-
1/289
JJIIJI
Back
Close
Università di Napoli Federico IIDipartimento di Ingegneria
Industriale
http://www.dii.unina.it
Lezioni di AerodinamicaA.A. 2018-2019 versione 0.0
Renato TognacciniDipartimento di Ingegneria
IndustrialeUniversità di Napoli Federico IIPiazzale V. Tecchio 80,
80125 Napoliemail: [email protected]
-
2/289
JJIIJI
Back
Close
Introduzione• Aerodinamica: ramo della Meccanica dei fluidi
(Fluidodinamica)
che si concentra sull’analisi dell’interazione tra una corrente
fluidaed un corpo immerso in essa.
• Fluido: materia senza una forma propria; caratterizzato da
unproprio volume (liquido), o senza volume proprio (gas),
assumecioè il volume del suo contenitore.
• Ipotesi del continuo: il fluido è un mezzo continuo, cioè si
assumeche una qualsiasi parte di esso, comunque piccola, contenga
unnumero molto grande di molecole.
• Particella di fluido: un elemento di volume infinitamente
piccolonella scala di lunghezze (macroscopica) di nostro interesse,
ma co-munque grande nella scala di lunghezza delle molecole
(microscop-ica).
-
3/289
JJIIJI
Back
Close
Le forze aerodinamicheSi sceglie un sistema di riferimento
(inerziale) O(x, y, z) solidale con
l’aeromobile, che è quindi investito da una corrente uniforme
di velocitàV∞, alla quota h, caratterizzata dalla pressione p∞ e
densità ρ∞.
Equilibrio dell’aeromobile in vololivellato uniforme:
L = W (1)
T = D (2)
F = [L,D]: forza aerodinamica
L: portanza (Lift) ⊥V∞D: resistenza (Drag) �V∞W : peso
(Weight)a
T : spinta (Thrust)aG è il baricentro
-
4/289
JJIIJI
Back
Close
I coefficienti delle forze aerodinamicheForza aerodinamica di
riferimento: 1
2ρ∞V
2∞S.
S: superficie di riferimento (in genere la superficie alare SW
).
Coefficiente di portanza
CL =L
12ρ∞V 2∞S
(3)
Coefficiente di resistenza
CD =D
12ρ∞V 2∞S
(4)
Efficienza aerodinamica
E =L
D=CLCD
(5)
-
5/289
JJIIJI
Back
Close
ATR 42-500
-
6/289
JJIIJI
Back
Close
Alcune prestazioni dell’ATR 42-500
WTOmax = 18600 Kgp WOEmax = 11250 Kgp Payload= 5450 KgpVmax =
556 Km/h TO-length= 1165 m P = 2× 1610 KWCeiling= 5485 m Max Range=
2963 Km SW = 54.50 m
2
Alcuni dati geometrici e aerodinamici
SW = 54.50 m2 b = 24.57 m
W/S = 341.3 Kgp/m2 AR = 11.1CLmax = 1.75 (δf = 0
0) CLmax = 2.61 (δf = 150)
CLmax = 3.15 (δf = 270)
-
7/289
JJIIJI
Back
Close
Prob. n. 1: determinazione del CL di un aeromobile in
volo livellato
CL =1
12ρ∞V 2∞
W
S(6)
Occorre:quota, velocità di volo, peso e superficie di
riferimento del velivolo.
Prob. n. 2: determinazione della velocità minima di
sostentamento (velocità di stallo)
Vs =
√1
CLmax
√W
S
√2
ρ∞(7)
Occorre:quota, peso e superficie di riferimento del velivolo,
coefficiente diportanza massimo del velivolo (CLmax).
-
8/289
JJIIJI
Back
Close
I parametri fondamentali della corrente
Il numero di Mach
M =V
a, (8)
V : velocità della particella;a: velocità del suono
locale.
• Un flusso a densità costante in tutto il campo si dice
incomprim-ibile o incompressibile.
In un flusso incomprimibile:
M = 0 (9)
in tutto il campo di moto.
• In certe condizioni anche i fluidi comprimibili (gas) si
comportanocome incomprimibili (liquidi):
per M → 0 il flusso tende a diventare incomprimibile.
-
9/289
JJIIJI
Back
Close
La viscosità
Un fluido si dice newtoniano quando la forza dF (di attrito) è
datada
dF = µ∂V
∂zdA (10)
µ: viscosità dinamica del fluido, si misura in Kg/(m s);
ν = µ/ρ: viscosità cinematica del fluido, si misura in
m2/s.
Per l’aria in condizioni standard ν ≈ 10−5m2/s.
-
10/289
JJIIJI
Back
Close
La legge di Sutherland
• La viscosità è una funzione di stato (dipende solo dal
punto) ed èessenzialmente funzione di temperatura e pressione.
• La viscosità aumenta sempre con la pressione.• Nei liquidi la
viscosità diminuisce rapidamente con la temperatura.• Nei gas
rarefatti aumenta con la temperatura.
Per l’aria (legge di Sutherland):
µ
µ0=
(T
T0
)3/2 T0 + 110T + 110
, (11)
T0 = 288K, µ0 = 1.79× 10−5Kgms .
-
11/289
JJIIJI
Back
Close
Il numero di Reynolds
Re∞ =ρ∞V∞L
µ∞=V∞L
ν∞(12)
L: lunghezza di riferimento caratteristica del problema in
studio,
• Il numero di Reynolds misura l’importanza relativa delle
forzedi natura dinamica (convettive), associate alla quantità di
motodelle particelle, e le forze di natura viscosa.
• Un fluido o un flusso non dissipativo si dice ideale.• Vedremo
che un un fluido o un flusso caratterizzato da viscosità
nulla (Re∞ →∞) è ideale.• Nei flussi ideali la viscosità è
trascurabile.
-
12/289
JJIIJI
Back
Close
Regimi di moto
Classificazione in base al numero di Mach
M∞ = 0: flusso incomprimibile
M � 1 ovunque: flusso iposonicoM < 1 ovunque: flusso
subsonico
M < 1 e M > 1: flusso transonico
M > 1 ovunque: flusso supersonico
M∞ � 1: flusso ipersonico
Classificazione in base al numero di Reynolds
Re→ 0: flusso alla Stokes (creeping flow)Re→∞: flusso ideale
-
13/289
JJIIJI
Back
Close
• Numero di Mach critico inferiore (M ′∞,cr): numero di Mach
sub-sonico minimo della corrente asintotica per il quale esiste
almenoun punto nel campo di moto in cui M = 1 (limite del
regimesubsonico).
• Numero di Mach critico superiore (M ′′∞,cr): numero di Mach
su-personico minimo della corrente asintotica per il quale tutti i
puntinel campo di moto sono supersonici (limite del regime
transonico).
Per un dato fluido, le equazioni adimensionali della dinamica
delflusso dipendono solo da M∞ e Re∞.
-
14/289
JJIIJI
Back
Close
Prob. n. 3: determinazione di M∞
M∞ =V∞a∞
Per un gas perfetto a∞ =√γRT∞.
γ è il rapporto dei calori specifici a pressione e volume
costanti (perl’aria γ = 1.4).
R = 287 JKg K
è la costante del gas aria nel modello di gas perfetto.
T∞ è la temperatura assoluta della corrente asintotica
(espressa ingradi Kelvin) che dipende dalla quota.
Prob. n. 4: determinazione di Re∞
Re∞ =ρ∞V∞L
µ∞=V∞L
ν∞Occorre:La quota, la velocità di volo e la lunghezza
caratteristica dell’aeromobile.
-
15/289
JJIIJI
Back
Close
Genesi di portanza e resistenza
Teoria globale
Principio di azione e reazione: la forza aerodinamica agente
sull’aeromobileè pari all’azione dell’aeromobile sulla portata
d’aria ṁ interagente; invirtù della II legge della dinamica:
F = ṁ∆V (13)
• ∆V: variazione media della quantità di moto;
• ṁ = eρ∞V∞πb2/4 (b è l’apertura alare, e ≈ 1).
La portanza è data dalla componente perpendicolare a V∞ di
∆V:
L = ṁ∆V (14)
Dalla definizione di CL:∆V
V∞=
2CLπeAR
(15)
AR = b2/S è l’allungamento alare.
-
16/289
JJIIJI
Back
Close
La resistenza indotta (dalla portanza)
L’energia cinetica della portata d’aria ṁ è aumentata dopo
l’interazionecon l’aeromobile:
∆E =1
2ṁ[V 2∞ + ∆V
2 − V 2∞]
=1
2ṁ∆V 2 . (16)
Per il principio di conservazione dell’energia deve esserci una
forza checompie un lavoro equivalente che non può che essere T =
D:
∆E = DV∞ , (17)
per cui, ricordando l’espressione del CD e di ∆Vv/V∞ si
ottiene:
CDi =C2LπeAR
, (18)
espressione del coefficiente di resistenza indotta.e è il
fattore di Oswald; in genere e < 1. e = 1 nel caso di ala
con
distribuzione di carico ellittica.
• Un caso particolare di distribuzione di carico ellittica:
distribuzione dicorde ellittica, svergolamento aerodinamico nullo,
profilo alare costante.
-
17/289
JJIIJI
Back
Close
La resistenza totale di un aeromobile
D = Di + Dp + Dw (19)
• Di, resistenza indotta (dalla portanza);• Dp, resistenza di
profilo, associata all’azione diretta delle forze
viscose (attrito e forma);
• in regime transonico e supersonico si aggiunge anche Dw, la
re-sistenza d’onda, legata alla probabile presenza di onde d’urto
nelcampo di moto.
La polare di un aeromobile
Le curve CD = CD(CL) si chiamano curve polari.Per ogni
aeromobile esistono infinite polari, al variare di Re∞, M∞
e della configurazione del velivolo.
-
18/289
JJIIJI
Back
Close
Espressione approssimata della polare
CD = CD0 +C2LπARe
(20)
CD0: coefficiente di resistenza a portanza nulla.
L’espressione parabolica della polare costituisce una buona
approssi-mazione della polare reale nell’intorno della crociera del
velivolo.
Errori insiti in questa approssimazione:
• in generale il coefficiente di resistenza non è minimo per CL
= 0;• la resistenza di profilo varia al variare di CL;• in
condizioni di alta portanza la polare del velivolo si discosta
molto
dall’andamento parabolico che addirittura non prevede lo
stallodell’aeromobile.
-
19/289
JJIIJI
Back
Close
Prob. n. 5: determinazione del CDi di un aeromobile in
volo livellato
Tra l’altro occorre conoscere il fattore di Oswald
dell’aeromobile.
Prob. n. 6: confronto delle resistenze indotte di un aero-
mobile in crociera ed in atterraggio
Attenzione resistenza non è equivalente a coefficiente di
resistenza.
-
20/289
JJIIJI
Back
Close
Geometria dell’ala
η = yb/2
, λ = ct/cr, c = cr[1− η(1− λ)], S = 2∫ b/2
0 c(y)dy
Corda media aerodinamica (m.a.c.): c̄ = 2S
∫ b/20 c
2(y)dy
-
21/289
JJIIJI
Back
Close
La curva CL = CL(α) (curva di portanza)
Definizione di angolo di attacco:
Sezione dell’ala alla radice
Polare, curva di portanza e dei momenti per un ala di AR =
10
-
22/289
JJIIJI
Back
Close
Caratteristiche della curva di portanza
• È presente un tratto lineare nell’intorno delle basse
incidenze:
CL ≈ CLαα ; (21)
• si evidenzia il fenomeno dello stallo;• dipende da M∞ e
Re∞.
-
23/289
JJIIJI
Back
Close
Il profilo alare
Sezione di un’ala parallela a V∞.
c: corda; t: spessore; τ = t/c: spessore percentuale;
F : fuoco, posto ad 1/4 della corda.
• Nel caso di un’ala rettangolare dritta di allungamento
infinito ilcampo di moto risulta bidimensionale nel piano del
profilo.
• AR→∞⇒ CDi = 0, quindi D = Dp + Dw.
-
24/289
JJIIJI
Back
Close
Caratteristiche aerodinamiche di un profilo alare
Portanza:l = Cl
12ρ∞V
2∞c
Resistenza:d = Cd
12ρ∞V
2∞c;
Momento di beccheggio rispetto al bordo di attacco:mle =
Cmle
12ρ∞V
2∞c
2.
Momento di beccheggio rispetto al fuoco:m1/4 = Cm1/4
12ρ∞V
2∞c
2.
• I momenti sono positivi se cabranti.
-
25/289
JJIIJI
Back
Close
Profilo NACA 2412 (flusso iposonico)
-
26/289
JJIIJI
Back
Close
Portanza di un’ala finita e di un profilo
Per un profilo poco spesso e curvo a piccoli angoli di
attacco:
Cl = Clα(α− αzl) , (22)
Clα ≈ 2π,αzl: angolo di portanza nulla del profilo.
AR� 1 : CLα ≈Clα
1 + ClαπAR
(23)
AR < 1 : CLα ≈π
2AR (24)
-
27/289
JJIIJI
Back
Close
IdrostaticaSi assume che in tutto il campo fluido V = 0.
La pressione
∆S: superficie elementare di inclinazione generica nel
fluido.
∆F : modulo della forza che agisce sulla superficie ∆S dovuta
alloscambio di quantità di moto a livello molecolare.
In un fluido in quiete ∆F è perpendicolare a ∆S (Principio
diPascal).
p = lim∆S→0
∆F
∆S(25)
Su una superficie infinitesima dS di normale n agisce la
forza
dF = −pndS (26)
p è detta pressione idrostatica.
-
28/289
JJIIJI
Back
Close
Legge di Stevino
Si consideri un volume infinitesimo dxdydz di un fluido in
quiete. zindica la quota (asse verticale e diretto verso
l’alto).
Forza di pressione totale:
p dxdy −(p +
dp
dzdz
)dxdy = −dp
dzdxdydz (27)
Equilibrio tra forza di gravità e forza di pressione:
− dpdz
dxdydz − ρgdxdydz = 0 (28)
dp = −ρgdz (29)Integrando tra le quote z1 e z2 in un fluido a
densità costante:
∆p = −ρg∆h (30)
∆h = z2 − z1∆p = p2 − p1
-
29/289
JJIIJI
Back
Close
Prob. n. 7: ricavare il Principio di Archimede
La forza di galleggiamento che agisce su un corpo immerso in
unfluido in quiete è pari al peso del fluido spostato dal
corpo.
Prob. n. 8: descrivere il funzionamento del barometro a
colonna di liquido
-
30/289
JJIIJI
Back
Close
Atmosfera standard (ISA)Ipotesi
1. L’aria è secca e si comporta come un gas più che perfetto:
p =ρRT ;
2. l’aria è in quiete ed è valida la legge di Stevino: dp =
−ρgdz.In base alle ipotesi:
dp
p= − g
RTdz . (31)
Per deteminare p = p(z) occorre un modello per la distribuzione
ditemperatura al variare della quota T = T (z).
0–11 Km: troposfera, la temperatura decresce linearmente di
6.5gradi per chilometro;
11–20 Km: stratosfera, la temperatura rimane costante con la
quota;
> 20 Km: esosfera, la temperatura aumenta con la quota.
• Questo modello descrive bene l’atmosfera nelle zone
temperate.
-
31/289
JJIIJI
Back
Close
Troposfera
ρSL = 1.23 Kg/m3, TSL = 288 K, Tz = 6.50 · 10−3 K/m.
T = TSL − Tzz . (32)Integrando la (31) si ottiene
p
pSL=
(T
TSL
) gRTz
,ρ
ρSL=
(T
TSL
) gRTz−1
. (33)
Stratosfera
T = TST . (34)
Integrando la (31) si ottiene
p
pST=
ρ
ρST= e−
gRTz
(z−zST ) , (35)
dove zST = 11000 m, TST = T (zST ), pST = p(zST ) e ρST = ρ(zST
).
Prob. n. 9: diagrammare T , p e ρ al variare della quota
-
32/289
JJIIJI
Back
Close
Elementi di calcolo tensorialeSia f una grandezza in generale
funzione (in un determinato do-
minio) dello spazio e del tempo f = f (x, y, z, t).
• f è una grandezza scalare quando è completamente
individuataunicamente da un numero reale. Uno scalare viene anche
denomi-nato tensore di ordine 0.
• f è una grandezza vettoriale quando è completamente
individu-ata da un numero reale e da una direzione orientata. Un
vettoreviene anche denominato tensore di ordine 1 (lo indicheremo
conil simbolo f).
• f è un tensore di ordine 2 quando la sua individuazione
richiede laconoscenza di due direzioni orientate (lo indicheremo
con il simbolof).
In questo corso con i termini scalare, vettore e tensore ci
riferiremorispettivamente al tensore di ordine 0, 1 e 2.
-
33/289
JJIIJI
Back
Close
Algebra dei vettori
Sia O(x1, x2, x3) una terna di riferimento cartesiana levogira
di versoriσ1, σ2 e σ3.
f = (f1, f2, f3) = σifi , (36)
dove fi sono le componenti di f e σifi =∑3
i=1 σifi (convenzionedell’indice ripetuto di Einstein).
Eguaglianza
a = b⇔ ai = bi ∀i . (37)
Vettore nullo
a = 0⇔ ai = 0 ∀i . (38)
Prodotto scalare
a · b = a b cos θ = aibi , θ : angolo tra a e b. (39)
-
34/289
JJIIJI
Back
Close
In particolare:σi · σj = δij , (40)
dove δij = 1 se i = j altrimenti δij = 0.
fi = σi · f . (41)
Intensità o modulo del vettore
a = |a| =√aiai . (42)
Versore v di V
v =V
|V|. (43)
-
35/289
JJIIJI
Back
Close
Prodotto vettoriale
a× b = c ; (44)il vettore c è dato da:
c = ab sin θ , (a, b, c) terna ortogonale levogira ; (45)
c è quindi perpendicolare sia ad a che b. Si dimostra che
c =
∣∣∣∣∣∣σ1 σ2 σ3a1 a2 a3b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ , (46)dove il determinante simbolico è calcolato con la
regola di Laplace perla prima riga. Inoltre
c = σici = σiεijkajbk , (47)
dove εijk = 0 se i = j, oppure i = k, oppure j = k; εijk = ±1 se
laterna (i, j, k) costituisce una permutazione di classe pari (+) o
dispari(-) dei numeri 1, 2, 3.
-
36/289
JJIIJI
Back
Close
Si nota cheb× a = −a× b . (48)
Doppio prodotto vettoriale
c× (a× b) = a(b · c)− b(a · c) . (49)
-
37/289
JJIIJI
Back
Close
Calcolo differenziale vettoriale
Il vettore nabla
In un riferimento cartesiano:
∇ ≡ σi∂
∂xi. (50)
In un riferimento cilindrico O(R, θ, z) di versori (a1, a2,
a3):
∇ ≡ a1∂
∂R+ a2
1
R
∂
∂θ+ a3
∂
∂z. (51)
Gradiente di uno scalare
∇f = σi∂f
∂xi. (52)
-
38/289
JJIIJI
Back
Close
Proprietà del gradiente di uno scalare
1. n · ∇f = ∂f∂n
; derivata direzionale di f nella direzione n, misura la
variazione (unitaria) di f nella direzione orientata n.
2. |∇f |, modulo di ∇f , dà la variazione (unitaria) massima di
f .3. Il versore di ∇f dà la direzione in cui la variazione di f
è massima.4. Data la superficie f (r) = cost1, ∇f è
perpendicolare ad essa ed è
orientato nel verso delle f crescenti.
Divergenza di un vettore
∇ · V = ∂Vi∂xi
(53)
1r = σixi è il vettore posizione.
-
39/289
JJIIJI
Back
Close
Rotore di un vettore
∇× V =
∣∣∣∣∣∣∣∣σ1 σ2 σ3∂
∂x1
∂
∂x2
∂
∂x3V1 V2 V3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = σiεijk∂Vk∂xj
. (54)
Un campo V con rotore identicamente nullo è detto
irrotazionale.
Operatori differenziali di ordine superiore
Il rotore del gradiente di uno scalare è identicamente
nullo:
∇× (∇f ) = 0 . (55)
La divergenza del rotore di un vettore è identicamente
nulla:
∇ · (∇× V) = 0 . (56)
La divergenza del gradiente di uno scalare si chiama
laplaciano:
∇2f = ∇ · ∇f . (57)
-
40/289
JJIIJI
Back
Close
Le funzioni scalari con laplaciano identicamente nullo si dicono
ar-moniche.
Vale infine la seguente identità:
∇× (∇× V) = ∇(∇ · V)−∇2V . (58)
Campi potenziali
Un campo vettoriale V(r) si dice potenziale se esiste una
funzionescalare φ(r) tale che
V = ∇φ . (59)Se un campo V(r) è potenziale allora un qualsiasi
integrale di linea∫ P2P1
V · dl dipende solo dagli estremi di integrazione.
Condizione necessaria e sufficiente affinchè V sia a
potenzialein R3 è che V sia irrotazionale, cioè ∇× V = 0.
Se V(r) è a potenziale allora
∇ · V = ∇2φ . (60)
-
41/289
JJIIJI
Back
Close
Campi solenoidali
Un campo vettoriale V(r) si dice solenoidale se esiste un altro
campovettoriale A (potenziale vettore) tale che
V = ∇× A . (61)
Condizione necessaria e sufficiente affinchè V sia solenoidale
è∇ · V = 0.
Il potenziale di un campo solenoidale ed a potenziale è
armonico; inquesto caso il campo si dice laplaciano.
Il teorema fondamentale dell’analisi vettoriale
Sia V(r) un campo vettoriale continuo con divergenza e rotore
continui,tale che per r → ∞ V si comporta come 1/r1+ε mentre |∇ ·
V| e|∇ × V| si comportano come 1/r2+ε dove ε > 0. Allora, a meno
diun vettore costante (c1), V può essere espresso come la somma di
uncampo potenziale e di uno solenoidale, cioè:
V = ∇φ +∇× A + c1 . (62)
-
42/289
JJIIJI
Back
Close
Calcolo tensoriale
Introduzione (diadi)
Si chiama diade la coppia di vettori
a b . (63)
• Una diade è associata a due direzioni orientate (ma non
identificatada esse).
• La diade a b costituisce il risultato dell’operazione prodotto
ten-soriale tra i vettori a e b.
• Il prodotto tensoriale non è commutativo: b a 6= a b.•
Rappresentazione cartesiana della diade: a b = σiaibjσj, la diade
è
quindi rappresentata nel riferimento cartesiano dalle 9
componentiscalari (ai bj).
-
43/289
JJIIJI
Back
Close
Tensore (di ordine 2)
Il tensore A è definito in un riferimento cartesiano come
A = σiAijσj . (64)
• A è stato individuato come la somma di 9 diadi coordinate.• A
differenza della diade, le due direzioni orientate associate al
ten-
sore A non sono esplicite.
• Il tensore è rappresentato nel riferimento cartesiano dalle 9
com-ponenti scalari Aij.
Un tensore è esprimibile con la matrice quadrata (3× 3):
A =
A11 A12 A13A21 A22 A23A31 A32 A33
(65)Aii sono le componenti normali, Aij (j 6= i) sono le
componenti tan-genziali.
-
44/289
JJIIJI
Back
Close
Tensore trasposto
(Ã)ij = Aji . (66)
Tensore simmetrico
à = A⇔ Aji = Aij . (67)
Tensore antisimmetrico
Aji = −Aij . (68)Un tensore antisimmetrico ha necessariamente
nulle le componentilungo la diagonale principale.
-
45/289
JJIIJI
Back
Close
Algebra dei tensori
Eguaglianza
A = B⇔ Aij = Bij . (69)
Tensore nullo
A = 0⇔ Aij = 0 . (70)
Prodotto di uno scalare per un tensore
fA = σifAijσj . (71)
-
46/289
JJIIJI
Back
Close
Prodotto scalare di un vettore per un tensore a sinistra
V · A = ViAijσj . (72)
Prodotto scalare di un vettore per un tensore a destra
A · V = σiAijVj . (73)
Componente vettoriale sinistra o destra
σi · A = Aijσj = di ; (74)A · σj = σiAij = sj . (75)
I 3 vettori di sono le componenti vettoriali destre di A nel
riferimentoO(x1, x2, x3), mentre i 3 vettori sj sono le componenti
vettoriali sin-istre.
A = σidi = siσi . (76)
-
47/289
JJIIJI
Back
Close
Prodotto scalare di due tensori
A · B = C = σiAikBkjσj . (77)Il prodotto scalare di due tensori
è equivalente al prodotto di duematrici (3× 3) e non commuta.
˜(A · B) = B̃ · Ã . (78)
Doppio prodotto scalare di due tensori
A : B = AikBki . (79)
Prodotti vettoriali
V × A = σiεilmVlAmjσj , (80)A× V = σiεmljAimVlσj . (81)
-
48/289
JJIIJI
Back
Close
Traccia di un tensore
Tr(A) = Aii . (82)
La traccia del tensore è invariante (non dipende dal sistema di
riferi-mento).
Tensore unitario
U =
1 0 00 1 00 0 1
(83)Si nota che, ad esempio:
V · U = U · V = V . (84)
Tensore isotropo
Si dice isotropo un tensore del tipo fU con f ∈ R.
-
49/289
JJIIJI
Back
Close
Applicazione: il tensore degli sforzi in un fluido in quiete
tn = n · τ . (85)τ : tensore degli sforzi;
tn: sforzo (vettore forza per unità di superficie) agente su
una super-ficie elementare di normale generica n, positivo se di
trazione.
Nel caso di un fluido in quiete
τ = −pU ; (86)
il tensore degli sforzi è isotropo. Infatti:
dF = n · (−pU)dS = −pndS , (87)
che è appunto la definizione di pressione idrostatica in un
fluido inquiete.
• Riformulazione del Principio di Pascal: il tensore degli
sforzi inun fluido in quiete è isotropo.
-
50/289
JJIIJI
Back
Close
Parte simmetrica, antisimmetrica e isotropa di un tensore
È sempre possibile decomporre un tensore in una parte
simmetricaed una antisimmetrica A = A(s) + A(a):
A(s) =A + Ã
2, A(a) =
A− Ã2
. (88)
13Tr(A)U: parte isotropa di A.
13Tr(A) è la media aritmetica delle 3 componenti normali del
tensore
ed è invariante.
A = 13Tr(A)U+A
0, dove A
0è detto parte deviatorica di A (è a traccia
nulla).
• V · A = V · 13Tr(A)U + V · A
0= 1
3Tr(A)V + V · A
0.
• A = 13Tr(A)U + A(s)
0+ A(a)
0.
-
51/289
JJIIJI
Back
Close
Calcolo differenziale tensorialeGradiente di un vettore
∇ V = σi∂Vj∂xi
σj . (89)
Derivata direzionale (in n) di V:
n · ∇ V = ni∂V
∂xi. (90)
Tr(∇ V) = ∇ · V . (91)
(∇ V) · V = ∇(V 2
2
). (92)
Un’identità particolarmente notevole:
V · ∇ V = ∇(V 2
2
)+ (∇× V)× V . (93)
• Dividendo la (93) per V : v · ∇ V = ∇ (V ) + (∇× V)× v .
-
52/289
JJIIJI
Back
Close
Divergenza di un tensore
∇ · A = ∂Aij∂xi
σj . (94)
∇ · (fA) = f∇ · A +∇f · A . (95)
-
53/289
JJIIJI
Back
Close
Teoremi di Gauss
Sia V(r) un campo vettoriale continuo con le derivate delle sue
com-ponenti in V ∪ S, allora:∫
V∇ · VdV =
∫S
n · VdS , (96)∫V∇× VdV =
∫S
n× VdS , (97)∫V∇ VdV =
∫S
n VdS . (98)
-
54/289
JJIIJI
Back
Close
Sia f (r) una funzione scalare continua con le sue derivate in V
∪ S,allora: ∫
V∇fdV =
∫S
n fdS . (99)
Una definizione di ∇ indipendente dal riferimento
∇ = limV→0
1
V
∫S
n( )dS . (100)
∇f = limV→0
1
V
∫S
nfdS . (101)
∇ · V = limV→0
1
V
∫S
n · VdS . (102)
-
55/289
JJIIJI
Back
Close
Teorema di Stokes
Data la superficie S delimitata dal circuito C e dato V(r), un
campovettoriale continuo con le derivate delle sue componenti in
S∪C, allora∫
S
n · ∇ × VdS =∮C
V · dl . (103)
dl: vettore spostamento elementare lungo il circuito C.
Γ =∮C V · dl: circolazione del vettore V lungo il circuito
C.
• Il teorema di Stokes lega il rotore alla circolazione.
-
56/289
JJIIJI
Back
Close
Equazioni di bilancio
V : volume di controllo (per ora lo si suppone fisso rispetto al
riferi-mento inerziale), è il volume che contiene il sistema che
si intendestudiare;
S: superficie di controllo;
n: versore localmente normale alla superficie di controllo
orientatoverso l’esterno del volume.
-
57/289
JJIIJI
Back
Close
Una grandezza G si dice estensiva quando è associata
(proporzionale)alla massa.
Una grandezza G si dice intensiva quando non è associata alla
massaed è funzione solo del punto.
Massa, quantità di moto, energia, entropia sono esempi di
grandezzeestensive.
Temperatura, pressione, viscosità sono esempi di grandezze
intensive.
Per una grandezza estensiva è possibile formulare un’equazione
di bi-lancio all’interno del volume di controllo:
Variazione di Gnell’unitàdi tempo
= Scambio di G conl’esterno
+Produzione di G
nel volume dicontrollo
-
58/289
JJIIJI
Back
Close
M: massa all’interno di un volume V ;
g = limV→0
G
M: grandezza G specifica (per unità di massa);
g+ = limV→0
G
V: grandezza G per unità di volume.
• La densità ρ è la massa per unità di volume.
g+ = limV→0
G
MMV
= ρg . (104)
Variazione nell’unità di tempo di G in V :
d
dt
∫VρgdV =
∫V
∂
∂t(ρg)dV .
-
59/289
JJIIJI
Back
Close
Il flusso di una grandezza
Il flusso ϕG
di una grandezza G dà, in intensità e direzione, la
quantitàdi G che attraversa una superficie elementare, per unità
di tempo e disuperficie.
• ϕG
è un vettore se G è uno scalare;
• ϕG
è un tensore se G è un vettore.
[ϕG
] =[G]
[L2][t]=
[G]
[L3]
[L]
[t], (105)
quindi è possibile esprimere il flusso come
ϕG
= g+W = ρgW , (106)
con W un vettore velocità opportuno.Nel caso della massaM:
ϕM ≡ ρV. (107)
-
60/289
JJIIJI
Back
Close
Scambio di G con l’esterno:∫S
n · ϕG
dS .
Produzione
ġ+ = [G][L3][t]
: produzione di G nell’unità di volume e di tempo;
ġ = [G][M ][t]
: produzione specifica di G;
ġ+ = ρġ.
Produzione di G nel volume di controllo:∫VρġdV .
-
61/289
JJIIJI
Back
Close
Equazione di bilancio integrale∫V
∂
∂t(ρg)dV = −
∫S
n · ϕG
dS +
∫VρġdV . (108)
Equazione di bilancio differenziale
Applicando il teorema di Gauss all’integrale del flusso nella
(108):∫V
[∂
∂t(ρg) +∇ · ϕ
G− ρġ
]dV = 0 . (109)
Questo integrale è nullo qualunque sia la scelta di V se e
soltanto sel’integrando è nullo, da cui l’equazione di bilancio in
forma differenziale:
∂
∂t(ρg) +∇ · ϕ
G= ρġ . (110)
• La fisica del problema è racchiusa nella determinazione
dell’espressionedel flusso e della produzione.
-
62/289
JJIIJI
Back
Close
Equazione di bilancio della massa (continuità)
g = 1, g+ = ρ;
ϕM = ρV;
ġ = 0: la massa si conserva.
Forma integrale dell’equazione di conservazione della
massa:∫V
∂ρ
∂tdV +
∫S
n · ρVdS = 0 . (111)
Forma differenziale:∂ρ
∂t+∇ · (ρV) = 0 . (112)
-
63/289
JJIIJI
Back
Close
Rappresentazione euleriana e lagrangiana
Rappresentazione euleriana:si assumono come variabili
indipendenti le coordinate dello spazio edil tempo (x1, x2, x3, t)
= (r, t); il problema fluidodinamico consistenell’individuazione
della generica grandezza g(r, t) in ciascun puntodel campo al
variare del tempo.
Rappresentazione lagrangiana:Individuazione al variare tempo
dell’evoluzione della generica grandezzadi una data particella.
Indicando con R = σiXi la posizione che ladata particella assume al
tempo iniziale t0, le variabili indipendentidiventano (R, τ ) con τ
= t.
Per passare da una rappresentazione all’altra occorre conoscere
latrasformazione
∀i = 1, 2, 3 xi = xi(X1, X2, X3, τ ), t = τ ; (113)
in forma vettoriale:r = r(R, t), t = τ . (114)
-
64/289
JJIIJI
Back
Close
Si assume che:
1. nessuna regione di volume finito si trasforma nel tempo in
unaregione di volume nullo o infinito;
2. nel tempo volumi si trasformano in volumi, superfici in
superfici,curve in curve, costituiti sempre dalle stesse
particelle.
Nota l’evoluzione di una grandezza in una rappresentazione
lagrangianag(R, τ ), la rappresentazione euleriana si ottiene
tramite le (113) o(114):
g(r, t) = g[R(r, τ ), t] . (115)
-
65/289
JJIIJI
Back
Close
Derivata sostanziale
Definizione di velocità di una particella:
V = V(R, τ ) =∂r
∂τ(R, τ ) =
(∂r
∂τ
)R=cost
= σi
(∂xi∂τ
)R=cost
. (116)
Definizione di derivata sostanziale:
D
Dt=
(∂
∂τ
)R=cost
. (117)
Tenendo conto della (114), della regola di derivazione delle
funzionidi funzioni:
Dg
Dt=∂g
∂t
∂t
∂τ+
(∂g
∂xi
)t=cost
(∂xi∂τ
)R=cost
. (118)
Essendo ∂t/∂τ = 1, è possibile ottenere la seguente
rappresentazioneeuleriana della derivata sostanziale:
D
Dt=∂
∂t+ V · ∇ . (119)
-
66/289
JJIIJI
Back
Close
Flusso convettivo e diffusivo
ϕG≡ ρgV + JG (120)
1. ρgV: flusso convettivo, associato al trasporto della
grandezza gcon la velocità di massa V.
2. JG: flusso diffusivo, associato al trasporto della grandezza
con lavelocità molecolare relativa al moto del baricentro della
particella.
È possibile definire il flusso diffusivo o con leggi
fenomenologiche oricorrendo alla Teoria cinetica dei gas.
-
67/289
JJIIJI
Back
Close
Equazioni del bilancio in forma lagrangiana
d
dt
∫Vm(t)
(ρg)dVm = −∫Sm(t)
n · JGdSm +∫Vm(t)
ρġdVm . (121)
-
68/289
JJIIJI
Back
Close
Essendo (ρdVm = dM):
d
dt
∫Vm(t)
(ρg)dVm =d
dt
∫Mg(R, τ )dM =
∫M
∂g(R, τ )
∂τdM , (122)
si ha ched
dt
∫Vm(t)
(ρg)dVm =∫Vm(t)
ρDg
DtdVm , (123)
allora, sempre applicando il teorema d Gauss:∫Vm(t)
[ρDg
Dt+∇ · JG − ρġ
]dVm = 0 , (124)
valida comunque si sceglie Vm(t), per cui:
ρDg
Dt+∇ · JG − ρġ = 0 , (125)
equazione di bilancio differenziale in forma lagrangiana.
• Nell’equazioni di bilancio in forma lagrangiana compare soloil
flusso diffusivo.
-
69/289
JJIIJI
Back
Close
Le equazioni della Fluidodinamica
Conservazione della massa (continuità)
Forma integrale dell’equazione di conservazione della
massa:∫V
∂ρ
∂tdV +
∫S
n · ρVdS = 0 . (126)
Forma differenziale:∂ρ
∂t+∇ · (ρV) = 0 . (127)
Svolgendo la divergenza nella (127) si ottiene (v = 1/ρ,
volumespecifico):
∇ · V = 1v
Dv
Dt; (128)
la divergenza della velocità misura la variazione percentuale
nell’unitàdi tempo del volume di una particella.
-
70/289
JJIIJI
Back
Close
Se il flusso è incomprimibile:
∇ · V = 0 ; (129)
la conservazione della massa assicura che un campo di moto
in-comprimibile è solenoidale.
Se il flusso è stazionario:
∇ · (ρV) = 0 ; (130)
la conservazione della massa assicura che in un campo di
motocomprimibile e stazionario è solenoidale il vettore ρV.
Prob. n. 10: dimostrare che in flusso stazionario la por-
tata di un condotto è costante
Occorre scrivere l’equazione di conservazione della massa in
forma in-tegrale per un condotto con pareti laterali impermeabili
(n · V = 0).
-
71/289
JJIIJI
Back
Close
Bilancio della quantità di moto
g = V, g+ = ρV;
flusso diffusivo JV = −τ ;
produzione per unità di volume ḟ+ = ρg;
g = −∇Ψ, Ψ = gz energia potenziale del campo
gravitazionale.Forma integrale del bilancio di quantità di
moto:
d
dt
∫VρVdV +
∫S
n ·(ρVV − τ
)dS =
∫VρgdV . (131)
Forma differenziale:
∂ρV
∂t+∇ · (ρVV − τ ) = ρg . (132)
Forma integrale lagrangiana:
d
dt
∫Vm(t)
ρVdVm =∫Sm(t)
n · τdSm +∫Vm(t)
ρgdVm . (133)
-
72/289
JJIIJI
Back
Close
Forma differenziale lagrangiana:
ρDV
Dt−∇ · τ = ρg . (134)
• L’espressione di τ dipende dal tipo di fluido.
Modello di fluido newtoniano:
τ = −pU + µ2(∇ · V)U + 2µ(∇ V)(s)0 (135)
µ2: secondo coefficiente di viscosità del fluido.
Per i fluidi di nostro interesse µ2/µ� 1, per cui lo
trascureremo:
τ = −pU + τd, (136)
τd
= 2µ(∇ V)(s)0 . (137)• Nel modello newtoniano, cos̀ı come nella
maggior parte dei prob-
lemi di nostro interesse, il tensore degli sforzi è
simmetrico.
-
73/289
JJIIJI
Back
Close
Prob. n. 11: determinare le 9 componenti del tensore
degli sforzi di un fluido newtoniano
Prob. n. 12: determinare l’espressione della forza (aero-
dinamica) che agisce su un corpo immerso in una corrente
fluida
(Non è altro che il flusso di quantità di moto attraverso il
corpo).
-
74/289
JJIIJI
Back
Close
Conservazione dell’energia
Principio dell’equilibrio evolutivo: si assume che i tempi
caratteristicidel problema fluidodinamico siano molto maggiori del
tempo caratter-istico con cui il sistema termodinamico particella
raggiunge il proprioequilibrio per cui, istante per istante, la
particella è in equilibrio ter-modinamico.
g = e , g+ = ρe;
e = u + V 2/2 + Ψ, u è l’energia interna specifica;
flusso diffusivo Je = Ju + Jc;
legge di Fourier: Ju = −λ∇T (flusso di energia nel modo
calore);λ: conducibilità termica, si misura in J/(m s K);
Jc = −τ · V (flusso di energia nel modo lavoro);ė = 0,
l’energia totale si conserva.
-
75/289
JJIIJI
Back
Close
Forma differenziale lagrangiana
ρD
Dt
(u +
V 2
2+ Ψ
)−∇ · (λ∇T )−∇ · (τ · V) = 0 . (138)
Identità vettoriale:
∇ · (τ · V) = (∇ · τ ) · V + τ̃ : ∇ V . (139)
Il flusso di energia nel modo lavoro consta di due
contributi:
1. (∇·τ ) ·V: lavoro compiuto sulla particella per effetto dello
sposta-mento V;
2. τ̃ : ∇ V: contributo dovuto alla deformazione della
particella.
Bilancio dell’energia cinetica
ρD
Dt
(V 2
2
)−∇ · (τ · V) = ρε̇c . (140)
-
76/289
JJIIJI
Back
Close
Questa equazione si può riottenere moltiplicando scalarmente
per Vil bilancio di quantità di moto:
ρDV
Dt· V − (∇ · τ ) · V = ρg · V . (141)
In base alle identità vettoriali (139) e (92):
ρD
Dt
(V 2
2
)−∇ · (τ · V) = ρg · V − τ̃ : ∇ V . (142)
La produzione di energia cinetica è quindi:
ρε̇c = ρg · V − τ̃ : ∇ V . (143)
• Il bilancio di energia cinetica non è un’equazione
indipendente.
-
77/289
JJIIJI
Back
Close
Bilancio dell’energia potenziale
ρDΨ
Dt= ρε̇p . (144)
• Il flusso diffusivo di energia potenziale è nullo.• Il
potenziale (gravitazionale) dipende solo dallo spazio e non dal
tempo.
• ∇Ψ = −g.DΨ
Dt= V · ∇Ψ , (145)
per cui
ρDΨ
Dt= −ρg · V (146)
eρε̇p = −ρg · V , (147)
da confrontare con la produzione di energia cinetica.
• Il bilancio di energia potenziale non è un’equazione
indipendente.
-
78/289
JJIIJI
Back
Close
Bilancio dell’energia interna
Si ottiene sottraendo i bilanci di energia cinetica e potenziale
a quellodi energia totale:
ρDu
Dt+∇ · Ju = τ̃ : ∇ V (148)
eρε̇u = τ̃ : ∇ V , (149)
da confrontare con la produzione di energia cinetica.
• Nulla possiamo ancora dire sul segno della produzione di
energiainterna.
-
79/289
JJIIJI
Back
Close
Bilancio dell’entropia
ρDs
Dt+∇ · Js = ρṡ . (150)
Du
Dt= T
Ds
Dt− pDv
Dt. (151)
Il bilancio di entropia si ottiene combinando il bilancio di
energia in-terna e di volume specifico. Si ottiene:
ρDs
Dt=
1
Tτ̃ : ∇ V − 1
T∇ · Ju +
p
T∇ · V . (152)
Confrontando con la (150):
Tρṡ− T∇ · Js = +τ̃ : ∇ V −∇ · Ju + p∇ · V , (153)
Tρṡ−∇ · (TJs) = −Js · ∇T + τ̃ : ∇ V −∇ · Ju + p∇ · V , (154)da
cui:
Js =JuT
; Tρṡ = −Js · ∇T + τ̃ : ∇ V + p∇ · V . (155)
-
80/289
JJIIJI
Back
Close
Per un fluido newtoniano e fourieriano si ottiene2
τ̃ : ∇ V = −p(∇ · V) + Φ , (156)Φ = 2µ(∇ V)(s)0 : (∇ V)
(s)0 . (157)
Φ: funzione di dissipazione.
Tρṡ =λ
T∇T · ∇T + Φ . (158)
Affinchè sia soddisfatto il II principio della termodinamica
(la pro-duzione di entropia è positiva):
λ > 0 , µ > 0 ; (159)
il flusso termico va da zone a temperatura maggiore a zone a
tem-peratura minore e l’energia cinetica (parte) si “dissipa” in
energiainterna, processi entrambi irreversibili.
2Si sfruttano le seguenti identità: A0
: U = 0, A(s) : A(a) = 0.
-
81/289
JJIIJI
Back
Close
Le equazioni di Navier-Stokes
Caso di fluido newtoniano e foureriano.Continuità:
∂ρ
∂t+∇ · (ρV) = 0 ; (160)
quantità di moto:
ρDV
Dt+∇p = 2∇ · [µ(∇ V)(s)0 ] + ρg ; (161)
energia:
ρD
Dt
(u +
V 2
2+ Ψ
)= ∇ · (λ∇T )−∇ · (pV) + 2∇ · [µ(∇ V)(s)0 ·V] .
(162)La chiusura del sistema richiede la conoscenza delle
relazioni di stato:
p = p(ρ, T ), u = u(ρ, T ), (163)
µ = µ(p, T ), λ = λ(p, T ). (164)
-
82/289
JJIIJI
Back
Close
Condizioni iniziali e al contorno
V(r, t0) = Vi(r), p(r, t0) = pi(r), ρ(r, t0) = ρi(r). (165)
Parete impermeabile fissa: V = 0, p =?.
• Nel caso di proprietà costanti (ρ e µ), la temperatura non
comparenell’equazioni di continuità e quantità di moto.
Continuità e quantità di moto possono essere integrate
indipenden-temente dall’equazione dell’energia.
L’equazione dell’energia può essere risolta, se necessario,
successi-vamente, con il campo di velocità già noto.
Prob. n. 13: scrivere le equazioni scalari di Navier-
Stokes nel caso 2D a proprietà costanti (ρ, µ, λ)
-
83/289
JJIIJI
Back
Close
Equazioni di bilancio adimensionaliIl problema consiste nella
scelta di opportune grandezze di riferi-
mento delle variabili indipendenti e dipendenti.
ḡ = g/gr;
ḡ: grandezza adimensionale;
gr: grandezza di riferimento.
• La scelta di gr è appropriata quando ḡ ≈ O(1).
-
84/289
JJIIJI
Back
Close
Continuità
Si assuma il flusso isoentropico (ds = 0) per cui
Dρ
Dt=
(∂ρ
∂p
)s
Dp
Dt=
1
a2Dp
Dt, (166)
a: velocità del suono.Scegliendo tr = Lr/Vr e pr = ρrV
2r il bilancio di volume specifico
(128) diventaM 2rρ̄ā2
Dp̄
Dt̄+ ∇̄ · V̄ = 0 . (167)
M 2r = V2r /a
2r: numero di Mach di riferimento.
• Mr → 0⇒ ∇̄ · V̄ = 0⇒ flusso incomprimibile.
-
85/289
JJIIJI
Back
Close
Quantità di moto
LrVrtr
∂(ρ̄V̄)
∂t̄+ ∇̄ · (ρ̄V̄V̄) + ∇̄p̄ = µr
ρrVrLr2∇̄ · [µ̄(∇̄ V̄)(s)0 ] +
LrgrV 2r
ρ̄ḡ .
(168)
Str =trVrLr⇒ convezione di V
instazionarieta‘, numero di Strouhal.
Rer =ρrVrLrµr
⇒ convezione di Veffetti viscosi
, numero di Reynolds.
Frr =V 2rLrgr
⇒ convezione di Vgravita‘
, numero di Froude.
1
Str
∂(ρ̄V̄)
∂t̄+ ∇̄ · (ρ̄V̄V̄) + ∇̄p̄ = 1
Rer2∇̄ · [µ̄(∇̄ V̄)(s)0 ] +
1
Frrρ̄ḡ . (169)
Scegliendo pr = ρra2r il termine di pressione diventa
1
M 2r∇̄p̄ che im-
plica un secondo significato a Mr:
-
86/289
JJIIJI
Back
Close
Mr ⇒convezione di V
diffusione reversibile di V.
• Combinando questi numeri caratteristici si possono misurare le
im-portanze relative tra tutti i vari contributi.
-
87/289
JJIIJI
Back
Close
Energia
er = ur = a2r, Ψr = grLr:
ē = ū + M 2rV̄
2
2+M 2rFrr
Ψ̄ . (170)
• Ulteriore significato di M 2r e Frr.Tr = a
2r/cpr, pr = ρra
2r:
1
Str
∂(ρ̄ē)
∂t̄+∇̄·(ρ̄ēV̄) = 1
Per∇̄·(λ̄∇̄T̄ )−∇̄·(p̄V̄)+M
2r
Rer2∇̄·[µ̄(∇̄ V̄)(s)0 ·V̄] .
(171)
Prr =µrcprλr⇒ flusso lavoro viscoso
flusso termico, numero di Prandtl.
Per = RerPrr ⇒convezione di energia
flusso termico, numero di Peclet.
M 2rRer⇒ flusso lavoro viscoso
convezione di energia.
-
88/289
JJIIJI
Back
Close
Cinematica della particella
Traiettoria: luogo delle successive posizioni assunte da una
particelladurante il suo moto, al variare del tempo.
Linea di corrente: curva inviluppo del vettore velocità nella
rappre-sentazione euleriana.
Linea tracciante: luogo delle posizioni assunte, al variare del
tempo,dalle successive particelle che passano per uno stesso
punto.
• In regime instazionario, in generale, traiettorie, linee di
correntee linee traccianti sono diverse.
• In regime stazionario traiettorie, linee di corrente e linee
trac-cianti coincidono.
-
89/289
JJIIJI
Back
Close
Visualizzazione delle linee di corrente intorno ad un profilo
NACA
tramite bolle d’aria, M∞ ≈ 0, Re∞ ≈ 6000.
-
90/289
JJIIJI
Back
Close
Visualizzazione (con tracciante) della formazione del vortice di
distacco
al bordo di uscita di un profilo alare, M∞ ≈ 0, ReS ≈ 1000.
-
91/289
JJIIJI
Back
Close
Deformazione lineare della particella
uQ = uP +∂u
∂x∆x ; (172)
uP∆t + ∆x′ = ∆x + uQ∆t ; (173)
εx =∆x′ −∆x
∆x=∂u
∂x∆t ,
dεxdt
=∂u
∂x. (174)
εx: deformazione lineare (percentuale) nella direzione x;
dεxdt
: velocità di deformazione.
-
92/289
JJIIJI
Back
Close
Velocità angolare di rotazione della particella
α1 =∂v
∂x∆t , α2 = −
∂u
∂y∆t ; (175)
Ωz =1
2
(α1 + α2)
∆t=
1
2
(∂v
∂x− ∂u∂y
). (176)
Ω =1
2(∇× V) , ∇× V = ζ (vorticita‘) . (177)
-
93/289
JJIIJI
Back
Close
Deformazione angolare della particella
γxy =1
2
α + β
∆t=
1
2
(∂v
∂x+∂u
∂y
)= [(∇ V)(s)0 ]xy (178)
• Una particella trasla con velocità V, ruota con velocità
angolare12∇×V, si dilata secondo ∇ ·V e si deforma secondo (∇
V)(s)0 .
• E’ newtoniano un fluido in cui sforzi tangenziali e
deformazionidella particella da essi provocati sono proporzionali
tra loro.
-
94/289
JJIIJI
Back
Close
Aerodinamica dei flussi non dissipativi(ideali)Le equazioni di
Eulero
Ipotesi: Rer →∞, Prr ≈ O(1) (almeno), per cui anche Per →∞.1
Str
∂ρ̄
∂t̄+ ∇̄ · (ρ̄V̄) = 0 ; (179)
1
Str
∂(ρ̄V̄)
∂t̄+ ∇̄ ·
(ρ̄V̄V̄ + p̄U
)=
1
Frrρ̄ḡ ; (180)
1
Str
∂(ρ̄ē)
∂t̄+ ∇̄ ·
[ρ̄
(ē +
p̄
ρ̄
)V̄
]= 0 . (181)
• Scompaiono dalle equazioni tutti i termini che portano a
produzionedi entropia: il fenomeno è non dissipativo; queste
equazioni gov-ernano la dinamica di un fluido (o di un flusso)
ideale.
• Si abbassa l’ordine di derivazione (scompaiono tutte le
derivateseconde): attenzione alle condizioni al contorno.
-
95/289
JJIIJI
Back
Close
• In molte applicazioni aerospaziali Frr � 1, per cui può
esseretrascurato sia il temine di produzione nel bilancio di
quantità dimoto (che pure diventa un’ equazione di conservazione)
sia l’energiapotenziale gravitazionale nel bilancio
dell’energia.
Il teorema di Crocco
Accelerazione della particella:
DV
Dt=∂V
∂t+ V · ∇ V ; (182)
V · ∇ V = ∇(V 2
2
)+ (∇× V)× V ; (183)
relazione di Gibbs:1
ρ∇p = ∇h− T∇s . (184)
Sostituendo queste relazioni nel bilancio di quantità di moto e
de-finendo l’entalpia totale come H = h+V 2/2 + Ψ si ottiene il
teorema
-
96/289
JJIIJI
Back
Close
di Crocco:
∂V
∂t+∇H + (∇× V)× V = T∇s + fd . (185)
fd è la forza dissipativa per unità di massa che agisce sulla
particella.
-
97/289
JJIIJI
Back
Close
Bilancio dell’energia cinetica:
∂
∂t
(V 2
2
)+ V · ∇H = TV · ∇s + V · fd . (186)
Ipotesi:
1. flusso ideale (Re→∞ e Pe→∞);2. regime stazionario.
Il bilancio dell’entropia diventa:
Ds
Dt= V · ∇s = 0 , (187)
in un flusso ideale e stazionario l’entropia è costante lungo
unalinea di corrente (flusso isoentropico).
Il bilancio dell’energia cinetica diventa:
DH
Dt= V · ∇H = 0 , (188)
in un flusso ideale e stazionario l’entalpia totale è costante
lungouna linea di corrente (flusso isoentalpico).
-
98/289
JJIIJI
Back
Close
Il teorema di Bernoulli (generalizzato)
Se l’entropia a monte è uniforme (s = s∞) allora s è costante
in tuttoil campo (flusso omoentropico).
Se l’entalpia totale a monte è uniforme (H = H∞) allora H
ècostante in tutto il campo (flusso omoentalpico).
Il risultato
h +V 2
2+ Ψ = cost (189)
è noto come teorema di Bernoulli (generalizzato).Il teorema di
Crocco per un flusso stazionario ed ideale:
∇H + (∇× V)× V = T∇s (190)
mostra che se il flusso è anche omoentalpico ed
omoentropico:
(∇× V)× V = 0 . (191)
Cioè è verificata una delle seguenti possibilità:
1. ∇× V = 0, il campo è irrotazionale ⇒ ∃ φ | V = ∇φ;2. ∇× V �
V, campo alla Beltrami.
-
99/289
JJIIJI
Back
Close
Il teorema di Bernoulli (incomprimibile)
Relazione di Gibbs:
dh = Tds +1
ρdp . (192)
Sia M → 0⇒ ρ = cost.In un fluido isoentropico, incomprimibile la
relazione di Gibbs di-
venta dh = d(p/ρ), cioè dell’entalpia può variare solo la
parte legataalla pressione, mentre l’energia interna rimane
costante:
in un flusso incomprimibile isoentropico la temperatura non
varia.Il teorema di Bernoulli generalizzato assume allora la
forma
p +1
2ρV 2 + ρΨ = cost . (193)
-
100/289
JJIIJI
Back
Close
Flusso incomprimibile quasi-unidimensionale
Ipotesi:
1. regime stazionario;
2. condotto orizzontale (gravità trascurabile) con deboli
variazionidell’area della sezione;
3. regime incomprimibile;
4. flusso ideale (isoentropico).
V1: velocità media alla sezione di area A1;
p1: pressione media alla sezione di area A1.
Conservazione della massa:
V1A1 = V2A2 . (194)
Teorema di Bernoulli:
p1 +1
2ρV 21 = p2 +
1
2ρV 22 . (195)
-
101/289
JJIIJI
Back
Close
Il teorema di Bernoulli instazionario (generalizzato)
Ipotesi:
1. regime ideale omoentropico;
2. campo di moto irrotazionale.
Dal teorema di Crocco si ricava:
∇(∂ϕ
∂t
)+∇H = 0 ; (196)
integrando:∂ϕ
∂t+ h +
V 2
2+ Ψ = f (t) . (197)
-
102/289
JJIIJI
Back
Close
Equazioni di Eulero in coordinate intrinseche
Flusso 2D, stazionario, ideale; equazioni di Eulero:
∇ · (ρV) = 0 ; (198)ρV · ∇ V +∇p = 0 . (199)
-
103/289
JJIIJI
Back
Close
Coordinate intrinseche ξ = ξ(x, y), n = n(x, y):
ξ : V = V ξ; n : n ⊥ ξ . (200)
ξ = σx cos θ + σy sin θ ; (201)
n = −σx sin θ + σy cos θ . (202)
dξ = (−σx sin θ + σy cos θ)dθ = ndθ ; (203)dn = (−σx cos θ − σy
sin θ)dθ = −ξdθ . (204)
In particolare si ha che∂ξ
∂ξ= ∂θ
∂ξn e
∂ξ
∂n= ∂θ
∂nn.
∇ = ξ ∂∂ξ
+ n∂
∂n. (205)
-
104/289
JJIIJI
Back
Close
Continuità:1
V
∂V
∂ξ+
1
ρ
∂ρ
∂ξ+∂θ
∂n= 0 . (206)
Oppure, applicando il bilancio integrale tra 2 linee di
corrente:
∂(ρV A)
∂ξ= 0 . (207)
Quantità di moto:
ρV∂V
∂ξξ + ρV 2
∂θ
∂ξn +
∂p
∂ξξ +
∂p
∂nn = 0 . (208)
Poichè |∂θ/∂ξ| = |1/R|, dove R è il raggio di curvatura e
proiettandonelle direzioni ξ e n si ottiene:
ρV∂V
∂ξ+∂p
∂ξ= 0 ; (209)
ρV 2
R+∂p
∂n= 0 . (210)
-
105/289
JJIIJI
Back
Close
1. Affinchè la velocità possa variare lungo la linea di
corrente è neces-saria, lungo la stessa una variazione di
pressione di segno opposto.
2. Se la linea di corrente è curva è necessario un gradiente
di pressionenormale per bilanciare la forza centrifuga.
-
106/289
JJIIJI
Back
Close
Circuiti
Un circuito C di una regione V si dice riducibile se può essere
trasfor-mato con continuità in un punto senza abbandonare la
regione, altri-menti il circuito è detto irriducibile.
Una regione V si dice semplicemente connessa se contiene
tutticircuiti riducibili, altrimenti la regione è detta
molteplicemente con-nessa.
Teorema di Stokes: ∫S
n · ζ dS =∮C
V · dl . (211)
• La validità del teorema richiede che V sia regolare in S,
cioè ilcircuito C deve essere riducibile.
• Un importante corollario del teorema di Stokes è che se V è
ir-rotazionale in una regione semplicemente connessa V allora
lecircolazioni di V su qualsiasi circuito di V sono nulle.
-
107/289
JJIIJI
Back
Close
Con degli opportuni tagli una regione molteplicemente connessa
puòsempre essere trasformata in una regione semplicemente connessa
.
• In un dominio reso semplicemente connesso con dei tagli non
èrichiesta la continuità di una grandezza attraverso il
taglio.
Due circuiti sono riconducibili se è possibile trasformare con
continuitàl’uno nell’altro senza abbandonare il dominio.
-
108/289
JJIIJI
Back
Close
I teoremi di Helmholtz
Linea vorticosa: una curva tangente in ogni punto a ζ = ∇×
V.Superficie vorticosa: una superficie con il vettore ζ tangente in
ogni
suo punto.
Tubo vorticoso: L’insieme delle linee vorticose passanti per una
curvachiusa che racchiude un’area finita.
Filetto vorticoso: L’insieme delle linee vorticose passanti per
unacurva chiusa che racchiude un’area infinitesima.
Si definisce intensità di un tubo vorticoso il flusso di ζ
attraversouna sua sezione:
Γ =
∫S
n · ζdS . (212)
I teorema di Helmholtz: l’intensità di un tubo vorticoso è
lastessa in tutte le sue sezioni trasversali.
-
109/289
JJIIJI
Back
Close
La dimostrazione del I teorema di Helmoltz è immediata
applicandoil teorema di Gauss al vettore vorticità nel volume
indicato in figurae tenendo conto della solenoidalità di ζ e della
definizione di tubovorticoso per cui il flusso di ζ sulla
superficie laterale del cilindro ènullo.
• Conseguenze del I teorema di Helmholtz: un tubo vorti-coso o
è chiuso o inizia e finisce su un confine del dominio.
Tubo vorticoso isolato: quando all’esterno del tubo il campo è
irro-tazionale.
-
110/289
JJIIJI
Back
Close
II teorema di Helmholtz: la circolazione presa nello stessosenso
intorno a due qualsiasi circuiti irriducibili e riconciliabiliche
circondino un tubo vorticoso isolato una sola volta è la stessaed
è uguale, in valore assoluto, all’intensità del tubo
vorticoso.
Basta collegare i due circuiti con un taglio per ottenere un
unico cir-cuito riducibile in un campo irrotazionale che avrà
quindi circolazionetotale nulla. Essendo il contributo del taglio
alla circolazione nullo(percorso 2 volte con verso contrario) ed
essendo i due circuiti percorsiin verso opposto ne risulta che la
loro circolazione deve coincidere.
Se si sceglie uno dei due circuiti lungo il tubo vorticoso si
ottieneanche che la circolazione è pari all’intensità del tubo
vorticoso che nonvaria in base al I teorema di Helmholtz.
-
111/289
JJIIJI
Back
Close
Velocità indotta da un vortice isolato
V(P ) =Γ
4π
∫L
k× rr3
dl . (213)
Caso di vortice infinito rettilineo:
V =Γ
2πR; (214)
R: distanza del punto P dal vortice, V giace nel piano
ortogonale alvortice con verso tale che k,R,V è una terna
levogira.
-
112/289
JJIIJI
Back
Close
Il teorema di Kelvin
Γ(t) =
∮Cm
V · dl , (215)
Cm: circuito materiale.
dΓ
dt=
d
dt
(∮Cm
V · dl)
=
∮Cm
D
Dt(V · dl) =∮
Cm
DV
Dt· dl +
∮Cm
V · dV =∮Cm
DV
Dt· dl +
∮Cm
d
(V 2
2
)=∮
Cm
DV
Dt· dl . (216)
Dal bilancio di quantità di moto:
DV
Dt= −∇(h + Ψ) + T∇s + fd ; (217)
-
113/289
JJIIJI
Back
Close
quindi:DΓ
Dt=
∮Cm
T∇s · dl +∮Cm
fd · dl . (218)
Teorema di Kelvin: in un flusso ideale e omoentropico
lacircolazione di un circuito materiale non varia nel tempo.
Corollari
1. Tubi vorticosi, superfici vorticose e filetti vorticosi
sonocostituiti sempre dalle stesse particelle. Si consideri
unarbitrario circuito materiale giacente su una superficie
vorti-cosa, avrà quindi circolazione nulla e per il teorema di
Kelvinla circolazione rimarrà nulla al variare del tempo e data
l’arbitrarietàdella scelta la superficie su cui giace il circuito
continuerà adessere tangente alla vorticità ne segue che essa è
ancora su-perficie vorticosa.
2. L’intensità di un tubo vorticoso non varia con il tempo.È
un’ovvia conseguenza del precedente corollario.
-
114/289
JJIIJI
Back
Close
Flussi incomprimibili ideali
L’equazione di continuità ci assicura che il campo di velocità
di unflusso incomprimibile è solenoidale quindi
∇ · V = 0 (219)
Se il campo è anche irrotazionale in un dominio semplicemente
con-nesso esiste il potenziale cinetico φ : ∇φ = V.
La continuità diventa:∇2φ = 0 (220)
• Il campo di velocità è governato dall’equazione di Laplace
conuna sola incognita!
-
115/289
JJIIJI
Back
Close
Flussi incomprimibili ideali 2DL’equazione di continuità ci
assicura che il campo di velocità di un
flusso incomprimibile è solenoidale quindi
∇ · V = 0 (221)
ed inoltre esiste il potenziale vettore A tale che
V = ∇× A . (222)
La funzione di corrente
Per campi di moto bidimensionali (ci si concentra qui sul caso
piano)deve risultare V3 = 0, che implica in termini di A
(definizione di rotore):
∂A2∂x1− ∂A1∂x2
= 0 ; (223)
soddisfatta per A1 = A2 = 0.
-
116/289
JJIIJI
Back
Close
Si definisce funzione di corrente ψ(r) l’unica componente
diversa dazero del potenziale vettore di un campo
bidimensionale:
ψ(r) = A3 . (224)
In un riferimento cartesiano O(x, y) le componenti (u, v) di V
sonodate da
u =∂ψ
∂y; v = −∂ψ
∂x. (225)
In un riferimento polare O(r, θ) le componenti (Vr, Vθ) di V
sono dateda
Vr =1
r
∂ψ
∂θ; Vθ = −
∂ψ
∂r. (226)
• Un campo di cui è data la funzione di corrente è certamente
solenoidalema non irrotazionale;
irrotazionalità ⇒ ∇2ψ = 0.• Un campo di cui è dato il
potenziale φ è certamente irrotazionale
ma non solenoidale;solenoidalità ⇒ ∇2φ = 0.
-
117/289
JJIIJI
Back
Close
Proprietà della funzione di corrente
1. L’equazione di una linea di corrente è data da
dy
dx=v
u, (227)
in termini di ψ questa relazione diventa:
∂ψ
∂xdx +
∂ψ
∂ydy = dψ = 0 ; (228)
la funzione di corrente è costante lungo una linea di
corrente.
2. Il flusso di V attraverso una curva che congiunge due punti A
eB di versore tangente t = (t1, t2) (quindi versore normale dato
dan = (t2,−t1) è dato da:∫ B
A
V · ndt =∫ BA
∇ψ · dt =∫ BA
dψ = ψ(B)− ψ(A) . (229)
-
118/289
JJIIJI
Back
Close
Il problema matematico
Ipotesi:
1. flusso 2D piano e stazionario ⇒ f = f (x, y);2. ρ = cost ⇒ ∇
· V = 0;3. flusso ideale;
4. corrente uniforme.
-
119/289
JJIIJI
Back
Close
• Le ipotesi ci assicurano che il campo di velocità è
solenoidale (in-comprimibilità) ed irrotazionale (ideale e
corrente uniforme).
• Il problema è governato dall’equazione di continuità
(equazione diLaplace):
∇2φ = 0 . (230)
In coordinate cartesiane:
∂2φ
∂x2+∂2φ
∂y2= 0 . (231)
In coordinate polari:
∂2φ
∂r2+
1
r2∂2φ
∂θ2+
1
r
∂φ
∂r= 0 . (232)
-
120/289
JJIIJI
Back
Close
Condizioni al contorno
1. All’infinito:limr→∞∇φ = V∞ ; (233)
2. sul corpo di equazione nota y = yu(x), y = yl(x):
∇φ · n = 0. (234)
Problema ben posto: esiste una soluzione unica per φ continua
intutto il campo (a meno di una costante inessenziale).
-
121/289
JJIIJI
Back
Close
Il problema in termini di ψ
L’equazione da risolvere è ancora l’equazione di Laplace (con
significatodiverso!). Si impone l’irrotazionalità del campo.
∇2ψ = 0 ; (235)
cambiano le condizioni al contorno. All’infinito deve
verificarsi
limr→∞
∂ψ
∂y= V∞ · cosα , lim
r→∞
∂ψ
∂x= −V∞ · sinα . (236)
Sul corpoψ = cost. (237)
Campo di pressione
Noto il campo delle velocità è possibile determinare il campo
di pres-sione utilizzando il teorema di Bernoulli:
p− p∞ = −1
2ρ(V 2 − V 2∞) . (238)
-
122/289
JJIIJI
Back
Close
Soluzioni elementari dell’equazione di Laplace
Le soluzioni dell’equazione di Laplace vengono dette funzioni
armoniche.Essendo quest’equazione lineare la somma di due funzioni
armonicheè ancora armonica.
• È possibile ottenere soluzioni complesse sommando più
soluzionielementari.
Corrente uniforme
φ = V∞ cosα · x + V∞ sinα · y ; (239)ψ = V∞ cosα · y − V∞ sinα ·
x . (240)
Sorgente (o pozzo)
In coordinate polari:
φ =Q
2πln r ; ψ =
Q
2πθ . (241)
-
123/289
JJIIJI
Back
Close
Doppietta
Si ottiene dalla sovrapposizione al limite di una sorgente e di
un pozzodi intensità uguali ed opposte mantenendo costante il
prodotto k =Q∆l.
φ =k
2π
cos θ
r; ψ = − k
2π
sin θ
r. (242)
-
124/289
JJIIJI
Back
Close
Flusso non portante intorno al cilindro
Si sovrapponga una corrente uniforme parallela all’asse x ad una
doppi-etta con asse parallelo ad x:
ψ = V∞r sin θ −k
2π
sin θ
r= V∞r sin θ
(1− k
2πV∞r2
). (243)
Ponendo R =√k/2πV∞:
ψ = V∞r sin θ
[1−
(R
r
)2]. (244)
r →∞⇒ ψ → V∞r sin θ = ψ∞ . (245)
ψ(R, θ) = 0 . (246)
Abbiamo trovato la soluzione potenziale incomprimibile di una
cor-rente uniforme che investe un cilindro di raggio R.
-
125/289
JJIIJI
Back
Close
Campo di velocità:
Vr =1
r
∂ψ
∂θ= V∞ cos θ
[1−
(R
r
)2]; (247)
Vθ = −∂ψ
∂r= −V∞ sin θ
[1 +
(R
r
)2]. (248)
Punti di ristagno:
V = (0, 0)⇒{P1 = (R, 0)P2 = (R, π)
(249)
Velocità sul corpo:
V (R) = |Vθ(R)| = 2V∞| sin θ| . (250)Velocità massima:
V = 2V∞ ⇒
θA =
π
2
θB =3π
2
(251)
-
126/289
JJIIJI
Back
Close
Prob. n. 16: disegnare le linee di corrente intorno al
cilindro non portante
Esistono fondamentalmente due tecniche:
1. risolvere l’equazione differenziale che le definisce (in
coordinatecartesiane): dy
dx= v
ucon condizione iniziale (x0, y0);
2. disegnare le curve ψ = cost con diversi valori della
costante.
Campo di pressione sul cilindro non portante
Definizione del coefficiente di pressione
Cp =p− p∞12ρ∞V 2∞
. (252)
Caso di flusso incomprimibile governato dal teorema di
Bernoulli:
Cp = 1−(V
V∞
)2. (253)
-
127/289
JJIIJI
Back
Close
Coefficiente di pressione sul cilindro:
Cp(R, θ) = 1− 4 sin2 θ . (254)
La forza aerodinamica (per unità di lunghezza) agente sul
cilindro
f = −12ρV 2∞
∫ 2π0
irCp(R, θ)Rdθ , (255)
ir = (cos θ, sin θ).Portanza (per unità di lunghezza):
l = −12ρV 2∞
∫ 2π0
(1− 4 sin2 θ) sin θRdθ = 0 , (256)
risultato scontato, per la simmetria del campo di moto.
-
128/289
JJIIJI
Back
Close
Resistenza (per unità di lunghezza):
d = −12ρV 2∞
∫ 2π0
(1− 4 sin2 θ) cos θRdθ
= −12ρV 2∞R
[∫ 2π0
cos θdθ − 4∫ 2π
0
sin2 θ cos θdθ
]= 0 . (257)
Incontriamo per la prima volta il Paradosso di D’Alembert:la
resistenza aerodinamica agente su un corpo immerso in unacorrente
bidimensionale ideale è nulla.
-
129/289
JJIIJI
Back
Close
Vortice isolato
In coordinate polari (Γ > 0 verso orario):
φ = − Γ2πθ ; ψ =
Γ
2πln r . (258)
Flusso portante intorno al cilindro
Alla precedente soluzione intorno a cilindro non portante si
aggiunga ilcampo indotto da un vortice isolato posto nell’origine
del riferimento:
ψ = V∞r sin θ
(1− R
2
r2
)+
Γ
2πlnr
R. (259)
Condizioni al contorno soddisfatte:
ψ(R, θ) = 0 ; (260)
r →∞⇒ V→ V∞ . (261)
-
130/289
JJIIJI
Back
Close
Sono stati ottenuti infiniti campi di moto (al variare di Γ)
in-torno al cilindro tutti ugualmente plausibili dal punto di
vistateorico.
Velocità sul corpo:
V =
∣∣∣∣2V∞ sin θ + Γ2πR∣∣∣∣ . (262)
È possibile ottenere nella pratica un campo simile facendo
ruotare ilcilindro ad una velocità angolare Ω = Γ/(2πR2) (Effetto
Magnus).
Circolazione sul cilindro:∮V(R) · dl = Γ . (263)
In termini del potenziale φ:∮∇φ(R) · dl =
∮dφ = Γ⇒ φ discontinuo! (264)
-
131/289
JJIIJI
Back
Close
Il dominio è doppiamente connesso!
∫ BA
∇φ · dl = φ(B)− φ(A) . (265)
φ(B)−φ(A) è costante lungo il taglio (la circolazione lungo il
circuito(ABED) deve essere nulla).
-
132/289
JJIIJI
Back
Close
Campo di velocità:
Vr =1
r
∂ψ
∂θ= V∞ cos θ
[1−
(R
r
)2]; (266)
Vθ = −∂ψ
∂r= −V∞ sin θ
[1 +
(R
r
)2]− Γ
2πr. (267)
Punti di ristagno, |Γ/4πV∞R| ≤ 1:
V = (0, 0)⇒
P1 = (R, θ1), θ1 = arcsin(− Γ
4πV∞R
)IV quadrante
P2 = (R, θ2), θ2 = arcsin(− Γ
4πV∞R
)III quadrante
(268)Punti di ristagno, |Γ/4πV∞R| > 1:
V = (0, 0)⇒
P1 = (r1,−π2), r1 =
Γ4πV∞−√(
Γ4πV∞
)2−R2
P2 = (r2,−π2), r2 =Γ
4πV∞+
√(Γ
4πV∞
)2−R2
(269)
-
133/289
JJIIJI
Back
Close
Linee di corrente e punti di ristagnoal variare della
circolazione sul cilindro.
-
134/289
JJIIJI
Back
Close
Campo di pressione sul cilindro portante
Coefficiente di pressione sul cilindro:
Cp = 1−[
4 sin2 θ +2Γ sin θ
πV∞R+
(Γ
2πV∞R
)2]. (270)
La forza aerodinamica (per unità di lunghezza) agente sul
cilindro
Portanza (per unità di lunghezza):
l = −12ρV 2∞
∫ 2π0
Cp sin θRdθ = ρV∞Γ . (271)
Resistenza (per unità di lunghezza):
d = −12ρV 2∞
∫ 2π0
Cp cos θRdθ = 0 ; (272)
vale ancora il Paradosso di D’Alembert.
-
135/289
JJIIJI
Back
Close
Il teorema di Kutta-Zukovskij
Ipotesi: 2D, ∂∂t
= 0, Re∞ → ∞, Pe∞ → ∞, M∞ = 0, Fr → ∞,∇× V = 0, corpo
impermeabile.
-
136/289
JJIIJI
Back
Close
Forza aerodinamica per unità di lunghezza:
f =
∫Sb
pndS (campo vicino) . (273)
Dal bilancio di q.d.m. integrale:
f = −∫Sfar
pndS −∫Sfar
ρn · V V dS (campo lontano) .(274)
V = V∞ + ∆V, p = p∞ + ∆p . (275)
Sia Sfar → S∞; su Sfar: ∆V → 0, ∆p → 0. Andremo quindi
atrascurare i termini O(∆V 2) e O(∆p2). Dal teorema di
Bernoulli:
∆p =1
2ρ(V 2∞ − V 2) =
1
2ρ(V∞ · V∞ − V · V) ≈ −ρV∞ ·∆V . (276)
Inoltre:
V V = (V∞+ ∆V)(V∞+ ∆V) ≈ V∞V∞+ V∞∆V + ∆V V∞ . (277)
-
137/289
JJIIJI
Back
Close
Quindi, essendo∫Sfar
p∞ndS = 0,∫Sfar
V∞ · ndS = 0:
f = ρ
∫Sfar
[(V∞ ·∆V)n− (n · V∞)∆V − (n ·∆V)V∞] dS . (278)
Dalla conservazione della massa∫Sfar
(n ·∆V)dS = 0, per cui
f = ρ
∫Sfar
[(V∞ ·∆V)n− (n · V∞)∆V] dS . (279)
Identità: c× (a×b) = (b · c)a− (a · c)b. Con a = n, b = ∆V, c =
V∞:
f = ρV∞ ×∫Sfar
n×∆VdS . (280)
Dal teorema di Gauss∫Sfar
n× V∞dS = 0, per cui∫Sfar
n×∆VdS =∫Sfar
n× VdS . (281)
Inoltre, essendo n = (−t2, t1):
n× V = −V · t k (282)
-
138/289
JJIIJI
Back
Close
per cui:in un flusso stazionario, subsonico, bidimensionale
generato da
una corrente uniforme ideale che investe un corpo
impermeabile,la forza aerodinamica è data da:
f = ρV∞ × Γ . (283)
1. La resistenza è nulla (Paradosso di D’Alembert).
2. La portanza è proporzionale alla circolazione intorno al
corpo (Γ >0 se oraria).
-
139/289
JJIIJI
Back
Close
La condizione di Kutta
Cos̀ı come per il cilindro anche per un corpo arbitrario immerso
in unacorrente ideale è possibile ottenere infinite soluzioni
potenziali variandola circolazione Γ intorno al corpo.
È possibile selezionare tra queste infinite soluzioni quella
che haun reale significato fisico?
La risposta è affermativa per i corpi caratterizzati da un
bordod’uscita aguzzo o cuspidato.
bordo d’uscita aguzzo, bordo d’uscita a cuspide
-
140/289
JJIIJI
Back
Close
fisicamente impossibile, fisicamente possibile
Condizione di Kutta:la velocità al bordo di ucita è continua;
in particolare è nulla perbordi aguzzi e finita per bordi a
cuspide.
-
141/289
JJIIJI
Back
Close
Tra gli infiniti valori della circolazione Γ deve essere scelto
l’unicoche consente di soddisfare la condizione di Kutta.
Risulta univocamente determinato il campo di moto intorno
alprofilo e la corrispondente portanza individuata dal teorema
diKutta-Zukovskij.
Genesi della circolazione e della portanza
Si consideri un campo fluido in quiete intorno ad un profilo
alare.
• V = 0⇒ Γ = 0 intorno a qualsiasi circuito materiale, in
particolarerispetto ad un circuito lontano dal profilo e che lo
racchiude.
• Quando il profilo comincia a muoversi, per il teorema di
Kelvin, lacircolazione intorno al circuito materiale deve rimanere
nulla.
Come è possibile allora che si generi circolazione e quindi
portanzasul profilo che si mette in moto rispetto al fluido?
-
142/289
JJIIJI
Back
Close
Γ = Γ1 − Γ2 = 0⇒ Γ2 = Γ1 . (284)Il vortice che si stacca
all’avvio dal bordo di uscita compensa lacircolazione che si genera
intorno al profilo.
-
143/289
JJIIJI
Back
Close
Distribuzione lineare di vorticità
Potenziale indotto da una distribuzione lineare di
vorticità:
ϕ(x, y) = − 12π
∫ c0
γ(ξ) arctany
x− ξdξ . (285)
Componenti di velocità cartesiane indotte dalla distribuzione
linearedi vorticità nel punto P (x, y):
u =1
2π
∫ c0
γ(ξ)ydξ
(x− ξ)2 + y2, v = − 1
2π
∫ c0
γ(ξ)(x− ξ)dξ(x− ξ)2 + y2
.(286)
-
144/289
JJIIJI
Back
Close
Lungo il segmento (0, c) il campo di velocità è
discontinuo.
lim∆n→0
∮V · dl = (u+ − u−)dξ = γdξ ⇒ γ = u+ − u− . (287)
Per simmetria (il campo non può cambiare se capovolgiamo la
figura):
u+ = u(x, 0+) = −u− = −u(x, 0−) = γ2. (288)
-
145/289
JJIIJI
Back
Close
Teoria di Glauert del profilo infinitamente sottile a
piccoli
angoli di attacco
Ipotesi:
1. si assegna un profilo infinitamente sottile di equazione y =
C(x);
2. la curvatura del profilo è piccola: |C(x)|/c� 1 e |C ′(x)| �
1;3. il profilo è immerso in una corrente ideale, stazionaria,
incomprim-
ibile ad un piccolo angolo di attacco |α| � 1.
Bisogna risolvere il problema di Laplace con le condizioni al
contornodi corpo linea di corrente e corrente uniforme
all’infinito. L’eventualecircolazione deve essere tale da
soddisfare la condizione di Kutta.
-
146/289
JJIIJI
Back
Close
Si pongaφ(x, y) = φ∞(x, y) + ϕ(x, y) , (289)
dove φ∞ è il potenziale della corrente asintotica uniforme e ϕ
è dettopotenziale di disturbo.
Glauert ha trovato la soluzione esprimendo ϕ come il potenziale
diuna distribuzione lineare di vorticità lungo la corda del
profilo:
ϕ(x, y) = − 12π
∫ c0
γ(ξ) arctany
x− ξdξ . (290)
• Questa funzione è certamente armonica per cui, con le
posizionifatte, l’equazione di Laplace è risolta.
• La condizione al contorno all’infinito è certamente
soddisfatta inquanto il campo indotto all’infinito dalla
distribuzione lineare divorticità è nullo.
• Deve solo essere verificata la condizione di corpo
impermeabile.• Essendo il disturbo piccolo rispetto alla corrente
uniforme si trascur-
eranno termini quadratici del disturbo (del II ordine).
-
147/289
JJIIJI
Back
Close
|α| � 1⇒ φ∞ ≈ V∞x + V∞αy . (291)Per le ipotesi fatte sulla
piccolezza sia di α che di C(x) il disturbo in-
trodotto dal profilo sulla corrente è piccolo, cioè la
velocità di disturboindotta dalla distribuzione di vorticità è
piccola rispetto alla velocitàasintotica:
|u| � V∞ , |v| � V∞ . (292)|C(x)|/c� 1 per cui la condizione al
contorno sul dorso e sul ventre
del profilo può essere imposta, con errore trascurabile,
direttamentelungo la corda del profilo:
∀x ∈ (0, c) : V∞α + v(x, 0±)
V∞ + u(x, 0±)= C ′(x) . (293)
(x, 0+) indica un punto del dorso del profilo, mentre (x, 0−) un
puntodel ventre. Si ottiene:
∀x ∈ (0, c) : V∞α + v(x, 0±) = C ′(x)V∞ + C ′(x)u(x, 0±) .
(294)
L’ultimo termine (del II ordine) può essere trascurato rispetto
aglialtri.
-
148/289
JJIIJI
Back
Close
La condizione sul corpo diventa:
∀x ∈ (0, c) : α + v(x, 0±)
V∞= C ′(x) . (295)
In termini della distribuzione di vorticità:
∀x ∈ (0, c) : α− 12πV∞
∫ c0
γ(ξ)dξ
x− ξ= C ′(x) . (296)
Per determinare l’incognita γ(ξ) occorre risolvere questa
equazioneintegrale.
• In questo caso la condizione di Kutta è γ(c) = 0.
-
149/289
JJIIJI
Back
Close
Trasformazione di Glauert:
ξ =c
2(1− cos θ0) , dξ = c2 sin θ0dθ0 ; x =
c
2(1− cos θ) . (297)
Si assume che C ′(x) sia sviluppabile in serie di Fourier
rispetto a θ:
C ′(x) =∞∑n=0
An cos(nθ) ; (298)
dove
A0 =1
π
∫ π0
C ′(x)dθ , n ≥ 1 : An =2
π
∫ π0
C ′(x) cos(nθ)dθ. (299)
-
150/289
JJIIJI
Back
Close
La soluzione del problema è:
γ(θ) = 2V∞
[(α− A0) cot
θ
2+
∞∑n=1
An sin(nθ)
]. (300)
Prob. n. 17 (facoltativo): verificare che la relazione (300)
è soluzione dell’equazione integrale (296)
Integrale di Glauert:∫ π0
cos(nθ0)
cos θ0 − cos θdθ0 = π
sin(nθ)
sin θ∀n = 0, 1, 2, . . . (301)
(si ricorda inoltre che, dalle formule di prostaferesi, sin(nθ0)
sin θ0 =12
cos[(n− 1)θ0]− 12 cos[(n + 1)θ0]).• Bisogna verificare che
∀x ∈ (0, c) : 12πV∞
∫ c0
γ(ξ)dξ
x− ξ= α− C ′(x) . (302)
-
151/289
JJIIJI
Back
Close
Lastra piana ad incidenza
La soluzione è (C(x) = C ′(x) = 0):
γ(θ) = 2V∞α cotθ
2= 2V∞α
√1− x/cx/c
. (303)
VerificaDeve essere soddisfatta l’equazione integrale:
∀x ∈ (0, c) : 12πV∞
∫ c0
γ(ξ)dξ
x− ξ= α . (304)
1
2πV∞
∫ c0
γ(ξ)dξ
x− ξ=
α
π
∫ π0
cotθ02
sin θ0cos θ0 − cos θ
dθ0
=α
π
∫ π0
1 + cos θ0cos θ0 − cos θ
dθ0 = α . (305)
C.V.D.
-
152/289
JJIIJI
Back
Close
Il campo di pressione(V
V∞
)2=
(1 +
u
V∞
)2+
(α +
v
V∞
)2≈ 1 + 2 u
V∞, (306)
trascurando, al solito, i termini del II ordine.
Cp = 1−(V
V∞
)2= −2 u
V∞. (307)
Un’attenta analisi della soluzione del problema di Glauert γ(θ)
mettein luce che:
γ(θ) = γα(θ) + γC(θ) , (308)
γα(θ): soluzione del caso lastra piana ad incidenza α;
γC(θ): soluzione del caso linea media ad incidenza nulla.
Data la linearità del problema lo stesso risultato è valido
per u, v eCp:
u(x, y) = uα + uC , v(x, y) = vα + vC ; (309)
Cp(x, y) = Cpα + CpC . (310)
-
153/289
JJIIJI
Back
Close
Nelle ipotesi di piccoli disturbi (profilo infinitamente sottile
con pic-cola curvatura ed a bassa incidenza) è valido il principio
di sovrap-posizione degli effetti: il campo di moto è ottenibile
per sovrappo-sizione delle soluzioni lastra piana ad incidenza e
linea media adincidenza nulla.
-
154/289
JJIIJI
Back
Close
Analisi della soluzione lastra piana
u
V∞(x, 0±) = ±γ(x)
2V∞= ±α
√1− x/cx/c
; (311)
Cp(x, 0±) = −2 u
V∞(x, 0±) = ∓γ(x)
V∞= ∓2α
√1− x/cx/c
. (312)
Coefficiente di pressione su una lastra piana a α = 50;
soluzione di Glauert.
-
155/289
JJIIJI
Back
Close
• Al bordo di attacco la soluzione è singolare (dove il
disturbo inrealtà non è piccolo).
• Al bordo d’uscita Cp = 0 (condizione di Kutta verificata).
I coefficienti di forza aerodinamica
n: componente della forza aerodinamica (per unità di lunghezza)
iny (forza normale); n = Cn
12ρ∞V
2∞c;
a: componente della forza aerodinamica (per unità di lunghezza)
inx (forza assiale); a = Ca
12ρ∞V
2∞c;
s: ascissa curvilinea lungo il profilo C(x) (dx = cos δds).
-
156/289
JJIIJI
Back
Close
Relazione con portanza e resistenza:
l = n cosα− a sinα , (313)d = n sinα + a cosα . (314)
Definizione di carico lungo il profilo:
∆Cp(x) = Cp(x, o−)− Cp(x, o+) = 2
γ(x)
V∞. (315)
Coefficiente di forza normale:
Cn =
∫ TELE
∆Cp(x) cos δ d
(s
c
)=
∫ 10
∆Cp(x) d
(x
c
). (316)
-
157/289
JJIIJI
Back
Close
• Il contributo della forza assiale alla portanza è del II
ordine e puòessere trascurato.
Cl ≈ Cn cosα ≈ Cn = 2∫ 1
0
γ(x)
V∞d
(x
c
)=
2Γ
V∞c; (317)
l =2Γ
V∞c
1
2ρ∞V
2∞c = ρ∞V∞Γ . (318)
• Il teorema di Kutta-Zukovskij è verificato.
Cl ≈ 2∫ 1
0
γ(x)
V∞d
(x
c
)= 4
{∫ π0
[(α− A0) cot
θ
2+
∞∑1
An sin(nθ)
]1
2sin θdθ
}
= 4
[(α− A0)
∫ π0
cos2θ
2dθ +
1
2
∞∑1
An
∫ π0
sin(nθ) sin θdθ
](319)
-
158/289
JJIIJI
Back
Close
∫ π0
cos2θ
2dθ =
π
2;∫ π
0
sin(nθ) sin θdθ =
{π2n = 1
0 n > 1
Cl ≈ 4[(α− A0)
π
2+π
4A1
]= 2π
(α− A0 +
A12
)(320)
Cl ≈ Clα (α− αzl) (321)
• Per profili sottili a piccoli angoli d’attacco la curva Cl =
Cl(α) èuna retta.
• Clα = 2π è il coefficiente angolare della retta di portanza
ed èindipendente dal profilo.
• αzl = A0 − A1/2 è l’angolo di portanza nulla, dipende solo
dallacurvatura del profilo ed è proporzionale ad essa.
-
159/289
JJIIJI
Back
Close
In modo analogo si calcola il momento di beccheggio (per unità
dilunghezza) rispetto al bordo di attacco (positivo se cabrante) ed
ilrelativo coefficiente:
mle = Cmle1
2ρ∞V
2∞c
2 . (322)
Cmle = −∫ TELE
∆Cp(x) cos δx
cd
(s
c
)= −
∫ 10
∆Cp(x)x
cd
(x
c
)= −2
∫ 10
γ(x)x
cd
(x
c
)=π
4(A2 − A1)−
Cl4. (323)
Il centro di pressione è il punto di applicazione della
risultantedelle forze aerodinamiche:
− Clxcpc
= Cmle ⇒xcpc
= −CmleCl
. (324)
-
160/289
JJIIJI
Back
Close
Il punto rispetto al quale il momento di beccheggio è
indipendentedall’angolo di attacco si chiama fuoco.
Cmc/4 = Cmle +Cl4
= −π4
(A1 − A2) . (325)
• Nei profili sottili a piccole incidenze il fuoco è posto a x
= c/4.
-
161/289
JJIIJI
Back
Close
Le forze aerodinamiche nel caso di lastra piana
• αzl = 0;• Cl = 2πα;• Cmle = −Cl/4;• xcp = c/4;• Cmc/4 = 0.
-
162/289
JJIIJI
Back
Close
• Re∞ � 1, M∞ � 1;• esiste un ampio intervallo
degli angoli di attacco incui i risultati della teoria diGlauert
sono in ottimo ac-cordo con i dati sperimentali.
• Clα = 2π;• αzl può essere facilmente cal-
colato nota la linea media;
• Cmc/4 può essere facilmentecalcolato nota la linea media.
-
163/289
JJIIJI
Back
Close
Il profilo sottile simmetrico a incidenza nulla
Equazione del profilo:y = ±T (x) , (326)
T (x)� 1, +: dorso, −: ventre.
φ(x, y) = V∞x + ϕ(x, y) ; (327)
ϕ(x, y) =1
2π
∫ c0
σ(ξ) ln√
(x− ξ)2 + y2 dξ , (328)
Il potenziale del disturbo è dato da una distribuzione lineare
di sorgentilungo la corda di intensità
σ(x) = 2V∞T′(x) . (329)
-
164/289
JJIIJI
Back
Close
Come nel caso linea media ad incidenza, occorre verificare che
lacondizione al contorno sul corpo sia verificata (imposta lungo la
corda):
∀x ∈ (0, c) : vV∞
(x, 0±) = ±T ′(x) . (330)
Poichè i campi indotti da un vortice e da una sorgente sono
ortogonalirisulta3:
v(x, 0±) = ±σ(x)2
; (331)
con σ(x) = 2V∞T′(x) la condizione (330) è ovviamente
soddisfatta.
• Il campo di moto è singolare al bordo d’attacco (dove il
disturbo ègrande).
• ∆Cp(x) = 0, Cl = 0 e Cmle = 0.• Campi di moto non portanti
possono essere descritti con distribuzioni
di sorgenti e pozzi.