UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL … · 2020. 4. 10. · El siguiente material fue compilado y elaborado con el fin de generar una herramienta de repaso, ... 2.1

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL ROSARIO

Departamento de Ingeniería Eléctrica

DOCUMENTO Nº 1: ANÁLISIS VECTORIAL

Asignatura: TEORÍA DE LOS CAMPOS

Docentes:

PROFESOR: ING. PABLO BERTINAT

JTP: ING. IGNACIO ARRAÑA (Autor)

Versión: 4.0 / Abril, 2020


TEORÍA DE LOS CAMPOS

1

INDICE DE CONTENIDOS

INTRODUCCION .......................................................................................................................................................................... 2

1. NOTACION VECTORIAL ........................................................................................................................................................... 3

2. ALGEBRA VECTORIAL .............................................................................................................................................................. 3

2.1 PRODUCTO ESCALAR .................................................................................................................................................................. 3 2.2. PRODUCTO VECTORIAL .............................................................................................................................................................. 3

3. SISTEMAS DE COORDENADAS ................................................................................................................................................. 4

3.1 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ................................................................................................................................... 4 3.2 SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS .................................................................................................................................... 5 3.3 SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS ....................................................................................................................................... 5 3.4 OBSERVACIONES ........................................................................................................................................................................ 6

4. OPERADORES VECTORIALES ................................................................................................................................................... 6

4.1 GRADIENTE ................................................................................................................................................................................ 6 4.2 DIVERGENCIA............................................................................................................................................................................. 7 4.3 ROTACIONAL .............................................................................................................................................................................. 9

5. TEOREMAS INTEGRALES ....................................................................................................................................................... 11

5.1 TEOREMA DE GAUSS ................................................................................................................................................................. 11 5.2 TEOREMA DE STOKES ............................................................................................................................................................... 11 5.3 IDENTIDAD DE GREEN .............................................................................................................................................................. 11

6. RESUMEN ............................................................................................................................................................................. 12

6.1 OPERADORES ........................................................................................................................................................................... 12 6.2 IDENTIDADES ........................................................................................................................................................................... 13



2

INTRODUCCION

El siguiente material fue compilado y elaborado con el fin de generar una herramienta de repaso, cuyos conocimientos podrían

considerarse apropiados para que el alumno aborde de mejor manera la resolución de los ejercicios de la cátedra. Además

constituye una orientación a la forma de trabajo y nomenclatura que se usará durante el año. El alcance conceptual es limitado y

en caso de ampliación podrá revisar material bibliográfico de años anteriores de cursado. Sobre todo material perteneciente a las

cátedras Algebra I y Análisis matemático I y II.

El estudiante, en ocasiones, puede llegar a pensar que la dificultad de algunos ejercicios es más matemática que física. Esta

percepción está justificada, pero sólo parcialmente. Los campos y las ondas electromagnéticas son realidades complejas en sí

mismas y en sus interrelaciones con los cuerpos materiales, y por ello precisan de una herramienta poderosa para ser abarcados en

un modelo compacto. Tal herramienta es el análisis vectorial.

El manejo de vectores y sistemas coordenados es importante para el buen uso y la comprensión de las leyes del

electromagnetismo. Se propone que el presente documento sea un material que el alumno tenga siempre al alcance para resolver

adecuadamente los ejercicios de la cátedra. Se invita al estudiante a acercar sus correcciones o posibles mejoras, con objeto de

perfeccionar el presente documento, en diferentes versiones continuamente.

El documento contiene imágenes del libro “Teoría y problemas de electromagnetismo” por Joseph Edminister de la editorial

McGraw-Hill Latinoamérica S.A.



3

1. NOTACION VECTORIAL

Para distinguir vectores (cantidades que tienen magnitud, dirección y sentido) de escalares (cantidades que tienen solo magnitud)

usaremos letras en mayúsculas y minúsculas (en caso de versores1) acompañadas de una línea superior y un subíndice

identificatorio en caso de ser necesario.

Ejemplos:

�̅�𝑧: Vector Intensidad de Campo Eléctrico en dirección cartesiana z.

𝐸

: Escalar Flujo Eléctrico.

�̅�𝑥: Versor “a” que hace referencia a la dirección cartesiana x.

𝑖: Escalar Intensidad de Corriente Eléctrica.

�̅�𝑥: Vector Densidad de Campo Magnético en dirección cartesiana x.

𝐽:̅ Vector Densidad de Corriente.

Los vectores contextualizados en un sistema de coordenadas cartesianas, por ejemplo, pueden ser expresados en términos de sus

componentes:

�̅� = 𝐴𝑥 ∙ �̅�𝑥 + 𝐴𝑦 ∙ �̅�𝑦 + 𝐴𝑧 ∙ �̅�𝑧

Donde 𝐴𝑥, 𝐴𝑦 𝑦 𝐴𝑧 son las componentes (proyecciones del vector sobre los ejes del sistema de coordenadas) asociadas a los

versores �̅�𝑥, �̅�𝑦 𝑦 �̅�𝑧 respectivamente. Tenga en cuenta que 𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 𝑦 𝐴𝑧 podrán ser en este caso, funciones de las variables x, y y

z.

2. ALGEBRA VECTORIAL

Bajo este título sólo se repasarán dos operaciones vistas en la cátedra Algebra I y que serán de gran utilidad para el cursado de la

presente materia.

2.1 Producto escalar

Su nombre deriva de que el resultado de dicha operación genera un escalar.

�̅� ∙ �̅� = |�̅�| ∙ |�̅�| ∙ cos (𝐴�̂�)

Donde 𝐴�̂� es el ángulo menor entre los vectores �̅� y �̅�. De aquí, como corolario, �̅� y �̅� serán ortogonales sí y sólo sí �̅� ∙ �̅� = 0

(siempre que los módulos de �̅� y �̅� sean distintos de cero).

El producto escalar también puede expresarse en forma de componentes como se explica a continuación.

�̅� ∙ �̅� = (𝐴𝑥 ∙ �̅�𝑥 + 𝐴𝑦 ∙ �̅�𝑦 + 𝐴𝑧 ∙ �̅�𝑧) ∙ (𝐵𝑥 ∙ �̅�𝑥 + 𝐵𝑦 ∙ �̅�𝑦 + 𝐵𝑧 ∙ �̅�𝑧) = 𝐴𝑥 ∙ 𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 ∙ 𝐵𝑦 + 𝐴𝑧 ∙ 𝐵𝑧

Algunas propiedades del producto escalar:

1. Propiedad conmutativa: �̅� ∙ �̅� = �̅� ∙ �̅�

2. Propiedad distributiva: �̅� ∙ (�̅� + 𝐶̅) = �̅� ∙ �̅� + �̅� ∙ 𝐶̅ 3. Propiedad asociativa respecto al producto por un escalar “k”: 𝑘 ∙ (�̅� ∙ �̅�) = (𝑘�̅�) ∙ �̅� = �̅� ∙ (𝑘�̅�)

4. 0 ∙ �̅� = 0

5. �̅� ∙ �̅� = |�̅� |2

2.2. Producto vectorial

Su nombre es consecuencia de que el resultado de dicha operación genera un nuevo vector.

�̅� × �̅� = |�̅�| ∙ |�̅�| ∙ sen (𝐴�̂�) ∙ �̅�𝑛

Donde 𝐴�̂� es el ángulo menor entre los vectores �̅� y �̅� y �̅�𝑛 es un versor normal al plano determinado por los vectores �̅� y �̅�

cuando estos parten de un punto común. Como existirán dos vectores normales se utiliza la regla de la mano derecha para definir

el correcto. A continuación se muestra el procedimiento:

1 Los versores o vectores unidad, son vectores de módulo igual a uno.



4

Figura Nº 1: regla de la mano derecha.

El dedo índice indica la dirección y sentido del primer vector (A̅), el dedo del medio o mayor, lo mismo para el segundo vector

(B̅), y la posición consecuente del pulgar extendido, indica la dirección y el sentido del vector normal resultante (a̅n).

El producto vectorial puede expresarse en forma de componentes cartesianas como se explica a continuación.

O bien, expresado análogamente mediante la notación de un determinante, en las mismas coordenadas:

Algunos teoremas del producto vectorial:

1. �̅� × �̅� = − �̅� × �̅�

2. �̅� × (�̅� + 𝐶̅) = �̅� × �̅� + �̅� × 𝐶̅ en función del punto 1 tenga en cuenta el orden en la distribución.

3. (�̅� + �̅�) × 𝐶̅ = �̅� × 𝐶̅ + �̅� × 𝐶̅ ídem.

4. 𝑘(�̅� × �̅�) = (𝑘�̅�) × �̅� = �̅� × (𝑘�̅�)

5. �̅� ∙ (�̅� × 𝐶̅) = (�̅� × �̅�) ∙ 𝐶̅ 6. |�̅� × �̅�| = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 �̅� 𝑦 �̅�. 7. 𝑆𝑖 �̅� × �̅� = 0 → �̅� 𝑦 �̅�𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 (siempre que los módulos de �̅� y �̅� sean distintos de cero).

3. SISTEMAS DE COORDENADAS

Los distintos sistemas de coordenadas se usarán dependiendo del tipo de simetría que se presente en el ejercicio a resolver. De

esta manera se reduce la complejidad en la resolución del mismo.

3.1 Sistema de coordenadas cartesianas

Un punto P en el espacio cartesiano quedará definido por tres coordenadas con el siguiente orden: (x,y,z), ver figura (a). La

intersección de tres superficies ortogonales2 determinará un punto P como se ve en (b). La figura muestra los correspondientes

vectores unidad para este punto. Observe que el sistema cumplirá la regla de la mano derecha:

�̅�𝑥 × �̅�𝑦 = �̅�𝑧 (𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒3)

Figura Nº 2: sistema de coordenadas cartesianas.

2 Dos superficies se llaman ortogonales en un punto de intersección si sus rectas normales son perpendiculares en dicho punto. 3 Las leyes físicas se refieren siempre a sistemas de referencia orientados positivamente.

(a) (b) (c)



5

Para definir un vector a partir de sus componentes se respetará el mismo orden de coordenadas que se consideró para el punto P,

de aquí: �̅� = 𝐴𝑥 ∙ �̅�𝑥 + 𝐴𝑦 ∙ �̅�𝑦 + 𝐴𝑧 ∙ �̅�𝑧

En la parte (c) de la figura 2 se observa un volumen diferencial, dv. El valor del dv para este sistema coordenado se determina

como: 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧4

El elemento diferencial de línea, dl, que representa la diagonal entre (x,y,z) y (x+dx, y+dy, z+dz) se expresa como:

𝑑𝑙2 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2

También podemos expresar las áreas de los elementos de superficie ds que limitan el volumen dv. Por ejemplo:

𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦

Todas las definiciones serán de utilidad para resolver ejercitación de la cátedra.

3.2 Sistema de coordenadas cilíndricas

Un punto P en este espacio quedará definido por tres coordenadas en el siguiente orden: (r,, z), ver figura (a). La intersección de

tres superficies ortogonales determinará un punto P como se ve en (b). La misma figura muestra los correspondientes vectores

unidad para este punto, analice atentamente cada dirección. Observe que el sistema cumplirá la regla de la mano derecha:

�̅�𝑟 × �̅� = �̅�𝑧 (𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒)

(a) (b) (c)

Figura Nº 3: sistema de coordenadas cilíndricas.

Para definir un vector a partir de sus componentes, se respetará el mismo orden de coordenadas que se consideró para el punto P,

de aquí: �̅� = 𝐴𝑟 ∙ �̅�𝑟 + 𝐴 ∙ �̅� + 𝐴𝑧 ∙ �̅�𝑧

En la parte (c) de la figura 3 se observa un volumen diferencial, dv, su valor para este sistema coordenado se determina como:

𝑑𝑣 = 𝑑𝑟 ∙ 𝑟𝑑 ∙ 𝑑𝑧

Y el elemento diferencial de línea, dl, que representa la diagonal entre (r,, z) y (r+dr, +d, z+dz) se expresa como:

𝑑𝑙2 = 𝑑𝑟2 + 𝑟2𝑑2

+ 𝑑𝑧2


𝑑𝑠 = 𝑑𝑟 ∙ 𝑟𝑑

3.3 Sistema de coordenadas esféricas

Un punto P en el espacio quedará definido por tres coordenadas en el siguiente orden: (r,Ө,), ver figura (a). La intersección de

tres superficies ortogonales determinará un punto P como se ve en (b). La misma figura también muestra los correspondientes

vectores unidad para este punto. Observe que el sistema cumplirá la regla de la mano derecha:

�̅�𝑟 × �̅�Ө = �̅� (𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 )

4 La notación dx, dy y/o dz, proviene de la notación de Leibinz, recuerde que, por ejemplo, dx es equivalente a: 𝛥𝑥 = 𝑥2 −𝑥1 𝑐𝑜𝑛 𝛥𝑥 → 0.



6

(a) (b) (c)

Figura Nº 4: sistema de coordenadas esféricas.

Para definir un vector a partir de sus componentes, se respetará el mismo orden de coordenadas que se consideró para el punto P,

de aquí: �̅� = 𝐴𝑟 ∙ �̅�𝑟 + 𝐴Ө ∙ �̅�Ө + 𝐴 ∙ �̅�

En la parte (c) de la figura 4 se observa un volumen diferencial, dv, su valor para este sistema coordenado se determina como:

𝑑𝑣 = 𝑑𝑟 ∙ 𝑟𝑑Ө ∙ 𝑟𝑠𝑒𝑛Ө𝑑 = 𝑟2𝑠𝑒𝑛Ө𝑑𝑟𝑑Ө𝑑

El elemento diferencial de línea, dl, que representa la diagonal entre (r,Ө,) y (r+dr, Ө+dӨ, +d) se expresa como:

𝑑𝑙2 = 𝑑𝑟2 + 𝑟2𝑑Ө2 + 𝑟2𝑠𝑒𝑛2Ө𝑑2


𝑑𝑠 = 𝑑𝑟 ∙ 𝑟𝑑Ө

3.4 Observaciones

Respecto a los dos últimos sistemas de coordenadas, el ángulo “” es el mismo, pero no así la posición que ocupa para definir un

punto o un vector, también, la misma letra “r” se usa para representar distancias completamente diferentes en cada uno de los dos

sistemas.

4. OPERADORES VECTORIALES

De los campos escalares y vectoriales es importante no sólo conocer su valor, sino también como varían con la posición. De entre

las diferentes combinaciones de derivadas que se pueden construir, existen algunas con significado físico propio.

4.1 Gradiente

Dado un campo escalar 𝑉, su gradiente, 𝛻𝑉, es un campo vectorial definido como se muestra a continuación5. En la figura Nº 5

(a) se muestran dos puntos M (x,y,z) y N (x+dx, y+dy, z+dz) incluidos en la región donde está definida una función escalar V. El

vector distancia entre los puntos es: 𝑑�̅� = 𝑑𝑥 �̅�𝑥 + 𝑑𝑦 �̅�𝑦 + 𝑑𝑧 �̅�𝑧

(a) (b)

Figura Nº 5: aplicación del gradiente en coordenadas cartesianas.

5 Por convención, al gradiente no se le agrega la línea identificadora de un vector, pero no olvide que representa un campo

vectorial.



7

El cambio de 𝑉, desde M hasta N, se puede expresar como6: 𝑑𝑉 =𝜕𝑉

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑉

𝜕𝑦𝑑𝑦 +

𝜕𝑉

𝜕𝑧𝑑𝑧

Utilizando el operador nabla7 vemos que: 𝛻𝑉 =𝜕𝑉

𝜕𝑥�̅�𝑥 +

𝜕𝑉

𝜕𝑦�̅�𝑦 +

𝜕𝑉

𝜕𝑧�̅�𝑧

De donde se deduce que,

𝑑𝑉 = 𝛻𝑉. 𝑑�̅� (Se trata de un producto escalar entre dos vectores)

El campo vectorial 𝛻𝑉(también escrito grad V) se llama gradiente de la función escalar 𝑽.

Se ve que para una magnitud |𝑑�̅�| fija, el cambio de V, 𝑑𝑉, en una dirección determinada por 𝑑�̅� es proporcional a la

proyección de 𝛻𝑽 en esa dirección. Así pues 𝛻𝑉 yace en la dirección de máximo incremento de la función V. Visto de otra

forma ¿en qué dirección deberá estar 𝑑�̅� para que el crecimiento de la función, 𝑑𝑉, sea máximo? De acuerdo con la definición del

producto escalar “|�̅�| ∙ |�̅�| ∙ cos (𝐴�̂�)” será en dirección a 𝛻𝑉.

Otra visión del gradiente se obtiene haciendo que los puntos M y N estén sobre la misma superficie de tal forma que en la figura

Nº 5 (b), si V es un potencial, entonces 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐1 representaría una superficie equipotencial. En este caso 𝑑𝑉 = 0 lo que

implica que 𝛻𝑉es perpendicular a 𝑑�̅�, siendo este último tangente a la superficie equipotencial. Como 𝛻𝑉 está en la dirección de

aumento de V, apuntando desde 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐1 hacia 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐2 con 𝑐2 > 𝑐1, el gradiente de una función potencial es un

campo vectorial que en todo punto es perpendicular a las superficies equipotenciales.

El gradiente en los sistemas coordenados cilíndrico y esférico se expresa de la siguiente manera:

A continuación, la figura Nº 6 muestra un uso del gradiente en electrostática.

De la expresión integral para el potencial de A respecto de B, el diferencial de V puede escribirse como 𝑑𝑉 = −�̅�. 𝑑𝑙 ̅

Además debido a que: 𝑑𝑉 = 𝛻𝑉. 𝑑�̅�

Y considerando que 𝑑𝑙 ̅y 𝑑�̅� expresan un pequeño desplazamiento arbitrario podemos decir que:

�̅� = −𝛻𝑉

La intensidad de campo eléctrico puede obtenerse, cuando la función potencial V es conocida, tomando

simplemente el negativo del gradiente de V. El gradiente es un vector normal a superficies

equipotenciales dirigido hacia un cambio positivo de V. El signo negativo de la ecuación indica que el

campo eléctrico se dirige de los niveles superiores a los inferiores del potencial V.

Figura Nº 6: relación entre �̅� y V.

4.2 Divergencia

La divergencia muestra la forma en que un campo vectorial cambia de un punto a otro a través del espacio, es una magnitud

escalar, similar a la derivada de una función. Cuando la divergencia de un campo vectorial es distinta de cero, se dice que la

región contiene fuentes o sumideros; fuentes cuando la divergencia es positiva y sumideros cuando es negativa. Cuando la

divergencia toma valor nulo en todos los puntos de un campo vectorial, se dice que este es un campo solenoidal.

La divergencia del campo vectorial �̅� en un punto P está definida por:

𝑑𝑖𝑣 �̅� = lim𝛥𝑣→0

∮ �̅�𝑆

∙ 𝑑�̅�

𝛥𝑣

La integración se hace sobre la superficie S que encierra al volumen 𝛥𝑣, que de acuerdo con el límite, se comprimirá hasta un

punto arbitrario P. El 𝑑�̅� se debe considerar saliente y perpendicular a S en todas sus caras.

6 Del tema aproximaciones lineales y cuadráticas. 7

Nabla es un operador vectorial simbolizado con ∇ cuya expresión en coordenadas cartesianas (único sistema para el cual está

definido) es: 𝛻 =𝜕( )

𝜕𝑥�̅�𝑥 +

𝜕( )

𝜕𝑦�̅�𝑦 +

𝜕( )

𝜕𝑧�̅�𝑧



8

A partir de esta definición puede demostrarse8 que la divergencia de un campo puede calcularse como la aplicación del

operador 𝜵 escalarmente sobre �̅� (figura Nº 7 (a)). Su expresión en distintos sistemas coordenados se presenta en la figura Nº 7

(b).

(a)

(b)

Figura Nº 7.

Físicamente la divergencia se interpreta como una medida de cuanto diverge o emana un determinado campo vectorial en un

punto del espacio. Observe en su definición que trata sobre el flujo neto del campo vectorial por unidad de volumen.

A continuación, la figura Nº 8 muestra distintos usos de la divergencia en el electromagnetismo.

(a)

Div

erg

enci

a d

e 𝐷

De la ley de Gauss:

∮ �̅� . 𝑑�̅�

𝛥𝑣=

𝑄𝑒𝑛𝑐

𝛥𝑣

En el límite:

lim𝛥𝑣→0

∮ �̅� . 𝑑𝑠̅̅ ̅

𝛥𝑣= 𝐷𝑖𝑣�̅� = lim

𝛥𝑣→0

𝑄𝑒𝑛𝑐

𝛥𝑣 = 𝜌

Este importante resultado es una de las ecuaciones de Maxwell para campos estáticos:

𝐷𝑖𝑣�̅� = 𝜌, o bien,

𝐷𝑖𝑣�̅� =𝜌

𝜀

Si ε es constante en toda la región o volumen que se está considerando, caso contrario 𝐷𝑖𝑣 𝜀�̅� = 𝜌.

En cualquier región libre de carga �̅� y �̅� tendrán divergencia igual a cero.

(b)

Ecu

ació

n d

e P

ois

son

y L

apla

ce

De la ecuación anterior: 𝐷𝑖𝑣 𝜀�̅� = 𝜌, o bien, 𝛻. 𝜀�̅� = 𝜌

Reemplazamos y llegamos a:

𝛻. 𝜀�̅� = 𝛻. 𝜀(−𝛻𝑉) = 𝜌

Si ε es homogéneo en toda la región que se está considerando puede retirarse de las derivadas

parciales que involucra la divergencia, así:

𝛻. 𝛻𝑉 = −𝜌

𝜀, o bien,

𝛻2𝑉 = −𝜌

𝜀

Que es lo que se conoce como ecuación de Poisson. Cuando una región tiene una distribución de

cargas conocida podrá usarse poisson para determinar la función potencial.

Si la región estuviese libre de cargas y consideramos que ε es homogéneo, poisson se transforma en

lo que se conoce como ecuación de Laplace:

𝛻2𝑉 = 0

Figura Nº 8: aplicaciones de la divergencia.

8 El alcance del presente documento no llega a tal demostración, se propone revisar bibliografía recomendada.



9

4.3 Rotacional

El rotacional de un campo vectorial �̅� es otro campo vectorial cuya componente en un punto, en la dirección �̅�𝑛, se define como:

( 𝑟𝑜𝑡 �̅� )�̅�𝑛 = lim𝛥𝑠→0

∮ �̅�. 𝑑�̅�𝐶

𝛥𝑠

Donde: 𝜟S es un área plana limitada por una curva cerrada C. La integración del campo vectorial �̅� (también definida como

circulación del campo vectorial �̅�) debe hacerse recorriendo C de manera que el área encerrada quede a la izquierda. Por regla de

la mano derecha se define �̅�𝑛 (con la mano derecha agarramos la curva de integración C de manera que los dedos apunten en el

sentido de cómo se integra, el pulgar extendido marcará el sentido de �̅�𝑛). Observe los detalles en la figura Nº 9:

Figura Nº 9

A partir de la definición se puede demostrar9 que el rotacional de un campo tridimensional puede ser calculado con la aplicación

del operador nabla, a partir de un producto vectorial con �̅� (en coordenadas cartesianas):

O bien por medio de un determinante de tercer orden:

Para coordenadas cilíndricas y esféricas, las expresiones del rotacional son:

𝑟𝑜𝑡 �̅� = 𝛻 × �̅� = (1

𝑟

𝜕𝐴𝑧

𝜕−

𝜕𝐴

𝜕𝑧) �̅�𝑟 + (

𝜕𝐴𝑟

𝜕𝑧−

𝜕𝐴𝑧

𝜕𝑟) �̅� +

1

𝑟(

𝜕(𝑟𝐴)

𝜕𝑟−

𝜕𝐴𝑟

𝜕) �̅�𝑧

(Para coordenadas cilíndricas)

𝑟𝑜𝑡 �̅� = 𝛻 × �̅� =1

𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃(

𝜕(𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃)

𝜕𝜃−

𝜕𝐴𝜃

𝜕) �̅�𝑟 +

1

𝑟(

1

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜕𝐴𝑟

𝜕−

𝜕(𝑟𝐴)

𝜕𝑟) �̅�𝜃 +

1

𝑟(

𝜕(𝑟𝐴𝜃)

𝜕𝑟−

𝜕𝐴𝑟

𝜕𝜃) �̅�

(Para coordenadas esféricas)

Hay dos propiedades del operador rotacional que frecuentemente son útiles:

(a) La divergencia de un rotacional es cero, es decir: 𝛻 ∙ (𝛻 × �̅�) = 𝑑𝑖𝑣 (𝑟𝑜𝑡 �̅�) = 0

(b) El rotacional de un campo vectorial gradiente es cero, es decir: 𝛻 × 𝛻𝑓 = 𝑟𝑜𝑡 𝛻𝑓 = 0

Como un campo vectorial conservativo es uno en el que �̅� = 𝛻𝑓, siendo f cualquier función escalar, entonces podemos decir que

si �̅� es conservativo el rotor de �̅� será nulo. En electrostática el campo eléctrico es conservativo de allí que �̅� = −𝛻𝑉 y por lo

tanto �̅� × �̅� = 0. Esto significa que el campo electrostático es irrotacional (también llamado potencial) y está libre de

rotaciones en todos sus puntos.

9 El alcance del presente documento no llega a tal demostración, se propone revisar bibliografía recomendada.



10

La razón de que el rotacional tenga ese nombre es porque se asocia con las rotaciones de los campos vectoriales. En caso de un

campo vectorial �̅� que sea rotacional, su rotor, 𝛻 × �̅�, indica la dirección del eje sobre el cual rota �̅� y su longitud constituye una

medida de que tan rápido lo hace. A continuación, la figura Nº 10 muestra un uso del rotacional en el electromagnetismo.

La componente x de 𝛻 × 𝐻 se determina por ∮ 𝐻𝑐

. 𝑑𝑙 ̅ para una curva C contenida en plano yz,

perpendicular al eje x. Con el uso de la Ley de Ampére, ∮ 𝐻𝑐

. 𝑑𝑙 ̅ = 𝐼𝑒𝑛𝑐 y suponiendo que en este caso

𝐼𝑒𝑛𝑐 podría ser representado como 𝐼𝑥 debido a la dirección de integración considerada, planteamos la

siguiente ecuación:

lim𝛥𝑠𝑥→0

∮ 𝐻𝑐

. 𝑑𝑙 ̅

𝛥𝑠𝑥

= ( 𝑟𝑜𝑡 𝐻 )�̅�𝑥 = lim𝛥𝑠𝑥→0

𝐼𝑥

𝛥𝑠𝑥

= 𝑗�̅�

Siendo 𝑗�̅� la densidad de corriente en la dirección x. Generalizando a cualquier dirección tenemos que:

𝜵 × �̅� = �̅�

Siendo esta una de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial.

Figura Nº 10: relación entre densidad de corriente 𝐽 ̅e intensidad de campo magnético 𝐻.

Para concluir esta sección mencionamos que los campos vectoriales están caracterizados por su divergencia y su rotacional, en

consecuencia, todos los campos vectoriales pueden clasificarse en función de ello como se muestra a continuación para cuatro

casos10:

𝛁. �̅� 𝛁 × �̅� Representación gráfica

= 0 = 0

≠ 0 = 0

= 0 ≠ 0

≠ 0 ≠ 0

10 Extraído del libro Elementos de electromagnetismo. Matthew N. O. Sadiku. Editorial CECSA, 1998, páginas 94 y 95.



11

5. TEOREMAS INTEGRALES

A partir de las definiciones de divergencia y rotacional pueden demostrarse algunos teoremas que relacionan el comportamiento

de un campo vectorial en la frontera de una región con lo que ocurre en su interior.

5.1 Teorema de Gauss

También conocido como teorema de la divergencia. Nos dice que el flujo de un campo vectorial �̅� a través de una superficie

cerrada S es igual a la integral de volumen de la divergencia de �̅� (físicamente, igual a la integral de volumen de las fuentes

escalares11 de �̅� dentro del volumen V):

∮ �̅�

𝑆

. 𝑑�̅� = ∫ 𝛻𝑉

. �̅� 𝑑𝑣

La divergencia de un campo vectorial �̅�, es un campo escalar denominado fuente escalar de �̅�. Con respecto al 𝑑�̅�, la convención

para realizar la integración es que siempre apunte hacia fuera del volumen V encerrado por S.

5.2 Teorema de Stokes

Este teorema relaciona la circulación de un campo con sus fuentes vectoriales:

∮ �̅�

𝐶

. 𝑑𝑙 ̅ = ∫ (𝛻𝑠

× �̅�) . 𝑑�̅�

Donde C es una curva cerrada y S la superficie abierta encerrada en C, cuyo versor normal está orientado respecto a C, según la

regla de la mano derecha antes descripta.

Recuerde que si el campo vectorial considerado es conservativo, su integral sobre una curva cerrada será nula, o bien, al ser

irrotacional, su rotor también será nulo.

5.3 Identidad de Green

Como consecuencia directa del teorema de Gauss, resulta la identidad siguiente:

∫ (�̅�2𝛾 −𝑉

𝛾�̅�2)𝑑𝑣 = ∮(�̅�𝛾 − 𝛾𝛻̅̅̅̅ )

𝑆

. 𝑑�̅�

Donde y γ son dos campos escalares. A partir de esta identidad pueden demostrarse varios teoremas de reciprocidad útiles en

electromagnetismo.

11 Se habla de “fuentes escalares” pues si repasa la definición de divergencia en el presente documento encontrará que la

divergencia de un campo vectorial se relaciona con las fuentes que lo originan.



12

6. RESUMEN

6.1 Operadores

Operadores en coordenadas cartesianas:

Operadores en coordenadas cilíndricas:

Operadores en coordenadas esféricas:



13

6.2 Identidades

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL … · 2020. 4. 10. · El siguiente material fue compilado y elaborado con el fin de generar una herramienta de repaso, ... 2.1

Documents