UNIVERSITAS PAMULANG Kalkulus 1

UNIVERSITAS PAMULANGJUR. T. INFORMATIKA

KALKULUS I

A.BILANGAN

1.Skema himpunan bilangan

Bilangan Kompleks

Bilangan Nyata (Real) Bilangan Khayal

(Imaginer)

Bilangan Rasional BilanganIrrasional

≠Bilangan Pecahan BilanganBulat

Bilangan Bulat Negatif Nol B. Bulat Positif

2.Bilangan bulat (Integer)1

Himpunan bilangan yang pertama kali kita kenaladalah bilangan bulat positif (BilanganAsli/Natural (N)). Pada Himpunan bilangan Aslidapat dilakukan operasi – operasi dasar yaitupenjumlahan dan perkalian.

Sifat-sifat bilangan Asli:a.Tertutup

Untuk setiap a, b ϵ N, berlaku a + b ϵ N dana.b ϵ N

b.KomutatifUntuk setiap a, b ϵ N, berlaku a + b = b + adan a.b = b.a

c.AssosiatifUntuk setiap a, b, c ϵ N, berlaku (a + b) + c= a + (b+c) dan (ab) c = a (bc)

d.IdentitasUntuk setiap a ϵ N, berlaku a + 0 = a, 0merupakan identitas penjumlahan, dan a . 1 = a,1 merupakan identitas perkalian.

e.InversUntuk setiap a ϵ N, berlaku a + (-a) = 0, -amerupakan invers dari (a) dan a . 1/a = 1, 1/amerupakan invers dari a.

2

f.DistributifUntuk setiaf a, b, c ϵ N, berlaku (a + b)c =ac + bc, distributif terhadap penjumlahan.

3.Bilangan Riil (R)Bilangan riil merupakan gabungan dari bilanganrasional dan bilangan irrasional. Bilangan riildapat digambarkan dalam garis bilangan riil.

++++++++++ 0 --------------

4.Bilangan Rasional (Q)Bilangan rasional Q merupakan bilangan – bilangan

yang dapat dinyatakan dalam bentuk abContoh: 0.121212… apakah merupakan bilanganrasional ?Jawab: Misal x = 0.121212….Kita kali semuanya dengan 100 sehingga menjadi 100x = 12.1212…. Kemudian kitakurangkan dengan misalSehingga menjadi 100x = 12.121212….

X = 0.121212…. - 99x = 12 X = 12/99

(bentuknya ab, rasional)

5.Bilangan Irrasional (Ir)

3

Bilangan Irrasional merupakan kebalikan darirasional yaitu bilangan – bilangan yang tidak

dapat dinyatakan dalam bentuk ab.

Contoh: a. 0.131254… b. √5

6.Bilangan PecahanOperasi pembagian. Jika a dan b bilangan bulat, b

≠ 0 maka terdapat sebuah bilangan ab = a.1b yang

disebut hasil bagi dari a oleh b. a disebut

pembilang, b disebut penyebut. Kalau ab bukan

suatu bilangan bulat, maka ia disebut bilanganpecahan.Contoh: ½, 3/5, 7/9 dll.

7.Bilangan Bulat (Z)Bilangan bulat dilambangkan dengan z dan unsur –unsurnya adalah :…,-2, -1, 0, 1, 2, 3, … dengan kata lainbilangan bulat terdiri dari bilangan negative,nol dan positif.

4

B.KETAKSAMAAN

Untuk menyelesaikan suatu ketaksamaan berartiadalah mencari semua himpunan bilangan real yangyang membuat ketaksamaan berlaku. Himpunanpenyelesaian ketaksamaan biasanya terdiri darisuatu keseluruhan selang bilangan atau merupakangabungan dari selang – selang.

1.Selang (Interval)Selang secara garis besar terdiri atas dua bagianyaitu :a. Interval buka

Notasi: (a , b), A = {x a < x < b }, dalamgaris bilangan dituliskan a b

b. Interval tutupNotasi: [a , b], A = { x a ≤ x ≤ b },dalam garis bilangan dituliskanContoh: Tuliskan dalam notasi himpunan dangaris bilangan interval berikut,

5

a.(2, 6)Jawab : Notasi Himpunan A = {x 2 < x <6} Garis bilangan

2 6b.[ 4 , 8]

Jawab: Notasi himpunan A = {x 4 ≤ x ≤ 8} Garis bilangan

4 8c.(2 , 7]

Jawab: Notasi himpunan A = {x 2 < x ≤ 7}

Latihan : 1

1.Tunjukkan bilangan di bawah ini ke dalambentuk a/b

a.0.232323… b. 1.123123123…

2.Tuliskan dalam notasi himpunan dan garisbilangan interval berikut,

a.(3 , 9)

6

b.( -4 , 3)

c.[-2 , 8]

d.[ -6 , 2]

e.(-3 , 0]

f.[0 , 12)

3.Tuliskan intervalnya

a.{x -4 < x < 3}

b.{x 3 < x ≤ 7}

c.{x 2 ≤ x < 8}

d. 4 7

C.PERTIDAKSAMAAN

7

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yangdihubungkan oleh notasi ketidaksamaan (<, >, ≤, dan≥).

1.Macam – macam pertidaksamaan

1.1. P. LinearP. Linear merupakan pertidaksamaan yang memuatvariabel dengan pangkat tertinggi 1 (satu).Bentuk Umum : ax + b > c, ax + b < c, ax + b ≤c, dan ax + b ≥ c

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaianpertidaksamaan berikut

a.2x + 5 > 9 b. 5x –7 < 2x + 8Jawab: Jawab :

2x > 9 – 5 5x – 2x< 8 + 72x > 4 3x < 15 x > 4/2 x < 15/3 x > 2 x < 5

Hp = {x | x > 2 } Hp = {x | x< 5 }

8

Latihan 2.

1.Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan berikut!

a.x + 3 > 5b.3x + 6 < 12c.14x ≥ 21d.-9x + 5 ≤ -22e.– 12 < 3xf.2x + 4 > x – 20g.– 3x – 8 < 2x + 7h.5x – 5 ≤ 3x – 7

2.Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan berikut

a. x3+12≤ x4

+56

b. 16x−5≥12x+

14

c. 12x−512

←13x+

32

d.−12x+

78x>

14x−

58

9

1.2. P. KuadratPertidaksamaan yang memuat variable denganpangkat 2.Pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umumax2 + bx + c < 0 dengan a≠0 dan a, b, canggota bilangan real. Tanda < yang digunakanpada bentuk umum ini mewakili tanda – tandapertidaksamaan lain yaitu >, ≥, dan ≤.

Contoh : Tentukan penyelesaian dari 1. x2 –3x – 10 > 0

Jawab : x2 – 3x – 10 > 0 ( x – 5 )( x + 2 ) > 0 x > 5 atau x < -2

Hp = { x | x > 5 atau x < - 2}

2. x2 – 3 x – 10 < 0

Jawab : x2 – 3x – 10 < 0 (x – 5 )(x + 2 )< 0

-2 < x < 5Hp = {x | - 2 < x < 5 }

Latihan 3.

10

Tentukan Penyelesaian dari pertidaksamaanberikut!

1.x2 + x – 12 > 0

2.x2 – 4x – 12 < 0

3.x2 - 7x + 12 ≤ 0

4.x2 +4x – 21 ≥ 0

5.2x2 – 5x + 3 > 0

6.3x2 + 4x – 7 < 0

7.–x2 + 2x + 24 < 0

8.–x2 – 2x + 8 > 0

9.x +3x

+4≤0

10. 5x2 ≥ 9x + 2

3.P. Bentuk Pecahan

11

Secara umum pertidaksamaan pecahan, dapat kitanyatakan dengan:

f(x)g(x)

≥0; f(x)g(x)

≤0; f(x)g(x)

<0atauf(x)g(x)

>0

Dengan f(x) dan g(x) merupakan polinom yang dapatberbentuk fungsi kubik, fungsi kuadrat ataufungsi linear.Untuk menyelesaikan pertidaksamaan berbentukpecahan dapat dilakukan dengan menggunakan garisbilangan, dengan langkah – langkah sebagaiberikut.

a.Mengubah bentuk pertidaksamaa ke dalam bentukbaku ( ruas kanan menjadi sama dengan nol).

b.Menentukan nilai pembuat nol pembilang danpenyebut

c.Meletakkan pembuat nol pada garis bilangand.Mensubstitusi sembarang bilangan pada

pertidaksamaan sebagia nilai uji untukmenentukan tanda interval.

e.Interval Yang memiliki tanda yang nilainyasesuai dengan tanda pertidaksamaan merupakanhimpunan penyelesaian yang dicari.

Contoh : 1. 2x−4x−3

≥0

Jawab : Pembilang = 012

2x – 4 = 0 2x = 4 x = 4/2 x = 2

Penyebut = 0 x – 3 = 0 x = 3 + 0 - + 2 3

Hp = { x | x < 2 atau x > 3}

2. x2−3x−4x2−x−12

≤0

Jawab : (x−4 )(x+1)

(x−4 )(x+3)≤0

(x+1)(x+3)

≤0

Pembilang = 0 x + 1 = 0

Penyebut = 0 x + 3 = 0

++ - --- +++ -3 -1

13

Hp = { x | -3 ≤ x ≤ -1 }

Latihan 4:

1.Tentukan Himpunan penyelesaian daripertidaksamaan berikut

a. 2x−43x+2

≥0

b. 3x−42x−3

≤1

c. 2x+7x−1

≤1

d. 62x−8

< 3x2x−8

e. 2x−3

> 5x+6

2.Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan berikut

a. x−22x2−3x−5

≤0 c. x2−x−62x2+2x−4

>1

14

b. x2−916−x2>0 d.8x2−3x+10

5x−2≤2x−1

3.Tentukan nilai x agar pecahan x2+3x−10x2−x+2

bernilai positif.

4. P. Harga Mutlak

Sebelum masuk pada pembahasan pertidaksamaannilai mutlak, terlebih dahulu kita harusmengetahui definisi dari nilai mutlak itusendiri.Definisi:

-x, untuk nilai x < 0 |x| =

x, untuk nilai x ≥ 0

Sifat – sifat Nilai Mutlak

Untuk x,a∈R,dana≥0berlaku

1.|x|<aekuivalendengan−a<x<a2.|x|≤aekuivalendengan−a≤x≤a

15

3.|x|>aekuivalendenganx←aataux>a4.|x|≥aekuivalendenganx≤−aataux≥a5.|x|=√x2↔|x| ¿x22

6.|f(x)|<|g(x)|ekuivalendenganf2 (x )<g2(x)

7.|f(x)|>|g(x)|ekuivalendenganf2 (x )<g2(x)

Contoh:

1.|x−3|<4Jawab : Menggunakan sifat 1 -4 < x – 3 < 4 -4 + 3 < x < 4 + 3 - 1 < x < 7 Hp = {x | - 1 < x < 7 }

2.|x−3|<4 (dikuadratkan) / sifat 6(x−3) ¿422

(x−3) −4 ¿022

(x−3−4 ) (x−3+4 )<0(x – 7 )(x + 1 ) < 0x1 = 7, x2 = -1

++++ ------ ++++ -1 7Hp = { x | - 1 < x < 7 }

3.Tentukan penyekesaian pertidaksamaan |3x−2|≥4Jawab :

16

Gunakan sifat 4.

a.3x – 2 ≤ - 4 b. 3x – 2 ≥ 43x ≤ - 4 + 2 3x ≥ 4 + 23x ≤ -2 3x ≥ 6x ≤ -2/3 x ≥ 6/3 x ≥ 2

-2/3 2

Hp = { x | x ≤ -2/3 atau x ≥ 2 }

Latihan 5 :

1.|3x−2|≥4

2.|x2−2x−1|≤2

3.|x−3|≥|x+2|4.|2x+1|<|x−5|

5. |x+2||x−3|

>1

6.|x+2| −5|x+2| +6≥022

7.|x+1|+x<3

17

8.|x+1|+|x+2|<5

9.|3x−|x||≥2

10. |x|+2x ≥

D.F U N G S I

1.Definisi FungsiFungsi f adalah aturan yang memadankan setiap

elmen x dalam himpunan A secara tepat satu elemen,yang disebut f(x) dalam himpunan B.

Biasanya kita meninjau di mana himpunan A danB merupakan himpunan bilangan real. Himpunan Adisebut daerah asal (domain) fungsi. Bilangan f(x)adalah nilai f pada f(x) dan dibaca “ f dari x “.Daearh hasil (range) f adalah himpunan semua nilaif(x) di mana x berubah sepanjang daerah A.

Aturan yang memasangkan anggota – anggotahimpunan A dengan anggota – anggota himpunan Bdisebut aturan fungsi.Misal diuketahui fungsi – fungsi:

f : A → B ditentukan dengan notasi f(x)g : C → D ditentukan dengan notasi g(x)

Contoh : Jika f : x → 2x + 3, maka rumus fungsinyaadalah f(x) = 2x + 3

18

2.Cara Menyajikan fungsiFungsi dapat disajikan dalam 3 caraa.Diagram Panahb.Pasangan Berurutanc.Koordinat Cartisius

Contoh: Diketahui A = { 1, 2, 3, 4} danB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Suatu fungsi f:A → B ditentukan oleh f(x) = 2x – 1

1.Gambarkan fungsi f dengan diagram panah2.Pasangan berurutan3.Koordinat Cartesius

Jawab :

f(1) = 2(1) -1 = 1 f(3) = 2(3) – 1 = 5

f(2) = 2(2) – 1 = 3 f(4) = 2(4) – 1 = 7

a.Diagram panah B

A

19

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

b.Pasangan berurutan

{(1,1), (2, 3), (3, 5),( 4, 7)}

c.Koordinat Cartesius y

7 *

6

5 *

4

3 *

2

1 *

0 1 2 3 4 x

3.Jenis – jenis fungsi

a. Fungsi Konstan (F. Tetap)

20

Suatu fungsi f : A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota daerah asal (domain) fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan Konstan.

Contoh : Diketahui f : R → R dengan rumus f(x) = 4 dengan Df = {x | -3 < x < 3 }

Tentukan gambar grafiknya.Jawab :

x -2 -1 0 1 2f(x) 4 4 4 4 4

3 2 1 1 2 3

2

4

6

8

b. F. Liniear

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabilafungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di

21

mana a ≠ 0 dan b bilangan konstan dan grafiknyaberupa garis lurus.Contoh: 1. Jika diketahui f(x) = 2x + 6, gambarlahfungsi tersebut

Penyelesaian :a.Menentukan titik potong terhadap sumbu x y→ =

02x + 6 = 0 2x = - 6 x = - 6/2 x = - 3(- 3, 0)

b.Menentukan titik potong terhadap sumbu y x→ =0f(x) = 6(0, 6)

Gambar:

4 2 2 4

5

1 0

1 5

22

Contoh : 2. Gambarkan fungsi f(x) = -2x – 4, Df = {x | x ≥ 0 }Penyelesaian :

a.Titik Potong terhadap sumbu x y→ = 0-2x – 4 = 0- 2x = 4- 2x = 4 x = 4/-2 x = - 2 (-2, 0)

b.Titik potong terhadap sumbu y x→ = 0f(x) = -4 (0, -4)

Gambar :

3 2 1 1

6

4

2

2

23

c. F. Kuadrat

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2

+ bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b dan c bilangankonstan dan grafiknya berupa parabola.

Contoh : Fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 + 2x – 3

Gambarkan fungsi tersebut !Penyelesaian:

a. Titik Potong terhadap sumbu x y = 0→x2 + 2x – 3 = 0(x + 3)(x – 1) = 0x1 = - 3, x2 = 1 (- 3, 0) (1, 0)

b.Titik Potong terhadap sumbu y x→ = 0f(x) = - 3(0, - 3)

c.Menentukan persamaan sumbu simetri

X = x1+x2

2

24

= −3+12

x = - 1

d.Menentukan titik puncak

f(-1) = (-1)2 +2(-1) – 3 = 1 – 2 – 3 = - 4(- 1, - 4)

Gambar :

4 2 2

5

1 0

d.F. Modulus

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi itu memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsure harga mutlaknya.

Definisi nilai mutlak :

x, jika x ≥ 0

25

|x| =

−x,Jikax<0

Contoh : Diketahui fungsi f(x) = |2x+6| gambarkan fungsi tersebut!

Penyelesaian:

2x + 6, 2x + 6 ≥ 0, 2x ≥ -6, x ≥ - 6/2, x ≥ -3

|2x+6|=

-2x – 6, 2x + 6 <0, 2x < -6, x < -6/2, x < -3

dari definisi di atas dapat diambil dua fungsi yang berbeda

yaitu :

a)f(x) = 2 x + 6 Df = { x | x ≥ - 3}b)f(x) = - 2x – 6 Df = { x | x < - 3}

dengan menggunakan cara menggambar fungsi linear kedua fungsi tersebut dapat digambarkan dalam satu garafik yaitu:

26

Gambar:

5 4 3 2 1 1

2

4

6

8

Latihan 6 :

1.Diketahui fungsi f(x) = -x2 – 3x + 6, dengan Df = {x | -2 < x ≤ 1 }Tentukan Rangenya.

2.Diketahui fungsi f(x) = x2−3x−22x+1

Tentukan;

a. f(-2)

b. f(-1)

c. f(3)

-2x + 4, -3 < x < 1

27

3. f(x) = -8, x 1≥

x2 – 4x + 8, x - 3≤

tentukan : f(-4), f(-3), f(-1), f(1), f(2)

4.Gambarkan:

a.f(x) = -3x + 9, Df = { x | x ≥ 3}b.f(x) = 2x – 8, Df = { x | 0 ≤ x ≤ 4 }c.f(x) = x2+3x – 10, Df = {x | x ≥ 2 }d.f(x) = 4 – x2, Df = { x | - 2 ≤ x ≤ 2 }

5.Gambarkan

a.f(x) = |2x−4|b.f(x) = |−3x+9|c.f(x) = |−x−6|d.f(x) = |9−x2|e.f(x) = |x+1|+|x−1|f.f(x) = |2x−4|+3g.|x|+|y|=1

4, bila x ≤ 0

6. f(x) =

4 – x2, bila x ≥ 028

Gambarkan!

E.L I M I T

1. Limit Fungsi AljabarPengertian: Misalkan x adalah variable real dan a adalahkonstanta real. Apabila nilai nilai x mendekatibatas a dan nilai fungsi f(x) mendekati batas L,ditulis

limx→a

f (x )=L

Nilai pendekatan x ke a dapat dipandang dari duaarah, yaitu x mendekati a dari arah kiri atauditulis x →a−¿¿ x mendekati a dari arah kananditulisx →a+¿¿, agar lebih jelas perhatikan contoh berikut:

Contoh: 1. Tentukanlah nilai dari limx→1(x+4)

Penyelesaian:

29

Untuk menentukan nilai dari limx→1(x+4), maka lebih

dahulu dibuat table nilai x yang mendekati 1 dariarah kiri (limit kiri) dan kanan (limit kanan).

Limit kiri.

X 0.8 0.9 0.99 …. X → 1X +4

4.8 4.9 4.99 … (x +4)→5

limx→1−¿(x+4)=5 ¿

¿

Limit kanan.

X 2 1.5 1.1 1.01 … x→1X+4 6 5.5 5.1 5.01 … (x+4)→

5¿limx→a+¿

(x+4)

¿= 5

Karena limx→1−¿f (x)= lim

x→1+¿f(x)=5¿

¿¿

¿, maka limx→1f (x )=5

Contoh 2: Diketahui fungsi f(x) didefinisikansebagai berikut.

x + 2, untuk x < 4f(x) = 2x + 1, untuk x ≥ 4

30

Tentukan limx→4f(x)= ?

Penyelesaian:

Limit kiri. lim

x→4−¿(x+2)=6 ¿

¿

Limit kana lim

x→4+¿(2x+1)=9 ¿

¿

Karena limx→4−¿f (x)≠ lim

x→4+ ¿f(x) ¿¿ ¿

¿ maka limx→4

f(x) tidak ada

Ltihan 7:

1.Gunakan limit kiri dan limit kanan untukmenentukan nilai limit di bawah ini.

a.limx→3x−5 d. limx→0

|x|

-x+ 3, x > 2b.limx→2

2x−3

e. f(x) =

c.limx→3

|x−3|x−3

x – 1, x ≤ 2

31

limx→2

f (x )=?

2. Menentukan Limit fungsi Aljabar

a.Berbentuk limx→af (x )=f (a )

Contoh:

a)Hitung limx→4(x+7¿)¿

Penyelesaian: limx→4

(x+7) = 4 + 7 = 11

b)Hitung limx→2(2x−7)

Penyelesaian:

limx→2

(2x−7) = 2(2) – 7 = -3

c)Hitung limx→−5

√4x+24

Penyelesaian:

limx→−5

√4x+24 = √4 (−5 )+24 = √4 = 2

32

b.Jika fungsi polinom F(x) dan G(x) bernilai noluntuk x = a maka

limx→a

F(x)G(x)

=limx→a

(x−a)f(x)

(x−a)g(x)=lim

x→a

f(x)g(x)

=f(a)g(a)

Contoh:

1.Tentukan hasil dari limx→2

x2−4x−2

Penyelesaian:

limx→2

x2−4x−2

=limx→2

(x−2 )(x+2)

x−2=lim

x→2x+2=2+2=4

2.Tentukan hasil dari limx→2

x2−5x+6x2−4

Penyelesaian:

limx→2

x2−5x+6x2−4

=limx→2

(x−2)(x−3)

(x−2 )(x+2)=lim

x→2

x−3x+2

=2−32+2

= - ¼

3. Tentukan hasil dari limx→3

x3−5x2+7x−30x2+x−12

Penyelesaian:

limx→3

x3−5x2+7x−30x2+x−12

=limx→3

(x−3 )(x2+x+10)(x−3 )(x+4)

33

limx→3

2x2+x+10(x+4)

=2(3) +3+102

3+4=317

c.Rasionalisasi bentuk akar

Contoh: 1. Tentukan hasil dari limx→4

x−4√x−2

Penyelesaian:

limx→4

x−4√x−2

=limx→4

(x−4 )(√x+2)

(√x−2)(√x+2)=lim

x→4

(x−4) (√x+2)

x−4

limx→4

√x+2=√4+2= 2 + 2 = 4

Contoh 2: Tentukan hasil dari limx→0

√1+x+x2−1x

Penyelesaian:

limx→0

√1+x+x2−1x

=limx→0

(√1+x+x2−1)(√1+x+x2+1)

x(√1+x+x2+1)

limx→0

(1+x+x2 )−1x¿¿

¿

limx→0

1+x√1+x+x2+1

=1+0

√1+0+0+1=

1√1+1

=12

Latihan 8 :

34

1.Tentukan hasil dari:a.limx→5

4x−8 i.

limx→3

x3−27x−3

b.limx→−6−5x+9 j.

limx→4

x4−16x−2

c.limx→−4−x2−2x+7 k.

limx→3

√2x−2−√3x−53−x

d.limx→4

x2−2x−8x−4 l.

limx→7

2−√x−3x2−49

e.limx→2

x2+2x−8x2−12x+20 m.

limx→4

3−√5+x1−√5−x

f.limx→0

4x3−2x2+x3x2+2x n.

Tentukan a dan b agar

35

g.limx→1

x3(1−x2)1−x

limx→2

ax2+bxx−2 =1

h.limx→2

x3−2x2+5x−10x2−4

o. Diketahui f(x) polinom berderajat tiga,

limx→1

f(x)x−1

=−4danlimx→2

f(x)x−2

=5

Tentukan f(x)

p. Hitunglah limx→0

3√1+x−1x

q. Hitunglah limx→1

3√x−1√x−1

r. Hitunglah limx→0

|2x−1|−|2x+1|x

d.Berbentuk limx→∞f(x)

1.Bentuk limx→∞

f(x)g(x)

Contoh :

a. Tentukan limx→∞

3x2+5x−86x2−6

36

Penyelesaian:

limx→∞

3x2

x2+5xx2

−8x2

6x2

x2 − 6x2

= limx→∞

3+0−06−0 = 3/6 = ½

b.limx→ ∞

x+8x2−6 =….

limx→∞

xx2+

8x2

x2

x2−6x2

= limx→∞

0+01−0 = 0

e.Berbentuk limx→∞¿

Contoh:

Hitunglah nilai limitn berikutlimx→∞

(√3x+1−√3x−4)

Penyelesaian:

limx→∞

(√3x+1−√3x−4)=limx→∞

(√3x+1−√3x−4¿¿). (√3x+1+√3x−4)

(√3x+1+√3x−4)

limx→

(3x+1)−(3x−4)

√3x+1+√3x−4¿¿= lim

x→∞

5√3x+1+√3x−4

37

limx→∞

5√x

√3xx +1x+√3xx −

4x

= limx→∞

0√3+0+√3−0

= 0

Latihan 9 :

Tentukan hasil dari:

1.limx→∞

2x+59x+7

2.limx→∞

x2+2x+32x2−7x+8

3.limx→∞

x2+x−5x3−1

4.limx→∞

(x+1)2

x2

5.limx→∞

2x2−3x−4√x4+1

6.limx→∞

(√x2+8x+7−x)

7.limx→∞¿¿

8.limx→∞

(√x+2−√x¿)¿

38

9.limx→∞

√x2+x−√x2−x

10. limx→∞

x(√x2+1−x)

3.Limit F. Trigonometri

Rumus:

11. limx→0

sinxx

=limx→0

xsix

=1

12. limx→0

tanxx

=limx→0

xtanx

=1

Contoh:

Tentukan hasi dari:

a.limx→0

sin2x3x

Penyelesaian:

limx→0

sin2x3x

. 22 =

23limx→0

sin2x2x

=23.1=2 /3

39

b.limx→0

tan2xsinx

=…

Penyelesaian:

limx→0

tan2xsinx

=limx→0

tan2xsinx

.2x2x

¿limx→0

2. xsinx

.limx→0

tan2x2x

= 2 . 1. 1 = 2

Latihan 10.

Tentukan hasil dari

1.limx→0

sin4xx

2.limx→0

sin4x5x

3.limx→0

sin4xsin2x

4.limx→0

tan6x7x

5.limx→0

sin2x4x2

40

6.limx→2

sin (x2−4)x−2

7.limx→0

1−cos4xx2

8.limx→0

1−√cosxx2

9.limx→π

4

six−cosx1−sin2x

10. limx→0

x+tan3xx+sinxx

41

F.TURUNAN

1.Turunan Fungsi Aljabar

a. Mengitung Limit fungsi yang mengarah ke konsepturunan

Dari grafik di bawah ini, diketahui fungsiy=f(x) pada intervalk<x<k+h, sehingga nilai fungsi berubah darif(x) sampai dengan f(k+h)

y y = f(x) f(k+h)

f(k+h) – f(k) f(k)

h

x

42

kk+h

perubahan rata – rata nilai fungsi f terhadap xdalam in terval k<x<k+h, adalah

f (k+h )−f(x)

(k+h)−k=f (k+h )−f(k)

h . Jika nilai k makin kecil

maka nilai,

limx→0

f (k+h )−f(k)

h disebut juga perubahan nilai

fungsi f pada x = k. Limit ini disebut turunanatau derivative fungsi f pada x = k

limx→0

f (k+h )−f(k)

h disebut turunan fungsi f di x yang

ditulis dengan notasi f'(x), sehingga kitaperoleh rumus sebagai berikutr:

f' (x)=limx→0

f (k+h )−f(k)

h

Contoh;

43

1.Tentukan turunan pertama daria. f(x) = 2x

Penyelesaian:

f' (x)=limx→0

f (k+h )−f(k)

h

f' (x)=limx→0

2 (x+h)−(2x)

h

f' (x)=lim

x→0

2x+2h−2xh

f' (x)=lim

x→0

2hh = 2

b.Tentukan turunan pertama darif(x)=x2+3Penyelesaian:

f' (x)=limx→0

f (k+h )−f(k)

h

f' (x)=limx→0

(x+h)2+3−(x2+3)

h

44

f' (x)=lim

x→0

x2+2xh+h2+3−x2−3h

f' (x)=limx→0

2xh+h2h

f' (x)=limx→0

h(2x+h)h

f' (x)=limx→0

2x+h

= 2x + 0

= 2x

Latihan 11:

Carilah turunan fungsi di bawah ini dengan menggunakan rumus

f' (x)=limx→0

f (k+h )−f(k)

h

a.f (x )=3x

b.f (x )=3x - 4

c.f (x )=2x+3

45

d.f (x )=3x2

e.f (x )=x2−2x−6

f.f (x )= 22x2

g.f (x )=2√x

b. Menghitung turunan dengan rumus y = axn→y'=naxn−1

Contoh :Tentukan turunan pertama dari

a.y=3xy'=3

b.Y = 5x + 7y'=5

c.Y = x2 + 3x -8y'=2x+3

c. Menghitung turunan dengan rumus y = (ax + b )n, y'=na(ax+b)n−1

Contoh:Tentukan turunan dari

46

a. y = ( 2x + 6)5

Penyelesaiannya:

y'=5.2(2x+6)4

b. y = ( 4x2 + 6)6

y'=6.(4x2+6) 5.8xy'=48(4x 2+6)5

c.y=(x2+6x−6 )4

y'=4 (x 2+6x−6) (2x+6)3

y'=4 (x 2+6x−6) (8x+24)3

d. Menghitung turunan dengan rumus y=uv→y'=u'v+v'u

Contoh:

Tentukan turunan dariy=(x+6 )(2x−7)5

Penyelesaian:

u'=1v'=10(2x−7)4

u=x+6v=(2x−7)5

y'=1.(2x−7) +10 (2x−7 )45(x+6)

y'=(2x−7) +(2x−7)45(10x+60)

47

e. Menghitung turunan dengan rumus y=uv →y

'=u'v−v'u

v2

Contoh: Tentukan turunan dari

y=2x−7x+8

Penyelesaiannya: u'=2v'=1u=2x+7v=x+8

y'=2 (x+8)−1.(2x+7)

(x+8)2

y'=2x+16−2x−7(x+8)2

y'= 11

(x+8)2

e. Menghitung turunan fungsi trigonometriRumus-rumus:

1. y=sinx,makay'=cosx2. y=cosx,makay'=−sinx3. y=tanx,makay'=sec2x

48

Contoh:

1.Tentukan turunan daria.y=sin2x,makay'=2cos2xb.y=sinx,makay'=cosxc.y=cos5x,makay'=−5sin5xd.y=sinx,makay'=cosxe.y=sin (4x−9),makay'=4cos (4x−9)

Latihan 12:

Tentukan turunan dari:

1.y=5x+92.y=−5x+93.y=x2−5x+94.y=3x2+x−95.y=(x−5) (3x+7)6

6.y=(1√x

−√x)2

7.y=3x−38−5x

8.y=x2+42x

9.y=3xcos√x10. y=(x+5 ).sin5x

49

BAHAN AJAR KALKULUS I

DISUSUN OLEH:

DRS. DEDE SAHRUL BAHRI, M.Si

UNIVERSITAS PAMULANG (UNPAM)TANGERANG SELATAN BANTEN

50

2011

51