UVOD V KINEMATIKO KONTINUUMA

Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010

MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSKINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM

UVOD V KINEMATIKO KONTINUUMA

Vejo mehanike, kjer snov obravnavamo nedeljivo (brez notranje strukture) imenujemo mehaniko kontinuuma.

Teoretično obravnavamo infinitezimalni del volumna snovi, ki potem z ostalimi infinitezimalnimi deli skupaj tvori obravnavani makroskopski del snovi. V tem poglavju obravnavamo kinematiko (gibanje) tovrstnih infinitezimalnihdelov snovi.

Popolnoma nič pa se ne sprašujemo zakaj to gibanje nastaja.



POGLAVJE 3



OPIS GIBANJA KONTINUUMA

( )tr r

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( )t x t x t x t r e e e

1 1 2 2 3 3( ), ( ), ( )x x t x x t x x t

V kinematiki pot delca opišemo z vektorsko funkcijo

v odvisnosti od časa

r

t

r predstavlja pozicijski vektor, ki ga izražamo s koordinatnimi vektorji

Prejšnjo enačbo s komponentami zapišemo v obliki



V primeru, da imamo delcev in poti, vsako izmed poti opišemo z eno izmed enačb

N

( ); 1, 2,..., 1,n n t N N N r r

Delec 1 potuje po poti 1 1( )tr r

Delec 2 potuje po poti 2 2 ( )tr r

Itd.

V kontinuumu je neskončno veliki delcev. Zato jih ni mogoče oštevilčitiin obravnavati vsakega posebej. Zato delce identificiramo s pozicijo, ki jo delci zasedajo ob referenčnem času 0t



KINEMATIKA KONTINUUMA

( , )tx x X 0( , )tX x X

1 2 3( , , )X X XDelec je bil ob času na položaju 0t XZato lahko delec identificiramo z začetnimi koordinatami

pri čemer velja začetno stanje

Poti vsakega delca kontinuuma lahko opišemo z naslednjo vektorsko enačbo

P



1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( )t x t x t x t x e e e

Pri čemer je pozicijski vektor delca ob času x tP

Ta delec je bil ob času 0t

0 0 1 0 1 2 0 2 3 0 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t X t X t X t x X e e e

V razpisani koordinatni obliki sta zgornji dve enačbi

1 1 1 2 3

2 2 1 2 3

3 3 1 2 3

, , ,

, , ,

, , ,

x x X X X t

x x X X X t

x x X X X t

1 1 1 2 3 0

2 2 1 2 3 0

3 3 1 2 3 0

, , ,

, , ,

, , ,

X x X X X t

X x X X X t

X x X X X t

1 2 3, , ,i ix x X X X t 1 2 3 0, , ,i iX x X X X tV skrajšani koordinatni obliki pa



1 2 3( , , )X X X

Koordinate

definirajo različne delce sistema. Zato jih imenujemo snovne (materialne)koordinate.

Zapisane enačbe definirajo gibanje kontinuuma. Pravzaprav definirajopoti vseh delcev kontinuuma.



SNOVNI (MATERIALNI) POPIS IN PROSTORSKI POPIS

Če se kontinuum giba, se njegova temperatura hitrost

in napetostni tenzor spreminjajo v času. Spreminjanje lahko opišemona dva načina

v

T

1 2 3

1 2 3

1 2 3

ˆ ( , , , )

ˆ ( , , , )

ˆ ( , , , )

X X X t

X X X t

X X X t

v v

T T

1) Prvi način: sledimo spremembam istega delca (na različnih krajih) po času

Tak opis imenujemo snovni (materialni) opis ali Lagrangeov opis.

1 2 3( , , )X X X so snovne (materialne) koordinate

strešica pomeni isti delec



2) Drugi način: sledimo spremembam različnih delcev na fiksnem kraju po času

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( , , , )

( , , , )

( , , , )

x x x t

x x x t

x x x t

v v

T T

Tak opis imenujemo prostorski opis ali Eulerjev opis.

1 2 3( , , )x x x so prostorske koordinate




MATERIALNI ODVOD

Spremembo lastnosti delca po času imenujemo snovni (materialni) odvod.

Snovni odvod označimo kot

D

Dt

1) V primeru snovnega popisa skalarne funkcije imamo

1 2 3ˆ ( , , , )X X X t

fixed

ˆ

iX

D

Dt t

d

dt(v določenih knjigah)



2) V primeru prostorskega popisa skalarne funkcije imamo

1 2 3( , , , )x x x t

31 2

1 2 3 fixedfixed

ˆ ˆˆ ˆ

ii xX

xx xD

Dt t x t x t x t t

1 2 3ˆ ( , , , )i ix x X X X t

1 2 31 2 3fixed

ˆ

iX

Dv v v

Dt t x x x t

fixed

ˆ

i

iiX

Dv

Dt t t x

D

Dt t

v

V brezkoordinatni obliki imamo



POSPEŠEVANJE DELCA

Opišimo gibanje kontinuuma v obliki

( , )tx x X0( , )tX x Xpri čemer velja začetna konfiguracija

Hitrost delca ob času delca je

fixediX

D

t Dt

x x

v

v t X

Pospešek delca ob času jea tX

fixediX

D

t Dt

v v

a



Primer 1

Imamo podano in izračunamo pospešek delca.( , )tv v X

( , )t

t

v X

a

Primer 2

Imamo podano in izračunamo pospešek delca.( , )tv v x



Imejmo Kartezijev koordinatni sistem

1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 3, , , , , , , , ,v x x x t v x x x t v x x x t v e e e

Ker so bazni vektorji fiksni, velja

31 21 2 3

DvDv DvD

Dt Dt Dt Dt

va e e e

V komponentni obliki imamo

1 2 31 2 3

i i i i ii

Dv v v v va v v v

Dt t x x x

i ii j

j

v va v

t x



V brezkoordinatni obliki imamo

t

v

a v v



POLJE PREMIKA

Polje premika delca iz referenčne pozicije do trenutne pozicije

definiramo kot vektor od do in ga označimo z . , tu X

0, , , ,t t t t u X x X X x X x X

Iz zgornjega je razvidno, da če poznamo pot delca, poznamo tudi njegovpremik.

0P t

P t 0P t P t



ENAČBE GIBANJA TOGEGA TELESA

Translacijo togega telesa opišemo z

Rotacijo togega telesa okoli fiksne točke opišemo z

t x X c

Premik togega telesa zaradi translacije je neodvisen od

t t u x X X c X c

t x b R X b

X

Kjer je rotacijski tenzor. R 0t R I in b je konstantni vektor, ki

predstavlja točko okoli katere se togo telo vrti.

Pri tem je 0t c 0

b



Splošno gibanje togega telesa opišemo z

t t x R X b c

Kjer je rotacijski tenzor. R 0t R I in tc je vektor, za

katerega velja 0t c b

Zgornja enačba predstavlja translacijo točke X b

in rotacijo okoli te točke.



INFINITEZIMALNA DEFORMACIJA

Shema infinitezimalne deformacije



INFINITEZIMALNA DEFORMACIJA

Obstajajo številni problemi, kjer lahko predpostavimo, da jedeformacija (premik) infinitezimalna.

Po deformaciji je pozicija delca P

( , )t x X u X

Sosednja točka , ki je na položaju dX XQ pride na položaj dx x

( , )d d d t x x X X u X X

Če zgornji dve enačbi odštejemo, dobimo

d d d x X u X

u je tenzor drugega reda, ki ga imenujemo gradient premika.

( , ) ( , )d d d t t x X u X X u X ( , ) ( , )d t t d u X X u X u X

po deformaciji je pozicija delca Q



1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

u u u

X X X

u u u

X X X

u u u

X X X

u

V Kartezijevem koordinatnem sistemu je matrika tenzorja oblike

d d d d x X u X I u XEnačbo

lahko zapišemo tudi kot

d dx F X F I u

u



F imenujemo deformacijski gradient. Ker predstavlja gradient funkcije, , ki predstavlja gibanje.ˆ ( , )tx x X

Poiščimo relacije med razdaljami

ds

dS

, ki predstavlja dolžino

, ki predstavlja dolžino

dx

dX

Td d d d d d x x F X F X X F F X

2ds d d X C X TC F F

Tenzor imenujemo desni Cauchy-Greenov deformacijski tenzor.C



V primeru

C I

2 2ds dS

Velja

C IZato predstavlja gibanje togega telesa (translacije in/ali rotacije).

T T TT C F F I u I u I u u u u

Definirajmo

T T* 1

2 E u u u u

Zgornja enačba za desni Cahchy-Greenov deformacijski tenzorzato dobi obliko

*2 C I E

Lagrangeov deformacijski tenzor



V nadaljevanju privzamimo samo majhne deformacije. V tem primeru velja

T T T* 1 1

2 2 E u u u u E u u

2 C I E

T1simetrični del

2 E u u u

Ta tenzor imenujemo infinitezimalni deformacijski tenzor. V Kartezijevihkoordinatah ima obliko

1

2ji

ijj i

uuE

X X



Matrika infinitezimalnega deformacijskega tenzorja je v Kartezijevih koordinatah

31 1 2 1

1 2 1 3 1

31 2 2 2

2 1 2 3 2

3 3 31 2

3 1 3 2 3

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

uu u u u

X X X X X

uu u u u

X X X X X

u u uu u

X X X X X

E



Zaradi infinitezimalne deformacije lahko zapišemo zadnjo približnost

(1) (2) (1) (2) (1) (2)

(1) * (2) (1) (2)2 2

d d d d d d

d d d d

x x F X F X X C X

X I E X X I E X

(1) (2) (1) (2) (1) (2)2d d d d d d x x X X X E X

Obravnavajmo dva snovna elementa

(1)

(2)

d

d

X

X

Zaradi gibanja postaneta ob času(1)

(2)

d

d

x

x

t

To enačbo bomo v nadaljevanju uporabili za definicijo pomena komponent infinitezimalnega deformacijskega tenzorja.



GEOMETRIJSKI POMEN KOMPONENT INFINITEZIMALNEGADEFORMACIJSKEGA TENZORJA

Diagonalni elementi infinitezimalnega deformacijskega tenzorja

(1) (2)d d d dS X X X n

n

dS dX

enotski vektor

je dolžina po deformaciji je ds dxdolžina

2

2 2 2

2

2 2

ds d d d d d d

dS dS dS dS dS

x x X X X E X

n E n n En

nn

ds dSE

dS

n En

Za majhne deformacije velja

2 2 2ds dS ds dS ds dS dS ds dS

2 2 22 2dS ds dS ds dS dS n En



je relativno podaljšanje elementa, ki je bil originalno v smeri nn nE e

Diagonalne elemente imenujemo tudi normalne deformacije.nnE



Ne-diagonalni elementi infinitezimalnega deformacijskega tenzorja

2 podaja zmanjšanje kota (glede na /2) med dvema elementoma,

ki sta bila na začetku v smereh in

ij

i j

E

e e

1 2 1 2cos 2ds ds dS dS m En

2

cos sin2

2( ) m En

1

1

1ds

dS 2

2

1ds

dS

Imejmo(2)

2d dSX n(1)1d dSX m 0 m n

(1) (2)meri majhen prirastek kota med ind d X X

Predpostavimo

Definirajmo

Za male deformacije velja

je strižna deformacija

Če sta bila in v smeri in velja 1 22( ) e Ee1e 2em n



POGLAVITNE DEFORMACIJE

1

2

3

0 0

0 0

0 0i

E

E

E

nE

3 21 2 3λ λ λ 0I I I

1 11 22 33I E E E

22 23 11 1311 122

21 22 32 33 31 33

E E E EE EI

E E E E E E

3 ijI E

1 2 3, , I I I imenujemo poglavitne skalarne invariante infinitezimalnega deformacijskega tenzorja

Ker je infinitezimalni deformacijski tenzor simetričen in realen, obstajajo vsaj tri med seboj ortogonalne poglavitne smeri , da lahko zapišemo

E1 2 3n n n



DILATACIJA

0

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

(1 )(1 )(1 )

dV dV t dV t

dS dS dS E E E dS dS dS

dS dS dS E E E

1 2 3 1

dVe E E E I

dV

iii

i

ue E

X

u31 2

1 2 3

uu uedx dx dx

Prva skalarna invarianta deformacijskega tenzorja ima preprosti geometrijskipomen. Predpostavimo tri diferenciale materialnih dolžin v smeri koordinatnihosi. Volumen, ki ga opisujejo, je

1 2 3dV dS dS dSPo deformaciji velja

za majhne deformacije

prva skalarna invarianta

imenujemodilatacijae



INFINITEZIMALNI ROTACIJSKI TENZOR

d d d d d x X u X X E Ω X

Ad d Ω X t X A32 1 13 2 21 3 t e e e

32 13 21, ,

Tenzor gradienta premika izrazimo s simetričnim in nesimetričnim delom deformacijskega tenzorja

u

S

T

E u

Ω u

Rotacijo opišemo z vektorjem

infinitezimalni rotacijski tenzor

infinitezimalni deformacijski tenzor

Ω predstavlja infinitezimalno rotacijo triade poglavitnih lastnih vektorjev E

Komponente vektorja podajajo infinitezimalni kot rotacije

okoli osi , ki so v smeri poglavitnih smeri E1 2 3, ,e e e



SPREMEMBA MATERIALNEGA ELEMENTA PO ČASU (HITROST)

, ,d d t t x x X X x X

ˆDd d d

Dt X xx v X v x

, ,D D Dd d t t

Dt Dt Dt x x X X x X

ˆ ˆ, , , ,Dd d t t d t t

Dt x v X X v X v x x v x

Predpostavimo materialni element na mestu ob času . x tdx

, tx x X

Izračunajmo spremembo tega materialnega elementa po času

Naredimo materialni odvod zgornje enačbe

ˆ , ,Dd t t

Dt x v X v x

Indeks pri gradientnem operatorju označuje bodisi snovni ali prostorski popis.



1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

v v v

x x x

v v v

x x x

v v v

x x x

v

V nadaljevanju uporabljamo samo prostorski popis hitrosti, tako da imamoza gradient hitrosti

Dd d

Dt x v x

V Kartezijevih koordinatah je tenzor gradienta hitrosti



SPREMEMBA DEFORMACIJSKEGA TENZORJA PO ČASU(HITROST DEFORMACIJE)

v D W

T1

2 D v v T1

2 W v v

Tenzor gradienta hitrosti lahko razstavimo na simetrični in antisimetrični del

D

W

tenzor hitrosti deformacije

tenzor spina



Komponente tenzorja hitrosti deformacije so v Kartezijevih koordinatah

31 1 2 1

1 2 1 3 1

S 31 2 2 2

2 1 2 3 2

3 3 31 2

3 1 3 2 3

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

vv v v v

x x x x x

vv v v v

x x x x x

v v vv v

x x x x x

D v



Komponente tenzorja spina so v Kartezijevih koordinatah

31 2 1

2 1 3 1

A 31 2 2

2 1 3 2

3 31 2

3 1 3 2

1 10

2 2

1 10

2 2

1 10

2 2

vv v v

x x x x

vv v v

x x x x

v vv v

x x x x

W v



Pokažimo, da je hitrost spremembe dolžine opisana s tenzorjem dx D

2d d ds x x

2D Dd d ds

Dt Dt x x 2 2

D Dd d ds ds

Dt Dt x x

Dd d d d d d d d d d

Dt x x x v x x D W x x D x x W x

Uporabimo definicijo transponiranega vektorja in antisimetrično lastnost WT T 0d d d d d d x W x x W x x W x

Tako velja

Dd d d d

Dt x x x D x D

ds ds d dDt x D x



Velja

d dsx n

2 2

1 1Dds ds d dDtds ds x D x

1nn

Dds d d D

ds Dt n D n

Hitrost deformacije dolžine imenujemo skrček. Podan je z .nnD

2 podaja hitrost zmanjšanja kota (glede na /2) med dvema elementoma,

ki sta bila na začetku v smereh in

ij

i j

D

e e

je hitrost relativnega podaljšanja elementa, ki je bil originalno

v smeri nn

n

D

e



11 22 33

1 DD D D dV

dV Dt

1 i

i

vDdV

dV Dt x

v

Hitrost zmanjšanja kota imenujemo tudi hitrost striga ali striženje.

Omenjeno s komponentami hitrosti zapišemo kot

Ker je simetričen, vedno obstajajo tri med seboj pravokotne smeri (poglavitne lastne vektorje ), okoli katerih ima krčenje minimalno in maksimalno vrednost.

DD

Relativna sprememba volumna po času



TENZOR SPINA IN VEKTOR KOTNE HITROSTI

Wa ω a

23 1 31 2 12 3W W W ω e e e

d d W x ω x

Dd d d d d

Dt x v x D W x Ddx W x Ddx ω x

Ker je tenzor spina antisimetričen, lahko definiramo vektor kotne hitrosti

Lahko zapišemo

Velja

dxωVektor rotira vektor brez spremembe njegove dolžine.



ENAČBA OHRANITVE MASE

Definirajmo pomemben princip mehanike kontinuuma, princip ohranitvemase. Princip navaja, da če sledimo infinitezimalnemu volumnu materiala,se lahko spremenita volumen ali gostota materiala, njun produkt (masa) pane.

0D Ddm dV

Dt Dt

0D DdV dV

Dt Dt

0i

i

v DdV

x Dt

V koordinatno invariantni obliki je zgornja enačba

D

Dt t

v



31 21 2 3

1 2 3 1 2 3

0vv v

v v vx x x t x x x

V Kartezijevih koordinatah je enačba ohranitve mase



POGOJI KOMPATIBILNOSTI INFINITEZIMALNIH KOMPONENTDEFORMACIJE

V primeru, ko imamo podane tri komponente premika lahko izračunamo šest komponent deformacijskega tenzorja na podočjih,kjer lahko izračunamo odvode

i

j

u

X

1 2 3u u u

V primeru, ko imamo podanih šest komponent deformacijskega tenzorja

pa lahko tudi ne obstajajo tri komponentepremika, ki zadovoljujejo naslednje deformacijsko-premične zveze.

11 22 33 12 13 23E E E E E E



111

1

uE

X

2

222

uE

X

Zveze med premikom in deformacijo

333

3

uE

X

1 212

2 1

1

2

u uE

X X

3113

3 1

1

2

uuE

X X

3223

3 2

1

2

uuE

X X



Kot primer neobstoja teh ralacij si oglejmo naslednje komponente deformacijskega tenzorja

211 2E kX 22 33 12 13 23 0E E E E E

2111 2

1

uE kX

X

Sledi

21 1 2 2 3,u kX X f X X

222

2

0u

EX

2 1 3,u g X X

Kjer sta in poljubni integracijski konstanti (funkciji).f g

Ker je mora veljati12 0E

1 2

2 1

0u u

X X



2 3 1 31 2

2 2

, ,2 0

f X X g X XkX X

X X

Ta enačba pa nikoli ne mora biti zadoščena. Iz tega sledi, da definiranihšest komponent deformacijskega tenzorja ni kompatibilnih!

IZREK

Naj bodo zvezne funkcije, ki imajo zvezne druge parcialne odvode v preprosto povezanem območju.

1 2 3, ,ij ijE E X X X

Potrebni in zadostni pogoj, da obstajajo enolične zvezne funcije pomika , ki zadostijo šestim enačbam deformacijskega tenzorja, so1 2 3u u u



2 2 211 22 122 22 1 1 2

2E E E

X X X X

Potrebni in zadostni pogoji kompatibilnosti so

2 2233 2322

2 23 2 2 3

2E EE

X X X X

2 22

33 31112 2

1 3 3 1

2E EE

X X X X

2

23 3111 12

2 3 1 1 2 3

E EE E

X X X X X X

231 2322 12

3 1 2 2 3 1

E EE E

X X X X X X

233 23 3112

1 2 3 3 1 2

E E EE

X X X X X X

To so enačbe kompatibilnosti(ali pogoji integrabilnosti)



Da so te enačbe potrebne, lahko dokažemo na naslednji način

111

1

uE

X

122

1

uE

X

3 21

112 22 1 2

3 22

222 21 2 1

uE

X X X

uE

X X X

Zaradi zveznosti lahko spremenimo vrstni red odvajanja32 2

1 1112 2

2 2 1 1 2 2

32 21 2

222 21 2 1 1 2 1

u uE

X X X X X X

u uE

X X X X X X



2 2 2 21 2

11 222 22 1 1 2 2 1 2 1

2 21 2

121 2 2 1 1 2

2

u uE E

X X X X X X X X

u uE

X X X X X X

Ostalih pet kompatibilnostnih enačb lahko izpeljemo na podoben način.

Če so komponente deformacije linearne funkcije koordinat sokompatibilnostni pogoji zadoščeni.

V primeru območja, ki ni prosto povezano, opisani kompatibilnostni pogoji niso dovolj.



POGOJI KOMPATIBILNOSTI SPREMEMB DEFORMACIJSKIH KOMPONENT

V primeru, ko imamo podane tri komponente hitrosti lahko izračunamo šest komponent sprememb deformacijskega tenzorja na področjih, kjer lahko izračunamo odvode

i

j

v

X

1 2 3v v v

V primeru, ko imamo podanih šest komponent sprememb deformacijskega tenzorja pa lahko tudi ne obstajajo tri komponentehitrosti, ki zadovoljujejo naslednje zveze med hitrostjo in spremembo deformacije.

11 22 33 12 13 23D D D D D D



111

1

vD

X

2

222

vD

X

Zveze med hitrostjo in spremembo deformacije

333

3

vD

X

1 212

2 1

1

2

v vD

X X

3113

3 1

1

2

vvD

X X

3223

3 2

1

2

vvD

X X



2 2 211 22 122 22 1 1 2

2D D D

X X X X

Potrebni in zadostni pogoji kompatibilnosti so

2 2233 2322

2 23 2 2 3

2D DD

X X X X

2 22

33 31112 2

1 3 3 1

2D DD

X X X X

2

23 3111 12

2 3 1 1 2 3

D DD D

X X X X X X

231 2322 12

3 1 2 2 3 1

D DD D

X X X X X X

233 23 3112

1 2 3 3 1 2

D D DD

X X X X X X

To so enačbe kompatibilnosti(ali pogoji integrabilnosti)



DEFORMACIJSKI GRADIENT

Ponovimo, da lahko splošno gibanje kontinuuma popišemo kot

, ,d d t t d x x X X x X x X

, tx x X

d dx F X , tXF x X

F predstavlja tenzor gradienta deformacije

F I u x X u

Fizika zahteva, da je enak nič samo, če je enak nič. Zatoobstaja

dx dX

1d dX F x

1F



Prav tako fizika ne dovoljuje inflekcije deformacije, kar pomeni

1 2 3 0 F Fe Fe Fe

Seveda zgornje velja v primeru, če predstavljajo desnosučne bazne vektorje.

ie

LOKALNO TOGO GIBANJE



KONČNA DEFORMACIJA

Deformacijo materialne točke telesa okarakterizira spremambarazdalje med katerimakoli paroma materialnih točk v majhni razdaljiokoli .

X

XZaradi gibanja se materialni element spremeni v dX

d dx F X

Celotna informacija o deformaciji je vključena v deformacijskem gradientu F

Če predstavlja pravilni ortogonalni vektor v točki ni deformacije.F X

Predpostavimo, da je pozitivno definitni simetrični tenzor.Za tak tenzor uporabimo oznako . Velja

FU

0 a Ua za vsak realni vektor in samo če 0 a Ua a 0



d dx U X

1

2

3

λ 0 0

0 λ 0

0 0 λi

e

U

Za takšno deformacijo napišemo

V tem primeru je okolica v popolnem raztegu. V primeruX

x UXje celotno telo v popolnem raztegu. Kjer je konstantni tenzor.U

Tenzor lahko napišemo v dagonalni oblikiU



(1) (1)1 1 1 1λ λd dX d x e X

(3) (3)3d dX λ X

Stretchd

d

x

X

(1)1 1d dXX e

(2)2 2d dXX e

(2) (2)2 2 2 2λ λd dX d x e X

(3) (3)3 3 3 3λ λd dX d x e X

Okoli teh smeri je deformirani element v isti smeri kot nedeformirani.

Razmerje med deformiranim in nedefrormiranim elementom imenujemoRazteg (ali skrček).



POLARNI DEKOMPOZICIJSKI IZREK

V prejšnji diskusiji smo vpeljali dve posebni obliki deformacijskega gradienta

F R pravilni ortogonalni tenzor, ki predstavlja premik togega telesa

F U Simetrični pozitivno definitni deformacijski gradient, ki predstavljatenzor čistega raztega.

Vsaki realni tenzor z determinanto različno od nič lahko razstavimo vF

F RU

F VR

desni tenzor raztega

levi tenzor raztega

U

V

R pravilni ortogonalni tenzor

U V R so enolično določeni



d d d x F X RU X

Deformacijski gradient transformira v dxdX

Najprej povzroči čisti razteg. Nato povzroči čisto rotacijo. U R

d d d x F X VR X

Najprej povzroči čisto rotacijo. Nato povzroči čisti razteg. R V

F RU VR

Velja

SlediTU R VR

Vseeno je ali deformacijo obravnavamo najprej kot čisti razteg, nato kot čisto rotacijo ali najprej kot čisto rotacijo in nato kot čisti razteg.




Shema polarnega dekompozicijskega izreka



IZRAČUN SKRČKA (RAZTEGA) IN ROTACIJSKEGA TENZORJA IZ DEFORMACIJSKEGA GRADIENTA

T T T T TF F = (RU) (RU) = U R RU = U U = UU

2 TU = F F

1R = FU

T TV = FR RUR

Izračunajmo

Sledi

Ko določimo izračunamo še RU

TT 1 T 1 1 T 1 1 1 R R = (FU ) (RU ) = U F FU = U UUU = I

Sledi



DESNI CAUCHY-GREENOV DEFORMACIJSKI TENZOR

2C = U

TC = F F

U

C

desni tenzor skrčka ali raztega

desni Cauchy-Greenov deformacijski tenzor

V primeru, ko ni deformacije, imamo

U C = I

V splošnem primeru imamo

Komponente imajo zelo preprosti geometrijski pomenC



Predpostavimo dva materialna elementa

(1)

(2)

d

d

X

X

ki se transformirata v

(1)

(2)

d

d

x

x(1) (2) (1) (2) (1) T (2) (1) (2)d d d d d d d d x x F X F X X F F X X C X

(1)1 1d dSX e

(1)1 1d dsx n

Predpostavimo(1) (2)

1 1d d d dS X X X e



2 2

1 1 1 1ds dS e Ce

Dobimo

2

111

1

dsC

dS

Sledi

2

222

2

dsC

dS

2

333

3

dsC

dS

za (1) (2)1 1d d d dS X X X e

za

za

(1) (2)2 2d d d dS X X X e

(1) (2)3 3d d d dS X X X e



(1) (2)1 212

1 2

cos ,ds ds

C d ddS dS

x x

(1) (3)3113

1 3

cos ,dsds

C d ddS dS

x x

(2) (3)3223

2 3

cos ,dsds

C d ddS dS

x x

Predpostavimo(1)

1 1d dSX e(2)

2 2d dSX e

1 2 1 2 1 2cosds ds dS dS e Ce

za (1)1 1d dSX e

za (1)1 1d dSX e

za (2)2 2d dSX e

(2)2 2d dSX e

(3)3 3d dSX e

(3)3 3d dSX e



LAGRANGEOV DEFORMACIJSKI TENZOR

* 1

2E C- I

*

C

I

E

Definirajmo

je desni Cauchy-Greenov deformacijski tenzor

je identični tenzor

je Lagrangeov tenzor končne deformacije

V primeru, ko ni deformacije, velja

*

C I

E 0



(1) (2) (1) (2) (1) (2)d d d d d d x x X X X C I X

Velja

(1) (2) (1) (2) (1) * (2)2d d d d d d x x X X X E X

Za materialni element

ki se deformira v

1 1d dSX e

1 1d dSx n

Zgornja enačba za(1) (2)

1 1

(1) (2)1

d d d dS

d d d ds

X X X e

x x x n2 2 2 *1 1 1 1 12ds dS dS e E eDa



2 2* 1 111 2

12

ds dSE

dS

2 2* 2 222 2

22

ds dSE

dS

2 2* 3 333 2

32

ds dSE

dS

za

za

za

1 1d dSX e

2 2d dSX e

3 3d dSX e

, ki se deformira v

, ki se deformira v

, ki se deformira v

1d dsx n

2d dsx m

2d dsx q

n,m,q so enotski vektorji, ki v splošnem niso ortogonalni



Predpostavimo materialni element

ki se deformira v

(1)1 1

(2)2 2

d dS

d dS

X e

X e

(1)1

(2)2

d dS

d dS

x n

x m

(1) (2) *1 2 1 2 1 2cos , 2ds ds d d dS dS x x e E eDobimo

* 1 212

1 2

2 cos ,ds ds

EdS dS

n m



T T* T1 1 1

2 2 2 E F F - I u u u u

* 1 1

2 2ji m m

ijj i i j

uu u uE

X X X X

Lagrangeov deformacijski tenzor lahko izrazimo z deformacijskim tenzorjem

Napisano z indeksi, je

In v dolgi obliki

2 2 2

* 31 1 211

1 1 1 1

1

2

uu u uE

X X X X

* 3 31 2 1 1 2 212

2 1 1 2 1 2 1 2

1 1

2 2

u uu u u u u uE

X X X X X X X X



LEVI CAUCHY-GREENOV DEFORMACIJSKI TENZOR

2B V

B

V

je levi tenzor skrčka

je levi Cauchy-Greenov deformcijski tenzor ali prstni deformacijski tenzor

V primeru, ko ni deformacije, velja

V B U C IIz

izpeljemo

F VR

TB FF



VstavimoT

T

B RCR

C R BR

Če je lastni vektor z lastno vrednostjo , potem je lastni vektor z enako lastno vrednostjo .

n λC RnB λ



Komponente imajo zelo preprost geometrijski pomen, ki ga opišemo na naslednji način.

B

Predpostavimo materialni element

ki se deformira v

T1

d dS

X n

n R e

d dsx m

m

2 2 2 T T 2 T1 1 1 1ds dS dS dS n Cn R e CR e e RCR eDobimo

je enotski vektor

2 21 1ds dS e Be za T

1d dSX R e



21

11 21

dsB

dS

22

22 22

dsB

dS

22

33 22

dsB

dS

za materialni element



T1 1d dSX R e

T2 2d dSX R e

T3 3d dSX R e



Nadalje predpostavimo materialna elementa

ki se deformirata v

(1) T1 1

(2) T2 2

d dS

d dS

X R e

X R e

(1)1

(2)2

d ds

d ds

x m

x n

m

n

T T1 2 1 2 1 2 1 2

T1 2 1 2 1 2 1 2

cosds ds dS dS dS dS

dS dS dS dS

R e n C R e

e RCR e e Be

Dobimo

sta enotska vektorja, ki v splošnem nista med seboj ortogonalna,in tvorita kot



(1) (2)1 212

1 2

cos ,ds ds

B d ddS dS

x x za materialna elementa (1) T

1 1d dSX R e

(2) T2 2d dSX R e

(1) (3)1 313

1 3

cos ,ds ds

B d ddS dS


1 1d dSX R e

(3) T3 3d dSX R e

(2) (3)2 323

2 3

cos ,ds ds

B d ddS dS


1 2d dSX R e

(3) T3 3d dSX R e



Komponente lahko izrazimo s komponentami premikaB

T T TT B = FF I u I u I u u u u

V notaciji z indeksi imamo

j ji iij ij

j i m m

u uu uB

X X X X

Za male gradiente premika dobimo zvezo

1

2 ij ij ijB E



EULERJEV DEFORMACIJSKI TENZOR

* 11

2e I -B

Definirajmo Eulerjev deformacijski tenzor

B

I

je Cauchy-Greenov deformacijski tenzor

je identični tenzor

V primeru, ko nimamo deformacije, imamo1

*

B I

e 0



V primeru pravokotnih Kartezijevih koordinat imamo

Sedaj opišimo geometrijski pomen komponent tenzorjev

1B *e

d dx F X1d dX F x

1i ij jdX F dx

1 iij

j

XF

x

1 2 3

1 2 3

, , ,

, , ,

i i

i i

X X x x x t

x x X X X t



Če uporabimo Kartezijeve koordinate za referenčno in trenutno konfiguracijo

1 1 1

1 2 3

1 2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

X X X

x x x

X X X

x x x

X X X

x x x

F

T 1(1) (2) 1 (1) 1 (2) (1) 1 1 (2) (1) T (2)d d d d d d d d X X F x F x x F F x x FF x

(1) (2) (1) 1 (2)d d d d X X x B x(1) (2) (1) (2) (1) * (2)2d d d d d d x x X X x e x

1d dsx e d dsX n



21 1

11 1 12

dSB

ds e B e

2 2* *

1 1 1122

ds dS

ds

e e e e

Podobno velja za ostale diagonalne elemente.



Nadalje predpostavimo deformirana materialna elementa

ki sta bila pred deformacijo

(1) T1 1

(2) T2 2

d ds

d ds

x R e

x R e

(1)1

(2)2

d dS

d dS

X m

X n

m

n

1 11 21 2 12

1 2

cos ,dS dS

Bds ds

n m e B e

Dobimo

sta enotska vektorja, ki v splošnem nista med seboj ortogonalna,in tvorita kot

*1 212

1 2

cos ,2

dS dSe

ds ds n m



lahko izrazimo tudi v transformiranih koordinatah1B *ein

1 2 3

1 2 3

, , ,

, , ,i i i

x x x t

X x u x x x t

X x u

1

i iij

j j

X u

x x

xF I u

T1 T 1 1

* 11

2

B FF F F

e I B

T T T1 x x x x x xB I u I u I u u u u



T T

*

2 2

x x x xu u u u

e

* 1 1

2 2ji m m

ijj i i j

uu u ue

x x x x

Sledi

In v dolgi obliki2 2 2

* 31 1 211

1 1 1 1

1

2

uu u ue

x x x x

* 3 31 1 2 1 1 2 211

1 2 1 1 2 1 2 1 2

1 1

2 2

u uu u u u u u ue

x x x x x x x x x

* 1

2ji

ijj i

uue

X X

za male deformacije



SPREMEMBA POVRŠINE ZARADI DEFORMACIJE

Predpostavimo dva materialna elementa

ki oba izhajata iz koordinate ob referenčnem časuX 0t

Pravokotna ploskev, ki jo omejujeta oba elementa, ima površino

(1) (2)0 1 2 3 0 3d d d dS dS dA A X X e e

Elementa se ob času deformirata vt

(1)1 1

(2)2 2

d dS

d dS

X e

X e

(1)1

(2)2

d d

d d

x F X

x F X



(1) (2)1 2 1 2 0 1 2

01 2

dA d d dS dS dA

d dA

dA

dA

F X F X Fe Fe Fe Fe

A n

n Fe Fe

Deformirana površina je oblike

Velja

1 1 2 2 1 2 0 Fe Fe Fe Fe Fe Fe

1 1 2 1 0 Fe n Fe n

zatoT T

1 2 0 e F n e F n

TF n je pravokoten na 1 2e e



T10 3(det )dA dA F F e

T10 3detdA dA n F F e

T10 0 0

T10

det det

dA d J

dA d J

J

n A F n

A F

F F

0 03 3 1 2 det

dA dA

dA dA

Fe n Fe Fe Fe F

T 03 det

dA

dA

e F n F

T 03det

dA

dA

F n F e

Deformirana površina se izraža z nedeformirano površino kot

V primeru, da je nedeformirana površina pravokotna na 0n

je vedno pozitivno število, zato velja ta enakost



SPREMEMBA VOLUMNA ZARADI DEFORMACIJE

Predpostavimo tri materialne elemente

ki vsi izhajajo iz koordinate ob referenčnem časuX 0t

Volumen, ki ga omejujejo vsi trije elementi je

0 1 2 3dV dS dS dS

Elementi se ob času deformirajo vt

(1)1 1

(2)2 2

(3)3 3

d dS

d dS

d dS

X e

X e

X e

(1)1

(2)2

(3)3

d d

d d

d d

x F X

x F X

x F X



Deformirani volumen je

(1) (2) (3)1 2 3 1 2 3dV d d d dS dS dS F X F X F X Fe Fe Fe

0 0detdV dV JdV F

0 0det detdV dV dV C B

0dV dV det det det 1 F C B

Po definiciji velja

T

T

2det det det

C F F

B FF

C B F

Za nestisljiv material velja



Enačbo ohranitve mase lahko napišemo kot

0 0 0

det det det

F C B



TRENUTNA KONFIGURACIJA KOT REFERENČNA KONFIGURACIJA

Imejmo

'

t

x

x

pozicijski vektor delca ob času

pozicijski vektor delca ob času

Potem velja enačba

' '

'

,

,

t

t t

x x x

x x x

To je enačba za gibanje kontinuuma v primeru, ko je trenutni čas privzet kot referenčni čas.



Za dano hitrost je hitrost pri poziciji ob času podana kot

Po drugi strani, pa je za specifičen delec (pri fiksnem in ) hitrost podana kot

, tv v x 'x

' ,v v x

x t

'

,

t

t fixed

x

x

't

x

v

V primeru, ko je trenutna deformacija privzeta kot referenčna deformacijatudi tenzorje v tej konfiguraciji ustrezno označimo



'

T

T

t t

t t t

t t t

F x

C F F

B FF

relativni deformacijski gradient

relativni desni Cauchy-Greenov tenzor

relativni levi Cauchy-Greenov tenzor

Relativni deformacijski tenzorji se uporabljajo v ne-Newtonskih tekočinah




MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSKINEMATICS OF A CONTINUUM



POTREBNI IN ZADOSTNI POGOJI ZA KOMPATIBILNOST DEFORMACIJE



POZITIVNO-DEFINITNI SIMETRIČNI TENZORJI



POZITIVNO DEFINITNE REŠITVE U**2 = D




MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICSKINEMATICS OF A CONTINUUM

UVOD V KINEMATIKO KONTINUUMA

Documents