthalpie:
2 ∙ ∙ κ ∙ ∙
⟹ ⟹• Ähnlichkeit:
⟹ • wegen:
Page 6
Strömungsmaschinen Grundlagen-95-
Reibung
Bsp.: Modellmaßstab 20 20 1: Original
2: Modell
• Reynolds-Ähnlichkeit:
∙ ∙ ∙ ∙ ∙120
• Leistung:
mit∙ν
2 ∙ ∙ , gleiches Medium ν ν
⟹ 2 ∙ ∙ ∙
ν2 ∙ ∙ ∙
ν ⟹1400
Das Modell müsste mit der 400-fachen Fallhöhe betrieben werden!
Page 7
Strömungsmaschinen Grundlagen-96-
Bei Modellversuchen mit hydraulischen Strömungsmaschinen wird die Reynolds-Ähnlichkeit meistens
ignoriert.
Hauptauswirkung: Wirkungsgradmessung
Abhilfe: Aufwertung
Grundlage nach Ackeret: 1. 50% Re-abhängige „aufwertbare“ Verluste: Reibung
Annahme: Änderung mit analog dem Reibungsbeiwertder ebenen Platte
0,074 ∙ ,
2. 50% Re-unabhängige nicht „aufwertbare“ Verluste:Stoßverluste, Mischverluste, Austrittsverluste
1 η1 η
12
12 ∙
12
12 ∙
, 12
12 ∙
∙∙
,
Page 8
Strömungsmaschinen Grundlagen-97-
Zahlenbeispiel: 6,00,3
205
η 92,4%η 90% Aufwertungsspanne2,4%
• Mit verbesserter Einsicht in die Energiebilanz hydraulischer Strömungsmaschinen wurden und
werden eine Reihe weiterer Aufwertungsformeln entwickelt.
Die Aufwertung ist Gegenstand der Arbeit der working group 5 von IAHR
• Voraussetzung von Anwendbarkeit der Aufwertungsformeln: geometrische, kinematische,
dynamische Ähnlichkeit: Aufwertung ist also immer begrenzt.
• Weitere Anwendung: - Übertragung von Versuchsergebnissen auf andere Fördermedien
und andere Drehzahlen
Page 9
Strömungsmaschinen Grundlagen-98-
Page 10
Strömungsmaschinen Grundlagen-99-
Page 11
Strömungsmaschinen Grundlagen-100-
Fazit: • Aufwertungsrechnung und Messung können nur in Übereinstimmung gebracht werden durch Einzelbewertung der Teilverluste
• Der mechanische Wirkungsgrad muss eliminiert werden
• Bewertung der Oberflächenrauhigkeit schwierig
Page 12
Strömungsmaschinen Grundlagen-101-
Dimensionslose Kennwerte
Strömungsmaschinen sind vielfältig:
1.) Bauart: Gebläse, Schiffsschrauben, Radialpumpen, Gas- und Dampfturbine
jeweils zugeordnet: Bereich spezifischer Drehzahl mit typischer Bauart
2.) Baugröße: innerhalb einer Bauart entsprechend der Anforderung:unterschiedlich große und unterschiedlich schnell drehende, aber ähnliche Maschine
Dimensionslose Kennwerte erlauben es, eine Maschine auf einen anderenBetriebspunkt zu fahren durch Anpassung von Größe und Drehzahl.
Voraussetzung: Dimensionslose Kennwerte sind ident.
Page 13
Strömungsmaschinen Grundlagen-102-
1. Förderziffer φ
mit ⟹
Bei axialer Anströmung:
Andere Schreibweise:
tan
∙4
∙ ∙60
∙ 24,32⟹ φ ∙ ∙ ∙ 0,0411
thermische Maschinen: ρ ∙ v
∙ v∙ ∙ 24,32⟹ φ ∙ ∙ ∙ ρ ∙ 0,0411
Achtung: Welchem Zustand entspricht ?ρ
Page 14
Strömungsmaschinen Grundlagen-103-
Wahl der Bezugsflächen ist häufig verschieden
Axialmaschinen
Nabenverhältnis
Vorteil: bleibt erhalten
Wählt man demnach den Gesamtquerschnitt als Bezugsfläche folgt
Axialmaschine
4 ∙ ∙ 1 ν
ν
tan
∙ 1 ν
Page 15
Strömungsmaschinen Grundlagen-104-
2. Druckziffer ψ
hydraulische Maschine: Stutzenarbeit:
Die Umfangsgeschwindigkeit u ist mit demselben Durchmesser wie φ zu bilden.
ψ
2
2 ∙ 2 ∙ ∙∙
ψ2 ∙ ∙∙ ∙60
7156,5 ∙ ⟹ ∙ ⋅ ∙ 1,397 ∙ 10
thermische Maschine: ψΔ ∗
2
ψΔ ∗
60
729,5 ∙Δ ∗
∗⟹Δ ∗ ψ ∙ ∙ ∙ 1,371 ∙ 10
Page 16
Strömungsmaschinen Grundlagen-105-
3. Leistungsziffer λ
Turbine:
(Faktor 1000 nur wegen kW)
mit:
∙ ∙ ∙1000 ∙ η
0,0411 ∙ ∙ ∙
1,397 ∙ 10 ∙ ψ ∙ ∙
5,64 ∙ 10 ∙ ∙ ψη ∙ ∙ ∙
Pumpe:∙ ∙ ∙1000 ∙
1η
Turbine:
Pumpe:
5,64 ∙ 10 ∙ ∙ ψ ∙ η ∙ ∙ ∙
Leistungsziffer λ
5,64 ∙ 10 ∙ λ ∙ ∙ ∙
Hydraulische Maschine
Page 17
Strömungsmaschinen Grundlagen-106-
Turbine:
mit:
∙ Δ ∗
1000 ∙ η
, Δ ∗
Verdichter: ∙ Δ ∗
1000 ∙1η
⟹ 5,64 ∙ 10 ∙ λ ∙ ∙ ∙
Thermische Maschine
Def.: λ ∙ ψ ∙ η
Def.: λ∙ ψη
Page 18
Strömungsmaschinen Grundlagen-107-
hydraulisch:
Eliminiere Def.:
Bedeutung: Durchmesser einer Maschine, bei der Druckzahl und Lieferzahl bekannt sind, liegt fest.
1,397 ∙ 10 ∙ ψ ∙ ∙
0,0411 ∙ ∙ ∙
0,5361 ∙ψ
∙ ∙
0,5361 ∙ψ
4. Durchmesserziffer
⟹
thermisch: Δ ∗ 1,371 ∙ 10 ∙ ψ ∙ ∙
∙ 0,0411 ∙ ∙ ∙
0,949 ∙ψ
∙Δ ∗
∙
Page 19
Strömungsmaschinen Grundlagen-108-
Def.:
Bedeutung: 1. Ausströmgeschwindigkeit aus einer Düse unter der Gesamthöhendifferenz
2. Absolute Geschwindigkeiten sind bei gleichem Maschinentyp je nach Fallhöheunterschiedlich. Die bezogenen Geschwindigkeiten bleiben jedoch gleich.
z.B.: Umfangsgeschwindigkeit von Peltonrädern 0,48von Kaplanturbinen 1,4 1,9selten bis 1,2 bzw. 2,4
Strahlgeschwindigkeit bei Pelton-Turbinen: 0,99
2 ∙ ∙
5. Dimensionslose Geschwindigkeiten und Drücke
2 ∙ ∙
Page 20
Strömungsmaschinen Grundlagen-109-
3. Euler-Gleichung
4. Bernoulli-Gleichung
5.
η2 ⋅ ⋅
ρ ⋅ ⋅ ρ ⋅ ⋅ →
ö ; 2 ⋅
Thermische Maschine
Gleiches bei verschieden großen Maschninen des gleichen Typs nur dann, wenn die
Mach-Ähnlichkeit erfüllt ist.
In der Praxis wenig verbreitet
Page 21
Strömungsmaschinen Grundlagen-110-
6. Spezifische Drehzahlen
Eine spezifische Drehzahl ergibt sich durch Umrechnung auf die Drehzahl und die Größe bei einem Normzustand:
Es hat sich gezeigt, dass zu einer bestimmten spezifischen Drehzahl eine bestimmte Bauform gehört: type number/shape number
1. Fall-/Förderhöhe:
1
1
geg.: , ,
ges.: Drehzahl für Normzustand
⋅
Page 22
Strömungsmaschinen Grundlagen-111-
2. Volumenstrom:
mit
⟹
Einheiten:
⋅
⋅ ⋅nach aufgelöst ⟹
157,8 ⋅ψ
1,397 ∙ 10 ⋅ ψ ⋅ ⋅
0,0411 ⋅ ⋅ ⋅
ψKeller: Schnelllaufzahl
Page 23
Strömungsmaschinen Grundlagen-112-
Weitere Definitionen:
• Type number: von ISO empfohlen
• Suction specific speed:
• Spezifische Schnellläufigkeit nach Pfleiderer: ´ ´ ⋅
⋅
2 ⋅ ⋅ ⋅
• Spezifische Drehzahl: (für Turbinen)
veraltet, brutto: dem Wasser entzogene Leistung
Wasser: 3,65 ⋅
Page 24
Strömungsmaschinen Grundlagen-113-
Quelle: S
ulzer
Radform
en und Druckzahlen