SOLUCION EXAMEN CALCULO DIFERENCIAL PRIMER SEMESTRE 2016 Página 1 UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA EXAMEN FINAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL 1. Buscar los valores máximos o mínimos de las siguientes funciones a) () = (1 + ) 2 − Buscamos la primera derivada / () = 2(1 + ) − − − (1 + ) 2 Igualamos la derivada a cero / () = 0 0 = 2(1 + ) − − − (1 + ) 2 Factorizamos 0 = (1 + ) − (2 − (1 + )) 0 = (1 + ) − (2 − 1 − ) 0 = (1 + ) − (1 − ) Como el producto es igual a cero, se tiene 0 = (1 + ) ; 0 = − ; 0= (1−) Pero la función exponencial nunca es igual a cero ; 0≠ − 0 = (1 + ) ; 0 = (1 − ) Despejando la x , se tiene = −1 ; = 1 Evaluamos la función en los puntos críticos Si x= -1 (−1) = (1 − 1) 2 −(−1) =0 Obtenemos el puno ( −1 , 0 ) Si x= 1 (1) = (1 + 1) 2 −1 = 4 −1 Obtenemos el puno ( 1 , −1 )
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SOLUCION EXAMEN CALCULO DIFERENCIAL PRIMER SEMESTRE 2016 Página 1
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA
EXAMEN FINAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL
1. Buscar los valores máximos o mínimos de las siguientes funciones
a) 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)2𝑒−𝑥
Buscamos la primera derivada
𝑓/(𝑥) = 2(1 + 𝑥)𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥(1 + 𝑥)2
Igualamos la derivada a cero
𝑓/(𝑥) = 0
0 = 2(1 + 𝑥)𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥(1 + 𝑥)2
Factorizamos
0 = (1 + 𝑥)𝑒−𝑥(2 − (1 + 𝑥))
0 = (1 + 𝑥)𝑒−𝑥(2 − 1 − 𝑥)
0 = (1 + 𝑥)𝑒−𝑥(1 − 𝑥)
Como el producto es igual a cero, se tiene
0 = (1 + 𝑥) ; 0 = 𝑒−𝑥 ; 0 = (1 − 𝑥)
Pero la función exponencial nunca es igual a cero ; 0 ≠ 𝑒−𝑥
0 = (1 + 𝑥) ; 0 = (1 − 𝑥)
Despejando la x , se tiene
𝑥 = −1 ; 𝑥 = 1
Evaluamos la función en los puntos críticos
Si x= -1 𝑓(−1) = (1 − 1)2𝑒−(−1) = 0
Obtenemos el puno ( −1 , 0 )
Si x= 1 𝑓(1) = (1 + 1)2𝑒−1 = 4𝑒−1
Obtenemos el puno ( 1 , 𝑒−1 )
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