UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLERakademikpersonel.kocaeli.edu.tr/yunusee/poster/yunusee03.10.2012_15.19... · Diferansiyel denklemler, uygulamalı matematiğin çok önemli kollarından

UYGULAMALI

DİFERANSİYEL DENKLEMLER

GİRİŞ

Birçok mühendislik, fizik ve sosyal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade

edildiği zaman bu problemler, bilinmeyen fonksiyonun bir veya daha yüksek mertebeden

türevlerini içeren bir denklemi sağlayan fonksiyonun bulunması problemine dönüşür. Bu

mantıkla oluşturulmuş denklemlere ‘Diferansiyel Denklemler’ denir. Diferansiyel

denklemler, uygulamalı matematiğin çok önemli kollarından biri olup, bir çok pratik

problemin çözümünde önemli bir araçtır. Bu problemlere örnek olarak salınım

problemleri, roket, uydu ve gezegenlerin hareketleri, kimyasal reaksiyonlar, radyoaktif

maddelerin parçalanması problemleri, elektrik devreleri vb. gösterilebilir. Bu dersin amacı

diferansiyel denklemlerle tanışmak ve basit denklemlerin çözümünü öğrenmektir.

Deneyler sonucunda herhangi bir radyoaktif maddenin, herhangi bir andaki kütlesinin değişim

hızının (başka deyişle cismin parçalanma hızının) o andaki kütlesi ile orantılı olduğu

görülmüştür. Eğer x anındaki kütle y(x) ise, kütlenin değişim hızı y'(x) türevidir. Deneyler

sonucuna göre,

y'(x) = k . y(x)

yazılabilir. Burada k verilmiş cisme bağlı bilinen sabit negatif bir sayıdır. Bu sayının negatif

olmasının sebebi, y(x) kütlesinin zaman geçtikçe azalmasının sonucu olarak y'(x) türevinin negatif

olmasıdır. Dolayısıyla radyoaktif kütlenin diferansiyel denklemi

y' - ky = 0 ’dır.

Yeterli derecede ısınmış bir metal cisim 30° lik bir ortamda (örneğin, havada veya suda)

soğutulmaktadır. Deneyler gösteriyor ki bu durumda cismin soğuma hızı, cismin o andaki

sıcaklığı ve ortamın sıcaklığı arasındaki fark ile orantılıdır. Eğer x anındaki sıcaklık y(x) ise

y'(x) = k (y(x) – 30)

yazılabilir. Burada k cisme bağlı negatif bir sabittir. Böylece soğumanın diferansiyel denklemi

y' = k(y – 30) olur.

Diferansiyel Denklem Kavramı

x bağımsız değişkeni, bilinmeyen y=f(x) fonksiyonu ve bu fonksiyonun türevleri (y', y'',

y''',…, y(n) ) arasındaki bağıntıya diferansiyel denklem denir. Bu eşitlikte türevlerle

beraber y=f(x) fonksiyonunun kendisi x’in bilinen fonksiyonları ve sabitler de bulunabilir.

Böyle bir denklem sembolik olarak,

veya

şeklinde gösterilir.

)

Değişken sayısına göre;

1) Adi dif denklemler (Tek değişkenli)

2) Kısmi Türevli dif denklemler (Birden fazla değişkenli)

Lineerliğe göre;

1) Lineer dif denklemler

2) Non-lineer dif denklemler

Katsayılara göre;

1) Sabit Katsayılı dif denklemler

2) Değişken Katsayılı dif denklemler

Diferansiyel denklemlerde Sınıflandırma:

Mertebeye göre;

1) I. Mertebeden dif denklemler

2) Yüksek Mertebeden dif denklemler

y=f(x) fonksiyonu tek değişkenli bir fonksiyon ise denkleme adi diferansiyel denklem

denir.

Bilinmeyen y=f(x) fonksiyonu birden fazla değişkene bağlı ise ise kısmi diferansiyel

denklem denir.

adi diferansiyel denklem kısmi diferansiyel denklem

adi diferansiyel denklem

kısmi diferansiyel denklem

Denklemdeki en yüksek mertebeli türevin değerine diferansiyel denklemin mertebesi denir.

Diferansiyel Denklemin Mertebesi

Not: Yukarıdaki denklemlerde y, y', y'' fonksiyonları x değişkeninin fonksiyonlarıdır.

Genellikle, denklem yazılımında y, y', y'', . . . altındaki x değişkeni yazılmıyor.

Örneğin, y'(x) - y(x) = 0 yerine kısaca y' - y = 0 yazılır.

y Cosx

y y y

2 5 x y yx y

(II. Mertebeden dif.denklem)

(III. Mertebeden dif.denklem)

(I. Mertebeden dif.denklem)

(I. Mertebeden dif.denklem)

) )4( , , , , , ...... ) 0

nf x y y y y y y (n. Mertebeden dif.denklem)

Diferansiyel Denklemin Derecesi

Bir diferansiyel denklemdeki en yüksek mertebedeki türevin kuvvetine diferansiyel

denklemin derecesi denir.

y' = y/x 1. Dereceden dif. denk.

(y')2= y/x 2. Dereceden dif. denk.

y'' + 3(y')4 + 5y = 0 1. Dereceden dif. denk.

Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız.

3. mertebeden, 1. derece dif. denk.

2. mertebeden, 2. derece dif. denk.

2. mertebeden, 2. derece dif. denk.

2. mertebeden, derecesi tanımlı değil

Lineer ve Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemler:

Lineer dif. denk.

Lineer olmayan dif. denk.

Bir diferansiyel denklemin çözümü; genel çözüm, özel çözüm ve tekil çözüm olmak üzere

üçe ayrılır.

Diferansiyel denklemin c sabitine bağlı çözümüne genel çözüm;

c’ye değerler verilerek elde edilen çözümlere özel çözüm denir.

Ayrıca bu genel çözümdeki integral sabitine özel değerler verilerek elde edilemeyen

fakat denklemi sağlayan çözümlere de tekil çözüm denir.

Genel, Özel ve Tekil Çözümler

21' yy

)cxy sin

) )

2sin2

1sin1

sin0

xyc

xyc

xyc

0110

0y

1y

2

1

genel çözüm

özel çözüm

tekil çözüm

İçerisinde keyfi sabitler içeren çözümlere genel çözüm denir.

Genel çözümden, keyfi sabite (veya sabitlere) değerler verilmesiyle elde edilen çözümlere

denklemin özel çözümü denir.

x

y

x

y

1

1

GENEL ÇÖZÜM ÖZEL ÇÖZÜM

1. MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler

Örnek

ise y(x)’in genel çözümünü bulunuz.

ec yeniden bir keyfi sabit olduğundan ec yerine yine “C” yazarsak genel çözümü:

y=C ex

x

x

Örnek

e e

21' yy

2y1dx

dy dx

y1

dy

2

dxy

dy

21

cxyarcsin

denkleminin genel çözümünü bulunuz.

)cxsiny

Örnek

Örnek

100° C ye kadar ısıtılmış bir metal cisim 30° lik bir ortamda soğutulmaktadır. 4 dakika sonra

cismin sıcaklığı 70° C olmuşsa, 10 dakika sonra cismin sıcaklığı kaç olur?

Bir önceki soruda soğumanın diferansiyel denkleminin genel çözümü y = 30 + Cekx

olarak bulunmuştu.

Başlangıçta cismin sıcaklığı 100° C olduğundan y(0) = 100 olur. Bu koşuldan yararlanarak

C sabitini bulalım:

Örnek

0tan drdr denkleminin genel çözümünü bulunuz.

0tan dr

dr0tan d

r

dr

) CCosr lnln CCos

r

ln

ACosr

Örnek

) 0' 2222 xyyyyxx denkleminin genel çözümünü bulunuz.

) ) 011 22 dxxydyyx ) )

011

22

dx

x

xdy

y

y

01111

22

dx

xxdy

yyCx

xy

y ln

1ln

1

yxC

y

x 11ln xy

yx

C eey

x

.

xy

yx

e

xAy

Örnek

denkleminin genel ve özel çözümünü bulunuz.

genel çözüm

özel çözüm

Örnek

ÖDEV

)baxy '

Değişkenlerine Ayrılabilir Hale Dönüştürülebilen Diferansiyel Denklemler

formundaki bir diferansiyel denklemde:

baxu dönüşümü yapılırsa:

)udu

dya

dx

du

du

dy

dx

dy

elde edilir ve diferansiyel denklem

değişkenlerine ayrılabilir hale dönüştürülür.

Örnek

)32sin' xy formundaki bir diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.

32 xu dönüşümü yapılırsa:

udu

dy

dx

du

du

dyy sin2' duudy .sin2

duudy .sin2 Cuy cos2

Cu

y 2

coselde edilir.

Bulunan çözümde u yerine 2x+3 yazılırsa:

)C

xy

2

32cos

istenen genel çözüm elde edilmiş olur.

)3cos' 2 yy formundaki bir diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.

3 yu dönüşümü yapılırsa:

udx

du

dx

du

du

dyy 2cos

1'

dx

u

du

2cos

dxu

du

2cosCxu tan

Bulunan çözümde u yerine λy+3 yazılırsa:

) Cxy 3tan

Örnek

)2833' yxy formundaki bir diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.

833 yxu dönüşümü yapılırsa:

'33 ydx

du )213 u

dx

du

dxu

du3

1 2 Cxu 3arctan )Cxu 3tan

Bulunan çözümde u yerine 3x+3y+8 yazılırsa:

)3

833tan

xCxy

Örnek

) 0cos' 222 xeyxyy x formundaki diferansiyel denklemin genel çözümünü

elde ediniz

22 yxu dönüşümü yapılırsa:

'22' yyxu 2

''

uxyy ilk denklemde yerine yazılırsa:

0cos2

' 2 xueu

x x ueu x 2cos2

'

dxeu

du x2cos2

Ceu x 2tan

Bulunan çözümde u yerine x2+y2 yazılırsa:

)xeCxy 2arctan2

)Ceu x 2arctan

Örnek

Homojen Denklemler

Eğer f(x,y) bir fonksiyon ve t bir gerçel sayı ise f(tx,ty)=tn f(x,y) özelliğine sahipse f’ye n.

dereceden homojen fonksiyon denir.

Örnek

) 22 53, yxyxyxf fonksiyonu homojenmidir?

) ) ) ) )2253, tytytxtxtytxf

) 22222 53, ytxytxttytxf ) )222 53, yxyxttytxf

) )yxfttytxf ,, 2

fonksiyon 2. dereceden homojendir.

Örnek

) 3, xxyyxf fonksiyonu homojenmidir?

) )yxfttytxf ,, 2

fonksiyon homojen değildir.

) ) ) )3, txtytxtytxf

) 332, xtxyttytxf ) )32, txxyttytxf

Homojen Diferansiyel Denklemler

Eğer f(x,y) fonksiyonu 0. dereceden homojen ise:

),( yxfdx

dy homojen diferansiyel denklemdir.

Homojen diferansiyel denklemler,

)('y

xfy

şekline getirilebilirler. Bu denklemlerde u=y/x dönüşümü uygulanılarak denklem çözülebilir.

Genel çözüm için hesaplanan integralde u=y/x koymak yeterlidir.

Örnek

22' yxyxy formundaki diferansiyel denklemin genel çözümünü

elde ediniz.

uxy uxuy ''

) 222' xuxuxuxux 21' uxu

x

dx

u

du

21

Cxu lnarcsin )Cxu lnsin

) Cxxy lnsin

2

2

'x

yxyy

formundaki diferansiyel denklemin genel çözümünü

elde ediniz.

uxy uxuy ''

2

222

'x

xuuxuxu

2' uxu

x

dx

u

du2

Cxu

ln1

Cx

xy

ln

Örnek