V-1a y x Uitgevers - wiskunde.stmichaelcollege.nlwiskunde.stmichaelcollege.nl/mw/3v/06_MW9_3B_vwo_uitw_H10.pdf · Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden 27a x >
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
oplossing: x > 3 of 3, → oplossing: x > 7 of 7, → b 5x – 23 < 2 e − + > −1
2124 7x
5x – 23 = 2 − + = −12
124 7x
5x = 25 − = −12
1211x
x = 5 x = 23
3
g g = f f
74 65
21
g g = f f
2522 2423
oplossing: x < 5 of ←, 5 oplossing: x < 23 of ←, 23
c 3x < x + 16 f –2(x – 6) < 15 3x = x + 16 –2(x – 6) = 15 2x = 16 –2x + 12 = 15 x = 8 –2x = 3 x = –1,5
6
g g = f f
107 98
–3
f f = g g
0–2 –1–1,5 oplossing: x < 8 of ←, 8
oplossing: x > –1,5 of − →1 5, ;
10-1 Kwadratische ongelijkheden
1a De grootste hoogte is 20 meter. b De kogel komt na 4 seconden weer op de grond. c Na 1 seconde en na 3 seconden is de hoogte gelijk aan 15 meter. d Tussen 1 en 3 seconden is de hoogte meer dan 15 meter.
2a Bij x = –2 en x = 2 is de uitkomst gelijk aan 1. b Voor –2 < x < 2 is de uitkomst groter dan 1. c 5 – x2 = 4 x2 = 1 x = –1 of x = 1 d Voor –1 < x < 1 is f(x) > 4.
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
e Voor x < –1 of x > 1 is f(x) < 4. f De grootste uitkomst van de functie is 5. Voor geen enkele waarde van x is f(x) > 5.
3a x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 0 of x – 2 = 0 x = 0 of x = 2 b/c
–2
g g = f =
2–1 10
g
3
d x = 1,5 ligt tussen x = 0 en x = 2 en is dus, net als x = 1, geen oplossing van de ongelijkheid. Net zo is x = 1,9 ook geen oplossing.
x = –7 ligt links van x = 0 en is, net als x = –1, wel een oplossing van de ongelijkheid. e De oplossing is alle waarden van x kleiner dan 0 of groter dan 2. Dus x < 0 of x > 2.
4a De bijpassende vergelijking is x2 – 4x – 5 = 0. b (x – 5)(x + 1) = 0 x – 5 = 0 of x + 1 = 0 x = 5 of x = –1 c/d
–2
f = g g g g
2–1 10 3
g
4
=
5
f
6
e De oplossing is –1 < x < 5.
5a n2 + 6n + 8 < 0 d –x2 + 2x + 3 < 4 n2 + 6n + 8 = 0 –x2 + 2x + 3 = 4 (n + 2)(n + 4) = 0 –x2 + 2x – 1 = 0 n + 2 = 0 of n + 4 = 0 x2 – 2x + 1 = 0 n = –2 of n = –4 (x – 1)(x – 1) = 0 x –1 = 0 dus x = 1
–5
f = g = f f
–1–4 –2–3 0
–1
g g = g g
30 21
oplossing: −4 2,
oplossing: alle waarden x ≠ 1 b q2 + 2q > 3 e 1
22 4 10b b− >
q2 + 2q = 3 12
2 4 10b b− = q2 + 2q – 3 = 0 b2 – 8b – 20 = 0 (q + 3)(q – 1) = 0 (b – 10)b + 2) = 0 q + 3 = 0 of q – 1 = 0 b – 10 = 0 of b + 2 = 0 q = –3 of q = 1 b = 10 of b = –2
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
7a x2 > 9 d x2 > 49 x2 = 9 geeft x = –3 of x = 3 x2 = 49 geeft x = –7 of x = 7 oplossing: x < –3 of x > 3 oplossing: x < –7 of x > 7 b x2 < 9 e x2 < –4 zie opdracht a x2 = –4 kan niet oplossing: –3 < x < 3 oplossing: geen c x2 < 36 f x2 > –4 x2 = 36 geeft x = –6 of x = 6 zie opdracht e oplossing: –6 < x < 6 oplossing: elke waarde van x
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
10-2 Parabool en lijn
9a y = 0 b In het snijpunt zijn de waarden van de functies aan elkaar gelijk. c x x2 1
2 3 0+ − = D = 1
2
2 144 1 3 12− ⋅ ⋅ − =
x x=− +
= =− −
= −12
14 1
2
12
1412
21
12
22of
d k( )1 512
14= en l( )1 51
214= ; k( )− =2 0 en l( )− =2 0
De snijpunten zijn ( 1 512
14, ) en (–2, 0).
10a 12
2 2 1 2 5x x x− + = − 1
22 4 6 0x x− + =
x x2 8 12 0− + = (x – 2)(x – 6) = 0 x – 2 = 0 of x – 6 = 0 x = 2 of x = 6 g(2) = –1 en g(6) = 7 controle: f(2) = –1 en f(6) = 7, klopt De snijpunten zijn (2, –1) en (6, 7). b − =1
32 2x x
− − =13
2 2 0x x x x2 6 0+ = x(x + 6) = 0 x = 0 of x + 6 = 0 x = 0 of x = –6 g(0)= 0 en g(–6) = –12 controle: f(0) = 0 en f(–6) = –12 De snijpunten zijn (0, 0) en (–6, –12).
11a x2 + 3x = x + 15 x2 + 2x – 15 = 0 (x + 5)(x – 3) = 0 x + 5 = 0 of x – 3 = 0 x = –5 of x = 3 f(–5) = 10 en f(3) = 18 controle: g(–5) = 10 en g(3) = 18, klopt De snijpunten zijn (–5, 10) en (3, 18). b x(x + 2) = 2x + 9 x2 + 2x = 2x + 9 x2 = 9 geeft x = –3 of x = 3 f(–3) = 3 en f(3) = 15 controle: g(–3) = 3 en g(3) = 15, klopt De snijpunten zijn (–3, 3) en (3, 15).
c 2x2 –2x + 1 = x + 3 2x2 – 3x – 2 = 0 x2 – 1,5x – 1 = 0 (x – 2)(x + 0,5) = 0 x – 2 = 0 of x + 0,5 = 0 dus x = 2 of x = –0,5 f(2) = 5 en f(–0,5) = 2,5 controle: g(2) = 5 en g(–0,5) = 2,5, klopt De snijpunten zijn (2, 5) en (–0,5; 2,5).
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
12a Bij x = –3 ligt de grafiek van f boven die van g. b Bij x = 0 ligt de grafiek van f onder die van g. c Bij x = 4 ligt de grafiek van f boven die van g. d Voor x = –2 en x = 3 geldt f(x) = g(x). e Voor –2 < x < 3 geldt f(x) < g(x).
13a Voor x = –1 en x = 4 geldt f(x) = g(x). b Voor x = –2 is f(x) < g(x). c Voor x = 0 is f(x) > g(x). d Voor x = 5 is f(x) < g(x). e Voor –1 < x < 4 is f(x) > g(x).
14a x2 – 3x = x – 3 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 x – 1 = 0 of x – 3 = 0 x = 1 of x = 3 b/c
0
g = f = g
41 32
d De oplossing is x < 1 of x > 3 ofwel ← →, ,1 3en .
15a –b2 + 35 < 2b b 2x2 > 4x + 6 –b2 + 35 = 2b 2x2 = 4x + 6 –b2 – 2b + 35 =0 2x2 – 4x – 6 = 0 b2 + 2b – 35 = 0 x2 – 2x – 3 = 0 (b + 7)(b – 5) = 0 (x – 3)(x + 1) = 0 b + 7 = 0 of b – 5 = 0 x – 3 = 0 of x + 1 = 0 b = – 7 of b = 5 x = 3 of x = –1
–8
g = f = g
6–7 50
–2
g = f = g
4–1 30
oplossing: ← − →, ,7 5en oplossing: ← − →, ,1 3en
c (p + 2)(p – 1) < 2p d t2 – 7t + 8 > t + 1 (p + 2)(p – 1) = 2p t2 – 7t + 8 = t + 1 p2 –p + 2p – 2 = 2p t2 – 8t + 7 = 0 p2 – p – 2 = 0 (t – 1)(t – 7) = 0 (p + 1)(p – 2) = 0 t – 1 = 0 of t – 7 = 0 p + 1 = 0 of p – 2 = 0 t = 1 of t = 7 p = –1 of p = 2
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
10-3 Snijden, raken of missen
16a 2 : x < –3 en x > 1 3 : geen oplossingen 4: alle waarden van x behalve voor x = 2 b
21–1–2 3
4
3
2
1
–1
–2
–3
x
y
O 4–3
–4
5
f
g
17a − + = +x x x2 4 3 5 − + − =x x2 5 0 D D= − ⋅ − ⋅ − = − <1 4 1 5 19 02 ; ; geen snijpunten. b De grafiek van f is een bergparabool. c De grafiek van f is een bergparabool die geen snijpunten met de lineaire grafiek van
g heeft. De bergparabool ligt dan geheel onder de rechte lijn (vergelijkbaar met de grafieken bij opdracht 16b).
18a
21–1–2
4
3
2
1
–1
–2
–3
x
y
O–3
–4
5f
h
g
k
3–4
b x x x2 2 2+ = + x x2 2 0+ − = (x + 2)(x – 1) = 0 x + 2 = 0 of x – 1= 0 x = –2 of x = 1 g(–2) = 0 en g(1) = 3 De snijpunten zijn (–2, 0) en (1, 3). c x x x2 2 2 4+ = − − x x2 4 4 0+ + = ( )x + =2 02
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
d Zie de grafieken bij opdracht a. e x x x2 1
22 2+ = − x x2 1
21 2 0+ + = D = − ⋅ ⋅ = − <( )1 4 1 2 5 01
22 3
4 ; dus geen snijpunten.
19a A: − + = +x x x2 1 B: 2 3 6 12 12x x+ = − −
− − =x2 1 0 2 6 4 02 12x x+ + =
x2 1 0+ = D = − ⋅ ⋅ =6 4 2 4 02 12 ; één oplossing
x2 1= − ; geen oplossingen x = − + = −6 04
1 12
C: − + − = −12
2 4 8 3x x x D: x x x2 3 1 3 3+ + = +
− + − =12
2 3 5 0x x x2 2= D D= − ⋅ − ⋅ − = − <3 4 5 1 02 1
2 ;
x = − 2 of x = 2 geen oplossingen b De vergelijking heeft geen oplossingen, dus de grafieken hebben geen punten
gemeenschappelijk. c B: bordje 2 want de vergelijking heeft één oplossing C: bordje 3 want de vergelijking heeft geen oplossingen D: bordje 1 want de vergelijking heeft twee oplossingen
20a Als D > 0 dan snijdt de grafiek de x-as. b D D= − ⋅ ⋅ = − <36 4 2 5 4 0; De grafiek snijdt de x-as niet. c 2 6 5 22x x x− + = + 2 7 3 02x x− + = D = − − ⋅ ⋅ =( )7 4 2 3 252
d D > 0; de grafieken snijden elkaar.
21a x x x2 3 2 2 5+ + = − x x2 7 0+ + = D D= − ⋅ ⋅ = − <1 4 1 7 27 02 ; De grafieken hebben geen punten gemeenschappelijk. b x x x2 3 2 2 6+ + = + x x2 4 0+ − = D = − ⋅ ⋅ − =1 4 1 4 172 ; D > 0 De grafieken snijden elkaar. c − − − = +x x x2 6 5 10 1 5 6, , − − − =x x2 8 16 0 D = − − ⋅ − ⋅ − =( )8 4 1 16 02
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
10-4 Bundels lijnen
22a x x2 3 5 5− + = x x2 3 0− = x(x – 3) = 0 x = 0 of x – 3 = 0 x = 0 of x = 3 De x coördinaat van de top is 1,5. f(1,5) = 2,75; De top is (1,5; 2,75). b x x2 3 3 0− + = D D= − − ⋅ ⋅ = − <( ) ;3 4 1 3 3 02
De vergelijking heeft geen oplossingen. c De y coördinaat van de top is 2,75. Dus voor p = 2,75 is er één gemeenschappelijk punt. d Voor p > 2,75 snijdt de lijn y = p de parabool in twee punten.
23a De lijn die door (5, 0) gaat lijkt de parabool te raken. x = 5 en y = 0 invullen bij y = –2x + p geeft 0 = –2 × 5 + p 0 = –10 + p dus p = 10 b − + + = − +x x x2 4 1 2 10 − + − =x x2 6 9 0 D = − ⋅ − ⋅ − =6 4 1 9 02 ; dus één oplossing. De grafieken raken elkaar voor p = 10. c Voor p < 10 snijdt de lijn de parabool in twee punten.
24a x2 – 4x = 2x – 7 x2 – 6x + 7 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 7 = 8 D > 0 dus er zijn twee snijpunten. In de figuur is y = 2x – 7 de lijn die door (0, –7) loopt en die snijdt de parabool
inderdaad twee keer. b x2 – 4x = 2x – 10 x2 – 6x + 10 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 10 = –4 D < 0 dus er zijn geen snijpunten. In de figuur is y = 2x – 10 de lijn die door (0, –10) loopt en die snijdt de parabool
inderdaad niet. c Zie de grafiek hiernaast. d De lijn gaat door (0, –9), dus daar hoort p = –9 bij. e x2 – 4x = 2x – 9 x2 – 6x + 9 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 9 = 0 D = 0 dus er is één gemeenschappelijk punt. f Voor p > –9 snijdt de lijn de parabool in twee punten. Voor p < –9 hebben de lijn en de parabool geen punt gemeenschappelijk.
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
25a Zie de grafiek hiernaast. b Voor p = 4 raakt de lijn de parabool. Immers: –x2 + 3x = –x + 4 –x2 + 4x – 4 = 0 D = 42 – 4 × –1 × –4 = 0, klopt. c Voor p < 4 snijdt de lijn de parabool. d Voor p > 4 hebben de parabool en de lijn geen punt gemeenschappelijk.
26a Het startgetal van de formule y = qx – 7 is –7.
b Zie de grafiek hiernaast. c x2 + 2x – 3 = 7x – 7 x x2 5 4 0− + = (x – 1)(x – 4) = 0 x – 1 = 0 of x – 4 = 0 x = 1 of x = 4 Er zijn twee snijpunten. d Zie de grafiek bij opdracht b. e Het hellingsgetal is 6. x x x2 2 3 6 7+ − = − x x2 4 4 0− + = D = − − ⋅ ⋅ =( )4 4 1 4 02 , klopt f Zie de grafiek bij opdracht b; het hellingsgetal is –2. x x x2 2 3 2 7+ − = − − x x2 4 4 0+ + = D = − ⋅ ⋅ =4 4 1 4 02 , klopt
10-5 Werken met parameters
27a x x2 4 2 0− + = D = − − ⋅ ⋅ =( )4 4 1 2 82
x x= + ≈ = − ≈4 82
3 41 4 82
0 59, ,of
De snijpunten met de x-as zijn (3,41; 0) en (0,59; 0). b De grafiek verschuift omhoog of omlaag. c
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
d Nee, je moet de parabool nog 1 hokje omhoog schuiven. Voor p = 4 raakt de parabool de x-as. e Schuif de parabool van opdracht c twee hokjes omhoog. Dan is p = 5. x2 – 4x + 5 = 2x – 4 x2 – 6x + 9 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 9 = 0, klopt. Dus voor p = 5 raakt de parabool de lijn.
f x = + =6 02
3 en y = f(3) = 2
Het raakpunt is (3, 2).
28a 12
2 3x p x+ = −
12
2 3 0x x p+ + =
b D = 32 – 4 · 12 · p
D = 9 – 2p c Voor D = 0 is er één oplossing. d 9 – 2p = 0 p = 4 1
2
29a x x x p2 4− = − + x x p2 3 0− − = D p= − − ⋅ ⋅ −( )3 4 12 = 9 + 4p 9 + 4p = 0 4p = –9 p = – 2,25
x = + =3 02
1 5, en y = f (1,5) = –3,75
Het raakpunt is (1,5; –3,75). b − − = − +x x x p2
− − =x p2 0 D = 0 – 4 · –1 · –p = –4p – 4p = 0 p = 0 De vergelijking is dan − =x2 0 . x = 0 en y = f (0) = 0 Het raakpunt is (0, 0).
30a Voor p = 0 is f(x) = –1. De grafiek is dan een horizontale lijn. b Voor p < 0 is de grafiek een bergparabool met top (0, –1) die dus de x-as niet snijdt. c px x2 1 2 3− = − px x2 2 2 0− + = D p= − − ⋅ ⋅( )2 4 22 = 4 – 8p 4 – 8p = 0 –8p = –4 p = –4 : –8 dus p = 1
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
33a a2 + 2 < 6 e 2e2 + 5e + 6 > e + 6 a2 < 4 2e2 + 5e + 6 = e + 6 oplossing: −2 2,
2e2 + 4e = 0
b b2 + 15b < 16 2e(e + 2) = 0 b2 + 15b = 16 2e = 0 of e + 2 = 0 b2 + 15b – 16 = 0 e = 0 of e = –2 (b + 16)(b – 1) = 0 b + 16 = 0 of b – 1 = 0 b = –16 of b = 1
–17
f = g =
–16 10
f
2
–3
g = f =
–2 0–1
g
1
oplossing: −16 1,
oplossing: ← − →, ,2 0en
c 2c2 + c > 1 f (f + 2)(f – 1) < 0 2c2 + c = 1 (f + 2)(f – 1) = 0 2c2 + c – 1 = 0 f + 2 = 0 of f – 1 = 0 c2 + 0,5c – 0,5 = 0 f = –2 of f = 1 (c + 1)(c – 0,5) = 0 c + 1 = 0 of c – 0,5 = 0 c = –1 of c = 0,5
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
b Zie de grafiek hiernaast. c x x x2 6 4 4− + = − + x x2 5 0− = x(x – 5) = 0 x = 0 of x – 5 = 0 x = 0 of x = 5 h(0) = 4 en h(5) = –1 De snijpunten zijn (0, 4) en (5, –1). d − + − = − +x x x2 10 26 4 − + − =x x2 11 30 0 D D= − ⋅ − ⋅ − = >11 4 1 30 1 02 ; De grafiek van h raakt de grafiek van g niet. e x x x x2 26 4 10 26− + = − + − 2 16 30 02x x− + = x x2 8 15 0− + = (x – 3)(x – 5) = 0 x – 3 = 0 of x – 5 = 0 x = 3 of x = 5 f(3) = –5 en f(5) = –1 De snijpunten zijn (3, –5) en (5, –1). f De grafieken snijden elkaar voor x = 0 en x = 5. Voor x < 0 en voor x > 5 ligt de grafiek van f hoger dan die van h, dus de oplossing is x < 0 of x > 5. In intervalnotatie: ← →, ,0 5en . g De grafieken snijden elkaar voor x = 3 en x = 5. Voor x < 3 en voor x > 5 ligt de grafiek van f hoger dan die van g, dus de oplossing is x < 3 of x > 5. In intervalnotatie: ← →, ,3 5en .
35a 12
2 2 3 0x x+ + = D D= − ⋅ ⋅ = − <2 4 3 2 02 1
2 ; De parabool heeft geen snijpunten met de x-as. b De symmetrie-as is de lijn x = –2. Dus de x-coördinaat van de top is –2. y = f(–2) = 1; top (–2, 1) c 1
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
36a − + + = +14
2 2 2 2 6x x x − − =1
42 4 0x
x2 16 0+ = ; geen oplossingen. b − + + = − +1
42 1
22 2 6x x x − + − =1
42 1
22 4 0x x x x2 10 16 0− + = (x –2)(x – 8) = 0 x – 2 = 0 of x – 8 = 0 x = 2; y = − ⋅ + =1
2 2 6 5 x = 8; y = − ⋅ + =1
2 8 6 2 De snijpunten zijn (2, 5) en (8, 2). c De horizontale lijn y = 6 raakt de parabool in de top. d − + − − =1
42 2 4 0x x px
− + − − =14
2 2 4 0x p x( ) D = (2 – p)2 – 4 × − 1
4 × –4 = (2 – p)2 – 4 D = 0 geeft ( )2 42− =p 2 – p = 2 of 2 – p = –2 p = 0 of p = 4 Ja, voor p = 0 is de lijn y = 6. e De lijnen gaan allemaal door (0, 6). De parabool gaat ook door (0, 6). Elke lijn heeft dus minstens één punt gemeenschappelijk met de parabool. Er is één lijn die de parabool raakt in (0, 6). De andere lijnen snijden de parabool
dus in nog een punt. f − + + = +1
42 2 6 6x x px
− + − =14
2 2 0x x px D p= − − ⋅ − ⋅( )2 4 02 1
4
D p= −( )2 2
D = 0 voor p = 2 De lijn raakt de parabool voor p = 2.
37a p = 0 2 8 4 52x x x+ = − − 2 12 5 02x x+ + = D D= − ⋅ ⋅ = >12 4 2 5 104 02 ; ; twee snijpunten p = 10 2 8 10 4 52x x x+ + = − − 2 12 15 02x x+ + = D D= − ⋅ ⋅ = >12 4 2 15 24 02 ; ; twee snijpunten p = 20 2 8 20 4 52x x x+ + = − − 2 12 25 02x x+ + = D D= − ⋅ ⋅ = − <12 4 2 25 56 02 ; ; geen snijpunten b 2 8 4 52x x p x+ + = − − 2 12 5 02x x p+ + + = D p= − ⋅ ⋅ +12 4 2 52 ( ) = 144 – 8(p + 5) 144 – 8(p + 5) = 0 8(p + 5) = 144 p + 5 =18 p = 13
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
c 2 8 13 4 52x x x+ + = − − 2 12 18 02x x+ + = D = − ⋅ ⋅ =12 4 2 18 02
x = − = −124
3 ; y = g(–3) = 7
Het raakpunt is (–3, 7). d Voor p = 13 raakt de dalparabool de grafiek van g. Voor p < 13 verschuift de dalparabool omlaag en snijdt de rechte lijn in twee punten. oplossing: p < 13
ICT Bundels lijnen
I-1a Voor p = 1 raakt de lijn de parabool. b x x2 4 5 1− + = x x2 4 4 0− + = D = − − × × =( )4 4 1 4 02 , klopt
I-2a Voor p = 12 raakt de lijn de parabool. b –x2 + 4x + 3 = –2x + 12 –x2 + 6x – 9 = 0 D = 62 – 4 × –1 × –9 = 0, klopt c Voor p < 12 snijdt de lijn de parabool in twee punten.
I-3a x2 – 4x = 2x – 10 x2 – 6x + 10 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 10 = –4 D < 0 dus geen snijpunten, klopt b x2 – 4x = 2x – 12 x2 – 6x + 12 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 12 = –12 D < 0 dus geen snijpunten, klopt c Met de schuifbutton zie je dat de lijn de parabool raakt voor p = –9. d x2 – 4x = 2x – 9 x2 – 6x + 9 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 9 = 0 D = 0 dus een gemeenschappelijk punt, klopt e Voor p > –9 snijdt de lijn de parabool in twee punten. Voor p < –9 zijn er geen snijpunten.
I-4a Met de schuifbutton zie je dat de lijn de parabool raakt voor p = 4. b –x2 + 3x = –x + 4 –x2 + 4x – 4 = 0 D = 42 – 4 × –1 × –4 = 0, klopt c Voor p < 4 snijdt de lijn de parabool. d Voor p > 4 hebben de parabool en de lijn geen punt gemeenschappelijk.
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
I-5a Het startgetal van elk van de lijnen uit de bundel is –7. b Met de schuifbutton zie je dat de lijn met q = 7 twee snijpunten heeft met de parabool. c Voor q = 6 en q = –2 lijken de lijnen de parabool te raken. d q = 6 x x x2 2 3 6 7+ − = − x x2 4 4 0− + = D = − − ⋅ ⋅ =( )4 4 1 4 02 , klopt q = –2 x x x2 2 3 2 7+ − = − − x x2 4 4 0+ + = D = − ⋅ ⋅ =4 4 1 4 02 , klopt
Test jezelf
T-1a –x2 + 5x + 14 = 0 x2 – 5x – 14 =0 (x – 7)(x + 2) = 0 x – 7 = 0 of x + 2 = 0 x = 7 of x = –2 De snijpunten zijn (–2, 0) en (7, 0). b A –x2 + 5x + 14 = 14 C f(x) = 14 als x = 0 of x = 5 –x2 + 5x = 0 In de grafiek zie je dat f(x) < 14 als –x(x – 5) = 0 x < 0 of x > 5. Of in intervalnotatie –x = 0 of x – 5 = 0 ← →, ,0 5en x = 0 of x = 5 B –x2 + 5x + 14 = –10 D f(x) = – 10 als x = –3 of x = 8 –x2 + 5x + 24 = 0 In de grafiek zie je dat f(x) > –10 als x2 – 5x – 24 = 0 –3 < x < 8. Of in intervalnotatie (x – 8)(x + 3) = 0 −3 8, x – 8 = 0 of x + 3 = 0 x = 8 of x = –3 c A x2– x < 2 C x2 > 81 x2 – x = 2 oplossing: ← − →, ,9 9en x2 – x – 2 = 0 D x2 + 3x < 2x + 20 (x – 2)(x + 1) = 0 x2 + 3x = 2x + 20 x – 2 = 0 of x + 1 = 0 x2 + x – 20 = 0 x = 2 of x = –1 (x + 5)(x – 4) = 0 x + 5 = 0 of x – 4 = 0 x = –5 of x = 4
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
T-2a − + + = −x x x2 5 14 4 6 − + + =x x2 20 0 x x2 20 0− − = ( )( )x x+ − =4 5 0 x + 4 = 0 of x – 5 = 0 x = –4 of x = 5 f ( ) ( )− = − − + × − + = −4 4 5 4 14 222 en f ( )5 5 5 5 14 142= − + × + = De snijpunten zijn (–4, –22) en (5, 14). b
–5
g = f =
–4 50
g
6
oplossing: ← − →, ,4 5en
T-3a Zie de grafiek hiernaast. b x2 –2x – 2 = 2x + 3 x2 – 4x – 5 = 0 (x + 1)(x – 5) = 0 x + 1 = 0 of x – 5 = 0 x = –1 of x = 5 y = f(–1) = 1 of y = f(5) = 13 De snijpunten zijn (–1, 1) en (5, 13). c f(x) = g(x) geldt voor x = –1 of x = 5. In de grafiek zie je dat f(x) < g(x) geldt voor –1 < x < 5 of −1 5, . d Zie de grafiek bij opdracht a.
De lijn y = 2x – 6 raakt de parabool. Dan hebben de grafieken van h en m twee snijpunten met de parabool.
x2 –2x – 2 = 2x – 2 x2 –2x – 2 = 2x –5,5 x2 – 4x = 0 x2 – 4x + 3,5 = 0 D = (–4)2 – 4 × 1 × 0 = 16 D = (–4)2 – 4 × 1 × 3,5 = 2 D > 0 dus twee snijpunten. D > 0 dus twee snijpunten. e De grafiek van l raakt de parabool. x2 –2x – 2 = 2x – 6 x2 – 4x + 4 = 0 (x – 2)(x – 2) = 0 x – 2 = 0 dus x = 2 y = l(2) = –2 Het raakpunt is (2, –2).
T-4a Zie de grafiek hiernaast. b Voor a = –8 is y = 2x – 8 1
22 2 2 8x x x− = −
12
2 4 8 0x x− + = D = (–4)2 – 4 × 0,5 × 8 = 0, klopt Dus voor a = –8 raakt de lijn de parabool. c Zie de grafieken bij opdracht a. Voor a > –8 snijdt de lijn de parabool.
Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden
T-5a Het startgetal van elke lijn uit de bundel is (0, –7). Alle lijnen gaan door (0, –7). b x2 + 2 = px – 7 x2 – px + 9 = 0 D = (–P)2 – 4 × 1 × 9 = p2 – 36 p2 – 36 = 0 p2 = 36 p = –6 of p = 6
oplossing: −5 3, oplossing: ← − →; , , ;3 65 1 65en b x2 > 144 e v2 + 1 > 0 x2 = 144 geeft x = –12 of x = 12 Omdat v2 ≥ 0 voor elke waarde van v, oplossing: ← − →, ,12 12en is de oplossing: elke waarde van v. c s2 – 4 > 3s f t2 + t + 11 < 2 – 5t s2 – 4 = 3s t2 + t + 11 = 2 – 5t s2 – 3s – 4 = 0 t2 + 6t + 9 = 0 (s + 1)(s – 4) = 0 (t + 3)(t + 3) = 0 s + 1 = 0 of s – 4 = 0 één oplossing: t = –3 s = –1 of s = 4
–2
g = f = g
5–1 40 –4
f = f
–3 0
oplossing: ← − →, ,1 4en oplossing: geen enkele waarde van t
T-7a x x x2 5 8 3 11+ + = + x x2 2 3 0+ − = ( )( )x x+ − =3 1 0 x + 3 = 0 of x – 1 = 0 x = –3 of x = 1 y = f(–3) = 2 en y = f(1) = 14 De snijpunten zijn (–3, 2) en (1, 14). b x x x p2 5 8 3+ + = + x x p2 2 8 0+ + − = D p= − × × −2 4 1 82 ( ) = –28 + 4p D p= − + =28 4 0 4p = 28 p = 7 c Voor p > 7 zijn er twee snijpunten.