[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011 1 UNIVERSITETI I PRISHTINËS FAKULTETI I EDUKIMIT – PRIZREN LËNDA – FIZIKË MENTORI KANDIDATI Prof.dr.Zijadin SHEMSEDINI Zemir RAMADANI Prizren_dhjetor 2011
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
1
UNIVERSITETI I PRISHTINËS
FAKULTETI I EDUKIMIT – PRIZREN
LËNDA – FIZIKË
MENTORI KANDIDATI
Prof.dr.Zijadin SHEMSEDINI Zemir RAMADANI
Prizren_dhjetor 2011
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
2
ABSTRAKTE (Kush ishte Daniel Bernuli?)
Daniel Bernoulli Hidrodinamika
Daniel Bernuli, ishte fizikan, matematikan dhe ekonomist i madh i kohës së tij. U lind më
29 janar 1700 dhe vdiç në moshën 82 vjeçare, me 17 mars 1782. Ishte studjues i madh i
mekanikës së fluideve, i teorisë së probabilitetit apo besueshmërisë, hidromekanikës,
hidaulikës, matematikës, fizikës, medicinës, metafizikës, filozofisë së natyrës dhe për
dëshirë të babait të tij ishte edhe studjues i statistikës dhe ekonomisë.
Ishte formulues i teorisë kinetike të gazeve, ku aplikoj idetë e veta në shpjegimin e ligjit
të Bojl-Mariotit. Ishte bashkohanik dhe mik i ngushtë i matematikanit dhe fizikanit të
madhë zviceran Leonard Euler1, me të cilin bashkpunoj pa rreshtur deri në vdekje.
1 Leonard Euler – zbulues i teorisë së funksioneve, kalkulimeve infinitezimale, analizës matematike, pastaj
ishte kontribues në fushën e mekanikës, dinamikës së fluideve, optikës dhe astronomisë.
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
3
HYRJE
Ekuacioni i Bernulit, është ndër principet dhe ligjet më të njohura në fizikë.
Është parim i cili ka gjetë zbatim në shumë disiplina shkencore dhe si i tillë
është ligj shumë i aplikushëm në praktikë. Askush nuk do ta kishte besuar
(në kohën kur është formuluar ky ligj) se do të gjente një zbatim kaq të gjerë,
sidomos në fushën e hidrodinamikës dhe aerodinamikës.
Shih animacionin me “embed code2”, në fusnotë-zemiri©2011
Qarkullimi i një fluidi të pandrydhshëm (ideal), përgjatë një gypi të
rrymimit, i cili gjendet nën ndikimin e fushës gravitacionale, bën që ligji i
ruajtjes së energjisë të shprehet me një formulë të njohur me emrin
“Ekuacioni i Bernulit”
Për rrjedhje stacionare dhe laminare, shpejtësia, shtypja dhe latësia e një
fluidi të pangjeshëm dhe joviskoz, janë të lidhura me këtë ekuacion të
zbuluar nga shkencëtari zviceran, Daniel Bernuli3.
2 <iframe width="420" height="315" src="http://www.youtube.com/embed/WGGxNsYTDfw"
frameborder="0" allowfullscreen></iframe> 3 Daniel Bernuli – ishte fizikan dhe inxhinjer i njohur zviceran dhe djali i matematikanit zvicran Xhon
Bernulit (John Bernoulli). Xhon dhe Jakob Bernuli, ishin matematikan të njohur dhe njëkohësisht vëllezër,
të cilët punuan dhe kontribuan shumë në fushën e kalkulimeve matematikore.
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
4
EKUACIONI I BERNULIT
Për ta nxjerrë matematikisht ekuacionin e Bernulit do të japim dy sugjerime
lidhur me fluidin që lëviz.
Sugjerimi4 i parë është se, kurdoherë që një fluid lëviz nëpër një gyp
horizontal, ai ndeshet në një regjion të zvoglimit të sipërfaqes së prerjes
tërthore, shtypja e tij do të ulet sikur që tregohet në fig.1. Arsyeja për këtë
vjen nga ligji i dytë i Njutonit. Gjatë lëvizjes
prej një regjioni më të gjërë (2), kah regjioni
më i ngushtë (1), shpejtësia e fluidit rritet,
përkatësisht ai nxitohet duke u bazuar në
ruajtjen e masës ( të dhënë me ekuacionin e
kontinuitetit).
ku:
Në pajtim me ligjin e dytë të Njutonit, nxitimi i fluidit duhet të jetë
shkaktuar nga një forcë e pa ekuilibruar. Këtu forcë të pabalancuar, gypi
mund ta ketë vetëm kur shtypja në regjionin e dytë, e tejkalon shtypjen në
regjionin e parë. Do të shohim se ky dallim i shtypjes jepet me Ekuacionin e
Bernulit.
Sugjerimi i dytë është ajo se kur fluidi lëviz drejt një lartësie më të madhe,
shtypja në nivelin më të ulët është më e madhe se sa shtypja në nivelin më të
lartë, siç tregon figura 2.
4 Sugjerim – sugjeroj, propozoj apo këshilloj (shpjegim i fjalës!).
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
5
Figura 2
Në pjesën e gypit në figurë, rrymon një sasi lëngu (uji) dhe siq po duket
shpejtësia dhe presioni i ujit në gyp, ndryshon nga seksioni i parë në të dytin,
në të tretin, e kështu më radhë. Matësit e shpejtësisë dhe presionit, tregojnë
vlerat e tyre të cilat paraqiten njëkohësisht në tri vende të gypit. Shihet se aty
ku gypi është më i ngushtë, shpejtësia e ujit rritet, ndërsa presioni i tij bie
dhe e kundërta, aty ku ku gypi zgjerohet, shpejtësia zvoglohet, por presioni i
ujit në gyp rritet.
Figura 3
Për ta nxjerrë ekuacionin e Bernulit do të na ndihmonte figura-4. Nëpër një
tub të lakuar, rrymon fluidi nën ndikimin e shtypjes dhe forcës së rëndesës
𝑝1 > 𝑝3
1 < 3
𝑣1 < 𝑣3
𝑆1 > 𝑆3
Parametrat, janë:
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
6
së tokës. Këtë fluid e mendojmë si fluid ideal d.m.th., të pangjeshëm dhe
joviskoz5. Në sipërfaqet e prerjeve tërthore të tubit S1 dhe S2 rrymon fluidi
me masë:
1
1 1
1 1
Sipërfaqja e prerjes tërthore e tubit S1 gjendet në lartësi h1 ndaj rrafshit
horizontal, kurse sipërfaqja e prerjes tërthore S2 në lartësin h2. Që të dyja
(edhe sipërfaqja e prerjes tërthore edhe lartësia) janë të ndryshme në vendet
e ndryshme përgjatë këtij tubi. Nëpër sipërfaqen e prerjes tërthore S1 fluidi
rrymon me shpejtësi v1 kurse shtypja në atë regjion është p1. Në regjionin me
prerje tërthore S2 shpejtësia e fluidit është v2 dhe shtypja p2.
Gjatë rrymimit të fluidit me masë , kryhet puna si rrjedhim i veprimit të
shtypjes p. Puna që kryen fluidi gjatë rrymimit në regjionin me sipërfaqe të
prerjes tërthore S1 është :
1 1 1 1 1 1 1 1
kurse nëpër prerjen tërthore S2 është :
Fluidi në lëvizje ka energji kinetike e meqënëse rrymimi i tij bëhet në një
lartësi ndaj rrafshit horizontal atëher ai ka edhe energji potenciale. Energjia
kinetike e fluidit në regjionin me sipërfaqe të prerjes tërthore S1 të tubit
është:
5 Joviskoz - pa fërkim të brendshëm
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
7
1
1
kurse energjia potenciale është:
1 1
Në regjionin me sipërfaqe të
prerjes tërthore S2 është:
dhe energjia potenciale është:
Energjia e përgjithshme e
fluidit në çdo pjesë të tubit është e barabartë me shumën e energjisë kinetike,
potenciale dhe energjisë apo edhe të punës që del nga veprimi i shtypjes.
Te rrymimi i fluidit zbatohet ligji i ruajtjes së energjisë prandaj energjia e
përgjithshme e fluidit nëpër regjionin e parë, me prerje tërthore S1 të tubit
është e barabartë me energjinë e përgjithshme të fluidit në regjionin e dytë,
me sipërfaqe të prerjes tërthore S2.
Siq shihet te ekuacioni i Bernulit, ligji i ruajtjes së energjisë shprehet si punë
e forcave të gravitetit për të zhvendosur lëngun me vëllim të caktuar nga një
pozitë në tjetrën;
1 1 1
dhe si punë e forcave të shtypjes , e cila është e barabartë me
diferencën e punëve që veprojnë në sipërfaqet e seksioneve përkatëse;
1 1 1 1 1
1 1
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
8
Ndërrimi i energjisë kinetike të lëngut, është pikërisht pasojë e ndryshimit të
këtyre forcave;
1
1 1
Pra duke u bazuar në ligjin për ruajtjen e energjisë, puna e investuar për të
bartur masën e lëngut nga një pozitë në tjetrën, duhet të jetë e barabartë me
ndryshimin e energjisë kinetike të tij, prandaj do të kemi:
Apo pas zëvendësimit të shprehjeve të më-sipërme, marrim:
1 1 1 1 (1
1
1 1
Zakonisht lëngjet ideale janë të pandrydhshme, prandaj vëllimi i tyre nuk
ndryshon, dmth:
1
Atëherë ekuacioni i mësipërm merrë këtë formë:
1 1 (1
1
1
Apo:
1 1 1
1
+ + 1
Duke ditur se seksionet e gypit të Bernulit mund të jenë të çfardoshme,
atëherë për cilindo seksion të gypit të rrymimit mund të shkruajmë shprehjen
matematikore:
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
9
Ekuacioni i fundit, paraqet, ligjin e rrymimit të lëngut ideal e të pa-
ndrydhshëm. Me këtë rast që të tre
anëtarët e mësipër, i kanë përmasat e
shtypjes. Anëtari i parë ka përmasat e
shtypjes në seksionin e dhënë të gypit
(p), anëtari i dytë ka përmasat e
shtypjes hidrostatike ( dhe
anëtari i tretë i ka përmasat e shtypjes
hidrodinamike ( 1
Varësisht nga pozita e gypit të rrymimit
mund të mos ketë efekt ndonjëri nga këta
faktorë. P.sh. për gypin horizontal nuk ka
efekt shtypja e lartësisë pasi ndryshimi i
shtypjeve, në këtë rast, është baras me
zero.
Ekuacioni i Bernulit është rezultat i drejtëpërdrejtë i teoremës punë-energji
dhe aplikohet kur rrjedhja është joviskoze, pra kur humbjet nga viskoziteti
mungojnë. Pasi që pikat 1 dhe 2 janë zgjedhur në mënyrë arbitrare, termi ka
vlerë konstante në të gjitha pozitat e rrjedhjës.
Në qoftëse fluidi ideal rrymon nëpër tubin horizontal në atë mënyrë që të
gjitha pjesët e tubit gjenden në lartësi të njëjtë 1 , nga rrafshi
horizontal, ekuacioni i Bernulit e merrë formën:
1 1
1
+ 1
Figura 5
Figura 6
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
10
apo
Kur fluidi rrymon nëpër tubin e pjerrët, por me sipërfaqe të prerjes tërthore
të njejtë në tërë gjatësinë e tij, atëherë shpejtësitë v1=v2=v dhe ekuacioni i
Bernulit do të merrë formën :
1 1
Ndryshimi i shtypjes në të dy skajet e tubit do të jetë baras me shtypjen e
shtyllës së fluidit:
1 1
ZBATIMI I EKUACIONIT TË BERNULIT
Ekuacioni i Bernulit ka gjetur zbatim të madhë në shumë degë të shkencës
dhe të teknologjisë, sidomos në Aerodinamikë, Hidrodinamikë, me
aplikimin e Pompës së Bunzenit, sprejeve të ndryshme, si shpërhapësi i
aromës, gypi i Pitos, gypi i Pandlit, gypi i Venturit, teorema e Toriçelit,
fluturimi i aeroplanit, etj. Do ti analizojmë në veqanti të gjithë këta shembuj
ndaras, që shpjegohen me ekuacionin e Bernulit.
TEOREMA E TORIÇELIT
Evangelista Toriceli, një fizikan i njohur italian, ka shqyrtuar rrjedhjen e
lëngut nga ena e cila e ka vrimën e vet në fund të enës, siq e tregon edhe
figura. Për këtë qëllim ne do të zbatojmë për këtë rast me të dhënat për
sipërfaqen e lëngut dhe për vrimën kah del uji.
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
11
Shkruajmë së pari ekuacionin e Bernulit për dy seksione tërthore të enës,
pjësn e sipërme dhe vrimën e daljes së ujit.
1 1 1
1
+ + 1
Pasi që sikur në sipërfaqen e lirë të lëngut, ashtu edhe në vrimën e rrjedhjes,
vepron shtypja atmosferike, 1 , ku pa është shtypja atmosferike.
Në anën tjetër lartësitë përkatëse të ujit janë:
1
Nga figura shihet se ena është e gjerë, dhe shpejtësia e rënjes së nivelit të ujit
në pjesën e hapur është shumë e vogël, kurse në pjesën e ngushtë është
shumë e madhe, prandaj kemi:
1
Prandaj nëse këto vlera i zëvendësojmë në
shprehjen e mësipërme për ekuacion të Bernulit,
do të fitojmë:
Prej nga fitojmë shprehjen e duhur për shpejtësi
të rrjedhjes së fluidit (lëngut):
√
E cila në fakt paraqet teoremën e njohur të Toriçelit. Këtë rezultat do ta
fitonim edhe poqëse vrima e daljes së ujit do të ndodhej në pjesën anësore të
enës, porn ë një thellësi h nga sipërfaqja e lirë e lëngut.
Themi se nga vrima e vogël del uji në formë të një çurgu, i cili ngushtohet
kur del nga vrima, por zgjerohet përsëri pas daljes nga ajo, me ç’rast i merr
Figura 7 (kb©)
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
12
seksiont përkatëse , ku seksioni i parë është kur uji ndodhet një çast
në vrimë dhe i dyti kur uji del nga vrima.
Me këtë rast fenomeni i njohur si “kontraksioni i çurgut”, tregon se shkalla e
kontraksionit përkufizohet si herës i këtyre dy sipërfaqeve të prerjes tërthore:
<
Me këtë rast sasia e lëngut Q e cila rrjedh nga hapja me sipërfaqe S
njehësohet, nëse dihet sipërfaqja e hapjes S, dihet shkalla e kontraksionit të
çurgut dhe shpejtësi e rrymimit të lëngut nëpër enë, prandaj themi se vlen
shprehja matematikore:
√
GYPI I VENTURIT (VENTUR-METRI)
Gypi i Venturit është një veglëri e cila bën matjen e shpejtësisë së lëngut,
ose prurjes vëllimore të lëngut. Gypi i Venturit është paraqitur në figurën 8.
Gypi i Venturit ndryshe quhet “ventur-metër” , pra është një aparat për
matjen e shpejtësisë së lëngut apo gazit nëpër tub. Kur fluidi lëviz nëpër
pjesën e ngushtë të venturi metrit, shpejtësia e tij rritet nga v2 në v1, kurse
shtypja e tij zvogëlohet nga p2 në p1.
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
13
Duke i matur këto shtypje, mund të gjendet shpejtësia, ashtu edhe vëllimi i
lëngut në njësinë e kohës. Duke e zbatuar ekuacionin e kontinuitetit dhe
ekuacionin e Bernulit për seksionin e madh dhe të vogël të gypit, gjejmë:
1 1
1 1
1
+ 1
1
1
Dhe duke zëvendësuar 1 fitojmë shprehjen:
√ 1
1
Me këtë rast sipërfaqet e seksioneve tërthore të gypit janë të njohura, prandaj
diferenca e shtypjeve do të jetë:
1
Atëherë prurja vëllimore e fluidit në gypin ventur do të jetë 1 dhe
ekuacioni do të marrë këtë formë:
1 1 √ 1
1
1 √
1
1 √
1
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
14
POMPA E BUNZENIT
Një shembull tjetër i cili vërteton zbatimin në praktikë të ekuacionit të
Bernulit, është edhe Pompa e Bunzenit. Kjo pompë punon në parimin e
ndryshimit të shtypjes dhe ndryshimit të rrjedhjes së lëngut, ashtu siq tregon
figura.
Pompa e Bunzenit, mund të kyqet në rrjetin e ujësjellësit dhe zakonisht është
përbërë nga një balonë e qelqit, nëpër të cilën kalon një gyp tjetër i cili është
i ngushtuar në skajin e vetë. Në
pjesën e ngushtë të gypit, lidhet
gypi tjetër i cili vazhdon tutje, por
që në pjesën lidhëse është më i
gjerë. Balona e qelqit është mund të
lidhet me një manometër, kurse
manometri lidhet me enën të cilës duam që t’ia
rralojmë ajrin. Kur zmadhohet shpejtësia e lëngut
në fundin e ngushtë të gypit, shtypja e ajrit do të
zvogëlohet nën nivelin e shtypjes atmosferike
dhe mundësohet thithja e ajrit nga ena në balonë.
Bombolat e gazit punojnë sipas parimit të
pompës së Bunsenit, prandaj njohja e kësaj
aparature është shumë me rëndësi kur kemi
parasysh se gazi sot përdoret me të madhe si lëndë djegëse, gati në tërë
botën.
Figura 9
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
15
Kur ndezësi është i lidhur me një furnizues me gaz, atëherë gazi që rrjedh në
të ka shpejtësi të madhe dhe kalon nëpër një dalje të ngushtë, duke krijuar
një rajon të presionit të ulët. Ajri nga jashtë është nën presion atmosferik dhe
përzihet me gazin nga bombola. Përzierja e gazit dhe ajrit me këtë rast na
mundëson që gazi të digjet plotësisht dhe prodhon një flakë të pastër dkë
ngrohë dhe duke mos prodhuar ndotje me tym.
SHPËRHAPËSI I AROMËS (sprejet)
Tjetër zbatim i ekuacionit të Bernulit është edhe shpërhapësi i aromës, i cili
shërben për të shndrruar lëngun në formë të pikave të imta në formë të shiut
të imtë, nganjëherë në formë mjegulle.
Nëse e ndrydhim me dorë
gomën apo kapësen e
shpërhapësve të aromës,
krijojmë një rrymim të
shpejtë të ajrit mbi skajin
e gypit vertikal. Nga
rrymimi i shpejtë i ajrit,
shtypja në skajin e
ngushtë tëgypit vertikal do të zvoglohet nën nivelin e shtypjes atmosferike e
cila vepron në lëngun që gjendet në rezervoarin e enës. Me këtë rast shtypja
atmosferike e detyron lëngun të lëvizë dhe të dalë nëpër pjesën e ngushtë të
gypit vertikal. Lëngu në dalje do të shpërhapet në hapsirë në formë të
grimcave të imta, duke krijuar mjegullinë.
Figura 10
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
16
GYPI I PITOS
Gypi i Pitos paraqet një tub të hollë i cili ka një hpje në kahje të kundërt me
rrjedhjen e fluidit i cili më parë është vendosur në një gyp më të gjerë.
Ky gyp shërben për matjen e shpejtësisë së rrjedhjes së fluidit dhe tërësisht
bazohet në ekuacionin e Bernulit.
Nëse e zbatojmë ekuacionin e Bernulit për rastin e gypit të Pitos, do të
marrim parasysh këto parametra. Në hyrje të gypit shpejtësia e rrjedhjes së
lëngut është 1 kurse në dalje shpejtësia do të jetë , sepse lëngu
në hyrje të gypit të ngushtë ndahet në dy pjesë që e kalojnë gypin lartë dhe
poshtë.
Por pasi që gypi është horizontal,
atëherë kemi 1 , prandaj
ekuacioni i bernulit do të reduktohet
në shprehjen e mëposhtme:
1
1
Nga kjo shprehje mund të njehsohet
edhe lartësia e ngritjes së fluidit në
gypin e lakuar. Ka edhe një mundësi tjetër që pranë gypit të pitos të vendoset
edhe një gyp tjetër vertikal i cili quhet ndryshe “gyp piezometrik”. Tani
shtypjet p1 dhe p2, mund të paraqiten me lartësitë përkatëse në gypat h1 dhe
h2, të dhëna me shprehjet matematikore:
1 1
Kurse për shpejtësi të rrjedhjes fitohet shprehja:
√ 1 √
Figura 11
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
17
Gypi i Pitos është një ndër pjesët kryesore të çdo aeroplani që fluturon në
ajër, i cili balancon presionin e ajrit brenda aeroplanit.
GYPI I PANDLIT
Zbatim të madh në praktikë e ka gypi i Pandlit, i cili përmban në vete edhe
një gyp Pito edhe një tjetër gyp piezometrik ku në mënyrë të drejtpërdrejt
lexohen vlerat numerike të lartësisë që arrin lëngu nëpër enë dhe gypa të
ndryshëm. Këto vlera nga gypi i pandlit mund të lexohen direkt ose të
llogariten nëse dihet shpejtësia e lëngut, sipas shprehjes së mësipërme:
√
FLUTURIMI I AEROPLANIT
Shembulli më i mirë i zbatimit të ekuacionit të Bernulit në fushën e
aerodinamikës apo në fushën e fluturimeve në hapsirë, është fluturimi i
avionëve. Do të paraqesim një prerje tërhtore të një krahu të aeroplanit dhe
shohim se për shkak të formës aerodinamike të krahëve të tij, ajri i cili
qarkullon përskaj krahut, do të rrjedh me shpejtësi më të madhe nga sipër se
nga poshtë.
Figura 12
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
18
Nga ana e sipërme kuptojmë se presioni i ajrit aty është më i vogël për
shkak të shpejtësisë së ajrit (rregull e dhënë nga Bernuli), ndërsa në pjesën e
poshtme, presioni i ajrit është më i lartë dhe për pasojë kemi ngritjen e
aeroplanit dhe fluturimin e tij.
Kështu ky parim na tregon se si mund të ngritet në fluturim një aeroplan
duke vepruar forca e ngritjes së krahëve të tij, që shpjegohet qartë me
principin e Bernulit.
Një rast gati analog me fluturimin e
aeroplanit është edhe gara e kërcimeve
me ski, që jemi mësuar ta shohim gjatë
stinës së dimrit. Kërcyesi me ski fiton
ngritje dinamike krejtësisht ngjashëm
në krahët e aeroplanit, duke i ndihmuar
vetvetes për të mbetur më gjatë në ajër.
Ai me trupin e vet bënë imitimin e krahut të aeroplanit dhe kur zbret bën
amortizimin e rënjes së furishme duke lakuar gjunjët.
INSTALIMI I LAVATRIQES DHE I LAVABOS
Ndikimi rrjedhës së fluidit në shtypje është shumë i përhapur. Ilustroni se si
instalimi shtëpiak i ujit llogarit implikimin e ekuacionit të bernulit. Pjesa e
formës U e gypit përfundi lavabosë quhet“ kurth ”, sepse e zë në kurth ujin, i
cili shërben si barierë për parandalimin e gazeve të pakëndëshmë të
kanalizimit, që të përhapen në shtëpi.
Figura 13
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
19
Figura, tregon për instalimin e keq. Kur uji nga makina e larjes së teshave
vërsulet nga gypi i kanalizimit, rrjedhja me shpejtësi të madhe shkakton që
të ulet shtypja. Shtypja në pikën
nën lavabo, megjithatë mbetet në
shtypjen (më të lartë) atmosferike.
Si rezultat, uji shtyhet nga kurthi
dhe shkon në vijën e kanalizimit,
duke lënë hapsirën të pambrojtur
për gazin e kanalizimit. Sistemi i
ndërtuar në mënyrë korekte, duhet
të ketë ventilim nga ana e jashtme
e shtëpisë.
Kështu, qëllimi i ventilimit është që të parandalojë zbrazjen e “kurthit” dhe
të mos mundësojë rrugë për gazet e ventilimit.
FORCA E DEVIJIMIT
Rruga e devijuar e topit, një nga armët më të rrezikshme të lojës së futbollit
është një shembull tjetër që ilustron efektin e rrjedhjes së fluidit.
Tregon lëvizjen e topit në të djathtë kur nuk ka rrotullim. Shikimi është nga
lart drejt Tokës. Në këtë situatë, ajri rrjedh me shpejtësi të njejtë rreth të dy
anëve të topit, kurse shtypja është e njejtë gjithashtu në të dy anët.
Nuk ekziston asnjë forcë e përgjithshme tjetër që e detyron topin ta kalojë
rrugën në anën tjetër. Përkundrazi kur topit i jepet rrotullimi, ajri që e mbyll
sipërfaqen e tij, tërhiqet rreth tij: pjesës që mbështjell gjysmën e topit, i rritet
shpejtësi ( i ulet shtypja) kurse pjesës së gjysmës tjetër, i zvoglohet ( i rritet
shtypja ).
Figura 14
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
20
Figura 15
Vizatimi ilustron efektet e rrotullimit me kah të kundërt me akrepat e orës.
Me këtë rast, paraqitet një forcë nga shtypja më e lart drejt shtypjes më të
ulët, e cila detyron topin që të devijojë në anën e majtë të lojtarit. Kjo forcë
quhet forcë e devijimit.
RRJEDHJA E LËNGUT
Si shembull i fundit të zbatimit të ekuacionit të bernulit, me këtë rast do të
shqyrtojmë rrjedhje e ujit nga një enë shumë e madhe nëpërmjet një gypi të
hollë, i cili ndodhet afër fundit të saj siç tregon fig.a.
Ekuacioni i Bernulit mund të përdoret për ta
përcaktuar shpejtësinë me të cilën uji del
nga gypi. Do të supozojmë se lëngu sillet
sikur të ishte fluid ideal, prandaj do të mund
ta zbatojmë ekuacionin e Bernulit dhe, për
tu përgatitur për këtë do të vendosim dy Figura 16
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
21
pika që ndodhen në fluid, pasi që ena përsipër është e hapur, atëher shtypja
në pikat 1 dhe 2 është e njejtë p1= p2, ndërsa ekuacioni i Bernulit do të
përdoret në formën:
1 1
1
+ 1
Dendësia (ρ) këtu mund të eliminohet në mënyrë algjebrike (thjeshtojmë anë
për anë) dhe kur të llogaritet sipas 1
, fitohet:
1
1
Kështu që: 1, për lartësinë e sipërfaqes së lëngut nga gypi, ku del
fluksi i atij lëngu. Kur ena është shumë e madhe, niveli i lëngut ndërrohet
shumë ngadalë, prandaj shpejtësia në pikën 2 mund të merret e barabartë me
zero, dhe për shpejtësinë e v1 fitohet:
1 √ √ 1
Nga ky rezultat shihet se shpejtësia me të cilën lëngu lëshon gypin e hollë
me supozimin se është fluid ideal dhe se ena është shumë e madhe, është e
njejtë me atë sikur ai lëng të bënte rënie të lirë nga lartësia h (x=h dhe a=g).
Ky rezultat është i njohur si teorema e Toriçellit. Në qoftë se gypi i hollë
është i drejtuar përpjetë, lëngu do të arrijë lartësinë h të barabartë me nivelin
e fluidit përmbi gyp. Mirëpo nëse lëngu nuk është fluid ideal, viskoziteti i tij
nuk mund të mos përfillet.
Prandaj shpejtësia e fluksit do të jetë më e vogël se sa që e jep ekuacioni i
Bernulit, dhe lëngu do të arrijë lartësinë që është më e vogël se h.
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
22
RRJEDHJA E GAZEVE
Ekuacioni i Bernulit zbatohet edhe te rrjedhja e gazeve (figura). Gazi rrjedh
nga ena vetëm atëherë kur shtypja p e gazit në enë, është më e madhe se
shtypja jashtë saj, p.sh., shtypja atmosferike.
Në rastin e kundërt, kur shtypja jashtë
enës është më e madhe se shtypja në
enë, atëher gazi do të futet në te. Me v
shënojmë shpejtësinë e rrjedhjes së gazit
nga ena, ndërsa shpejtësia e
përgjithshme e gazit në enë është baraz
me zero ( v=0 ). Duke marrë për bazë këto të dhëna, barazimi i Bernulit
merrë formën vijuese:
ose:
√
Nga formula e fundit shihet se shpejtësia e rrjedhjes së gazit nga ena varet
nga ndryshimi i shtypjes si dhe nga dendësia e gazit.
Me ndihmën e formulës së fundit, përcaktohet dendësia e gazit lidhur me
dendësinë e ajrit, duke krahasuar shpejtësinë e rrjedhjes së gazit me
shpejtësinë e rrjedhjes së ajrit.
Figura 17
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
23
ZGJERIMI I ENËVE TË GJAKUT ( ANEURIZMI )
Ekuacioni i Bernulit e sqaron edhe konditën e dëmshme fiziologjike të
njohur si aneurizëm6. Aneurizmi paraqet një zgjerim jonormal të enëve të
gjakut sikurse është aorta.
Le të supozojmë se, për shkak të aneurizmit,
sipërfaqja e prerjes tërthore të aortës rritet në vlerën
S2= 1.7S1. Shpejtësia e gjakut, me dendësi
nëpër aortën normale është 1
. Në
pajtim me ekuacionin e kontinuitetit, shpejtësia e
gjakut në pjesën e zgjeruar të aortës është më e vogël se sa shpejtësia në
pjesën e shëndoshë :
1
1 1
1
Nga ana tjetër, duke supozuar se aorta është horizontale ( dhe personi është
në pozicionin e shtrirë ), ekuacioni i Bernulit për rrjedhje horizontale, tregon
se shpejtësia më e vogël çon në shtypje më të madhe, prandaj nga:
1 1
1
+ 1
Duke llogaritur ndryshimin 1, do të kemi:
1
1
1
6 Aneurizmi shkaktohet kur dëmtohet ndonjë enë e gjakut ose muri i enëve të gjakut. Nëse aneurizmi rritet,
ka mundësi që të shkaktohen hemoralgji dhe komplikime të rënda përfshirë edhe vdekjen.
Figura 18
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
24
figura nr 4
1
1
3[ ]
Shtypja e tepërt shkakton shqetësim të shtuar në indin edhe ashtu të
dobësuar të murit të aortës në aneurizëm.
NJOHURI BAZË RRETH EKUACIONIT TË BERNULIT
Gypi i Venturit: Është një paisje e cila shërben për matjen e sasisë së lëngut
që rrjedhë apo prurjes. Për një gyp në dukje si në figurë, ekuacioni i Bernulit
e ka këtë formë:
totalestatik pvp
2
2
1 apo
2
2
1
2
2
1
2
1
vpvp
Pika stagnuese: Është një pikë e cila rrëkenë e ujit që bie normal në një
rrafsh e ndan në dy pjesë të barabarta,
shih figurën.
Teorema e Toriçelit7: lëngu ideal rrjedh
nëpër një vrimë të enës në thellësinë h,
me të njëjtën shpejtësi v, sikurse të kishte
rënë lirisht nga e njëjta lartësi, pra:
hgv 2
Në qoftë se kemi të bëjmë me lëngun real, atëherë formula për shpejtësinë e
rrjedhjes së një lëngu nëpër një vrimë që ndodhet në thellësinë h nën nivelin
e lëngut në enë do të jetë: hgkv 2
7 Evangelista Torricelli – fizikan i njohur italian
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
25
ku k- është koeficienti i kontraksionit që paraqet një konstantë e cila varet
nga trashësia e mureve të enës ku ndodhet vrima nëpër të cilën rrjedh lëngu.
Gypi i Pitos, figura bazohet në ekuacionin e Bernulit, dhe shërben për
matjen e shpejtësisë së rrjedhjes së fluidit.
totals pvp
2
2
1
SHEMBUJ PRAKTIK TË EKUACIONIT TË BERNULIT
Shembull nr.1 - Nëpër gypin e ujësjellësit i cili në fillim ka diametrin D=0,3 m, kurse në
fund d=0,1m duhet të kalojë sasia e ujit prej Q=240 l/sek. Sa janë shpejtësitë e ujit nëpër
secilin nga dy seksionet e skajshme?
Zgjidhja:
Sipas ekuacionit të kontinuitetit fillohet me shprehjen:
2211 vSvSQ
ndërsa prurjet e ujit në seksionin S1 dhe S2 janë:
1
2
14
vD
Q
dhe
prej nga është:
s
mvdhe
s
mv 322.3 21
2
2
24
vd
Q
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
26
Shembull nr.2 - Në aeroplan është ndërtuar gypi i Venturit që shërben për matjen e
shpejtësisë së aeroplanit. Janë të njohura seksionet S1 dhe S2 si dhe ndryshimi i shtypjeve
statike ( 21 pp ), që lexohet në manometër. Të njehsohet shpejtësia e aeroplanit?
Zgjidhja:
Po të zbatohet ekuacioni i kontinuitetit dhe ekuacioni i Bernulit për seksionet S1 dhe S2
do të kemi:
2211 vSvS
22
2
22
2
11
vp
vp
prej nga gjendet shpejtësia e kërkuar v2 , nëse densiteti i ajrit merret 1,29 kg/m3.
.mod.det........
129,1
2
1
2
2
1
2
2
3
21
2
1
2
2
212
S
S
m
kg
pp
S
S
ppv
Detyra është një model dhe vetëm kërkohen parametrat të cilët janë variabël dhe varen
nga lloji i aeroplanit, gypit Ventur, etj.
Shembull nr.3 - Përcaktoni shpejtësinë e rrjedhjes së lëngut, nëse pistoni gjatë veprimit
të forcës F lëviz me shpejtësi konstante.
Zgjidhja:
Rruga që kalon pistoni është: tvs 1
ndërsa me këtë rast forca e kryen punën: tvFsFA 1
Mirëpo kjo punë është ekuivalente me ndryshimin e energjisë kinetike Ek dhe kemi:
Gypi i Venturit në Avion
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
27
2
1
2
22
1vvmtvF
tvSm 11
?; 22211 vvSvS
2
1
2
2
1 2
1vvm
S
mF
2
2
1
22
1
v
S
Sv
2
1
2
22
22
1
2
22
2
2
2
1
12
1
2
1
S
Svm
S
Svvm
S
mF
2
1
2
22
21 12S
SvSF
ndërsa vetëm
2
1
2
21
2
2
1
12
S
SS
Fv
dhe meqë 12 SS atëherë:
1
2
2
2
S
Fv
dhe në fund gjejmë rrënjën katrore të shpejtësisë:
1
2
2
S
Fv
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
28
PËRMBAJTJA
ABSTRAKTE
HYRJE
EKUACIONI I BERNULIT
ZBATIMI I EKUACIONIT TË BERNULIT
TEOREMA E TORIÇELIT
GYPI I VENTURIT (VENTUR-METRI)
POMPA E BUNZENIT
SHPËRHAPËSI I AROMËS
GYPI I PITOS
GYPI I PANDLIT
FLUTURIMI I AEROPLANIT
INSTALIMI I LAVATRIQES DHE I LAVABOS
FORCA E DEVIJIMIT
RRJEDHJA E LËNGUT
RRJEDHJA E GAZEVE
ZBATIMI NË MJEKËSI
NJOHURI BAZË RRETH EKUACIONIT TË BERNULIT
SHEMBUJ - EKUACIONI I BERNULIT
LITERATURA
[EKUACIONI I BERNULIT] Nëntor 2011
29
LITERATURA
1. Bazat e Fizikës II – Prof.dr.Zijadin Shemsedini
2. Research Papers in Physics
3. Prof.dr. Rasim Bejtullahu “Fizika 11” gjimnazi i shkencave natyrore
4. Prof.dr. Rasim Bejtullahu, Prof.dr. Ahmet Veseli dhe Prof.dr. Rashit
Maliqi “ Fizika 11” drejtimi i përgjithshëm i gjimnazit
5. Prof.dr. Lutfi Istrefi “Fizika I” fshmn, dega Fizikës, Prishtinë
6.
LITERATURA DIGJITALE
1. http://www.grc.nasa.gov/www/k-12/airplane/bern.html
2. http://www.princeton.edu/~asmits/Bicycle_web/Bernoulli.html
3. http://www.engineeringtoolbox.com/bernouilli-equation-d_183.html
4. http://www.efm.leeds.ac.uk/CIVE/CIVE1400/Section3/bernoulli.htm
5. http://mysite.du.edu/~jcalvert/tech/fluids/bernoul.htm
6. http://library.thinkquest.org/2819/bernoull.htm
7. http://www.google.com/search?q=bernoulli's+principle&hl=en&sa
8. http://www.gfos.hr/portal/images/stories/studij/sveucilisni-
preddiplomski/hidromehanika/hmehanika3.pdf
9. http://hr.wikipedia.org/wiki/Bernoullijeva_jednad%C5%BEba