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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDipartimento di Ingegneria Civile e AmbientaleSezione geotecnica (www.dicea.unifi.it/geotecnica)
“IDRAULICA DEI TERRENI”Esercizi svolti
Johann [email protected]
http://www.dicea.unifi.it/~johannf/
Corso di GeotecnicaIngegneria Edile, A.A. 2010\2011
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22/62/62Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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Indice
INDICE
Permeabilità
Moti di filtrazione
Verifiche idrauliche
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33/62/62
LEGGE DI DARCY
Permeabilità
Esercizio 1
Determinare il coefficiente di
permeabilità k del campione e la
velocità
di filtrazione reale, vr, dell’acqua attraverso un campione cilindrico di sabbia, avente porosità
n = 60% a cui è
applicato un gradiente di carico
idraulico h0
= 30 cm. Il provino ha diametro D pari a 5 cm e lunghezza L di 15 cm. Durante la prova viene raccolto un volume d’acqua C pari a 40 cm3
in 5 sec, alla temperatura di 20°C.
L Ah0
C
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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44/62/62
Dati:Lunghezza del campione (L) = 15 cm
Carico idraulico (h0) = 30 cm
Volume di acqua raccolta (C)
= 40 cm3
Tempo di raccolta (∆t) = 5 s
Diametro del campione (D) = 5 cm
Porosità (n) = 60%
Svolgimento:Per determinare il coefficiente di permeabilità si utilizza la legge di Darcy:
ikv ⋅=dove v è la velocità
di filtrazione (apparente) attraverso
il campione e i il gradiente
idraulico. Nell’ipotesi che la
perdita di carico, h0, avvenga
tutta all’interno del campione e
assumendo come piano di riferimento z
=
0 l’estremità superiore del campione (in genere il piano z=0 coincide col p.c):h2
= ‐z +u/γw = (0)+(hw) = hw h3
= ‐z +u/γw =(‐L)+ (L+hw–h0) = hw ‐ h0
Permeabilità
L Ah0
C
hW
z
1
2
3
h
∆h
z=0
Moto stazionario
Principio di conservazione della massa
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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55/62/62
Svolgimento:L’acqua filtra attraverso il campione da punti a cui compete un carico maggiore (2) a punti in cui il carico è inferiore (3) e il gradiente idraulico risulta:
tAhLCk∆⋅⋅
⋅=
La portata attraverso la sezione A del campione è:
Lh
Lhi 0=∆=
Q = v∙Ae nell’ipotesi che il volume d’acqua che filtra attraverso il terreno sia lo stesso che viene raccolto nel serbatoio per
il principio di conservazione della massa(moto stazionario o permanente):Q = C/∆Tda cui:Q = C/∆t
= v∙Α= k∙(h0/L)∙πD2/4
e quindi:v = k∙i = k ∙h0/L
e infine (essendo A = π
D2/4 = 3.14x52/4 = 19.6 cm2):
= (40 cm3x15 cm)/(30cmx19.6cm2x5 s)
= 0.2 cm/s = 2x10‐3 m/s*
= 30 cm/15cm = 2
*Valore tipico di una sabbia pulita
Permeabilità
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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66/62/62
Svolgimento:
La velocità di filtrazione (apparente)
è data da:
v = k∙i
= 0.2 cm/s x 2 = 0.4 cm/s
e la velocità di filtrazione reale
è data da:
vr = v/n = (0.4/0.6)cm/s
= 0.67cm/s > v
N.B. Lo strumento e la procedure descritte nell’esercizio rappresentano uno dei metodi di misura della permeabilità in laboratorio per i terreni
a grana grossa (PERMEATRO A CARICO COSTANTE)
Permeabilità
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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77/62/62
Esercizio 2
Per determinare la permeabilità
media di uno strato di sabbia di spessore S = 12.5 m,
sovrastante uno strato impermeabile, è
perforato un pozzo ed è
eseguita una prova di emungimento. La
falda freatica è alla profondità zw
= 1.95 m dal p.c. A regime la portata emunta
è
q = 850 lt/min, e gli abbassamenti del livello acquifero in due piezometri posti a distanza x1
= 15.2 m e x2
= 30.4 m dallʹasse del pozzo sono rispettivamente y1
= 1.625 m e y2
= 1.360 m. Stimare il coefficiente di permeabilitàmedio della sabbia, k (in m/sec) ed il suo diametro efficace D10.
Dati:
Spessore dello strato di sabbia (S) = 12.5 mProfondità della falda dal p.c. (zw) = 1.95 m
Portata emunta (q) = 850 lt/min
= 850/60000 m3/s = 0.014167 m3/s
p.c.
S
zw
Permeabilità
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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x1x2
y1 y2
x1 = 15.2 m
x2 = 30.4 m
y1 = 1.625 m
y2 = 1.360 m
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88/62/62
Svolgimento:La permeabilità media dello
strato di sabbia può essere
determinata sulla base della formula:
Permeabilità
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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p.c.
S
zw
x1
x2
y1 y2
)hh(
)xxln(
qk21
22
1
2
−⋅
π= [m/s] q [m3/s]
h1 h2
dove:h1 = S –zw –y1 = (12.5 – 1.95 –
1.625)m = 8.925 m
h2 = S –zw –y2 = (12.5 – 1.95 –
1.360)m = 9.19 m
6.5∙10‐4 m/s=−
⋅π
=222
3
m)925.819.9(
)m2.15m4.30ln(s/m014167.0k
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99/62/62
Per determinare il diametro efficace, D10, si utilizza la formula di Hazen, che, per
sabbie sciolte uniformi, fornisce una
stima del coefficiente di permeabilità:
Permeabilità
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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k = C⋅ (D10)2 con k [cm/s], D10
[cm], C = 100 ÷ 150
da cui, assumendo C = 100:
D10 = √(k/C) = √(6.5∙10‐2
/100) = 0.026 cm
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1010/62/62
Esercizio 3
Determinare il rapporto tra la permeabilità
equivalente orizzontale kH e verticale kV
di un deposito costituito da strati orizzontali di argilla
, dello spessore medio di 1.5 m, alternati a strati sottili di limo argilloso, dello spessore medio di circa 1 cm e aventi permeabilità
circa 100 volte maggiore di quella dell’argilla.
Dati:Spessore degli strati di argilla (Ha) = 1.5 m
Coefficiente di permeabilità del limo (kl)
= 100 ka
Spessore degli strati di limo (Hl) = 1 cmCoefficiente di permeabilità dell’argilla
= ka
p.c.ArgillaLimoHl
Ha
LimoArgilla
Permeabilità
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1111/62/62
q
H
kv1, H1kv2, H2
kv, Hn
q
kv1, H1kv2, H2
kvn, Hn
H∑=
vi
iV,eq
kHHk
Svolgimento:Nell’ipotesi che i singoli
strati siano omogenei e isotropi (kh
= kv),
il coefficiente di permeabilità equivalente orizzontale, per una singola coppia di strati è:
q H
kh1, H1 q1 q2 kh2, H2
qn kn, Hn a)
q
H HHk
k ihiH,eq∑ ⋅= = (kaxHa+klxHl)/(Ha + Hl) =
= (150cm ka
+ 100 ka∙1cm)/(150+1)cm== 250/151 ka
= 1.66 ka
= (Ha + Hl)/(Ha/ka+
Hl/kl) = = (150cm+1cm)/[150cm/ka
+ 1cm/(100ka)]= 151/(150.01/ka) = 1.007 ka
Permeabilità
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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1212/62/62
Svolgimento:
Il rapporto tra la permeabilità
equivalente orizzontale kH e verticale kV
è:
ka007.1ka66.1
kk
V,eq
H,eq
⋅⋅
= = 1.6
N.B. La presenza di sottili strati di limo immersi in un deposito di argilla e con permeabilità
molto più alta, influenza poco la
permeabilità verticale
del deposito, mentre influenza sensibilmente la permeabilità
orizzontale (una volta e mezza quella dell’argilla).
Permeabilità
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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1313/62/62
Un canale di irrigazione, limitatamente ad un tratto di lunghezza L = 7 km, non èrivestito e scorre parallelamente ad un corso dʹacqua come mostrato nella sezione trasversale in Figura. Il terreno sottostante è
argilla attraversata da una lente di sabbia (k = 9x10‐2cm/s) di spessore S = 0.2 m. Si determini la perdita dʹacqua dovuta alla filtrazione, attraverso lo strato di sabbia, dal canale al corso dʹacqua.
Permeabilità
Esercizio 4 (Esame del 19/04/2004)
57 m s.l.m.
Lente di sabbia
Argilla
150 m 0.2 mFiume
CanaleArgilla
37 m s.l.m.
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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1414/62/62
Dati:Quota del livello d’acqua nel canale (h1) = 57 m (s.l.m.)
Coefficiente di permeabilità della sabbia (k)
= 9∙10‐4 m/s
Spessore dello strato di sabbia (S) = 0.2 m
Permeabilità
Quota del livello d’acqua nel fiume (h2) = 37 m (s.l.m.)Lunghezza del canale interessato dalla filtrazione (L) = 7000 m
Lunghezza del tratto filtrante (l) = 150 m
57 m s.l.m.
Lente di sabbia
Argilla
150 m 0.2 mFiume
CanaleArgilla
37 m s.l.m.
A
B
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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1515/62/62
Permeabilità
e quindi:Q = v∙L∙S = (1.2∙10‐4 m/s)x
7000m x 0.2 m = 0.17 m3/s
Svolgimento:Il gradiente di carico che attiva il moto di filtrazione dal canale verso il fiume (da A a B) è:
Q = v∙A = v∙L∙Sdove la velocità di filtrazione v, per la legge di Darcy, è:
∆h = h1 – h2 = 57m –
37m = 20 m
La portata che filtra attraverso
lo strato di sabbia nel tratto
di canale
di lunghezza L (nell’ipotesi di regime stazionario) è costante e pari a:
v = k∙i = k∙∆h/l = (9∙10‐4 m/s
)x(20 m/150 m) = 1.2∙10‐4 m/s
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1616/62/62
Esercizio
5Un deposito di terreno, di cui sono riportate in figura la stratigrafia e il livello di falda
(al di sopra del piano di
campagna di un’altezza HW) è
delimitato inferiormente da uno strato
di sabbia molto permeabile. Viene
realizzata una trincea inserendo
due membrane verticali e prelevando
l’acqua contenuta tra
di esse fino a portare la falda al piano di campagna. Determinare in corrispondenza del fondo della trincea la portata (per unità
di lunghezza della trincea), q, che deve essere emunta
per mantenere il livello della falda al piano di campagna.
Moti di filtrazione
Si supponga che, all’interno di un piezometro posto
tra le due membrane
in corrispondenza di un qualsiasi
punto della superficie di
separazione con lo strato di
terreno permeabile (sezione
A‐A’), l’acqua risalga rispetto
al livello di falda sempre della
stessa quantità 2/3 HW.
p.c.
A
H = 4mw
L = 10m
2/3 H w
A’
Sabbia fine: k = 2x10 cm/s1-3
Sabbia media: k = 2x10 cm/s2-2
Limo argilloso: k = 4x10 cm/s3-5
Argilla limosa: k = 3x10 cm/s4-7
Sabbia molto permeabile
H = 1.5 m1
H = 2.0 m2
H = 0.5 m3H = 1.5 m4
B B’
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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1717/62/62
Dati:Spessore degli strati:
Altezza d’acqua sul piano di campagna (Hw)
= 4 mLarghezza dello scavo (L) = 10 m
H1 = 1.5 m
* N.B. Si assumono i singoli strati isotropi rispetto alla permeabilità, khi
= kvi
Il dislivello creato
all’interno della trincea, rispetto al
livello statico di falda preesistente
all’esterno, attiva un moto di
filtrazione da punti con maggiore energia
verso punti con minore energia,
ovvero dall’esterno verso
l’interno della trincea.
H2 = 2 mH3 = 0.5 mH4 = 1.5 m
Coeff. di perm.*: k1 = 2x10‐3 cm/sk2 = 2x10‐2
cm/sk3 = 4x10‐5 cm/sk4 = 3x10‐7 cm/s
Altezza di risalita rispetto al p.c. al tetto dello strato più permeabile = 2/3(Hw)
Svolgimento:
Moto stazionario
Principio di conservazione della massa
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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Moti di filtrazione
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1818/62/62
Svolgimento:
hA‐A’ = ‐z +u/γw = ‐∑Hi + (∑Hi+
2/3 Hw) = 2/3Hw
Limitandoci a considerare
il moto di filtrazione nel suo
tratto ascendente, le sezioni A‐A’ e
B‐B’ possono considerarsi superfici
equipotenziali
(luogo geometrico di punto ad uguale
energia potenziale o
carico piezometrico) a
cui corrispondono rispettivamente un valore del carico (assumendo come piano di riferimento z = 0 la base del deposito) pari a:
hB‐B’ = ‐z +u/γw = ‐0+ 0 = 0
Con una perdita di carico nel tratto AB di lunghezzaH =∑Hi=
5.5 m pari a :
∆hAB= 2/3 Hw= 2.7 m
e un gradiente idraulico medio:
iAB = ∆hAB
/H = 2.7/ 5.5 = 0.49
p.c.
A
H = 4mw
L
2/3 H w
A’
H 1
H 2H3H4
B B’ z = 0
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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Moti di filtrazione
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1919/62/62
Svolgimento:
q = v ∙ L ∙ 1
La portata q, per unità di
lunghezza del diaframma, da emungere
alla
base della trincea (in corrispondenza della sezione A‐A’) è pari a:
v = keq,v ∙iAB
Il coefficiente di permeabilità equivalente verticale
del deposito è:
dove v è
la velocità media di filtrazione attraverso
il deposito
che è uguale a quella valutata per ogni singolo strato:
∑=
vi
iV,eq
kHHk
=(5.5m)/[(1.5m/2x10‐5m/s)+(2m/2x10‐4m/s)+(0.5m/4x10‐5m/s)+
(1.5m/3x10‐9 m/s)]
= 5.5/[(7.5+1+125+50000)x104] = 1.1∙10‐8
m/s
e la portata per unità di lunghezza del diaframma risulta:q = v ∙
L ∙ 1 = keq,v ∙iAB ∙L=1.1∙10‐8 m/s
x 0.49 x 10 m = 5.4 ∙10‐8
m2/s
filtrazione in serie (moto permanente)
e la velocità (apparente) per la legge di Darcy, vale:
principio di conservazione della massa
q = v ∙ L ∙ 1 = qi
= vi∙L∙1v = vi
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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Moti di filtrazione
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2020/62/62
Esercizio 6
Moti di filtrazione
Sabbia molto permeabile
p.c.A
B
C
D
H = 3 mW
∆h = 7 m
H = 3 m1
H = 4 m2
H = 10 m3
Argilla A : = 20 kN/m k = 3x10 m/s1 1 1
γ3 - 1 0
Argilla A : = 20 kN/m k = 1x10 m/s2 2 2
γ3 - 1 0
Argilla A : = 20 kN/m k = 5x10 m/s3 3 3
γ3 - 1 0
-10
-10
-10
3
3
3
Si consideri un deposito di argilla, la cui stratigrafia e le relative condizioni di falda
sono indicate in figura e che
poggia su uno strato di sabbia
molto permeabile. Si supponga che il livello d’acqua raggiunto in un piezometro posto al
tetto dello strato di sabbia
stia al di sopra del livello
di falda di 7 m, generando così
nel deposito di argilla un moto di filtrazione verticale ascendente (si assuma γw
= 10 kN/m3).
a) Calcolare la permeabilitàverticale
equivalente del
deposito kv, e la portata che lo attraversa, q.b) Determinare
come varia al suo interno nei
vari strati il carico piezometrico
e la pressione interstiziale.c)
Calcolare le forze agenti
sulla fase solida in ciascuno
strato e verificarne la stabilità.
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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2121/62/62
Dati:
Spessore degli strati (m)
Altezza d’acqua sul piano di campagna (Hw)
= 3 m
H1 = 3
N.B. Si assumono i singoli strati isotropi rispetto alla permeabilità, khi
= kvi
H2 = 4 H3 = 10
Coeff. di perm. (m/s)
k1 = 3x10‐10k2 = 1x10‐10
k3 = 5x10‐10
Altezza di risalita al
tetto dello strato più permeabile
rispetto al
livello di falda libera (∆h) = 7 m
Peso di volume (kN/m3)
γ1 = 20γ2 = 20γ3 = 20γw = 10
La presenza della falda in
pressione nello strato di sabbia
sottostante
il deposito di argilla, determina, rispetto alla falda libera, un gradiente nel carico piezometrico,
che attiva all’interno degli strati
di argilla un moto
verticale ascendente.
Svolgimento:
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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Moti di filtrazione
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2222/62/62
Svolgimento:
hD = ‐zD +uD/γw
= ‐(∑Hi) + (∑Hi+Hw+∆h) = 3+7 = 10 m
Il tetto dello strato di sabbia (D) e il piano di campagna possono considerarsi superfici
equipotenziali a cui corrispondono
rispettivamente un valore
del carico (assumendo come piano di riferimento z = 0 la base del deposito) pari a:hA
= ‐zA +uA/γw = 0 + Hw = 3 m
Con una perdita di carico nel tratto AD di lunghezzaH =∑Hi=
17 m pari a :∆hAD= ∆h= 7 m
e un gradiente idraulico medio:
iAD = ∆hAD /H = 7/ 17 = 0.41
Sabbia molto permeabile
p.c.A
B
C
D
H W
∆h
H 1
H 2
H 3
z = 0
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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Moti di filtrazione
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2323/62/62
Svolgimento:
Il coefficiente di permeabilità equivalente verticale
del deposito è:
∑=
vi
iV,eq
kHHk =
(3+4+10)m/[(3m/3x10‐10m/s)+(4m/1x10‐10m/s)+(10m/5x10‐10m/s)]
= 17/[(7.5+1+125+50000)x104] = 17/7x10‐10
= 2.4∙10‐10 m/s
e la portata per unità di superficie
attraverso gli stati del deposito risulta:q = v ∙
A = v ∙1
v = keq,v ∙iAB = 2.4 ∙10‐10 m/s x 0.41
= 1∙10‐10 m/sda cui risulta:q = v ∙
1 = 1 ∙10‐10 m/s
dove v è
la velocità media di filtrazione
attraverso il deposito ed è uguale
a quella valutata per ogni strato, vi
:
a) Calcolare la permeabilità verticale
equivalente del deposito kv, e
la portata che lo attraversa, q.
v = keq,v ∙iAB
filtrazione in serie (moto permanente)
e la velocità (apparente) per la legge di Darcy, vale:
principio di conservazione della massa
q = v ∙ 1 = qi
= vi∙1v = vi
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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Moti di filtrazione
-
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2424/62/62
Svolgimento:
e quindi:v = ki ∙ ii = ki ∙∆hi/Hi
da cui risulta:
Partendo dallo strato più profondo del deposito (carico più alto):
che, con riferimento al generico strato i‐esimo, per la legge di Darcy, vale:
∆hi = v ∙Hi / ki
∆hDC = hD – hC = v ∙H3 / k3
= 1∙10‐10 m/s
= (1∙10‐10 m/s)x(10 m)/( 5∙ 10‐10 m/s)
= 2 m
hC = hD – ∆hDC = 10m –
2m = 8 mIn maniera analoga si ottiene per gli strati superiori:
b) Determinare come varia al suo interno nei vari strati il carico piezometrico e la pressione interstiziale.La velocità media di filtrazione attraverso
il deposito, v, ed è
uguale a quella valutata per ogni strato attraverstao
in serie, vi
:filtrazione in serie (moto permanente)
principio di conservazione della massa
q = v ∙ 1 = qi
= vi∙1v = vi
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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Moti di filtrazione
-
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2525/62/62
Svolgimento:
da cui risulta:
∆hCB = hC – hB = v ∙H2 / k2
= (1∙10‐10 m/s)x(4 m)/( 1∙ 10‐10 m/s)
= 4 m
hB = hC – ∆hCB = 8m –
4m = 4 m
Sabbia molto permeabile
p.c.A
B
C
D
H W
∆h
H 1
H 2
H 3
z
h = ‐z +u/γw
Inoltre essendo:
si può ricavare la pressione interstiziale:u = γw∙(h+z)da cui:
uD = γw∙(hD+zD) == 10kN/m3∙(10+17)m
= 270 kPauC = γw∙(hC+zC) == 10kN/m3∙(8+7)m
= 150 kPa
h
3 m
4 m8 m
10 m
3 m
7m
H3 = 10
17m
‐3 m
1iCD
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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Moti di filtrazione
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2626/62/62
Svolgimento:uB = γw∙(hB+zB) = 10kN/m3∙(4‐3)m
= 70 kPa
uA = γw∙(hA+zA) = 10kN/m3∙(3‐0)m
= 30 kPa
Sabbia molto permeabile
p.c.A
B
C
D
H W
∆h
H 1
H 2
H 3
z
u
Viene calcolata la tensione
efficace all’interno del deposito, verificando che essa sia sempre
positiva,
per garantire la stabilità del terreno.σD
= γ1∙(H1+H2+H3) +γw Hw
= 20x(3+4+10)+10x3 = 370 kPaσC =
γ1∙(H1+H2) +γw Hw
= 20x(3+4)+10x3 = 170 kPaσB = γ1∙(H1) +γw
Hw = 20x(3)+10x3 = 90 kPaσA = γw Hw
= 10x30 = 30 kPa
c) Calcolare le forze agenti
sulla fase solida in ciascuno
strato e verificarne la stabilità.
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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Moti di filtrazione
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2727/62/62
Svolgimento:σ’D = σD – uD = (370‐270) kPa
= 100 kPa >0σ’C = σC – uC = (170‐150) kPa
= 20 kPa >0σ’B = σB – uB = (90‐70) kPa
= 20 kPa >0σ’A = σA – uA = (30‐30) kPa
= 0 kPa
Il deposito è stabile al variare della profondità rispetto al sifonamento.
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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Moti di filtrazione
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2828/62/62
Moti di filtrazione
Con riferimento allo schema
riportato in figura si determini
il profilo, con
la profondità, dellʹaltezza
geometrica Z, dellʹaltezza di pressione u/γw
e del carico piezometrico h, nonché
la velocità di filtrazione reale
ed apparente attraverso
i due tipi di terreno indicati in figura.
Esercizio 7 (Esame del 05/11/2005)
0.6 m
0.6 m
1.2 m
1.2 m
AA= 0.37 mn = 0.5k = 1 cm/s
A’
A2
AA’ = 0.186 mn = 0.5k = 0.5 cm/s
2
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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2929/62/62
Moti di filtrazione
Dati:
Porosità del primo campione (n1)
= 0.5Porosità del secondo campione (n2)
= 0.5
Svolgimento:Si assume come piano di riferimento il tetto dello strato superiore, in tal caso tra l’altezza geometrica Z e la profondità z, sussiste la relazione:Z = ‐z
0.6 m
0.6 m
1.2 m
1.2 m
AA= 0.37 mn = 0.5k = 1 cm/s
A’
A2
AA’ = 0.186 mn = 0.5k = 0.5 cm/s
2
Spessore dello strato 1 (L1)
= 1.2 m
Altezza d’acqua rispetto al tetto del deposito (hw1)
= 1.2 mSpessore dello strato 2 (L2)
= 0.6 m
Altezza d’acqua rispetto alla base del deposito (hw2)
= ‐ 0.6 m
Area della sezione del primo campione (A1)
= 0.37 m2
Area della sezione del secondo campione (A2)
= 0.186 m2
Coefficiente di permeabilità del primo campione (k1)
= 1∙10‐2
m/sCoefficiente di permeabilità del primo campione (k2)
= 0.5∙10‐2 m/sRegime stazionario (o permanente)
principio di conservazione della massa
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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3030/62/62
Moti di filtrazione
Svolgimento:
Il carico piezometrico nel punto B e D vale rispettivamente:
0.6 m
0.6 m
1.2 m
1.2 m
AA= 0.37 mn = 0.5k = 1 cm/s
A’
A2
AA’ = 0.186 mn = 0.5k = 0.5 cm/s
2
B
C
D
z
hB = ‐zB +uB/γw = hw1 = 1.2 mhD = ‐zD
+uD/γw = ‐(L1+L2) ‐ hw2 = ‐(1.2+0.6)m ‐
0.6m = ‐ 2.4 mÈ presente dunque
un moto di filtrazione in regime
permanente da B a D
(discendente) e la perdita
di carico corrispondente è: ∆h = hB ‐ hD
= 3.6 mLa portata di
filtrazioneattraverso il deposito, Q,
è uguale per ogni
strato attraversato in serie (principio
di conservazione della massa), ma
non la velocità, avendo le
sezioni attraversate area diversa:Q = v1∙A1
= v2 ∙A2
Z = 0
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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3131/62/62
Moti di filtrazione
Svolgimento:
dove:
∆h = ∆h1 + ∆h2 = 3.6 m
v1 = k1 ∙ i1 = k1 ∙∆h1/L1v2 = k2 ∙ i2 = k2
∙∆h2/L2
e sostituendo:
k1 ∙A1 ∙∆h1/L1 = k2 ∙A2 ∙∆h2/L2
= k2 ∙A2 ∙(∆h‐∆h1)/L2
ovvero:k1 ∙A1 ∙∆h1/L1 (k1 ∙A1/L1 + k2∙A2/L2)∙∆h1
= k2 ∙A2∙∆h/L2
222111
2221 L/AkL/Ak
L/hAkh⋅+⋅
∆⋅⋅=∆ = [0.5∙10‐2m/s x 0.186m2 x
3.6m/0.6m]/[1∙10‐2m/s x
0.37 m2/1.2m + 0.5∙10‐2m/s x 0.186m2/0.6m]
= 1.2 m
∆h2 = ∆h ‐ ∆h1 = 3.6 m –
1.2 m = 2.4 mIdraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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Moti di filtrazione
Svolgimento:
Il carico nel punto C
è dunque:
mentre all’interno di ciascun strato si suppone un andamento lineare.hC
= hB – ∆h1 = 1.2m –
1.2m = 0 m
L’altezza di pressione è data da:
e in B, C e D vale rispettivamente: u/γw
= h(z) + z
(u/γw)B = 1.2 m
(u/γw)C = hC+zC
= 0 + 1.2 = 1.2 m
(u/γw)D = ‐0.6
mcon andamento lineare all’interno degli strati per l’ipotesi precedente.
3232/62/62
uB = 12 kPa
uC = 12 kPa
(posto γw = 10 kN/m3)
uC = ‐6 kPa
v1 = k1 ∙∆h1/L1 = 1∙10‐2 m/s
x 1.2 m/1.2m = 1∙10‐2 m/s
Le velocità di filtrazione
apparente e reale attraverso i due
strati vale, rispettivamente:
v2 = k2 ∙∆h2/L2 = 0.5∙10‐2 m/s
x 2.4 m/0.6m = 2∙10‐2 m/s
vr1 = v1 /n1 =(1∙10‐2 m/s) /0.5= 2∙10‐2
m/svr2 = v2 /n2 =(2∙10‐2 m/s) /0.5= 4∙10‐2
m/s
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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Moti di filtrazione
Svolgimento:
0.6 m
0.6 m
1.2 m
1.2 m
A 0.37 m= 0.5= 1 cm/s
A’
A2
A= 0.186 m= 0.5= 0.5 cm/s
2
B
C
D
z
z
Z, u/γw, h
3333/62/62
Z = 0 1.2 m2.4 m 0m
N.B. La pendenza dei tratti
che rappresentano l’andamento del
carico piezometrico rappresenta il
gradiente idraulico per ogni strato,
e dipende
in questo caso oltre che dalla permeabilità dall’area della sezione
attraversataIdraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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3434/62/62
Esercizio 8
Verifiche idrauliche
p.c.
A
∆hA
∆h
d2
b
Sabbia:
k = 5x10 m/s
= 16 kN/m
= 27 kN/m
-5
3
3γ
γ
d
S
Terreno impermeabile
Bd1
T1
T2
Si deve progettare una trincea di grande lunghezza in uno strato
di sabbia dalle caratteristiche indicate
in figura e delimitato inferiormente
da uno strato di terreno
impermeabile. Con riferimento alla
figura si assuma: la
semilarghezza della trincea b = 10 m;
la profondità dello scavo d1 – d2
= 10 m;
il dislivello di falda ∆h = 11 m; la profondità
dello strato di sabbia T1 = 25 m.
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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3535/62/62
Dati:Semilarghezza dello scavo (b)
= 10 m
Lunghezza dello scavo (L) >>b
Problema bi‐dimensionale
Profondità di infissione delle palancole
rispetto al p.c.
= d1Profondità di infissione delle palancole
rispetto al fondo dello scavo
= d2Profondità dello scavo rispetto al p.c.(d1
‐ d2)
= 10 m Dislivello di falda tra l’interno dello scavo e l’esterno (∆h)
= 11 m
a) Calcolare il gradiente idraulico critico, ic
(γw
= 9.81 kN/m3).b) Calcolare il gradiente idraulico medio, im, nel tratto compreso tra il piede della palancola
(A) e il punto aderente alla palancola
verso valle a fondo scavo (B) per: d1
= 13 m e d1 = 15 m.c)
Calcolare il valore minimo della
profondità d’infissione d1 della
palancolacompatibile con l’equilibrio.d) Nel
caso di profondità d’infissione d1 =
15 m calcolare il coefficiente
di sicurezza, FS, rispetto al sollevamento del fondo scavo e la portata, q, per metro di lunghezza, che filtra attraverso il fondo della trincea.
Verifiche idrauliche
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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3636/62/62
Spessore dello strato di sabbia (T1)
= 25 m
Svolgimento:Lo scavo realizzato nello strato omogeneo di sabbia e sostenuto dalle palancoleinfisse
nel terreno, una volta che il
livello di falda, all’interno dello
scavo, viene abbassato fino
alla base, emungendo una portata
costante q, attiva un moto di
filtrazione in regime stazionario,
dall’esterno verso l’interno
dello scavo, di tipo bidimensionale, che, nelle parte in cui il moto è
ascendente, può determinare fenomeni di
instabilità locale (sifonamento) o
globale (sollevamento del fondo scavo)
Dati:
Peso specifico dei costituenti solidi (γs) = 27 kN/m3Peso di volume secco (γd) = 16 kN/m3Coefficiente di permeabilità della sabbia (k)
= 5∙10‐5 m/s
Tale moto di filtrazione può essere rappresentato graficamente da due insiemi di
curve (le linee di flusso e
le linee equipotenziali) che si
tagliano ad
angolo retto (rete di filtrazione):
Peso specifico del’acqua (γw) = 9.81 kN/m3
Verifiche idrauliche
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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3737/62/62
Le linee di flusso sono
i percorsi dei filetti
liquidi nella sezione trasversale esono
infinite. Lo spazio tra due
linee di flusso successive viene
chiamato canale di flusso. In ogni canale di flusso scorre una portata costante d’acqua. Le
linee equipotenziali sono le linee di
eguale
energia potenziale, ovvero di eguale
carico idraulico e ne esistono
infinite (la distanza fra due
linee equipotenziali successive indica
in quanto spazio
si è dissipata una quantità costante del carico idraulico).Le
particelle dʹacqua scorrono lungo
le linee di flusso in direzione
sempre perpendicolare alle linee
equipotenziali(le linee di flusso e
le linee equipotenziali sono ortogonali).
Lo spazio (l’area) delimitata da
due linee di flusso successive e
da due linee equipotenziali
successive è detta campo. Il campo è la maglia della rete di filtrazione (area campita).
T1
d1 d2
∆h
b
Verifiche idrauliche
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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3838/62/62
Svolgimento:
Il gradiente idraulico critico
è una proprietà intrinseca del terreno ed è pari a:
dove γsat
lo si determina risolvendo il seguente sistema:
a) Calcolare il gradiente idraulico critico, ic.
ic = γ’/γw = (γsat‐γw)/γw
V = Vv+ Vs = 1m3
γs = Ps/Vs = 27 kN/m3
Vv = Vwγw = Pw /Vw = 9.81 kN/m3
Terreno saturo (Vv = Vw, Sr = 100%)
γd = Ps/V = 16 kN/m3
V = Vw+ Vs = 1m3
γs = Ps/Vs = 27 kN/m3
γw = Pw /Vw = 9.81 kN/m3
γd = Ps/V = 16 kN/m3 Ps= γd
∙V = 16 kN
Vs= Ps/γs = 16kN/27 kN/m3 = 0.593 m3
Vw= 1‐Vs = 0.407 m3(1)
(2)
(3)
(4)Pw= γw ∙Vw = 9.81 kN/m3x0.407 m3
= 4.0 kN
Verifiche idrauliche
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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3939/62/62
e quindi:
da cui:
ic = γ’/γw = (γsat‐γw)/γw = (20‐9.81)/9.81
= 1.04
γsat
= (Ps+Pw)/V = (16+4)/1 = 20 kN/m3
b) Calcolare il gradiente idraulico medio, im, nel tratto compreso tra il piede della palancola
(A) e il punto aderente alla palancola
verso valle a fondo scavo (B) per: d1
= 13 m e d1 = 15 m.
T1
d1 d2
∆h
bSiamo in un caso di trincea
in materiale omogeneo,
delimitato inferiormente da uno
strato impermeabile (moto confinato),
il piano di campagna (CC’) e il fondo dello
scavo sono superfici equipotenziali limite
del campo di moto, con carico
piezometrico rispettivamente:
C
A
B B’
C’
DD’
T2
z=0
hC‐C’ = ‐z +u/γw
= 0 + [∆h‐(d1‐d2)] = 1mhB‐B’
= ‐z +u/γw = ‐(d1‐d2)+0 = ‐10m
Verifiche idrauliche
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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4040/62/62
La perdita di carico dell’acqua
relativa all’intero percorso di
filtrazione è pari a:
imax = ∆hCB/(d1+d2)
T1
d1 d2
∆h
b
C
A
B B’
C’
DD’
T2
z=0
∆hCB= hC‐C’‐hB‐B’ =∆h= 11 m e ad
ogni superficie equipotenziale intermedia
(indicata in
rosso) corrisponde un valore del carico compreso tra 1 e ‐10. Le linee di flusso
lungo cui si sviluppa il moto sono indicate in verde, e le pareti
della palancola e la base del
deposito, essendo
impermeabili, rappresentano le linee di flusso limite che delimitano il campo di moto.
Il gradiente idraulico massimo
è raggiunto in corrispondenza
del percorso di filtrazione
di lunghezza inferiore, ovvero
il percorso CAB, di
lunghezza d1+d2 (trascurando lo
spessore della parete) e il
gradiente idraulico corrispondente è:
Verifiche idrauliche
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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4141/62/62
Il gradiente idraulico di efflusso, iE,
è riferito al percorso di filtrazione più breve(CAB)
e al solo tratto di moto
ascendente (AB), è può
essere approssimato con il valore medio
riferito all’intero percorso di filtrazione, imax, qualora la perdita di carico sia lineare rispetto alla lunghezza percorsa (essendo
in questo caso il gradiente
idraulico costante al variare del
tratto considerato):
Poichè
la perdita di carico non è mai lineare con la profondità(e
varia in modo diverso nel tratto
di moto discendente e ascendente),
per una misura più precisa di
∆ha (e di iE), quando non è
possibile misurare direttamente ∆ha
(con piezometri installati alla
base della parete), si può
stimarlo usando correlazioni
empiriche o abachi.
T1
d1 d2
∆h
b
C
A
B B’
C’
D D’
T2
z=0
∆haT2/b = 0
o più cautelativamente:2hha
∆≅∆
212
aE dd
hdhi
+∆
≅∆
= 221
a dddhh ⋅
+∆
≅∆
Verifiche idrauliche
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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4242/62/62
T1
d1 d2
∆h
b
C
A
B B’
C’
D D’
T2
z=0
φ 1, φ
2
d1/T1 o d2/T2
∆ha
2121
2A
hkq;hhφφ
∆∆φφ
φ∆
+⋅
=⋅+
=
T2/b = 0
Caso di scavo in mezzo omogeneo confinato:d1‐d2
= 10 m
con: T1 = 25 m
∆h = 11m
T2 = T1 – (d1‐d2) = 25 –
10 = 15 m
T2/b = 15/10 = 1.5
Verifiche idrauliche
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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4343/62/62
Per d1 = 13 m d1/T1 = 0.52 φ1 = 1.3
d2
= d1‐(d1‐d2) = (13‐10) m = 3 m
d2/T2 = 0.2 φ2 = 0.7
hh21
2a ∆⋅φ+φ
φ=∆ = [0.7/(1.3+0.7)]x11m = 3.85 m ie
= ∆ha/d2 = 3.85/3 = 1.28
Per d1 = 15 m d1/T1 = 0.6 φ1 = 1.45
d2
= d1‐(d1‐d2) = (15‐10) m = 5 m
d2/T2 = 0.3 φ2 = 0.9
hh21
2a ∆⋅φ+φ
φ=∆ = [0.9/(1.45+0.9)]x11m = 4.21 m ie
= ∆ha/d2 = 4.21/5 = 0.84
ie,1 = ∆ha/d2
= 2.06/3 = 0.69= [11/(13+3)]x3m = 2.06 m
2hha
∆≅∆
221
a dddhh ⋅
+∆
≅∆
= [11/2]m = 5.5 m ie,2 = ∆ha/d2
= 5.5/3 = 1.83
ie,1 = ∆ha/d2
= 2.75/5 = 0.55= [11/(15+5)]x5m = 2.75 m
2hha
∆≅∆
221
a dddhh ⋅
+∆
≅∆
= [11/2]m = 5.5 m ie,2 = ∆ha/d2
= 5.5/5 = 1.10
Verifiche idrauliche
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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4444/62/62
Per d1
= 13 m= 1.04/1.28 = 0.8FS = ic/ie
FS1 = ic/ie,1 = 1.04/0.69 = 1.5
Per d1
= 15 m= 1.04/0.84 = 1.2FS = ic/ie
FS1 = ic/ie,1 = 1.04/0.55 = 1.9
d1 (m) d2 (m) ie (‐) ie,m (‐) FS (‐) FS1 (‐)
13 3 1.28 0.69 0.8 1.5
15 5 0.84 0.55 1.2 1.9Assumendo come
condizione di equilibrio quella per
cui FS = 1,
la profondità di infissione d1,min
corrispondente si trova per interpolazione:
c) Calcolare il valore minimo
della profondità d’infissione d1 della
palancolacompatibile con l’equilibrio.
d1,min = 13+[(15‐13)/(1.2‐0.8)]∙(1‐0.8)
= 14 m
FS2 = ic/ie,2 = 1.04/1.83 = 0.6
FS2 = ic/ie,2 = 1.04/1.10 = 0.9
FS2 (‐)
0.60.9
Riassumendo, considerando il gradiente idraulico medio calcolato
su tutto il percorso, anziché
quello relativo solo al tratto
ascendente, si compie
una scelta non cautelativa (ie
più basso e FS più alto):
FS2 (‐) più cautelativo
FS1 (‐) meno cautelativo
FS (‐) più realistico
Verifiche idrauliche
d1
FS
1.2
0.81.0
13 15d1,min
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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4545/62/62
d) Nel caso di profondità
d’infissione d1 = 15 m calcolare
il coefficiente
di sicurezza, FS, rispetto al sollevamento del fondo scavo e la portata, q, per metro di lunghezza, che filtra attraverso il fondo della trincea.
aw
2
2aw
22
w hdʹ
2/dh2/ddʹ
SʹWFS
∆⋅γ⋅γ
=⋅∆⋅γ
⋅⋅γ==
Per d1 = 15 m d2 = 5 m ∆ha
= 4.21 m
= (10.19x5)/(9.81x4.21) = 1.2
21
hkqφ+φ
∆⋅= = (5x10‐5m/sx11m)/(1.45+0.9) = 2.34∙10‐4
m2/s
φ1 = 1.45φ2 = 0.9
La portata per unità di larghezza dello scavo è:
La portata totale è:Q = q∙2b = 1.33x10‐5m2/sx2x10m = 4.68∙10‐3
m3/s
Verifiche idrauliche
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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4646/62/62
Per costruire una fondazione è
scavata una trincea di profondità H
=4 m
e larghezza B = 2 m. Lo scavo è
sostenuto da diaframmi di lunghezza L = 6m. La falda
freatica è a profondità zw
= 0.9 m dal piano campagna e
il
fondo scavo èmantenuto asciutto da un sistema di pompe. Il terreno è
un deposito omogeneo di sabbia satura avente: e = 0.7 e Gs
=2.64. Verificare la stabilità
del fondo scavo.
Esercizio 9 (Esame del 16/04/2007)
H
L
Zw
B
Verifiche idrauliche
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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4747/62/62
Dati:Profondità dello scavo dello scavo (H)
= 4 m
Lunghezza dello scavo >>B
Problema bi‐dimensionale
Lunghezza dei diaframmi (L) = 6 m
Profondità del livello di falda rispetto al pc. (zw) = 0.9 m
Larghezza dello scavo (B)
= 2 m
Dislivello di falda tra l’interno dello scavo e l’esterno (H‐zw)
= 3.1 m
Deposito di sabbia omogeneo
Indice dei vuoti della sabbia (e)
= 0.7
Gravità specifica, Gs = γs/γw = 2.64 H
L
Zw
B
Peso specifico dell’acqua (γw)
= 9.81 kN/m3
Svolgimento:Se si effettuano le verifiche in termini di fattore di sicurezza:
Verifiche idrauliche
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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4848/62/62
a) Con riferimento alle verifica
nei confronti del sifonamento
bisogna calcolare il seguente fattore di sicurezza: FS = ic/ieIl gradiente idraulico critico
è una proprietà intrinseca del terreno ed è pari a:
dove γsat
lo si determina risolvendo il seguente sistema:ic
= γ’/γw = (γsat‐γw)/γw
V = Vv+ Vs = 1m3
γs = Ps/Vs = Gs∙γw = 25.9 kN/m3
Vv = Vwγw = Pw /Vw = 9.81 kN/m3
Terreno saturo (Vv = Vw, Sr = 100%)
e = VV/VS = 0.7
V = Vw+ Vs = 1m3
γs = Ps/Vs = 25.9 kN/m3
γw = Pw /Vw = 9.81 kN/m3
Vw= e ∙VS = 0.7∙VS
Ps= γs ∙Vs = 25.9 kN/m3 x 0.588 m3
= 15.23 N
1 = 0.7VS +VS(1)
(2) (3)
(4)
Pw= γw ∙Vw = 9.81 kN/m3x0.412 m3
= 4.04 kN
e = Vw/VS = 0.7
Vs= 0.588 m3
Vw= 0.412 m3
(5)
Verifiche idrauliche
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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4949/62/62
e quindi:
da cui:
ic = γ’/γw = (γsat‐γw)/γw = (19.3‐9.81)/9.81
= 0.97
γsat
= (Ps+Pw)/V = (15.23+4.04)/1 = 19.3 kN/m3
Il gradiente idraulico di
efflusso, iE, è riferito al percorso
di filtrazione
più breve(CAB) e al solo tratto di moto ascendente (AB), ed è dato dall’espressione:
dove ∆ha
può essere così approssimato nell’ipotesi di perdita di carico lineare con la profondità (essendo la perdita di carico ∆h
= H‐zw):
o più cautelativamente:
2hha
∆≅∆
HLhi aE −
∆=
HLzLzH
)HL(h
w
wa
−+−−
≅−
∆∆ha =
[(4‐0.9)/(6‐0.9+6‐4)]∙(6‐4) = 0.87 m
= (4‐0.9)/2 = 1.55 m
HLhi aE −
∆= = 0.87/(6‐4) = 0.44
HLhi aE −
∆= = 1.55/(6‐4) = 0.77
Verifiche idrauliche
H
L
Zw
B
C
B
∆ha
A
∆h
γ’ = 9.49 kN/m3
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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5050/62/62
∆ha può anche essere determinato
in modo più preciso utilizzando
ilseguente abaco (scavo nastriforme in mezzo omogeneo di spessore infinito):
dove:
D = L‐H = 6 ‐4 = 2m;
h = H‐zw
= 3.1 m; d = H = 4m;
b = B/2 = 1m; Quindi si calcolano:
b/D = 1/2 = 0.5;
d/b = 4/1 = 4 ;e si ricava dal grafico:
α = 0.58e quindi: ∆ha
= α∙h = 0.58x3.1 = 1.8 m iE
= α∙h /D= 0.58x3.1/2 = 0.9
Verifiche idrauliche
H
L
Zw
B
C
B
∆ha
A
∆h
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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-
H
L
Zw
B
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5151/62/62
Il fattore di sicurezza nei
confronti del sifonamento risulta quindi
(con riferimento al valore più attendibile di iE):
Lo scavo NON È STABILE nei
confronti del sifonamento
e quindi: FS= W’/Sw
= 19/17.7 = 1.07
-
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5252/62/62
Verifiche idrauliche
H
L
Zw
B
C
B
∆ha
A
∆h
Se si effettuano le verifiche secondo le NTC08:
Deve risultare: uinst,d ≤ σstb,dessendo:uinst,d=
Vinst,d
= valore di progetto della pressione interstiziale
instabilizzanteσstb,d = Gstab,d + Rd
= valore di progetto della tensione totale
stabilizzante
COMPONENTE IDROSTATICA+ IDRODINAMICA
a) Stabilità al sifonamento (HYD)
uinst,d = γG1∙γw (L‐H+∆ha) (Qinst,d = 0)
σstb,d = γG1∙ (γsat /γγ)∙(L‐H)(Rd = 0)
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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1.5Sfavorevole0.0
γQiFavorevole
Variabili
1.5Sfavorevole0.0
γG2FavorevolePermanenti non
strutturali*
1.3Sfavorevole0.9
γG1Favorevole
Permanenti
SIFONAMENTO (HYD)Coefficiente parziale
γF (o γE)EFFETTOCARICHI
1.5Sfavorevole0.0
γQiFavorevole
Variabili
1.5Sfavorevole0.0
γG2FavorevolePermanenti non
strutturali*
1.3Sfavorevole0.9
γG1Favorevole
Permanenti
SIFONAMENTO (HYD)Coefficiente parziale
γF (o γE)EFFETTOCARICHI
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5353/62/62
Verifiche idrauliche
1.01.0γγγPeso dell’unità di volume
1.41.0γcucukResistenza non drenata
1.251.0γc’c’kCoesione efficace
1.251.0γϕ’tan
ϕ’kTangente dell’angolo di resistenza al taglio
( M2 )*( M1 )*COEFFICIENTE PARZIALE
GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARAMETRO
1.01.0γγγPeso dell’unità di volume
1.41.0γcucukResistenza non drenata
1.251.0γc’c’kCoesione efficace
1.251.0γϕ’tan
ϕ’kTangente dell’angolo di resistenza al taglio
( M2 )*( M1 )*COEFFICIENTE PARZIALE
GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARAMETRO
uinst,d = γG1∙γw
(L‐H+∆ha) = 1.3x 9.81x(6‐4+1.8) = 48.5 kPa
> σstb,d
σstb,d = γG1∙ (γsat
/γγ)∙(L‐H) = 0.9x19.3/1x2 = 34.74 kPa
Verifica non soddisfatta
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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5454/62/62
Verifiche idrauliche
b) Stabilità al sollevamento (UPL)
essendo:Vinst,d=
Ginst,d+ Qinst,dvalore di progetto dell’azione instabilizzante,
combinazione di azioni permanenti (Ginst,d) e variabili (Qinst,d)Gstab,d
= valore di progetto delle azioni stabilizzanti Rd
= valore di progetto delle resistenze
Deve risultare: Vinst,d ≤
Gstb,d + Rd
H
L
Zw
B
C
B
∆ha
A
∆hRd = 0
(Qinst,d = 0)Vinst,d = Ginst,d
= γG1∙γw∆ha∙(L‐H)/2
Gstb,d = γG1∙ γ’/ γγ∙(L‐H)∙(L‐H)/2
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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Verifiche idrauliche
1.01.0γγγPeso dell’unità di volume
1.41.0γcucukResistenza non drenata
1.251.0γc’c’kCoesione efficace
1.251.0γϕ’tan
ϕ’kTangente dell’angolo di resistenza al taglio
( M2 )*( M1 )*COEFFICIENTE PARZIALE
GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARAMETRO
1.01.0γγγPeso dell’unità di volume
1.41.0γcucukResistenza non drenata
1.251.0γc’c’kCoesione efficace
1.251.0γϕ’tan
ϕ’kTangente dell’angolo di resistenza al taglio
( M2 )*( M1 )*COEFFICIENTE PARZIALE
GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARAMETRO
Verifica non soddisfatta
1.5Sfavorevole0.0
γQiFavorevole
Variabili
1.5Sfavorevole0.0
γG2FavorevolePermanenti non
strutturali*
1.1Sfavorevole0.9
γG1Favorevole
Permanenti
SOLLEVAMENTO (UPL)Coefficiente parziale
γF (o γE)EFFETTOCARICHI
1.5Sfavorevole0.0
γQiFavorevole
Variabili
1.5Sfavorevole0.0
γG2FavorevolePermanenti non
strutturali*
1.1Sfavorevole0.9
γG1Favorevole
Permanenti
SOLLEVAMENTO (UPL)Coefficiente parziale
γF (o γE)EFFETTOCARICHI
> Gstb,d
Gstb,d = γG1∙
γ’/ γγ∙(L‐H)∙(L‐H)/2 = 0.9x9.49/1x(6‐4)x(6‐4)/2 = 17.08 kN/mVinst,d = Ginst,d
= γG1∙γw∆ha∙(L‐H)/2 = 1.1x9.81x1.8x(6‐4)/2 = 19.4 kN/m
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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5656/62/62
Moti di filtrazione
Dati geometrici:He
= 3,5 m; Be
= 5 m; Le = 10 mHi
= 2,8 m; Bi
= 4 m; Li = 9 mHw
= 2,5 m
Esercizio 10
Bi x LiBe x Le
Hw HiHe
Pw
Pv
U
T
Si esegua la verifica nei confronti dello stato limite di sollevamento secondo le NTC
08 di una vasca in c.a.
immersa in terreno sabbioso saturo,
con
falda coincidente con il piano campagna.
Pesi specifici di progetto:peso specifico del c.a.: γc.a.
= 25 kN/m3peso specifico dell’acqua: γw
= 10 kN/m3
Proprietà geotecniche (valori caratteristici)‐
peso di volume saturo della sabbia: γsat,k
= 18 kN/m3‐
angolo di resistenza al taglio: φ’k
= 32°
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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5757/62/62
Verifiche idrauliche
essendo:Vinst,d=
Ginst,d+ Qinst,dvalore di progetto dell’azione instabilizzante,
combinazione di azioni permanenti (Ginst,d) e variabili (Qinst,d)Gstab,d
= valore di progetto delle azioni stabilizzanti Rd
= valore di progetto delle resistenze
deve risultare: Vinst,d ≤
Gstb,d + Rd
Svolgimento:Si effettua la verifica di stabilità al sollevamento
(UPL) secondo le NTC08:
Bi x LiBe x Le
Hw HiHe
Pw
Pv
U
T
Le azioni instabilizzanti permanentisono
costituite dalla sottospinta idraulica
(U), mentre sono nulle quelle
variabili, quindi le
azioni instabilizzanti di progetto valgono:Vinst,d
= Ginst,d+ Qinst,d = Ginst,d = γG1 ∙U
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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5858/62/62
Verifiche idrauliche
Svolgimento:
Bi x LiBe x Le
Hw HiHe
Pw
Pv
U
T
Le azioni stabilizzanti sono
costituite dal peso della vasca
(PV), che si classifica come
azione permanente, e dal peso
dell’acqua contenuta in essa (PW)
che si classifica come azione
variabile, quindi le azioni
stabilizzanti di progetto valgono:
Gst,d+ Qst,d = γG1 ∙PV + γQi ∙PWLe
azioni resistenti sono costituite dalle
forze di attrito (T = τm∙Al)
che agiscono lateralmente lungo
le pareti della vasca (Al) e l’azione resistente di progetto vale:Rd
=
τm,d∙AlPerché la verifica sia soddisfatta deve risultare:
γG1 ∙U ≤ γG1 ∙PV + γQi ∙PW + τm,d ∙Al
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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5959/62/62
Verifiche idrauliche
1.5Sfavorevole0.0
γQiFavorevole
Variabili
1.5Sfavorevole0.0
γG2FavorevolePermanenti non
strutturali*
1.1Sfavorevole0.9
γG1Favorevole
Permanenti
SOLLEVAMENTO (UPL)Coefficiente parziale
γF (o γE)EFFETTOCARICHI
1.5Sfavorevole0.0
γQiFavorevole
Variabili
1.5Sfavorevole0.0
γG2FavorevolePermanenti non
strutturali*
1.1Sfavorevole0.9
γG1Favorevole
Permanenti
SOLLEVAMENTO (UPL)Coefficiente parziale
γF (o γE)EFFETTOCARICHI
Per la scelta dei
coefficienti parziali dal applicare
alle azioni
si utilizzano quelli riportati nella seguente Tabella (6.2.III):
Per quanto riguarda il calcolo delle singole azioni si ha:U
= γw ∙ He ∙ Be ∙Le = 10kN/m3
x 3.5m x 5m x 10m = 1750 kNPw
= γw ∙ Hw ∙ Bi ∙Li = 10kN/m3
x 2.5m x 4m x 9m = 900 kN
1.1∙U ≤ 0.9∙PV + 0∙PW + τm,d ∙Al
Idraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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6060/62/62
Verifiche idrauliche
Svolgimento:
Bi x LiBe x Le
Hw HiHe
Pw
Pv
U
Tdove:
PV = γc.a. ∙ (He ∙Be ∙Le–Hi ∙Bi
∙ Li)=25kN/m3x (3.5mx5mx10m–2.8mx4m x 9m) = 1855 kN
τ = σ’h ∙tan(δ) = K0∙σ’v
∙tan(δ) = (1‐senϕ’)∙σ’v∙tan(δ)
La tensione tangenziale
che agisce lungo la parete è:
dove δ
è l’angolo d’attrito tra terreno (e si assume δ
= 0.75ϕ’k)e parete il terreno si suppone NC.Il valore medio della tensione tangenziale è dunque:τm
= (1‐senϕk’)∙σ’vm∙tan(0.75ϕ’k)e quello di progetto:τm,d
= (1‐senϕ’d)∙σ’vm,d∙tan(0.75ϕ’d)
σ ‘vm = (γsat,k‐γw)∙He/2
σ‘vm,d = (γsat,d‐γw)∙He/2da cui:τm,d
= (1‐senϕ’d)∙(γsat,d∙‐γw)∙He/2∙tan(0.75ϕ’d)
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6161/62/62
Verifiche idrauliche
I valori di progetto delle
proprietà geotecniche si ottengono
dividendole per i coefficienti parziali
riportati nella Tabella 6.2.II (colonna M2)
1.01.0γγγPeso dell’unità di volume
1.41.0γcucukResistenza non drenata
1.251.0γc’c’kCoesione efficace
1.251.0γϕ’tan
ϕ’kTangente dell’angolo di resistenza al taglio
( M2 )*( M1 )*COEFFICIENTE PARZIALE
GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARAMETRO
1.01.0γγγPeso dell’unità di volume
1.41.0γcucukResistenza non drenata
1.251.0γc’c’kCoesione efficace
1.251.0γϕ’tan
ϕ’kTangente dell’angolo di resistenza al taglio
( M2 )*( M1 )*COEFFICIENTE PARZIALE
GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARAMETRO
tan ϕ’d = (tan ϕ’k )/ γϕ’
=(tan32°)/1.25 = 0.5 γsat,d = γsat,k/γγ
= 18 kN/m3
ϕ’d = arctan[(tan ϕ’k )/ γϕ’] = 26.6°
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6262/62/62
Verifiche idrauliche
La resistenza di progetto vale infine:Rd
= τm,d Al
τm,d
= (1‐senϕ’d)∙(γsat,d∙‐γw)∙He/2∙tan(0.75ϕ’d) = (1‐sen26.6°) x (18‐10)kN/m3
x 3.5m/2 x tan(0.75x26.6°) = 2.81 kN/m2
con:Al = (2Be+2Le) ∙He = (2x5+2x10)m x 3.5 m = 105 m2
e quindi:
Rd = τm,d Al = 2.81 kN/m2 x 105 m2
= 295.1 kN
1.1∙U = 1.1x1750 kN ≤ 0.9∙PV + 0∙PW
+ τm,d ∙Al = 0.9x1855 kN + 0x900 kN
+ 295.1 kN
Affinché la verifica di stabilità al sollevamento sia soddisfatta deve risultare:
1925 kN ≤ 1965 kN
LA VERIFICA È SODDISFATTAIdraulica dei terreni Idraulica dei terreni ––
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“IDRAULICA DEI TERRENI”Esercizi svolti