UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 – 2015 L1 Économie Cours de M. Desgraupes Mathématiques: Mise à niveau Séance 10: Fonctions usuelles Table des matières 1 Fonction logarithme 1 1.1 Définition ............................... 1 1.2 Propriétés ............................... 1 2 Fonction exponentielle 4 2.1 Définition ............................... 4 2.2 Propriétés ............................... 4 3 Fonctions puissance 7 3.1 Définition ............................... 7 3.2 Base des logarithmes ......................... 8 4 Fonctions homographiques 8 5 Fonctions trigonométriques 9 5.1 Définition ............................... 9 5.2 Propriétés ............................... 10 5.3 Formules ................................ 12 5.4 Fonctions réciproques ........................ 16 6 Exercices 19 1 Fonction logarithme 1.1 Définition Définition 1.1. La fonction logarithme est la fonction définie sur l’intervalle ]0, +∞[ dont la dérivée est la fonction 1 x et qui vaut 0 en 1. On la note en général log(x) ou parfois ln(x) (abréviation de “logarithme naturel” ou “logarithme népérien”). 1
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UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSEU.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 – 2015L1 Économie Cours de M. Desgraupes
1.1 DéfinitionDéfinition 1.1. La fonction logarithme est la fonction définie sur l’intervalle
]0,+∞[ dont la dérivée est la fonction1
xet qui vaut 0 en 1.
On la note en général log(x) ou parfois ln(x) (abréviation de “logarithmenaturel” ou “logarithme népérien”).
1
On a donc, par définition :(log(x)
)′=
1
xet log(1) = 0
1.2 PropriétésLe domaine de définition Df du logarithme est l’intervalle ]0,+∞[. Le loga-rithme n’est pas défini pour les valeurs négatives et n’est pas défini non plus en0.
On a vu que sa dérivée est1
xqui est positif sur le domaine Df : le logarithme
est donc une fonction croissante.Puisque log(1) = 0, le logarithme est négatif pour x < 1 et positif pour
x > 1.On a les limites suivantes : lim
x→+∞log(x) = +∞
limx→0+
log(x) = −∞
Voici la graphe de la fonction logarithme :
0 2 4 6 8 10
−2
−1
01
2
Fonction logarithme
1
Exercice
Trouver le domaine de définition de la fonction y = log(4x2 − 1).
2
CorrigéIl faut que le polynôme 4x2 − 1 soit strictement positif.Il se factorise en:
4x2 − 1 = (2x+ 1)(2x− 1)
Ses racines sont -1/2 et 1/2. On a donc :
Df =]−∞,−1/2[∪ ]1/2,+∞[
On a la relation fondamentale suivante pour deux nombres réels positifs aet b :
log(a b) = log(a) + log(b)
Le logarithme transforme les produits en sommes.En particulier, on en déduit que :
log(a2) = 2 log(a)
et plus généralement :log(an) = n log(a)
La formule précédente reste vraie si n est négatif. En particulier :
log
(1
a
)= − log(a)
Le logarithme de l’inverse d’un nombre est parfois appelé son cologarithme (parexemple dans les calculs de pH en chimie).
On peut aussi l’appliquer pour des exposants fractionnaires :
log(apq ) =
p
qlog(a)
Exemple
On a les identités suivantes :log(√a) =
1
2log(a)
log( 3√a) =
1
3log(a)
Par la formule de dérivation des fonctions composées, on obtient la relationsuivante pour une fonction u de la variable x :
(log(|u|))′
=u′
u
Exercice
3
Calculer la dérivée de la fonction f(x) = log(√x2 + 1
).
Corrigé
On remarque que f(x) =1
2log(x2 + 1
). On a donc :
f ′(x) =1
2
(x2 + 1)′
x2 + 1=
1
2
2x
x2 + 1=
x
x2 + 1
Lorsque, dans un calcul de limite, il y a un conflit entre un logarithme et unpolynôme, c’est le polynôme qui l’emporte.
Exemple
Calculer la limite limx→+∞
1
xlog(x2 + x).
CorrigéLe polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré. Par conséquent
:lim
x→+∞
1
xlog(x2 + x) = lim
x→+∞
1
xlog(x2) = lim
x→+∞2log(x)
x
Ce dernier quotient conduit à une forme indéterminée ∞∞ mais le polynômel’emporte et la limite est finalement 0.
2 Fonction exponentielle
2.1 DéfinitionDéfinition 2.1. La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonc-tion logarithme.
On la note habituellement exp(x) ou ex.Cette fonction existe car la fonction logarithme est continue et monotone
croissante, ce qui assure qu’elle a bien une réciproque.Son domaine de définition est R tout entier (c’est le domaine d’arrivée de la
fonction log).La fonction exponentielle et la fonction logarithme sont réciproques l’une de
l’autre, ce qui conduit aux relations :
log(exp(x)
)= exp
(log(x)
)= x
ou encorelog(ex)= elog(x) = x
4
2.2 PropriétésLe nombre e dans la notation ex est exp(1) ≈ 2.718.
C’est une valeur approchée : avec une plus grande précision, il s’écrit e =2.718281828459045090796 . . . .
Puisque le logarithme est la réciproque de l’exponentielle, on a log(e) = 1.L’espace d’arrivée de la fonction exponentielle est ]0,+∞[, autrement dit
l’exponentielle d’un nombre est toujours strictement positive.La fonction exponentielle est sa propre dérivée :
(ex)′= ex
Cette dérivée est donc toujours positive et l’exponentielle est une fonctioncroissante.
Voici le graphe de la fonction exponentielle :
−2 −1 0 1 2
02
46
Fonction exponentielle
1
e
On a les limites suivantes : limx→+∞
exp(x) = +∞
limx→−∞
exp(x) = 0+
On a la relation fondamentale suivante :
exp(a+ b) = exp(a) exp(b)
La fonction exponentielle transforme les sommes en produits.
5
La relation s’écrit aussi :
ea+b = ea eb
En particulier, on en déduit que :(exp(a)
)2= exp(2a)
et plus généralement : (exp(a)
)n= exp(na)
ou encore : (ea)n
= ena
Cette formule est valable avec des exposants négatifs ou fractionnaires.Par la formule de dérivation des fonctions composées, on obtient la relation
suivante pour une fonction u de la variable x :(exp
(u))′
= exp(u)u′
ou encore (eu)′
= eu u′
Exercice
Calculer la dérivée de la fonction f(x) = exp(√x).
CorrigéOn trouve
f ′(x) = exp(√x)×(√x)′
= exp(√x)× 1
2√x
Les graphes des fonctions logarithme et exponentielle sont symétriques parrapport à la 1ère bissectrice :
6
−2 0 2 4
−2
−1
01
23
4
Fonctions logarithme et exponentielle
0
1
e
1 e
logarithme
exponentielle
Exercice
Calculer la limite limx→+∞
log(ex + 1)
2x.
CorrigéEn +∞, ex + 1 est équivalent à ex. On a donc :
limx→+∞
log(ex + 1)
2x= limx→+∞
log(ex)
2x= limx→+∞
x
2x=
1
2
Lorsque x est très petit, on peut utiliser les équivalents suivants (déjà vusdans la séance 8) : exp(x) ∼
01 + x
log(1 + x) ∼0
x
Exercice
Calculer la limite limx→0
log(2ex − 1)
x.
Corrigé
7
On a, par équivalents :
limx→0
log(2ex − 1)
x= limx→0
log(2(1 + x)− 1
)x
= limx→0
log(1 + 2x)
x= limx→0
2x
x= 2
3 Fonctions puissance
3.1 DéfinitionPartons de la formule
log (an) = n log(a)
où a est un nombre réel strictement positif.Si on prend l’exponentielle des deux membres, on obtient :
an = en log(a)
Cette dernière relation permet de généraliser la définition des puissances àn’importe quel nombre réel x. On pose par définition :
ax = ex log(a)
avec a > 0 et x ∈ R.C’est une quantité toujours positive strictement.
Exercice
On considère la fonction f(x) = xx.a) Quel est son domaine de définition ?D’après la définition précédente (en prenant a = x), il faut (et il suffit!) que
x > 0. On a donc Df = R+∗ .
b) Calculer sa dérivée.
On écrit f(x) = xx = ex log(x) et on applique la formule(eu)′
= eu u′.On a donc :
f ′(x) = ex log(x) ×(x log(x)
)′= ex log(x) ×
(log(x) +
x
x
)= xx
(log(x) + 1
)
3.2 Base des logarithmesDéfinition 3.1. La fonction réciproque de la fonction ax s’appelle le logarithmeen base a de x.
8
On note cette fonction loga.En particulier, dans le cas où a = 10, on obtient le logarithme décimal. Le
logarithme décimal d’un nombre x est un nombre y tel que 10y = x.Par exemple log10(100) = 2 et log10(1000) = 3.Le logarithme naturel (népérien) est un logarithme en base e.Les logarithmes en base a sont définis sur ]0,+∞[.Ils vérifient la relation fondamentale :
loga(x y) = loga(x) + loga(y)
On a la relation suivante entre le logarithme en base a et le logarithmenaturel (noté ici ln pour éviter les confusions) :
loga(x) =ln(x)
ln(a)
Par exemple, le logarithme naturel est obtenu en fonction du logarithmedécimal en multipliant par ln(a) ≈ 2.3.
4 Fonctions homographiquesDéfinition 4.1. Les fonctions homographiques sont les fonctions de la forme
f(x) =ax+ b
cx+ d
Lorsque c 6= 0, le domaine de définition est Df = R\{−dc
}. Si c = 0, la
fonction est un polynôme de degré 1 et est donc définie sur tout R. Dans lasuite, on supposera c 6= 0.
La fonction y =1
xest un cas particulier de fonction homographique.
La dérivée estf ′(x) =
ad− bc(cx+ d)2
Dans le cas particulier où ad − bc = 0, la fonction est donc constante.Autrement, son sens de variation est celui dicté par le signe de la quantitéad− bc.
Le graphe d’une fonction homographique est une hyperbole équilatère, qui
admet pour asymptotes les deux droites d’équation x =−dc
et y =a
c. Ces
asymptotes sont orthogonales entre elles et la courbe est constituée de deuxbranches.
Le point d’intersection des deux asymptotes est un centre de symétrie pourle graphe.
Exemple
9
Représenter graphiquement la fonction homographique y =2x− 1
x− 2.
La dérivée est f ′(x) =−3
(x− 2)2.
−2 0 2 4 6
−4
−2
02
46
8f(x) =
2x − 1
x − 2
Hyperbole
5 Fonctions trigonométriques
5.1 DéfinitionLes fonctions cosinus et sinus se définissent sur le cercle de centre 0 et de rayon1, appelé le cercle trigonométrique.
Si on prend un point M quelconque sur ce cercle et qu’on appelle θ sonangle polaire, c’est-à-dire l’angle que fait le rayon OM avec l’axe horizontal,alors l’abscisse et l’ordonnée du point M son respectivement le cosinus et lesinus de l’angle θ.
On a donc : {cos(θ) = xM
sin(θ) = yM
10
Cercle trigonométrique
0 1
M
cos(θ)
sin(θ)
θ
5.2 PropriétésLes angles sont mesurés à partir de l’axe horizontal en tournant dans le senscontraire des aiguilles d’une montre. En analyse, ils sont mesurés généralementen radians, c’est-à-dire comme des fractions de 2π. L’angle 2π correspond à untour complet du cercle : 2π radians = 360◦.
Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π. On écrit :{cos(θ + 2π) = cos(θ)
sin(θ + 2π) = sin(θ)
Les angles 0, π/6, π/4, π/3 et π/2 sont dits remarquables et les valeurs deleur cosinus et de leur sinus se calculent facilement :
11
Angles remarquables
Angles 0π
6
π
4
π
3
π
2
sin 0√3
2
√2
2
1
21
cos 11
2
√2
2
√3
20
On utilise aussi sin(π) = 0 et cos(π) = −1.
−6 −4 −2 0 2 4 6
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
Fonction cosinus
π 2π− π− 2π
0
Période 2π
12
−6 −4 −2 0 2 4 6
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
Fonction sinus
π 2π− π− 2π
0
Période 2π
Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur tout R. Elles sont continueset dérivables :
(cos θ
)′= − sin θ(
sin θ)′
= cos θ
Les valeurs de ces fonctions sont comprises entre -1 et 1. On a donc toujoursles inéquations : {
−1 ≤ cos θ ≤ 1
−1 ≤ sin θ ≤ 1⇐⇒
{ ∣∣ cos θ∣∣ ≤ 1∣∣ sin θ∣∣ ≤ 1
5.3 FormulesLe théorème de Pythogore conduit à la relation fondamentale suivante :
cos2 θ + sin2 θ = 1
La similitude des courbes suggère qu’il existe des relations simples entre lecosinus et le sinus d’un angle.
Par des considérations géométriques sur le cercle, on obtient les relationssuivantes : {
cos(−θ) = cos θ
sin(−θ) = − sin θ
13
Cela signifie que la fonction cosinus est paire tandis que la fonction sinus estimpaire.
En décalant d’un angle π, on obtient les relations suivantes :cos(θ + π) = − cos θ
sin(θ + π) = − sin θ
cos(π − θ) = − cos θ
sin(π − θ) = sin θ
En décalant d’un angleπ
2, on obtient les relations suivantes :
cos(θ +
π
2
)= − sin θ
sin(θ +
π
2
)= cos θ
cos(π2− θ)
= sin θ
sin(π2− θ)
= cos θ
Les identités qui suivent permettent de calculer le cosinus et le sinus d’unesomme : {
cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b
sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b
Dans le cas particulier où a = b = θ, on obtient les formules de l’angle double:
cos(2θ) = cos2(θ)− sin2(θ)
= 2 cos2(θ)− 1
= 1− 2 sin2(θ)
sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)
Une autre fonction trigonométrique importante est la fonction tangente définiecomme le rapport entre le sinus et le cosinus :
tan θ =sin θ
cos θ
Cette fonction n’est pas définie pour les valeurs qui annulent le cosinus, doncpour θ =
π
2+ k π.
La tangente est périodique de période π. C’est une fonction impaire surl’intervalle ]− π
2,π
2[.
14
On a les limites suivantes :lim
θ→π2
−tan θ = +∞
limθ→−π2 +
tan θ = −∞
−6 −4 −2 0 2 4 6
−10
−5
05
10
Fonction tangente
π
2
3π
2−
π
2−
3π
2
0
Période π
La dérivée de la fonction tangente est :(tan θ
)′= 1 + tan2 θ =
1
cos2 θ
Elle est toujours positive, donc la fonction est croissante sur l’intervalle ]−π
2,π
2[.
La tangente d’une somme peut se calculer selon la formule :
tan(a+ b) =tan a+ tan b
1− tan a tan b
L’inverse de la fonction tangente s’appelle la fonction cotangente. C’est lerapport entre le cosinus et le sinus :
cot θ =cos θ
sin θ
Cette fonction n’est pas définie pour les valeurs qui annulent le sinus, doncpour θ = k π. Elle est périodique de période π.
15
On a les limites suivantes :limθ→π−
cot θ = −∞
limθ→0+
cot θ = +∞
La dérivée de la fonction cotangente est :(cot θ
)′= −1− cot2 θ = − 1
sin2 θ
−6 −4 −2 0 2 4 6
−10
−5
05
10
Fonction cotangente
π 2π− π− 2π 0
Période π
Il y a une interprétation géométrique du cosinus et du sinus dans un trianglerectangle ayant un angla θ comme sur la figure suivante :
16
A
B
C
a
b
c
θ
En désignant par a, b et c les longueurs des côtés opposés aux sommets A,B et C et par θ l’angle au sommet A, on a les définitions suivantes :
sin θ =a
c
cos θ =b
c
tan θ =a
b
aveca la longueur du côté opposéb la longueur du côté adjacentc la longueur de l’hypoténuse
5.4 Fonctions réciproquesLa fonction cosinus, si on la restreint à l’intervalle [0, π], admet une fonctionréciproque appelée la fonction arc cosinus et notée arccos.
On a donc l’équivalence, pour un angle θ ∈ [0, π] :
c = cos θ ⇐⇒ θ = arccos c
De la même manière, la fonction arc sinus (notée arcsin) est la réciproquede la fonction sinus restreinte à l’intervalle ]− π
2,π
2[.
s = sin θ ⇐⇒ θ = arcsin s
17
Enfin, la fonction arc tangente (notée arctan) est la réciproque de la fonctiontangente restreinte à l’intervalle ]− π
2,π
2[.
t = tan θ ⇐⇒ θ = arctan t
Les fonctions arc cosinus et arc sinus sont définies sur l’intervalle [0, 1].La fonction arc tangente est définie sur R tout entier et prend ses valeurs
dans l’intervalle ]− π
2,π
2[.
Les trois fonctions sont dérivables :
(arcsinx
)′=
1√1− x2(
arccosx)′
= − 1√1− x2(
arctanx)′
=1
1 + x2
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fonction arc−cosinus
π 2
π
0 1−1
18
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Fonction arc−sinus
π 2
− π 2
0 1−1
−4 −2 0 2 4
−3
−2
−1
01
23
Fonction arc−tangente
π
2
−
π
2
0
Comme les dérivées de arccos et arcsin sont opposées l’une de l’autre, leursomme est nulle. Donc la somme arccos(x)+arcsin(x) est constante. En prenant,par exemple, la valeur en 0, on obtient la relation suivante :
arccos(x) + arcsin(x) =π
2
19
La figure suivants montre la forme comprée des graphes des fonctions arccoset arcsin. Les deux courbes se coupent au point d’abscisse qui correspond àl’angle
π
4.
On a aussi les équations fonctionnelles suivantes concernant la fonctionarctan :
arctan1
x+ arctanx =
π
2∀x ∈ R∗+
arctan1
x+ arctanx = −π
2∀x ∈ R∗−
Fonctions arc−sinus et arc−cosinus
π 2
π 4
− π 2
π
0 1−1
2
2
arcsin
arccos
6 ExercicesExercices complémentaires
Exercice 1
Déterminer le domaine de définition de la fonction y = log(2−√x).
Exercice 2
Calculer la dérivée de la fonction f(x) = log((x2 + 1)(x− 1)
).
Exercice 3
Calculer la limite limx→0
exp
(− 1
x
).
Exercice 4
20
Calculer la dérivée de la fonction f(x) = 2x.
Exercice 5
Calculer les limites suivantes :
a) limx→+∞
1
x× log(x4 + x2 + 1)
b) limx→0
x log(x)
c) limx→+∞
1
x× log(2x + x)
d) limx→+∞
log(x2 + 1)
log x
Exercice 6
Monter que la composée de deux fonctions homographiques est homographique.
Exercice 7
a) Représenter graphiquement la fonction homographique y =3x− 8
x− 3.
b) Montrer qu’elle possède deux points fixes.
Exercice 8
a) Montrer, en étudiant tan(x) autour de 0, que 0 ≤ x ≤ tan(x).
b) Montrer, en étudiant sin(x) autour de 0, que 0 ≤ sin(x) ≤ x.
b) En déduire que cos(x) <sin(x)
x< 1.
c) Appliquer le théorème des gendarmes pour trouver la limite de sin(x)/xen 0.
Exercice 8
Déterminer la période des fonctions f(x) = cos(2x), f(x) = sin(3x), f(x) =tan(4x).
Exercice 9
En posant t = tan(x/2), démontrer les formules suivantes, dites “de l’angle
21
moitié” :
cos(x) =1− t2
1 + t2
sin(x) =2t
1 + t2
tan(x) =2t
1− t2
Exercice 10
Démontrer la relation suivante pour tout x ∈ R∗+ :