Universidade Federal de Sergipe Departamento de Física · Pêndulo simples X pêndulo duplo

Caos, uma introdução

Dr. Emerson Luis de Santa Helena

Universidade Federal de Sergipe

Departamento de Física

Oscilações simples

Pêndulo Simples

http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(derivations)

0sin

sin

sin

sin

2

2

2

2

2

2

2

2

l

g

dt

d

gdt

dl

dt

dl

dt

sda

dt

dl

dt

dsv

ls

ga

mamgF

maF

Solução aproximada

g

lT

l

g

tdt

sdta

tdt

dstv

tsts m

2,

)cos()(

)sin()(

)cos()(

sin

2

2

2

Espaço de fase

Pêndulo com atrito

Pêndulo sem atrito

)cos()(

02

2

tests

l

g

dt

d

dt

d

yt

m

02

2

l

g

dt

d

Não Linearidade

...2

sin42

31

2sin

2

112

...!7!5!3

sin

0sin

04

2

02

2

753

2

2

g

lT

l

g

dt

d

Onde entra o caos?

A não linearidade é suficiente?

VAI CHOVER HOJE?

Previsão do tempo

Lorenz e a previsão do tempo

Globo ideal

Leis de Newton - 12 equações

pequenos erros num modelo determinista

1961 – o atalho e a divergência !!!

Válvula queimada?

Pequenos erros eram catastróficos.

Sensibilidade a CIS

Sistema não linear- Equações

de Lorenz Temperatura,velocidade e dT/dh

dx/dt = -a x + a y

dy/dt = b x –y –x z

dz/dt = -c z + x y

a=10, b=28 , c=8/3

CIs: x0 = 10 e x0 = 10,01 EU POSSO RESOLVER ANALITICAMENTE!!!!!!

Sensibilidade as CIs

Efeito borboleta

Imprevisibilidade

Meteorologia - Lorenz

Economia

População de animais – mapa logístico

Epidemias

Dinâmica de fluidos

Geomagnetismo - Rikitake

A descoberta de Lorenz

Willem Malkus

“Ed, nós sabemos, sabemos muito bem, que

a convecção dos fluidos não se comporta

assim.”

Artigo de Lorenz: Fluxo Determinista Não-

periódico:

1/ano - 1960

100/ano - 1980

Tipos de atratores

Atratores

Ponto

Periódico

Estranhos

The web of life – Fritjof Capra

Poincaré e as pegadas do caos

Topologia – estudo das propriedades de objetos

que são preservados depois de deformações

Cubo pode virar um cone

Xícara pode virar um torus

Topologia aplicada ao problema de três corpos.

The web of life – Fritjof Capra

Erro de Smale

Comportamento irregular não pode ser

estável !

Existe caos e estabilidade

independentemente do ruído

Expoente de Lyapunov

http://www.efg2.com/Lab/FractalsAndChaos/Lyapunov.htm

0Z

)(tZ

Expoente de Lyapunov-l

http://www.efg2.com/Lab/FractalsAndChaos/Lyapunov.htm

Tipo de movimento Expoente

Ponto fixo l<0

Ciclo limite l=0

Caos 0l

Ruído l=

0)( ZetZ t l

Pêndulo simples X pêndulo

duplo http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egs

antana/oscilaciones/pendulo_doble/pendul

o_doble.htm

Pêndulo simples X

pêndulo duplo

Lab.jar

Pêndulo duplo

Mapa Logístico

P – População

r – aumento e queda

da população

40

10

)(

)1(

)(

2

1

1

max

max1

r

X

XXrX

XXrX

P

PX

PPPrP

nnn

nnn

nnn

http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/Logits/

Fractal : mapa de Henon

http://ibiblio.org/e-notes/Chaos/strange.htm

261.1

42.1

3.

4.1

1

1

2

1

H

C

nn

nnn

d

d

b

a

bxy

axyx

Autosimilaridade

http://math.bu.edu/DYSYS/applets/M-

setIteration.html

Fractal na natureza

Rios

Montanhas

Linha costeira

Relâmpagos

Folhas

Crescimento de

bactérias

http://classes.yale.edu/fractals/panorama/nature/natfracgallery/natfracgallery.html

http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Biology/Bacteria/Bacteria.html

Exemplo: Um biólogo constata

que uma população de animais

varia aleatoriamente. Quantas

são as variáveis responsáveis

por este comportamento?

3 = caos

1000 = aleatório

Como tratar problema?

O que fazer?

Diante da evolução temporal,

como saber se é aleatório ou

caos?

Atrator de lorenz

Variáveis Z e Y

Software molellus

Técnicas de imersão

Quando temos apenas x(t), o que fazer?

v=dx/dt – ruído

Como resolver ?

Pêndulo oscilante

x(t)= sin( t+), v(t)=cos( t+)

=2 / T

sin( t +/2) = cos( t)

Atrazo de ¼ ciclo na posição

Takens

Posição – x(t)

Variável 1 – x(t+t)

Variável 2 – x(t+2 t)

Variável 3 – x(t+ 3 t) ..........

Como determinar t ?

Como determinar dimensão D do atrator?

E o expoente de Lyapunov

Boa imersão

t pequeno comparado com escala de

tempo interna, alta correlação

t grande, baixa correlação (zero)

Calcular o primeiro zero da autocorrelação

xi+l xi/s2

Dimensão fractal

onde se

e se

N

i

N

ij

ji xxNN

C1 1

|)|()1(

2)(

),(limlim

ln

),(ln),(

0

NdD

NCNd

N

0)( x 0x

1)( x 0x

Aplicação-Eletrocardiograma

fetal

Annals of Biomedical Engineering, Vol. 30, pp. 1140–1151, 2002

Nonlinear Time series analysis, Kants and Schreiber

Introdução ao Caos

Dr. Emerson Luis de Santa Helena

Universidade Federal de Sergipe

Departamento de Física