Université Mohammed V, Rabat 2016-2017 Faculté des Sciences SMA 5 - M28 Département de Mathématiques Mesures et Intégration Série 5c Espaces L p - Inégalités - Intégrables dependant d’un paramétre réel Exercice 1. Soit ( X, X, μ) un espace mesuré. (1) Soient f et g deux fonctions mesurables positives de X dans ¯ R + telles que fg ≥ 1. Montrer que Z X fdμ Z X gdμ ≥ μ( X) 2 . (2) On suppose qu’il existe une fonction intégrable f : X → R telle que 1/ f soit intégrable. Que peut-on dire de la mesure μ? Exercice 2. Pour toute fonction f ∈L 2 R ([0, 1], λ), montrer que ∑ n≥1 1 n Z [0,1] t n f (t)dt = Z [0,1] ln 1 1 - t f (t)dt. Exercice 3. Soit ( X, X, μ) un espace mesuré tel que μ( X)= 1 et soit f une fonction mesurable à valeurs réelles. Montrer en appliquant l’inégalité de Jensen que Z X 1 | f | dμ -1 ≤ exp Z X ln | f |dμ ≤ Z X | f |dμ. Exercice 4. Soit ( X, X, μ) un espace mesuré, f ∈ L 1 ( X, X, μ) et ( f n ) n≥1 une suite de L 1 ( X, X, μ) telle que lim n→∞ R X f n dμ = R X fdμ. (1) Montrer que si les fonctions f n sont positives et si la suite ( f n ) converge presque partout vers f , alors ( f n ) converge vers f dans L 1 . (2) Soit f n ∈ L 1 (R, B, λ) définie par f n = nχ ]0,1/n[ - nχ ]-1/n,0[ . Montrer que ( f n ) n≥1 converge vers 0 et que lim n R f n dλ = 0. La suite ( f n ) n≥1 converge-t-elle vers 0 dans L p ( p ≥ 1)? Exercice 5. Soit ( X, X, μ) un espace mesuré. Soient p et q deux réels ≥ 1 avec p < q. Soit f une fonction telle que f ∈L p R ( X, μ) et f ∈L q R ( X, μ). (1) Montrer que pour tout r tel que p ≤ r ≤ q on a f ∈L r R ( X, μ). En déduire que { p ≥ 1 | f ∈L p R ( X, μ)} est un intervalle. (2) En appliquant l’inégalité de Hölder, montrer que pour p ≤ r ≤ q || f || r ≤ sup(|| f || p , || f || q ). Exercice 6. (1) Montrer que pour tout r > 1 et pour tous x, y réels positifs, | x r - y r |≤ r| x - y|( x + y) r-1 . (2) Soit ( X, X, μ) un espace mesuré, p > 1 et ( f n ) n≥0 une suite de fonctions positives qui converge vers f dans L p R + (μ). Montrer que ∀r ∈ [1, p], la suite ( f r n ) n≥1 converge vers f r dans L p/r R + (μ). Exercice 7. Soit ( X, X, μ) un espace mesuré, f ∈ L 1 ( X, X, μ) et ( f n ) n≥1 une suite de L 1 ( X, X, μ) telle que lim n→∞ Z X f n dμ = Z X fdμ. (1) Montrer que si les fonctions f n sont positives et si la suite ( f n ) converge presque partout vers f , alors ( f n ) converge vers f dans L 1 . (2) Soit f n ∈ L 1 (R, B, λ) définie par f n = nχ ]0,1/n[ - nχ ]-1/n,0[ . Montrer que ( f n ) n≥1 converge vers 0 et que lim n R f n dλ = 0. La suite ( f n ) n≥1 converge-t-elle vers 0 dans L p ( p ≥ 1)?