Uvod - WordPress.comhomogena i ako je v brzina prostiranja svetlosti u datoj sredini, tada je svetlosni front sfera ciji polupre cnik r raste linearno sa vremenom t kao r = vt po cev

Uvod:

§1) Prostiranje svetlosti u geometrijskoj optici;

svetlosni zraci i talasni front

U geometrijskoj optici se smatra da se svetlost, izmedju dve tacke prostora P1 i P2,

prostire duz svetlosnog zraka. Svetlosni zrak, po Fermaovom principu, predstavlja geo-

metrijski put izmedju tacaka P1 i P2 za koji je duzina optickog puta∫ P2

P1nds ekstre-

malna. Ovakav put se naziva i pravim putem, dok se za ostale puteve kaze da su moguci.

Ukoliko je sredina kroz koju se svetlost prostire optcki homogena (tj. ukoliko je indeks

prelamanja n isti u svim tackama sredine) onda postoji samo jedan pravi put i to je

pravolinijski put koji spaja tacke P1 i P2. Ukoliko je, pak, sredina opticki nehomogena

tada, izmedju datih tacaka P1 i P2, moze postojati vise (razlicitih) pravih puteva pri cemu

duzine njihovih optickih puteva ne moraju biti iste. U tom slucaju je duzina optickog

puta svakog pravog puta lokalno minimalna, sto znaci da za svaki moguci put (iz neke,

dovljno male, okoline pravog puta) duzina njegovog optickog puta nije kraca od opticke

duzine pravog puta.1 Posebno vazan slucaj nastaje kada pravi putevi obrazuju snop

zraka sa pocetkom u tacki P1 i krajem u tacki P2. Snop zraka je povezan skup zraka

(tj. pravih puteva svetlosti takvih da za svaka dva zraka iz snopa postoji kontinualna

deformacija kojom se iz prvog zraka dobija drugi, a da su pri tome i svi ”medjukoraci”

kontinualne deformacije zraci tj. pravi putevi svetlosti iz snopa) takav da zraci iz snopa

odsecaju konacan prostorni ugao na (nekom) talasnom frontu. Obzirom da svi zraci iz

snopa predstavljaju lokalni ekstremum duzine optickog puta izmedju dve tacke P1 i P2 i

da je snop povezan skup, to svi zraci snopa imaju istu duzinu optickog puta. Ekvivalentno

1 Kao primer, navedimo slucaj kada se ispred ogledala nalazi svetlosni izvor u tacki P1;

tada se ka tacki P2, koja se nalazi sa iste strane ogledala kao i svetlosni izvor, prostiru dva

zraka: jedan je direktan zrak, a drugi nastaje refleksijom od ogledala. Opticki putevi ova

dva prava puta nisu isti, ali je svaki od njih lokalno minimalan.

1

ovome je da je svetlosti potrebno isto vreme da stigne iz tacke P1 u tacku P2 po bilo kom

od puteva iz snopa (princip tautohronizma).

Posmatrajmo kratkotrajan svetlosni signal (impuls) iz tackastog izvora svetlosti P1.

Ovaj impuls ce putovati kroz prostor kao svetlosni poremecaj koji, ako je sredina bezdis-

perzivna, u svakom trenutku vremena obrazuje (geometrijsku) povrsinu koja se zove

talasna ili fazna povrsina i koja predstavlja front svetlosnog poremecaja. Ako je sredina

homogena i ako je v brzina prostiranja svetlosti u datoj sredini, tada je svetlosni front sfera

ciji poluprecnik r raste linearno sa vremenom t kao r = vt pocevsi od vrednosti r = 0 koju

ima u trenutku nastanka svetlosnog impulsa t = 0. Svetlosni zraci su, u ovom slucaju,

poluprave koje se radijalno sire iz izvora poremecaja P1 u beskonacnost. Ako je sredina

nehomogena, tada svetlosni front vise nece biti sfera koja se ”naduvava kao balon” vec neka

slozenija povrsina koja se krece kroz prostor.2 Shodno tome, ni svetlosni zraci vise nece

biti pravolinijski. Ako se indeks prelamanja sredine kontinualno menja tada ce i pomenute

deformacije biti kontinualne. Veoma vazan slucaj nastaje ako je sistem u kojem se svetlost

prostire sastavljen iz vise (razlicitih) opticki homogenih sredina koje se dodiruju duz nekih

granicnih povrsina. Tada su, unutar svake sredine, zraci svetlosti pravolinijski a talasni

frontovi svetlosti iz tackastih izvora iz date sredine sferni. Na granici dve sredine sistema,

deo zraka se prelama (i prelazi u drugu sredinu) a deo odbija (ostajuci u istoj sredini).

Talasni front, kao povrsina koja je normalna na svaki zrak sa kojim se sece, trpi analogne

izmene. Sve napred receno o svetlosnom frontu nastalim trenutnim poremecajem, vredi i

za talasne frontove (i zrake svetlosti) u opstem slucaju.

U daljem tekstu ogranicicemo se samo na opticke sisteme koje su deo po deo

opticki homogene iz razloga sto ovom tipu pripadaju opticki sistemi koji se sastoje iz

sociva i ogledala. Smatracemo, takodje, da se na granici dve sredine svetlost ili u potpunosti

2 Neposredno uz izvor, dakle za malo t, svetlosni front ce biti neka ”malo deformisana”

sfera; kako se siri, front moze da se sve vise i vise deformise.

2

reflektuje ili u potpunosti prelama.3

§2) Prostiranje svetlosnih zraka kroz opticki sistem

Kroz (deo po deo homogen) opticki sistem svetlosni zraci se prostiru u skladu sa:

1) zakonom pravolinijskog prostiranja zraka u opticki homogenoj sredini,

2) zakonom odbijanja (refleksije) svetlosti: upadni zrak, normala i reflektovani zrak leze

u upadnoj ravni,∗ a uglovi koje ova dva zraka grade sa normalom su isti,

3) zakonoma prelamanja (refrakcije) svetlosti na granici dve sredine - Snelov zakon:

upadni zrak, normala i prelomljeni zrak leze u upadnoj ravni. Za ugao θ (izmedju

upadnog zraka i normale) i ugao θ′ (izmedju prelomljenog zraka i normale) vredi

n sin θ = n′ sin θ′, (1)

gde je n indeks prelamanja sredine iz koje zrak dolazi, a n′ indeks prelamanja sredine

u koju zrak odlazi.

§3) Geometrijski lik: definicija i klasifikacija likova

U poglavlju §1 je navedeno da se kod optickih sistema javljaju situacije kada se snop

svetlosnih zraka, koji se sire (divergiraju) iz jednog tackastog izvora P1 i obrazuju neki

prostorni ugao, mogu seci (konvergirati) u nekoj udaljenoj tacki P2 - vidi sliku 1. Tada

kazemo da tacka P2 predstavlja realan lik tacke P1. Opticki putevi svih zraka snopa su

3 Slucajeve kada se deo svetlosti reflektuje a deo svetlosti prelama cemo svoditi na

prethodni tako sto cemo posmatrati posebno samo onaj deo svetlosti koji se reflektuje i

posebno samo onaj deo koji se prelama.

∗ Upadna ravan je ravan koja sadrzi upadni zrak i normalu na granicnu povrs. Ova

ravan je normalna na granicnu povrs.

3

iste duzine i svetlosnom poremecaju je potrebno isto vreme da stigne iz izvora P1 u lik

P2 po putanji bilo kojeg zraka iz snopa. Posto je duzina optickog puta

∫nds =

c∆S

ω,

gde je ∆S promena faze monohromatskog svetlosnog talasa ugaone frekvencije ω (c je

brzina svetlosti u vakuumu), to je faza svih zraka koji se sabiraju u liku P2 ista, te dolazi

do konstruktivne interferencije svetlosti koja ”putuje” po svim zracima snopa.

slika 1.

Snop svetlosnih zraka iseca odgovarajuce delove talasnih frontova. U blizini izvora P1

svi talasni frontovi su sfere (pa ce i isceni delovi biti delovi sfera) - vidi talasne frontove Σ1

i Σ3 na slici 1. Talasni frontovi oko lika P2 nisu sfere u opstem slucaju, ali ce u blizini te

tacke frontovi biti delovi sfera koje: kolapsiraju pri dolasku u tacku P2, vidi Σ4, odnosno

po prolasku tacke P2 radijalno divergiraju iz nje, vidi Σ2. Zraci koji divergiraju iz tacke P2

mogu da se (ponovo) sabiraju u nekoj tacki P3 koja je, tada, realni lik tackastog izvora P2

(tacka P3 nije prikazana na slici 1). Specijalno, zraci koji divergiraju iz P2 se uvek mogu

sabrati u nekom novom realnom liku P3 dodavanjem pogodno odabranog sistema sociva.

Realni likovi ne predstavljaju jedini tip likova u geometrijskoj optici. Moguce su

i situacije kada se u homogenom delu sredine javlja snop zraka za koje izgleda kao da

dolaze iz jedne tacke (vidi sliku 2); zaista, delovi ovih zraka u homogenom delu sredine

4

su pravolinijski (sto ne mora biti slucaj sa celim zracima) i, ukoliko ove delove produzimo

unazad, onda bi se njihovi produzeci sekli u jednoj tacki P2 pa bi, za posmatraca koji bi

vrsio posmatranje u datom homogenom delu sredine, izgledalo da svetlost dolazi iz izvora

smestenog u tacki P2. Zato za tacku P2 kazemo da predstavlja imaginaran lik tacke

P1. Slicno slucaju realnog lika, i svetlost iz imaginarnog lika bi se mogla sabrati (pogodno

odabranim dodatnim sistemom sociva) u nekoj tacki P3 koja bi bila realan lik imaginarnog

izvora P2 (tacaka P3 nije prikazana na slici 2).

slika 2.

Dakle, naziv realan izvor se koristi kada iz datog izvora zraci zaista divergiraju, a

naziv imaginaran izvor kada divergiraju pravolinijski produzeci zrakova. Analogno

tome, naziv realan lik se koristi kada se zraci u tom liku zaista seku, dok se naziv

imaginaran lik koristi kada se u tom liku seku pravolinijski produzeci zrakova.

Iskaz o jednakosti optickih puteva za sve zrake snopa ostaje na snazi i u slucaju

imaginarnih izvora i likova; zaista, u svim ovim slucajevima se mogu uociti tri dela puta:

put od izvora do talasne povrsi Σ1 kao na slikama 1 i 2 (pri cemu nije bitno da li je izvor

realan ili imaginaran), put izmedju talasnih povrsi Σ1 i Σ2, i put od talasne povrsi Σ2 do

lika (pri cemu se ovaj put uzima kao pozitivan za realne a negativan za imaginarne likove).

Onda, koristeci cinjenicu da su duzine optickih puteva izmedju dve talasne povrsi iste,

lako vidimo da su duzine optickih puteva svih zraka snopa iste. Naglasimo, na kraju, da

ako bi na mestu lika postavili tacasti izvor svetlosti, onda bi on na mestu ”starog” izvora

5

formirao svoj lik, pri cemu bi se svetlost, na osnovu Fermaovog principa, kretala duz istih

putanja, samo sto bi kroz tacke na svojoj putanji prolazila obrnutim redosledom.

Drugim recima, vredi princip invarijantnosti svetlosnog zraka: kada izvori i likovi

zamene mesta, zraci samo menjaju orijentaciju bez promene putanje.

§4) Idealni i aproksimativni lik

Idealno formiranje lika nastaje onda kada se svi zraci iz tackastog izvora, a ne samo

deo zraka, sabiraju u liku. Da bi se ovo ostvarilo, potrebno je da granicna povrsina dve

opticke sredine (koja se tada zove Dekartova povrsina) bude veoma specijalnog oblika -

vidi sliku 3 na kojoj su date refleksione, i sliku 3b na kojoj su date refrakcione Dekartove

povrsine.

slika 3a.

6

slika 3b.

Osnovni nedostatak Dekartovih povrsina se sastoji u tome sto one mogu biti veoma

komplikovanog oblika (stoga teske za izradu) i sto zahtevaju da se izvor svetlosti postavi u

tacno odredjenu tacku prostora. Zbog toga se one koriste samo u specificnim situacijama

(npr. parabolicna ogledala kod refraktorskih teleskopa namenjenih za posmatranje zvezda,

tj. beskonacno udaljenih izvora svetlosti). Za prakticne potrebe mnogo je znacajnija

upotreba sfernih granicnih povrsina koje omogucavaju aproksimativno formiranje likova

pri prilicno velikoj slobodi postavljanja izvora.

Za lik P2 predmeta (izvora) P1 kazemo da je aproksimativan ako se zraci snopa koji

divergira iz P1 ne seku tacno u tacki P2, vec njihovi preseci leze u nekoj maloj oblasti

oko tacke P2, slika 4.∗

∗ Kriterijum aproksimativnog formiranja lika je: uocimo u skupu zraka koji divergiraju

iz izvora P1 podskup zraka koji obrazuju konus sa malim uglom otvora δ - vidi sliku 4.

Ako pri δ → 0 dijametar l oblasti u kojoj leze preseci zrakova iz konusa zavisi od δ kao

l ≈ const · δn, gde je n ≥ 2, onda je u tacki P2 formiran aproksimativni lik tacke P1.

7

slika 4.

§5) Centrirani opticki sistemi

Opticki sistemi, koje cemo dalje posmatrati, se sastoje iz sociva i sfernih ogledala.

Radi kompletnosti teksta, ovde cemo navesti osnovne definicije u vezi sociva i ogledala

poznate citaocu jos iz osnovne i srednje skole.

Socivo je opticki sistem sa dve ili vise prelamajucih povrsina. Prelamajuce povrsine

sociva su sferne ili ravne (planarne). Sferne prelamajuce povrsine imaju zajednicku osu

koju zovemo osa sociva; na njoj leze centri krivina svih prelamajucih povrsi sociva. Socivo

koje ima samo dve prelamajuce povrsine se naziva prosto socivo, dok se socivo sa vise

od dve prelamajuce povrsi naziva slozeno socivo. Kod prostog sociva su prelamajuce

povrsine istovremeno i granicne (spoljasnje) povrsine, a sredina izmedju njih je opticki

homogena. Kod slozenih sociva se izmedju dve spoljasnje prelamajuce povrsine nalaze

unutrasnje prelamajce povrsine koje razdvajaju opticki homogene delove slozenog sociva.

Jasno je da se svako slozeno socivo moze posmatrati kao kombinacija prostih sociva.

Presek spoljasnje prelamajuce povrsi i ose sociva je tacka koju zovemo teme sociva;

svako socivo ima dva temena. Slicno se presek prelamajuce povrsi i ose sociva naziva teme

prelamajuce povrsi. Rastojanje d izmedju temena sociva se zove debljina sociva; za

socivo kazemo da je tanko ako mu je debljina mnogo manja od (najmanjeg) poluprecnika

njegovih prelamajucih povrsi; u suprotnom kazemo da je socivo debelo.

Za prelamajucu povrs kazemo da je ispupcena (konveksna) u odnosu na tekuci

smer prostiranja zraka ako se projekcija zraka na opticku osu krece od temena ka cen-

8

tru krivine prelamajuce povrsi; u suprotnom kazemo da je prelamajuca povrs ugnuta

(konkavna).∗ Na osnovu ove definicije vidimo da je jedna te ista prelamajuca povrs kon-

veksna za jedan, a konkavna za suprotan smer prostiranja zraka. U slucaju granicne

prelamajuce povrsi klasifikacija na konveksne i konkavne povrsi se vrsi iskljucivo u odnosu

na zrake koji dolaze iz spoljasnje sredine u socivo; tako je napr. spoljasnja prelamajuca

povrs konveksna ako se projekcija (na osu sociva) zraka, koji dolazi iz spoljasnjosti u

socivo, krece od temena ka centru krivine spoljasnje prelamajuce povrsi. Shodno ovome,

postoje bikonveksna, bikonkavna, konveksno-konkavna, plan-konveksna i plan-konkavna

prosta sociva. Za sferno ogledalo kazemo da je konkavno ako se projekcija zraka na osu

ogledala krece od centra krivine ka temenu ogledala.

Opticki sistem, sastavljen iz sociva i ogledala cije se opticke ose poklapaju se

zove centrirani opticki sistem, a ta zajednicka osa se zove (opticka) osa sistema.

Centrirani opticki sistem je rotaciono simetrican u odnosu na svoju osu. Pored sociva

i ogledala kao osnovnih elemenata, centrirani opticki sistemi sadrze i pomocne elemente

(npr. aperture cije je cilj da ogranicavaju ulazne svetlosne snopove i tubuse ciji je cilj da

obezbede mehanicku kompaktnost sistema). Unutar centriranog optickog sistema, sociva

mogu da prijanjaju jedna uz drugo, ili da budu odvojena vazduhom. Kako se i ovakvi

vazdusni procepi mogu smatrati za sociva, to cemo nadalje smatrati da u se centriranom

optickom sistemu svetlost stalno krece kroz sociva (koja prijanjaju jedna na drugo).

∗ Kaze se i izdubljena, odnosno udubljena.

9

§6) Kardinalni elementi centriranog optickog sistema

Kardinalni (osnovni) elementi centriranog optickog sistema su: prednja (prva) ziza

(fokus), zadnja (druga) ziza (fokus), prednja (prva) glavna tacka, zadnja (druga) glavna

tacka, prednja (prva) cvorna tacka (noda) i zadnja (druga) cvorna tacka (noda).

Prednja (prva) ziza centriranog optickog sistema je tacka F na osi sistema ciji se

lik formira u beskonacnosti - vidi sliku 5. Tacaksti izvor svetlosti smesten u prednju zizu

F emituje divergentne zrake svetlosti koji se, po prolasku kroz opticki sistem, prostiru

paralelno sa optickom osom (i seku se, formirajuci lik, u beskonacnosti). Ravan koja je

ortogonalna na opticku osu i sece je u prednjoj zizi F se zove prednja (prva) zizna ravan.

slika 5. Punom linijom je predstavljena prednja zizna, a isprekidanom prednja glavna ravan.

Za svaki zrak iz prednje zize F postoje dva karakteristicna pravolinijska

produzetka. Jedan produzetak prolazi kroz F i u blizini F se poklapa sa zrakom, dok je

drugi paralelan optickoj osi i poklapa sa zrakom po izlasku iz optickog sistema, slika 5.

Prednja (prva) glavna ravan centriranog optickog sistema je ravan u kojoj leze

preseci karakteristicnih produzetaka svih zrakova iz prednje zize F , slika 5. Ova

ravan je normalna na opticku osu. Prednja (prva) glavna tacka centriranog optickog

sistema je tacka H u kojoj se seku prva glavna ravan i opticka osa sistema.

Zadnja (druga) ziza centriranog optickog sistema je tacka F ′ na osi optickog sistema

u kojoj se formira lik predmeta koji se nalazi u beskonacnosti - vidi sliku 6. Paraksijalni

zraci se iz izvora u beskoncnosti prostiru paralelno sa osom i, posle prolaska kroz sistem,

10

formiraju lik u zadnjoj zizi F ′. Ravan koja je ortogonalna na opticku osu i sece je u drugoj

zizi F ′ se zove zadnja (druga) zizna ravan.

slika 6. Punom linijom je predstavljena zadnja zizna, a isprekidanom zadnja glavna ravan.

I za svaki zrak koji prolazi kroz zadnju zizu F ′ postoje dva karakteristicna pravo-

linijska produzetka. Jedan produzetak je paralelan optickoj osi i poklapa sa zrakom do

ulaska u opticki sistem, dok se drugi poklapa sa zrakom u blizini F ′, slika 6.

Zadnja (druga) glavna ravan centriranog optickog sistema je ravan u kojoj leze

preseci karakteristicnih produzetaka svih zrakova koji prolaze kroz zadnju zizu F ′,

slika 6. I zadnja glavna ravan je normalna na opticku osu. Zadnja (druga) glavna tacka

centriranog optickog sistema je tacka H ′ u kojoj se seku druga glavna ravan i opticka osa

sistema.

slika 7. N i N ′ su prednja i zadnja cvorna tacka, C je centar,

a T i T ′ su prednje i zadnje teme optickog sistema.

11

Prednja (prva) cvorna tacka (noda) je tacka N na osi sistema takva da svaki

upadni zrak usmeren ka njoj izlazi iz sistema pod uglom koji je isti kao upadni ugao,

ali malo transliran tako da kao da dolazi iz tacke N ′ koja lezi na osi sistema, a koja se

naziva zadnja (druga) cvorna tacka, slika 7. Iako cvorne tacke spadaju u kardinalne

tacke sistema dalje im necemo poklanjati posebnu paznju zato sto je za analizu optickog

sistema dovoljno da poznajemo samo zize i glavne tacke.

Pored navedenog, definisimo i centralnu ravan sistema kao ravan po kojoj se seku

granicne prelamajuce povrsine sistema; ova ravan je normalna na osu i njen presek sa osom

je tacka C koja se zove centar optickog sistema, slika 7.

Tanki opticki sistem (specijalno, tanko socivo) je sistem kod kojeg se (aproksi-

mativno) poklapaju prva i druga glavna tacka sa cvornim tackama i centrom sistema.

Analogno se poklapaju prva i druga glavna ravan sa centralnom ravni. Zato se kod tankih

sistema moze smatrati da se celokupno prelamanje svetlosti vrsi na centralnoj ravni.

Usmereno rastojanje mereno od prednje glavne tacke do prednje zize se zove prednja

(prva) zizna daljina i obelezava se sa f . Gledano u smeru upadnog zraka, prednja

zizna daljina f je, po ovoj konvenciji, negativna ako se prednja ziza F , kao na slici 5,

nalazi ispred prednje glavne tacke H, a u suprotnom je pozitivna.∗

Usmereno rastojanje mereno od zadnje glavne tacke do zadnje zize optickog sistema

se zove zadnja (druga) zizna daljina i obelezava se sa f ′. Gledano u smeru upadnog

zraka, zadnja zizna daljina f ′ je, po ovoj konvenciji, pozitivna ako se druga glavna tacka

H ′, kao na slici 6, nalazi ispred druge zize F ′, a u suprotnom je negativna.

Za prednju i zadnju ziznu daljinu vredi:

−n

f=

n′

f ′ , (u1)

∗ Postoji i suprotna konvencija po kojoj se se prednje zizno rastojanje meri od prednje

zize do prednje glavne tacke te zato ima suprotan znak.

12

gde je n indeks prelamanja sredine iz koje zrak ulazi, a n′ indeks prelamanja sredine u

koju zrak izlazi iz optickog sistema. Specijalno, kada je n = n′, prva i druga zizna daljina

su suprotne.

Analogno se usmereno rastojanje izmedju glavnih tacaka meri od prve ka drugoj

glavnoj tacki . Ono se naziva glavno rastojanje i oznacava sa e. Pozitivno je ako se prva

glavna tacka, gledano u smeru upadnog zraka, nalazi ispred druge glavne tacke.

Naglasimo da su sva uvedena usmerena rastojanja algebarske velicine koje mogu

biti kako pozitivne tako i negativne. Specijalno, ovo znaci da se, gledano u smeru upadnog

zraka, prva ziza ne mora nalaziti ispred prve glavne tacke, da se prva glavna tacka ne mora

nalaziti ispred druge glavne tacke, kao ni da se druga glavna tacka ne mora nalaziti ispred

druge zize.

Posebno naglasimo da ako se izmeni smer upadnog zraka (tj. ako se svetlost

dovede na izlaz sistema umesto na ulaz, sto se moze izvesti tako sto opticki sistem obrne)

prvi i drugi kardinalni elementi menjaju mesta.

13

§7) Paraksijalni zraci i paraksijalna aproksimacija; meridionalni zraci

Za zrak kazemo da je paraksijalan ako unutar optickog sistema vazi:

• rastojanje od opticke ose do bilo koje tacke na zraku je znatno manje od

poluprecnika svake prelamajuce i/ili refleksione povrsine optickog sistema;

• ugao izmedju svakog dela zraka i opticke ose je mali.

Posledica prethodna dva uslova je da je svaki upadni ugao paraksijalnog zraka takodje

mali, te su mali i svaki njegov ugao refleksije i prelamanja.

Za male uglove α (izrazene u radijanima) je

α ≈ sinα ≈ tanα (2)

cosα ≈ 1. (3)

Aproksimacija u kojoj se priblizne jednakosti (2-3) uzimaju za tacne jednakosti se naziva

paraksijalnom aproksimacijom (ili aproksimacijom malih uglova). Imajuci u vidu razvoje

trigonometrijskh funkcija u Tejlorov red:

sinα = α− α3

3!+

α5

5!+ ...

cosα = 1− α2

2!+

α4

4!+ ...

tanα = α+α3

3!+

α5

5!+ ...

vidimo da pri koriscenju aproksimativnih izraza (2-3) cinimo greke manje od: 10−2 za

cosα, 10−3 za tanα i 10−4 za sinα ako je

α ≤ 6◦ =2π

360· 6 rad ≈ 0.1 rad. (4)

Ogranicavanje na pojave u kojima su svi uglovi svih zraka koji se prostiru kroz opticki

sistem mali se takodje naziva paraksijalnom aproksimacijom. Ona se u praksi obezbedjuje

14

postavljanjem izvora svetlosti na dovoljno velika rastojanja od optickog sistema i (ili)

koriscenjem apertura.

Koliko mali moraju biti uglovi da bi se mogla koristiti paraksijalna aproksimacija?

Odgovor je da razlika prave i priblizne duzine optickog puta, sracunate uz pomoc aproksi-

macija (2) i (3), mora biti toliko mala da ne utice primetno na interferencionu sliku.

Dva zraka iste frekvencije interferiraju, i njihova interferencija je konstruktivna kada je

apsolutna vrednost razlike duzina njihovih optickih puteva manja od λ0/4, gde je λ0 talasna

duzina posmatrane monohromatske svetlosti u vakuumu.∗ Stoga se obicno granica za

male uglove odredjuje na osnovu Rejlijevog kriterijuma da je razlika duzina pravog i

paraksijalnog optickog puta manja po apsolutnoj vrednosti od λ0/4.

Opticka osa sistema i paraksijalni zrak ne moraju lezati u istoj ravni.7 Paraksijalni

zraci koji leze u istoj ravni sa optickom osom se nazivaju meridionalni zraci, a ravan

koja sadrzi opticku osu i merionalni zrak se naziva meridionalna ravan. Nadalje cemo

razmatrati samo meridionalne zrake (i time 3-dimenzionalne probleme efektivno svesti

na 2-dimenzionalne) jer svi zakljucci dobijeni njihovom analizom ostaju na snazi i kada se

u analizu ukljuce svi paraksijalni zraci.

∗ Podsetimo se da je ω/c = 2π/λ0.7 Podsetimo da je ravan odredjena pravom i tackom van nje.

15

§8) Formiranje lika kod centriranih optickih sistema

u paraksijalnoj aproksimaciji

Putanja svetlosnih zraka kroz centrirani opticki sistem moze biti veoma slozena izlom-

ljena linija. U praksi nas najcesce ne interesuju svi detalji prolaska zraka kroz opticki sistem

vec samo kako se ovim sistemom formiraju likovi predmeta koji se nalaze izvan sistema.

U takvoj situaciji je realan opticki sistem moguce smatrati za ”crnu kutiju” koja se da

zameniti sistemom svojih kardinalnih elemenata.

Formiranje likova kod centriranih optickih sistema je u paraksijalnoj aproksimaciji

potpuno odredjeno ako su poznati kardinalni elementi optickog sistema. Tada se likovi

nalaze po sledecoj proceduri:

Neka je dat opticki sistem ciji su kardinalni elementi prikazani na slici 8.

slika 8.

Neka se u tacki A nalazi predmet ciji lik trazimo; tacka P je projekcija tacke A

na opticku osu. Za nalazenje lika A′ tacke A dovoljno je koristiti tzv. karakteristicne

zrake.5 Prvi je zrak 1 koji ide paralelno sa optickom osom od tacke A do preseka sa drugom

glavnom ravni. Od druge glavne ravni zrak 1 ide ka drugoj zizi F ′. Drugi karakteristican

5 Za zrak kazemo da je karakteristican ako smo u stanju da ga nacrtamo na osnovu

polozaja kardinalnih elemenata optickog sistema i njegove pocetne tacke.

16

zrak je zrak 2 koji na pravcu kroz prednju zizu ide od predmeta A do preseka sa prvom

glavnom ravni odakle nastavlja da ide paralelno sa optickom osom sistema. Zraci 1 i 2 se

seku u tacki A′ koja predstavlja lik tacke A u paraksijalnoj aproksimaciji.

Naglasimo da zraci 1 i 2 ne predstavljaju realne zrake, vec fiktivne (zamisljene)

zrake konstruisane (iz pocetaka i krajeva realnih zrakova i njihovih produzetaka) sa jedinim

ciljem da se omoguci jednostavno nalazenje likova. Tako napr. postoji realan zrak koji iz

predmeta A ide paralelno sa optickom osom sistema do ulaska u opticki sistem i na tom delu

puta se poklapa sa zrakom 1. Unutar optickog sistema realan zrak trpi niz transformacija

(prelamanja i/ili refleksija) pri cemu se prva transformacija (npr. prelamanje) odigrava

na ulasku zraka u opticki sistem. Pocetak optickog sistema nije prikazan na slici 8, a na

osnovu polozaja kardinalnih elemenata se ni ne moze reci gde se nalazi. Na delu puta

unutar optickog sistema se zrak 1 i njegov realan ”parnjak” ne poklapaju. Po izlasku iz

optickog sistema, realan zrak se ponovo poklapa sa zrakom 1. Analogno je i sa zrakom 2.

Kod optickih sistema se javlja jos jedan karakteristicni zrak, a to je fiktivan zrak 3.

On ide iz predmeta u prednju cvornu tacku N , a iz sistema izlazi pod istim uglom pod

kojim je usao - dakle bez prelamanja, ali transliran tako da izgleda da dolazi sa ose

sistema iz zadnje cvorne tacke N ′. Pokazuje se da se zrak 3 sece sa zracima 1 i 2 u liku

A′ predmeta A. U tankim optickim sistemima zrak 3 se poklapa sa zrakom kroz

centar sistema.

Primetimo da se opisanom procedurom ne mogu naci likovi predmeta koji leze na

optickoj osi jer se za takve predmete zraci tipa 1, 2 i 3 poklapaju sa osom. U ovakvoj

situaciji lik nalazimo posredno; naime, poznato je da likovi predmeta iz iste ravni (normalne

na osu) imaju likove u zajednickoj ravni (normalnoj na osu). Zato lik P ′ mora lezati na

normali na osu povucenoj iz lika A′ predmeta A koji lezi u istoj ravni kao i predmet P .

17

Matricni pristup u geometrijskoj optici

§9) Velicine kojima opisujemo paraksijalne meridionalne zrake

u centriranom optickom sistemu i konvencija o njihovim znacima

U centriranim optickim sistemima svetlosni zrak je izlomljena linija cija se temena

nalaze na prelamajucim i/ili refleksionim povrsima optickog sistema. Ako je neki deo zraka

meridionalan tada je i ceo zrak meridionalan jer ga prelamanja i/ili refleksije ne izvode iz

meridionalne ravni.

slika 9.

Prostiranje zraka kroz opticki sistem mozemo pratiti pomocu tacaka prodora zraka

kroz poprecne ravni (to su ravni normalne na osu). Na slici 9a je prikazan meridionalni

zrak koji prodire poprecnu ravan u tacki P ;∗ tacka P nije teme zraka i ovakav prodor se

javlja kada se poprecna ravan nalazi u nekom delu sistema koji je opticki homogen. Slucaj

kada je tacka prodora teme zraka je prikazan na slici 9b i javlja se kada tacka prodora lezi

na nekoj prelamajucoj povrsi.

Pri poznatom smeru prostiranja, deo zraka u blizini poprecne ravni u opticki

∗ Meridionalna ravan je ravan crteza, opticka osa je data horizontalnom punom linijom,

a poprecna ravan isprekidanom vertikalnom linijom. Zrak je dat strelicom.

18

homogenom delu sistema je potpuno odredjen tackom prodora i uglom α koji pravac

datog dela zraka zaklapa sa optickom osom. U narednim poglavljima cemo pokaziti da je

prolazak paraksijalnih meridionalnih svetlosnih zraka kroz centrirani opticki sistem opisan

linearnim transformacijama. Pogodno je da velicine kojima opisujemo zrak budu algebar-

ske (tj. da mogu biti kako pozitivne tako i negativne) te se mora usvojiti (neka) konvencija

o njihovom znaku.

Znak velicina kojima cemo opisivati zrake cemo odredjivati u odnosu na izabranu

orijentaciju meridionalne ravni.9 Opticku osu sistema orijetisemo u smeru prosti-

ranja upadnog zraka, i uzimamo je za z-osu; nju na crtezima predstavljamo kao horizon-

talnu i usmerenu sleva nadesno. Zatim se bira pozitivan smer x-ose koja lezi u meridio-

nalnoj ravni i normalna je na z-osu; na crtezima ona se obicno crta vertikalno navise.

Prodor svetlosnog zraka kroz poprecnu ravan u opticki homogenom delu sistema

opisujemo sa:

• x-koordinatom (pozicijom) tacke prodora

• ostrim uglom α (merenim u pozitivnom smeru od z-ose do prave na kojoj

lezi deo zraka koji prodire posmatranu poprecnu ravan).

Za poziciju x i ugao α kazemo da odredjuju stanje zraka na poprecnoj ravni. Stanje

predstavljamo vektorom kolonom (xα

).

Obzirom da radimo u paraksijalnoj aproksimaciji, koordinata x je po apsolutnoj

vrednosti znatno manja od poluprecnika bilo koje prelamajuce i/ili reflektujuce povrsine,

9 Podsetimo se da za dve baze vektorkog prostora kazemo da su iste orijentacije ako je

determinanta matrice razvoja jednog bazisa po drugom pozitivna. Svaki vektorski prostor

ima tacno dve orijentacije. Zadavanje orijentacije se vrsi tako sto se zada jedan bazis za

koji se, po dogovoru, uzima da je pozitivne orijentacije.

19

dok je ugao α dovoljno mali - vidi poglavlje §7.

Konvencija o znaku pozicije x i ugla α je ilustrovana na slici 10. Za deo zraka koji se

prostire u pozitivnom smeru z-ose α je ugao izmedju pravca z-ose i pravca tog dela zraka.

Pri suprotnom smeru prostiranja zraka, pravac z-ose i pravac prostiranja zraka grade tup

ugao α blizak π, te je tada α = α− π.

slika 10. Konvencija o znacima pozicije x, ugla α i radijusa krivine r.

Pri prodoru zraka kroz prelamajucu povrs, vidi sliku 9b, javljaju se dva ugla, α i α′.

U ovom slucaju se koriste dva stanja: jedno za opis zraka pre pada na prelamajucu povrs,

a drugo za opis zraka nakon prelamanja.

Naglasimo da se u matricnom pristupu ne koristi posebna velicina koja prati smer

prostiranja delova zraka. Ako u optickom sistemu nema ogledala za ovim nema ni potre-

be jer se svi delovi zraka prostiru kroz sistem u istom smeru. Nasuprot tome u optickim

sistemima koji sadrze ogledala delovi zraka menjaju smer nakon refleksije.∗ No i u ovakvim

sistemima se, radi jednostavnosti opisa, ne prati smer delova zraka vec se on odredjuje

na osnovu transformacija koje trpi zrak prilikom prolaska kroz opticki sistem.

Ostaje nam da usvojimo konvenciju o znaku radijusa krivine prelamajucih i reflek-

tujucih povrsi. Presek sa meridionalnom ravni svake od njih se u blizini z-ose moze zadati

u obliku funkcije z = f(x). Radijus krivine r prelamajuce ili reflektujuce povrsi je po

apsolutnoj vrednosti jednak poluprecniku te povrsi (poluprecnik je uvek pozitivan),

∗ Smer delova nastalih nakon neparnog broja refleksija je suprotan, a delova nastalih

nakon parnog broj refleksija isti kao i smer upadnog dela zraka.

20

dok mu je znak isti kao i znak drugog izvoda f ′′(x = 0) jednacine povrsi u temenu

povrsi. Ovako odredjen znak radijusa krivine ne zavisi od smera iz kojeg zrak zaista

dolazi na povrs vec od orijentacije opticke ose, zadate smerom upadnog zraka. Ako je

povrs, gledano u smeru z-ose, konveksna tada je r > 0, dok je u suprotnom, tj. za

konkavnu povrs, radijus krivine r < 0, slika 10 desno.

Naglasimo i da se, u okvirima paraksijalne aproksimacije, aproksimativno sma-

tra da tacka prodora zraka i teme prelamajuce i/ili reflektujuce povrsi leze u istoj

poprecnoj ravni.∗

∗ Ovo zato jer je rastojanje izmedju poprecne ravni kroz teme i poprecne ravni kroz

tacku prodora P jednako R(1− cosφ) ≈ x2/2R ≈ 0, gde je R poluprecnik povrsi.

21

§10) Prostiranje meridionalnog svetlosnog zraka u optickom sistemu

unutar opticki homogenog dela sistema; matrica prenosa

Izmedju prelamajucih (odn. refleksionih) povrsi, svetlosni zrak se krece kroz deo

optickog sistema ispunjen opticki homogenom sredinom. Posmatrajmo prelazak zraka iz

tacke P1 (sa koordinatom x) u tacku P2 (sa koordinatom x′) kroz takvu sredinu.

slika 11.

Neka su (x, α) i (x′, α′) parametri zraka u tackama P1 i P2. Sa slike 11 se vidi da je

x′ = x+ d · tg(α) = x+ d · α ,

α′ = α,

gde je d = z(P2) − z(P1) usmereno rastojanje duz opticke ose od tacke P1 do tacke P2.

Obzirom da su transformacije linearne postoji 2× 2 matrica Td takva da je(x′

α′

)= Td

(xα

). (15)

Matricu T zovemo matricom prelaska (transfera) za usmereno rastojanje d duz opticke

ose. Matrica Td glasi

Td =

(1 d0 1

), (16)

i za nju vredi

det(Td) = 1 , Td1Td2 = Td1+d2 , T−1d = T−d . (17)

Lako se vidi da matrica Td opisuje linearno preslikavanje prostora stanja svetlosnih

zraka na poprecnoj ravni kroz tacku P1 u prostor stanja na poprecnoj ravni kroz P2.

22

§11) Prelamanje paraksijalnog meridioalnog svetlosnog zraka

na sfernoj prelamajucoj povrsi; matrica prelamanja

Neka (paraksijalni i meridionalni) svetlosni zrak, krecuci se s leva na desno, pada na

prelamajucu sfernu povrsinu radijusa krivine r u tacki P - vidi sliku 12.

slika 12.

Prelamajuca povrs razdvaja dve homogene opticke sredine. Sa njene leve strane

je sredina indeksa prelamanja n iz koje zrak dolazi, a sa desne strane sredina indeksa

prelamanja n′ u koju zrak ulazi. Parametri zraka neposredno levo od tacke P su koordinata

x i ugao α, a neposredno desno - koordinata x′ i ugao α′. Upadni ugao zraka na sfernu

povrsinu je θ, a prelomni θ′. Ugao koji grade normala na sfernu povrsinu u tacki P i

opticka osa je φ.10 Obzirom na sliku 12, vidimo da vredi:

θ = α+ φ, (5)

θ′ = α′ + φ, (6)

x

r= sinφ = φ, (7)

nθ = n′θ′, (8)

na osnovu cega je

x′ = x, (9)

α′ = −n′−n

r

n′ x+n

n′α. (10)

10 Po usvojenoj konvenciji o znacima, na slici 11 su x, x′ i r, kao i svi uglovi, pozitivni.

23

Na osnovu (9-10) vidimo da su tranformacije(x′

α′

)−→

(xα

),

linearne, tj. da postoji 2× 2 matrica R takva da je(x′

α′

)= R

(xα

). (11)

Matricu R zovemo matrica prelamanja (refrakcije). Na osnovu (9-10) je

R =

(1 0

− Pn′

nn′

), (12)

gde se velicina

P =n′ − n

r, (13)

zove moc (odnosno jacina ili sila) prelamanja prelamajuce povrsi. Dimenzija ove velicine

je inverzna duzini i meri se u dioptrijama (1 dp=1/m). Primetimo i da je

det(R) =n

n′ . (14)

Analognim rezonovanjem bi za konkavnu prelamajucu povrs dosli do istih izraza, s

time sto bi, uskladu sa prihvacenom konvencijom o znacima, poluprecnik r konkavne povrsi

bio negativan. Isto bi se dobilo i za zrak koji se prostire u suprotnom smeru.

Navedimo na kraju da se i za matricu prelamanja moze reci da ostvaruje linearnu

transformacija zraka izmedju dve poprecne ravni, samo sto se za razliku od matrice prelaska

ovde te dve ravni poklapaju. Formalno bi, medjutim, i ovde mogli da smatramo da imamo

dva prostora stanja svetlosnih zraka - jedan neposredno pre dolaska i drugi neposredno

nakon odlaska zraka sa prelamajuce povrsi i da matrica prelamanja linearno preslikava

prvi prostor stanja u drugi.

24

§12) Refleksija na sfernim povrsinama i

matrica refleksije∗

Analogno prolasku i prelamanju i refleksija svetlosnih zraka, koja se javlja na sfernim

(ogledalskim) povrsinama, se moze tretirati matricnim metodom.

slika 13.

Posmatrajmo upadni zrak ciji pravac zaklapa ugao α sa optickom osom; ugao α je mali

i ostar, tj. |α| ≪ 1, a moze biti kako pozitivan, tako i negativan. Neka se taj zrak

reflektuje od sferne povrsine u tacki P (slika 13). Smer prostiranja reflektovanog zraka

u odnosu na opticku osu je suprotan smeru upadnog zraka, dok je ugao od opticke ose

do reflektovanog zraka α′ ≈ π.

Da ne bi menjali smer opticke ose i da bi ostali u aproksimaciji malih uglova, umesto

ugla α′ cemo posmatrati ugao α′ od opticke ose do pravca reflektovanog zraka; ugao α′

se meri u pozitivnom smeru i α′ − α′ = π.† Vredi:

x′ = x, (18)

α′ = −(θ + φ), (19)

θ = α+ φ. (20)

∗ Ovo i naredno poglavlje nisu deo ispitnog materijala. Izbor velicina kojima se opisuju

zraci i matricni opis njihovih transformacija u sistemima sa refleksijom u literaturi nije

standardizovan. Ovde je data jedna od mogucih varijanti.† Na slici 13 je α > 0, α′ < π, α′ < 0 pa je α′+ |α′| = π; ugao α′ nije prikazan na slici.

25

Odavde se dobija

α′ = −2

r− α, (21)

gde je r radijus krivine (r > 0 za konveksne, a r < 0 za konkavne) reflektujuce povrsi. Na

osnovu (18) i (21) vidimo da je i u slucaju refleksije transformacija zraka linearna i da se

moze opisati matricom refleksije11

R =

(1 0−2

r −1

), (22)

za koju je (x′

α′

)= R

(xα

). (11′)

Za matricu refleksije vredi

det(R) = −1 , R−1 = R . (23)

§13) Opisivanje prolaska zraka u smeru suprotnom od

ose sistema∗

Matrica prelamanja (12), matrica prelaska (16) i matrica refleksije (22) opisuju trans-

formacije zraka koji se krece duz opticke ose sistema. Ako opticki sistem sadrzi refleksione

povrsine, tada zrak pri prolasku kroz opticki sistem barem jednom menja smer kretanja.

Zbog toga je neophodno navesti oblik koji ove matrice imaju u slucaju kada opisuju trans-

formaciju zraka koji se krece u negativnom smeru (tj. smeru koji je suprotan smeru opticke

ose sistema).

Kako pri direktnom i inverznom prolasku zrak prolazi kroz iste tacke optickog sistema

samo obrnutim redosledom, to je matrica (M)inv koja opisuje inverzni prolaz inverzna

matrica matrice direktnog prolaza M tj.

(M)inv = M−1. (24)

11 Matricu refleksije je moguce formalno tretirati kao matricu prelamanja sa n′ = −n.∗ Ovo poglavlje nije deo ispitnog materijala.

26

Specijalno, matrica prelamanja pri inverznom prolasku (tj. negativnom smeru kretanja

zraka) je

(R)inv = R−1 =

(1 0P ′

nn′

n

)(25)

gde je P = (n′ − n)/r moc prelamanja pri pozitivnom smeru kretanja zraka. Ako sada

uocimo da pri kretanju u negativnom smeru zrak dolazi u sredinu indeksa prelamanja n

iz sredine indeksa prelamanja n′, te ako za prolazak zraka u negativnom smeru definisemo

moc prelamanja Pinv po istom receptu (13):

(P )inv = −(n− n′)/r

po kojem smo definisali moc prelamanja pri pozitivnom smeru prolaska zraka, pri cemu

radijus krivine povrsi r ostaje isti,∗ onda je

(P )inv = −P ,

pa se matrica (R)inv za inverzni prolazak dobija po istom receptu kao i matrica prelamanja

R za direktni prolazak:

(R)inv =

(1 0

− (P )inv

nn′

n

). (26)

Slicnim postupkom uveravamo se da je matrica za inverzni prelazak zraka data sa

(Td)inv = T−1d =

(1 −d0 1

)= T−d =

(1 (d)inv0 1

), (27)

gde je

(d)inv = −d ,

parametar inverznog prelaska zraka, a matrica refleksije za inverzni prolazak sa

(R)inv = R−1 =

(1 0−2

r −1

)= R . (28)

∗ Potsetimo se da po usvojenoj konvenciji o znacima radijus krivine povrsi r ne zavisi

od smera kretanja zraka vec od smera opticke ose.

27

§14) Prostiranje meridionalnog svetlosnog zraka kroz

opticki sistem i matrica optickog sistema

Prostiruci se kroz opticki sistem zrak trpi transformacije koje se sastoje iz:

• kontinualnih promena stanja zraka pri njegovom transferu iz polazne u do-

laznu poprecnu ravan iz iste opticki homogene oblasti sistema (menja se

samo x),

i

• skokovitih promena stanja zraka na povrsima diskontinuiteta ( prelamajucim

i reflektujucim) gde se menja samo ugao α.

U svim ovim slucajevima transformacija stanja zraka je linearna i moze se smatrati da

preslikava prostor stanja zraka u poprecnoj ravni A na prostor stanja zraka u poprecnoj

ravni A′. Kada zelimo da ukazemo na koje se poprecne ravni transformacija odnosi,

matricu transfomacije zapisujemo kao MA′

A (u slucaju povrsi diskontinuiteta A = A′),

.

Kako je svaka promena stanja zraka opisana odgovarajucom matricom to se i ukupna

promena koju trpi zrak pri prolasku kroz opticki sistem, od ulaska u opticki sistem

do izlaska iz optickog sistema, opisuje matricom koju cemo zvati matricom optickog

sistema i koju cemo obelezavati sa S.

Matrica optickog sistema S se dobija kao proizvod (kompozicija) matrica koje opisuju

pojedinacne (kontinualne i skokovite) promene zraka od ulaska u sistem (u poprecnoj

ravni kroz prednje teme sistema) do izlaska iz sistema. Pri tome, imajuci u vidu da

matrice deluju kao linearni operatori na vektore kolone s leva, redosled matrica u zapisu

njihovog proizvoda je suprotan redosledu transformacija koje te matrice opisuju. Kao

ilustraciju recenog navedimo slucaj kada zrak trpi tri uzastopne promene: prvo promenu

opisanu matricom M1 iz stanja

(x0

α0

)u stanje

(x1

α1

), zatim promenu opisanu matricom

28

M2 iz stanja

(x1

α1

)u stanje

(x2

α2

)i na kraju promenu opisanu matricom M3 iz stanja(

x2

α2

)u stanje

(x2

α2

). Navedeni niz transformacija se moze predstavi dijagramom

(x0

α0

)M17−→

(x1

α1

)M27−→

(x2

α2

)M37−→

(x3

α3

), (29)

odakle se uveravamo da ce matrica M koja opisuju kompoziciju ovih transformacija glasiti

M = M3M2M1. (30)

Obzirom da je:

• determinanta matrice prelamanja jednaka n/n′,

• determinanta matrice refleksije jednaka -1, a transfer matrice jednaka 1,

• matrica sistema S proizvod ovakvih matrica

to je za sistem koji ima paran broj reflekujucih povrsi

det(S) =n

n′ , (31)

gde je n indeks prelamanja na ulasku, a n′ indeks prelamanja na izlasku iz optickog sistema,

odnosno

det(S) = −1, (32)

za sistem koji ima neparan broj reflektujucih povrsi. (Analogno je za i za bilo koju ”medju

matricu” detM = n/n′ u slucaju parnog i detM = −n/n′ u slucaju neparnog broja

reflektujucih povrsi izmedju poprecnih ravni povezanih ovom matricom.)

29

§15) Matrica prostog (debelog) sociva

Kao primer matrice optickog sistema navedimo matricu prostog sociva shematski

prikazanog na slici 14.

slika 14.

Ovo prosto (i debelo) socivo ima dve prelamajuce povrsi 1 i 2 sa temenima T i T ′.

S leve strane prelamajuce povrsi 1 je indeks prelamanja n a sa desne ns, dok je n′ indeks

prelamanja s desne strane prelamajuce povrsi 2. Neka je

R1 =

(1 0

−P1

ns

nns

),

matrica prelamanja povrsi 1,

T 21 =

(1 d0 1

),

transfer matrica12 sa povrsi 1 na povrs 2 i

R2 =

(1 0

−P2

n′ns

n′

),

matrica prelamanja povrsi 2. Na osnovu prethodnog poglavlja, matrica sociva S je data

sa

S = R2T21R1 =

(1− P1

nsd n

nsd

−P1+P2

n′ + P1P2

nsn′ dnn′ (1− P2

nsd)

). (33)

12 Primetimo da je za transfer rastojanje d uzeto rastojanje izmedju temena T i T ′

povrsi 1 i 2; transfer rastojanje (slabo) zavisi od visina x i x′ i zato se, u paraksijalnoj

aproksimaciji, smatra nezavisnim od x i x′ i jednakim rastojanju d izmedju temena.

30

§16) Matrica prostog tankog sociva

Matricu prostog tankog sociva dobijamo iz matrice prostog (i debelog) sociva (33) pri

d → 0, i ona glasi

S =

(1 0

− Pn′

nn′

), (34)

gde je opticka moc tankog sociva

P = P1 + P2 =ns − n

r1+

n′ − ns

r2, (35)

dok su r1 i r2 radijusi krivina prednje i zadnje prelamajuce povrsi.∗ Navedimo i sledeci

oblik ove matrice

S =

(1 0

− 1f ′

nn′

), (35)

gde je f ′ zadnja zizna daljina (vidi naredno poglavlje). U tipicnoj situaciji, kada je n = n′

nalazimo da je

1

f ′ = (ns/n− 1)

(1

r1− 1

r2

). (36)

Specijalno, za tanko socivo indeksa prelamanja ns u vazduhu (n = n′ = 1) je

1

f ′ = (ns − 1)

(1

r1− 1

r2

). (36′)

Graficke oznake za tanko socivo su date na slici 14-1.

slika 14-1. Graficke oznake za tanko sabirno socivo (levo) i tanko rasipno socivo (desno).

∗ Vodite racuna o znaku radijusa krivine! Za bikonveksno socivo je npr. r1 > 0, r2 < 0.

31

§17) Odredjivanje kardinalnih elemenata

optickog sistema bez refleksionih povrsina

na osnovu matrice sistema

slika 15.

O matrici S (proizvoljnog) centriranog optickog sistema bez refleksionih povrsina,

znamo tek toliko da je ona oblika∗

S =

(S11 S12

S21 S22

), (37)

da opisuje promenu koju svetlosni zrak trpi od ulaska u sistem (na poprecnoj ravni kroz

prednje teme T ) do izlaska iz sistema (na poprecnoj ravni kroz zadnje teme T ′) - vidi sliku

15, i da je

det(S) =n

n′ , (38)

gde je n indeks prelamanja sredine pre ulaska u opticki sistem, a n′ - indeks prelamanja

sredine posle izlaska iz optickog sistema.

∗ U literaturi se elementi matrice S oznacavaju i sa S11 = a, S12 = b, S21 = c, S22 = d.

32

Sada cemo pokazati da je matricu sistema S moguce faktorisati - izraziti kao proizvod

S = T ′RST =

(1 −l′H0 1

)(1 0

− Pn′

nn′

)(1 lH0 1

), (39)

dve matrice prelaska T i T ′ i matrice prelamanja

RS =

(1 0

− Pn′

nn′

).

Matricu RS cemo zvati matrica prelamanja sistema, a velicinu P - moc prelamanja

sistema. Matrica prelaska T opisuje transfer od prednjeg temena do neke tacke H na

osi sistema sa usmerenim rastojanjem lH od prednjeg temena, dok matrica prelaska T ′

opisuje transfer do zadnjeg temena od neke tacke H ′ na osi sa usmerenim rastojanjem l′H

od zadnjeg temena.∗ Drugim recima, pokazacemo da je moguce naci velicine P , lH i l′H

takve da vredi (39) ili, ekvivalentno, da je(1 0

− Pn′

nn′

)=

(1 l′H0 1

)S

(1 −lH0 1

). (39′)

Zaista, ako nadjemo proizvod matrica sa desne strane izraza (39’), dobijamo sledeci sistem

jednacina:

1 = S11 + S21l′H , (40)

0 = S12 − S11lH + S22l′H − S21lH l′H . (41)

−P

n′ = S21, (42)

n

n′ = S22 − S21lH . (43)

Iz (42) je (40) sledi

l′H = −S11 − 1

S21, (44)

dok iz (43) sledi

lH =S22 − n/n′

S21, (45)

∗ U narednom poglavlju pokazujemo da jeH prednja, aH ′ zadnja glavna tacka sistema.

33

odakle smenom u (41) zbog (38) dobijamo identitet, te je (41) posledica (40) i (43).

Znacaj faktorizacije (39) matrice sistema S postaje vidljiv ako uocimo da je trans-

formacija koju trpi zrak od (bilo koje) poprecne ravni A ispred prednjeg temena do proiz-

voljne poprecne ravni A′ iza zadnjeg temena, slika 15, opisana matricom

MA′

A = TlST−p =

(1 l0 1

)S

(1 −p0 1

), (46)

gde je p usmereno rastojanje od prednjeg temena T od poprecne ravni A, a l usmereno

rastojanje od zadnjeg temena T ′ do poprecne ravni A′. Smenom (39) u (46) dobijamo

MA′

A =

(1 l − l′H0 1

)(1 0

− Pn′

nn′

)(1 −(p− lH)0 1

), (47)

odakle vidimo da matrica MA′

A ima oblik

MA′

A =

(1 s′

0 1

)(1 0

− Pn′

nn′

)(1 −s0 1

), (48)

gde je s = p− lH usmereno rastojanje poprecne ravni A od tacke H, a s′ = l− l′H usmereno

rastojanje poprecne ravni A′ od tacke H ′.

§18) Uslovi formiranja lika i egzistencija kardinalnih tacaka

Ako izmnozimo matrice u (48) dobijamo

MA′

A =

(M11 M12

M21 M22

)=

(1− P

n′ s′ −s+ P

n′ ss′ + n

n′ s′

− Pn′

nn′ (1 +

Pn s)

). (49)

Uslov da tacka P ima lik u tacki P ′ glasi da svi zraci iz tacke P (a to su zraci sa istim

x i razlicitim α) konvergiraju (seku se) u tacki P ′. Matrica MA′

A ostvaruje transformaciju

oblika

x′ = M11x+M12α, (50)

α′ = M21x+M22α, (51)

34

odakle se vidi da ce (bilo koja) tacka P iz poprecne ravni A imati svoj lik u u nekoj tacki

P ′ poprecne ravni A′ ako je

M12 ≡ −s+P

n′ ss′ +

n

n′ s′ = 0. (52)

Zaista, ako vredi (52), tada x′ u (50) ne zavisi od α, te svi zraci iz tacke P (oni imaju isto

x, a razlicite uglove α) konvergiraju (seku se) u tacki P ′ sa koordinatom

x′ = M11x =

(1− P

n′ s′)x

iz ravni A′, sto znaci da je P ′ lik tacke P . Uslov formiranja lika (52) dovodi do jednacine

n′

s′− n

s= P, (53)

koja se naziva Gausova jednacina optickog sistema. Ona kaze da do formiranja lika

dolazi samo ako rastojanja s i s′ ravni A i A′ od tacaka H i H ′ zadovoljavaju (52), odnosno

Gausovu jednacinu (53). Tada za ravan A kazemo da je prostor predmeta, a za ravan A′

da je prostor likova jer svi predmeti iz ravni A imaju svoje likove u ravni A′. Obzirom

da pri suprotnom smeru upadnog zraka predmeti i likovi menjuju mesta, to znaci da bi

pri suprotnom smeru upadnog zraka ravan A′ bila prostor predmeta, a ravan A - prostor

likova. Stoga za ravni A i A′ kazemo da su konjugovane (kada je jedna od njih prostor

predmeta, ona druga je prostor likova).

Egzistencija prednje zize: svi upadni zraci sa pravcima prostiranja ciji prodori

kroz poprecnu ravan na usmerenom rastojanju s = f ≡ −n/P od H leze na optickoj osi,

po izlasku iz optickog sistema se prostiru paralelno optickoj osi. Zaista, neka je F tacka na

osi u kojoj se seku pravci prostiranja; posto su i x-koordinata tacke F i matricni element

M22 = nn′ (1 + P

n s) jednaki nuli, to je u skladu sa (51) ugao α′ = 0, sto znaci da je F

prednja ziza, a ravan kroz nju - prednja zizna ravan, . Napomenimo da u ovom slucaju

zbog s = −n/P iz Gausove jednacine sledi da je s′ = ∞, sto znaci da se lik prednje zize F

formira u beskonacnosti.

35

Egzistencija zadnje zize: iz (50) se vidi da se za sve upadne zrake paralelne optickoj

osi (tj. sa uglom α = 0) pravci njihovih izlaznih zraka seku na osi (x′ = 0) u tacki F ′ koja

se nalazi na usmerenom rastojanju s′ = f ′ ≡ n′/P od tacke H ′. Ova je tacka stoga zadnja

ziza, a poprecna ravan kroz nju - zadnja zizna ravan. Obzirom da je s′ = n′/P , Gausova

jednacina u ovom slucaju kaze da je s = −∞,∗ tj. da zraci dolaze iz beskonacno udaljenog

predmeta.

Egzistencija prednje glavne tacke: posmatrajmo upadni zrak ciji pravac prolazi

kroz prednju zizu; njegov pravolinijski produzetak se ne prelama i poprecnu ravan kroz

tacku H prodire na poziciji (visini) x′ = −fα zato sto sece opticku osu (x = 0) na

usmerenom rastojanju f od tacke H (nacrtajte i uverite se!). Izlazni deo ovog zraka se

prostire paralelno osi na istoj visini x′ (ovo se vidi ako se x′ sracuna na osnovu (50) za

s′ = 0 uzimajuci da je x = 0 za s = f), te se njegov pravolinijski produzetak sece sa

produzetkom upadnog zraka na visini x′ u poprecnoj ravni kroz tacku H. Kako prethodno

rezonovanje vredi za svaki upadni zrak ciji pravac prolazi kroz prednju zizu, vidimo da je

poprecna ravan kroz H prednja glavna ravan, i zato tacka H - prednja glavna tacka.

Egzistencija zadnje glavne tacke: posmatrajmo upadni zrak ciji je pravac para-

lelan optickoj osi i na visini x iznad nje. Njegov pravolinijski produzetak prodire poprecnu

ravan kroz tacku H ′ na istoj visini. Obzirom da ugao α′ pravca izlaznog dela ovog zraka

na osnovu (51) iznosi α′ = −x/f ′ (jer je α = 0, a M21 = −P/n′ = −1/f ′), kao i da

taj pravac sece opticku osu u zadnjoj zizi, tj. na usmerenom rastojanju f ′ od tacke H ′,

to pravolinijski produzetak izlaznog dela zraka prodire poprecnu ravan kroz H ′ na visini

x′ = −f ′α′ = x (nacrtajte i uverite se), te se sece pravolinijski produzetak upadnog dela

zraka u poprecnoj ravni kroz H ′. Dakle, ova poprecna ravan je zadnja glavna ravan, a

tacka H ′ - zadnja glavna tacka.

∗ Iz Gausove jednacine sledi da je n/s = 0, sto znaci da je s = ±∞, a resenje s = +∞

je fizicki besmisleno jer zraci sa ovog rastojanja ne mogu da udju u opticki sistem.

36

Posledica: Obzirom na prethodno vidimo da je da je

f = − n

P(54)

prednja zizna daljina,

f ′ =n′

P, (55)

zadnja zizna daljina, kao i da je

−n

f=

n′

f ′ = P ,

a da se Gausova jednacina moze napisati u obliku

f

s+

f ′

s′= 1. (56)

Ukoliko je uslov formiranja lika (52) zadovoljen, tada matrica MA′

A ima oblik

MA′

A =

(mx 0− 1

f ′ mα

), (57)

gde je

mx =x′

x= 1− s′

f ′ , (58)

bocno (ili linearno, odnosno lateralno) uvelicanje, a

mα =∂α′

∂α=

n

n′

(1− s

f

), (59)

ugaono uvelicanje.

Uocavajuci usmereno rastojanje Z od prve zize do predmeta, i usmereno rastojanje

Z ′ od druge zize do lika, nalazimo:

ZZ ′ = ff ′, (60)

mx = −Z ′

f ′ , (61)

mα = − n

n′Z

f, (62)

37

gde je (60) jednacina optickog sistema u Njutnovom obliku. Na kraju, iz uslova

det(MA′

A ) = n/n′ i (57), dobijamo

mxmα =n

n′ , (63)

i

nx∆α = n′x′∆α′; (64)

izraz (64) se naziva Lagranzeva ili Smit-Helmholcova invarijanta. Ona odredjuje sa

kojom bi se ugaonom sirinom ∆α′ u liku video snop zraka koji bi krenuo iz predmeta sa

uganom sirinom ∆α.

Lik paralelnog snopa ulaznih zraka se nalazi u zadnjoj ziznoj ravni: neka

je α ugao zraka iz snopa. U zadnjoj zizi F ′ je visina x′ data sa x′ = M12α jer je

M11 = 1 − s′/f ′ = 0 zbog s′ = f ′. Bilo koju izabranu poprecnu ravan pre sociva (tj. za

izabrano s) ovi zraci prodiru na razlicitim visinama x, ali je za sve njih M12 = nf ′/n′ = −f

isto, pa je isto i x′ = −fα. To znaci da se u zadnjoj ziznoj ravni formira lik ovog paralelnog

snopa ulaznih zraka cija je visina odredjena upadnim uglom α.

Predmeti iz prednje zizne ravni daju paralelan snop na izlazu: ako se pos-

matraju zraci koji se prostiru u suprotnom smeru tada, na osnovu principa invarijantnosti

svetlosnog zraka (poglavlje §3), predmeti i likovi menjaju mesta, pa na osnovu prethodnog

iskaza zakljucujemo da da predmeti iz prednje zizne ravni daju paralelaln snop svetlosnih

zraka. Alternativno, obzirom da je M22 = n(1− s/f)/n′ = 0 jer je s = f , iz (51) nalazimo

da je svi izlazni zraci imaju (isti) ugao α′ = M21x = −x/f ′.

Glavne ravni su konjugovane i za njiih je uvelicanje jedinicno: iz (52)

nalazimo da ako je s = 0, onda je s′ = 0; obratno, ako je s′ = 0, onda je s = 0, sto

znaci da su ove ravni konjugovane. Kako je mx = 1− s′/f ′, sledi da je za njih mx = 1 (jer

je s′ = 0).

38

Zrak kroz centar tankog optickog sistema:∗ za zrak kroz centar sistema je

x = 0 pri prolasku ovog zraka kroz centralnu ravan, a takodje je i s = 0, pa je zbog

α′ = −x/f ′ + nn′ (1− s/f)α ispunjeno

α′ =n

n′α .

Drugim recima, centralni zrak se prelama akko je n = n′.

Karakterizacija likova na osnovu polozaja predmeta:

Opticki sistem cemo zvati sabirnim ako je f ′ > 0, odnosno rasipnim ako je f ′ < 0. Za lik

kazemo da je uspravan ako je mx = x′/x > 0, dok u suprotnom kazemo da je izvrnut.∗

Za lik kazemo da je uvecan ako je |mx| > 1, odnosno umanjen ako je |mx| < 1.

Karakteristike likova u funkciji polozaja predmeta su navedene u narede dve tabele.

∗ Podsetimo se: kod tankog optickog sistema se prednja i zadnja glavna ravan poklapaju

sa centralnom ravni.∗ Obicno se predmet postavlja kao uspravan. Preciznija formulacija uspravnog (izvr-

nutog) lika bi bila da se nalazi sa iste (suprotne) strane opticke ose.

39

Napomene:

U nastavku poglavlja dajemo par dopunskih iskaza koji nisu deo ispitnog materijala.

Uzduzno uvelicanje se definise kao dZ ′/dZ; kako je Z ′ = ff ′/Z i mx = −Z ′/f ′,

lako se nalazi da je

dZ ′

dZ=

n′

nm2

x .

Cvorne tacke: zadnja cvorna tackaN je takva tacka na osi sistema (x = 0) da za bilo

koji upadni zrak ciji pravac prolazi kroz N izlazni zrak lezi na pravcu koji sa osom zaklapa

isti ugao kao upadni i prolazi kroz tacku N ′ na osi sistema (x′ = 0) koju zovemo zadnja

cvorna tacka. Neka je sN usmereno rastojanje prednje cvorne tacke od prednje glavne

ravni, a sN ′ usmereno rastojanje zadnje cvorne tacke od zadnje glavne ravni. Obzirom da

za zrak kroz zadnju cvornu tacku mora biti x′ = 0 i α′ = α za svako α i x = 0, sledi da je

M12 = 0 i M22 = 1, odakle nalazimo da su cvorne tacke uzajamno konjugovane i da je

sN = sN ′ =n′ − n

P.

Specijalno, za n′ = n je sN = sN ′ = 0, sto znaci da se prednja cvorna tacka poklapa sa

prednjom, a zadnja cvorna tacka sa zadnjom glavnom tackom.

Opticki sistemi koji sadrze refleksione povrsi: sav formalizam ovog i prethod-

nog poglavlja se moze primeniti i na opticke sisteme sa refleksionim povrsima.

Podsetimo se da se na svakoj povrsi diskontinuiteta koja razdvaja dva homogena dela

optickog sistema sa razlicitim indeksima prelamanja zrak delimicno prelama i delimicno

reflektuje, te se tako svaki zrak koji pada na povrs diskontinuiteta grana na dva zraka

(i svaka od grana dalje razgranava na svakoj narednoj povrsi diskontinuiteta); izuzetak su

samo prave ogledalske povrsi na kojima se javlja samo reflektovani zrak.

U tekucem pristupu mi za zrake uzimamo samo pojednicne grane ne vodeci racuna o

njihovim intenzitetima. Sem u sistemima sa samo jednim pravim ogledalom, broj grana je

40

beskonacan, a mi se ogranicavamo samo na manji broj grana najveceg intenziteta. Tako bi

kod prostog sociva, pored glavne grane - zraka koji se prelama na obe povrsi sociva, mogli

da posmatramo i drugu granu - zrak koji se samo reflektuje od prednje povrsi sociva, ali i

trecu granu - zrak koji se prelama na prvoj, reflektuje od druge, pa pre izlaska iz sistema jos

jednom prelama na prvoj povrsi, itd. Naglasimo da je za posmatranu granu svaka promena

na povrsi diskontinuiteta ili prelamanje (kada se grana prelama) ili refleksija, ne i oba. Za

posmatranu granu matrica sistema se dobija proizvodom matrica svih transformacija u

grani. Zbog toga matrica sistema nije ista za sve grane.

Za grane sa parnim brojem refleksija analiza formiranja likova je vec objasnjena. Za

grane sa neparnim brojem refleksija analiza se modifikuje jedino time sto se za indeks

prelamanja na refleksionim povrsima koristi n′ = −n. Ilustrujmo ovo na primeru prostog

ogledala. Matrice sistema i refleksije prostog ogledala su jednake i iznose

S = R =

(1 0− 2

r −1

).

Obe glavne tacke se poklapaju sa temenom ogledala jer je

lH = l′H = 0

na osnovu (44) i (45). Zizne daljine su na osnovu (54) i (55) takodje jednake i iznose

f = f ′ = r/2 ,

tako da zbog (56) jednacinu ogledala mozemo pisati u obliku

1

p+

1

l= −2

r=

1

fm,

gde je p = −s usmereno rastojanje od predmeta do temena ogledala (uvek je p > 0),

l = −s′ usmereno rastojanje od lika do temena ogledala (l moze imati oba znaka; za l > 0

lik je realan, a za l < 0 imaginaran), dok je

fm = −r

2= −f = −f ′ ,

tradicionalna oznaka za ziznu daljinu ogledala; za konkavna ogledala je fm > 0 , dok

je za konveksna fm < 0 .

41

Primeri primena matricnog metoda

u geometrijskoj optici

§19) Kombinacija dva opticka sistema; dublet sociva

U ovom poglavlju cemo pokazati kako se dobijaju kardinalni elementi optickog sistema

koji je dobijen kombinacijom dva opticka podsistema poznatih karakteristika - vidi sliku

16. Indeks prelamanja ispred prvog podsistema je n, izmedju podsistema je n12, a iza

drugog podsistema je n′.

slika 16.

Neka su zizne daljine prvog podsistema f1 i f ′1 i neka je P1 = −n/f1 = n12/f

′1 opticka

moc prvog podsitema. Matrica prvog podsistema je

S1 =

(1 −l′10 1

)RS1

(1 l10 1

), (p1)

gde je

RS1 =

(1 0

− P1

n12

nn12

), (p2)

matrica prelamanja prvog podsistema, i gde je l1 = lH1 rastojanje od prednjeg temena do

prednje glavne ravni prvog podsistema, a l′1 = l′H1rastojanje od zadnjeg temena do zadnje

glavne ravni prvog podsistema.

42

Neka su analogne velicine za drugi podsistem f2, f′2, P2 = −n12/f2 = n′/f ′

2,

S2 =

(1 −l′20 1

)RS2

(1 l20 1

), (p3)

i

RS2 =

(1 0

−P2

n′n12

n′

). (p4)

Neka je d′ rastojanje od zadnjeg temena prvog podsistema do prednjeg temena drugog

podsistema (temena podsistema, kao ni rastojanje d′ nisu prikazani na slici 16). Neka je d

rastojanje od zadnje glavne ravni prvog podsistema do prednje glavne ravni drugog podsist-

ema (koje kratko zovemo rastojanje izmedju glavnih ravni podsistema), a l rastojanje od

zadnje zize F ′1 prvog podsistema do prednje zize F2 drugog podsistema.14 Vredi:

d = l2 + d′ − l′1 = f ′1 + l − f2. (p5)

Matrica celog sistema je za opisanu kombinaciju data sa

S =

(S11 S12

S21 S22

)= S2

(1 d′

0 1

)S1, (6)

i zbog (p1-p5) glasi

S =

(1 −l′20 1

)M

H′2

H1

(1 l10 1

), (p7)

gde je

MH′

2

H1= RS2

(1 d0 1

)RS1 =

(1− P1

n12d n

n12d

P1P2

n12n′ d− P1

n′ − P2

n′nn′ (1− P2

n12d)

), (p8)

matrica transformacije izmedju prednje glavne ravni prvog podsistema i zadnje glavne

ravni drugog podsistema. U daljem postupku cemo matricu MH′

2

H1faktorisati u obliku

MH′

2

H1=

(1 −lH′

2H′

0 1

)RS

(1 lH1H

0 1

), (p9)

14 Napomenimo da je prvi podsistem moguce nastaviti drugim samo ako je indeks

prelamanja n′1 (na izlasku iz prvog podsistema) isti kao indeks prelamanja n2 (na ulasku

u drugi podsistem), tj. n′1 = n2 = n12.

43

gde lH′2H

′ igra ulogu usmerenog rastojanja od zadnje glavne ravni drugog podsistema do

zadnje glavne (celog) sistema, lH1H ulogu usmerenog rastojanja od prednje glavne ravni

prvog podsistema do prednje glavne ravni (celog) sistema, dok

RS =

(1 0

− Pn′

nn′

), (p10)

igra ulogu matrice prelamanja (celog) sistema sa optickom moci P . Na osnovu (p8-p10)

nalazimo

P = P1 + P2 −P1P2

n12d, (p11)

lH1H =nP2

n12Pd, (p12)

lH′2H

′ = − n′P1

n12Pd. (p13)

Konacno, na osnovu (p7) i (p9), nalazimo i rastojanja glavnih tacaka od temena (celog)

sistema celog sistema

lH = l1 + lH1H , l′H = l′2 + lH′2H

′ . (p14)

Iz (p11) i (p5) dalje nalazimo da su opticka moc dubleta i njegova prednja i zadnja zizna

daljina su dati sa

P = −P1P2l/n12, (p15)

f =f1f2l

, (p16)

f ′ = −f ′1f

′2

l. (p17)

Formule (p16) i (p17) pokazuju da se kombinacijom dva opticka sistema umereno malih

ziznih daljina moze dobiti sistem veoma male zizne daljine koji, u skladu sa mx = 1−s′/f ′,

daje veliko bocno uvelicanje.

Dublet sociva je opticki sistem koji se sastoji od dva sociva sa rastojanjem d izmedju

glavnih ravni. Svi iskazi za kombinaciju dva opticka sistema se odnose na dublet sociva.

44

§20) Lupa

Lupa je sabirno socivo koje daje uvelican (i imaginaran) lik pogodno postavljenih

predmeta. U najjednostavnijem slucaju o kojem cemo ovde govoriti, lupa se sastoji iz

jednog prostog, tankog i sabirnog sociva.∗

Lupa se upotrebljava na dva nacina: kao prosti mikroskop i kao staklo za citanje. U

prvom se oko posmatraca postavlja neposredno iza lupe, a predmet izmedju prednje zize

i prednjeg temena - slika 17.

slika 17. Lupa kao prosti mikroskop. Oko posmatraca je neposredno iza lupe.

Neka je p rastojanje od predmeta do lupe, a l rastojanje od lika do lupe; za predmet

izmedju prednje zize i lupe obe ove velicine su pozitivne. Centralni zrak kroz vrh predmeta

P prolazi i kroz vrh lika P ′ te tacke. Stoga se obe tacke, P i P ′, vide pod istim

centralnim uglom

α =x

p=

x′

l,

gde su x i x′ visina predmeta i lika, respektivno.

Centralni ugao α0 pod kojim se isti predmet vidi bez lupe je tim veci sto je manje

rastojanje izmedju oka i predmeta. Neka je s0 daljina jasnog vida - najmanje rastojanje

objekta od oka na kojem posmatrac vidi objekat jos uvek jasno; daljina jasnog vida nije

∗ Postoje i lupe koje su slozena sociva sastavljena iz takve kombinacije prostih sociva

da se dobije veci ugao vidljivosti i to bez aberacija, posebno hromatske aberacije.

45

ista za sve posmatrace i njena prosecna vrednost je s0 =25cm.15 Sledi da je centralni ugao

pod kojim se vidi predmet bez lupe maksimalan na daljini jasnog vida i iznosi

α0 =x

s0.

Za ljudsko oko je lik predmeta uvelican ako je centralni ugao α pod kojim se vidi lik

(kroz lupu) veci od maksimalnog centralnog ugla α0 pod kojim bi se isti predmet jasno

video bez lupe. Iz navedenog razloga uvelicanje lupe se definise kao

ml ≡α

α0.

Uz pomoc prethodnih definicija i jednacine (56) za formiranje likova∗ nalazimo da je

uvelicanje lupe

ml =s0f ′ +

s0l.

15 Covecije oko predstavlja slozen opticki sistem koji moze da se prilagodjava predmetu

posmatranja. Misici oka usmeravaju oko tako da lik posmatranog predmeta pada u pravcu

tzv. zute mrlje i istovremeno prilagodjavaju debljinu ocnog sociva tako da se lik predmeta

formira bas na zutoj mrlji (a ne ispred ili iza); ova akomodacija oka ima svoje granice tako

da ako je predmet preblizu oko nije u stanju da se dovoljno ispupci da bi formiralo lik na

zutoj mrlji. Zato za svako oko postoji donja granica rastojanja predmeta od oka na kojoj

je predmet jos uvek jasno vidljiv i ona se zova daljina jasnog vida. Daljina jasnog vida se

razlikuje od coveka do coveka, a za istog coveka se povecava sa njegovom staroscu. Tako

je prosecna vrednost daljine jasnog vida deteta oko 7cm dok je kod sezdesetogodisnjaka

oko 60cm. Prosecna vrednost daljine jasnog vida (usrednjena po celokupnoj populaciji)

se uzima da iznosi 25cm. Predmet se najbolje vidi kada se nalazi na daljini jasnog vida

zato sto se on tada, sa jedne strane, jasno vidi a sa druge je ugao pod kojim ga vidimo

maksimalan.∗ Zbog p = −s i l = −s′ jednacina (56) za lupu glasi 1/p− 1/l = 1/f ′ .

46

Obzirom da je l ≥ s0, sledi da je

s0f ′ ≤ ml ≤

s0f ′ + 1 .

Kada se lupa koristi za citanje njeno rastojanje a od oka je konacno, slika 18. Ugao

pod kojim se vidi lik je αa = x′/b odakle, koristeci x′/x = 1+ l/f ′ = 1+(b−a)/f ′, slicnim

postupkom nalazimo da je uvelicanje

ml =αa

α0=

s0f ′ +

s0b

− s0a

f ′b.

Uvelicanje je maksimalno kada je lik na daljini jasnog vida od oka (b = s0); tada je

ml =αa

α0=

s0f ′ + 1− a

f ′ ,

odakle za a = 0 (ponovo) dobijamo uvelicanje za lupu postavljenu neposredno uz oko.

slika 18. Lupa na konacnom rastojanju od oka.

47

§21) Mikroskop

Mikroskop je opticki instrument pomocu kojeg se ostvaruje veliko uvelicanje lika.

Principijelna shema slozenog optickog mikroskopa je prikazana na slici 19.

slika 19.

Osnovni delovi optickog mikroskopa su dva sabirna sociva objektiv i okular;∗ objektiv

daje uvelican i izvrnut realan lik (tzv. intermedijarni lik) koji predstavlja predmet za okular

i koji se nalazi (prakticno) u prvoj ziznoj ravni okulara. Okular je u osnovi lupa pomocu

koje se gleda lik dobijen objektivom; okular daje imaginaran i uvelican lik. U primeru sa

slike 19 je uzeto da su zizne daljine objektiva f ′1 i okulara f ′

2 jednake i da iznose 16mm, pri

cemu usmereno rastojanje od druge zize objektiva do prve zize okulara iznosi l = 160mm.

Objektiv i okular formiraju dublet sociva zizne daljine f ′ = −1.6mm, vidi (p17); ras-

tojanje izmedju prve glavne ravni mikroskopa i objektiva (posmatranog kao tanko socivo),

na osnovu (p12), iznosi lH1H = −19.2mm dok je usmereno rastojanje od okulara do druge

∗ Objektiv i okular su obicno slozeni sabirni opticki sistemi koji otklanjaju razne nedos-

tatke (prostih) sociva.

48

glavne ravni mikroskopa lH′2H

′ = 19.2mm. Da bi se predmet jasno video usmereno ras-

tojanje od zadnje zize mikroskopa do predmeta mora biti |Z ′| ≥ 250mm, odakle na osnovu

ZZ ′ = ff ′ dobijamo da je usmereno rastojanje od prednje zize mikroskopa do predmeta

|Z| ≤ 0.01024mm, tj. predmet se mora nalaziti u prednjoj ziznoj ravni mikroskopa.

Za uvelicanje mikroskopa se uzima (standardno bocno) uvelicanje

mm ≡ x′

x, (p22)

gde su x i x′ visine predmeta i njegovog lika, vidi deo slike 19 sa okom. Obzirom da je

mm =x′

x=

x′

xi· xi

x

gde je xi visina intermedijarnog lika, vidimo da je

mm = me ·mo , (p23)

tj. uvelicanje mikroskopa je proizvod uvelicanja okulara i objektiva, me i mo.

Posto je uvelicanje okulara (eyepiece)

me =x′

xi≈ s0

f ′2

, (p24)

(jer se lik finalni lik nalazi na rastojanju jasnog vida s0 od oka a intermedijarni lik u

prednjoj zizi okulara F2), i posto je uvelicanje objektiva

mo =xi

x≈ l1

p1≈ l

f ′1

, (p25)

(jer se intermedijarni lik nalazi na rastojanju od objektiva l1 ≈ l, dok se predmet nalazi uz

prednju zizu mikroskopa koja je blizu prednje zize objektiva F1 pa je rastojanje predmeta

od objektiva p1 ≈ f ′1), nalazimo da je uvelicanje mikroskopa dato pribliznom formulom

mm ≈ s0l

f ′1f

′2

, (p26)

sto u nasem primeru iznosi mm ≈ −156.

49