UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO – UNIAN-SP MARIA GRACILENE DE CARVALHO PINHEIRO MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA FORMAÇÃO DE PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS: CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE AO EXPLORAR A INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE FRAÇÃO SÃO PAULO 2014
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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO UNIAN-SP … · Às colegas Professoras da Rede Municipal de Ensino de Inhuma- PI, pelos momentos de ... Universidade Anhanguera de São Paulo
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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO – UNIAN-SP
MARIA GRACILENE DE CARVALHO PINHEIRO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
FORMAÇÃO DE PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS:
CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE AO EXPLORAR A
INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE FRAÇÃO
SÃO PAULO
2014
MARIA GRACILENE DE CARVALHO PINHEIRO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
FORMAÇÃO DE PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS:
CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE AO EXPLORAR A
INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE FRAÇÃO
Dissertação apresentada ao Curso de Pós-
Graduação em Educação Matemática, Linha de
Pesquisa “Formação de Professores que ensinam
Matemática” – Universidade Anhanguera de São
Paulo – UNIAN, como requisito parcial à
obtenção do título de Mestre em Educação
Matemática.
SÃO PAULO
2014
Aos que amo e que são minha inspiração em tudo o que realizo.
AGRADECIMENTOS
Ao cursar o Mestrado, tive mais uma vez, a oportunidade de refletir acerca de “coisas” que
são imprescindíveis à nossa condição de ser humano e à nossa missão de educador.
Considero que a principal delas é que, o trabalho de pesquisa realizado no decorrer do curso
não pertence apenas a você, uma vez que ele jamais aconteceria sem que tivessem pessoas
dispostas a dialogar com você sobre questões inerentes ao teu projeto de investigação. Nesse
sentido, um trabalho de pesquisa se constitui, a meu ver, em um projeto que se concretiza por
meio da colaboração, da troca de ideias, da reflexão, da relação de convívio entre os
envolvidos. Dessa forma sou grata especialmente,
A Deus, pelo dom da vida e pelas bênçãos recebidas até hoje e as que ainda irei receber.
À minha orientadora, a Professora Doutora Angélica da Fontoura Garcia Silva, pela
parceria e dedicação dispensada no decorrer de toda a pesquisa. As tuas orientações foram
imprescindíveis à realização deste trabalho. Obrigada também pela amizade. Considero-a
um “presente” de Deus.
Ao Professor Doutor Ruy César Pietropaolo, pela confiança depositada em mim. Obrigada
por ter acreditado...
Aos Professores Doutores Cristiano Alberto Muniz e Maria Elisa Esteves Lopes Galvão, pela
gentileza em aceitar participar da Banca Examinadora e pelas contribuições dadas ao nosso
trabalho.
Às Professoras Doutoras Bette Prado, Nielce Lobo, Aparecida Duarte, pela atenção, amizade
e pelos ensinamentos compartilhados.
Ao Professor Doutor Ubiratan D’Ambrosio, pela oportunidade de participar de suas aulas,
de ouvir suas histórias de vida e por ter partilhado conosco muito de suas experiências.
Às Professoras Doutoras Vera Giusti, Rosana Lima, Maria Helena Palma e ao Professor
Doutor Vicenzzo Bongiovanni pela oportunidade de participar das suas aulas.
À Professora Doutora Tânia Campos Mendonça, pela maneira competente e dedicada com
que coordena os Programas de Mestrado e Doutorado.
Às Professoras Sujeitos da pesquisa e demais professoras participantes do Observatório da
Educação.
Às crianças que participaram das atividades desenvolvidas nas escolas... Vocês deram um
encanto novo à nossa investigação. Foi lindo vê-las pensando.
Às meninas da Secretaria, Anália e Débora por serem sempre tão atenciosas.
Ao Guilherme, pela humildade e disponibilidade com que sempre atende a todos.
À CAPES pela concessão da bolsa de estudo que tornou possível esta realização por meio do
projeto no. 99/2010 “Educação Continuada e Resultados de Pesquisa em Educação
Matemática: uma investigação sobre as transformações das práticas de professores dos anos
iniciais do ensino fundamental”, desenvolvido dentro do Programa Observatório da
Educação.
À Prefeitura Municipal de Inhuma Piauí em nome do Senhor Prefeito, Moacir Gonçalves, e
da Secretária de Educação, Maria Nilcimar Correia Cavalcante, pela concessão da licença,
por meio da qual foi possível cursar o Mestrado. Obrigada também pela confiança, incentivo
e amizade dispensados a mim.
Às colegas Professoras da Rede Municipal de Ensino de Inhuma- PI, pelos momentos de
estudo e aprendizado compartilhados.
Às amigas e amigos de curso, em especial, a Lidiane e a Mirtes, pela amizade partilhada.
À minha amiga, a Professora Socorro Quaresma, pela gentileza em revisar o texto desta
dissertação. A sua contribuição foi muito valiosa.
À minha amiga Dona Zefinha, pela ajuda incondicional dispensada durante todo o Mestrado.
À minha amiga, Professora Adamir, pelo incentivo à minha formação acadêmica e
profissional.
À minha família, pai, mãe, irmãos, cunhadas, cunhado e sobrinhos, pelo carinho dedicado a
mim. Que Deus sempre os abençoe.
A Júnior, meu companheiro..., pela parceria na defesa de uma educação pautada nos
princípios de cidadania, respeito e solidariedade humana.
Ao meu amigo Osildo, pelo apoio, incentivo e amizade.
Ao meu primo Raimundo, pelas vezes que me deixou transformar o seu escritório em local de
estudo e concentração.
A todos, com carinho e amizade, a minha gratidão!
RESUMO
O presente trabalho de pesquisa foi desenvolvido com o intuito de analisar as mudanças de
concepções relativas aos processos de ensino e aprendizagem de frações, de professores que
lecionam Matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental, participantes de um
curso de formação continuada. Esse estudo reuniu Pesquisadores em Educação Matemática e
Professoras que ensinam Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental da rede
estadual de São Paulo em um curso de formação continuada desenvolvido no contexto do
Projeto Observatório da Educação – projeto de pesquisa e formação desenvolvido na
Universidade Anhanguera de São Paulo e financiado pela Capes. Para esta investigação
selecionamos três professoras como sujeitos. Os dados coletados foram obtidos em três fases:
a primeira constituiu-se na aplicação de instrumentos diagnósticos, por meio dos quais foi
possível planejar e desenvolver a segunda fase que foi destinada à intervenção, definida como
processo formativo. Por fim, a terceira foi reservada às entrevistas e observações em sala de
aula, com o objetivo de identificar implicações do processo formativo na prática pedagógica
das três professoras. Dessa forma, pretendeu-se analisar o processo de (re)construção dos
conhecimentos dessas professoras sobre a utilização de situações parte-todo e quociente para
introduzir o conceito de fração. No que se refere às teorias adotadas na produção da pesquisa,
bem como nas análises das informações produzidas em cada fase da investigação, foram
utilizados os estudos de Shulman, Ball et al e Serrazina sobre a discussão de questões
relativas à formação de professores e ao processo de reflexão da prática docente. Em relação
às questões didáticas relacionadas às frações, buscou-se contribuições da Teoria dos Campos
Conceituais de Gerard Vergnaud e adotou-se a classificação proposta por Nunes para os
significados da fração bem como a Sequência de tarefas desenvolvida para o ensino a partir da
situação quociente (Nunes et al). A análise da fase diagnóstica permitiu perceber a forte
crença que as professoras tinham acerca de que o significado parte-todo seria suficiente para
resolver qualquer situação com fração. Isso, porém, foi (re)construído durante a formação,
quando foi proporcionado a elas a vivência de experiências mais amplas em que tiveram a
oportunidade de discutir situações com o significado quociente e outras ideias subjacentes às
frações: equivalência, ordem e, sobretudo, a conservação da unidade de referência, que
decidiu-se definir como invariante, pois essa revelou-se determinante para a representação
gráfica equivocada da fração de quantidades apresentadas pelas professoras às situações
propostas. Dessa forma, conclui-se que, de maneira geral, o processo de formação contribuiu
para a (re)construção dos conhecimentos das professoras sobre os significados da fração e
que, as reflexões suscitadas no decorrer da formação as auxiliaram a (re)pensar suas práticas
docentes – fatos observados em sala de aula, um ano após a formação. Nesse trabalho,
reflete-se a necessidade de as escolas investirem na constituição de grupos de estudos que
contribuam para a ampliação do conhecimento profissional dos professores, pois para esses
desenvolverem-se é necessário que dialoguem com diferentes experiências e reflitam sobre
suas práticas, fortalecendo-as.
Palavras-Chave: Educação Matemática, Conhecimento Profissional Docente, Formação de
Professores, Conhecimentos necessários para o ensino de Frações, Implicações da Formação
na Prática docente, Reflexões sobre a prática.
ABSTRACT
This research was developed to analyze conceptual changes related to the process of teaching
and learning fractions in early Elementary School math teachers who were participants of a
continued education course. This study involved Mathematics Education researchers and
teachers who teach math in the first grades of Elementary School in the state schools of São
Paulo in a continued education course developed within the scope of the Education
Observatory Project - a research and development project from the Universidade Anhanguera
of São Paulo and funded by Capes, the Brazilian research agency. We selected three teachers
to be our subjects in this study. Data was collected in three stages: the first consisted of
applying diagnostic tools that made it possible to plan and develop the second stage, which
was meant to be the intervention, taken as a development process. Finally, the third stage was
used for interviews and classroom observations aiming to identify implications in the
development process in the pedagogical practice of these three teachers. Hence, the idea was
to analyze the knowledge (re)construction process experienced by these teachers regarding
parts-and-whole and quotient situations to introduce the concept of fraction. As far as theories
adopted for the development of this research, and for the analysis of the information produced
in each stage, the studies developed by Shulman, Ball et al and Serrazina were used on the
discussion about questions related to teacher development and the reflection on teachers'
practice. Regarding didactic questions related to fractions, the Conceptual Fields Theory, by
Gerard Vergnaud, and the classification proposed by Nunes for fraction meanings were used,
and also task Sequences developed for teaching based on the quotient situation (Nunes et al.).
The analysis of the diagnostics stage shows the strong belief that teachers had about the
meaning of parts-and-whole as being enough to solve any situation involving fractions.
However, this notion was (re)constructed during the development process, when teachers
were able to have a broader experience in which they had the chance to discuss situations with
quotient meaning and the underlying ideas to fractions: equivalence, order and, mainly, the
preservation of the reference unit, - defined as invariant - as this proved to be determinant for
erroneous graphic representations of fractions of quantities presented by the teachers in the
suggested situations. Hence, the general conclusion is that the development process
contributed towards a (re)construction of knowledge by the teachers about the meanings of
fraction and that the reflections brought up during the development process helped them
re(think) their teaching practices - facts that were noticed in their classroom a year after the
development process. In this study, it becomes apparent the need for schools to invest in
forming study groups that contribute for the broadening of teachers' professional knowledge,
because for teachers to develop it is necessary that they establish a dialog with different
experiences and reflect upon their practices and enhance them.
Key words: Mathematical Education, Professional Teaching Knowledge, Teacher
Development, Knowledge Required for the Teaching of Fractions, Implications of Teaching
Practice Development, Reflections upon Practice.
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Nossa interpretação das categorias de Ball et al (2008) referente aos
conhecimentos necessários ao ensino das frações
Tabela 2 - Situações propostas no 2º instrumento diagnóstico
Tabela 3 - Número de professoras que apresentaram uma resposta esperada ou
outras respostas às situações propostas no 2º instrumento diagnóstico ou que não
responderam
Tabela 4 - Síntese das sessões de formação
Tabela 5 - Significados da fração explorados nas situações elaboradas pelas
professoras
Tabela 6 - Número de significados e tipo de situações elaboradas pelas
professoras
Tabela 7 - Número de respostas consistentes e que fizeram uso da estratégia do
cálculo de algoritmos, respostas consistentes que se utilizaram da estratégia de
partição e número de respostas inconsistentes.
Tabela 8 - Número de professoras que apresentaram uma resposta esperada à
situações propostas no 2º instrumento diagnóstico ou que apresentaram outras
respostas
Tabela 9 - Respostas dos alunos à 2ª situação proposta na Sequência de Tarefas
Tabela 10 - Respostas dos alunos à 3ª situação proposta na Sequência de Tarefas
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - As categorias do conhecimento propostas por Shulman (1985) e as
correspondentes de Ball et al (2008)
Figura 2 - Primeira situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico
Figura 3 - Segunda situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico
Figura 4 - Terceira situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico
Figura 5 - Quarta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico
Figura 6: Quinta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico
Figura 7 - Sexta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico
Figura 8 - Primeira situação quociente proposta no instrumento diagnóstico
Figura 9 - Segunda situação quociente proposta no instrumento diagnóstico
Figura 10 - Terceira situação quociente proposta no instrumento diagnóstico
Figura 11 - Quarta situação quociente proposta no instrumento diagnóstico
Figura 12 - Quinta situação quociente proposta no instrumento diagnóstico
Figura 13 - Situações quociente, parte-todo e razão proposta no instrumento
diagnóstico
Figura 14 - Imagens vídeo 1: atividade desenvolvida com as professoras em
sessão de formação
Figura 15: Imagens vídeo 2: atividade desenvolvida com as professoras em sessão
de formação
Figura 16 - Situação elaborada pela Professora Renata – 2º instrumento
diagnóstico
Figura 17 - Situação elaborada pela Professora Ana – 2º instrumento diagnóstico
Figura 18 - Situação elaborada pela Professora Marcela - 2º instrumento
diagnóstico
Figura 19 - Situação elaborada pela Professora Renata – 2º instrumento
diagnóstico
Figura 20 - Resposta da Professora Ana à situação por ela elaborada – 2º
instrumento diagnóstico
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Figura 21 - Resposta da Professora Marcela à situação por ela elaborada – 2º
instrumento diagnóstico
Figura 22 - Situação elaborada pela Professora Renata e sua resposta à mesma –
2º instrumento diagnóstico
Figura 23 - Situação elaborada pela Professora Ana e sua resposta à mesma – 2º
instrumento diagnóstico
Figura 24 - Situação elaborada pela Professora Marcela e sua resposta à mesma –
2º instrumento diagnóstico
Figura 25 - Resposta das Professoras Renata, Ana e Marcela à 1ª situação
proposta – 2º instrumento diagnóstico
Figura 26 - Resposta das Professoras Marcela e Renata à 4ª situação proposta –
2º instrumento diagnóstico
Figura 27 - Resposta da Professora Ana à 4ª situação proposta – 2º instrumento
diagnóstico
Figura 28: Resposta das Professoras Renata e Ana à 3ª situação proposta – 2º
instrumento diagnóstico
Figura 29 - Resposta da Professora Marcela à 3ª situação proposta – 2º
instrumento diagnóstico
Figura 30 - Estratégias de ensino apresentadas pelas Professoras Ana e Renata: 3ª
situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
Figura 31 - Resposta da Professora Ana à 6ª situação proposta – 2º instrumento
diagnóstico
Figura 32 - Resposta da Professora Marcela à 6ª situação proposta – 2º
instrumento diagnóstico
Figura 33 - Respostas da Professora Renata à 6ª situação proposta – 2º
instrumento diagnóstico
Figura 34 - Resposta da Professora Renata à 5ª situação proposta – 2º instrumento
diagnóstico
Figura 35 - Respostas da Professora Marcela à 5ª situação proposta – 2º
instrumento diagnóstico
Figura 36 - Respostas da Professora Ana à 5ª situação proposta – 2º instrumento
diagnóstico
Figura 37 - Justificativas das professoras referentes à resposta apresentada: 5ª
situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
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Figura 38 - Respostas da Professora Renata à 8ª situação proposta – 2º
instrumento diagnóstico
Figura 39 - Respostas da Professora Ana à 8ª situação proposta – 2º instrumento
diagnóstico
Figura 40 - Respostas da Professora Marcela à 8ª situação proposta – 2º
instrumento diagnóstico
Figura 41 - Resposta das Professoras Marcela, Renata e Ana à 9ª situação
proposta – 2º instrumento diagnóstico
Figura 42 - Respostas da Professora Ana à 7ª situação proposta – 2º instrumento
diagnóstico
Figura 43 - Resposta da Professora Renata à 7ª situação proposta – 2º instrumento
diagnóstico
Figura 44 - Resposta da Professora Marcela à 7ª situação proposta – 2º
instrumento diagnóstico
Figura 45 - Resposta das Professoras Ana e Renata à 10ª situação proposta – 2º
instrumento diagnóstico
Figura 46 - Resposta da Professora Marcela à 10ª situação proposta – 2º
instrumento diagnóstico
Figura 47 - Sequência de Tarefas: 2ª situação
Figura 48 - Imagens vídeo do Aluno Vinícius - 1º Ano
Figura 49 - Imagens vídeo de Aluno Fábio - 2º Ano
Figura 50 - Protocolos dos Alunos Artur e Mateus - 5º Ano
Figura 51 - Protocolo do Aluno João - 5º Ano
Figura 52 - Imagem vídeo 1: Aluno Lucas - 2º Ano
Figura 53 - Imagem vídeo 2: Aluno Lucas - 2º Ano
Figura 54 - Imagem vídeo 3: Aluno Lucas - 2º Ano
Figura 55 - Imagem vídeo 4: Aluno Lucas - 2º Ano
Figura 56 - Imagem vídeo 5: Aluno Lucas - 2º Ano
Figura 57 - Imagem vídeo 6: Aluno Lucas - 2º Ano
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Figura 58 - Imagens vídeo 7: Aluno Lucas - 2º Ano
Figura 59 - Protocolos dos Alunos José e Júnior - 2º e 5º Ano
Figura 60 - Protocolos dos Alunos Wesley e Ubiraci - 5º Ano
Figura 61 - Protocolo do Aluno Carlos - 2º Ano
Figura 62 - Protocolos das Alunas Bruna e Paloma - 1º e 5º Ano
Figura 63 - Protocolo do Aluno Ubirajara - 5º Ano
Figura 64 - Sequência de Tarefas: 3ª Situação
Figura 65 - Protocolos dos Alunos Victor e Fernanda - 5º Ano
Figura 66 - Imagem vídeo do Aluno Diogo - 1º Ano
Figura 67 - Protocolos das Professoras Ana e Renata
Figura 68 - Protocolos das Professoras Ana e Renata
Figura 69 - Protocolo da Professora Ana
Figura 70 - Protocolo da Professora Renata
Figura 71 - Protocolo da Professora Marcela
Figura 72 - Imagens vídeo: alunos realizando atividade sugerida pela Professora
Ana
Figura 73 - Imagem vídeo 1: Ensino desenvolvido pela Professora Ana
Figura 74 - Imagem vídeo 2: Ensino desenvolvido pela Professora Ana
Figura 75 - Imagem vídeo 3: Ensino desenvolvido pela Professora Ana
Figura 76 - Imagens vídeo: Alunos realizando atividade sugerida pela Professora
Renata
Figura 77 - Imagens vídeo 1: Ensino desenvolvido pela Professora Renata
Figura 78 - Imagens vídeo 2: Ensino desenvolvido pela Professora Renata
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156
156
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO
16
CAPÍTULO 1 - CONFIGURAÇÃO DA PESQUISA 20
1.1 Antecedentes e Motivações 20
1.2 Relevância do Tema: o que dizem as pesquisas 22
1.3 Questão de Pesquisa e Objetivo 24
1.4 O Percurso da Investigação 26
1.5 Em busca de Referências Teóricas 27
CAPÍTULO 2 – FRAÇÕES: UMA ANÁLISE DAS PESQUISAS
EXISTENTES
29
2.1 Revisão de Literatura
2.1.1 Estudos relacionados ao Conhecimento Profissional Docente 29
29
2.1.2 Estudos relacionados à formação de professores e suas concepções acerca
do conceito de fração
32
2.2 Fundamentação Teórica 36
2.2.1 Teorias que versam sobre o objeto matemático: números racionais na
representação fracionária
2.2.1.1 Vergnaud e a Teoria dos Campos Conceituais
36
37
2.2.1.2 Nunes et. al. e os estudos sobre frações
2.3 Teorias que versam sobre a formação de professores: reflexões sobre a prática
e conhecimento profissional docente
40
44
CAPÍTULO 3 – A PESQUISA: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
E O PROCESSO FORMATIVO
50
3.1 Pesquisa Qualitativa
3.2 Contexto da Pesquisa
50
51
3.3 Primeiro Instrumento Diagnóstico: Questionário de Entrada 53
3.3.1 Perfil das Professoras participantes da Formação
3.3.2 Segundo Instrumento Diagnóstico: as Situações
3.4 O Percurso da Formação
53
54
68
CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DOS INSTRUMENTOS DIAGNÓSTICOS 79
4.1 Questionário de Entrada 79
4.2 Questões elaboradas pelas professoras 83
4.3 Significados de fração explorados nas situações elaboradas e tipos de
problemas
83
4.4 Respostas dos professores às situações elaborados 88
4.5 Respostas das professoras às situações propostos na segunda parte do
segundo instrumento diagnóstico: questionário com significado parte-todo e
quociente
92
4.5.1 Respostas às atividades com o significado parte-todo
Situações de representação
Situações que envolvia o invariante ordem
Situação que envolvia o invariante da equivalência
92
93
95
100
4.5.2 Respostas às atividades com o significado quociente
Situação de Representação 102
102
Situação que envolvia o invariante equivalência
Situação que envolvia o invariante ordem
105
108
CAPITULO 5 – ANÁLISE DO PROCESSO FORMATIVO
5.1 Respostas dos alunos à Sequência de tarefas: análise e discussão dos dados
5.2 Reflexões advindas da avaliação do processo formativo
115
122
142
CAPITULO 6 – DA PERCEPÇÃO À PRÁTICA DAS PROFESSORAS
6.1 Análise da atividade desenvolvida pelas professoras um ano após a formação
145
152
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Breve Relato dos Principais Resultados da Pesquisa
Saberes Matemáticos das Professoras anterior ao Processo Formativo
Reflexões sobre o objeto matemático: concepções, crenças e saberes
reconstruídos no decorrer da formação
Reflexões sobre o processo formativo: contribuições de um trabalho colaborativo
Reflexões sobre a Prática: implicações da formação
Resposta à Questão de Pesquisa e Reflexões que indicam Pesquisas Futuras
158
162
162
165
167
168
168
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANEXO 1 – Sequência de Tarefas elaborada pela Professora Terezinha Nunes
APÊNDICE 1 – Primeiro Instrumento Diagnóstico: Questionário de Entrada
APÊNDICE 2 – Segundo Instrumento Diagnóstico: as situações
APÊNDICE 3 – Tabela para registro das respostas dos alunos à Sequência de
Tarefas
APÊNDICE 4 – Questionário de Avaliação
APÊNDICE 5 – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
171
175
182
185
195
200
203
16
APRESENTAÇÃO
O presente trabalho de pesquisa intitulado “Formação de Professores dos Anos
Iniciais: conhecimento profissional docente ao explorar a introdução do conceito de
fração” procurou investigar, discutir e analisar questões relacionadas ao conhecimento
profissional docente de professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental sobre a
introdução do conceito de números racionais na representação fracionária.
A pesquisa realizada, no âmbito do Projeto Observatório da Educação1 – um
programa de formação e pesquisa, constituído por Professores e Pesquisadores na área da
Educação Matemática, desenvolvido pela Universidade Anhanguera de São Paulo - UNIAN
- SP e financiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior-
CAPES, integra os trabalhos pertencentes à Linha de Pesquisa Formação de Professores que
Ensinam Matemática.
A investigação desenvolveu-se, ao mesmo tempo, com a realização da revisão de
literatura, estudo do referencial teórico e o planejamento e execução de um processo
formativo realizado com a participação de professoras dos Anos Iniciais do Ensino
Fundamental, pertencentes à rede estadual de São Paulo-SP, por meio dos quais foi possível
analisar e refletir sobre a utilização de situações parte-todo e quociente para a introdução do
conceito de fração2.
Com a revisão de literatura, alguns resultados de pesquisas serviram de inspiração
para o desenvolvimento desta investigação. Três desses investigaram sobre os processos de
ensino e aprendizagem de frações: Cardoso (2009), Campos (2011) e Canova (2013); dois
pesquisaram, especialmente, sobre a formação de professores: Garcia Silva (2007), Monteiro
Cervantes (2010) e dois, sobre as concepções de professores acerca do objeto matemático:
Teixeira (2008) e Costa (2011).
1 Projeto Observatório da Educação Auxílio número 99/2010 : Educação Continuada e Resultados de Pesquisa
em Educação Matemática: uma investigação sobre as transformações das práticas de professores dos anos
iniciais do Ensino Fundamental é coordenado pela professora Dra. Tânia Maria Mendonça Campos.
2 Optamos por utilizar, neste trabalho, o termo fração para designar os números racionais na representação
fracionária.
17
No que se refere à fundamentação teórica todos os passos desta pesquisa, desde a
organização, desenvolvimento, reflexões e análise das informações produzidas antes, durante
e após a formação, tomou como base as teorias desenvolvidas por:
- Shulman (1986, 1987): discute ideias relativas à formação de professores. Por meio
delas, buscou-se refletir sobre os conhecimentos, apontados pelo autor, como necessários ao
professor: Conhecimento do Conteúdo, Conhecimento Pedagógico do Conteúdo e
Conhecimento Curricular do Conteúdo.
- Ball, Thames e Phelps. (2008): trazem aspectos relacionadas aos conhecimentos
específicos da área, constituindo-se um aprimoramento das categorias de Shulman:
Conhecimento do Conteúdo da Disciplina e Conhecimento Pedagógico do Conteúdo
Matemático.
- Serrazina (1999): apresenta reflexões sobre a prática e discute as implicações de um
trabalho colaborativo.
- Vergnaud (1990,1993): discute aspectos que ajudam a compreender como um
conceito é construído: conjunto de situações, conjunto de invariantes e conjunto das
Outro aspecto observado por Canova é que os alunos conseguiram fazer a
transferência do conhecimento adquirido, em uma situação, para a outra:
[...] o grupo quociente não vivenciou problemas que envolviam situação
parte-todo durante a intervenção, mas se beneficiou do aprendizado e
conseguiu aplicá-lo em outro tipo de situação (CANOVA, 2013, p. 163).
Esse dado nos permite inferir que o desempenho dos alunos em relação às situações
parte-todo traduz o tipo de ensino que os professores realizam e reforçam a hipótese de essa
ser a situação que os professores detêm o conhecimento.
2.1.2. Estudos relacionados à formação dos professores e suas concepções acerca do
conceito de fração.
Muitos estudiosos comungam da ideia de que é fundamental, no desenvolvimento do
trabalho do professor, que ele assuma o papel também de pesquisador, no sentido de tornar-se
um investigador da sua própria prática. Dessa forma, o professor torna-se capaz de refletir
criticamente sobre as dificuldades enfrentadas tanto em relação ao ensino quanto à
aprendizagem de conteúdos, e no nosso caso específico, do conteúdo frações. O ato de
investigar, por exemplo, o porquê do erro do aluno ou a maneira como ele pensou na
resolução de situações propostas, permite ao professor repensar o seu ensino e ainda, favorece
mudanças nas suas concepções tanto em relação ao conteúdo, como em relação ao seu ensino
e a maneira como o aluno desenvolve o conhecimento ou como o aluno aprende.
Nesse sentido, de acordo com Muniz (2008) “A pesquisa enquanto uma postura
crítica e investigativa do professor diante do currículo e da sua prática pedagógica é, a nosso
33
ver, o espaço mais legítimo de aprendizagem e de formação continuada do professor”
(MUNIZ, 2008, p. 210).
Partindo também desse princípio, buscamos analisar alguns estudos realizados com
professores e trouxemos, para este trabalho, algumas considerações que julgamos importantes
para a compreensão de fatos observados no decorrer da nossa pesquisa.
Um deles foi realizado por Costa (2011). Esse pesquisador investigou sobre as
concepções e competências de professores especialistas em Matemática que atuavam no
Ensino Fundamental sobre o conceito de fração em seus diferentes significados.
A pesquisa de natureza qualitativa e quantitativa ocorreu em dois momentos: primeiro
o autor buscou o apoio teórico que subsidiaria o desenvolvimento do estudo que iria realizar.
Posteriormente elaborou, para a coleta de dados, um instrumento diagnóstico, composto de
quatro partes: perfil, elaboração de situações-problema, respostas às situações-problema e
análise de uma situação. O instrumento foi aplicado a 21 professores que lecionavam para o
Ensino Fundamental.
Da análise do instrumento, o autor chegou às seguintes conclusões: em relação às
concepções, este estudo identificou que os professores possuem restrições quanto aos
significados de fração, voltados para os significados parte-todo e operador multiplicativo.
Outro ponto observado foi a ênfase em tratá-la apenas do ponto de vista do algoritmo, o que
fez com que esse pesquisador concluísse que a fração é vista, pelos professores participantes
do seu estudo, “[...] apenas como um procedimento matemático” (COSTA, 2011, p. 157).
Para o autor, uma explicação para esse fato pode estar relacionada à formação inicial desses
professores.
Quanto às competências didáticas, os professores demonstraram competência em
resolver a situação proposta, havendo um índice de acerto acima de 93%.
Na análise, um dos aspectos que chamou a atenção do pesquisador foi o alto índice de
resoluções das situações-problemas e das estratégias de ensino das frações, propostas pelos
professores, baseadas na percepção, distanciando-se dos invariantes lógicos. (Costa, 2011, p.
156). Esse fato foi observado, principalmente, entre os professores do 6º e 7º ano.
Os resultados desse estudo apontam para a necessidade de um trabalho de formação
continuada que promova o desenvolvimento do conhecimento dos professores acerca desse
conceito, com abordagem em seus diferentes significados.
Da mesma forma Teixeira (2008), ao realizar a análise das informações produzidas em
um instrumento no qual se buscou traçar um diagnóstico das competências e concepções de
professores do 2º Ciclo do Ensino Fundamental sobre o conceito de fração, chegou à
34
conclusão de que há a necessidade de realizar trabalhos que ampliem as concepções dos
professores sobre o conceito de fração e seu ensino. (TEIXEIRA, 2008).
Tais conclusões também são observadas em pesquisas que foram realizadas em um
contexto de formação como as de Garcia Silva (2007) e Monteiro Cervantes (2010), por
exemplo.
Garcia Silva (2007), em sua pesquisa, procurou analisar fatores que poderiam
interferir no desenvolvimento profissional de professores dos anos iniciais do Ensino
Fundamental sobre questões relacionadas às frações e seus diferentes significados. Para tanto,
a autora, organizou, a partir da análise de um instrumento diagnóstico apresentado a alunos e
professores dos anos iniciais, um processo formativo composto de 16 sessões em que foram
priorizadas a discussão e reflexão sobre a prática docente.
As sessões de formação foram dedicadas à aplicação de um diagnóstico para avaliar
os saberes de professores e alunos quanto aos significados de fração, ao estudo dos
significados das frações e à vivência de metodologias, à elaboração, pelos professores, de uma
sequência de trabalho que foi desenvolvida com seus alunos em sala de aula e à realização de
entrevistas, objetivando verificar as reflexões feitas pelos professores, ao final e depois de
decorridos um ano do processo formativo. (GARCIA SILVA, 2007).
Os fatores identificados, por essa pesquisadora, que interferem no desenvolvimento
profissional de professores quando estes participam de um processo formativo estão
relacionados às dificuldades deles relativas ao conhecimento matemático, às crenças e
concepções quanto ao ensino e à aprendizagem, em especifico, o das frações e à reflexão
aliada a um trabalho colaborativo. (GARCIA SILVA, 2007).
Com isso, esse estudo chegou à conclusão de que há a necessidade de um amplo
enfoque dos números racionais na representação fracionária, com análise em seus diferentes
significados nos cursos de formação inicial e continuada e de que...
[...] para romper crenças e concepções dos professores sobre ensino e
aprendizagem da Matemática e em específico do objeto matemático frações,
é necessária uma constante reflexão sobre a prática, sobretudo em
ambientes que propiciem um trabalho colaborativo (GARCIA SILVA,
2007, p. 9).
Também nesse mesmo contexto, Monteiro Cervantes (2010), ao investigar sobre o
conhecimento profissional de professores que lecionam matemática para os anos iniciais do
Ensino Fundamental relacionado ao ensino e aprendizagem das frações por meio do
35
significado quociente, quando estes participam de um curso de formação continuada, “conclui
que o trabalho colaborativo e reflexivo dos professores se torna fundamental para o
desenvolvimento profissional docente” (MONTEIRO CERVANTES, 2010, p. 64).
O estudo realizado pela autora partiu da análise de um protocolo apresentado por
Nunes et al. (2005) com a finalidade de verificar se resultados de pesquisas realizadas em
outros países e que mostram que os alunos têm mais facilidade em lidar com os invariantes
equivalência e ordem em situação quociente do que em situação parte-todo se repete no
Brasil.
Esse mesmo protocolo foi aplicado aos 20 professores participantes da intervenção
que foi organizada em um curso de formação, durante o qual elas puderam refletir sobre como
se sentiam ao ensinar fração e sobre a proposta de iniciar o ensino deste conceito pelo
quociente. Durante a formação, algumas das professoras aplicaram o protocolo em sala de
aula com seus alunos, mas não houve tempo, durante o processo formativo, para a discussão
sobre o ocorrido em sala de aula.
Monteiro Cervantes (2010) coletou os dados para seu estudo por meio de registros do
que foi observado nas sessões de formação, questionários, dos problemas propostos aos
professores, bem como a seus alunos e por meio de uma entrevista semiestruturada com uma
das professoras que aplicou o instrumento em sua sala.
A análise dos dados permitiu a pesquisadora perceber que “[...] as professores (re)
significaram o conceito de fração” (MONTEIRO CERVANTES, 2010, p. 64), o que fez com
que ocorressem mudanças nas concepções acerca do tema. Fato confirmado durante entrevista
com uma das professoras. “[...] Seu depoimento e análise dos protocolos dos alunos nos leva
a inferir que realmente ocorreu mudança nas concepções em relação à introdução da
temática” (MONTEIRO CERVANTES, 2011, p. 64, 65).
A partir dos resultados destas pesquisas, acreditamos que refletir sobre questões
relacionadas aos processos de ensino e de aprendizagem do conceito de fração a partir da
participação em um curso de formação é de fundamental importância para a reconstrução dos
saberes dos professores acerca desse tema. Todos esses estudos apontam para a importância
de um processo formativo constante que possibilite o desenvolvimento profissional dos
professores para o ensino da Matemática, sobretudo quando se trata do objeto matemático
frações.
Em nosso estudo, utilizamos e ampliamos procedimentos adotados por Garcia Silva
(2007) e Monteiro Cervantes (2010). O design inicial da formação foi inspirado em Garcia
Silva (2007). Além disso, apresentamos, aplicamos e analisamos com as professoras
36
investigadas o protocolo de Nunes et al. adotado por Monteiro Cervantes (2010) e,
procuramos, durante a formação, garantir espaço para sua discussão e análise das informações
produzidas nas salas das professoras participantes.
Em nossa revisão de literatura, notamos ainda que, nas pesquisas que analisamos, não
ocorreu nenhuma investigação in loco, ou seja, não foram realizadas observações em sala de
aula. Dessa forma, neste estudo, um ano após a ocorrência do processo formativo, fomos ao
local de trabalho das professoras e observamos uma aula de cada uma das três professoras,
sujeitos deste estudo, nas quais elas introduziam o tema fração.
2.2. Fundamentação Teórica
Nesta seção, apresentaremos as teorias que fundamentaram a nossa pesquisa,
primeiramente no que se refere a questões didáticas sobre o objeto matemático, frações, e
posteriormente as teorias relacionadas à formação dos professores: reflexões sobre a prática e
conhecimento profissional docente.
Quanto ao primeiro enfoque, buscamos apoio nas ideias defendidas por Gerard
Vergnaud (1990, 1993, 2009, 2010) a respeito da Teoria dos Campos Conceituais e nos
estudos de Nunes et al (2003, 2005, 2009) que ampliam as investigações realizadas por
Streefland (1991).
Em relação à formação de professores, nossa investigação está fundamentada nas
teorias que tratam da reflexão sobre a prática e sobre o conhecimento profissional docente.
Descreveremos, portanto, neste capítulo, um breve relato sobre os trabalhos de Shulman
(1986, 1987), Serrazina (1999) e Ball et al. (2008).
2.2.1. Teorias que versam sobre o objeto matemático: números racionais na
representação fracionária
Para fundamentar nosso estudo apresentaremos a seguir as pesquisas de Vergnaud
(1993, 2010) e os estudos de Nunes et al. (2003, 2005, 2009) desenvolvidos com apoio em
pesquisas realizadas por Streefland (1991).
37
2.2.1.1. Vergnaud e a Teoria dos Campos Conceituais
Vergnaud (1993) define a Teoria dos Campos Conceituais como sendo uma teoria
psicológica preocupada com o estudo do desenvolvimento cognitivo do aluno e que procura
compreender as ligações e quebras entre conhecimentos, que ocorrem durante a construção e
compreensão de um conceito.
Dessa forma, Vergnaud preocupa-se também com a análise desse mesmo
desenvolvimento, sobretudo ao relacioná-lo ao conteúdo conceitual. Talvez, por isso
considera-a também como “uma teoria da intervenção didática”. (VERGNAUD, 2010).
De acordo com essa teoria, se nos interessamos pela aprendizagem e ensino de um
conceito não podemos reduzi-lo à sua definição. Nesse sentido, Vergnaud (1993) considera
que um conceito é formado a partir de três conjuntos:
S: conjunto das situações que dão sentido ao conceito (referência).
I: conjunto dos invariantes em que se baseia a operacionalidade dos
esquemas (significado).
R: conjunto das formas de linguagem (ou não) que permitem representar
simbolicamente o conceito, suas propriedades, as situações e os
procedimentos de tratamento (significante) (VERGNAUD, 1993, p. 8).
Para esse autor, são as situações e problemas a resolver que dão sentido a um conceito
e é por meio de esquemas que os alunos expõem os seus conhecimentos. Vergnaud define os
esquemas como sendo o comportamento invariante, frente a uma classe de situações. É por
meio deles (os esquemas) que o aluno demonstra a sua compreensão de um conceito. O que
Vergnaud chama de conceito-em-ação ou teorema-em-ação. (VERGNAUD, 1993).
Segundo o autor “Existem vários exemplos de esquemas na aprendizagem
matemática” (VERGNAUD, 1993, p. 5). Alguns, segundo esse teórico, são quase que
automatizados. Isso ocorre quando os alunos, com base nos seus conhecimentos implícitos, os
explicitam ao resolver um problema, ou seja, demonstram habilidade na organização
invariante do seu comportamento ao realizarem alguma tarefa. Tais esquemas aparecem nas:
classes de situações em que o sujeito dispõe, no seu repertório, em dado
momento de seu desenvolvimento e sob certas circunstâncias, das
competências necessárias ao tratamento relativamente imediato da situação
(VERGNAUD, 1993, p. 2).
38
Outros esquemas, porém, pertencem à classe de situações que requer competências
ainda não adquiridas pelo aluno. Com isso, para desenvolvê-los é necessário tempo para
reflexão, exploração, tentativas e erros, ocasionando sucesso ou insucesso na realização de
uma tarefa.
O esquema é, portanto, a organização da ação do sujeito para uma dada classe de
situações. Por isso considerado por Vergnaud (2010) como um conceito fundamental da
psicologia cognitiva e da didática.
Os invariantes operatórios (conceitos em ação e teoremas em ação) que compõem os
esquemas de ação definidos por Vergnaud dividem-se em três tipos:
- Invariantes do tipo “proposição”: teoremas-em-ação
- Invariantes do tipo “função proposicional”: conceitos-em-ação ou categorias-em-
ação
- Invariante do tipo “argumento”: objetos materiais, personagens, números, relações
ou mesmo proposições.
Os teoremas-em-ação (proposições verdadeiras ou falsas) e os conceitos-em-ação
(conceitos indispensáveis à construção das proposições) são construídos numa relação
dialética em que “não há proposições sem funções proposicionais, nem função proposicional
sem proposições” (VERGNAUD, 1993, p. 7). Já “as funções proposicionais podem tornar-se
argumentos” (VERGNAUD, 1993, p. 8).
Dessa forma, para compreender, do ponto de vista cognitivo, em que consiste
determinado conceito, deve-se analisar a gama de comportamentos e esquemas desenvolvidos
pelo sujeito em diferentes situações, o que Vergnaud (1993) define como Campo Conceitual.
Por exemplo, de acordo com a sua teoria, o campo conceitual das estruturas aditivas é
composto por um conjunto de situações que requer a operacionalização de uma adição, uma
subtração ou a combinação destas e o conjunto dos conceitos e teoremas que torna possível a
análise das situações em que estão envolvidos. Da mesma forma, o campo conceitual das
estruturas multiplicativas é formado por um conjunto de situações que requer uma
multiplicação, uma divisão ou a combinação destas operações e um conjunto dos conceitos e
teoremas que torna possível a análise destas situações. (VERGNAUD, 1993, p. 10).
Por se tratar de uma teoria que explica, dentre outras, a construção das estruturas
multiplicativas e como a nossa pesquisa é sobre a introdução do conceito de frações,
apresentaremos algumas das contribuições da sua teoria em relação ao Campo Conceitual
dessas estruturas.
39
De acordo com a Teoria dos Campos Conceituais, um dos conceitos envolvidos no
campo conceitual das estruturas multiplicativas é o de proporcionalidade, pois segundo o
autor “a multiplicação e a divisão estão necessariamente associadas, desde a sua introdução,
às situações de proporcionalidade” (VERGNAUD, 2010, p. 3). Dessa forma, para Vergnaud,
“[...] os mais simples problemas de multiplicação e divisão implicam a proporção simples de
duas variáveis, uma em relação à outra” (VERGNAUD, 1993, p. 14).
A partir dessas ideias iniciais, Vergnaud considera que as estruturas multiplicativas
são relações quaternárias. Para ele, tal relação dá origem a quatro classes de problemas
elementares: multiplicação, partição, quotição e quarta proporcional. Exemplificaremos
utilizando a análise de um problema apresentado pelo próprio autor: “Susana pagou 48 reais
por 8 bolos de creme. Qual é o preço de um bolo?” (VERGNAUD, 2010, p. 6).
Segundo Vergnaud, esse é um tipo de problema que pode ser proposto aos alunos ao
introduzir a divisão. Nele, percebe-se a presença de duas grandezas distintas que estão
interrelacionadas: a quantidade de bolos - um e oito - e os preços correspondentes – quarenta
e oito reais e um preço desconhecido. Na análise feita pelo autor, ele sugere que esse é um
problema de fácil compreensão, pois a relação proporcional instituída a partir do problema,
“[...] pede que se estabeleça a inversão do coeficiente de proporcionalidade: (Vergnaud,
2010, p. 6), ou seja: “[...] 8 bolos são 8 vezes mais do que um bolo, por isso o preço de um
bolo é de 8 vezes menos” (VERGNAUD, 2010, p. 6).
No que se referem às frações, as relações que estão envolvidas nesse significado,
segundo Vergnaud (1993), são as de parte-parte, parte-todo e de proporção. Porém estas se
encontram, na sua maioria, apenas no âmbito das ideias implícitas dos alunos.
Partindo das ideias construídas pela Teoria dos Campos Conceituais, consideramos
que o conceito de fração só terá significado para o aluno, se lhe for permitido explorá-lo em
diferentes situações, a partir das quais ele poderá desenvolver a compreensão do conceito e
dos invariantes que lhes atribui sentido, bem como expressar o conjunto de símbolos de que
ele se utilizou, em uma determinada situação, para representar o conceito, os invariantes e os
procedimentos operatórios.
Partindo dessas ideias, passaremos à descrição de alguns estudos realizados por
Nunes et al (1997, 2003, 2005, 2009) em que eles tomam como base a Teoria dos Campos
Conceituais.
40
2.2.1.2. Nunes et al. e os estudos sobre frações
Outros estudos que contribuíram com a nossa pesquisa foram os desenvolvidos por
Nunes et al (1997, 2003, 2005, 2009). Esses pesquisadores partem da ideia de que como
ocorre com os números inteiros, com as frações, as crianças necessitam fazer conexões entre
quantidades e suas representações fracionárias. Porém, de acordo com seus estudos, este se
constitui um desafio para os alunos, uma vez que, na representação dos números fracionários,
são usados os mesmos algarismos utilizados na representação dos inteiros. Ainda assim, eles
não possuem a mesma interpretação. Entre o numerador e denominador é estabelecida uma
relação que dá significado à quantidade representada pela fração. Nesse sentido, o numerador
e o denominador não representam quantidades isoladas.
Ao aplicar a Teoria dos Campos Conceituais, na análise do conceito de fração, esses
pesquisadores sugerem começar a sua construção
a partir da concepção mais simples de fração e enriquecer essa definição de
fração perguntando qual é o invariante central desse conceito, quais são as
situações nas quais ele é usado e quais são os diferentes tipos de
representação relacionados a ele (NUNES et al., 2003, p. 1).
Ao considerarem que diferentes situações podem facilitar a compreensão da
construção do conceito de fração, por parte dos alunos, Nunes et al. (2005) sugerem uma
classificação para a construção desse conceito formada por quatro situações: parte-todo,
quociente, operador e quantidades intensivas.
Apoiados em Behr et al. (1983, 1984), Nunes et al. (2005, 2009) definem situações
parte-todo como aquelas em que um todo é dividido em n partes iguais, tomam-se uma ou
mais partes e a fração correspondente estabelece uma relação entre as partes em que o todo foi
dividido e as partes consideradas na situação. Dessa forma, o denominador indica em quantas
partes iguais o todo foi dividido, ao passo que o numerador indica o número de partes
referentes à situação. Um exemplo dessa situação pode ser um bolo dividido igualmente em 5
partes, das quais tomam-se 2 dessas partes; a fração correspondente a essa situação é 5
2,
sendo que 2 e 5 são partes do bolo.
Situações quociente são situações em que está presente a ideia de partilha na divisão.
Nelas aparecem duas quantidades: o dividendo e o divisor. Estes representam tanto a divisão
como o resultado dessa divisão. Por exemplo: 3 chocolates divididos para 5 crianças, a
41
representação 5
3 indica tanto a divisão, 3 divido por 5, como a quantidade que cada criança
irá receber 5
3.
Situações operador são aquelas que estão relacionadas à ideia de transformação.
Podemos exemplificá-la se considerarmos que 4
1 de 24 representa dividir 24 em quatro
grupos, tomar 1 grupo (NUNES, 2005).
Situações de quantidades intensivas envolvem duas unidades diferentes que podem ser
reunidas em um todo. Por exemplo: “dois terços de suco concentrado e um terço de água”
(NUNES et al., 2005, p. 152).
Assim, ao tomarem como base as ideias de Vergnaud (1990), Nunes et al (2005)
propõem que sejam consideradas as quatro situações (S) aqui descritas, situações essas que
darão significado às frações, determinarão a compreensão dos invariantes (I) ordem e
equivalência e possibilitarão a construção do conjunto das representações (R) possíveis da
quantidade fracionária: decimal, razão, percentual e fracionária.
Dessa forma, partindo da definição de que frações são números, Nunes et al (2003)
analisam os invariantes e apontam para a necessidade de sabermos como a criança entende a
lógica de classes (2
1 =
4
2 =
6
3 etc.) e a lógica das relações assimétricas (
2
1 >
3
1 >
4
1 etc.) da
fração, ou seja, perceber como as crianças compreendem o que são classes de equivalência de
frações e como ordená-las.
Nesse sentido, seus estudos mostram que quando as crianças usam o esquema de
particionamento em situações de parte-todo, elas podem compreender, quanto mais divide o
todo, menor será a fração que representa cada parte. Isso favorecerá a compreensão da
ordenação e equivalência de frações em situações parte-todo. Contudo, de acordo com esses
estudos, para que a criança desenvolva essa compreensão é preciso partir de experiências
concretas, de suas representações e reflexões (NUNES et al., 2009, p. 10).
Segundo Nunes et al. (2009), alguns pesquisadores consideram que “os números
racionais são números do domínio do quociente”. Dessa forma, eles defendem que as
crianças compreenderão, com maior facilidade, as frações se introduzidas por meio do
significado quociente. Outra ideia defendida por esses pesquisadores é que as situações em
que estão presentes a ideia de divisão favorecem a compreensão da equivalência e ordenação
de frações. No entanto, com isso eles não desconsideram a importância em o aluno vivenciar
42
todas as situações em que as frações estão presentes: “Nosso pressuposto é que os alunos
precisam pensar sobre os racionais em todas as situações, mas algumas podem facilitar a
aprendizagem inicial melhor do que outras” (NUNES 2005).
Ainda em sintonia com a Teoria dos Campos Conceituais, esses pesquisadores
consideram que um conceito não é definido por uma única representação, pois isso não
favoreceria a sua total compreensão. Porém essa não é uma ideia fácil. Eles esclarecem que
os símbolos usados para representar frações equivalentes, por exemplo, parece complicado, se
considerarmos que frações equivalentes são designadas por palavra e símbolos numéricos
diferentes.
Seguindo esse pensamento, os seus estudos apontam que as dificuldades dos alunos na
compreensão da equivalência estão relacionadas:
- à percepção e lógica: mesma fração, mesmo todo, diferenças perceptuais e
- ao papel que a linguagem assume na representação: números diferentes
representando a mesma quantidade (2
1 =
4
2) e o mesmo número pode representar
quantidades diferentes (2
1 de 8 e
2
1 de 10). (NUNES et al., 2005).
Já em relação às dificuldades que os alunos apresentam na compreensão da lógica da
ordenação entre frações, Nunes et al. (2005) afirmam que elas são observadas tanto quando as
frações possuem o mesmo denominador como quando elas têm o mesmo numerador.
Apontadas essas dificuldades, a autora apoiada na Teoria de Vergnaud, realiza uma
investigação que lhe permitiu analisar as situações que podem auxiliar na compreensão das
relações assimétricas das frações e em quais situações os alunos entendem melhor os aspectos
lógicos das classes de equivalência.
No primeiro caso, o estudante precisa perceber que em frações com mesmo
denominador, quanto maior o numerador maior será a fração. Já nas frações com mesmo
numerador quanto maior o denominador, menor é a fração. (NUNES, 2005).
A sua investigação partiu do pressuposto de que algumas situações podem facilitar a
compreensão de fração por parte dos alunos, embora eles necessitem, como já foi mencionado
anteriormente, pensar sobre elas em todas as situações. Participaram desse estudo 130 alunos
do 3º, 4º e 5º ano com idades compreendidas entre 7 a 9 anos. O ensino de frações para os
alunos investigados havia sido desenvolvido por meio do significado parte-todo e operador.
Após concluir que “os alunos compreendem a lógica da equivalência de frações
melhor em situações de quociente do que em situações parte-todo” (Nunes et al, 2005) , com
43
base em um programa criado por Streefland, elaboram uma Sequência de tarefas em que eles
sugerem que a introdução do conceito de fração seja realizado por meio de situações
quociente.
A Sequência de tarefas é formada por quatro situações quociente, envolvendo as ideias
de “partilha” e equivalência. Após responderem as duas primeiras situações, é iniciado o
ensino da escrita das quantidades na representação fracionária. A tarefa de equivalência tem o
objetivo de explorar algumas compreensões, segundo a autora, indispensáveis na
aprendizagem da matemática:
1. é possível dividir um número menor por um número maior
2. frações diferentes podem representar a mesma quantidade
3. dobro de coisas a ser divididas e duas vezes mais receptores
resultaria em quantidades equivalentes
4. o maior divisor, quanto menor for o quociente (NUNES et al., 2009,
p. 16).
Sobre o programa desenvolvido por Streefland (1990) para o ensino de frações, Nunes
et al (2005) relatam que este foi
[...] planejado com a finalidade de coordenar o conceito de fração com o
raciocínio multiplicativo, criando explicitamente relações entre as ideias de
fração como medida de quantidades (por exemplo, dois terços) e a ideia de
fração como uma indicação de uma divisão (3
2 é o mesmo que 2 dividido
por 3) (NUNES et al., 2005, p. 159).
Ainda, segundo esses pesquisadores, Streefland sugere que situações em que são
feitas distribuições equitativas favorecem a compreensão, por parte dos alunos, da ideia de
representação fracionária e, particularmente, da ideia da equivalência de frações.
Essas foram, portanto, algumas das ideias que serviram de base para as reflexões que
realizamos com as professoras, durante o processo formativo, sobre o ensino e a
aprendizagem das frações. Além disso, consideramos a importância em estudar o campo
conceitual em que as frações são construídas, ou seja, dada a importância em analisar a
relação entre os conceitos e os invariantes, conhecimentos contidos nos esquemas adotados
pelos alunos na resolução de situações, bem como a análise das situações que torna o
conceito significativo.
A próxima seção deste capítulo será dedicada às considerações que fizemos sobre as
teorias relacionadas à formação de professores.
44
2.3. Teorias que versam sobre a Formação de Professores: reflexões sobre a prática e
conhecimento profissional docente.
Reiteramos que nossa pesquisa buscou, também, fundamentar-se em teorias que tratam
da reflexão sobre a prática e sobre o conhecimento profissional docente. Desta forma,
descreveremos algumas das contribuições contidas nos estudos de Shulman (1986, 1987),
Serrazina (1999) e Ball et al. (2008).
Para analisar o conhecimento profissional docente, tomamos como base os estudos de
Lee Shulman. Neles, buscamos compreender as Categorias de Conhecimento para o Ensino:
Conhecimento do conteúdo; Conhecimento pedagógico de conteúdo e Conhecimento
curricular.
A sua teoria mostra que a organização dos conhecimentos necessários aos professores,
para fundamentar a compreensão do conteúdo, deveria incluir:
• Conhecimento do conteúdo;
• Conhecimento pedagógico geral, com referência especial para aqueles
princípios amplos e estratégias de gestão e organização de sala de aula, que
parecem transcender o conteúdo;
• Conhecimento curricular, com particular domínio dos materiais e
programas que servem como “ferramentas do ofício” para professores;
• Conhecimento pedagógico do conteúdo, amálgama especial de conteúdo e
pedagogia que é ramo do saber unicamente de professores, sua forma
própria especial de entendimento profissional;
• Conhecimento de estudantes e suas características;
• Conhecimento de contextos educacionais, que vão desde o funcionamento
do grupo ou da sala de aula, a governança e o financiamento dos distritos
escolares, para o caráter das comunidades e culturas; e
• Conhecimento dos fins educacionais, propósitos e valores, e seus
fundamentos filosóficos e históricos (SHULMAN, 1987, p. 11).
Observa-se que seus estudos apontam categorias fundamentais relativas ao
conhecimento dos professores para o desenvolvimento do ensino, uma vez que chama a
atenção para a importância tanto do conhecimento do conteúdo e das propostas curriculares
como das habilidades pedagógicas necessárias para desenvolvê-lo. Aspectos esses
considerados, por esse teórico, como a base do conhecimento para o ensino.
O conhecimento pedagógico do conteúdo é considerado, por Shulman, como a mais
importante das três categorias (Shulman, 1987), em razão de o conhecimento pedagógico do
conteúdo apresentar estreita relação do conhecimento do conteúdo com a prática do professor
45
em sala de aula. Portanto é conhecimento que pertence excepcionalmente aos professores. Ele
o define como sendo:
De especial interesse porque este identifica os distintos corpos de
conhecimento de ensino. Ele representa a mistura de conteúdo e pedagogia
dentro de um entendimento de como tópicos particulares, problemas ou
questões são organizados, representados e adaptados para os diferentes
interesses e habilidades dos alunos e apresentados para instrução
(SHULMAN, 1986, p. 6).
Observa-se que uma das ideias apontadas por Shulman, ao definir tal categoria, está
relacionada às concepções, preconceitos e interesses que os alunos apresentam durante o
processo de ensino e aprendizagem e que são essenciais para tornar a aprendizagem de
conteúdos específicos, fácil ou difícil (SHULMAN, 1987, p. 16).
Para o autor, a primeira categoria de conhecimento está relacionada ao conteúdo
específico da matéria a ser ensinada bem como as formas como ele está organizado. De
acordo com Shulman “para pensar apropriadamente sobre o conhecimento do objeto de
estudo, é preciso ir além do conhecimento de fatos e conceitos de um domínio, é necessário o
entendimento de estrutura da disciplina” (SHULMAN, 1987, p. 15).
O conhecimento curricular refere-se aos programas, à variedade de materiais
instrucionais e ao conjunto de características que são ou não indicadas para “o uso de um
currículo particular ou materiais de programas em circunstâncias particulares”
(SHULMAN, 1987, p. 17).
Dessa forma, as contribuições desse teórico para a nossa investigação vieram,
primeiramente, em razão de acreditarmos, assim como ele, ser de fundamental importância o
domínio do conteúdo específico, por parte dos professores, da área a ser ensinada. Sendo
assim, consideramos importante analisar os conhecimentos de conteúdo, curriculares e
pedagógicos dos professores sobre o objeto matemático dessa pesquisa, frações, sobretudo
acerca da utilização de situações parte-todo e quociente para introduzir o conceito de fração.
Da mesma forma, buscamos contribuições também nos estudos de Ball et al (2008),
pois estes ampliam as Categorias de Conhecimento para o Ensino instituídas por Shulman
(1986). Estes pesquisadores estudaram a prática docente e, com base em Shulman, criaram a
Teoria do Conhecimento para o Ensino da Matemática (MTK). De acordo com essa Teoria,
alguns domínios são necessários para o ensino de Matemática: o Conhecimento do Conteúdo
da Disciplina e o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático, os quais eles os
46
subdividem em três vertentes, pois a partir da análise feita sobre a Matemática e o seu ensino,
considera a hipótese de que:
[...] as categorias de Shulman de conhecimento do conteúdo e do
conhecimento pedagógico do conteúdo podem ser subdivididas em
conhecimento do conhecimento comum e conhecimento do conteúdo
especializado, por um lado, e conhecimento do conteúdo e dos estudantes e
conhecimento do conteúdo e do ensino, por outro lado (BALL et al., 2008,
p. 5).
O Conhecimento do Conteúdo Especializado (SCK) é, para os autores, o de maior
interesse, pois “como conhecimento pedagógico do conteúdo, ele é estreitamente relacionado
com a prática [...] ele é conhecimento distintamente matemático, mas ele não é
necessariamente conhecimento matemático familiar aos matemáticos” (BALL et al., 2008, p.
5). Ao passo que o Conhecimento Comum do Conteúdo (CCK) refere-se ao conhecimento que
possui estreita relação com o conteúdo do currículo, porém não a um currículo específico. É o
conhecimento necessário ao professor para reconhecer algoritmos, desenvolver procedimentos
matemáticos e identificar quando os alunos não o fazem de maneira correta. Portanto
insuficiente ao ato de ensinar. Os autores o definem como sendo “o conhecimento que os
professores precisam para serem capazes de fazer o trabalho que eles atribuem aos seus
alunos” (BALL et al., 2008, p. 6).
O Conhecimento do Conteúdo e de Estudantes (KCS) se apresenta quando o professor
é capaz de interpretar o erro do aluno e propor-lhe encaminhamento. É um “Conhecimento
Pedagógico do Conteúdo” (BALL et al., 2008) que demanda que o professor conheça sobre
matemática e sobre os alunos, que seja capaz de fazer antecipações sobre o pensamento
matemático do aluno.
Quanto ao Conhecimento do Conteúdo e do Ensino (KCT), este demanda do professor
conhecer sobre o ensino (a sequência adequada dos conteúdos, escolha de exemplos para
iniciar, bem como para aprofundar o conteúdo, quando e como propor atividades
complementares à aprendizagem) e dominar conteúdos específicos da Matemática.
As categorias definidas por Ball et al (2008) para o conhecimento do conteúdo
necessário ao ensino são representadas pelo esquema a seguir:
47
Figura 1 - As categorias do conhecimento propostas por Shulman (1985) e as correspondentes de Ball et. al.
(2008)
Fonte: Ball et al (2008, p.5)
Considerando nossa temática de investigação: frações e as categorias de Ball, nos
inspiramos em Pereira (2013)10
para apresentar uma interpretação nossa dos tipos de
conhecimentos propostos por Ball et al (2008) para as frações:
Tabela 1 - Nossa interpretação das categorias de Ball et al (2008) referente aos conhecimentos
necessários ao ensino das frações Tipos de conhecimento para o
ensino de Matemática Conhecimento para o ensino de Fração
Conhecimento comum do
conteúdo
Como exemplo de um caso que demonstra o conhecimento básico a todos os
profissionais que estudaram Matemática na escola, sejam professores ou não
consideramos a compreensão da representação de fração de grandezas
contínuas e discretas; operações com fração. Exemplo: entender o significado
matemático da expressão: .4
1,
3
1horadeoufériasdereceber
Conhecimento especializado do
conteúdo
Como exemplo de um caso que demonstra o conhecimento que permite ao
professor prever erros dos estudantes e identificar suas causas e justificar do
ponto de vista da Matemática é possível pensar em propor e saber justificar
uma situação na qual o estudante precise manter o referencial. Numa situação
na qual solicitamos aos estudantes que escrevam qual a fração que exprime a
quantidade de bolo da figura como fração de bolo para a ilustração a seguir,
certamente, encontraremos alunos que indicarão 12
10em vez de
6
10,
provavelmente, porque consideraram os pedaços de bolo como grandezas
discretas e não contínuas.
10
Pereira (2013), em sua tese, apresentou uma tabela que contém a interpretação dos tipos de conhecimentos
propostos por Ball et al (2008), além de exemplos dessas categorias relativos à equação.
48
Conhecimento de conteúdo e de
alunos
Como exemplo ao conhecimento necessário para entender quais são os erros
comuns aos alunos e propor novas estratégias de ensino, podemos citar o
seguinte caso:
Um procedimento equivocado dos alunos para efetuar a adição de frações é
adicionar numeradores e denominadores. Sabendo que os estudantes trazem
do seu conhecimento intuitivo a ideia de metade, depois de identificar tal
equívoco, o professor pode propor que eles efetuem a operação 2
1
2
1 e
que comparem o resultado. Possivelmente os estudantes utilizarão o mesmo
raciocínio e encontrarão 4
2 . O que, possivelmente, os desestabilizará, pois
sabem, mesmo que informalmente, que duas metades formam um inteiro ou
2
1
2
1 = 1.
Conhecimento de conteúdo e de
ensino
Como exemplo ao conhecimento de conteúdo e de ensino que relaciona a
compreensão de conteúdos específicos da Matemática com questões
pedagógicos que podem interferir no processo de ensino e aprendizagem,
podemos citar a compreensão da necessidade de trabalhar com os diferentes
tipos de situações a fim de construir o conceito de fração.
Conhecimento de conteúdo e de
currículo
Como exemplo do conhecimento que o professor deve ter do conteúdo e do
currículo podemos citar o conhecimento que ele tem de quais seriam as
situações propostas para cada segmento de ensino que o professor leciona.
Por fim, buscamos bases teóricas em estudos realizados por Serrazina (1999) em que
ela, apoiada por Shulman, Ball et al e outros teóricos, investiga sobre aspectos relacionados ao
conhecimento profissional, apontado como “indispensável para desempenhar com sucesso
uma actividade profissional” (SERRAZINA, 1999, p. 140). Em seu estudo, ela destaca,
também, o papel da reflexão para a mudança de concepções e na aquisição de conhecimentos.
Partindo de uma pesquisa de caráter qualitativo e investigativo, desenvolvida com três
professoras da cidade de Lisboa em Portugal, no período de três anos, Serrazina, assumiu uma
postura de investigadora e formadora e realizou um estudo reflexivo e colaborativo em que as
professoras envolvidas “reflectiam sobre as suas práticas, discutiam e partilhavam
significados, aprofundando os conhecimentos de matemática e sobre o seu ensino e
aprendizagem” (SERRAZINA, 1999, p. 147).
A proposta era que, refletindo sobre o que ensinavam e como ensinavam e sendo
capazes de avaliar as suas práticas, as professoras mudariam a maneira como ensinavam. O
que ficou confirmado nos resultados da pesquisa: “[...] mudanças nas práticas parecem
ocorrer quando os professores ganham autoconfiança e são capazes de refletir nas suas
práticas” (SERRAZINA, 1999, p. 163).
Nesse sentido, consideramos assim como Serrazina (1999) que desenvolver um
processo formativo no qual é dada às professoras a oportunidade de refletir sobre o seu
trabalho em sala de aula, permitirá que elas “desenvolvam confiança nas suas capacidades e
49
sintam vontade de aumentar o seu conhecimento de Matemática e sobre a Matemática”
(SERRAZINA, 1999, p. 163). Defendemos, assim como a autora, que isso influencia o
desenvolvimento da atuação do professor em sala de aula e, consequentemente, a
aprendizagem dos alunos.
Ainda segundo essa pesquisadora, na literatura há uma vasta perspectiva teórica
relacionada a esse tema e a maioria dos autores comunga do pensamento de que o
conhecimento profissional docente é “composto por várias vertentes, sendo uma delas o
conhecimento do conteúdo a ensinar” (SERRAZINA, 1999, p. 140).
Foi com base nas teorias descritas que realizamos nossa pesquisa. Elas fundamentaram
a análise das informações produzidas no decorrer da investigação.
50
CAPÍTULO 3 – A PESQUISA: PROCEDIMENTOS
METODOLÓGICOS E O PROCESSO FORMATIVO
Neste capítulo, nos dedicaremos a apresentar os procedimentos metodológicos da
nossa pesquisa e o percurso da formação. Sendo assim, ele está organizado em quatro partes:
na primeira, serão descritas as características de uma pesquisa qualitativa; a segunda será
dedicada a apresentar o contexto da pesquisa e os procedimentos para a coleta e análise das
informações produzidas; na terceira, serão apresentados os instrumentos diagnósticos. Por
fim, a quarta parte será destinada à descrição do processo formativo.
Vale relembrar que o objetivo deste estudo consiste em analisar as mudanças de
concepções relativas aos processos de ensino e aprendizagem de frações, de professores que
lecionam Matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental, participantes de um
curso de formação continuada.
Para atender tal proposta, desenvolvemos, a partir da análise de um questionário
diagnóstico, um processo formativo que nos permitiu proceder à coleta de informações.
Foram também fontes de coleta de dados, a entrevista e a observação em sala de aula de uma
atividade realizada pelos nossos sujeitos de pesquisa para introduzir o ensino de frações com
seus alunos; ambas desenvolvidas um ano após a realização da formação.
3.1. Pesquisa Qualitativa
Consideramos que a nossa pesquisa é de natureza qualitativa, uma vez que apresenta
as características deste tipo de investigação apontada por Bogdan e Biklen (1999, p. 47-50),
quais sejam:
1. Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural,
constituindo o investigador o instrumento principal;
2. A investigação qualitativa é descritiva. [...] Tentam analisar os dados em
toda a sua riqueza, respeitando, tanto quanto o possível, a forma em que
estes foram registrados ou transcritos;
3. Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que
simplesmente pelos resultados ou produtos. [...] Este tipo de estudo foca-se
no modo como as definições (as definições que os professores têm dos
alunos, as definições que os alunos têm de si próprios e dos outros) se
formam;
51
4. Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma
indutiva;
5. O significado é de importância vital na abordagem qualitativa. [...] Os
investigadores qualitativos estabelecem estratégias e procedimentos que
lhes permitam tomar em consideração as experiências do ponto de vista do
informador (BOGDAN et al., 1999, p. 47-50).
No intuito de atender a essas características, parte do nosso estudo foi desenvolvido
em sala de aula. Durante a formação, foi proposta a realização de uma atividade sobre frações,
desenvolvida com os alunos dos nossos sujeitos, que nos permitiu observar a atuação das
professoras; na transcrição dos dados fizemos o registro fiel dos depoimentos e das reflexões
das professoras. Outra característica que buscamos atender e que caracteriza o nosso estudo
como qualitativo diz respeito ao fato de termos voltado o nosso olhar para todo o percurso da
formação. Todos os acontecimentos foram analisados e só posteriormente fizemos inferências
sobre os fatos observados. Por fim, em todas as análises, levamos em consideração
experiências vivenciadas por nossos sujeitos ao longo e depois de sua formação e atuação
profissional.
Na próxima seção, será descrito o contexto em que a pesquisa foi realizada.
3.2. Contexto da Pesquisa
Inspirados no desejo de buscar respostas à nossa questão de pesquisa, “Quais são as
mudanças de concepções dos professores participantes de um processo de formação
continuada que buscou ampliar os conhecimentos necessários ao ensino de fração?”
iniciamos o nosso estudo, no primeiro semestre de 2012, com a revisão de literatura na qual
buscamos dissertações e teses relacionadas aos números racionais, especialmente, aquelas
dedicadas à compreensão dos processos de ensino e de aprendizagem e as que investigaram a
formação de professores nos últimos anos. Para essa revisão também analisamos alguns
artigos que discutiram tal temática.
Ao tempo em que fazíamos a revisão de literatura, planejávamos a nossa investigação.
Esta foi desenvolvida no contexto de um processo formativo, do qual participou um grupo de
18 professoras da rede estadual de ensino do Estado de São Paulo. O grupo foi constituído de
acordo com as normas do Projeto Observatório da Educação da Universidade Anhanguera que
reúnem pesquisadores em Educação Matemática e professores que ensinam Matemática para
os anos iniciais do Ensino Fundamental. A proposta desta pesquisa foi a constituição de um
52
grupo colaborativo de formação e pesquisa, cuja finalidade era promover e analisar o
conhecimento profissional docente das professoras em formação sobre a introdução do
conceito de fração, quando estão imbuídas “de promover inovações pedagógicas em suas
aulas, decorrentes da discussão de resultados de pesquisas em Educação Matemática”
(Projeto Observatório, 2010, p. 2).
O nosso estudo foi desenvolvido em três fases: na primeira fase elaboramos,
aplicamos e analisamos dois instrumentos diagnósticos, o que nos permitiu planejar a
próxima fase da investigação. Na segunda fase realizamos uma formação e na terceira,
ocorrida um ano após o processo formativo, entrevistamos nossos sujeitos de pesquisa e
retornamos à escola para observar a aula que eles planejaram para introduzir o ensino de
frações aos seus alunos.
Dessa forma, a coleta de dados foi realizada em 10 sessões: 2 dedicadas à aplicação e
análise dos instrumentos diagnósticos, a partir da qual organizamos a intervenção que foi
desenvolvida em 6 sessões de formação e a entrevista e observação da aula das professoras,
em 2 sessões.
Durante a formação procuramos dar a oportunidade, às professoras participantes, de
refletirem sobre a introdução do conceito de fração, especialmente, por meio dos
significados parte-todo e quociente utilizando-se de diferentes metodologias. Para introduzir
o conceito, por meio da situação quociente, propomos a vivência de uma Sequência de
tarefas elaborada pela Professora Terezinha Nunes e sua equipe e que foi desenvolvida pelos
pesquisadores na Universidade Oxford e aplicadas em escolas inglesas, portuguesas e
brasileiras. Para discutir a situação parte-todo, fizemos uso da literatura infantil com o livro
“O pirulito do pato” do Nilson José Machado.
Antes de descrever o processo formativo, vamos apresentar os instrumentos
diagnósticos: um questionário de entrada que nos permitiu conhecer o perfil dos sujeitos de
pesquisa e um segundo questionário composto de duas partes: na primeira, foi solicitada às
professoras a elaboração e resolução de situações sobre fração e, na segunda parte, a
resolução de doze situações sobre frações com os significados parte-todo e quociente.
Faremos também a apresentação de uma breve análise das respostas das professoras a esses
instrumentos, uma vez que utilizamos esses dados no planejamento do processo formativo.
53
3.3. Primeiro Instrumento Diagnóstico: Questionário de Entrada
O primeiro instrumento diagnóstico (APÊNDICE 1), composto de onze questões com
a finalidade de traçar o perfil acadêmico e profissional das professoras envolvidas na
pesquisa, procurou analisar a formação e atuação em relação à aprendizagem e ao ensino de
Matemática, em especial, sobre frações.
O questionário, além de nos fornecer informações importantes para o planejamento do
processo formativo, possibilitou também, durante a formação, que as professoras refletissem e
avaliassem o seu desempenho sobre o tema investigado.
3.3.1. Perfil das professoras participantes da formação
A formação foi desenvolvida com um grupo constituído por 18 professoras dos anos
iniciais do Ensino Fundamental, todas pertencentes a escolas ligadas à Diretoria de Ensino
Norte 2. Dessas, apenas 15 responderam ao questionário, o que nos permitiu perceber que:
- Quanto à formação: das 15 professoras que responderam ao questionário, 11
possuíam formação inicial em Magistério, o que corresponde a 73% delas. Dessas, 93%
fizeram curso superior, a maioria em Pedagogia e aproximadamente, 27% cursaram Pós-
graduação Latu Sensu.
- Com relação à atuação profissional: aproximadamente 47% estavam no Magistério
há mais de 20 anos, o que caracteriza que, no geral, as professoras participantes do processo
formativo possuíam uma larga experiência profissional.
No que se refere ao aprendizado da Matemática, especialmente em relação aos
processos de ensino e aprendizagem das frações, durante a formação inicial, mesmo aquelas
que tiveram em seus cursos de graduação a disciplina Metodologia da Matemática, afirmaram
não terem sido suficientemente formadas para o ensino da Matemática, tão pouco para o
ensino das frações.
54
3.3.2. Segundo Instrumento Diagnóstico: as Situações
Reiteramos que o segundo instrumento diagnóstico aplicado às professoras constituiu-
se de duas partes (APÊNDICE 2). Na primeira parte, foi solicitado às docentes a elaboração e
resolução de 05 situações que elas utilizam para introduzir as frações para alunos de 9 ou 10
anos. A segunda parte, composta por 12 itens, na qual procuramos analisar a resolução de
problemas envolvendo diferentes situações com frações (parte-todo e quociente) pelas
professoras. Tal questionário nos permitiu analisar o Conhecimento Profissional Docente.
Acreditávamos que a aplicação desse questionário, de caráter diagnóstico, nos
permitiria identificar as diferentes concepções sobre a fração e seu ensino. Coletamos estes
dados em duas sessões que antecederam a formação. Ressalte-se que a aplicação dos
instrumentos diagnósticos foi realizada de maneira individual. Ressalte-se também, que cada
professora, individualmente, resolveu às situações por ela elaborada.
Na análise da primeira parte do questionário, percebemos que as professoras
elaboraram 68 situações, das quais a maioria, 57,35%, era relacionada ao significado parte-
todo e 23,5% ao significado operador. Tal fato parece confirmar pesquisas recentes (Garcia
Silva (2007); Cardoso e Mamede (2010); Garcia Silva e Canova (2011)) que indicaram haver
uma forte tendência por parte das professoras em trabalhar o conceito de fração utilizando o
significado parte-todo seguida do significado operador.
Ao solicitar a elaboração de situação procuramos investigar os conhecimentos do
conteúdo e do ensino, Ball et al (2008), das professoras sobre os significados de fração.
De modo geral, a análise dessa primeira parte do segundo instrumento diagnóstico,
revelou que pode haver restrição na seleção, organização e proposição de atividades, por parte
das professoras, sobretudo porque não utilizam das situações quociente. Nesse sentido, tais
indícios nos permitiram verificar haver necessidade de aprofundar as discussões sobre este
tipo de situação com o grupo, durante o processo formativo.
Na segunda parte do questionário objetivávamos analisar a compreensão que as
professoras tinham dos significados parte-todo e quociente por meio da resolução de situações
que nos permitiram avaliar tanto o conhecimento das professoras sobre o conteúdo como
também o conhecimento sobre os processos de ensino e aprendizagem das frações.
Para tanto, apresentamos doze situações envolvendo os dois significados, nos quais
exploramos a representação e os invariantes da fração (ordem, equivalência) fundamentados na
Teoria dos Campos Conceituais e nos estudos de Nunes (2003). A tabela 2 identifica os tipos
de situação apresentados no instrumento:
55
Tabela 2 - Situações propostas no 2º instrumento diagnóstico.
Situação
Representação de fração
Invariantes da fração
Ordem Equivalência
Parte-todo 1, 2, 4, 5, 6, 12 3 5 e 6
Quociente 7, 8, 9, 10, 11, 12 10 7
Com esse instrumento pretendíamos avaliar tanto o conhecimento das professoras
sobre o conteúdo como o conhecimento sobre os processos de ensino e aprendizagem de
frações, sendo 9 situações relacionadas ao primeiro aspecto e 3 ao segundo.
No primeiro item, procuramos avaliar o conhecimento das docentes sobre uma
situação de nível fácil. Para tanto, apresentamos uma questão retirada do Saresp11
- 2010, cuja
porcentagem de acerto foi cerca de 72% entre os estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental.
A habilidade descrita para esse item na avaliação é a de analisar se os alunos identificavam
diferentes representações de um mesmo número racional. Nesta questão o aluno teria que
identificar a representação figural (parte-todo) para a fração 12
7.
1. (SARESP, 2010) As duas figuras cuja parte pintada corresponde à fração 12
7
são:
Figura 2 - Primeira situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico
11
SARESP - Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo é uma avaliação externa da
Educação Básica, realizada desde 1996 pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo – SEE/SP.
56
Pretendíamos com a segunda situação propor uma questão mais usual, que
normalmente é encontrada em livros didáticos. Objetivávamos ainda, assim como Garcia
Silva (2007) verificar se as professoras compreendiam que: “[...] a solução requer a
comparação entre partes e o todo e que para haver fração, o todo deve ser dividido em partes
iguais” (GARCIA SILVA, 2007, p. 144).
Para o segundo item, procuramos uma situação que constasse no currículo oficial.
Nesse sentido, propomos a seguinte situação presente no Programa de Orientações
Curriculares - Caderno de Apoio e Aprendizagem Ler e Escrever, do 4º ano, 2010 da
Prefeitura da cidade de São Paulo.
2. (Prefeitura de São Paulo, 2010) Rafael dividiu uma torta em oito pedaços
iguais e comeu dois. Qual a fração que representa o pedaço que Rafael comeu?
a) 8
2 b)
8
6 c)
6
8 d)
2
8
Figura 3 - Segunda situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico
Trata-se de um problema de representação de frações e que aborda o significado parte-
todo. Diferentemente da primeira situação proposta, esta não apresenta ícone, mas também
pode ser resolvida por meio da dupla contagem, indicando no denominador a quantidade de
pedaços em que Rafael dividiu a torta e no numerador a quantidade de pedaços que ele
comeu.
A terceira situação foi utilizada no instrumento aplicado por Costa (2011) com o
objetivo de avaliar as competências e estratégias de ensino dos professores especialistas em
Matemática em relação ao significado parte-todo de fração.
57
3. Bruna e Victor receberam uma barra de chocolate de mesmo tamanho cada
uma. Bruna comeu 5
3do chocolate dela e Victor comeu
4
3 do chocolate dele.
Quem comeu mais chocolate, Bruna ou Victor? Um aluno deu a seguinte resposta: Bruna e Victor comeram o mesmo tanto, porque os dois comeram três pedaços dos seus chocolates.
- Na sua concepção a resposta do aluno está: ( ) Certa ( ) Errada
- Por que está certo? ou Por que está errado?
- Como você resolveria o problema? Você pode resolver por escrito, por meio de operações ou qualquer tipo de representação.
- Que estratégia de ensino você usaria para explicar para a classe a melhor
forma de resolver o problema?
Figura 4 - Terceira situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico
Nossa opção em escolher esta situação se deve ao fato de ela possibilitar a análise do
que Ball et al (2008) identificam como conhecimento do conteúdo e dos estudantes. Nela está
presente a ideia do invariante ordem. Nunes et al (2003) consideram as relações assimétricas
apresentadas por frações com um mesmo numerador como uma das dificuldades relacionadas
ao ensino da ordenação de fração. Segundo seus estudos, as crianças precisam aprender a
pensar nas relações direta e inversa da fração: para denominadores iguais, quanto maior o
numerador, maior é a fração, enquanto que, para numeradores iguais, quanto maior o
denominador, menor é a fração.
A situação a seguir é semelhante a uma utilizada por Rodrigues (2005). Com ela
pretendíamos observar se as professoras manteriam o referencial ao representar as respectivas
frações de pizzas que sobraram nas mesas 1 e 2.
58
4. Na padaria do Senhor Joaquim são oferecidas pizzas como a representada a seguir:
O garçom foi retirar duas mesas - mesa 1 e mesa 2- e observou que os
fregueses não comeram todos os pedaços de pizza.
Analisando a situação podemos afirmar que:
a) A fração de pizza que representa a quantidade da sobra observada na Mesa 1 é _______.
b) A fração de pizza que representa a quantidade da sobra observada na Mesa 2 é ________.
Figura 5 - Quarta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico
Os itens 5 e 6 foram retirados do instrumento da pesquisa realizada por Canova
(2013). Ambas são situações de representar frações a partir do significado parte-todo.
5. O índio corta a sua pizza em 4 partes iguais e come uma parte. A índia corta a sua pizza em 8 partes iguais e come duas partes. As pizzas são idênticas. Represente a fração que cada um comeu.
O índio irá comer mais do que a índia
A índia irá comer mais do que o índio
O índio irá comer tanto quanto a índia Porque _______________________________________________________________ _________________________________________________________________________
Figura 6 - Quinta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico
59
Na situação 5 é explorado o invariante lógico da equivalência de frações, ideia
importante para a construção do conceito de fração, mas de difícil compreensão por muitos
alunos, uma vez que, segundo Nunes et al. (2003), “[...] a equivalência de frações é
designada por palavras diferentes – uma metade, dois quartos – e diferentes signos – 2
1,
4
2.”
(NUNES, et al, 2003, p. 3).
Com a situação 6 pretendíamos verificar se as professoras reconheciam o invariante
lógico da ordenação da fração em situações parte-todo e como elas lidavam com essa ideia,
considerada também fundamental no estudo das frações.
6. Ana divide seu chocolate em 7 partes iguais e come 4 partes. Marta divide seu chocolate em 10 partes iguais e come 5. Os chocolates são idênticos. Represente a fração que cada uma comeu.
Ana comeu mais do que Marta
Marta comeu mais do que Ana
Ana comeu tanto quanto a Marta
Porque _______________________________________________________________ _________________________________________________________________ ________________________________________________________________
Figura 7 - Sexta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico
Em sintonia com a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud e com outros estudos
relacionados às frações, como os de Kieren (1988) e Nunes et al. (2003), procuramos perceber
se as professoras demonstravam compreender os invariantes equivalência e ordem de frações
em situações parte-todo.
60
Em seguida, apresentamos às professoras seis situações que envolviam o significado
quociente. A primeira situação proposta sobre esse significado é semelhante a uma utilizada
por Rodrigues (2005), Garcia Silva (2007) e adotada por Canova (2013), inspirados em uma
situação proposta por Nunes et al (2003), quando estes pesquisadores analisavam a
compreensão dos sujeitos envolvidos, sobre equivalência entre frações.
7. Nove meninos irão dividir igualmente 6 pizzas e não deve sobrar nada.Três meninas irão dividir igualmente 2 pizzas e também não deve sobrar nada. As pizzas são idênticas. Represente a fração que cada criança irá receber de pizza.
Cada menino come mais do que cada menina
Cada menino come menos do que cada menina
Cada menino come tanto quanto cada menina Porque _______________________________________________________________ _________________________________________________________________ ________________________________________________________________
Figura 8 - Primeira situação quociente proposta no instrumento diagnóstico
Trata-se, primeiramente, de uma situação de representar frações, mas também traz o
invariante equivalência, em que é solicitada uma justificativa que nos permitiu avaliar se as
professoras demonstravam compreender esse invariante da fração em situação quociente, uma
vez que os estudos de Nunes et al (2003) apontam que os alunos compreendem mais
facilmente a equivalência de frações em situações quociente.
As situações 8 e 9 exploram a representação de frações relacionada ao significado
quociente.
61
8. Foram divididos, igualmente, 4 chocolates para 5 crianças. Que fração representa o que cada criança recebeu?
Figura 9 - Segunda situação quociente proposta no instrumento diagnóstico
A situação 8 foi utilizada por Garcia Silva (2007) inspirada em estudos de Nunes et al.
(2003) e Streefland (1984). Segundo essa pesquisadora, esses estudos sugerem que o ensino
dos números racionais na representação fracionária deve ser iniciado a partir de situações da
vida real, utilizando-se de problemas em que estão presentes a ideia de divisão.
9. Dois bolos idênticos foram divididos igualmente para 5 pessoas. Quanto recebeu cada uma?
Figura 10 - Terceira situação quociente proposta no instrumento diagnóstico
A situação 9 foi utilizada nos estudos de Costa (2011), também apoiado em Nunes et
al (2003). Com ela, pretendíamos verificar se as professoras observavam a fração como a
representação de uma divisão.
A questão, a seguir, é uma situação de representação, mas tem, ainda, o objetivo de
explorar a ordenação de fração por meio da situação quociente. Nela, é possível também, por
meio da justificativa à resposta apresentada pela professora, avaliar a sua compreensão desse
invariante.
62
10. Numa pizzaria havia duas mesas ocupadas: uma com 4 meninas e outra com 5 meninos. Para a mesa das meninas foram pedidas 2 pizzas e para a mesa dos meninos foram pedidas 4 pizzas.
- Escreva o número que representa a parte de pizza que cada um comeu.
As meninas: _________________
Os meninos: _________________
- Quem comeu mais, cada menina ou cada menino? Por quê?
Apesar de apresentarem argumentos diferentes, percebemos que o gosto pelo 1º ano
está relacionado ao prazer de ver as crianças evoluindo na aprendizagem da leitura e da
escrita. Provavelmente essas duas professoras não estão familiarizadas com o ensino da
Matemática, tão pouco de frações.
Já a Professora Marcela demonstra preferência pelo 5º ano, afirmando que a sua
preferência “está ligada a complexidade dos conteúdos e a motivação para desenvolver junto
com os alunos propostas que permitem ensinar e aprender” (PROFESSORA MARCELA).
Ao serem solicitadas a tecerem comentários sobre as aulas de Matemática,
especialmente, aquelas que tratavam de frações, durante sua trajetória estudantil, uma delas
(Professora Ana) disse gostar das aulas de Matemática. Porém, as outras duas disseram que
suas aulas eram baseadas apenas no livro, na lousa e no caderno, com foco no conteúdo, sem
nenhum contexto, sem a preocupação com o aprendizado e sem significado. Das três
professoras apenas uma referenciou as aulas sobre frações:
81
Eu me lembro que a professora passava na lousa sempre acompanhando
uma pizza ou um chocolate e depois passava muitos exercícios e o livro,
mas aí eu me perdia, porque só sabia fazer mediante as figuras
(PROFESSORA RENATA).
Com relação às metodologias utilizadas pelos seus professores de Matemática,
quando ensinavam frações, questionamos se estas seriam adequadas para os alunos de hoje,
todas elas responderam não, justificando a necessidade de se trabalhar com situações
práticas, com a utilização de mais recursos, com maior exploração dos conceitos ensinados
como ilustra a resposta da Professora a seguir:
[...] Para os alunos que temos hoje não basta ensinar conceitos; devemos
desenvolver situações didáticas onde os alunos apreendem os conceitos,
mas desenvolvam procedimentos necessários para resolver situações
problemas (PROFESSORA MARCELA).
Assim como a Professora Marcela, a Professora Ana também argumentou fazendo
referência à importância de trabalhar com situações-problema.
No que se refere a como elas avaliam o seu aprendizado de Matemática na Educação
Básica, uma delas, a Professora Ana, afirmou não ter apresentado dificuldades; as outras
duas, porém, não demonstraram satisfação, pois, segundo elas, eram baseados na
“decoreba”, e em exercícios repetidos que não estimulavam o raciocínio. Uma das
professoras ainda o avaliou como “desnecessário para a vida, mas que contemplava as
necessidades da escola daquela época” (PROFESSORA MARCELA).
Sobre o aprendizado da Matemática, especialmente, em relação aos processos de
ensino e aprendizagem das frações, durante a formação inicial, a Professora Renata disse ter
tido aulas de Metodologia da Matemática, ainda assim afirmou “não tive aprendizado”. A
Professora Ana o avaliou como “regular”. Afirmou que não estudou fração em seu tempo
de faculdade. Por fim, a Professora Marcela assegurou que sua graduação não teve nenhum
ensino relacionado com a área de Matemática afirmando que:
Todos os cursos que fiz são voltados para a área de humanas, mesmo a
pedagogia o foco foi o processo de desenvolvimento do sujeito
considerando suas habilidades e competências. Não houve nenhuma
relação com a área de matemática (PROFESSORA MARCELA).
Quanto à formação continuada sobre frações, elas foram unânimes em responderem
“não”. Uma das professoras, no entanto, expressou expectativas quanto à formação:
82
[...] esta é a primeira vez que tenho a oportunidade de participar de um
curso de ensino e aprendizagem de fração. Espero sinceramente poder
construir conhecimentos necessários para a prática pedagógica e melhor
construir estratégias didáticas que contemplem a necessidade de
aprendizagem dos alunos (PROFESSORA MARCELA).
Por fim, ao perguntar sobre fatos relacionados aos seus professores de Matemática
durante a trajetória estudantil que marcaram, positiva ou negativamente, e que hoje
influenciam na atuação profissional junto aos seus alunos, duas professoras (Professoras
Renata e Professora Ana) disseram ter experiências positivas com seus professores:
[...] muitas vezes eu ia pelo lado de raciocínio e meus amigos pela fórmula.
Meus professores explicavam as duas maneiras para atingir a todos (PROFESSORA ANA). Sim, a professora de matemática Dona Eliana, eu sempre ficava quieta no
fundo da sala e ela sempre adorava me chamar para ir à lousa, eu era
tímida e com isso foi muito bom, perdi a timidez e procurava estudar mais
para não errar na lousa (PROFESSORA RENATA).
A Professora Marcela, porém, afirma não ter tido nenhuma experiência boa.
“Nenhuma lembrança é boa. Todas são impossíveis, inconcebíveis como educadora”
(PROFESSORA MARCELA).
De maneira geral observamos, a partir das informações colhidas no presente
questionário, que as professoras tiveram pouca ou nenhuma experiência com as frações,
tanto em relação à formação inicial e continuada, quanto em relação aos processos de ensino
e aprendizagem. Pelo exposto, percebemos que mesmo aquela que se referiu às aulas sobre
frações relacionou-as apenas ao significado parte-todo. Pesquisas como as de Garcia Silva
(2007), Campos (2011) e Canova (2013) apontam que essa é a situação que está mais
presente na escola quando do ensino das frações.
Outro aspecto que observamos é que aquela seria a primeira oportunidade que elas
estavam tendo em participar de um curso de formação em educação matemática. Portanto, é
válido ressaltar a importância da participação das professoras em processos formativos, uma
vez que estes podem contribuir para que o professor adquira
[...] uma atitude profissional de maior empenhamento e investimento no
ensino de Matemática, com maior consciência dos desafios que se colocam
[...] maior sensibilidade para os problemas da aprendizagem da
Matemática, maior conhecimento da Matemática a ensinar e de como o
83
fazer, maior predisposição para planificar de forma cuidadosa e
aprofundada a aula de Matemática, maior conhecimento dos recursos a
mobilizar (SERRAZINA, 2010, p. 21).
Apresentada uma breve análise dos resultados do Questionário de Entrada,
passaremos, na próxima seção, à descrição da análise do segundo instrumento diagnóstico
referente às questões elaboradas pelas professoras (APÊNDICE 2).
4.2. Questões elaboradas pelas professoras
Na primeira parte do segundo instrumento diagnóstico solicitamos, às professoras, a
elaboração e resolução de cinco situações envolvendo fração. Pedimos que escolhessem
situações consideradas por elas como importantes para favorecer a introdução desse tema. Ao
propor essa atividade, pretendíamos olhar para o tipo de situação elaborada, os significados
explorados, bem como as estratégias utilizadas na resolução.
Partindo desse princípio, a nossa análise constará de dois momentos: primeiramente,
iremos analisar os significados de fração presentes em cada situação e se eram questões
consistentes (C) ou inconsistentes (I) e os tipos de situações (de representação ou invariante).
Em seguida, analisaremos as estratégias de resolução adotadas pelas professoras, verificando
a consistência ou não das respostas.
4.3. Significados de fração explorados e tipos de situações elaboradas: 2º instrumento
diagnóstico
Na análise consideramos a classificação proposta por Nunes et al (2003): parte-todo,
quociente, operador multiplicativo e quantidades intensivas.
Os dados desta primeira análise revelaram que houve predominância em explorar o
significado parte-todo, das 15 situações elaboradas, em 8 estavam presentes esse significado;
seguido do significado operador multiplicativo, 05 delas. Percebe-se com isso que, 53,3%
eram situações de parte-todo. O que nos faz inferir que, talvez, estes sejam os únicos
significados conhecidos e/ou trabalhados pelas professoras em sala de aula. A tabela 5, a
seguir, mostra essa primeira parte da nossa análise:
84
Tabela 5 - Significados de fração explorados nas situações elaboradas pelas professoras
Professoras
Significados
Parte-todo
Quociente
Quantidades
Intensivas
Operador
Multiplicativo
C I C I C I C I TOTAL
RENATA 3 1 1 5
ANA 3 2 5
MARCELA 2 3 5
TOTAL 8 1 6 15
Pelos dados da tabela, outro ponto que observamos é que nenhuma das professoras,
assim como as demais professoras participantes do processo formativo, elaborou situação com
o significado quociente. Esse é um dado que consideramos importante pelo fato de os
documentos oficiais brasileiros proporem que o significado quociente seja também trabalhado
com alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Também em razão de pesquisas como
as realizadas por Nunes et al (2007); Mamede (2007); Campos (2011) e Canova (2013)
revelarem que introduzir o ensino de frações utilizando-se de situações quociente pode
favorecer a aprendizagem desse conceito. Outro aspecto que justifica a importância desse
dado é que autores como Nunes têm chamado a atenção para o fato de que não existe
“transferência clara do conhecimento de notação aprendido em situações parte-todo para
situações quociente em séries próximas ao ensino desta notação” o que nos leva a inferir
sobre a necessidade de que o professor dos anos iniciais favoreça ao aluno vivências
utilizando também do quociente. Todavia cabe salientar que nesse grupo de professoras, todas
elaboraram a quantidade de situações solicitada, fato que não ocorreu com todos os
participantes da formação.
As figuras 16, 17, e 18 a seguir ilustram essa primeira parte da nossa análise. Nelas
estão alguns protocolos de situações, que consideramos consistentes, as quais foram
elaboradas pelas professoras:
85
Protocolo Professora Renata
Figura 16 - Situação elaborada pela Professora Renata – 2º instrumento diagnóstico
Protocolo Professora Ana
Figura 17 - Situação elaborada pela Professora Ana – 2º instrumento diagnóstico
Protocolo Professora Marcela Figura 18 - Situação elaborada pela Professora Marcela - 2º instrumento diagnóstico
A figura 19 mostra uma situação inconsistente que foi elaborada por um dos nossos
sujeitos:
86
Protocolo Professora Renata
Figura 19 - Situação elaborada pela Professora Renata – 2º instrumento diagnóstico
Essa é uma situação que consideramos inconsistente, uma vez que, embora nela esteja
presente a ideia do significado parte-todo, em nenhum momento, no enunciado, a professora
fez referência à quantidade de partes iguais que foi dividida cada uma das barras de chocolate.
Do ponto de vista do que aponta o currículo do estado de São Paulo, os dados
apresentados são significativos, uma vez que dos três significados apresentados para
introduzir frações para alunos do quinto ano, as professoras elaboraram somente um tipo. O
significado operador não é indicado por esse documento.
A Teoria do Conhecimento para o Ensino de Matemática (MTK) instituída por Ball et
al (2008), com base nos estudos de Shulman (1986) sobre as categorias de conhecimento para
o ensino prevê os domínios necessários para o ensino de Matemática: o Conhecimento do
Conteúdo da Disciplina (conhecimento matemático) e o Conhecimento Pedagógico do
Conteúdo Matemático. Ao considerarmos tal teoria, analisando uma das vertentes do
Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático: conhecimento do currículo, podemos
inferir, a partir das situações elaboradas pelas professoras, haver lacunas nos processos de
ensino e aprendizagem quando se trata de promover a introdução do conceito de fração. Essa
inferência se deve ao fato de termos observado quanto ao tipo de situação elaborada que:
▪ A Professora Renata elaborou 04 situações em que explorava apenas a ideia de
representação de frações e 01 em que explorava os invariantes ordem e equivalência.
▪ A Professora Ana elaborou 04 situações de representação e em 01 delas estava
presente a ideia do invariante ordem.
▪ A Professora Marcela elaborou apenas situações de representação.
87
Em síntese, apresentamos, por meio da tabela 6, o resultado da nossa análise quanto
aos significados e tipos de situações elaboradas.
Tabela 6 - Número de significados e tipo de situações elaboradas pelas professoras
Significado
Tipos de situações
Representar Invariantes
Ordem Equivalência TOTAL
Parte-todo 08 01 01 10
Operador
multiplicativo
05
-
-
05
TOTAL 13 01 01 15
Analisando a tabela 6, evidenciamos que os invariantes ordem e equivalência foram
explorados em apenas uma das situações. Isso evidencia a maior preocupação dos nossos
sujeitos com a elaboração de situações que envolvem a representação em detrimento de
situações utilizando as ideias de ordem e equivalência.
À luz da Teoria dos Campos Conceituais, que defende que na construção de um
conceito matemático é necessário considerar um conjunto de situações que dará significado a
esse conceito, um conjunto de invariantes operatórios em que objetos, propriedades estão
inter-relacionados e um conjunto de representações que podem ser utilizadas para representar
as situações, podemos inferir, mais uma vez, que a aprendizagem do conceito de fração parece
dar-se de forma comprometida, dado não termos percebido tais características nas situações
elaboradas nesse instrumento diagnóstico.
Essa é uma dificuldade apontada por pesquisadores já na década de 90 quando Nunes
e Bryant (1997) em seus estudos chamam a atenção para a forte tendência dos professores em
trabalhar o conceito de fração utilizando principalmente o significado parte-todo. Seus
estudos consideram a possibilidade de:
[...] que esta lacuna seja uma consequência da aprendizagem do aluno de
linguagem fracional na escola simplesmente através do procedimento de
dupla contagem (NUNES E BRYANT 1997, p. 212-213.).
88
Dessa forma, essas informações nos levam a inferir sobre a relevância da proposição
da formação que buscou ampliar os conhecimentos dos nossos sujeitos tanto sobre situações
parte-todo como quociente e também sobre seus invariantes.
Passaremos à análise das respostas às situações elaboradas nesta primeira parte do
segundo instrumento diagnóstico.
4.4. Respostas das professoras às situações elaboradas
Dedicaremos esta seção à análise das respostas das professoras às situações, por elas
elaboradas. Iremos caracterizá-las, segundo a resolução apresentada em respostas consistentes
ou inconsistentes. Com isso acreditamos ser possível observar se as estratégias por elas
utilizadas revelam o seu domínio ou não do conteúdo.
Um primeiro aspecto que observamos é que as respostas nos revelam que,
independente do tipo de situação elaborada (parte-todo ou operador multiplicativo), na
resolução, as professoras utilizaram-se principalmente da ideia de partição, o que é mais um
indício de que, possivelmente, elas promovem o ensino utilizando, sobretudo, do significado
parte-todo.
Protocolo Professora Ana
Figura 20 - Resposta da Professora Ana à situação por ela elaborada – 2º instrumento diagnóstico
89
Dentre as estratégias utilizadas na resolução das situações, houve predominância do
procedimento de desenhos e/ou operações.
Protocolo Professora Marcela
Figura 21 - Resposta da Professora Marcela à situação por ela elaborada – 2º instrumento diagnóstico
Outra característica interessante observada nas situações elaboradas pelas professoras
é a preocupação em apresentar um contexto próximo ao das crianças. As figuras 22, 23 e 24
ilustram uma situação elaborada por cada um dos nossos sujeitos de pesquisa, bem como a
resposta dada a essas situações.
Protocolo Professora Renata
Figura 22 - Situação elaborada pela Professora Renata e sua resposta à mesma – 2º instrumento diagnóstico
90
Na elaboração dessa situação, a Professora Renata partiu de uma situação do
cotidiano. Quanto à resposta consideramos que a professora apresentou uma solução válida:
ela se utilizou da ideia de operador para descobrir 3
1das páginas do livro; fez uso também da
ideia de proporcionalidade para calcular 3
2 do mesmo livro e ao final achou a diferença entre
o total de página e 3
2delas. Entretanto, vale ressaltar que a Professora Renata demonstrou
uma preocupação em apresentar seus dados de forma rigorosa, uma vez que indicou 2003
1
para 200600.3
1 .
A situação a seguir, foi apresentada pela Professora Ana.
Protocolo Professora Ana
Figura 23 - Situação elaborada pela Professora Ana e sua resposta à mesma – 2º instrumento diagnóstico
Mais uma vez percebemos a preocupação em elaborar uma situação do cotidiano da
criança. A professora respondeu a questão e demonstrou sua preocupação em apresentar uma
partilha equitativa. Analisando a resposta, consideramos que, possivelmente, ao elaborar o
problema a Professora Ana pensou em uma caixa com 12 bombons, todavia não indicou esse
dado na situação. Observa-se ainda que a situação envolve o significado parte-todo e a ideia
dos invariantes, ordem e equivalência.
91
A seguir expomos a situação apresentada pela Professora Marcela.
Protocolo Professora Marcela
Figura 24 - Situação elaborada pela Professora Marcela e sua resposta à mesma – 2º instrumento diagnóstico
Nesta situação a professora também partiu de uma situação comum do dia a dia. Ela
respondeu corretamente. Quanto à estratégia de resolução, nosso sujeito fez uso da partição e
utilizou também a subtração.
A partir dos exemplos de resposta apresentados, na tabela 7, registramos a síntese da
nossa análise acerca das respostas que consideramos consistentes e que fizeram uso da
estratégia do cálculo de algoritmos e respostas consistente que utilizaram como estratégia de
resolução, a ideia de partição e, finalmente, das respostas que julgamos inconsistentes.
Tabela 7 - Número de respostas consistentes e que fizeram uso da estratégia do cálculo de algoritmos, respostas
consistentes que se utilizaram da estratégia de partição e número de respostas inconsistentes.
Respostas Consistentes e
que fizeram uso da
estratégia do cálculo de
algoritmos
Respostas Consistentes e
que se utilizaram da
estratégia de Partição
Respostas Inconsistentes
04 10 01
Pelos dados da tabela 7, observamos que as professoras demonstraram resolver
corretamente 93,3% das situações por elas elaboradas. As situações exploraram apenas dois
92
dos significados da fração e apresentaram um grau de dificuldade baixo, no sentido de que, as
professoras utilizaram-se predominantemente da ideia da fração própria.
Ressaltamos que ao solicitar a elaboração das situações procuramos investigar os
conhecimentos do conteúdo e do ensino das professoras sobre os significados de fração, que,
na perspectiva de Ball et al (2008), pressupõe a criação e escolha de exemplos e ilustrações
que poderiam propiciar a compreensão do conceito de fração, por alunos dos anos iniciais do
Ensino Fundamental.
Assim, as análises que fizemos dessa primeira parte do segundo instrumento
diagnóstico indicaram lacunas nos conhecimentos das professoras, sobretudo em relação ao
conhecimento do significado quociente e ao seu ensino.
4.5. Respostas das professoras às situações propostas na segunda parte do segundo
instrumento diagnóstico: significados parte-todo e quociente
Esta seção será dedicada à análise do conhecimento profissional docente das
professoras acerca do tema. Para tanto, iremos observar as respostas apresentadas, pelos
sujeitos, às diferentes situações com fração propostas, no questionário diagnóstico, em que
eram explorados os significados parte-todo e quociente.
Um primeiro aspecto que observamos nas resoluções apresentadas pelos sujeitos à
maioria das situações é que, de maneira geral, elas utilizaram-se como estratégia de
procedimentos resolutivos, os desenhos. Estudos como os de Nunes et al (2005) apontam que
“os desenhos servem como apoio para a lógica” (NUNES, 2005). Nesse sentido
consideramos ser fundamental analisar a resolução de cada uma das situações.
4.5.1. Respostas às atividades com o significado parte-todo
Objetivando facilitar o nosso olhar e a análise dos dados, decidimos categorizar os
tipos de situação: de representação, de ordem e de equivalência.
93
Situações de representação
No protocolo foram propostas três situações do tipo representação: a primeira delas,
com ícone, em que era solicitado que fossem identificadas as duas figuras cuja parte pintada
corresponderia à fração 12
7; a segunda não apresentava ícone e pedia que fosse identificada a
fração do todo que representaria a quantidade de torta que Rafael comeu, sabendo que ela foi
dividida em oito pedaços e ele comeu dois.
Observamos que todas as professoras responderam corretamente à primeira situação,
conforme ilustra a figura 25:
Professora Renata
Professora Ana
Professora Marcela
Protocolos Professora Renata, Professora Ana e Professora Marcela
Figura 25 - Resposta das Professoras Renata, Ana e Marcela à 1ª situação proposta – 2º instrumento
diagnóstico
Como podemos observar, as respostas não apresentaram nenhum indício do esquema
de resolução que as professoras adotaram para essa situação. O mesmo ocorreu com a
segunda situação.
A terceira situação era a seguinte:
“Na padaria do Senhor Joaquim são oferecidas pizzas como a representada a seguir
O garçom foi retirar duas mesas - mesa 1 e mesa 2- e observou que os fregueses não comeram
todos os pedaços de pizza.
”
Em seguida foi solicitado às professoras que, ao analisar a situação, elas
representassem a fração de pizza que havia sobrado em cada mesa. Verificamos que as
Professoras Marcela e Renata representaram corretamente as respectivas frações. A resposta
94
ao item “a” foi indicada nos estudos de Rodrigues (2005). Dessa forma, é possível perceber
que as professoras identificaram o todo e as partes. O mesmo ocorreu com a Professora Ana.
Verificamos, ainda, em relação à mesa 2, que as professoras representaram a fração na forma
mista. Esse é um tipo de representação que não foi apontado por Rodrigues como
possibilidade de resposta.
Professora Marcela
Professora Renata
Protocolos Professoras Marcela e Renata
Figura 26 - Resposta das Professoras Marcela e Renata à 4ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
A Professora Ana, no entanto, no segundo item, registrou uma representação que não
condiz com a fração de pizza correspondente ao que havia sobrado na segunda mesa, como
podemos observar na figura a seguir:
Professora Ana
Protocolo Professora Ana
Figura 27- Resposta da Professora Ana à 4ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
Percebemos, na resposta apresentada pela professora, que ela modificou a unidade de
referência ao considerar as duas pizzas da mesa 2 e não a “fração de pizza” que correspondia
à quantidade restante na mesa. Essa é uma dificuldade apontada nos estudos de Rodrigues
(2005). Apoiado nas ideias sobre o papel da unidade, desenvolvidas por Kieren (1981, 1993) e
95
Mack (1990), Rodrigues (2005) chama a atenção para a importância da compreensão do papel
da unidade de referência como ideia fundamental na construção do conceito de fração.
Situações que envolviam o invariante ordem
Para verificarmos a compreensão das professoras em relação à ordenação de frações
em situações com o significado parte-todo foram propostas duas situações. Dessa forma
analisaremos as respostas dos sujeitos a cada uma delas, em particular.
A primeira envolvia duas crianças, Bruna e Victor, que receberam uma barra de
chocolate de mesmo tamanho cada uma. Bruna comeu 5
3 do chocolate dela e Victor comeu
4
3 do chocolate dele. Perguntado sobre quem comeu mais chocolate, foi apresentada a
resposta de um aluno fictício em que ele afirmou que “Bruna e Victor comeram o mesmo
tanto, porque os dois comeram três pedaços dos seus chocolates”. Foi solicitado que as
professoras avaliassem se a resposta apresentada pelo estudante estava certa ou errada e
justificassem sua resposta. Ao final, pedimos ainda que as professoras apresentassem uma
solução e estratégias de ensino que explicassem a melhor forma de resolver tal situação.
As soluções apresentadas nos permitiram observar que as Professoras Ana e Renata
responderam corretamente ao primeiro item, ao considerar que a resposta do aluno estava
errada.
Professora Renata
Professora Ana
Protocolos Professora Renata e Professora Ana
Figura 28 - Resposta das Professoras Renata e Ana à 3ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
96
Verificamos que para justificar suas respostas, as professoras apresentaram raciocínio
semelhante: ambas referiram-se à quantidade de partes em que cada chocolate havia sido
dividido. A Professora Ana fez referência à resposta do aluno, considerando que ele observou
apenas o numerador e não o número de partes divididas. Nesse sentido, ela parece ter
percebido a relação entre o numerador e o denominador. A Professora Renata, no entanto,
referiu-se apenas à quantidade de pedaços, não os relacionando à fração correspondente.
A Professora Marcela, no entanto, pois julgou, de maneira equivocada, que a resposta
do aluno estava correta.
Professora Marcela
Protocolo Professora Marcela
Figura 29 - Resposta da Professora Marcela à 3ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
A análise dos registros da professora indicam que ela considerou, assim como o aluno,
apenas a quantidade de pedaços que Bruna e Victor comeram da pizza, 3 pedaços, sem
considerar a diversidade de unidade de medida, ou seja, quartos e quintos. Vale ressaltar que
nesse tipo de situação esperávamos que as professoras observassem as relações assimétricas
da fração: a ideia de relação inversa entre denominador e a quantidade correspondente à
fração “[...] para o mesmo numerador, quanto maior o denominador, menor a fração”
(NUNES, et al, 2003, p. 3).
Em relação às estratégias de ensino para essa situação, a Professora Marcela não
apresentou resposta. A Professora Ana apenas referiu-se aos conhecimentos prévios,
utilização de desenhos e materiais concretos sem, contudo, explicitar mais claramente como
seria tais estratégias. Já a Professora Renata, apesar de ter apresentado uma estratégia válida,
97
não fez nenhuma referência à importância em considerar a equivalência de área (este é um
aspecto fundamental no ensino de frações).
Professora Ana
Professora Renata
Protocolos Professoras Ana e Renata
Figura 30 - Estratégias de ensino apresentadas pelas Professoras Ana e Renata: 3ª situação proposta – 2º
instrumento diagnóstico
Em sintonia com Ball et al. (2008), na nossa análise sobre os Conhecimentos de
Conteúdo e de Ensino e os Conhecimentos de Conteúdo e de Estudantes foi possível perceber
que as professoras apresentam, ainda, dificuldades em interpretar o pensamento do aluno e em
propor estratégia de ensino que favoreçam a compreensão do conceito de fração e o
desenvolvimento de esquemas necessários à representação correta da fração correspondente à
situação proposta.
A outra situação que propomos acerca da ideia de ordenação de frações apresentava
duas crianças: Ana e Marta. Cada uma possuía um chocolate: ambos idênticos. Foi solicitado
que as professoras representassem a quantidade de chocolate que cada criança comeu,
considerando que Ana dividiu o seu chocolate em 7 partes iguais das quais comeu 4 e Marta
dividiu o seu chocolate em 10 partes iguais e comeu 5. O problema solicitava ainda, que as
professoras analisassem quem comeu mais (Ana ou Marta) e que justificassem suas respostas.
A análise dos protocolos nos mostra que todas as professoras representaram as frações
correspondentes às quantidades de chocolate apresentadas na situação. As Professoras
Marcela e Renata fizeram uso da mesma estratégia de resolução (por meio de desenhos).
Porém, somente a Professora Renata identificou tal invariante.
98
Protocolo Professora Ana
Figura 31 - Resposta da Professora Ana à 6ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
Protocolo Professora Marcela
Figura 32 - Resposta da Professora Marcela à 6ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
99
Protocolo Professora Renata
Figura 33 - Respostas da Professora Renata à 6ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
Analisando as justificativas, percebemos que todas as professoras usaram a mesma
lógica de raciocínio em seus argumentos. Porém tais argumentos não foram suficientes para a
Professora Marcela perceber a ordenação entre as frações, pois considerou que metade do
chocolate de Marta correspondia a uma quantidade maior do que a quantidade que Ana
comeu. Por outro lado, o registro da fração 2
1, contido no protocolo da Professora Ana,
parece ter favorecido a compreensão de que essa quantidade seria menor do que 7
4. A nossa
hipótese é que a professora tomou como referência a metade que é representada por 2
1 e para
descobrir que 7
4 era maior que a metade observou que o algarismo presente no numerador (4)
representava mais do que a metade do representado no denominador (7).
100
Situação que envolvia o invariante da equivalência
Para analisar a compreensão das professoras sobre a equivalência de frações com o
significado parte-todo, propusemos uma situação em que um índio e uma índia possuem uma
pizza idêntica, cada um. A situação sugere que o índio corta a sua pizza em 4 partes iguais e
come uma e, a índia corta a sua pizza em 8 partes iguais e come duas. Com isso, é solicitada a
representação fracionária que corresponde à quantidade que cada um come da pizza e que seja
identificado quem come mais ou menos pizza ou se ambos comem a mesma quantidade. Em
seguida, é solicitada, ainda, uma justificativa para a resposta dada à situação.
A análise das resoluções revelou que as três professoras investigadas identificaram a
equivalência das frações nessa situação, conforme podemos observar nos protocolos a seguir:
Protocolo Professora Renata
Figura 34 - Resposta da Professora Renata à 5ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
Protocolo Professora Marcela
Figura 35 - Respostas da Professora Marcela à 5ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
101
Protocolo Professora Ana
Figura 36 - Respostas da Professora Ana à 5ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
Um ponto que consideramos importante nas respostas, das professoras, é que elas
apresentaram argumentos diferentes para justificarem a equivalência entre as quantidades
fracionárias.
Professora Renta
Professora Marcela
Professora Ana
Protocolos Professora Renata, Professora Marcela e Professora Ana
Figura 37 - Justificativas das professoras referentes à resposta apresentada: 5ª situação proposta – 2º instrumento
diagnóstico
A Professora Renata utilizou-se da ideia de correspondência para justificar a
equivalência entre as frações. A Professora Marcela, também, fez uso da ideia da
proporcionalidade ao indicar que as quantidades eram percentualmente equivalentes. Por fim,
102
a Professora Ana referiu-se à quantidade de pedaços resultados da divisão, concluindo que as
frações correspondentes são equivalentes.
4.5.2. Respostas às atividades com o significado quociente
Ao analisar as respostas das professoras às situações com o significado quociente,
observamos que todas elas também se utilizaram do esquema da partição para resolvê-las.
Isso nos remete, mais uma vez, ao fato de que, possivelmente, promovem o ensino utilizando-
se, sobretudo, do significado parte-todo.
No entanto, observamos que embora tenham representado corretamente a maioria das
frações correspondentes a cada situação, ocorreram alguns equívocos no raciocínio das
professoras, os quais iremos discutir mais adiante.
Na análise iremos categorizar também por tipo de problemas: representação, ordem e
equivalência:
Situação de representação
Foram propostas duas situações em que era solicitada apenas a representação
fracionária das quantidades. Na primeira, foi solicitada a representação da fração referente a 4
chocolates que foram divididos igualmente com 5 crianças.
Observamos que as Professoras Renata e Ana representaram a fração que indicava a
quantidade de chocolate distribuída para cada criança. A Professora Marcela, no entanto, não
representou a fração que resultaria na quantidade de chocolate que cada criança recebeu,
conforme verificamos nas figuras:
103
Protocolo Professora Renata
Figura 38 - Respostas da Professora Renata à 8ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
Protocolo Professora Ana
Figura 39 - Respostas da Professora Ana à 8ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
104
Protocolo Professora Marcela
Figura 40 - Respostas da Professora Marcela à 8ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
Ao observar os protocolos, percebemos que as professoras tiveram raciocínio e
apresentaram estratégias semelhantes. Os registros da Professora Ana sugerem que ela dividiu
cada chocolate em cinco partes, das quais considerou 5
1 de cada chocolate para cada criança;
utilizando-se do algoritmo da adição, chegou à conclusão de que a fração que representa a
quantidade que cada criança recebeu do chocolate é 5
4. O mesmo raciocínio parece ter sido
utilizado pela Professora Renata ao desenhar as barra de chocolate, dividi-las em cinco partes
e tomar uma de cada, resultando na fração 5
4. A Professora Marcela, no entanto, embora
tenha utilizado um raciocínio correto, ao registrar a fração 5
1, talvez se referindo ao que cada
criança recebeu de cada chocolate, não apresentou uma resposta que confirmasse a nossa
hipótese de que ela adicionaria as frações de modo a obter 5
4, pois ao final indicou apenas o
total de pedaços em que os chocolates foram divididos sem, contudo, fazer a representação
fracionária dessa quantidade. Percebemos na estratégia de resolução que as professoras aqui
investigadas mobilizaram o mesmo teorema em ação, que deu origem a um esquema já
apontado por outros pesquisadores (Carperter et al, 1994, apud Garcia Silva, 2007) e
observado em outros estudos (Garcia Silva, 2007): que é dividir cada barra de chocolate em
partes iguais e distribuir uma parte para cada uma das crianças.
105
Como as professoras utilizaram-se da partição para resolver a situação, julgamos que,
de modo geral, mesmo as que responderam corretamente parecem não ter percebido uma ideia
fundamental que só aparece em situações quociente: a presença de duas variáveis que podem
ser interpretadas a partir de dois significados. Este problema, por exemplo, pode ser
interpretado como a representação de 4 chocolates divididos por 5 crianças, como também a
parte que cada criança recebeu do chocolate.
Na segunda situação proposta, havia 2 bolos que foram divididos igualmente entre 5
pessoas. Passemos a observar o raciocínio das professoras ao representar a quantidade de bolo
que cada pessoa recebeu.
Professora Marcela
Professora Renata
Professora Ana
Protocolos Professora Marcela, Professora Renata e Professora Ana
Figura 41 - Resposta das Professoras Marcela, Renata e Ana à 9ª situação proposta – 2º instrumento
diagnóstico
Os registros no protocolo da Professora Ana sugerem que inicialmente ela dividiu
cada bolo em 10 partes. Porém parece ter feito a simplificação dos termos, uma vez que
registrou a fração 5
1; efetuando a adição das duas frações, concluiu que cada pessoa recebeu
5
2 de bolo.
Verificamos que a Professora Marcela também efetuou uma operação para chegar ao
resultado. Já a Professora Renata utilizou-se da ideia de correspondência para apresentar uma
solução à situação.
Situação que envolvia o invariante equivalência
A situação em que pretendíamos verificar a compreensão dos sujeitos da pesquisa em
relação ao invariante equivalência em situações quociente consistia em afirmar que 6 pizzas
idênticas seriam divididas igualmente entre 9 meninos. Da mesma forma, 3 meninas iriam
dividir igualmente 2 pizzas idênticas. O problema solicitava a representação da quantidade de
106
pizza que cada menino e cada menina receberia. Além disso, solicitou ainda que fosse
identificado quem comeu mais, menos ou se eles comeram a mesma quantidade. Por fim
solicitamos que as professoras justificassem a resposta apresentada.
Analisando as justificativas, percebemos que há indícios de que as Professoras Ana e
Renata demonstraram compreender a lógica da equivalência entre as quantidades de pedaços.
Protocolo Professora Ana
Figura 42 - Respostas da Professora Ana à 7ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
Protocolo Professora Renata
Figura 43 - Resposta da Professora Renata à 7ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
107
Consideramos importante comentar os itens que mostram o raciocínio utilizado pelas
professoras na identificação de tal invariante.
Em relação à representação, observamos que a Professora Ana indicou, no espaço
destinado a apresentar a resposta, a fração 6
4 para ambos (meninos e meninas).
Possivelmente, ela considerou que cada menino recebeu 4 pedaços de 6
1 (ela dividiu cada
pizza em 6 pedaços) e as meninas também receberam 4 pedaços de 6
1. Dessa forma, há
indícios de que a professora considerou de forma correta como o todo referência, cada pizza.
Todavia, os registros contidos ao lado da situação, nos fazem acreditar que, embora
tenha respondido corretamente que ambos comeram a mesma quantidade, o processo de
resolução não ocorreu de maneira imediata. A Professora Ana, a princípio, considerou como
o todo referência, o número total de partes em que todas as pizzas foram divididas: 36 partes a
dos meninos e 12 partes a das meninas. Em seguida, distribuiu as partes e descobriu que tanto
os meninos como as meninas comeram 4 partes, o que, possivelmente, gerou as frações
12
4
36
4e , respectivamente. Ao final, a Professora Ana simplificou as duas frações
16
gerando3
1
9
1e . Porém ela abandonou essa ideia inicial, passando a tomar como unidade de
referência a fração de pizza.
A Professora Renata parece ter seguido a mesma linha de raciocínio. A sua
justificativa, assim como a da Professora Ana, indica que os argumentos por elas
apresentados estavam fundamentados na ideia de partição. Um aspecto importante,
identificado, é que para essa situação a Professora Renata, assim como a Professora Ana,
manteve a unidade de referência, tomando como base cada pizza.
A Professora Marcela, no entanto, parece ter identificado apenas a equivalência entre
as quantidades de pedaços de pizzas que cada menino e cada menina receberiam, ao perceber
a proporcionalidade entre as partes sem, contudo, identificar a equivalência entre as
quantidades fracionárias.
16
Durante a entrevista realizada um ano depois da formação a Professora Ana nos informou que onde se lê
9
1:
36
4 leia-se 9
1
36
4 .
108
Protocolo Professora Marcela
Figura 44 - Resposta da Professora Marcela à 7ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
Observando o protocolo, percebemos que a professora dividiu os 9 pedaços de cada
pizza entre três meninos, resultando em 3 pedaços. Como disse que cada menino receberia 2
pizzas, concluiu que cada um receberia 6 pedaços. O que a levou a representar incorretamente
a fração, pois considerou como unidade de referência o número total de partes em que todas
as pizzas foram divididas: 54 fatias a dos meninos e 18 fatias a das meninas e não as partes
em que uma pizza foi dividida. Com isso ela mudou o referencial.
Dessa forma, podemos inferir que se utilizar do esquema de partição, em situações
quociente, pode induzir ao erro de mudar a unidade de referência.
Esses registros nos sugerem que com as professoras ocorreu o que Nunes et al. (2005)
observou quando investigou alunos, ou seja, que não houve, para esta situação, a transferência
imediata do conhecimento de parte-todo para quociente.
Situação que envolvia o invariante ordem
A situação que proporcionou verificar a compreensão das professoras em relação à
ordenação de frações foi a seguinte: Numa pizzaria haviam duas mesas ocupadas: uma com 4
meninas e outra com 5 meninos. Para a mesa das meninas foram pedidas 2 pizzas e para a
mesa dos meninos foram pedidas 4 pizzas. A partir dessa situação, foi solicitado a
representação da fração que indicava a quantidade de pizza que cada menina e cada menino
comeu e que as professoras identificassem quem comeu mais e o porquê.
109
As Professoras Ana e Renata identificaram a ordenação entre as frações apresentadas
e suas justificativas foram bem semelhantes, como podemos perceber nas figuras a seguir:
Professora Ana
Professora Renata
Protocolos Professora Ana e Professora Renata Figura 45 - Resposta das Professoras Ana e Renata à 10ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
Observamos que mesmo tendo identificado a ordenação, a Professora Ana demonstrou
dificuldade na representação da fração de pizza que cada menino comeu. Ela não apresentou
uma reposta válida, pois considerou que cada menino comeu 16
13 de pizza. Para chegar a essa
conclusão adicionou as frações 4
3 +
16
1.
Numa análise mais detalhada, percebemos que a professora, possivelmente pensou em
dividir cada uma das pizzas dos meninos em quatro partes, ou seja, em quartos. Como eram
quatro pizzas, considerou corretamente que no total teriam dezesseis pedaços de quartos. Ao
dividir os dezesseis pedaços entre os cinco meninos, chegou à conclusão de que cada um
receberia três pedaços de quartos. Por isso o registro da fração4
3. Esse raciocínio inicial
estava correto. Porém quando a professora foi realizar a divisão do 4
1de pizza restante entre
os cinco meninos ela equivocou-se duplamente: primeiro, ao mudar o referencial que
inicialmente era de pizza e passou a ser 4 pizzas )16
1( pizzasquatrode ; segundo, ao não
considerar que essa parte seria dividida entre os cinco meninos. Acreditamos que,
possivelmente, os dois enganos sejam de natureza diferente, ou seja, enquanto o primeiro
refere-se a um erro conceitual, o segundo pode ter ocorrido por desatenção. Isso nos faz
110
refletir sobre as implicações dessas dificuldades na prática pedagógica, especialmente, da
relativa à conservação da unidade, uma vez que tal ideia é fundamental, sobretudo quando o
professor utiliza-se do significado parte-todo.
Já a Professora Renata parece não ter apresentado grandes dificuldades: utilizando-se
do esquema de partição, fez a correspondência entre a quantidade de pizzas e a quantidade de
meninas e meninos, identificando assim a relação de ordem entre as quantidades.
Um ponto interessante é que as professoras partiram da ideia de metade para fazer a
comparação entre as quantidades e chegarem à conclusão de que cada menino comeu uma
quantidade maior de pizza do que cada menina. Nesse sentido, para essa situação, acreditamos
que as professoras conseguiram estabelecer a relação existente entre o numerador e o
denominador, o que não ocorreu na situação anterior.
Todavia, vale ressaltar que nenhuma delas utilizou como estratégia a procura de
frações equivalentes que representassem as duas situações (2
1 de pizza e
5
4 de pizza) a fim de
comparar as duas situações, possivelmente porque a simples comparação com a ideia de
metade permitiu resolver o problema. Salientamos ainda que para confirmar se esta estratégia
seria utilizada ou não pelas professoras poderíamos ter apresentado também uma situação em
que as frações a serem comparadas não possibilitassem a comparação com a metade,
poderíamos, por exemplo, pedir a comparação entre as frações 8
7 e
11
9.
A Professora Marcela parece não ter reconhecido tal invariante, uma vez que não
respondeu quem comeu mais.
Protocolo Professora Marcela
Figura 46 - Resposta da Professora Marcela à 10ª situação proposta – 2º instrumento diagnóstico
111
Analisando os registros do protocolo, estes sugerem que o raciocínio inicial da
Professora Marcela em relação à quantidade de pizza que cada menina comeu está correto: ao
dividir cada pizza em 4 pedaços, considerou que cada menina comeu 4
1 de cada pizza. Porém
ao juntar as duas partes de pizza que cada menina comeu considerou o total de pedaços das
duas pizzas, adicionando numerador e denominador. O mesmo raciocínio foi utilizado para os
meninos. O que diferencia é que ela considerou que cada menino comeu 4 pedaços do total de
pedaços em que ela dividiu as pizzas: 20, resultando em 20
4. Dessa forma, ela mudou o
referencial e fez a representação errada da fração.
As análises que fizemos até o momento, nos permitiram perceber que o Conhecimento
Especializado do Conteúdo (Ball et al, 2008) - introdução do conceito de frações- encontra-se
fragilizado, uma vez que as professoras demonstraram dificuldades na resolução de situações
com significado quociente. Isso nos remete à hipótese de que a falta de domínio do
significado quociente compromete o conhecimento necessário para o ensino da introdução de
frações.
Quanto ao que Ball et al. (2008) definem como Conhecimento de Conteúdo e dos
Estudantes, procuramos verificar, por meio de uma situação em que indicava um erro de uma
aluna, como as professoras avaliariam esse erro e quais eram as propostas de intervenção que
elas indicariam para o ensino.
A Professora Marcela não respondeu essa situação. As Professoras Ana e Renata
avaliaram corretamente, ao considerar que a aluna errou.
Ela dividiu muito bem, mas não soube fazer a adição de fração. O mmc
deveria ser 4, não 6. Não podemos somar os denominadores
(PROFESSORA ANA).
Ela acertou na representação, mas errou na operação; na adição não se
pode somar os denominadores, e sim tirar o mmc [referindo-se ao mínimo
múltiplo comum] (PROFESSORA RENATA).
As afirmações das professoras acerca do erro da aluna estão baseadas no
desenvolvimento da técnica do algoritmo, uma vez que ambas fazem referência apenas ao
erro no cálculo da adição ou na ausência do cálculo do mínimo múltiplo comum. Em relação
às propostas de encaminhamento, as duas sugeriram estratégias ligadas ao procedimento:
“Trabalhar operações com frações” (PROFESSORA ANA).
112
Com isso, percebemos que nenhuma das professoras apontou o significado quociente
como possibilidade para introduzir frações. Da mesma forma, não fizeram nenhuma
referência acerca da importância em aprofundar sobre a equivalência de frações com os
alunos.
Dessa forma, consideramos que as resposta das professoras indicaram falhas também
em relação ao que Ball et al. (2008) definem Conhecimento de Conteúdo e dos Estudantes.
Nesse sentido, analisando os resultados aqui apresentados à luz das Teorias de
Shulman (1986) e de Ball et al. (2008), acreditamos que a falta de domínio desse conteúdo
específico, ou seja, a dificuldade de reconhecimento e compreensão do significado quociente
da fração implicaria igual ausência de conhecimentos para o ensino da introdução das frações
por meio do significado quociente.
Por fim, o questionário apresentou quatro situações em que estavam presentes os
significados quociente, parte-todo, razão e parte-todo, respectivamente e cuja resposta poderia
ser indicada pela fração 5
2. E foi solicitada às professoras que identificassem em quais delas
estavam presentes esses significados.
Verificamos que todas as professoras responderam corretamente. Porém duas delas, as
Professoras Ana e Renata afirmaram não terem segurança quanto à resposta apresentada.
Seus argumentos revelam que elas não identificaram os significados da fração. A Professora
Ana, por exemplo, afirma: “Fui por eliminatória, comecei olhando pelo parte-todo.”
(PROFESSORA ANA). Da mesma forma, a Professora Renata assume: “[...] eu iria na
média de quantos na (A) (B) (C) e (D) como na minha mãe mandou” (PROFESSORA
RENATA).
A Professora Marcela não apresentou resposta ao item . Em entrevista, ela afirma não
ter respondido por não saber justificar.
Na tabela 8 será descrito quantos dos nossos sujeitos acertaram ou erraram cada
situação:
113
Tabela 8 – Número de professoras que apresentaram uma resposta esperada às situações propostas no 2º
instrumento diagnóstico ou que apresentaram outras respostas
Situação / Significado Respostas esperadas Outras Respostas
1 / Parte-todo 3 -
2 / Parte-todo 3 -
3 / Parte-todo 2 1
4 / Parte-todo
Item a 3 -
Item b 2 1
5 / Parte-todo
Item a 3 -
Item b 3 -
6 / Parte-todo
Item a 3 -
Item b 3 -
7 / Quociente Item a 2 1
Item a 2 1
8 / Quociente 2 1
9 / Quociente 3 -
10 / Quociente
Item a 2 1
Item b 1 2
11 / Quociente
12 / Quociente, parte-todo,
razão e parte-todo
3 -
Diante das análises, dois aspectos que consideramos importantes merecem ser
pensados: um primeiro aspecto está relacionado à compreensão dos invariantes operatórios da
fração e o segundo sobre o papel da unidade de referência.
Quanto ao primeiro aspecto, a compreensão dos invariantes lógicos, observamos que
embora o significado parte-todo seja provavelmente o mais trabalhado pelas professoras, elas
parecem não ter claramente o domínio do conceito de ordenação e de equivalência nem
mesmo em situações com esse significado, uma vez que, em geral, as professoras se referiram
114
apenas a quantidade de pedaços sem estabelecer a relação existente entre o numerador e o
denominador da fração correspondente à quantidade de partes a qual elas se referiram.
O segundo aspecto está relacionado à importância em conservar a unidade de
referência. Concordamos com Campos e Rodrigues (2007) quanto à importância desse
conceito para a construção da ideia de fração:
No caso específico do conceito de fração, a idéia de que as frações só têm
sentido enquanto objetos matemáticos capazes de representar quantidades,
de comparar quantidades ou de operar com essas quantidades, passa
necessariamente pela idéia fundamental de que essas quantidades devem ser
expressas segundo um mesmo referencial (CAMPOS E RODRIGUES, 2007,
p.88)
Consideramos, assim como esses pesquisadores, tal conhecimento como de
fundamental importância. Nesse sentido, analisando tais resultados sob o ponto de vista de
Ball et all (2008) e Shulman (1986), julgamos que a falta de compreensão dos invariantes
ampliaria as dificuldades das professoras para ensinar o tema.
A análise do ocorrido, durante a aplicação desse questionário preliminar, nos permitiu
planejar as ações do processo formativo. Para ampliar a base de conhecimentos das
professoras envolvidas para ensinar frações, precisaríamos além de trabalhar com outros
significados que não o parte-todo, discutir questões ligadas à necessidade de fixação da
unidade de referência e aos invariantes operatórios (equivalência e ordem).
Além disso, procuramos também ampliar, durante o processo formativo, a ideia de
reflexão, considerando que procuramos ir além da reflexão da própria prática na medida em
que buscamos promover a reflexão coletiva a respeito das dificuldades enfrentadas nos
processos de ensino e de aprendizagem das frações, relacionando-os com a ampliação do
conhecimento de ideias fundamentais como a equivalência, ordem e unidade de referência.
115
CAPITULO 5 – ANÁLISE DO PROCESSO FORMATIVO
Neste capítulo descreveremos brevemente as reflexões das professoras, sujeitos da
pesquisa, explicitadas durante o processo formativo.
Como já foi descrito anteriormente, o módulo de formação cujo tema foi
Representação fracionária do número racional desenvolveu-se com a participação de um
grupo de professoras da rede estadual de São Paulo e pesquisadores em Educação Matemática
no âmbito do Projeto Observatório da Educação.
Reiteramos que duas das sessões do processo formativo foram destinadas à aplicação
dos instrumentos diagnósticos, cuja finalidade foi subsidiar a análise da formação e atuação
das professoras em relação à aprendizagem e ao ensino de Matemática, em especial, sobre as
frações. Objetivávamos ainda analisar o Conhecimento Profissional Docente (Shulman,1986;
Ball, 2008) e as reflexões (Serrazina, 1999) dos sujeitos acerca do tema.
De maneira geral, a análise desses instrumentos nos permitiu observar que os sujeitos
da nossa pesquisa apresentavam muito fortemente indícios de que realizavam o ensino desse
tema utilizando-se apenas do significado parte-todo. Tal resultado foi identificado logo na
primeira sessão, quando solicitamos às professoras a elaboração de situações envolvendo
frações, uma vez que na maioria das situações elaboradas estavam presentes esse significado.
Vejamos, por exemplo, uma das situações apresentadas pela Professora Ana:
“Camila estava ajudando sua mãe a fazer um bolo. Camila lia a receita enquanto a
mãe preparava a massa. Na receita Camila viu um número diferente: 2
1 . Você sabe o que
significa? Por que ele é escrito dessa maneira?” (PROFESSORA ANA).
A discussão, que ocorreu no grupo em que as Professoras Ana e Renata participavam,
sobre a resposta que a elaboradora apresentou ao problema, nos possibilitou perceber que elas
pareciam demonstrar segurança ao discutirem a ideia de partição.
Alguns trechos da discussão nos ajudam a observar esse fato:
Na resposta, a Professora Ana fez o desenho de uma xícara e pintou até a metade e
deu a seguinte explicação: “dividimos a xícara em duas partes, mas usamos apenas uma
parte” (PROFESSORA ANA).
116
Questionada sobre o fato de ter dividido a xícara somente em duas partes e da
possibilidade em dividi-la em quatro, a Professora Ana responde: “[...] sim, daria, só que
aqui ela encontrou isso [referindo-se a fração 2
1]” (PROFESSORA ANA).
Uma professora do grupo continuava a questionar: “Então! Mas aqui dividimos a
xícara em duas partes. Se eu pegasse a xícara e dividisse em quatro partes e só pegássemos
duas delas, não era metade? Então a divisão não é só em duas. Você pode dividir em quatro,
pode dividir em dez, pega apenas cinco...” (PROFESSORA SANDRA).
Nesse diálogo, percebemos também uma discussão sobre o invariante da equivalência
entre as frações, todavia não percebemos no diálogo referências a equivalência de área, mas
nos pareceu que tal ideia estava implícita. Dessa forma, percebe-se que nesse encontro elas já
identificam tal invariante em situações parte-todo.
Passada a fase diagnóstica, e, após analisarmos os instrumentos, iniciou-se o processo
formativo. Ainda nas primeiras sessões a Professora Formadora optou por comentar as
respostas apresentadas nos instrumentos diagnósticos. Os depoimentos das professoras, nesse
momento da formação, reforçaram o que já havíamos observado na análise dos instrumentos.
Ao discutirmos uma das situações em que foi apresentada a resposta de um aluno fictício a
uma situação que envolvia o invariante ordem, em situação parte-todo, verificamos que as
professoras tinham clareza desse significado da fração.
A situação envolvia duas crianças, Bruna e Victor. Ambos receberam uma barra de
chocolate de mesmo tamanho cada uma. Considerando que Bruna comeu 5
3 do chocolate dela
e Victor comeu 4
3 do chocolate dele, um aluno fictício afirmou que Bruna e Victor comeram
o mesmo tanto, pois os dois comeram três pedaços dos seus chocolates. Ao serem
questionadas sobre a resposta do aluno, a Professora Renata afirmou que estava errada e
argumentou: “Porque ela [referindo-se à Bruna] dividiu em 5 [partes] e comeu 3 [delas]. Ele
[referindo-se ao Victor] dividiu em 4. Ele comeu quase toda” (PROFESSORA RENATA).
A Professora Ana complementa argumentando que: “eu acho que ele [referindo-se ao
aluno fictício] só olhou o número de cima, ele não olhou em quantas partes foram divididas”
(PROFESSORA ANA).
Por fim, a Professora Renata reafirma a sua resposta: “Eu escrevi também errado.
[referindo-se à resposta do aluno fictício]. Porque a Bruna dividiu [o chocolate] em 5 partes e
117
comeu 3. Já o Victor dividiu em partes maiores, por isso ele comeu mais. Mas comeu a
mesma quantidade” (PROFESSORA RENATA).
Durante as discussões que ocorriam entre os professores, a formadora intervinha e, ao
referir-se aos significados de fração que são orientados, nos documentos oficiais brasileiros
(PCN), para serem trabalhados com os alunos nos anos iniciais da Educação Básica,
percebemos que as professoras desconheciam esses significados. A Professora Renata
assume isso ao afirmar: “É! Eu não sabia esse negócio de razão, parte-todo [...] Eu não