UNIVERSITE PARIS DAUPHINE Département MIDO ∗ MASTER MIDO MENTION MMD ∗∗ SPECIALITE ACTUARIAT Année Universitaire : 2009-2010 Mémoire d’Actuariat présenté en novembre 2010 devant l’Université Paris Dauphine et l’Institut des Actuaires Par : Delphine LECREUX Tuteur : Emmanuel BERTHELE Sujet : « Le capital réglementaire issu de la formule standard : étude des dernières nouveautés issues du QIS5 » Entreprise d’accueil : OPTIMIND NON CONFIDENTIEL JURY Membres du Jury Fonctions/Entreprise Donation Hainaut Professeur d’Actuariat à l’ENSAE Romuald Elie Professeur à l’Université Paris Dauphine Anne Marion Membre de l’Institut des Actuaires Pierre Mathoulin Membre de l’Institut des Actuaires Gerard Croset Membre de l’Institut des Actuaires ∗ MIDO : Mathématiques, Informatique, Décision, Organisation ∗∗ MMD : Mathématiques, Modélisation, Décision
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UNIVERSITE PARIS DAUPHINE Département MIDO MASTER MIDO … · 2020. 9. 29. · UNIVERSITE PARIS DAUPHINE Département MIDO ∗ MASTER MIDO MENTION MMD ∗∗ SPECIALITE ACTUARIAT
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UNIVERSITE PARIS DAUPHINE
Département MIDO�∗�
MASTER MIDO MENTION MMD �∗∗�
SPECIALITE ACTUARIAT
Année Universitaire : 2009-2010
Mémoire d’Actuariat présenté en novembre 2010 devant l’Université Paris Dauphine et
l’Institut des Actuaires
Par : Delphine LECREUX Tuteur : Emmanuel BERTHELE
Sujet : « Le capital réglementaire issu de la formule standard : étude des dernières nouveautés issues du QIS5 »
Entreprise d’accueil : OPTIMIND
NON CONFIDENTIEL
JURY
Membres du Jury Fonctions/Entreprise Donation Hainaut Professeur d’Actuariat à l’ENSAE Romuald Elie Professeur à l’Université Paris Dauphine Anne Marion Membre de l’Institut des Actuaires Pierre Mathoulin Membre de l’Institut des Actuaires Gerard Croset Membre de l’Institut des Actuaires
R e m e r c i e m e n t sR e m e r c i e m e n t sR e m e r c i e m e n t sR e m e r c i e m e n t s .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2222
R é s u m éR é s u m éR é s u m éR é s u m é .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6666
A b s t r a c tA b s t r a c tA b s t r a c tA b s t r a c t ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 8888
I n t r o d u c t i o nI n t r o d u c t i o nI n t r o d u c t i o nI n t r o d u c t i o n ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 10101010
1111è r eè r eè r eè r e
p a r t i ep a r t i ep a r t i ep a r t i e : : : : L e c a d r e d e l ’ é t u d eL e c a d r e d e l ’ é t u d eL e c a d r e d e l ’ é t u d eL e c a d r e d e l ’ é t u d e ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 11111111
C h a p i t r e 1C h a p i t r e 1C h a p i t r e 1C h a p i t r e 1 : L e c o n t r a t d ’ é p a r g n e: L e c o n t r a t d ’ é p a r g n e: L e c o n t r a t d ’ é p a r g n e: L e c o n t r a t d ’ é p a r g n e ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 11111111
1.1. Quelques définitions .......................................................................................................................................... 11
1.2. Les besoins couverts par l’assurance vie .................................................................................................... 12
1.3. L’assurance vie en France ............................................................................................................................... 12
2. Les contrats d’épargne en assurance vie ............................................................................................................... 15
2.1. Les contrats en euros ....................................................................................................................................... 15
2.2. Les contrats en unités de compte ................................................................................................................. 15
2.3. Les contrats multi-supports ........................................................................................................................... 15
3. Caractéristiques du contrat d’épargne multi-supports ...................................................................................... 16
3.1. Fonctionnement du contrat ............................................................................................................................. 16
3.2. Options et garanties des contrats multi-supports.................................................................................... 17
3.3. Risques liés à l’assurance vie .......................................................................................................................... 19
C h a p i t r e 2C h a p i t r e 2C h a p i t r e 2C h a p i t r e 2 : L e c o n t e x t e r é g l e m e n t a i r e: L e c o n t e x t e r é g l e m e n t a i r e: L e c o n t e x t e r é g l e m e n t a i r e: L e c o n t e x t e r é g l e m e n t a i r e .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 21212121
1. Le contexte actuel : Solvabilité I ............................................................................................................................... 21
1.1. Genèse et principes ........................................................................................................................................... 21
1.2. Les 3 grandes notions de Solvabilité I ......................................................................................................... 21
1.3. Les exigences réglementaires ........................................................................................................................ 24
1.4. Les limites de Solvabilité I ............................................................................................................................... 24
2. La réforme Solvabilité II ............................................................................................................................................. 25
2.1. Les objectifs ........................................................................................................................................................ 25
2.2. Une nouvelle approche de valorisation ......................................................................................................... 25
2.3. Le processus de consultation ......................................................................................................................... 26
2.4. La structure en 3 piliers .................................................................................................................................. 28
2.5. Les études quantitatives d’impact (QIS) ...................................................................................................... 30
2.6. Le calendrier de la réforme............................................................................................................................. 33
C h a p i t r e 3C h a p i t r e 3C h a p i t r e 3C h a p i t r e 3 : L e p i l i e r 1 d e l a r é f o r m e v i s i o n Q I S 5: L e p i l i e r 1 d e l a r é f o r m e v i s i o n Q I S 5: L e p i l i e r 1 d e l a r é f o r m e v i s i o n Q I S 5: L e p i l i e r 1 d e l a r é f o r m e v i s i o n Q I S 5 ............................................................................................................................................................................................................................................................................................ 35353535
1. Les provisions techniques ........................................................................................................................................... 35
1.1. Le Best Estimate ................................................................................................................................................ 35
1.2. La Marge de risque ............................................................................................................................................ 38
2. Le Minimum Capital Requirement (MCR) ................................................................................................................ 39
3. Le Solvency Capital Requirement (SCR) .................................................................................................................. 39
3.1. Structure générale du SCR .............................................................................................................................. 40
3.2. Le Basic Solvency Capital Requirement (BSCR) ......................................................................................... 41
3.3. Le risque opérationnel ...................................................................................................................................... 51
2222è m eè m eè m eè m e
p a r t i ep a r t i ep a r t i ep a r t i e : : : : L a m o d é l i s a t i o nL a m o d é l i s a t i o nL a m o d é l i s a t i o nL a m o d é l i s a t i o n ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 53535353
C h a p i t r e 4C h a p i t r e 4C h a p i t r e 4C h a p i t r e 4 : T e c h n i q u e s d e m o d é l i s a t i o n: T e c h n i q u e s d e m o d é l i s a t i o n: T e c h n i q u e s d e m o d é l i s a t i o n: T e c h n i q u e s d e m o d é l i s a t i o n ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 53535353
1. Modélisation de l’actif .................................................................................................................................................. 53
1.1. La modélisation stochastique ........................................................................................................................ 53
1.2. Génération de nombres aléatoires ................................................................................................................ 54
3.3. Les produits financiers ..................................................................................................................................... 71
3.4. Politique de participation aux bénéfices ...................................................................................................... 72
C h a p i t r e 5C h a p i t r e 5C h a p i t r e 5C h a p i t r e 5 : D é r o u l e m e n t d u m o d è l e: D é r o u l e m e n t d u m o d è l e: D é r o u l e m e n t d u m o d è l e: D é r o u l e m e n t d u m o d è l e ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 75757575
1. Déroulement général du modèle ............................................................................................................................... 75
2. Modélisation des sorties totales ............................................................................................................................... 76
2.1. Evolution du nombre de rachats .................................................................................................................... 76
2.2. Evolution du nombre de décès ........................................................................................................................ 77
2.3. Evolution du nombre de contrats ................................................................................................................... 78
3. Evaluation des arbitrages ........................................................................................................................................... 78
3.1. Hypothèses de modélisation............................................................................................................................ 78
3.2. Etablissement du modèle d’arbitrage ........................................................................................................... 78
3.3. Choix des paramètres ....................................................................................................................................... 80
4. Evolution des provisions mathématiques ............................................................................................................... 81
4.1. Sur le fonds Euro ................................................................................................................................................ 81
4.2. Sur le fonds UC.................................................................................................................................................... 82
5. Evaluation des liquidités et des prestations .......................................................................................................... 83
6. Rebalancement de l’actif ............................................................................................................................................. 85
3333è m eè m eè m eè m e
p a r t i ep a r t i ep a r t i ep a r t i e : : : : A p p l i c a t i o n d u m o d è l e A p p l i c a t i o n d u m o d è l e A p p l i c a t i o n d u m o d è l e A p p l i c a t i o n d u m o d è l e e t a n a l y s e d e s r é s u l t a t se t a n a l y s e d e s r é s u l t a t se t a n a l y s e d e s r é s u l t a t se t a n a l y s e d e s r é s u l t a t s ................................................................................................................................................................................................................................ 86868686
C h a p i t r e 6C h a p i t r e 6C h a p i t r e 6C h a p i t r e 6 : P r é s e n t a t i o n d e s h y p o t h è s e s: P r é s e n t a t i o n d e s h y p o t h è s e s: P r é s e n t a t i o n d e s h y p o t h è s e s: P r é s e n t a t i o n d e s h y p o t h è s e s ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 86868686
1. Hypothèses générales du contrat ............................................................................................................................. 86
2. Description du portefeuille d’actif ............................................................................................................................ 86
3. Présentation du portefeuille d’assurés ................................................................................................................... 89
4. Tableaux de synthèse des hypothèses ..................................................................................................................... 90
C h a p i t r e 7C h a p i t r e 7C h a p i t r e 7C h a p i t r e 7 : C a l c u l d u b e s o i n e n c a p i t a l: C a l c u l d u b e s o i n e n c a p i t a l: C a l c u l d u b e s o i n e n c a p i t a l: C a l c u l d u b e s o i n e n c a p i t a l ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 91919191
1. La marge de solvabilité sous Solvabilité I ............................................................................................................... 91
2. Calcul de la provision Best Estimate sous Solvabilité II ..................................................................................... 91
2.1. Méthode de calcul ......................................................................................................................................... 91
2.2. Hypothèses et résultats.............................................................................................................................. 93
2.4. Intervalle de confiance par Bootstrap ................................................................................................... 94
3. Calcul du BSCR ............................................................................................................................................................... 96
3.1. Risque de souscription vie ............................................................................................................................... 96
3.2. Risque de marché ............................................................................................................................................... 97
3.3. Agrégation des modules de risques ............................................................................................................ 101
5. Calcul du SCR ................................................................................................................................................................ 102
6. Calcul de la Marge de risque ..................................................................................................................................... 103
7. Analyse des résultats ................................................................................................................................................. 104
7.1. Le Best Estimate et la marge de risque ..................................................................................................... 104
7.2. Le SCR de souscription vie ............................................................................................................................. 105
7.3. Le SCR marché .................................................................................................................................................. 106
7.4. Le SCR ................................................................................................................................................................. 107
C h a p i t r e 8C h a p i t r e 8C h a p i t r e 8C h a p i t r e 8 : E t u d e s d e s s e n s i b i l i t é s: E t u d e s d e s s e n s i b i l i t é s: E t u d e s d e s s e n s i b i l i t é s: E t u d e s d e s s e n s i b i l i t é s .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 109109109109
1. Sensibilité au nombre d’assurés ............................................................................................................................. 109
2. Sensibilité au taux de rachat structurel ............................................................................................................... 109
3. Sensibilité à l’âge des assurés ................................................................................................................................. 111
4. Sensibilité à la répartition du portefeuille ........................................................................................................... 111
5. Les limites du modèle ................................................................................................................................................. 112
C o n c l u s i o nC o n c l u s i o nC o n c l u s i o nC o n c l u s i o n ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 113113113113
A n n e x e sA n n e x e sA n n e x e sA n n e x e s ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 115115115115
ANNEXE 1. Condition de positivité des taux courts du modèle CIR ........................................................................... 115
ANNEXE 2. Démonstration de la formule du prix des actions du modèle de Black et Scholes ........................... 116
ANNEXE 3. Décomposition de Cholesky............................................................................................................................. 117
ANNEXE 4. La Value at Risk (VaR) ...................................................................................................................................... 119
ANNEXE 5. Courbes des taux fournies par le CEIOPS pour le QIS5 .......................................................................... 120
ANNEXE 6. Chocs sur la courbe des taux .......................................................................................................................... 121
B i b l i o g r a p h i eB i b l i o g r a p h i eB i b l i o g r a p h i eB i b l i o g r a p h i e ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 122122122122
T a b l e d e s i l l u s t r a t i o n sT a b l e d e s i l l u s t r a t i o n sT a b l e d e s i l l u s t r a t i o n sT a b l e d e s i l l u s t r a t i o n s .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 125125125125
L’assurance vieL’assurance vieL’assurance vieL’assurance vie est définie dans le Code des Assurances comme « un engagement dont l’exécution
dépend de la durée de la vie humaine. » (Article L 310-1)
EpargnerEpargnerEpargnerEpargner est le fait de renoncer à une consommation immédiate au profit de la consommation future
en plaçant de l’argent qui devient dès lors indisponible pour les dépenses courantes. L’épargne vise à
faire fructifier un capital en bénéficiant d’un taux de rémunération au moins égal à l’inflation pour ne
pas que l’argent perde de la valeur.
1.2. Les besoins couverts par l’assurance vie
Les produits d’épargne répondent à différents besoins :
- la transmission d’un capital en cas de décès afin de protéger ses proches ;
- la constitution d’un complément de retraite ;
- la valorisation d’un capital sur le long terme ;
- la constitution d’une épargne de précaution ou sans objectif précis.
1.3. L’assurance vie en France
L’assurance vie est le placement préféré des Français. Elle représente plus de la moitié des placements
à moyen et long termes des Français. L’attrait pour l’assurance vie est expliqué en partie par les
avantages fiscaux accordés sur ce type de contrat.
Figure Figure Figure Figure 1111. Encours des différents produits d'épargne longue en 2009. Encours des différents produits d'épargne longue en 2009. Encours des différents produits d'épargne longue en 2009. Encours des différents produits d'épargne longue en 2009
Pour présenter brièvement le marché de l’assurance vie, il est intéressant de regarder son importance
au sein des assurances de personnes, l’évolution des provisions mathématiques liées aux contrats
d’assurance vie ainsi que la part relative des supports Euro et unités de compte (UC) dans ces
provisions.
Les contrats d’épargne d’assurance vie représentent la part la plus importante des assurances de
personnes en termes de cotisations. 66% des cotisations sont destinées à un contrat d’épargne en euro
et 11% à un contrat en UC.
Figure Figure Figure Figure 2222. Cotisations par catégorie de contrats en 2009. Cotisations par catégorie de contrats en 2009. Cotisations par catégorie de contrats en 2009. Cotisations par catégorie de contrats en 2009
Les montants de provisions mathématiques en assurance vie sont en constante augmentation depuis
2000. Pour l’année 2009, les provisions mathématiques s’élèvent à 1234 milliards d’euros dont 1026
milliards sur les supports Euro. L’augmentation a été un peu plus faible en 2008 en raison de la crise
financière.
Les données concernant les années 2000 à 2008 proviennent de publications de l’ACP (Autorité de
Contrôle Prudentiel) tandis que celles concernant l’année 2009 proviennent d’une publication de la FFSA
(Fédération Française des Sociétés d’Assurance). Un décalage peut donc exister entre ces données.
Figure Figure Figure Figure 3333. Evolution des provisions mathématiques en montant. Evolution des provisions mathématiques en montant. Evolution des provisions mathématiques en montant. Evolution des provisions mathématiques en montant
En ce qui concerne les supports d’investissement, les assurés choisissent majoritairement les supports
en Euros. En 2009, 17% des provisions mathématiques sont allouées à des supports en UC et 83% à des
supports Euro. Pour les supports en euro, le risque est principalement porté par l’assureur, à la
différence des supports UC où le risque est porté par l’assuré.
Figure Figure Figure Figure 4444.Proportion des provisions mathématiques investies sur un support Euro.Proportion des provisions mathématiques investies sur un support Euro.Proportion des provisions mathématiques investies sur un support Euro.Proportion des provisions mathématiques investies sur un support Euro
En 2008, la crise financière a eu pour effet de réorienter les investissements vers les supports en euros
au détriment des supports en UC. La part des provisions mathématiques allouées aux supports en UC
d’arbitrages à l’assureur. Le risque encouru par l’assureur repose principalement sur la partie Euro du
contrat.
3. Caractéristiques du contrat d’épargne multi-supports
3.1. Fonctionnement du contrat
3.1.1. Souscription et renonciation
Le contrat d’épargne a une durée de vie en général supérieure à 8 ans. En effet, à partir de 8 ans
d’ancienneté, les assurés bénéficient d’une fiscalité plus avantageuse. La durée du contrat est fixée à la
souscription mais les contrats sont ensuite tacitement reconductibles chaque année tout en préservant
l’ancienneté acquise. Le décès de l’assuré ainsi que le rachat total mettent fin au contrat d’assurance.
Après la souscription, l’assuré dispose d’un délai de 30 jours pour renoncer à son contrat (30 jours à
compter de la date de remise de la notice d’information du contrat à l’assuré). Si l’assuré souhaite
placer tout ou partie de son épargne sur un support en unités de compte, pour ne pas être exposé au
risque de renonciation, les assureurs n’investissent les sommes sur ce support qu’une fois le délai de
renonciation passé. Les sommes sont temporairement placées sur un support monétaire.
3.1.2. Les modes de gestion
Selon leur profil d’investisseur, les assurés ont le choix entre trois modes de gestion :
- la gestion libregestion libregestion libregestion libre qui permet à l’assuré de répartir son investissement sur les différents fonds
disponibles en toute autonomie ;
- la gestion sous mandatgestion sous mandatgestion sous mandatgestion sous mandat qui permet de bénéficier de l’expertise d’un spécialiste de l’allocation
d’actifs et de bénéficier ainsi des meilleures opportunités financières du marché ;
- la gestion profiléegestion profiléegestion profiléegestion profilée qui définit une allocation cible en fonction du profil d’investisseur de l’assuré
(prudent, équilibré ou dynamique). Les placements sont rééquilibrés périodiquement suivant la
répartition cible.
3.1.3. Les versements
Les versements peuvent être de différentes formes :
- ccccotisationotisationotisationotisation uniqueuniqueuniqueunique : versement ayant lieu en une seule fois, en général à la souscription du
contrat ;
- vvvversements réguliersersements réguliersersements réguliersersements réguliers : versements effectués selon un calendrier défini à la souscription. Ces
versements n’ont pas un caractère obligatoire;
- vvvversements libresersements libresersements libresersements libres : il n’y a pas de calendrier de versements prévu au contrat. Le souscripteur
décide du montant et du moment des versements. En général, un montant de versement minimal
Sur un contrat d’épargne, l’assureur peut prélever différents frais dont :
- des chargementchargementchargementchargements d’acquisitions d’acquisitions d’acquisitions d’acquisition : prélevés lors des versements, ils réduisent le capital investi
lors du versement dans le but de couvrir le coût de commercialisation du contrat ;
- des chargementchargementchargementchargements d’administrations d’administrations d’administrations d’administration ;
- des chargementchargementchargementchargements de gestions de gestions de gestions de gestion prélevés sur l’épargne de l’assuré pour couvrir le coût de la
gestion du contrat et des placements ;
- des chargementchargementchargementchargements d’arbitrages d’arbitrages d’arbitrages d’arbitrage dans le cas des contrats multi-supports, prélevés sur l’épargne
transférée.
3.2. Options et garanties des contrats multi-supports
3.2.1. Taux minimum garanti (TMG)
Le taux minimum garanti concerne uniquement les supports en euros du contrat multi-supports. La
partie UC ne comporte aucune garantie de rendement.
Le taux minimum garanti est un engagement de rémunération minimale que l’assureur prend envers les
assurés. Dans la plupart des contrats, le TMG est fixé annuellement.
3.2.2. La participation aux bénéfices
La participation aux bénéfices est une obligation de l’assureur, définie dans le Code des Assurances.
D’après l’article L331-3 du Code des Assurances, « les entreprises d’assurance sur la vie ou de
capitalisation doivent faire participer les assurés aux bénéfices techniques et financiers qu’elles
réalisent, dans les conditions fixées par arrêté du ministre de l’économie et des finances ». Cette
participation au bénéfice légale ne concerne que la partie euros du contrat multi-supports.
Le Code des Assurances définit un montant minimal de participation aux bénéfices que l’assureur doit
reverser à ses assurés. La participation aux bénéfices obligatoireparticipation aux bénéfices obligatoireparticipation aux bénéfices obligatoireparticipation aux bénéfices obligatoire vaut au minimum 85% des
bénéfices financiers (0% en cas de perte) et 90% des bénéfices techniques (100% en cas de perte).
En plus de cette contrainte réglementaire, le contrat d’assurance peut comporter une clause de
participation aux bénéfices. Cette participation est dite participation est dite participation est dite participation est dite contractuellecontractuellecontractuellecontractuelle.
L’assureur peut également verser une participation aux bénéfices discrétionnaireparticipation aux bénéfices discrétionnaireparticipation aux bénéfices discrétionnaireparticipation aux bénéfices discrétionnaire. Cette
participation correspond aux versements faits à l’assuré en excédent des montants qui sont garantis au
contrat. Le choix des montants versés et de l’échéancier est à la discrétion de l’assureur. Cette
participation supplémentaire est versée pour éviter les rachats massifs de contrat si le taux servi est
Placements relatifs aux contrats UCPlacements relatifs aux contrats UCPlacements relatifs aux contrats UCPlacements relatifs aux contrats UC Provisions techniques des contrats UC
Compte courantCompte courantCompte courantCompte courant Emprunts
Autres créancesAutres créancesAutres créancesAutres créances Autres dettes
Figure Figure Figure Figure 5555. Bilan d'une compagnie d'assurance vie. Bilan d'une compagnie d'assurance vie. Bilan d'une compagnie d'assurance vie. Bilan d'une compagnie d'assurance vie
les passifs à leur valeur de transfert. La norme Solvabilité II intègre uniquement des exceptions aux
normes IFRS, lorsque celles-ci ne semblent pas adaptées.
Les différences entre les normes IFRS et Solvabilité II sont résumées poste par poste dans les
spécifications techniques du QIS5, section 1.
Les actifs doivent être comptabilisés à leur valeur de marché. Lorsqu’un passif est réplicable, i.e lorsque
les flux du passif peuvent être répliqués parfaitement par des produits financiers, l’assureur doit
comptabiliser ce passif à la valeur de marché de ces dits produits. Il s’agit de la méthode « mark to
market ». Si le passif n’est pas réplicable, l’assureur doit alors le comptabiliser comme la somme d’un
Best Estimate et d’une Marge de risque, c’est la méthode « mark to model ».
Figure Figure Figure Figure 6666. Bilan . Bilan . Bilan . Bilan ééééconomique sous conomique sous conomique sous conomique sous SolvabSolvabSolvabSolvabilité IIilité IIilité IIilité II
2.3. Le processus de consultation
2.3.1. Le processus Lamfalussy
La Commission européenne utilise le processus législatif Lamfalussy pour élaborer la réforme
Solvabilité II. C’est le processus employé pour mettre en place les réglementations du secteur financier,
qui est utilisé ici pour la première fois dans le secteur de l’assurance.
Le pilier 3 prévoit la réalisation d’états voués à remplacer les états réglementaires actuels : les QRT
(Quantitative Reporting Templates). Ces états, en leur version provisoire, ont une vocation plus
actuarielle que les états réglementaires actuels qui sont essentiellement comptables (environ 40%
d’informations actuarielles contre 10% actuellement).
Figure Figure Figure Figure 8888. Les 3 piliers de . Les 3 piliers de . Les 3 piliers de . Les 3 piliers de Solvabilité IISolvabilité IISolvabilité IISolvabilité II
2.5. Les études quantitatives d’impact (QIS)
Afin de préparer le passage à Solvabilité II, la Commission européenne a demandé au CEIOPS d’évaluer
l’impact des mesures sur le marché. Les QIS permettent tout d’abord de fournir des informations sur
l’impact quantitatif de la réforme. Ces études permettent également de préparer le marché à la réforme
en fournissant un point de départ pour un dialogue permanent entre assureurs, réassureurs et
superviseurs. La participation au QIS se fait sur la base du volontariat.
2.5.1. Du QIS1 au QIS4
QISQISQISQIS1 1 1 1
C’est la première étude menée par le CEIOPS, qui s’est déroulée durant l’automne 2005. Le but principal
de cette étude quantitative d’impact était de pouvoir évaluer le niveau de prudence des provisions
techniques.
Cette étude devait également permettre au CEIOPS de recueillir des informations qualitatives sur les
méthodes et modèles utilisés par les compagnies.
Résultat:
- 312 entreprises ont participé à cette étude.
- Le CEIOPS a pu acquérir des informations sur l’impact du Best Estimate et de la marge de
risque sur les provisions techniques et sur la capacité des entreprises à effectuer les calculs.
en rien du calibrage final. Le QIS5 est la dernière étude d’impact complète mais il est possible qu’un
QIS6 ait lieu, avec un champ d’application limité.
Des simplifications pourraient être apportées à la formule standard -dont la complexité se rapproche de
plus en plus d’un modèle interne- suite aux retours du QIS5.
Le QIS5 prendra fin le 30 octobre pour les organismes « solo » et le 15 novembre pour les groupes. A la
suite de cette étude, l’ACP transmettra un « rapport pays » au CEIOPS fin décembre. Le CEIOPS publiera
ensuite le rapport QIS5 européen le 29/04/2011.
L’ACP a renouvelé la publication d’Orientations Nationales Complémentaires. Il s’agit pour l’ACP
d’éclairer les acteurs du marché français sur certaines dispositions qui ne paraissent pas suffisamment
précises dans les spécifications techniques.
Les ONC relatives au QIS5 concernent notamment:
- le calcul du Best Estimate (horizon de projection, rachats conjoncturels et structurels) ;
- la prise en compte de la réserve de capitalisation ;
- les fonds cantonnés ;
- les impôts différés.
Figure Figure Figure Figure 9999. Chronologie des études quantitatives d'impact. Chronologie des études quantitatives d'impact. Chronologie des études quantitatives d'impact. Chronologie des études quantitatives d'impact
2.6. Le calendrier de la réforme
Les évolutions de la réforme depuis 2007 ainsi que les perspectives d’avancement restantes sont
Figure Figure Figure Figure 10101010. Calendrier de la réforme . Calendrier de la réforme . Calendrier de la réforme . Calendrier de la réforme Solvabilité IISolvabilité IISolvabilité IISolvabilité II
En parallèle des études quantitatives d’impact pour évaluer les mesures de niveau 1 de la Directive, la
Commission européenne et le CEIOPS élaborent respectivement les mesures de niveau 2 et les
recommandations de niveau 3.
Le calendrier du QIS5 est le suivant :
Figure Figure Figure Figure 11111111. Calendrier des étapes du . Calendrier des étapes du . Calendrier des étapes du . Calendrier des étapes du QIS5QIS5QIS5QIS5
Les intervenants disposent d’un délai limité pour répondre à l’étude d’impact. Les résultats obtenus
seront ensuite synthétisés et les résultats seront publiés.
Le calcul du Best Estimate s’effectue sous les hypothèses suivantes :
- l’horizon : les spécifications du QIS5 insistent sur le fait que l’horizon de simulation doit être
suffisamment long pour que la différence entre les provisions calculées avec cet horizon et
celles calculées jusqu’à extinction totale du portefeuille soit négligeable ;
- l’actualisation : les flux sont actualisés au taux d’actualisation sans risque fourni par la courbe
des taux du CEIOPS. Ces taux incorporent désormais une prime d’illiquidité ;
- la réassurance : les provisions en Best Estimate sont calculées brutes de réassurance ;
- prime: une partie des primes futures sont désormais prises en compte dans le calcul.
Le Best Estimate correspond donc à la valeur actuelle probable des flux de trésorerie futurs, jusqu’à
l’extinction du portefeuille.
Il doit pouvoir couvrir :
- les prestations ;
- les coûts liés à l’exploitation des contrats ;
- les prélèvements sociaux.
Les différentes étapes pour calculer le Best Estimate sont les suivantes :
- calculer les flux de prestations et de frais à chaque date de projection ;
- actualiser tous les flux à la date initiale.
Figure Figure Figure Figure 12121212. Schéma d'actualisation du Best Estimate. Schéma d'actualisation du Best Estimate. Schéma d'actualisation du Best Estimate. Schéma d'actualisation du Best Estimate
La prime de La prime de La prime de La prime de liquiditéliquiditéliquiditéliquidité
Dans le QIS5, la courbe des taux utilisée pour l’actualisation des passifs prend en compte une prime de
liquidité. La prime de liquidité est liée à la différence de rendements entre les actifs liquides et illiquides
et doit traduire la capacité de l’assureur à investir dans des actifs moins liquides et donc plus risqués.
Cette prime de liquidité dépend du type de passif d’assurance considéré :
- 100% pour les passifs d’assurance pour lesquels les seuls risques sont la longévité et le risque
de dépense, l’assureur n’a aucun risque lié au rachat et l’ensemble des primes a déjà été versé.
Il s’agit notamment des rentes viagères ;
- 75% pour les autres passifs d’assurance avec participation aux bénéfices. Il s’agit notamment
des contrats d’assurance vie en euros ;
- 50% pour les autres passifs d’assurance.
Le CEIOPS met également à disposition une courbe des taux sans prime de liquidité.
Figure Figure Figure Figure 13131313. Courbes des taux du CEIOPS en fonction des différents montants de prime de . Courbes des taux du CEIOPS en fonction des différents montants de prime de . Courbes des taux du CEIOPS en fonction des différents montants de prime de . Courbes des taux du CEIOPS en fonction des différents montants de prime de liquiditéliquiditéliquiditéliquidité
couvrir une probabilité de ruine de 0,5% sur un horizon d’un an ce qui correspond à une faillite tous les
200 ans.
Le capital de solvabilité requis peut être calculé soit à l’aide de la formule standard proposée par la
Commission européenne soit par un modèle interne propre à l’entreprise. Il est également possible
d’avoir recours à un modèle interne partiel pour calculer le SCR. Dans ce cas, l’entreprise programme
son propre modèle pour certains risques et utilise la formule standard pour les autres. Les résultats
obtenus via le modèle interne partiel doivent ensuite être agrégés avec ceux calculés par la formule
standard pour déterminer le SCR.
3.1. Structure générale du SCR
Le calcul du SCR suivant la formule standard est décomposé en plusieurs modules de risque comportant
eux-mêmes différents sous-modules.
La structure du SCR donnée dans les spécifications techniques du QIS5 est plus complexe que celle
élaborée pour le QIS4. Elle comprend trois modules de risque de souscription - vie, non-vie et santé - un
module de risque de contrepartie, un module de risque de marché, un module de risque pour les actifs
intangibles ainsi qu’un module pour le risque opérationnel.
Figure Figure Figure Figure 14141414. Structure générale du SCR . Structure générale du SCR . Structure générale du SCR . Structure générale du SCR selon le QIS5selon le QIS5selon le QIS5selon le QIS5
Souscription vie Souscription vie Souscription vie Souscription vie 0.25 0.25 1
SantéSantéSantéSanté 0.25 0.25 0.25 1
Souscription nonSouscription nonSouscription nonSouscription non----vie vie vie vie 0.25 0.5 0 0 0 0 0 1
Les modules de risque du SCR se rapportant à notre étude sont principalement le module de risque de
souscription vie et le module de risque de marché. Les modules de souscription vie, de souscription
santé et de contrepartie ne seront pas étudiés ici.
3.2.1. Le risque de souscription vie
3.2.1.1. Sous-modules et matrice de corrélation
Figure Figure Figure Figure 15151515. Sous. Sous. Sous. Sous----modules du risque de souscription viemodules du risque de souscription viemodules du risque de souscription viemodules du risque de souscription vie
Le risque de souscription vie reflète le risque découlant des engagements d’assurance vie mais pas
seulement. Tout engagement relevant d’une activité non-vie mais étant fondé sur des méthodes de
calcul relatives à l’assurance vie -comme une rente provenant d’un contrat d’assurance non-vie qui ne
serait pas assimilable à de l’assurance santé- doit être classé dans le module de souscription vie.
Le risque de souscription vie résulte par exemple d’une tarification insuffisante lors de la souscription
d’un contrat d’assurance vie. Il prend en compte le risque de mortalité, de longévité, d’invalidité et
d’incapacité, de rachat, de dépenses, de révision et de catastrophe.
Le capital requis pour couvrir le risque de souscription vie est obtenu en agrégeant les capitaux requis
pour chaque sous-module suivant la matrice de corrélation donnée ci-après.
Figure Figure Figure Figure 16161616. Sous. Sous. Sous. Sous----modules du risque de marchémodules du risque de marchémodules du risque de marchémodules du risque de marché
Le risque de marché est le risque de perte dû aux fluctuations des prix des instruments financiers. Ce
risque peut résulter des variations des cours des actions, des cours des matières premières, des taux
d’intérêt, des taux de change, etc.
Principaux changements depuis le QIS4 :
- introduction d’un sous-module de risque d’illiquidité;
- introduction de coefficients de corrélation différents suivant le sens du choc sur le taux
d’intérêt.
Le SCR marché est défini comme le maximum entre l’agrégation des sous-modules avec un choc de taux
à la hausse et celle avec un choc de taux à la baisse.
Schématiquement, un modèle stochastique peut se représenter de la manière suivante :
Figure Figure Figure Figure 17171717. Schéma du modèle de simulation stochastique. Schéma du modèle de simulation stochastique. Schéma du modèle de simulation stochastique. Schéma du modèle de simulation stochastique
1.2. Génération de nombres aléatoires
Pour simuler des réalisations d’une loi de probabilité, il faut être capable de générer des nombres
aléatoires distribués selon la loi uniforme sur �0,1�, de fonction de répartition :
9��4� � � 0,34 � 04,30 � 4 � 11,34 � 1
Les nombres aléatoires obtenus vont permettent de générer des variables aléatoires suivant une loi
normale centrée réduite et d’obtenir ensuite des trajectoires pour le cours des actions et les taux
d’intérêt.
Un générateur de nombres aléatoires est disponible sous VBA à partir de la fonction Random. C’est un
générateur congruentiel, il fait partie des générateurs pseudo-aléatoires. Un générateur congruentiel
est défini par une graine et un calcul récursif à partir de cette graine. Le choix de la graine définit la
Il existe des générateurs de meilleure qualité que les pseudo-aléatoires, ce sont les générateurs quasi-
aléatoires. C’est ce type de générateur qui va être utilisé pour simuler des variables de loi normale.
Le générateur choisi pour simuler des nombres aléatoires est le générateur quasi-aléatoire du Tore
mélangé. Ce générateur a l’avantage d’être performant tout en étant simple à mettre en place. Le
générateur du Tore mélangé est dérivé du générateur du Tore mais assure l’indépendance entre les
nombres aléatoires simulés contrairement au générateur du Tore.
L’algorithme du Tore génère des nombres aléatoires de loi uniforme. La ~-ème réalisation d’une suite de
variables aléatoires uniformes �4>�>∈� est définie par la formule suivante :
4> � ~�2 [ �~�2� Avec : � � : Opérateur partie entière ; 2 : Un nombre premier.
Les nombres aléatoires obtenus par cet algorithme ne sont pas indépendants terme à terme. Il n’est
donc pas possible d’utiliser la méthode de Monte Carlo à partir des résultats du générateur du Tore.
Une solution consiste à mélanger les valeurs obtenues avant de les utiliser pour simuler des
trajectoires.
Au lieu d’utiliser la valeur 4> définie par la formule ci-dessus, la valeur 4R (avec # fonction d’une
variable aléatoire uniforme) sera utilisée.
L’algorithme utilisé est le suivant : 4R � 4��>�
Où : ��~� � �� ∗ ~�`����S�� ∗ 4� 1�
Les paramètres sont : ~�`����S�� : nombre de périodes de projection du modèle ; 4� : réalisation d’une variable aléatoire uniforme. Cette valeur est obtenue à partir du générateur Rnd
d’Excel ; � : supérieur ou égal à 1. Son rôle est de réduire le nombre de tirages donnant le même nombre
aléatoire. Plus � est élevé, plus la probabilité d’avoir deux fois le même nombre aléatoire est faible.
Les paramètres choisis pour mettre en œuvre l’algorithme sont les suivants : � � 10 et 2 � 3, 5 54 7
Le problème est donc réduit à la simulation d’une loi normale centrée réduite et à la détermination des
paramètresa,b, σ et du taux court initial *P.
Figure Figure Figure Figure 18181818. Evolution des taux courts simulés avec le modèle CIR pour 100 simulations. Evolution des taux courts simulés avec le modèle CIR pour 100 simulations. Evolution des taux courts simulés avec le modèle CIR pour 100 simulations. Evolution des taux courts simulés avec le modèle CIR pour 100 simulations
1.4.3. Prix des zéro-coupon et taux zéro-coupon
Le taux court instantané permet de reconstituer la structure par terme des taux à n’importe quelle
date. En effet, le prix en t du zéro-coupon de maturité T sous le modèle CIR est déterminé par la formule
Figure Figure Figure Figure 19191919. . . . Ajustement de la courbe des taux zéroAjustement de la courbe des taux zéroAjustement de la courbe des taux zéroAjustement de la courbe des taux zéro----coupon simulée avec la courbe déduite de la courbe des taux sans coupon simulée avec la courbe déduite de la courbe des taux sans coupon simulée avec la courbe déduite de la courbe des taux sans coupon simulée avec la courbe déduite de la courbe des taux sans
risque du CEIOPSrisque du CEIOPSrisque du CEIOPSrisque du CEIOPS
1.5. Modélisation des actions
Le cours des actions est simulé par une méthode stochastique. Plusieurs modèles existent pour
modéliser l’évolution des actions mais le modèle de référence qui sera utilisé ici est celui de Black et
Scholes datant de 1973. Ce modèle suppose que le cours de l’action suit un mouvement brownien
géométrique. La formule du modèle de Black et Scholes donne explicitement les prix des actions.
1.5.1. Le modèle de Black et Scholes
Selon ce modèle, le prix d’une action évolue selon le processus suivant :
]��)���)� � Ì]) ®]C�)�
Cette formule est valable pour les actions ne versant pas de dividendes.
Les différents paramètres du modèle sont :
- μ : le rendement de l’action ;
- σ : la volatilité de l’action ;
- B�t� : un mouvement brownien.
La solution explicite de l’équation précédente est :
- l’univers de travail étant ici l’univers risque neutre, le rendement de l’action est pris égal au taux
sans risque sous la probabilité risque neutre. Le taux sans risque est le taux d’intérêt court
instantané simulé par le modèle de CIR. Ce taux est constant sur chaque période�t, t 1�; - le mouvement brownien utilisé est celui de l’univers risque neutre ;
- la volatilité σ est déterministe.
Le modèle de Black et Scholes repose sur des hypothèses assez restrictives, notamment la continuité
des trajectoires, la volatilité constante et la log-normalité des rendements. L’observation du marché
contredit certaines de ces hypothèses. En effet, l’évolution du cours des actions peut présenter des
sauts, la volatilité n’est pas constante mais suit comme le cours de l’action, un processus stochastique et
l’hypothèse de log-normalité n’est pas forcément vérifiée, notamment en temps de crise. Malgré ces
inconvénients, le modèle de Black et Scholes reste largement le plus utilisé sur le marché.
1.5.2. Prise en compte des corrélations
En réalité, les évolutions des différentes actions et du taux court instantané sont corrélées. Pour
prendre en compte cette dépendance linéaire la décomposition de Cholesky est utilisée. Par cette
méthode, il va être possible de corréler les dynamiques du taux court et du prix des actions.
En reprenant les notations précédentes :
- Fest le mouvement brownien régissant l’évolution du taux court instantané ;
- CFIest le mouvement brownien régissant le cours de l’action 1 ;
- CF¬est le mouvement brownien régissant le cours de l’action 2.
L’algorithme du Tore mélangé permet d’obtenir un vecteur aléatoire gaussien· � �·I, ·¬, ·Â�. ·I, ·¬7)·Â sont des variables aléatoires gaussiennes centrées réduites indépendantes.
La décomposition de Cholesky donne les dynamiques suivantes :
Pour illustrer les simulations, voici le cours de l’action 2 (de rendement égal au taux sans risque et de
volatilité égale à 20%) pour 100 simulations :
FigurFigurFigurFigure e e e 20202020. Evolution du cours de l'action du fonds UC selon le modèle de B&S pour 100 simulations. Evolution du cours de l'action du fonds UC selon le modèle de B&S pour 100 simulations. Evolution du cours de l'action du fonds UC selon le modèle de B&S pour 100 simulations. Evolution du cours de l'action du fonds UC selon le modèle de B&S pour 100 simulations
Figure Figure Figure Figure 21212121. Taux de rachat . Taux de rachat . Taux de rachat . Taux de rachat structurel en fonction de l'ancienneté du contratstructurel en fonction de l'ancienneté du contratstructurel en fonction de l'ancienneté du contratstructurel en fonction de l'ancienneté du contrat
2.1.2.2. Les rachats conjoncturels
La composante conjoncturelle du comportement de rachat est liée à l’évolution du marché. Les rachats
conjoncturels sont modélisés par une fonction dépendant de l’écart entre le taux servi au contrat et un
taux dépendant du contexte économique, appelé taux attendu.
Si le taux servi est inférieur au taux attendu, les assurés auront tendance à davantage racheter leur
contrat. Inversement, si le taux servi est supérieur au taux attendu, les assurés rachèteront moins que
par le passé.
La fonction choisie pour modéliser les rachats conjoncturels est celle proposée par L’ACP dans les
Orientations Nationales Complémentaires (ONC).
Le taux attendu proposé par l’ACP pour modéliser les rachats conjoncturels est le Taux Moyen des
Emprunts d’Etat (TME).
Le TME sera estimé par les taux zéro-coupon de maturité 10 ans.
Figure Figure Figure Figure 22222222. Taux de rachat conjoncturel. Taux de rachat conjoncturel. Taux de rachat conjoncturel. Taux de rachat conjoncturel du QIS5 et du QIS4du QIS5 et du QIS4du QIS5 et du QIS4du QIS5 et du QIS4 en fonction de la différence entre le taux servi par en fonction de la différence entre le taux servi par en fonction de la différence entre le taux servi par en fonction de la différence entre le taux servi par
l'assureur et le TMEl'assureur et le TMEl'assureur et le TMEl'assureur et le TME
Une première idée était de conserver le paramétrage proposé dans les ONC des spécifications
techniques du QIS4 pour modéliser les rachats conjoncturels. Cependant, il s’avère que cette fonction
ne répond pas aux critères fournit par les ONC du QIS5. La modification du paramètre gamma ne rend
plus possible l’utilisation de la fonction proposée dans les ONC du QIS4.
Il a été décidé de prendre pour chaque paramètre la moyenne des paramètres des deux plafonds définis
dans les ONC.
Figure Figure Figure Figure 23232323. Taux de rachat conjoncturel utilisé dans le modèle. Taux de rachat conjoncturel utilisé dans le modèle. Taux de rachat conjoncturel utilisé dans le modèle. Taux de rachat conjoncturel utilisé dans le modèle
2.1.2.3. Les rachats totaux
Pour chaque année de projection t, le taux de rachat total est donné par :
L��)� � min�1,#$%-0, L��)� L�)%������)�; ����)��8
Plusieurs contraintes sont intégrées dans cette formule :
- le taux de rachat émanant de la somme des taux de rachat structurel et conjoncturel doit être
positif ou nul ;
- le taux de rachat total ne peut pas être supérieur à 1.
2.1.3. Modélisation des arbitrages
Une particularité importante des contrats multi-supports est la possibilité d’effectuer des arbitrages.
Le contrat étudié permet aux assurés d’arbitrer librement entre le fonds Euro et le fonds en UC.
L’assuré peut donc transférer les provisions mathématiques allouées à son contrat d’un fonds à l’autre,
pour bénéficier de l’évolution du marché, pour augmenter ses rendements ou pour sécuriser son
épargne. Les arbitrages sont soumis à des chargements prélevés sur les sommes transférées.
• Si �Cá5~)*$á)47EE7�)� ��C�) [ 8� ¼ )$4%á3�E7�)� " ��_$ð$~)�C�)� La somme de la PB contractuelle de l’année et de la PPB de 8 ans ne suffit pas à atteindre le taux cible,
l’assureur peut puiser dans la PPB des années suivantes.
L’assureur verse alors le taux cible si la PPB stockée jusqu’à présent le lui permet. Sinon, il verse
l’ensemble de la PPB stockée pour revaloriser au maximum l’épargne des assurés et réduit sa marge
financière pour atteindre le taux cible de revalorisation.
Si les produits financiers de l’année, la PPB et la marge financière ne suffisent pas, le taux de
revalorisation servi est inférieur au taux cible et cela va engendrer une hausse des taux de rachat.
Exemple de distribution de la participation aux bénéfices sur une simulation :
Figure Figure Figure Figure 24242424. Distribution de la parti. Distribution de la parti. Distribution de la parti. Distribution de la participation aux bénéficescipation aux bénéficescipation aux bénéficescipation aux bénéfices
3.5. Marge financière
Le montant de produits financiers restants avec la rémunération des contrats compose la marge
financière.
L’assureur peut se définir une marge financière cible. Cependant comme énoncé précédemment, cette
marge pourra être sacrifiée au profit de la revalorisation de l’épargne des assurés.
Le modèle implémenté sous VBA (Visual Basic Application), projette un compte de résultat et permet
d’évaluer le besoin en capital de la compagnie fictive. Il est composé de deux boucles principales, une
boucle sur le nombre de simulations et une boucle sur le nombre d’années de projection.
Le nombre d’années de simulation est un paramètre du modèle. Les spécifications du QIS5 insistent sur
le fait que l’horizon de simulation doit être suffisamment long pour que la différence entre les
provisions calculées avec cet horizon et celles calculées jusqu’à extinction totale du portefeuille soit
négligeable.
Un horizon de projection de 40 ans est suffisant dans le cas présent.
Schéma simplifié de simulation sur une année:
Figure Figure Figure Figure 25252525. Schéma de déroulement du modèle de simulation. Schéma de déroulement du modèle de simulation. Schéma de déroulement du modèle de simulation. Schéma de déroulement du modèle de simulation
Le taux de mortalité est donné par les tables TH00-02 et TF00-02 et par le coefficient de choc
approprié.
Le nombre de décès total à la date ) est la somme du nombre de décès sur chaque « model point ».
Figure Figure Figure Figure 26262626. Evolution du nombre de rachats et de décès sur une simulation. Evolution du nombre de rachats et de décès sur une simulation. Evolution du nombre de rachats et de décès sur une simulation. Evolution du nombre de rachats et de décès sur une simulation
Illustration de l’évolution des placements des assurés entre le fonds Euro et le fonds UC sur une
simulation pour { � 80% et � � 0,5 :
Figure Figure Figure Figure 27272727. Evolution de la répartition des . Evolution de la répartition des . Evolution de la répartition des . Evolution de la répartition des placements en fonction des arbitragesplacements en fonction des arbitragesplacements en fonction des arbitragesplacements en fonction des arbitrages
3.3. Choix des paramètres
Le paramètre { a été défini à partir de données du marché. Comme il a été vu dans la 1ère
partie, en
2009, 17% des provisions mathématiques sont allouées à des supports en UC et 83% à des supports
Euro.
Le paramètre { est supposé le même pour tous les assurés et est fixé à 80%. Pour un rendement
identique sur les fonds Euro et UC, 80% des provisions mathématiques des assurés sont investies sur le
L’évolution des provisions mathématiques sur une simulation peut se représenter comme suit :
Figure Figure Figure Figure 28282828. Evolution des provisions mathématiques allouées au fonds Euro et au fonds UC. Evolution des provisions mathématiques allouées au fonds Euro et au fonds UC. Evolution des provisions mathématiques allouées au fonds Euro et au fonds UC. Evolution des provisions mathématiques allouées au fonds Euro et au fonds UC
Globalement, les provisions mathématiques diminuent avec le temps. Cette diminution est due aux décès
et aux rachats totaux. Les proportions des provisions mathématiques placées sur les fonds Euro et UC
varient suivant les années de projection. Ces variations sont dues aux arbitrages effectués par les
assurés. Après 15 années de projection, la part de fonds UC est très faible, cela illustre la sécurisation
des placements liée au vieillissement des assurés.
5. Evaluation des liquidités et des prestations
L’année t, l’assureur dispose d’un certain montant à investir sur le fonds Euro. En l’absence de
versements, le montant à investir est composé des montants transférés du fonds UC au fonds Euro par
le mécanisme d’arbitrage et du remboursement de nominal des obligations arrivées à échéance.
- Si la différence est positive, les liquidités permettent de payer les prestations et l’excédent doit
être réinvesti.
- Si la différence est négative, les liquidités ne permettent pas de payer les prestations. Dans ce
cas, l’assureur doit désinvestir son actif à hauteur du montant manquant pour payer les
prestations.
Le désinvestissement se fait dans l’ordre suivant :
Figure Figure Figure Figure 22229999. Règle de désinvestissement des actifs pour le paiement des prestations. Règle de désinvestissement des actifs pour le paiement des prestations. Règle de désinvestissement des actifs pour le paiement des prestations. Règle de désinvestissement des actifs pour le paiement des prestations
Cette dernière partie de l’étude est consacrée à la présentation du portefeuille étudié et aux calculs des
exigences réglementaires. Les résultats obtenus seront analysés et une étude se sensibilités montrera
la dépendance des résultats aux paramètres du modèle.
Chapitre 6 : Présentation des hypothèses
1. Hypothèses générales du contrat
L’étude porte sur un contrat d’épargne multi-supports.
Les hypothèses générales relatives au contrat sont résumées dans le tableau suivant :
Caractéristiques du contratCaractéristiques du contratCaractéristiques du contratCaractéristiques du contrat Hypothèses retenuesHypothèses retenuesHypothèses retenuesHypothèses retenues
Type de contratType de contratType de contratType de contrat Contrat d’épargne multi-supports comprenant un
fonds Euro et un fonds UC
Durée de vie du contratDurée de vie du contratDurée de vie du contratDurée de vie du contrat Contrat viager
Mode de gestionMode de gestionMode de gestionMode de gestion Libre
VersementsVersementsVersementsVersements Prime unique à la souscription de 1000€
ChargementsChargementsChargementsChargements Chargements de gestion de 0,70% sur le support Euro
et de 1% sur le support UC + chargements d’arbitrage
de 1% des PM transférées
RachatsRachatsRachatsRachats Rachats totaux uniquement sans pénalité
ArbitragesArbitragesArbitragesArbitrages Possibilité d’arbitrages entre les fonds
Participation aux bénéficesParticipation aux bénéficesParticipation aux bénéficesParticipation aux bénéfices Clause de participation aux bénéfices de 90% des
produits financiers
Garantie plancherGarantie plancherGarantie plancherGarantie plancher Pas de garantie plancher
2. Description du portefeuille d’actif
L’assureur place ses fonds en obligations et en actions.
L’allocation de l’assureur sur le fonds Euro est de 80% d’obligations et 20% d’actions. Les obligations
sont majoritaires pour assurer la sécurité du placement. La part d’action permet d’améliorer le
rendement du fonds mais reste minoritaire pour ne pas exposer excessivement l’assureur aux risques
Les obligations sont toutes de maturité 8 ans. Le nominal des obligations vaut 100€. Elles servent des
coupons annuels calculés de manière à égaliser la valeur d’achat de l’obligation au nominal. Ce type
d’obligation est appelé obligation au pair. Le taux au pair pour une maturité donnée est donc le taux de
coupon qui égalise le prix de l’obligation et le nominal.
Les actions ont un cours initial de 100€. Leur rendement est égal au taux sans risque et leur volatilité
est de 8%.
Figure Figure Figure Figure 30303030. Répartition des actifs du fonds Euro. Répartition des actifs du fonds Euro. Répartition des actifs du fonds Euro. Répartition des actifs du fonds Euro
Le fonds UC est composé d’actions. Ces actions ont une valeur initiale de 100€, un rendement égal au
taux sans risque et une volatilité de 20%.
Les actions du fonds UC ont une volatilité plus forte que celles du fonds Euro. Ce placement est donc
plus risqué mais peut prendre des valeurs plus élevées.
Exemple de l’évolution de cours des deux actions du portefeuille sur une simulation :
Figure Figure Figure Figure 31313131. Evolution des cours des deux actions du portefeuille. Evolution des cours des deux actions du portefeuille. Evolution des cours des deux actions du portefeuille. Evolution des cours des deux actions du portefeuille
Les coefficients de corrélation choisis sont arbitraires. Il est cependant supposé que les deux actions
sont identiquement corrélées au taux d’intérêt et qu’elles sont plus fortement corrélées entre elles
qu’avec le taux d’intérêt.
Figure Figure Figure Figure 32323232. Régression linéaire entre les actions mettant en évidence leur corrélation. Régression linéaire entre les actions mettant en évidence leur corrélation. Régression linéaire entre les actions mettant en évidence leur corrélation. Régression linéaire entre les actions mettant en évidence leur corrélation
La régression linéaire met en évidence que les distributions des deux actions sont corrélées. En effet,
les points représentant le cours des actions aux différentes dates de projection sont sensiblement
Le portefeuille considéré est fictif. A la date initiale t=0, Il est composé de 1000 assurés âgés de 18 à
86 ans. La moyenne d’âge des assurés est de 55 ans. Le portefeuille compte 54,1% de femmes et donc
45,9% d’hommes.
Figure Figure Figure Figure 33333333. Répartition des assurés par âge et par sexe. Répartition des assurés par âge et par sexe. Répartition des assurés par âge et par sexe. Répartition des assurés par âge et par sexe à t=0à t=0à t=0à t=0
Concernant la répartition des contrats par ancienneté en t=0, 16% des contrats ont moins de 4 ans
d’ancienneté, 30,7% ont entre 4 et 8 ans d’ancienneté et 53,3% ont plus de 8 ans d’ancienneté.
Graphiquement, la répartition par ancienneté se présente comme suit :
Figure Figure Figure Figure 34343434. Répartition des assurés par . Répartition des assurés par . Répartition des assurés par . Répartition des assurés par anciennetéanciennetéanciennetéancienneté à t=0à t=0à t=0à t=0
Répartition des placements du fonds EuroRépartition des placements du fonds EuroRépartition des placements du fonds EuroRépartition des placements du fonds Euro 80% d’obligations et 20% d’actions
PM initialesPM initialesPM initialesPM initiales 800 000€ sur le fonds Euro / 200 000€ sur le
La provision mathématique à la date d’évaluation vaut :
��P � ���4*5P ��|P � 800000€ 200000€ � 1000000€
A partir du montant de provisions mathématiques sur chaque fonds, l’exigence de marge de solvabilité
est calculée ainsi :
��� � 4% " ���4*5P 1% " ��|P � 34000€
2. Calcul de la provision Best Estimate sous Solvabilité II
2.1. Méthode de calcul
Le Best Estimate correspond à la moyenne pondérée par leur probabilité des flux de trésorerie futurs
actualisés.
C� �D 9E4%F�1 *F�FGFHI
Avec :
- 9E4%F le flux probables l’année t ;
- *F:taux sans risque de maturité t ;
- �: le nombre d’année de simulation.
La valeur des flux probables est estimée par la méthode de Monteméthode de Monteméthode de Monteméthode de Monte----CarloCarloCarloCarlo. Cette méthode nécessite la
réalisation d’un nombre important de simulations qui formeront des échantillons aléatoires pour chacun
des flux.
Les scénarios du modèle étant indépendants et identiquement distribués, le Best Estimate est évalué
comme suit:
C7,)�,)3#$)7 � 1~�,3#4E D D9E4%�,FGFHI " 1�1 *F�F
><��Rtd�HI
Avec :
- ~�,3#4E: le nombre de scénarios effectués ;
- 9E4%�,F: le flux de l’année t pour le scénarios.
BE standardBE standardBE standardBE standard 816 922 801 632
2.3. Convergence
Pour déterminer le nombre de simulations nécessaire pour obtenir une bonne approximation du BE, il
faut s’intéresser à la convergence des approximations en fonction du nombre de simulations.
En illustration, voici le schéma de convergence du BE calculé selon le QIS5 pour 1000 simulations :
Figure Figure Figure Figure 36363636. Schéma de convergence du Best Estimate. Schéma de convergence du Best Estimate. Schéma de convergence du Best Estimate. Schéma de convergence du Best Estimate
Graphiquement, il semblerait que 1000 simulations suffisent pour obtenir une valeur fiable. L’intuition
graphique n’étant pas suffisante, la méthode du bootstrap est utilisée pour déterminer un intervalle de
confiance pour la valeur du BE obtenue.
2.4. Intervalle de confiance par Bootstrap
La méthode du Bootstrap est une méthode de ré-échantillonnage. Un échantillon bootstrap de taille
1000 est obtenu en effectuant 1000 tirages avec remise à partir de l’échantillon initial �C�I, … , C�IPPP� composé des 1000 BE simulés.
Pour déterminer l’intervalle de confiance, il faut calculer la moyenne de chaque échantillon et
déterminer ensuite les quantiles à 2,5% et 97,5% de la distribution des moyennes des échantillons
bootstrap. Ces quantiles correspondent aux bornes de l’intervalle de confiance à 95% (le BE appartient à
cet intervalle avec une probabilité de 95%).
Pour que la méthode de l’intervalle de confiance par Bootstrap soit fiable il faut que :
- la distribution d’échantillonnage du paramètre étudié soit approximativement normale ;
- l’estimateur obtenu soit non biaisé ;
- le nombre de ré-échantillonnage effectués soit suffisant.
Afin de satisfaire la troisième condition, 1000 tirages Bootstrap sont effectués.
La première condition est vérifiée en observant la distribution des moyennes des 1000 échantillons
bootstrap :
FFFFigure igure igure igure 37373737. Distribution des moyennes des 1000 échantillons bootstrap du Best Estimate. Distribution des moyennes des 1000 échantillons bootstrap du Best Estimate. Distribution des moyennes des 1000 échantillons bootstrap du Best Estimate. Distribution des moyennes des 1000 échantillons bootstrap du Best Estimate
L’intervalle de confiance par Bootstrap est finalement donné par :
ú�C�, 95%� � �796116; 807536�
Le Best Estimate obtenu appartient bien à cet intervalle.
Les courbes obtenues à partir du calibrage des chocs du QIS5 sont les suivantes :
Figure Figure Figure Figure 38383838. Courbes des taux d'intérêt du QIS5 avec et sans chocs. Courbes des taux d'intérêt du QIS5 avec et sans chocs. Courbes des taux d'intérêt du QIS5 avec et sans chocs. Courbes des taux d'intérêt du QIS5 avec et sans chocs
A l’actif, pour prendre en compte ces chocs, il faut re-paramétrer la courbe des taux simulée par le
modèle CIR.
Paramètres du modèle CIR utilisés :
StandardStandardStandardStandard Choc à la hausseChoc à la hausseChoc à la hausseChoc à la hausse Choc à la baisseChoc à la baisseChoc à la baisseChoc à la baisse í 0,7268 1,05 0,674 0,0407 0,0514 0,0288 h� 0,40% 0,43% 0,07% � 2% 2% 2%
Détail des résultats obtenus pour le risque de taux d’intérêt :
ScénarioScénarioScénarioScénario Best EstimateBest EstimateBest EstimateBest Estimate
Actif initial en Actif initial en Actif initial en Actif initial en
valeur de valeur de valeur de valeur de
marchémarchémarchémarché
Net Net Net Net Asset Asset Asset Asset
ValueValueValueValue ∆ �� Capital requisCapital requisCapital requisCapital requis
HHHHausse des tauxausse des tauxausse des tauxausse des taux 777 817 954 991 177 174 21 194 �{)�>Ft` � 21194
Figure Figure Figure Figure 39393939. Courbes des taux d'intérêt du QIS4 avec et sans chocs. Courbes des taux d'intérêt du QIS4 avec et sans chocs. Courbes des taux d'intérêt du QIS4 avec et sans chocs. Courbes des taux d'intérêt du QIS4 avec et sans chocs
Les résultats obtenus dans le cadre du QIS4 sont les suivants :
ScénarioScénarioScénarioScénario Best EstimateBest EstimateBest EstimateBest Estimate
Actif initial en Actif initial en Actif initial en Actif initial en
valeur de valeur de valeur de valeur de
marchémarchémarchémarché
Net Asset Net Asset Net Asset Net Asset
ValueValueValueValue ∆ �� Capital requisCapital requisCapital requisCapital requis
HHHHausse des tauxausse des tauxausse des tauxausse des taux 790 458 950 382 159 924 23 154 �{)�>Ft` � 23154
Baisse des actionsBaisse des actionsBaisse des actionsBaisse des actions 773 301 884 800 111 499 71 579 �{)��t�F� � 71579
3.2.3. Risque d’illiquidité
Le sous-module de risque d’illiquidité est une nouveauté du QIS5. Le capital requis est obtenu en
choquant la prime de liquidité de 65% à la baisse. L’actif initial n’est pas touché par un choc sur la prime
de liquidité.
ScénarioScénarioScénarioScénario Best Best Best Best
EstimateEstimateEstimateEstimate ∆ �� Capital requisCapital requisCapital requisCapital requis
SSSStandardtandardtandardtandard 801 632 - -
Baisse Baisse Baisse Baisse de la prime de liquiditéde la prime de liquiditéde la prime de liquiditéde la prime de liquidité 805 774 4 142 �{)�dd��t�S�F� � 4142
3.2.4. Agrégation des sous-modules
Dans le QIS5, les risques et taux à la hausse et à la baisse ne sont pas identiquement corrélés avec le
risque action.
En cas de hausse des taux, le besoin en capital vaut :
Le graphique suivant présente l’évolution du montant de provision Best Estimate et de la marge de
risque entre le QIS4 et le QIS5 pour le cas étudié.
Figure Figure Figure Figure 40404040. . . . Comparaison du Best Estimate et de la marge de risque entre le QIS4 et le QIS5Comparaison du Best Estimate et de la marge de risque entre le QIS4 et le QIS5Comparaison du Best Estimate et de la marge de risque entre le QIS4 et le QIS5Comparaison du Best Estimate et de la marge de risque entre le QIS4 et le QIS5
La provision Best Estimate diminue entre le QIS4 et le QIS5. Cette diminution est due à l’introduction
d’une prime de liquidité qui augmente les taux d’actualisation des flux pris en compte dans le calcul de la
provision Best Estimate.
En revanche, la marge de risque nécessaire augmente entre le QIS4 et le QIS5 à cause de
La somme de la provision Best Estimate et de la marge de risque diminue.
Le résultat obtenu n’est pas en accord avec les prévisions d’évolution de l’ACP. Pour calculer la marge de
risque, il est supposé que le transfert des contrats ait lieu dans sa globalité et non plus par famille de
contrats. Cela devrait avoir pour effet d’intégrer dans la marge de risque la diversification entre les
risques, et donc de la diminuer. Ici, un seul type de contrat est considéré, il n’y a donc pas de différence
dans le transfert de risque.
7.2. Le SCR de souscription vie
Le graphique suivant présente l’évolution du SCR de souscription vie entre le QIS4 et le QIS5.
Figure Figure Figure Figure 41414141. . . . Evolution du SCR de souscription vie entre le QIS4 et le QIS5Evolution du SCR de souscription vie entre le QIS4 et le QIS5Evolution du SCR de souscription vie entre le QIS4 et le QIS5Evolution du SCR de souscription vie entre le QIS4 et le QIS5
Le durcissement du choc de mortalité et de la loi de rachat conjoncturel a pour conséquence une
augmentation du SCR de souscription vie entre le QIS4 et le QIS5. Les risques de catastrophe et de
dépenses ont été négligés, mais ils devraient augmenter le capital requis. En revanche, l’ajustement
négligé devrait venir en diminution du SCR de souscription vie.
Le graphique suivant représente l’évolution du SCR marché entre le QIS4 et le QIS5.
Figure Figure Figure Figure 42424242. Evolution du SCR marché entre le QIS4 et le QIS5. Evolution du SCR marché entre le QIS4 et le QIS5. Evolution du SCR marché entre le QIS4 et le QIS5. Evolution du SCR marché entre le QIS4 et le QIS5
Le capital requis au titre du risque sur les actions diminue car le choc appliqué est plus faible dans le
QIS5. Le capital requis au titre du risque de taux diminue également.
Le graphe ci-dessous illustre l’évolution des chocs appliqués :
Figure Figure Figure Figure 43434343. Comparaison des chocs sur la courbe des taux pour le QIS4 et le QIS5. Comparaison des chocs sur la courbe des taux pour le QIS4 et le QIS5. Comparaison des chocs sur la courbe des taux pour le QIS4 et le QIS5. Comparaison des chocs sur la courbe des taux pour le QIS4 et le QIS5
Les chocs à la hausse sont plus faibles que dans le QIS4. Les chocs à la baisse sont plus forts les
premières années et plus faibles par la suite.
Dans le cadre de cette étude, seule le risque de taux à la hausse à un impact sur le SCR marché.
L’augmentation des chocs à la baisse n’a donc pas d’impact. En revanche, la diminution des chocs à la
hausse a pour conséquence une diminution de capital requis pour le risque de taux.
L’introduction de la prime de liquidité a également un effet sur l’évolution du SCR marché. En effet, le
choc d’illiquidité introduit dans le calcul du SCR marché mène à un montant de capital requis
supplémentaire. Ce montant reste cependant négligeable comparé à ceux engendrés par le risque de
taux à la hausse et le risque action.
Dans cette étude, le SCR marché diminue entre le QIS4 et le QIS5. Il est cependant important de
rappeler que seuls les risques de taux, d’action et d’illiquidité sont pris en compte ici. Or, le calibrage des
autres risques de marché a globalement été durci.
Le SCR
Le SCR opérationnel est plus fort dans le cadre du QIS5. Cette augmentation est due à la hausse du taux
de prise en compte des provisions mathématiques. Le BSCR augmente également à cause de
l’augmentation du SCR de souscription vie. Globalement le SCR augmente, mais très légèrement.
Figure Figure Figure Figure 44444444. Evolution détaillée du SCR entre le QIS4 et le QIS5. Evolution détaillée du SCR entre le QIS4 et le QIS5. Evolution détaillée du SCR entre le QIS4 et le QIS5. Evolution détaillée du SCR entre le QIS4 et le QIS5
- Diminution de 1% des taux de rachat structurel de référence ;
- Augmentation de 1% des taux de rachat structurel de référence.
Figure Figure Figure Figure 45454545. Variation des taux de rachat structurel pour l'étude des sensibilités. Variation des taux de rachat structurel pour l'étude des sensibilités. Variation des taux de rachat structurel pour l'étude des sensibilités. Variation des taux de rachat structurel pour l'étude des sensibilités
Impact des taux de rachat structurel sur le montant de la provision Best Estimate :
Figure Figure Figure Figure 46464646. Evolution de la provision Best Estimate en fonction des taux de rachat structurel. Evolution de la provision Best Estimate en fonction des taux de rachat structurel. Evolution de la provision Best Estimate en fonction des taux de rachat structurel. Evolution de la provision Best Estimate en fonction des taux de rachat structurel
Lorsque les taux de rachat structurel augmentent, la provision Best Estimate augmente. La hausse des
taux de rachat entraine une augmentation des flux à verser qui sont comptabilisés dans le calcul de la
provision Best Estimate. Les taux de rachat des premières années augmentant, cela engendre plus de
sorties en début de contrat. Les sorties en début de contrat entrainent une augmentation du montant
de provision Best Estimate car le taux d’actualisation appliqué est inférieur au taux de revalorisation de
Pour tester l’influence de l’âge des assurés sur le montant de la provision Best Estimate la population
d’assurés va être rajeunie de 10 ans puis vieillie de 10 ans. La moyenne d’âge des assurés passe de 55
ans à 45 ans puis à 65 ans.
Figure Figure Figure Figure 47474747. Evolution de la provision . Evolution de la provision . Evolution de la provision . Evolution de la provision Best Estimate en fonction de l'âge des assurésBest Estimate en fonction de l'âge des assurésBest Estimate en fonction de l'âge des assurésBest Estimate en fonction de l'âge des assurés
Lorsque la moyenne d’âge des assurés augmente, le montant de provision Best Estimate augmente. Les
assurés étant plus âgés, leur probabilité de décéder dans l’année est plus élevée. L’assureur doit donc
payer davantage de prestations décès en début de contrat lorsque la population est plus âgée. Le taux
d’actualisation étant inférieur au taux de revalorisation sur les premières années, la revalorisation de
ces prestations est plus importante que l’actualisation ce qui a pour effet d’augmenter la provision Best
Estimate.
4. Sensibilité à la répartition du portefeuille
La répartition des placements relatifs au fonds Euro est un paramètre du modèle. Il a été décidé de
placer 80% des placements en obligations et 20% en actions. Le but de cette partie est de déterminer
les variations de la provision Best Estimate est cas de modification de cette répartition.
Figure Figure Figure Figure 48484848. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la proportion d'actions en couverture du fonds Euro. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la proportion d'actions en couverture du fonds Euro. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la proportion d'actions en couverture du fonds Euro. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la proportion d'actions en couverture du fonds Euro
La proportion d’actions détenues à un impact sur le montant de la provision Best Estimate. La provision
Best Estimate augmente avec l’augmentation de la proportion d’actions.
Les actions constituent un placement plus risqué que les obligations de par leur forte volatilité. En cas
de scénario d’évolution des actions défavorable, les produits financiers vont être réduits mais cela
n’entraine qu’une diminution limitée du Best Estimate en raison des garanties de taux définies au
contrat. Inversement, en cas de scénario favorable sur l’évolution des actions, les plus-values sur
actions viennent augmenter les produits financiers alors que les plus-values obligataires sont stockées
en réserve de capitalisation. Cela a pour conséquence d’augmenter le taux servi et donc la provision
Best Estimate. Cette augmentation est limitée par la diminution des rachats conjoncturels liée à
l’augmentation du taux servi.
5. Les limites du modèle
L’étude des sensibilités démontre que le résultat dépend des hypothèses du contrat et des paramètres
de modélisation choisis. Le montant de provisions Best Estimate est très sensible aux hypothèses de
rachat et à l’âge des assurés. En effet, ces deux paramètres influencent directement les flux pris en
compte dans le calcul du Best Estimate.
Même si les résultats dépendent grandement des hypothèses choisies, les calculs pour le QIS4 et le
QIS5 ayant été effectués à partir des mêmes paramètres de simulation, il est possible de les comparer
et d’analyser l’évolution du besoin en capital entre ces deux études pour le contrat et les risques
- �$*� ¬� � '�� ¬ [ '� ¬��� ¬ [ '� ¬��m� � '��# I [ #��# I [ #�m� � '�� I�� I�m� � '� - I Im8 m� � '� I Im� m � m � �
¬ étant une fonction linéaire de I, un vecteur gaussien, alors ¬ est aussi un vecteur gaussien.
Application au cas particulier où Application au cas particulier où Application au cas particulier où Application au cas particulier où ( � ) ∶
Soit ø � +øIø¬øÂ,~��#,�� où � � � ®I¬ ®I®¬ÒI,¬ ®I®ÂÒI,®I®¬ÒI,¬ ®¬¬ ®¬®ÂÒ¬,®I®ÂÒI, ®¬®ÂÒ¬, ®Â¬ �
Avec :
- ρ.,/ : coefficient de corrélation entre les variables X. et X/. D’après le théorème de Cholesky, il existe une matrice � �EI,I 0 0E¬,I E¬,¬ 0EÂ,I EÂ,¬ EÂ,Â� telle que � � m .
Figure 1. Encours des différents produits d'épargne longue en 2009 .............................................................. 12
Figure 2. Cotisations par catégorie de contrats en 2009 ..................................................................................... 13
Figure 3. Evolution des provisions mathématiques en montant .......................................................................... 14
Figure 4.Proportion des provisions mathématiques investies sur un support Euro ...................................... 14
Figure 5. Bilan d'une compagnie d'assurance vie .................................................................................................... 22
Figure 6. Bilan économique sous Solvabilité II ........................................................................................................ 26
Figure 7. Le processus Lamfalussy ............................................................................................................................ 27
Figure 8. Les 3 piliers de Solvabilité II ...................................................................................................................... 30
Figure 9. Chronologie des études quantitatives d'impact ..................................................................................... 33
Figure 10. Calendrier de la réforme Solvabilité II .................................................................................................. 34
Figure 11. Calendrier des étapes du QIS5 ................................................................................................................ 34
Figure 12. Schéma d'actualisation du Best Estimate ............................................................................................. 36
Figure 13. Courbes des taux du CEIOPS en fonction des différents montants de prime de liquidité ........ 37
Figure 14. Structure générale du SCR selon le QIS5 ............................................................................................. 40
Figure 15. Sous-modules du risque de souscription vie ........................................................................................ 42
Figure 16. Sous-modules du risque de marché........................................................................................................ 47
Figure 17. Schéma du modèle de simulation stochastique ................................................................................... 54
Figure 18. Evolution des taux courts simulés avec le modèle CIR pour 100 simulations.............................. 58
Figure 19. Ajustement de la courbe des taux zéro-coupon simulée avec la courbe déduite de la courbe
des taux sans risque du CEIOPS .................................................................................................................................. 61
Figure 20. Evolution du cours de l'action du fonds UC selon le modèle de B&S pour 100 simulations ...... 63
Figure 21. Taux de rachat structurel en fonction de l'ancienneté du contrat ................................................. 66
Figure 22. Taux de rachat conjoncturel du QIS5 et du QIS4 en fonction de la différence entre le taux
servi par l'assureur et le TME ...................................................................................................................................... 67
Figure 23. Taux de rachat conjoncturel utilisé dans le modèle ............................................................................ 68
Figure 24. Distribution de la participation aux bénéfices ..................................................................................... 74
Figure 25. Schéma de déroulement du modèle de simulation .............................................................................. 75
Figure 26. Evolution du nombre de rachats et de décès sur une simulation .................................................... 77
Figure 27. Evolution de la répartition des placements en fonction des arbitrages ........................................ 80
Figure 28. Evolution des provisions mathématiques allouées au fonds Euro et au fonds UC ...................... 83
Figure 29. Règle de désinvestissement des actifs pour le paiement des prestations ................................... 84
Figure 30. Répartition des actifs du fonds Euro ..................................................................................................... 87
Figure 31. Evolution des cours des deux actions du portefeuille ........................................................................ 87
Figure 32. Régression linéaire entre les actions mettant en évidence leur corrélation ............................... 88
Figure 33. Répartition des assurés par âge et par sexe ....................................................................................... 89
Figure 34. Répartition des assurés par ancienneté ............................................................................................... 89
Figure 35. Flux moyens composant le Best Estimate (sur 1000 simulations) ................................................. 93
Figure 36. Schéma de convergence du Best Estimate ........................................................................................... 94
Figure 37. Distribution des moyennes des 1000 échantillons bootstrap du Best Estimate ......................... 95
Figure 38. Courbes des taux d'intérêt du QIS5 avec et sans chocs .................................................................... 98
Figure 39. Courbes des taux d'intérêt du QIS4 avec et sans chocs .................................................................... 99
Figure 40. Comparaison du Best Estimate et de la marge de risque entre le QIS4 et le QIS5 ................. 104
Figure 41. Evolution du SCR de souscription vie entre le QIS4 et le QIS5 ..................................................... 105
Figure 42. Comparaison des chocs sur la courbe des taux pour le QIS4 et le QIS5 .................................... 106
Figure 43. Evolution du SCR marché entre le QIS4 et le QIS5 .......................................................................... 106
Figure 44. Evolution détaillée du SCR entre le QIS4 et le QIS5 ........................................................................ 107
Figure 45. Variation des taux de rachat structurel pour l'étude des sensibilités ........................................ 110
Figure 46. Evolution de la provision Best Estimate en fonction des taux de rachat structurel ................ 110
Figure 47. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de l'âge des assurés ................................. 111
Figure 48. Evolution de la provision Best Estimate en fonction de la proportion d'actions en couverture
du fonds Euro ................................................................................................................................................................ 112