1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA MECÁNICA MÓDULO #10: HIDROSTÁTICA Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Temas Introducción Definiciones básicas Principio fundamental de la hidrostática. El barómetro. El manómetro La paradoja hidrostática Tubo en U con líquidos no miscibles Principio de Pascal Principio de Arquímedes ¿Qué pasa con los gases? Ejercicios Introducción En este módulo se deducirán los principios básicos del comportamiento de los líquidos en reposo, es decir, de la hidrostática, a partir de la ley de inercia para cuerpos rígidos. Varios de estos principios también se aplican a los gases en cuyo caso se usará el término fluido. Los principios que no son comunes a ambos se debe fundamentalmente a que los gases pueden comprimirse con facilidad, mientras que un líquido es prácticamente incompresible. Recordar que los estados de agregación básicos de la materia son: sólido, líquido y gas. Los sólidos tienen un volumen y una forma definidos; las fuerzas de cohesión (fuerzas eléctricas) entre sus partículas (sean éstas moléculas, átomos o iones) son relativamente grandes para lograr mantenerlas en posiciones fijas aunque logran vibrar. Los líquidos tienen un volumen definido pero no tienen forma definida; las fuerzas de cohesión entre sus partículas son lo suficientemente débiles como para permitir cierta movilidad de ellas pero a su vez son lo suficientemente intensas como para mantener entre las mismas una distancia media constante: esto les permite adoptar forma esférica en estado libre (dado que es la mínima superficie para un volumen dado). En los gases las fuerzas de cohesión son prácticamente nulas permitiendo máxima movilidad a sus partículas: no tienen ni volumen ni forma definidos. Otros 3 estados de agregación de la materia son: coloide (intermedio entre sólido y líquido), el plasma que es un gas que se somete a elevadas temperaturas y el superfluido. Definiciones básicas Densidad La densidad en un punto de una sustancia es la masa dm contenida en un elemento diferencial de volumen dv que contiene en su interior el punto considerado, dividida por ese volumen dv,
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA MECÁNICA
MÓDULO #10: HIDROSTÁTICA
Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
Temas
Introducción
Definiciones básicas
Principio fundamental de la hidrostática.
El barómetro.
El manómetro
La paradoja hidrostática
Tubo en U con líquidos no miscibles
Principio de Pascal
Principio de Arquímedes
¿Qué pasa con los gases?
Ejercicios
Introducción
En este módulo se deducirán los principios básicos del comportamiento de los líquidos en reposo, es decir,
de la hidrostática, a partir de la ley de inercia para cuerpos rígidos. Varios de estos principios también se
aplican a los gases en cuyo caso se usará el término fluido. Los principios que no son comunes a ambos se
debe fundamentalmente a que los gases pueden comprimirse con facilidad, mientras que un líquido es
prácticamente incompresible.
Recordar que los estados de agregación básicos de la materia son: sólido, líquido y gas. Los sólidos tienen
un volumen y una forma definidos; las fuerzas de cohesión (fuerzas eléctricas) entre sus partículas (sean
éstas moléculas, átomos o iones) son relativamente grandes para lograr mantenerlas en posiciones fijas
aunque logran vibrar. Los líquidos tienen un volumen definido pero no tienen forma definida; las fuerzas de
cohesión entre sus partículas son lo suficientemente débiles como para permitir cierta movilidad de ellas
pero a su vez son lo suficientemente intensas como para mantener entre las mismas una distancia media
constante: esto les permite adoptar forma esférica en estado libre (dado que es la mínima superficie para
un volumen dado). En los gases las fuerzas de cohesión son prácticamente nulas permitiendo máxima
movilidad a sus partículas: no tienen ni volumen ni forma definidos. Otros 3 estados de agregación de la
materia son: coloide (intermedio entre sólido y líquido), el plasma que es un gas que se somete a elevadas
temperaturas y el superfluido.
Definiciones básicas
Densidad
La densidad en un punto de una sustancia es la masa dm contenida en un elemento diferencial de volumen dv
que contiene en su interior el punto considerado, dividida por ese volumen dv,
2
dmρ= [1]
dv
La densidad media de un cuerpo, es el cociente entre su masa m y su volumen v,
mρ= [2]
v
La densidad es un escalar y su unidad en el SI es kg.m-3. Otras unidades son el g.cm-3 que equivale al g.ml-1.
La densidad del agua a 4 oC y a 1 atm de presión es igual a 1,0 g.cm-3. La densidad del mercurio es igual a
13,6 g.cm-3. Estos dos datos son muy importantes y se usarán con frecuencia en este módulo.
Presión
La presión se define como la magnitud de la fuerza normal dF que actúa sobre una superficie dividida el
área dA de la misma, Figura 1,
Figura 1
dFP= [3]
dA
La presión media es,
FP= [4]
A
La presión es un escalar y su unidad en el SI es N.m-2=Pa (Pascal). Otras unidades son dina.cm-2=baria, la
atmósfera (atm), el torr (mm de Hg) y cm de H2O.Algunas equivalencias son,
1 atm= 1,01x105 Pa=760 torr=760 mm de Hg.
1 cm de Hg=13,6 cm de H2O.
Las leyes que rigen a los fluidos en equilibrio se deducen todas de la misma definición de fluido, según la
cual, el esfuerzo en un punto de un fluido es normal para cualquier orientación de la superficie diferencial
considerada en ese punto, esto se enuncia así:
La presión en cualquier punto dado de un fluido es la misma en todas las direcciones, Figura 2.
3
Esta propiedad es la que no permite que la presión tenga comportamiento vectorial.
Figura 2
Presión atmosférica (Patm)
Es la fuerza que ejerce el aire (la columna de atmósfera) sobre una superficie que contienen el punto
donde se está midiendo (la orientación de esta superficie es indiferente). Se mide con un barómetro el cual
se explicará más adelante. Al nivel del mar la presión atmosférica es igual a 1 atm (760 mm de Hg); en la
ciudad de Medellín que se encuentra a 1538 m sobre el nivel del mar es igual a 640 mm de Hg (0,84 atm).
Presión manométrica ( P )
Es la presión en un punto de un fluido sin tener en cuenta la presión atmosférica.
Presión absoluta (P)
Es el valor de la presión en un punto de un fluido teniendo en cuenta la presión atmosférica.
atmP=P+P [5]
Principio fundamental de la hidrostática
En la Figura 3 se ilustra un recipiente con un líquido en reposo. Se quiere calcular la diferencia de presión
entre dos puntos 1 y 2 que se encuentran a diferente profundidad. La presión en el punto 1 es P1 y la
presión el punto 2 es P2, por lo tanto se quiere calcular ∆P=P2-P1.
Figura 3
4
Para hacer éste análisis mecánico, se elegirá como sistema un cilindro de líquido que contenga en sus bases
estos puntos: observar la región encerrada con una línea punteada, la cual tiene de base A y altura y2-y1,
Figura 4. El marco de referencia elegido es el recipiente y los ejes coordenados elegidos se ilustran en la
misma figura.
Figura 4
En la Figura 5 (izquierda) se ilustra un elemento diferencial del sistema mecánico elegido (de base A, masa
dm, peso dW y altura dy). En la misma figura se ilustra dos diagramas de fuerzas: en el centro se ilustran
las fuerzas de presión distribuidas sobre el elemento diferencial de líquido y en el de la derecha un
sistema equivalente de fuerzas más fácil de analizar. Las fuerzas de presión F son ejercidas por el resto
de líquido sobre el elemento diferencial, adicionalmente dW es el peso de éste.
Figura 5
Aplicando la ley de inercia de traslación se obtiene,
yF =0 F- F+dF -dW=0
dF=-dW
dp A =- dm g
dp A =- ρ A dy g
dp= -ρgdy
5
El signo menos indica que si se asciende hacia la superficie del líquido la presión disminuye. Integrando,
2 2
1 1
p y
p y
dp=- ρgdy
Si la densidad es constante, es decir si se considera que el líquido es incompresible, se obtiene,
2 1 2 1p - p = - ρg y - y [6]
Sí y2-y1=H (diferencia de profundidad),
Δp = - ρgH [7]
Este resultado se conoce con el nombre de principio fundamental de la hidrostática y se enuncia así,
En un líquido (considerado incompresible) en equilibrio la diferencia de presión entre dos puntos del
mismo, es proporcional a la aceleración de la gravedad, a su densidad y a la diferencia de
profundidad (diferencia de nivel) de estos. Adicionalmente, es mayor en el punto más profundo:
1 2p = p + ρgH [8]
Consecuencias inmediatas del principio fundamental de la hidrostática son:
En un líquido en equilibrio en todos los puntos que están a la misma profundidad la presión es igual.
Análisis:
En este caso, si el punto 1 y el punto 2 están a la misma profundidad H=0 y por tanto,
1 2p = p
La presión absoluta en un punto del líquido que se encuentra a una profundidad h es,
atmp = P + ρgh [9]
Análisis:
Si el punto 2 se encuentra en la superficie del líquido (la cual se encuentra libre a la atmósfera),
p2=Patm, y si el punto 1 se encuentra en el interior del mismo a una profundidad h en donde la presión
absoluta es p, se obtiene,
atmp = P + ρgh
6
La presión manométrica en un punto del líquido depende la gravedad, de la densidad y de la profundidad
h,
p = ρgh [10]
Análisis:
Como la presión absoluta en un punto a una profundidad h del líquido es,
atmp = P + ρgh
entonces,
atmp - P = ρgh
p = ρgh
La superficie de un líquido en reposo es horizontal.
Análisis:
En este caso si el punto 1 y el punto 2 pertenecen a la superficie del líquido, se tiene que p1=p2 y por lo
tanto h1=h2 y ambas iguales a CERO, lo que lleva a concluir (extendiendo el análisis a más puntos de la
superficie) que la superficie es horizontal.
En estado de ingravidez la presión en todos los puntos del líquido es la misma.
Análisis:
Para cualquier punto del líquido si g=0, se obtiene que la presión manométrica es CERO, p = 0 , y por lo
tanto en todos los puntos del líquido la presión es la misma (por ejemplo, la presión será la atmosférica
si el líquido tiene su superficie libre a la atmósfera).
Para vasos comunicantes, Figura 6, se cumple:
o La presión en la parte superior de cada columna de líquido es igual a la presión atmosférica, Patm.
o La presión en el fondo sólo depende de la altura de la columna del líquido y no de la forma del
recipiente.
o Todos los puntos a una misma profundidad del líquido se encuentran a la misma presión, sin importar
la forma del recipiente.
7
Figura 6
El barómetro
Un barómetro es un instrumento que mide la presión atmosférica. La atmósfera ejerce presión sobre los
cuerpos debido a su peso. El barómetro más conocido es el de mercurio de Torricelli, el cual se puede
construir de la siguiente forma: se llena de mercurio un tubo delgado de vidrio cerrado en un extremo de
unos 80 cm de longitud; se tapa el otro extremo y se sumerge en una cubeta que contenga también
mercurio; si entonces se destapa se verá que el mercurio del tubo desciende unos centímetros dejando en
la parte superior un espacio vacío (cámara barométrica o vacío de Torricelli), Figura 7.
Figura 7
La altura de la columna de mercurio en el tubo, medida desde la superficie del mercurio de la cubeta, es de
760 mm de Hg al nivel del mar y en la ciudad de Medellín es de 640 mm de Hg.
Un análisis del funcionamiento del barómetro se puede hacer empleando el principio fundamental de la
hidrostática en una de sus consecuencias: el punto 1 (que se puede imaginar un poco por debajo de la
superficie del mercurio) y el punto 2 están a la misma presión debido que están al mismo nivel dentro del
mercurio y por lo tanto,
1 2p = p
Pero, p1=patm y p2=gh siendo la densidad del mercurio, por lo tanto,
atmp = ρgh
Con base en este resultado, el valor de h se convierte en una medida de la presión atmosférica, de esta
forma la expresión, “… la presión atmosférica en el lugar X es igual a h cm de Hg”, significa que si se hace
8
el experimento con el barómetro de mercurio, la altura de la columna de mercurio desciende hasta un valor
de h.
Los barómetros son instrumentos fundamentales para saber el estado de la atmósfera y realizar
predicciones meteorológicas. Las altas presiones se corresponden con regiones sin precipitaciones,
mientras que las bajas presiones son indicadores de regiones de tormentas y borrascas.
Tarea:
Describir el experimento de Torricelli con un barómetro de agua ¿Cuánto mediría h al nivel del mar?
¿Cuánto mediría h en la ciudad de Medellín?
El manómetro
En la Figura 8 se ilustra un manómetro empleado para medir la presión manométrica gasp de un gas
contenido en un recipiente. El recipiente está comunicado con un tubo en U dentro del cual hay un líquido de
densidad . Si el tubo está abierto a la atmósfera y la diferencia de nivel del líquido es h, se puede mostrar
que,
gasp = ρgh
Figura 8
Análisis:
Los puntos A (se puede considerar que este punto está un poco por debajo del líquido) y B están al mismo
nivel dentro del líquido, por lo tanto aplicando el principio fundamental de la hidrostática se obtiene que,
A Bp = p
Pero, pA=pgas y pB=gh+patm siendo la densidad del líquido, por lo tanto,
gas atmp = p +ρgh
9
Cumpliéndose para la presión manométrica del gas,
gas atmp - p = ρgh
gasp = ρgh
Con base en este resultado, el valor de h se convierte en una medida de la presión manométrica del gas, de
esta forma la expresión, “… la presión manométrica del gas X que se encuentra confinado en el recipiente
es igual a h cm del líquido manométrico”, significa que si se hace el experimento con un manómetro de
mercurio, se expresaría la medida en cm de Hg y si se hace con un manómetro de agua, se expresaría en
cm de H2O.
Tarea:
Si la presión manométrica de un gas es igual a 90,0 cm de Hg, ¿cuál sería su valor medida con un manómetro
de agua?
La paradoja hidrostática
Si se ponen en comunicación varias vasijas de formas diferentes, se observa que el líquido alcanza el mismo
nivel en todas ellas, Figura 9. A primera vista, debería ejercer mayor presión en su base aquel recipiente
que contuviese mayor volumen de líquido.
Figura 9
La fuerza debida a la presión que ejerce un líquido en la base de un recipiente puede ser mayor o
menor que el peso del líquido que contiene el recipiente, esta es en esencia la paradoja hidrostática.
Como se ha demostrado, en la ecuación fundamental de la estática de líquidos, la presión solamente
depende de la profundidad por debajo de la superficie del líquido y es independiente de la forma de la
vasija que lo contiene. Como es igual la altura del líquido en todos los vasos, la presión en la base es la
misma y el sistema de vasos comunicantes está en equilibrio.
La paradoja se resuelve en el momento en el que se tienen en cuenta las componentes verticales de
las fuerzas que ejerce el líquido sobre todas las paredes del recipiente originadas por la presión.
10
Análisis:
Dos ejemplos sencillos servirán para aclarar la paradoja hidrostática.
Ejemplo A:
Observar la situación representada en la Figura 10.
Figura 10
Recipiente de la izquierda
Peso del líquido
El peso del líquido contenido en el recipiente de la izquierda de forma cilíndrica es
m1g=ρA1h1g
Fuerza debida a la presión en sus bases.
La presión que ejerce el líquido en la base es
P= ρh1g
La fuerza debida a la presión es
F=PA1= ρA1h1g
En el recipiente de la izquierda, ambas cantidades coinciden.
Recipiente de la derecha
Peso del líquido
El peso del líquido contenido en el recipiente de la derecha es la suma del peso del líquido contenido en el
cilindro de base A1 y altura h1 y del cilindro hueco de base anular A2 y altura h2.
m2g= ρA1h1g+ ρA2h2g
11
Fuerza debida a la presión en sus bases.
El líquido ejerce una fuerza hacia abajo en su base A1 debida a la presión
F1= ρA1h1g
También ejerce una fuerza en su base anular A2 debida a la presión del líquido situado encima,
F2=ρA2h2g
Ambas fuerzas tienen el mismo sentido, hacia abajo. La resultante es igual al peso del líquido
F1+F2=m2g
Ejemplo B:
Observar la situación representada en la Figura 11.
Figura 11
Recipiente de la izquierda
Peso
El peso del líquido contenido en este recipiente es
m1g=ρA1h1g
Fuerza debida a la presión en sus bases.
La presión en la base del recipiente es
P= ρh1g
La fuerza debida a esta presión es
F=PA1= ρA1h1g
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Ambas cantidades coinciden.
Recipiente de la derecha
Peso
El peso del líquido contenido en el recipiente de la derecha es la diferencia entre el peso del líquido
contenido en el cilindro de base A1 y altura h1, y el peso del líquido contendido en el cilindro hueco de base
anular A2 y altura h2.
m2g= ρA1h1g- ρA2h2g
Fuerza debida a la presión en sus bases.
El líquido ejerce una fuerza en la base A1 debida a la presión del líquido que está encima y es igual
a F1= ρA1h1g, apuntando hacia abajo
También ejerce una fuerza en su base anular A2 debida a la presión del líquido situado encima, igual
a F2=ρA2h2g pero en sentido opuesto
La resultante nos da el peso del líquido contenido en el recipiente.
F1-F2=m2g
Como se observa, la paradoja queda resuelta si se considera la fuerza que ejerce el fluido debido a la
presión en la superficie anular A2, que en el primer ejemplo es hacia abajo y en el segundo es hacia arriba.
Se ha comprobado en dos ejemplos sencillos que la suma de las fuerzas verticales debidas a la presión que
ejerce el fluido en las paredes del recipiente iguala al peso del fluido contenido en el mismo.
Tubo en U con líquidos no miscibles
Dos líquidos inmiscibles de densidades 1 y 2 se vierten en un tubo en U, Figura 12.
Figura 12
Al equilibrase el sistema, con base en el principio fundamental de la hidrostática se cumple,
13
1 atm 1 1p = p +ρ gh
2 atm 2 2p = p +ρ gh
1 2p =p
y por lo tanto,
1 2
2 1
ρ h=
ρ h
Las densidades de los dos líquidos no miscibles están en relación inversa a las alturas de sus columnas
sobre la superficie de separación en el tubo en forma de U. Esto permite calcular la densidad de uno
de los líquidos conocida la otra.
Principio de Pascal
Este principio es la base de muchas aplicaciones en ingeniería hidráulica. Este enuncia:
“El incremento de la presión aplicada a una superficie de un líquido incompresible, contenido en un
recipiente indeformable, se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo, es
decir, se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y sentidos”, Figura 13.
Izquierda: Imagen tomada de http://hidrostatica.galeon.com/pascal.htm
Derecha: Foto tomada de http://www.cienciafacil.com/
Figura 13: Aparato para la demostración del principio de Pascal
La condición de que el recipiente sea indeformable es necesaria para que los cambios en la presión no
actúen deformando las paredes del mismo en lugar de transmitirse a todos los puntos del líquido.
Otra forma de enunciar este principio:
“Todo cambio de presión en un punto de un líquido incompresible dentro de un recipiente indeformable
se transmite íntegramente a todos los puntos del líquido y a las paredes del recipiente que lo