Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 1 de 15 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE ALAGOAS – UNEAL Campus II – Santana do Ipanema CURSO: Zootecnia DISCIPLINA: Bioestatística Professor: Wellyngton Chaves Monteiro da Silva EXPERIMENTAÇÃO É um modo de comprovar uma hipótese a partir de uma observação. É a aplicação dos procedimentos estatísticos para o teste de uma hipótese específica. Alguns conceitos básicos são necessários: Experimento ou ensaio – é um trabalho planejado e realizado com o propósito de comparar os efeitos de dois ou mais tratamentos sobre qualquer atributo de plantas, animais, minerais etc. Variáveis – são classificadas em dois tipos: 1) Variável independente (fatores) – são aquelas variáveis que explicam a variável dependente, cujos efeitos queremos medir: método de ensino, grupo sanguíneo, dosagem de uma droga, variedade, época de plantio, época de colheita, raça de bovino, tipo de ração etc. 2) Variável dependente (variável resposta) – mede o fenômeno que se estuda e que se quer estudar: nota dos alunos, nível de açúcar no sangue, quantidade de cobaias vivas, produção, altura da planta, número de insetos, peso da cria, ganho de peso, etc. Portanto, fatores são as variáveis independentes que desejamos estudar. Elas influenciam no resultado das variáveis dependentes , mas não são por elas influenciadas. Tratamentos – são os níveis ou combinação dos níveis dos fatores. Indica o que está em comparação. Exemplos: - Níveis do fator ‘grupo sanguíneo’: A, B e O. Portanto, temos um fator (grupo sanguíneo) com três níveis de tratamento. - Níveis do fator ‘raça de suíno’: Duroc, Landrace, Large White e Wessex. Portanto, temos um fator (raça de suíno) com quatro níveis de tratamento. - Níveis dos fatores ‘raça de suíno’ e ‘sexo’; raça de suíno: Duroc, Landrace e Wessex; sexo: macho e fêmea. Portanto, temos dois fatores (‘raça de suíno’ e ‘sexo’), com três níveis para ‘raça de suíno’ e dois níveis para ‘sexo’. Neste caso, os tratamentos são seis, que resultam da combinação dos níveis dos fatores envolvidos (3 raças x 2 sexos): Duroc macho, Duroc fêmea, Landrace macho, Landrace fêmea, Wessex macho, Wessex fêmea. Unidade experimental (também conhecida como parcela) – é a área ou número de indivíduos em que ou onde aplicamos o tratamento. Designa a unidade pesquisada. Exemplos: - Sala de aula um grupo de 30 estudantes. - Laboratório uma placa de Petri; um tubo de ensaio. - Feijão, amendoim, milho, arroz, soja, etc. 20 a 40 m 2 . - Café, laranja, limão, caju, cajá, manga, etc. 1 a 4 covas. - Aves 10 a 15 pintos. - Bovino 1 animal. - Suínos 1 a 3 animais. Observação: quando necessário, a área útil corresponde a da parcela menos a bordadura. Repetição – é o número de vezes que o tratamento aparece no experimento. Usualmente temos de 4 a 10 repetições. Mas quanto mais homogêneo é o material experimental, menor é o número necessário de repetições. Princípios básicos da experimentação Existem três princípios básicos importantes e que são inerentes a todos os delineamentos experimentais: a) Repetição: A repetição significa que um tratamento é repetido duas ou mais vezes. Sua função é permitir que se faça estimativa do erro experimental e do efeito dos tratamentos. Sem repetição não se pode ter uma estimativa do erro experimental. O número de repetições necessárias depende da magnitude das diferenças que se deseja detectar e da variabilidade dos dados a serem obtidos. b) Casualização (randomização): A casualização é a aplicação dos tratamentos às unidades experimentais de modo que todas as unidades tenham igual chance de receber um determinado tratamento, o que pode ser conseguido facilmente através de sorteio na disposição dos tratamentos nas parcelas. Sua função é assegurar estimativas não tendenciosas do erro experimental e do efeito dos tratamentos, ou seja, este princípio evita que um determinado tratamento seja sistematicamente favorecido ou desfavorecido nas sucessivas repetições de um experimento. c) Controle Local: Este princípio de experimentação permite que se imponham restrições na casualização a fim de se reduzir o erro experimental. Ocorre quando utilizamos a formação de blocos (área física, operador, professor, laboratorista, período etc.) que contém todos os tratamentos.
20
Embed
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE ALAGOAS UNEAL Campus II …€¦ · É o mais simples de todos os delineamentos experimentais, sendo considerado o delineamento estatístico básico, onde
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 1 de 15
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE ALAGOAS – UNEAL
Campus II – Santana do Ipanema
CURSO: Zootecnia
DISCIPLINA: Bioestatística
Professor: Wellyngton Chaves Monteiro da Silva
EXPERIMENTAÇÃO
É um modo de comprovar uma hipótese a partir de uma observação. É a aplicação dos procedimentos
estatísticos para o teste de uma hipótese específica.
Alguns conceitos básicos são necessários:
Experimento ou ensaio – é um trabalho planejado e realizado com o propósito de comparar os efeitos
de dois ou mais tratamentos sobre qualquer atributo de plantas, animais, minerais etc.
Variáveis – são classificadas em dois tipos:
1) Variável independente (fatores) – são aquelas variáveis que explicam a variável dependente, cujos
efeitos queremos medir: método de ensino, grupo sanguíneo, dosagem de uma droga, variedade,
época de plantio, época de colheita, raça de bovino, tipo de ração etc.
2) Variável dependente (variável resposta) – mede o fenômeno que se estuda e que se quer estudar:
nota dos alunos, nível de açúcar no sangue, quantidade de cobaias vivas, produção, altura da planta,
número de insetos, peso da cria, ganho de peso, etc.
Portanto, fatores são as variáveis independentes que desejamos estudar. Elas influenciam no
resultado das variáveis dependentes, mas não são por elas influenciadas.
Tratamentos – são os níveis ou combinação dos níveis dos fatores. Indica o que está em comparação.
Exemplos:
- Níveis do fator ‘grupo sanguíneo’: A, B e O.
Portanto, temos um fator (grupo sanguíneo) com três níveis de tratamento.
- Níveis do fator ‘raça de suíno’: Duroc, Landrace, Large White e Wessex.
Portanto, temos um fator (raça de suíno) com quatro níveis de tratamento.
- Níveis dos fatores ‘raça de suíno’ e ‘sexo’; raça de suíno: Duroc, Landrace e Wessex; sexo: macho e
fêmea.
Portanto, temos dois fatores (‘raça de suíno’ e ‘sexo’), com três níveis para ‘raça de suíno’ e dois
níveis para ‘sexo’. Neste caso, os tratamentos são seis, que resultam da combinação dos níveis dos
Unidade experimental (também conhecida como parcela) – é a área ou número de indivíduos em que
ou onde aplicamos o tratamento. Designa a unidade pesquisada. Exemplos:
- Sala de aula um grupo de 30 estudantes.
- Laboratório uma placa de Petri; um tubo de ensaio.
- Feijão, amendoim, milho, arroz, soja, etc. 20 a 40 m2.
- Café, laranja, limão, caju, cajá, manga, etc. 1 a 4 covas.
- Aves 10 a 15 pintos.
- Bovino 1 animal.
- Suínos 1 a 3 animais.
Observação: quando necessário, a área útil corresponde a da parcela menos a bordadura.
Repetição – é o número de vezes que o tratamento aparece no experimento. Usualmente temos de 4 a
10 repetições. Mas quanto mais homogêneo é o material experimental, menor é o número necessário de
repetições.
Princípios básicos da experimentação
Existem três princípios básicos importantes e que são inerentes a todos os delineamentos experimentais:
a) Repetição: A repetição significa que um tratamento é repetido duas ou mais vezes. Sua função é permitir
que se faça estimativa do erro experimental e do efeito dos tratamentos. Sem repetição não se pode ter uma
estimativa do erro experimental. O número de repetições necessárias depende da magnitude das diferenças
que se deseja detectar e da variabilidade dos dados a serem obtidos.
b) Casualização (randomização): A casualização é a aplicação dos tratamentos às unidades experimentais de
modo que todas as unidades tenham igual chance de receber um determinado tratamento, o que pode ser
conseguido facilmente através de sorteio na disposição dos tratamentos nas parcelas. Sua função é assegurar
estimativas não tendenciosas do erro experimental e do efeito dos tratamentos, ou seja, este princípio evita
que um determinado tratamento seja sistematicamente favorecido ou desfavorecido nas sucessivas
repetições de um experimento.
c) Controle Local: Este princípio de experimentação permite que se imponham restrições na casualização a
fim de se reduzir o erro experimental. Ocorre quando utilizamos a formação de blocos (área física, operador,
professor, laboratorista, período etc.) que contém todos os tratamentos.
Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 2 de 15
Delineamentos
Chama-se delineamento experimental, o modo de se dispor as parcelas no experimento. E dentre os
diversos tipos, os mais comumente utilizados são:
a) Delineamento inteiramente casualizado;
b) Delineamento em blocos ao acaso;
c) Delineamento em quadrado latino.
O delineamento experimental diz respeito diretamente à maneira como os tratamentos devem ser
aplicados, as observações devem ser feitas e os dados coletados e analisados.
O objetivo do delineamento é controlar as fontes de variação que afetam os dados, assegurar ao
pesquisador que elas sejam relevantes para a sua hipótese e que sejam obtidas da forma mais econômica
possível.
DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO
É o mais simples de todos os delineamentos experimentais, sendo considerado o delineamento
estatístico básico, onde os demais seriam modificações deste. Este tipo de delineamento leva em consideração
apenas os princípios da repetição e da casualização, o que faz com que os tratamentos sejam distribuídos nas
parcelas de forma totalmente aleatória. Para tal, espera-se que o ambiente onde os experimentos serão
conduzidos seja o mais uniforme possível, como nos ensaios de laboratório, casa-de-vegetação, viveiro, estábulo,
entre outros. Nestes locais as condições ambientais podem ser facilmente controladas pelo pesquisador.
Em um ensaio, cada tratamento deve ser aplicado a pelo menos duas parcelas, ou seja, deve haver
repetição, que é um dos preceitos básicos da experimentação. Assim, por exemplo, em um ensaio onde temos 4
tratamentos, que poderiam ser 4 procedimentos laboratoriais ou 4 variedades de milho para forragem, e que
vamos designar por A, B, C e D; neste caso, podemos ter 6 ou mais repetições, sendo que pelo menos devemos
ter duas. Se no experimento citado tivermos 6 repetições, então disporemos de 24 parcelas (4 tratamentos x 6
repetições).
Além da repetição, devemos proceder à casualização, ou seja, devemos realizar um sorteio para
proporcionar condições de igualdade na distribuição desses tratamentos nas parcelas, sem privilegiar nenhum em
detrimento de outro. Assim, para efeito meramente didático, consideremos que temos um ensaio com 4
procedimentos laboratoriais (ou 4 variedades de milho para forragem) com 2 repetições, e que ao sortear os
tratamentos eles ficaram assim distribuídos:
C B D B D A C A
Temos então um experimento no delineamento inteiramente casualizado, pois a casualização foi feita
sem nenhuma restrição.
DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS
O delineamento em blocos casualizados leva em consideração os três princípios básicos da
experimentação: a repetição, a casualização e o controle local. Em virtude disso, constitui-se no delineamento
estatístico mais utilizado na pesquisa agronômica, aliado à sua simplicidade, flexibilidade e alta precisão.
Nos ensaios da área agropecuária, geralmente existe algum elemento que produz efeito sobre os
resultados dos tratamentos. Quando esse efeito é conhecido e controlável, efetuamos o controle local,
subdividindo o material experimental em blocos homogêneos, para eliminar esse efeito da comparação entre os
tratamentos. Esses blocos devem conter todos os tratamentos, distribuídos de forma aleatória, podendo ser: área
física, período, operador, máquina, local, entre outros. Nos experimentos zootécnicos, por exemplo, cada bloco
seria composto por animais de características semelhantes, como animais de mesma raça, mesma idade, mesmo
peso, entre outras.
Entretanto, embora cada bloco deva ser o mais uniforme possível, eles poderão diferir bastante uns dos
outros. No caso de um experimento em que testamos o desenvolvimento de suínos em uma creche, alimentados
com três rações diferentes, podemos considerar como um bloco, um dos lados que recebe a ação direta do sol, e
o outro bloco seria o lado que não recebe a ação direta do sol. Cada bloco seria, portanto, dividido em três para
receber, cada um, uma das três rações citadas. As parcelas, neste caso, poderiam ser as baias, ou mesmo um certo
número de animais (4 animais, por exemplo). Suponhamos que a distribuição aleatória das parcelas tenha ficado
assim distribuída:
BLOCO 1: A C B
BLOCO 2: B C A
Temos então um experimento no delineamento em blocos ao acaso, pois a casualização foi feita com as
restrições estabelecidas pelo local.
Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 3 de 15
Outro exemplo, bastante típico, é o dos julgadores de animais de exposição, onde julgador=bloco.
Entre os julgadores, ou seja, entre os blocos, devem existir diferenças marcantes, mas dentro dos blocos isso não
pode ocorrer, os efeitos devem ser homogêneos.
Pelo exposto, pode-se ter como bloco uma faixa de terra, um período de tempo, uma faixa de idade, uma
sala de aula, um professor em sala de aula, entre outros exemplos.
DELINEAMENTO EM QUADRADO LATINO
O delineamento em quadrado latino leva em consideração os três princípios básicos da experimentação:
a repetição, a casualização e o controle local.
Exige que o número de tratamentos seja igual ao número de repetições, o que limita o número de
tratamentos, já que um grande número desses, ocasionaria um número excessivo de repetições.
O controle local é mais eficiente que o do delineamento em blocos casualizados, já que controla duas
fontes de variabilidade, controlando a heterogeneidade do ambiente tanto na horizontal quanto na vertical.
A casualização é feita de tal forma que cada tratamento aparece apenas uma única vez em cada linha e
em cada coluna.
Como exemplo, poderíamos desejar aplicar o efeito de um determinado concentrado a três raças de
suínos (colunas), onde temos animais com três idades diferentes (linhas).
Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 4 de 15
A ANÁLISE DOS DADOS
1. Estrutura para análise estatística de um Delineamento Inteiramente Casualizado
Consideremos um ensaio no delineamento inteiramente ao acaso, com I tratamentos e J repetições.
Tratamentos Repetições
1 2 ... J
1 y11 y12 ... y1J
2 y21 y22 ... y2J
3 y31 y22 ... y3J
... ... ... ... ...
I yI1 yI2 ... yIJ
O modelo matemático para esse ensaio é:
etmy ijiij
onde,
yij
= é o valor observado na parcela que recebeu o tratamento i (i=1,2,...,I) na repetição j (j=1,2,...,J).
m = é a média geral do ensaio.
t i = é o efeito do tratamento i.
eij = é o erro experimental, onde )σ,0(Ne2
ij
Estimativas dos efeitos do modelo:
IJ
G
IJ
y
mij
ij
mmm
J
Tm
J
y
t iij
ij
i
tmye iijij
Vamos completar a tabela com os totais, as médias e os efeitos dos tratamentos:
Tratamentos Repetições
Total Médias Efeitos 1 2 ... J
1 y11 y12 ... y1J T1 m1 t1
2 y21 y22 ... y2J T2 m2 t2
3 y31 y22 ... y3J T3 m3 t3
... ... ... ... ... ... ... ...
I yI1 yI2 ... yIJ TI mI tI
G m
Onde,
j
j11 yT j
j22 yT j
IjI yT
J
Tm
11
J
Tm
22
J
Tm
II
mmt 11 mmt 22 mmt II
Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 5 de 15
Análise da Variância (ANAVA)
Tabela da ANAVA
Causas de variação GL SQ QM F
Tratamentos I – 1 SQT QMT QMT/QMR
Resíduo I(J – 1) SQR QMR
Total IJ – 1 SQTotal
Onde,
a) IJ
GC
2
(onde C = correção) b) CySQTotalij
2
ij c) CT
J
1SQT
i
2i
d) SQTSQTotalSQR e) 1I
SQTQMT
f)
)1J(I
SQRQMR
g) QMR
QMTF (teste F: para verificar se existem diferenças significativas entre os tratamentos testados).
Assim, para o teste F, se todos os tratamentos são iguais, temos:
H0: t...tt I21
Regra de decisão:
FF GL)]1J(I),1I[(TAB.CALC , rejeitamos H0.
A lógica dos testes estatísticos
O teste estatístico dá ao pesquisador condições de fazer inferência. Com base nos resultados da amostra
analisada, o teste estabelece, com um determinado nível de significância, se existem diferenças significativas
entre as populações existentes. O nível de significância dá a ideia de que é muito provável que um resultado,
similar ao que foi obtido na amostra, teria sido obtido se toda a população tivesse sido estudada.
O resultado apresentado pelo teste estatístico está sempre associado a algum tipo de erro. Por exemplo,
o pesquisador pode concluir que as médias dos tratamentos estudados são diferentes, embora isso,
verdadeiramente, não exista na população. Esse erro pode ser o resultado da flutuação amostral, em que uma
amostra pode apresentar uma diferença entre médias que não existe na população. O nível de significância de um
teste é justamente a probabilidade dessa ocorrência.
E quando utilizamos um teste estatístico, na verdade estamos testando duas hipóteses a respeito da
população. Uma primeira hipótese testada é a hipótese da nulidade, que indica a ausência de efeito de
tratamentos, ou ainda, que as diferenças existentes entre as médias dos tratamentos testados não são
significativas, ou seja:
H0: as médias são iguais.
A segunda hipótese, chamada de hipótese alternativa, que indica a presença de efeito de tratamentos, ou
ainda, que existem diferenças significativas entre as médias dos tratamentos testados. Ou seja:
H1: as médias são diferentes.
O nível de significância de um teste é a probabilidade de o pesquisador cometer erro, afirmando que
existem diferenças entre as médias dos tratamentos de um ensaio, quando na verdade não existem essas
diferenças. Essa probabilidade é indicada pela letra grega α (alfa). O nível de significância consiste, portanto, na
probabilidade de se rejeitar H0 quando na verdade ela é verdadeira.
O pesquisador define, no planejamento, o nível de significância do ensaio. Quando escolhemos o nível
de significância de 5%, indicamos os seus resultados com um asterisco, e quando o nível é de 1%, indicamos
com dois asteriscos.
Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 6 de 15
EXEMPLO: Consideremos o caso em que temos 4 tratamentos e 5 repetições.
Tratamentos Repetições
Total Médias Efeitos 1 2 3 4 5
A 10,8 10,1 9,6 8,3 11,4 50,2 10,04 0,03
B 14,7 12,2 11,9 15,0 14,3 68,1 13,62 3,61
C 10,6 7,9 8,9 12,0 10,4 49,8 9,96 –0,05
D 6,7 4,8 7,9 6,9 5,8 32,1 6,42 –3,59
200,2 10,01 0,00
Informações básicas: m = 10,01 I = 4 J = 5 IJ = 20
Cálculo auxiliar para a Tabela da Análise da Variância:
C = 20
2,2002
= 2.004,002
SQTotal = 2.163,42 – 2.004,002 = 159,418
SQT = 002,004.21,668.10x5
1 =129,618
SQR = 159,418 – 129,618 = 29,8
F = 863,1
206,43 = 23,2
Portanto, com esses resultados, podemos construir o Quadro da Análise de Variância para o ensaio em questão:
Causas de variação GL SQ QM F
Tratamentos 3 129,61 43,206 23,2**
Resíduo 16 29,800 1,863
Total 19 159,418
Para aplicar a regra de decisão, necessitamos encontrar o F tabelado, com (I – 1) graus de liberdade de
tratamentos e I(J – 1) graus de liberdade do resíduo, a 1% e a 5% (preferencialmente). Assim, temos:
F[3;16] a 1% (5,29) e a 5% (3,24).
Conclusão:
Os tratamentos diferem entre si ao nível de 1% de probabilidade de erro.
Precisão do ensaio:
CV(%) = m
s.100 =
01,10
8625,1100
m
QMR100 = 13,63
Observação:
O coeficiente de variação dá uma idéia de precisão do ensaio e da variabilidade nos resultados dos tratamentos. E
é usual a seguinte classificação:
CV Variabilidade Precisão
< 10 Baixa Alta
10-20 Média Média
20-30 Alta Baixa
>30 Muito alta Muito baixa
Portanto, pelo resultado apresentado (13,63%), podemos classificá-lo como de média precisão.
Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 7 de 15
CONTEÚDO COMPLEMENTAR
Procedimentos de comparação entre médias (PCM)
Teste de Tukey
O teste de Tukey é um procedimento de comparação de duas médias de tratamentos. Consiste em:
a) Estabelecer as hipóteses:
0mmH 'ii0 vs mmH 'ii1
b) Obter a Diferença Mínima Significativa (DMS):
J
QMRqDMS
onde,
q é o valor tabelado para I tratamentos e gl do resíduo.
c) Obter as estimativas dos contrastes de médias:
mm 'ii
d) Aplicar a regra de decisão:
dms|mm| 'ii rejeitamos H0.
EXEMPLO:
Do exemplo anterior, temos:
Tratamentos Médias
A 10,04 QMR = 1,863
B 13,62 glRES. = 16 Portanto:
C 9,96 J = 5 q(4, 16)
D 6,42 I = 4
Assim, temos que: 17,35
863,119,5DMS %)1( 47,2
5
863,105,4DMS %)5(
D C A B
B 7,20** 3,66** 3,58** – A 3,62** 0,08ns – – C 3,54** – – – D – – – –
Conclusões:
- O tratamento B difere dos tratamentos D, C e A, a 1% de probabilidade de erro.
- O tratamento A difere de D a 1% de probabilidade, e não difere do tratamento C.
- O tratamento C difere do tratamento D a 1% de probabilidade de erro.
NOTAÇÃO
Para os testes de comparação de médias, é usual a seguinte notação:
Tratamentos Médias*
B 13,62 a
A 10,04 b
C 9,96 b
D 6,42 c * Médias seguidas de mesma letra não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% (ou 1%, se for o caso).
1% = 5,19
5% = 4,05
Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 8 de 15
Teste de Dunnett
É um teste apropriado para comparar médias de tratamentos de um ensaio com a média da testemunha.
Consiste em:
a) Estabelecer as hipóteses:
mmH ti0 vs mmH ti1
b) Obter a DMS através de:
J
QMR2tD d
onde,
td é o valor tabelado para o teste bilateral de Dunnett, com (I – 1) médias e gl do resíduo.
c) Obter as estimativas dos contrastes das médias com a testemunha:
mm ti
d) Aplicar a regra de decisão:
D|mm| ti rejeitamos H0.
EXEMPLO:
Ainda do exemplo anterior, e considerando que o tratamento C tenha sido a testemunha, temos:
Tratamentos Médias
A 10,04
B 13,62
C 9,96
D 6,42
QMR = 1,863
glRES. = 16 Portanto: td(3, 16)
J = 5
I – 1 = 3
Assim, temos que: 94,25
863,1x241,3D %)1( 27,2
5
863,1x263,2D %)5(
mA mB mD
mC 0,08ns 3,66** -3,54**
Conclusões:
- A testemunha difere dos tratamentos B e D a 1% de probabilidade de erro, e não difere do tratamento A.
1% = 3,41
5% = 2,63
Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 9 de 15
A ANÁLISE DOS DADOS
2. Estrutura para análise estatística de um Delineamento em Blocos Casualizados
Consideremos um ensaio no delineamento em blocos ao acaso, com I tratamentos e J repetições.
Tratamentos Repetições
1 2 ... J
1 y11 y12 ... y1J
2 y21 y22 ... y2J
3 y31 y22 ... y3J
... ... ... ... ...
I yI1 yI2 ... yIJ
O modelo matemático para esse ensaio é:
ebtmy ijjiij
onde,
yij
= é o valor observado na parcela que recebeu o tratamento i (i=1,2,...,I) na repetição j (j=1,2,...,J).
m = é a média geral do ensaio.
t i = é o efeito do tratamento i.
b j = é o efeito do bloco j.
eij = é o erro experimental, onde )σ,0(Ne2
ij
i = 1, 2, ..., I onde I é o número de tratamentos.
j = 1, 2, ..., J onde J é o número de blocos.
IJ = número de parcelas do ensaio.
Estimativas dos efeitos do modelo:
IJ
G
IJ
y
mij
ij
mmm
J
Tm
J
y
t iij
ij
i
mmmI
Bm
I
y
b jii
ij
j
btmye jiijij
Análise de Variância (ANAVA)
Quadro da ANAVA
Causas de variação GL SQ QM F
Blocos J – 1 SQB QMB QMB/QMR
Tratamentos I – 1 SQT QMT QMT/QMR
Resíduo (I – 1).(J – 1) SQR QMR
Total IJ – 1 SQTotal
Onde,
Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 10 de 15
a) IJ
GC
2
(onde C = correção) b) CySQTotalij
2
ij
c) CBI
1SQB
j
2j = CB...BB
I
1 2J
22
21
d) CTJ
1SQT
i
2i = CT...TT
J
1 2J
22
21
e) SQTSQBSQTotalSQR
f) 1J
SQBQMB
g)
1I
SQTQMT
h)
)1I)(1J(
SQRQMR
i) QMR
QMBFB
j) QMR
QMTFT
H0: b1 = b2 = ... = bJ = 0 vs H1: não H0.
Rejeitamos H0 se FCALC > FTAB (g.l. B, g.l. R)
H0: t1 = t2 = ... = tI = 0 vs H1: não H0.
Rejeitamos H0 se FCALC > FTAB (g.l. T, g.l. R)
Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 11 de 15
EXEMPLO: Considere um ensaio onde temos 6 tratamentos, sendo um deles uma testemunha, e com 4
repetições.
Tratamentos Repetições
Total Médias 1 2 3 4
A 10,4 9,1 8,7 11,2 39,4 9,9
B 14,1 13,2 15,5 13,0 55,8 14,0
C 5,8 6,7 7,3 5,6 25,4 6,4
D 12,1 13,9 10,8 10,7 47,5 11,9
E 14,8 15,8 15,3 13,9 59,8 15,0
F (testemunha) 9,9 7,8 8,7 8,0 34,4 8,6
Total 67,1 66,5 66,3 62,4 262,3 10,9
Informações básicas: m = 10,9 I = 6 J = 4 IJ = 24
Cálculo auxiliar para a tabela da ANAVA:
C = 24
3,2622
= 2.866,7204
SQTotal = 3.102,8500 – 2.866,7204 = 236,1296
SQB = 7204,866.21100,214.17x6
1 =2,2979
SQT = 7204,866.28100,326.12x4
1 =214,9821
SQR = 236,1296 – 2,2979 – 214,9821 = 18,8496
F = 863,1
206,43 = 23,2
Portanto, com esses resultados, podemos construir o Quadro da Análise de Variância para o ensaio em questão:
Causas de variação GL SQ QM F
Blocos 3 2,2979 0,7660 0,61ns
Tratamentos 5 214,9821 42,9964 34,22**
Resíduo 15 18,8496 1,2566
Total 23 159,418
Para aplicar a regra de decisão, necessitamos encontrar o F tabelado:
a) Para Blocos, temos F com (J – 1) graus de liberdade de tratamentos e (I – 1).(J – 1) graus de liberdade do
resíduo, a 1% e a 5% (preferencialmente). Assim, temos:
F[3;15] a 1% (5,42) e a 5% (3,29).
b) Para Tratamentos, temos F com (I – 1) graus de liberdade de tratamentos e (I – 1).(J – 1) graus de liberdade do
resíduo, a 1% e a 5% (preferencialmente). Assim, temos:
F[5;15] a 1% (4,56) e a 5% (2,90).
Conclusão:
Os tratamentos diferem entre si ao nível de 1% de probabilidade de erro, enquanto que não existem diferenças
significativas entre blocos.
Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 12 de 15
A ANÁLISE DOS DADOS
3. Estrutura para análise estatística de um Delineamento em Quadrado Latino
Consideremos um ensaio no delineamento em quadrado latino, com I tratamentos.
Linhas Colunas
Totais de Linhas 1 2 ... J
1 y11 y12 ... Y1J L1
2 y21 y22 ... Y2J L2
3 y31 y22 ... Y3J L3
... ... ... ... ... ...
K yK1 yK2 ... yKJ LK
Totais de colunas C1 C2 ... CI G
Exemplo com 5 tratamentos (A, B, C, D e E):
Linhas Colunas
Totais de Linhas 1 2 3 4
1 XD XB XA XC L1
2 XB XD XC XA L2
3 XA XC XB XD L3
4 XC XA XD XB L4
Totais de colunas C1 C2 C3 C4 G
O modelo matemático para esse ensaio é:
elbtmy ijkkjiijk
onde,
yijk
= é o valor observado k-ésima linha e j-ésima coluna do i-ésimo tratamento.
m = é a média geral do ensaio.
t i = é o efeito do tratamento i.
b j = é o efeito da coluna j.
lk = é o efeito da linha k.
eijk = é o erro experimental, onde )σ,0(Ne2
ijk
i = 1, 2, ..., I onde I é o número de tratamentos.
j = 1, 2, ..., J onde J é o número de blocos.
IJ = número de parcelas do ensaio.
Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 13 de 15
Análise de Variância (ANAVA)
Quadro da ANAVA
Causas de variação GL SQ QM F
Tratamentos I – 1 SQT QMT QMT/QMR
Linhas I – 1 SQL –
Colunas I – 1 SQC –
Resíduo (I – 1).(I – 2) SQR QMR
Total I² – 1 SQTotal
Onde,
a) ²I
GC
2
(onde C = correção) b) CySQTotalijk
2
ijk
c) CLI
1SQL
k
2k = CL...LL
I
1 2k
22
21
d) CCI
1SQC
j
2j = CC...CC
I
1 2J
22
21
e) CTI
1SQT
i
2i = CT...TT
I
1 2I
22
21
f) )SQCSQLSQT(SQTotalSQR
g) 1I
SQTQMT
h)
)2I).(1I(
SQRQMR
i) QMR
QMTFT
EXEMPLO:
Ver exemplo do livro Estatística experimental aplicada à agronomia, do Prof. Paulo Vanderlei Ferreira, da
página 180 a 184.
H0: t1 = t2 = ... = tJ = 0 vs H1: não H0.
Rejeitamos H0 se FCALC > FTAB (g.l. T, g.l. R)
Apostila de Bioestatística – Experimentação Página 14 de 15
REFERÊNCIAS
BANZATTO, David Ariovaldo & KRONKA, Sérgio do Nascimento. Experimentação Agrícola. Jaboticabal,
Funep, 1992.
FERREIRA, Daniel Furtado. Estatística básica. Lavras-MG, 1996. 118p. (apostila).
FERREIRA, Paulo Vanderlei. Estatística experimental aplicada à agronomia. 3.ed., Maceió, Edufal, 2000.
422p.
GOMES, Frederico Pimentel. Iniciação à estatística. 6.ed. rev. e ampl., São Paulo, Nobel, 1978. 211p.
NUNES, Raimundo de Pontes. Métodos para a pesquisa agronômica. Fortaleza, UFC, 1998. 564p.
VIEIRA, Sônia. Introdução à Bioestatística. 2ª ed., Campos, Rio de Janeiro, 1981.
VIEIRA, Sônia. Estatística Experimental. 2ª ed., Atlas, São Paulo, 1999.
Apostila de Bioestatística – Experimentação
ANEXOS
(Tabelas)
Tabela 1 - Valores críticos da distribuição F de Fisher ao nível de 5% de probabilidade para o caso de F > 1. V1 = número de graus de liberdade de tratamentos. V2 = número de graus de liberdade do resíduo.
Transcrição da tabela gerada pelo software ‘GERATAB.EXE’, desenvolvido pelo Prof. Daniel Furtado Ferreira, do Departamento de Ciências Exatas da Universidade Federal de Lavras.
Tabela 2 - Valores críticos da distribuição F de Fisher ao nível de 1% de probabilidade para o caso de F > 1. V1 = número de graus de liberdade de tratamentos. V2 = número de graus de liberdade do resíduo.
Transcrição da tabela gerada pelo software ‘GERATAB.EXE’, desenvolvido pelo Prof. Daniel Furtado Ferreira, do Departamento de Ciências Exatas da Universidade Federal de Lavras.