UNIVERSIDAD UTE - Repositorio Digital UTE: Página de inicio

Quito, Junio 2020

UNIVERSIDAD UTE

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA E INDUSTRIAS CARRERA DE INGENIERÍA MECATRÓNICA

ANÁLISIS Y COMPARACIÓN DE ESTRATEGIAS DE

CONTROL DE HORIZONTE VARIABLE EN LA GESTIÓN DE RESERVORIOS DE AGUA

TRABAJO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO EN

MECATRÓNICA

DIEGO ROBERTO NOVOA ARMENDÁRIZ

DIRECTOR: ING. PABLO VELARDE, PhD.

© Universidad UTE 2020

Reservados todos los derechos de reproducción.

FORMULARIO DE REGISTRO BIBLIOGRÁFICO PROYECTO DE TITULACIÓN

DATOS DE CONTACTO

CÉDULA DE IDENTIDAD: 171721113-8 APELLIDO Y NOMBRES: NOVOA DIEGO ROBERTO DIRECCIÓN: CARCELEN EMAIL: [email protected] TELÉFONO FIJO: 2 803 – 886 TELÉFONO MOVIL: 0983555115

DATOS DE LA OBRA TÍTULO: Análisis y comparación de estrategias de

control de horizonte variable en la gestión de reservorios de agua.

AUTOR O AUTORES: DIEGO NOVOA FECHA DE ENTREGA DEL PROYECTO DE TITULACIÓN:

8 – JUNIO - 2020

DIRECTOR DEL PROYECTO DE TITULACIÓN:

Phd. PABLO VELARDE

PROGRAMA PREGRADO POSGRADO TÍTULO POR EL QUE OPTA: INGENIERO MECATRÓNICO RESUMEN: El agua es considerada como uno de los

recursos más importantes que tiene el planeta, siendo uno de los más esenciales para la vida y el desarrollo de las diferentes sociedades. Debido a sus diferentes composiciones no toda el agua del planeta puede ser consumible o aprovechable, es por esto que hay que tomar en cuenta que son sistemas compuestos por diferentes variables, por lo que las estrategias de control que regulan y garantizan el correcto funcionamiento, son procesos multivariables, razón por la cual el control predictivo (MPC) basado en escenarios es una de las opciones más viables, ya que puede trabajar con procesos atados a un comportamiento de incertidumbre dinámico. Al ser un método muy intuitivo y de carácter predictivo, su compensación de tiempos muertos introduciendo un control anticipativo para compensar las perturbaciones entrantes permiten garantizar un suministro de agua estable, económico y sobre todo seguro. En el presente trabajo se identificó a través de cuatro estructuras de árboles con diferente distribución de escenarios, cuál es la mejor opción, para ello se definió un horizonte de

X

predicción y un determinado número de escenarios, en los cuales, para evitar un uso excesivo de recursos computacionales, existe un compromiso entre el esfuerzo del cálculo y la regulación del sistema. Para ello en cada instante se determinaron el nivel, el costo y el tiempo computacional para cada una de las distribuciones de árboles, de forma que sea posible comparar y definir a través de un análisis de los valores tabulados cuál estructura es la que cumple con las restricciones establecidas.

PALABRAS CLAVES: sistemas hídricos, estrategias de control, control predictivo.

ABSTRACT:

Water is considered one of the most important resources the planet has, being one of the most essential for the life and development of different societies. Due to its different compositions, not all the water on the planet can be consumable or usable, which is why we must take into account that they are systems composed of different variables, so the control strategies that regulate and guarantee the correct operation are multivariable processes, which is why scenario-based predictive control (MPC) is one of the most viable options, since it can work with processes tied to dynamic uncertainty behavior. Being a very intuitive and predictive method, its downtime compensation by introducing an anticipatory control to compensate for incoming disturbances ensures a stable, economical and above all safe water supply. In this paper, four tree structures with different distribution of scenarios were identified, which is the best option, for this purpose a prediction horizon and a certain number of scenarios were defined, in which, to avoid excessive use of computational resources, there is a compromise between the calculation effort and the regulation of the system. For this, the level, cost and computational time for each of the tree distributions were determined at each moment, so that it is possible to compare and define through an analysis of the tabulated values which structure is the one that complies with the established restrictions.

KEYWORDS

water systems, control strategies, model predictive control.

Se autoriza la publicación de este Proyecto de Titulación en el Repositorio Digital de la Institución.

f:__________________________________________ NOVOA ARMENDARIZ DIEGO ROBERTO

17172111-8

DECLARACIÓN Y AUTORIZACIÓN

Yo, NOVOA ARMENDARIZ DIEGO ROBERTO, CI 171721113-8 autor del proyecto titulado: Análisis y comparación de estrategias de control de horizonte variable en la gestión de reservorios de agua previo a la obtención del título de Ingeniero Mecatrónico en la Universidad UTE. 1. Declaro tener pleno conocimiento de la obligación que tienen lasInstituciones de Educación Superior, de conformidad con el Artículo 144 de laLey Orgánica de Educación Superior, de entregar a la SENESCYT en formatodigital una copia del referido trabajo de graduación para que sea integrado alSistema Nacional de información de la Educación Superior del Ecuador parasu difusión pública respetando los derechos de autor.2. Autorizo a la BIBLIOTECA de la Universidad UTE a tener una copia delreferido trabajo de graduación con el propósito de generar un Repositorio quedemocratice la información, respetando las políticas de propiedad intelectualvigentes.

Quito, 8 de Junio del 2020

f:__________________________________________

NOVOA ARMENDARIZ DIEGO ROBERTO

171721113-8

DECLARACIÓN

Yo DIEGO ROBERTO NOVOA ARMENDARIZ, declaro que el trabajo aquí descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún grado o calificación profesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en este documento.

La Universidad UTE puede hacer uso de los derechos correspondientes a este trabajo, según lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la normativa institucional vigente.

_________________________

DIEGO ROBERTO NOVOA ARMENDARZ

C.I. 1717211138

CERTIFICACIÓN

Certifico que el presente trabajo que lleva por título “Análisis y comparación de estrategias de control de horizonte variable en la gestión de reservorios de agua”, que, para aspirar al título de Ingeniero Mecatrónico fue desarrollado por Diego Novoa, bajo mi dirección y supervisión, en la Facultad de Ciencias de la Ingeniería e Industrias; y cumple con las condiciones requeridas por el reglamento de Trabajos de Titulación artículos 19, 27 y 28.

___________________

Pablo Velarde, PhD.

DIRECTOR DEL TRABAJO

C.I. 1718907478

AGRADECIMIENTO

El camino para llegar al éxito no hubiera sido posible alcanzar sin el apoyo de todas las personas que ayudaron con mi formación académica como personal, por ello quiero agradecer a mis padres Diego y Ginna y a mi hermana, quienes supieron apoyarme y darme todas las herramientas para poder alcanzar lo que un día fue solo un sueño, también quiero agradecer a una de las personas más importantes en mi vida, Génesis, quien me acompaña desde los últimos 8 años que a más de no solo contribuir en mi crecimiento como hombre y padre de familia, estuvo pendiente a cada instante, supo confiar en mí y me dio la mayor motivación para seguir adelante, nuestra hija. Finalmente, y no menos importante quiero agradecer a mi director de tesis, y a cada uno de los profesores que fueron parte de este arduo camino universitario, que sin sus enseñanzas nada de esto fuera posible.

i

ÍNDICE DE CONTENIDO

PÁGINA

RESUMEN………………………………………………………......... 1

ABSTRACT…………………………………………………………… 2

1. INTRODUCCIÓN…………………………………………….. 3

1.1 ÁNALISIS DEL DISEÑO………………………………… 5

1.2 PERTURBACIONES…………………………………….. 6

1.3 OPTIMIZACIÓN………………………………………….. 7

1.4 CONTROL PREDICTIVO ESTOCÁSTICO…………… 11

2. METODOLOGÍA……………………………………………… 13

2.1 MODELO…………………………………………………. 14

2.2 CONTROL PREDICTIVO ESTOCÁSTICO BASADO

EN ÁRBOLES (TB-MPC)………………………………..

15

3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN…………………………….. 22

3.1 CASO DE ESTUDIO…………………………………….. 22

3.2 MODELADO……………………………………………… 26

3.3 DESARROLLO Y SIMULACIÓN………………………. 29

4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES……………... 37

ii

ÍNDICE DE TABLAS

PÁGINA Tabla 1. Distribución de ramas y escenarios para cada árbol 19 Tabla 2. Restricciones 25 Tabla 3. Valores obtenidos de la simulación para el nivel de agua en el Lago (ℎ1)

30

Tabla 4. Valores obtenidos de la simulación para el nivel de agua en el Canal (ℎ2)

31

Tabla 5. Valores obtenidos de la simulación para el caudal de agua en el Lago (𝑞𝑞1)

33

Tabla 6. Valores obtenidos de la simulación para el caudal del canal (𝑞𝑞2)

34

Tabla 7. Valores obtenidos de la simulación para el caudal de intercambio entre el mar y el canal (𝑞𝑞𝑒𝑒𝑒𝑒)

35

Tabla 8. Valores obtenidos de la simulación con respecto al tiempo computacional empleado en cada configuración

36

iii

ÍNDICE DE FIGURAS

PÁGINA Figura 1. Horizonte Móvil para el modelo de control predictivo (MPC)

4

Figura 2. Estructura Básica del MPC 5 Figura 3. Representación Árbol de decisión en la Teoría de juegos

16

Figura 4. Árbol de escenarios sobre un horizonte de predicción 17 Figura 5. Árboles de perturbaciones desarrollados 19 Figura 6. Ubicación geográfica caso de estudio, Lago IJsselmeer y Lago Markermeer

23

Figura 7. Diagrama esquemático 23 Figura 8. Valores máximos, medios y mínimos de los escenarios de perturbaciones

24

Figura 9. Perturbaciones utilizadas para simulación 25 Figura 10. Sistema de Bloques 26 Figura 11. Niveles de agua h1 del Lago 30 Figura 12. Niveles de agua h2 del canal 31 Figura 13. Caudales de salida q1 32 Figura 14. Caudal de salida del Canal (q2) 33 Figura 15. Caudales de intercambio qex 35

1

RESUMEN

El agua es considerada como uno de los recursos más importantes que tiene el planeta, siendo uno de los más esenciales para la vida y el desarrollo de las diferentes sociedades, ya que satisface varias de las necesidades que van desde la más básica actividad como es el riego de plantas hasta las más compleja presente en procesos industriales. Debido a sus diferentes composiciones no toda el agua del planeta puede ser consumible o aprovechable, es por esto que cuando se habla de sistemas hídricos hay que tomar en cuenta que son sistemas compuestos por diferentes variables tales como niveles, composición, temperatura, flujo, entre otras, por lo que las estrategias de control que regulan y garantizan el correcto funcionamiento, son procesos multivariables, razón por la cual el control predictivo (MPC) basado en escenarios es una de las opciones más viables, ya que puede trabajar con procesos atados a un comportamiento de incertidumbre dinámico. Al ser un método intuitivo y de carácter predictivo, su compensación de tiempos muertos introduciendo un control anticipativo para compensar las perturbaciones entrantes permiten garantizar un suministro de agua estable, económico y sobre todo seguro. En el presente trabajo se identificó a través de cuatro estructuras de árboles con diferente distribución de escenarios, cuál es la mejor opción, para ello se definió un horizonte de predicción y un determinado número de escenarios, en los cuales, para evitar un uso excesivo de recursos computacionales, existe un compromiso entre el esfuerzo del cálculo y la regulación del sistema. Para ello en cada instante se determinaron el nivel, el costo y el tiempo computacional para cada una de las distribuciones de árboles, de forma que sea posible comparar y definir a través de un análisis de los valores tabulados cuál estructura es la que cumple con las restricciones establecidas, teniendo en cuenta la importancia y la incertidumbre en el consumo de agua de esta región.

Palabras Clave: sistemas hídricos, estrategias de control, control predictivo.

2

ABSTRACT

Water is considered one of the most important resources that the planet has, being one of the most essential for the life and development of different societies, since it satisfies several of the necessities that range from the most basic activity such as water the plants to the most complex present in industrial processes. Due to its different compositions, not all the water on the planet can be consumable or usable, which is why when talking about water systems, it must be taken into account that they are systems composed of different variables such as levels, composition, temperature, flow, among others, so the control strategies that regulate and guarantee the correct operation are multivariable processes, which is why the MPC predictive control based on scenarios is one of the most viable options, since it can work with processes tied to a behavior of dynamic uncertainty. Being a very intuitive and predictive method, its downtime compensation by introducing an anticipatory control to compensate for incoming disturbances ensures a stable, economical and above all safe water supply. In this paper, four tree structures with different distribution of scenarios were identified, which is the best option, for this purpose a prediction horizon and a certain number of scenarios were defined, in which, to avoid excessive use of computational resources, there is a compromise between the calculation effort and the regulation of the system. For this, the level, cost and computational time for each of the tree distributions were determined at each moment, so that it is possible to compare and define through an analysis of the tabulated values which structure is the one that complies with the established restrictions, taking into account the importance and uncertainty in the water consumption of this region.

Keywords: water systems, control strategies, model predictive control.

1. INTRODUCCIÓN

3

El control predictivo basado en modelos (Model Predictive Control, MPC) tuvo sus primeras apariciones por los años setenta como una “retroalimentación óptima en lazo abierto”, la cual utiliza un modelo dinámico explícito de la planta para proporcionar una predicción en el efecto de las futuras acciones de aquellas variables que son manipuladas en la salida, con el objetivo de optimizar este comportamiento.

A lo largo del tiempo este concepto se ha ido desarrollando con estudios que se basan en los movimientos futuros de las variables manipuladas que están determinadas por la optimización del objetivo de minimizar el “error previsto” que está sujeto a las restricciones operativas, esta optimización se repite en cada tiempo de muestreo según la información obtenida de la medición de las variables medibles de la planta.

En 1963 Propoi propuso dar un enfoque más profundo sobre un horizonte móvil, estableciendo así el principal núcleo de todos los algoritmos del control MPC. Años más tarde en 1983 Chang y Seborg fueron los encargados de encontrar la conexión entre la retroalimentación óptima en lazo abierto y el horizonte móvil, por lo que a partir de ese año el control MPC fue adquiriendo popularidad y su aplicación tuvo un incremento constante, empezando por la industria química, en donde fue aplicado bajo condiciones controladas en trabajos simples que van desde un tanque de mezcla y un intercambiador de calor, en donde la búsqueda de los valores apropiados de los parámetros ajustables era más simple y rápida (Arkun, Hollet, Canney, & Morari, 1986), hasta unos más complejos, como fue en un reactor de hirdocraqueo1 (Hydrocraking System), que es un proceso por el cual se convierte corrientes pesadas de crudo, a través de un catalizador, y las transforman en un producto de menos punto de ebullición y mejor calidad (Scherzer & Gruia, 1996), este proceso involucra siete variables independientes y cuatro variables dependientes incluyendo las restricciones que son controladas. Algunas de las aplicaciones registradas durante los años ochenta, reportaron que el control MPC fue utilizado en varios sistemas multivariables que involucraban restricciones, y fue por estos tipos de trabajos que motivaron aún más al desarrollo de las técnicas y modelos del control predictivo. (Garcia, Prett, & Morari, 1989)

El control MPC es considerado, no como una estrategia de control particular sino, un conjunto de métodos de control que únicamente basan su funcionamiento en el uso explícito del proceso de cada modelo para predecir la evolución y el desarrollo del proceso en los instantes futuros y calcular la trayectoria de una variable manipulada en el futuro (u), de tal manera que se pueda optimizar el comportamiento de salida de la planta (y) (Kouvaritakis &

1 Hidroraqueo: proceso que en dos fases combina la separación catalítica química de un elemento y la hidrogenación, por medio de fracciones descompuestas por la presencia de los catalizadores y el hidrogeno para dar lugar a productos de más valor.

4

Cannon, 2014), para esto es necesario utilizar un horizonte de control finito y móvil, considerando ciertas limitaciones, el primer valor se lo implementará sobre el proceso controlado, es decir, sobre la primera señal de la secuencia como se indica en la Figura 1.

(Saputelli, Nikolaou, & Economides, 2006)

Figura 1. Horizonte Móvil para el modelo de control predictivo (MPC)

El proceso empieza a operar hasta llegar al siguiente instante de tiempo, en donde empezará la recolección de medidas adicionales, el horizonte de optimización se desplazará a través de un punto de tiempo, en donde se tendrá que reformular, obteniendo así la solución, todo el proceso se repetirá en el siguiente instante de muestreo. Esta optimización se la realiza basándose en el modelado, el diseño, la simulación y la implementación, teniendo en cuenta las variables manipuladas y las restricciones, con el fin de obtener información del comportamiento futuro y a través de las variables manipuladas poder determinar acciones de control. Existen tres aspectos importantes que deben considerarse al momento de utilizar este tipo de control:

• El modelo • La medición • La acción de control

Un control de modelo explícito se lo utiliza para obtener predicciones del comportamiento en un intervalo futuro asumiendo una trayectoria de las variables manipuladas, en otras palabras, busca una forma para poder predecir un posible suceso o comportamiento del modelo analizado, para lo que se necesita una ventana de planificación con el fin de utilizar esta información y poder lograr un rendimiento óptimo de control. Es importante saber el estado actual del modelo para escoger un aspecto del

5

comportamiento de un sistema para optimizarlo partiendo de la trayectoria de una variable de control antes de empezar la planificación y enfocándose en el instante, moviéndose a través de un horizonte dentro del intervalo establecido, obteniendo como resultado la optimización en tiempo real, considerando también el tiempo futuro.

Las principales ventajas del control predictivo son que, al utilizar conceptos intuitivos y una lógica simple, se puede utilizar para controlar varios procesos desde lo más simples hasta aquellos que presentan dinámicas complejas en las que los tiempos muertos son grandes, puesto que su particularidad predictiva compensa internamente los mismos. Tiene la capacidad de introducir un control predictivo o también conocido como feedforward, en el cual de forma natural se equilibra las perturbaciones medibles, además permite manejar las restricciones de una forma ordenada durante la fase de diseño. Existen también ciertas limitaciones y una de las más importantes que se debe tomar en cuenta es que pese a que su implementación no resulta ser muy compleja, presenta mayor dificultad que el funcionamiento de los controladores tradiciones PID, puesto que, si el proceso no varía y no existen restricciones, varios de los cálculos pueden ser realizados fuera de la línea, dando como resultado un controlador simple.

1.1 ANÁLISIS DEL DISEÑO

El control predictivo está constituido principalmente por un modelo que predice la variación de la salida o el estado del proceso comenzando con las señales de entrada y salidas conocidas. Las acciones de control futuras se estiman a través de un optimizador, el cual toma en cuenta la función del coste y las restricciones. Por lo tanto, el modelo seleccionado debe ser apto para reflejar la dinámica del proceso y predecir de forma más acertada el desarrollo del sistema. Por otra parte, como se observa en la Figura 2, el optimizador es parte importante en la estructura, puesto que permite obtener las acciones de control a emplear.

Figura 2. Estructura Básica del MPC

6

Se puede establecer que el control predictivo basado en modelos (MPC) es una estrategia que utiliza de manera explícita un modelo dinámico de la planta para predecir la evolución del proceso de salida en instantes de tiempo futuros a lo largo de un horizonte de predicción denominado 𝑁𝑁𝑁𝑁 (Camacho & Bordons, 2004). Por lo tanto, el conjunto de señales de control futuras se determina a través de la optimización del criterio o de la función objetiva, en donde solo la señal de control obtenida para el instante k puede ser aplicada al proceso, en tanto que las demás son descartadas. Una de las principales ventajas que ofrece el MPC a diferencia de los otros métodos de control, es su fácil extensión a los casos multivariables. Siendo así el problema de optimización que debe resolverse cada vez que el instante k sea formulado como:

�𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

𝑢𝑢(𝑘𝑘), … ,𝑢𝑢(𝑘𝑘 + 𝑁𝑁𝑝𝑝 − 1)��𝐽𝐽(𝑥𝑥(𝑘𝑘 + 𝑚𝑚),𝑢𝑢(𝑘𝑘 + 𝑚𝑚)

𝑁𝑁𝑝𝑝

𝑖𝑖=0

[1]

Sujeto a

𝑥𝑥(𝑚𝑚 + 1) = 𝐴𝐴𝑥𝑥(𝑚𝑚) + 𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑚𝑚) + 𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑚𝑚),

[2]

𝑥𝑥(0) = 𝑥𝑥(𝑘𝑘),

[3]

𝑥𝑥(𝑚𝑚 + 1) 𝜖𝜖 𝑋𝑋,

[4]

𝑢𝑢(𝑚𝑚) 𝜖𝜖 𝑢𝑢,∀𝑚𝑚 𝜖𝜖 ℤ0𝑁𝑁𝑝𝑝−1

[5]

Donde 𝑥𝑥 ∈ ℝ𝑛𝑛𝑥𝑥 ,𝑢𝑢 ∈ ℝ𝑛𝑛𝑢𝑢 y 𝐷𝐷 ∈ ℝ𝑛𝑛𝑑𝑑 representan el vector de estado en el sistema, la variable manipulada y las perturbaciones del sistema respectivamente. Por otra parte, 𝐴𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑛𝑥𝑥 × 𝑛𝑛𝑥𝑥 ,𝐵𝐵 ∈ ℝ𝑛𝑛𝑥𝑥 × 𝑛𝑛𝑢𝑢 y 𝐷𝐷 ∈ ℝ𝑛𝑛𝑥𝑥 × 𝑛𝑛𝑑𝑑 son las matrices que determinan la linealidad del sistema. Entonces la secuencia de entradas que se debería aplicar al sistema a través del horizonte está definida por {𝑢𝑢(𝑘𝑘), … ,𝑢𝑢(𝑘𝑘 + 𝑁𝑁𝑝𝑝 − 1)}, en donde solo 𝑢𝑢(𝑘𝑘) esta aplicada en cada instante.

1.2 PERTURBACIONES

Uno de los puntos de gran importancia es la consideración de varios procesos que se hallan sometidos a perturbaciones externas causadas por variaciones en las variables que son medibles, son fases peculiares en procesos, donde

7

las salidas son modificadas por las variaciones en el sistema de carga. Por lo que, a estas perturbaciones también conocidas como perturbaciones en la carga, se las puede tratar a través del uso de la acción feedforward2. De manera que, si se conoce el efecto de estas perturbaciones en la salida del sistema, estas puedan ser consideradas dentro de las predicciones del sistema, ya que las perturbaciones medibles pueden ser incluidas sin ninguna complicación en las ecuaciones de predicción, ya que se las maneja como entradas al sistema.

1.3 OPTIMIZACIÓN

Una vez analizados los fundamentos y aplicaciones que el control predictivo utiliza en la formulación de su modelo matemático, es importante considerar que es necesario calcular la salida pronosticada de la planta con la señal de control futura como una de las variables ajustables, por lo que este tipo de predicción se lo desarrolla dentro de una ventana de optimización. Para lo cual esta ventana asume el tiempo actual como 𝑘𝑘𝑖𝑖 y el espacio de separación es 𝑁𝑁𝑝𝑝 como el número de muestras.

Asumiendo que el instante de muestreo es 𝑘𝑘𝑖𝑖, con 𝑘𝑘𝑖𝑖 > 0, y el estado variable del vector 𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖) está disponible basándose en la medida, el estado 𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖) facilita la información actual de la planta. Dicho esto, entonces, la trayectoria futura de control está definida por:

𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖), 𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1), . . . . . , 𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑐𝑐 − 1), [6]

donde 𝑁𝑁𝑐𝑐 es conocido como el horizonte de control que define el número de parámetros usados para obtener la trayectoria de control futura. Para lo cual, utilizando esta información 𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖), la predicción futura de las variables de estado para el número de muestras 𝑁𝑁𝑝𝑝, puede definir que las variables de estado futuro sean:

𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1 | 𝑘𝑘𝑖𝑖), 𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 2 | 𝑘𝑘𝑖𝑖), . . . . , 𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 𝑚𝑚 | 𝑘𝑘𝑖𝑖), . . . . . , 𝑥𝑥�𝑘𝑘𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑝𝑝 � 𝑘𝑘𝑖𝑖 ), [7]

donde 𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 𝑚𝑚 | 𝑘𝑘𝑖𝑖) es la predicción del estado variable en 𝑘𝑘𝑖𝑖 + 𝑚𝑚 con la información actual de la planta propuesta 𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖). Entonces el horizonte de control 𝑁𝑁𝑐𝑐 está definido para ser menor o igual al horizonte de predicción 𝑁𝑁𝑝𝑝.

2 Feedforward: fase de control previo.

8

De manera que, partiendo del modelo de espacio de estados (A, B, C) y para obtener las variables de estado futuras, se calcula de manera secuencial utilizando el conjunto de parámetros de control futuros:

𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1 | 𝑘𝑘𝑖𝑖) = 𝐴𝐴𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖) + 𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖) [8] 𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 2 | 𝑘𝑘𝑖𝑖) = 𝐴𝐴𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1 | 𝑘𝑘𝑖𝑖 ) + 𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1) [9]

= 𝐴𝐴2𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖) + 𝐴𝐴𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖) + 𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1) [10] ⁞

𝑥𝑥�𝑘𝑘𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑝𝑝� 𝑘𝑘𝑖𝑖)= 𝐴𝐴𝑁𝑁𝑝𝑝𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖) + 𝐴𝐴𝑁𝑁𝑝𝑝−1𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖) + 𝐴𝐴𝑁𝑁𝑝𝑝−2𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1) + ⋯+ 𝐴𝐴𝑁𝑁𝑝𝑝−𝑁𝑁𝑐𝑐𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑁𝑁 − 1)

[11]

Por lo tanto, a partir de las variables de estado y las variables de salida predichas, por sustitución se tiene:

𝑦𝑦(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1 | 𝑘𝑘𝑖𝑖) = 𝐶𝐶𝐴𝐴𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖) + 𝐶𝐶𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1) [12]

𝑦𝑦(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1 | 𝑘𝑘𝑖𝑖) = 𝐶𝐶𝐴𝐴2𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖) + 𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖) + 𝐶𝐶𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1) [13]

𝑦𝑦(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1 | 𝑘𝑘𝑖𝑖)= 𝐶𝐶𝐴𝐴3𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖) + 𝐶𝐶𝐴𝐴2𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖) + 𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1)+ 𝐶𝐶𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 2)

[14]

⋮

𝑦𝑦�𝑘𝑘𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑝𝑝 � 𝑘𝑘𝑖𝑖)= 𝐶𝐶𝐴𝐴𝑁𝑁𝑝𝑝𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖) + 𝐶𝐶𝐴𝐴𝑁𝑁𝑝𝑝−1𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖) + 𝐶𝐶𝐴𝐴𝑁𝑁𝑝𝑝−2𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1)+ ⋯+ 𝐶𝐶𝐴𝐴𝑁𝑁𝑝𝑝−𝑁𝑁𝑐𝑐𝐵𝐵𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑐𝑐 − 1)

[15]

De donde se infiere que, todas las variables se manifiestan en términos de información de la variable de estado actual 𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑖𝑖) y el movimiento de control futuro 𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 𝑗𝑗), donde 𝑗𝑗 = 0, 1, . . . ,𝑁𝑁𝑐𝑐 − 1, define los siguientes vectores:

𝑌𝑌 = [ 𝑦𝑦(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1 | 𝑘𝑘𝑖𝑖),𝑦𝑦(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 2 | 𝑘𝑘𝑖𝑖) ,𝑦𝑦(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 3 | 𝑘𝑘𝑖𝑖), . . . . , 𝑦𝑦�𝑘𝑘𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑝𝑝 � 𝑘𝑘𝑖𝑖)]𝑇𝑇

[16]

𝑈𝑈 = [ 𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖),𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 1) ,𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 2), . . . . , 𝑢𝑢(𝑘𝑘𝑖𝑖 + 𝑁𝑁𝑐𝑐 − 1)]𝑇𝑇 [17]

9

Para un set-point3 𝑟𝑟(𝑘𝑘𝑖𝑖) en el instante de muestreo 𝑘𝑘𝑖𝑖, dentro de un horizonte de predicción, el principal objetivo del control predictivo es aproximar la salida predicha lo más cerca posible a la señal del set-point, en donde se asume que la señal de ajuste permanecerá constante en la ventana de optimización. Entonces, partiendo de esta consideración, el objetivo se traslada al diseño para encontrar el mejor parámetro de control a través del vector 𝑈𝑈, de tal manera que una función de error entre el punto de ajuste y la salida predicha sea minimizada.

Hay que mencionar además que, debido a la importancia con la que el abastecimiento de los dos sistemas hídricos analizados a través de la regulación de compuertas, bombas de agua y los costos asociados al proceso, que permiten proporcionar cierto nivel de equilibrio entre la robustez que presente el controlador y el rendimiento óptimo que se busca obtener a través de la implementación del control MPC, es necesario realizar un análisis histórico basados en las condiciones externas ya que afectan directamente al sistema. Por lo tanto, uno de los posibles métodos a ser aplicados en sistemas hídricos es el TB-MPC, control predictivo basado en árboles. Este método utiliza un mismo punto inicial para todos los escenarios formulados hasta llegar a un punto de divergencia llamada bifurcación, en donde se dividan en dos o más escenarios diferentes y se pueda contemplar varias posibilidades. Considerar varios escenarios permite al controlador tomar una acción basándose en el comportamiento de las variables controladas, pero también implica un mayor recurso computacional para su resolución, por lo que es importante encontrar una compensación entre el rendimiento y la carga computacional.

En relación con lo analizado y la importancia que posee el agua al ser uno de los recursos que está presente en todo el planeta cubriendo más del 70% de la superficie, es considerado como la fuente y el sustento de la vida puesto que ayuda en la regularización del clima además de contribuir con los aspectos que día a día todos los seres vivos necesitamos para realizar actividades. Sin embargo, no todo el porcentaje de agua en el mundo es considerable como agua consumible debido a que únicamente el 2,5% es agua dulce, por lo que es importante regularizar y controlar el consumo de agua.

Los países Bajos o también conocido como Holanda, es una de las regiones que toma la gestión del agua con gran importancia, ya que desde 1953, el riesgo de inundación en esta región proviene de todas partes, al ser un país rodeado de gran cantidad de agua ya que, sin las protecciones desarrolladas a través de los tiempos, aproximadamente el 60% de su geográfica se encontraría cubierta de agua no consumible. Para esto, el gobierno holandés,

3 Set point: punto de ajuste proporcionado para una variable.

10

desarrolló un plan de protección contra inundaciones el cual actúa sobre cuatro de los principales problemas que aquejan a esta región:

• Incremento de nivel de las aguas en el Canal del Mar del Norte • Incremento de nivel de las aguas del lago Markermeer • Desbordamiento del río Amstel • Desbordamiento del río Lek

El plan fue denominado “Plan Delta”, el mismo que tuvo aproximadamente una duración de 40 años, estaba conformado por una serie de diques y compuertas, distribuidas estratégicamente, con el fin de separar el Mar del Norte de las diferentes desembocaduras. A partir de esta división nacen los dos lagos más importantes de toda Europa, el Lago Ijselmeer y el Lago Markermeer, que, gracias a la separación, se convirtieron en la reserva de agua dulce más grande del continente, y por tal razón son los encargados del abastecimiento de agua dulce a toda la zona septentrional de Holanda en épocas de sequía. Estos lagos al ya no ser parte del mar exterior no poseen mareas y tampoco sufren afectación por los temporales del exterior. (Manuel & Parejo, 2016)

Por otro lado, gracias al avance y desarrollo de la tecnología se han ido diseñando, planificando e implementando varios tipos de infraestructura que permiten manejar y controlar los recursos hídricos de una manera sustentable. No obstante, estos métodos utilizados no siempre proporcionan un sistema de control que se pueda aplicar, debido a que los sistemas hídricos poseen muchas variables de control y en varias ocasiones las respuestas superan los tiempos de muestreo, produciendo que los recursos computacionales no sean aptos para determinar una opción de control en tiempo real.

Parte de la infraestructura implementada es la utilización de reservorios de agua los cuales permiten la preservación del líquido y el correcto abastecimiento de acuerdo con la demanda en los diferentes horarios, también proporcionan un aumento de presión y caudal para garantizar la disponibilidad en las zonas requeridas (Fernandez, 2018).

Para poder obtener una correcta planificación y diseño de un sistema de control aplicado a un reservorio hídrico, se tiene que tomar en cuenta varios factores tales como la incertidumbre del cambio climático, la densidad de la población, los pronósticos de los sistemas, que pueden ser predecibles o no; de igual manera se considerará un enfoque dinámico en el cual la toma de decisiones puede ser adaptativa de acuerdo con el escenario que se presente.

El trabajo propuesto busca modelar las incertidumbres del sistema como perturbaciones basándose en la técnica de árboles y en escenarios históricos obtenidos durante todo un año, lo cual permitirá que el tiempo computacional sea optimizado en un horizonte lineal para anticiparse a los acontecimientos futuros y tomar acciones de control de manera más rápida y eficaz. Esta

11

técnica ha sido muy utilizada en el ámbito de la gestión de agua, así como en otras aplicaciones. Sin embargo, una de las desventajas de esta técnica son los esfuerzos computacionales que se emplean al momento de calcular la acción de control, debido al número de escenarios ligados con el horizonte de control. Por lo tanto, aquí se plantea reducir los tiempos de cálculos y el uso de recursos computacionales minimizando el costo en un sistema de reservorios hídricos en tiempo real sin la pérdida de rendimiento (Genc, Diao, Vittal, Kolluri, & Mandal, 2010).

Esta optimización de recursos busca obtener mediante la comparación, vía simulación, de diferentes estructuras del árbol de perturbaciones con horizonte de control variable, para ello se desarrollará un sistema de gestión de recursos hídricos con 192 escenarios, como variables gaussianas, para tratar las perturbaciones. Es decir que se iniciará con la modelación de un sistema de agua localizado en el Noroeste de Holanda, posteriormente la formulación final se la realizará de manera general para sistemas hídricos, en donde la configuración del controlador estará limitada por ciertas restricciones consideradas para un correcto funcionamiento y de esta manera, lo que se buscará es disminuir el número de variables de optimización, diseñando un controlador MPC aplicado a estructuras basadas en árboles de decisión con diferentes horizontes de control, para reducir la cantidad de recursos computacionales ocupados en el proceso de control.

1.4 CONTROL PREDICTIVO ESTOCÁSTICO

El término estocástico a lo largo del tiempo se lo ha utilizado para representar aquellos sistemas que poseen comportamientos con secuencias aleatorias, en donde se pueden utilizar métodos probabilísticos basados en escenarios para cada instante, con el fin de estudiar cómo evoluciona una variable, generalmente en función del tiempo. Lo que permite considerar a un escenario como la posible evolución del sistema hacia un estado futuro.

La simplicidad del control MPC y su adaptabilidad hacia los sistemas MIMO4, las restricciones en la entrada y estado/salida, y los objetivos de control, lo convierten en un modelo sugestivo, ya que permite la resolución del problema por medio de la implementación de una secuencia finita de acciones de control (𝑢𝑢0,𝑢𝑢1, … ,𝑢𝑢𝑁𝑁𝑐𝑐−1) para cada instante de muestreo en que se evalúa el estado actual del sistema (Kouvaritakis & Cannon, 2014).

El control predictivo estocástico basa su funcionamiento en una optimización que tiene como objetivo buscar la solución para un escenario que depende de variables aleatorias, estas pueden ser consideradas como incertidumbres en

4 MIMO: sistemas con múltiples entradas y múltiples salidas (Multiple Input, Multiple Output)

12

el modelo o como perturbaciones. Algunas de las aplicaciones sobre sistemas estocásticos han tenido relación con variables aleatorias como las señales sísmicas, electrocardiogramas, señales de telecomunicación, caudal de lluvia en sistemas de riego, entre otras, en donde la optimización estocástica busca proporcionar una solución para los diferentes escenarios bajo la premisa de una condición probabilística.

Para poder aplicar este modelo existen ciertas consideraciones fundamentales que determinarán la complejidad del modelo, como son las variables o decisiones que hay que tomar, con sus respectivas limitaciones o restricciones, y una función objetivo, que servirá como criterio a optimizar. Esta función objetivo puede considerarse como un valor esperado. Por lo que una de las formas en que se puede enfrentar el problema es disminuyendo el riesgo de la decisión utilizando múltiples escenarios, y obtener una solución robusta sin menospreciar el rendimiento de la solución.

2. METODOLOGÍA

13

Existen varios métodos para tratar la incertidumbre con valores en un dominio constante, uno de ellos es la modelación de la señal de perturbación como ruido gaussiano5, a través de la utilización de la media y la matriz de covarianza6. De esta manera se puede obtener resultados teóricos apoyados en el cálculo analítico de las estadísticas del proceso controlado. También puede ser tratado como una suposición estadística restrictiva, es decir, que pueda tener la capacidad de restringir o limitar de acuerdo algún criterio establecido por la función objetivo. Varios procesos reales con incertidumbres emplean esta suposición a distintos periodos de tiempo con características que no necesariamente están asociadas a un modelado de la distribución normal estándar. Por lo que, la resolución del problema de optimización de una función de coste está determinada por la programación estocástica aplicada al modelo MPC, dado que garantiza el desempeño de las limitaciones y la disminución de la función coste en lazo cerrado para cada ciclo de muestreo con una evidente probabilidad, en donde las perturbaciones son valoradas en función de un valor esperado. Para ello, las perturbaciones son discretizadas, con el fin de permitir una formación de un árbol de escenarios ramificados en donde consten todos los posibles acontecimientos de incertidumbre durante su trayectoria(De La Pena, Bemporad, & Alamo, 2005).

Por otro lado, uno de los principales puntos de vista que se debe tener en cuenta es la existencia de congestión de datos en redes de computadoras, en donde el problema se refleja en el diseño del controlador, por lo que debe garantizar un correcto rendimiento para todas las posibles condiciones, considerando que estos tipos de sistemas trabajan bajo un rango de condiciones. El objetivo radica en proporcionar confiabilidad en los resultados obtenidos, y para ello se busca desarrollar un controlador robusto que pueda cumplir con las restricciones y limitaciones, y se encuentre dentro del margen de error proporcionado. Por lo tanto, se utiliza la experimentación del controlador sometido a un número finito de escenarios, y cuando este logra cumplir con los requerimientos fijados por el problema para un cierto número de escenarios, las propiedades pueden ser determinadas con la confiabilidad solicitada (Maestre, Alvarez, Alamo, Salim, & Luque, 2012).

5 Ruido gaussiano: señal aleatoria con valores sin correlación entre sí en cada instante de tiempo. 6 Matriz de covarianza: matriz cuyos valores indican el grado de variación conjunta de variables aleatorias respectos a sus medias.

14

2.1 MODELO

El control predictivo estocástico MPC es una técnica de control que proporciona una respuesta en base a restricciones sobre las variables manipuladas y controladas, retardos en la planta, entre otros. Para ello se obtendrá una señal de control, que resolverá un problema de optimización utilizando un horizonte finito de predicción partiendo de las evoluciones pasadas del modelo de la planta, repitiéndolo en cada instante de tiempo. De esta manera el MPC puede emplear el modelo del sistema para predecir su evolución futura desde el estado actual del sistema hasta el horizonte de predicción establecido. Entonces la señal de control se ejecutará en el instante actual y el problema lo realizará nuevamente en el siguiente instante sobre un horizonte deslizante de tiempo(Velarde, Tian, Sadowska, & Maestre, 2019). De manera que partiendo del sistema:

𝑥𝑥[𝑘𝑘 + 1] = 𝐴𝐴 ∙ 𝑥𝑥[𝑘𝑘] + 𝐵𝐵 ∙ 𝑢𝑢[𝑘𝑘] + 𝐷𝐷 ∙ 𝐷𝐷[𝑘𝑘]

[1]

Sujeto a:

𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 → 𝐺𝐺 ∙ 𝑥𝑥 ≤ 𝑔𝑔

[2]

𝑢𝑢 ∈ 𝑈𝑈 → 𝐿𝐿𝐵𝐵 ≤ 𝑢𝑢 ≤ 𝑈𝑈𝐵𝐵

[3]

Dicho de otra manera, el sistema a controlar definido por la ecuación [1], se lo realizará a través de la optimización de la función de coste a lo largo del horizonte de predicción. Por lo que esta función puede emplear varias formas, en donde una de las más ocupadas es la función de coste cuadrática definida por:

𝐽𝐽 = �(𝑥𝑥𝑘𝑘𝑇𝑇 ∙ 𝑄𝑄 ∙ 𝑥𝑥𝑘𝑘 + 𝑁𝑁−1

𝑘𝑘=0

𝑢𝑢𝑘𝑘𝑇𝑇 ∙ 𝑅𝑅 ∙ 𝑢𝑢𝑘𝑘) + 𝑥𝑥𝑁𝑁𝑇𝑇 ∙ 𝑃𝑃 ∙ 𝑥𝑥𝑁𝑁 [4]

Considerando la ecuación 4, lo que se busca es minimizar su función de coste tomando en cuenta las siguientes restricciones:

15

𝑚𝑚í𝑚𝑚𝑢𝑢0,𝑢𝑢1, … ,𝑢𝑢𝑁𝑁−1

�(𝑥𝑥𝑘𝑘𝑇𝑇 ∙ 𝑄𝑄 ∙ 𝑥𝑥𝑘𝑘 + 𝑁𝑁−1

𝑘𝑘=0

𝑢𝑢𝑘𝑘𝑇𝑇 ∙ 𝑅𝑅 ∙ 𝑢𝑢𝑘𝑘) [5]

Sujeto a

𝑥𝑥[𝑘𝑘 + 1] = 𝐴𝐴 ∙ 𝑥𝑥[𝑘𝑘] + 𝐵𝐵 ∙ 𝑢𝑢[𝑘𝑘] + 𝐷𝐷 ∙ 𝐷𝐷[𝑘𝑘] [6]

𝐺𝐺 ∙ 𝑥𝑥𝑘𝑘 ≤ 𝑔𝑔 ; ∀ 𝑘𝑘 ∈ 0 , … ,𝑁𝑁 [7]

𝐿𝐿𝐵𝐵 ≤ 𝑢𝑢𝑘𝑘 ≤ 𝑈𝑈𝐵𝐵; ∀ 𝑘𝑘 ∈ 0 , … ,𝑁𝑁 − 1 [8]

Por lo tanto, debido a que la formulación del MPC clásico no admite un sistema con incertidumbres y perturbaciones, existen varios esquemas de MPC que fueron diseñados para garantizar una estabilidad y cumplimiento de las limitaciones propuestas frente a las perturbaciones. Uno de estos esquemas mencionados es el control predictivo basado en la técnica de árboles de decisión, la misma que ha sido seleccionado para demostrar de manera más clara la resolución de este proyecto.

2.2 CONTROL PREDICTIVO ESTOSCÁSTICO BASADO EN ÁRBOLES (TB-MPC)

Está técnica es utilizada generalmente en situaciones en donde se debe resolver un problema o una necesidad a través de la toma de una decisión, y para ello se deben analizar varias alternativas que, dependiendo del resultado, permitan identificar cuál es la opción o el camino más acertado y poder continuar con el proceso hasta llegar al final deseado. Por tal razón son conocidas como decisiones escalonadas.

La técnica de árboles de decisión es una idea planteada por John Von Neumann y Oskar Morgenstern aproximadamente en el año 1944 en la conocida teoría de juegos, en donde Neumann propone realizar un diagrama en forma de árbol, en donde se pueda representar o plasmar de manera visible todas las posibles formas de jugar, para lo cual en esta representación deben constar las posibilidades desde el inicio, tomando en cuenta que el inicio era la primera jugada, hasta el final con la última jugada, como se puede observar en la Figura 3. De esta manera se puede encontrar el mejor método para jugar y que todos puedan obtener el mayor grado de satisfacción conociendo las implicaciones de este.

16

Figura 3. Representación Árbol de decisión en la Teoría de juegos

Este tipo de modelo está formado por varios nodos (representados con círculos en la Figura 3) los cuales emulan los puntos de decisión y de estos saldrán ramas, que representan las diferentes alternativas para cada evento en particular. Estas gráficas deben leerse de izquierda a derecha, como las alternativas disponibles y las posibles consecuencias de cada evento.(Krajewski & Ritzman, 2000)

Los árboles de decisión son una técnica que permite pronosticar a través de probabilidades y estadísticas, qué es lo que sucederá en el futuro si a lo largo del camino se va tomando cierto tipo de decisión. Por lo que facilita un balance entre lo que se tiene en el estado actual y lo que se debe realizar para poder obtener lo que se desea.

Tomando en cuenta el objetivo planteado por el control MPC, uno de los problemas es la optimización de la función en presencia de datos estocásticos, donde una de las posibles soluciones es la aproximación de la incertidumbre continua a un dominio discreto con el fin de mantener la esencia de las propiedades estadísticas del proceso continuo. Por lo que, el método de árbol de decisión propone escenarios basados en la optimización requerida, donde únicamente los datos más trascendentales serán aquellos patrones de perturbaciones considerados para el modelamiento.

El método basado en Arboles (TB-MPC) trata la condición estocástica de las perturbaciones que satisfacen a la demanda de la red de agua y las características meteorológicas, proporcionando cierto grado de incertidumbre en el modelo. Por lo que, el objetivo del control es reducir la función de coste convexa, en el cual la secuencia de las incertidumbres es evidente en el instante inicial y las demás son valoradas para un horizonte de predicción.

17

El control TB-MPC se fundamenta principalmente por la generación de posibles escenarios que toman la forma de un árbol, con sus respectivas ramificaciones que hacen referencia a las posibles alternativas, como se representa en la Figura 4, donde inicia con una perturbación en común, de manera que, conforme su desarrollo se va apartando progresivamente y generando nuevos escenarios.

(Grosso, Velarde, Ocampo-Martinez, Maestre, & Vicenc, 2016)

Figura 4. Árbol de escenarios sobre un horizonte de predicción

A estos puntos se los conoce como bifurcaciones, cada una de ellas modifica las condiciones del controlador, por lo que, el número de escenarios utilizados para representar el sistema de acuerdo con las condiciones de árbol de decisión, son generadas con relación a la capacidad computacional del controlador y la probabilidad de riesgo existente en la generación del árbol. Cabe mencionar que, al emplear este tipo de técnica, se debe tomar en cuenta que se necesita un número suficiente de escenarios.

El TB-MPC emplea el árbol obtenido de la predicción por conjuntos y busca resolver la optimización de la función de coste teniendo en consideración las secuencias generadas en el árbol. Generalmente este proceso de solución se lo realiza para cada una de las posibles secuencias de perturbación contenidas en el árbol. Por lo que de esta manera el conjunto resultante puede ser resuelto a través de la utilización de agentes en paralelo, de tal forma que, si existe 𝑁𝑁𝑠𝑠 diferentes escenarios, existirá 𝑁𝑁𝑠𝑠 diferentes agentes trabajando en paralelo. A pesar

18

de que, el problema al que tienen que someterse los agentes tiene más restricciones, se debe considerar adicionalmente las restricciones no anticipativas en el procedimiento de optimización, por lo que se define una función auxiliar 𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑘𝑘) para que 𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖(𝑘𝑘) = 1 sí y solo si 𝑢𝑢𝑖𝑖(𝑘𝑘) = 𝑢𝑢𝑖𝑖(𝑘𝑘), es decir, la entrada de control de agente 𝑚𝑚 debe ser el mismo valor del controlador de entrada de agente 𝑗𝑗 en el tiempo 𝑘𝑘.

Entonces para tener un árbol de entrada con la misma estructura que el árbol de perturbaciones, 𝛿𝛿𝑖𝑖,𝑖𝑖(𝑘𝑘) debe ser 1 para 𝑘𝑘 = 0, . . . . ,𝑘𝑘𝑖𝑖𝑖𝑖, donde 𝑘𝑘𝑖𝑖𝑖𝑖 es el primer paso de tiempo en el que las secuencias de perturbación correspondientes a los agentes 𝑚𝑚 y 𝑗𝑗 son diferentes. De tal manera que, desde una forma centralizada el problema puede ser resuelto por un controlador TB-MPC de la siguiente manera:

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑈𝑈1, . . . , 𝑈𝑈𝑁𝑁𝑠𝑠

�𝛼𝛼𝑖𝑖𝐽𝐽(𝑁𝑁𝑠𝑠

𝑖𝑖=1

𝑈𝑈𝑖𝑖, 𝑥𝑥0) [9]

Sujeto a

𝑒𝑒𝑖𝑖(𝑘𝑘+1) = 𝐴𝐴𝑒𝑒𝑖𝑖(𝑘𝑘) + 𝐵𝐵𝑢𝑢𝑖𝑖(𝑘𝑘) + 𝐸𝐸𝑤𝑤𝑖𝑖(𝑘𝑘)𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑘𝑘) ∈ 𝜒𝜒 ∀ 𝑘𝑘 ∈ {1,....,𝑁𝑁ℎ}

𝑢𝑢𝑖𝑖(𝑘𝑘) ∈ 𝑈𝑈 ∀ 𝑘𝑘 ∈ {0,....,𝑁𝑁ℎ−1}𝑥𝑥𝑖𝑖(0) = 𝑥𝑥0 𝑤𝑤𝑖𝑖(𝑘𝑘) = 𝑤𝑤𝑖𝑖,𝑘𝑘

𝛿𝛿𝑖𝑖,𝑗𝑗(𝑘𝑘) 𝑢𝑢𝑖𝑖(𝑘𝑘) = 𝛿𝛿𝑖𝑖,𝑗𝑗(𝑘𝑘) 𝑢𝑢𝑗𝑗(𝑘𝑘) ∀ 𝑗𝑗 ∈{1,… ,𝑁𝑁𝑠𝑠}, 𝑘𝑘 ∈{0,...,𝑁𝑁ℎ−1} ⎭

⎪⎬

⎪⎫

∀ 𝑚𝑚 ∈ [1,𝑁𝑁𝑠𝑠]

[10]

Donde 𝑤𝑤𝑖𝑖,𝑘𝑘 = (𝑤𝑤𝑖𝑖,0,𝑤𝑤𝑖𝑖,1, . . . ,𝑤𝑤𝑖𝑖,𝑁𝑁ℎ) es una secuencia determinista compuesta por los valores presentes y los valores futuros de las perturbaciones que debe enfrentar el agente 𝑚𝑚 y 𝛼𝛼𝑖𝑖 en la probabilidad asignada a la secuencia de perturbación 𝑤𝑤𝑖𝑖,𝑘𝑘.

Se desarrollarán cuatro árboles de decisión con diferentes ramificaciones como se muestran en la Figura 5, estos árboles fueron diseñados para que, en cada instante k se analicen los dieciséis escenarios propuestos.

19

Figura 5. Árboles de perturbaciones desarrollados

Entonces, todos los árboles en el primer instante tendrán el mismo valor, es decir que, los 16 escenarios tendrán un solo punto de partida. Conforme el horizonte de predicción se va desarrollando cada rama tendrá una nueva bifurcación, la cual dividirá en dos el número de escenarios que posee, esto permitirá observar el comportamiento de los agentes ubicados en cada nodo, facilitando el análisis del comportamiento del sistema para cada una de las posibilidades fabricadas, para ello en la Tabla 1 se observa la distribución con respecto al número de ramas y escenarios de cada árbol utilizado para el presente trabajo.

Tabla 1. Distribución de ramas y escenarios para cada árbol

# Ramas # Escenarios por rama en el horizonte

1° Árbol 3 8

2° Árbol 7 4

3° Árbol 15 2

4° Árbol 31 1

2.2.1 APLICACIÓN DEL MPC BASADO EN ÁRBOLES

Para la aplicación del control MPC basado en escenario y árboles de decisión es importante considerar que se necesita construir las matrices de espacio estado basándose en un modelo ampliado del sistema, para que el controlador sea capaz de proporcionar una acción de control mucho más robusta, reduciendo el número de escenarios y analizando las

20

principales características del comportamiento de las perturbaciones ya que si son iguales las acciones de control disminuirán, por tal motivo las matrices de espacio estado considerando los instantes a ser analizados estarían definidas de la siguiente manera:

⎣⎢⎢⎢⎡𝑥𝑥1(𝑘𝑘 + 1)𝑥𝑥2(𝑘𝑘 + 1)𝑥𝑥3(𝑘𝑘 + 1)

⋮𝑥𝑥𝑁𝑁𝑠𝑠(𝑘𝑘 + 1)⎦

⎥⎥⎥⎤

=

⎣⎢⎢⎢⎡𝐴𝐴 0 00 𝐴𝐴 00 0 𝐴𝐴

⋯000

⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 𝐴𝐴⎦

⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎡𝑥𝑥1(𝑘𝑘)𝑥𝑥2(𝑘𝑘)𝑥𝑥3(𝑘𝑘)⋮

𝑥𝑥𝑁𝑁𝑠𝑠(𝑘𝑘)⎦⎥⎥⎥⎤

+

⎣⎢⎢⎢⎡𝐵𝐵 0 00 𝐵𝐵 00 0 𝐵𝐵

⋯000

⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 𝐵𝐵⎦

⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎡𝑢𝑢1(𝑘𝑘)𝑢𝑢2(𝑘𝑘)𝑢𝑢3(𝑘𝑘)⋮

𝑢𝑢𝑁𝑁𝑠𝑠(𝑘𝑘)⎦⎥⎥⎥⎤

+

⎣⎢⎢⎢⎡𝐷𝐷1(𝑘𝑘)𝐷𝐷2(𝑘𝑘)𝐷𝐷3(𝑘𝑘)⋮

𝐷𝐷𝑁𝑁𝑠𝑠(𝑘𝑘)⎦⎥⎥⎥⎤

[11]

Donde 𝑁𝑁𝑠𝑠 es considerado como el número de escenarios establecido para el análisis del sistema a desarrollar; las señales de control son diferentes ya que se deben considerar las bifurcaciones existentes en el sistema con respecto a la estructura del árbol diseñado. De igual modo, para la configuración del controlador, hay que tomar en cuenta los nodos comunes que existirán en el árbol, ya que si estos puntos son iguales esto minimizaría el número de acciones de control y por consiguiente se reduciría también el tiempo del cálculo computacional que cada escenario requeriría.

Considerando ahora que para las restricciones se necesita introducir una matriz de modificación llamada M’, la cual tiene como función examinar los escenarios de perturbaciones a través del horizonte de predicción y establecer la correspondencia que poseen entre sí, para ello disminuye las variables de las acciones de control. Así, por ejemplo, para el vector 12.

𝑈𝑈(𝑘𝑘) = �𝑢𝑢1𝑢𝑢2𝑢𝑢3� [12]

Con valores tales que componen el vector y se tiene como restricción que 𝑢𝑢1 = 𝑢𝑢2, la optimización resultante únicamente resolvería el sistema en cada escenario para 𝑢𝑢1y 𝑢𝑢3. Con esta aclaración, otra forma que suele ser utilizada para definir estas restricciones en función de la matriz de modificación M’, es con la implementación de un vector que posee un

21

número limitado de variables de optimización, teniendo como resultado entonces 𝑈𝑈 = 𝑀𝑀′ ∙ 𝑈𝑈𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟, donde 𝑈𝑈𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟 es el vector mencionado. Entonces para la resolución del problema de optimización con relación a 𝑈𝑈𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟 en lugar de 𝑈𝑈, y obtener un número reducido de variables de optimización, suponiendo que las matrices 13 y 14 son:

𝑀𝑀′ = �110

001� [13]

𝑈𝑈𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟 = �𝑢𝑢1𝑢𝑢3�

[14]

La nueva matriz 𝑈𝑈, hace referencia a la optimización del vector reducido considerando las restricciones, es la matriz 15.

𝑈𝑈 = �𝑢𝑢1𝑢𝑢1𝑢𝑢3�

[15]

Esta optimización, reduce la configuración del controlador ya que únicamente se lo diseña en función de las variables que son parte del vector reducido.

Ahora, para poder implementar la técnica de múltiples escenarios no es imprescindible conocer el comportamiento probabilístico del requerimiento, ya que únicamente es necesario conocer múltiples escenarios de posibles desarrollos en el requerimiento, para que el controlador configurado sea capaz de proporcionar como resultado una acción de control lo suficientemente robusta como para satisfacer todas las perturbaciones potenciales presentes del sistema extendido.

Con respecto a las ramificaciones del árbol, esta técnica modela las perturbaciones de tal manera que pueda representar la dinámica de estas, para ello lo realiza a través de la generación de una serie de ramas obtenidas de un conjunto inicial de escenarios. Por lo que, cuando los escenarios ya se encuentran reducidos a causa de la optimización, se puede continuar con la función de costos, en donde ya se le empieza asociar a las restricciones establecidas para el problema, esto se lo realiza mediante la incorporación de las restricciones de igualdad de sus acciones de control en los puntos de bifurcación presentes en los escenarios de perturbaciones.

3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

22

Para el desarrollo de este capítulo se inicia con la presentación del caso de estudio donde será aplicado el TB-MPC. Para lo cual se ha distribuido en cuatro partes, la especificación del sistema como el caso de estudio y el modelo de los sistemas descritos, seguido de la definición de los parámetros, restricciones y consideraciones usadas para el diseño del controlador y su aplicación sobre el caso de estudio, finalmente se realizaron varias pruebas de simulación que permiten comparar y determinar el mejor rendimiento en cuanto a tiempo y costos representados por medio de la utilización de cuadros comparativos y el método establecido.

3.1 CASO DE ESTUDIO

En el noroeste de la región de los Países Bajos, como se puede observar en la Figura 6, existen dos grandes lagos formados a partir de la ejecución del plan de protección contra las inundaciones y corrientes externas, denominado “Plan Delta”, compuesto por varios diques y canales que separan el Mar del Norte de las grandes desembocaduras provenientes de los tres ríos más caudalosos de toda Europa, como son el Rin, el Mosa y el Escalda. El Lago IJsselmeer, nombrado así por su procedencia del rio Ijssel, y la terminación meer que en holandés significa lago, y el Lago Markermeer, igualmente nombrado así en honor a la isla de Marken situado en sus aguas, son los dos lagos que se encargan de abastecer de agua consumible a todo el continente y especialmente a toda la zona septentrional de los Países Bajos, ya que poseen la mayor cantidad de agua dulce. Estos dos lagos, suministrados principalmente por el rio IJssel, durante los meses de abril y septiembre, en la época de verano el nivel de agua es de 0.2 m menor que el nivel medio del mar. Para los demás meses del año, el nivel del agua se mantiene en 0.4 m por debajo del nivel medio del mar, ya que, en épocas de invierno, el Lago Markermeer debe disminuir su excedente de agua hacia el lago IJsselmeer, ya que de esta manera se puede mantener un equilibrio entre el agua salada que ingresa a los lagos y el agua dulce del lugar, y además mantienen un nivel óptimo para el tránsito de barcos.

23

Figura 6. Ubicación geográfica caso de estudio, Lago IJsselmeer y Lago Markermeer

Existen compuertas, que controlan la afluencia de agua, una de ellas es la compuerta Ijmuiden, que es la encargada de mantener un diferente nivel entre el agua del canal y el agua del Mar del Norte. En temporadas de marea baja, el intercambio de agua se lo realiza por efecto de la gravedad, a diferencia de temporadas de marea alta, que, es necesario la utilización de bombas de agua, estas estaciones de bombeo tienen una capacidad de 260 𝑚𝑚

3𝑠𝑠� . El

esquema simplificado estará definido por la Figura 7.

(Velarde et al., 2019)

Figura 7. Diagrama esquemático

Dicho esto, entonces se puede considerar que las puertas y bombas torneadas conforman una sola estructura cuando funcionan de manera simultánea, por lo que las dos compuertas que existe entre el lago IJsselmeer y el Mar del Norte, que son de 108 y 54 m de ancho respectivamente, pueden ser consideradas como una sola puerta de 162 metros de ancho. Por otra parte, cabe mencionar que a pesar de que el lago IJsselmeer y el lago

24

Markermeer poseen diferentes niveles de agua, estos dos lagos permanecen juntos por medio de dos compuertas a través del flujo de gravedad, es decir, se acoplan en un solo depósito por simplicidad.

Partiendo de las aclaraciones anteriores, el funcionamiento de las compuertas entre el lago Markermeer y el Canal del Mar del Norte se opera por medio de las puertas Houtrib y Schellingwoude, en donde, una vez accionada, el agua se intercambia desde el Canal del Mar del Norte por medio de las bombas IJmuiden. Es decir que para este punto la condición máxima para el flujo de salida por medio de estas puertas y la bomba es de 1 000 𝑚𝑚

3𝑠𝑠� , 50 𝑚𝑚

3𝑠𝑠� y 260

𝑚𝑚3𝑠𝑠� , respectivamente.

Hay que mencionar, además que para ambos subsistemas se consideró entradas de perturbaciones 𝑑𝑑(𝑘𝑘) procedentes del río Rin y las precipitaciones del lugar. Estos datos históricos fueron obtenidos de un servicio web holandés en vivo manejado por Rijkswaterstaat. Una vez obtenidos estos datos de la biblioteca climática estocástica (SCL), se generaron dieciséis escenarios. Esta herramienta permite recrear datos estocásticos de lluvia por medio de la implementación de un modelo autorregresivo, donde los escenarios recreados mantienen un valor medio igual al de la sucesión histórica y una desviación estándar de 250 𝑚𝑚3

𝑠𝑠� . Los valores mínimos, medios y máximos de cada subsistema durante los 24 días están representados en Figura 8.

Figura 8. Valores máximos, medios y mínimos de los escenarios de perturbaciones

Hay que considerar que algunos escenarios muestran valores mayores del nivel gracias a la lluvia durante seis días, por lo que se fijó un valor máximo de aproximadamente 1 000 𝑚𝑚3

𝑠𝑠� . Se tomaron dos perturbaciones medidas de manera diferente para estresar a los sistemas locales, donde las perturbaciones para el lago representado en la Figura 10(a). son mayores a

25

causa de la lluvia, de donde se obtuvo una entrada máxima de aproximadamente 937.20 𝑚𝑚3

𝑠𝑠� . Para el canal, representado por la Figura 10(b), se registró la entrada más alta con un valor de 951.32 𝑚𝑚3

𝑠𝑠� . Después de estos acontecimientos los flujos de entrada oscilaron un valor cercano a los 233 𝑚𝑚3

𝑠𝑠�

hasta el día 16, el tiempo restante mantuvieron entradas regulares como se mostrará en la Figura 9, por lo que se consideraron estas perturbaciones para realizar la simulación del sistema.

Figura 9. Perturbaciones utilizadas para simulación

Con respecto a los demás parámetros utilizados en la simulación se los fijo los valores de restricciones representados en la Tabla 2. Para los niveles de agua se definió un intervalo entre -5 m y 5 m para asegurar la presa de los canales de los dos escenarios.

Tabla 2. Restricciones

Lago Canal

Capacidad de almacenamiento 7.4E8 𝑚𝑚3 3.1E7 𝑚𝑚3

Horizonte de predicción 24 24

Niveles de referencia -0.4 𝑚𝑚 -0.4 𝑚𝑚

Caudal de Intercambio -0.5 𝑚𝑚3𝑠𝑠� -0.5 𝑚𝑚

3𝑠𝑠�

Relación de variación de caudal 1/300 1/200

Relación de caudal de intercambio 1/260 1/260

26

3.2 MODELADO

Debido a la importación de la distribución de agua que se mantiene en estas regiones, se requiere un modelo adecuado para garantizar el correcto funcionamiento y niveles necesarios para abastecer el servicio de agua de manera aceptable. Unos de los puntos importantes en el modelado de este sistema es la optimización considerada para reducir tanto costos computaciones como tiempos de respuesta en los posibles eventos que se presentarán en este sistema, por lo tanto, el sistema está representado en la Figura 10.

Figura 10. Sistema de Bloques

En donde se puede visualizar que el sistema tiene dos entradas que son los caudales 𝑄𝑄1 y 𝑄𝑄2, que ingresan en el lago y el canal respectivamente, estos caudales hacen referencia como se lo mencionó anteriormente, a las perturbaciones de lluvia y situaciones hidrológicas presentes en esa región; 𝑄𝑄𝑒𝑒𝑒𝑒 es el caudal de intercambio que funciona con el accionamiento de la bomba IJmuiden, el mismo que va desde el Lago hacia el Canal y es el encargado de mantener los niveles de referencia establecidos para los dos subsistemas, finalmente se tiene también dos caudales de salida por donde se desfogará el agua que en este caso son 𝑞𝑞1 por medio de la puerta Houtrib para el Lago y 𝑞𝑞2 por medio de la puerta Schellingwoude para el Canal.

Una vez analizado el modelo del sistema a estudiar utilizando el sistema de bloques de la Fig. 10, la manera más utilizada para modelar el funcionamiento de sistemas de agua está determinada por la fórmula 1.

𝑥𝑥(𝑘𝑘 + 1) = 𝐴𝐴𝑥𝑥(𝑘𝑘) + 𝐵𝐵𝑢𝑢𝑢𝑢(𝑘𝑘) + 𝐵𝐵𝑟𝑟𝑑𝑑(𝑘𝑘)

[1]

27

Donde, 𝑥𝑥(𝑘𝑘) ∈ ℝ𝑛𝑛 es el estado del sistema, 𝑢𝑢(𝑘𝑘) ∈ ℝ𝑚𝑚 representa a la variable de control y 𝑑𝑑(𝑘𝑘) ∈ ℝ𝑙𝑙 corresponde a la perturbación del sistema. Entonces, bajo estas referencias el nivel del agua ℎ(𝑘𝑘) y el flujo del agua a través de la bomba 𝑞𝑞(𝑘𝑘) son parte de los estados del sistema dentro de 𝑥𝑥(𝑘𝑘) =[ℎ(𝑘𝑘),𝑞𝑞(𝑘𝑘)]𝑇𝑇, de la misma manera la variación del flujo de la bomba de agua ∆𝑞𝑞(𝑘𝑘) forma parte de la variable de control 𝑢𝑢(𝑘𝑘) = [∆𝑞𝑞(𝑘𝑘)]𝑇𝑇. Por otra parte, los coeficientes de las matrices que se formarán quedan de la siguiente manera 𝐴𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑛×𝑛𝑛,𝐵𝐵𝑢𝑢 ∈ ℝ𝑛𝑛×𝑚𝑚 y 𝐵𝐵𝑟𝑟 ∈ ℝ𝑛𝑛×𝑙𝑙 y se los puede obtener por medio de la utilización de la ecuación de linealización de Sain-Venant como lo menciona Stelling en su artículo de flujos de agua que varían rápidamente en (Stelling & Duinmeijer, 2003). Considerando esto entonces, las ecuaciones que describen a las alturas para cada subsistema están definidas por las ecuaciones 2 y 3.

ℎ1(𝑘𝑘 + 1) = ℎ1(𝑘𝑘) − 𝑁𝑁1𝑞𝑞1 𝑜𝑜𝑢𝑢𝑜𝑜 − 𝑁𝑁1𝑞𝑞𝑒𝑒𝑒𝑒 + 𝑁𝑁1𝑄𝑄1 𝑖𝑖𝑛𝑛 − 𝑁𝑁1∆𝑞𝑞1 𝑜𝑜𝑢𝑢𝑜𝑜 − 𝑁𝑁1∆𝑞𝑞𝑒𝑒𝑒𝑒

[2]

ℎ2(𝑘𝑘 + 1) = ℎ2(𝑘𝑘) − 𝑁𝑁2𝑞𝑞2 𝑜𝑜𝑢𝑢𝑜𝑜 + 𝑁𝑁2𝑞𝑞𝑒𝑒𝑒𝑒 + 𝑁𝑁2𝑄𝑄2 𝑖𝑖𝑛𝑛 − 𝑁𝑁2∆𝑞𝑞2 𝑜𝑜𝑢𝑢𝑜𝑜 + 𝑁𝑁2∆𝑞𝑞𝑒𝑒𝑒𝑒 [3]

Donde ℎ1 y ℎ2 son los niveles de agua para el lago y el canal, respectivamente; 𝑄𝑄1 𝑖𝑖𝑛𝑛 y 𝑄𝑄2 𝑖𝑖𝑛𝑛 son las entradas de perturbaciones para cada escenario, ∆𝑞𝑞1 𝑜𝑜𝑢𝑢𝑜𝑜 y ∆𝑞𝑞2 𝑜𝑜𝑢𝑢𝑜𝑜 son las variaciones del caudal de salida a través de las compuertas del sistema, ∆𝑞𝑞𝑒𝑒𝑒𝑒 es la variación del caudal de intercambio que la bomba realiza cuando se la acciona para regular los niveles en ambos tanques del sistema y finalmente tenemos 𝑁𝑁1y 𝑁𝑁2 es la relación existente entre el área del reservorio A y el periodo de muestreo T. (Maestre & Negenborn, 2014)

Considerando ahora que, para la construcción de las matrices de espacio estado del sistema, basándonos en las ecuaciones resultantes del análisis del sistema de bloques y las consideraciones descritas en el capítulo anterior con respecto a la aplicación del control MPC en árboles y la técnica de escenarios múltiples, se tiene 4.

28

⎣⎢⎢⎢⎡ℎ1(𝑘𝑘 + 1)𝑞𝑞1(𝑘𝑘 + 1)ℎ2(𝑘𝑘 + 1)𝑞𝑞2(𝑘𝑘 + 1)𝑞𝑞𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑘𝑘 + 1)⎦

⎥⎥⎥⎤

=

⎣⎢⎢⎢⎡1 −𝑁𝑁1 0 0 −𝑁𝑁10 1 0 0 0000

000

100

−𝑁𝑁210

𝑁𝑁201 ⎦⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎡ℎ1(𝑘𝑘)𝑞𝑞1(𝑘𝑘)ℎ2(𝑘𝑘)𝑞𝑞2(𝑘𝑘)𝑞𝑞𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑘𝑘)⎦

⎥⎥⎥⎤

+

⎣⎢⎢⎢⎡−𝑁𝑁1 0 −𝑁𝑁1

1 0 0000

−𝑁𝑁210

𝑁𝑁201 ⎦⎥⎥⎥⎤�∆𝑞𝑞1∆𝑞𝑞2∆𝑞𝑞𝑒𝑒𝑒𝑒

� +

⎣⎢⎢⎡𝑁𝑁10𝑁𝑁200 ⎦⎥⎥⎤�𝑄𝑄𝑖𝑖𝑛𝑛 1𝑄𝑄𝑖𝑖𝑛𝑛 2 �

[4]

Para el rendimiento del control en cada paso de muestra 𝑘𝑘 se puede calcular de acuerdo con la suma ponderada de las desviaciones de la manera 5.

𝐽𝐽�𝑥𝑥(𝑘𝑘 + 1),𝑢𝑢(𝑘𝑘)� = (𝑥𝑥(𝑘𝑘 + 1) − 𝑟𝑟)𝑇𝑇𝑄𝑄(𝑥𝑥(𝑘𝑘 + 1) − 𝑟𝑟) + 𝑢𝑢𝑇𝑇(𝑘𝑘)𝑅𝑅𝑢𝑢(𝑘𝑘)

[5]

Donde 𝐽𝐽 representa a la función de coste en cada instante de muestreo, 𝑟𝑟 es la referencia que obtienen en cada instante de muestreo y las matrices 𝑄𝑄 y 𝑅𝑅 son los estados y las variables de control, respectivamente.

𝑄𝑄 =

⎣⎢⎢⎢⎡4000

0000

00000

00

400000

00000

00000⎦⎥⎥⎥⎤ [6]

𝑅𝑅 = �0.0033 0 0

0 0.0038 00 0 0.0050

�

[7]

Para la configuración del controlador se tomaron dos árboles con 16 escenarios cada uno (𝑁𝑁𝑠𝑠=16), de tal manera que se escogió los más probables para cada subsistema, tomando en cuenta la afluencia de agua bajo condiciones hidrológicas y las precipitaciones aéreas.

29

3.3 DESARROLLO Y SIMULACIÓN

Las acciones de control definidas para este caso de estudio provienen de un árbol de dieciséis escenarios (𝑁𝑁𝑠𝑠=16), en donde solo el primer valor de esta secuencia se lo pone en funcionamiento, debido a la estrategia de control de horizonte deslizante. Un valor común para el primer valor de todas las secuencias, a través de la implementación. Por lo tanto, se tendrá una misma acción de control para la raíz del árbol en el primer intervalo de tiempo, sucesivamente se desarrolló con los escenarios siguientes considerando que, para cada bifurcación en cada intervalo, se calculará diferentes entradas de control para cada rama del árbol de perturbación.

La estructura del factor de ramificación que hace referencia al número de ramas que se obtendrá como resultado después de un nodo, puede ser determinada de manera anticipada, no obstante, este número puede ser reformulado si así lo requiriere el sistema, esto mediante la utilización de un horizonte de control más corto, lo que implicaría una menor carga computacional, pero también se debería tomar en cuenta que al reducir el horizonte de predicción se correría el riesgo de obtener posibles efectos adversos sobre la estabilidad y el rendimiento de todo el sistema.

Partiendo de las condiciones mencionadas, de las simulaciones realizadas en cada uno de los cuatro árboles considerados, se obtuvieron resultados que serán analizados y comparados a través de tablas de datos, lo que permitirá en las conclusiones evaluar y determinar cuál configuración es la más eficiente y óptima para el funcionamiento de las compuertas.

Para el desarrollo de las simulaciones de este proyecto se consideró ciento noventa y dos instantes de muestreo (𝑘𝑘 = 192), tomando en cuenta un horizonte de predicción de veinte y cuatro días (𝑁𝑁𝑁𝑁=24). Para la primera variable (ℎ1) que corresponde al nivel de agua en el lago, como se puede observar en la Figura 11, se obtuvo un comportamiento muy similar para todos los árboles.

30

Figura 11. Niveles de agua ℎ1 del Lago

Por lo que, para un mejor análisis los valores mostrados en la Tabla 3 facilitarán la comparación de los resultados obtenidos de cada árbol.

Tabla 3. Valores obtenidos de la simulación para el nivel de agua en el Lago (ℎ1)

Valor Medio Desviación Estándar

Valor Máximo Valor Mínimo

1° Árbol -0.3999 0.000881 -0.3973 -0.4016

2° Árbol -0.3999 0.000909 -0.3972 -0.4017

3° Árbol -0.3999 0.000942 -0.3972 -0.4018

4° Árbol -0.3999 0.000968 -0.3972 -0.4190

De acuerdo con los valores de la Tabla 3, todos los resultados registrados para el lago representado por el lago cumplen con las condiciones establecidas, obteniendo un valor promedio igual a ℎ1��� = −0.3999 m con respecto al nivel considerado, lo que significa que los controladores se encuentran trabajando de manera correcta para todos lo arboles. Con relación a la desviación estándar se pudo observar que, con el 1° árbol, se obtuvo una menor desviación tomando en cuenta al nivel de referencia fijado. De igual manera los valores máximos y mínimos del 1° árbol son los más cercanos al nivel de referencia ya que se obtuvo valores de -0.3973 m y -0.4016 m correspondiente al valor máximo y al valor mínimo, respectivamente.

31

Figura 12. Niveles de agua ℎ2 del canal

De igual modo, para el canal, los valores obtenidos arrojaron datos muy similares como se puede observar la Figura 12, que a diferencia de la gráfica del nivel de agua ℎ1, en la Figura 14 se pude visualizar el comportamiento del controlador en cada uno de los árboles. Sin embargo, no se puede tener un mayor análisis, para lo cual es necesario utilizar los datos de la Tabla 4.

Tabla 4. Valores obtenidos de la simulación para el nivel de agua en el Canal (ℎ2)

Valor Medio Desviación Estándar

Valor Máximo Valor Mínimo

1° Árbol -0.4006 0.0094 -0.3696 -0.4312

2° Árbol -0.4004 0.0073 -0.3732 -0.4248

3° Árbol -0.4003 0.0054 -0.3780 -0.4183

4° Árbol -0.4003 0.0046 -0.3816 -0.4146

Con los valores presentados en la Tabla 4, el valor medio es muy similar, sin embargo la diferencia existente entre cada uno de los árboles es mínima, ya que conforme el número de ramificaciones aumenta, el valor medio de cada árbol disminuye, basandose en la misma refrencia los valores de la desviación estándar mantienen el mismo concepto, a mayor número de ramificacaiones menor es la desviación estándar que presentan los controladores para regular el nivel de agua ℎ2 para el canal. Con respecto a los valores picos, el 1° árbol mantiene el valor máximo más alejado de la referencia con un valor de -0.3696

32

m, mientras que para el valor mínimo de -0.4312 m de igual manera pertece al 1° árbol. Por lo tanto, los picos más considerables observados en la Figura 12, le pertenecen al 1° árbol.

Por otra parte, los caudales de salida del lago, representados en la Figura 13, muestran la apertura de la puerta del reservorio de agua entre el lago y el canal, para el flujo de salida de agua y permitir que el controlador regule los niveles de acuerdo con los puntos de referencia establecidos. Dicho esta aclaración entonces, las subidas hacen referencia a la apertura, y las bajadas representan el cierre de las compuertas ya que el nivel de agua se encuentra por estabilizar en el nivel de referencia.

Figura 13. Caudales de salida 𝑞𝑞1

En la Figura 13 se puede observar que existen dos situaciones en las que las compuertas se accionan y se abren para contrarrestar el efecto de las lluvias, que son durante los tres primeros días y también lo vuelve hacer desde el día 13 hasta el día 15, aproximadamente, lo contrario sucede desde el día 19, ya que en estos días las compuertas empiezan a cerrarse, disminuyendo el flujo de salida. Por lo que los datos obtenidos del caudal de salida de q1 de la compuerta Houtrib están representados en la Tabla 5.

33

Tabla 5. Valores obtenidos de la simulación para el caudal de agua en el Lago (𝑞𝑞1)

Valor Medio Desviación Estándar

Valor Máximo Valor Mínimo

1° Árbol 246.135 14.2190 571.839 256.2000

2° Árbol 246.731 14.1491 566.270 253.2000

3° Árbol 237.507 14.2089 560.410 107.5200

4° Árbol 223.796 14.2120 549.182 8.6200

Con respecto a los valores de la Tabla 5 existe un valor promedio de salida del caudal de los cuatro árboles analizados muy similares, por lo que el accionamiento de las compuertas indica un correcto comportamiento en todas las situaciones. Mientras que la diferencia existe cuando se analizan los valores máximos y mínimos registrados, con un valor de 571.839 y 256.2 𝑚𝑚3

𝑠𝑠 � respectivamente. El 1° árbol posee los valores más altos, lo que significa que el accionar de las compuertas para esta configuración son mucho más robusta que para los demás árboles. Por otro lado, los valores registrados para el 4° árbol de 549.182 y 8.62 𝑚𝑚3

𝑠𝑠 � respectivamente, indican un comportamiento menos severo en sus compuertas.

La Figura 14 muestra el flujo de salida del caudal para el Canal por medio de la compuerta Schellingwoude.

Figura 14. Caudal de salida del Canal (𝑞𝑞2)

Haciendo referencia en la Figura 11(b) donde se muestran las perturbaciones consideradas para cada subsistema, se puede observar que el

34

comportamiento del 1° y 4° árbol, con respecto al accionamiento de las compuertas son los más reales, ya que en los días 13 y 15 en donde se registran mayor entrada de lluvia, las compuertas se abren para lograr mantener el nivel de agua en los subsistemas, por lo que los valores mostrados en la Tabla 6 sustentan a la Figura 16.

Tabla 6. Valores obtenidos de la simulación para el caudal del canal (𝑞𝑞2)

Valor Medio Desviación Estándar

Valor Máximo Valor Mínimo

1° Árbol 29.3546 12.3270 60.1631 10.9111

2° Árbol 29.3416 12.1138 58.9325 7.3219

3° Árbol 30.3026 12.7140 63.1972 5.7179

4° Árbol 37.7263 13.5989 69.5167 5.1316

Con los datos de la Tabla 6 se observa que el valor medio de las compuertas en el canal está dentro de las consideraciones establecidas para el diseño del controlador en todos los árboles, con la diferencia de que, para el 3° y 4° árbol, a pesar de poseer una desviación estándar mayor a los demás con un valor de 12.7140 y 13.5939 𝑚𝑚3

𝑠𝑠� , respectivamente, se obtuvo una respuesta más eficiente con respecto a las perturbaciones consideradas para la simulación. De igual modo el valor máximo registrado en las simulaciones son del 4° árbol ya que se obtuvo un valor de 69.5167 𝑚𝑚3

𝑠𝑠� , al igual que el valor mínimo que también pertenece al 4° árbol con un valor de 5.1316 𝑚𝑚3

𝑠𝑠� .

En la Figura 15 se representa el comportamiento del intercambio de agua entre el canal y el mar, donde se registró una mayor actividad en el día 3, para los 5 días posteriores el accionamiento de la bomba que permite el intercambio tuvo menos trabajo, para nuevamente retomar su accionamiento durante los siguientes 4 días, a partir de estos días se mantiene en constante trabajo para contrarrestar los niveles de lluvia entrante hasta el día 17 donde nuevamente disminuye su actividad totalmente en el día 19, su accionamiento es nuevamente puesto en acción para trabajar sobre el nivel promedio que aproximadamente oscila entre los 113.499 y 135.666 𝑚𝑚3

𝑠𝑠� , según los datos mostrados en la Tabla 7.

35

Figura 15. Caudales de intercambio 𝑞𝑞𝑒𝑒𝑒𝑒

Tabla 7. Valores obtenidos de la simulación para el caudal de intercambio entre el mar y el canal (𝑞𝑞𝑒𝑒𝑒𝑒)

Valor Medio Desviación Estándar

Valor Máximo Valor Mínimo

1° Árbol 113.499 5.5731 244.9250 8.95E-13

2° Árbol 112.534 5.0687 225.5790 5.6010

3° Árbol 121.613 5.7409 231.0050 1.36E-04

4° Árbol 135.666 6.7472 273.0320 1.36E-04

En los datos mostrados en la Tabla 7, el valor promedio del flujo de intercambio para todos los árboles trabaja a la mitad de la capacidad de la bomba aproximadamente, algo que para el valor máximo del 4° árbol no se logra cumplir, ya que estaría saturándose la bomba de intercambio al superar el valor de trabajo establecido de 260 𝑚𝑚3

𝑠𝑠� en un 5% de su capacidad, porque se obtuvo un valor máximo de 273.032 𝑚𝑚3

𝑠𝑠� . Para los valores mínimos registrados, se obtuvieron valores considerablemente bajos ya que durante el día 19 no se registra mayor entrada de agua a los subsistemas tanto del lago como de la lluvia y los niveles de agua se mantienen dentro del nivel de referencia, por lo tanto, no se necesita mayor funcionamiento de la bomba.

Una vez analizadas las respuestas de cada variable, hay que mencionar también que un factor importante en el desarrollo de un proyecto es el factor económico, ya que para cada proyecto se establece un determinado presupuesto al cual se tiene que ajustar, y en muchas ocasiones el tener una mayor efectividad los resultados implica mayor cantidad de recursos y esfuerzos de control, es por esto que el tiempo computacional también fue analizado para este proyecto y de esta manera poder concluir cuál

36

configuración es la más eficiente tomando en cuenta todos los aspectos importantes, para lo cual en la Tabla 8 se muestran los resultados obtenidos.

Tabla 8. Valores obtenidos de la simulación con respecto al tiempo computacional empleado en cada configuración

J Acumulado Tiempo Computacional

Tiempo promedio de cada instante

1° Árbol 7 757.7 5'58'' 0.029

2° Árbol 4 766.4 5'64'' 0.029

3° Árbol 3 181.4 6'16'' 0.032

4° Árbol 2 875.0 5'53'' 0.028

En la Tabla 8 se observa que para la configuración del 1° árbol con un valor de 7 757.7, implicaría tener recursos más alto, a diferencia de la configuración del 4° árbol que tiene un valor de 2875.0, por lo que a menor cantidad de ramificaciones implica tener más recursos al momento de calcular las variables de control. Mientras que a mayor número de ramificaciones el coste acumulado, disminuye, significando menores esfuerzos de control. Para los tiempos computacionales totales y el tiempo promedio de resolución en cada instante analizado, con una duración aproximadamente de 6 minutos para toda la simulación y un promedio de 0.0295 s en cada instante, no se podría definir que configuración sería la más optima puesto que presentan resultados muy similares.

Por lo tanto, presentados todos los resultados obtenidos de la simulación para cada árbol considerado, se puede observar el diferente comportamiento de acuerdo con la evolución de las variables con respecto al número de ramificaciones que cada árbol posee.

4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

37

En el desarrollo de este trabajo se analizó la construcción de cuatro diferentes arboles con el fin de poder determinar cuál de todos ellos permiten un funcionamiento óptimo de los reservorios de agua considerados en cuanto tiempo y recursos computacionales, cada uno de los árboles contaron con un determinado número de escenarios en donde la estrategia de control TB-MPC analizó en total seis diferentes variables tanto para el Lago como para el Canal, una de las variables analizadas fue la altura (ℎ1), esta altura fue definida para control del nivel de agua sobre el lago, todos los resultados mostraron valores similares, para todos los escenarios se tuvo un mismo valor medio de -0.3999 m y la desviación estándar se mantuvo baja con valores de 0.0008 a 0.0009, los valores mínimos y máximos no se alejaron de las referencias fijadas de -0.4 m, por lo que se mostró un correcto funcionamiento independientemente de que configuración se esté utilizando.

En segundo lugar, se analizó la altura (ℎ2), esta altura fue considerada para controlar el nivel de agua sobre el canal, los resultados obtenidos fueron muy similares, de igual manera que para la primera variable, el valor medio -0.4003 m fue el mismo para todos los árboles, la desviación estándar se mantuvo dentro del rango de 0.004 a 0.009 m considerada baja, sin embargo, los valores máximos y mínimos tuvieron un mayor distanciamiento con respecto a la primera variable, por lo que el comportamiento del 4° árbol fue uno de lo más óptimos en cuento a la regulación de esta variable. Para los valores de los caudales de salida tanto del lago como del canal, de acuerdo con los valores de referencia que se fijó, se mostró un comportamiento que conforme el número de escenarios aumentaba los valores fueron más reales e indicaron un control mucho más eficiente sobre estas variables, por lo que reducir el número de escenarios no garantiza un correcto funcionamiento del sistema, pese a que los tiempos de respuesta son buenos, con valores de procesamiento menores al minuto en cada instante y se encuentran dentro de los valores de referencia, existe un mayor recurso computacional requerido para proporcionar un suministro de agua de manera confiable, segura y económica considerando la importancia del consumo de agua en esta región.

El enfoque de árboles en el desarrollo del trabajo muestra un comportamiento aceptable en todos las distribuciones, sin embargo existe una diferencia considerable cuando se analizan los esfuerzos computacionales ya que se demostró en el capítulo 3 que el número de escenarios conforme reducimos el número de ramificaciones los costos aumentan, considerando también que cuando se maneja menor número de escenarios la desviación estándar con respecto a los niveles de agua se acerca cada vez más al valor de referencia convirtiéndolo en un sistemas más estable por lo que se recomienda en futuros trabajos considerar un menor horizonte de predicción, esto con el motivo de poder disminuir el número de escenarios y ramificaciones, de manera que el costo computacional no aumente considerablemente en el cálculo de cada instante. Adicional los escenarios considerados contemplan

38

los casos con mayor demanda para saturar a los controladores, por lo que en escenarios reales el comportamiento sería menos estresado de acuerdo con los valores obtenidos para las muestras. Es importante mantener un modelado simple del sistema, ya que de esta manera el impacto en la toma de decisiones frente a los resultados no podrá ser en tiempo real, por lo que este modelo debe mantener un equilibrio entre la precisión y la simplicidad, y de esta manera se garantizará mayor eficiencia en el accionar del sistema de control.

BIBLIOGRAFÍA

Arkun, Y., Hollet, J., Canney, W. M., & Morari, M. (1986).

Experimental study of internal model control. In Industrial & Engineering Chemistry Process Design and Development (pp. 102–108).

Camacho, E. F., & Bordons, C. (2007). Model Predictive Control

(Second Edi). London, England: Springer-Verlag. De La Pena, D. M., Bemporad, A., & Alamo, T. (2005).

Stochastic programming applied to model predictive control. Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control, and the European Control Conference, CDC-ECC ’05, 2005(2), 1361–1366. https://doi.org/10.1109/CDC.2005.1582348

Fernández, A. (2018). Reservorios de Agua. Retrieved from

http://www.emapad.gob.ec/home/9-ultimas-noticias/121-reservorios-de-agua

García, C. E., Prett, D. M., & Morari, M. (1989). Model

Predictive Control : Theory and Practice a Survey. Automatica, 25(3), 335–338. https://doi.org/10.1016/0005-1098(89)90002-2

Genc, I., Diao, R., Vittal, V., Kolluri, S., & Mandal, S. (2010).

Decision tree-based preventive and corrective control applications for dynamic security enhancement in power systems. IEEE Transactions on Power Systems, 25(3), 1611–1619. https://doi.org/10.1109/TPWRS.2009.2037006

Grosso, J. M., Velarde, P., Ocampo-Martinez, C., Maestre, J.

M., & Vicenc, P. (2016). Stochastic model prdedictive control approaches applied to drinking water networks. (2), 1–4. https://doi.org/10.1002/oca

Grosso, J.M., Maestre, J.M., Ocampo-Martínez, C., Puig, V., On

the assessment of tree-based and chance-constrained predictive control approaches applied to drinking water networks. Proceedings of 19th IFAC World Congress, Cape Town, South Africa, 2014; 47(3): 6240–6245.

Jurado, I., Maestre, J.M., Velarde, P., Ocampo-Martínez, C.,

Fernández, I., Isla Tejera, B., del Prado, J.R., Stock management in hospital pharmacy using chance-constrained model predictive control. Computers in Biology and Medicine 2016; 72:248–255.

Kouvaritakis, B., & Cannon, M. (2014). Stochastic Model

Predictive Control. Encyclopedia of Systems and Control, (December), 1–9. https://doi.org/10.1007/978-1-4471-5102-9_7-1

Krajewski, L. J., & Ritzman, L. P. (2000). Administración de

Operaciones: estrategia y análisis. Pearson Education. Maciejowski, J. Predictive Control with Constraints. Prentice-

Hall, 1st Edition, 2001. Maestre, J. M., & Negenborn, R. R. (2014). Science and

Engineering Distributed Model Predictive Control Made Easy (1st ed.; J. M. Maestre & R. R. Negenborn, Eds.). Springer Netherlands.

Maestre, J. M., Alvarez, T., Alamo, T., Salim, A., & Luque, A.

(2012). A Probabilistic Approach for Testing Feedback Controllers with Application to Congestion Control. 10, 835–840. https://doi.org/10.1007/s12555-012-0421-6

Maestre, J.M., Raso, L., Van Overloop, P.J., De Schutter, B.,

Distributed tree-based model predictive control on a drainage water system. Journal of Hydroinformatics 2013; 15(2):335–347.

Maestre, J.M., Raso, L., Van Overloop, P.J., De Schutter, B.,

Distributed tree-based model predictive control on an open water system. American Control Conference (ACC), Montréal, Canada, 2012: 1985–1990.

Manuel, J., & Parejo, G. (2016). Defensa de los Países Bajos

frente a los riesgos costeros . Cómo hacer de la necesidad virtud Water managment : making a virtue of necessity. 65–76.

Saputelli, L., Nikolaou, M., & Economides, M. J. (2006). Real-

time reservoir management: A multiscale adaptive optimization and control approach. Computational Geosciences, 10(1), 61–96. https://doi.org/10.1007/s10596-005-9011-5

Scherzer, J., & Gruia, A. J. (1996). Hydrocraking. In

Hydrocraking Science and Technology (pp. 174–183).

Shaikh, A.W., Aqeel-ur-Rehma, Shaikh, Z.A. (2011). A

framework for development of cost-effective irrigation control system based on Wireless Sensor and Actuator Network (WSAN) for efficient water management. Mechanical and Electronics Engineering (ICMEE).

Stelling, G. S., & Duinmeijer, S. P. A. (2003). A staggered

conservative scheme for every Froude number in rapidly varied shallow water ows. 1354(May 2002), 1329–1354.

Velarde, P., Tian, X., Sadowska, A. D., & Maestre, J. M. (2019).

Scenario-Based Hierarchical and Distributed MPC for Water Resources Management with Dynamical Uncertainty. Water Resources Management, 33(2), 677–696. https://doi.org/10.1007/s11269-018-2130-2