UNIVERSIDAD DE MURCIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Propiedades de cubrimiento, índice de Kuratowski y renormamiento en espacios de Banach. Tesis defendida el 28 de Mayo de 2004 ante el tribunal: D. Jose Pedro Moreno (Univ. Aut. de Madrid) D. Antonio S. Granero (Univ. Comp. de Madrid) D. Vicente Montesinos (Univ. Polit. de Valencia) D. Bernardo Cascales (Univ. de Murcia) D. Stanimir Troyanski (Univ. de Murcia) Autor: D. Fernando García Castaño Directores: D. Luis Oncina Deltell (Univ. de Murcia) D. José Orihuela Calatayud (Univ. de Murcia) Código AMS: 54D20, 54D30, 46B20, 46B50, 46B03
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UNIVERSIDAD DE MURCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Propiedades de cubrimiento, índice
de Kuratowski y renormamiento
en espacios de Banach.
Tesis defendida el 28 de Mayo de 2004 ante el tribunal:
D. Jose Pedro Moreno (Univ. Aut. de Madrid)
D. Antonio S. Granero (Univ. Comp. de Madrid)
D. Vicente Montesinos (Univ. Polit. de Valencia)
D. Bernardo Cascales (Univ. de Murcia)
D. Stanimir Troyanski (Univ. de Murcia)
Autor: D. Fernando García Castaño
Directores: D. Luis Oncina Deltell (Univ. de Murcia)
D. José Orihuela Calatayud (Univ. de Murcia)
Código AMS: 54D20, 54D30, 46B20, 46B50, 46B03
A Noelia y a la
pequeña Marina.
iv
Índice generalÍndice general
Agradecimientos vii
Introducción ix
Capítulo 1. Clases de espacios compactos que surgen del Análisis Funcional . . 1
Existen compactos de Corson que no son hereditariamente débilmente submetacom-
pactos [Gr4]. Sin embargo cada compacto de Gul’ko es hereditariamente débilmente sub-
metacompacto, éstos son incluso hereditariamente débilmente σ -metacompactos como
prueba Gruenhage en [Gr3] (1987), donde se introduce la siguiente definición.
Definición 7. Un espacio topológico (X ,τ) es débilmente σ -metacompacto si cada cu-
brimiento abierto U de X tiene un refinamiento abierto V tal que V = ∪Vn;n ∈ N y
para cada x ∈ X se tiene que V = ∪Vn;ord(x,Vn) < ω0. (V se dice que es débilmente
σ -puntualmente finito).
El trabajo de G. Gruenhage [Gr3] tuvo una fuerte influencia en Análisis Funcional y
fue la inspiración para probar propiedades de fragmentabilidad de compactos de Gul’ko
y consecuentemente que los espacios de Banach débilmente numerablemente K -deter-
minados son espacios débil Asplund, [F].
En vista de los resultados mencionados anteriormente resulta natural la conjetura
propuesta por G. Gruenhage [Gr3] de que la condición de K compacto y K2 here-
ditariamente débilmente σ -metacompacto debería caracterizar a los compactos de
Gul’ko (ver [Gr3], remark 2). Los resultados obtenidos en la sección 2.4 proporcionan
una prueba completa y positiva para esta conjetura ya que se verifica el siguiente:
Teorema 5 (Ver teorema 2.4.17). Sea A una familia de subconjuntos de un conjunto X.
Son equivalentes:
(i) A es Σ-puntualmente finita.
(ii) A es débilmente σ -puntualmente finita; i.e. A =∪An : n ∈N y para cada x ∈ X
se tiene que A = ∪An : ord(x,An) < ω0.
Y como consecuencia tenemos:
INTRODUCCIÓN xvii
Teorema 6 (Teorema 2.4.26). Sea X un compacto, son equivalentes:
(i) X es compacto de Gul’ko.
(ii) X2 \∆ es débilmente σ−metacompacto.
(iii) X2 es hereditariamente débilmente σ−metacompacto.
(iv) X tiene una network Σ−puntualmente finitamente extendible.
Gruenhage también preguntó si la condición más débil K compacto de Corson
y K2 hereditariamente débilmente submetacompacto caracteriza a los compactos
de Gul’ko dentro de la clase de los compactos de Corson. En este caso la respuesta es
negativa. La solución la proponemos con un ejemplo de Argyros y Mercourakis [Arg-Me]
de un compacto de Corson que no es de Gul’ko y que hemos analizado en el capítulo 1
(ejemplo 1.2.7) para culminar en la sección 2.4 (ejemplo 2.4.34) probando que es un
contraejemplo a esta conjetura de Gruenhage.
Nuestra caracterización de los compactos de Gul’ko en términos de networks propor-
ciona así mismo más información sobre la relación entre compactos de Gul’ko y espacios
compactos con la LSP (ver teorema 2.4.32 y observación 2.4.33), lo que completa la in-
formación obtenida por A. Dow, H. Junnila y J. Pelant, [D-J-P2], sobre esta propiedad
introducida y estudiada por L. Oncina en [On3].
En la sección 2.5 estudiaremos los compactos de Talagrand en relación con el teorema
4 anterior. Trabajaremos con familias descompuestas en NN en lugar de familias descom-
puestas en K (M), aclarando que para dos elementos σ = (an)n y σ ′ = (bn)n de NN, el
símbolo ≤ significa
σ ′ ≤ σ ⇔ bn ≤ an , n = 1,2, . . .
Introducimos las siguientes definiciones para el análisis de los compactos de Tala-
grand:
Definición 8. Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto X es NN−pun-
tualmente finita cuando podemos descomponer
A = ∪Aσ ;σ ∈ NN
de forma que
(i) Aσ1 ⊂ Aσ2 si σ1 ≤ σ2.
(ii) Aσ es una familia puntualmente finita ∀σ ∈ NN.
Definición 9. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X es
NN-puntualmente finitamente extendible si existe un conjunto de índices I tal que A =
xviii
Ai; i ∈ I, y para cada i ∈ I existe un conjunto abierto Gi ⊃ Ai en X verificando que la
familia indexada G = Gi; i ∈ I es indexada NN-puntualmente finita, e. d., para cada
σ ∈NN existe un subconjunto Iσ ⊂ I de manera que si denotamos por Aσ := Ai; i ∈ Iσ,
para cada σ ∈ NN, se verifica:
(i) I = ∪Iσ ;σ ∈ NN;
(ii) Aσ1 es una subfamilia indexada de Aσ2 cuando σ1 ≤ σ2 en NN;
(iii) para cada x ∈ X y σ ∈ NN se tiene que |i ∈ Iσ ;x ∈ Ai| < +∞.
La propiedad de cubrimiento correspondiente será:
Definición 10. Un espacio topológico (X ,τ) es NN−metacompacto si de cada cubri-
miento abierto se puede extraer un refinamiento abierto NN−puntualmente finito.
Y como resultado principal en la sección 2.5 tenemos el siguiente teorema para
compactos de Talagrand que sigue la linea marcada por los teoremas 1 y 2 anteriores.
Teorema 7 (Ver teorema 2.5.13). Sea K un compacto, son equivalentes:
(i) K es compacto de Talagrand.
(ii) K2 \∆ es NN−metacompacto.
(iii) K2 es hereditariamente NN−metacompacto.
(iv) K tiene una network NN−puntualmente finitamente extendible.
En esta sección estudiamos también una caracterización para las familias NN-puntual-
mente finitas, de manera análoga al caso de familias Σ-puntualmente finitas de la sección
anterior. En particular, tenemos el siguiente:
Teorema 8 (Ver teorema 2.5.9). Para una familia A de subconjuntos de un conjunto
dado X, las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) A es NN-puntualmente finita;
(ii) A es Σ-puntualmente finita de manera que las subfamilias AK de A se indexan a
través de elementos de K (M) siendo M un espacio Polaco;
(iii) A =⋃∞
n=1 An y para n1,n2, . . . ,nk,k ∈ N,
An1,...,nk =∞⋃
m=1
An1,n2,...,nk,m
tal que para cada α = (an) ∈ NN y para cada x ∈ X existe un entero n0 := n(α,x)
tal que ord(x,Aα|n0) < +∞.
Vamos a representar las relaciones obtenidas entre clases de compactos y tipos de
networks que los caracterizan, en el diagrama de la página siguiente:
INTRODUCCIÓN xix
Tipos de compactos Tipos de network
Metrizable
Eberlein uniforme
Eberlein
Talagrand
Gul’ko
Corson
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
?
-
-
-
-?
σ-discreta
σ−uniformemente puntualmente
finitamente extendible
σ−puntualmente
finitamente extendible
NN−puntualmente
finitamente extendible
Σ−puntualmente
finitamente extendible
puntualmente numerablemente
extendible
Diagrama Int. II.
En el capítulo 3 estudiamos cómo el índice de no compacidad de Kuratowski se liga
con la teoría de renormamiento LUR y nos permite obtener nuevas caracterizaciones del
tipo network para dicha propiedad de renormamiento.
Sea X un espacio métrico, para un subconjunto acotado A ⊂ X recordemos que su
índice de no compacidad de Kuratowski está definido como:
α(A) := ınfε > 0;A ⊂ ∪ni=1Bi con diam(Bi) < ε y n ∈ N
xx
El índice de Kuratowski caracteriza los conjuntos totalmente acotados, ya que α(A) =
0 si y sólo si A es totalmente acotado. En el contexto de espacios métricos completos, ca-
racteriza a los conjuntos relativamente compactos.
Para un espacio de Banach X y A ⊂ X un subconjunto, se dice que un punto x ∈ A ⊂ X
es denting (resp. quasi-denting), si para todo ε > 0, existe un semiespacio H, es decir
H = x ∈ X ; f (x) > δ con f ∈ X∗ y δ ∈ R, conteniendo a x y cumpliendo
diam(A∩H) < ε (resp. α(A∩H) < ε)
Se observa que todo punto denting es quasi-denting. La noción de punto quasi-denting
fue introducido en [Gi-Mr], bajo el nombre de punto α-denting, en conexión con inves-
tigaciones de propiedades de diferenciabilidad de funciones convexas en los espacios de
Banach; la noción de punto denting nos lleva a los primeros estudios de conjuntos con la
propiedad de Radon Nikodým [Bou] y fue usada en [T] para probar el siguiente resultado
(que se obtiene allí como consecuencia del manejo de técnicas probabilísticas).
Teorema 9 (Troyanski, 1985, [T]). Si un espacio de Banach X tiene la propiedad de que
cada punto de la esfera unidad SX es un punto denting para la bola unidad cerrada BX ,
entonces dicho espacio admite una norma equivalente LUR.
Para una prueba geométrica desprovista de argumentos probabilísticos ver [R]. Recor-
damos que una norma ‖ · ‖ de un espacio normado X se dice localmente uniformemente
rotunda (LUR), si para toda sucesión (xn)n ⊂ SX y x ∈ SX se cumple
lımn
‖x+ xn
2‖= 1 ⇒ lım
n‖ x− xn ‖= 0
Para una puesta al día sobre renormamientos ver [De-Go-Z], [Go], [Hay] y [Z]. No
se sabe si X admite una norma equivalente LUR si cada subconjunto acotado en X tiene
un slice de diámetro arbitrariamente pequeño (e. d. la propiedad de Radon Nikodým). G.
Lancien probó que X admite un norma equivalente LUR siempre que, para cada ε > 0, BX
es una unión de complementos de un familia decreciente transfinita pero numerable Cεα de
conjuntos cerrados y convexos tal que Cεα \Cε
α+1 es una unión de slices de Cεα de diámetro
menor que ε , [La], [La2], ver también [Go]. A lo largo de este capítulo 3 denotaremos por
X un espacio normado, y diremos que el subespacio F ⊂ X ∗ es normante si, al definir
|||x||| := sup| f (x)|; f ∈ F ∩BX∗, para cada x ∈ X
INTRODUCCIÓN xxi
obtenemos una norma equivalente para X . Cuando la norma original coincida con ||| · |||, se
dice que F es 1−normante. Denotaremos por σ(X ,F) a la topología en X de convergencia
puntual sobre elementos de F . Recordamos que fijados f ∈ X ∗ y δ ∈ R el conjunto H =
x ∈ X ; f (x) > δ se denomina semiespacio abierto del espacio normado X , si f ∈ F
(siendo F ⊂ X∗) lo denominaremos σ(X ,F)−semiespacio abierto de X . Denotaremos por
H(F) la familia de todos los σ(X ,F)−semiespacios abiertos de X . Por tanto para un punto
x ∈ A ⊂ X , diremos que es un punto σ(X ,F)-denting (resp. σ(X ,F)-quasi-denting) para
A cuando el semiespacio abierto en la definición de denting (resp. quasi-denting) puede
ser elegido de H(F).
La siguiente modificación de "el proceso de derivación de Cantor" es la principal
herramienta utilizada por Lancien para obtener su resultado:
Fijado un espacio normado X , un subespacio normante F ⊂ X ∗ y B ⊂ X un subcon-
junto convexo, σ(X ,F)-cerrado y acotado. Fijamos algún ε > 0 y definimos:
Dε,F(B) := x ∈ B;‖ · ‖ −diam(H ∩B) > ε,∀H ∈H(F),x ∈ H
De nuevo, Dε,F(B) es un conjunto σ(X ,F)−cerrado, convexo y acotado; de hecho, si B
es absolutamente convexo, Dε,F(B) también lo es. Iterando este proceso definimos:
Dα+1ε,F (B) := Dε,F(Dα
ε,F(B)) donde D0ε,F(B) := B
y
Dαε,F(B) :=
⋂
β<αDβ
ε,F(B), si α es un ordinal límite.
En este contexto denotaremos por:
δF(B,ε) :=
ınfα;Dαε,F(B) = φ si existe
∞ en cualquier otro caso
Con esto podemos definir el índice de dentabilidad.
Definición 11. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ subespacio normante y B ⊂ X un
subconjunto σ(X ,F)−cerrado, acotado y convexo. Se define el índice de dentabilidad de
B como
δF(B) := supδF(B,ε);ε > 0
xxii
De hecho, Lancien probó que δX∗(BX) < ω1 (resp. δX(BX∗) < ω1) implica que X
(resp. X∗) admite una norma equivalente LUR (resp. una norma dual LUR). Para puntos
quasi-denting, refinando sus métodos probabilísticos, S. Troyanski obtiene el siguiente
resultado:
Teorema 10 (Troyanski, 1994, [T2]). Si un espacio de Banach X tiene la propiedad de
que cada punto de la esfera unidad SX es un punto quasi-denting para la bola unidad
cerrada BX , entonces dicho espacio admite una norma equivalente LUR.
Los argumentos de M. Raja ([R]) no funcionan esta vez para obtener una prueba ge-
ométrica del teorema 10 y la construcción seguía siendo totalmente probabilística no
conociéndose otra prueba hasta hoy. De hecho en la sección 3.3 de esta memoria, por
nuestra parte, proporcionamos una prueba totalmente geométrica de este teorema de
Troyanski, libre de argumentos probabilísticos (corolario 3.3.16). Para un subconjunto
dado S de un subconjunto B convexo, σ(X ,F)-cerrado y acotado de un espacio normado
X definimos su índice de dentabilidad (con respecto a un subespacio normante F ⊂ X ∗)
en B como sigue:
δF(S,B,ε) :=
ınfα;Dαε,F(B)∩S = φ si existe
∞ en cualquier otro caso
Y así introducimos:
Definición 12. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ un subespacio normante, B ⊂ X un
subconjunto σ(X ,F)−cerrado, convexo y acotado y S ⊂ B un subconjunto arbitrario. Se
define el índice de dentabilidad de S respecto a B como:
δF(S,B) := supδF(S,B,ε);ε > 0
En otras palabras queremos medir cuantos pasos en el proceso de derivación de Lan-
cien para B son necesarios para "comerse" totalmente al subconjunto S. Cuando todos
los puntos de la esfera unidad son puntos denting para la bola unidad de X , se tiene que
δX∗(SX ,BX) = 1 y la construcción de Raja nos da el siguiente:
Teorema 11 (Ver teorema 3.3.8). Si δF(SX ,BX) < ω1 el espacio normado X admite una
norma equivalente σ(X ,F)-inferiormente semicontinua y LUR.
INTRODUCCIÓN xxiii
Nuestra prueba geométrica del teorema 10 se basa en el teorema 11 junto con el sigu-
iente resultado fundamental en nuestro estudio que presentamos en la sección 3.3:
Teorema 12 (Ver teorema 3.3.10 y corolario 3.3.15). Si F ⊂ X ∗ es un subespacio nor-
mante, para cualquier subconjunto B ⊂ X que sea σ(X ,F)-cerrado, acotado y convexo,
si Q es el conjunto de todos los puntos que sean σ(X ,F)−quasi-denting de B, se tiene
que
δF(Q,B) < ω1
En consecuencia obtenemos no sólo la prueba geométrica del resultado de Troyanski
sino que además su validez para normas inferiormente semicontinuas como ya ocurría en
el teorema 11:
Corolario 1 (Ver corolario 3.3.16). Si X es un espacio normado y F ⊂X ∗ un subespacio
normante tal que cada punto de la esfera unidad SX es σ(X ,F)−quasi-denting para la
bola unidad cerrada BX , entonces δF(SX ,BX) < ω1 y, como consecuencia, X admite una
norma equivalente σ(X ,F)−inferiormente semicontinua y LUR.
Sea (X ,τ) un espacio topológico y d un métrica definida sobre él. Se dice que X tiene
cubrimiento numerable por conjuntos de diámetro localmente pequeño si para cada ε > 0,
X puede ser expresado como una unión:
X = ∪+∞n=1Xε
n
donde cada conjunto X εn tiene la propiedad de que para cada x ∈ X ε
n existe un τ-abierto
U que contiene a x, y que cumple diam(U ∩X εn ) ≤ ε . En esta situación se dice que (X ,τ)
tiene la propiedad d−SLD. En la situación de la definición anterior, si (X ,‖ · ‖) es un
espacio normado y A ⊂ X cumple que (A,w) tiene la ‖ · ‖-SLD, entonces se dice que
A tiene la propiedad JNR. Si en la definición anterior cambiamos los conjuntos débil-
abiertos por semiespacios abiertos, es decir, conjuntos del tipo H = x ∈ X ; f (x) > λcon f ∈ X∗ y λ ∈R, entonces diremos que el espacio de Banach tiene la propiedad sJNR.
En la sección 3.1 vemos como en la definición de la propiedad ‖ · ‖-SLD podemos
reemplazar diámetro por índice de Kuratowski (teorema 3.1.6 y observación 3.1.9) ya
que las bolas cerradas son conjuntos débil(σ(X ,F))-cerrados. También obtenemos resul-
tados análogos para la propiedad de σ -fragmentabilidad, (teorema 3.1.5).
Que la σ -fragmentabilidad y la propiedad JNR estaban muy cerca de caracterizar los
espacios de Banach admitiendo norma equivalente LUR fue un problema definitivamente
xxiv
resuelto por Moltó, Orihuela y Troyanski en [M-O-T], a lo que M. Raja [R] adaptó su
prueba geométrica del teorema 9 para dar así mismo una versión libre de argumentos
probabilísticos en el siguiente
Teorema 13 (Moltó-Orihuela-Troyanski [M-O-T] y M. Raja [R]). Sea X un espacio
de Banach y F ⊂ X∗ un subespacio normante, entonces X admite una norma equiva-
lente LUR y σ(X ,F)inferiormente semicontinua si, y sólo si, X (o SX ) tiene la propiedad
sJNR mediante slices formados a partir de elementos de F.
Este resultado ha tenido gran cantidad de aplicaciones en los últimos años, [M-O-T-V],
[M-O-T-V3], [M-O-T-V2], [On-R], [R], [R3] y [R4], y es nuestro cometido extenderlo
propiamente en el capítulo 3 de esta memoria, una vez que hemos obtenido el corolario 1
anterior.
Recordemos que un espacio de Banach X (o la norma de X) se dice que tiene la
propiedad de Kadec si las topologías relativas de la norma y la débil coinciden sobre la
esfera unidad de X ; se cumple que cualquier norma LUR tiene la propiedad de Kadec,
ya que todos los puntos de la esfera unidad son puntos denting para la bola unidad cerrada.
Usando que un punto que sea extremal y de continuidad es denting ([L-L-T]) podemos
reformular el teorema mencionado antes: un espacio de Banach con una norma rotunda
y con la propiedad Kadec admite una norma equivalente LUR. Es bien conocido que
l∞ tiene normas rotundas pero no tiene una norma equivalente con la propiedad de Kadec.
R. Haydon [Hay] probó que c0(ϒ), con ϒ un árbol diádico, admite una norma con la
propiedad de Kadec pero no admite una norma equivalente rotunda si la altura del árbol
es mayor o igual que ω1. Sin embargo, las propiedades de Kadec y la rotundidad en
diferentes combinaciones pueden ser reemplazadas por alguna condición más débil. En
[M-O-T] se prueba que si X tiene la propiedad ‖ · ‖-SLD y todos los puntos de SX son
extremales en BX∗∗ , entonces X admite una norma equivalente LUR. En [M-O-T-V2]
se prueba que si X tiene la propiedad de Kadec y todas las caras de la esfera unidad
tienen la propiedad de Krein-Milman entonces admite una norma equivalente LUR.
Nuestros principales resultados en las secciones 3.4 y 3.5 proporcionan una extensión
para el proceso de derivación de Lancien (teorema 3.4.4), así como una extensión del
teorema 13 analizando la validez de dicho teorema cuando cambiamos el diámetro por el
índice de no compacidad de Kuratowski. De hecho probamos el siguiente:
Teorema 14 (Ver teorema 3.5.3). Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio
normante. Las siguientes condiciones son equivalentes:
INTRODUCCIÓN xxv
(i) X admite una norma equivalente LUR y σ(X ,F)−inferiormente semicontinua.
(ii) Para cada ε > 0, podemos descomponer X =∪nXn,ε tal que para cada n∈N y x ∈ Xn,ε
existe H ∈H(F) conteniendo a x y α(H ∩Xn,ε) < ε .
(iii) Existe un conjunto radial A ⊂ X, es decir si x ∈ X \0 existe ρ > 0 tal que ρx ∈ A,
tal que para cada ε > 0, podemos descomponer A = ∪nAn,ε tal que para cada n ∈ N y
x ∈ An,ε existe H ∈H(F) conteniendo a x y α(H ∩An,ε) < ε .
Desde el punto de vista topológico obtenemos el siguiente resultado en términos de
networks:
Teorema 15 (Ver corolario 3.5.8). Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio
normante. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) La topología dada por la norma admite una network N =⋃∞
n=1 Nn tal que para
cada n ∈ N y cada x ∈ ∪N;N ∈ Nn existe un semiespacio σ(X ,F)-abierto H tal
que x ∈ H y
|N ∈ Nn;N ∩H 6= φ| < +∞
(ii) X admite una norma equivalente σ(X ,F)−inferiormente semicontinua y LUR.
Este resultado es una generalización del teorema 1.7.3, cambiando la palabra "ais-
lada" por "localmente finita" [M-O-T-V3], en la linea del paso del teorema de Bing al
teorema de Nagata-Smirnov en los teoremas de metrización [E]. En esta linea va también
el corolario 3.1.8, pero para la propiedad JNR.
Nuestras referencias standard serán, para cuestiones de espacios de Banach [H-Hj-Z],
[F], [De-Go-Z], [F-H-Ha-Mon-P-Z], [Go], [Go2] y [Z]. En cuestiones de topología [Ke],
[E], [Gr], [Gr5], [Gr6] y [Ar2].
xxvi
1Clases de espacios compactos que
surgen del Análisis Funcional
Clases de espacios compactos quesurgen del Análisis Funcional
En este capítulo introductorio describimos el contexto en el que se abordan las distin-
tas cuestiones que hemos tratado en esta memoria, los problemas que hemos resuelto, así
como otras preguntas resueltas recientemente por otros autores y, enunciaremos proble-
mas y cuestiones que quedan aún por resolver. Además describiremos diversos conceptos
y resultados del análisis funcional y la topología, que nos serán de utilidad a lo largo de
la tesis y sirven para delimitar el alcance e interés de las cuestiones que desarrollamos en
la memoria.
1.1 Compactos dispersos y compactos metrizables
Un espacio topológico compacto (K,τ) se dice disperso si cada subconjunto L ce-
rrado tiene un punto aislado en L. Un punto p es aislado en K si existe un entorno U de
p en K tal que U ∩K = p. Se observa que un espacio compacto K es disperso si, y
sólo si, cada subconjunto de K tiene un punto relativamente aislado. Un punto x en un
espacio topológico X es un punto de acumulación de un conjunto A ⊂ X si x ∈ A\x; al
conjunto de todos los puntos de acumulación de A se le llama conjunto derivado de A y lo
denotaremos por A′, se observa que A = A∪A′. Vamos a definir el proceso de derivación
2 1.1 COMPACTOS DISPERSOS Y COMPACTOS METRIZABLES
de Cantor; si K es un compacto denotaremos por K(1) = K′. Por inducción transfinita, se
define
K(α+1) = (K(α))′ para un ordinal α , y
K(α) =⋂
K(β );β < α si α es un ordinal límite.
Por convenio se escribe K(0) = K. Se observa que K es disperso si, y sólo si, K(α) es vacío
para algún ordinal α .
Los compactos numerables, que se podría decir que son los compactos más "sencil-
los", son dispersos. De hecho comencemos recordando el siguiente resultado:
Proposición 1.1.1 (Lema 293 de [H-Hj-Z]). Un espacio topológico compacto K es nu-
merable si, y sólo si, es metrizable y disperso.
DEMOSTRACIÓN: Supongamos que K es numerable. A lo largo de todo el trabajo deno-
taremos por C(K) al espacio de Banach formado por las funciones continuas definidas
sobre K con la norma del supremo, es decir, ‖ f ‖∞= sup| f (x)|;x ∈ K. Para cada
(x,y) ∈ K ×K con x 6= y, consideramos el conjunto
Hx,y = f ∈C(K); f (x) = f (y)
que es un hiperplano cerrado en C(K). Recordemos que el teorema de la categoría de
Baire asegura que, en un espacio métrico completo la intersección de cualquier sucesión
de abiertos densos es un conjunto denso, [Ke]. Aplicando este teorema, el espacio de
Banach C(K) no puede expresarse como unión numerable de cerrados de interior vacío.
Ahora, como los hiperplanos cerrados tienen interior vacío, entonces existirá f ∈ C(K)
que no pertenece a ningún Hx,y, por lo tanto f es una función inyectiva de K en R. Como
consecuencia K es metrizable, ya que es homeomorfo a un subconjunto de R (de hecho es
métrico completo). Para acabar la prueba de esta implicación, observemos que cualquier
subconjunto cerrado L de K es numerable y tiene puntos aislados en L, por el teorema de
la categoría de Baire. Por lo tanto K es disperso.
A la inversa, supongamos que K es metrizable y disperso. Ya que la topología de K
tiene una base numerable, se sigue que existe un ordinal numerable α0 tal que K(α0) = φ .
Cada subconjunto de K es separable y así K(α) \K(α+1) es numerable para cualquier α .
Por tanto K es numerable.
Visto el resultado anterior, resulta natural preguntarse qué tipo de propiedades tienen,
por separado, los compactos metrizables y los compactos dispersos. Por un lado tenemos
el siguiente resultado.
1. COMPACTOS QUE SURGEN DEL ANÁLISIS FUNCIONAL 3
Teorema 1.1.2. Un compacto K es metrizable si, y sólo si C(K) es separable.
DEMOSTRACIÓN: Si C(K) es separable, entonces BC(K)∗ con la topología débil estrella
es metrizable. Para construir la métrica consideramos fnn la sucesión densa en la esfera
unidad de C(K), y la métrica se define para cada x,y ∈ BC(K)∗ , de la siguiente manera:
ρ(x,y) :=∞
∑i=1
2−i|(x− y)( fi)|
Ahora, dado k ∈K, definimos k ∈C(K)∗ por k( f ) = f (k) para cada f ∈C(K). Entonces la
aplicación k k es un homeomorfismo de K en su imagen bajo la topología débil estrella
en C(K)∗. La imagen es un conjunto metrizable y débil estrella compacto.
Supongamos ahora que K es un espacio métrico compacto. Fijamos una sucesión
xnn densa en K. Definimos
fn,m(x) =
1m −dist(x,xn) si dist(x,xn) ≤
1m
0 si dist(x,xn) > 1m
Entonces la familia fn,m junto con una función constante genera una álgebra separable
que distingue puntos de K y, por lo tanto, su clausura es C(K) por el teorema de Stone-
Weierstrass, teorema 3.2.21 de [E].
El hecho de que un compacto K sea disperso también queda caracterizado por una
propiedad estructural del correspondiente espacio C(K) pero, en este caso, respecto a
propiedades de diferenciabilidad. Una función f definida sobre un espacio de Banach X
se dice que es diferenciable Fréchet en x ∈ X si existe l ∈ X ∗ tal que
lımt→0
f (x+ th)− f (x)t
= l(h)
para cada h∈ X y, de manera uniforme para h∈ SX . En este caso se dice que l es la deriva-
da de Fréchet de f en x y lo denotaremos por l = f ′(x). Un subconjunto A de un espacio
topológico se dice que es un Gδ , si se puede expresar como intersección numerable de
conjuntos abiertos. Un espacio de Banach X se dice que es un espacio de Asplund si to-
da función continua y convexa definida en él es diferenciable Fréchet en un subconjunto
Gδ denso. Que los espacios de Banach con dual separable son de Asplund es precisa-
mente el resultado de E. Asplund, [As]. Para espacios de Banach cualesquiera Ch. Stegall
demostró que ser de Asplund es equivalente a que todo subespacio separable tenga
dual separable, [St].
4 1.1 COMPACTOS DISPERSOS Y COMPACTOS METRIZABLES
Veamos ahora tres resultados sobre compactos dispersos, que necesitaremos en la
prueba de la caracterización que queremos recordar (teorema 1.1.6):
Proposición 1.1.3 (Lema 291 de [H-Hj-Z]). La imagen continua de un compacto dis-
perso es un compacto disperso.
DEMOSTRACIÓN: Sea K un compacto disperso y f una aplicación continua de K sobre
un espacio compacto L. Supongamos que P es un subconjunto perfecto de L, es decir,
un conjunto cerrado en el cual todos los puntos son puntos límite en P. Consideramos
la familia A de todos los subconjuntos compactos A de K tal que f (A) = P ordenados
por inclusión. Si Aαα es una cadena en A entonces por compacidad, ∩αAα 6= φ y
f (∩αAα) = P. Sea B un conjunto minimal en A . Ya que K es disperso y B es compacto,
B contiene un punto q que es aislado en B. Denotamos B′ = B \ q. Entonces B′ es
compacto y la minimalidad de B nos proporciona que f (B′) es un subconjunto propio de
P. Se observa que f (q) 6∈ f (B′) ya que, en otro caso, f (B′) = f (B) = P. Como f (B′) es
compacto, f (q) no es un punto límite de f (B′). Como P\ f (B′) = f (q), se tiene que f (q)
no es un punto límite de P tampoco. Por lo tanto el conjunto P contiene un punto f (q) que
es aislado en P. Esto prueba que P no es perfecto, lo que nos lleva a una contradicción.
Siguiendo el capítulo 7 de [Co], se tiene que una medida µ de Borel sobre K, es
una medida definida sobre la σ−álgebra de Borel en K, B(K), es decir, la σ−álgebra
generada por los subconjuntos abiertos de K. Además, el hecho de que µ sea una medida
de Borel sobre K, finita y regular hace que se verifiquen las dos siguientes igualdades:
Lema 1.1.4 (Rudin, lema 294 de [H-Hj-Z]). Sea µ una medida de Borel no-negativa
regular y finita sobre un compacto disperso K tal que µ(p) = 0 para cada p ∈ K.
Entonces µ se anula sobre K.
DEMOSTRACIÓN: Supongamos que µ(K) > 0. Sea λ el mayor ordinal tal que K (λ ) 6= φ .
Veamos que existe tal ordinal; si β el primer ordinal tal que K(β ) = φ , veremos que β no
es un ordinal límite. De hecho, la compacidad de K nos lo asegura ya que para todos los
ordinales límite K(α) =⋂
δ<α K(δ ). Por lo tanto β = λ + 1 y λ es el último ordinal tal
que K(λ ) 6= φ . De la compacidad de K(λ ) se tiene que debe ser un conjunto finito. Por lo
1. COMPACTOS QUE SURGEN DEL ANÁLISIS FUNCIONAL 5
tanto µ(K(λ )) = 0 por la hipótesis sobre µ . Sea α el primer ordinal tal que µ(K (α)) <
µ(K). Si α = β + 1 para algún β , entonces µ(K(β )) = µ(K(α)) + µ(K(β ) \ K(α)). El
conjunto K(β ) \K(α) no contiene subconjuntos compactos e infinitos, por la definición de
derivación de Cantor. Por lo tanto, por la regularidad de µ y la propiedad de que µ es nula
sobre todos los conjuntos de cardinalidad uno, obtenemos que µ(K (β ) \K(α)) = 0. Por lo
tanto µ(K(β )) = µ(K(α)), contradiciendo nuestra elección de α . Entonces α debe ser un
ordinal límite. Para cada conjunto abierto G que contiene a K(α) existe, por argumentos
de compacidad, corolario 3.1.5 de [E], un ordinal β < α tal que K (β ) ⊂ G. Ya que β < α ,
tenemos que µ(K(β )) = µ(K). Por tanto µ(G) = µ(K) para cada conjunto abierto G
conteniendo a K(α). De la regularidad de µ obtenemos que µ(K(α)) = µ(K), lo que nos
lleva a una contradicción.
Recordemos que se define el espacio vectorial l1 como el formado por todas las suce-
siones de escalares xii que satisfacen ∑i |xi| < ∞. Entonces l1 con la norma ‖ x ‖1=
∑i |xi| es un espacio de Banach. Si Γ es un conjunto arbitrario, se define el espacio vecto-
rial l1(Γ) como el formado por todas las funciones f : Γ 7→R tal que ∑γ∈Γ | f (γ)|< ∞. De
manera análoga al caso anterior, l1(Γ) con la norma ‖ f ‖1= ∑γ∈Γ | f (γ)| es un espacio de
Banach. Donde las sumas están definidas por
∑γ∈Γ
| f (γ)| = sup∑γ∈F
| f (γ)|;F es un subconjunto finito de Γ
Este tipo de espacios también tienen relación, mediante el siguiente resultado, con los
compactos dispersos:
Teorema 1.1.5 (Rudin, teorema 295 de [H-Hj-Z]). Si K es un compacto disperso, en-
tonces C(K)∗ es isométrico a l1(Γ), para algún conjunto Γ.
DEMOSTRACIÓN: Sea µ una medida de Borel regular, finita y no-negativa sobre un espa-
cio disperso K. Sea S la colección de todos los puntos de K satisfaciendo que µ(p) > 0.
Se tiene que p ∈ K; µ(p) > ε es finito para cada ε ya que µ es una medida fini-
ta. Por tanto S es numerable. Definimos una medida ν sobre subconjuntos de Borel A
de K dada por ν(A) = µ(A ∩ S). Por el lema 1.1.4, la medida µ − ν se anula sobre
K y, por tanto, µ = ν . Como S = qnn es numerable, por teoría general de la medida∫
K f dµ =∫
K f dν = ∑∞i=1 cn f (qn) para cada f ∈C(K), donde ∑ |cn| < ∞.
A la inversa, dada cnn con ∑ |cn| < ∞ y qn ⊂ K, el funcional F definido para
f ∈C(K) por F( f ) = ∑cn f (qn) es un funcional lineal y continuo sobre C(K). Se observa
6 1.1 COMPACTOS DISPERSOS Y COMPACTOS METRIZABLES
que la norma de F es ∑ |cn|. De hecho, la norma es menor o igual a ∑ |cn|. Para obtener la
desigualdad contraria, para un conjunto finito q1, . . . ,qn consideramos un f ∈ BC(K) tal
que f (qn) = sign(cn). De esta manera se concluye la prueba.
Podemos enunciar y probar ya la caracterización de los compactos dispersos que quer-
emos recordar:
Teorema 1.1.6 (Teorema 296 de [H-Hj-Z]). Para un espacio topológico compacto K,
se cumple que K es compacto disperso si, y sólo si, C(K) es un espacio de Asplund.
DEMOSTRACIÓN: Utilizaremos el resultado de Stegall asegurando que un espacio de
Banach es Asplund si, y sólo si, cada subespacio separable tiene dual separable, ver por
ejemplo [Ph]. Supongamos que K es un compacto disperso y X un subespacio separable
de C(K), elegimos una sucesión densa gnn en X ∩BC(K) y definimos una aplicación
continua G : K 7→ [−1,1]N dada por G(k) = gn(k)n. El compacto L = G(K) es disperso
por la proposición 1.1.3 y metrizable, será L numerable, por la proposición 1.1.1. Como
consecuencia C(L)∗ es isométrico a l1 por el teorema 1.1.5. Con esto C(L)∗ es separable y,
en consecuencia, X que es isométrico a un subespacio de C(L), tendrá dual X ∗ separable
y el espacio C(K) es de Asplund.
Para probar la implicación contraria, supongamos que K no es compacto disperso y
que C(K) es un espacio de Asplund. Sea P un subconjunto perfecto de K. La restricción
de funciones continuas sobre K a P es un operador Λ lineal y acotado de C(K) a C(P), el
cual es sobreyectivo debido al teorema de extensión de Tietze, teorema 2.1.8 de [E]. Como
consecuencia C(P) es un espacio de Asplund también. En efecto, si Z es un subespacio
separable de C(P), entonces existe un subespacio separable W de C(K) que es llevado
sobre Z por la aplicación restricción. Para ver esto consideramos zn una sucesión densa
en BZ y tomamos xn ∈C(K) tal que Λ(xn) = zn y ‖ xn ‖≤ M (para algún M > 0). Entonces
BZ ⊂ Λ(MBspanxn), por lo tanto Z ⊂ Λ(spanxn) = Λ(W ). Como consecuencia Z∗ es
isométrico a un subespacio de W ∗, basta tomar el operador adjunto Λ∗ : Z∗ 7→ W ∗ dado
por Λ∗(z∗) = z∗ Λ que es lineal, acotado e inyectivo. Ya que W ∗ es separable, se tiene
que Z∗ es separable. Por lo tanto C(P) es un espacio de Asplund. Como P es perfecto,
veremos que la norma del supremo de C(P) no tiene puntos de diferenciabilidad Fréchet.
Para ello comenzamos observando que la distancia entre dos medidas diferentes de Dirac
en C(P)∗ es dos. Dado x ∈ BC(P), asumimos sin pérdida de generalidad que existe p0 ∈ P
tal que x(p0) = 1. Como p0 no es aislado, elegimos pn 6= p0 tal que x(pn) → 1. Por el
1. COMPACTOS QUE SURGEN DEL ANÁLISIS FUNCIONAL 7
criterio de Smulyan de diferenciabilidad (lema 102 de [H-Hj-Z]), x no puede ser un punto
de diferenciabilidad Fréchet de la norma del supremo sobre C(P), y resulta entonces que
la norma del supremo no tiene puntos de diferenciabilidad Fréchet en C(P) que no podrá
ser un espacio de Asplund, lo que contradice nuestra hipótesis.
A continuación el diagrama 1.1.1, donde se representa la situación obtenida en los
últimos resultados.
Compacto numerablem
Compacto metrizable y disperso
Compacto metrizable
⇐⇒ C(K) admite normaequivalente analıtica
mC(K) separable
Compacto dispersom
C(K) Asplund
j
Diagrama 1.1.1
Remarquemos para terminar esta sección que una función real f definida sobre un es-
pacio de Banach X se dice real analítica en X si para cada x ∈ X hay un entorno U de x en
X tal que el desarrollo de Taylor de f en x (construido con formas multilineales) converge
uniformemente sobre U a f . Para un compacto K el ser numerable es equivalente a
que el espacio de Banach C(K) admita una norma equivalente que sea real analítica
en X \0, [De-Fo-Hj] y [Hj].
1.2 Topología descriptiva y espacios compactos
Vamos a continuar estudiando los espacios compactos que se pueden ir añadiendo a
la rama de la izquierda del diagrama 1.1.1, es decir, clases de espacios compactos más
generales que los compactos metrizables descritas a través de "propiedades descriptivas"
de los espacios de funciones continuas C(K) correspondientes. Estos espacios compactos
han sido definidos en la introducción y su relación descrita en el diagrama Int. I (Intro-
ducción).
8 1.2 TOPOLOGÍA DESCRIPTIVA Y ESPACIOS COMPACTOS
Al estudiar distintos tipos de espacios topológicos conviene hacer una clasificación
de éstos, ver las inclusiones que existen y si éstas son estrictas. En las clases de espa-
cios compactos representados en el diagrama Int.1, las implicaciones son estrictas. Para
ver esto propondremos algunos ejemplos, haciendo las demostraciones, al menos con las
ideas generales, y dando la referencia para consultar los detalles.
Ejemplo 1.2.1. Compacto de Eberlein uniforme que no es metrizable.
Para un conjunto Γ 6= φ no numerable, el espacio de Hilbert l2(Γ) no separable nos
proporciona la bola unidad cerrada Bl2(Γ) que es un conjunto débil compacto, por lo tanto
(Bl2(Γ),w) es un compacto de Eberlein uniforme, además no es metrizable.
DEMOSTRACIÓN: Si (Bl2(Γ),w) fuese metrizable, entonces (Bl2(Γ),w) sería un compacto
separable, luego existiría un conjunto D⊂Bl2(Γ) numerable y ω−denso. Entonces convw(D)=
conv‖·‖(D) = Bl2(Γ), luego Bl2(Γ) sería separable. Lo que no es cierto, por nuestra asunción
de ser Γ no numerable.
Ejemplo 1.2.2. Compacto de Eberlein que no es compacto de Eberlein uniforme.
D. Kutzarova y S. Troyanski construyeron un ejemplo de un espacio de Banach reflex-
ivo y no separable X que no admite ninguna norma equivalente uniformemente Gâteaux
diferenciable (ver [K-T]). El espacio (BX∗ ,w) es un compacto de Eberlein que no es
compacto de Eberlein uniforme.
DEMOSTRACIÓN: Un reciente resultado de M. Fabian, G. Godefroy y V. Zizler, [F-Go-Z],
asegura que un espacio de Banach X admite una norma equivalente uniformemente Gâ-
teaux diferenciable si, y sólo si, (BX∗,w∗) es un compacto de Eberlein uniforme. De hecho
para un espacio compacto K son equivalentes el ser de Eberlein uniforme y que el espacio
C(K) admita una norma equivalente uniformemente Gâteaux diferenciable.
Antes del siguiente ejemplo veamos una definición:
Definición 1.2.3. Si T es un conjunto no vacío, una familia A de subconjuntos de T se
dice adecuada si:
(i) Si A ∈ A y B ⊂ A, entonces B ∈ A ;
(ii) t ∈ A para cualquier t ∈ T ; y
(iii) Si A ⊂ T , y cada subconjunto finito de A está en A , entonces A ∈ A .
1. COMPACTOS QUE SURGEN DEL ANÁLISIS FUNCIONAL 9
Observación 1.2.4. Dada una familia adecuada A en T , el conjunto
K = KA = χA;A ∈ A ⊂ 0,1T
donde χA es la función característica de A, es cerrado en el producto 0,1T y así resulta
ser K compacto.
Esto da una forma sencilla de construir compactos totalmente desconectados y con
familias A particulares en conjuntos T concretos se construyen ejemplos de interés.
Ejemplo 1.2.5. Compacto de Talagrand que no es compacto de Eberlein.
Definimos las siguientes familias de subconjuntos de NN:
A0 = σ : σ ∈ NN∪φ
An = A ⊂ NN : σ ,δ ∈ A y σ 6= δ ⇒ σ |n = δ |n y σ |n+1 6= δ |n+1
donde σ |n = (σ(1), ...,σ(n)) ⊂ Nn, para cada n ∈ N. Definimos la familia A = ∪nAn y
consideramos el compacto
K = χA : A ∈ A ⊂ 0,1NN
donde χA es la función característica de A ∈ A . Se cumple que K es compacto de Tala-
grand pero no es compacto de Eberlein.
DEMOSTRACIÓN: Como la familia A es una familia adecuada de conjuntos, el conjunto
K es un subespacio cerrado en 0,1NN
y, por consiguiente, compacto. El hecho de ser
compacto de Talagrand viene de la usco ϕ :NN −→ (2C(K),τp) dada por ϕ(σ) = πσ ,0,
donde πσ : K −→ 0,1 es la coordenada definida por πσ (k) = k(σ) = χA(σ), para cada
k ∈ K y σ ∈ NN. Veamos que ϕ es superiormente semicontinua, para ello considero U ⊂
C(K) τp−abierto con πσ ,0 ⊂U , hay que encontrar un abierto V ⊂NN conteniendo a σtal que ϕ(V ) ⊂U . Como 0 ∈U , existen A1, . . . ,Am ∈ A tal que si f ∈C(K) y | f (χAi)| =
|0(χAi)− f (χAi)| < ε para i ∈ 1, . . . ,m se cumple que f ∈ U . Para cada i ∈ 1, . . . ,m
podemos tomar ni ∈ N tal que si δ ∈ NN, δ 6= σ y δ |ni = σ |ni entonces δ 6∈ Ai ya que los
A ∈ A son subconjuntos cerrados de NN, sea ahora n = maxn1, . . . ,nm y consideramos
δ ∈ NN distinto a σ con δ |n = σ |n, entonces δ 6∈ A1 ∪ ·· · ∪ Am por lo que πδ ∈ U y
se tiene que σ(1)× · · · × σ(n)×N×N× ·· · = V ⊂ NN es abierto y ϕ(V ) ⊂ U .
Hemos probado que el subespacio Y = πσ : σ ∈ NN∪0 ⊂C(K) es K −analítico y,
10 1.2 TOPOLOGÍA DESCRIPTIVA Y ESPACIOS COMPACTOS
utilizando (el análogo del) teorema 7.1.8 de [F] para K -analíticos, se concluye esta parte
de la prueba.
Para ver la idea del por qué no es compacto de Eberlein seguimos [Far], ejemplo 2.14.
Supongamos que K es compacto de Eberlein, entonces como todo elemento de K tiene
soporte numerable en NN, el corolario 2.12 de [Far], nos asegura que debiera existir una
descomposición Σm;m ∈ N de NN tal que
|A∩Σm| < ∞ para cada A ∈ A y m ∈ N
Como consecuencia del teorema de Baire existirá un m0 ∈ N tal que la clausura de Σm0
tiene interior no vacío. Si x está en el interior de Σm0 podemos encontrar un conjunto
abierto Vx = y ∈ NN;y|n0 = x|n0 tal que Vx ⊂ Σm0 . Por lo tanto para cada k ∈ N existirá
yk ∈V kx ∩Σm0 donde
V kx = y ∈ NN;y|n0 = x|n0 e y(n0 +1) = k
De esta forma generamos el conjunto A = yk;k ∈ N, que pertenece a la familia A y es
un subconjunto de Σm0 . Pero por otra parte |A∩Σm0 | es infinito, lo que nos lleva a una
contradicción. Por lo tanto K no puede ser un compacto de Eberlein.
Ejemplo 1.2.6. Compacto de Gul’ko que no es compacto de Talagrand.
Denotamos por N<ω el conjunto formado por las sucesiones finitas de numeros natu-
rales, N<ω =⋃∞
n=0Nn. Denotamos por I el conjunto de todas las sucesiones finitas estric-
tamente crecientes de números naturales:
I = (s1, . . . ,sn) ∈ N<ω : s1 < · · · < sn
mientras que In es el conjunto de los elementos de I formados por enteros menores o
iguales que n:
In = (s1, . . . ,sm) ∈ I : sm ≤ n
Dados dos elementos de N<ω , s = (s1, . . . ,sn) y u = (u1, . . . ,um), decimos que s ≤ u
si ocurre que n ≤ m y además si = ui para todo i ≤ n. Dados dos elementos de N<ω ,
s = (s1, . . . ,sn) y u = (u1, . . . ,um), definimos s_u = (s1, . . . ,sn,u1, . . . ,um). Se observa
que si s,u ∈ I y sn < u1 entonces s_u ∈ I.
1. COMPACTOS QUE SURGEN DEL ANÁLISIS FUNCIONAL 11
Un subconjunto X ⊆ I diremos que es un árbol si se verifica la siguiente condición:
Para todo u ∈ X y para todo s ∈ I, si s ≤ u entonces s ∈ X . Llamamos T0 al conjunto de
todos los árboles, T0 = X ⊆ I : X es un árbol.
Sea (sn)∞n=1 una sucesión creciente infinita de números naturales y sea X un árbol.
Diremos que (sn)n es una rama infinita de X si (s1, . . . ,sn) ∈ X para todo n ∈N. Llamare-
mos T1 al conjunto de todos los árboles que tienen alguna rama infinita, mientras que T
será el conjunto de aquellos árboles que no tienen ninguna rama infinita. De esta manera
tenemos descompuesto T0 como unión disjunta de T1 y T , T0 = T1 ∪T.
Puesto que los subconjuntos de I se identifican de manera natural con los puntos de
0,1I , podemos ver T0 como un subconjunto de 0,1I . En 0,1I tenemos la topología
producto, que induce en T0 una topología que denotaremos por τ . Se observa que T0 es
un subespacio cerrado de 0,1I , y por tanto compacto en la topología τ , y metrizable ya
que I es numerable. Para cada árbol X y cada natural n, se define:
Vn(X) = Y ∈ T0 : Y ∩ In = X ∩ In ⊂ T0
De este modo, la familia Vn(X) : n ∈ N es una base de entornos de X en la topología τ .
Consideramos ahora la familia A0 formada por aquellos subconjuntos finitos de T de
la forma B = Y1, . . . ,Yn donde para algún X ∈ T0 y (s1, . . . ,sn) ∈ X se tiene que Yi ∈
Vsi(X) para todo i ≤ n. La familia A se define como la familia de aquellos subconjuntos
de T tales que todos sus subconjuntos finitos pertenecen a A0.
Por fin definimos el compacto
K = KA := χA;A ∈ A ⊂ 0,1T
que es compacto de Gul’ko pero no es compacto de Talagrand.
DEMOSTRACIÓN: Comenzaremos la prueba viendo que KA es, efectivamente, un com-
pacto de Gul’ko. Para ello hay que notar que la familia A es adecuada y además cada
A ∈ A es cerrado en T , lema 1 de [Ta2].
Ahora, para cada elemento t ∈T se define una función πt ∈C(K) definida por πt(χA)=
χA(t), para cada χA ∈K. La familia de funciones Y = πt : t ∈ T∪0⊂C(K) separa los
puntos de K, así que para probar que K es Gul’ko, basta probar que Y es numerablemente
K −determinando en la topología τp de convergencia puntal sobre K, teorema 7.1.8 de
[F]. Para ello, consideramos la usco Φ : T −→ 2(Y,τp) dada por Φ(t) = 0,πt, teniendo
en cuenta que T es un métrico separable. Para verificar que Φ es usco, basta ver que para
12 1.2 TOPOLOGÍA DESCRIPTIVA Y ESPACIOS COMPACTOS
cada abierto básico U de (Y,τp), el conjunto t ∈ T : Φ(t) ⊂U es abierto en T . De he-
cho, como 0 ∈ Φ(t) para todo t, basta verlo para U un entorno básico de 0 en (Y,τp). Tal
entorno básico es de la forma
U = UA1,...,An = 0∪πt ∈ Y : πt(χAi) = 0, i = 1, . . . ,n
= 0∪πt ∈ Y : t 6∈ Ai, i = 1, . . . ,n
siendo Ai ∈ A . En este caso, Φ(t) ⊂U sii πt ∈U sii t 6∈⋃
Ai, así que
t ∈ T : Φ(t) ⊂U = T \n⋃
1
Ai
que efectivamente, es abierto en T .
Para probar que K no es compacto de Talagrand, se razona por reducción al absurdo.
Suponiendo que sí lo es, por el teorema 10 (c) de [F-Go-M-Z], se puede asegurar que
existe un esquema de Lusin sobre T , es decir, una descomposición de T , Ts : s ∈ N<ω,
tal que:
(i) T/0 = T .
(ii) Para cada s ∈ N<ω , Ts =⋃
n∈NTs_(n) siendo esta unión es disjunta.
y además, con la propiedad añadida:
∀ε > 0 ∀k ∈ K ∀σ ∈ NN ∃ j tal que |t ∈ T(σ1,...,σ j); |k(t)| > ε| < ω
Identificaremos esta condición como la propiedad (*). Ahora se construye, de manera
recursiva, lo siguiente [Ta2]:
Dos sucesiones de naturales, una que denotaremos por (tn)n y otra que será estricta-
mente creciente (sn)n. Además una sucesión X1,X2, . . . de árboles verificando:
Señalemos que no se conocen caracterizaciones internas sobre K, para cuando se
cumple alguna de las propiedades para C(K) del diagrama 1.5.1., siendo cualquiera
de estos problemas de gran interés en la teoría de renormamiento. Además las implica-
ciones 1, 2 y 3 se siguen manteniendo cuando consideramos un espacio de Banach
28 1.6 PROPIEDADES DE DIFERENCIABILIDAD
con su topología débil. No se conoce ningún ejemplo que separe la renormabilidad de
Kadec de la σ -fragmentabilidad. Los primeros ejemplos de espacios C(K) con norma
equivalente de Kadec y sin norma equivalente LUR se deben a R. Haydon [Hay]. Otros
ejemplos se han construido en [Hay-J-N-R] y han servido para análisis muy recientes en
[Bu-K-To]. De hecho en [Hay-J-N-R] se prueba que para cualquier compacto totalmente
ordenado K el espacio C(K) admite una norma equivalente que es τp-Kadec y sin embar-
go cubos lexicográficos no numerables no tendrán norma equivalente LUR. Por otro lado,
I. Namioka y R. Pol han construido un compacto disperso K que es de Namioka y tal que
Cp(K) no es σ -fragmentable bajo el siguiente postulado independiente de los axiomas de
ZFC:
Existe un conjunto co-analítico en [0,1] de cardinalidad el continuo y sin subconjun-
tos perfectos, [Na-Po].
1.6 Propiedades de diferenciabilidad
Volviendo al diagrama 1.1.1, vamos a completar la rama de la derecha, es decir, vamos
a ver clases de espacios compactos que contienen a los compactos dispersos y que estarán
relacionados con propiedades de diferenciabilidad sobre los correspondientes espacios
C(K).
Se dice que un espacio compacto es un compacto de Radon-Nikodým si existe un
espacio de Asplund X de manera que K es homeomorfo a un subconjunto de X ∗ con
la topología débil estrella. Se cumple que un compacto es de Radon-Nikodým si está
fragmentado por alguna métrica inferiormente semicontinua, [Na3].
Un compacto K se dice que es un compacto "quasi" Radon-Nikodým, [Arv], si es-
tá fragmentado por un función f : K ×K −→ [0,1] inferiormente semicontinua tal que
f (x,y) = 0 si y sólo si x = y y tal que f (x,y) = f (y,x). No se sabe si las clases de com-
pactos de Radon Nikodým y "quasi" Radon Nikodým son distintas, y se desconoce
una caracterización interna de los mismos. La imagen continua de un compacto quasi
Radon Nikodým sigue siendo quasi Radon Nikodým, pero no sabemos si lo mismo
sucede para imágenes continuas de los compactos de Radon Nikodým, siendo este un
problema abierto de la máxima actualidad, A. Avilés (2004) [Av].
El siguiente resultado se debe a A. D. Arvanitakis, [Arv].
1. COMPACTOS QUE SURGEN DEL ANÁLISIS FUNCIONAL 29
Teorema 1.6.1 (A. D. Arvanitakis, 2002). Un espacio compacto K es compacto de Eber-
lein si, y sólo, si es compacto de Corson y "quasi" Randon Nikodým.
Para dos espacios topológicos X ,Y y una aplicación usco F : X −→ 2Y , decimos que
F es usco minimal cuando F = G para cualquier G : X −→ 2Y que sea usco tal que G ⊂ F .
Se sigue del lema de Zorn que cada aplicación usco contiene al menos una usco minimal
Un espacio topológico compacto K es un espacio de Stegall si para cada espacio de
Baire X y cada usco minimal Φ : X −→ 2K existe un subconjunto Gδ denso Ω de X tal
que Φ(x) contiene un solo punto para cada x ∈ Ω. Los compactos K en la clase de Ste-
gall contienen un Gδ denso que es completamente metrizable y son sucesionalmente
compactos, [F].
Los compactos fragmentables están en la clase de Stegall y cuando la bola unidad
del dual de un espacio de Banach X está en la clase de Stegall el espacio X será débil
Asplund, [F]. O. Kalenda ha encontrado, utilizando axiomática adicional de conjuntos,
ejemplos de espacios compactos K en la clase de Stegall que no son fragmentables,
(1999) [Ka]. Para espacios de Banach y bolas duales el problema permanece abierto.
P. Kenderov, W. Moors y S. Sciffer prueban en [Ke-Mr-Sc] (2001), utilizando axiomática
adicional de conjuntos, que existe un espacio de Banach que está en la clase de Stegall
pero cuyo dual no es débil∗ fragmentable. Posteriormente O. Kalenda prueba en [Ka2]
(2002), utilizando axiomática adicional de conjuntos, que existe un espacio de Banach
X que es débil Asplund pero no está en la clase de Stegall.
Al estudiar los compactos dispersos nos han aparecido, de manera natural, propiedades
de diferenciabilidad de funciones convexas. Acabaremos esta rama con más propiedades
de diferenciabilidad, antes recordemos el concepto de diferenciabilidad Gâteaux y dife-
renciabilidad Gâteaux uniforme.
Una función f definida sobre un espacio de Banach X se dice que es diferenciable
Gâteaux en x ∈ X si existe l ∈ X∗ tal que
lımt→0
f (x+ th)− f (x)t
= l(h)
para cada h ∈ X . En este caso se dice que l es la derivada de Gâteaux de f en x y lo deno-
taremos por l = f ′(x). En los casos en que el límite anterior es uniforme sobre elementos
x de SX para cada h ∈ X fijo, se dice que f es uniformemente diferenciable Gâteaux. Un
espacio de Banach X se dice que es un espacio débil Asplund si toda función continua y
convexa definida en X , es diferenciable Gâteaux en un conjunto Gδ denso en X .
30 1.6 PROPIEDADES DE DIFERENCIABILIDAD
El libro [F] trata en profundidad los espacios débil Asplund y su fuerte relación con la
topología conjuntista. Al final del texto encontramos una lista de problemas y cuestiones
abiertas sobre éstos, de los que destacamos el encontrar alguna caracterización para
los espacios débil Asplund, o para los espacios diferenciables Gâteaux. Un espacio
de Banach es diferenciable Gâteaux si cada función convexa y continua es diferenciable
Gâteaux en un subconjunto denso. Cuando C(K) es débil Asplund el compacto K debe
ser sucesionalmente compacto y contener un Gδ denso y completamente metrizable,
[F].
Compacto disperso ⇐⇒ C(K) es de Asplund
Compacto de Radon Nikodyn
Compacto quasi Radon Nikodyn
Compacto fragmentable
Compacto de Stegall
(BC(K)∗ , w∗) de Stegall
C(K) debil Asplund
?
?
?
?
z
9
Diagrama 1.6.1.
En el diagrama 1.6.1 completamos la rama de la derecha del diagrama 1.1.1.
En lo que queda de este sección, veremos algunos contraejemplos que diferencien
clases de espacios aquí presentados. El primero de ellos diferencia las dos ramas del
diagrama 1.1.1 en sus niveles más extremos y se debe a R. Haydon, [Hay].
Ejemplo 1.6.2. Compacto disperso que no es compacto de Namioka.
En el ejemplo 1.2.6 hemos introducido la noción de árbol, pero para este ejemplo
daremos una noción de árbol que generaliza a la anterior. Un árbol T es un conjunto
1. COMPACTOS QUE SURGEN DEL ANÁLISIS FUNCIONAL 31
parcialmente ordenado (T,≤) de manera que para cada t ∈ T , el conjunto s ∈ T ;s ≤ t
está bien ordenado por ≤ (capítulo VI sección 9 [De-Go-Z]). Para facilitar la notación,
introduciremos dos elementos 0 e ∞, que no están en T , de manera que 0 < t < ∞ para cada
t ∈ T . Usaremos también la noción de intervalo. Por lo tanto si s, t ∈ T , entonces (s, t] =
u ∈ T ;s < u ≤ t, mientras que (0,s] = u ∈ T ;u ≤ s. Para cada t ∈ T , denotaremos por
r(t) al único ordinal que tiene el mismo tipo de orden que (0, t). La altura h(T ) de T está
definida por h(T ) = supr(t)+ 1; t ∈ T. Identificaremos con frecuencia un ordinal con
el conjunto de sus predecesores.
Asumiremos siempre que el árbol T es Hausdorff, es decir, si (0, t) = (0, t ′) y r(t) =
r(t ′) es un ordinal límite, entonces t = t ′. Dos elementos s, t de T son incomparables si no
se cumplen s≤ t ni t ≤ s. Los subconjuntos totalmente ordenados de T se llaman cadenas,
y las cadenas maximales se llaman ramas. Los subconjuntos de T cuyos elementos son
mutuamente incomparables se llaman anticadenas.
Dotamos a T de la topología más débil τ para la cual todos los intervalos (0, t] son
abiertos y cerrados. El árbol (T,τ) es un espacio localmente compacto y disperso cuando
le dotamos de esta topología, el cual es Hausdorff ya que T es un árbol Hausdorff. Además
identificaremos T = T ∪∞ con la compactificación de Alexandrov de T , y denotaremos
por C0(Λ) al espacio de funciones continuas f sobre T tal que f (∞) = 0.
Sea Λ el conjunto formado por todas las aplicaciones t de ordinales α = dom(t) (nece-
sariamente α < ω1) en ω0, tal que ω0 \ Im(t) es infinito. El ordenamiento de Λ está dado
por:
t ≤ t ′ si dom(t ′) ≤ dom(t) y t|dom(t ′) = t ′
Se tiene que Λ es un árbol, y para cada t ∈ Λ, el conjunto t+ es infinito numerable. En-
tonces se cumple que la compactificación de Alexandrov Λ de Λ es un compacto disperso
que no es compacto de Namioka.
DEMOSTRACIÓN: Vamos a dotar al árbol Λ de una topología H de manera que (Λ,H )
sea un espacio topológico de Baire. Para t ∈ Λ, un sistema fundamental de H −entornos
de t consiste en los conjuntos
N(t,F) = u ∈ Λ;u ≥ t y F ∩ Im(u) = φ
donde F es cualquier subconjunto finito de N\ Im(t).
Sea Onn una familia numerable de H −abiertos densos y sea N(t0,F0) un conjunto
H −abierto básico. Como O1 es denso en Λ, existirá t1 ∈N(t0,F0)∩O1, y un subconjunto
32 1.6 PROPIEDADES DE DIFERENCIABILIDAD
finito F1 ⊂ N \ Im(t1) tal que N(t1,F1) ⊂ N(t0,F0)∩ O1. Como N \ Im(t1) es infinito,
podemos suponer que F1 contiene estrictamente a F0.
Construimos por inducción una sucesión creciente tn en Λ, y un sucesión creciente
(Fn) de subconjuntos finitos de N tal que para cada n ≥ 1,
N(tn,Fn) ⊂ N(tn−1,Fn−1)∩On (1)
El conjunto I =∪Fn;n ≥ 0 es infinito ya que la sucesión (Fn) es estrictamente creciente
e Im(tn)∩ I = φ para cada n. Se sigue que t = sup(tn) existe en Λ, y por (1)
t ∈ N(t0,F0)∩⋂
On;n ≥ 1
De donde (Λ,H ) es un espacio de Baire.
Para acabar la prueba consideramos la aplicación
ϕ : (Λ,H ) 7→ (C0(Λ),τp)
definida por ϕ(t) = 1(0,t], que es continua. Y además, ‖ ϕ(t)−ϕ(s) ‖∞= 1 para todo s 6= t
por lo que Λ no es compacto de Namioka.
Compactos sobre árboles han sido estudiados recientemente por R. Haydon, [Hay],
para suministrar contraejemplos a muchas de las implicaciones descritas aquí. Por ejem-
plo un espacio de la forma c0(ϒ), donde ϒ es un árbol determinado, suministra el primer
ejemplo de compacto disperso K tal que C(K) no admite norma equivalente Fréchet
ni Gâteaux diferenciable, ni admite tampoco norma equivalente LUR. M. Jiménez y
J. P. Moreno ([Ji-M]) han considerado por su parte el s-espacio disperso y compacto que
bajo la hipótesis del continuo construye Kunen (ver [Ne], p. 1123) para ver también un
ejemplo con estas patologías.
Para ver un ejemplo de un compacto de Radon Nikodým que no sea disperso basta
considerar el compacto [0,1]. Además para obtener un ejemplo de un compacto frag-
mentable que no sea "quasi" Radon Nikodým basta considerar el ejemplo 1.2.6, es
decir el compacto de Gul’ko que no es de Talagrand. El teorema 1.6.1 asegura que no
puede ser compacto de quasi Radon Nikodým, y como consecuencia de los trabajos de
G. Gruenhage ([Gr3]) y N. K. Ribarska (ver teoremas 1.7.1 y 1.5.1 [Ri3]) se observa que
todo compacto de Gul’ko es fragmentable (ver diagrama 1.7.1).
1. COMPACTOS QUE SURGEN DEL ANÁLISIS FUNCIONAL 33
1.7 Interacción entre propiedades topológicas y de
diferenciabilidad
Hemos presentado en los diagramas anteriores dos líneas de abstracción; una
basada en propiedades estructurales y topológicas de interacción entre topologías
débiles y de la norma en espacios de Banach, que comienza por los compactos metriz-
ables y los espacios de Banach separables y termina con los compactos con la propiedad
de Namioka y los espacios de Banach σ -fragmentables; y la otra basada en el estu-
dio de propiedades de diferenciabilidad de funciones convexas, que comienza con los
compactos dispersos y los espacios de Asplund para terminar en los espacios débil As-
plund. Ambas líneas de abstracción están bien separadas desde el principio y hemos
descrito un ejemplo de R. Haydon (ejemplo 1.6.2) con un compacto disperso que no tiene
la propiedad de Namioka. Diversos resultados han ido estableciendo la interrelación entre
ambas cuestiones, y así por ejemplo el teorema de J. Orihuela, W. Schachermayer y M.
Valdivia [O-S-V] asegura que un compacto K es de Eberlein si, y sólo si, es de Corson
y de Radon Nikodým, resultado que ha mejorado A. Arvanitakis en 20002, [Arv] (ver
teorema 1.6.1).
Muy recientemente R. Deville, G. Godefroy y V. Zizler han demostrado que un com-
pacto K es de Eberlein uniforme si, y solamente si, C(K) admite una norma equiv-
alente uniformemente Gâteaux diferenciable, [F-Go-Z]. Para un compacto de Eber-
lein K que el espacio C(K) es débil Asplund está probado por E. Asplund en [As]. De
hecho, C(K) admite una norma equivalente Gâteaux diferenciable para K compacto
de Eberlein ([H-Hj-Z] y [F-H-Ha-Mon-P-Z]) y cualquier espacio de Banach con nor-
ma Gâteaux diferenciable es débil Asplund, como probaron D. Preiss, I. Namioka y B.
Phelps ([Pr-Na-Ph]), más tarde N. K. Ribarska observó cómo la bola dual es un com-
pacto fragmentable en este caso también, [Ri2]. En un espacio C(K) débil Asplund,
K contiene un Gδ denso metrizable, propiedad que para un compacto de Eberlein se
sigue de su fragmentabilidad también, siendo así que M. Talagrand se preguntaba si
cualquier compacto de las clases que él había introducido, esto es Talagrand y Gul’ko,
tendría un subconjunto Gδ denso metrizable. En un trabajo con gran repercusión en
nuestro esquema, G. Gruenhage resolvió afirmativamente la cuestión en 1987 [Gr3],
probando que los compactos de Gul’ko tienen esta propiedad. La construcción de Gruen-
hage está basada en el estudio de un tipo de familias denominadas σ−distributivamente
puntualmente finitas. Esto dio lugar, a posteriori, a la definición de los espacios de Gruen-
34 1.7 PROPIEDADES TOPOLÓGICAS Y DE DIFERENCIABILIDAD
hage. Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto es σ−distributivamente
puntualmente finita si A = ∪An;n ∈ N, de manera que, para cada par de puntos dis-
tintos x,y ∈ X , existe n ∈ N tal que existe A ∈ An que contiene exactamente a un de los
puntos x o y; y además, o bien ord(x,An) = |B ∈An;x ∈ B|, o bien ord(y,An) es finito.
Un espacio topológico compacto K es compacto de Gruenhage si admite un cubrimiento
abierto T0-separador de K y que es σ−distributivamente puntualmente finito.
N. K. Ribarska obtiene una caracterización para los espacios topológicos de Gruenha-
ge, que es análoga a la caracterización obtenida para los compactos fragmentables (teore-
ma 1.5.1).
Una familia bien ordenada U = Uξ ;1 ≤ ξ ≤ ξ de subconjuntos de un espacio
topológico es una partición de X G-relativamente abierta si se cumplen las siguientes
condiciones:
(i) U1 es abierto en X .
(ii) Uξ ;2≤ ξ < ξ es una familia disjunta de subconjuntos abiertos relativos en X \U1.
(iii) Uξ = X \ (∪Uξ ;ξ < ξ).La familia U se dice una partición σ−G-relativamente abierta de X si existen parti-
ciones G-relativamente abiertas Un de X , n = 1,2, . . . , tal que U = ∪nUn.
Podemos enunciar ya la caracterización de Ribarska [Ri];
Teorema 1.7.1. Un espacio topológico es de Gruenhage si, y sólo si, admite una parti-
ción σ−G-relativamente abierta y que T0-separa puntos.
Vemos pues cómo los compactos de Gruenhage proporcionan un camino de conex-
ión entre los compactos de Gul’ko y los compactos fragmentables. Todo compacto de
Gul’ko es de Gruenhage y estos son compactos fragmentables. En [Arg-Me], Argyros y
Mercourakis proporcionan un ejemplo de un compacto de Corson y de Gruenhage que
no es de Gul’ko y responde a una pregunta planteada por el propio Gruenhage. Las otras
dos preguntas planteadas por Gruenhage en [Gr3] se refieren a propiedades de cubrimien-
to relacionadas con los compactos de Gul’ko y como expresamos en la introducción las
resolvemos en la presente memoria.
Una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X se dice que es aislada si
cada punto de ∪A;A ∈A tiene un entorno que corta como mucho a un elemento de A ,
es decir, A;A ∈ A es discreto en su unión. Una familia A de subconjuntos de un es-
pacio topológico X se dice que es σ -aislada, si se puede expresar como unión numerable
de familias aisladas. Un espacio topológico compacto K es un compacto descriptivo si
1. COMPACTOS QUE SURGEN DEL ANÁLISIS FUNCIONAL 35
tiene una network σ−aislada. Los compactos descriptivos fueron introducidos por R. W.
Hansell en su manuscrito de 1989 [Ha] y han sido estudiados en detalle en [On-R].
Que todo compacto descriptivo es de Gruenhage se sigue del estudio hecho en [On-R]
junto con las caracterizaciones de Ribarska [Ri3] donde se prueba que si un espacio
topológico (X ,τ) admite una métrica d con topología más fina que τ y tal que (X ,τ)
tenga la propiedad d-SLD, entonces es de Gruenhage. Que los compactos descriptivos
admiten dicha métrica se sigue de [On-R].
L. Oncina [On2], ver también [M-O-T-V], establecen que un espacio de Banach es
descriptivo si, y sólo si, tiene la propiedad JNR. En particular prueban el siguiente
teorema:
Teorema 1.7.2. Un subconjunto A de un espacio normado tiene la propiedad JNR si, y
sólo si, A tiene una network para la norma que es σ−aislada para la topología débil.
DEMOSTRACIÓN: [Veamos la prueba de la implicación ⇒] Haremos la prueba para todo
el espacio, supongamos pues que un X tiene la propiedad JNR. Primero probaremos que
si A es una familia discreta en X , entonces podemos descomponer cada A ∈ A de man-
era numerable A =⋃∞
p=1 Ap de forma que las familias Ap;A ∈ A son aisladas para la
topología débil y cada p = 1,2, . . . . Sea X (m) el conjunto de puntos de x ∈ X para los que
el cardinal del conjunto
A ∈ A ;B(x;1/m)∩A 6= φ
es menor o igual a uno. Por la discretitud de A tenemos que X = ∪mX (m). Además,
por la hipótesis, se sigue que para cualquier m ≥ 1 podemos descomponer X = ∪nXm,n
donde para cualquier x ∈ Xm,n existe un débil abierto V que contiene a x y además el
diam(V ∩Xm,n) < 1/m. Entonces para cualquier A ∈ A definimos
Am,n := A∩Xm,n ∩X (m)
y se tiene que A = ∪m,nAm,n. Además de la definición de estos conjuntos se tiene que la
familia Am,n;A ∈ A es aislada para la topología débil.
Ahora como todo espacio métrico tiene una base σ−discreta, podemos fijar una base
B = ∪nBn para la topología dada por la norma donde cada subfamilia Bn es discreta en
X . Ahora, para cada B ∈ Bn podemos descomponer B = ∪pBp donde Bp;B ∈ Bn es
aislada para la topología débil. Entonces la familia
⋃
n
⋃
p
Bp,B ∈ Bn
36 1.7 PROPIEDADES TOPOLÓGICAS Y DE DIFERENCIABILIDAD
es una network para la topología dada por la norma y es σ−aislada para la topología débil.
El teorema 1.7.2 conecta la propiedad Kadec (ver diagrama 1.5.1) con la existencia
de este tipo de networks estudiadas por Hansell en [Ha2]. Así vemos que si un espa-
cio de Banach X tiene una norma equivalente Kadec, entonces tiene una network
para la norma σ−aislada en la topología débil. El recíproco sigue siendo, actual-
mente, un problema abierto del máximo interés. Su verificación proporcionaría una
caracterización de la renormabilidad de Kadec con la que los métodos de transferencia
de [M-O-T-V3] serían aplicables y los problemas planteados por ejemplo en [Bu-K-To]
podrían resolverse.
Aunque no se dice explícitamente, en [M-O-T-V] también obtienen el siguiente resul-
tado (ver [M-O-T-V3]):
Teorema 1.7.3 (Moltó-Orihuela-Troyanski-Valdivia, 2002, [M-O-T-V3]). Un espacio
normado tiene la propiedad sJNR si, y sólo si, tiene network para la topología dada por
la norma que es σ−aislada respecto a semiespacios.
Respecto a este último resultado diremos que en el corolario 3.5.8 (teorema 15 de la
introducción), obtenemos una generalización, en el sentido de pasar de familias "aisladas"
a "localmente finitas", como ya dijimos en la introducción.
Cualquier espacio con una network σ−aislada tiene propiedades de cubrimiento. En
particular es hereditariamente débilmente θ−refinable (o hereditariamente débilmente
submetacompacto), es decir, cada colección de conjuntos abiertos (no necesariamente un
cubrimiento) tiene un refinamiento σ−aislado.
Un espacio topológico compacto K es compacto de Namioka-Phelps si es homeo-
morfo a un subconjunto débil estrella compacto de un espacio de Banach dual que tiene
una norma dual LUR. Se cumple que un compacto es de Namioka-Phelps si, y sólo si,
es descriptivo es de Radon-Nikodým. Además un compacto es de Namioka-Phelps
si, y sólo si, es hereditariamente débilmente θ−refinable y es compacto de Radon-
Nikodým. De hecho, ser hereditariamente débilmente θ -refinable y σ -fragmentable por
una métrica d equivalen a tener la propiedad d-SLD como R. Hansell puso de manifiesto
a través del concepto de espacio descriptivo ([M-O-T-V], [On2]).
En este último tipo de compactos aparece, de nuevo, la conexión con renormamientos.
Veamos en el siguiente diagrama la relación de estos nuevos compactos, entre ellos y
con los estudiados previamente. Cuando ponemos C(K) es τp− < LUR > significa que,
1. COMPACTOS QUE SURGEN DEL ANÁLISIS FUNCIONAL 37
C(K) admite una norma equivalente τp−inferiormente semicontinua y LUR. El resultado
para compactos de Namioka-Phelps ha sido recientemente obtenido por R. Haydon y en
su prueba las propiedades de tipo network han sido determinantes. Para un espacio de
Banach este resultado significa que si X∗ tiene una norma dual LUR, entonces X admite
una norma equivalente LUR.
Numerable ⇔ Disperso + Metrizable
Namioka-Phelps
quasi Radon Nikodym+
Corsonm
Eberlein
⇔Radon Nikodym
+Descriptivo
Descriptivo
Gruenhage
Gul’ko
C(K) es τp− < LUR >
Radon-Nikodym
Fragmentable
?
?
?
* ^
^R
Diagrama 1.7.1.
La siguiente propiedad ha sido estudiada por L. Oncina [On3]: un espacio topológico
(X ,τ) se dice que tiene la propiedad LSP si existe una métrica d sobre X generando una
topología más fina que τ de manera que para cualquier x∈X existe un conjunto numerable
S(x) conteniendo a x tal que
Aτ⊂ ∪S(x);x ∈ A
d
para cualquier subconjunto A ⊂ X . Un compacto K de Radon-Nikodým es de Eberlein
si, y sólo si, K tiene la propiedad LSP ([On3]); y para un espacio de Banach X para el
que existe un espacio de Asplund E y una aplicación T : E 7→ X con T (E)‖·‖
= X son
38 1.7 PROPIEDADES TOPOLÓGICAS Y DE DIFERENCIABILIDAD
equivalentes ser de generación débilmente compacta y el que (BX∗,w∗) tenga la LSP.
Además un espacio de Banach X es Asplund y de generación débilmente compacta si,
y solamente si, BX∗ tiene la LSP con la métrica asociada a la norma del dual [On4].
Vemos pues como esta LSP es una propiedad de conexión entre las propiedades descritas
para las dos ramas de nuestro diagrama (diagramas Int. I, 1.1.1 y 1.6.1). Más aún en
su reciente trabajo, Dow, Junnila y Pelant [D-J-P2] han caracterizado la LSP sobre un
espacio topológico (X ,τ) por tener network σ -disjunta y puntualmente numerablemente
extendible, lo que entre otras cosas permite demostrar que todo compacto de Gul’ko tiene
la propiedad LSP y que todo compacto con la LSP es de Corson, al mismo tiempo que nos
ha servido para obtener caracterizaciones con “networks extendibles” para los compactos
de Gul’ko que vamos a presentar en el siguiente capítulo.
Caso particularmente relevante de interrelación entre las dos ramas de nuestro diagra-
ma es, por ejemplo, cuando el espacio de Banach X admite norma LUR y su dual norma
dual LUR, esto es, espacios de Asplund con bola dual descriptiva y renormables LUR,
[R4], [M-O-T-V], [On-R], en los que se verifica el teorema de H. Torunczyk, [Tor], de
aproximación uniforme de funciones continuas por funciones de clase C1, así como la
existencia de particiones de la unidad de clase C1 subordinadas a cualquier cubrimiento
abierto del espacio de Banach X . Remarquemos que es un problema abierto de gran in-
terés dilucidar si C(K) es renormable LUR para cualquier espacio compacto descriptivo
K.
2Networks para distintas clases de
espacios compactos.
Networks para distintas clases deespacios compactos.
Los espacios "métricos generalizados" son clases de espacios topológicos definidos
por alguna propiedad que poseen todos los espacios métricos y que hace que sean, de
alguna forma, cercanos a los espacios métricos, ver [Gr]. Así, por ejemplo, el teorema
de Bing-Nagata-Smirnov, [E], nos dice que los espacios métricos se caracterizan por el
hecho de tener una base σ−discreta de su topología. Se definen los σ−espacios como
los espacios topológicos con una network σ−discreta, la clase de los σ−espacios son un
claro ejemplo de espacio métrico generalizado. Estudiaremos en este capítulo las distintas
clases de espacios compactos del diagrama Int. II (Introducción) a través de propiedades
de espacios métricos generalizados. Como consecuencia de nuestro análisis respondere-
mos las cuestiones que quedaban pendientes en el trabajo de G. Gruenhage [Gr3] en la
sección 4 de este capítulo.
2.1 Compactos metrizables
Definición 2.1.1. Una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X se dice que
es:
40 2.1 COMPACTOS METRIZABLES
(i) Discretamente extendible si tiene una extensión abierta discreta, es decir, existe una
familia de abiertos U = UA;A ∈ A cumpliendo que A ⊂UA para todo A ∈ A y,
para cada x ∈ X, existe un abierto V 3 x tal que
|A ∈ A ;V ∩UA 6= φ| ≤ 1
(ii) σ−Discretamente extendible si se puede escribir
A =∞⋃
n=1
An
tal que cada subfamilia An tiene una extensión abierta discreta.
El siguiente resultado caracteriza los compactos metrizables a través de tipos de net-
work y recoge hechos bien conocidos [Gr]. Los incluimos aquí como motivación a nue-
stros resultados posteriores. Este resultado es, esencialmente, el teorema de Sneider (1945)
[Gr]. Damos la prueba para que el trabajo sea autocontenido.
Teorema 2.1.2. Para un espacio topológico compacto K, son equivalentes:
(i) K es metrizable.
(ii) K tiene una network σ−discretamente extendible.
(iii) K tiene una network σ−discreta.
(iv) La diagonal de K, ∆ := (x,x);x ∈ K, es un Gδ en K2.
DEMOSTRACIÓN: (i) ⇒ (ii) Los compactos metrizables son compactos con base numer-
able para la topología, por el teorema de metrización de Urysohn [E], la base nos da la
network y la extensión.
(ii) ⇒ (iii) Se observa que una familia discretamente extendible es discreta y una
familia σ−discretamente extendible es σ−discreta.
(iii) ⇒ (iv) Como estamos trabajando en espacios topológicos regulares, no es restric-
tivo suponer que los elementos de la network N para K son cerrados, y la network sigue
siendo σ−discreta. Además, todo cerrado en K es un Gδ , veámoslo; Si H ⊂ K es cerrado,
definimos:
Un := K \∪N ∈ Nn;N ∩H = φ
donde N = ∪nNn. Entonces cada conjunto Un es abierto ya que cada subfamilia Nn es
discreta, y la unión de conjuntos cerrados de una familia discreta es un conjunto cerrado.
Además H =∩nUn; ya que H ⊂Un para todo n∈N, además si x∈∩nUn, sea U 3 x abierto,
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 41
entonces ∃N ∈Nn (para algún n) tal que x ∈ N ⊂U . Como x ∈Un y x ∈ N ⊂Nn, se tiene
que N ∩H 6= φ , por lo que U ∩H 6= φ , es decir, x ∈ H = H. Entonces si K tiene una
network σ−discreta, K2 tiene también una network σ−discreta y, aplicando el párrafo
anterior, la diagonal ∆ = (x,x),x ∈ K es un Gδ en K2.
(iv) ⇒ (i) Esta implicación es el teorema de Sneider (1945), teorema 2.13 de [Gr]. Por
hipótesis, podemos expresar ∆ = ∩nUn con Un ⊂ K2 abierto para todo n ∈ N.
Ahora, para cada x ∈ K y n ∈ N, sea G(n,x) un entorno abierto en K conteniendo a x
y tal que
G(n,x)×G(n,x) ⊂Un
Entonces Gn = G(n,x);x ∈ K es un cubrimiento abierto de K, por tanto tiene un sub-
cubrimiento finito, que denotaremos también por Gn (y trabajaremos con él a partir de
ahora). Además podemos asumir que Gn+1 refina a Gn para cada n ∈ N, ya que si éste
no fuera el caso, podríamos reemplazar Gn por G ′n = ∩i≤nGi;Gi ∈ Gi. Por regularidad y
compacidad, podemos suponer que dado U ∈ Gn, existirá V ∈ Gn−1 tal que U ⊂V .
Entonces si dado x ∈ K y n ∈ N definimos
St(x,Gn) = ∪G ∈ Gn;x ∈ G
se cumplirá que
x =+∞⋂
n=1
St(x,Gn) =+∞⋂
n=1
St(x,Gn) (2.1)
Comprobemos la primera igualdad, si y ∈ ∩+∞n=1St(x,Gn) entonces para cada n ∈ N pode-
mos elegir zn ∈ K tal que
(x,y) ∈ G(n,zn)×G(n,zn) ⊂Un
por lo que x = y. Para la segunda igualdad basta observar que
St(x,Gn) = ∪G;x ∈ G ∈ Gn ⊂ St(x,Gn−1)
Supongamos ahora que x ∈U , con U un abierto de K. Entonces
U∪K \St(x,Gn);n ∈ N
es un cubrimiento abierto de K (por la igualdad (2.1)), por lo que existe un subcubrimiento
finito. De esto se sigue que existe n ∈ N tal que St(x,Gn) ⊂U , veamoslo; por lo anterior
existen n1, . . . ,nl ∈ N (para algún l ∈ N) tales que la familia
U⋃
∪K \St(x,Gni); i ∈ 1, . . . , l
42 2.1 COMPACTOS METRIZABLES
cubre K. Supongamos entonces que para todo n ∈ N St(x,Gn) 6⊂ U , en ese caso para
cada n ∈N existirá un punto yn ∈ St(x,Gn)∩ (K \U). Como K \U es compacto, podemos
suponer que existe y∈K \U tal que lımn→∞ yn = y. Entonces y∈K \St(x,Gni0) para algún
i0 ∈ 1, . . . , l, por lo que existirá nl ∈ N tal que ∀n ≥ nl se tiene que yn ∈ K \St(x,Gni0),
pero esto es absurdo porque para todo n ≥ ni0 se cumple
yn ∈ St(x,Gn) ⊂ St(x,Gni0)
Por lo tanto G = ∪nGn es una base numerable para K, de lo que se concluye que K es
metrizable.
El resultado anterior es cierto también si suponemos que K es sólo numerablemente
compacto, (teorema 2.14 de [Gr], teorema de Chaber (1976)).
Veremos ahora qué propiedad de cubrimiento hereditaria caracteriza la metrizabili-
dad de compactos. Estudiaremos el teorema 2.6 de [Gr2] que afirma que un compacto
es metrizable si, y sólo si, su cuadrado es hereditariamente paracompacto, con el mismo
fin que el teorema anterior: encauzarnos en nuestros resultados posteriores para clases de
espacios compactos de las definidas en la introducción (diagrama Int.I).
Antes hay que estudiar algunas nociones y resultados previos.
Definición 2.1.3. Dado un ordinal infinito k, si X es un conjunto arbitrario con |X |= |k|,
fijamos un punto p ∈ X y definimos la topología τ que consiste en conjuntos de X que no
contienen a p y conjuntos de X que tienen complementario finito. Llamaremos al espacio
A(k) = (X ,τ) la compactificación por un punto de un espacio discreto de cardinalidad
|k|.
El siguiente resultado es el lema 2.5 de [Gr2].
Lema 2.1.4. Si k es un ordinal no numerable, entonces A(k)2 \∆ no es normal.
DEMOSTRACIÓN: Sea p el punto no aislado de A(k). Definimos
H := (x, p);x 6= p, K := (p,x);x 6= p
Entonces H y K son subconjuntos disjuntos y cerrados de A(k)2 \∆. Para comprobar que
son cerrados basta observar que
H = (A(k)×p)∩A(k)2 \∆ y K = (p×A(k))∩A(k)2 \∆
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 43
donde A(k)×p y p×A(k) son cerrados en A(k)2.
Supongamos ahora que U es un conjunto abierto conteniendo a H. Para cada x 6=
p, U contiene todos los puntos de x×A(k) salvo una cantidad finita. Por lo tanto, si
xn;n ∈ N es un subconjunto infinito numerable de A(k)\p, existe y ∈ A(k)\p tal
que (xn,y) ∈U para cada n ∈ N. Probemos esto último, para cada n ∈ N consideramos el
conjunto Yn infinito no numerable, tal que Yn ⊂ A(k)\ p, xn×Yn ⊂ U y A(k)\Yn es
finito. Ahora fijamos el conjunto Y = ∩∞n=1Yn que ha de ser no vacío (por cardinalidad)
y tomamos y ∈ Y (que será distinto a p), así (xn,y) ∈ U ∀n ∈ N. Probemos ahora que
(p,y) ∈ U ∩K, si V1 ×V2 es un abierto que contiene a (p,y), entonces A(k) \V1 ha de
ser finito, y por tanto, existe n ∈ N tal que xn ∈ V1, es decir, (xn,y) ∈ (V1 ×V2)∩U , así
U ∩K 6= φ . Por lo que H y K no pueden ser separados.
Para la prueba del teorema 2.6 de [Gr2], necesitaremos probar un teorema (teorema
2.1.9) del tipo teorema de Miscenko (teorema 284 de [H-Hj-Z]). Para la prueba del teore-
ma 2.1.9 son necesarios unos lemas previos y el estudio del concepto de ∆−sistema.
Definición 2.1.5. Una familia A de subconjuntos de un conjunto X se dice que es un
∆−sistema de raíz R ⊂ X, si para cada dos conjuntos distintos A,B ∈ A se cumple que
A∩B = R.
El siguiente resultado es un caso particular del resultado conocido como lema del
∆-sistema probado por Sanin (lema 2.4 de [Ho]).
Lema 2.1.6 (Lema del ∆-sistema). Sea A una familia no numerable de subconjuntos
finitos del conjunto X. Entonces existe una subfamilia no numerable B⊂A y un conjunto
finito R ⊂ X tal que B es un ∆−sistema de raíz R.
DEMOSTRACIÓN: No es restrictivo suponer que existe n > 0 un entero tal que cada ele-
mento de A tiene n elementos. Haremos la prueba por inducción sobre n, si n = 1 basta
considerar R = φ . Supongamos que n > 1 y que el teorema es cierto para n− 1. Sea A ′
una subfamilia maximal de A formado por conjuntos que son, dos a dos, disjuntos. Si A ′
es no numerable, se acaba la prueba tomando de nuevo R = φ . Supongamos pues que A ′
es numerable, por la maximalidad de dicha familia, existirá algún elemento p ∈ ∪A ′ que
está en una cantidad no numerable de conjuntos de A . La prueba se completa aplicando
la hipótesis de inducción a la familia A\p;A ∈ A , p ∈ A.
44 2.1 COMPACTOS METRIZABLES
Observación 2.1.7. El lema del ∆−sistema también es cierto si A es una familia nu-
merable formada por conjuntos de la misma cardinalidad. De hecho, la misma prueba
funciona con la siguiente adaptación: si A ′, subfamilia maximal de A formada por con-
juntos dos a dos disjuntos, es finita existirá algún p ∈ ∪A ′ que está en una cantidad
numerable de conjuntos de A y se completa la inducción como antes; en caso contrario
tomaremos B = A ′ y raíz R = φ .
En 1962, Miscenko probó que un espacio compacto con una base puntualmente nume-
rable tiene una base numerable. En 1968, Filippov generalizó este resultado probando que
un espacio Hausdorff es metrizable si, y sólo si, es un "p-espacio paracompacto" con una
base puntualmente numerable. Para probar este teorema Filippov usó un resultado com-
binatorio, ahora llamado lema de Miscenko, el cual fue sacado de la prueba de Miscenko.
Enunciaremos y probaremos un caso particular del lema de Miscenko (que es el resultado
mencionado en la primera linea) que utilizaremos en la prueba del teorema 2.1.9.
Lema 2.1.8. Sea A una familia de subconjuntos de X puntualmente numerable. En-
tonces el número de cubrimientos finitos y minimales de X formado por elementos de
A es numerable.
DEMOSTRACIÓN: Supongamos que el resultado no es cierto, y sea Aα una colección
no numerable de cubrimientos finitos minimales y distintos de X formados por elementos
de A . Por el lema del ∆−sistema (lema 2.1.6), podemos suponer que existe una subfamil-
ia B ⊂ A tal que Aα ∩Aβ = B cuando α 6= β . Además B no es un cubrimiento de X ,
para ver esto basta elegir α tal que Aα 6= B y usar el hecho de que Aα es un cubrimiento
minimal de X . Fijemos p 6∈ ∪B. Para cada α elegimos Aα ∈ Aα tal que p ∈ Aα . Sean
α , β distintos, como p 6∈ ∪B y Aα ∩Aβ = B, se sigue que Aα 6= Aβ . Como consecuen-
cia p estará en una cantidad no numerable de elementos de A , lo cual nos lleva a una
contradicción, y se concluye la prueba.
Teorema 2.1.9. Un espacio topológico compacto K es metrizable si, y sólo si, tiene una
familia A puntualmente numerable formada por subconjuntos abiertos de K que es T1-
separadora.
DEMOSTRACIÓN: Veamos que la condición necesaria. Sea (K,d) el espacio métrico com-
pacto, denotamos por An una familia finita formada por las bolas abiertas de radio 1n que
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 45
cubren K. Si definimos A = ∪n∈NAn hemos acabado porque cumple las condiciones del
enunciado.
Probamos ahora la condición suficiente. Para ello seguimos la prueba del teorema 7.6
de [Gr] (donde sólo se supone que K es numerablemente compacto). Vamos a comprobar
que K2 tiene una Gδ diagonal (con lo cual obtendremos el resultado al aplicar el teorema
2.1.2). Primero notemos que K2 tiene un cubrimiento abierto puntualmente numerable y
T1-separador, que denotaremos por U . Siendo ∆ la diagonal de K2, consideramos:
V := ∪U′ : U
′ ⊂ U es un cubrimiento finito y minimal de ∆
Aplicando el lema 2.1.8, se tiene que V es numerable. Por lo tanto queda probar que
∆ = ∩V . Supongamos que p ∈ K2 \ ∆. Para cada x ∈ ∆, elegimos Ux ∈ U con x ∈
Ux ⊂ K2 \ p. Entonces Ux;x ∈ ∆ es un cubrimiento abierto de ∆, además como ∆es homeomorfo a K (y por lo tanto compacto) podemos asegurar que Ux;x ∈ ∆ con-
tiene un subcubrimiento finito y minimal que denotaremos por U ′. Como consecuencia
∆ ⊂ ∪U ′ ⊂ K2 \p y, por lo tanto, p no puede estar en ∩V .
Precisamos el siguiente resultado (ver teorema 5.1.27 de [E]):
Proposición 2.1.10. Todo espacio topológico (X ,τ) que sea localmente compacto y para-
compacto, tiene una partición Sαα∈I tal que cada Sα es abierto y σ−compacto.
DEMOSTRACIÓN: Para cada x ∈ X elegimos un entorno Ux de x tal que su clausura es
compacta, y tomamos un refinamiento abierto y localmente finito V , del cubrimiento
Uxx∈X de X . Para cada V ∈ V y cualquier x ∈V existe un entorno Wx de x que corta sólo
a una cantidad finita de miembros de V . Como V ⊂V ⊂∪Wx;x∈V y V es compacto, el
conjunto V está contenido en una unión finita de conjuntos de la familia Wxx∈X . Por lo
tanto cada V ∈ V corta sólo a una cantidad finita de miembros de V . Fijado un elemento
V0 ∈ V , consideramos la subfamilia Sk(V0) ⊂ V formada por aquellos conjuntos V ∈ V
para los cuales existe una sucesión V1,V2, . . . ,Vk de miembros de V tal que Vk = V y
Vi ∩Vi+1 6= φ para i = 0,1, . . . ,k − 1; además definimos S (V0) = ∪Sk(V0);k ≥ 1 y
el conjunto abierto S(V0) = ∪S;S ∈ S (V0) ⊂ X . Se observa que las familias Sk(V0)
son todas finitas, lo que implica que S (V0) son familias numerables. Además para V0 y
V ′0 ∈ V , los conjuntos S(V0) y S(V ′
0) o bien coinciden, o son disjuntos. De esto se deduce
que los conjuntos S(V0) son también cerrados, y de la igualdad S(V0) = S(V0) se tiene que
S(V0) = V ;V ∈ S (V0), por lo que es σ−compacto.
El siguiente resultado es el teorema 2.6 de [Gr2]:
46 2.1 COMPACTOS METRIZABLES
Teorema 2.1.11. Para un espacio topológico compacto K, son equivalentes:
(i) K es metrizable.
(ii) K2 \∆ es paracompacto.
(iii) K2 es hereditariamente paracompacto.
DEMOSTRACIÓN: (i) ⇒ (iii) Aplicamos el teorema de A. H. Stone, en el que se prueba
que todo espacio métrico es paracompacto, ( teorema 4.4.1 de [E]).
(iii) ⇒ (ii) No hay nada que probar.
(ii) ⇒ (i) Supongamos que K2 \∆ es paracompacto, pero K no es metrizable. Por la
proposición 2.1.10 existirá una partición Sα ;α ∈ I de K2 \∆, tal que cada Sα es abierto
y σ−compacto. Para cada α , existen abiertos disjuntos Uα,n y Vα,n, n ∈ N, de K tal que
Sα =+∞⋃
n=1
Uα,n ×Vα,n
Definimos la familia
W = Uα,n;α ∈ I,n ∈ N∪Vα,n;α ∈ I,n ∈ N
Entonces W distingue fuertemente puntos de K, esto es, es T1-separadora ya que si x 6= y,
elegimos α,n tal que (x,y) ∈ Uα,n ×Vα,n; entonces x ∈ Uα,n ⊂ K \ y. Ya que K no es
metrizable, la familia W no puede ser puntualmente numerable por el teorema 2.1.11. Por
lo tanto, sin pérdida de generalidad, existe un punto x ∈ K, un subconjunto no numerable
A ⊂ I, y n(α) ∈ N para cada α ∈ A, tal que
x ∈⋂
α∈A
Uα,n(α)
Consideramos la colección V = Vα,n(α);α ∈ A. Ya que Uα,n(α) ×Vα,n(α);α ∈ A
es una colección discreta en K2 \∆, entonces V es discreta en K \ x. Por lo tanto si
elegimos puntos y(V ) ∈V para cada V ∈ V , entonces Y = x∪y(V );V ∈ V es home-
omorfo a la compactificación por un punto de un espacio discreto no numerable, y por el
lema 2.1.4 Y 2 \∆ no es normal. Por otro lado Y 2 \∆ es un subconjunto cerrado de K2 \∆,
por tanto paracompacto, entonces Y 2 \∆ es normal, [E], lo que es absurdo. Se concluye
pues que K debe ser metrizable.
Resumimos en el siguiente corolario el tipo de propiedades que trataremos de analizar
en el caso no metrizable para algunas de las clases de compactos introducidos en la intro-
ducción (diagrama Int. I), como los compactos de Eberlein, Eberlein uniforme, Talagrand
y Gul’ko.
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 47
Corolario 2.1.12. Para un espacio topológico compacto K, son equivalentes:
(i) K es metrizable.
(ii) K2 \∆ es paracompacto.
(iii) K2 es hereditariamente paracompacto.
(iv) K tiene una network σ−discreta.
2.2 Compactos de Eberlein
A. Dow, H. Junnila y J. Pelant estudian en [D-J-P2] condiciones sobre networks para
que caractericen a la propiedad LSP introducida por L. Oncina en [On3, On4] y en su
análisis del caso compacto sitúan dicha propiedad entre los compactos de Gul’ko y los
compactos de Corson, extendiendo el resultado de L. Oncina [On3] y planteándose car-
acterizaciones intermedias. Es nuestro propósito en esta sección analizar sus aportaciones
para los compactos de Eberlein ya que sobre ellas están fundamentadas nuestros resulta-
dos posteriores. En particular se da la siguiente definición.
Definición 2.2.1. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico
es:
(i) Puntualmente finitamente extendible si A tiene un extensión abierta puntualmente
finita, es decir, existe una familia UA;A ∈ A de conjuntos abiertos tales que se
cumple A ⊂ UA para cada A ∈ A y, para cada, x ∈ X la familia A ∈ A ;x ∈ UA
es finita.
(ii) σ−Puntualmente finitamente extendible si podemos escribir:
A =⋃
n∈N
An
donde cada subfamilia An tiene una extensión abierta puntualmente finita.
Este último concepto va a servir para caracterizar a los compactos de Eberlein, tal
y como se recoge en el reciente trabajo [D-J-P2]. El siguiente resultado es el lema 4.16
de [D-J-P2], aunque la prueba que presentamos aquí va más en la línea de la prueba del
teorema 7.5 de [Ha]. Esta prueba pone de manifiesto propiedades de esta network y de
su extensión que utilizaremos en las secciones siguientes donde presentamos nuestras
aportaciones originales.
48 2.2 COMPACTOS DE EBERLEIN
Teorema 2.2.2. Para cualquier conjunto Γ 6= φ los espacios topológicos (c0(Γ),w) y
(c0(Γ),τp) tienen una network σ−puntualmente finitamente extendible.
DEMOSTRACIÓN: Fijamos una base numerable I= In;n = 1,2, . . . para la topología de
R \ 0 formado por intervalos abiertos de manera que para cada n existe un ε > 0 tal
que, o bien In ⊂ (−∞,−ε), o In ⊂ (ε,+∞). Fijamos un n ∈ N y los primeros n elementos
de I; i.e. In := I1, I2, . . . , In. Para cada Λ ⊂ Γ, |Λ| ≤ n consideraremos aplicaciones ϕ :
Λ −→ In , es decir elegimos "puertas" de In para cada elemento γ ∈ Λ, y necesitamos sólo
conjuntos finitos, |Λ| < +∞, para describir la topología τp. Por tanto consideramos, para
cada n ∈ N fijado,
Mn := (Λ,ϕ);Λ ⊂ Γ, |Λ| ≤ n y ϕ : Λ −→ In
y definimos para (Λ,ϕ) ∈ Mn el conjunto τp−abierto
R(Λ,ϕ) := c0(Γ)∩∏γ∈Γ
Rγ donde Rγ =
ϕ(γ) si γ ∈ Λ,
R en otro caso.
Más aún, para cada m ∈ N definimos
Rm(Λ,ϕ) := c0(Γ)∩∏γ∈Γ
Rγ donde Rγ =
ϕ(γ) si γ ∈ Λ,
(−1/m,1/m) en otro caso
y tenemos
· · ·Rm+1(Λ,ϕ) ⊂ Rm(Λ,ϕ) ⊂ ·· · ⊂ R(Λ,ϕ)
y la familia
Rn := R(Λ,ϕ);(Λ,ϕ) ∈ Mn
está formada por subconjuntos τp−abiertos de c0(Γ) y es una familia puntualmente finita
en c0(Γ) para cada n ∈ N. Esto es cierto debido a que las "puertas" que se pueden elegir
con los conjuntos abiertos de la familia Rn están sólo en el conjunto finito In = I1, · · · , In
y cada I j ∈ In no contiene al 0. Definimos para m,n ∈ N
Rm,n := Rm(Λ,ϕ);(Λ,ϕ) ∈ Mn
y se tiene que ∪∞m,n=1Rm,n es una base para la topología de la norma ‖ · ‖∞ en c0(Γ) y
cada familia Rm,n tiene por extensión a la familia Rn que está formado por conjuntos
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 49
τp−abiertos y es una familia puntualmente finita en c0(Γ). De hecho, si f ∈ c0(Γ) y
m ∈ N, si ‖ f‖∞ < 1m , tomamos Λ = /0, en otro caso definimos
Λ = γ1,γ2, . . . ,γk = γ ∈ Γ : | f (γ)| ≥1m
y elegimos Ini ∈ I para i = 1,2, . . . ,k, tal que
f (γi) ∈ Ini ⊂ ( f (γi)−1m
, f (γi)+1m
).
Sea n = maxk,n1,n2, . . . ,nk y definimos ϕ : Λ →I1, I2, . . . , In tal que ϕ(γi) = Ini para
i = 1,2, . . . ,k. Entonces (Λ,ϕ) ∈ Mn y
f ∈ Rm(Λ,ϕ) ⊂ B‖·‖∞( f ,1m
).
Por lo tanto tenemos que N = ∪∞m,n=1Rm,n es una network σ -puntualmente finitamente
extendible en (c0(Γ),τp).
Hagamos ahora la construcción para (c0(Γ),w). Ya que en c0(Γ) coinciden las topolo-
gías puntual y débil sobre los conjuntos acotados, para cada k ∈ N consideramos el con-
junto Bk = f ∈ c0(Γ);‖ f ‖∞≤1k. Entonces la familia
N∗ := N ∩Bk;k ∈ N,N ∈ N
es una network para (c0(Γ),w), ya que si f ∈ c0(Γ) y V es un débil abierto conteniendo
a f , entonces existirá un k ∈ N tal que f ∈ V ∩Bk. Como en Bk coinciden las topologías
débil y puntual, se tiene que existe N ∈ N tal que
f ∈ N ∩Bk ⊂V ∩Bk ⊂V
Además esta familia N ∗ es σ−finitamente puntualmente extendible (incluso para la
topología puntual), ya que la misma extensión del caso anterior sirve ahora.
La propiedad de cubrimiento ligada de forma natural con este tipo de networks es la
σ−metacompacidad. Recordemos que un espacio topológico es metacompacto si de cada
cubrimiento abierto del espacio podemos obtener un refinamiento abierto puntualmente
finito. Un espacio topológico es σ−metacompacto si cada cubrimiento abierto del espacio
tiene un refinamiento abierto σ−puntualmente finito.
Notemos ahora que tenemos la siguiente relación entre network extendible y meta-
compacidad.
50 2.2 COMPACTOS DE EBERLEIN
Teorema 2.2.3. Si un espacio topológico (X ,τ) tiene una network σ−puntualmente fini-
tamente extendible, entonces es hereditariamente σ−metacompacto.
DEMOSTRACIÓN: Sea N = ∪Nn : n ∈ N la network para X σ -puntualmente finita-
mente extendible, y tenemos que para cada N ∈ N un abierto UN ⊃ N y para cada n ∈ N
la familia UN ;N ∈ Nn es puntualmente finita.
Fijamos una familia V de subconjuntos abiertos de X . Si Ω = ∪V y x ∈ Ω, podemos
encontrar N ∈ N tal que x ∈ N ⊂V ∈ V ya que N es una network para X . Definimos la
familia
M = N ∈ N : N ⊂V para algún V ∈ V
y se observa que M es un cubrimiento para Ω, entonces podemos elegir para cada N ∈M
un abierto V (N) ∈ V con N ⊂V (N). Definimos:
W = UN ∩V (N);N ∈ M
que es un refinamiento abierto de V y cumple que ∪W = Ω. Además, para cada n ∈ N
definimos
Wn := UN ∩V (N);N ∈ M ∩Nn
y se tiene que cada Wn es una familia puntualmente finita ya que la familia UN ;N ∈Nn
es puntualmente finita en X , UN ∩V (N) ⊂ UN y para cada N ∈ Nn hemos elegido un
único conjunto V (N). Como consecuencia W = ∪nWn es un refinamiento abierto de V
σ−puntualmente finito y se concluye la prueba.
Corolario 2.2.4. Para cualquier conjunto Γ 6= /0 (c0(Γ),τp) es hereditariamente σ -meta-
compacto y en consecuencia cualquier compacto de Eberlein es hereditariamente σ -
metacompacto.
DEMOSTRACIÓN: Se sigue de los teoremas 2.2.2 y 2.2.3.
Observación 2.2.5. La afirmación para compactos de Eberlein se debe a N. N. Yakolev
[Y].
Antes de enunciar y probar el teorema 2.2 de [Gr2] que nos resultará básico para
nuestras aportaciones posteriores, no sólo por sus conclusiones, sino también por las ideas
de su demostración; veremos algunas nociones y resultados previos que necesitaremos
para la prueba.
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 51
Definición 2.2.6. (i) Se dice que un cubrimiento abierto V = Vα ;α ∈ I de un es-
pacio topológico X puede ser contraído, si existe un cubrimiento cerrado de X,
A = Aα ;α ∈ I, tal que Aα ⊂Vα para cada α ∈ I. A este cubrimiento cerrado A
se le denomina contracción de V .
(ii) Una colección U = Uα ;α ∈ I de subconjuntos de un espacio topológico X se
dice que es envolvente si
Uα ⊂⋃
β∈I
Uβ para todo α ∈ I
El siguiente teorema es un caso particular del teorema 1.1 de [Gr-Mch].
Teorema 2.2.7. Todo cubrimiento abierto V = Vα ;α ∈ I de un espacio topológico
regular X formado por conjuntos con clausuras compactas puede ser contraído.
Para hacer el trabajo lo más autocontenido posible haremos la prueba de este último
resultado. Para ello necesitaremos dos lemas previos, son los lemas 2.1 y 2.2 de [Gr-Mch].
Lema 2.2.8. Si V = Vα ;α ∈ I es un cubrimiento del espacio topológico X formado por
conjuntos con clausuras compactas, entonces para cada α ∈ I el conjunto Vα pertenece
a una colección numerable y envolvente U α ⊂ V .
DEMOSTRACIÓN: Por inducción seleccionamos subcolecciones finitas
Uα
1 ,U α2 , . . . ,U α
n , . . . de V
tales que U α1 = Vα y
U ⊂⋃
V ;V ∈ Uα
n+1 para cada U ∈ Uα
n
Definiendo
Uα =
∞⋃
n=1
Uα
n
se concluye la prueba.
Lema 2.2.9. Si un cubrimiento V de un espacio topológico X se puede expresar como
V =⋃
λ∈ΛVλ
donde cada familia Vλ es envolvente y como cubrimiento de
Xλ =⋃
V ;V ∈ Vλ
puede ser contraído, entonces V puede ser también contraído.
52 2.2 COMPACTOS DE EBERLEIN
DEMOSTRACIÓN: Para cada λ , consideramos la contracción
AV,λ ;V ∈ Vλ
del cubrimiento Vλ de Xλ . Se observa que, ya que Vλ es envolvente, los conjunto AV,λson cerrados, no solo en Xλ , sino también en todo X .
Consideramos un buen orden para Λ. Fijado V ∈ V , definimos:
λ (V ) = ınfλ ∈ Λ;V ∈ Vλ
y definimos AV := AV,λ (V ). Para probar que AV ;V ∈ V contrae V , será suficiente com-
probar que dicha familia cubre X . Por lo tanto supongamos que x ∈ X y sea
γ := ınfλ ∈ Λ;x ∈ Xλ
entonces x ∈ AV,γ ⊂V para algún V ∈ Vγ , y claramente λ (V ) = γ . Por lo tanto
x ∈ AV,λ (V ) = AV
lo que completa la prueba.
Podemos ahora culminar con la prueba del teorema 2.2.7.
DEMOSTRACIÓN: En vista de los dos lemas precedentes, es suficiente establecer este teo-
rema para cubrimientos V numerables. Pero un espacio topológico que tenga un cubrim-
iento numerable con clausuras compactas es Lindelöf, por tanto es paracompacto (3.8.11
[E]). Utilizando esto último acabaremos la prueba. A continuación seguimos la idea de la
prueba del lema 5.1.6 de [E].
Sea pues V = Vα ;α ∈ I un cubrimiento abierto con clausuras compactas en X para-
compacto. Por ser X regular, existe un cubrimiento abierto W tal que
W ;W ∈ W
es un refinamiento de V . Por la condición de paracompacidad podemos tomar un refi-
namiento localmente finito F = Ft ; t ∈ J del cubrimiento W . Para cada t ∈ J elegimos
α(t) ∈ I tal que Ft ⊂Vα(t), y definimos
Aα :=⋃
α(t)=αFt
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 53
Se concluye que
A := Aα ;α ∈ I
es un contracción de V .
El siguiente resultado es el lema 2.1 de [Gr2] y es consecuencia de los lemas anteri-
ores. De hecho, la prueba aparece en [Gr-Mch], corolario 4.1.
Lema 2.2.10. Sea B una base de un espacio topológico X, σ -metacompacto y local-
mente compacto. Entonces B contiene un subcubrimiento B ′ tal que la familia
B;B ∈ B′
es σ−puntualmente finita.
DEMOSTRACIÓN: Sea U un cubrimiento de X formado por conjuntos abiertos con clau-
suras compactas, y V un refinamiento abierto de U σ−puntualmente finito. Entonces
V es compacto para cada V ∈ V , aplicando el teorema 2.2.7 se tiene que V puede ser
contraído a un cubrimiento cerrado
AV ;V ∈ V
Si V ∈ V , entonces AV es compacto, por lo que existe un cubrimiento finito BV ⊂ B de
AV tal que B ⊂V para cada B ∈ BV . Entonces la familia
B′ =
⋃
BV ;V ∈ V
cumple las condiciones requeridas. Veámoslo, claramente B ′ cubre X ya que la contrac-
ción anterior lo cubre. Comprobemos que B;B ∈ B ′ es σ−puntualmente finita.
Como V es σ−puntualmente finita, entonces podemos expresar
V =⋃
Vn;n ∈ N
cumpliendo que cada familia Vn es puntualmente finita. Se observa que la familia
AV ;V ∈ Vn
es puntualmente finita, para cada n ∈ N.
Para cada n ∈ N, definimos la familia
Bn :=⋃
BV ;V ∈ Vn
54 2.2 COMPACTOS DE EBERLEIN
entonces
B′ = ∪Bn;n ∈ N
Como consecuencia, si definimos Wn := ∪B;B ∈ Bn, para cada n ∈ N, bastará probar
que la familia W = ∪nWn es σ−puntualmente finita. Comprobemos que cada familia Wn
es puntualmente finita. Para ello fijamos x ∈ X , entonces si x ∈ B con B ∈ Bn, se tiene
que B ∈ BV para algún V ∈ Vn. Como consecuencia x ∈ V ∈ Vn y como esta familia es
puntualmente finita y |BV | < +∞ se concluye que
|B ∈ Wn;x ∈ B| < +∞.
Podemos probar ya el teorema 2.2 de [Gr2].
Teorema 2.2.11. Para un espacio topológico compacto K, son equivalentes:
(i) K es compacto de Eberlein.
(ii) K2 \∆ es σ−metacompacto.
(iii) K2 es hereditariamente σ−metacompacto.
DEMOSTRACIÓN: (i) ⇒ (iii) Consecuencia del corolario 2.2.4 ya que el producto de dos
compactos de Eberlein sigue siendo de Eberlein.
(iii) ⇒ (ii) No hay nada que probar.
(ii) ⇒ (i) La idea es probar que K es compacto de Eberlein a través del teorema de
Rosenthal (teorema 1.4.2, (ii)). Si K2 \∆ es σ−metacompacto entonces existe un cubri-
miento P = Uγ ×Vγ ;γ ∈ A de K2 \∆ cumpliendo:
(a) Uγ y Vγ son abiertos Fσ de K.
(b) Uγ ∩Vγ = φ .
(c) A = ∪n∈NAn donde cada subfamilia Uγ ×Vγ ;γ ∈ An es puntualmente finita para
cada n ∈ N.
(d) U ×V ∈ P implica V ×U ∈ P .
Para comprobar la existencia del cubrimiento anterior, consideramos una base B de
K2 \∆. No es restrictivo suponer que cada W ∈ B es de la forma
W = (U ×V )⋂
(K2 \∆) con U,V ⊂ K abiertos
Para cada (x,y) ∈W (por regularidad), existirán U ′,V ′ ⊂ K abiertos tales que x ∈U ′ ⊂U ,
y ∈V ′ ⊂V ,
U ′∩V ′ = φ y U ′×V ′ ⊂W
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 55
Como U ′ es entorno de x en K compacto y por consiguiente normal, podemos asumir,
sin perder generalidad, que U ′ es un cocero de una función continua y, en definitiva, un
Fσ . Por lo tanto podemos suponer que B está formado por elementos U ×V ⊂ K2 donde
U,V ⊂ K son abiertos Fσ y U ∩V = φ . Con esto ya tenemos construido el cubrimiento
P satisfaciendo las propiedades (a) y (b). Por el lema 2.2.10, se puede suponer además
que Uγ ×Vγ ;γ ∈ A es σ−puntualmente finita (donde la clausura está tomada en K2 \∆).
Pero como Uγ ∩Vγ = φ , se tiene que
Uγ ×Vγ = Uγ ×Vγ
Y ya tenemos la condición (c) comprobada.
Para obtener la condición (d), basta ampliar el cubrimiento P añadiendo, para cada
U ×V , el permutado V ×U y se siguen cumpliendo las condiciones anteriores. Nuestro
objetivo ahora es operar con la familia Uγ : γ ∈ A para reducirla y llegar a obtener una
familia σ -puntualmente finita de abiertos Fσ que sea T0-separadora y probar así que K
es compacto de Eberlein. Sea µ el carácter de densidad de K, esto es, el menor cardinal
de un subconjunto denso de K, y escribamos, por ejemplo:
K = pα ;α < µ
Para cada α < µ , consideramos
Kα := pβ ;β < α
y definimos
Uα := ⋂
γ∈F
Uγ ;F ⊂ A y Vγ ;γ ∈ F es un cubrimiento finito y minimal de Kα
Se observa que Uα cubre K \Kα , ya que si k ∈ K \Kα , como k×Kα es compacto y se
cubre por Uγ ×Vγ ;γ ∈ A, entonces existirá U ∈ Uα tal que k ∈U .
La prueba concluirá al demostrar las dos siguientes afirmaciones si aplicamos el teo-
rema de Rosenthal (teorema 1.4.2, (ii)):
Afirmación 1. ∪α<µUα distingue puntos de K.
Fijamos x1,x2 ∈ K, x1 6= x2. Sea αi el menor ordinal tal que xi ∈ Kαi . Si α1 6= α2
entonces, como Uαi cubre K \Kαi , k1 y k2 serán distinguidos por algún miembro de Uα1
o Uα2 (el ordinal más pequeño). Por tanto supongamos que α1 = α2 = α . Sean
V1 = Vγ ;x1 ∈Uγ y x2 6∈Uγ y V2 = Vγ ;x2 ∈Uγ y x1 6∈Uγ
56 2.2 COMPACTOS DE EBERLEIN
Hay que observar que x1 ∈ ∪V2 y x2 ∈ ∪V1. Supongamos que
z ∈ Kα \⋃
(V1 ∪V2)
Sea γ(z)∈ A tal que x1 ∈Uγ(z) y z ∈Vγ(z). Ya que Vγ(z) 6∈ V1, se tiene que x2 ∈Uγ(z). Como
Kα \⋃
(V1 ∪V2)
es compacto, va a existir un subconjunto finito F ⊂ A tal que Vγ ;γ ∈ F lo cubre y
x1,x2 ⊂⋂
γ∈F
Uγ
Como
(⋂
γ∈F
Uγ)∩pβ ;β < α 6= φ
debido a que
x1,x2 ∈ pβ ;β < α
entonces Vγ ;γ ∈ F no cubre a todo el conjunto pβ ;β < α. Sea δ el menor de los
ordinales β < α tal que pβ 6∈ ∪Vγ ;γ ∈ F. Ahora, pβ ∈Vη ∈ V1 ∪V2 para algún η ∈ A.
Entonces
Vη∪Vγ ;γ ∈ F
cubre Kδ+1, y algún subcubrimiento minimal contiene a Vη . Ya que Uη separa x1 y x2,
también lo hará el miembro de Uδ+1 correspondiente al cubrimiento minimal.
Afirmación 2. ∪α<µUα es σ−puntualmente finita.
Fijado n ∈ N denotaremos por Uα,n a la familia formada por todos los miembros de
Uα cuyo conjunto índice correspondiente F tiene cardinalidad menor ó igual que n, y
está contenido en ∪i≤nAi. Probaremos entonces que ∪α<µUα,n es puntualmente finita
para cualquier n ∈ N. Antes hay que recordar que
Uγ ×Vγ ;γ ∈ ∪i≤nAi
es puntualmente finita como unión finita de familias puntualmente finitas. Supongamos
ahora que ∪α<µUα,n no es puntualmente finita, entonces existirá x que pertenece a una
infinidad de conjuntos de ∪α<µUα,n, y así, para cada η < ω0, existe F(η) ⊂ ∪ni=1Ai, y
un ordinal β (η) < µ con
x ∈⋂
γ∈F(η)
Uγ ∈ Uβ (η)
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 57
Sin pérdida de generalidad podemos asumir que los conjuntos F(η) tienen todos la misma
cardinalidad y que los β (η) forman una cadena no decreciente de ordinales. Aplicando
la observación 2.1.7 para el lema 2.1.6, podemos suponer así mismo que los conjuntos
F(η) : η < ω0 forman un ∆−sistema con raíz R. Como R F(0), existirá algún
y ∈ Kβ (0) \Vδ ;δ ∈ R.
Como Kβ (0) ⊂ Kβ (η) para cada η < ω0, existirá δ (η) ∈ F(η) \R con y ∈ Vδ (η). Pero
entonces encontramos que
(x,y) ∈⋂
η<ω0
Uδ (η)×Vδ (η)
lo que es absurdo ya que δ (η) : η < ω0 forman un conjunto infinito en ∪ni=1Ai.
Como consecuencia se obtiene el siguiente resultado, que se corresponde con el teo-
rema 4.17 del reciente trabajo de A. Dow, H. Junilla y J. Pelant [D-J-P2].
Teorema 2.2.12. Un espacio topológico compacto (K,τ) es compacto de Eberlein si, y
sólo si, tiene una network σ−puntualmente finitamente extendible.
DEMOSTRACIÓN: ⇒ Podemos suponer que K ⊂ c0(Γ) es débil compacto para algún
conjunto Γ, sección 1.3. Aplicando ahora el teorema 2.2.2, se concluye la prueba.
⇐ Si K tiene una network σ−puntualmente finitamente extendible, entonces K ×K
tiene también una network con esas características. Como consecuencia del teorema 2.2.3,
K×K es hereditariamente σ−metacompacto. Ahora, aplicando el teorema 2.2.11 se tiene
que K es compacto de Eberlein.
La versión del corolario 2.1.12 para compactos de Eberlein será ahora agrupar los
teoremas 2.2.11 y 2.2.12:
Corolario 2.2.13. Para un espacio topológico compacto K, son equivalentes:
(i) K es compacto de Eberlein.
(ii) K2 \∆ es σ−metacompacto.
(iii) K2 es hereditariamente σ−metacompacto.
(iv) K tiene un network σ−puntualmente finitamente extendible.
58 2.3 COMPACTOS DE EBERLEIN UNIFORMES
2.3 Compactos de Eberlein uniformes
Hemos colocado esta sección después de los compactos de Eberlein porque aprovecha-
remos algunas construcciones hechas para éstos.
Definición 2.3.1. Una familia A de subconjuntos de un espacio topológico X es:
(i) Uniformemente puntualmente finitamente extendible si existe una familia de abier-
tos U = UA;A ∈ A cumpliendo que A ⊂UA y existe un N ∈ N tal que
|A ∈ A ;x ∈UA| < N para todo x ∈ X
A la constante N la llamaremos constante de uniformidad para la extensión U .
(ii) σ−Uniformemente puntualmente finitamente extendible si se puede expresar como:
A =⋃
n∈N
An
donde cada subfamilia An es uniformemente puntualmente finitamente extendible.
A continuación tenemos una caracterización para los compactos de Eberlein uni-
formes que es el homólogo del teorema 2.2.12 para los compactos de Eberlein.
Teorema 2.3.2. Si un compacto K es compacto de Eberlein uniforme, entonces tiene una
network N σ−uniformemente puntualmente finitamente extendible.
DEMOSTRACIÓN: Sea K un compacto de Eberlein uniforme, debido al teorema de Benya-
mini-Stardbird (sección 1.3), podemos suponer que K ⊂ c0(Γ) y que dado ε > 0 existe un
número real N(ε) tal que:
|γ ∈ Γ; |x(γ)| > ε| < N(ε) para todo x ∈ K
Consideramos la network N =⋃
m,n Rm,n para c0(Γ) dada en la prueba del teorema 2.2.2,
con la extensión U = ∪nRn. Al restringir ambas familias a K siguen manteniendo sus
propiedades, es decir, U es σ−puntualmente finita. Veamos que, de hecho, en este caso
es σ−uniformemente puntualmente finita. No es restrictivo suponer que podemos de-
scomponer la familia I de la prueba del teorema 2.2.2 de la forma, I =⋃∞
k=1 Ik donde
cada subfamilia Ik es numerable y si I = (a,b)∈ Ik, entonces mın|a|, |b|> 1k , y de man-
era que si r ∈ R \ 0 entonces estará, a lo más, en dos elementos de la familia Ik, para
cada k ∈ N. Fijado n ∈ N y los primeros n elementos de Ik, es decir, Ikn := I1, . . . , In
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 59
definimos, al igual que en la prueba del teorema 2.2.2, las aplicaciones ϕ : Λ 7→ Ikn. Con
estas aplicaciones consideramos las familias
Mn,k := (Λ,ϕ);Λ ⊂ Γ, |Λ| ≤ n y ϕ : Λ −→ Ikn
y
Rn,k := R(Λ,ϕ);(Λ,ϕ) ∈ Mn,k
donde esta última familia está formada por subconjuntos abiertos de K y es una familia
puntualmente finita en K para cada n,k ∈ N. Definimos para m,n,k ∈ N la familia
Rm,n,k := Rm(Λ,ϕ);(Λ,ϕ) ∈ Mn,k
y se tiene que N = ∪∞m,n,k=1Rm,n,k es una network para K teniendo cada familia Rm,n,k
a la familia Rn,k como extensión abierta. Ahora, por la inmersión de K, para cada k ∈ N,
cualquier elemento x ∈ K tiene menos de N( 1k ) coordenadas γ para las cuales |x(γ)| >
1k . Por lo tanto habrá menos de 2N( 1
k ) coordenadas γ ∈ Γ para las cuales x(γ) ∈ ϕ(γ)
donde (Λ,ϕ) ∈ Mn,k, para algún Λ ⊂ Γ. Como consecuencia x estará en menos de 22N( 1k )
elementos de la familia Rn,k y se concluye la prueba.
Definición 2.3.3. Un espacio topológico X es σ−uniformemente metacompacto si cada
cubrimiento abierto del espacio tiene un refinamiento abierto σ−uniformemente puntual-
mente finito.
Teorema 2.3.4. Si un espacio topológico (X ,τ) tiene una network σ−uniformemente
puntualmente finitamente extendible, entonces es hereditariamente σ−uniformemente me-
tacompacto.
DEMOSTRACIÓN: La prueba es análoga a la del teorema 2.2.3, y utilizando que si Nn es
la constante de uniformidad de
UN ;N ∈ Nn
entonces esta misma constante sirve para la familia
Wn := UN ∩V (N);N ∈ M ∩Nn
para cada n ∈ N.
Los resultados obtenidos en la secciones precedentes para compactos metrizables y de
Eberlein y en las secciones que siguen para compactos de Talagrand y Gul’ko nos llevan
a considerar los siguientes problemas.
60 2.4 COMPACTOS DE GUL’KO
Problema 2.3.5. Si un compacto K tiene una network σ−uniformemente puntualmente
finitamente extendible, ¿es un compacto de Eberlein uniforme?
Problema 2.3.6. Del teorema 2.3.2 y 2.3.4 se tiene que si K es compacto de Eberlein
uniforme, entonces K2 \∆ es σ−uniformemente metacompacto. ¿Es cierto el recíproco?.
Proposición 2.3.7. Para un espacio topológico (X ,τ) se tiene la siguiente cadena de
DEMOSTRACIÓN: La primera implicación sigue del teorema 5.1.12 de [E] en el que se
afirma que un espacio topológico es paracompacto si, y sólo si de cada cubrimiento abierto
podemos obtener un refinamiento abierto σ−discreto. La segunda implicación es conse-
cuencia de las propias definiciones.
Para ver que la primera implicación es estricta, consideramos el compacto K de la
sección 1.2 (ejemplo 1.2.1) que es compacto de Eberlein uniforme y no es metrizable.
Entonces por el teorema 2.1.11 se tiene que K2 \∆ no es paracompacto. Sin embargo, por
los teoremas 2.3.2 y 2.3.4 se tiene que K2 \∆ es σ−uniformemente metacompacto.
Observación 2.3.8. Una respuesta afirmativa al problema 2.3.6 probaría que la segunda
implicación en la proposición 2.3.7 es también estricta.
2.4 Compactos de Gul’ko
Recordemos que para un espacio métrico M, denotamos por K (M) el retículo de
subconjuntos compactos de M (sección 1.4). Introducimos la siguiente definición:
Definición 2.4.1. Se dice que una familia A de subconjuntos de un conjunto X es Σ−pun-
tualmente finita cuando existe un espacio métrico separable M tal que A se puede es-
cribir como
A = ∪AK;K ∈ K (M)
de forma que
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 61
(i) AK1 ⊂ AK2 si K1 ⊂ K2.
(ii) AK es puntualmente finita para cada K ∈ K (M).
Observación 2.4.2. En las definición 2.4.1 es suficiente hacer la descomposición de la
familia A indexando solamente sobre un sistema fundamental de compactos de M. En
efecto, si tan solo tenemos estas familias definidas, para cualquier subconjunto compacto
K ∈K (M) se puede definir AK como la intersección de todas las familias AS con S ⊃ K
y S es un elemento del sistema fundamental de compactos de M donde AS está definido
y obviamente se verifican las condiciones de la definición 2.4.1. Como consecuencia en
el teorema tipo Rosenthal para los compactos de Gul’ko (teorema 1.4.2, (iv*)), se puede
suponer que las subfamilias UK están indexadas respecto a un sistema fundamental de
compactos de M.
Recordemos que denotamos por dH la distancia de Hausdorff en K (M), (sección 1.4).
Lema 2.4.3. Sea A una familia Σ−puntualmente finita de subconjuntos del conjunto X,
K ∈ K (M) y x ∈ X. Entonces existe un entorno V de K en (K (M),dH) tal que
|A ∈ ∪AS;S ∈V;x ∈ A| < +∞
DEMOSTRACIÓN: Supongamos que el resultado no es cierto; esto es fijemos una base de
entornos de K en (K (M),dH); es decir,
BdH (K; 12n );n = 1,2, . . .
y supongamos que para cada n, si
A (n) := ∪AS;S ∈ BdH (K; 12n )
tenemos que
A ∈ A (n);x ∈ A fuese infinito
Podemos entonces tomar, para cada n ∈ N, Kn ∈ BdH (K; 12n ) y elementos An ∈ AKn , tales
que x ∈ An, con An 6= Am si m ≤ n.
Si consideramos la sucesión K1,K2, . . . ,Kn, . . . en K (M) se tiene que su límite es
K en dH y así tendremos que
F := ∪nKn ∪K ∈ K (M)
62 2.4 COMPACTOS DE GUL’KO
y por la propiedad (i) de la definición anterior
AF ⊃ ∪AKn;n ∈ N
siendo de esta forma A ∈ AF ;x ∈ A infinito, lo que contradice la propiedad (ii) en la
definición anterior.
Damos la siguiente relación:
Proposición 2.4.4. Sea A una familia de subconjuntos de un conjunto X Σ−puntualmente
finita, entonces es puntualmente numerable.
DEMOSTRACIÓN: Fijamos un elemento x ∈ X , consideramos B = Bnn una base nu-
merable de (K (M),dH) que es métrico separable, proposición 1.4.1, y definimos
A (n) := ∪AS;S ∈ Bn, para cada n ∈ N.
y tenemos que A =⋃∞
n=1 A (n).
Por el lema 2.4.3, para cada x ∈ X y cada K ∈K (M) existirá un entero n(x,K) tal que
K ∈ Bn(x,K) y x está en un número finito de elementos de A (n(x,K)). Resulta entonces
claro que
A =⋃
A (n(x,K));K ∈ K (M)
y que x está sólo en una cantidad numerable de conjuntos de la familia A .
Observación 2.4.5. En la definición 2.4.1 podemos suponer que el espacio métrico se-
parable M que consideramos, es de la forma Σ ⊂ NN donde NN es el espacio de Baire.
Como consecuencia, en el teorema tipo Rosenthal para los compactos de Gul’ko (teorema
1.4.2, (iv*)) podemos reemplazar Σ por algún espacio métrico separable M también.
Además, como consecuencia del resultado anterior, en el teorema tipo Rosenthal para
los compactos de Gul’ko no es necesaria la hipótesis de puntualmente numerable para la
familia U .
DEMOSTRACIÓN: Consideramos el espacio métrico separable M de la definición 2.4.1,
donde V es una familia Σ−puntualmente finita indexada por elementos de K (M). Como
el espacio topológico (K (M),dH) es métrico y separable, existirá una aplicación conti-
nua y sobreyectiva ϕ : Σ −→ (K (M),dH) donde Σ ⊂ NN. Ahora, para K ∈ K (Σ), ϕ(K)
es un subconjunto compacto de (K (M),dH). Por lo tanto
K′ := ∪H;H ∈ ϕ(K) ∈ K (M),
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 63
y definimos AK := VK′ . Entonces se cumple que V = ∪AK;K ∈ K (Σ) y es así una
familia indexada ahora en el retículo K (Σ) como familia Σ-puntualmente finita.
Veamos pues, como queda el teorema tipo Rosenthal para los compactos de Gul’ko.
Teorema 2.4.6. Un espacio topológico compacto K es compacto de Gul’ko si, y sólo si,
tiene una familia U Σ-puntualmente finita formada por abiertos Fσ y T0-separadora en
K.
El tipo de network que caracteriza los compactos de Gul’ko tiene una extensión Σ-
puntualmente finita, pero una extensión es una familia indexada. Necesitamos pues adap-
tar la definición de familia Σ-puntualmente finitas a las familias indexadas, comenzamos
con la siguiente:
Observación 2.4.7 (Familias indexadas). Dada una familia indexada de subconjuntos
de un conjunto dado X, A = Ai; i ∈ I, y x ∈ X, consideraremos el orden del punto en la
familia pero respecto al conjunto de índices, e. d. |i ∈ I,x ∈ Ai| en lugar de |A ∈ A;x ∈
A|. Además, dadas dos familias indexadas A = Ai; i ∈ I y B = B j : j ∈ J diremos
que A es una subfamilia indexada de B si existe una aplicación inyectiva Ψ : I 7→ J tal
que Ai = Bψ(i), para cada i ∈ I.
Definición 2.4.8. Diremos que una familia indexada A = Ai; i ∈ I de subconjuntos de
un conjunto X es indexada Σ-puntualmente finita si existe un espacio métrico separable M
de manera que para cada K ∈K (M) tenemos un subconjunto IK ⊂ I tal que si denotamos
por AK := Ai; i ∈ IK se cumple:
(i) I =⋃IK ;K ∈ K (M),
(ii) AK1 es una subfamilia indexada de AK2 , cuando K1 ⊂ K2 en K (M),
(iii) Para cada x ∈ X y K ∈ K (M), se cumple
|i ∈ IK ;x ∈ Ai| < +∞
Definición 2.4.9. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico
X es Σ-puntualmente finitamente extendible si existe un conjunto de índices I tal que
A = Ai; i ∈ I, y para cada i ∈ I existe un conjunto abierto Gi ⊃ Ai en X verificando que
la familia indexada G = Gi; i ∈ I es indexada Σ-puntualmente finita.
El siguiente resultado es fundamental en nuestro estudio. Antes recordemos que para
un espacio topológico (X ,τ), se define c1(X) (sección 1.3) como:
c1(X) := f ∈ l∞(X) : ∀ε > 0 el conjunto t ∈ X : | f (t)| ≥ ε es cerrado y discreto en X
64 2.4 COMPACTOS DE GUL’KO
Teorema 2.4.10. Si (X ,τ) es un espacio topológico numerablemente K −determinado,
entonces (c1(X),τp) tiene una network Σ−puntualmente finitamente extendible.
DEMOSTRACIÓN: Si X es numerablemente K −determinado existe una usco ϕ : M 7→ 2X
donde M es métrico separable y ϕ(M) = X . Para cada K ∈ K (M) ponemos XK := ϕ(K)
y tenemos la descomposición X = ∪XK;K ∈ K (M), con XK compacto para cada K ∈
K (M) y XK1 ⊂ XK2 siempre que K1 ⊂ K2 en K (M).
Vamos a considerar el métrico separable M ×N con la topología producto, donde N
tiene la topología discreta. Para describir la network indexaremos los conjuntos de índices
sobre K (M×N).
Si hacemos la construcción de la prueba del teorema 2.2.2 para cada K ∈ K (M); es
decir, sobre cada c0(XK), obtenemos una network Σ-puntualmente finitamente extendible
en (c1(XK),τp). Veámoslo, para cada n ∈ N y K ∈ K (M) fijos, consideramos, con las
mismas notaciones que en el teorema 2.2.2:
M (n,K) := (Λ,ϕ);Λ ⊂ XK; |Λ| ≤ n y ϕ : Λ −→ In
y escribimos:
R(Λ,ϕ) := c1(X)∩ ∏x∈X
Rx donde Rx =
ϕ(x) si x ∈ Λ,
R en otro caso.
y
Rm(Λ,ϕ,K) := c1(X)∩∏x∈X
Rx donde Rx =
ϕ(x) si x ∈ Λ,
(− 1m , 1
m) si x ∈ XK \Λ,
R si x 6∈ XK .
y tenemos
· · ·Rm+1(Λ,ϕ,K) ⊂ Rm(Λ,ϕ,K) ⊂ ·· · ⊂ R(Λ,ϕ)
y la familia
R(n,K) := R(Λ,ϕ);(Λ,ϕ) ∈ M (n,K)
está formada por conjuntos τp−abiertos de c1(X) y es puntualmente finita en c1(X) para
cada n ∈ N y K fijados. De hecho, cada h ∈ c1(X) verifica h|XK ∈ c0(XK) y entonces
|(Λ,ϕ) ∈ M (n,K);h ∈ R(Λ,ϕ)| < +∞
como en la prueba del teorema 2.2.2.
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 65
Además, si consideramos para m,n ∈ N y K ∈ K (M), las familias:
R(m,n,K) := Rm(Λ,ϕ,K);(Λ,ϕ) ∈ M (n,K)
tenemos que cada R(m,n,K) tiene como extensión abierta a la familia R(n,K) y
∪R(m,n,K);m ∈ N,n ∈ N,K ∈ K (M)
nos proporciona una network para la topología puntual de c1(X) que es además Σ-pun-
tualmente finitamente extendible. De hecho, esto sigue, de que
R = ∪R(m,n,K);m ∈ N,n ∈ N,K ∈ K (M)
es una base para la topología de convergencia uniforme en c1(X) sobre los conjuntos
XK para cada K ∈ K (M), y en particular una network para la topología, más débil, de
convergencia puntual en c1(X).
Resta pues comprobar que R es una familia Σ-puntualmente finitamente extendible.
Para verlo fijamos el conjunto de índices:
I := (m,n,K,Λ,ϕ) : (Λ,ϕ) ∈ M (n,K),m,n ∈ N,K ∈ K (M)
y fijamos para cada i = (m,n,K,Λ,ϕ) ∈ I el conjunto τp-abierto
Gi := R(Λ,ϕ) ⊃ Rm(Λ,ϕ,K) =: Ni
Consideramos el espacio métrico N×M donde N está dotado con la topología discreta.
Denotaremos por π1 :N×M →N y π2 :N×M → M las proyecciones canónicas. Para un
subconjunto compacto S de N×M definimos:
IS := (m,n,K,Λ,ϕ) : (Λ,ϕ) ∈ M (n,K),m,n ∈ 1,2, . . . ,q
donde q = maxπ1(S) y K = π2(S).
Se cumple
(i) I = ∪IS : S ∈ K (N×M). Además se tiene que Gi : i ∈ IS1 es una subfamilia
indexada de Gi : i ∈ IS2 cuando S1 ⊂ S2 porque M (n,π2(S1)) ⊂ M (n,π2(S2)) para
cada n = 1,2, . . ..
(ii) Si q = maxπ1(S) y K = π2(S), tenemos
|(m,n,K,Λ,ϕ) = i ∈ IS(q,K) : f ∈ Gi = R(Λ,ϕ)|
66 2.4 COMPACTOS DE GUL’KO
≤q
∑n=1
q · |(Λ,ϕ) ∈ M (n,K) : f ∈ R(Λ,ϕ)|〈+∞
ya que la familia R(n,K) es puntualmente finita en c1(X) y se concluye la prueba.
Del teorema de inmersión para los compactos de Gul’ko (sección 1.3) y el teorema
anterior se obtiene la siguiente consecuencia.
Corolario 2.4.11. Todo compacto de Gul’ko tiene una network Σ−puntualmente finita-
mente extendible.
La propiedad de cubrimiento correspondiente al concepto de Σ-finitud puntual será:
Definición 2.4.12. Un espacio topológico (X ,τ) se dice que es Σ−metacompacto cuando
todo cubrimiento abierto admite un refinamiento abierto que sea Σ−puntualmente finito.
Recordemos la siguiente definición, [Bu]
Definición 2.4.13. Un espacio topológico (X ,τ) se dice que es metaLindelöf cuando todo
cubrimiento abierto admite un refinamiento abierto que sea puntualmente numerable.
Notemos la siguiente:
Proposición 2.4.14. Todo espacio topológico Σ−metacompacto es metaLindelöf, y esta
implicación es estricta.
DEMOSTRACIÓN: La proposición 2.4.4 nos da la implicación. Para comprobar que la
implicación es estricta, consideramos el compacto K de la sección 1.2 que es compacto de
Corson pero no es compacto de Gul’ko (ejemplo 1.2.7). Entonces K2 \∆ es metaLindelöf
(teorema 2.2 de [Gr2]), pero no es Σ−metacompacto (teorema 2.4.24).
A continuación estudiaremos una caracterización para las familias Σ-puntualmente finitas
que nos serán de utilidad en resultados posteriores. En [Gr3] encontramos las siguientes
definiciones.
Definición 2.4.15. Una colección A de subconjuntos de un conjunto X es débilmente
σ−puntualmente finita si A = ∪nAn donde para cada x ∈ X y A ∈ A existe m ∈ N tal
que A ∈ Am y
ord(x,Am) = |B ∈ Am;x ∈ B| < ∞
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 67
La correspondiente propiedad de cubrimiento es; [Gr3].
Definición 2.4.16. Diremos que un espacio topológico X es débilmente σ−metacompac-
to si cada cubrimiento abierto tiene un refinamiento abierto débilmente σ−puntualmente
finito.
Nosotros probamos ahora el siguiente:
Teorema 2.4.17. Sea A una familia de subconjuntos de un espacio topológico (X ,τ).
Son equivalentes:
(i) A es Σ−puntualmente finita.
(ii) A es débilmente σ−puntualmente finita.
DEMOSTRACIÓN: (i) ⇒ (ii) Sea B es una base numerable en (K (M),dH) y A una fa-
milia Σ−puntualmente finita de subconjuntos de X indexada en K (M) como tal (defini-
ción 2.4.9).
Definimos, para cada B ∈ B, A (B) := ∪AK;K ∈ B. Así
A = ∪A (B);B ∈ B
Además fijado x ∈ X , para cada K ∈ K (M), el lema 2.4.3 proporciona B(K,x) ∈ B tal
que
ord(x,A (B(K,x))) < ∞
Con esto, si fijamos x ∈ X y A ∈ AK , existirá B ∈ B tal que K ∈ B y así A ∈ A (B) con
ord(x,A (B)) < ∞
Como la familia B es numerable, hemos probado que A será débilmente σ -puntualmente
finita también.
(ii) ⇒ (i) Si A es una familia débilmente σ−puntualmente finita, podemos descom-
poner A = ∪An;n ∈ N con la propiedad de que para todo x ∈ X se cumple
A = ∪As;ord(x,As) < ∞
Para cada A ∈ A consideramos el elemento P(A) ∈ 0,1N definido por
P(A)(n) :=
0 si A 6∈ An,
1 si A ∈ An.
68 2.4 COMPACTOS DE GUL’KO
y consideramos el métrico separable
M := P ∈ 0,1N;P ≡ P(A) para algún A ∈ A
Para cada P ∈ M consideramos la familia AP := A ∈ A ;P(A) ≡ P que resulta ser pun-
tualmente finita en X . De hecho, dado P ∈ M y x ∈ X supongamos que
|A ∈ AP;x ∈ A| = ∞
Enumeramos esos conjuntos de la forma Ann y sea smm la sucesión de enteros po-
sitivos (puede que finita) tal que ord(x,Asi) < ∞, para i = 1,2, . . . y ord(x,Ap) = +∞si p 6∈ smm. Entonces para cada n ∈ N, se tiene que P(sm) = P(An)(sm) = 0 para todo
m = 1, . . . , ya que An 6∈ Asm para m = 1, . . . . Pero, como An ∈ A para todo n ∈ N y A =
∪Asm;m = 1,2, . . ., por la condición de ser A una familia débilmente σ -puntualmente
finita, llegamos a una contradicción.
De hecho este argumento puede ser extendido para probar que para cada compacto
K ⊂ M ⊂ 0,1N la familia
AK := A ∈ A ;P(A) ∈ K
es puntualmente finita en X . Veámoslo, fijamos x ∈ X y K ⊂ M un compacto, sea
s1,s2, . . . ,sn, . . . = s ∈ N;ord(x,As) < ∞
Si |A ∈AK;x ∈ A| fuera infinito, enumeramos esos conjuntos de la forma Ann. Como
K es compacto podemos asumir que P(An) converge hacia algún P(A) ∈ K, con A ∈ A .
Ahora, para cada j ∈ N, sólo una cantidad finita de miembros de Ann puede estar en
As j , por lo que P(An)(s j) = 0 para n suficientemente grande. Por lo tanto P(A)(s j) = 0
para todo j ∈ N, y esto significa que A 6∈ A = ∪As j ; j = 1,2, . . . lo que es absurdo.
Como consecuencia del teorema anterior obtenemos.
Corolario 2.4.18. Un espacio topológico (X ,τ) es débilmente σ−metacompacto si, y
sólo si, es Σ−metacompacto.
Veámos como queda el teorema 2.4.17 en el caso de familias indexadas.
Definición 2.4.19. Diremos que una familia indexada A = Ai; i ∈ I de subconjuntos
de un conjunto X es indexada débilmente σ -puntualmente finita si I =⋃In;n = 1,2, . . .
de tal manera que para cada x ∈ X se tiene
I =⋃
Is : |i ∈ Is : x ∈ Ai| < +∞
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 69
Tenemos la equivalencia correspondiente para familias indexadas.
Teorema 2.4.20. Sea A = Ai; i ∈ I, una familia indexada de subconjuntos de un con-
junto dado X. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) A es una familia indexada Σ-puntualmente finita.
(ii) A es una familia indexada débilmente σ -puntualmente finita.
La prueba se obtiene con los mismos argumentos utilizados en la prueba del teorema
2.4.17 con un pequeño ajuste extra. Por ejemplo necesitamos el siguiente:
Lema 2.4.21. Sea A = Ai : i ∈ I una familia de subconjuntos de un conjunto dado X
indexada Σ-puntualmente finita. Entonces para cada x∈X y K ∈K (M) existe un entorno
V de K en (K (M),dH) tal que
|i ∈⋃
IS : S ∈V : x ∈ Ai| < +∞
DEMOSTRACIÓN: Si este no es el caso, elegimos, para cada entero positivo n,
in1, . . . , inn ⊂
⋃
IS : dH(S,K) <12n,
con x ∈ Ainjpara j = 1,2, . . . ,n y inj 6= ink para j 6= k. Si inj ∈ Sn
j con dH(Snj ,K) < 1
2n , j =
1,2, . . . ,n consideraremos la sucesión
S11,S
21,S
22, . . . ,S
n1,S
n2, . . . ,S
nn, . . . in K (M)
que converge a K, por tanto
K∞ := S11 ∪S2
1 ∪S22 ∪ . . .∪Sn
1 ∪ . . .∪Snn ∪ . . .∪K
es un subconjunto compacto de M con K∞ ⊃ Snj para n = 1,2, . . ., j = 1,2, . . . ,n, y Asn
jes
una subfamilia indexada de AK∞ para n = 1,2, . . ., j = 1, . . . ,n.
A in1, in2, . . . , i
nn ⊂ Sn
j le hacemos corresponder un conjunto de n puntos diferentes
i∞,n1 , i∞,n
2 , . . . , i∞,nn en el conjunto indexado IK∞ con x ∈ Ai∞,n
j, j = 1,2, . . . ,n, para cada
n ∈ N, el cual es una contradicción con el hecho de que
|i ∈ IK∞ : x ∈ Ai| < +∞
70 2.4 COMPACTOS DE GUL’KO
DEMOSTRACIÓN: [Demostración del teorema 2.4.20] Una vez que tenemos el lema an-
terior, la prueba del teorema para familias indexadas sigue el mismo patrón que el teore-
ma 2.4.17. Probemos, por ejemplo, que una familia indexada débilmente σ -puntualmente
finita A = Ai : i ∈ I es indexada Σ-puntualmente finita para un subconjunto Σ ⊂0,1N
apropiado. Por hipótesis tenemos que I =⋃In : n ∈N tal que, para cada x ∈ X , tenemos
I =⋃Is : #i ∈ Is : x ∈ Ai < ω. Para cada i ∈ I consideramos P(i) ∈ 0,1N definido
por
P(i)(n) =
0 si i /∈ In
1 si i ∈ In
y Σ := P ∈ 0,1N : P = P(i) para algún i ∈ I. Entonces para un subconjunto compacto
K de Σ, fijamos IK := i ∈ I : P(i) ∈ K y tenemos:
(i) I =⋃IK : K ∈ K (Σ) ya que, para cada i ∈ I, P(i) ∈ Σ.
(ii) IK1 ⊂ IK2 cuando K1 ⊂ K2 son subconjuntos compactos de Σ.
(iii) Para cada K ∈ K (Σ) y x ∈ X tenemos |i ∈ IK : x ∈ Ai| < +∞. En otro caso,
tendríamos una sucesión in con P(in) ∈ K y x ∈ Ain para n = 1,2, . . . Ya que K es
compacto podemos asumir que P(in) : n = 1,2, . . . converge a P(i)∈ K para algún i ∈ I.
Ya que x ∈ Ain , n = 1,2, . . . tenemos i /∈ Is para algún s tal que |i ∈ Is : x ∈ Ai| < +∞.
Pero esto contradice I =⋃Is : |i ∈ Is : x ∈ Ai| < +∞. Y concluye la prueba.
Utilizando los teoremas 2.4.17 y 2.4.20 obtenemos el siguiente:
Teorema 2.4.22. Si un espacio topológico (X ,τ) tiene una network Σ−puntualmente fini-
tamente extendible, entonces es hereditariamente Σ−metacompacto.
DEMOSTRACIÓN: La condición de hereditariamente Σ-metacompacto la obtendremos
(como consecuencia del teorema 2.4.17) si podemos encontrar, para cada familia arbitraria
V de subconjuntos abiertos de X , un refinamiento abierto débilmente σ -puntualmente
finito. Por lo tanto, fijamos V y Ω :=∪V . Sea N = Ni : i∈ I la network Σ-puntualmente
finitamente extendible para (X ,τ); e.d. existe un espacio M métrico y separable y tenemos
subconjuntos IK ⊂ I para cada K ∈K (M) y subconjuntos abiertos Gi ⊃ Ni para cada i ∈ I
tal que Gi : i ∈ I satisface las condiciones (i) a (iii) en la definición 2.4.8. Dado x ∈ Ωpodemos encontrar i ∈ I cumpliendo
x ∈ Ni ⊂V ∈ V
por la definición de network.
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 71
Consideramos J := i ∈ I : Ni ⊂V para algún V ∈ V y elegimos, para cada j ∈ J, un
conjunto abierto V ( j) ∈ V con N j ⊂V ( j). El refinamiento abierto de V será la familia:
W := G j ∩V ( j) : j ∈ J
que cumple ∪W = Ω. Además, ya que Gi : i∈ I es una familia indexada Σ-puntualmente
finita tenemos que I = ∪In y para cada x ∈ X se cumple también
I = ∪Is : |i ∈ Is : x ∈ Gi| < +∞, (véase teorema 2.4.20)
En estas condiciones, si denotamos por Jn := J ∩ In, se tiene que J = ∪Jn : n = 1,2, . . .
y para cada x ∈ X
J = ∪Js : | j ∈ Js : x ∈ G j ∩V ( j)| < +∞
ya que |i ∈ Js : x ∈ G j ∩V ( j)| < +∞ siempre que |i ∈ Is : x ∈ Gi| < +∞. Por lo tanto
W es una familia débilmente σ -puntualmente finita y un refinamiento abierto de V .
El siguiente resultado está inspirado en el lema 2.2.10.
Lema 2.4.23. Sea B una base de un espacio topológico X, localmente compacto y Σ-
metacompacto. Entonces B contiene un subcubrimiento B ′ tal que
B;B ∈ B′
es Σ−puntualmente finito.
DEMOSTRACIÓN: La prueba es igual que la del lema 2.2.10. Sólo cambia que, en este
caso V es Σ-puntualmente finita, entonces podemos expresar
V =⋃
VK ;K ∈ K (M)
donde M es un espacio métrico separable y cumpliendose que VK1 ⊂ VK2 cuando K1 ⊂ K2
y siendo cada familia VK puntualmente finita. Entonces definiendo, para cada K ∈K (M),
BK :=⋃
BV ;V ∈ VK
entonces
B′ = ∪BK;K ∈ K (M)
72 2.4 COMPACTOS DE GUL’KO
Ahora, si
WK := B;B ∈ BK
se tiene que W = ∪WK;K ∈ K (M) es Σ-puntualmente finita. Sólo hay que comprobar
que si K1 ⊂ K2, entonces WK1 ⊂ WK2 . Veamoslo, si K1 ⊂ K2 entonces B ∈ WK1 , entonces
B ∈BK1 por lo que B ∈BV para algún V ∈ VK1 ⊂ VK2 . De donde B ∈BK2 , por lo que B ∈
WK2 . El hecho de que cada familia WK sea puntualmente finita es el mismo razonamiento
que al final de la prueba del lema 2.2.10.
Estamos ahora en disposición de probar el siguiente resultado.
Teorema 2.4.24. Sea X un compacto, son equivalentes:
(i) X es compacto de Gul’ko.
(ii) X2 \∆ es Σ−metacompacto.
(iii) X2 es hereditariamente Σ−metacompacto.
(iv) X tiene una network Σ−puntualmente finitamente extendible.
DEMOSTRACIÓN: (i) ⇒ (iv) Es el corolario 2.4.11.
(iv) ⇒ (iii) Si X es un compacto con una network Σ−puntualmente finitamente ex-
tendible, entonces X2 tiene también una network con estas características. Por el teorema
2.4.22 X2 es hereditariamente Σ−metacompacto.
(iii) ⇒ (ii) No hay nada que probar.
(ii) ⇒ (i) La prueba puede ahora seguir el esquema del teorema 2.2.11. En efecto,
aplicando ahora el lema 2.4.23, aseguramos la existencia de un cubrimiento
P = Uγ ×Vγ ;γ ∈ A
de K2 \∆ tal que:
(a) Uγ y Vγ son abiertos Fσ en X .
(b) Uγ ∩Vγ = /0, ∀γ ∈ A.
(c) Uγ ×Vγ ;γ ∈ A es una familia Σ−puntualmente finita.
(d) U ×V ∈ P implica V ×U ∈ P .
Ahora si µ es el carácter de densidad de X y X = pα ;α < µ, definimos para cada
α < µXα := pβ ;β < α
y
Uα := ∩γ∈FUγ ;F ⊂ A y Vγ ;γ ∈ F es un cubrimiento finito y minimal de Xα
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 73
que será un cubrimiento de X \Xα . Entonces la familia ∪Uβ ;β < µ es T0-separadora
como en la prueba del teorema 2.2.11. Y además ∪Uβ ;β < µ será ahora una familia
Σ-puntualmente finita en X . De hecho, por (c) sabemos que existe un espacio métrico
separable M tal que A =∪AK;K ∈K (M) y AK1 ⊂ AK2 siempre que K1 ⊂K2 en K (M),
siendo
Uα ×V α ;α ∈ AK
una familia puntualmente finita para cada K ∈ K (M).
Ahora, para K ∈ K (M) y n ∈ N fijados, definimos la familia U Kα,n como aquella que
está formada por todos los elementos de Uα cuyo correspondiente conjunto indexante
F tiene cardinalidad menor o igual que n y está contenida en AK . Entonces ∪U Kα,n :
α < µ es una familia puntualmente finita en X . De hecho si existiese algún x ∈ X que
perteneciese a una cantidad infinita de miembros de ∪α<µU Kα,n, entonces existiría una
sucesión de ordinales β1 ≤ β2 ≤ ·· · ≤ βq ≤ . . . con
x ∈ ∩Uγ : γ ∈ F(βq) ∈ UK
βq,n, |F(βq)| ≤ n
y todos los F(βq) ⊂ AK , q = 1,2, . . . Como |F(βq)| ≤ n, q = 1,2, . . . y todos ellos son
diferentes, aplicando el lema 2.1.6 y la observación 2.1.7, podemos asumir que F(βq);
q = 1,2, . . . es un ∆−sistema de raíz R. En cualquier caso R F(β1) y existirá y ∈
Xβ1\∪V γ ;γ ∈ R. Entonces para cada q existe δ (q) ∈ F(βq) \R con y ∈ V δ (q) ya que
Xβ1⊂ Xβ2
. Pero entonces tenemos
(x,y) ∈∞⋂
q=1
Uδ (q)×Vδ (q)
y δ (q);q = 1,2, . . . ⊂ AK lo que contradice el hecho de que Uγ ×Vγ ;γ ∈ AK es pun-
tualmente finita ya que todos los δ (q);q = 1,2, . . . son elementos distintos de AK . Por
lo tanto tenemos que ∪Uα ;α < µ puede expresarse como
∪U Kα,n;α < µ;K ∈ K (M),n ∈ N
y tenemos que es una familia Σ-puntualmente finita formada por conjuntos abiertos y
Fσ de K y que es también T0-separadora. Para acabar la prueba es suficiente aplicar el
teorema tipo Rosenthal para los compactos de Gul’ko (teorema 2.4.6) y la observación
2.4.2 para concluir que K es un compacto de Gul’ko.
74 2.4 COMPACTOS DE GUL’KO
Observación 2.4.25. Con este último teorema y el corolario 2.4.18, damos una respuesta
positiva a la conjetura de G. Gruenhage [Gr3] (introducción) y por tanto quedan los
caracterizados los compactos de Gul’ko como aquellos en los que K2 \∆ es débilmente
σ−metacompacto.
Tenemos el siguiente:
Teorema 2.4.26. Sea X un compacto, son equivalentes:
(i) X es compacto de Gul’ko.
(ii) X2 \∆ es débilmente σ−metacompacto.
(iii) X2 es hereditariamente débilmente σ−metacompacto.
(iv) X tiene una network Σ−puntualmente finitamente extendible.
Definición 2.4.27. Se dice que una familia A de subconjuntos de un espacio topológico
es puntualmente numerablemente extendible si A tiene un extensión abierta puntual-
mente numerable, es decir, existe una familia UA;A ∈ A de conjuntos abiertos tales
que se cumple A ⊂UA para cada A ∈ A y, para cada, x ∈ X la familia A ∈ A ;x ∈UA
es numerable.
Como consecuencia del teorema 2.2 de [Gr3] y razonando como en (iv) ⇒ (iii) del
teorema 2.4.24, se tiene que un compacto con una network puntualmente numerablemente
extendible es un compacto de Corson. Parece natural hacerse la siguiente pregunta, pro-
blema 4.14.B de [D-J-P2].
Problema 2.4.28. ¿Los compactos de Corson se caracterizan por tener una network pun-
tualmente numerablemente extendible?.
Otra manera de describir familias Σ−puntualmente finitas en un espacio topológico
X es con el concepto de web [O], que nos permite ver la estructura combinatoria de las
familias Σ−puntualmente finitas. Para Σ ⊂ NN y A una familia de subconjuntos de X
suponemos que podemos asignar a cada σ ∈ Σ una subfamilia Aσ ⊂ A tal que A =
∪Aσ : σ ∈ Σ. Para σ = (bs) ∈ NN y n ∈ N denotamos por σ|n a la sucesión finita
(b1,b2, . . . ,bn). Si (a1,a2, . . . ,an) es una sucesión finita de naturales, definimos
DEMOSTRACIÓN: La implicaciones son consecuencia de la proposición 2.5.2.
Para ver que la primera implicación es estricta consideramos el compacto K de la sec-
ción 1.2 que es compacto de Talagrand y no es compacto de Eberlein (ejemplo 1.2.5).
Aplicando el teorema 2.2.11 se tiene que K2 \∆ no es σ−metacompacto. Ahora, aplican-
do el teorema 2.5.13 se tiene que K2 \∆ es NN−metacompacto.
Para comprobar que la segunda implicación es estricta también, consideramos el com-
pacto K de la sección 1.2 que es compacto de Gul’ko pero no es compacto de Talagrand
(ejemplo 1.2.6). Entonces por el teorema 2.4.24 se tiene que K2 \∆ es Σ−metacompacto,
pero como consecuencia del teorema 2.5.13 no puede ser NN−metacompacto.
A continuación estudiaremos una caracterización para familias NN-puntualmente finitas,
de manera análoga al estudio hecho en la sección anterior para familias Σ-puntualmente
finitas y con la misma finalidad.
Teorema 2.5.9. Para una familia A de subconjuntos de un conjunto dado X, las sigu-
ientes condiciones son equivalentes:
(i) A es NN-puntualmente finita;
84 2.5 COMPACTOS DE TALAGRAND
(ii) A es Σ-puntualmente finita de manera que las subfamilias AK de A se indexan a
través de elementos de K (M) siendo M un espacio Polaco;
(iii) A =⋃∞
n=1 An y para n1,n2, . . . ,nk,k ∈ N,
An1,...,nk =∞⋃
m=1
An1,n2,...,nk,m
tal que para cada α = (an) ∈ NN y para cada x ∈ X existe un entero n0 := n(α,x)
tal que ord(x,Aα|n0) < +∞.
DEMOSTRACIÓN: (ii) ⇒ (iii) Existe una aplicación continua y sobreyectiva ϕ : NN →
(K (M),dH), debido a que (K (M),dH) es también completo. Si definimos, para n1,n2, . . . ,nk,k∈
N
An1,...,nk := A ∈ A : A ∈ Aϕ(α) con α ∈ NN,α|k = (n1, . . . ,nk)
entonces tenemos una web de subfamilias
A =∞⋃
n=1
An y An1,...,nk =∞⋃
m=1
An1,...,nk,m
que verifica (iii) al aplicar el lema 2.4.3.
(iii) ⇒ (i) Dado α = (an) ∈ NN consideramos
Dα := A ∈ A : A ∈ Aa1,a2,...,an ,n = 1,2, . . .,
y tenemos, por las condiciones de web en (iii), que A =⋃Dα : α ∈ NN.
Tomemos Aα :=⋃Dβ : β ≤ α que cumple la igualdad y la condición (i) de la
definición 2.5.1. Además, para cada x ∈ X se tiene que ord(x,Aα) < +∞. Si esto no fuera
cierto, tendriamos una sucesión de elementos An in Aα con An 6= Am para n 6= m y
x ∈ ∩∞n=1An. Para cada entero n existe βn ≤ α tal que An ∈ Dβn
pudiendo asumir que (βn)
converge a algún β ≤ α en NN. Entonces, para cada p ∈ N, tenemos que βn|p = β |ppara n suficientemente grande, y por lo tanto An ∈ Aβ |p para n suficientemente grande, y
ord(x,Aβ |p) = ∞ también. Esto nos lleva a una contradicción con la propiedad (iii) lo que
finaliza la prueba.
El resultado anterior también se cumple para familias indexadas (de manera análoga
al teorema 2.4.20). Précisemos esto en la siguiente:
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 85
Observación 2.5.10 (Teorema 2.5.9 para familias indexadas). En este caso, la versión
para familias indexadas de la condición (iii) del teorema anterior queda de la siguiente
manera:
Existe una web In1,...,nk : (n1, . . . ,nk) ∈ Nk,k = 1,2, . . . de subconjuntos de I; e.d.
I = ∪∞n=1In y para n1,n2, . . . ,nk,k ∈ N tenemos
In1,...,nk = ∪∞m=1In1,n2,...,nk,m
de manera que para cada α = (an) ∈ NN y cada x ∈ X existe un entero n0 := n(α,x) tal
que
|i ∈ Ia1,a2,...,an0: x ∈ Ai| < ∞.
Para la prueba se utilizan los mismos argumentos que en el teorema 2.5.9, pero ha-
ciendo los razonamientos en este caso sobre el conjunto de índices, y utilizando el lema
2.4.21 en lugar del lema 2.4.3.
Teorema 2.5.11. Si un espacio topológico (X ,τ) tiene una network NN−puntualmente
finitamente extendible, entonces es hereditariamente NN−metacompacto.
DEMOSTRACIÓN: La prueba es análoga a la del teorema 2.4.22 de la sección anterior,
pero aplicando, en este caso, el teorema 2.5.9 y la observación 2.5.10.
El siguiente resultado es análogo al lema 2.5.12 de la sección anterior.
Lema 2.5.12. Sea B una base de un espacio topológico X, localmente compacto y NN-
metacompacto. Entonces B contiene un subcubrimiento B ′ tal que
B;B ∈ B′
es NN−puntualmente finito.
DEMOSTRACIÓN: Basta reemplazar los índices K ∈ K (M) por índices σ ∈ NN en la
prueba del lema 2.4.23.
Estamos en disposición de probar el resultado principal de esta sección.
Teorema 2.5.13. Sea K un compacto, son equivalentes:
(i) K es compacto de Talagrand.
86 2.5 COMPACTOS DE TALAGRAND
(ii) K2 \∆ es NN−metacompacto.
(iii) K2 es hereditariamente NN−metacompacto.
(iv) K tiene una network NN−puntualmente finitamente extendible.
DEMOSTRACIÓN: (i)⇒(iv) Se sigue del corolario 2.5.6.
(iv)⇒(iii) Es consecuencia de que la propiedad de tener una networkNN-puntualmente
finitamente extendible es estable por productos finitos junto con el teorema 2.5.11.
(iii)⇒(ii) No hay nada que probar.
(ii)⇒(i) Sigue el mismo esquema que la prueba del teorema 2.4.24. De hecho si K2\∆es hereditariamenteNN−metacompacto, entonces por el lema 2.5.12 existe un cubrimien-
to
P = Uγ ×Vγ ;γ ∈ A
de K2 \∆ tal que:
(a) Uγ y Vγ son abiertos Fσ en K.
(b) Uγ ∩Vγ = /0, ∀γ ∈ A.
(c) Uγ ×Vγ ;γ ∈ A es una familia NN−puntualmente finita.
(d) U ×V ∈ P implica V ×U ∈ P .
Ahora, si µ es el carácter de densidad de K y expresamos K = pα ;α < µ, definimos
para cada α < µKα := pβ ;β < α
y
Uα := ∩γ∈FUγ ;F ⊂ A y Vγ ;γ ∈ F es un cubrimiento finito y minimal sobre Kα
que es también un cubrimiento de K \ Kα . Entonces la familia ∪Uβ ;β < µ es T0-
separadora como en el teorema 2.2.11. Veamos que ∪Uβ ;β < µ es una familia NN-
puntualmente finita en K. De hecho, por (c) sabemos que U α ×V α ;α ∈ Aσ es una
familia puntualmente finita para cada σ ∈ NN, donde A =⋃
σ∈NN Aσ cumpliendo que
Aσ1 ⊂ Aσ2 cuando σ1 ≤ σ2 en NN.
Para σ ∈ NN y n ∈ N fijados, consideramos la familia U σα,n formada por todos los
elementos de Uα cuyo correspondiente conjunto indexante F tiene cardinalidad menor
o igual que n y está contenido en Aσ . Entonces ∪U σα,n : α < µ es una familia pun-
tualmente finita en K. Lo comprobamos por reducción al absurdo, si existe algún x ∈ X
perteneciendo a una cantidad infinita de elementos de ∪α<µU σα,n, entonces tendríamos
2. NETWORKS PARA DISTINTAS CLASES DE ESPACIOS COMPACTOS 87
una sucesión de ordinales β1 ≤ β2 ≤ ·· · ≤ βq ≤ . . . con
x ∈ ∩Uγ : γ ∈ F(βq) ∈ Uσ
βq,n, esto es |F(βq)| ≤ n
y todos F(βq) ⊂ Aσ , q = 1,2, . . . Ya que |F(βq)| ≤ n, q = 1,2, . . . y todos ellos son
distintos es posible asumir que F(βq);q = 1,2, . . . es un ∆−sistema de raíz R, lema
2.1.6 y observación 2.1.7. En cualquier caso R F(β1) y existirá y ∈ Kβ1\∪V γ ;γ ∈ R.
Entonces para cada q existe δ (q) ∈ F(βq) \ R con y ∈ V δ (q) ya que Kβ1⊂ Kβ2
. Pero
entonces tenemos que
(x,y) ∈∞⋂
q=1
Uδ (q)×Vδ (q)
y δ (q);q = 1,2, . . . ⊂ Aσ lo que contradice el hecho de que Uγ ×Vγ ;γ ∈ Aσ es pun-
tualmente finita ya que δ (q);q = 1,2, . . . son elementos diferentes en Aσ . Con esto
vemos que ∪Uα ;α < µ puede expresarse como
∪U σα,n;α < µ;σ ∈ NN,n ∈ N
y vemos que es una familia NN-puntualmente finita, formada por abiertos Fσ y que es
T0-separadora. Estamos pues en condiciones de aplicar el teorema tipo Rosenthal para los
compactos de Talagrand, teorema 1.4.2 apartado (iii), y concluir que efectivamente K es
un compacto de Talagrand.
88 2.5 COMPACTOS DE TALAGRAND
3Índice de no compacidad de
Kuratowski y renormamiento LUR.
Índice de no compacidad deKuratowski y renormamiento LUR.
El concepto de índice de no compacidad de Kuratowski ha sido utilizado en cone-
xión con propiedades de diferenciabilidad de funciones convexas en espacios de Banach,
[Gi-Mr], y en teoría de renormamientos de espacios de Banach, [T2].
En la primera sección de este capítulo definimos el índice de no compacidad de Ku-
ratowski, y relacionamos este concepto con la propiedad de σ−fragmentabilidad y la
propiedad JNR. En la segunda sección y, a través del superlema de Bourgain-Namioka,
caracterizamos a los conjuntos convexos dentables en un espacio normado como aquel-
los conjuntos que tienen slices de índice de Kuratowski arbitrariamente pequeño. En la
tercera sección introducimos el concepto de puntos denting y puntos quasi-denting de un
conjunto, y relacionamos índice de Kuratowski con índice de dentabilidad. En particular,
se prueba que el índice de dentabilidad del conjunto de los puntos quasi-denting de un
conjunto convexo, cerrado y acotado es numerable. Como consecuencia, se obtienen re-
sultados de renormamiento LUR para espacios normados. En particular obtenemos una
prueba geométrica del teorema de Troyanski que afirma: Un espacio de Banach X en el
que cada punto de la esfera unidad SX es un punto quasi-denting para la bola unidad
cerrada BX , admite una norma equivalente LUR, [T2]. En la cuarta sección obtenemos
un nuevo resultado sobre renormamiento que es consecuencia del teorema de Troyans-
ki mencionado anteriormente, además extendemos el proceso de derivación de Lancien
90 3.1 ÍNDICE DE KURATOWSKI, σ -FRAGMENTABILIDAD Y PROPIEDAD SLD.
("comiendo" ahora slices de índice de Kuratowski "pequeño") para el que seguirá siendo
válido el teorema de renormamiento obtenido al final de la sección precedente. Recorde-
mos que hay resultados sobre renormamiento LUR en espacios normados, en los cuales
se involucra una descomposición numerable de todo el espacio en subconjuntos con slices
de diámetro arbitrariamente pequeño (teorema 13 de la introducción). El principal logro
de la quinta sección es conseguir generalizar esos resultados, en el sentido de que se pue-
da sustituir, a la hora de medir el tamaño de los conjuntos, el diámetro por el índice de
Kuratowski. Como aplicación obtenemos un resultado sobre renormamiento LUR enun-
ciado desde un punto de vista topológico. De hecho probaremos que un espacio normado
admite una norma equivalente LUR si, y sólo si, la topología dada por la norma tiene una
network con una propiedad del tipo localmente finita respecto a slices, generalizando la
propiedad del tipo discreta respecto a slices aparecida en [M-O-T-V], (teorema 1.7.3).
3.1 Índice de Kuratowski, σ -fragmentabilidad y pro-
piedad SLD.
En esta primera sección analizamos cómo el índice de no compacidad de Kuratows-
ki puede reemplazar al diámetro en las nociones de σ -fragmentabilidad y cubrimiento
numerable por conjuntos de diámetro local pequeño. Comenzamos recordando algunas
definiciones que aparecieron en la introducción.
Definición 3.1.1. Sea X un espacio métrico, para un subconjunto acotado A ⊂ X defini-
mos su índice de no compacidad de Kuratowski como:
α(A) := ınfε > 0;A ⊂n⋃
i=1
Bi con diam(Bi) < ε y n ∈ N
ABi
qdiamBi < ε
3. ÍNDICE DE NO COMPACIDAD DE KURATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR 91
Definición 3.1.2. Sea X un espacio normado, decimos que el subespacio F ⊂ X ∗ es nor-
mante si, al definir
|||x||| = sup| f (x)|; f ∈ F ∩BX∗, para cada x ∈ X
obtenemos una norma equivalente para X. Cuando la norma original coincida con ||| · |||,
se dice que F es 1−normante.
A lo largo de este capítulo denotaremos por σ(X ,F) la topología en X de convergencia
puntual sobre elementos de F , y todas las clausuras son respecto a esta topología si no se
especifica lo contrario.
Lema 3.1.3. Si X es un espacio normado, F ⊂ X ∗ es un subespacio 1-normante y A ⊂ X
un subconjunto acotado. Entonces:
diam(A) = diam(A)
DEMOSTRACIÓN: La norma ||| · ||| es inferiormente semicontinua para σ(X ,F) y de aquí
la conclusión.
Recordamos que fijados f ∈ X∗, δ ∈ R el conjunto
H = x ∈ X ; f (x) > δ
se denomina semiespacio abierto de X , si f ∈ F lo denominaremos σ(X ,F)−semiespa-
cio abierto de X . Denotaremos por H(F) la familia de todos los σ(X ,F)−semiespacios
abiertos de X . Si fijamos un subconjunto A ⊂ X , el conjunto:
H ∩A, con H ∈H(X∗)
se denomina un slice de A, si H ∈ H(F) lo denominaremos σ(X ,F)−slice. Veamos
qué relación hay entre el índice de Kuratowski de un σ(X ,F)−slice de A y el de un
σ(X ,F)−slice de A (dados por el mismo semiespacio).
Proposición 3.1.4. Sea X un espacio normado, F ⊂X ∗ un subespacio 1-normante, A⊂X
un subconjunto acotado y H ∈H(F) con α(A∩H) < ε . Entonces α(A∩H) < ε
DEMOSTRACIÓN: Por hipótesis existen B1, . . . ,Bn conjuntos con diam(Bi) < ε para i =
1, . . . ,n, cumpliendo:
A∩H ⊂n⋃
i=1
Bi
92 3.1 ÍNDICE DE KURATOWSKI, σ−FRAGMENTABILIDAD Y PROPIEDAD SLD
Entonces podemos escribir:
A∩H ⊂ A∩H ⊂n⋃
i=1
Bi
donde
diam(Bi) < ε para i = 1, . . . ,n
Para acabar la demostración basta probar la primera inclusión anterior. Fijemos x ∈ A∩H
y U 3 x un σ(X ,F)−abierto, entonces U ∩H es también σ(X ,F)−abierto que contiene a
x y corta a A. Por lo tanto
U ∩H ∩A 6= φ
como consecuencia x ∈ A∩H.
En el siguiente resultado relacionamos el concepto de σ−fragmentabilidad (sección
1.5) con el de índice de Kuratowski.
Teorema 3.1.5. Sea X un espacio normado y F ⊂X ∗ un subespacio normante. El espacio
topológico (X ,σ(X ,F)) está σ−fragmentado por la norma de X si, y sólo si, para cada
ε > 0, podemos escribir
X =∞⋃
n=1
Xεn
donde cada conjunto X εn , n ≥ 1, tiene la propiedad que para cada φ 6= A ⊂ X ε
n existe un
conjunto abierto U ∈ σ(X ,F) tal que A∩U 6= φ y
α(U ∩A) < ε
DEMOSTRACIÓN: No perdemos generalidad asumiendo de entrada que trabajamos con
la norma ||| · |||, esto es, que F es 1-normante.
Supongamos que dado ε > 0 podemos descomponer
X =⋃
n
Xεn
de tal manera que si φ 6= A ⊂ X εn , existe un σ(X ,F)−abierto U ∈ σ(X ,F) tal que A∩U 6=
φ y
α(U ∩A) < ε
Entonces existirán B1, . . . ,Bk subconjuntos de X σ(X ,F)−cerrados, tales que
U ∩A ⊂k⋃
i=1
Bi y diam(Bi) < ε
3. ÍNDICE DE NO COMPACIDAD DE KURATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR 93
Reduciendo el número de elementos en el cubrimiento, si es necesario, podemos suponer
que
(B1 ∩U ∩A)\ (k⋃
i=2
Bi) 6= φ
Denotamos F :=⋃k
i=2 Bi y consideramos el conjunto σ(X ,F)−abierto
V := U ∩ (X \F)
Se observa que V ∩A 6= φ y de esta forma V ∩A ⊂U ∩B1, luego diam(V ∩A) < ε .
Dado un espacio normado X y F ⊂ X∗ un subespacio normante, relacionaremos la
propiedad ‖ · ‖-SLD de (X ,σ(X ,F)) (ver introducción) con el concepto de índice de
Kuratowski.
Teorema 3.1.6. Para un espacio normado X y F ⊂ X ∗ un subespacio normante, un con-
junto A⊂ (X ,σ(X ,F)) tiene la propiedad ‖ · ‖-SLD si, y sólo si, para cada ε > 0 podemos
descomponer
A =∞⋃
n=1
Aεn
tal que para cada x ∈ Aεn, existe un conjunto U que es σ(X ,F)−abierto y contiene a x,
tal que
α(U ∩Aεn) < ε
DEMOSTRACIÓN: Haremos la prueba para todo el espacio X. De nuevo podemos asumir
que ||| · ||| es la norma original. Supongamos que dado ε > 0 podemos descomponer
X =⋃
n
Xεn
de tal manera que si x ∈ X εn , existe un σ(X ,F)−abierto U 3 x tal que
α(U ∩Xεn ) < ε
Entonces existirán B1, . . . ,Bk subconjuntos de X σ(X ,F)−cerrados, tales que
U ∩Xεn ⊂
k⋃
i=1
Bi y diam(Bi) < ε
94 3.1 ÍNDICE DE KURATOWSKI, σ−FRAGMENTABILIDAD Y PROPIEDAD SLD
Consideramos el σ(X ,F)−abierto
V := X \⋃
Bi;x 6∈ Bi
Si ∪Bi;x 6∈ Bi es vacío se tiene que diam(U ∩X εn ) < 2ε , en otro caso se observa que
x ∈V y claramente diam(V ∩U ∩X εn ) < 2ε .
Para acabar esta sección veremos una aplicación del teorema anterior. Antes, es nece-
sario que veamos algunas nociones previas.
Definición 3.1.7. Sea (X ,τ) un espacio topológico y A = Aα ;α ∈ I una familia de
subconjuntos de X. Se dice que A es:
(i) Relativamente localmente finita respecto a τ si para todo elemento x ∈ ∪Aα ;α ∈
I, existe un conjunto τ-abierto, U, que contiene a x y tal que
|α;U ∩Aα 6= φ| < +∞
(ii) σ -Relativamente localmente finita respecto a τ , si se puede expresar como unión
numerable de subfamilias relativamente localmente finitas respecto a τ .
Con esto obtenemos la siguiente consecuencia sobre la caracterización con network
de la propiedad de cubrimiento numerable por conjuntos de diámetro local pequeño:
Corolario 3.1.8. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante. Las si-
guientes condiciones son equivalentes:
(i) La topología en X dada por la norma admite una network que es σ -relativamente
localmente finita respecto a la topología σ(X ,F).
(ii) (X ,σ(X ,F)) tiene la propiedad ‖ · ‖-SLD.
DEMOSTRACIÓN: Teniendo en cuenta la proposición 2 de [M-O-T-V] y la proposición 1.9
de [On2] (ver también teoremas 1.7.2 y 1.7.3), basta probar (i) ⇒ (ii). Para esto supong-
amos que
N =∞⋃
n=1
Nn
es la network que satisface (i). No es restrictivo suponer que cada subfamilia Nn está
formada por conjuntos disjuntos dos a dos. De hecho, si las familias Nn no son disjuntas,
podemos expresar
Nm
n := N1 ∩·· ·∩Nm;Ni ∈ Nn; i = 1, . . . ,m
3. ÍNDICE DE NO COMPACIDAD DE KURATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR 95
y
Smn := x ∈ ∪N
mn ; |N ∈ Nn;x ∈ N| = m
Entonces la familia
Mmn = N
mn ∩Sm
n := N ∩Smn ;N ∈ N
mn
está formada por conjuntos disjuntos dos a dos; la familia Mn :=⋃
m M mn es un refi-
namiento de Nn, y por lo tanto, para cada n,m∈N, la familia M mn es σ(X ,F)-relativamen-
te localmente finita. Además la familia M =⋃
n,m M mn es una network para la norma.
Veamos ahora que (X ,σ(X ,F)) tiene la propiedad ‖ · ‖-SLD. Para ello fijamos ε > 0
y definimos, para cada n ∈ N
Xεn = x ∈ X ;∃N ∈ Nn con x ∈ N ⊂ B(x;ε)
Ya que N es una network para la ‖ · ‖ −topología, se tiene que
X =⋃
n
Xεn
Fijamos un elemento x ∈ X εn , por ser N σ -relativamente localmente finita respecto a
σ(X ,F), existirá U ∈ σ(X ,F) conteniendo a x tal que
U⋂
(∪N;N ∈ Nn) = U ∩N1 ∪U ∩N2 ∪·· ·∪U ∩Np
para un subconjunto finito N1, . . . ,Np de Nn. Más aún, si consideramos y ∈ U ∩X εn
entonces
y ∈U ∩N j para algún j ∈ 1, . . . , p
por ser los N j disjuntos y por la definición de los conjuntos X εn , y al ser cada Nn disjunta,
se tiene que
y ∈ N j ⊂ B(y;ε)
por lo que tal conjunto N j cumple que diam(N j) < 2ε . Como consecuencia tenemos
p1, . . . p f ⊂ 1, . . . , p tal que
U ∩Xεn ⊂ Np1 ∪·· ·∪Np f
donde
diam(Npi) < 2ε para todo i = 1, . . . , p f
96 3.2 ÍNDICE DE KURATOWSKI Y DENTABILIDAD.
Por lo tanto
α(U ∩Xεn ) < 2ε
aplicando el teorema 3.1.6, se concluye la prueba.
Observación 3.1.9. Los teoremas 3.1.5, 3.1.6 y el corolario 3.1.8 son también ciertos si
consideramos un espacio topológico (X ,τ) y d una métrica inferiormente semicontinua.
De hecho las mismas pruebas sirven.
3.2 Índice de Kuratowski y dentabilidad.
De cara a los siguientes resultados fijemos un poco más de notación. Sea A un sub-
conjunto acotado de un espacio métrico X y p ≥ 1 un entero. Escribiremos
α(A, p) := ınfε;A ⊂ ∪pi=1Bi con diam(Bi) < ε
se cumple que
α(A) = ınfα(A, p); p = 1,2, . . .
Lema 3.2.1. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio 1−normante. Fijamos
C, C0 y C1 subconjuntos de X convexos, σ(X ,F)−cerrados y acotados. Sea p un entero
positivo, ε > 0 y M = diam(C0 ∪C1). Asumimos que:
(i) C0 ⊂C y α(C0, p) < ε ′ < ε .
(ii) C 6⊂C1.
(iii) C ⊂ co(C0,C1).
Además si r es un número positivo tal que 2rM + ε ′ < ε y consideramos
Dr := (1−λ )x0 +λx1;r ≤ λ ≤ 1,x0 ∈C0,x1 ∈C1
entonces
C \Dr 6= φ y α(C \Dr, p) < ε.
Gráficamente, las hipótesis del lema las podemos representar de la siguiente manera.
3. ÍNDICE DE NO COMPACIDAD DE KURATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR 97
C
C0
...............................
C1
.................................
...............................
.............................
....................
..........
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El subconjunto C0 ⊂C es "relativamente" pequeño.
Al aplicar el lema, la situación quedaría de esta manera.
C1co(C0, C1)
C0
CDr
El conjunto C \Dr sigue siendo "relativamente" pequeño.
Observación 3.2.2. Para p = 1 el lema no es más que el superlema de Bourgain-Namioka
(pág. 157, [D]). Siguiendo la prueba de este caso, no es difícil ver que también es cier-
to para cualquier p ∈ N. Pero ya que más adelante usaremos los detalles de la prueba,
daremos la demostración completa.
DEMOSTRACIÓN: Para 0 ≤ r ≤ 1 definimos:
Dr := (1−λ )x0 +λx1;r ≤ λ ≤ 1,x0 ∈C0,x1 ∈C1
Se observa que Dr es convexo, D0 ⊃C, D1 = C1. Para 0 < r < 1 probaremos que
C \Dr 6= φ
Probaremos esta última afirmación. Como C 6⊂C1, existe f ∈ F cumpliendo
sup f (C1) < sup f (C)
Si existiera r > 0 con C ⊂ Dr, se tendría
sup f (C) ≤ sup f (Dr) = sup f (Dr) ≤
98 3.2 ÍNDICE DE KURATOWSKI Y DENTABILIDAD
≤ (1− r)sup f (C0)+ r sup f (C1) ≤
≤ (1− r)sup f (C)+ r sup f (C1)
Lo cual nos llevaría a la conclusión de que
sup f (C) ≤ sup f (C1)
que es una contradicción.
Tomamos x ∈ D0 \Dr, entonces existe x0 ∈C0 tal que se cumple
‖ x− x0 ‖≤ rM (∗)
Para ver ésto último expresamos
x = (1−λ )x0 +λx1 donde x0 ∈C0,x1 ∈C1
Como x 6∈ Dr, se debe cumplir que 0 ≤ λ < r. Se sigue que
‖ x− x0 ‖= λ ‖ x0 − x1 ‖< r sup‖ y− z ‖;y ∈C0,z ∈C1 ≤ rM
Como α(C0, p) < ε ′ < ε , podemos escribir
C0 ⊂p
⋃
i=1
Bi
con diam(Bi) < ε ′. Además fijamos r > 0 tal que 2rM + ε ′ < ε . Observamos que:
D0 \Dr ⊂C0 +B(0;rM) ⊂p
⋃
i=1
Bi +B(0;rM)
donde la primera inclusión viene de la condición (*). Entonces
C \Dr ⊂ D0 \Dr ⊂p
⋃
i=1
Bi +B(0;rM)
Y los conjuntos Bi +B(0;rM) tienen diámetro menor que 2rM + ε ′ < ε .
A continuación, un resultado cuya prueba es una consecuencia del lema anterior para
p = 1.
3. ÍNDICE DE NO COMPACIDAD DE KURATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR 99
Proposición 3.2.3. Sea X un espacio normado y F ⊂X ∗ un subespacio 1−normante. Si B
es un subconjunto de X σ(X ,F)−cerrado, acotado y convexo y H ∈H(F) con H ∩B 6= φy
α(H ∩B) < ε
entonces existe otro semiespacio G ∈H(F) σ(X ,F)−abierto cumpliendo
φ 6= G∩B ⊂ H ∩B, y diam(G∩B) < ε
DEMOSTRACIÓN: Hacemos la prueba por inducción en p, donde α(H ∩B, p) < ε . Para
p = 1 no hay nada que probar. Supongamos que la afirmación es cierta para p ≤ n−1 y
escribimos:
H ∩B ⊂ BH1 ∪BH
2 ∪·· ·∪BHn
donde cada BHi es un conjunto convexo y σ(X ,F)−cerrado con diam(BH
i ) < ε .
Si definimos L1 := co(B\H,BH1 ∩B), tenemos dos posibilidades:
(i) L1 ⊂ B y L1 6= B, entonces podemos elegir y ∈ B \L1 y, por el teorema de Hahn-
Banach, existe un semiespacio H ∈ H(F) con y ∈ H y H ∩B ⊂ H ∩B. Pero H ∩B ⊂
BH2 ∪·· ·∪BH
n , aplicando la hipótesis de inducción obtenemos el semiespacio G ∈H(F).
B
H
BH1
L1
:
Cubierto porn− 1 conjuntos.
H
(ii) B = L1, en este caso aplicamos el resultado anterior para p = 1 con los conjuntos
C0 = BH1 ∩B y C1 = B\H para obtener un semiespacio abierto G ∈H(F) con G∩BH
1 6= φ ,
G∩B ⊂ H ∩B y diam(G∩B) < ε .
B = L1
H
BH1
U
*
Dr
G
1diametromenor que ε
100 3.3 ÍNDICE DE DENTABILIDAD DE PUNTOS QUASI-DENTING.
Como corolario del resultado anterior, obtenemos una mejora de un resultado de
Gilles y Moors (teoremas 4.2 y 4.3 de [Gi-Mr]). Antes veamos la definición de conjunto
dentable.
Definición 3.2.4. Sea X un espacio normado y F ⊂ X ∗ un subespacio normante. Se dice
que el subconjunto acotado B ⊂ X es σ(X ,F)−dentable si para cualquier ε > 0, existe
H ∈H(F) tal que H ∩B 6= φ y
diam(H ∩B) < ε
Corolario 3.2.5. Para un espacio normado X, un subespacio F ⊂ X ∗ normante y un
subconjunto B ⊂ X σ(X ,F)−cerrado, convexo y acotado. Son equivalentes:
(i) B es σ(X ,F)−dentable.
(ii) B tiene σ(X ,F)−slices de índice de Kuratowski arbitrariamente pequeño.
DEMOSTRACIÓN: Podemos trabajar con la norma equivalente ||| · ||| dada por el subespa-
cio normante F y aplicar la proposición anterior para cada ε > 0.
Observación 3.2.6. I. Namioka nos ha informado recientemente que el corolario 3.2.5
aparece ya en una publicación del Seminario Rainwater (I. Namioka “Characterizations
of closed convex sets with the RNP, following Bourgain and Stegall”. Rainwater Seminar
Functional Analysis, October 1976).
3.3 Índice de dentabilidad de puntos quasi-denting.
En esta sección daremos la prueba geométrica del teorema de Troyanski sobre renor-
mamiento LUR de espacios de Banach donde los puntos de la esfera unidad son puntos
quasi-denting en la bola unidad (Teorema 6 de la introducción). Comenzamos esta sección
recordando y estudiando algunas definiciones que aparecieron en la introducción.
Definición 3.3.1. Sea X un espacio normado, F ⊂ X ∗ un subespacio normante, A ⊂ X
un subconjunto y ε > 0 fijado. Se dice que:
3. ÍNDICE DE NO COMPACIDAD DE KURATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR 101
(i) Un punto x ∈ A ⊂ X es ε −σ(X ,F)−denting (resp. ε −σ(X ,F)−quasi-denting), si
existe H ∈H(F) conteniendo a x y cumpliendo
diam(A∩H) < ε (resp. α(A∩H) < ε)
HA
>diam(A ∩H) < ε
H
A
>diam(A ∩H) < ε
(ii) Un punto x ∈ A ⊂ X es σ(X ,F)−denting (resp. σ(X ,F)−quasi-denting), si ∀ε > 0
existe H ∈H(F) conteniendo a x y cumpliendo
diam(A∩H) < ε (resp. α(A∩H) < ε)
De la definición anterior se observa que cualquier punto denting es quasi-denting. Sin
embargo, la implicación contraria no es cierta, como veremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.3.2. Sea ei4i=1 la base de vectores unitarios de R4 y definimos el conjunto:
T := e1,e1 ± e2,e1 + e2 ± e3,e1 − e2 ± e4
Entonces los puntos e1, e1 +e2 y e1−e2 son puntos quasi-denting enT que no son denting.
DEMOSTRACIÓN: Como T es un conjunto finito se cumple que α(T) = 0, por lo que e1 es
un punto quasi-denting en T. Ahora, consideramos un semiespacio abierto H conteniendo
a e1, entonces o bien e1 + e2 ∈ H o bien e1 − e2 ∈ H, ya que, si ninguno de los dos
elementos está en H, por convexidad e1 6∈ H. Además la distancia entre e1 y cualquiera
de los dos elementos anteriores es 1. El mismo razonamiento sirve para los otros puntos
y se concluye la prueba.
102 3.3 ÍNDICE DE DENTABILIDAD DE PUNTOS QUASI-DENTING
T
e1
e1 + e2
e1 − e2
e1 + e2 + e3
e1 + e2 − e3
e1 − e2 + e4
e1 − e2 − e4
6
I
R
-
A continuación nos vamos a centrar en estudiar puntos σ(X ,F)-denting y puntos
σ(X ,F)quasi-denting de la bola unidad cerrada BX de un espacio normado. Estudiaremos
un ejemplo, extraído de [T2], de un espacio de Banach donde todos los puntos de la es-
fera unidad SX son puntos quasi-denting en la bola unidad cerrada BX . Sin embargo, hay
puntos en dicha esfera que no son denting en la bola. Fijemos la siguiente notación:
En el espacio vectorial C[0,1] consideramos la norma completa
|x| := |x|∞ ++∞
∑i=1
2−iw(x,2−i)
donde | · |∞ es la norma del supremo y w(x,δ ) es el módulo de continuidad de x, es decir,
w(x,δ ) := supx(t ′)− x(t ′′); |t ′− t ′′| ≤ δ
Ejemplo 3.3.3. En el espacio de Banach (C[0,1], | · |), cualquier punto de la esfera unidad
es un punto quasi-denting de la bola unidad cerrada.
DEMOSTRACIÓN: Definimos
|x|n := |x|∞ + ∑i<n
2−iw(x,2−i)
Sea |x| = 1, y ε > 0. Podemos encontrar m tal que w(x,2−m) < ε/2, y definimos
K := u; |u|m ≤ 1−2−mε
K es convexo y cerrado y x 6∈ K, veamos esto último:
1 = |x|m + ∑i≥m
2−iw(x,2−i) < |x|m +ε2 ∑
i≥m2−i =
= |x|m +ε2
2−m2 = |x|m +2−mε
3. ÍNDICE DE NO COMPACIDAD DE KURATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR 103
por lo que |x|m > 1−2−mε . Como consecuencia existirá f ∈C∗[0,1], | f | = 1 tal que
f (x) > sup f (K)
Consideramos δ = 1− sup f (K)>0, y B = u; |u| ≤ 1. Sea u ∈ SB( f ,δ ), entonces u 6∈ K,
por lo que |u|m > 1−2−mε . Como |u| ≤ 1 llegamos a que w(u,2−m) < ε , por lo tanto
SB( f ,δ ) ⊂ Fε2−m := u ∈ B; supu(t ′)−u(t ′′) ≤ ε si |t ′− t ′′| ≤ 2−m
Si probamos que
α(Fε2−m) ≤ ε
habremos acabado. Como [0,1] es compacto podemos expresar
[0,1] ⊂N⋃
i=1
B(xi;2−m)
Aplicando el lema de Urysohn, ver [E], existe un sucesión finita φiNi=1 de funciones
continuas cumpliendo 0≤ φi ≤ 1, supp(φi)⊂B(xi;2−m) para cada i = 1, . . . ,N y ∑Ni=1 φi =
1.
Fijado u ∈ Fε2−m , definimos
u(x) :=N
∑i=1
u(xi)φi(x)
entonces se cumple
|u(x)− u(x)| = |u(x)−N
∑i=1
u(xi)φi(x)| =
= |N
∑i=1
u(x)φi(x)−N
∑i=1
u(xi)φi(x)| ≤N
∑i=1
|u(x)−ui(x)|φi(x) =
= ∑i;x∈supp(φi)
|u(x)−u(xi)|φi(x) ≤ ε ∑i
φi(x) = ε
Definimos entonces el conjunto relativamente compacto
Kε2−m := spanφi; i = 1, . . . ,N∩B
Entonces α(Kε2−m) = 0, es decir, lo puedo cubrir por una cantidad finita de bolas de
diámetro arbitrariamente pequeño. Atendiendo a que
distancia( f ,Kε2−m) ≤ ε para todo f ∈ Fε
2−m
104 3.3 ÍNDICE DE DENTABILIDAD DE PUNTOS QUASI-DENTING
se concluye que
α(Fε2−m) ≤ ε
Veamos la siguiente observación sobre el ejemplo anterior.
Observación 3.3.4. En el espacio de Banach (C[0,1], | · |), no todo punto de la esfera
unidad es un punto denting de la bola unidad cerrada.
DEMOSTRACIÓN: Utilizando una caracterización de [L-L-T], basta probar que existen
f ,g,h ∈C[0,1] con | f | = |g| = |h| = 1 cumpliendo f = 12g+ 1
2h, en esta situación se dice
que f es un punto no extremal de la esfera unidad de (C[0,1], | · |). Hay que observar que
la norma | · | mide, no sólo el máximo valor de una función, sino también su pendiente.
Por lo tanto al compensar el valor máximo con la pendiente, se obtienen funciones que
están en la esfera unidad. Con esto en mente definimos las siguientes funciones:
f (x) =
x+ 16 , x ≤ 1
276 − x, x > 1
2
; g(x) =
65x, x ≤ 1
265(1− x), x > 1
2
; h(x) =
45x+ 1
3 , x ≤ 12
1715 −
45x, x > 1
2
Gráficamente tenemos:
1/2
11/15
2/3
3/5
1
1/6
1/3
y = g(x)
y = f(x)
y = h(x)
X
Y
Vamos a probar primero la condición | f | = |g| = |h| = 1.
(a) | f |∞ = 23 y w( f ,2−i) = sup| f (x +2−i)− f (x)|;x ∈ [0,1] = 2−i, donde la última
igualdad se debe a que
| f (x+2−i)− f (x)| = x+2−i − x = 2−i, si x+2−i ≤ 12
3. ÍNDICE DE NO COMPACIDAD DE KURATOWSKI Y RENORMAMIENTOS LUR 105
y
| f (x+2−i)− f (x)| = |76 − x−2−i − 7
6 + x| = 2−i, si x ≥ 12
En cualquier otro caso | f (x + 2−i)− f (x)| es menor que en los casos anteriores (ver la