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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA
JEFFERSON DE LA CRUZ
QUINTO ELECTRÓNICA
02/05/15
CAPITULO 2: TECNICAS DE CONTEO
NOTACIÓN FACTORIAL Y COEFICIENTES BINOMIALES
2.38. Encuentre: a) 10!, 11!, 12!
10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3628800
11! = 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 39916800
12! = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 479001600
b) 60!
60! = 𝑛! ≈ √2𝜋𝑛𝑛𝑛𝑒−𝑛
log(60!) = √2𝜋(60)(6060)𝑒−60
log(60!) =1
2𝑙𝑜𝑔120 +
1
2log(𝜋) + 60𝑙𝑜𝑔60 − 60 log(𝑒)
log(60!) ≈ 81.92
𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔(81.92) = 8.31 × 1081
2.39. Calcule
a) 16!
14! = 16x15x14!
14! = 240
b) 14!
11! =
14x13x12x11!
11! = 2184
c) 8!
10! =
8!
10x9x8! = 0,011
d) 10!
13! =
10!
13x12x11x10! = 5,82 x 10-4
2.40. Simplifique:
a) (𝑛+1)!
𝑛!
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(𝑛 + 1)!
𝑛!=(𝑛 + 1)𝑛!
𝑛!= 𝑛 + 1
b) 𝑛!
(𝑛−2)!
𝑛!
(𝑛 − 2)!=𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)!
(𝑛 − 2)!= 𝑛(𝑛 − 1) = 𝑛2 − 𝑛
c) (𝑛−1)!
(𝑛+2)!
𝑛!
(𝑛 − 2)!=𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)!
(𝑛 − 2)!= 𝑛(𝑛 − 1) = 𝑛2 − 𝑛
d) (𝑛−𝑟+1)!
(𝑛−𝑟−1)!
(𝑛 − 𝑟 + 1)!
(𝑛 − 𝑟 − 1)!=(𝑛 − 𝑟 + 1)(𝑛 − 𝑟)(𝑛 − 𝑟 − 1)!
(𝑛 − 𝑟 − 1)!= (𝑛 − 𝑟 + 1)(𝑛 − 𝑟)
2.41. Calcule
a) (52) = (
53) =
5x4x3
3x2x1 = 10
b) (73) = (
74) =
7x6x5x4
4x3x2x1 = 35
c) (142) = (
1412
) = 14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3
12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 91
d) (64) = (
62) =
6x5
2x1 = 15
e) (2017
) = (203) =
20x19x18
3x2x1 = 1140
f) (1815
) = (183) =
18x17x16
3x2x1 = 816
2.42. Demuestre que:
a) (n0) + (n
1) + (n
2) + (n
3) + ⋯+ (n
n) = 2n
b) (n0) − (n
1) + (n
2) − (n
3) + ⋯± (n
n) = 0
Teorema del Binomio:
(a + b)n = ∑(n
k)an−kbk
n
k=0
a) (n0) + (n
1) + (n
2) + (n
3) + ⋯+ (n
n) = 2n
2n = (1 + 1)n
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(1 + 1)n = (n
0) 1n10 + (
n
1)1n−111 + (
n
2)1n−212 + (
n
3)1n−313 +⋯+ (
n
n) 1n−n1n
n = 0
(1 + 1)n = (n
0) 1010 + (
n
1)10−111 + (
n
2)10−212 + (
n
3)10−313 +⋯+ (
n
n)101n
(1 + 1)n = (n
0) + (
n
1) + (
n
2) + (
n
3) +⋯+ (
n
n)
∴ (2)n = (n
0) + (
n
1) + (
n
2) + (
n
3) +⋯+ (
n
n)
b) (n0) − (n
1) + (n
2) − (n
3) + ⋯± (n
n) = 0
(1 − 1)n = 0
(1 − 1)n = (n
0) 1n(−1)0 + (
n
1)1n−1(−1)1 + (
n
2)1n−2(−1)2 + (
n
3)1n−3(−1)3 +⋯
+ (n
n) 1n−n(−1)n
n = 0
(1 − 1)n = (n
0) 10(−1)0 + (
n
1)10−1(−1)1 + (
n
2) 10−2(−1)2 + (
n
3)10−3(−1)3 +⋯
+ (n
n) 10−n(−1)n
(1 − 1)n = (n
0) − (
n
1) + (
n
2) − (
n
3) +⋯± (
n
n)
∴ 0 = (n0) − (n
1) + (n
2) − (n
3) + ⋯± (n
n)
2.43. Evalué los siguientes coeficientes multinomiales
a) (6
2,3,1) =
6x5x4x3x2x1
2x1x3x2x1x1= 60
b) (7
3,2,2,0) =
7x6x5x4x3x2x1
3x2x1x2x1x2x1x1= 210
c) (9
3,5,1) =
9x8x7x6x5x4x3x2x1
3x2x1x5x4x3x2x1x1 = 504
d) (8
4,3,2) =
8x7x6x5x4x3x2x1
4x3x2x1x3x2x1x2x1 = 𝑁𝑜𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
2.44. Encuentre en la filas (a) novena y (b) décima del triángulo de Pascal, suponiendo que la
siguiente es la fila octava.
1828567056288 → octava fila
a) 𝑁𝑜𝑣𝑒𝑛𝑎𝑓𝑖𝑙𝑎:193684126126843691
b) 𝐷é𝑐𝑖𝑚𝑎𝑓𝑖𝑙𝑎 ∶ 1104512021025221012045101
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PRINCIPIOS DE CONTEO, REGLAS DE ADICIÓN Y DE MULTIPLICACIÓN
2.45. Una tienda vende ropa para hombre. Allí tienen 3 clases diferentes de chaquetas, 7
clases diferentes de camisas y 5 clases diferentes de pantalones. Encuentre el número de
formas en que una persona puede comprar
a) un artículo para un regalo
b) uno de cada uno de los artículos
a) 3 + 7 + 5 = 15
b) 3𝑥7𝑥5 = 105
2.46. Un restaurante tiene en su menú de postres 4 clases de ponqués, 2 clases de galletas y 3
clases de helado. Encuentre el número de formas en las que una persona puede seleccionar:
a) Uno de los dos postres.
b) uno de cada clase de postre.
a) n = 4 + 2 + 3 = 9selecciones
b) n = 4 ∗ 2 ∗ 3 = 24selecciones
2.47. Una clase está conformada por 8 estudiantes hombre y 6 estudiantes mujeres.
Encuentre el número de formas en que la clase puede elegir:
a) uno representante para la clase
b) dos representantes para la clase un hombre y una mujer
c) un presidente y un vicepresidente
a) 8 + 6 = 14
b) 8𝑥6 = 48
c) 14𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑝𝑎𝑟𝑎𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑦13𝑝𝑎𝑟𝑎𝑣𝑖𝑐𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑃𝑜𝑟𝑙𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜
𝑛 = 14𝑥13
𝑛 = 182
2.48. Suponga que una clave consiste en 4 caracteres donde el primer carácter debe ser una
letra del alfabeto, pero cada uno de los demás caracteres puede ser una letra o un dígito.
Encuentre el número de:
a) Palabras clave
b) palabras clave que empiezan con una de las 5 vocales.
a) n = 26 ∗ 36 ∗ 36 ∗ 36 = 1213056palabrasclaves
b) n = 5 ∗ 36 ∗ 36 ∗ 36 = 233280palabrasclave
2.49. Suponga que un código consiste en 2 letras seguida de 3 dígitos. Encuentre el número
de a) códigos, b) códigos con letras diferentes c) códigos con las mismas letras.
a) 𝑛 = 26 ∗ 26 ∗ 10 ∗ 10 ∗ 10 = 676000
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b) 𝑛 = 26 ∗ 25 ∗ 10 ∗ 10 ∗ 10 = 650000
c) 𝑛 = 26 ∗ 10 ∗ 10 ∗ 10 = 26000
2.50. Hay 6 caminos entre caminos A y B y 4 caminos entre B y C. Encuentre el número n de
formas en las cuales una persona puede conducir:
a) desde A hasta C a través de B
b) viaje de ida y regreso desde A hasta C a través de B
c) viaje de ida y regreso desde A hasta C a través de B sin utilizar el mismo camino más de
una vez.
𝐷𝑒𝐴ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎𝐵 = 6𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝐷𝑒𝐵ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎𝐶 = 4𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
a) 𝑛 = 6 ∗ 4 = 24𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠𝑑𝑒𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝐶
b) Con las 24 formas de ir hacia C, también existen 24 formas de
regresar 𝑛 = 24 ∗ 24 = 576𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠𝑑𝑒𝑖𝑑𝑎𝑦𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜.
c) 𝐴6→𝐵
4→ 𝐶
𝐶3→𝐵
5→𝐴
𝑛 = 6 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 5 = 360𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠𝑑𝑒𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒𝑙𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
PERMUTACIONES Y MUESTRAS ORDENADAS
2.51. Encuentre el número n de formas en que un juez puede otorgar el primero, segundo y
tercer lugar en un concurso con 18 participantes
Resolución
n = 18 x 17 x 16 = 4896
2.52. Encuentre el número de 𝑛 formas en que 6 personas pueden subirse a un tobogán
donde:
a) cualquiera puede manejar
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b) uno de 3 debe manejar.
a) 𝑛 = 𝑃(6,6) = 6! = 720𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠
b) 3,5,4,3,2,1 → 𝑛 = 3𝑥(5!) = 360𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠
2.53. Un grupo de debate está conformado por 3 muchachos y 3 niñas. Encuentre el número n
de formas en las cuales se puede sentar en una fila donde:
a) No hay restricciones
b) Los muchachos y las niñas se sientan juntos
c) Solamente las niñas se sientan juntas
a) (3 + 3)ǃ = 6ǃ
b) 2 ∗ 3ǃ ∗ 3ǃ = 72
c) 4 ∗ 3ǃ ∗ 3ǃ = 144
2.54. Encuentre el número n de permutaciones que se pueden formar de todas las letras de
cada combinación:
a) QUEUE
b) COMMITTEE
c) PROPOSITION
d) BASEBALL
a) QUEUE:
𝑃𝑛 =n!
𝑛1! × 𝑛2!=
5!
2! × 2!
𝑃5 = 30𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠
b) COMMITTEE:
𝑃9 =9!
2! × 2! × 2!
𝑃9 = 45360𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠
c) PROPOSITION:
𝑃11 =11!
2! × 3! × 2!
𝑃11 = 1663200𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠
d) BASEBALL:
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𝑃8 =8!
2! × 2! × 2!
𝑃8 = 5040𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠
2.55. Encuentre el número n de señales diferentes, si cada una consiste en 8 banderas
colgadas en una línea vertical, que se puede formar de 4 banderas rojas idénticas, 2 banderas
azules idénticas y 2 banderas verdes idénticas
# De formas
8!
4! 2ǃ2ǃ=
8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4ǃ
4! 𝑥2ǃ𝑥2ǃ= 420
2.56. Encuentre el número 𝑛 de formas en que 5 libros grandes, 4 libros medianos y 3 libros
pequeños se pueden colocar en una repisa de manera que todos los libros del mismo
tamaño estén juntos.
𝐺 = 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒, 𝑀 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜, 𝑃 = 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜.
𝑃𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
n1 = 3! = 6
n2 = 4! = 24
n3 = 5! = 120
n = 6 ∗ 24 ∗ 120 ∗ 6
n = 103680formas
2.57. Una caja contiene 12 bombillos. Encuentre el número n de muestras ordenadas de
tamaño 3:
a) con reposición
b) sin reposición
a) #𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 = 123 = 1728
b) #𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 = 12!
9ǃ=
12𝑥11𝑥10𝑥9ǃ
9ǃ= 1320
2.58. A una clase asisten 10 estudiantes. Encuentre el número n de muestras ordenadas de
tamaño 4:
a) Con reposición
b) Sin reposición
a) #𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 = 104 = 10000
b) #𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 = 10!
6ǃ=
10𝑥9𝑥8𝑥7𝑥6ǃ
6ǃ= 5040
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COMBINACIONES
2.59. Un restaurante tiene 6 postres diferentes. Encuentre el número de formas en las que un
cliente puede escoger 2 postres
∁26 =
6!
2ǃ(4!) =
6x5x4ǃ
2!x4ǃ = 15
2.60. Una tienda tiene 8 libros de misterio diferentes. Encuentre el número de formas en las
que un cliente puede comprar 3 de los libros.
𝑛 = 𝐶(8,3) = (8
3) =
8!
3! (8 − 3)!
𝑛 =8!
3! (5)!
𝑛 = 56
2.61. Una caja contiene 6 medias azules y cuatro medias blancas. Encuentre el número de
formas en que se puede sacarse de la caja cuando:
a) No hay restricciones
b) Hay colores diferentes
c) Las medias son del mismo color
a) ∁210 =
10!
2ǃ(8!) =
10x9x8ǃ
8ǃx2ǃ= 45
b) 6𝑥4 = 24
c) ∁26 =
6!
2ǃ(4!) =
6x5x4ǃ
2ǃx4ǃ =
30
2= 15
∁24 =
4!
2ǃ(2!) =
4x3x2ǃ
2ǃx2ǃ =
12
2= 6
#𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 = 15 + 6 = 21
𝒏 = 𝟓𝟔
2.62. Una clase está conformada por 9 niños y 3 niñas. Encuentre el número de formas en que
un profesor puede seleccionar un comité de 4.
𝑛 = 𝐶(12,4) = (12
4) =
𝑛!
𝑚! (𝑛 − 𝑚)!
𝑛 =12!
4! (12 − 4)!
𝑛 = 495
2.63. Repita el problema 2.62, pero cuando:
a) Debe haber 2 niños y 2 niñas
b) Hay una niña exactamente
c) Hay por lo menos una niña
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a) ∁29 . ∁2
3 = 9ǃ
2ǃx(7)ǃ ∗
3ǃ
2ǃx(1)ǃ =
9x8x7ǃ
2ǃx(7)ǃ . 3x2ǃ
2ǃ = 36. 3 = 108
b) ∁39 . 3 =
9ǃ
3ǃx(6)ǃ ∗ 3 =
9x8x7x6ǃ
3ǃx6ǃ ∗ 3 = 252
c) c) ∁412 - ∁4
9 =12ǃ
4ǃx(8)ǃ−
92ǃ
4ǃx(5)ǃ
=12x11x10x9x8ǃ
4ǃx8ǃ −
9x8x7x6x5ǃ
4ǃx5ǃ
= 495– 126
= 369
2.64. Una mujer tiene 11 buenos amigos. Encuentre el número de formas en las que ella puede
invitar a 5 de ellos a comer.
𝑛 = 𝑐(11,5) = (11
5)
𝑛 =11!
5! (11 − 5)!
𝑛 = 462𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠
2.65. Repita en problema 2.64, pero cuando 2 de los amigos están casados y no asistirán
separadamente
∁410 =
10!
4ǃ(6!) =
10x9x8x7x6ǃ
6ǃx6ǃ = 210
2.66. Repita el problema 2.64, pero cuando 2 de los amigos están disgustados y no se están
hablando y no asistirán juntos.
𝑃𝑒𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠𝑛𝑜𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛𝑎𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 = 11 − 1 = 10
𝑛 = 𝐶(10,5) = (10
5)
𝑛 =10!
5! (10 − 5)!=
10!
(5!)(5!)
𝑛 = 252
2.67. Una persona recibe una mano de póker (5 cartas) de un naipe corriente con 52 cartas.
Encuentre el número de formas de manos que la persona puede recibir:
a) 4 de la misma clase
b) Una escalera flor
a) 13 ∗ 48 = 624
b) 4 ∗ C513 = 5148
2.68. Un estudiante debe responder 10 de 13 preguntas.
a) ¿Cuántas selecciones hay?
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b) ¿Cuántas habrá si el estudiante debe responder las 2 primeras preguntas?
c) ¿Cuántas si el estudiante debe responder la primera o la segunda pero no ambas?
a) ¿Cuántas selecciones hay?
𝑛 = 𝐶(13,10) = (13
10)
𝑛 =13!
10! (13 − 10)!
𝑛 = 286
b) ¿Cuántas habrá si el estudiante debe responder las 2 primeras preguntas?
𝑛 = 𝐶(11,8) = 2 ∗ (11
8)
𝑛 = 2 ∗11!
8! (11 − 8)!
𝑛 = 2(165)
𝑛 = 330
c) ¿Cuántas si el estudiante debe responder la primera o la segunda pero no ambas?
𝑛 = 𝐶(11,9) = 2 ∗ (11
9)
𝑛 = 2 ×11!
9! (11 − 9)!
𝑛 = 2(55)
𝑛 = 110
PARTICIONES
2.69. Encuentre el número de formas en las que puede repartirse 6 juguetes en forma
equitativa entre 3 niños
C56 = 20
2.70. Encuentre el número de formas en las que 6 estudiantes pueden ser distribuidos en 3
equipos conformados por 2 estudiantes cada uno.
#𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 =6!
2! (6 − 2)!= 15
2.71. Encuentre el número de formas como se puede distribuir 6 estudiantes en 2 equipos,
donde cada equipo está conformado por 2 o más estudiantes.
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𝐶26 + 𝐶3
6 =6!
(6 − 2)!+
6!
(6 − 3)!= 25
2.72. Encuentre el número de formas como se pueden distribuir 9 juguetes entre 4 niños, si el
más pequeño debe recibir 3 juguetes y cada uno de los otros, 2 juguetes.
𝑛 =9!
3! × 2! × 2! × 2!
𝑛 =9!
48
𝑛 = 7560
2.73. Hay 9 estudiantes en una clase. Encuentre el número de formas en las cuales los
estudiantes pueden presentar 3 exámenes, si tres estudiantes deben presentar cada uno cada
examen
𝑛 =9ǃ
3ǃx3ǃ × 3!= 1680
2.74 Hay 9 estudiantes en una clase. Encuentre el número de formas en las que se puedan
distribuir los estudiantes en 3 equipos conformados por 3 estudiantes cada uno.
𝐶(9,3) =9!
3! (6!)= 84
𝐶(6,3) =6!
3! (3!)= 20
𝑛 = 84 × 20 = 1680
𝑛 =1680
3!= 𝟐𝟖𝟎
DIAGRAMAS DE ARBÓL
2.75. Los equipos A y B juegan en una serie mundial de béisbol, donde el equipo que primero
gane 4 juegos gana la serie. Suponga que A gana el primer juego y que el equipo que gana el
segundo juego también gana el 4 juego.
a) Encuentre el número de formas n como puede ocurrir la serie y enumere las n
formas como puede ocurrir la serie
b) En cuantas formas ganará B la serie
c) De cuantas formas podrá durar la serie 7 juegos.
a) 𝑛 = 15
𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐵𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴, 𝐴𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐴, 𝐴𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐵, 𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐴, 𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴, 𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵, 𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴, 𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐴𝐵,
𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵𝐵, 𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐵𝐵𝐵, 𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵, 𝐴𝐵𝐵𝐴𝐵
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b) De 6 formas
c) La serie puede durar de 8 formas
2.76. Suponga que A,B,…, F en la Fig. 2-7 representa islas y las líneas que las conectan, los
puentes. Una persona empieza en A y camina de una isla a otra. La persona para a almorzar
cuando él o ella continua caminando sin cruzar el mismo puente dos veces.
a) Construya el diagrama de árbol apropiado y encuentre el número de formas en que la
persona puede caminar antes de almorzar.
b) ¿En qué islas puede él o ella almorzar?
a)
Fig. 2-7