Uvod u Teoriju Vjerovatnoæe (Prvi Dio)

8/20/2019 Uvod u Teoriju Vjerovatnoæe (Prvi Dio)

http://slidepdf.com/reader/full/uvod-u-teoriju-vjerovatnoaee-prvi-dio 1/14

H USE F ATKI Ć

V J E R O V A T N O Ć A I S T A T I S T I K A

P R V I D I O

TEORIJA VJEROVATNO ĆE

SARAJEVO, 2010.



Huse F ATKI Ć

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA

PRVI DIO

TEORIJA VJEROVATNO Ć E

PRVI SVEZAK 1

1 Ovaj rad je pomognut od strane Plana za podršku istraživanja (Research Support Scheme)Centralnoevropskog univerziteta, SOROS fondacije-FOND OTVORENO DRUŠTVO Bosn

Hercegovina, Potprojekat Grupnog projekta ,,Savremeni problem: matemai č kkih nauka* (odgovorniistrazivač prof. dr. Muharem Avdispahić), br. RSS-43/96, od 31.10.1996.



SADRŽAJ/CONTENTSStrana/Page

1. UVOD U TEORIJU VJEROVATNOĆE1.1.Pojam, predmet, počeci i značaj teorije vjerovatnoće ............................................................ 1 1.2. Stanovišta u teoriji vjerovatnoće. Prosta vjerovatnoća i skupne vjerovatnoće ................... 4 1.3. Slučajni događaji. Prostor elementarnih događaja ............................................................ 5 1.4. Klasična definicija vjerovatnoće a priori (Laplaceova definicija pojma

vjerovatnoće)............................................................................................................................ 8 1.5. Klasična definicija vjerovatnoće a posteriori (statistička definicija pojma vjerovatnoće)... 12

1.6. Još o prostoru elementarnih događaja (O prvom pogledu na teoriju vjerovatnoće, jednako mogući događaji, prostor uzoraka i vjerovatnoća događaja) ......................

1.7. Neke osnovne teoreme klasične teorije vjerovatnoće ..................................................

1.8. Nezavisni događaji. Multiplikativna teorema u slučaju kad su događaji nezavisni .........

1.9. Uslovna (relativna) vjerovatnoća. Multiplikativna teorema u slučaju kad su događaji zavisni ..................................................................................................................................

1.10. Formula totalne (potpune, pune) vjerovatnoće ..............................................................

1.11. Bayesova formula ...............................................................................................................

1.12. Geometrijska definicija pojma vjerovatnoće .................................................................................... 2. OPSTA TEORIJA VJEROVATNOĆE

2.1.Aksiomatska definicija pojma vjerovatnoće ................,.....................................................,...........2.2. Neke osnovne teoreme opšte teorije vjerovatnoće ................................................................2.3. Diskretni vjerovatnosni prostor ..............................................................................................2.4. Uslovna vjerovatnoća i nezavisnost događaja u opštem prostoru vjerovatnoće .................

3. SLUČAJNE VELIČINE3.1. Pojam slučajne veličine ....................................................................:....................3.2. Slučajne veličine na konačnom prostoru vjerovatnoće (Uvodni pojmovi, funkcija

vjerovatnoće, očekivanje i varijansa) ................................................................3.3. Funkcije distribucije ............................................................................................................

3.4. Klasifikacija slučajnih veličina ............................................................................................

3.5. Važnije klase distribucija ....................................................................................................

3.6. Još o binomnoj distribuciji. Bernoullijevi pokušaji (Bernoullijeva šema)............................

LITERATURA .......................................….................................................................................



1. UVOD U TEORIJU VJEROVATNO ĆE

1.1. Pojam, predmet, po čeci i zna čaj teorije vjerovatno će

U novije vrijeme teorija vjerovatnoće (teorija vjerovatnosti) jedno je od najvažnijih inajsadržajnijih područ ja savremene matematike, koje se mnogo primjenjuje i u drugim matematičkimdisciplinama, posebno u (matematičkoj statistici, kao i u raznim područ jima fizikalnih i biološkihnauka, tehnike (elektrotehnike, saobraćaja i dr.), genetike, u izučavanju različitih slučajnih pojava,njihovih zakonitosti, njihove prirode i učinka, i drugdje. Teorija vjerovatnoće, a i teorije koje sezasnivaju na pojmovima vjerovatnoće odnosno, koje crpe osnovne ideje iz teorije vjerovatnoće, vrlo suznačajne grane matematike i imaju primjenu u širokom područ ju savremenih djelatnosti. Manje je poznatačinjenica da se pojmovi vjerovatnoće sve više koriste i u društvenim naukama. Stohastičkemetode, npr., primjenjuju psiholozi u istraživanju procesa učenja. Statističkom teorijom se koristeekonomisti u ispitivanju nasljednih rizika u raznim poslovnim planiranjima. Teorija igara.

vjerovamoća i statistika su vrlo značajne i u vojnim disciplinama. Spisak svih oblasti u kojima teorijavjerovatnoće i statistička analiza se primjenjuju je suviše dug da bismo ga pokušavali izložiti.Dovoljno je samo istaći da su teorija vjerovatnoće, njeni pojmovi, ideje i metode danas vrlo širokorasprostranjeni i da se procjenjuje daće njihov uticaj u budućnosti biti još daleko veći..

Poznato nam je da su idealne linije i trouglovi, u geometriji ravni, matematički predstavnici ili,,matematički modeli", odgovarajućih fizičkih objekata u stvarnom svijetu. Na isti način možemo,govoriti o matematičkim modelima problema iz teorije vjerovatnoće i možemo izučavati te modeleslično kao što dokazujemo teoreme u geometriji na osnovu Euklidovih aksioma.Teorija vjerovatno će jematemati č ka disciplina koja se bavi zakonitostima u slu č ajnim pojavama, odnosno teorijavjerovatno će je zasnovana na modelima koji odražavaju pitanja i pojave stvarnoga svijeta, na osnovuodre đ ivanja zakonitosti i predvi đ anja doga đ aja. Zapravo možemo reći da je statistika naukasakupljanja i analiziranja podataka, a teorija vjerovatnoće-matematička struktura na kojoj suzasnovane statističke metode.

Teorija vjerovatnoće spada u red najmlađih grana matematike. U starom vijeku antički narodi nisu poznavali teoriju vjerovatnoće. Kao i u mnogim drugim disciplinama i vjerovatnoća je nastala iz motivakoji nisu bili vezani za nauku, niti su imali ikakve veze sa njom. Takođe postoji veliko šarenilo međugledištima matematičara o pitanju ko i kada je prvi započeo proučavanje problema vjerovatnoćena sistematičan način.Prvi radovi evropskih matematičara koji su sadržavali osnovne idejeteorije vjerovatnoće pojavili su se u XVI i XVII vijeku i bili u vezi sa određivanjem šansidobitka u igrama na sreću. Takve radove možemo naći kod Kardana, Paskala i Fermaa.Sljedeća etapa se vezuje za Jakoba Bernulija. Teorema koju je on dokazao, a koja se danasnaziva Bernulijev zakon velikih brojeva, predstavljala je teoretsku osnovu tada razmatranihčinjenica. Značajan doprinos razvoju teorije vjerovatnoće dali su takode Muavr, Laplas, Gaus,Puason, kao iČebišev, Markov i mnogi drugi naučnici. Aksiomatsko zasnivanje teorijevjerovatnoće je rezultat radova Kolomogorova iz tridesetih godina XX vijeka.

Gerolamo Cardano (latinski: Hieronymus Cardanus ) (1501-1576) je italijanskimatematičar, filozof i ljekar. U mladosti se bavio isključivo medicinom, da bi kasnije postao profesor matematike u Bolonji i Milanu. Za Kardana se obično vezuju formule za određivanjekorijena jednačine trećeg stepena, koje je objavio 1545, mada je taj rezultat prvi dobio NikoloTartalja ( Niccolò Fontana Tartaglia ), takode italijanski matematičar tog doba. Kardano je1526. godine napisao knjigu „ Liber de ludo aleae " ("Book on Games of Chance" ), koja jeobjavljena tek 1663. godine, o igrama sa kockicama i sistematski obradio računanje

vjerovatnoća dogadaja u tim igrama (ona sadrži prvi sistematičan tretmanvjerovatnoće).

1

http://en.wikipedia.org/wiki/Niccol%C3%B2_Fontana_Tartaglia





2 U mnogim dostupnim izvorima (udžbenici, naučni i stručni radovi i dr.) navodi se da je 1654.

godine počeo razvoj teorije vjerovatnoce. Ovaj datum zapravo označava početak vrlo opsežnekorespondencije između dvojice velikih francuskih matematičara Blejza Paskala i Pjera Ferme, ukojoj su razmjenjivali mišljenja o nekim problemima kockanja2 koje je Pascalu postavio pariškigrađanin Sevalie /Sevaljer/ d'Mere'(Chevalier de Mere). Iz ove prepiske potiču mnogi početni rezultatiiz teorije vjerovatnoće. Pascal i Fermat su pokušali da utvrde neke zakonitosti koje vladaju uhazardnim igrama. Oni su tako savjesno prihvatili ovaj posao, da su ubrzo i sami zapazili da se ovdjeotvara jedan potpuno novi pristup proučavanju mnogih događajačiji se tok ne može tačno predvidjetii koji se pod određenim okolnostima mogu ali ne moraju dogoditi.Takvi događaji nazivaju se

sluč ajnim, za razliku od onih događaja čiji se tok zbivanja moze tačno predvidjeti (tzv.deterministi č kih doga đ aja odnosno deterministi č kih pojava ) jer se ovi pokoravaju određenimzakonima uzročne povezanosti u drugom obliku sa nekim drugim događajima ili faktorima.Razvoj teorije vjerovatnoće u XVII vijeku, osim za Pascala i Fermata, vezan je i za ime holandskogmatematičara Hajgensa(Huyghens, 1625-1695). No, prvi značajniji rezultati u teoriji vjerovatnoće

postignuti su u XVIII vijeku i početkom XIX vijeka, a vezani su za imena Jakoba Bernoullija, De Moivrea , Pierre-Simon de Laplacea , Poasona (S. D. Poisson, 1781-1840, francuski fizičar imatematičar) i dr.

Medu prvim njemački matematičar Carl Friedrich Gauss (1777-1855) doprinio je mnogo u praktičnoj primjeni teorije vjerovatnoće. Ruski matematičari P.L. Č ebyshev (1821 -1894), A. A. Markov(1856-1922) i M. Ljapunov (1857-1918) dali su krupne doprinose u razvoju klasične teorijevjerovatnoće. Sovjetski matematičari A. N. Kolmogorov, Sergej Natanovi ć Bernstein (1880 -1968),A. J. Hin č in i B. V. Gnedenko , dali su značajne doprinose u savremenom razvoju teorijevjerovatnoće.

Zanimljiva ječinjenica da seteorija vjerovatno će gotovo tri vijeka razvijala bez strogo

utvr đenih aksioma. Većina neuspjelih pokušaja strogog zasnivanja teorije vjerovatnoće sastojala se utome da se pojam vjerovatnoće definira pomoću intuitivno bliskog pojmarelativne frekvencije.Opšteprihvaćenu aksiomatiku uveo je u teoriju vjerovatnoće godine 1933. veliki ruski matematičar

Andrej Nikolajev ć Kolmogorov. Njegova aksiomatika obuhvatala je sve dotadašnje rezultate izteorije vjerovatno će, a takođe se pokazalo da ona adekvatno reprezentira naše prirodne ideje,odnosno intuitivne predodžbe o vjerovatnoći, tj. da postoji veza između vjerovatno će i relativne

frekvencije. Osim toga Kolmogorovljeva aksiomatika je dobra osnova za razvoj novih sadržaja teorijevjerovatnoće. Poslije uvođenja ove aksiomatike,teorija vjerovatno će je doživjela izuzetan razvoj idanas je jedna od vodećih matematičkih disciplina.

Napomenimo da je jedan od prvih problema uteoriji vjerovatno će (kojeg je 1654. godine /Što se najčešće uzima za početakteorije vjerovatnoće/ De Mere postavio Pascalu) bio:,,Da li je preporučljivo kladiti se daće u 24 uzastopna bacanja para igraćih kocaka bar jednom pasti dvostruka Šestica?"

Blaise Pascal (1623 - 1662), francuski matematičar, fizičar i filozof. U porodici njegovih roditelja su se redovnosastajali matematičari i fizičari, što je kasnije preraslo u Parisku akademiju nauka. Prije Paskala niko odmatematičara nije računao verovatnoće događaja na način na koji se to i sada radi. Među mnogim rezultatima kojise vezuju za Paskalovo ime je i poznati “Paskalov trougao”, šema u kojoj su zapisani binomni koeficijenti. Uokviru evropske matematike to je bila značajna novost i važan rezultat. Interesantno je međutim da su Kinezi početkom XIV vijeka već imali takvu šemu.

Pierre cle Fermat (1601-1665), francuski pravnik i matematicar (po zanimanju pravnik, matematikom se bavio izhobija). Bavio se teorijom brojeva, geometrijom, algebrom i teorijom verovatnoće. Njegova prepiska

sa Blejzom Paskalom je osnov teorije verovatnoće.



3

Vjerovatno ća i statistika postale su vrlo opširne matematičke discipline i dijele se na viseraznih oblasti, odnosno novih grana, kao što su:

-Klasi č na i opšta teorija vjerovatno će

-Prakti čna teorija vjerovatno ć e -Matemati č ka statistika -Statisti č ko modeliranje -Teorija masovnih opsluživanja -Teorija pouzdanosti -Stohasti č ki procesi -Teorija informacija , Statisti čka kontrola i dr .

Neke od najnovije oblastiteorije vjerovatnoće su Teorija vjerovatnosnih metrič kih i ultrametrič kih

prostora, Teorija vjerovatnosnih normiranih prostora, Teorija distribucionog haosa i dr. Kao teorija i kao praktična matematička nauka, u posljednje vrijeme, teorija vjerovatnoće postiže

ubrzani razvoj i sve veće primjene u većini nauka (kako pnrodnih tako i tehničkih, biotehničkih idruštvenih nauka).

Na čemu se zasniva teorijski i praktičan značaj teorije vjerovatnoće? Pri analiziranju, opažanju i eksperimentu uvijek se traži uzročna veza između kompleksnih

uslova, recimo uslova (α) , i događaja D u cil ju određivanja matematičkih zakona koji važe za događaj D.

U većini slučajeva ne možemo uspostaviti sigurnu vezu između kompleksnih (složenih)uslova(α) i događaja D. Naime, postoji još uvijek i uslovi, recimo (β), koje mi ne znamo, a od kojihtakođe zavisi nastajanje događaja D. Teorija vjerovatnoće je, dakle, i matematički aparat za proučavanje masovnih pojava s nepoznatim kompleksnim uzrokom. Takve pojave zovu se stohasti č ke pojave. Riječ stohasti č an je gr čkog porijekla a znači ,,koji se naslućuje", pa se ta riječ upotrebljava umjesto riječi ,,vjerovatnoća". Gotovo u svim masovnim pojavama umiješan je stohastičkielemenat i time se objašnjava principijelna mogućnost teorije vjervatnoće za teoriju proučavanjastohastičkih pojava.

----------------------------------------Jakob Bernuli I (1654-1705), švajcarski matematicar (holandskog porijekla). Njegov doprinos matematici

obuhvata razvoj analize beskonačno malih velična, teorije redova, varijacionog računa i teorije vjerovatnoće. Uteoriji verovatnoće Jakob Bernuli je dokazao jedan specijalan slučaj zakona velikih brojeva i konstruisao model zaopisivanje niza nezavisnih eksperimenata, tzv. Bernulijeva, ili binomna, šema.Otac Leonarda Ojlera,čuvenogmatematičara, bio je učenik Jakoba Bernulija. Mnogičlanovi porodice Bernuli bavili su se matematikom: JohanBernuli I, Nikola BernuliI, Nikola Bernuli II, Danijel Bernuli, Johan Bernuli II, Johan Bernuli III, JakobBernuli II.

Abraham de Moivre ((1667-1754), engleski matematicar, roden u Francuskoj. Dokazao je važnu teoremu izteorije vjerovatnoće, i ta teorema postoji u svim važnijim udžbenicima iz ove oblasti. U teoriju verovatnoće jeuveo pojam slučajnog dogadaja. Osim teorije vjerovatnoće bavio se teorijom redova i teorijom kompleksnih brojeva.

Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), francuski matematičar, astronom i fizicar. Učio je u školi benediktinskog monaškog reda, ali je kasnije postao ateista. Njegovi rezultati su fundamantalni u matematici,eksperimentalnoj i matematičkoj fizici i astronomiji. Razvio je i sistematizovao rezultate Paskala, Fermaa,Bernulija, dokazao teoremu koja se naziva Muavr-Laplasova teorema. Uveo je i pojam

matematičkog očekivanja. Njegova knjiga “Analitička teorija vjerovatnoće” je još zanjegovog života imala tri izdanja.



4Vjerovatnoća je u stvari dobila svoje mjesto u matematici i u nauci uopšte kada je počela

njena matematička obrada, kada je na toj osnovi izgradeno naučno saznanje da se mnoge pojave i procesi, koji su stohastičkog karaktera, mogu naučno istrazivati bez krutih matematičkih formula.Takve pojave nauka procjenjuje, koristeći pri tome sve savršenije metode da te procjene budu što približnije, sto tačnije. Greške koje se pri tome javljavju ili nastaju u manjoj ili većoj mjeri, po prirodistvari, nisu više nepoznate i neuhvatljive za nauku. U svakom istraživanju možemo unaprijed da seopredijelimo za određen stepen tog odstupanja ili greške, zavisno od cilja istraživanja i od stepenanaučnosti kojeg pri istraživanju želimo da postignemo.

Pojam i račun vjerovatnoće ušao je i u naš svakodnevni život. Termini kao što su:vjerovatno,nevjerovatno, ,,možda", sigurno itd. nisu ništa drugo nego naša procjena očekivanja događaja sa više ilimanje osnova i saznanja. Ali da bi se pravilno služili tim terminima, potrebno je da znamo šta oniznače, kada se mogu upotrijebiti i kako ih treba koristiti da bismo vjerno izrazili ili saopštili ono stoželimo, a da pri torn ne bi upali u grešku.

1.2. Stanovišta u teoriji vjerovatno će. Prosta vjerovatno ća i skupne vjerovatno će

Po pitanju koju vrstu problema rješava teorija vjerovatnoće, uobičajena su dva stanovišta:,,objektivno" i ,,lično".

Gledano sa objektivnog stanovišta, koje je popularnije od ličnog, teorija vjeovatnoće se može primjenjivati samo na one pojave i događaje koji se mogu ponavljati više puta pri istim uslovima.Prema torn stanovištu može se govoriti o vjerovatnoći u problemima kao što subacanje nov č ića ilikocke. Oni koji zastupaju ovo gledište ne žele pripisivati neku vjerovatnoću pojavama koje sedogađaju samo jedanput. (npr. oni odbijaju da govore o vjerovatnoći udaje njihove sestre za mladi ća

po imenu Mahmud). Zastupnici tzv. ,,lič nog " gledišta smatraju da je vjerovatnoća izraz ličnog uvjerenja u

određenoj propoziciji i vjerovatnoću primjenjuju na sve probleme koje obuhvata objektivno gledište,ali i na veliku klasu drugih problema koji se sa prvog stanovišta ne uzimaju u obzir. (Npr., teoretskigledano, zastupnici ličnog gledišta smatraju da se može govoriti o vjerovatnoći udaje njihove sestre zamladi ća po imenu Mahrnud.).

Različiti autori daju razne podjele vjerovatnoće. Najjednostavnija podjela vjerovatnoće, sobzirom na namjenu i mjestovjerovatno će u statistici, je podjela na prostu vjerovatno ću i skupnevjerovatno će.

Prostu vjerovatnoću imamo u slučajevima kad se radi o masi prostih događ aja, tj. onih

događaja koji ne zavise i nisu uslovljeni nekim drugim doga

đajima. Takav slu

čaj imamo kad se radi omasi dogadaja, medu kojim ima određen broj onih za koje kažemo da su povoljni (oč ekivani),a zatim

broj onih za koje kažemo da sunepovoljni(ne želimo njihovo dešavanje). Skupne vjerovatnoće su vjerovatnoće u svim onim slučajevima kada se pomoću rač una

vjerovatnoće (odnosno formula i pravilateorije vjerovatnoće) iznalaze razultati odnosa dvije ili višegrupa (elementarnih) događaja, bilo da su ti događaji međusobno zavisni ili nezavisni, bilo da suuslovljeni jednidrugim ili ne.

U kategoriju skupnih vjerovatnoća spadaju: parcijalna vjerovatnoća, totalna vjerovatnoća, složena vjerovatnoća,uslovna vjerovatnoća, relativna vjerovatnoća,vjerovatno ća uzorka, vjerovatno ća ponovljenih pokušaja, vjerovatno ća skupa i vjerovatno ća izbora u uzorak.



5 Parcijalna vjerovatno ća izračunava se u onim slučajevima kada imamo više događaja ali se

svaki od njih može posebno posmatrati, odnosno kada se za svaku vrstu tih događaja moguizračunati odvojenovjerovatno će nastajanja ili nenastajanja. Totalna vjerovatno ća predstavlja oblikvjerovatnoće kod koga se dešavanje nekog događaja, recimo A, povezuje sa dešavanjem druga dvadogađaja, recimo B i C . Od oblika međusobne veze i uslovljenosti ovih događaja zavisi i metodizračunavanja (koji može biti uz primjenuteoreme množenja /multiplikativne teoreme/ ili uz primjenuteoreme sabiranja/aditivne teoreme/).

Napomenimo (kasnijeće se to pitanje detaljno obraditi) da za dva događaja kažemo da su nezavisni akonastajanje jednog od njih ne zavisi od nastajanja drugog. Zavisni doga đ aji su oni kod kojih dešavanje iliostvarivanje jednog zavisi od prethodnog ostvarenja ili dešavanja drugog. Događaji koji se isključ uju(disjunktni su, ne presijecaju se ) su oni događaji kod kojih nastajanje ili nenastajanje jednog događaja isključujenastajanje ili nenastajanje drugog.

Doga đ aji koji se dešavaju ili ne dešavaju po odre đ enom redu su oni događaji kodčijegdešavanja postoji, poznat je ili može da postoji ili ne postoji red njihovog nastajanja.

Uslovna vjerovatno ća izračunava se onda kada nastajanje nekog događaja A predstavlja prethodno dešavanje nekog drugog događaja B.

Relativna vjerovatno ća predstavlja odnos pojedinih vjerovatnoća prema sumi drugih pojedinih vjerovarnoća srodnih događaja koji su rneđusobno vezani nekom vezom, pričemu se tajodnos izračunava kao prioritet po nastajanju ilioč ekivanju nastajanja.

1.3. Slu čajni doga đaji. Prostor elementarnih doga đaja

Svaka nauka polazi od nekog skupa osnovnih pojmova i na osnovu njih dalje se razvija (npr., uelementarnoj (euklidskoj) geometriji se polazi od osnovnih pojmova - tačka, prava, ravan). Slično i u teorijivjerovatnoće se polazi od nekih osnovnih pojmova: pojava. U teoriji vjerovatnoće izučavamo sluč ajne

pojave i to izučavaanje je vezano za neki eksperiment. U tzv. računu vjeorvatnoće (tj. u elementarnom prilazu pojmovima vjerovatnoće), često se kaže da se pojmovi pokus (opit, eksperiment, ogled) idogađaj ne definišu. Kaže se da se svaki opit završava nekimishodom ilidoga đ ajem.

Pod slučajnim pokusom ili slučajnim eksperimentom podrazumijeva se takav pokusčijiishodi, tj. rezultati nisu jednoznačno određeni uslovima u kojima izvodimo pokus. Teorijavjerovatnoće je matematička disciplinačiji je zadatak formiranje i proučavanje matematičkog modelaslučajmh pokusa.

Kod svakog pokusa osnovno je da se ustanovi odnos između uzroka i posljedice. Samo poznavanje tog odnosa omogućuje definisanjeuslova pokusa i predviđanje ishoda pri svakomrealiziranju tih uslova. Vezano za to, pokuse dijelimo u dvije osnovne grupe:deterministi č ke i slu č ajne

pokuse. Kod determinističkih pokusa ishod je jednoznačno određen uslovima pokusa. Primjer determinističkih pokusa je zagrijavanje vode pod normalnim atmosferskim pritiskom na temperaturuvišu od 100°C (rezultat je promjena agregatnog stanja vode).

Pri proučavanju slučajnih pokusa u teoriji vjerovatnoće važno je pretpostaviti da je kompleksuslova u kojima se pokus izvodi tačno određen u smislu da svaka realizacija tog kompleksa uslovaomogućuje da se pokus može ponoviti tako da je ponovljeni pokus identičan datom pokusu. Dakle,dopuštamo mogućnost ponavljanja datog slučajnog pokusa proizvoljno konačno mnogo puta.

Prilikom razmatranja pojedinog slučajnog pokusa potrebno je na početku dogovoriti se otome šta se smatramogu ćim ishodom tog pokusa.



6Svaki slučajni pokus završava se nekimishodom ili doga đ ajem. Rezultati slučajnih pokusa

zovu se sluč ajni doga đ aji (ili kraće doga đ aji). Dakle, slučajni događaj je svakačinjenica koja se kaorezultat izvođenja nekog pokusa desi (dogodi) ili da se ne desi (ne dogodi). Događaji se najčešćeoznačavaju sa velikim slovima (sa ili bez indeksa) latinice (npr., A, B,C , ...; ). 1 2, , ... A A

Primjer 1. Pokus se sastoji u bacanju novčića uvis iznad ravne plohe. Napomenimo da se pod novčićem u teoriji vjerovatnoće podrazumijeva idealan homogen novčić tako da kad se bacimogu da se realizuju jedina dva moguća događaja (da padne na grb ili pismo tj, nakon što je novčić pao na plohu, na njegovoj gonjoj strani je grb (G ) ili pismo ( P ), jer, na osnovu iskustva, razumno je pretpostaviti da druge mogućnosti ne dolaze u obzir (npr., da padne na rub).

Primjer 2. Neka se pokus sastoji u bacanju igraće kocke. I ovdje kocku zamišljamo da jeidealno napravljena i sa idealnim stranama (1,2, ...,6 - broj tačaka). Može se desiti jedan od 6slučajeva. Pri tome ne možemo predvidjeti kojiće to slučaj biti.

Razlikovaćemo složene (razložive) doga đ aje i elementarne (nerazložive) doga đ aje. Naime, uopštem slučaju kad izvodimo eksperiment onda kao rezultat tog eksperimenta može da se desi jedan isamo jedan događaj, od više njih eventualno, a pri tome svaki od tih događaja ima istu šansu da se pojavi. Upravo te događaje zovemo elementarnim dogadajima. Proizvoljni elementarni događajoznačavatćemočesto saω (ili sa ω , u skupovnoj terminologiji), a skup svih elementarnih događaja saΩ, tzv. prostor elementarnih događaja. Dakle, prostorΩ je skup svih elementarnih događaja koji semogu dogoditi pri izvođenju nekog pokusa.

Tako, npr., bacanje novčića (u primjeru 1 .) je pokus kod kojegće svaki ishod biti elementdvočlanog skupa Ω = P ,G, ali unaprijed ne znamo kojiće to element biti.

Elementarni događaji se, dakle, ne mogu dogoditi istovremeno, tj. oni seisključ uju (disjunktnisu), dok se složeni događaji mogu dogoditi istodobno, tj. mogu da se uzajamnone isklju č uju (npr., prislučajnom pokusu bacanja dviju igraćih kocki, ako kao ishod dobijemo (3,3), tada se dogodio idogađaj ,,suma brojeva na obje kocke je 6" i događaj ,,na obje kocke pao je isti broj"). Svaki složeni događaj možemo razložiti na elementarne događaje.

Sadaćemo uvesti pojmove kojiće nam trebati u ,,konstrukciji” matemati č ke teorijevjerovatno će. Osnovni polazni objekat u teoriji vjerovatnoće je neprazan skupΩ koji zovemo prostorelementarnih doga đ aja i koji reprezentira skup svih ishoda slučajnog pokusa.

SkupΩ i njegove elemente (kojećemo zvati i tačkama skupaΩ ) nadaljećemo smatrati da suzadani, tj. oni su osnovni i nedefinisani pojmovi u teoriji vjerovatnoće.

Tačke ω (odnosno, jednočlane skupove ω )ćemo zvatielementarni doga đ aji.

Prostor elementarnih događaja služi modelu idealiziranja slučajnog pokusa u smislu da po definiciji svakorješenje pokusa mora dati ishod koji odgovara jednom i samo jednom elementarnom događaju, tj. jednoj i samo jednoj tački u Ω. Dakle,Ω je jednostavno skup tačaka (za sada nema matematičkih uslova zaΩ ).

Primjer 3. Ako novčić bacamo jednom, možemo uzetiΩ = P ,G. Ako novčić bacamo dvaputto je drugi pokus, pa treba drugiΩ , recimo Ω = PP , PG , GP , GG. Primijetimo da istome slučajnom pokusu možemo pridružiti razne prostore elementarnih događaja. Npr., ako jednom bacamo igraću kocku onda je prirodno uzetiΩ = 1, 2, ..., 6. Ali, ovom pokusu možemo pridružiti drugi prostor elementarnih događaja koji ima samo dva elementa: ,,n je paran" i ,,n je neparan", gdje jen broj koji padnena kocki. Međutim, ako nas pri datom rješenju ovog pokusa zanima da li jen ≤ 4, ovaj drugi prostor elementarnih

događaja neće biti od koristi. Prema tome priroda konkretnog problema koji nas zanima u datom trenutkuodređuje kojimćemo se prostorom elementarnih događaja koristiti.



7Prostor elementarnih događaja može bitikona č an, tj. može imati oblik Ω = ω1, ...,ωn, može

biti beskona č an ali prebrojiv, tj. Ω = ω1, ..., ωn, ..., ali moze bitibeskona č an i neprebrojiv(,,neprekidan"),Ω = ω |P (ω).

Svaka tačka (elementarni događaj) koja pripada događaju A zove se povoljna za A. Događaj A dogoditće se u datom vršenju pokusa ako ishodu pokusa odgovara jedna od tačaka iz A, tj. tačka povoljna za A.

Dakle, na skupu elementarnih događaja možemo definisati i druge složenije događaje. Npr., pri opitu bacanja kocke neka se događ aj A desi kad padne paran broj, a događ aj B se desi kad padne broj manji od 5. Tada je A =2,4,6, B = 1,2,3,4.

U skupu elementarnih događaja posebno se izdvajaju ova dva događaja: 1)Siguran ili pouzdan događaj. Cijeli prostorΩ elementarnih doga đ aja zove sesiguran ili pouzdan događaj i on se realizuje kada se realizuje bilo koji odelementarnih događ aja, tj. on se mora dogoditi u svakom vršenju opita. Dakle, akoneki opit a priori izaziva pojavu događaja A, onda se taj događaj zove pouzdan. Običnoih označavamo saU . 2) Nemoguć doga đ aj. Prazan skup ø zovemo nemoguć događ aj. On se nikada nedesi. Njega ne realizuje ni jedan elementarni događaj.Dakle, ako se događ aj A sigurno nedesi pri datom opitu onda se on zove nemoguć događ aj. Sve nemoguć e događ aje označavamosa ø ili V .

Događaj se, dakle, zove sluč ajan ako se on može, a ne mora, pojaviti kao rezultat nekog opita.

Događaje možemo okarakterizirati na dva načina: ili tako da navedemo sve njihove tačke ili tako da opišemo usloveuz kojeće se oni dogoditi. Takou gornjem primjeru imamo A= 2,4,6 ili A=na kocki pao paran broj.

Definišimo sada operacije sa događajima pomoću kojih se od datih događaja dobivaju svidogađaji. Za sve događaje smatramo da su podskupovi istog prostora elementarnih događaja Ω , pa je prirodno operacije nad događajima definisati pomoću operacija nad odgovarajućim skupovima.

Za događaj A kažemo da povla č i (implicira, ili A je specijalan slu č aj od B) događaj B ako je A B⊆ . Ako i B onda kažemo da su događaji A i B ekvivalentni (ili da su jednaki) i A B⊆ A⊆ pišemo A = B. B A⊆

Za događaje A stavimo Ac = Ω\A, tj. Ac jekomplement od A. Događaj Ac se zove suprotan(komplementaran) događaj od A. Događaj Ac se označava često i sa A' ili A i on se dogodi u datomvršenju pokusa ako i samo ako se A ne dogodi.

Za događaje A, B skup (ili A + B) zove seunija (ili zbir) događaja A i B, tj.događaj je događaj koji se dogodi sko i samo ako se dogodi bar jedan od događaja A i B.

Analogno se definira i unija ili zbir konačno mnogo događaja kao

A BU

A BU

1 2, , ..., n A A A1

n

ii =U ili

1

n

ii

A=∑

odnosno od prebrojivo mnogo događaja ( ): A nn ∈N kao1 n

n A

∞U ili= 1

nn

A∞

=∑ .

Za događaje A, B skup B A I (ili B A ⋅ , ili AB) zovemo presjek (ili proizvod)doga đ aja A i B, tj.događaj B A I je događaj koji se sastoji u tome da se A i B pojavljuju skupa (događaj B A I dogodi seako i samo ako se dogode oba događaja A i B). Analogno se definira presjek od konačno ili prebrojivo

mnogo događaja.Za događaje A i B kažemo da seuzajamno isklju č uju (disjunktni, nespojivi) ako je



8

B A =∅I ( =V). U torn slučaju A i B ne mogu se istovremeno dogoditi. Za konačno ili B A ⋅ prebrojivo mnogo događaja ( An) kažemo da seuzajamno isklju č uju ako je za . i j A A =∅I ji ≠

Za događaje A, B skup A \ B zovemorazlika doga đ aja A i B. Jasno, A \ B = , pac B A I

otuda slijedi da se događaj A \ B dogodi ako i samo ako se A dogodi i B ne dogodi, tj. razlika dvadogađaja A i B se zove događaj koga realizuju elementarni događaji koji pripadaju A a ne pripadaju B.

Kako su operacije nad događajima definisane pomoću operacija nad odgovarajućim podskupovima prostora elementarnih događaja, to za njih vrijede sva (odgovarajuća) pravila izteorije skupova. Npr., za niz događaja( An, n ∈ N) vrijede de Morganove formule (zakoni):

( )c

n AU = , =c

n AI ( )cn AI c

AnU ,

pa otuda vrijedi .( )c c A Ai i

=U I

Primjer 4. Neka je : 0 x x+Ω= = ≥R i ( An, n N) niz dogadaja u∈ Ω zadan formulom

A n = [0, 1- 1n

], (n = 1, 2, ...).

Lako se vidi da je i)0, 1 An =U ⎡⎣ 0n A =I .

1. 4. Klasična definicija vjerovatnoće a priori (Laplaceova definicija pojma vjerovatnoće)

Prije nego što preciziramo intuitivna, neformalna razmatranja uvodnih pojmova teorije vjerovatnoće,

naglasimo da je pri proučavanju slučajnih eksperimenata u teoriji vjerovatnoće nužno na početku dogovoriti se otome koji su elementarni (nerazloživi) događaji mogući ishodi datog slučajnog eksperimenta. Svi događaji vezaniuz taj eksperiment mogu se opisati pomoću elementarnih događaja.

Ako se pođe čisto od iskustva onda je jasno da se događaji mogu upoređivati po stepenu njihovemogućnosti pojavljivanja. Npr., jasno je da pri gađanju nekog cilja, ciljće se prije pogoditi na manjem rastojanju,nego sa dužeg. Ili ako na nekoj lutriji imamo 50 televizora, 5 motocikla, 20 automobila, onda je veća šansa daćese dobiti televizor a manja motocikl. Ako bacamo novčić šanse da se pojavi grb ili pismo su potpuno jednake.Postavlja se pitanje da li postoji neka numerička vrijednost koja se može da pripiše svakom događaju i koja binam služila kao objektivna mjera realizacije nekog događaja pri izvođenju nekog slučajnog pokusa. Takva brojnavrijednost postoji i ona se zovevjerovatno ća doga đ aja.

Da bi definirali pojam vjerovatnoće sa klasičnog, elementarnog aspekta, treba pretpostaviti sljedeće:Kada izvodimo ogled svaki prostor elementarnih događaja je konačan i taj prostor elementarnih dogadajamožemo odrediti. i u torn smislu pretpostavimo da imamo neki slučajni opit i da su dogovorno ustanovljeni svielementarni događaji (tj. mogući nerazloživi ishodi) tog opita. Neka je A proizvoljan događaj vezan uz taj slučajniopit. Kaže se da je neki elementarni događaj povoljan za događaj A ako pojavljivanje tog elementarnog događajakao ishoda opita povlači i realizaciju događaja A (da se dogodio događaj A).

Vjerovatnoća ,,a priori“ ili apriorna vjerovatnoća (ponekad se zove imatematič ka vjerovatnoća) je teorijskavjerovatnoća kqja govori jezikom određenih matematičkih cifara o tome kakva je mogućnost nastajanja očekivanogdogađaja s obzirom na unaprijed poznate podatke oukupnom broju svihmogućih doga đ aja i o broju povoljnih, o č ekivanihdoga đ aja koji u tom ukupnom broju mogu nastupiti. Zbog toga se ova vjerovatnoća zove teorijska, jer u praksi se ne mora ostvariti onaj rezultat kojega nam je unaprijed davala apriorna vjerovatnoća. Tako, npr., ako bacimo novčić "apriorna"

vjerovatnoća nam govori da je 50% mogućnosti da padne glava ili pismo jer su to dvije mogućnosti od kojih jedna



9

mora da se ostvari. Međutim, u više ponavljanja bacanja ne mora da se ostvari takav odnos, negoće tek u veomavelikom broju bacanja da se zapazi približavanje odnosa 50% : 50%. Sličan je slučaj kod igranja lutrije, izvlačenja karata, bacanja kocke itd.

Jedna od mogućih verzija klasič ne ( Laplaceove) definicije pojma vjerovatno će (a priori ) glasi: Neka jezadan slučajni opit s konačno mnogo elementarnih događaja i neka su svi ti elementarni događaji jednako mogući. Tada se vjerovatnoća P ( A) proizvoljnog događaja A vezanog uz taj opit definira kaokoličnik broja m svih elementarnih događaja povoljnih za taj događaj i brojan svih mogućih (ukupnog broja) elementarnih događaja (koji mogu nastupiti pri tom pokusu), tj.

( ) .m

P An

= (*)

Primijetimo odmah slabosti ove klasične definicije vjerovatnoće (koju je u teoriju vjerovatnoćeuveo Pierre-Simon de Laplace,a poznata je i pod nazivimamatematič ka definicija i teoretska definicija

pojma vjerovatoće). Ona je prije svega restriktivna u smislu da se odnosi samo na eksperimente skonačno mnogo elementarnih događaja. S druge strane, Laplaceova definicija vjerovatnoće je kružna jerona u sebi sadrži pojam jednako moguć, koji zapravo znači jednako vjerovatan.Otuda ova definicija nijedobra kao baza aksiomatske teorije vjerovatnoće. Napomenimo da je vrlo interesantnačinjenica da je od početka teorije vjerovatnoće pa do uvođenja aksiomatike u tu teoriju (koju je uveo veliki ruskimatematičar A N D R E J N I K O L A J E V IĆ KOLMOGOROV1933. godine u svom fundamentalnom radu: "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung,Berlin, 1933.") bilo potrebno da prođu gotovo tristoljeća.

Primjer 1. U posudi se nalazi 6 bijelih i 4 crne kuglice. Ako se slučajno izvuče jedna kuglica,naći vjerovatnoću da izvučena kuglica bude bijele boje.

Rjesenje: Neka je A događaj da je kuglica bijele boje. Tada je, prema klasičnoj definiciji vjerovatnoće a priori,vjerovatnoća P(A)događaja A zadana formulom (*). Kako je, očigledno,m = 6, n = 10,

( ) ( 60%).6

10 P A = =

Iz klasične definicije vjerovatnoće a priori, odnosno iz formule (*), odmah slijede ove osnovneosobine vjerovatnoće: (i) Vjerovatnoća je nenegativna, tj. ( ) 0, P A ≥ (za svaki događaj A);

(ii) Vjerovatnoća nije veća od 1 , tj. ( ) 1, P A ≤ , jer je .m n≤

Otuda (za svaki događaj A) vrijedi(**)0 ( ) 1. P A≤ ≤

Ako se radi o sigurnom događaju, onda svaki elementarni događaj realizuje taj događaj, tj. m = n , pa je njegova

vjerovatnoća jednaka 1 .Vjerovatnoća nemogućeg događaja je 0 (jer je sadam = 0, budući da

nemoguć događaj ne realizuje ni jedan elementarni događaj ).

Ako je vjerovatnoća manja od1

2, onda se za taj događaj kaže danije vjerovatan(ili da je nevjerovatan), ako je

-----------------------------Ovdje ( a i nadalje) P ( A) znači „vjerovatnoća“ (francuski „probabilite“ odnosno engleski „probability“ događaja A.



10 1

( )2

, P A = kaže se da je A neizvestan ili sumljiv događaj, a ako je 1( )

2, P A > kaže se da je A vjerovatan događaj (kao što

je događaj A u primjeru 1).

U prethodnoj tački smo uveli pojmove koji trebaju u ,,konstrukciji" matematičke teorije vjerovatnoće.Pri tome smo ukazali načinjenicu da je osnovni polazni objekt u teoriji vjerovatnoće neprazan skup, kojeg smooznačili saΩ i nazvali prostor elementarnih događaja, a koji reprezentira skup svih ishoda slučajnog pokusa. SkupΩ i njegove elemente smatramo kao zadane, oni su osnovni i nedefinirani pojmovi u teoriji vjerovatnoće. Elementeskupa Ω (često ćemo elemente skupaΩ zvati i tačkama) zovemoelementarni doga đ aji. Prostor elementarnihdogađaja služi modelu idealiziranog slučajnog ogleda u smislu da po definiciji svako vršenje ogleda mora dati ishodkoji odgovara jednom jedinom elementarnom događaju, tj. jednoj i samo jednoj tački iz Ω.

Prostor elementarnih događaja nije uvijek konačan. Neka se, npr., ogled sastoji u registriranju brojarazgovora koje u toku jednog dana obavi jedna automatska telefonska centrala. Tada je za prostor elementarnihdogađaja prirodno uzeti skup

. 0: 0,1,2,... NΩ = =Ovaj skup je (očigledno) prebrojiv. Ovdje je zaΩ uzet beskonačan skup, iako se zna daće broj razgovora

biti konačan, da bi se izbjegla pitanja u vezi s tim koji je prirodan broj moguć kao ishod ogleda, a koji nije. No, prostor elementarnih događaja može biti i neprebrojiv. Naime, uzmimo da se ogled sastoji od

mjerenja temperature zraka tokom jednog dana. Tada se radi o mjerenju funkcije neprekidnog parametra(vremena). Kao prostor elementarnih događaja možemo uzeti skupΩ svih mogućih rezultujućih funkcija, ali i širiskup, recimo skup svih realnih funkcija na datom vremenskom intervalu ili skupu svih realnih neprekidnih funkcija. Uovom slučaju smoΩ svjesno povećali, jer znamo da medu svim realnim funkcijama na datom intervalu sigurnoima takvih funkcija koje ne mogu predstavljati kretanje temperature kao funkcije vremena tokom jednog dana. No, u slučaju jednostavnih ogleda s konačno mnogo ishoda izbjegava se dodavanje suvišnih elemenata.

O događaju A vezanom uz neki opit možemo govoriti samo u slučaju da je za svaki mogući ishod opita poznato da li se A dogodilo ili nije, tj. svaki događaj A vezan uz neki slučajni opit odgovara pitanju u vezi s timopitom koji ima odgovor ,,DA" ili ,,NE", i to u smislu da poslije svakog vršenja opita na pitanje ,,da li se A dogodio"može odgovoriti sa ,,da" ili „ne". Ako je pri tomeΩ prostor elementarnih događaja tog slučajnog opita, onda skuptačaka koji reprezentuje sve ishode opita za koje je odgovor ,,da" u potpunosti opisuje događaj A. Obratno, proizvoljan podskup A prostora elementarnih događajaΩ možemo tretirati kao događaj (koji se dogodi ili ne dogodiovisno o tome da li ishod opita reprezentira tačku koja je u A ili koja nije u A).

Zato u daljnjem nećemo razlikovati događaj A vezan uz slučajni pokus i odgovarajući podskup skupaelementarnih događajaΩ koji se sastoji od svih tačaka izΩ koje reprezentuju one ishode pokusačije pojavljivanjevodi na pojavljivanje događaja A. Dakle,doga đ aj je podskup prostora elementarnih događaja Ω. Cijeli prostorΩ zovemo siguran (pouzdan) doga đ aj (on se mora dogoditi u svakom vršenju opita), a prazan skup∅ zovemonemogu ć doga đ aj (on se nikad neće dogoditi).

Za sve događaje smatramo da su podskupovi istog prostora elementarnih događaja Ω, pa se prirodnooperacije nad događajima definiraju pomoću operacija nad odgovarajućim skupovima, to za njih vrijede sva pravilaiz teorije skupova, tj. sva pravila iz algebre skupova vrijede i u algebri događaja (npr., vrijede De Morganovi

zakoni).

Aksiomatsku definiciju vjerovatnoće na prostoru elementarnih događaja Ω obradićemo u narednom poglavlju (ukazujući načinjenicu da nije uvijek moguće sve podskupove odΩ uzeti za događaje, jer se možedogoditi da za neki podskup A od Ω ne možemo decidno odgovoriti na pitanje: ,,Da li je ?". Aω ∈

Zadatak 1. Neka su bačene tri kocke. Kolika je vjerovatnoća da je broj koji se pojavi na svakoj od tri kocke –

11



neparan broj ? Rješenje: Za prostor uzorakaΩ u ovom pokusu se može uzeti skup svih uređenih trojki (i, j, k ) prirodnih

brojeva i, j, k ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6. Otuda skupΩ ima 63 = 216 elemenata. Događaj E , da broj koji se pojavi nasvakoj od tri kocke bude neparan, sastoji se od svih trojki (i, j, k ) prirodnih brojeva između 1 i 6, takvih da sui, j,k svi neparni. Otuda skup E ima 33 = 27 elemenata, pa je

333 1 13 826

( )( )

( )12,5%.k E

P E k

==Ω

=⎛ ⎞⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Zadatak 2. U kutiji se nalazi 5 loptica označenih brojevima od 1 do 5, od kojih su prve tricrne, a posljednje dvije crvene. Vrši se izvlačenje uzorka od dvije loptice s ponovnim vraćanjem ukutiju izvučenih loptica. Neka je B1 događaj koji odgovaračinjenici da je prva izvučena loptica crne boje, a B2 događaj koji odgovaračinjenici da je druga izvučena loptica crne boje.

a) Opišite prostor uzoraka eksperimenta i prikazati događaje B1, B2 i B1* B2.

b) Nađite vjerovatnoće događaja u a).

c) Ponovite a) i b) za slučaj izvlačenja loptica bez ponovnog vraćanja u kutiju izvučenih loptica.Zadatak 3. ( Problem ro đ endana ): Odaberimo r studenata na nekom fakultetu i zabilježimo

njihove dane rođenja, bez podataka o godini rođenja. Neka nijedan od tih studenata nije rođen 29. februara prestupne godine (odnosno ne uzmimo u obzir studente rođene 29. februara prestupne godine). Označimo dane ugodini brojevima 1, 2, ... , 365. Odrediti odgovarajući prostor uzoraka u ovom slučaju i izvesti formulu zavjerovatnoću događaja da bar dva studenta odr odabranih studenata imaju rođendan istog dana, azatim izračunati vjerovatnoće i i komentirati dobijene rezultate.

( r P E ))

r E

22( ) P E 23( P E Rješenje. Odgovarajući prostor uzoraka posmatranog ogleda je :

S : = ( x1, x2, ... , xr ) : 1, 2, ... , 365 za i = 1, 2, ... ,r i x ∈

i ima 365 elemenata. Pretpostavimo da svaki od 365 rasporeda rođendanar r

studenata po datumima ima vjerovatnoću . Broj rasporeda studenata po1/365r

različitim datumima je 365⋅ 364 ⋅ ... ⋅ (365 - r + 1), a broj povoljnih

rasporeda da bar dva studenta imaju rođendan istog dana iznosi

365r ( )r P E − 365 ⋅ 364 ⋅ ... ⋅(365 - r + 1), pa je tražena vjerovatnoća

data formulom . ( )r P E 1 365 364 ... (365 1) 365/ r r = − ⋅ ⋅ ⋅ − +

Koristeći se logaritamskim tablicama ili džepnim računarima, lako se provjeri da u ovom problemuimamo da je ( )22 0, 467 P E ≈ , ( )23 P E ≈ 0,507. Prema tome, ako na posmatranom fakultetu ima više od22 studenta , onda je veća vjerovatnoća da postoje dva studenta sa istim rođendanom, nego da takva dva studenta ne postoje.

Zadatak 5. Telefonski broj sastoji se iz šest cifara. Izračunajte vjerovatnoću da su sve cifretakvog telefonskog broja međusobno različite.

Rješenje. Broj svih telefonskih šestocifrenih brojeva iznosin = kao ukupan broj svihvarijacija klasek = 6 od 10 elemenata: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 s ponavljanjem, a broj svih

telefonskih šestocifrenih brojeva s različitim ciframa iznosim =

610

10! 10!(10 6)! 4!−

= (broj svih

varijacija 6-te klase od 10 elemenata bez ponavljanja). Ako sa D označimo posmatrani događaj, a sa

P ( D) njegovu vjerovatnoću, onda je 610!( ) ... .

4!10

m

n

P D = = =

Uvod u Teoriju Vjerovatnoæe (Prvi Dio)

Documents