-
Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi
Mirasan
_____________________________________________________________________________________
blocs.xtec.cat/euler
5
Unitat 9:
Fenòmens ondulatoris
9.1. Principi de Huygens (C.Huygens, 1680) Christian Huygens
(1629-1695) proposà a finals del s.XVII el principi de propagació
de les ones: els punts que formen un front d’ona es comporten com a
nous focus emissors d’ones, les quals es propaguen en totes
direccions amb la mateixa velocitat de fase, i originen el següent
front d’ona.
La reflexió. Quan una arriba a una superfície plana l’ona canvia
la seva direcció de propagació però continua movent-se en el mateix
medi. Això vol dir que es propaga a la mateixa velocitat,
freqüència i longitud d’ona.
Si un raig arriba amb un angle 1 sobre una superfície plana,
després de la
reflexió surt amb un angle 2 , que serà igual a 1 .
1a llei de la reflexió: el raig incident i el raig reflectit
estan en el mateix pla. 2a llei de la reflexió: l’angle
d’incidència i l’angle de reflexió són iguals.
1 2
-
Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi
Mirasan
_____________________________________________________________________________________
blocs.xtec.cat/euler
6
La refracció.
Quan l’ona passa d’un medi a un altre es produeix la refracció.
Com que hi ha un canvi de medi, hi ha un canvi de la velocitat de
propagació i de la longitud d’ona (el període i la freqüència no
varien).
Llei de la refracció (Snell):
1 1 1 2
2 2 2 1
sin
sin
v n
v n
On els valors n2 i n1 s’anomenen els índexs de refracció de cada
medi. En el cas de l’aire n=1.
Substància Índex de refracció
Diamant 2,417
Mica 1,56-1,60
Benzè 1,504
Glicerina 1,47
Aigua 1,333
Alcohol etílic 1,362
Oli d’oliva 1,46
Hi ha un angle d’incidència pel qual l’angle de refracció és
precisament 90º; aquest angle d’incidència s’anomena angle límit.
Per aquest valor el raig refractat desapareix i només es dóna el
fenomen de la reflexió. Apareix el que s’anomena reflexió
total.
-
Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi
Mirasan
_____________________________________________________________________________________
blocs.xtec.cat/euler
7
La difracció.
Quan una ona es troba amb un obstacle en el seu camí modifica la
seva propagació rectilínia. Aquesta modificació depèn de les
dimensions de l’obstacle.
En aquesta foto es produeix la difracció d’una ona plana que
troba un obstacle de dimensions semblants a les de la longitud
d’ona. És quan es produeix la màxima difracció: l’ona surt
esfèrica. L’explicació a partir del principi de Huygens és fàcil:
les ones elementals que són eliminades per l’obstacle no
interfereixen amb les ones que continuen el seu camí.
Quan d la difracció passa desapercebuda. Per exemple, el so té
una longitud d’ona molt gran, amb la qual cosa es difracta molt bé
amb obstacles grossos com portes i finestres. Això fa que escoltem
el que estan parlant a l’habitació del costat si la porta és
oberta.
La polarització La polarització és un fenomen típicament
ondulatori que només s’observa en les ones transversals. Una ona
transversal està polaritzada linealment quan només vibra en una de
les possibles direccions perpendiculars a la direcció de propagació
de l’ona. Com la llum és una ona transversal es pot polaritzar.
-
Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi
Mirasan
_____________________________________________________________________________________
blocs.xtec.cat/euler
8
9.2. Interferència d’ones En aquest apartat pretenem estudiar un
dels fenòmens que es produeix quan dues ones es propaguen per una
zona comuna de l'espai. Aquest fenomen és la interferència. Abans
però d'introduir-nos en aquest tema comentarem dos principis bàsics
per poder desenvolupar aquests temes i posteriors. Principi de
superposició d'ones. Segons aquest principi, dues ones independents
quan coincideixen en un mateix punt de l'espai es superposen i
continuen el seu camí tal i com ho feien anteriorment. Principi de
Huygens. Tots els punts del front d'ona es comporten com a focus
emissors puntuals d'ones secundàries de freqüència igual a la
primària de manera que l'embolcall de les ones secundàries
determina per a un mateix instant de temps el nou front d'ona
avançat de l'ona primària. Aquestes ones secundàries són ones
intuïtives que només es poden observar en certs fenòmens i que no
poden propagar-se en direcció oposada a la de l'ona primària. •
Interferència de dues ones harmòniques iguals amb diferència de
fase
2 1r r .
Considereu dues ones harmòniques d'iguals amplitud i freqüència,
i que es propaguen a través del mateix medi. Les seves funcions
d'ona són:
1 1
2 2
( , ) sin
( , ) sin
y x t A t kr
y x t A t kr
L'única diferència entre elles és la diferència de fase 2 1r r .
La interferència de
les dues ones serà la suma de les dues funcions d'ona.
1 2
1 2
1 2
sin sin
sin sin
y y y
y A t kr A t kr
y A t kr t kr
Usant la relació trigonomètrica següent:
sin sin 2cos sin2 2
i desenvolupant l'equació de la interferència obtenim:
2 1 2 1( , ) 2 cos sin2 2
r r r ry x t A k t k
-
Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi
Mirasan
_____________________________________________________________________________________
blocs.xtec.cat/euler
9
Veiem que l'ona resultant és una nova ona amb una freqüència
idèntica a les
dues primeres però amb una amplitud que depèn de la diferència 2
1r r .
2 1( , ) 'sin2
r ry x t A t k
On A’ és:
2 1 2 1' 2 cos 2 cos2
r r r rA A k A
Fixem-nos quan es compleix que ' 2A A . Això és cert si
2 1 2 1 2 12 1cos 1
r r r r r rn n r r n
Veiem que quan 2 1r r és un múltiple exacte de la longitud d’ona
obtenim el
màxim d'amplitud possible. Diem doncs que hi ha interferència
constructiva.
2 1r r n
Fixem-nos ara quan es compleix que ' 0A . Això és cert si
2 1 2 1 2 12 1
1cos 0 (2 1) (2 1) (2 1)
2 2 2
r r r r r rn n r r n
Quan 2 1r r és un múltiple imparell de la semilongitud d’ona
veiem que
l'amplitud s'anul·la. Diem doncs que hi ha interferència
destructiva.
2 1 (2 1)2
r r n
En altres punts, la interferència és parcialment
constructiva.
-
Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi
Mirasan
_____________________________________________________________________________________
blocs.xtec.cat/euler
10
Exemple: Dos focus puntuals, situats en la superfície de
l'aigua, emeten ones circulars d'igual amplitud, freqüència i fase.
La velocitat de propagació d'aquestes ones és de 60 cm/s i la seva
freqüència de 20 Hz.
a) Què passarà si les dues ones interfereixen en un punt situat
a 20 cm d'un focus i a 12,5 cm de l'altre?
b) I en un punt situat a 30 cm d'un focus i a 24 cm de l'altre?
Solució: Calculem la longitud d’ona de les ones emeses:
603 cm
20
v
f
I ara anem a comprovar si es compleix la característica
matemàtica de les interferències constructives o destructives.
a) 1 23
20 12,5 7,5 5· 5·2 2
r r
i veiem que la diferència entre els
punts és un múltiple imparell de la semilongitud d’ona, per tant
en aquest punt es produeix una interferència destructiva.
b) 1 2 30 24 6 2·3 2·r r i veiem que la diferència entre els
punts és
un múltiple de la longitud d’ona, per tant en aquest punt es
produeix una interferència constructiva.
-
Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi
Mirasan
_____________________________________________________________________________________
blocs.xtec.cat/euler
11
9.3 Ones estacionàries. Fins ara hem estudiat les ones quan es
propaguen sempre en un medi infinit, obert i sense límits. En la
immensa majoria dels casos això no és real. Per exemple:
1. Una habitació tancada. Les ones sonores es propaguen i
reboten a les parets.
2. Ones sísmiques. Es propaguen per l'interior de la Terra que
té una grandària finita.
3. Una corda lligada a una paret . Si es fa oscil·lar es
produeixen ones que reboten a la paret on hi ha l'extrem
lligat.
En aquests casos es poden produir el que anomenem ones
estacionàries. Les ones estacionàries són un cas particular
d'interferència de dues ones que viatgen en sentits oposats. Quan
un pols que viatja per una corda, rebota en un extrem lligat es
produeix una inversió de la pertorbació respecte la del pols
inicial. Així es superposen dos moviments ondulatoris de la mateixa
amplitud, la mateixa freqüència i la mateixa velocitat, però en
sentits oposats.
Ones estacionàries en una corda amb els extrems lligats.
Considereu una corda lligada pels dos extrems. Per l'extrem dret
generarem una ona harmònica, la funció d'ona de la qual ve donada
per:
1( , ) siny x t A t kx Quan l'ona arribi a l'altre extrem de la
corda rebotarà enrere i com que el punt de rebot està lligat, es
produirà una inversió del pols respecte el pols inicial. L'ona
rebotada tindrà associada la funció d'ona següent:
2( , ) siny x t A t kx
Les dues ones interferiran en tots els punts de la corda i per
tant es generarà l'ona interferència que serà la suma de les dues
funcions d'ona anteriors
-
Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi
Mirasan
_____________________________________________________________________________________
blocs.xtec.cat/euler
12
sin sin
sin sin
sin sin
y A t kx A t kx
A t kx A t kx
A t kx t kx
Usant la identitat trigonomètrica següent:
sin sin 2sin cos2 2
Podem reescriure la funció de l'ona interferència com:
( , ) 2 sin cosy x t A kx t Aquesta ona interferència vibra amb
la mateixa freqüència que y1(x,t) però amb una amplitud modulada
que només depèn de la posició ( A' = 2·A·sin(kx) ). El que és
interessant és veure per a quins valors de x s'anul·la l'amplitud
A'. Aquests punts d’amplitud nul·la s’anomenen nodes. Com que k =
(2·π)/λ , la condició anterior es pot reescriure com:
2 2 22 sin 0 sin 0 0, , 2 ,...A x x x
És a dir que 2
2
nx n n x
. Hi ha punts de la corda que no vibren
mai quan es forma una ona estacionària, aquests punts són els
nodes. Dos
nodes consecutius estan separats per una distància 2
.
En canvi, els ventres o antinodes són els punts d’amplitud
màxima. Això ocorre quan:
2 2 2 32 sin 2 sin 1 , ,...
2 2A x A x x
És a dir que, en un punt x hi ha un ventre si 2 1 4
x n n
. Dos
ventres consecutius també estan separats per una distància 2
.
-
Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi
Mirasan
_____________________________________________________________________________________
blocs.xtec.cat/euler
13
Modes de vibració d'una corda lligada pels extrems.
No qualsevol freqüència de les ones generades en una corda de
longitud L produiran ones estacionàries. Cal que la freqüència
d'aquestes ones prengui uns valors concrets. Observem quins tipus
d'ones estacionàries es poden obtenir en una corda lligada pels
seus extrems.
Estat de vibració
Longitud d’ona
Nombre de nodes
Posició dels nodes
Freqüència
Mode fonamental de vibració (primer harmònic)
1 2L n=0, 1 0
1
0x
x L
12
vf
L
Segon harmònic 2
L n=0, 1, 2
0
1
2
0
2
x
Lx
x L
2 12v
f fL
Tercer harmònic 3
2
3L n=0, 1, 2, 3
0
1
2
3
0
3
2
3
x
Lx
x L
x L
3 13
2
3
vf f
L
Quart harmònic 4 2
L
n=0, 1, 2, 3, 4
0
1
2
3
4
0
4
2
3
4
x
Lx
Lx
x L
x L
4 14
2
vf f
L
-
Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi
Mirasan
_____________________________________________________________________________________
blocs.xtec.cat/euler
14
Els modes de vibració d’una ona estacionària s’anomenen
harmònics. El primer harmònic s’anomena harmònic fonamental. Les
freqüències per a les que obtenim ones estacionàries són
freqüències múltiples de la freqüència fonamental. La longitud
d’ona i la freqüència estan relacionades, així que, de forma
general podem escriure:
2
2n n
L vf n
n L
Exemple 1: Una corda de guitarra té una longitud de 78 cm entre
els seus dos extrems fixos. Amb quina velocitat es transmet l’ona
estacionària que es produeix quan oscil·la segons el seu primer
harmònic de freqüència 125 Hz? Quina és
l’equació d’ona estacionària si l’amplitud de l’ona incident és
de 0,8 cm?
Solució:
Calculem la longitud d’ona: 12 2·0,78
1,56 m1 1
L
I ara la velocitat: 1,56·125 195 m/sv f
L’equació de l’ona estacionària és: ( , ) 2 sin cosy x t A kx
t
2 24,03 rad/m
1,56k
2 2 ·125 785,4 rad/sf
Per tant 2( , ) 1,6·10 sin 4,03 cos 785,4y x t x t
Exemple 2: En un tub tancat d’1,25 m de longitud es produeix un
so que es propaga a 340 m/s. Calculeu la longitud d’ona i la
freqüència del so fonamental. Solució:
1
2 2·1,252,5 m
1 1
L
1
340136 Hz
2 2,5
vf
L
-
Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi
Mirasan
_____________________________________________________________________________________
blocs.xtec.cat/euler
15
Exemple 3: Una corda de niló té una longitud de 1,15 m i està
subjectada pels seus extrems. Si generem una ona estacionària, que
conté 6 nodes, la corda vibra amb una freqüència de 325 Hz i una
amplitud màxima de 2,3 cm. Amb quina velocitat es propaga l’ona per
la corda? Quina és l’equació d’ona? Solució: Com que l’ona conté 6
nodes es tracta del cinquè harmònic, n=5.
Per tant: 52 2·1,15
0,46 m5 5
L i 5 5 0,46·325 149,5 m/sv f
Per escriure l’equació d’ona estacionària necessitem:
2 213,7 rad/m
0,46k
2 2 ·325 2042 rad/sf
Per tant ( , ) 0,023sin 13,7 cos 2042y x t x t Modes de vibració
d'una corda amb un extrem fix.
Distància node-ventre consecutius: 4
Longitud d’ona de l’harmònic n’:4
'
L
n
Freqüència de cada harmònic:
'4
vf n
L
Ones estacionàries en un tub obert en els dos extrems.
Distància entre nodes consecutius: 2
Longitud d’ona de l’harmònic n:2L
n
Freqüència de cada harmònic: 2
vf n
L
-
Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi
Mirasan
_____________________________________________________________________________________
blocs.xtec.cat/euler
16
Ones estacionàries en un tub obert en un extrem.
Distància node-ventre consecutius: 4
Longitud d’ona de l’harmònic n’:4
'
L
n
Freqüència de cada harmònic:
'4
vf n
L
Exemple 4: Alguns instruments musicals, com la flauta, estan
formats per un tub en què es produeixen ones estacionàries. Podem
imaginar-nos la flauta com un tub ple d’aire, obert pels dos
extrems, en què es formen ones estacionàries amb ventres en els dos
extrems. Si la llargària del tub és 70,0 cm: Dibuixeu el perfil de
l’ona corresponent a l’harmònic fonamental produït a l’interior del
tub de la flauta. Determineu la freqüència de l’harmònic fonamental
i la dels dos primers sobretons (segon i tercer harmònics) que es
produiran en aquest tub. (vso=340 m/s) Solució: L’harmònic
fonamental és
La longitud d’ona: 1 2 2·0,70 1,40 mL
Freqüència 1340
243 Hz1,40
vf
Pel segon harmònic: 2 0,70 0,70 mL ; 2340
486 Hz0,70
vf
Pel tercer harmònic: 32 2·0,70
0,47 m3 3
L ; 2
340729 Hz
0,47
vf
-
Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi
Mirasan
_____________________________________________________________________________________
blocs.xtec.cat/euler
17
Exercicis:
1. El professor situa dos petits altaveus a 50 cm l’un de
l’altre sobre una
taula i de cara a la classe. Cada altaveu emet sons de la
mateixa
freqüència i amb la mateixa intensitat. Es demana als alumnes
que
caminin poc a poc cap a la taula. A mesura que ho fan es
sent
alternativament un so fort i un so fluix. Això es produeix
per:
a) la refracció.
b) la reflexió
c) la difracció
d) la interferència d’ones.
2. Un raig de llum passa de l’aire (índex de refracció 1) al
vidre (índex de
refracció 1,5) amb un angle d’incidència de 30º. L’angle de
refracció és
de:
a) 36º.
b) 30º.
c) 19,5º.
d) En aquest cas tenim reflexió total.
3. Quan la llum passa de l’alcohol a l’aire, l’angle límit té un
valor de 47º.
L’índex de refracció de l’alcohol és:
a) 0,85
b) 1,37
c) 1
d) 1,5
4. Una ona harmònica que viatja per un medi a 600 m/s, amb una
longitud d’ona de 200 mm, penetra en un altre medi en el que la
seva longitud d’ona és de 300 mm. La velocitat de l’ona en aquest
segon medi és: a) 300 m/s b) 400 m/s c) 600 m/s d) 900 m/s
5. La polarització, com a fenomen ondulatori, s’aplica només a:
a) Llum b) So c) Ones transversals d) Ones longitudinals
6. Un raig de llum passa de l'aire a un vidre. Raoneu si
cadascuna de les
següents afirmacions referides al raig de llum són vertaderes o
falses:
a) Augmenta la freqüència. b) Augmenta el període. c) Disminueix
la velocitat de propagada. d) Augmenta la longitud d'ona.
Dada: L'índex de refracció del vidre és més gran que el de
l'aire.
-
Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi
Mirasan
_____________________________________________________________________________________
blocs.xtec.cat/euler
18
7. Un raig de llum que viatja a través de l’aire arriba a la
superfície plana
d’una làmina de vidre d’índex de refracció n=1,6 formant un
angle de
60º amb la làmina. Quin angle forma el raig reflectit i el
refractat?
a) 131,8º
b) 33º
c) 18,2º
d) 78,2º
8. Què vol dir que dues ones iguals interfereixen
destructivament en un
punt de l’espai?
a) Que la longitud d’ona és mínima.
b) Que l’amplitud de l’ona resultant val zero en aquest
punt.
c) Que les dues ones es queden destruïdes.
d) Que l’energia de les ones és totalment absorbida pel
medi.
9. Quin és l’angle d’incidència mínim per al qual un raig de
llum que es
propaga per un vidre d'índex de refracció nv=1,6 es reflecteix
totalment
en arribar a la superfície de separació entre aquest vidre i
l'aire? L'índex
de refracció de l'aire és na=1.
(Sol: 38,7º)
10. Un raig de llum vermella que es propaga per l’aire incideix
sobre un
vidre amb un angle de 30º respecte a la direcció normal en la
superfície
del vidre. L'índex de refracció del vidre per a la llum vermella
val nv=1,5,
i l'índex de refracció de l’aire val na=1. Feu un esquema
indicant les
direccions dels raigs reflectit i refractat, i calculeu el valor
dels angles
que formen aquests raigs amb la normal.
(Sol: 19,47º)
11. Un raig lluminós que es propaga per l'aire arriba a la
superfície de
l'aigua amb un angle d’incidència de 15º, i es produeixen els
fenòmens
de reflexió i refracció. L'índex de refracció de l'aigua
respecte de l'aire és
de 4/3. Feu un dibuix esquemàtic de la situació i calculeu els
angles de
reflexió i refracció.
(Sol: 11,2º)
12. La longitud d’ona de la nota la a l’aire és de 0,773 m.
Quines són la
seva freqüència i la seva longitud d’ona a l’aigua? La velocitat
del so a
l’aire és de 340 m/s i a l’aigua d'1,44 km/s.
(Sol: 440 Hz 3,27 m)
-
Física 2n Batx La Física és fàcil (fascicle 8) Col·legi
Mirasan
_____________________________________________________________________________________
blocs.xtec.cat/euler
19
13. Els grills perceben sons de freqüència d’entre 20 Hz i 100
kHz i els
saltamartins perceben sons d’entre 15 Hz i 35 kHz de freqüència.
Les
balenes blanques emeten sons de 20 Hz. Si el so de la balena
arriba a la
superfície amb un angle de 60° respecte de la normal,
calculeu:
a) L’angle amb què sortirà el so de la balena a l’aire. Podran
sentir
aquest so els grills i els saltamartins que són arran de la
costa? I
dalt d’un penya-segat?
b) La longitud d’ona, dins i fora de l’aigua, del so produït per
la balena.
DADES: vso a l’aire=340 m/s; vso a l’aigua=1 500 m/s. (Sol: a)
11,32º; b) 75 m, 17 m)
14. El dibuix següent representa una ona estacionària que s’ha
generat en una corda tensa quan una ona harmònica que es propagava
cap a la dreta s’ha superposat amb la que s’ha reflectit en un
extrem.
a) Indiqueu-ne els nodes. Determineu la distància entre nodes i
la longitud d’ona estacionària. Quina és l’amplitud de les ones
que, en superposar-se, han originat l’ona estacionària?
b) Sabent que cada punt de la corda vibra a raó de trenta
vegades per segon, escriviu l’equació de l’ona inicial (si suposem
que y(0, 0) = 0) i calculeu-ne la velocitat de propagació.
15. Les cordes d’una guitarra tenen una longitud de 78,0 cm.
Sabem que una de les cordes, quan vibra en el seu harmònic
fonamental, emet un la, que correspon a una freqüència de 220
Hz.
a) Dibuixeu el perfil de l’ona quan la corda vibra en l’harmònic
fonamental. Quina serà la longitud d’ona del so produït? Quina és
la velocitat de propagació de les ones que, per superposició, han
format l’ona estacionària de la corda?
b) Dibuixeu la corda quan vibra i emet un so corresponent al
tercer harmònic. Indiqueu, en aquest cas, els nodes i els ventres
de l’ona i calculeu-ne les posicions.
(Sol: a) 1,36 m, v=343,2 m; b) 0,52 m; nodes: 0; 0,26; 0,52;
0,78 m; ventres: 0’13; 0,39; 0,65 m)