Uvod u vjerojatnost i statistiku 1cm Vje be 1. · PDF filePromotrimo pokus koji se sastoji od zagrijavanja odredene koli cine vode pod normalnim atmosferskim tlakom na temperaturu

Slucajan pokus i prostor elementarnih dogadaja Osnovni pojmovi teorije skupova Klasicna definicija vjerojatnosti Statisticka definicija vjerojatnosti

Uvod u vjerojatnost i statistiku

Vjezbe 1.

Ivona Puljic i Nenad Suvak

11.10.2011

Ivona Puljic i Nenad Suvak Uvod u vjerojatnost i statistiku Vjezbe 1.


1 Slucajan pokus i prostor elementarnih dogadaja

2 Osnovni pojmovi teorije skupova

3 Klasicna definicija vjerojatnosti

4 Statisticka definicija vjerojatnosti



Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti koji se ne definiraju, vecobjasnjavaju primjerima, su pokus (eksperiment) i njegov ishod.

Ako pod odredenim uvjetima promatramo neki pokus, uocavamoda ishod moze biti: determiniran (jednoznacno odreden), ilinedeterminiran (nije jednoznacno odreden), tj. slucajan je(stohasticki).



Primjer 1.

Na raspolaganju imamo kutiju u kojoj se nalazi 10 bijelih kuglica.Promotrimo pokus koji se sastoji od izvlacenja dviju kuglica izkutije. Sto mozete reci o boji izvucenih kuglica?

Primjer 2.

Promotrimo pokus koji se sastoji od zagrijavanja odredene kolicinevode pod normalnim atmosferskim tlakom na temperaturu od100oC . Rezultat ovog pokusa jednoznacno je odreden uvjetima ukojima se pokus odvija, a sastoji se od promjene agregatnog stanjavode (iz tekuceg u plinovito stanje).



Napomena 1.

Za dogadaje opisane u primjerima 1 i 2 kazemo da sudeterminirani dogadaji. Medutim, postoje pokusi ciji ishodi nisujednoznacno odredeni, ali ukazuju na skup mogucih ishoda. Takvepokuse nazivamo slucajnim pokusima. Uvjeti u kojima se oniodvijaju moraju biti tocno opisani i mora se tocno znati storegistriramo kao ishod pokusa. Slijedi nekoliko primjera.



Primjer 3.

Promotrimo bacanje pravilno izradenog novcica i pri tomeregistrirajmo je li ishod bacanja pismo (P) ili glava (G). Pri bilokojem izvodenju pokusa ne mozemo sa sigurnoscu tvrditi da cepasti pismo ili da ce pasti glava. Dakle, rezultat bacanja novcicanije jednoznacno odreden uvjetima u kojima se odvija. Na osnovutoga zakljucujemo da je bacanje pravilno izradenog novcicaslucajan pokus ciji su moguci ishodi elementi dvoclanog skupaP,G.



Definicija 1.

Svaki ishod slucajnog pokusa je jedan elementarni dogadaj iobicno se oznacava slovom ω. Skup svih mogucih ishoda nekogslucajnog pokusa (tj. elementarnih dogadaja) naziva se skup iliprostor elementarnih dogadaja i oznacava se Ω.

Definicija 2.

Svaki podskup A prostora elementarnih dogadaja Ω naziva seslucajni dogadaj ili samo dogadaj. Npr. neka je dan konacanprostor elementarnih dogadaja Ω = ω1, . . . , ωn. Tada jeA = ωa1, . . . , ωar ⊂ Ω jedan dogadaj. DogadajA = ωa1, . . . , ωar ⊂ Ω realizirao se ako se u pokusu realiziraobilo koji od ishoda ωai ∈ A, i = 1, . . . , r .



Napomena 2.

Skup svih mogucih dogadaja nekog slucajnog pokusa je skup P(Ω).Primijetimo da je Ω ∈ P(Ω) i da Ω sadrzi sve moguce ishode.Zbog toga za Ω kazemo da je siguran dogadaj. Nasuprot tome,∅ ∈ P(Ω) ne sadrzi nikakav ishod pa je ∅ nemoguc dogadaj.Elementarni dogadaji iz primjera 3 su P =’palo je pismo’ iG =’pala je glava’, a prostor elementarnih dogadaja je skupΩ = P,G.



Primjer 4.

Bacamo pravilno izradenu igracu kockicu i registriramo broj koji sepojavio.Rjesenje: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Primjer 5.

Iz kutije u kojoj se nalaze dvije crvene (c) i tri plave (p) kuglice naslucajan nacin uzimamo tri kuglice i registriramo realiziranu trojku.

Rjesenje:

Ω = (p, p, p), (p, p, c), (p, c , p), (c , p, p), (c , c , p), (c , p, c), (p, c , c)



Zadatak 1.

Konstruirajte prostor elementarnih dogadaja za sljedece slucajnepokuse:

a) uzastopno bacanje pravilno izradenog novcica dva puta,

b) istovremeno bacanje dviju pravilno izradenih igracih kockica,

c) uzastopno bacanje pravilno izradene igrace kockice n puta,n ∈ N,

d) slucajan izbor delegacije od dva clana iz skupa osobaA,B,C ,D,E ,F.



Zadatak 2.

Slucajan pokus sastoji se od istovremenog bacanja pravilnoizradenog novcica i pravilno izradene igrace kockice, pri cemu sekao ishod registriraju pojava pisma ili glave na novcicu i broj nagornjoj strani kockice, redom. Modelirajte prostor elementarnihdogadaja.



Zadatak 3.

U kutiji se nalaze cetiri papirica numerirana brojevima 1, 2, 3, i 4.Iz kutije se na slucajan nacin izvlaci po jedan papiric i to:a) bez vracanja, b) sa vracanjem,sve dok se ne izvuce papiric na kojem je neparan broj. Ako se kaoishod ovog slucajnog pokusa registriraju izvuceni brojevi,modelirajte pripadni prostor elementarnih dogadaja.



Zadatak 4.

Strijelac gada metu 4 puta pri cemu se registriraju i pogoci ipromasaji. Modelirajte prostor elementarnih dogadaja i sljedecedogadaje:

a) A - gadanje je zapocelo promasajem,

b) B - rezultat svih gadanja je isti,

c) C - cilj je pogoden 2 puta,

d) D - cilj je pogoden barem 2 puta.



Zadatak 5.

Strijelac gada cilj oblika kruzne mete polumjera R, pri cemu semjeri udaljenost od mjesta pogotka do sredista mete. Modelirajtepripadni prostor elementarnih dogadaja.



Osnovni pojmovi teorije skupova I

1. Skup A je podskup skupa B (A ⊆ B) ako je svaki elementskupa A ujedno element i skupa B.

2. Skup A jednak je skupu B ako je A ⊆ B i B ⊆ A.

3. Unija skupova A i B je skupA ∪ B = ω ∈ Ω : ω ∈ A ∨ ω ∈ B.

4. Presjek skupova A i B je skupA ∩ B = ω ∈ Ω : ω ∈ A ∧ ω ∈ B.

5. Razlika skupova A i B je skupA \ B = ω ∈ Ω : ω ∈ A ∧ ω /∈ B.

6. Simetricna razlika skupova A i B je skupA4B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A).



Osnovni pojmovi teorije skupova II

7. Komplement skupa (dogadaja) A ⊆ Ω je skupAC = ω ∈ Ω : ω /∈ A kojeg nazivamo suprotan dogadajdogadaja A.

8. Komplement prostora elementarnih dogadaja je prazan skup,tj. ΩC = ∅. Cijeli prostor elementarnih dogadaja Ω nazivamosiguran dogadaj, a njegov komplement nemoguc dogadaj.

9. Konacna unija skupova (dogadaja) A1,A2, . . .An ⊆ Ω je skup:

A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An =n⋃

i=1

Ai

= ω ∈ Ω : ω ∈ A1 ∨ ω ∈ A2 ∨ . . . ∨ ω ∈ An= ω ∈ Ω : ∃i ∈ 1, 2, . . . , n t.d. ω ∈ Ai.



Osnovni pojmovi teorije skupova III

10. Konacan presjek skupova (dogadaja) A1,A2, . . .An ⊆ Ω jeskup:

∩ . . . ∩ An =n⋂

i=1

Ai

= ω ∈ Ω : ω ∈ A1 ∧ ω ∈ A2 ∧ . . . ∧ ω ∈ An= ω ∈ Ω : ω ∈ Ai ,∀i ∈ 1, 2, . . . , n.



Osnovna svojstva skupovnih operacija

1. A ∪ B = B ∪ AKomutativnost2. A ∩ B = B ∩ A

3. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )Asocijativnost4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

5. A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )Distributivnost6. A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

7. (A ∪ B)C = AC ∩ BC

De Morganovi zakoni8. (A ∩ B)C = AC ∪ BC



Zadatak 6.

Neka je Ω prostor elementarnih dogadaja pridruzen nekomslucajnom pokusu, te neka su A, B i C dogadaji (A,B,C ⊆ Ω).Pomocu dogadaja A, B i C izrazite sljedece dogadaje:

a) realizirao se samo dogadaj A,

b) realizirali su se dogadaji A i B,

c) realizirala su se sva tri dogadaja,

d) realizirao se barem jedan od dogadaja A, B i C ,

e) realizirao se tocno jedan od dogadaja A, B i C ,

f) realizirali su se barem dva od dogadaja A, B i C ,

g) realizirali su se tocno dva od dogadaja A, B i C ,

h) realizirali su se najvise dva od dogadaja A, B i C ,

i) nije se realizirao niti jedan od dogadaja A, B i C .



Zadatak 7.

Medu studentima prisutnim na nekom predavanju slucajno se birajedan student. Pomocu dogadaja:

A = student je muskog spola,

B = student je vegetarijanac,

C = student zivi u studentskom domu.

izrazite sljedece dogadaje:

a) student je muskog spola, vegetarijanac je i zivi u studentskomdomu,

b) Kada ce vrijediti A ∩ B ∩ C = A?

c) Kada ce vrijediti CC ⊆ B?

d) Kada ce vrijediti AC = B? Vrijedi li nuzno ova skupovnajednakost ako znamo samo da su sve studentice vegetarijanke?



Klasicna definicija vjerojatnosti I

Primjer 6.

Pretpostavimo da je za usmeni dio ispita iz Uvoda u vjerojatnost istatistiku definiran set od 120 pitanja (pretpostavljamo da sva pitanja nosejednak broj bodova). Nadalje pretpostavimo da je student koji pristupausmenom ispitu naucio odgovore na 110 pitanja, te da na preostalih 10 pitanjane zna odgovoriti. Zanima nas kolika je mogucnost da pri izvlacenju prvogpitanja (pitanje se izvlaci na slucajan nacin, dakle svako pitanje se izvlaci sjednakom vjerojatnoscu) student izvuce pitanje na koje ne zna odgovor.Zapravo nas zanima sljedeci dogadaj:

A = student je izvukao pitanje na koje ne zna odgovor,

koji je moguci ishod naseg slucajnog pokusa. Ovdje ce nam apsolutni brojpitanja na koja student ne zna odgovor biti pomocna informacija, a odgovor napitanje koje si postavljamo bit ce kvocijent broja pitanja koja student nijenaucio i ukupnog broja pitanja iz ponudenog seta. Da bismo prethodno opisani



Klasicna definicija vjerojatnosti II

postupak zapisali na jeziku matematike, oznacimo sa Ω skup pitanja izponudenog seta:

Ω = 1, 2, . . . , 120.Analogno, sa A oznacimo skup svih pitanja koja student nije naucio:

A = p1, p2, . . . , p10.

Pripadni kardinalni brojevi skupova Ω i A su:

k(Ω) = 120, k(A) = 10.

Sada imamo sve informacije koje nam trebaju, pa prema prethodnoobjasnjenom postupku znamo da je mogucnost izvlacenja nenaucenog pitanja(u oznaci P(A)):

P(A) =k(A)

k(Ω)=

10

120≈ 0.0833.



Napomena 3.

Uocimo da smo sa A oznacili dogadaj student je izvukao pitanje na koje ne

zna odgovor, ali i skup p1, p2, . . . , p10 ciji su elementi pitanja na koja

student nije naucio odgovoriti i koji je podskup prostora elementarnih dogadaja

Ω. Argument za identifikaciju dogadaja A sa skupom A ⊂ Ω je sljedeci:

dogadaj student je izvukao pitanje na koje ne zna odgovor realizirat ce se

ako i samo ako je ishod ovog slucajnog pokusa reprezentiran elementom

podskupa A prostora elementarnih dogadaja Ω.



Definicija 3.

Neka imamo slucajan pokus sa konacno mnogo elementarnihdogadaja ω1, ω2, . . . , ωn (dakle imamo prostor elementarnihdogadaja Ω = ω1, ω2, . . . , ωn) te neka iz prirode uvjeta slucajnogpokusa slijedi da su svi ti elementarni dogadaji jednako moguci.Ako je A proizvoljan dogadaj vezan uz taj slucajan pokus (tj. Aidentificiramo s odgovarajucim podskupom od Ω koji sadrzielementarne dogadaje povoljne za A), tada vjerojatnost dogadajaA definiramo na sljedeci nacin:

P(A) =k(A)

k(Ω)=

broj povoljnih elementarnih dogadaja za A

broj svih mogucih elementarnih dogadaja.



Napomena 4.

Uocimo da ova definicija vjerojatnosti sadrzi pojam ”jednakomoguc”, koji zapravo znaci jednako vjerojatan. Definicije takvogtipa nazivamo kruznim ili cirkularnim definicijama i zamjeramo immatematicku nepreciznost. Unatoc tome, ova definicija je vrlodobra za izgradnju intuitivnog pristupa pojmu vjerojatnosti.



Zadatak 8.

Na raspolaganju nam je kutija u kojoj se nalazi 100 papiricanumeriranih brojevima 1, 2, . . . , 100. Slucajan pokus sastoji se odizvlacenja jednog papirica iz kutije. Pomocu klasicne definicijevjerojatnosti odredite vjerojatnosti sljedecih dogadaja:

a) A - izvuceni broj je jednoznamenkast,

b) B - izvuceni broj je dvoznamenkast,

c) C - izvuceni broj je manji ili jednak broju k ,k ∈ 1, 2, . . . , 100,

d) D - izvuceni broj je strogo veci od k, k ∈ 1, 2, . . . , 100,e) E - suma znamenaka izvucenog broja je 3,

f) F - umnozak znamenaka izvucenog broja je 6.



Zadatak 9.

Pravilno izradena igraca kockica baca se dva puta. Upotrebomklasicne definicije vjerojatnosti odredite vjerojatnosti sljedecihdogadaja:

a) A - pali su jednaki brojevi,

b) B - suma brojeva koji su pali je 8,

c) C - produkt brojeva koji su pali je 8,

d) D - suma brojeva koji su pali veca je od produkta brojeva kojisu pali,

e) E - produkt brojeva koji su pali veci je od sume brojeva koji supali.



Statisticka definicija vjerojatnosti

Buduci rezultat slucajnog pokusa ne mozemo sa sigurnoscupredvidjeti, ponavljanje takvog pokusa nekoliko puta rezultirarazlicitim ishodima.

Definicija 4.

Frekvencija dogadaja A, oznacimo ju sa nA, je broj pojavljivanjarealizacije A u n ponavljanja odgovarajuceg slucajnog pokusa.Relativna frekvencija dogadaja A je kvocijent frekvencije nA ibroja ponavljanja slucajnog pokusa n, dakle broj nA

n = fA(n).

Napomena 5.

Iz posljednje definicije je ocito da je nA ∈ N0, 0 ≤ nA ≤ n.Dijeljenjem te nejednakosti s n dobijemo vazno svojstvo relativnefrekvencije 0 ≤ fA(n) ≤ 1.



Primjer 7.

Promotrimo pokus bacanja pravilno izradenog novcica kojem jepridruzen dvoclani prostor elementarnih dogadaja Ω = P,G.Prirodno pitanje koje ovdje postavljamo je kolika je vjerojatnostda ce se realizirati pismo. Bez puno razmisljanja vecina ljudiodgovara da je trazena vjerojatnost 1

2 . Ovaj odgovor temelji se nasljedecim iskustvenim cinjenicama:

1 Znamo da je novcic pravilno izraden te da su realizacija pismai glave jednako moguci ishodi njegovog bacanja.

2 Ako isti pokus ponovimo n ∈ N puta (n velik broj), iskustvonas uci da se pismo i glava realiziraju priblizno jednak brojputa. Odatle slijedi da je nP ≈ n

2 i nG ≈ n2 te da su relativne

frekvencije realizacije pisma i glave nPn = nG

n ≈12 . Stoga je

razumno uzeti 12 kao vjerojatnost pojavljivanja pisma (ili

glave) pri jednom bacanju novcica.



Zadatak 10.

Provedite kratki slucajan pokus bacanja pravilno izradene igracekockice i statistickim pristupom pokazite da je vjerojatnostrealizacije bilo kojeg elementarnog dogadaja iz pripadnog Ωjednaka 1

6 .


https://docs.google.com/file/d/0B8KqdkqCXQXfQmM4WWR1N2phRm8/edit

https://docs.google.com/file/d/0B8KqdkqCXQXfQmM4WWR1N2phRm8/edit


Napomena 6.

Prethodnim zadatkom uvjerili smo se da se relativne frekvencijepojedinih ishoda slucajnog pokusa nakon velikog broja ponavljanjapokusa grupiraju oko fiksnog broja kojeg tada uzimamo kaovjerojatnost pojavljivanja te realizacije u jednom ponavljanjupokusa. To svojstvo relativnih frekvencija nazivamo statistickastabilnost relativnih frekvencija. Teorija vjerojatnosti proucavasamo one pokuse ciji ishodi imaju svojstvo statisticke stabilnostirelativnih frekvencija.



Definicija 5.

Ako ishodi slucajnog pokusa imaju svojstvo statisticke stabilnostirelativnih frekvencija, tada se kao vjerojatnost dogadaja Avezanog uz taj pokus uzima broj oko kojeg se grupiraju relativnefrekvencije nA

n tog dogadaja za velik broj ponavljanja pokusa n.

Napomena 7.

Prethodna definicija je klasicna definicija vjerojatnosti aposteriori, tj. definicija temeljena na iskustvu. Uocimo damozemo pisati P(A) = lim

n→∞fA(n) te da je 0 ≤ P(A) ≤ 1.


Uvod u vjerojatnost i statistiku 1cm Vje be 1. · PDF filePromotrimo pokus koji se sastoji od zagrijavanja odredene koli cine vode pod normalnim atmosferskim tlakom na temperaturu

Documents