Usavršavanje Borovog modela...• Element luka orbite ds u polarnom koordinatnom sistemu je: • Energija elektrona koji se kre će po elipti čnoj putanji u polju Kulonove sile je:

Usavršavanje Borovog modela

Wilson-Sommerfeld’ova pravila kvantovanja:

Za svaki fizikalni sistem u kojem su koordinate per iodi ččččne funkcije vremena, postoji kvantni uslov za svaku od tih koor dinata.

Ti kvantni uslovi su slijede ćććći:

hndqp qq ====∫∫∫∫

:

:

:

:

q

n

qp

q

q

q

∫∫∫∫

Jedna od koordinata (generalisana koordinata)

Generalisani impuls generalisane koordinate

Kvantni broj

Integracija se vrši preko jednog perioda koord.

Odakle dolaze:

Bohr’ovo pravilo kvantizacije momenta impulsa elektrona? mvr=nh/2ππππ

Planck’ovo pravilo kvantizacije energije elektromagnetnog zračenja? E=nhνννν

Generalizacija za periodične sisteme:

Vilson-Sommerfeldova pravila kvantovanja

Generalisana koordinata i impuls

• Generalisane koordinate i impulsi predstavljaju koordinate tzv. faznog prostora.

ll

dqq

dt=ɺGeneralisana brzina

Kl

l

Ep

q

∂=

∂ ɺGeneralisani impuls

Vilson-Sommerfeldova pravila kvantovanja

Pokazaćemo na primjerima da ova pravila vrijede za neke nama poznate periodične sisteme

1. Linearni harmonijski oscilator (LHO)2. Kružno kretanje u polju centralne sile- rotator (elektron koji se kreće

oko jezgra)

Primjer 1: Jednodimenzionalni prosti harmonijski oscilator

2 2

sin

cos

2 2K

x A t

dxx A t

dt

mv mxE

ω

ω ω

=

= =

= =

ɺ

ɺ

Kx

Ep mx

x

∂= =

∂ɺ

ɺ

x je generalisana koordinata

2 2 2cos cos cos

x x

x

p dx n h

p dx mA t A tdt m A tdtω ω ω ω ω ω

=

= =

∫

∫ ∫ ∫

�

� � �


• Ukupna energija LHO je (k=mω2):

( ) ( )

( )

2 22 22

2 2 2 2 22 2

1cos sin

2 2 2 2

cos sin2 2 2

K P

mx kx mE E E A t m A t

m A m A kAt t

ω ω ω ω

ω ωω ω

= + = + = + =

= + = =

ɺ

2

22 2

0

2 cos

1cos cos

2

2

x

x x

p dx E tdt

ttdt dd

dt

Ep dx n h nh

nhE nh

π

ω

ω θπω θ θθ ω ω

ωπω

ω νπ

⇒

=

== = =

=

= = =

⇒

= =

∫ ∫

∫ ∫

∫

� �

�

�

Primjer 1: Jednodimenzionalni prosti harmonijski oscilator - geometrijska interpretacija

2

2

2 22 2

2 2

2 2

( )( ) cos sin ( )

( )( ) cos

( ) ( ) 2

12 2 2 2 /

1 2 2 /

2 2 / 2 /

/

za ,

x xK P

x

x

x

dx tx t A t A t v t

dtdv t

a t A tdt

kF a t m kx t m k

m

p pkx xE E E

m mE E k

p xb mE a E k

b a

p dx ab mE E k E

E n h nh

ω ω ω

ω ω

ω ω πν

π π π ω

ν

= ⇒ = − =

⇒ = = −

⇒ = = − ⇒ = ⇒ = =

= + = + ⇒ + =

+ = = =

= = =

= = = ⇒

∫�E nhν=

( 1) ( ) ( 1)

0 0 kontinuirana energija

E E n E n n h nh h

h E

ν ν ν∆ = + − = + − =→ ⇒ ∆ →

Površina elipse je πab

Jednačina elipse

Fazni dijagram

• E=nhν- ovo nam je poznata formula koju je Planck koristio pri izvoñenju zakona zračenja ACT kao i Einstein u foto-električnom efentu

• U njihovim proračunima je kao model služio harmonijski oscilator

• Dakle W-Z pravila rade


Primjer 2: Kvantizacija momenta impulsa za Bohr’ov atom

2

02

22

2

2

p d n h Ld L d L

nhL nh L n

nhL mvr pr n

hmvr n

π

θ θθ θ θ π

ππ

π

π

= ⇒ = =

⇒ = ⇒ = =

⇒ = = = =

=

∫ ∫ ∫

ℏ

ℏ

� �

Elektron koji se kreće po kružnoj orbiti ima moment količine kretanja L=mvr koji je konstantan(pošto se radi o centralnoj Kulonovoj sili, moment sile je nula, odakle sedobije da je moment količine kretanja konstantan). Uzećemo za generalisanu koordinatu ugao ϑ koji se za jedan period promijeni od 0 do 2π.

Poznati Borov uslov kvantiziranja momenta impulsa

mr

Generalisani impuls je:2 2 2 2 2

2 2

2 2 2KE mv mr mr

p mr mr mrv Lθω θ θ ω

θ θ θ θ∂ ∂ ∂ ∂= = = = = = = =∂ ∂ ∂ ∂

ɺɺ

ɺ ɺ ɺ ɺ

Pravilo kvantizacije:

De Broglievi stoje ći talasi

Fizikalnu interpretaciju Borovog pravila kvantizacije momenta impulsa dao jede Broglie 1924. godine.

On je pretpostavio da se i česticama može pridružiti talas odgovarajuće valne dužine.

Ranije smo uveli foton čiji je impuls p=hν/c=h/λPrema tome je valna dužina fotona λ=h/p

De Broglie je predložio da je gornja jednačina opšta tj. da se može primijeniti i na čestice materije, u ovom slučaju elektrone u atomu

2 , 1, 2,3...2

de Broglieva valna dužina

h hp

p

h nhr r n n

λλ

π λλ π

⇒ = ⇒ =

⇒ = ⇒ = =

Prema ovome dozvoljene orbite su one čiji obim (2πr) je jednak cijelom broju de Broglievih valnih dužina

1

20

0

4

4

re hv

e mmr

πελπε

= ⇒ =

Ovo znači da ukoliko svjetlost ima dokazano čestičnu i valnu prirodu, mogli bismo očekivati da i druge čestice posjeduju tu dvostruku prirodu.

To znači da bi kretanje elektrona u orbiti oko jezgra vodonikovog atoma moglo biti analogno vibracijama žice koja ima oblik kružnice.

λ=h/p=h/mv

Za elektron koji kruži oko jezgra iz jednakosti centripetalne i Kulonove sile dobija se brzina elektrona:

Kada se r1=0,53 *10-10 m (1. Borova orbita) uvrsti u λ, dobije se λ=33*10-11 m

Obim 1. Borove orbite je 2πr1=2*3,14*0,53*10-10 m=33*10-11 m tj.

Orbita elektrona u atomu vodika odgovara jednom kompletnom elektronskom talasu čiji su početak i kraj u jednoj tački, a koja je ustvari stojeći talas ravne žice čvrsto ukliještene u oba kraja

12 1 ,rπ λ= ⋅

de Broglievi stojeći talasi

Kod idealno elastične kružne žice brojtalasnih dužina po obimu kruga je jednak cijelom broju talasnih dužinakoje se nadovezuju jedna na drugu.

Sad ima smisla i pretpostavka da elektron može kružiti oko jezgra bezzračenja energije. Ako elektronske orbite sadrže cijeli brojvalnih dužina, znamo da kod stojećih valova izmeñu čvorova nema razmjeneenergije jer su čvorovi uvijek nepokretni,a energija je “zarobljena” izmeñu njih

Stabilne orbite

2 nr nπ λ= n-cijeli broj talasnih dužina na orbiti

1

20

1

20

22 0

2

4

42

, 1, 2,3....

n

nn

n

rh

e m

rhr n

e m

hr n n

me

πελ

πεπ

επ

= ⇒

= ⇒

= =

Dobili smo identičan izraz za radijus orbita Borovog atoma vodika

Elipti čni model atoma- Sommerfeldov model

• Primjena Borovog modela na složenije atome nije moguća• Potreba za dodatnim uslovima kvantovanja• Iz Wilson-Sommerfildovih pravila kvantovanja slijedi da u fizikalnom

sistemu u kojem su koordinate periodične funkcije vremena postoji onoliko kvantnih uslova koliko ima nezavisnih koordinata tj. stepeni slobode

• Kretanje po krugu- jedna koordinata (jedan kvantni uslov), kretanje po elipsi- dvije koordinate (dva kvantna uslova)

• Kružne orbite u Borovom modelu- specijalan slučaj opštijeg modela eliptičnih orbita kao kod planeta

• Za opisivanje ovog kretanja pogodan je polarni koordinatni sistem


• Važna primjena W-S pravila kvantovanja je slučaj atoma vodika gdje se pretpostavlja da se elektron kreće po eliptičnim, a ne po kružnim orbitama

• Ovo je primijenio Sommerfeld u cilju objašnjenja tzv. fine strukture tj. cijepanja spektralnih linija koji je primijećen u atomima

• Te linije su jako blizu jedna drugoj što mora značiti da ono za šta smo mislili da je jedno energetsko stanje se sastoji od nekolikostanja

• Za opisivanje eliptičnog kretanja pogodan je polarni koordinatni sistem

• Element luka orbite ds u polarnom koordinatnom sistemu je:

• Energija elektrona koji se kreće po eliptičnoj putanji u polju Kulonove sile je:

cos

sin

x r

y r

ϕϕ

==

2 2 2 2ds dr r dϕ= +

( )22 2 2 2

2 2 2

0 0 02 4 2 4 2 4K P

mv Ze m ds Ze m ZeE E E r r

r dt r rϕ

πε πε πε = + = − = − = + −

ɺɺ


• Generalisane koordinate su r i ϕ, a generalisani impulsi pr i pϕ:

• Prema Wilson-Sommerfeldovim pravilima kvantovanja:

2

Kr

K

Ep mr

rE

p mrϕ ϕϕ

∂= =

∂∂

= =∂

ɺɺ

ɺɺ

r rp dr n h

p d n hϕ ϕϕ

=

=

∫

∫

�

�

radijani kvantni uslov

azimutalni kvantni uslov

nr i n ϕϕϕϕ su radijalni i azimutalni kvantni broj


• Kad uvrstimo izraze za generalisane impulse, energija sistema je:

• Iz izraza za energiju se može dobiti radijalni generalisani impuls kao:

2 22

20

1

2 4r

p ZeE p

m rrϕ

πε

= + −

122 2

20

22

4r

pZmep mE

r rϕ

πε

= + −


• Nañimo prvo azimutalni kvantni uslov:

2

2

0

.

2

p d n h

p mr const

p d p n h p n

ϕ ϕ

ϕ

π

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ π

=

= =

= = ⇒ =

∫

∫

ɺ

ℏ

�

Pošto se radi o centralnoj sili, kao i ranijemoment sile je nula pa je moment impulsakonstantan

Uvrštavajući izraz za pϕ u radijalni generalisani impuls i primjenjujućiradijalni kvantni uslov dobijamo:

12 22 2

20

22

4 r

nZmemE dr n h

r rϕ

πε

+ − = ∫

ℏ

�


Izračunavanjem gornjeg integrala (provjeriti!) dobija se:

Ovaj izraz je identičan izrazu za energiju elektrona na n-toj kružnoj orbiti koji smo ranije dobili u Borovoj teoriji, osim što je umjesto broja n sad u izrazu broj nθ+nr.. Dakle vrijedi relacija:

n= nϕ+nr

n=1,2,3,....- glavni kvantni broj Vrijednosti brojeva nϕ i nr se dobiju iz nϕ=1,2,3,....- azimutalni kvantni broj uslova kretanja po eliptičnoj putanji nr=0,1,2,3,...- radijalni kvantni broj (pokazati na vježbama)

( ) ( )2 4

22 204 2 r

mZ eE

n nϕπε= −

+ℏ



• Za veliku i malu poluosu elipse se dobiju vrijednosti (pokazati na vježbama):

2

1

1

na r

Zn n

b rZϕ

=

=

r1 je Borov radijus

20

1 2e

hr

m e

επ

=

• Ako je n=1, onda je nϕ=1, a nr=0- kretanje po kružnici tj. dobiju se iste vrijednosti za malu i veliku poluosu elipse (a=b=r1)

• Ako je n=2 onda može biti nϕ=2, nr=0 (a=4r1, b=4r1)• ili nϕ=1, nr=1 (a=4r1, b=2r1)• Ove dvije mogućnosti daju različite putanje elektrona

• Za n=3 postoje tri različite mogućnosti itd.

• Pošto energija zavisi samo od glavnog kvantnog broja n, vidimo da za istu energiju imamo više mogućih putanja elektrona (različito nϕ)


• Jednoj energiji odgovara više različitih orbita

• Stanja sa istom energijom, a razli čitim putanjama zovu se degenerisana stanja .

• Stanje n=2 je dvostruko degenerisano, stanje n=3 je trostruko degenerisano itd.


Napomena: na slici je broj nϕ označen kao nθ

Sommerfeld’ov model� Sommerfeld je “otklonio” degeneraciju tako što je problem treti rao relativisti čki .

2

2 4

/ 10

( / ) 10 (eV) cijepanje nivoa

v c

E v c

−

−

≈⇒ ∆ ∝ ≈

2 4 2 2

2 2 20

2

0

1 3[1 ( )]

4(4 ) 2

1 1

4 137 konstanta fine strukture

Z e ZE

n n nn

e

c

ϕ

µ απε

απε

= − + −

= ≈

ℏ

ℏ

Za elektron u atomu hidrogena ako je orbita veoma eliptična brzina postaje relativistička

Korekcija energije tada odgovara redu veličine cijepanja nivoa hidrogena

Ukupna energija elektorna na orbiti gdje je µ- redukovana masa elektrona(kad se uzme u obzir i masa jezgra)

Prelazi označeni iscrtakim linijama nisu uočeni eksperimentalno

Selekciono pravilo :1nϕ∆ = ±

Mogući prelazi

Napomena: na slici je broj nϕ označen kao nθ

Prostorno kvantovanje

• Do sada smo posmatrali kretanje elektrona samo u jednoj ravni pokružnoj ili eliptičnoj putanji što je definisano glavnim kvantnim brojem n i azimutalnim kvantnim brojem nϕ (koji kao što smo vidjeli odreñuje oblik orbita)

• Meñutim ako uzmemo da se elektron kreće u prostoru, moramo mu pridružiti i treću koordinatu.

• Drugim riječima orbitale imaju različite orijentacije u prostoru, što je takodje kvantizirano kretanje definisano novim kvantnim brojem, koji se naziva se magnetski kvantni broj- (proučavanjem uticaja magnetskog polja na atomske spektre došlo se do zaključka da ravni u kojima leže orbite elektrona ne mogu imati proizvoljne položaje u prostoru)

• Utvrñivanje dozvoljenih položaja u prostoru je izvršeno procesom tzv. prostornog kvantovanja prema Wilson-Sommerfeldovim uslovima


• Koordinatni sistem –sferni odreñen sa tri koordinate r, θ ψ

Neka je vertikalna Z osa orijentisana duž vanjskog magnetnog polja

Položaj elektrona A u prostoru odreñujutri koordinate: radijus vektor r,Polarni ugaoθ i Ekvatorijalni ugao ψUgao BJA je kao i ranije ϕ


• Intenzitet momenta količine kretanja pψ predstavlja projekciju momenta količine kretanja pϕ na vertikalnu tj. magnetnu osu Z pa vrijedi:

• Uslovi kvantovanja:

cosp pψ ϕ α=

r rp dr n h

p d n h

p d n h

ψ ψ

θ θ

ψ

θ

=

=

=

∫

∫

∫

�

�

�


• Kinetička energija elektrona u sfernim koordinatama je:

• Ukupna energija elektrona je:

( )2 2 2 2 2 2sin2K

mE r r rθ θψ= + +ɺ

22 2 2

2 2 20

1 1 1

2 4sinK P r

ZeE E E p p p

m rr rθ ψ πεθ = + = + + −

• Moment centralne Kulonove sile je nula pa slijedi da je pϕ=const. Tada je i generalisani impuls pψ=const. jer je

cosp pψ ϕ α=

2

0

2

2

p d n h p d p

hp n n

π

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

ψ ψ π

π

= = =

= =

∫ ∫

ℏ

�

Relacija povezuje ugaoni momenat pϕ sa njegovomprojekcijom na Z osu

Ranije smo dobili 2

hp n nϕ ϕ ϕπ

= = ℏ

⇒ cosn

nψ

ϕ

α =


Znamo da je

-1≤ cosα ≤ 1 -nϕ≤ nψ ≤n ϕ

Pošto je nϕ=1,2,3,.... onda su moguće vrijednosti nψ=0, ±1,±2, ±3,.... ±nϕ

nψψψψ se zove magnetni kvantni broj i odreñuje moguće položaje elektronske orbite u prostoru

Prostorno kvantovanje kao rezultat daje da su mogući samo oni položaji elektronske orbite u prostoru čije su projekcije pψ vektora momenta količine kretanja na vertikalnoj magnetnoj osi Z jednake cjelobrojnom umnošku konstante ћ:

⇒

p nψ ψ= ℏ


• Primjer



• Ova otkrića (Borov model atoma i pravila kvantovanja) vodila su do razvoja moderne kvantne mehanike Često se zovu i “stara kvantna teorija” koja je u suštini klasična teorija uz dodatak pravila kvantizacije i dualne prirode makroskopskih objekata

• Stara kvantna teorija je imala dosta uspjeha u objašnjenju raznih fenomena, a jedan od najvećih su kvantizirane vrijednosti energije koje su potvrñene eksperimentalno ili npr. toplotni kapacitet čvrstih tijela na niskim temperaturama

• Ipak, mnogi aspekti fizike, uglavnom za sisteme sa više elektrona ostali su neobjašnjeni

Kritika stare kvantne teorije

(1) Wilson-Sommerfeld’ova kvantizacija se koristi samo za periodi čni sistem

(2) Može se koristiti za ra čunanje dozvoljenih stanja, ali ne može da se koristi za ra čunanje brzine prelaza .

(3) Ona je uspješna samo za sisteme sa jednim elektr onom, a sasvim neupotrebljiva za sisteme sa dva ili više el ektrona .

(4) Cijela teorija nije konzistenta

1925. godine E. Schrdinger razvija kvantnu mehanikuRazlikuje se od stare kvantne teorije gdje se elektroni kreću po dobro definiranimorbitamaIpak stara kvantna teorija se još uvijek upotrebljava kao prva aproksimacija tačnijemoderne kvantne mehanike jer daje dobre rezultate sa manje komplikovanimmatematičkim aparatom

Takoñe omogućava da se bolje vizualizira proces koji se teško može vizualiziratina jeziku kvantne mehanike koji je dosta apstraktan

Usavršavanje Borovog modela...• Element luka orbite ds u polarnom koordinatnom sistemu je: • Energija elektrona koji se kre će po elipti čnoj putanji u polju Kulonove sile je:

Documents