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Introduccion Definicion Propiedades Asıntotas
Universidad Tecnologica Nacional
Facultad Regional Concordia
Ingenierıas Civil, Electrica e Industrial
Mario Alvarez
Unidad 2 - Lımite en funciones escalaresBibliografıa sugerida: Rabuffetti, Cap. 4; Salas, Cap. 2; Larson, Cap. 1
Primer cuatrimestre 2016Mario Alvarez Unidad 2 - Lımite en funciones escalares Bibliografıa sugerida: Rabuffetti, Cap. 4; Salas, Cap. 2; Larson, Cap. 1
Universidad Tecnologica Nacional
Introduccion Definicion Propiedades Asıntotas
Indice
Introduccion
Definicion
Propiedades
Asıntotas
Mario Alvarez Unidad 2 - Lımite en funciones escalares Bibliografıa sugerida: Rabuffetti, Cap. 4; Salas, Cap. 2; Larson, Cap. 1
Universidad Tecnologica Nacional
Introduccion Definicion Propiedades Asıntotas
Exploracion al concepto de lımite
Consideremos la siguiente funcion: f(x) = 2x2+x−62x−3 . ¿Cual es su
comportamiento ”cerca” de x = 1,5?
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Definicion informal
Supongamos que f(x) esta definida en un intervalo abierto quecontiene a x = c, excepto posiblemente en x=c. Si f(x)esta arbitrariamente cerca de L (tan tan cercano como queramos)siempre que x este suficientemente cerca al valor x = c,excepto en x = c, se dice que f se aproxima a L cuando x tiendea x = c, y se escribe
lımx→c
f(x) = L
Se lee ”el lımite de f(x) cuando x tiende a c es L”.Ejemplos. . .
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Introduccion Definicion Propiedades Asıntotas
Definicion informal
La definicion antes dada es ”informal” porque las frasesarbitrariamente cercana y suficientemente cerca no son precisas (susignificado depende del contexto).Pensemos en que cuando decimos ”x esta cerca de c, exceptoposiblemente en c” estamos diciendo que 0 < |x− c| < δ para un δconsiderado.De igual manera, al decir que ”f(x) esta arbitrariamente cerca deL” lo expresamos de igual forma escribiendo que |f(x)− L| < εpara un epsilon dado
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Otro ejemplo de exploracion
¿Como se comporta la siguiente funcion cuando x esta cerca de 3?Dirıamos, aun informalmente, que existe el lımite de la funcionpara este comportamiento de la variable?
f(x) =|x− 3|x− 3
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Definicion formal
Definicion (Lımite finito)
Cuando escribimos que lımx→c f(x) = L lo que queremos decir eslo siguiente (formalmente, sin subjetividades):para todo E(L, ε) existe al menos un E′(c, δ) tal que se cumpleque:
si x ∈ E′(c, δ) =⇒ f(x) ∈ E(L, ε)
¿Como mas se podrıa escribir esta definicion?¿Como se usarıa para formalizar que lımx→3 2x− 5 = 1?
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No existencia de lımiteEjemplo
Probar para la siguiente funcion f que no existe el lımite para
c ∈ R: f(x) =
{1 si x ∈ Q0 si x ∈ I
Teorema
Si lımx→c f(x) = L con L 6= 0 y lımx→c g(x) = 0 entonces
lımx→cf(x)g(x) no existe.
Ejemplo
Probar para la siguiente funcion f que no existe el lımite parax = 3: f(x) = x+ 1
x−3 + 1
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Equivalencias usuales de la definicion
Teorema
lımx→c f(x) = L ⇔ lımx→c(f(x)− L) = 0 ⇔lımx→c |f(x)− L| = 0 ⇔ limh→0(f(c+ h)) = L
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Lımites laterales
Definicion (Lımite lateral por izquierda)
Sean f una funcion definida al menos en un intervalo de la forma(c− h, c) con h > 0.Diremos que lımx→c− f(x) = L (y se lee L es el lımite de f(x)cuando x se acerca a c por izquierda, y se lo denomina ”lımitelateral izquierdo de f(x)”), si para cada ε > 0 existe un δ > 0 talque si c− δ < x < c entonces |f(x)− L| < ε.
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Lımites laterales
Definicion (Lımite lateral por derecha)
Sean f una funcion definida al menos en un intervalo de la forma(c, c+ h) con h > 0.Diremos que lımx→c+ f(x) = L (y se lee L es el lımite de f(x)cuando x se acerca a c por derecha, y se lo denomina ”lımitelateral derecho de f(x)”), si para cada ε > 0 existe un δ > 0 talque si c < x < c+ h entonces |f(x)− L| < ε.
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Lımites laterales
Teorema
lımx→c
f(x) = L⇔[
lımx→c−
f(x) = L ∧ lımx→c+
f(x) = L
]
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Actividad
Probar, aplicando la definicion, los siguientes lımites. Luegoexplorar numericamente, si corresponde, con algun valor: