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UNIVESIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
UNIDAD AJUSCO
PEDAGÓGIA
El RAZONAMIENTO PROPORCIONAL EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA: UN
ESTUDIO
CON ALUMNOS DE 6° GRADO EN UNA ESCUELA PÚBLICA DEL DISTRITO
FEDERAL
TESIS
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENDIADO EN PEDAGÓGIA
PRESENTA:
SARAI ALVARADO CARRILLO
DIRECTORA DE TESIS: DRA. CRISTIANNE M. BUTTO ZARZAR
MÉXICO D.F. 2011
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Resumen
Los problemas de razonamiento proporcional representan una
dificultad para la mayoría de los
estudiantes de educación básica, a pesar de que este contenido
matemático forma parte de los planes y
programas de estudio de la Secretaria de Educación Pública
(SEP), los estudiantes enfrentan una serie de
dificultades, que se derivan, en parte, de las dificultades que
los alumnos tienen con los problemas de
estructura multiplicativa. Por otro lado, el razonamiento
proporcional ha sido uno de los temas más
investigados en los campos de la psicología y de la educación
matemática, por ejemplo, el trabajo de
Lesh y Cramer, citado en Gómez (1996), considera que este
contenido matemático es el cimiento del
álgebra y una síntesis de la aritmética. Piaget, citado en Gómez
(1996) señala que este contenido
requiere de varios momentos o etapas de aprendizaje para que el
niño lo desarrolle, En el campo
educativo, Noelting (1980), citado en Butto (2005), estudia el
razonamiento proporcional con problemas
de comparación numérica (jugo de naranja y agua para preparar
dos bebidas con el mismo o con
diferente sabor de naranja). Entre los estudios sobre desarrollo
de estrategias de resolución de problemas
se pueden destacar los de Richard y Briars (1992, citados en
Maza 1991), cuyo análisis sobre la
construcción de secuencias numéricas corrobora las deducciones
de Piaget, en cuanto a la etapa en que
se adquiere el razonamiento proporcional en el desarrollo del
niño, por ejemplo; Piaget menciona que el
razonamiento proporcional se adquiere en el estudiante a partir
de los 12 años, al alcanzar la etapa de las
operaciones formales y ya que estos autores eran seguidores de
Piaget; estos consideraban la
construcción de las secuencias numéricas como un proceso de
diferenciación de las palabras dentro de la
propia secuencia y de construcción de las relaciones entre las
mismas, es decir, destacan el hecho de que
el recuento de las palabras era tardío y que además este
recuento va muy relacionado con los problemas
de adición, pero con marcada influencia en los problemas
multiplicativos. El objetivo del estudio fué
identificar las dificultades que los alumnos de sexto grado de
educación básica enfrentan en la
resolución de problemas que involucren el razonamiento
proporcional. El marco teórico se fundamenta
en las aportaciones de Vergnaud (1991); este autor propone
estudiar los contenidos matemáticos a partir
de dos tipos de problemas; los de estructura aditiva y de
estructura multiplicativo. En esta tesis se hizo
referencia a los problemas de estructura multiplicativa. La
metodología del estudio fue de tipo
descriptivo, explicativo y el corte del estudio fue de tipo
cualitativo. Las etapas del estudio fueron dos:
aplicación de un cuestionario diagnóstico sobre razonamiento
proporcional, y una entrevista clínica
individual. Los resultados del estudio revelaron dificultades
con los problemas de razonamiento
proporcional, principalmente los problemas que involucraban
proporcionalidad geométrica y variación
proporcional.
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Agradecimientos
AL CREADOR
Por darme la oportunidad de vivir esta experiencia. Por
conservar mi vida. Por hace de mi la persona que soy, pero sobre
todo: Por permitir mi superación personal y profesional.
.
A la doctora Cristianne:
Por dejar en mí su legado, por compartir su conocimiento, por su
dedicado esfuerzo y esmero trabajo. Por su constante e
imprescindible enseñanza. Por su infinita paciencia.
A LA MEMORIA DE MI PADRE:
Con amor, cariño, gratitud y respeto. Por su valioso esfuerzo,
por sus Sabios consejos y apoyo incondicional.
A LOS PROFESORES
EPIFANIO MARTINEZ RODRIGUEZ y ALFREDO SALAZAR DUQUE
Por su dedicación, tiempo y espacio Ofrecido a este.
-
Pág.
ÍNDICE
Resumen
Introducción…………………………………………………………………………1
Capítulo I. El razonamiento proporcional: revisión de
literatura………………….7 1.1 Estudios de demanda cognitiva
………………………………………………………………9 1.2 Estudios concernientes al campo
educativo …………………………………..…………….14
1.2.1 Estudios en desarrollo de
estrategias…………………………………………………..21
1.2.1.1 Estrategias de resolución de
problemas……………………………….…………21
1.3 Resolución y clasificación de problemas
aritméticos…………………………..………….....26
1.3.1 Fases en la resolución de problemas
aritméticos……………………………………….27
1.3.2 Factores que influyen en la resolución de problemas
aritméticos……………………...30
1.3.3Resolución de problemas de estructura
multiplicativa…………………………..…......31
1.4 Aportaciones de la revisión de literatura a esta
tesis…………………………….…………...38
Capítulo II. Enfoque teórico pedagógico del razonamiento
proporcional en el plan y programa
de estudio de educación primaria 2009
2.1 Finalidad de la educación
Básica…………………………………………………………….40
2.1.1 Perfil de egreso………………………………………………………………………... 40
2.1.2 Características de planes y programa de estudio
……………………………………...41
2.2 Mapa curricular de matemáticas en la educación
básica……………………………………..43
2.3 Propósitos de las matemáticas de la educación
básica………………………………………43 2.4 Metodología didáctica del programa de
estudio 2009…………………………………….....44 2.5 Las matemáticas de la
educación básica primaria……………………………………………….46 2.5.1 Propósitos de
las matemáticas en el programa 2009…………………………………46
2.5.2 Enfoque de las matemáticas en el programa
2009…………………………………... 47
2.5.3 Organización del programa de estudio
2009………………………………………... 48
2.5.4 Bloques y aprendizajes esperados en las matemáticas en los
programa 2009……… .50
2.5.5 Competencias a desarrollar en el programa de matemáticas
2009 …………………..50
2.5.6 La evaluación de las matemáticas en el plan y programa de
estudios………………..51
2.6 El Plan de Estudios y la
proporcionalidad…………………………………………………..52
2.6.1La proporcionalidad en los ejes temático del plan y
programa de estudios2009…….....52
2.6.2 El razonamiento proporcional en los programas de
6°………………………………...56
2.6.2.1 Tipos de variación proporcional en los programas de
estudio……………………..57
Capítulo III. Marco teórico
3.1 La teoría de los campos
conceptuales………………………………………………………...58
3.2 La estructura multiplicativa como campo
conceptual………………………………………..59 3.3 Problemas de estructura
multiplicativa……………………………………………………….59
3.3.1 Clases de problemas de estructura
multiplicativa……………………………….……...62
3.3.1.1 Representación gráfica de la estructura de proporción
simple……………….…….62
3.3.1.2 Representación grafica de la estructura de proporción
doble …………………….. 63
-
Pág.
3.4 Tipos de problemas de estructura
multiplicativa………………………………………… ….63
3.4.1 Los problemas de isomorfismo de medida (Función
lineal)…………………………...64
3.4.1.1 Clases de problemas de isomorfismo de medida……………………
……………65
3.4.1.2 Subclases de problemas de isomorfismo de
medida………………………………66
3.4.1.3 Ejemplos de problemas de isomorfismo de
medida……………………………….67
3.4.1.4 Problemas de división…………………………………………………………… 75
3.5 Los problemas de producto medida (Función bi
lineal)…………………………………….75
3.6 Los problemas de proporción múltiple o espacio único de
medida ………………………...79
3.6.1 Las Subclases de problemas según los conceptos a los
cuales se hace referencia…….81
3.7 Subclase de problemas de estructura proporcional
múltiple……..……………….…...…… 81
3.8 Noción de dimensión…………….………………………….….……………………..…… 82
Capítulo IV Metodología
4.1 Tipo de estudio Descriptivo y
Explicativo…………………………………………………...85
4.2 Corte de estudio: Cualitativo…………….…………………………………………….…….
86
4.3 Escenario y población participante………………………………………………………….
87
4.4 Etapas del estudio…………………………………………………………………………… 91
4.5 Instrumentos utilizados……………………………………………………………………… 91
4.5.1 Cuestionario ……..…………………………………………………………………… 92
4.5.2 Descripción y aplicación de los
instrumentos…………………………………………92
4.5.2.1 Descripción del cuestionario………………………………………………………92
4.5.2.2 Aplicación del cuestionario………………………………………………………. 95
4.6 Propuesta del análisis de
datos………………………………………………………………97
4.6.1 La primera propuesta: Análisis de nivel de
logro…………………………………….. 97
4.6.2 La segunda propuesta: Estrategias de resolución de
problemas……………………… 99
4.7 La entrevista clínica……………………………………………………………………… 100
4.7.1 Análisis de la entrevista clínica……………………………………………………
101
4.7.2 La aplicación de la entrevista clínica
individual…………………………………… 102
4.7.3 Resultados del estudio piloto…………………………………………………….….
103
Capítulo V. Análisis de resultados del cuestionario inicial y
entrevista clínica individual 5.1 Descripción del cuestionario de
razonamiento proporcional…………………………… 106
5.2 Aplicación del cuestionario inicial de razonamiento
proporcional……………………… 108
5.3 Procedimiento……………………………………………….. …………………………… 109
5.4 Resultados del cuestionario inicial ………………………………………………………
109
5.5 Resultados por idea matemática ………….………………………………………………
126
5.6 Conclusiones finales: niveles de logro……………………………………………………
130
5.7 La entrevistas clínicas …..………………………………………………………………… 131
5.8 Niveles de conceptualización matemática ………………………………………………
149
5.9 Resultados de la entrevista clínica ………………………………………………………
150
Conclusiones
Consideraciones didácticas
Referencias documentales
Anexos
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Introducción
Para los profesores de educación básica los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas son complicados; atribuyen a esto que en muchas
ocasiones no se alcance el éxito
esperado. Muchas de las dificultades que enfrentan los alumnos
de secundaria surgen
precisamente en la escuela primaria.
La forma como en la escuela se aborden los contenidos
matemáticos, el significado que los
alumnos le otorgan a los contenidos escolares, la construcción
de conceptos que se generen en
ellos, los procedimientos que adquieran y las estrategias que
desarrollen marcan la transición o
la dificultad a conceptos cada vez más abstractos; tal es el
caso de los relacionado con la
variación proporcional.
El razonamiento proporcional tiene vínculos con otros contenidos
curriculares de aritmética que
se abordan en la escuela primaria (medida, números enteros,
números fraccionarios, división,
multiplicación y función), y en la actualidad vínculos entre los
mismo ejes temáticos como entre
contenidos de la misma o diferente asignatura, vínculos entre
contenidos de primaria y secundaria.
Numerosos estudios demuestran que los alumnos de primaria,
secundaria y hasta de preparatoria
tienen dificultad con conceptos básicos de fracción, razón y
proporción, incluyendo problemas
que involucran el concepto de proporcionalidad.
La enseñanza y aprendizaje de conceptos que requieren del uso
del razonamiento proporcional
son indispensables tanto en la vida diaria como en las aulas,
porque son el cimiento para el
aprendizaje de otros contenidos matemáticos que llevan al niño a
abstracciones cada vez más
generales. Además, trabajar con situaciones de proporcionalidad
propicia el desarrollo lógico del
pensamiento del alumno, así como su aplicación en muchos campos
del conocimiento.
Por otro lado, en los planes y programas de estudio de la
Secretaria de educación pública (SEP
2003 - 2009 se enseña y se aprende mediante la resolución de
problemas eje vertebral del
currículo matemático; en el ámbito escolar se promueve primero
los problemas de estructura
aditiva y en los últimos grados escolares los problemas de
estructura multiplicativa,
separadamente, pues el desarrollo de las estructuras
multiplicativas involucra gran cantidad de
ideas, conceptos y estrategias matemáticas que requiere del
alumno un amplio periodo de tiempo;
entre los conceptos involucrados está: fracciones, números
racionales, funciones, razón y
-
proporción; esta última temática es fundamental en el desarrollo
del pensamiento matemático, y
es una de las que presentan mayores dificultades a los
estudiantes de educación primaria.
Las dificultades surgidas al poner en práctica el razonamiento
proporcional dentro de las
escuelas, son sin duda un gran obstáculo, que impide el
desarrollo de habilidades en un año de
jornada académica y en consecuencia, genera un importantísimo
retraso educativo en nuestro
país. En la última década, a nivel nacional el aprendizaje de
las matemáticas se ha considerado
deficiente; los datos son alarmantes: bajísimo promedio escolar,
altos índices de reprobación
escolar de esta materia en instituciones educativas de todos los
niveles de nuestro país.
En lo que respecta a los resultados de la Evaluación Nacional de
Logro Académico en centros
escolares (ENLACE) 2008,la calidad de la educación matemática en
la educación básica primaria
es “insuficiente”, considerado el más bajo desempeño escolar,
especialmente en matemáticas; y
casi 80 % de los alumnos evaluados en cinco de los nueve grados
de educación básica se ubicaron
en los niveles insuficiente y elemental, que significan:
Insuficiente: que el estudiante necesita adquirir conocimientos
y desarrollar las
habilidades necesarias de la asignatura.
Elemental: el alumno requiere fortalecer la mayoría de los
conocimientos y desarrollar
las habilidades de la asignatura.
El Instituto Nacional de Evaluación Educativa (INEE) en la
aplicación de la prueba denominada
Exámenes de Calidad y Logro Educativo (EXCALE), señala que los
resultados de aprendizaje en
matemáticas en 6º de primaria a nivel nacional son los
siguientes:
Un 17.4 % de los estudiantes se encuentra por debajo del nivel
suficiente.
Poco más de la mitad 52.3 % se ubica en el nivel básico.
Casi una cuarta parte 23.5 % se encuentran en el nivel medio, y
sólo
Siete de cada cien estudiantes (6.9 %) se encuentran en el
avanzado.
El INEE Subraya, además, que los temas con los que se tienen
mayores dificultades de
aprendizaje, con respecto a los contenidos matemáticos, son los
siguientes:
Fracciones
Medición
Porcentajes y
Variación proporcional
-
Tales contenidos matemáticos son enseñados por la escuela y
forman parte de los Planes y
programas de estudio (2009), articulados en tres ejes
temáticos:
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
Manejo de información.
El enfoque, señala que la construcción del conocimiento amerita
procesos de estudio largos que
van de lo informal a lo formal; la actividad intelectual se
apoya más en el razonamiento que en la
memorización, pues; en el caso de que el alumno olvide algunos
procedimientos o conceptos, sea
capaz de apoyarse en alternativas que lo lleven a reconstruir lo
que se le ha olvidado, es decir
construya nuevos conocimientos y supere los obstáculos que
surgen en el proceso de aprendizaje.
Las soluciones a situaciones difíciles; deben ser instituidas en
el entendido de que existen
diversas estrategias y que al menos una debe utilizarse para
llegar a la solución; siempre
partiendo de sus conocimientos previos.
La metodología didáctica que acompañan los programas de
matemáticas está orientada al
desarrollo de las competencias; una competencia moviliza y
dirige todos los conocimientos hacia
la consecución de objetivos concretos.
La movilización de saberes expresa: “saber hacer con saber y con
conciencia del efecto de ese
hacer.” (SEP 2009:p.12), significa que el alumno es capaz de
hacer la tarea conociendo las causas
y las consecuencias del hacer. Las competencias que el plan y
programa de estudios contribuye a
lograr del perfil del egresado, propician oportunidades y
experiencias de aprendizaje significativo
para los alumnos.
Es esencial, entonces, lograr en los estudiantes de sexto grado
la transición del pensamiento
aditivo al multiplicativo; pues, esto le permitirá el manejo de
algoritmos cada vez mas complejos
que a su vez facilitaran la transición de la aritmética al
algebra, es decir la transición de primaria
a secundaria, se propiciara haciendo uso de estructuras
multiplicativas a través de las relaciones
cuaternarias propuestas por Vergnaud, con ejemplos provenientes
de su contexto mas cercano, en
el que adquirirá una rápida contextualización de fuentes
significativas, me refiero, a que el
alumno debe ser introducido mediante ejemplos que se encuentren
en su entorno inmediato para
facilitar el aprendizaje esperado, de este modo podría tomarle
el sentido práctico, utilitario, a lo
-
que aprende y permitiría utilizar sus conocimientos previos y
movilizar sus saberes, relacionados
con el razonamiento proporcional; por otra parte, el
entendimiento y majo de estos significados
podrían llevar a los estudiantes a trasladarse a la secundaria
con menos dificultades, a darles
sentido a los nuevos conocimientos y a entender ideas
matemáticas más relevantes del estudio de
la aritmética y del algebra.
En lo que refiere a las investigaciones realizadas sobre este
contenido matemático, podemos citar
los estudios de Hoyles, Noss y Pozzi (2001), en Butto (2005),
señalan, que a pesar de todas las
investigaciones realizadas, el razonamiento proporcional
continúa siendo un problema para los
estudiantes: éstos adoptan más estrategias aditivas que
multiplicativas; pero el razonamiento
proporcional está dentro de los problemas de estructura
multiplicativa y no solo aditiva como lo
considera la escuela. Al respecto, Kouba (1989) señala que el
éxito en la solución de problemas
estructura multiplicativa se incrementa a medida que el niño
avance en sus niveles de escolaridad
e igualmente debe haber una cierta evolución en las estrategias
de solución en los estudiantes;
entonces: los alumnos de sexto grado de educación primaria
pueden logar dominar estas
estructuras multiplicativas y a su vez utilizarlas.
En este sentido, varios autores han investigado los problemas de
estructuras multiplicativas;
entre ellos, según Vergnaud (1991) los problemas de estructura
multiplicativa consisten en un
conjunto de problemas que involucran operaciones aritméticas y
nociones de tipo multiplicativo,
entre las que se encuentran la multiplicación, división,
fracción, razón, proporcionalidad; se
refiere a todas aquellas situaciones las que pueden ser
analizadas como problemas de proporción
simple o múltiple, indica que al hacer uso de este concepto al
alumno le permite abordar y obtener
conocimientos cada vez más complejos, en razón a esto se puede
suponer que desde el punto de
vista formal la multiplicación y la división sean casos
particulares de la regla de tres, en donde
uno de sus elementos sea la unidad y de puede abordad mediante
una función lineal, a este
tratamiento Vergnaud lo llama campos conceptuales y dentro de
estos menciona los de estructura
aditiva y los de estructura multiplicativa, y esta tesis se
centra en los de problemas de estructura
multiplicativa, de donde se describen tres tipos de problemas:
1: isomorfismo de medida,2:
producto medida, 3: proporción múltiple o espacio único de
medida, de las cuales se supone
trabajar como una relación cuaternaria y no ternaria, de este
tratamiento provienen clases y
subclases de problemas, así como sus dificultades; sus
investigaciones prueban la existencia de
-
dificultades importantes en dos niveles diferentes: 1.
Dificultades de carácter psicológico: la
adquisición de dicha noción se efectúa sobre un largo periodo
del individuo (de 7 a 16 e incluso
18 años); 2. Dificultades de carácter didáctico: la adquisición
de la proporcionalidad está
obligatoriamente sujeta a problemas de enseñanza, ya sea porque
el modelo matemático propuesto
no es siempre asimilado por el alumno, o porque no es utilizado
para la resolución de problemas,
incluso si ha sido comprendido.
Por otra parte, las aportaciones de la teoría Psicogenética han
brindado valiosa información para
comprender el proceso de pensamiento de los niños en cuanto a la
construcción de nociones
como razón y proporción. Piaget afirma que sólo al llegar a la
etapa de las operaciones formales el
razonamiento proporcional adoptará formas más abstractas,
incluidas la lógica deductiva, la
separación y el control de variables. En cuanto al razonamiento
proporcional, sostiene que el niño
adquiere primero la identidad cualitativa y lógica antes de
estructurarse cuantitativamente.
Esta investigación presenta un estudio con alumnos de nivel
primaria alrededor del concepto de
razonamiento proporcional. A partir de esto se pretende
responder a la pregunta de
investigación: ¿Cuáles son las dificultades que enfrentan los
alumnos de sexto grado de educación
primaria al resolver problemas que involucran el contenido
matemático razonamiento
proporcional? Esta pregunta pretendió dar cumplimiento o
responder a los siguientes objetivos:
Objetivos del estudio: Identificar las dificultades que
enfrentan los alumnos de sexto grado de
educación primaria al resolver problemas que involucren en su
solución el razonamiento
proporcional. El marco teórico de esta tesis se fundamenta en
las aportaciones de Vergnaud, de
aquellas referentes al tratamiento de los problemas que
requieren de una abstracción superior, es
decir, a aquellas que desarrollan estrategias multiplicativas,
para darle solución al problema
planteado, este autor, señala, que “los contenidos matemáticos
se deben estudiar a partir de los
tipos de problemas, es decir, los de estructura aditiva y los de
estructura multiplicativa”, estas
estructuras permiten en el estudiante hacer uso de abstracciones
cada vez mas complicadas y
completas, que lo acercan a contenidos curriculares mas
complejos y le abren el camino para
transitar de la educación primaria a secundaria, es decir, la
transición de un pensamiento aditivo a
un pensamiento multiplicativo le permitirá al alumno resolver
problemas de razonamiento
proporcional, variación proporcional y entre otros contenidos
escolares, que lleven al estudiante
transitar de la aritmética al algebra, este autor, se ha
interesado en el estudio del campo de las
-
estructuras multiplicativas, el cuál involucra nociones como
multiplicación división, fracción y
proporcionalidad entre otras ideas matemáticas.
La metodología utilizada en este estudio fue de tipo
descriptivo, explicativo; los resultados
tienen ese carácter, el estudio es de corte cualitativo al
valorar el fenómeno en su contexto real, y
permitir la interacción entre el estudiante y la investigadora,
para describir las dificultades que
presentan los alumnos de manera detallada tal tomo lo escribe o
expresa el alumno. La muestra
poblacional con la que se trabajó fue de 17 alumnos de sexto
grado de entre 11 y 12 años de
edad, que cursan el sexto grado de educación primaria en una
escuela pública ubicada en la
delegación Magdalena Contreras en el Distrito Federal. El
estudio se efectúo en dos etapas: la
elaboración y aplicación del cuestionario inicial de
razonamiento proporcional, cuyo antecedente
fue un estudio piloto y la entrevista clínica individual.
En el primer capítulo se menciona la revisión de literatura,
investigaciones sobre el razonamiento
proporcional y sus diferentes abordajes. El segundo capítulo
contiene el enfoque teórico
pedagógico como tratamiento del razonamiento proporcional en los
planes y programas 2009,
el tercer capítulo señala el marco teórico, el cual trata sobre
el pensamiento proporcional a través
de las estructuras multiplicativas, con base en las aportaciones
de Vergnaud (1991); este autor
señala los problemas de estructuras multiplicativas como un
conjunto de problemas que
involucran la multiplicación, división, fracción, razón y
semejanza, entre otras, así como sus
diversas dificultades. Esta tesis considera estas dificultades
como parte fundamental de su
desarrollo. El cuarto capítulo plantea la metodología del
estudio: describe los instrumentos de
investigación que fueron utilizados en el estudio principal, así
como las etapas de la
investigación, el tipo de estudio utilizado, el corte del
estudio, incluyendo la población con la
cual se realizó, el escenario, el marco de análisis de los datos
y finalmente, consideraciones de
los resultados del estudio piloto para el estudio principal.
En el quinto capítulo se describen los resultados del
cuestionario inicial de razonamiento
proporcional, explorando el tipo de estructura desarrollada por
los alumnos, así como los
resultados de la segunda parte del estudio: el análisis de las
entrevistas clínicas individuales
aplicadas. Por último se ofrecen los resultados del estudio.
-
CAPÍTULO I
RAZONAMIENTO PROPORCIONAL: REVISIÓN DE LA LITERATURA
El presente capítulo inicia con la revisión de la literatura
concerniente al razonamiento
proporcional; hace referencia a las aportaciones de la teoría
psicogenética en los estudios de
demanda cognitiva; estudios concernientes al campo educativo de
demanda didáctica;
estudios que tratan del desarrollo de estrategias utilizadas por
los estudiantes; finalmente
se mencionan las aportaciones de los estudios para esta
tesis.
El razonamiento proporcional:
El razonamiento proporcional es un contenido matemático
requerido tanto en nivel
primaria como en el de secundaria del sistema educativo
nacional. Se utiliza, regularmente, en el
entorno social, económico, cultural que rodea al estudiante para
resolver la mayor parte de los
problemas de la vida cotidiana; basta considerar el precio de
los productos y servicios que se
venden y compran, o bien en las cantidades de ingrediente
utilizados en una receta de cocina, o al
comprar la ropa de acuerdo con la talla y la estatura, entre
otros; se considera un tema
fundamental en los contenidos matemáticos de la educación básica
y además uno de los temas con
mayor dificultad de comprensión entre los estudiantes de
educación primaria.
En el nivel básico, primaria, las situaciones de
proporcionalidad planteadas deben ayudar a los
niños a desarrollar sus conocimientos de las operaciones
básicas, mediante la resolución de
problemas en contextos reales. Al respecto, Fiol y Fortuny
(1990), señalan que este concepto es
de gran importancia en el currículo escolar, pues está
relacionado con la mayoría de los
contenidos matemáticos de otras asignaturas como la física y la
biología, entre otras, pero
advierten que no es un concepto sencillo de aprender.
Por su parte, Raspetti (2003), menciona, que el aprendizaje de
la noción de proporción no es
simple y que requiere del alumno una gama de situaciones de
diferente complejidad numérica y el
tipo de magnitudes relacionadas; esto se convierte en obstáculo
para la comprensión de
contenidos.
-
A su vez; Ben-Chaim (1998), dice, que el razonamiento
proporcional es el corazón de las
matemáticas correspondiente a los cursos finales de primaria y
comienzos de secundaria.
Nesher y Sukenit (1989), estudian, los conceptos de razón y
proporción y señalan que uno de los
errores dominantes en las estrategias usadas por los niños de
diferentes edades es la estrategia
aditiva, en donde la razón es vista como una diferencia entre
términos de la forma a – b, en vez
de comprender que es de carácter multiplicativo.
Por lo anterior, el razonamiento proporcional ha sido uno de los
temas más investigados en el
campo de la psicología y la educación matemática; existe una
literatura muy extensa al respecto,
entre la cual destacan los estudios de Lesh y Cramer citados en
Gómez (1996, p.11), quienes
ubican el razonamiento proporcional como “un cimiento del
álgebra y una síntesis de la
aritmética”; ellos investigan las dificultades por las cuales
atraviesan los estudiantes al resolver
tareas de proporcionalidad por el tipo de estrategias que
utilizan. Destacan estos autores:
a) El reconocimiento del uso y la importancia de los métodos
intuitivos.
b) La reconsideración de las situaciones de tipo cualitativo
como favorecedoras del empleo
del razonamiento proporcional, a diferencia de quienes han
planteado que las respuestas de
tipo cualitativo identifican a los sujetos que no aplican el
razonamiento proporcional.
En un contexto nacional también se han realizado investigaciones
al respecto. En el Departamento
de Matemática Educativa, del Centro de Investigación y Estudios
Avanzados del Instituto
Politécnico Nacional (CINVESTAV–IPN), se han desarrollado
investigaciones sobre los indicios
del pensamiento proporcional y temas directamente relacionados
como los de razón y fracciones.
Dos aspectos que se derivan de esta caracterización:
El razonamiento cualitativo, el cual se refiere al uso de
comparaciones, como correspondencia y
seriaciones de tipo cualitativo, es decir, se refiere a
seriación de objetos representativos sin el uso
datos numéricos. y el razonamiento cuantitativo, que se refiere
a comparaciones de valores
numéricos; éste es el campo más frecuente de aplicación de la
proporcionalidad.
Hart, citado en Karplus (1983), identifica y caracteriza la
estrategia pre-operacional como un
razonamiento concreto no basado en una comparación de dos
razones. Piaget elabora una
-
epistemología genética que es el estudio del como un sujeto pasa
de un estado de menor
conocimiento a un estado de mayor conocimiento, es decir como
alguien aprende, y en ese intento
de describir el desarrollo cognitivo humano, Piaget clasifica
dicho desarrollo en etapas o estadios
y uno de esas etapas es el periodo pre-operacional, de acuerdo
con esa caracterización, Piaget, en
sus primeros trabajos afirma que el razonamiento proporcional se
presenta en el estadio de las
operaciones formales, pero en estudios posteriores que en la
primera y en la segunda etapa
reconoce que el niño podría entender y desarrollar algunas ideas
de razonamiento proporcional,
pero además estudios posteriores a los de Piaget y que además
hacen su critica afirman y
demuestran que los niños pueden aprender ese contenido
matemático antes de alcanzar el
pensamiento formal. Resnick y Singer (1993), citados en Butto
(2005), comentan el desarrollo
del razonamiento proporcional en los niños; aportan un análisis
de los orígenes de dicho
razonamiento en edades tempranas.
Cramer y otros, citados en Butto (2005), comentan que el
razonamiento proporcional involucra la
habilidad de excluir el razonamiento proporcional del
razonamiento no-proporcional.
1.1 Estudios de demanda cognitiva
En cuánto a los estudios de demanda cognitiva que representa el
razonamiento proporcional, se
puede hacer referencia a los diferentes trabajos de
investigación de Piaget, citado en Gómez
(1996), este agrupa su atención en dos características que
utilizan los niños al resolver situaciones
que requieren del razonamiento proporcional: las cualitativas y
las cuantitativas; el autor destaca
que este proceso es seguido de varios momentos o etapas: en la
primera etapa, el niño hace uso
de la correspondencia y la seriación cualitativa; en la etapa
intermedia, usa compensaciones
aditivas o razones de tipo 2:1 y, por último, en la etapa
avanzada aplica el razonamiento
cualitativo como alternativa ya que este prevalece sin importar
los valores numéricos de los
datos.
Piaget (1972), describió asimismo el avance en el razonamiento
proporcional, que se ubica en la
etapa de las operaciones concretas, explicando que éste aparece
en tanto el niño se aproxima a la
adolescencia; lo señala como razonamiento formal y en él
distingue que sus características
fueron diferentes a las que especificó como razonamiento
concreto, revela que el razonamiento
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proporcional, junto con la habilidad de formular hipótesis y
trabajar con un cierto número de
variables es indicativo de que el estudiante se encuentra en la
etapa del razonamiento formal; y
es entonces cuando el sujeto tiene que reflexionar y hacer
abstracciones para entender a las
razones como: relaciones entre cantidades y vincularlas a otras
razones, destacando que, en la
solución de problemas, la solución plena que involucra
proporciones exhibe el razonamiento
formal, mientras que una solución incompleta muestra el nivel
del razonamiento concreto.
En estudios posteriores, Piaget propone un seguimiento de las
etapas del desarrollo intelectual,
hasta llegar a la de las operaciones formales; indica que este
conduce a entender los fundamentos
de los temas de razón y proporción. En sus experimentos señala
que el niño adquiere la identidad
cualitativa antes que la conservación cuantitativa y hace una
distinción entre comparaciones
cualitativas y la verdadera cuantificación. Para Piaget la
noción de proporción empieza siempre de
una forma cualitativa y lógica, antes de estructurarse
cuantitativamente; él argumenta que entre
los 11 y 12 años, se ve en el sujeto la presencia de la noción
de las proporciones en diferentes
ámbitos, tales como las proporciones espaciales (figuras
semejantes), las relaciones entre pesos y
longitudes de los brazos de la balanza y las probabilidades.
En el caso de la balanza de barra el sujeto puede comprender,
mediante la manipulación del
dispositivo, que es posible conservar el equilibrio, teniendo
dos pesos iguales a las mismas
distancias del centro, pero también se conserva el equilibrio
disminuyendo el peso, pero
alejándolo y aumentando el otro, aunque aproximándolo al centro.
Es decir:
La comprensión de la proporcionalidad (tanto directa como
inversa), se da en primer lugar
cualitativamente: “es lo mismo aumentar el peso que la
distancia”, luego en formas métricas
simples: “disminuir el peso aumentando la longitud”, equivalente
a “aumentar el peso
disminuyendo la longitud”.
En Piaget (1978b) se menciona que el sujeto puede construir el
esquema de proporcionalidad
cualitativa, cuando comprende que un incremento en una variable
independiente da el mismo
resultado que un decremento en la variable dependiente, es
decir, cuando comprende que requiere
de un elemento de compensación.
Sin embargo, Butto (2005) señala que esta postura de Piaget es
cuestionada por diversos
autores principalmente por dos razones: primero porque Piaget,
afirmaba en la primera etapa que
-
el razonamiento proporcional caracteriza al estadio de las
operaciones formales,pero en la tercera
etapa y cuarta reconoció que los niños mas pequeños podrían
desarrollar algunas ideas del
razonamiento proporcional, de ahí que sus críticos como(Bryant y
Spinillo ) pensaban que Piaget
subestimo la habilidad de los menores afirmando que los
estudiantes de corta edad podrían dar
soluciones que evidenciaran el razonamiento proporcional; Butto
dice, que a este respecto, Bryant
y Spinillo (1990), Spinillo & Bryant, (1989) y Spinillo
(1990, 1992), comentan que el
razonamiento proporcional no es una experiencia propia de las
operaciones formales y puede ser
desarrollado en niños de menor edad. Pone en evidencia los
estudios realizados con niños de 4 a
6 años de edad, quienes comprenden la idea de mitad, y son
capaces de adquirir un juicio
perceptual al empezar a comparar razones de cantidad antes de
tener cualquier experiencia con
razones numéricas.
Esto indica que por otra parte, que el juicio perceptual
(geométrico) es una habilidad que
puede ser desarrollada a temprana edad; El segundo, está
relacionado con los elementos que
perjudican el desempeño y entendimiento de las tareas propuestas
a los niños, entre los que
menciona destaca el lenguaje utilizado y el contexto de los
problemas presentados. Resultados
que son avalados por el propio Piaget quien, descripción de los
estadíos tempranos en el
pensamiento el cual llamo estadío intermediario, utilizado en
las correspondencias cualitativas y
seriaciones, para sumar compensaciones de dos razones
2:1ejemplo………., en el cual se aplicó
el razonamiento proporcional para valores numéricos con los
datos y sus razones; y concluye que
puede haber un entendimiento temprano de algunos conceptos
matemáticos, como el de
proporcionalidad. Por otra parte, Butto señala que entre las
réplicas a los estudios de Piaget se
encuentran las de Lunzer y Pumfrey (1996) los cuales observaron
que los alumnos son capaces
de registrar razones como (1:1, 2:1, y 3:1) de manera fácil al
resolver los problemas de manera
aditiva.
Entre las réplicas de Piaget, en lo referente al desarrollo
cognitivo, se pueden mencionar a Lunzer
(1973), quien centra su atención en el desempeño de los
estudiantes en tareas de proporción y en
la descripción de los métodos usados por ellos: estas
investigaciones hacen referencia al tema de
proporcionalidad y plantean que su dominio apropiado origina la
comprensión del conjunto de
relaciones y sus inversos: tales como a/b = c/d ad = bc.
-
Lunzer (1973) opina que es probable que este tipo de relaciones
sean enseñadas adecuadamente,
pero que no son integradas directamente a nuevos problemas, sino
hasta que las capacidades de
razonamiento del sujeto hayan alcanzado un nivel de desarrollo.
El autor informa sobre un
conjunto de tareas con niños de 6 a 14 años, de donde describe
las estrategias usadas, y especifica
las diferentes demandas hechas por distintas razones. Al
respecto comenta que los niños de todas
las edades tienden a escoger modos aditivos de solución, aunque
el problema sugiera métodos
multiplicativos.
Al respecto, English y Halford (1995) citados en Butto (2005)
testifican que una de las
particularidades esenciales del razonamiento proporcional
incluye recomendaciones de 2º orden,
es decir, relaciones entre dos cantidades directamente claras.
Perspectiva que defiende que la fase
temprana del razonamiento proporcional en los niños, incluye un
razonamiento aditivo, de la
forma a-b = c-d.
Entretanto, el trabajo de Lesh (1988) citado en Butto (2005)
registra como indicador del uso del
razonamiento proporcional; un razonamiento destacado, que los
niños usan en varias tareas
multiplicativas, que son característicamente de una ecuación de
tipo a b = c d, especialmente
cuando tienen una solución algorítmica.
Schliemann y Carraher (1986) se dieron a la tarea de evaluar el
desarrollo cognitivo de niños y
adolescentes con diferente instrucción escolar en relación al
esquema de proporcionalidad,
mediante dos tareas piagetianas: el equilibrio de la balanza y
la cuantificación de probabilidades.
Se observó la dificultad tocante a las dos tareas. Estudio en el
que participaron 83 estudiantes de
5o y 6º año de primaria y 1º año de secundaria de escuelas
públicas brasileñas y dos escuelas
privadas de la ciudad de Recife. La tarea de cuantificar
probabilidad fue aplicada por Piaget e
Inhelder (1951), tomando en consideración los elementos
consistentes en esquemas utilizados por
Carraher (1983), en la tarea del equilibrio de la balanza se
utilizó un esquema desarrollado para
su aplicación.
Este esquema, involucra las siguientes actividades: el
entrevistador coloca un peso en uno de los
dos lados de la balanza y el estudiante debe reequilibrar la
balanza utilizando un peso igual; en
seguida, el entrevistador realiza algunos cambios de peso y el
alumno hace otros cambios, de tal
forma que reequilibra la balanza utilizando dos pesos, cada uno
de ellos de igual valor al
-
utilizado por el experimentador; después de una serie de cambios
de peso realizados por el
entrevistador, el estudiante obtiene el equilibrio de la
balanza; en este tercer momento, el
entrevistador coloca un peso de un lado de la balanza y el
alumno debe reequilibrarla utilizando
tres pesos, cada uno igual al peso unitario, seguido de cambios;
y en el cuarto momento el
entrevistador coloca el peso unitario en el octavo gancho y el
estudiante tiene tres pesos, cada
uno de igual valor al unitario, para intentar reequilibrar la
balanza (en esta parte la solución es
imposible); el último momento de resolución imposible es
especialmente útil para estimular al
estudiante a enunciar la ley de la compensación de pesos y
distancia en forma cuantitativa.
Los resultados revelaron que el 50% de los alumnos intentan
resolver el problema utilizando
solamente una variable y, por lo tanto, los autores sugieren que
la enseñanza de la
proporcionalidad se debe relacionar con variables en diversos
contextos, con el objetivo de que
los estudiantes puedan examinar, en diversas situaciones, que
las variables afectan el resultado de
un problema.
Sin embargo, Gelman (1972) citado en Judith (2000, p.121) dice
que muchos teóricos
contemporáneos piensan que Piaget subestimó las capacidades de
los niños de corta edad; estos
consideran, que quizá el niño posee la habilidad de resolver
problemas de niveles cognitivos
superiores, sólo que les falta la habilidad verbal para probar
la presencia o la ausencia de los
conceptos básicos. Este autor dice que Piaget ha sido
fuertemente criticado por sus ideas
concernientes a la naturaleza cualitativa del desarrollo
cognitivo.
Algunos otros teóricos como Flavell (1985); Miller (1993);
Siegler (1991 citados en Judith 2000)
ponen en tela de juicio que los cambios en los sistemas
cognitivos del niño sean tan
“Fundamentales, decisivos, cualitativos y graduales; como para
señalar que el modelo de
equilibrio no logra explicar satisfactoriamente los progresos en
el desarrollo cognitivo” esto,
porque no señala de manera explícita las actividades cognitivas,
me refiero al pensamiento, a las
estrategias operacionales, al desarrollo cognitivo asociado a
contenidos matemáticos, es decir , el
aprendizaje, que utilizan para solucionar el problema que tienen
lugar durante el proceso de
asimilación, de acomodación y de equilibrio; Miller por su parte
dice que los cambios por etapas
en el pensamiento del niño se debe al desarrollo gradual
cualitativo y cuantitativo alcanzado, es
decir, se explicitan las actividades de mayor complejidad,
dependiendo del grado de madurez
cognitiva y contenido matemático explorado. En las capacidades
de su atención y de su memoria.
-
Siegler (1991) indica que los niños no pueden realizar esta
tarea porque entre otras cosas no se
concentran en las dimensiones relevantes, no codifican la
información apropiada, no relacionan la
información con los conocimientos actuales, no recuperan en la
memoria la solución
correspondiente.
1.2 Estudios concernientes al campo educativo
En los estudios concernientes al campo educativo, que reportan
acerca de las dificultades,
procedimientos y estrategias al trabajar con problemas o
ejercicios vinculados con el concepto de
proporcionalidad, podemos señalar a Vergnaud (1983); Riccó y
Rouchier (1979); Pluvinage y
Dupuis (1981);Sokona (1989); además interesa hacer referencia a
estudios como el de Winch
(citado en Karplus1983), quien estudia la habilidad de los
estudiantes de la escuela elemental
para resolver correctamente problemas de proporción y en su
reporte da cuenta de tres métodos
de solución que ellos emplean:
La búsqueda del valor unitario, que consiste en encontrar el
valor correspondiente
a la unidad; en ella subyace la pregunta: ¿cuántos para uno? y
se accede a dicho
valor por medio de una división.
El razonamiento aditivo, que se basa en comparaciones por medio
de diferencias.
El razonamiento cualitativo, que se basa en comparaciones como
mayor que, más
que o igual que, sin llegar a una cuantificación de las
mismas.
El primer método de la búsqueda del valor unitario se reconoce
como el usado con mayor
frecuencia, lo cual lo lleva a expresar la siguiente hipótesis:
“Los problemas en los que hace
mención explícita de las cantidades unitarias son más sencillos
que aquellos en los que no hace
referencia de dichas cantidades”
Noelting (1980) citado en Butto (2005) se refiere a problemas de
comparación, dos de razones
enteras y dos de razones fraccionarias, y cuatro problemas de
valor perdido con dos razones
enteras y dos fraccionarias. Lo hace en dos grupos, uno con
instrucción y el otro sin ella. En su
estudio El jugo de naranja indica que sus resultados revelaron
que los estudiantes mostraron
mayormente el uso de estrategias aditivas y que este tipo de
estrategia era más usual en las tareas
de los clips de papel. El grupo de estudiantes que no había
recibido instrucción escolar de
-
proporcionalidad también presentaba un razonamiento aditivo;
concluye que la instrucción escolar
en dicho contenido matemático no estaba siendo eficaz, que los
problemas de comparación son
resueltos más fácilmente que los problemas de valor ausente, y
que los de razones fraccionarias
eran más difíciles que los de razones enteras. Para la autora,
una posible explicación para estos
resultados es que los estudiantes, independientemente de haber
recibido instrucción escolar o no,
en la vida diaria mantienen contacto con problemas de
comparación y en la mayoría de las veces
utilizan razones enteras. No así en las comparaciones de otro
tipo.
Estos estudios destacan por lo menos dos datos interesantes: uno
de ellos es encontrado en la
tarea de los problemas formales: algunos estudiantes armaban
correctamente los problemas, pero
se equivocaban en la resolución de los mismos problemas cuando
involucraban números
decimales; el otro dato interesante es que los sujetos, después
de intentar inútilmente resolver los
problemas a la manera de la escuela, pasaban a hacerlo por sus
propios caminos, y llegaban así
a una respuesta al problema, pero con dificultades para utilizar
los algoritmos enseñados por la
escuela.
Noelting (1980), citado en Butto (2005), señala que el autor
propone la teoría de la
reestructuración adaptativa para permitir la transición del
primer estadio al segundo (o sea, del
estadio temprano al intermedio) y, para analizar el tipo de
comparación que los sujetos hacen
cuando resuelven un problema, comparan el jugo de limón y el
agua en cada primer recipiente y,
comparando esas dos relaciones, seleccionan dos jugos, de limón
y de agua primero, formando así
el abordaje denominado entre estrategias; así estudia el
razonamiento proporcional con problemas
de comparación numérica, Estableciendo razones completas sin
requerir en su solución
necesariamente una respuesta numérica, pues los niños deben
comparar las razones de acuerdo
con el dibujo mostrado:
Noelting (1980, citado en Butto 2005:30)
-
Los alumnos debían responder ¿cuál jarra contiene la limonada
con un sabor más fuerte o si las
dos tienen el mismo sabor. El estudio se realizó con niños entre
6 y 12 años. Concluye que
los estudiantes tienen un mejor desempeño: cuando una cantidad
de la razón completa es un
múltiplo entero los estudiantes usan estrategias aditivas.
Además observa que en los problemas
de comparación, los estudiantes presentan dificultades. Por ello
diferenció la investigación con
problemas de valor perdido, comparación cualitativa, abordaje
aditivo y el cálculo de razones.
Según la autora, en otra investigación como la de Tournaire y
Pulus (1985), estos, comentan
acerca de las distintas metodologías y tareas que utilizan los
alumnos con el razonamiento
proporcional. Aquí, se destacan dos pares de métodos utilizados:
la comparación contra valores, y
explicaciones contra una sola respuesta. Las tareas son variadas
y con intervenciones individuales.
La ventaja de esos estudios es que, en cada método, se
identifican numerosos pensamientos
utilizados en el estudio de razonamiento proporcional; también
se distinguen categorías como
tareas físicas, problemas de razón, problemas de mezcla y tareas
de probabilidad; en todas ellas
varía el contexto, y citan tres tipos de estrategias más
utilizadas por los entrevistados: variación
de las estrategias, estrategias desfavorables, desarrollo de una
secuencia de estrategias.
Además examinan de qué manera esas variables (como la variación
de estrategias, estrategias
desfavorables y el desarrollo de una secuencia de estrategias),
interfieren en el desempeño de los
estudiantes afectando el desempeño del razonamiento proporcional
y el futuro desarrollo de
secuencias didácticas; Mencionan las siguientes:
complejidad numérica,
estructuras de las variables,
contexto de las variables,
modelos de instrucción, intervención individual.
La complejidad numérica se refiere al uso de los números y a las
razones, a la presencia de la
unidad y a problemas de comparación y de razón. La estructura de
las variables puede ser usada
para definir una secuencia jerárquica de razonamiento. El
contexto de las variables en muchos
estudios varía la estructura de los problemas usados en dicho
contexto, y los modelos de
-
instrucción se refieren al tipo de instrucción escolar recibida
y a los efectos que ésta tiene en el
aprendizaje del razonamiento proporcional.
Por su parte Carraher, Schliemann y Ruiz (1986) citado en Butto
(2005) investigaron el desarrollo
de la concepción de cantidades medidas por razones, en un
estudio con 49 estudiantes que
cursaban 5º y 6º año de primaria y 1º año de secundaria con
edades entre 10 y 16 años. Los
estudiantes fueron expuestos a dos tipos de contenidos:
problemas de compra y venta y
problemas de velocidad. En la primera actividad (problemas de
compra y venta) el entrevistador
solicitaba al alumno que indicara, entre dos posibles compras,
cuál era la mejor y que en seguida
la justificara. En la segunda ( problemas de velocidad), el
estudiante disponía de diversas medidas
de tiempo y distancia recorridas por dos autos que eran movidos
por el entrevistador, y debía
indicar si los dos autos los habían movidos a la misma velocidad
o no.
El desempeño de los estudiantes en la primera actividad se
clasificó de acuerdo con las
siguientes categorías:
Nivel 1: respuesta de los estudiantes que involucraban sólamente
una variable en las soluciones y
comparaciones directas.
Nivel 2: respuesta de los estudiantes que intentaban considerar
ambas variables de manera
simultánea, pero con algunas dificultades.
Nivel 3: los sujetos que utilizaban estrategias correctas
considerando todas las variables.
Para la actividad de velocidad el desempeño de los estudiantes
se clasificó en cuatro niveles:
Nivel 1: los estudiantes presentaron dos tipos de respuesta: a)
considerar solamente una variable,
distancia o tiempo, y confundían el significado de velocidad con
la variable usada; b) ignorar los
datos cuantitativos, buscando apenas la velocidad de los dos
autos mientras el entrevistador los
movía.
Nivel 2: los estudiantes que reflexionaban acerca de la
cuantificación imprecisa de la velocidad,
pero consideraban ambas variables.
Nivel 3: los alumnos que utilizaban una cuantificación aditiva
incorrecta.
-
Nivel 4: los estudiantes que indicaban una consideración de las
dos variables. Aquí se observaron
dos tipos de estrategias: a) calcular el número en centímetros
por segundo, y b) dividir la
distancia por el tiempo para los dos coches y comparar los
resultados.
A partir de los resultados obtenidos en las dos actividades, los
autores encontraron cierta
influencia de la instrucción escolar sobre el desempeño de los
estudiantes en la actividad de
velocidad. Contrariamente a la actividad de compra y venta en la
cual no se observó ningún
efecto de la instrucción escolar, los resultados revelaron que
algunos alumnos son capaces de
hacer los cálculos para encontrar una respuesta correcta. Pero
los autores también sugieren una
discusión acerca de la enseñanza de la regla de tres, pues
opinan que a pesar de que los cálculos
involucrados en su resolución son simples, la regla de tres
involucra un modelo matemático
complejo, cuyo uso los niños no han conseguido comprender.
Karplus y Peterson (1970), citado en Butto (2005) categorizaron
las respuestas de los niños a
partir de su nivel de comprensión. Aquí se menciona el estudio
sobre el señor bajo y el señor alto
haciendo la representación con clips: comentan que no todos los
niños tienen una estrategia de
tipo aditiva y que este pensamiento está fuertemente
influenciado por la instrucción recibida en
las escuelas; es decir, privilegia el trabajo en torno de las
estructuras aditivas, abordando más
tarde el desarrollo de las estructuras de tipo multiplicativo;
por ello que dificulta la significación
de conceptos, procedimientos en los alumnos con respecto del
razonamiento proporcional.
Karplus y Peterson (1970 citado en Butto 2005:30)
-
Karplus (1972) estableció como estrategias intuitivas las
categorías I(Sin explicación), IC (usando
la información, de una manera ilógica), dado que el 65% de los
niños en 1970 usaron estos
métodos y para 1972 los habían sustituido. Una cantidad similar
de niños pasó de la categoría A
(usando toda la información, pero aplicando la diferencia, más
que la razón de mediciones) a la S
(usando la multiplicación, pero no a través del factor recto
(usualmente mediante duplicación)
porque no hubo base para ordenarlas.
Estas categorías son relevantes porque a partir de ellas se pudo
diversificar métodos para obtener
las respuestas correctas.
En relación a las estrategias que utilizan los niños,
Karplus(1983) propone cuatro categorías,
producto del análisis de los diferentes métodos de solución
empleados por los alumnos en tareas
que involucran el razonamiento proporcional:
Estrategias:
Incompleta-ilógica: cuando adivinan la respuesta o emplean una
operación cuantitativa
inapropiada.
Cualitativa, si comparan las cuatro cantidades dadas, usando los
términos más, menos o
términos equivalentes.
Aditiva: al comparar los datos a partir de diferencias o
residuos.
Razonamiento proporcional, si usan datos para calcular y
comparar relaciones
proporcionales.
Los estudiantes fueron sometidos a las siguientes tareas: un
problema (clips de papel, Karplus,
Karplus y Wollman, 1974), que consiste en buscar el valor
ausente y tratar con razones
fraccionarias.
Noelting (1980ª;1980b) estudió el razonamiento proporcional con
tareas que requerían de los
sujetos la comparación de dos proporciones (jugo de naranja y
agua, para preparar dos bebidas
con el mismo o diferente sabor de naranja) con el requerimiento
de que calcularan una respuesta
que produjera la proporción deseada.
Las cantidades totales de la mezcla ¿saben igual?
El contenido del problema también es familiar.
-
Niños de 6 – 7 años comprenden que a más agua menos sabor a
naranja en las
comparaciones sencillas.
El 78% de niños de 6 años y 86% de 8 años pudieron indicar cuál
de las dos mezclas
sabría más a naranja en 3c/1ta 2c/1ta.
Menos del 25% de los 10 años y 67” de 12 años lograron responder
correctamente
entre 3c/2ta y 4c/3ta.
Los resultados expresan las dificultades de los niños en los
problemas de proporción
en la co-variación.
Por otro lado, Czarnocha (1999) en Butto (2005) indica que este
desarrolló un estudio usando
la técnica de Bruner (1961), cuya principal idea es que el
estudiante aprende de manera más
efectiva cuando descubre el conocimiento por sí solo en vez de
hacerlo por instrucción directa.
El profesor actúa como agente para que aquél pueda realizar el
descubrimiento. Esta técnica
propicia que los estudiantes revelen su proceso de pensamiento,
denominado así momentos de
cognición matemática, que ayudan a que ellos construyan su
propia realidad matemática, y ésta
les permite acercarse de manera creativa y muy semejante a la
manera como actúa un científico
cuando plantea un nuevo concepto o teorema.
Tal técnica no se debe tomar como ejercicio estimulante para los
alumnos, en el cual se les
muestra su error y se les conduce a un momento de reflexión que
concluye con la reestructuración
de su pensamiento. La técnica, se convierte, así, en una
herramienta de investigación,
recientemente asociada a la enseñanza experimental
constructivista, a su vez relacionada a la idea
vygotskiana que indica que es necesario estudiar los cambios
mentales bajo la instrucción, y la
interacción con el estudiante. Aquí el papel del profesor es
semejante al de un investigador, en el
sentido de encontrar medios y caminos para facilitar lo que los
estudiantes necesitan para alcanzar
un descubrimiento particular; el autor indica que esos momentos
de descubrimientos sólo pueden
ocurrir dentro de las estructuras cognoscitivas matemáticas
autónomas de ellos, y el profesor debe
investigar esas estructuras mentales que surgen durante la
secuencia didáctica.
En este sentido, la resolución de problemas se ha convertido en
una forma de indagar los
procesos del pensamiento que generan los alumnos cuando
resuelven una situación problemática,
-
está, a la vez permiten determinar los procedimientos informales
o estrategias que utilizan al
enfrentarse a dichos problemas, así como las dificultades a las
que se enfrentan los alumnos al
tratar de darle solución.
Entre los estudios sobre estrategias de resolución de problemas
se pueden destacar los de
Fuson,Richards y Briars (1982) en Maza (1991), en cuyo análisis
sobre la construcción de la
secuencia numérica, corroboran, desde otra perspectiva, las
deducciones piagetanas; dichos
autores consideran la construcción de las secuencias numéricas
como un proceso de
diferenciación de las palabras dentro de la propia secuencia y
de construcción de las relaciones
entre las mismas; destacan el hecho de que el recuento de las
palabras era tardío. y que estaba
íntimamente relacionado con la adición, pero con marcada
influencias de la multiplicación.
1.2.1 Estudios en desarrollo de estrategias
1.2.1.1 Estrategias de resolución de problemas
Uno de los primeros avances de en este terreno fue el
reconocimiento de la distinta naturaleza del
multiplicador y el multiplicando; expuesta en Dienes y Golding
(1966, citados en Maza,1991:28),
estos autores sostenían que la suma se refería a un solo
universo, y que la multiplicación se
realizaba a partir de dos elementos distintos; además, Dienes
decía que la multiplicación
correspondía a una operación lógicamente más difícil que la
suma, con mayor dificultad y por lo
tanto requería de mayor abstracción que esta.
Piaget (1977 en Maza 1991) señala que las respuestas de los
alumnos se podían dividir en tres
estadios gradualmente más complejos y tanto con mayor nivel de
abstracción: En el primero los
alumnos añadían unos grupos de elementos a otros sin tener
previamente un plan preestablecido
para solucionar el problema; sustenta que a esta edad (4-7 años)
la acción del alumno consiste en
la Sucesión de adiciones antes que en una adición de adiciones;
cataloga esa acción como una
labor mecánica que se mueve en el nivel más bajo desde el punto
de vista operativo, que no le
permite prever resultado alguno, ni volver a repetir su proceso.
En el segundo, la acción más
común de los estudiantes consiste en realizar una adición de
adiciones, tomar conciencia del
número de veces que se repiten los grupos, anticipando sus
resultados, pues intuye que un grupo
-
de pequeño tamaño debe repetirse más veces para compensar el
número mayor; alcanza así la
solución del problema, por medios más aditivos que
multiplicativos.
Para Piaget, en el tercer estadio el alumno manifiesta una
diferencia cualitativa: no se centra en
el resultado de sus acciones, sino que es capaz de considerar
como objeto de conocimiento su
propia acción; aquí no forma montones sino que repite una misma
acción sobre un grupo, la
diferencia para este autor es esencial, desde el punto de vista
de la abstracción, pues cuando estas
acciones se transforman en objeto de conocimiento para el
alumno, se puede concluir que el
alumno ha pasado de la abstracción empírica a la abstracción
reflexionante o lógico –matemática.
Esquemáticamente, ese planteamiento se puede expresar de la
siguiente forma:
Maza (1991:30)
Otro estudio relevante que reconoce la perspectiva piagetiana
sobre la construcción de la
secuencia numérica es señalada por (Fuson, Richards y Briars1982
citado en Maza 1991:30); en
ese estudio se reconoce la perspectiva sobre deducciones
piagetanas y se destaca el hecho de que
el recuento de las palabras era tardío; este recuento va muy
relacionado con los problemas de
adicción, pero con marcada influencia en los problemas
multiplicativos.
En los dos primeros estadios En el tercer estadio
perciben perciben
El estadio aditivo de sus colocaciones. El número de
colocaciones
La enumeración de fichas. La enumeración de acciones
Los resultados finales de sus acciones El mecanismo de sus
acciones
-
Otras investigaciones interesadas en descubrir las estrategias
de los niños desde la resolución de
problemas aditivos hasta el empleo de métodos multiplicativos
son las de (Anghileri1989;
Kouba, 1989), en Maza (1991:30); ellos usaron el modelo
descriptivo único para exponer sus
resultados, según el cual el desarrollo progresivo de las
estrategias puede contar cinco niveles:
Modelo descriptivo único
Anghileri (1989), Kouba (1989), en Maza (1991:31);
Este modelo; señala cinco niveles de desarrollo progresivo en
las estrategias desarrolladas por los
estudiantes al resolver problemas: los cuales se explican a
continuación.
Nivel de desarrollo 1
Utiliza la eestrategia recuento unitario: El alumno que
desarrolla esta estrategia regularmente
requiere de una representación directa con material o con
dibujos figurativos de la situación
creada para la solución ó la extensión de los dedos.
Recuento unitario
Doble recuento
Recuento
transaccional
Estrategia aditiva
Recuperación de un
hecho multiplicativo
-
Nivel de desarrollo 2
Estrategia doble recuento: El alumno percibe claramente la
regularidad de los recuentos y la
repetición de los grupos de palabras (unidades verbales) (acción
que corresponde al segundo
estadio Piagetiano); considera los cuatro procedimientos que
reflexiona Baroody (1988) citado
en Maza (1991).
1.- Se generan números de la secuencia numérica standard 1 2 3 4
5 6
2.- Se lleva la cuenta de cada segundo número contando 1 2 , 1 2
, 1 2 .
3.- Se lleva la cuenta del número de grupos de dos; 1 2 (pausa),
3 4 (pausa),5 6.
(según Maza este paso no es tomado a un como objeto de
conocimiento)
4.- Se detiene la secuencia numérica después de completar el
tercer grupo de dos y dar el
último número de contado como respuesta 6
La actitud desarrollada por el alumno; depende del desarrollo
del principio cardinal Gelman
y Gallistel (1978), en el cual la última palabra de un recuento
tiene para el alumno un
significado especial, que le señala todos los elementos del
conjunto contado. El énfasis la
pauta le indica que es el final de un grupo de dos o en el caso
del seis que es el final de todo.
Nivel de desarrollo 3
Estrategia recuento transaccional: El alumno utiliza unidades
abstractas antes que las
verbales; reconoce el número progresivo de grupos (Steffe y
otros (1983), citados en Maza
1991:33); indica que esta estrategia se manifiesta,
inicialmente, por un recuento subvocal de la
palabra (el empleo de múltiplos de dos), que no marca el final
de un grupo para concluir con su
interiorización.
1 (susurrado) 2 3 (susurrada) 4 5 (susurrado) 6
2 4 6
Nivel de desarrollo 4
Estrategia aditiva: El alumno domina plenamente el procedimiento
de recuento de grupos,
puede aplicar distintas rutinas aditivas para calcular la suma
resultante de la adición de
-
grupos. La forma más habitual reside en manipular los dobles de
un número, aunque la rutina
aditiva depende de los datos numéricos del problema.
Ejemplo: un grupo de 2 sumado a otro grupo de 2 … a otro grupo
de 2
2, 2 y 2 son 4 , luego 4 y 2 son 6
Nivel de desarrollo 5
Estrategia recuperación de un hecho multiplicativo: Entre los
problemas de multiplicación
destacan los de combinación como los más difíciles [Hart (1981);
Vergnaud (1983) ]; Quintero
(1985); seguidos de los problemas de razón que implican el uso
del cuantificador, sin embargo
hay diferencias en el aprendizaje de cada uno de los dos tipos:
en los problemas de razón la
dificultad más común consiste en comprender el significado de la
razón Puig y Cerdán (1988)
citados en Maza 1991; señalan que estos problemas son mejor
resueltos si el denominador de
la razón es el tiempo (Km/h); es decir, en la existencia de una
confusión conceptual en torno a
los problemas de combinación. Ejemplo: Si se tienen dos colores
(blanco y negro) y tres
formas (triangulo, cuadrado y círculo) se pide formar las
posibles combinaciones considerando
la forma y el color:
Este problema es meramente asociativo y no implica el cálculo
previo de los elementos
resultantes.
Sin embargo los problemas en los que se pide al alumno una
matriz de puntos de la cual se
conoce el número de elementos en horizontal y vertical, se debe
descubrir el número de
puntos existentes:
-
Para Anghileri (1989); Este problema es resuelto de manera
semejante a los de razón y
comparación; mediante una suma reiterada de una de las filas o
columnas.
Señala que la dificultad de estos problemas reside en la forma
de combinar todos los
elementos de un conjunto con los del otro conjunto. El obstáculo
más frecuente en esta
estrategia es el conceptual: ya que la multiplicación es
concebida como suma reiterada y este
modelo va a impedir la aplicación de la multiplicación a los
problemas de combinación.
En este contexto; Según Quintero (1985), los problemas de
comparación resultan más
sencillos que los de razón; sin embargo, la dificultad más común
en éstos es de tipo
lingüístico, y altera notablemente los resultados.
Ejemplo de problemas de comparación:
Maza (1991:34)
1.3 Resolución y clasificación de problemas aritméticos
Desde comienzos de la década de los ochenta, se plantea la
necesidad de incorporar el
curriculum de matemáticas en torno a la resolución de problemas;
este hecho tiene bases tanto
económicas, como sociales y pedagógicas; dado que la escuela
prepara a los alumnos para
enfrentar su vida presente y futura, en ella la resolución de
problemas es actividad constante.
Juan tiene 7 pesetas y María tres
veces más ¿Cuántas pesetas
tiene María?
Juan tiene 7 pesetas y María tiene tres veces las
Pesetas de Juan ¿Cuántas pesetas tiene María?
Repuesta
La respuesta inclina al alumno a
sumar los Números 7 + 3 = 10
Repuesta
Se observa que la palabra más viene a distorsionar el
sentido de la palabra veces: aunque la frase tres veces
más es cotidiana, impide la generalidad en los
resultados Quintero (1985).
-
Algunos de los autores que reconocen la resolución de problemas,
entre ellos Polya (1965), Glass
y Holyak (1986), Bransfor y Stein (1984) y otros, proponen una
primera etapa que consiste en la
identificación o reconocimiento de la existencia de un problema
y de la necesidad de resolverlo.
Esto lleva a Orton (1988), citado en Maza (1991), a afirmar que:
“La resolución de problemas se
concibe como generadora de un proceso a través del cual quién
aprende combina elementos del
conocimiento, reglas, técnicas, destrezas y conceptos
previamente adquiridos para dar una
solución a una situación nueva”. Así se puede concluir que la
verdadera esencia de las
matemáticas es la resolución de problemas.
1.3.1 Fases en la resolución de problemas aritméticos
En este tópico Polya (1965), hace mención, de cómo se debe de
trabajar los contenidos
matemáticos con base en la resolución de problemas, al respecto
considera como principal tarea
del maestro; la de auxiliar al alumno en cuanto al trabajo que
se realiza en el salón de clases, de
tal manera propicie un equilibrio.
De igual manera Polya señala que al maestro le corresponde
favorecer la motivación; parte
importante para que el alumno se interese en la resolución de
problemas; argumenta que como el
proceso de enseñanza-aprendizaje requiere de un largo tiempo, el
alumno debe ir progresando por
niveles, de tal manera desarrollara habilidades, que le sirvan
de base para solucionar otros
problemas; de esta manera, que se pueda observar que el alumno
no resuelve los problemas
mecánicamente.
A este respecto dicho autor señala que existen cuatro fases para
abordar los problemas:
Polya (1945) citado en Maza (1991) señala que la resolución de
problemas se ha propuesto en
cuatro fases:
1. Compresión
2. Planificación
3. Ejecución
4. Revisión
-
Análisis del problema
La comprensión del problema, El alumno tiene plena claridad del
problema, de las incógnitas,
incluye la construcción de una representación interna o externa,
en dos fases:
a) El análisis de los elementos del problema
b) Su representación posterior se refiere a descomponer la
información del
problema , respondiendo las siguientes preguntas
¿Cuáles son los datos?
¿Qué se desea encontrar?
¿Cuál es la incógnita?
¿Qué condiciones cumplen los datos del problema?
Representación del problema
Se pide relacionar los datos con la incógnita, con el fin de
encontrar ideas y trazar un plan;
en esta fase los elementos son relacionados entre sí y
expresados mediante una representación
icónica; para conseguirlo se puede:
Manipular sobre objetos reales, figurativos o material
estructurados
Dramatizar en clases el problema planteado
Expresar en dibujo, los elementos del problema y sus relaciones
mutuas.
Esto permite determinar:
¿Cuáles son las relaciones entre los elementos del problema?
¿Cuál es la mejor representación del mismo? Así concluye la
transposición de estas
representaciones con el objetivo de encontrar la que mejor
refleje el estado del problema.
¿Se disponen de datos suficientes para alcanzar la solución?
Planificación:
Significa elegir una estrategia de solución; por ello, para el
autor, al estar ante un problema
de multiplicación no existe la planificación; sólo se trata de
elegir la operación adecuada y
realizarla. Las preguntas claves para lograrlo serían las
siguientes:
¿Se parece a algún problema anterior? ¿En qué?
¿Qué pasos debo dar? ¿En qué orden? ¿A dónde me conduce?
¿Por qué creo que son adecuados?
¿Qué operación puede resolver el problema?
-
Ejecución:
Una vez que se tienen las ideas claras, se debe trazar un plan
de resolución, que consiste en
aplicar la estrategia planificada con anterioridad; desde el
punto de vista meta- cognitivo conviene
controlar en todo momento el proceso, valorar si cada paso es
correcto y si el camino es el más
eficaz; el autor dice que es el momento del “insight”, es decir,
la aparición de la idea que lleve al
alumno, que ejecuta el proceso aditivamente, a descubrir que
puede aplicar directamente una
multiplicación.
Generalización del problema
Una vez encontrada la solución, revisarla y discutirla; se deja
para la última etapa y se llega
mediante la pregunta ¿Se puede emplear el resultado o el método
en algún otro problema?. El
descubrimiento de alguna relación entre la estrategia utilizada
o el propio resultado con otros
problemas puede servir de motivación para construir principios
más generales. El autor, considera
que el resolutor “puede transitar de una fase a otra fácilmente
en el momento más creativo”.
A este respecto; una aportación importante desde la psicología y
su articulación en la enseñanza
de las matemáticas es la del psicólogo Francés Gerard Vergnaud
quien afirma que “ el significado
de la enseñanza de las matemáticas está estrechamente ligado a
la motivación y el alumno, para
interesarse, necesita encontrar un sentido a las enseñanzas que
se le transmiten “ (Vergnaud;
1997:29), este explica que para que un contenido tenga sentido
en el alumno es preciso que lo
relacione con actividades que le sean significativas, de
exploración y experimentación de orden
científico o actividades de la vida cotidiana; también se
necesita que el alumno encuentre en el
contenido un problema información que no sea excesivamente
fácil, ni excesivamente difícil
Al respecto, Shoenfeld (1987:17) asegura que muchos educadores
las han adoptado las
aproximaciones de Polya, este asegura que esta labor es un arte,
que sólo se puede aprender por
imitación y práctica; su trabajo consiste en agrupar y ordenar
las preguntas y sugerencias que su
experiencia ha mostrado como útiles para la resolución de
problemas.
-
1.3.2 Factores que influyen en la resolución de problemas
aritméticos
Tres factores principales influyen en la resolución de
problemas: un factor cognitivo, un
factor afectivo, un factor de metacognición, los cuales suponen
las interrelaciones en el aula.
En cuanto al factor afectivo Lester (1980:66),señala que
tenemos: el interés, la motivación, la
confianza, la perseverancia y la complacencia.
Entre estos la motivación; depende de la forma de enseñar el
alumno, Sternberg (1983)
Contrasta que los alumnos aprenden más y mejor si están
motivados; se refiere a que: “A igualdad
de habilidad en los alumno las diferencias en la motivación dan
cuenta de las diferencias
observadas en la realización de problemas”. Lo que quiere decir
que un niño es más creativo
cuando esta motivado.
Para Nicholls (1983 citado en Maza 1991), la motivación puede
tener tres fuentes: La
misma tarea, el propio yo del resolutor y una fuente externa: la
primera se refiere a una
motivación ideal; donde la exploración, el entendimiento, la
relación que se establezca con otros
problemas y el desarrollo adecuado de los componentes cognitivos
de las tareas; son la fuente de
satisfacción para el resolutor Buchanan (1987) en maza 1991; la
segunda concluye, que el
resolutor prefiere ejecutar un procedimiento que le permita
llegar a la solución, se inclina menos a
la reflexión, sobre si le conviene o no tal procedimiento; En la
tercera fuente la actitud de los
alumnos cambia, esta es circunstancial, los alumnos se preocupan
de caer en el fracaso, son
faltos de seguridad propia, esperan una idea que apruebe el
profesor, para resolver el problema.
Otro factor a considerar en la resolución de problemas es la
metacognición la cual se
puede clasificar en: 1).-Conocimiento de la cognición y la
regulación de la cognición: la primera
se refiere a “Disponer de la información acerca de lo que se
piensa”, la segunda se refiere “al
control que uno mismo ejerce sobre sus actos cognitivos”
Si nos referimos al conocimiento de la cognición:
Por ejemplo: Si el niño lee un libro puede saber que percibe
palabras, estas se codifican por sus
características sintácticas en la memoria a corto plazo, se
almacenan en la memoria a largo por su
significado y luego.
-
Si nos referimos a la regulación de la cognición:
El alumno puede leer más rápido si cuenta con técnicas
adecuadas, puede, también
recordar mejor lo leído, y desplegar una serie de claves que le
permitan recuperar la información
almacenada, es decir ejerce control sobre sus actos
cognitivos.
Ahora bien para (Brown y otro 1983, en Maza 1991:68) los
procesos metacognitivos son los
siguientes:
La planeación de actividades, el alumno (predice resultados,
estrategias posibles,
establece y distingue metas y submentas)
El control de actividades durante el aprendizaje, el alumno
(revisa y valora lo que aprende)
Corroboración de los resultados, el alumno valora conforme a
criterios de efectividad y
eficacia.
En este terreno de la meta cognoción se debe:
Fomentar una constante reflexión no solo en la conclusión sino
en el mismo proceso
En la planeación se debe analizar las estrategias, la asignación
de valores espaciales a
determinadas palabras (tres veces más, repartir, etc) y debe de
seleccionar la
operación adecuada a utilizar, el profesor debe de introducir
preguntas, sugerencias,
que ayuden al alumno a pensar en lo que está haciendo,
controlando sus decisiones y
evaluándolas.
Desde esta perspectiva, interesa entonces determinar el método
más adecuado para enseñar la
multiplicación y la división a partir del planteamiento de
problemas; esto permite guiar al profesor
en la construcción de su propio método teniendo en cuenta las
peculiaridades propias, las de la
materia, las del alumno y las del contexto.
1.3.3 Resolución de problemas de estructura multiplicativa
a) Referentes a multiplicación – razón
(Maza 1991:76)
Si cada sello nos cuesta 6 pesetas y queremos comprar 7 sellos
¿Cuánto dinero tendremos que reunir para comprarlos?
-
1. Analizar el problema diferenciando lo que conoce y lo que no
conoce
2. Representación icónica figurativa del problema, mediante
diagramas o listas bloques
multi-fase
sellos
6 pesetas
Esta representación soporta un grado de abstracción que
facilitará el paso de una
representación icónica a una representación simbólica, es decir,
a una representación más
abstracta.
a) Se dibujan las pesetas que vale cada sello
b) Se reitera el proceso hasta que se acabe con los sellos
c) Se cuentan todas las pesetas
La estrategia más usual será la aditiva, que en este caso
consiste en repetir las pesetas dentro
del diagrama en cada uno de los sellos y sumar al final todas
las pesetas
6
6 + 6 = 12
12 + 6 =18
Cuando el estudiante reflexiona qué es lo que está haciendo y
sobre lo que va a hacer, se llega
a la otra fase: planificación:
d) Se generaliza: mediante el descubrimiento de una relación del
problema con otros ya
resueltos, relación que aquí no se cumple.
Sabemos No sabemos
Que 1 sello vale 6 pesetas
y que compramos 7 sellos
Cuántas pesetas valen los 7
sellos?
-
b) Referentes a agrupación - razón
(Maza 1991:76)
1. El análisis será igual que el anterior
2. La representación