Università degli Studi di Ferrara SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L’INSEGNAMENTO SECONDARIO SEDE DI FERRARA CORSO SPECIALE ABILITANTE – CLASSE A049 MATEMATICA E FISICA ANNO ACCADEMICO 2005/2006 DIRETTORE della Scuola: Prof. Roberto Greci COORDINATORE della Sede di Ferrara: Prof.ssa Luciana Bellatalla DISSERTAZIONE FINALE Il problema della misura. Integrale definito e sue applicazioni Specializzando Tutor Dott. Eros Bernardi Prof Luigi Tomasi ____________________________________ _____________________________________ Relatore Prof. Valter Roselli ______________________________________
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Università degli Studi di Ferrara
SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L’INSEGNAMENTO SECONDARIO SEDE DI FERRARA
CORSO SPECIALE ABILITANTE – CLASSE A049 MATEMATICA E FISICA ANNO ACCADEMICO 2005/2006
DIRETTORE della Scuola: Prof. Roberto Greci
COORDINATORE della Sede di Ferrara: Prof.ssa Luciana Bellatalla
DISSERTAZIONE FINALE
Il problema della misura. Integrale definito e
sue applicazioni
Specializzando Tutor Dott. Eros Bernardi Prof Luigi Tomasi ____________________________________ _____________________________________
Relatore Prof. Valter Roselli
______________________________________
1
Premessa
In questa elaborato si presenta un percorso didattico inerente agli integrali definiti trattati in una
quinta liceo. Si è scelto la trattazione classica del problema assumendo come prerequisiti gli
integrali indefiniti poi quelli definiti, anche se si potrebbe seguire l’origine storica del problema e
sperimentare se questo argomento risulti più gradito agli studenti.
Molti allievi vedono gli integrali indefiniti come una costruzione artificiale senza utilità e piena di
meccanismi complicati e di stratagemmi che come dicono alcuni di loro servono ai matematici per
fare tornare il risultato.
Il lavoro è suddiviso in due capitoli: il primo comprende un riferimento ai programmi ministeriali,
cenni storici e metodologie di svolgimento; il secondo capitolo parte centrale del lavoro si apre
facendo un punto dei prerequisiti e degli obiettivi e degli obiettivi di tale lavoro e poi procede
trattando lo sviluppo del percorso didattico.
I vari programmi ministeriali del liceo scientifico sono il punto di partenza per riflettere
sull’argomento; troviamo su “Matematica 2004” dell’Unione Matematica Italiana altri spunti per
trattare l’argomento.
Introduciamo l’argomento facendone un breve percorso storico, i richiami storici poi possono essere
costantemente ripresi durante tutto lo svolgimento dei contenuti, senza far diventare la storia della
matematica predominate rispetto ai contenuti.
L’elaborato procede illustrando le metodologie e le strategie didattiche adottate dall’insegnante per
rendere la spiegazione degli argomenti interessante e di scoperta per la classe.
La maggior parte del lavoro è occupata dallo svolgimento dei contenuti, in tale parte mostriamo
come l’argomento sarà svolto in classe in maniera dettagliata.
L’elaborato si chiude con delle brevi conclusioni.
calcolatrice scientifica, software didattico, video proiettore, pc portatile, …
VERIFICA - VALUTAZIONE
Controllo e verifica dell’apprendimento:
L’andamento e l’efficacia dell’attività didattica saranno controllate attraverso l’assegnazione e la
successiva correzione in classe di opportuni esercizi applicativi nelle diverse fasi di progressione
dell’unità didattica. Saranno inoltre effettuate verifiche orali e verifiche formative studiate per
accertare che lo studente abbia acquisito gradualmente tutti i concetti, in particolare queste saranno
studiate in modo da verificare conoscenze, comprensione e capacità di applicazione.
A compimento dell’unità didattica si somministra una verifica sommativa che servirà a valutare il
grado di conoscenze e competenze raggiunto da ogni studente.
Recupero:
Per l’efficacia e la completezza dell’attività didattica sono previste attività di recupero. Tali attività
di recupero sono articolate in:
• recupero svolto in classe attraverso la ripresa dei concetti non recepiti e lo svolgimento di
esercizi che aiutino a fare chiarezza sulle procedure non comprese;
• attività pomeridiane con gli studenti interessati (sportello scolastico e tutoring);
• assegnazione allo studente di esercizi mirati alle difficoltà da recuperare e guidati nella
risoluzione.
I concetti che necessitano di recupero verranno individuati attraverso le verifiche formative , le
prove orali individuali e le discussioni di gruppo in classe.
18
2.2 Sequenza logica e temporale dei contenuti. Proponiamo uno schema dello svolgimento della presente unità didattica suddiviso per attività e
comprendente i tempi presunti dell’intervento. Si fa presente che esso non può però ritenersi rigido
in quanto è necessario considerare variabili legate alle peculiarità degli studenti.
N. Lez. Tempi Contenuti
1 2 h
Introduzione storica dell’integrale.
L’integrale definito di una funzione positiva.
Definizione generale di integrale definito.
2 1 h
Proprietà dell’integrale definito.
Definizioni sull’integrale definito.
Calcolo dell’area del sottografico di alcune funzioni.
3 1 h Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
La funzione integrale: il teorema di Torricelli-Barrow
4 1 h Verifica formativa(Allegato A)
5 1 h Grafico della funzione integrale.
6 2 h
Il calcolo delle aree
a) Area del segmento parabolico, area della regione delimitata
dall’ellisse,area delimitata da una circonferenza.
b) Le aree di figure piane.
c) Il problema delle aree “negative”.
d) Area racchiusa da due funzioni.
7 2 h Integrale generalizzato.
Esercizi e laboratorio informatico.
8 2 h Esercitazioni in classe e laboratorio informatico.
9 2 h Verifica sommativa sulla parte svolta(Allegato B)
10 1 h Recupero ed approfondimento
11 1 h
Volumi dei solidi
a) Volume della piramide(Ricordare test n°1 dell’indirizzo ordinario)
b) Volume dei solidi di rotazione.
• Rotazione attorno all’asse x
• Rotazione attorno all’asse y
Esercizi
19
12 1 h Interrogazione orale e verifica dei punti raggiunti.
13 1 h Lunghezza di archi di curva.
L’area di una superficie di rotazione.
14 2 h Derive6 e l’integrale e sue applicazioni.
15 2 h Approfondimenti: significato fisico dell’integrale.
a) Legge oraria del moto.
b) Il lavoro.
c) Energia cinetica.
d) Quantità di carica.
e) Energia di una corrente alternata.
16 2 h Verifica sommativa (Allegato C)
17 2 h Recupero conclusivo se necessario
18 2 h Verifiche sul recupero.
Tot 28h Circa due mesi di lezione.
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2.3 Svolgimento dei contenuti
Trapezoide
Nello studio della geometria abbiamo definito l’area di un poligono come il numero che esprime il
rapporto fra questo ed il quadrato di lato unitario. In base a tale definizione, dopo aver dimostrato
che l'area di un quadrato di lato lungo m è uguale ad 2m , abbiamo facilmente determinato le formule
delle aree dei vari poligoni presi in esame sfruttando il fatto che ciascuno di essi è equiscomponibile
con un quadrato.
Il problema si è complicato allorché abbiamo cercato di determinare l'area C del cerchio (o di parti
di circonferenza o di settore parabolico). Infatti, poiché un cerchio ed un quadrato non sono mai
equiscomponibili, siamo dovuti ricorrere al metodo delle approssimazioni successive che sopra
abbiamo proposto.
Vogliamo ora introdurre un procedimento analogo che ci consenta di definire e calcolare le aree
delle superfici piane limitate da archi appartenenti a diagrammi di assegnate funzioni continue. Più
precisamente, approssimeremo le superfici in esame non con poligoni regolari, ma con unioni di
rettangoli convenientemente scelti.
Sia ( )xf una funzione continua e non negativa definita nell'intervallo chiuso e limitato [ ]ba; ; indi-
chiamo con T l'insieme dei punti:
( ) ( ){ }xfybxayxT ≤≤≤≤= 0;;
L'insieme T della figura a fianco viene detto trape-
zoide. perché somiglia a un trapezio rettangolo con
le basi disposte verticalmente e coincide con esso
nel caso che il grafico di ( )xf sia un segmento.
L'area S di un trapezoide non può essere calcolata in modo elementare, tuttavia possiamo approssi-
marla utilizzando il seguente procedimento:
21
• Dividiamo l'intervallo [ ]ba; in n parti uguali di ampiezza n
abx −=Δ
• Consideriamo i rettangoli aventi per base un segmento di suddivisione e per altezza il
segmento associato al minimo im che la funzione assume in tale intervallo4:
• Indichiamo con ns la somma delle aree di tutti questi rettangoli, si ha:
xmxmxmxms nnn Δ⋅+Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅= −121 ..............
L'area del trapezoide viene così approssimata
per difetto da ns (in figura è 4=n )
In maniera analoga, possiamo approssimare per eccesso l'area del trapezoide, tramite la somma
delle aree dei rettangoli, associati a una scomposizione dell'intervallo [ ]ba; in n parti uguali e
aventi per altezza il segmento associato al massimo iM 4 della funzione nel corrispondente
intervallo. Indichiamo questa somma con:
xMxMxMxMS nnn Δ⋅+Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅= −121 ..............
Le somme ns ed nS vengono dette rispettivamente somma integrale per difetto e somma integrale per
eccesso; appare evidente che quanto più grande si sceglie n tanto più le somme ns ed nS saranno
prossime all’area del trapezoide.
4 L’esistenza di im è iM garantita dal teorema di Weiertrass, tale teorema garantisce che la funzione continua su tale intervallo ammette massimo e minimo.
22
Utilizzando l'ipotesi di continuità della funzione ( )xf in [ ]ba; si riesce a dimostrare, che le due
successioni:
......,, 321 sss e ......,, 321 SSS
convergono allo stesso limite, che viene indicato con il simbolo:
( )∫b
adxxf
e si legge: integrale definito della funzione ( )xf esteso all'intervallo [ ]ba; .
È allora giustificata la posizione ( ) ( )∫=b
adxxfTA .
In tale simbolo compaiono esplicitamente l'intervallo [ ]ba; e la funzione ( )xf sono questi, infatti,
gli elementi che determinano T e quindi la sua area.
Come si vedrà tra poco, l'uso di un nome e di una grafia tanto vicini a quelli usati per gli integrali
indefiniti non è casuale, ma anzi sottolinea il legame strettissimo che c'è tra l'integrale definito e
quello indefinito.
Definizione generale di integrale definito
Nella definizione data di integrale definito abbiamo supposto che la funzione ( )xf fosse positiva o
nulla in [ ]ba; . Tuttavia la definizione più generale di integrale definito non richiede questa ipotesi
in quanto non si collega all'area dei trapezoidi.
Sia ( )xf una funzione continua in [ ]ba; . Senza attribuire per ora a esse alcun significato geo-
metrico, costruiamo le somme integrali per difetto e per eccesso della funzione. Dividiamo [ ]ba; in
n parti uguali nella stessa maniera di prima.
Siano allora:
∑=
− Δ⋅=Δ⋅+Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅=n
kknnn xmxmxmxmxms
1121 ..............
∑=
− Δ⋅=Δ⋅+Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅=n
kknnn xMxMxMxMxMS
1121 ..............
le somme integrali per difetto e per eccesso, relative alla suddivisione in n parti uguali.
Facendo variare n, cioè il numero dei punti di suddivisione, si costruiscono le due successioni:
,......,......,,, 1321 +nn sssss
,......,......,,, 1321 +nn SSSSS
23
Si può dimostrare che esse convergono verso uno stesso limite, che viene ancora indicato con:
( )∫b
adxxf
che si legge: integrale definito della funzione ( )xf esteso all'intervallo [ ]ba; .
Pertanto possiamo scrivere che:
( ) nnnn
b
aSsdxxf
→∞→∞==∫ limlim
Possiamo comunque dare un significato di tipo geometrico, considerando, ad esempio, una funzione
come in figura
In questo caso ( ) ( )∫=b
adxxfTA
rappresenta la somma dell’area del
trapezoide in [ ]ca; meno l’area del
trapezoide in [ ]dc; più l’area del
trapezoide in [ ]bd; , in pratica considera
positive le aree sopra l’asse x e negative
quelle sotto.
Proprietà dell’integrale definito Additività dell'integrale rispetto all'intervallo di integrazione
Sia )(xf una funzione continua in [ ]ba; e sia bca << . Allora l'integrale esteso da a a b è
uguale alla somma dell'integrale esteso da a a c con l'integrale esteso da c ab :
( ) ( ) ( )∫∫∫ +=b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf
Integrale della somma di funzioni continue
L'integrale definito da a a b di una somma di funzioni continue è uguale alla somma degli integrali
da a a b delle singole funzioni:
( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf
24
Integrale del prodotto di una costante per una funzione continua
L'integrale definito da a a b del prodotto di una costante per una funzione continua è uguale al
prodotto della costante per l'integrale da a a b della funzione:
( ) ( )∫∫ ⋅=⋅b
a
b
adxxfkdxxfk
Confronto tra gli integrali di due funzioni
Se ( )xf e ( )xg sono due funzioni continue tali che ( ) ( )xgxf ≤ in ogni punto dell'intervallo [ ]ba;
allora l'integrale da a a b della ( )xf è minore o uguale dell'integrale da a a b della ( )xg :
( ) ( )∫∫ ≤b
a
b
adxxgdxxf
Integrale del valore assoluto di una funzione
Se ( )xf è una funzione continua nell'intervallo [ ]ba; , allora il valore assoluto dell'integrale da a a
b della ( )xf è minore o uguale dell'integrale del valore assoluto della ( )xf :
( ) ( )∫∫ ≤b
a
b
adxxfdxxf
Integrale di una funzione costante
Se una funzione ( )xf è costante nell'intervallo [ ]ba; cioè ( ) kxf = , allora l'integrale da a a b della
( )xf è uguale al prodotto di k per ( )ab − :
( )abkkdxb
a−⋅=∫
Interpretiamo graficamente questa proprietà quando k è
positivo. L'integrale ∫b
akdx rappresenta l’area del rettangolo
in figura che è appunto ( )abk −⋅ .
Definizione 2.1 Se ( )xf è una funzione continua nell'intervallo [ ]ba; ,
( )∫ =a
adxxf 0
25
Definizione 2.2 Se ( )xf è una funzione continua nell'intervallo [ ]ba; , e ba <
( ) ( )dxxfdxxfb
a
a
b ∫∫ −=
Calcolo dell’area del sottografico di alcune funzioni
1. Sia ( )xf continua in [ ]ba; , se ( ) 0≥xf si ha:
( )∫=b
adxxfT )(Area
2. Sia ( )xf continua in [ ]ba; , se ( ) 0≤xf si ha:
( )∫−=b
adxxfT )(Area
3. Sia ( )xf continua in [ ]ba; , se ( )xf non ha segno costante in [ ]ba; si ha:
( ) ( ) ( ) =+−= ∫∫∫b
c
c
c
c
adxxfdxxfdxxfT
2
2
1
1)(Area
( )∫=b
adxxf
26
Esempio: calcolo dell’integrale definito per la parabola.
Seguiamo il procedimento visto in precedenza per la funzione:
2xy = in un intervallo del tipo [ ]a;0 , con 0>a .
La suddivisone di [ ]a;0 , con 0>a in n intervallini tutti uguali comporta
la scelta dei seguenti punti di suddivisone:
00 =x nax =1
nax ⋅= 22 …….. axn =
Tenendo conto che la funzione è crescente per 0>x , è facile calcolare il
minimo ed il massimo in ciascun intervallino.
Il minimo sarà i valore che assume la funzione nel primo estremo e il
massimo il valore che assume nel secondo estremo.
Quindi considerando il generico intervallo ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
nak
nak ;1 che si ottiene
suddividendo l’intervallo [ ]a;0 ; si avrà che il minimo è ( )2
1 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
nakmk ed il massimo risulta
2
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
nakM k da cui segue che:
( ) ( )∑∑∑===
−⋅=⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=⋅=
n
k
n
k
n
kkn k
na
na
nak
nams
1
23
3
1
2
1
11
( )∑∑∑===
⋅=⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅=⋅=
n
k
n
k
n
kkn k
na
na
nak
naMS
1
23
3
1
2
1
A questo punto ricordiamo che:
mmmm61
21
31......321 23222 ++=++++
Per cui le due somme precedenti diventano:
( ) ( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−+−⋅= 1
611
211
31 23
3
3
nnnnasn
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++⋅= nnn
naSn 6
121
31 23
3
3
Calcolando il limite per n che tende all’infinto si vede che:
3
31lim asnn
=∞→
e 3
31lim aSnn
=∞→
27
Il numero 3
31 a sarà l’integrale definito della funzione esteso all’intervallo [ ]a;0 , e si scrive
3
0
2
31 adxx
a=∫
Notiamo subito in classe che l’integrale definito coincide con la differenza dei valori assunti dalla
funzione 3
31 xy = agli estremi dell’intervallo [ ]a;0 , funzione ha che come derivata proprio 2xy = .
Teorema della media
Se ( )xf è una funzione continua in [ ]ba; , esiste almeno un punto [ ]bac ;∈ tale che:
( )( )
ab
dxxfcf
b
a
−= ∫
Dimostrazione
Poiché la funzione ( )xf è continua nell'intervallo [ ]ba; , allora per il teorema di Weierstrass essa
assume in [ ]ba; il suo valore massimo M e il suo valore minimo m . Quindi per ogni x apparte-
nente ad [ ]ba; si ha:
( ) Mxfm ≤≤
Per le proprietà degli integrali, si ha allora:
( ) dxMdxxfdxmb
a
b
a
b
a ∫∫∫ ≤≤
Applicando la proprietà dell'integrale di una funzione costante, possiamo scrivere:
( ) ( ) ( )abMdxxfabmb
a−≤≤− ∫
Dividiamo tutti i termini per ( )ab − :
( )( ) M
ab
dxxfm
b
a ≤−
≤ ∫
Per il teorema dei valori intermedi, la funzione deve assumere almeno una volta tutti i valori com-
presi fra il suo massimo e il suo minimo, quindi deve anche esistere un punto c appartenente ad
[ ]ba; tale che:
( )( )
ab
dxxfcf
b
a
−= ∫
da cui la tesi.
28
Significato Geometrico.
Se ( ) 0≥xf in [ ]ba; ,l’integrale definito:
( )∫b
adxxf
rappresenta l'area del trapezoide T e ( )cf rappresenta
l'altezza del rettangolo avente per base l'intervallo [ ]ba; ed
equivalente come area al trapezoide T. Per questo motivo il
valore ( )cf viene detto valor medio della funzione
nell'intervallo [ ]ba; e tale definizione si usa anche se ( )xf non è sempre positiva o nulla
nell'intervallo.
La funzione integrale: il Teorema di Torricelli-Barrow
Nell’esempio svolto si è visto che il calcolo dell'integrale definito di una funzione è assai laborioso
anche per funzioni semplici.
Tale calcolo risulta praticamente impossibile per maggior parte delle funzioni.
Tuttavia, dallo stesso esempio è emerso un legame tra valore dell'integrale definito e valori di una
primitiva della funzione integranda assunti agli estremi dell'intervallo.
Vogliamo rendere più chiaro il legame tra primitiva e integrale definito, facendo vedere che è
possibile calcolare rapidamente l'integrale definito di una funzione, non appena si conosca di essa
una primitiva; collegheremo così il calcolo dell'integrale definito alla conoscenza di una primitiva.
A ogni [ ]bax ;∈ corrisponde uno e un solo valore dato da:
( )∫x
adttf
Ricordiamo che possiamo scrivere indifferentemente:
( ) ( ) ( )∫∫∫ ==b
a
b
a
b
adttfduufdxxf
Dove x u e t sono soltanto simboli diversi che indicano però sempre i punti dello stesso intervallo
[ ]ba; . Resta così definita una funzione F che associa a ogni [ ]bax ;∈ il numero reale,
( ) ( )∫=x
adttfxF
che prende il nome di “funzione integrale” della ( )xf , mentre la funzione ( )tf si chiama funzione
integranda.
29
Insistiamo sul fatto che la conoscenza della ( )xF è teorica, il teorema di Torricelli-Barrow mette in
luce due proprietà importanti della funzione ( )xF , proprietà che in molti casi consentono di
individuarla esplicitamente:
1. ( )xF è una primitiva di ( )xf ;
2. ( ) 0=aF .
Teorema di Torricelli-Barrow
Data la funzione ( )xf continua in un intervallo [ ]ba; , la funzione integrale:
( ) ( )∫=x
adttfxF
è derivabile [ ]bax ;∈∀ e risulta:
( ) ( )xfxF =′ ( ) 0=aF
Dimostrazione.
Siano x e hx + due punti qualsiasi di [ ]ba; .
Consideriamo ora il rapporto incrementale della funzione ( )xF :
( ) ( ) ( ) ( )=
−=
−+=
ΔΔ ∫ ∫
+
h
dttfdttf
hxFhxF
xF
hx
a
x
a
(per la proprietà additiva)
( ) ( ) ( ) ( )h
dttf
h
dttfdttfdttfhx
x
x
a
x
a
hx
x ∫∫ ∫∫++
=−+
=
Per il teorema della media esiste un punto c appartenente all’intervallo di estremi x e hx + tale
che si abbia :
( )( )cf
h
dttfhx
x =∫+
e quindi ( )cfxF=
ΔΔ
Ora consideriamo il limite per hx =Δ tendente a zero del rapporto xFΔΔ . Essendo c compreso fra x
e hx + , al tendere di h a zero il punto c tende ad x , e per la continuità della funzione ( )xf in [ ]ba;
risulta che ( ) ( )xfcf → .
Quindi si ha:
( ) ( ) ( ) ( )xfcfcfxFxF
xchx===
ΔΔ
=′→→→Δ
limlimlim00
30
La seconda proprietà è abbastanza evidente essendo:
( ) ( ) 0== ∫a
adttfaF
Il calcolo dell’integrale definito
Dal teorema di Torricelli-Barrow possiamo ottenere la formula del calcolo dell’integrale definito.
Se ( )xϕ è una primitiva qualsiasi della ( )xf per il teorema precedente essa sarà della forma:
( ) ( ) ( ) cdttfcxFxx
a+=+= ∫ϕ
Dove c è una costante reale.
• Calcoliamo ( )aϕ :
( ) ( ) ( ) cccdttfcaFaa
a=+=+=+= ∫ 0ϕ
• Calcoliamo ( )bϕ :
( ) ( ) cdttfbb
a+= ∫ϕ , e poiché ( ) ca =ϕ otteniamo:
( ) ( ) ( )adttfbb
aϕϕ += ∫
portiamo nel primo membro ( )aϕ :
( ) ( ) ( )∫=−b
adttfab ϕϕ
scriviamo l’uguaglianza da destra a sinistra ed otteniamo
( ) ( ) ( )abdttfb
aϕϕ −=∫
Poiché non ci sono più ambiguità di variabili , possiamo riutilizzare la x al posto della t e chiamare la
generica primitiva con ( )xF , per cui si ha:
( ) ( ) ( )aFbFdxxfb
a−=∫
Si è soliti indicare la differenza ( ) ( )aFbF − con ( )[ ]baxF , per cui risulta che:
( ) ( )[ ] ( ) ( )aFbFxFdxxf ba
b
a−==∫
31
Problema Svolto
Calcolare l’area del trapezoide formato dalla funzione 13 += xy , dall’asse x , dall’asse y e dalla
retta 2=x .
Come prima cosa disegno il tutto:
( ) =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=+∫ 0
402
42
41
442
0
2
0
43 xxdxx
624024
16=+=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
E utile svolgere vari esercizi anche con trapezoidi che si trovano sotto l’asse x , sarà poi consegnata
alla classe una verifica formativa per avere una prima valutazione su quanto trattato.
Grafico della funzione integrale
Sia ( )xf una funzione continua in [ ]ba; ; per il teorema di Torricelli-Barrow la sua funzione
integrale:
( ) ( )∫=x
adttfxF
è derivabile [ ]bax ;∈∀ e risulta:
( ) ( )xfxF =' ( ) 0=aF
È quindi possibile dedurre dal grafico della funzione ( )xf il grafico della funzione ( )xF .
Considerazioni
• Negli intervalli in cui la ( )xf è positiva la funzione ( )xF è crescente e viceversa.
• Gli zeri della ( )xf sono i punti critici della funzione ( )xF .
32
Il calcolo delle aree Area del segmento parabolico
Sia ( )02 >= aaxy l’equazione di una parabola rivolta verso l’alto e con vertice nell’origine del
sistema di riferimento cartesiano
Consideriamo i punti ( )2;abbA e ( )2;' abbA − ,
vogliamo determinare l’area del segmento
parabolico VAA' e mostrare che il calcolo integrale
porta allo stesso risultato scoperto da Archimede e
cioè che l’area del settore parabolico risulta i
32 dell’area del rettangolo di vertici HHAA '' .
Calcoliamo tale area come differenza tra l’area del rettangolo HHAA '' e quella del trapezoide T
limitato dal’arco AAV ′ di parabola, dell’asse x e dalle rette bx = e bx −= .
Sappiamo che :
( ) ( ) 3333
2
32
333TArea abbabaxadxax
b
b
b
b
=−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== ∫−
−
Mentre l’area del rettangolo HHAA '' è:
( ) 32 22''Area ababbHHAA =⋅=
L’area del segmento parabolico VAA' risulta allora:
( ) ( ) ( ) 333
34
322TArea''Area'Area abababHHAAVAA =−=−=
33
Area delimitata da una circonferenza
Per comodità consideriamo la circonferenza di equazione 222 ryx =+
Per le proprietà della circonferenza e come mostra pure il disegno, l’area della regione T risulta
essere quattro volte quella di 1T .
Calcoliamo con l’integrale l’area racchiusa dalla circonferenza che si trova nel primo quadrante. Per
questo motivo esplicitiamo la funzione nel seguente modo 22 xry −= e calcoliamo il seguente
Anche qui l’area dipende da n e facendo tendere n all’infinito si avrà:
( ) ( )( )∫ +==→∞
b
anndxxfxfAA 2'12lim π .
Esempio Calcolare la rotante del triangolo nella figura riportato sotto:
L’area della superficie ottenuta ruotando il segmento AB attorno all’asse x
(si ottiene un cono circolare retto).
Consideriamo la retta passante per i punti ( )bB ;0 ed ( )0;aA la cui
equazione è:
xabby −=
L’area richiesta risulta :
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ∫∫
aadxx
abb
abdx
abx
abbA
0
2
0
2
1212 ππ
222
2222
0
22
22
212
212 babba
abaa
abba
abx
abbx
ab
a
+=+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+==⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+= ππππ
Ma b è il raggio di base del cono ed 22 ba + l’apotema, per cui l’integrale ci restituisce la nota
formula dell’area laterale del cono.
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Derive versione 6, l’integrale e le sue applicazioni Durante la spiegazione dei punti sopra trattati si farà ricorso allo strumento Derive versione 6 per
visualizzare le curve e le aree trattate; la maggior parte dei disegni di questo elaborato sono proprio
stati realizzati con questo potente software. Comunque, oltre all’uso durate le spiegazioni, sarà
dedicato del tempo per mostrare come risolvere con lo strumento informatico vari problemi.
Problema 1
Calcola il seguente integrale ∫ −3
2 21 dx
xx
Mostreremo alla classe come Derive6 calcola
rapidamente e se richiesto, ci mostra tutte le
regole usate, risultando un ottimo strumento di
verifica e di apprendimento.
Problema 2
Disegnare con Derive6 l’area del sottografico della funzione xey = da 0 a 2.
Mostriamo ora il funzionamento del comando AreaUnderCurve(f(x),x,a,b):
una volta scritto il comando è sufficiente usare la finestra grafica ed usare il comando disegna
grafico. x #1: AreaUnderCurve(e , x, 0, 2)
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Problema 3
Disegnare con Derive versione 6 l’area delimitata dalle due curve x
y 2= , xy −= 4 e calcolarne
l’area. Mostriamo ora il funzionamento di AreaBetweenCurves(f(x),g(x),x,a,b)
Come prima cosa dobbiamo trovare le coordinate dei punti di intersezione delle due curve, quindi
risolviamo il sistema formato dalle due equazioni, procediamo poi con il comando
AreaUnderCurve(f(x),x,a,b); in Derive si procede come segue. ⎛⎡ 2 ⎤ ⎞ #1: SOLVE⎜⎢y = ⎯, y = 4 - x⎥, [x, y]⎟ ⎝⎣ x ⎦ ⎠ #2: [x = √2 + 2 ∧ y = 2 - √2, x = 2 - √2 ∧ y = √2 + 2] ⎛ 2 ⎞ #3: AreaBetweenCurves⎜⎯, 4 - x, x, 2 - √2, 2 + √2⎟ ⎝ x ⎠
Ora mostriamo il metodo classico per calcolare l’area
mediante l’uso dell’integrale, oppure tramite il
comando Area(x,a,b,f(x),g(x)) dove il comando calcola
l’area compresa tra f(x) e g(x) e che va da a a b.
2 + √2 ⌠ ⎛ 2 ⎞ #4: ⎮ ⎜(4 - x) - ⎯⎟ dx ⌡ ⎝ x ⎠ 2 - √2 #5: 4·LN(√2 - 1) + 4·√2 #6: 2.131359901 ⎛ 2 ⎞ #7: AREA⎜x, 2 - √2, 2 + √2, y, ⎯, 4 - x⎟ ⎝ x ⎠ #8: 4·LN(√2 - 1) + 4·√2 #9: 2.131359901 La grande facilità nei comandi e la sua facile comprensione rende questo software un risorsa grafica
e di scoperta molto importante; esistono altri software più professionali ma richiedono più tempo
per essere appresi dagli studenti e quindi non si prestano sempre ad un utilizzo agevole in classe.
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Problema 4
Rappresentare sullo stesso grafico la funzione 62 −−= xxy e una sua funzione integrale.
In Derive si procede come segue:
come prima cosa definiamo la funzione f(t):=t^2-t-6 2 #1: f(t) ≔ t - t - 6
ora utilizzando l’ambiente grafico per disegnare la parabola come segue
calcoliamo la funzione integrale F(x):=INT(f(t),t,a,x)
x #2: F(x) ≔ ∫ f(t) dt a 3 2 3 2 x x a a #3: F(x) ≔ ⎯⎯ - ⎯⎯ - 6·x - ⎯⎯ + ⎯⎯ + 6·a 3 2 3 2
tracciamo il grafico della funzione utilizzando slider bar che ci permette di attribuire valori diversi
al parametro a, facciamo variare il parametro a da -5 a 5 come in figura
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ed scorrendo il cursore sulla slider bar otteniamo
I grafici mette in rilievo il fatto che la funzione integrale per i valori di a=1, a=-5, a=-3, si
annulla rispettivamente per 1=x , 5−=x , 3−=x . Negli intervalli in cui la parabola è positiva la
funzione integrale e crescente e viceversa, le intersezioni con l’asse x sono i punti critici della
funzione )(xF .
Calcoliamo ora la derivata ∂(F(x), x) d #4: ⎯⎯ F(x) dx 2 #5: x - x – 6
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A questo punto rimuoviamo il grafico della primitiva.
Calcoliamo la funzione integrale per i valori 5,4,3,2,1=a ; digitiamo in Derive
VECTOR(F(x),a,1,5) #6: VECTOR(F(x), a, 1, 5) ⎡ 3 2 3 2 3 2 ⎢ x x 37 x x 34 x x #7: ⎢⎯⎯ - ⎯⎯ - 6·x + ⎯⎯, ⎯⎯ - ⎯⎯ - 6·x + ⎯⎯, ⎯⎯ - ⎯⎯ ⎣ 3 2 6 3 2 3 3 2 3 2 3 2 ⎤ 27 x x 32 x x 5 ⎥ - 6·x + ⎯⎯, ⎯⎯ - ⎯⎯ - 6·x + ⎯⎯, ⎯⎯ - ⎯⎯ - 6·x + ⎯⎥ 2 3 2 3 3 2 6 ⎦ selezioniamo l’espressione #7 e tracciamone il grafico.
Osserviamo che i grafici delle funzioni possono essere sovrapposti, hanno tutti dei punti critici per
3=x e 2−=x , inoltre se prendiamo 3=a la funzione integrale avrà un punto critico sull’asse x .