UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOSKA FAKULTETA …UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOSKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ... V diplomskem delu zelimo raziskati, kako stene valja vplivajo

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOSKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

DIPLOMSKO DELO

NINA VERDEL


PEDAGOSKA FAKULTETA


Studijski program: Matematika in fizika

Padanje kovinske kroglice v tekocini v merilnem

valju

DIPLOMSKO DELO

Mentor: doc. dr. Jurij Bajc Kandidatka: Nina Verdel

Ljubljana, september, 2013


PEDAGOSKA FAKULTETA


IZJAVA O AVTORSTVU DIPLOMSKEGA DELA

Podpisana Nina Verdel, rojena 19.4.1989, studentka Pedagoske fakultete Univerze v

Ljbljani, smer matemtika in fizika, izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom

Padanje kovinske kroglice v tekocini v merilnem valju

pri mentorju doc. dr. Juriju Bajcu avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni

viri in literatura korektno navedeni; teksti niso prepisani brez navedbe avtorjev.

Nina Verdel

Ljubljana, september, 2013

i

ZAHVALA

Zahvaljujem se doc. dr. Juriju Bajcu, ki je s strokovno pomocjo, nasveti in trudom

prispeval k nastanku diplomskega dela.

Zahvaljujem se tudi g. Gregorju Tarmanu za pomoc pri izvedbi eksperimentalnega

dela diplomskega dela.

Posebna zahvala gre mojim starsem za moralno pomoc in podporo med studijem.

ii

POVZETEK

V diplomskem delu raziscemo odvisnost vpliva sten merilnega valja na koncno hi-

trost padanja kroglice v viskozni tekocini. Kadar v soli delamo poskuse s padanjem

kroglice v viskozni tekocini, vedno privzamemo, da je tekocina neomejena. V di-

plomskem delu preverimo, v kaksnem razmerju smeta biti premer kroglice in premer

valja, da lahko se zanemarimo vpliv sten valja. Preverimo tudi ali je vpliv sten enak

pri tekocinah z razlicno viskoznostjo, ali je pri tekocinah z vecjo viskoznostjo vpliv

sten manjsi oziroma vecji. Eksperimentalni del opravimo z jeklenimi kroglicami z

razlicnim premerom, 4 razlicnimi merilnimi valji ter hitro video kamero. Enkrat

poskuse izvajamo v vodi in enkrat v tehnoloskem glicerinu. Podatke obdelamo v

prosto dostopnem racunalniskem programu Tracker. Podatke graficno predstavimo

in jih racunsko obdelamo s programoma Excel in Graph.

Kljucne besede: viskoznost, koncna hitrost, omejena tekocina, hitra kamera

iii

ABSTRACT

In the diploma thesis we study the dependance of the terminal velocity of a metal

spherical ball that is falling in a liquid in a graduated cylinder on the diameter of the

ball. When we are doing experiments in school we assume that the liquid is uncon-

strained. In the thesis we experimentally study under what conditions (in particular

for what ratios between the diameter of the ball and the inner diameter of the cylin-

der) the liquid may be considered as unconstrained. We also test, if for the liquids

with different viscosity the wall effect is more or less important. Experimental part

of this thesis is done with steel balls of different diameters, 4 different graduated

cylinders and a high-speed video camera. The experiment is done with two liquids,

the first is water and the second is glycerine. The data is processed in an open source

software called Tracker and for the visualisation programs Excel and Graph are used.

Keywords: viscosity, terminal velocity, confined liquid, high-speed camera

iv

Kazalo

1 Uvod 1

2 Teoreticni del 3

2.1 Tok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Viskoznost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Sila upora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Padanje kroglice v neomejeni tekocini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Padanje kroglice v valju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Eksperimentalni del 14

4 Rezultati 20

4.1 Hitrost padanja kroglice v valjih z vodo . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 Hitrost padanja kroglice v valju z glicerinom . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Zakljucek 36

v

Slike

2.1 Tokovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Laminarni in turbulentni tok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Tekocine z razlicno viskoznostjo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Koeficient upora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Karakteristike toka za razlicna Reynoldsova stevila . . . . . . . . . . 10

2.6 Profil hitrosti toka v cevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.7 Sile na kroglico v neomejeni tekocini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Uporabljene kroglice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Postavitev poskusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Program Tracker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Padanje kroglice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 Kroglica s premerom 2r = 3,48 mm v 100 ml valju . . . . . . . . . . . 21

4.2 Graf v(λ) za 100 ml valj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Graf v(λ) za 50 ml valj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4 Graf v(λ) za 25 ml valj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.5 Graf v(λ) za 10 ml valj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.6 Hitrosti vseh kroglic v razlicnih valjih . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.7 Hitrosti kroglice v 10 ml valju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25



4.10 Hitrosti kroglice v 100 ml valju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.11 Hitrosti kroglice v 100 ml valju z efektivnim cu . . . . . . . . . . . . . 30

4.12 Padanje kroglice v glicerinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.13 Graf v(λ) v 50 ml valju z glicerinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

vi

4.14 Hitrosti kroglice v 50 ml valju z glicerinom . . . . . . . . . . . . . . . 35

vii

Tabele

3.1 Podatki o kroglicah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Pomembne dimenzije uporabljenih merilnih valjev . . . . . . . . . . . 16

3.3 Razmerje dD

= λ za razlicne kombinacije kroglic in valjev. . . . . . . . 17

3.4 Gostota in viskoznost vode pri izmerjenih temperaturah. . . . . . . . 18

4.1 Skrajne meje Reynoldsovega stevila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Izmerjene in izracunane hitrosti kroglic v 10 ml valju. . . . . . . . . . 25



4.5 Izmerjene in izracunane hitrosti kroglic v 100 ml valju. . . . . . . . . 29

4.6 Maksimumi parabol za izracunane in izmerjene hitrosti kroglic. . . . . 30

4.7 Efektivni koeficienti upora cu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.8 Hitrost padanja kroglice v glicerinu in Reynoldsova stevila. . . . . . . 34

4.9 Izmerjene in izracunane hitrosti kroglic v 50 ml valju z glicerinom. . . 35

viii

1

Uvod

Ko v soli delamo poskuse s padanjem kroglice (ali kaksnega drugega predmeta) v

tekocini, vedno privzamemo, da je tekocina neomejena, kar seveda ni res. Zato smo

se v diplomskem delu odlocili eksperimentalno preveriti, kaksnen je vpliv blizine

stene na koncno hitrost kroglice v vodi in glicerinu.

V diplomskem delu zelimo raziskati, kako stene valja vplivajo na koncno hitrost

padanja kroglice v tekocini in kako viskoznost tekocine vpliva na koncno hitrost pa-

danja kroglice. Za izvedbo diplomskega dela smo uporabili jeklene kroglice razlicnih

premerov (od 3 mm do 21 mm), razlicne merilne valje (10 ml, 25 ml, 50 ml in 100

ml) ter vodo in glicerin. Poskuse smo posneli s hitro video kamero. Kamero smo

nastavili tako, da je naredila 300 posnetkov na sekundo. Iz zaporednih posntekov

lahko zelo natancno sledimo hitremu gibanju kroglic, kar bi bilo z obicajnimi meto-

dami dela pri pouku tezko izvedljivo. Posnetke smo analizirali v prosto dostopnem

racunalniskem programu Tracker. Z vecanjem polmera kroglic se njihova koncna hi-

trost med padanjem v neomejeni tekocini povecuje. Kadar kroglice padajo v valju,

postane pomembno pretakanje tekocine, ki se mora umakniti padajoci kroglici. Ta

tekocina se mora preliti skozi prostor med kroglico in steno z mesta pod kroglico na

mesto nad kroglico. Ko polmer kroglice postaja primerljiv s polmerom valja, postaja

vse bolj pomembna viskoznost tekocine, ki zavira obtekanje padajoce kroglice. Zato

pricakujemo, da se bo koncna hitrost pri velikih polmerih kroglice v primerjavi s pol-

merom valja z narascanjem polmera kroglice manjsala. Iz obeh premislekov sledi,

da mora pri nekem vmesnem polmeru koncna hitrost doseci najvecjo vrednost.

V diplomski nalogi eksperimentalno raziscemo, pri koliksnem razmerju med polme-

1

1. UVOD 2

rom kroglice in polmerom valja je dosezena najvecja koncna hitrost kroglice. Zani-

mivo je vedeti, ali je to razmerje odvisno od absolutne velikosti valja oziroma ali je

to razmerje odvisno od viskoznosti tekocine, skozi katero pada kroglica. Tudi tega

vprasanja se dotaknemo v diplomski nalogi.

Diplomsko delo je sestavljeno iz pricujocega uvoda, ki mu sledi kratek po literaturi

povzet teoreticni okvir, znotraj katerega smo racunsko obdelali opravljene meritve,

opis meritev v tretjem poglavju in predstavitev rezultatov v cetrtem poglavju. Delo

koncamo z zakljuckom in seznamom uporabljene literature.

2

Teoreticni del

V tem poglavju zberemo in zapisemo poglavitne zakone, ki veljajo za gibanje tekocin

in padanje kroglice v realni tekocini. Vecina zapisanega v poglavju je povzetega iz

knjige Fizika, 1. del [1] in knjige Contemporary college physics [7].

2.1 Tok

Tok tekocine opisemo tako, da za vsak del tekocine povemo tri komponente hitrosti

v izbranem inercialnem koordinatnem sistemu. V splosnem so koordinate odvisne

tudi od casa:

vx = vx(x, y, z, t) vy = vy(x, y, z, t) vz = vz(x, y, z, t)

Tak tok je nestacionaren. Tok pa je stacionaren, ce je hitrost v vsaki tocki neodvisna

od casa:

vx = vx(x, y, z) vy = vy(x, y, z) vz = vz(x, y, z)

Posebno nas zanimata dve vrsti tokov: laminarni in turbulenti tok [1].

Tokovnica

Tokovnica je crta, ki v vseh tockah prostora spaja smeri hitrosti tekocine in s tem

opisuje smer gibanja tekocine. Tangenta na tokovnico kaze smer hitrosti tekocine v

dolocenem trenutku (slika 2.1) [3].

3

2. TEORETICNI DEL 4

Slika 2.1: Tokovnice: tangente na tokovnice kazejo smeri hitrosti v dolocenem tre-

nutku [2].

Laminarni tok

Laminarni tok je gibanje tekocine v medsebojno vzporednih slojih, zato pri taksnem

toku ni mesanja delcev tekocine med posameznimi sloji. Tokovnice spominjajo na

pocesane lase, (slika 2.2). Laminarni tok je lahko tako stacionaren kot nestacionaren.

Pojavlja se pri majhnih hitrostih gibanja [1].

Turbulentni tok

Pri turbulentnem toku opazimo vrtince, ki se selijo po toku. Tokovnice spreminjajo

svoj polozaj in spominjajo na razkustrane lase v vetru (slika 2.2). Turbulentni tok

je vedno nestacionaren [1].

Slika 2.2: Laminarni in turbulentni tok [4].

2. TEORETICNI DEL 5

2.2 Viskoznost

Viskoznost je lastnost tekocine, ki si jo lahko prestavljamo kot notranje trenje v

tekocini. V vsakdanjem zivljenju velikokrat zamenjujemo pojma gostota in visko-

znost. Veckrat slisimo, da je olje gostejse od vode, kar ni res, lastnost na katero

mislimo, ko izrecemo ta stavek, se imenuje viskoznost. Gotota olja je manjsa od

gostote vode, saj olje plava na vodi. Na sliki 2.3 vidimo tekocine z razlicno visko-

znostjo.

Slika 2.3: Fotografija iztekanja tekocin z razlicno viskoznostjo. Viskoznost tekocin

se veca od leve proti desni [6].

V fiziki tekocine pogosto obravnavamo kot idelane. Kot idealno tekocino lahko

obravnavamo taksno tekocino, pri kateri velja, da se molekule gibljejo prosto, ne-

odvisno ena od druge in na molekule ne vplivajo sile kohezije. Idealna tekocina je

popolnoma nestisljiva in temperaturne spremembe nanjo nimajo nikakrsnega vpliva.

Prav tako v idealni tekocini ni striznih sil. Plasti tekocine polzijo druga ob drugi

brez trenja [5].

Tekocina, ki jo opazujemo v naravi, seveda ne ustreza pojmu idelane tekocine, ampak

jo imenujemo realna tekocina. V realni tekocini zaradi viskoznosti hitrejse plasti

vlecejo pocasnejse in zadrzujejo se hitrejse [5].

2. TEORETICNI DEL 6

Predstavljajmo si kapljo medu med dvema steklenima ploscama, pri cemer naj bo

razmik med ploscama majhen glede na druge razseznosti kaplje. Ce zelimo plosci po-

mikati eno vzdolz druge, se pokaze, da je za enakomerno premikanje plosc potrebna

sila. Sila linearno narasca z narascajoco hitrostjo. Pri nespremenjenem razmiku

med ploscama in nespremenjeni hitrosti je sila sorazmerna s ploscino sticne ploskve

med tekocino in premikajoco se plosco. Pri nespremenjeni sili in nespremenjenem

preseku se hitrost podvoji, ce se podvoji razmik med ploscama. Plast kapljevine,

ki je v stiku s trdno steno, glede na steno miruje. Ko imamo dve vzporedni plosci,

med katerima je kapljevina, se plast kapljevine, ki je v stiku s premikajoco se plosco,

giblje s hitrostjo plosce, plast kapljevine, ki je v stiku z mirujoco plosco, tik ob

plosci miruje, kot bi se na njo lepila. Hitrost plasti v kapljevini, merjena glede na

mirujoco plosco, je sorazmerna z oddaljenostjo plasti od mirujoce plosce, hitrost

linearno narasca v smeri od mirujoce plosce proti premikajoci se plosci.

Te ugotovitve zdruzimo v zakon o viskoznosti

dF

dS= η

dvxdz

, (2.1)

kjer je z razmik med ploscama, F sila, s katero vlecemo plosco, S povrsina, s katero se

kaplja dotika plosce, dF/dS ja strizna napetost, dvx/dz strizna hitrost in η koeficient

viskoznosti z enoto 1 Ns/m2 = 1 kg/ms. Zakon o viskoznosti pravi, da je strizna

sila sorazmerna s strizno hitrostjo. Taksna zveza velja v vsakem laminarnem toku,

le da ploskvi nista vedno ravnini [1].

2.3 Sila upora

Na telo, ki se giblje v tekocini, deluje sila upora, ki ima nasprotno smer od smeri

gibanja. O uporu govorimo tudi pri pretakanju tekocin skozi cevi, ko na stene deluje

sila tekocine oz. je potrebna sila, da tekocina tece po cevi. Locimo linearni in

kvadratni zakon upora. Za katere primere je uporaben linearni zakon in za katere

primere kvadratni zakon nam pove Reynoldsovo stevilo. Pri proucevanju upora teles

se ne oziramo na vzgon, ki je enak v gibajoci se tekocini in v mirujoci tekocini [1].

2. TEORETICNI DEL 7

Linearni in kvadratni zakon upora pri gibanju telesa po tekocini

• Linearni zakon

Po zakonu o viskoznosti lahko sklepamo, da deluje tekocina na gibajoce se telo s

silo, ki je sorazmerna viskoznosti tekocine. Ce se telo giblje dovolj pocasi, je upor

sorazmeren s hitrostjo telesa. Za kroglico z radijem r je sila upora

F = 6πηrv , (2.2)

kjer je η koeficient viskoznosti, r polmer kroglice in v hitrost kroglice. To je Stokesov

zakon. Za upor drugih teles velja enacba

F = kηlv , (2.3)

kjer je k koeficient, odvisen od oblike telesa in je l izbrana znacilna linearna razseznost

v celnem preseku telesa. To je linearni zakon, v njem nastopa hitrost v prvi po-

tenci [1].

• Kvadratni zakon

Stokesov zakon velja v primerih, v katerih je tok tekocine laminaren, a ne velja, kadar

je tok turbulenten. V tem primeru sila ni odvisna od hitrosti, kot pri Stokesevem

zakonu, temvec od kvadrata hitrosti.

Predstavljajmo si, da precno na tok postavimo plosco s presekom S. Pred oviro

tekocina zastaja. V zastojni tocki je hitrost enaka nic. Razlika med tlakom p′ v

nemotenem toku in tlakom p v zastojni tocki je po Bernoullijevi enacbi enaka tako

imenovanemu zastojnemu tlaku

p− p′ =1

2ρv2 . (2.4)

Z zastojnim tlakom si pomagamamo pri racunanju sile upora. Sila upora je priblizno

enaka (p−p′)S = 12ρv2S. Enacbo opremimo s koeficientom upora cu, ki ga dolocimo

z merjenjem. Tako dobimo enacbo za kvadratni zakon upora

F =1

2cuρv

2S , (2.5)

2. TEORETICNI DEL 8

kjer je v hitrost tekocine v nemotenem toku, merjena glede na telo. Za S vstavimo

celni presek, cu je koeficient upora in je odvisen od oblike telesa in od njegove lege

proti smeri relativne hitrosti. Za kroglo je pri velikih Reynoldsovih stevilih cu ≈ 0,4.

V neomejeni tekocini je vseeno ali se giblje tekocina in miruje telo ali se giblje telo

in miruje tekocina [1].

• Reynoldsovo stevilo

Ne vemo se, za katere primere je uporaben linearni zakon in za katere kvadratni

zakon upora. Do odgovora pridemo, ce zapisemo linearni in kvadratni zakon kot

clena v potencni vrsti v odvisnosti od relativne hitrosti. Za kroglo je sila

F = 6πrηv + 0,41

2ρv2πr2 . (2.6)

Pri majhnih hitrostih prevlada prvi clen in pravimo, da velja linearni zakon upora,

pri velikih hitrostih prevlada drugi clen in pravimo, da velja kvadratni zakon upora.

Razmerje med prvim in drugim clenom doloca tako imenovano Reynoldsovo stevilo

Re =2rρv

η. (2.7)

Za kroglo velja linearni zakon, ce je Reynoldsovo stevilo manjse kot 0,5, in kvadratni

zakon, ce je Reynoldosovo stevilo vecje kot 103 [1].

• Koeficient upora cu

Pri Reynoldsovih stevilih Re� 1 je viskoznost pomembna v podrocju okoli krogle,

kot tudi v okolici (obarvano podrocje na sliki 2.5a). Tokovnice se ne locijo in tekocina

se ”lepi” na kroglo. V tem rezimu je koeficient upora priblizno obratno sorazmeren

Re in ga dobro opise relacija [8]

cu =24

Re. (2.8)

Pri srednjih Reynoldsovih stevilih (103 < Re < 105) je mejna plast blizu krogle.

Viskoznost je pomembna v obmocju znotraj mejne plasti (slika 2.5b). Na sliki 2.4

vidimo, da se koeficient upora zmanjsuje z narascanjem Reynoldsovega stevila in je

skoraj konsantent (cu ≈ 0,4) za Reynoldsova stevila med 103 in 2 · 105 [8].

2. TEORETICNI DEL 9

Slika 2.4: Graf koeficienta upora v odvisnosti od Reynoldsovega stevila [11].

Linearni in kvadratni zakon upora pri pretakanju tekocin po

valjastih ceveh

Linearni zakon upora velja za laminarni tok, kvadratni zakon upora velja za turbu-

lentni tok.

• Linearni zakon upora

Pri gibanju tekocine po valjasti cevi stene cevi delujejo z zaviralno silo na sosednje

plasti tekocine. Te plasti upocasnjujejo njim sosednje in tako naprej. Rezultat tega

je, da je tok tekocine najhitrejsi na sredini cevi in najpocasnejsi ob stenah. Tik ob

steni je hitrost toka tekocine glede na steno enaka nic (slika 2.6). Za tok tekocine

velja, da je razlika tlakov vzdolz cevi odvisna od radija cevi. Prav tako je razlika

tlakov v dveh tockah odvisna od viskoznosti tekocine. Razliko tlakov nam pove

Poiseuillov zakon

p2 − p1 = −8ΦvηL

πR4, (2.9)

kjer je φv je prostorninski tok, R polmer cevi, η viskoznost tekocine in L = x2 − x1

razdalja med izbranima tockama. Tekocina vedno tece z mesta, kjer je vecji tlak,

na mesto, kjer je manjsi tlak, kar v enacbi (2.9) pove predznak minus [7].

2. TEORETICNI DEL 10

Slika 2.5: Karakteristika toka tekocine ob krogli pri razlicnih Reynoldsovih stevilih:

a) Re� 1, b) 103 < Re < 2 · 105, c) Re > 2 · 105 [8].

Hitrost ima v laminarnem toku po valjasti cevi parabolicen profil. Linearni zakon

upora zapisemo v obliki

p2 − p1L

= −8ηvsR2

, (2.10)

kjer je vs povprecna hitrost in je pri laminarnem toku po valjasti cevi enaka vs = 12v0,

kjer z v0 oznacimo najvecjo hitrost v osi cevi (slika 2.6) [1].

• Kvadratni zakon upora

Profil hitrosti v turbulentnem toku je drugacen kot v laminarnem. Ob steni je zelo

tanka mejna plast, v kateri je tok laminaren. V tej plasti, tako kot pri laminarnem

toku, hitrost tekocine narasca sorazmerno z razdaljo od stene. Na sredini cevi je

strzen, v katerem se tekocina mocno vrtinci, (slika 2.6). V njem je casovno povprecje

hitrosti skoraj neodvisno od razdalje od osi. V turbulentnem toku je razmerje med

srednjo in najvecjo hitrostjo precej vecje kot v laminarnem. Kvadratni zakon upora

zapisemo v obliki


Slika 2.6: Profil hitrosti pri laminarnem (rdeca crta) in turbulentnem toku (crtkana

crna crta) v cevi [9].

p2 − p1L

= −cuρv2

R. (2.11)

Vrednost novo vpeljanega koeficienta upora pri toku po valjasti cevi je velikokrat

cu ≈ 0,006. Koeficient upora izracunamo po enacbi cu = 16Re

[1, 7].

• Reynoldsovo stevilo

Zopet vpeljemo Reynoldsovo stevilo, ki nam pove ali prevlada linearni ali kvadratni

zakon upora

Re =2Rρvsη

, (2.12)

kjer je R notranji premer cevi, vs hitrost tekocine na sredini cevi, ρ gostota tekocine

in η viskoznost tekocine. Samo Reynoldsovo stevilo se ne odloca o tem, ali je tok

laminaren ali turbulenten. Upostevati moramo tudi, kako gladka oziroma hrapava

je stena v cevi, ter zvrtincenost tekocine v opazovanem odseku v cevi. V literaturi

so podatki o mejni vrednosti Reynoldsovega stevila precej razlicni. Strnad pravi:

”V gladkih ceveh je tok laminaren pri Reynoldsovih stevilih, ki so manjsa kot 2300.

Posreci se dobiti laminarni tok se pri mnogo vecjih Reynoldsovih stevilih. Poskrbeti

je treba, da je tok tekocine pred vstopom v opazovani del cevi popolnoma lamina-

ren” [1, str. 134].


2.4 Padanje kroglice v neomejeni tekocini

Diplomska naloga temelji na eksperimentalnem delu. Glavni del diplomskega dela je

eksperimentalno preveriti teoreticne napovedi, pri katerem λ kroglica doseze najvecjo

koncno hitrost. Ker je poglavitni del eksperimentalni del, se v diplomskem delu ne

ukvarjamo podrobno s tem, kako izpeljati enacbe, zapisane v tem poglavju, ampak

jih le povzamemo iz literature.

Ko kroglica pada v neomejeni tekocini (tekocina ni omejena s stenami, slika 2.7), na

kroglico delujejo sila teze Fg, sila vzgona Fvzg in sila upora Fu

Fg = Fvzg + Fu . (2.13)

Slika 2.7: Sile, ki delujejo na kroglico, ki pada v neomejeni tekocini. Oznake Fd, Fb

in Fg po vrsti oznacujejo silo upora, silo vzgona in silo teze [10].

Linearni zakon upora

Sile, ki delujejo na kroglico v rezimu linearnega zakona upora, so po vrsti sila teze

Fg = mg = 43πr3ρg, sila vzgona Fvzg = 4

3πr3ρ′g in sila upora Fu = 6πηrv.

Iz teh enacb izrazimo koncno hitrost kroglice v neomejeni tekocini

v∞ =2r2g

9η(ρ− ρ′) , (2.14)


kjer je r polmer kroglice, η viskoznost tekocine, ρ gostota kroglice in ρ′ gostota

tekocine.

Kvadratni zakon upora

Pri velikih Reynoldsovih stevilih (Re > 103), velja kvadratni zakon upora [1, 7]. Sila

teze je Fg = mg, sila vzgona Fvzg = m′g in sila upora Fu = 12cuρv

2S. Za koncno

hitrost kroglice v neomjeni tekocini dobimo

v∞ =

(8(ρ− ρ′)gr

3ρcu

) 12

. (2.15)

2.5 Padanje kroglice v valju

Pri padanju kroglice v valju na koncno hitrost kroglice vplivajo tudi stene valja.

Stene valja delujejo z zaviralno silo na kroglico, ki pada v viskozni tekocini. Vpliv

sten pogosto opisemo z brezdimenzijskim parametrom fw (s tujko ”wall factor”),

ki je v najenostavnejsi interpretaciji definiran kot razmerje med dejansko koncno

hitrostjo kroglice v in koncno hitrostjo kroglice v neomejeni tekocini v∞, fw = vv∞

[12].

Majhna Reynoldsova stevila

Pri majhnih Reynoldsovih stevilih za padanje kroglice v viskozni tekocini velja

linearni zakon upora - Stokesov zakon. Po dostopnih objavljenih raziskavah fw

izracunamo kot

fw =v

v∞=

(1 − λ

1 − 0, 475λ

)4

, (2.16)

kjer je λ = dD

, d premer kroglice in D notranji premer valja [12].

Velika Reynoldsova stevila

Pri velikih Reynoldsovih stevilih fw izracunamo kot [12]

fw =v

v∞= 1 − λ1,5 . (2.17)

3

Eksperimentalni del

Pri eksperimentalnem delu diplomskega dela smo poskuse izvajali s stirimi razlicnimi

merilnimi valji (10 ml, 25 ml, 50 ml in 100 ml), ki imajo razlicen notranji premer,

in z jeklenimi kroglicami s premeri od 3 mm do 21 mm (slika 3.1).

Slika 3.1: Kroglice z razlicnim premerom.

Premere kroglic in valjev smo izmerili z digitalnim kljunastim merilom. Za tekocino

smo uporabljali vodo in tehnoloski glicerin. Pred, med in po poskusu smo vedno

merili temperaturo tekocine z digitalnim termometrom, saj je viskoznost odvisna

tudi od temperature. Zaradi dodatnih luci, ki smo jih uporabljali, se je tekocina

segrevala. Dodatne luci smo uporabili zaradi boljse vidnosti na posnetku (predvsem

manjsih kroglic), zadaj smo postavili belo platno. Poskuse smo posneli s hitro

kamero in jo nastavili tako, da je naredila 300 posnetkov na sekundo. Hitro kamero

smo postavili pred merilni valj ter nastavili povecavo, tako da smo spremljali le

padanje kroglice v tekocini. Uporabili smo tudi elektromagnet, ki na zacetku drzi

jekleno kroglico. Ko tok skozi elektromagnet prekinemo, zacne kroglica padati.

Postavitev poskusa vidimo na sliki 3.2. Posnetke smo obdelali s prosto dostopnim

14

3. EKSPERIMENTALNI DEL 15

Slika 3.2: Postavitev poskusa.

racunalniskim programom Tracker.

Kroglice, s katerimi smo delali poskuse, so jeklene, njihovo gostoto smo izracunali

iz formule ρ = mV

, kjer je V = 4πr3

3. Maso smo izmerili z digitalno tehtnico z

natancnostjo 0,01 gram, polmer z digitalnim kljunastim merilom. V tabeli 3.1 so

zapisani premeri, masa in gostota vseh kroglic. Iz teh podatkov smo izracunali

povprecno gostoto ρ′ = 7,9 · 103 kg/m3, kot mediano izmerjenih vrednosti.

Razlicne valje smo uporabili, ker imajo razlicen notranji premer in smo tako dobili

razlicna razmerja med premerom kroglice in premerom valja λ = dD

. Poskuse smo

delali za vrednosti 0,10 < λ < 0,95. Tabela 3.2 prikazuje pomembne dimenzije

uporabljenih valjev. V tabeli 3.3 vidimo, kaksna so bila razmerja dD

v razlicnih

valjih. Poskuse z vodo smo delali z vsemi valji, poskuse z glicerinom le s 50 ml

valjem, saj ima λ najvecji razpon v 50 ml valju.

Ker smo poskuse delali v vodi in glicerinu, moramo poznati tudi gostoto in visko-

znost obeh tekocin. V tabeli 3.4 so zapisane zacetne in koncne temperature vode v

posameznem valju, ter viskoznost in gostota vode za pripadajoco temperaturo vode,

povzeti iz literature [13]. Ker so podatki v virih podani le za dolocene tempera-

ture, na primer 20 ◦C, 25 ◦C, 30 ◦C smo glede na meritve z linearno interpolacijo

izracunali podatke za nase vrednosti. Ker vidimo, da se podatki o gostoti s tempera-

turo le malo spreminjajo, lahko privzamemo ρ = 999 kg/m3. Podatkov o viskoznosti

ne bomo potrebovali, saj kvadratni zakon upora ni odvisen od viskoznosti, smo pa

vseeno preverili, koliko se je viskoznost spremenila.


Tabela 3.1: Podatki o kroglicah. V prvem stolpcu so izmerjeni premeri, sledi izmer-

jena masa, izracunana gostota in na koncu odstopanje izmerjene gostote od ocenjene

vrednosti gostote za jeklo, ki smo jo izbrali kot mediano izmerjenih vrednosti, zao-

krozeno na eno decimalno mesto.

2r [mm] m [g] ρi[kg/m3] ρi − ρ [kg/m3]

2,98(1 ± 0,007) 0,11(1 ± 0,09) 7,9 · 103 0

4,98(1 ± 0,004) 0,50(1 ± 0,02) 7,7 · 103 −0,2 · 103

5,50(1 ± 0,004) 0,68(1 ± 0,01) 7,8 · 103 −0,1 · 103

5,98(1 ± 0,003) 0,89(1 ± 0,01) 8,0 · 103 0,1 · 103

7,48(1 ± 0,003) 1,73(1 ± 0,006) 7,9 · 103 0

7,98(1 ± 0,003) 2,10(1 ± 0,005) 7,9 · 103 0

10,48(1 ± 0,002) 4,75(1 ± 0,002) 7,9 · 103 0

10,98(1 ± 0,002) 5,43(1 ± 0,002) 7,9 · 103 0

11,98(1 ± 0,002) 7,07(1 ± 0,001) 7,9 · 103 0

12,26(1 ± 0,002) 7,57(1 ± 0,001) 7,9 · 103 0

12,68(1 ± 0,002) 8,38(1 ± 0,001) 7,9 · 103 0

15,08(1 ± 0,001) 14,03(1 ± 0,0007) 7,8 · 103 −0,1 · 103

15,86(1 ± 0,001) 16,36(1 ± 0,0006) 7,9 · 103 0

15,98(1 ± 0,001) 16,74(1 ± 0,0006) 7,9 · 103 0

19,04(1 ± 0,001) 28,27(1 ± 0,0004) 7,8 · 103 −0,1 · 103

19,98(1 ± 0,001) 32,60(1 ± 0,0003) 7,8 · 103 −0,1 · 103

20,62(1 ± 0,001) 35,87(1 ± 0,0003) 7,8 · 103 −0,1 · 103

Tabela 3.2: Pomembne dimenzije uporabljenih merilnih valjev. V prvem stolpcu je

oznaka valja, v drugem notranji premer valja in v tretjem visina valja.

valj 2R [mm] h [mm]

10 ml 11,7 120

25 ml 15,9 190

50 ml 21,8 180

100 ml 27,5 240


Tabela 3.3: Razmerje dD

= λ za razlicne kombinacije kroglic in valjev. V prvem

stolpcu je polmer kroglice, v preostalih stolpcih so vrednosti parametra λi v i-tem

valju, kjer indeks i pomeni oznako valja (10 pomeni 10 ml, in podobno). V desnem

delu tabele ni stolpca s parametrom λ10, ker so kroglice v tem delu tabele prevelike

za 10 ml valj.

2r [mm] λ10 λ25 λ50 λ100

2,98 0,25 0,19 0,14 0,11

3,50 0,30 0,22 0,16 0,13

4,75 0,41 0,30 0,22 0,17

4,98 0,43 0,31 0,23 0,18

5,50 0,47 0,35 0,25 0,20

5,97 0,51 0,38 0,28 0,22

7,47 0,64 0,47 0,34 0,27

7,98 0,68 0,50 0,37 0,29

10,47 0,90 0,66 0,48 0,38

10,97 0,94 0,69 0,50 0,40

2r [mm] λ25 λ50 λ100

11,97 0,75 0,55 0,44

12,25 0,77 0,56 0,45

12,67 0,80 0,58 0,46

15,07 / 0,69 0,55

15,85 / 0,73 0,58

15,97 / 0,73 0,58

19,04 / 0,87 0,69

19,98 / 0,92 0,73

20,61 / / 0,75

Za glicerin smo podatke o gostoti povzeli iz literature [15], ρg = 1250 kg/m3. Visko-

znost smo dolocili eksperimentalno z merjenjem hitrosti padanja kroglice v neome-

jeni tekocini. Uporabili smo najmanjso kroglico s premerom 2,98 mm in 250 ml caso

s premerom 66,7 mm, kar da relativno majhno vrednost parametra λ = 0,04. Enacba

(2.14) velja natancno le, ce je gibanje zelo pocasno in tekocina neomejena. Ker smo

pri meritvi uporabljali caso (tekocina ni neomejena), je potrebno η = 0, 685 kg/ms,

ki ga po enacbi (2.14) izracunamo iz izmerjene hitrosti v, se popraviti. Popravljeno

vrednost viskoznosti za glicerin ocenimo po viru [14] z enacbo

η =2g(ρ− ρ′)r2

9v(1 + 316Re)(1 + 2, 1 r

R)(1 + 3, 3 r

H), (3.1)

kjer je 2R notranji premer case (v nasem primeru 250 ml), H visina case, v kateri

smo merili viskoznost glicerina in Re Reynoldsovo stevilo, ki ga izracunamo po (2.7).

Ker je Re odvisno od η, ne moremo takoj racunati z enacbo (3.1), ampak izracunamo


Tabela 3.4: Gostota in viskoznost vode pri izmerjenih temperaturah.

valj Tz [◦C] ρz [kg/m3] ηz [Pa· s] Tk [◦C] ρk [kg/m3] ηk [Pa· s]

10ml 22,9 999,0 9,4 · 10−4 25,2 998,4 8, 9 · 10−4

25ml 21,2 999,5 9,7 · 10−4 24,5 998,6 9, 1 · 10−4

50ml 24,3 998,7 9,1 · 10−4 25,0 998,5 9, 0 · 10−4

100ml 22,9 999,0 9,4 · 10−4 25,5 998,4 8, 9 · 10−4

η najprej iz poenostavljene enacbe (2.14). S to priblizno vrednostjo izracunamo Re,

ga vstavimo v enacbo (3.1) in izracunamo popravljeni η.

Najprej posnetek padanja kroglice v glicerinu obdelamo v racunalniskem programu

Tracker, meritve o odmiku in casu padanja kroglice nato prenesemo v Excel. V

Excelu narisemo graf x(t) in dolocimo hitrost padanja kroglice v glicerinu. Na

sliki 3.3 vidimo del obdelave posnetka v programu Tracker. Ker na posnetku pada

kroglica proti koordiantnem izhodiscu, je hitrost na grafu prikazana kot negativna.

Na sliki 3.4 vidimo graf x(t) in hitrost padanja kroglice v = 4,7 cm/s.

Izracun viskoznosti:

V enacbo (2.14) vstavimo izmerjene podatke in dobimo

η ≈ 0,685 kg/ms.

Sedaj izracunamo Reynoldsovo stevilo po enacbi (2.7) in dobimo

Re ≈ 0,256.

To nam da koncno viskoznost iz enacbe (3.1)

η ≈ 0,56 kg/ms.


Slika 3.3: Posnetek v Trackerju. Z vijolicno je oznacen koordinatni sistem, ki ga

v programu sami nastavimo. Prav tako dolocimo merilo na sliki in cas med zapo-

rednimi posnetki, da so hitrosti pravilno izracunane. Na desni zgoraj vidimo graf

x(t), spodaj pa tabelirane podatke o casu in legi (x in y koordinata) kroglice na

zaporednih posnetkih. Vec o programu Tracker in navodila za delo s programom

najdemo v pomoci (Help) samega programa.

Slika 3.4: Graf x(t) za padanje kroglice s premerom 2r = 2,98 mm v 250 ml casi.

Ob grafu je enacba prilegajoce se premice in korelacijski koeficent. Enote so izbrane

tako, da je velikost naklona enaka hitrosti kroglice v cm/s.

4

Rezultati

4.1 Hitrost padanja kroglice v valjih z vodo

Za vsako kroglico v vsakem valju smo najprej eksperimentalno dolocili koncno hitrost

padanja kroglice. Posnetke, ki jih posnamemo, najprej obdelamo v racunalniskem

programu Tracker, nato podatke prenesemo v Excel in Graph, kjer narisemo grafe in

dolocimo koncno hitrost padanja kroglice. Ker na posnetku kroglica pada navpicno

navzdol (proti koordiantnemu izhodiscu, ki ga narisemo), je posledicno hitrost kro-

glice, ki jo dolocimo iz grafa, negativna, saj se y koordinata s casom manjsa. Da

dobimo velikost hitrost kroglice, le spremenimo predznak hitrosti.

Eksperimentalno dolocanje hitrosti

V tabeli 3.2 vidimo lastnosti valjev, v tabeli 3.3, katere kroglice smo uporabili v po-

sameznem valju in razmerje med polmerom valja in polmerom kroglice λ. Na slikah

od 4.2 do 4.5 vidimo slike grafov, ki jih narisemo v programu Graph iz podatkov, ki

jih dobimo z obdelavo posnetkov v Trackerju. Za vsako kroglico posebej narisemo

graf in dolocimo hitrost padanja kroglice, primer je narisan na sliki 4.1. Podatke

o hitrostih vseh kroglic v posameznem valju nato zdruzimo na en graf za vsak valj

(slike od 4.2 do 4.5).

20

4. REZULTATI 21

Slika 4.1: Graf hitrosti padanja kroglice s premerom 2r = 3,48 mm v 100 ml valju,

kot primer rezultata analize posnetkov s programom Tracker. Za vse kombinacije

kroglic in valjev je bil postopek enak. Ob grafu je enacba prilegajoce se premice in

korelacijski koeficient.

Slika 4.2: Graf v(λ) za 100 ml valj.

4. REZULTATI 22




4. REZULTATI 23

Slika 4.6: Hitrosti vseh kroglic v razlicnih valjih. Zelena krivulja prikazuje padanje

kroglic v 10 ml valju, rumena v 25 ml valju, modra v 50 ml valju in rdeca krivulja

v 100 ml valju.

Na grafih na slikah 4.2 do 4.5 opazimo, da je najvecja koncna hitrost kroglice vedno

pri podobnem razmerju λ = rR

. Ker odvisnost v(λ) spominja na parabolo, ma-

ksimum dolocimo tako, da skozi tocke poiscemo najbolje prilegajoco se kvadratno

funkcijo (poskusili smo tudi s tretjo in cetrto potenco, a korelacijski koeficient R2 ni

bil bistveno vecji) in izracunamo njen maksimum. Na sliki 4.6 vidimo hitrosti vseh

kroglic v razlicnih valjih in opazimo, da se maksimum vedno pojavi pri razmerju

polmerov okoli 0,4.

Na vseh grafih lahko opazimo, da imamo dva rezima hitrosti padanja kroglice. V

prvem rezimu hitrost kroglice narasca z narascajocim polmerom kroglice (λ manj

od priblizno 0,4). V drugem rezimu hitrost kroglice pada z narascajocim polmerom

kroglice (λ vec od priblizno 0,4).

Teoreticno dolocanje hitrosti

Najprej moramo ugotoviti ali smo v rezimu linearnega zakona upora ali kvadratnega

zakona upora. To nam pove Reynoldsovo stevilo, ki ga izracunamo po enacbi (2.7).

Za hitrost vzamemo podatke, ki smo jih dolocili eksperimentalno, da ugotovimo, v

katerem rezimu smo. Reynoldsova stevila izracunamo le za najmanjso in najvecjo

kroglico v 10 ml in 100 ml valju, saj je to dovolj, da ugotovimo ali za gibanje kroglic

velja linearni ali kvadratni zakon upora, ter ali se vse kroglice gibajo v enakem

rezimu. Podatki o gostoti in viskoznosti vode so zbrani v tabeli 3.4.

4. REZULTATI 24

Tabela 4.1: Skrajne meje Reynoldsovih stevil za padanje kroglic v valjih z vodo.

valj 2r [mm] Re

10 ml 2,98 2037,1

10 ml 10,98 1377,6

100 ml 15,85 16921,0

100 ml 20,61 15538,1

V tabeli 4.1 vidimo, da so vsa Reynoldsova stevila 103 < Re < 2 · 105, kar pomeni,

da za gibanje kroglic velja kvadratni zakon upora. Na podlagi zbranih podatkov

iz literature [1, 11] za koeficient upora privzamemo vrednost cu = 0,4. Tudi za

ostale kombinacije premerov kroglic in premere valjev vemo, da so kroglice padale v

enakem rezimu upora, saj so vse vrednosti med skrajnimi mejami, zbranimi v tabeli

4.1.

Hitrost kroglice v neomejeni tekocini izracunamo iz enacbe (2.15), hitrost kroglice z

upostevanjem vpliva stene izracunamo iz enacbe (2.17). Podatki o masi in polmeru

kroglic so zapisani v tabeli 3.1, gostota vode v tabeli 3.4, razmerje med polmerom

kroglice in polmerom valja λ v tabeli 3.3, za koeficient upora privzamemo vrednost

cu = 0,4.

V tabelah 4.2 do 4.5 so zapisane vrednosti izracunanih in izmerjenih koncnih hitrosti

posameznih kroglic v valjih. Na slikah 4.7 do 4.10 vidimo slike grafov izracunanih

in izmerjenih koncnih hitrosti kroglic v odvisnosti od λ v posameznih valjih. Na

grafih so zapisane tudi enacbe parabol za izracunane in izmerjene vrednosti koncnih

hitrosti. Ker opazimo, da je koncna hitrost kroglice vedno najvecja pri λ ≈ 0,4,

lahko iz enacb parabol izracunamo, kje ima parabola maksimum, oz. pri katerem λ

je koncna hitrost kroglice najvecja, tabela 4.6.

Maksimum - izracunane vrednosti (10 ml valj):

v = −2,2561λ2teo + 1,769λteo + 0,4791

0 = −4,5122λteo + 1,769

λteo = 0,39

4. REZULTATI 25

Tabela 4.2: Izmerjene in izracunane hitrosti kroglic v 10 ml valju.

λ vizm [m/s] vizr [m/s]

0,25 0,621 0,780

0,43 0,658 0,819

0,47 0,699 0,812

0,51 0,693 0,, 803

0,64 0,600 0,684

0,68 0,500 0,637

0,90 0,195 0,243

0,94 0,112 0,150

Slika 4.7: Graf izracunane in izmerjene hitrosti kroglice v odvisnosti od λ v 10 ml

valju. Ob grafu sta zapisani enacbi prilagjocih se krivulj in korelacijska koefici-

enta. Rdeca krivulja prikazuje graf izmerjenih hitrosti v odvisnosti od λ, zelena graf

izacunanih hitrosti v odvisnosti od λ.

4. REZULTATI 26



0,19 0,698 0,816

0,31 0,817 0,939

0,35 0,834 0,950

0,38 0,826 0,967

0,47 0,818 0,954

0,50 0,810 0,938

0,66 0,683 0,772

0,69 0,631 0,725

0,75 0,518 0,622

0,77 0,479 0,582

0,80 0,426 0,519





4. REZULTATI 27



0,14 0,702 0,843

0,23 0,904 1,009

0,25 0,907 1,048

0,28 0,925 1,076

0,34 0,961 1,128

0,37 0,891 1,125

0,48 0,911 1,110

0,50 0,907 1,097

0,55 0,839 1,051

0,56 0,825 1,043

0,58 0,850 1,019

0,69 0,697 0,848

0,73 0,659 0,767

0,87 0,321 0,421

0,92 0,211 0,268

4. REZULTATI 28





Slika 4.10: Graf izracunane in izmerjene hitrosti kroglice v odvisnosti od λ v 100

ml valju. Ob grafu sta zapisani enacbi prilagjocih se krivulj in korelacijska koefici-



4. REZULTATI 29



0,11 0,727 0,857

0,18 0,931 1,048

0,20 0,930 1,091

0,22 1,016 1,132

0,27 1,032 1,210

0,29 1,008 1,224

0,38 1,098 1,274

0,40 1,062 1,268

0,44 1,037 1,257

0,45 1,004 1,253

0,46 1,001 1,256

0,55 0,983 1,176

0,58 0,927 1,143

0,69 0,803 0,952

0,73 0,720 0,859

4. REZULTATI 30

Tabela 4.6: Maksimumi parabol za izracunane in izmerjene hitrosti kroglic.

valj λmax,izr λmax,izm

10 ml 0,39 0,39

25 ml 0,41 0,41

50 ml 0,41 0,40

100 ml 0,41 0,40

Ker na vseh slikah grafov opazimo, da so izracunane vrednosti koncnih hitrosti,

nekoliko vecje od izmerjenih vrednosti koncnih hitrosti, lahko sklepamo, da upora-

bljena vrednost za koeficient upora cu = 0,4 ni povsem ustrezna. Na sliki 2.4 vidimo,

kako se spreminja koeficient upora v odvisnoti od Reynoldsovega stevila. V tabeli

4.7 vidimo, koliksna mora biti vrednosti koeficient upora cu, da se vrednosti izmer-

jenih in izracunanih koncnih hitrosti kroglic ujemajo. Iz teh podatkov vidimo, da

pri cu ≈ 0,55 dobimo zelo dobro ujemanje med teoreticno napovedjo v literaturi in

meritvami. Na sliki 4.11 vidimo paraboli izmerjenih in izracunanih vrednosti koncne

hitrosti kroglice v 100 ml valju s popravljenimi koeficientom vrednosti cu.

Slika 4.11: Graf izracunane in izmerjene hitrosti kroglice v odvisnosti od λ v 100

ml valju v vodi s popravljenim koeficientom upora cu. Rdeca krivulja prikazuje graf

izmerjenih hitrosti v odvisnoti od λ, zelena graf izracunanih hitrosti v odvisnoti od

λ.

4. REZULTATI 31

Tabela 4.7: Efektivni koeficienti upora cu, tako da se vrednosti izmerjenih in

izracunanih koncnih hitrosti kroglic ujemajo.

valj cu

10 ml 0,55

25 ml 0,53

50 ml 0,57

100 ml 0,58

4. REZULTATI 32

4.2 Hitrost padanja kroglice v valju z glicerinom

Eksperimantalno dolocanje hitrosti

Za glicerin poskuse naredimo le v 50 ml valju. Eksperimentalno hitrost dolocilmo

na enak nacin, kot pri poskusih z vodo. Na sliki 4.12 vidimo graf koncnih hitrosti

za kroglico s premerom 15,07 mm. Enako naredilmo za vse kroglice. Na sliki 4.13

vidimo graf hitrosti za vse razlicne kroglice v odvisnoti od razmerja polmera kroglice

in polmera valja. Prav tako, kot pri padanju kroglice v vodi vidimo, da imamo

dva rezima hitrosti padanja kroglice. Pri prvem rezimu, hitrost kroglice narasca

z narascajocim polmerom kroglice (λ manj od priblizno 0,4). Pri drugem rezimu,

hitrost kroglice pada z narascajocim polmerom kroglice (λ vec od priblizno 0,4).

Slika 4.12: Graf lege v odvisnoti od casa padanja kroglice za kroglice s premerom

2r = 15,07 mm v 50 ml valju z glicerinom. Ob grafu je zapisana enacba prilegajoce

se premice in korelacijski koeficient.

Teoreticno dolocanje hitrosti

Najprej moramo ugotoviti ali smo v rezimu lineranega zakona upora ali kvadra-

tnega zakona upora za padanje kroglice. To nam pove Reynoldsovo stevilo, ki ga

izracunamo po (2.7). Za hitrost bomo vzeli podatke, ki smo jih dolocili eksperimen-

talno, viskoznost smo izracunali v 2. poglavju.

V tabeli 4.8 vidimo izracunane vrednosti Reynoldsovih stevil za padanje kroglic v

50 ml valju z glicerinom. Vrednosti Reynoldsovih stevil zavzemajo vrednosti od 0,6

4. REZULTATI 33

Slika 4.13: Graf v(λ) v 50 ml valju z glicerinom.

do 5,1, kar po zapisanem v 2. poglavju pomeni, da ne velja niti linearni, niti kvadra-

tni zakon upora. Ker pri padanju kroglice v tekocini, upostevamo tudi pretakanje

tekocin po cevi, lahko privzamemo, da za nase vrednosti se velja linearni zakon

upora. To lahko privzamemo, ker vemo, da pri pretakanju tekocin po cevi, velja li-

nearni zakon se pri Reynoldsovih stevil okoli 2300. Teoreticno bomo koncne hitrosti

kroglic izracunali iz enacbe (2.16). Gostota kroglic je podana v tabeli 3.1, poda-

tek za gostoto tehnicnega glicerina povzamemo po literaturi [15] ρg = 1250kg/m3,

viskoznost glicerina smo izracunali v 3. poglavju, ηg = 0,56 kg/ms.

V tabeli 4.9 vidimo, da so odstopanja izmerjenih in izracunanih koncnih hitrosti

kroglice v glicerinu vecja kot v vodi. Odstopanja so vecja, ker je hitrost manjsa in

so zato napake vecje, pogleg tega smo viskoznost glicerina izmerili, kjer je tudi prislo

do napake.

Na sliki 4.14 vidimo graf izracunane in izmerjene koncne hitrosti kroglice v odvisno-

sti od λ v 50 ml valju z glicerinom. V tabeli 4.9 so zapisane vrednosti izracunanih

in izmerjenih koncnih hitrosti posameznih kroglic. Na grafu sta zapisani tudi enacbi

parabol za izracunane in izmerjene vrednosti koncnih hitrosti. Opazimo, da je hi-

trost kroglice vedno najvecja pri λ ≈ 0,4. Iz enacbe parabole lahko izracunamo, kje

ima parabola maksimum, oz. pri katerem λ je koncna hitrost kroglice najvecja.

4. REZULTATI 34

Tabela 4.8: Hitrost padanja kroglice v glicerinu in Reynoldsova stevila.

2r [mm] v [cm/s] Re

3,50 7,7 0,60

4,75 11,4 1,21

4,98 12,5 1,38

5,50 15,0 5,10

7,98 22,0 5,11

10,47 21,0 4,07

10,97 20,9 3,22

11,97 19,2 3,90

15,07 12,1 4,90

15,97 9,1 1,84

Maksimum - izracunane vrednosti:

v = −164,8λ2teo + 149,7λteo − 12,5

λteo = 0,45

Maksimum - izmerjene vrednosti:

v = −120,2λ2eks + 105,8λeks + 8,7

λeks = 0,44

4. REZULTATI 35

Tabela 4.9: Izmerjene in izracunane hitrosti kroglic v 50 ml valju z glicerinom.

λ vizm [cm/s] vizr [cm/s]

0,16 7,7 5,4

0,22 11,4 8,5

0,23 12,5 9,0

0,25 15,0 10,2

0,36 22,0 14,3

0,48 21,0 14,6

0,50 20,9 14,1

0,55 19,2 12,8

0,69 12,1 6,6

0,73 9,1 4,7

Slika 4.14: Graf izracunane in izmerjene hitrosti kroglice v odvisnoti od λ v 50 ml

valju z glicerinom. Ob grafu sta zapisani enacbi prilegajoicih se krivulj in koleracijska

koeficienta. Rdeca krivulja prikazuje graf izmerjenih hitrosti v odvisnosti od λ,

zelena graf izracunanih hitrosti v odvisnosti od λ.

5

Zakljucek

V diplomskem delu smo eksperimentalno preverili vpliv blizine stene na koncno

hitrost padajoce jeklene kroglice v vodi in v glicerinu. Poskuse smo posneli s hitro

video kamero, ki smo jo nastavili tako, da je naredila 300 posnetkov na sekundo.

Posnetke smo analizirali v prosto dostopnem racunalniskem programu Tracker in jih

graficno predstavili ter racunsko obdelali s programoma Excel in Graph. Iz podatkov

smo ugotovili, da je najvecja koncna hitrosti kroglice neodvisno od premera valja

vedno pri razmerju premera kroglice proti premeru valja priblizno 0,4, ne glede

na to ali kroglica pada v vodi ali v glicerinu. Pri glicerinu je prislo do nekoliko

vecje napake, ker smo morali viskoznost glicerina eksperimentalno dolociti, podatke

za viskoznost vode smo poiskali v literaturi. Poleg tega smo poskuse z glicerinom

opravili le v 50 ml valju, saj je meritev potrdila obnasanje, podobno tistemu v vodi.

V diplomskem delu smo ugotovili, da ze 3 mm kovinska kroglica v casi glicerina s

premerom skoraj 70 mm pada prehitro, da bi lahko zanemarili vpliv sten. Ceprav

pada kroglica s hitrostjo manj kakor 5 cm/s, popravek zaradi vpliva sten prinese

okoli 20 % spremembo vrednosti viskoznosti. Z drugimi besedami to pomeni, da je

potrebno za kolikor toliko natancne meritve viskoznosti praviloma upostevati tudi

koncne dimenzije posode, v kateri padajo kroglice.

Opravljeni poskusi so primerni tudi za izvajanje v soli, saj so tehnicno in izvedbeno

relativno enostavni, hkrati lahko smiselno uporabimo hitro kamero, ki je za sole

dandanes cenovo dostopna. Ker gre pri padanju s koncno hitrostjo za enakomerno

gibanje, so osnovne analize meritev primerne tako za osnovno kot za srednjo solo.

Podrobnejsa obravnava je primerna za srednjo solo, medtem ko se je potrebno pri

36

5. ZAKLJUCEK 37

interpretaciji v osnovni soli drzati kvalitativne razlage.

Literatura

[1] J. Strnad, Fizika, 1. del (Ljubljana: Drustvo matematikov, fizikov in

astronomov Slovenije, 1995).

[2] Kinematics and stress strain relation in fluids. Prideobljeno dne 1. 8. 2013 s

spletnega mesta http://www.transtutors.com/homework-help/mechanical-

engineering/fluid-dynamics/mathematical-model-fluid-motion/kinematics-

stress-strain-relationships-in-fluids/.

[3] Tokovnica. Pridobljeno dne 1. 8. 2013 s spletnega mesta

http://sl.wikipedia.org/wiki/Tokovnica.

[4] Precision meters. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega mesta

http://precisionmeters.co.za/wp-content/uploads/2011/08/Laminar-

Turbulent-flow-web.jpg

[5] Hidravlika. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega mesta

http://zapiski.fmf.si/data/Hidravlika.pdf.

[6] AEROL. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega mesta

http://www.aerolgroup.com/images/1afra-silicone-dmps-fluids-500x500-

500x500.jpg.

[7] E. Jones, R. Childers, Contemporary college physics, (Boston: McGraw-Hill,

1990).

[8] eCourses. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega mesta

http://www.ecourses.ou.edu/cgi-

bin/ebook.cgi?doc=&topic=fl&chap sec=09.1&page=theory.

38

LITERATURA 39

[9] Fundamentals! Pumps that is. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega mesta

http://www.pumpfundamentals.com/help17.html.

[10] Department of Chemical Engineering the University of Utah. Pridobljeno dne

28. 6. 2013 s spletnega mesta

http://www.che.utah.edu/outreach/module?p id=10.

[11] J. M. Cimbala, Drag on sphere, Penn State University, (2012)

[12] C. H. Ataide, F. A. R. Pereira, M. A. S. Barrozo,”Wall effects on the

terminal velocity of spherical particles in Newtonian and non-Newtonian

fluids,“ Braz. J. Chem. Eng. 4, (1999)

[13] Fluid Viscosity Tables. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega mesta

http://home.global.co.za/fluid/GWIS%20Fluid Viscosity Table.htm

[14] Viskoznost. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega mesta

http://ucilnica.fmf.uni-

lj.si/pluginfile.php/3441/modpage/content/5/vaja22.pdf.

[15] Density of Glycerine-Water Solutions. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega

mesta http://msdssearch.dow.com/PublishedLiteratureDOWCOM/dh 0032/

0901b80380032282.pdf

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOSKA FAKULTETA …UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOSKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ... V diplomskem delu zelimo raziskati, kako stene valja vplivajo

Documents