Universidad Central de Venezuela

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias

Escuela de Computación

Lecturas en Ciencias de la Computación ISSN 1316-6239

Relaciones

Prof. Luis Manuel Hernández R.

ND 2006-02

Centro de Cálculo Científico y Tecnológico de la UCV

CCCT-UCV

Caracas, Febrero, 2006.

Relaciones

Luis Manuel Hernandez Ramos 12

8 de febrero de 2006

1Centro de Calculo Cientıfico y Tecnologico, Facultad de Ciencias, UniversidadCentral de Venezuela, Caracas.

2e-mail: [email protected]

Resumen

Este es el inicio de una guıa de Relaciones adaptada al programa de la Licen-ciatura en Computacion de la Universidad Central de Venezuela. Se quiereque los estudiantes cuenten con algun material en Castellano con algunasdemostraciones hechas, ejemplos y ejercicios.

Indice general

1. Definicion de Relacion 31.1. Dominio y Rango de una Relacion . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Inversa de una Relacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Composicion de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Propiedades de algunas relaciones 92.1. Relaciones Reflexivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Relaciones Simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3. Relaciones Antisimetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4. Relaciones Transitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5. Relaciones de Equivalencia y Relaciones de Orden . . . . . . . 112.6. Otros tipos de relaciones y algunas propiedades . . . . . . . . 12

3. Relaciones de Equivalencia 143.1. Definicion de Relacion de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . 143.2. Clases de Equivalencia y Conjunto Cociente . . . . . . . . . . 15

4. Relaciones de Orden 174.1. Definicion de Relacion de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2. Ordenes Totales y Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3. Elementos Distinguidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3.1. Maximos y Mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3.2. Maximales y Minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3.3. Cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3.4. Infimos y Supremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3.5. Reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

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5. Funciones 225.1. Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas . . . . . . . . 23

5.1.1. Funciones Inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.1.2. Funciones Sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.1.3. Funciones Biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2. Composicion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

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Capıtulo 1

Definicion de Relacion

Recordemos la definicion de producto cartesiano. Sean A y B subconjun-tos de un Universo U , entonces:

A×B = {(a, b) ∈ U× U/a ∈ A ∧ b ∈ B}.

El producto cartesiano A × B, contiene todos los pares ordenados posiblesen donde la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda com-ponente pertenece al conjunto B. Recuerdese que el producto cartesiano noes conmutativo, es decir A × B no es necesariamente igual a B × A. Cadasubconjunto de A × B se conoce como una Relacion Binaria en A × B.Como el producto cartesiano de dos conjuntos es tambien un conjunto, elconjunto de todas las relaciones binarias posibles definidas en A × B es elconjunto de partes ℘(A×B).

Definicion 1.0.1 (Relacion Binaria) Sean A y B subconjuntos de un Uni-verso U y sea A × B el producto cartesiano. Entonces, una Relacion Bi-naria R definida en A×B, es un subconjunto R ⊆ A×B.

Quiere decir que una relacion es un conjunto de pares ordenados. Muchasveces, para simplificar la notacion, la pertenencia de un par ordenado a unarelacion R se denota:

(x, y) ∈ R ⇔ xRy.

Si A = B entonces se dice que R es una relacion binaria definida en A.Ejemplo 1.0.1Sean H = {Luis, Juan, Antonio} y M = {Marıa, Carolina, Cristina}.

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El producto cartesiano,

H ×M = {(Luis, Marıa), (Luis, Carolina), (Luis, Cristina),

(Juan, Marıa), (Juan, Carolina), (Juan, Cristina),

(Antonio, Marıa), (Antonio, Carolina), (Antonio, Cristina)}.Ahora tomamos un subconjunto de H×M . El subconjunto podemos definirlopor extension:

N = {(Luis, Marıa), (Luis, Carolina), (Luis, Cristina)}.o podemos definirlo tambien por comprension:

N = {(x, y) ∈ H ×M/x es novio de y}.El conjunto N define una Relacion Binaria en H ×M .

Ejemplo 1.0.2Sea el producto cartesiano R × R. Definimos las siguientes relaciones enR× R:

C1 = {(x, y) ∈ R× R/x2 + y2 ≤ 1},y

C2 = {(x, y) ∈ R× R/x2 + y2 = 1}.Podemos graficar estas relaciones en el plano cartesiano. En este caso la re-lacion C1 corresponde a un cırculo con centro en el punto (0, 0) y radio iguala 1. La relacion C2 corresponde a la circunferencia con centro en el punto(0, 0) y radio igual a 1.

1.1. Dominio y Rango de una Relacion

Definicion 1.1.1 (Dominio y Rango) Sea R una relacion binaria en A×B. Definimos el Dominio de R como sigue:

Dom(R) = {x ∈ A/∃y ∈ B : (x, y) ∈ R}.Y definimos el Rango de una Relacion como sigue:

Rgo(R) = {y ∈ B/∃x ∈ A : (x, y) ∈ R}.

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Ejemplo 1.1.1En la relacion del ejemplo 1 de la seccion anterior,

N = {(Luis, Marıa), (Luis, Carolina), (Luis, Cristina)} ⊂ H ×M.

Se tiene,

Dom(N) = {Luis}, Rgo(N) = {Marıa, Carolina, Cristina}.

Ejemplo 1.1.2En la relacion C1 ⊆ R× R,

C1 = {(x, y) ∈ R× R/x2 + y2 ≤ 1},

El dominio y el rango de C1 vienen dados por,

Dom(C1) = [−1, 1]; Rgo(C1) = [−1, 1].

Ejemplo 1.1.3Sea la relacion f ⊆ R× R, definida por,

f = {(x, y) ∈ R2/y = x2}.

El dominio y el rango de f vienen dados por,

Dom(f) = R; Rgo(f) = R+.

1.2. Inversa de una Relacion

Definicion 1.2.1 (Relacion Inversa) Sea R ⊆ A × B una relacion bina-ria. Se define la relacion inversa de R como:

R−1 = {(y, x) ∈ B × A/(x, y) ∈ R}.

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Notese que la relacion inversa R−1 esta contenida en B × A, es decir R−1 ⊆B × A.Ejemplo 1.2.1En la relacion

N = {(x, y) ∈ H ×M/x es novio de y}.

la relacion inversa N−1 ⊆ M ×H viene dada por

N−1 = {(y, x) ∈ M ×H/x es novio de y}.

notese que el predicado ((x es novio de y)) continua siendo el mismo, lo unicoque se cambia es el orden en los pares ordenados. Si escribimos la relacionpor extension:

N = {(Luis, Marıa), (Luis, Carolina), (Luis, Cristina)} ⊂ H ×M,

entonces la relacion inversa se escribe de la siguiente manera:

N−1 = {(Marıa, Luis), (Carolina, Luis), (Cristina, Luis)} ⊂ M ×H.

Lema 1.2.1 Sea R ⊆ A×B una relacion, entonces (R−1)−1 = R.

DemostracionSea (x, y) ∈ (R−1)−1 cualquier par en A × B, se tiene de la definicion de lainversa de una relacion:

(x, y) ∈ (R−1)−1 ⇔ (y, x) ∈ R−1 ⇔ (x, y) ∈ R.

Por lo tanto,

∀(x, y) ∈ A×B : (x, y) ∈ (R−1)−1 ↔ (x, y) ∈ R,

por lo que se concluye,(R−1)−1 = R

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1.3. Composicion de Relaciones

Definicion 1.3.1 (Composicion de Relaciones) Sean A,B,C subconjun-tos de un universo U. Sean R ⊆ A×B y S ⊆ B ×C relaciones binarias. Larelacion compuesta R ◦ S se define como:

R ◦ S = {(x, z) ∈ A× C/∃y ∈ B : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}.

Notese que R ◦ S ⊆ A× C.Ejemplo 1.3.1Sean

R = {(Luis, Marıa), (Luis, Carolina), (Luis, Cristina)},y

S = {(Marıa, Juan), (Cristina, Antonio), (Cristina, Pedro),

(Carolina, Andrea), (Juan, Pedro), (Juan, Cristina)}.

La relacion compuesta R ◦ S viene dada por:

R ◦ S = {(Luis, Juan), (Luis, Antonio), (Luis, Pedro), (Luis, Andrea)}.

Ejercicio 1.3.1Sean las relaciones f ⊆ R× R y g ⊆ R× R definidas por:

f = {(x, y) ∈ R2/y = x2},

yg = {(x, y) ∈ R2/y = x + 3}.

Determine f ◦ g y g ◦ f .

Lema 1.3.1 Sean R ⊆ A×B y S ⊆ B×C relaciones, entonces (R◦S)−1 =S−1 ◦R−1.

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DemostracionSea (z, x) cualquier par ordenado en C × A.Por definicion de la inversa de una relacion, se tiene,

(z, x) ∈ (R ◦ S)−1 ⇔ (x, z) ∈ R ◦ S,

y por definicion de composicion de relaciones,

(x, z) ∈ R ◦ S ⇔ ∃y ∈ B : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S.

Aplicando ahora la definicion de las inversas de R y S,

∃y ∈ B : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S ⇔ ∃y ∈ B : (y, x) ∈ R−1 ∧ (z, y) ∈ S−1,

y por la definicion de composicion de relaciones y la conmutatividad de laconjuncion (∧),

∃y ∈ B : (y, x) ∈ R−1 ∧ (z, y) ∈ S−1 ⇔ (z, x) ∈ S−1 ◦R−1.

En conclusion,

∀(z, x) ∈ C × A : (z, x) ∈ (R ◦ S)−1 ↔ (z, x) ∈ S−1 ◦R−1.

que es equivalente a decir,

(R ◦ S)−1 = S−1 ◦R−1.

Ejercicio 1.3.2Demuestre que la composicion de relaciones es asociativa. i.e.

R ◦ (S ◦ T ) = (R ◦ S) ◦ T.

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Capıtulo 2

Propiedades de algunasrelaciones

En esta seccion definiremos propiedades que permiten clasificar las rela-ciones. Vamos a suponer aquı relaciones binarias R ⊆ A× A

2.1. Relaciones Reflexivas

Definicion 2.1.1 (Reflexividad) Una relacion binaria R ⊆ A×A se dicereflexiva, si se cumple:

∀x ∈ A : xRx

es decir,∀x ∈ A : (x, x) ∈ R.

Tambien esta propiedad se puede enunciar en funcion de la relacion identi-dad, definida como: IA = {(x, x)/x ∈ A}. De esta manera una relacion Rsera reflexiva si y solo si IA ⊆ R.Ejemplo 2.1.1Sea A = {1, 2, 3, 4}.R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (2, 3)} ⊆ A× A es Reflexiva.R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3)} ⊆ A× A no es Reflexiva.R3 = {(2, 5)} ⊆ A× A no es Reflexiva.Ejemplo 2.1.2R4 = {(x, y) ∈ R2/x = y} es Reflexiva.R5 = {(x, y) ∈ R2/x ≤ y} es Reflexiva.

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2.2. Relaciones Simetricas

Definicion 2.2.1 (Simetrıa) Una relacion binaria R ⊆ A×A es simetri-ca, si se cumple:

∀x ∈ A, y ∈ A : xRy −→ yRx.

es decir,∀x ∈ A, y ∈ A : (x, y) ∈ R −→ (y, x) ∈ R.

Ejemplo 2.2.1Sea A = {1, 2, 3}.S1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 1)} ⊆ A× A es simetrica.S2 = {(1, 2), (2, 3), (2, 1)} ⊆ A× A no es simetrica.S3 = {(1, 1)} ⊆ A× A es simetrica.

Ejemplo 2.2.2C1 = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 = 1} es simetrica.C2 = {(x, y) ∈ R2/(x− 1)2 + (y − 1)2 = 1} es simetrica.C3 = {(x, y) ∈ R2/(x− 1)2 + (y − 2)2 = 1} es simetrica.IZ = {(x, y ∈ Z2)/x = y} es simetrica.C3 = {(x, y) ∈ R2/ | x |≤ 1∧ | y |≤ 1} es simetrica.C4 = {(x, y) ∈ R2/ | x− 2 |≤ 1∧ | y − 1 |≤ 1} no es simetrica.Ejercicio 2.2.1Demostrar que una relacion R definida en A, es simetrica si y solo si R = R−1

Ejercicio 2.2.2Demostrar que si R es una Relacion definida en A, entonces R ∪ R−1 essimetrica.

2.3. Relaciones Antisimetricas

Definicion 2.3.1 (Antisimetrıa) Una relacion binaria R ⊆ A×A se diceantisimetrica, si cumple:

∀x, y ∈ A : xRy ∧ yRx −→ x = y

es decir,∀x, y ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R −→ x = y

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Ejemplo 2.3.1Sea A = {1, 2, 3}.A1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)} ⊆ A× A es antisimetrica.A2 = {(1, 2), (2, 3), (2, 1)} ⊆ A× A no es antisimetrica.A3 = {(1, 1)} ⊆ A× A es antisimetrica.A4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)} ⊆ A× A es no antisimetrica.Ejemplo 2.3.2R = {(x, y) ∈ R2/x ≤ y} es antisimetrica.IR = {(x, y) ∈ R2/x = y} es antisimetrica.C3 = {(x, y) ∈ R2/ | x |≤ 1∧ | y |≤ 1} no es antisimetrica.C4 = {(x, y) ∈ R2/ | x− 2 |≤ 1∧ | y − 1 |≤ 1} es antisimetrica.C5 = {(x, y) ∈ R2/ | x− 2 |≤ 1∧ | y − 1 |≤ 1} no es antisimetrica.P = {(A,B) ∈ ℘(U)/A ⊆ B} es antisimetrica.Ejercicio 2.3.1Demostrar que una relacion R en A es antisimetrica, si y solo si R∩R−1 ⊆ IA.

2.4. Relaciones Transitivas

Definicion 2.4.1 (Transitividad) Una relacion R definida en A es tran-sitiva, si cumple:

∀x, y, z ∈ A : xRy ∧ yRz −→ xRz

es decir,

∀x, y, z ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R −→ (x, z) ∈ R

Ejemplo 2.4.1Sea A = {x/x es humano}. La relacion R = {(x, y) ∈ A2/x es mas alto que y}es una relacion transitiva.Ejercicio 2.4.1Demuestre que una relacion R definida en A es transitiva si y solo si R◦R ⊆ REjercicio 2.4.2Demuestre que si R es una relacion transitiva, entonces R−1 es transitiva.

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2.5. Relaciones de Equivalencia y Relaciones

de Orden

Definicion 2.5.1 (Relacion de Equivalencia) Una Relacion R definidaen A es de Equivalencia si R es Reflexiva, Simetrica y Transitiva.

Definicion 2.5.2 (Relacion de Orden) Una Relacion ¹ definida en A,se dice Relacion de Orden si ¹ es Reflexiva, Antisimetrica y Transitiva.En este caso se dice que el conjunto A es un conjunto ordenado por la rela-cion ¹, y que el par (A,¹) es un Orden.

2.6. Otros tipos de relaciones y algunas pro-

piedades

Definicion 2.6.1 Una relacion R definida en un conjunto A es Circularsi cumple:

∀x, y, z ∈ A : xRy ∧ yRz −→ zRx

es decir,

∀x, y, z ∈ A : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R −→ (z, x) ∈ R

Lema 2.6.1 Demostrar que, una relacion R definida en A es reflexiva ycircular, si y solo si, R es de equivalencia.

Demostracion

Vamos a demostrar primero que una relacion R ⊆ A × A, reflexiva y cir-cular, es de equivalencia. Para ello debemos mostrar que R es simetrica ytransitiva, puesto que la reflexividad la tenemos por hipotesis.Simetrıa: Sea (x, y) ∈ R cualquiera, sabemos por la reflexividad de la rela-cion que (y, y) ∈ R, y aplicando la propiedad circular, se tiene,

(x, y) ∈ R ∧ (y, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R.

Por lo tanto la relacion R es simetrica.Transitividad: Sean (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R. Por la propiedad circular se

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desprende (z, x) ∈ R, y utilizando la simetrıa, que ya fue probada, se tiene(x, z) ∈ R. Por lo tanto R es transitiva.

Ahora probemos que si la relacion R es de equivalencia, entonces R es re-flexiva y Circular. De nuevo, la propiedad reflexiva se tiene por hipotesis, yresta probar la circularidad.Sean (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R, por la propiedad transitiva se tiene (x, z) ∈ R,y utilizando la simetrıa se obtiene (z, x) ∈ R, por lo que la relacion R escircular.Ejercicio 2.6.1Sea R ⊆ A× A una relacion reflexiva y transitiva, entonces R = R ◦R.

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Capıtulo 3

Relaciones de Equivalencia

3.1. Definicion de Relacion de Equivalencia

Definicion 3.1.1 (Relacion de Equivalencia) Una Relacion R definidaen A es de Equivalencia si R es Reflexiva, Simetrica y Transitiva.

Ejemplo 3.1.1Congruencia modulo n.Sea n ∈ N dado. La relacion ≡n definida en Z de la siguiente manera:

x ≡n y ⇔ ∃k ∈ Z : x− y = kn,

es una relacion de equivalencia. En efecto, la relacion ≡n cumple las propie-dades:Reflexiva:Sea x ∈ Z cualquiera.

x− x = 0 = 0.n ⇒ ∃k ∈ Z : x− x = kn ⇒ x ≡n x.

Simetrica:Sean x, y ∈ Z cualesquiera.

x ≡n y ⇒ ∃k ∈ Z : x− y = kn (3.1)

⇒ y − x = (−k)n, donde (−k) ∈ Z porque k ∈ Z (3.2)

⇒ ∃k ∈ Z : y − x = kn (3.3)

⇒ y ≡n x. (3.4)

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Transitiva:Sean x, y, z ∈ Z cualesquiera.

x ≡n y ∧ y ≡n z ⇒ ∃k ∈ Z : x− y = kn ∧ ∃k ∈ Z : y − z = kn. (3.5)

⇒ x− y = k′n ∧ y − z = k′′n, (3.6)

luego, sustituyendo x − y = k′n en y − z = k′′n, tenemos x − z = k′′′n, conk′′′ = k′k′′ ∈ Z. Por lo tanto,

∃k ∈ Z : x− z = kn ⇒ x ≡n z.

3.2. Clases de Equivalencia y Conjunto Cocien-

te

Definicion 3.2.1 (Clases de Equivalencia) Sea R una relacion de equi-valencia definida en un conjunto A. Sea x ∈ A un elemento cualquiera. Sedefine la clase de equivalencia de x en la relacion R al conjunto:

[x] = {y ∈ A/xRy}.Evidentemente, para todo x ∈ A se cumple que [x] ⊆ A.Ejemplo 3.2.1En la relacion de congruencia modulo n en Z del ejemplo anterior, pongamosn = 3. Entonces las clases de equivalencia vienen dadas por:

[0] = {x ∈ Z/x ≡3 0} = {0, 3,−3, 6,−6, . . .} (3.7)

[1] = {x ∈ Z/x ≡3 1} = {1,−2, 4,−5, 7, . . .} (3.8)

[2] = {x ∈ Z/x ≡3 2} = {2,−1, 5,−4, 8, . . .} (3.9)

(3.10)

Definicion 3.2.2 (Conjunto Cociente) Sea R una relacion de equivalen-cia definida en un conjunto A. Se denomina conjunto cociente A/R, alconjunto de las clases de equivalencia, es decir:

A/R = {[x] /x ∈ A}.

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Ejemplo 3.2.2En la relacion de congruencia modulo 3 en Z, del ejemplo anterior, el conjuntocociente esta formado por todas las clases de equivalencia. Es decir,

(Z/ ≡3) = {[0] , [1] , [2]}.

Teorema 3.2.1 Sea R una relacion de equivalencia en un conjunto A. Elconjunto cociente A/R es una particion de A

Teorema 3.2.2 Toda particion {Ai}i∈I de un conjunto A, induce a una re-lacion de equivalencia.

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Capıtulo 4

Relaciones de Orden

4.1. Definicion de Relacion de Orden

Definicion 4.1.1 (Relacion de Orden) Una Relacion ¹ definida en A,se dice Relacion de Orden si ¹ es Reflexiva, Antisimetrica y Transitiva.En este caso se dice que el conjunto A es un conjunto ordenado por la rela-cion ¹, y que el par (A,¹) es un Orden.

Ejemplo 4.1.1Tomemos la relacion ¹ definida en el conjunto de los numeros enteros posi-tivos Z+, de la siguiente manera:

x ¹ y ⇔ ∃k ∈ Z+ : y = k.x,

esta es la relacion de divisibilidad (((y es divisible por x))).(Z+,¹) es un orden. Para demostrarlo se prueban las propiedades:

1. Reflexiva: Vamos a demostrar que ∀x ∈ Z+ : x ¹ x, es decir, que todoelemento es divisible por si mismo. De hecho, para x ∈ Z+ cualquierase tiene x = 1.x, lo que implica,

∃k ∈ Z+ : x = k.x,

donde k = 1 ∈ Z+; por lo que x ¹ x.

2. Antisimetrica: Supongamos que para x, y ∈ Z+ se cumple que x ¹y ∧ y ¹ x. De esta hipotesis y por la definicion de la relacion se tiene:

∃k ∈ Z+ : y = k.x ∧ ∃k′ ∈ Z+ : x = k′.y.

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Sustituyendo se obtiene,y = k.k′.y,

por lo que k.k′ = 1. Sin embargo k, k′ ∈ Z+, entonces necesariamentek = k′ = 1. por ende y = k.x = 1.x = x.

3. Transitiva: Supongamos que para x, y, z ∈ Z+ : x ¹ y ∧ y ¹ z.Entonces,

∃k ∈ Z+ : y = k.x ∧ ∃k′ ∈ Z+ : z = k′.y,

sustituyendo se obtiene,

z = k′.(k.x) = (k′.k).x

Ahora, como k′, k ∈ Z+, entonces el producto k′.k ∈ Z+. En conclusion∃k′′ ∈ Z+ : z = k′′.x donde k′′ = k′.k, y eso implica, x ¹ z

4.2. Ordenes Totales y Parciales

Definicion 4.2.1 (Elementos Comparables) Sea (A,¹) un Orden. Se di-ce que los elementos x, y ∈ A son comparables si se cumple:

x ¹ y ∨ y ¹ x

Ejemplo 4.2.1En el ejemplo anterior (relacion de divisibilidad en los enteros positivos), exis-ten pares x, y comparables, ası como existen pares no comparables. Aquı loselementos 7 y 3 no son comparables, en cambio 12 y 3 si son comparables.

Definicion 4.2.2 (Orden Total) Sea (A,¹) un Orden. Se dice que (A,¹)es un Orden Total si se cumple:

∀x, y ∈ A : (x ¹ y) ∨ (y ¹ x),

es decir, una relacion ¹ definida en un conjunto A, es un orden total sitodo par de elementos es comparable. En el caso en que en un orden (A,¹),existan pares de elementos no comparables, se dice que (A,¹) es un OrdenParcial.Ejemplo 4.2.2He aquı algunos ejemplos de ordenes parciales y totales:

(R,≤) es un orden total.

(℘(U),⊆) es un orden parcial.

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4.3. Elementos Distinguidos

4.3.1. Maximos y Mınimos

Definicion 4.3.1 (Maximos y Mınimos) Sea (A,¹) un Orden.Un Maximo (Mayor), es un elemento M ∈ A que cumple:

∀x ∈ A : x ¹ M.

Un Mınimo (Menor), es un elemento m ∈ A que cumple:

∀x ∈ A : m ¹ x.

Corolario 4.3.1 En un orden (A,¹). Si existe un elemento maximo M ∈ Ay un elemento mınimo m ∈ A, entonces m ¹ M .

Ejemplo 4.3.1En el orden (℘(U),⊆):

U es el elemento maximo.

∅ es el elemento mınimo.

Ejemplo 4.3.2En el orden (R,≤), no hay elemento maximo ni elemento mınimo. En cam-bio, en el orden (R+,≤), hay un elemento mınimo que es 0 ∈ R+, pero nohay elemento maximo.

Lema 4.3.1 Sea (A,¹) un Orden. Si existe un elemento maximo M ∈ Aeste es unico. Si existe un elemento mınimo m ∈ A este es unico.

DemostracionVamos a demostrar que el elemento maximo es unico. La demostracion deque el elemento mınimo es unico es similar y la dejamos como ejercicio.La demostracion es por reduccion al absurdo. Supongamos que existen dosmaximos diferentes M1 6= M2. Por la definicion de maximo se tiene: ∀x ∈ A :x ¹ M1 e igualmente ∀x ∈ A : x ¹ M1. Particularizando con M2 ∈ A en laprimera y con M1 ∈ A en la segunda,

M2 ¹ M1 ∧M1 ¹ M2,

luego por la antisimetrıa de las relaciones de orden M1 = M2, lo que contra-dice con el supuesto de que los maximos son diferentes M1 6= M2.

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4.3.2. Maximales y Minimales

Definicion 4.3.2 (Maximales y Minimales) Sea (A,¹) un Orden.Un elemento Maximal, es un elemento a ∈ A tal que:

∀x ∈ A : a ¹ x −→ x = a.

Un elemento Minimal, es un elemento b ∈ A tal que

∀x ∈ A : x ¹ a −→ x = a.

Corolario 4.3.2 Sea (A,¹) un Orden. Entonces, todo elemento maximo esmaximal y todo elemento mınimo es minimal.

Ejemplo 4.3.3Sea el conjunto A = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}}.En el orden (A,⊆), los elementos maximales son:

{a, b}, {a, c}, {b, c} son los elementos maximales.

∅ es el unico elemento minimal.

4.3.3. Cotas

Definicion 4.3.3 (Cotas Superiores e Inferiores) Sea (A,¹) un Orden,y sea dado un subconjunto B ⊆ A.Un elemento c ∈ A es una cota inferior de B si:

∀x ∈ B : c ¹ x.

Un elemento c ∈ A es una cota superior de B si:

∀x ∈ B : x ¹ c.

Ejemplo 4.3.4Tomemos el orden parcial (℘({1, 2, 3}),⊆). Sea B = {1, 3}. Entonces:

CI = {∅, {1}, {3}, {1, 3}},es el conjunto de las cotas inferiores de B en (℘({1, 2, 3}),⊆).

CS = {{1, 3}, {1, 2, 3}},es el conjunto de las cotas superiores de B en (℘({1, 2, 3}),⊆).

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4.3.4. Infimos y Supremos

Definicion 4.3.4 (Infimo y Supremo) Sea (A,¹) un Orden, y sea B ⊆A.Sean

CS = {x ∈ A/x es cota superior de B},el conjunto de las cotas superiores de B, y

CI = {x ∈ A/x es cota inferior de B},el conjunto de las cotas inferiores de B.Un elemento a ∈ CS es el supremo de B si cumple:

∀x ∈ CS : a ¹ x,

es decir, el supremo es la menor de las cotas superiores.Un elemento a ∈ CI es el ınfimo de B si cumple:

∀x ∈ CS : x ¹ a,

es decir, el ınfimo es la mayor de las cotas inferiores.

Ejemplo 4.3.5En el ejemplo de la seccion anterior. En el orden (℘({1, 2, 3}),⊆) y tomandoel conjunto B = {1, 3}. En este orden, el ınfimo del conjunto B viene dadopor ınf(B) = ∅, y el supremo de B viene dado por sup(B) = {1, 2, 3}.Ejercicio 4.3.1Demostrar que si (A,¹) es un orden, y si se toma un subconjunto B ⊆ A.Entonces B tiene a lo sumo un ınfimo y a lo sumo un supremo en el orden.

Es decir que en un orden, todo subconjunto puede tener un solo ınfimo,o ningun ınfimo, y que igualmente todo subconjunto puede tener un solo su-premo, o ningun supremo. En el caso de que siempre exista un ınfimo y unsupremo, se dice que la estructura es un reticulado.

4.3.5. Reticulados

Definicion 4.3.5 (Reticulado) Sea (A,¹) un Orden tal que para todo x, y ∈A, los elementos ınf({x, y}) y sup({x, y}) existen. Entonces se dice que (A,¹)es un Reticulado.

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Capıtulo 5

Funciones

Definicion 5.0.6 (Funcion) Sean A,B subconjuntos no vacıos de un uni-verso U. Una funcion (aplicacion) f de A en B (f : A 7→ B), es unarelacion f ⊆ A×B en la que cada elemento de A esta relacionado a lo sumocon un elemento de B. Es decir, cumple con la propiedad

∀x ∈ A, ∀y1, y2 ∈ B : (x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f −→ y1 = y2.

Como a un elemento x ∈ A puede corresponderle a lo sumo un elementoy ∈ B tal que (x, y) ∈ f , entonces para simplificar la notacion se utilizaf(x) = y para denotar (x, y) ∈ f .Ejemplo 5.0.6Las siguientes relaciones,

f = {(x, y) ∈ R2/y = x + 2},g = {(x, y) ∈ R2/y = x2},

son funciones.La relacion,

N = {(Luis, Marıa), (Luis, Carolina), (Luis, Cristina)} ⊂ H ×M.

No es una funcion. En efecto, se cumple (Luis, Marıa) ∈ N∧(Luis, Cristina) ∈N y sin embargo Luis 6= Carolina. En cambio, su relacion inversa:

N−1 = {(Marıa, Luis), (Carolina, Luis), (Cristina, Luis)} ⊂ M ×H

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si es una funcion. En este caso tenemos:

N−1(Marıa) = Luis,

N−1(Cristina) = Luis,

N−1(Carolina) = Luis.

5.1. Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Bi-

yectivas

5.1.1. Funciones Inyectivas

Dado que la inversa de una relacion esta siempre definida, las funcionestienen siempre una relacion inversa. Sin embargo, esta relacion inversa noes siempre tambien una funcion. En el caso del ejemplo anterior, la funcionN−1 tiene una relacion inversa (N−1)−1 = N . Pero vimos que allı la relacionN no es una funcion. En el caso de que una funcion f : A 7→ B, tenga unarelacion inversa f−1 ⊆ B ×A que tambien es una funcion (f−1 : B 7→ A), sedice que la funcion f es inyectiva.

Definicion 5.1.1 (Funcion Inyectiva) Una funcion f : A 7→ B es inyec-tiva, si su relacion inversa f−1 es una funcion.

Quiere decir que para que una funcion f : A 7→ B sea inyectiva, debe cum-plirse:

∀x1, x2 ∈ A, y ∈ B : (x1, y) ∈ f ∧ (x2, y) ∈ f −→ x1 = x2

o cambiando de notacion:

∀x, y ∈ A : f(x) = f(y) −→ x = y.

Ejemplo 5.1.1La funcion f : R 7→ R, f(x) = x + 2 (f = {(x, y) ∈ R2/y = x + 2}) es unafuncion inyectiva.

Ejemplo 5.1.2La funcion f : R 7→ R, f(x) = x2 (f = {(x, y) ∈ R2/y = x2}) no es unafuncion inyectiva. De hecho, 1 6= −1 ∧ f(1) = f(−1).

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5.1.2. Funciones Sobreyectivas

Una funcion es sobreyectiva cuando el rango cubre todo el conjunto dellegada (codominio). Por lo tanto se define ası:

Definicion 5.1.2 (Funcion Sobreyectiva) Una funcion f : A 7→ B essobreyectiva si Rgo(f) = B.

Ejemplo 5.1.3La funcion f : R 7→ R, f(x) = x + 2, es una funcion sobreyectiva. Rgo(f) =R = R.

Ejemplo 5.1.4La funcion f : R 7→ R, f(x) = x2, no es una funcion sobreyectiva. De hecho,Rgo(f) = R+ 6= R.Sin embargo, la funcion f : R 7→ R+, f(x) = x2, si es una funcion sobreyec-tiva. Observe que ahora el codominio (R+) coincide con el rango (R+).

5.1.3. Funciones Biyectivas

A las funciones que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas se lesdenomina funciones biyectivas.

Definicion 5.1.3 (Funcion Biyectiva) Una funcion f : A 7→ B es biyec-tiva si f es inyectiva y f es sobreyectiva.

Ejemplo 5.1.5He aquı unos casos de funciones biyectivas:

Sea la funcion f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}. f es una funcion biyectiva.

La funcion p : N 7→ P, p(n) = 2n, donde N es el conjunto de numerosnaturales, y P es el conjunto de los numeros pares, es una funcionbiyectiva.

Ejercicio 5.1.1Encuentre funciones biyectivas f entre los siguientes conjuntos.

1. f : N 7→ Z.

2. f : N 7→ Q, donde Q es el conjunto de los numeros racionales.

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Cuando existe una funcion biyectiva f : A 7→ B se dice que hay una corres-pondencia biunıvoca entre A y B, y los conjuntos A y B tienen la mismacardinalidad. La correspondencia biunıvoca significa que a cada elemento deA corresponde un unico elemento de B, y a cada elemento de B correspondeun unico elemento de A. Si la funcion f es biyectiva, entonces la relacioninversa f−1 tambien sera una funcion biyectiva, y en ese caso se dice que lafuncion f es invertible.

Definicion 5.1.4 (Funcion Invertible) Una funcion f : A 7→ B se diceinvertible si es biyectiva. La funcion inversa de f en este caso viene dadapor la relacion inversa f−1 : B 7→ A.

Ejercicio 5.1.2Demostrar que si f : A 7→ B es invertible, entonces f−1 tambien es invertibley (f−1)−1 = f .

5.2. Composicion de Funciones

La composicion de funciones se hereda de la definicion de composicion derelaciones. Sin embargo, podemos re-definirla aprovechando las caracterısti-cas especiales de las funciones. De esta manera si f : A 7→ B y g : B 7→ C,entonces f ◦ g : A 7→ C y ∀x ∈ A : f ◦ g(x) = g(f(x)).Definamos las funciones identidad de la siguiente manera IA : A 7→ A,∀x ∈ A : IA(x) = x, y IB : B 7→ B, ∀x ∈ B : IB(x) = x. Tenemos en-tonces el siguiente teorema:

Teorema 5.2.1 Una funcion f : A 7→ B es invertible, si y solo si existe unafuncion f−1 : B 7→ A tal que: f ◦ f−1 = IA y f−1 ◦ f = IB

DemostracionPrimero mostremos que si la funcion f es invertible, implica que existe unafuncion f−1 : B 7→ A tal que: f ◦ f−1 = IA y f−1 ◦ f = IB. Efectivamentesea f−1 la funcion inversa de f se cumple:Sea (x, y) un par cualquiera en A× A,

(x, y) ∈ f ◦ f−1 ⇒ ∃z ∈ B : (x, z) ∈ f ∧ (z, y) ∈ f−1

⇒ ∃z ∈ B : (x, z) ∈ f ∧ (y, z) ∈ f

⇒ ∃z ∈ B : f(x) = z ∧ f(y) = z,

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pero por hipotesis f es inyectiva. Por lo tanto x = y y luego (x, y) ∈ IA.Igualmente, sea x ∈ A, como f−1 es sobreyectiva tenemos:

∃z ∈ B : (z, x) ∈ f−1 ⇒ ∃z ∈ B : (z, x) ∈ f−1 ∧ (x, z) ∈ f

⇒ (x, x) ∈ f ◦ f−1.

Por lo que necesariamente IA ⊆ f ◦ f−1.La demostracion de que f−1 ◦ f = IB, es similar a la anterior y la dejamoscomo ejercicio.Mostremos que si existe una funcion f−1 : B 7→ A tal que: f ◦ f−1 = IA

y f−1 ◦ f = IB, entonces f es una funcion invertible. Para ello hay quedemostrar que f es sobreyectiva y biyectiva.Comenzaremos probando que f es sobreyectiva. para ello hay que probarque ∀y ∈ B, ∃x ∈ A : f(x) = y. En efecto, tomando x = f−1(y) tenemosf(x) = f(f−1(y)) = f−1 ◦ f(y) = IB(y) = y.Ahora probemos que f es inyectiva.

f(x) = f(y) ⇒ f−1(f(x)) = f−1(f(y))

⇒ f ◦ f−1(x) = f ◦ f−1(y)

⇒ IA(x) = IA(y) ⇒ x = y.

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